Algorytm Euklidesa - znajdowanie największego wspólnego dzielnika. Znajdowanie GCD przy użyciu algorytmu Euklidesa i przy użyciu rozkładu na czynniki pierwsze Pierwiastek kwadratowy przy użyciu metody Euklidesa

Algorytm Euklidesa to algorytm znajdowania największego wspólnego dzielnika (NWD) pary liczb całkowitych.

Największy wspólny dzielnik (GCD) to liczba, która dzieli dwie liczby bez reszty i sama jest podzielna bez reszty przez dowolny inny dzielnik danych dwóch liczb. Mówiąc najprościej, jest to największa liczba, przez którą można podzielić bez reszty dwie liczby, dla których szukany jest gcd.

Algorytm znajdowania NWD przez dzielenie

1. Podziel większą liczbę przez mniejszą liczbę.
2. Jeśli zostanie podzielona bez reszty, to mniejsza liczba będzie NWD (należy wyjść z cyklu).
3. Jeśli jest reszta, zastąp większą liczbę pozostałą częścią dzielenia.
4. Przejdźmy do punktu 1.

Przykład:
Znajdź gcd dla 30 i 18.
30/18 = 1 (pozostała 12)
18/12 = 1 (pozostała 6)
12/6 = 2 (reszta 0)
Koniec: NWD jest dzielnikiem liczby 6.
NWD(30, 18) = 6

a = 50 b = 130 podczas a != 0 i b != 0 : if a > b: a = a % b else : b = b % a print (a + b)

W pętli pozostała część dzielenia jest zapisywana do zmiennej a lub b. Pętla kończy się, gdy przynajmniej jedna ze zmiennych ma wartość zero. Oznacza to, że drugi zawiera plik gcd. Nie wiemy jednak, który dokładnie. Dlatego dla GCD znajdujemy sumę tych zmiennych. Ponieważ jedna ze zmiennych wynosi zero, nie ma to wpływu na wynik.

Algorytm znajdowania NWD przez odejmowanie

1. Odejmij mniejszą liczbę od większej.
2. Jeśli wynikiem jest 0, oznacza to, że liczby są sobie równe i stanowią NWD (należy wyjść z pętli).
3. Jeżeli wynik odejmowania nie jest równy 0, to większą liczbę zastąp wynikiem odejmowania.
4. Przejdźmy do punktu 1.

Przykład:
Znajdź gcd dla 30 i 18.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Koniec: NWD to odjemna lub odjemna.
NWD(30, 18) = 6

a = 50 b = 130 podczas a != b: if a > b: a = a - b else : b = b - a print (a)

Ten artykuł jest o znalezienie największego wspólnego dzielnika (NWD) dwie lub więcej liczb. Najpierw przyjrzyjmy się algorytmowi Euklidesa; pozwala on znaleźć gcd dwóch liczb. Następnie skupimy się na metodzie, która pozwala nam obliczyć gcd liczb jako iloczyn ich wspólnych czynników pierwszych. Następnie przyjrzymy się znajdowaniu największego wspólnego dzielnika trzech lub więcej liczb, a także podamy przykłady obliczania gcd liczb ujemnych.

Nawigacja strony.

Algorytm euklidesowy znajdowania NWD

Zauważmy, że gdybyśmy od samego początku zajęli się tabelą liczb pierwszych, odkrylibyśmy, że liczby 661 i 113 są liczbami pierwszymi, z czego od razu moglibyśmy powiedzieć, że ich największym wspólnym dzielnikiem jest 1.

Odpowiedź:

NWD(661, 113)=1 .

Znajdowanie NWD poprzez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Rozważmy inny sposób znalezienia GCD. Największy wspólny dzielnik można znaleźć, rozkładając liczby na czynniki pierwsze. Sformułujmy regułę: Gcd dwóch dodatnich liczb całkowitych a i b jest równe iloczynowi wszystkich wspólnych czynników pierwszych znalezionych w rozkładach na czynniki pierwsze liczb a i b.

Podajmy przykład wyjaśniający zasadę znajdowania NWD. Poznajmy rozkłady liczb 220 i 600 na czynniki pierwsze, mają one postać 220=2.2.5.11 i 600=2.2.2.3.5.5. Wspólnymi czynnikami pierwszymi biorącymi udział w rozkładaniu na czynniki liczb 220 i 600 są 2, 2 i 5. Zatem NWD(220, 600)=2·2·5=20.

Zatem, jeśli rozłożymy liczby aib na czynniki pierwsze i znajdziemy iloczyn wszystkich ich wspólnych czynników, wówczas znajdziemy największy wspólny dzielnik liczb aib.

Rozważmy przykład znalezienia NWD zgodnie z podaną regułą.

Przykład.

Znajdź największy wspólny dzielnik liczb 72 i 96.

Rozwiązanie.

Rozłóżmy liczby 72 i 96 na czynniki pierwsze:

Oznacza to, że 72=2·2·2·3·3 i 96=2·2·2·2·2·3. Typowe czynniki pierwsze to 2, 2, 2 i 3. Zatem NWD(72, 96)=2·2·2·3=24.

Odpowiedź:

NWD(72, 96)=24 .

Na zakończenie tego akapitu zauważamy, że ważność powyższej reguły znajdowania NWD wynika z własności największego wspólnego dzielnika, która stwierdza, że NWD(m za 1, m b 1)=m NWD(a 1, b 1), gdzie m jest dowolną dodatnią liczbą całkowitą.

Znajdowanie gcd trzech lub więcej liczb

Znalezienie największego wspólnego dzielnika trzech lub więcej liczb można sprowadzić do sekwencyjnego znajdowania gcd dwóch liczb. Wspominaliśmy o tym badając właściwości GCD. Tam sformułowaliśmy i udowodniliśmy twierdzenie: największy wspólny dzielnik kilku liczb a 1, a 2, ..., a k jest równy liczbie d k, którą obliczamy sekwencyjnie obliczając NWD(a 1, a 2)=d 2 , NWD(d 2, a 3) =d 3, NWD(d 3, a 4)=d 4,..., NWD(d k-1, a k)=d k.

Zobaczmy jak wygląda proces znajdowania gcd kilku liczb patrząc na rozwiązanie na przykładzie.

Przykład.

Znajdź największy wspólny dzielnik czterech liczb 78, 294, 570 i 36.

Rozwiązanie.

W tym przykładzie a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

Najpierw, korzystając z algorytmu Euklidesa, wyznaczamy największy wspólny dzielnik d 2 pierwszych dwóch liczb 78 i 294. Dzieląc otrzymujemy równości 294 = 78 3 + 60 ; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 i 18=6·3. Zatem d 2 = NWD(78, 294) = 6.

Teraz obliczmy d 3 = NWD (d 2, a 3) = NWD (6, 570). Zastosujmy ponownie algorytm Euklidesa: 570=6·95 zatem d 3 = GCD(6, 570)=6.

Pozostaje policzyć d 4 =NWD(d 3, za 4)=NWD(6, 36). Ponieważ 36 jest podzielne przez 6, wówczas d 4 = GCD(6, 36) = 6.

Zatem największym wspólnym dzielnikiem czterech podanych liczb jest d 4 = 6, czyli gcd(78, 294, 570, 36) = 6.

Odpowiedź:

NWD(78, 294, 570, 36)=6 .

Rozłożenie liczb na czynniki pierwsze pozwala również obliczyć gcd trzech lub więcej liczb. W tym przypadku największy wspólny dzielnik jest iloczynem wszystkich wspólnych czynników pierwszych danych liczb.

Przykład.

Oblicz gcd liczb z poprzedniego przykładu, korzystając z ich rozkładów na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie.

Rozłóżmy liczby 78, 294, 570 i 36 na czynniki pierwsze, otrzymamy 78=2,3,13, 294=2,3,7,7, 570=2,3,5,19, 36=2,2 ·3 · 3. Wspólnymi czynnikami pierwszymi wszystkich tych czterech liczb są liczby 2 i 3. Stąd, NWD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

W przedmowie do swojego pierwszego wydania „W królestwie pomysłowości” (1908) E. I. Ignatiew pisze: „...inicjatywy intelektualnej, bystrości i „pomysłowości” nie da się „wbić” ani „wbić” nikomu do głowy. Wyniki są wiarygodne tylko wówczas, gdy wprowadzenie w dziedzinę wiedzy matematycznej dokona się w sposób łatwy i przyjemny, wykorzystując przedmioty i przykłady z sytuacji zwyczajnych i codziennych, dobrane z odpowiednim dowcipem i rozrywką.”

W przedmowie do wydania z 1911 r. „Rola pamięci w matematyce” E.I. Ignatiew pisze: „...w matematyce nie należy pamiętać wzorów, ale proces myślenia”.

Aby wyodrębnić pierwiastek kwadratowy, istnieją tabele kwadratów dla liczb dwucyfrowych; możesz rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze i wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z iloczynu. Tablica kwadratów czasami nie wystarczy, wyciągnięcie pierwiastka poprzez faktoring jest zadaniem czasochłonnym, które również nie zawsze prowadzi do pożądanego rezultatu. Spróbuj wziąć pierwiastek kwadratowy z 209764? Rozłożenie na czynniki pierwsze daje iloczyn 2*2*52441. Metodą prób i błędów wybór - oczywiście można to zrobić, jeśli masz pewność, że jest to liczba całkowita. Metoda, którą chcę zaproponować, pozwala w każdym przypadku wyciągnąć pierwiastek kwadratowy.

Dawno, dawno temu w instytucie (Perm State Pedagogical Institute) zapoznaliśmy się z tą metodą, o której teraz chcę porozmawiać. Nigdy nie zastanawiałem się, czy ta metoda ma dowód, więc teraz musiałem sam wydedukować część dowodu.

Podstawą tej metody jest złożenie liczby =.

=&, tj. & 2 =596334.

1. Podziel liczbę (5963364) na pary od prawej do lewej (5`96`33`64)

2. Wyodrębnij pierwiastek kwadratowy z pierwszej grupy po lewej stronie (-numer 2). W ten sposób otrzymujemy pierwszą cyfrę &.

3. Znajdź kwadrat pierwszej cyfry (2 2 =4).

4. Znajdź różnicę między pierwszą grupą a kwadratem pierwszej cyfry (5-4=1).

5. Usuwamy kolejne dwie cyfry (otrzymujemy liczbę 196).

6. Podwoić pierwszą znalezioną cyfrę i zapisać ją po lewej stronie za linią (2*2=4).

7. Teraz musimy znaleźć drugą cyfrę liczby &: dwukrotność pierwszej znalezionej cyfry staje się cyfrą dziesiątek liczby, która pomnożona przez liczbę jednostek daje liczbę mniejszą niż 196 (to jest liczba 4, 44*4=176). 4 to druga cyfra &.

8. Znajdź różnicę (196-176=20).

9. Wyburzamy kolejną grupę (otrzymujemy numer 2033).

10. Podwój liczbę 24, otrzymamy 48.

W liczbie jest 11,48 dziesiątek, po pomnożeniu przez liczbę jedności otrzymamy liczbę mniejszą niż 2033 (484*4=1936). Znaleziona przez nas cyfra jedności (4) jest trzecią cyfrą liczby &.

Podałem dowód dla następujących przypadków:

1. Wyodrębnianie pierwiastka kwadratowego z liczby trzycyfrowej;

2. Wyodrębnianie pierwiastka kwadratowego z liczby czterocyfrowej.

Przybliżone metody wyciągania pierwiastków kwadratowych (bez użycia kalkulatora).

1. Starożytni Babilończycy stosowali następującą metodę, aby znaleźć przybliżoną wartość pierwiastka kwadratowego z ich liczby x. Przedstawili liczbę x jako sumę a 2 + b, gdzie a 2 jest dokładnym kwadratem liczby naturalnej a (a 2 ? x) najbliższej liczbie x i zastosowali wzór . (1)

Korzystając ze wzoru (1) wyciągamy pierwiastek kwadratowy np. z liczby 28:

Wynik wyodrębnienia pierwiastka z 28 za pomocą MK to 5,2915026.

Jak widać, metoda babilońska daje dobre przybliżenie dokładnej wartości pierwiastka.

2. Izaak Newton opracował metodę obliczania pierwiastków kwadratowych, której początki sięgają Czapli z Aleksandrii (około 100 r. n.e.). Metoda ta (znana jako metoda Newtona) jest następująca.

Pozwalać 1- pierwsze przybliżenie liczby (jako 1 można przyjąć wartość pierwiastka kwadratowego z liczby naturalnej - dokładny kwadrat nie przekraczający X) .

Następnie dokładniejsze przybliżenie 2 liczby znaleźć według wzoru .

Od czasów starożytnych praca z liczbami dzieliła się na dwa różne obszary: jeden dotyczył bezpośrednio właściwości liczb, drugi był związany z technikami liczenia. W wielu krajach przez „arytmetykę” rozumie się zwykle tę ostatnią dziedzinę, która jest niewątpliwie najstarszą gałęzią matematyki.

Najwyraźniej największą trudnością dla starożytnych kalkulatorów była praca z ułamkami zwykłymi. Można to zobaczyć na podstawie Papirusu Ahmesa (zwanego także Papirusem Rhinda), starożytnego egipskiego dzieła matematycznego datowanego na około 1650 rok p.n.e. Wszystkie ułamki wymienione na papirusie, z wyjątkiem 2/3, mają liczniki równe 1. Trudność w posługiwaniu się ułamkami jest zauważalna także podczas studiowania starożytnych babilońskich tabliczek klinowych. Zarówno starożytni Egipcjanie, jak i Babilończycy najwyraźniej wykonywali obliczenia przy użyciu jakiejś formy liczydła. Nauka o liczbach znacznie się rozwinęła wśród starożytnych Greków, począwszy od Pitagorasa, około 530 roku p.n.e. Jeśli chodzi o samą technologię obliczeń, Grecy zrobili w tej dziedzinie znacznie mniej.

Późniejsi Rzymianie natomiast nie wnieśli praktycznie żadnego wkładu w naukę liczb, lecz wychodząc naprzeciw potrzebom szybko rozwijającej się produkcji i handlu, udoskonalili liczydło jako urządzenie liczące. Niewiele wiadomo o początkach arytmetyki indyjskiej. Dotarło do nas zaledwie kilka późniejszych prac z teorii i praktyki operacji liczbowych, napisanych po udoskonaleniu indyjskiego systemu pozycyjnego poprzez włączenie do niego zera. Nie wiemy dokładnie, kiedy to nastąpiło, ale właśnie wtedy położono podwaliny pod nasze najpopularniejsze algorytmy arytmetyczne.

Indyjski system liczbowy i pierwsze algorytmy arytmetyczne zostały zapożyczone przez Arabów. Najwcześniejszy zachowany podręcznik arytmetyki arabskiej został napisany przez al-Khwarizmi około 825 roku. W szerokim zakresie wykorzystuje i objaśnia cyfry indyjskie. Podręcznik ten został później przetłumaczony na łacinę i wywarł znaczący wpływ na Europę Zachodnią. Zniekształcona wersja imienia al-Khwarizmi sprowadziła się do nas w słowie „algoryzm”, które po dalszym zmieszaniu z greckim słowem arytmie stał się terminem „algorytm”.

Arytmetyka indoarabska stała się znana w Europie Zachodniej głównie dzięki pracom L. Fibonacciego Księga liczydła (Liber abaci, 1202). Metoda Abacista oferowała uproszczenia podobne do stosowania naszego systemu pozycyjnego, przynajmniej w przypadku dodawania i mnożenia. Abaciści zostali zastąpieni algorytmami wykorzystującymi zero oraz arabską metodę dzielenia i ekstrakcji pierwiastka kwadratowego. Jeden z pierwszych podręczników arytmetyki, którego autor jest nam nieznany, ukazał się w Treviso (Włochy) w 1478 roku. Zajmował się obliczeniami podczas dokonywania transakcji handlowych. Podręcznik ten stał się poprzednikiem wielu podręczników do arytmetyki, które ukazały się później. Do początków XVII wieku. W Europie wydano ponad trzysta takich podręczników. Algorytmy arytmetyczne zostały w tym czasie znacznie udoskonalone. W XVI – XVII w. Pojawiły się symbole operacji arytmetycznych, takie jak =, +, -, , ё i .

Mechanizacja obliczeń arytmetycznych.

Wraz z rozwojem społeczeństwa rosła potrzeba szybszych i dokładniejszych obliczeń. Potrzeba ta dała początek czterem niezwykłym wynalazkom: cyfrom indoarabskim, ułamkom dziesiętnym, logarytmom i nowoczesnym maszynom liczącym.

W rzeczywistości najprostsze urządzenia liczące istniały przed pojawieniem się współczesnej arytmetyki, ponieważ w czasach starożytnych na liczydle wykonywano podstawowe operacje arytmetyczne (w Rosji używano do tego celu liczydeł). Najprostsze współczesne urządzenie obliczeniowe można uznać za suwak logarytmiczny, który składa się z dwóch skal logarytmicznych przesuwających się jedna po drugiej, co umożliwia mnożenie i dzielenie poprzez sumowanie i odejmowanie segmentów skali. Za wynalazcę pierwszej mechanicznej maszyny sumującej uważa się B. Pascala (1642). Później w tym samym stuleciu G. Leibniz (1671) w Niemczech i S. Moreland (1673) w Anglii wynaleźli maszyny do wykonywania mnożenia. Maszyny te stały się poprzednikami komputerów stacjonarnych (arytmometrów) XX wieku, co umożliwiło szybkie i dokładne wykonywanie operacji dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.

W 1812 roku angielski matematyk C. Babbage zaczął tworzyć projekt maszyny do obliczania tablic matematycznych. Choć prace nad projektem trwały wiele lat, pozostał on niedokończony. Niemniej jednak projekt Babbage'a stał się bodźcem do stworzenia nowoczesnych komputerów elektronicznych, których pierwsze egzemplarze pojawiły się około 1944 roku. Szybkość tych maszyn była niesamowita: za ich pomocą w ciągu kilku minut lub godzin można było rozwiązać problemy, które wcześniej wymagały wiele lat ciągłych obliczeń, nawet przy użyciu maszyn sumujących.

Liczby naturalne.

Pozwalać A I B są dwoma skończonymi zbiorami, które nie mają wspólnych elementów, i niech A zawiera N elementy i B zawiera M elementy. Potem wielu S, składający się ze wszystkich elementów zbiorów A I B, razem wzięte, jest skończonym zbiorem zawierającym, powiedzmy, S elementy. Na przykład, jeśli A składa się z elementów ( A, B, C), pęczek W– z elementów ( X, y), a następnie zestaw S=A+B i składa się z elementów ( A, B, C, X, y). Numer S zwany kwota liczby N I M, i zapisujemy to tak: s = n + m. W tym wpisie liczby N I M są nazywane warunki, operacja znajdowania sumy – dodatek. Symbol operacji „+” odczytuje się jako „plus”. Pęczek P, składający się ze wszystkich uporządkowanych par, w których pierwszy element jest wybrany ze zbioru A, a drugi jest z zestawu B, jest skończonym zbiorem zawierającym, powiedzmy, P elementy. Jeśli, tak jak poprzednio, np. A = {A, B, C}, B = {X, y), To P=AґB = {(A,X), (A,y), (B,X), (B,y), (C,X), (C,y)). Numer P zwany praca liczby A I B, i zapisujemy to tak: p = aґB Lub p = a×b. Liczby A I B w pracy tak się nazywają mnożniki, operacja znalezienia produktu – mnożenie. Symbol operacji `` jest odczytywany jako „pomnożony przez”.

Można wykazać, że z tych definicji wynikają następujące podstawowe prawa dodawania i mnożenia liczb całkowitych:

– prawo dodawania przemiennego: za + b = b + a;

– prawo dodawania asocjacyjnego: A + (B + C) = (A + B) + C;

– prawo przemiennego mnożenia: Aґb = bґA;

– prawo łączności mnożenia: Aґ(BґC) = (AґB)ґC;

– prawo rozdzielności: Aґ(B + C)= (AґB) + (AґC).

Jeśli A I B– dwie liczby całkowite dodatnie oraz jeżeli istnieje dodatnia liczba całkowita C, takie że a = b + do, wtedy to mówimy A więcej B(jest to napisane tak: a>b), albo co B mniej A(jest to napisane tak: B). Dla dowolnych dwóch liczb A I B zachodzi jedna z trzech zależności: albo a = b, Lub a>b, Lub A.

Pierwsze dwa podstawowe prawa mówią, że suma dwóch lub więcej wyrazów nie zależy od tego, jak są one zgrupowane ani w jakiej kolejności są ułożone. Podobnie z trzeciego i czwartego prawa wynika, że ​​iloczyn dwóch lub więcej czynników nie zależy od sposobu pogrupowania czynników ani od ich kolejności. Fakty te znane są jako „uogólnione prawa przemienności i łączności” dodawania i mnożenia. Wynika z nich, że przy zapisywaniu sumy kilku wyrazów lub iloczynu kilku czynników kolejność wyrazów i czynników nie ma znaczenia i nawiasy można pominąć.

W szczególności powtarzalna ilość za + za + ... + za z N warunki są równe NґA. Powtarzająca się praca AґAґ ... ґA z N Uzgodniliśmy oznaczenie czynników jakiś; numer A zwany podstawa i numer N – powtarzalny wskaźnik produktu, sama powtarzalna praca – n-ta potęga liczby A. Definicje te pozwalają nam ustalić następujące podstawowe prawa dotyczące wykładników:

Kolejna ważna konsekwencja definicji: Aґ1 = A dla dowolnej liczby całkowitej A, a 1 jest jedyną liczbą całkowitą posiadającą tę właściwość. Numer 1 jest wywoływany jednostka.

Dzielniki liczb całkowitych.

Jeśli A, B, C– liczby całkowite i Aґb = do, To A I B są dzielnikami liczby C. Ponieważ Aґ1 = A dla dowolnej liczby całkowitej A dochodzimy do wniosku, że 1 jest dzielnikiem dowolnej liczby całkowitej i że każda liczba całkowita jest dzielnikiem samej siebie. Dowolny dzielnik liczb całkowitych A, inny niż 1 lub A, mam to imię właściwy dzielnik liczby A.

Wywoływana jest każda liczba całkowita różna od 1 i nieposiadająca własnych dzielników Liczba pierwsza. (Przykładem liczby pierwszej jest liczba 7.) Nazywa się liczbę całkowitą, która ma własne dzielniki liczba złożona. (Na przykład liczba 6 jest złożona, ponieważ 2 dzieli 6.) Z powyższego wynika, że ​​zbiór wszystkich liczb całkowitych jest podzielony na trzy klasy: jeden, liczby pierwsze i liczby złożone.

W teorii liczb istnieje bardzo ważne twierdzenie, które stwierdza, że ​​„każdą liczbę całkowitą można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych i niezależnie od kolejności czynników taka reprezentacja jest jedyna”. Twierdzenie to znane jest jako „podstawowe twierdzenie arytmetyki”. Pokazuje, że liczby pierwsze służą jako „cegiełki”, z których można zbudować wszystkie liczby całkowite inne niż jedna za pomocą mnożenia.

Jeśli podany jest pewien zbiór liczb całkowitych, wówczas nazywa się największą liczbę całkowitą będącą dzielnikiem każdej liczby zawartej w tym zbiorze Największy wspólny dzielnik dany zbiór liczb; nazywana jest najmniejsza liczba całkowita, której dzielnikiem jest każda liczba z danego zbioru najmniejsza wspólna wielokrotność dany zestaw liczb. Zatem największym wspólnym dzielnikiem liczb 12, 18 i 30 jest 6. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych samych liczb wynosi 180. Jeśli największy wspólny dzielnik dwóch liczb całkowitych A I B jest równe 1, to liczby A I B są nazywane wzajemnie pierwsze. Na przykład liczby 8 i 9 są względnie pierwsze, chociaż żadna z nich nie jest pierwsza.

Dodatnie liczby wymierne.

Jak widzieliśmy, liczby całkowite są abstrakcjami powstającymi w procesie liczenia skończonych zbiorów obiektów. Jednak na potrzeby życia codziennego liczby całkowite nie wystarczą. Przykładowo, mierząc długość blatu stołu, przyjęta jednostka miary może być zbyt duża i nie zmieścić się całą liczbę razy w mierzonej długości. Aby poradzić sobie z taką trudnością, przy pomocy tzw. frakcyjny(tj. dosłownie „łamane”) liczby, wprowadzana jest mniejsza jednostka długości. Jeśli D– jakaś liczba całkowita, potem jednostka ułamkowa 1/ D ustalana na podstawie nieruchomości Dґ1/D= 1 i jeśli N jest zatem liczbą całkowitą Nґ1/D po prostu piszemy to jako N/D. Te nowe liczby nazywane są ułamkami „zwykłymi” lub „prostymi”. Liczba całkowita N zwany licznik ułamka Ułamki zwykłe i liczby D – mianownik. Mianownik pokazuje, na ile równych części została podzielona dana jednostka, a licznik pokazuje, ile takich części zostało objętych. Jeśli N d, ułamek nazywany jest właściwym; Jeśli n = re Lub n>d, to jest to błędne. Liczby całkowite traktuje się jak ułamki o mianowniku 1; na przykład 2 = 2/1.

Od ułamka N/D można interpretować jako wynik dzielenia N jednostki na D równe części i biorąc jedną z tych części, ułamek można traktować jako „iloraz” lub „stosunek” dwóch liczb całkowitych N I D i traktuj linię ułamkową jako znak dzielenia. Dlatego zwykle nazywane są ułamki zwykłe (w tym liczby całkowite jako szczególny przypadek ułamków). racjonalny liczby (od łacińskiego stosunku - stosunek).

Dwie frakcje N/D I ( kґN)/(kґD), Gdzie k– liczba całkowita, którą można uznać za równą; na przykład 4/6 = 2/3. (Tutaj N = 2, D= 3 i k= 2.) Nazywa się to „podstawową właściwością ułamka”: wartość dowolnego ułamka nie ulegnie zmianie, jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone (lub podzielone) przez tę samą liczbę. Wynika z tego, że dowolny ułamek można zapisać jako stosunek dwóch względnie pierwszych liczb.

Z zaproponowanej powyżej interpretacji ułamka wynika również, że jako suma dwóch ułamków N/D I M/D mając ten sam mianownik, należy wziąć ułamek ( N + M)/D. Dodając ułamki o różnych mianownikach, należy je najpierw przekształcić, korzystając z podstawowej właściwości ułamka, na ułamki równoważne o tym samym (wspólnym) mianowniku. Na przykład, N 1 /D 1 = (N 1H D 2)/(D 1H D 2) i N 2 /D 2 = (N 2H D 1)/(D 1H D 2), skąd

Można to zrobić inaczej i najpierw znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, powiedzmy M, mianowniki D 1 i D 2. Następnie są liczby całkowite k 1 i k 2, tak że m = k 1H D 1 = k 2H D 2 i otrzymujemy:

Dzięki tej metodzie liczba M zwykle tzw najniższy wspólny mianownik dwie frakcje. Te dwa wyniki są równoważne z definicji równości ułamków.

Produkt dwóch frakcji N 1 /D 1 i N 2 /D 2 przyjmuje się jako równe ułamkowi ( N 1H N 2)/(D 1H D 2).

Osiem podstawowych praw podanych powyżej dla liczb całkowitych obowiązuje również, jeśli pod A, B, C zrozumieć dowolne dodatnie liczby wymierne. Również, jeśli podano dwie dodatnie liczby wymierne N 1 /D 1 i N 2 /D 2, to tak mówimy N 1 /D 1 > N 2 /D 2 wtedy i tylko wtedy N 1H D 2 > N 2H D 1 .

Dodatnie liczby rzeczywiste.

Użycie liczb do pomiaru długości odcinków sugeruje, że dla dowolnych dwóch danych odcinków AB I płyta CD musi być jakiś segment UV, być może bardzo mały, który mógłby zostać przesunięty całkowitą liczbę razy w każdym z segmentów AB I płyta CD. Jeśli taka wspólna jednostka długości UV istnieje, to segmenty AB I płyta CD nazywane są współmiernymi. Już w starożytności pitagorejczycy wiedzieli o istnieniu niewspółmiernych odcinków prostych. Klasycznym przykładem jest bok kwadratu i jego przekątna. Jeśli przyjmiemy bok kwadratu jako jednostkę długości, to nie ma liczby wymiernej, która byłaby miarą przekątnej tego kwadratu. Można to sprawdzić, argumentując przez sprzeczność. Rzeczywiście, załóżmy, że liczba wymierna N/D jest miarą przekątnej. Ale potem segment 1/ D można było przełożyć N raz po przekątnej i D razy na boku kwadratu, mimo że przekątna i bok kwadratu są niewspółmierne. W konsekwencji, niezależnie od wyboru jednostki długości, nie wszystkie odcinki mają długości, które można wyrazić liczbami wymiernymi. Aby wszystkie odcinki można było mierzyć jakąś jednostką długości, należy rozszerzyć system liczbowy o liczby reprezentujące wyniki pomiaru długości odcinków nieproporcjonalnych do wybranej jednostki długości. Te nowe liczby nazywane są dodatnimi irracjonalny liczby. Te ostatnie wraz z dodatnimi liczbami wymiernymi tworzą szerszy zbiór liczb, których elementy nazywane są dodatnimi ważny liczby.

Jeśli LUB– pozioma półlinia wychodząca z punktu O, U- wskazują na LUB, różniący się od pochodzenia O, I Jednostka organizacyjna jest wybierany jako segment jednostkowy, a następnie każdy punkt P na półlinii LUB można powiązać z pojedynczą dodatnią liczbą rzeczywistą P, wyrażający długość odcinka OP. W ten sposób ustalamy zgodność jeden do jednego między dodatnimi liczbami rzeczywistymi a punktami innymi niż O, na półprostej LUB. Jeśli P I Q– dwie dodatnie liczby rzeczywiste odpowiadające punktom P I Q NA LUB, wtedy piszemy p>q,p = q Lub p w zależności od położenia punktu P na prawo od punktu Q NA LUB, zbiega się z Q lub znajduje się po lewej stronie Q.

Wprowadzenie dodatnich liczb niewymiernych znacznie rozszerzyło zakres stosowalności arytmetyki. Na przykład, jeśli A– dowolna dodatnia liczba rzeczywista i N jest dowolną liczbą całkowitą, to istnieje tylko jedna dodatnia liczba rzeczywista B, takie że bn=a. Ten numer B zwany korzeniem N stopień A i jest zapisywany jako, gdzie symbol w swoim zarysie przypomina literę łacińską R, od którego zaczyna się łacińskie słowo źródło(root) i nazywa się rodnik. Można to wykazać

Zależności te znane są jako podstawowe właściwości rodników.

Z praktycznego punktu widzenia bardzo ważne jest, aby każdą dodatnią liczbę niewymierną można było przybliżyć z dowolną dokładnością za pomocą dodatniej liczby wymiernej. Oznacza to, że jeśli R jest dodatnią liczbą niewymierną i mi jest dowolnie małą dodatnią liczbą wymierną, wówczas możemy znaleźć dodatnie liczby wymierne A I B, takie że a i B. Na przykład liczba jest niewymierna. Jeśli wybierzesz mi= 0,01, wówczas ; Jeśli wybierzesz mi= 0,001, wówczas .

Indoarabski system liczbowy.

Algorytmy lub schematy obliczeń arytmetycznych zależą od zastosowanego systemu liczbowego. Jest na przykład całkiem oczywiste, że metody obliczeniowe wymyślone dla rzymskiego systemu liczbowego mogą różnić się od algorytmów wymyślonych dla obecnego systemu indoarabskiego. Co więcej, niektóre systemy liczbowe mogą być całkowicie nieodpowiednie do konstruowania algorytmów arytmetycznych. Dane historyczne pokazują, że przed przyjęciem indoarabskiego systemu notacji liczbowej nie było w ogóle algorytmów, które ułatwiałyby dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb za pomocą „ołówka i papieru”. Przez długie lata istnienia systemu indoarabskiego opracowano wiele specjalnie do niego dostosowanych procedur algorytmicznych, dzięki czemu nasze nowoczesne algorytmy są wytworem całej ery rozwoju i udoskonaleń.

W hindusko-arabskim systemie liczbowym każdy wpis reprezentujący liczbę to zestaw dziesięciu podstawowych symboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, zwanych cyframi. Na przykład hindusko-arabski zapis liczby czterysta dwadzieścia trzy ma postać ciągu cyfr 423. Znaczenie cyfry w hindusko-arabskim zapisie liczby zależy od jej miejsca, czyli pozycji, w ciągu cyfr tworzących ten zapis. W podanym przez nas przykładzie liczba 4 oznacza cztery setki, liczba 2 oznacza dwie dziesiątki, a liczba 3 oznacza trzy jedności. Bardzo ważną rolę odgrywa cyfra 0 (zero), która służy do wypełniania pustych pozycji; np. wpis 403 oznacza liczbę czterysta trzy, czyli: brakuje dziesiątek. Jeśli A, B, C, D, mi oznaczają pojedyncze liczby, a następnie w systemie indoarabskim abcde oznacza skrót liczby całkowitej

Ponieważ każda liczba całkowita ma unikalną reprezentację w formie

Gdzie N jest liczbą całkowitą oraz A 0 , A 1 ,..., jakiś- liczby, stwierdzamy, że w danym systemie liczbowym każdą liczbę całkowitą można przedstawić w unikalny sposób.

Hindusko-arabski system liczbowy pozwala zwięźle zapisywać nie tylko liczby całkowite, ale także dowolne dodatnie liczby rzeczywiste. Wprowadźmy notację 10 - N na 1/10 N, Gdzie N– dowolna dodatnia liczba całkowita. Następnie, jak można wykazać, dowolną dodatnią liczbę rzeczywistą można przedstawić w postaci jednoznacznej

Rekord ten można skompresować, zapisując go jako ciąg liczb

gdzie jest znak, zwany przecinkiem dziesiętnym, pomiędzy A 0 i B Cyfra 1 wskazuje, gdzie zaczynają się ujemne potęgi liczby 10 (w niektórych krajach używana jest w tym celu kropka). Ta metoda zapisywania dodatniej liczby rzeczywistej nazywa się rozwinięciem dziesiętnym, a ułamek przedstawiony w postaci rozwinięcia dziesiętnego jest dziesiętny.

Można wykazać, że w przypadku dodatniej liczby wymiernej rozwinięcie dziesiętne po przecinku albo się przerywa (na przykład 7/4 = 1,75), albo się powtarza (na przykład 6577/1980 = 3,32171717...). Jeżeli liczba jest niewymierna, to jej rozwinięcie dziesiętne nie przerywa się i nie powtarza. Jeżeli rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej zostanie przerwane w pewnym miejscu po przecinku, otrzymamy jej wymierne przybliżenie. Im dalej na prawo od przecinka znajduje się znak, na którym kończymy rozwinięcie dziesiętne, tym lepsze jest przybliżenie racjonalne (tym mniejszy błąd).

W systemie hindusko-arabskim liczbę zapisuje się za pomocą dziesięciu podstawowych cyfr, których znaczenie zależy od ich miejsca, czyli pozycji, w zapisie liczby (wartość cyfry jest równa iloczynowi cyfry i niektórych potęga 10). Dlatego taki system nazywa się dziesiętnym systemem pozycyjnym. Systemy liczb pozycyjnych są bardzo wygodne do konstruowania algorytmów arytmetycznych i dlatego indoarabski system liczbowy jest tak rozpowszechniony we współczesnym świecie, chociaż w różnych krajach do oznaczenia poszczególnych liczb można używać różnych symboli.

Nazwy liczb.

Nazwy liczb w systemie indoarabskim podlegają pewnym zasadom. Najbardziej powszechnym sposobem nadawania nazw liczbom jest dzielenie liczby na grupy składające się z trzech cyfr, od prawej do lewej. Grupy te nazywane są „okresami”. Pierwszy okres nazywany jest okresem „jednostek”, drugi – okresem „tysięcy”, trzeci – okresem „milionów” itd., jak pokazano w poniższym przykładzie:

Każdy okres odczytuje się tak, jakby był liczbą trzycyfrową. Na przykład okres 962 odczytuje się jako „dziewięćset sześćdziesiąt dwa”. Aby odczytać liczbę składającą się z kilku kropek, czyta się grupę cyfr w każdym okresie, zaczynając od cyfry położonej najbardziej na lewo, a następnie postępując w kolejności od lewej do prawej; Po każdej grupie następuje nazwa okresu. Na przykład powyższa liczba brzmi „siedemdziesiąt trzy biliony osiemset czterdzieści dwa miliardy dziewięćset sześćdziesiąt dwa miliony pięćset trzydzieści dwa tysiące siedemset dziewięćdziesiąt osiem”. Należy pamiętać, że podczas odczytywania i zapisywania liczb całkowitych zwykle nie używa się spójnika „i”. Nazwa kategorii jednostki została pominięta. Po bilionach następują kwadryliony, kwintyliony, sekstyliony, septyliony, oktyliony, nonaliony i decyliony. Każdy okres ma wartość 1000 razy większą od poprzedniego.

W systemie hindusko-arabskim zwyczajowo stosuje się następującą procedurę odczytu liczb po prawej stronie przecinka dziesiętnego. Tutaj pozycje nazywane są (w kolejności od lewej do prawej): „dziesiątkami”, „setnymi”, „tysięcznymi”, „dziesięciotysięcznymi” itp. Właściwy ułamek dziesiętny czyta się tak, jakby cyfry po przecinku tworzyły liczbę całkowitą, po której następuje nazwa pozycji ostatniej cyfry po prawej stronie. Na przykład 0,752 odczytuje się jako „siedemset pięćdziesiąt dwie tysięczne”. Ułamek dziesiętny mieszany odczytuje się łącząc regułę nazywania liczb całkowitych z zasadą nazywania ułamków dziesiętnych właściwych. Na przykład 632.752 brzmi „sześćset trzydzieści dwa punkty siedemset pięćdziesiąt dwie tysięczne”. Zwróć uwagę na słowo „liczby całkowite” przed przecinkiem dziesiętnym. W ostatnich latach liczby dziesiętne są coraz częściej odczytywane w prostszy sposób, na przykład 3,782 jako „trzy przecinek siedemset osiemdziesiąt dwa”.

Dodatek.

Teraz jesteśmy gotowi do analizy algorytmów arytmetycznych, których uczy się w szkole podstawowej. Algorytmy te zajmują się operacjami na dodatnich liczbach rzeczywistych zapisanych w postaci rozwinięć dziesiętnych. Zakładamy, że elementarnej tabliczki dodawania i mnożenia nauczyliśmy się na pamięć.

Rozważ problem dodawania: oblicz 279,8 + 5,632 + 27,54:

Najpierw sumujemy te same potęgi liczby 10. Liczbę 19Х10 –1 dzielimy zgodnie z prawem rozdzielności na 9Х10 –1 i 10Х10 –1 = 1. Przesuwamy jednostkę w lewo i dodajemy ją do 21, co daje daje 22. Z kolei liczbę 22 dzielimy na 2 i 20 = 2H10. Przesuwamy liczbę 2H10 w lewo i dodajemy ją do 9H10, co daje 11H10. Na koniec dzielimy 11H10 na 1H10 i 10H10 = 1H10 2, przesuwamy 1H10 2 w lewo i dodajemy do 2H10 2, co daje 3H10 2. Ostateczna suma wynosi 312,972.

Oczywiste jest, że przeprowadzone obliczenia można przedstawić w bardziej zwięzłej formie, wykorzystując je jednocześnie jako przykład algorytmu dodawania, którego uczy się w szkole. Aby to zrobić, zapisujemy wszystkie trzy liczby jedna pod drugą, tak aby punkty dziesiętne znajdowały się na tej samej pionie:

Zaczynając od prawej strony, stwierdzamy, że suma współczynników przy 10 –3 jest równa 2, co zapisujemy w odpowiedniej kolumnie pod linią. Suma współczynników przy 10 –2 jest równa 7, co jest również zapisane w odpowiedniej kolumnie pod linią. Suma współczynników dla 10 –1 wynosi 19. Pod wierszem wpisujemy liczbę 9, a 1 przenosimy do poprzedniej kolumny, gdzie znajdują się jedynki. Biorąc pod uwagę tę jednostkę, suma współczynników w tej kolumnie okazuje się równa 22. Jedno zapisujemy pod linią dwa, a drugie przenosimy do poprzedniej kolumny, gdzie są dziesiątki. Biorąc pod uwagę przeniesione dwa, suma współczynników w tej kolumnie wynosi 11. Jedną jednostkę zapisujemy pod linią, a drugą przenosimy do poprzedniej kolumny, gdzie są setki. Suma współczynników w tej kolumnie okazuje się równa 3, co zapisujemy pod linią. Wymagana kwota to 312.972.

Odejmowanie.

Odejmowanie jest odwrotnością dodawania. Jeśli trzy dodatnie liczby rzeczywiste A, B, C tak ze sobą powiązane a+b=c, wtedy piszemy a = do – b, gdzie symbol „-” odczytuje się jako „minus”. Znalezienie numeru A według znanych liczb B I C zwane „odejmowaniem”. Numer C zwany Minuend, liczba B– „odejmowalny” i liczba A- "różnica". Ponieważ mamy do czynienia z dodatnimi liczbami rzeczywistymi, warunek musi być spełniony c > b.

Spójrzmy na przykład odejmowania: oblicz 453,87 – 82,94.

Po pierwsze, jeśli to konieczne, zapożyczając jednostkę z lewej strony, przekształcamy rozwinięcie odjemnej tak, aby jej współczynnik dla dowolnej potęgi 10 był większy niż współczynnik odejmowania dla tej samej potęgi. Z 4H10 2 pożyczamy 1H10 2 = 10H10, dodając ostatnią liczbę do następnego wyrazu w rozwinięciu, co daje 15H10; podobnie pożyczamy 1Х10 0 lub 10Ч10 –1 i dodajemy tę liczbę do przedostatniego wyrazu rozwinięcia. Następnie mamy możliwość odjęcia współczynników dla tych samych potęg liczby 10 i łatwo znaleźć różnicę 370,93.

Zapis operacji odejmowania można przedstawić w bardziej skompresowanej formie i uzyskać przykład algorytmu odejmowania poznanego w szkole. Odejmowanie zapisujemy pod odjemną tak, aby ich punkty dziesiętne znajdowały się na tej samej pionie. Zaczynając od prawej strony, stwierdzamy, że różnica współczynników przy 10 –2 jest równa 3 i zapisujemy tę liczbę w tej samej kolumnie pod linią. Ponieważ w następnej kolumnie po lewej stronie nie możemy odjąć 9 od 8, zamieniamy trójkę w pozycji jedności odjemnicy na dwa i liczbę 8 w pozycji dziesiątych traktujemy jako 18. Po odjęciu 9 od 18 otrzymujemy 9 itd. ., tj. .

Mnożenie.

Zajmijmy się najpierw tzw „krótkie” mnożenie to mnożenie dodatniej liczby rzeczywistej przez jedną z liczb jednocyfrowych 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, na przykład 32,67-4. Korzystając z prawa rozdzielności, a także praw łączności i przemienności mnożenia, otrzymujemy możliwość rozbicia czynników na części i ułożenia ich w wygodniejszy sposób. Na przykład,

Obliczenia te można zapisać bardziej zwięźle w następujący sposób:

Proces kompresji można kontynuować. Zapisujemy współczynnik 4 pod mnożną 32,67, jak wskazano:

Ponieważ 4-7 = 28, zapisujemy liczbę 8 pod linią i umieszczamy 2 nad liczbą 6 mnożnej. Następnie 4`6 = 24, co po uwzględnieniu tego, co jest przeniesione z kolumny po prawej stronie, daje 26. Pod linią zapisujemy liczbę 6, a nad liczbą 2 mnożnej piszemy 2. Otrzymujemy wtedy 4 `2 = 8, co w połączeniu z przeniesionymi dwójkami daje 10. Pod kreską podpisujemy cyfrę 0, a nad cyfrą 3 mnożnej. Ostatecznie 4When3 = 12, co po uwzględnieniu przeniesionej jednostki daje 13; Pod linią zapisana jest liczba 13. Stawiając kropkę dziesiętną, otrzymujemy odpowiedź: iloczyn jest równy 130,68.

„Długie” mnożenie to po prostu „krótkie” mnożenie powtarzane w kółko. Rozważmy na przykład pomnożenie liczby 32,67 przez liczbę 72,4. Umieśćmy mnożnik pod mnożną, jak pokazano:

Wykonując krótkie mnożenie od prawej do lewej, otrzymujemy pierwszy iloraz 13,068, drugi 65,34, a trzeci 2286,9. Zgodnie z prawem rozdzielności iloczynem, który należy znaleźć, jest suma tych iloczynów częściowych, czyli 2365,308. W zapisie pisemnym pomija się przecinek dziesiętny w iloczynach cząstkowych, należy je jednak odpowiednio ułożyć w „krokach”, aby następnie zsumować i otrzymać pełny iloczyn. Liczba miejsc po przecinku w iloczynie jest równa sumie liczby miejsc po przecinku w mnożniku i mnożniku.

Dział.

Dzielenie jest odwrotną operacją mnożenia; tak jak mnożenie zastępuje wielokrotne dodawanie, tak dzielenie zastępuje wielokrotne odejmowanie. Rozważmy na przykład pytanie: ile razy 3 mieści się w 14? Powtarzając operację odejmowania 3 od 14, stwierdzamy, że 3 „wchodzi” w 14 cztery razy, a liczba 2 „pozostaje”, tj.

Numer 14 nazywa się podzielny, numer 3 - rozdzielacz, numer 4 - prywatny i numer 2 – reszta. Powstałą zależność można wyrazić słowami w następujący sposób:

dywidenda = (dzielnik ` iloraz) + reszta,

0 Ј reszta

Znalezienie ilorazu i reszty z 1400 podzielonej przez 3 poprzez wielokrotne odejmowanie 3 wymagałoby dużo czasu i wysiłku. Procedurę można znacznie przyspieszyć, jeśli od 1400 najpierw odejmiemy 300, potem od reszty 30, a na koniec 3. Po czterokrotnym odjęciu 300 otrzymamy resztę 200; po sześciokrotnym odjęciu 30 od 200 reszta wyniesie 20; w końcu po sześciokrotnym odjęciu 3 od 20 otrzymujemy resztę 2. Zatem

Iloraz i reszta do znalezienia wynoszą odpowiednio 466 i 2. Obliczenia można uporządkować, a następnie sekwencyjnie skompresować w następujący sposób:

Powyższe rozumowanie ma zastosowanie, jeśli dywidendą i dzielnikiem są dowolne dodatnie liczby rzeczywiste wyrażone w systemie dziesiętnym. Zilustrujmy to na przykładzie 817,65е23,7.

Najpierw dzielnik należy przekonwertować na liczbę całkowitą za pomocą przesunięcia przecinka dziesiętnego. W takim przypadku przecinek dziesiętny dywidendy przesuwa się o tę samą liczbę miejsc po przecinku. Dzielnik i dywidenda są ułożone w sposób pokazany poniżej:

Ustalmy, ile razy dzielnik jest zawarty w trzycyfrowej liczbie 817, pierwszej części dywidendy, którą dzielimy przez dzielnik. Ponieważ szacuje się, że jest on zawarty trzykrotnie, mnożymy 237 przez 3 i odejmujemy iloczyn 711 od 817. Różnica 106 jest mniejsza niż dzielnik. Oznacza to, że liczba 237 pojawia się w dywidendzie próbnej nie więcej niż trzykrotnie. Liczba 3 zapisana pod dzielnikiem liczby 2 poniżej linii poziomej jest pierwszą cyfrą ilorazu, który należy znaleźć. Po przesunięciu w dół kolejnej cyfry dzielnej otrzymujemy następną dywidendę próbną 1066 i musimy określić, ile razy dzielnik 237 mieści się w liczbie 1066; Powiedzmy 4 razy. Mnożymy dzielnik przez 4 i otrzymujemy iloczyn 948, który odejmujemy od 1066; różnica okazuje się wynosić 118, co oznacza, że ​​następna cyfra ilorazu wynosi 4. Następnie odejmujemy kolejną cyfrę dywidendy i powtarzamy całą procedurę opisaną powyżej. Tym razem okazuje się, że próbna dywidenda 1185 jest dokładnie (bez reszty) podzielna przez 237 (reszta z dzielenia ostatecznie okazuje się wynosić 0). Oddzielając przecinkiem w ilorazu tę samą liczbę cyfr, ile są oddzielone w dzielnej (pamiętajmy, że wcześniej przesunęliśmy przecinek), otrzymamy odpowiedź: iloraz wynosi 34,5.

Ułamki.

Obliczenia na ułamkach obejmują dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, a także upraszczanie ułamków złożonych.

Dodawanie ułamków o tym samym mianowniku odbywa się poprzez dodanie liczników, np.

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

Jeśli ułamki mają różne mianowniki, należy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika, tj. zamień na ułamki zwykłe o tych samych mianownikach. W tym celu znajdujemy najmniejszy wspólny mianownik (najmniejszą wielokrotność każdego z podanych mianowników). Na przykład, dodając 2/3, 1/6 i 3/5, najniższy wspólny mianownik wynosi 30:

Podsumowując, otrzymujemy

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

Odejmowanie ułamków odbywa się w taki sam sposób, jak ich dodawanie. Jeżeli mianowniki są takie same, to odejmowanie sprowadza się do odjęcia liczników: 10/13 – 2/13 = 8/13; Jeśli ułamki mają różne mianowniki, musisz najpierw sprowadzić je do wspólnego mianownika:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

Przy mnożeniu ułamków ich liczniki i mianowniki mnoży się oddzielnie. Na przykład,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

Aby podzielić ułamek przez drugi, należy pomnożyć pierwszy ułamek (dywidendę) przez ułamek odwrotny drugiego (dzielnik) (aby otrzymać ułamek odwrotny, należy zamienić licznik i mianownik ułamka pierwotnego), tj. ( N 1 /D 1)( N 2 /D 2) = (N 1H D 2)/(D 1H N 2). Na przykład,

3/4е7/8 = 3/4 8/7 = 24/28 = 6/7.

Liczba mieszana to suma (lub różnica) liczby całkowitej i ułamka, np. 4 + 2/3 lub 10 – 1/8. Ponieważ liczbę całkowitą można traktować jako ułamek o mianowniku 1, liczba mieszana to nic innego jak suma (lub różnica) dwóch ułamków. Na przykład,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

Ułamek zespolony to taki, który ma ułamek w liczniku, mianowniku lub liczniku i mianowniku. Ułamek ten można zamienić na prosty:

Pierwiastek kwadratowy.

Jeśli N R, takie że R 2 = N. Numer R zwany pierwiastek kwadratowy z N i jest wyznaczony. W szkole uczą cię wyciągać pierwiastki kwadratowe na dwa sposoby.

Pierwsza metoda jest bardziej popularna, ponieważ jest prostsza i łatwiejsza w zastosowaniu; obliczenia tą metodą można łatwo zaimplementować na kalkulatorze stacjonarnym i uogólnić na przypadek pierwiastków sześciennych i pierwiastków wyższych. Metoda opiera się na fakcie, że jeśli R 1 – zatem zbliżanie się do korzenia R 2 = (1/2)(R 1 + N/R 1) – dokładniejsze przybliżenie pierwiastka.

Zilustrujmy tę procedurę, obliczając pierwiastek kwadratowy z pewnej liczby z zakresu od 1 do 100, powiedzmy liczby 40. Ponieważ 6 2 = 36 i 7 2 = 49, dochodzimy do wniosku, że 6 jest najlepszym przybliżeniem liczb całkowitych. Bardziej dokładne przybliżenie można uzyskać z 6 w następujący sposób. Dzielenie 40 przez 6 daje 6,6 (w zaokrągleniu do pierwszego miejsca po przecinku) nawet liczby dziesiątek). Aby uzyskać drugie przybliżenie , uśredniamy dwie liczby 6 i 6,6 i otrzymujemy 6,3. Powtarzając procedurę, uzyskujemy jeszcze lepsze przybliżenie. Dzieląc 40 przez 6,3, otrzymujemy liczbę 6,350, a trzecie przybliżenie wynosi (1/2)(6,3 + 6,350) = 6,325. Kolejne powtórzenie daje 40е6,325 = 6,3241106, a czwarte przybliżenie okazuje się wynosić (1/2)(6,325 + 6,3241106) = 6,3245553. Proces może trwać tak długo, jak to konieczne. Ogólnie rzecz biorąc, każde kolejne przybliżenie może zawierać dwa razy więcej cyfr niż poprzednie. Zatem w naszym przykładzie, ponieważ pierwsze przybliżenie, liczba całkowita 6, zawiera tylko jedną cyfrę, w drugim przybliżeniu możemy zachować dwie cyfry, w trzecim cztery i w czwartym osiem.

Jeśli numer N nie leży pomiędzy 1 a 100, to musisz najpierw podzielić (lub pomnożyć) N do jakiejś potęgi 100, powiedzmy, do k-th tak, aby iloczyn mieścił się w przedziale od 1 do 100. Wtedy pierwiastek kwadratowy iloczynu będzie w przedziale od 1 do 10, a po jego wyodrębnieniu wynikową liczbę mnożymy (lub dzielimy) przez 10 k, znajdź wymagany pierwiastek kwadratowy. Na przykład, jeśli N= 400000, to najpierw my dzielić 400000 na 100 2 i otrzymujemy liczbę 40, która mieści się w przedziale od 1 do 100. Jak pokazano powyżej, jest ona w przybliżeniu równa 6,3245553. Mnożenie tę liczbę przez 10 2, otrzymujemy 632,45553 jako wartość przybliżoną, a liczba 0,63245553 służy jako wartość przybliżona.

Druga z powyższych procedur opiera się na tożsamości algebraicznej ( A + B) 2 = A 2 + (2A + B)B. Na każdym etapie już uzyskana część pierwiastka kwadratowego jest brana jako A, a część, która nadal wymaga ustalenia, dotyczy B.

Pierwiastek sześcienny.

Aby wyodrębnić pierwiastek sześcienny z dodatniej liczby rzeczywistej, istnieją algorytmy podobne do tych służących do wyodrębniania pierwiastka kwadratowego. Na przykład, aby znaleźć pierwiastek sześcienny liczby N, najpierw przybliżamy pierwiastek o jakąś liczbę R 1. Następnie budujemy dokładniejsze przybliżenie R 2 = (1/3)(2R 1 + N/R 1 2), co z kolei ustępuje miejsca jeszcze dokładniejszemu przybliżeniu R 3 = (1/3)(2R 2 + N/R 2 2) itp. Procedura konstruowania coraz dokładniejszych przybliżeń pierwiastka może trwać w nieskończoność.

Rozważmy na przykład obliczenie pierwiastka sześciennego liczby z zakresu od 1 do 1000, powiedzmy liczby 200. Ponieważ 5 3 = 125 i 6 3 = 216, dochodzimy do wniosku, że 6 jest liczbą całkowitą najbliższą pierwiastkowi sześciennemu z 200. Dlatego wybieramy R 1 = 6 i po kolei obliczamy R 2 = 5,9, R 3 = 5,85, R 4 = 5,8480. W każdym przybliżeniu, począwszy od trzeciego, dopuszcza się zachowanie liczby znaków o jeden mniejszej niż dwukrotność liczby znaków w poprzednim przybliżeniu. Jeśli liczba, z której chcesz wydobyć pierwiastek sześcienny, nie mieści się w przedziale od 1 do 1000, musisz najpierw podzielić ją (lub pomnożyć) przez jakiś, powiedzmy, k th, moc liczby 1000 i w ten sposób doprowadź ją do pożądanego zakresu liczb. Pierwiastek sześcienny nowo uzyskanej liczby mieści się w przedziale od 1 do 10. Po obliczeniu należy go pomnożyć (lub podzielić) przez 10 k aby uzyskać pierwiastek sześcienny oryginalnej liczby.

Drugi, bardziej złożony algorytm znajdowania pierwiastka sześciennego dodatniej liczby rzeczywistej opiera się na wykorzystaniu tożsamości algebraicznej ( A + B) 3 = A 3 + (3A 2 + 3ok + B 2)B. Obecnie w szkołach średnich nie uczy się algorytmów wyodrębniania pierwiastków sześciennych, a także pierwiastków wyższych potęg, ponieważ łatwiej je znaleźć za pomocą logarytmów lub metod algebraicznych.

Algorytm Euklidesa.

Algorytm ten został zaprezentowany w Początki Euklides (ok. 300 pne). Służy do obliczania największego wspólnego dzielnika dwóch liczb całkowitych. Dla liczb dodatnich formułuje się ją w formie reguły proceduralnej: „Podziel większą z dwóch podanych liczb przez mniejszą. Następnie podziel dzielnik przez resztę i postępuj w ten sposób, aż ostatni dzielnik zostanie równomiernie podzielony przez ostatnią resztę. Ostatni z dzielników będzie największym wspólnym dzielnikiem dwóch podanych liczb.

Jako przykład liczbowy rozważmy dwie liczby całkowite 3132 i 7200. Algorytm w tym przypadku sprowadza się do następujących kroków:

Największy wspólny dzielnik jest taki sam jak ostatni dzielnik – liczba 36. Wyjaśnienie jest proste. W naszym przykładzie widzimy z ostatniego wiersza, że ​​liczba 36 dzieli liczbę 288. Z przedostatniego wiersza wynika, że ​​liczba 36 dzieli 324. Tak więc, przechodząc od wiersza do wiersza, jesteśmy przekonani, że liczba 36 dzieli 936 , 3132 i 7200 Twierdzimy teraz, że liczba 36 jest wspólnym dzielnikiem liczb 3132 i 7200. Niech G jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 3132 i 7200. Od G dzieli 3132 i 7200, z pierwszego wiersza wynika, że G dzieli 936. Z drugiej linii wnioskujemy, że G dzieli 324. Przechodząc od linii do linii, jesteśmy o tym przekonani G dzieli 288 i 36. A ponieważ 36 jest wspólnym dzielnikiem liczb 3132 i 7200 i jest dzielone przez ich największy wspólny dzielnik, dochodzimy do wniosku, że 36 jest tym największym wspólnym dzielnikiem.

Badanie.

Obliczenia arytmetyczne wymagają ciągłej uwagi i dlatego są podatne na błędy. Dlatego bardzo ważne jest sprawdzenie wyników obliczeń.

1. Dodanie kolumny liczb można sprawdzić dodając liczby w kolumnie najpierw od góry do dołu, a następnie od dołu do góry. Uzasadnieniem tej metody weryfikacji jest uogólnione prawo przemienności i łączności dodawania.

2. Odejmowanie sprawdzamy dodając różnicę z odejmowaniem - należy otrzymać odjemną. Uzasadnieniem tej metody weryfikacji jest definicja operacji odejmowania.

3. Mnożenie można sprawdzić, przestawiając mnożną i mnożnik. Uzasadnieniem tej metody weryfikacji jest prawo przemiennego mnożenia. Możesz sprawdzić mnożenie, dzieląc współczynnik (lub mnożną) na dwa wyrazy, wykonując dwie oddzielne operacje mnożenia i dodając otrzymane iloczyny - powinieneś otrzymać oryginalny iloczyn.

4. Aby sprawdzić dzielenie, należy pomnożyć iloraz przez dzielnik, a resztę dodać do iloczynu. Powinieneś dostać dywidendę. Uzasadnieniem tej metody weryfikacji jest definicja operacji dzielenia.

5. Sprawdzenie poprawności wyciągnięcia pierwiastka kwadratowego (lub sześciennego) polega na podniesieniu otrzymanej liczby do kwadratu (lub sześcianu) - należy otrzymać liczbę pierwotną.

Szczególnie prostym i bardzo niezawodnym sposobem sprawdzenia dodawania lub mnożenia liczb całkowitych jest technika stanowiąca przejście do tzw. „porównania modulo 9”. Nadmiarem nazwiemy pozostałą część sumy cyfr użytych do zapisania liczby podzielonej przez 9. Następnie w odniesieniu do „nadwyżek” można sformułować dwa twierdzenia: „nadwyżka sumy liczb całkowitych jest równa nadwyżce sumy nadmiarów wyrazów” oraz „nadwyżka iloczynu dwóch liczb całkowitych jest równa nadmiar iloczynu ich nadmiarów.” Poniżej znajdują się przykłady kontroli opartych na tym twierdzeniu:

Metodę przejścia do porównań modulo 9 można zastosować także przy testowaniu innych algorytmów arytmetycznych. Oczywiście taka kontrola nie jest nieomylna, ponieważ praca z „nadmiarami” również jest obarczona błędami, ale taka sytuacja jest mało prawdopodobna.

Odsetki.

Procent to ułamek, którego mianownik wynosi 100; Procenty można zapisać na trzy sposoby: jako ułamek zwykły, ułamek dziesiętny lub przy użyciu specjalnego zapisu procentowego %. Na przykład 7 procent można zapisać jako 7/100, jako 0,07 lub jako 7%.

Przykładem najczęstszego typu problemu procentowego jest następujący: „Znajdź 17% z 82”. Aby rozwiązać ten problem, musisz obliczyć iloczyn 0,17-82 = 13,94. W produktach tego typu stopą nazywa się 0,17, podstawą jest 82, a udziałem wyrażonym w procentach jest 13,94. Trzy wymienione wielkości są ze sobą powiązane zależnością

Stawka podstawowa = udział procentowy.

Jeśli znane są dwie dowolne wielkości, trzecią można wyznaczyć na podstawie tej zależności. W związku z tym otrzymujemy trzy typy problemów związanych z „używaniem procentów”.

Przykład 1. Liczba uczniów kształcących się w tej szkole wzrosła z 351 do 396. O ile procent wzrosła ta liczba?

Wzrost wyniósł 396 – 351 = 45 osób. Zapisując ułamek 45/351 jako procent, otrzymujemy 45/351 = 0,128 = 12,8%.

Przykład 2. Reklama w sklepie podczas wyprzedaży głosi: „25% zniżki na wszystkie produkty”. Jaka jest cena promocyjna przedmiotu, który zwykle kosztuje 3,60 USD?

Spadek ceny o 25% o 3,60 USD oznacza spadek o 0,25-3,60 = 0,90 USD; dlatego cena przedmiotu podczas wyprzedaży wyniesie 3,60 USD – 0,90 USD = 2,70 USD.

Przykład 3. Pieniądze zdeponowane w banku z oprocentowaniem 5% w skali roku przyniosły zysk w wysokości 40 dolarów rocznie. Jaka kwota została wpłacona do banku?

Ponieważ 5% kwoty wynosi 40 dolarów, tj. Kwota 5/100 = 40 dolarów lub 1/100 kwoty = 8 dolarów, całkowita kwota wynosi 800 dolarów.

Arytmetyka liczb przybliżonych.

Wiele liczb używanych w obliczeniach wynika z pomiarów lub szacunków i dlatego można je uważać jedynie za przybliżenia. Oczywistym jest, że wynik obliczeń wykonanych na liczbach przybliżonych może być liczbą jedynie przybliżoną. Załóżmy na przykład, że pomiary powierzchni blatu dały następujące wyniki (w zaokrągleniu do najbliższej dziesiątej części metra): szerokość 1,2 m, długość 3,1 m; można powiedzieć, że powierzchnia blatu wynosi 1,2-3,1 = 3,72 m2. Jednak w rzeczywistości informacje te nie są wcale takie pewne. Ponieważ wartość 1,2 m wskazuje jedynie, że pomiar szerokości mieści się w przedziale od 1,15 do 1,25 m, a 3,1 wskazuje, że pomiar długości mieści się w przedziale od 3,05 do 3,15 m, o powierzchni licznika możemy jedynie powiedzieć, że powinna ona być większa niż 1,15-3,05 = 3,5075, ale mniej niż 1,25-3,15 = 3,9375. Dlatego jedyną rozsądną odpowiedzią na pytanie o powierzchnię blatu jest stwierdzenie, że wynosi ona około 3,7 m 2 .

Rozważmy następnie problem dodania wyników przybliżonych pomiarów 3,73 m, 52,1 m i 0,282 m. Prosta suma wynosi 56,112 m. Jednak podobnie jak w poprzednim zadaniu, jedyne, co można z całą pewnością powiedzieć, to to, że suma prawdziwa musi być większa niż 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 m i mniejsza niż 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 m. Zatem jedyną rozsądną odpowiedzią na to pytanie jest stwierdzenie, że suma ta wynosi w przybliżeniu 56,1 m.

Powyższe dwa przykłady ilustrują pewne zasady przydatne podczas pracy z liczbami przybliżonymi. Istnieją różne sposoby zaokrąglania liczb. Jednym z nich jest odrzucenie dolnych cyfr numeru. Co więcej, jeśli pierwsza cyfra do odrzucenia jest większa niż pięć, wówczas ostatnią pozostałą cyfrę należy zwiększyć o jeden, jeśli jest mniejsza, wówczas ostatnia cyfra pozostałej części pozostaje niezmieniona.

Jeżeli pierwszą cyfrą, którą należy odrzucić, jest dokładnie pięć, ostatnią cyfrę, którą należy zachować, zwiększa się o jeden, jeśli jest nieparzysta i pozostaje niezmieniona, jeśli jest parzysta. Na przykład, zaokrąglając do setnych liczbę 3,14159;17,7682; 28 999; 0,00234; 7,235 i 7,325 stają się 3,14; 17,77; 29.00; 0,00; 7.24 i 7.32.

Inna metoda zaokrąglania jest związana z koncepcją cyfr znaczących i jest stosowana podczas maszynowego zapisywania liczb. Cyframi znaczącymi liczby przybliżonej są cyfry jej zapisu dziesiętnego, ustawione w kolejności od lewej do prawej, zaczynając od pierwszej cyfry niezerowej, a kończąc na cyfrze zastępującej miejsce dziesiętne odpowiadające błędowi. Na przykład cyframi znaczącymi przybliżonej liczby 12,1 są liczby 1, 2, 1; przybliżona liczba 0,072 – cyfry 7, 2; przybliżona liczba 82000, zapisana z dokładnością do setek, to 8, 2, 0.

Teraz sformułujemy dwie zasady działania z liczbami przybliżonymi, o których mowa powyżej.

Podczas dodawania i odejmowania liczb przybliżonych każdą liczbę należy zaokrąglić do cyfry następującej po ostatniej cyfrze liczby najmniej dokładnej, a otrzymaną sumę i różnicę należy zaokrąglić do tej samej liczby cyfr, co liczba najmniej dokładna. Przy mnożeniu i dzieleniu liczb przybliżonych każdą liczbę należy zaokrąglić do znaku następującego po ostatniej znaczącej cyfrze liczby najmniej znaczącej, a iloczyn i iloraz należy zaokrąglić z taką samą dokładnością, jak znana jest najmniej dokładna liczba.

Wracając do wcześniej rozważanych problemów, otrzymujemy:

1,2-3,1 = 3,72 m 2 » 3,7 m 2

3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 m 2 "56,1 m,

gdzie znak „ oznacza „w przybliżeniu równy”.

Niektóre podręczniki arytmetyki udostępniają algorytmy pracy z liczbami przybliżonymi, co pozwala uniknąć niepotrzebnych znaków podczas obliczeń. Poza tym stosują tzw. rejestrowanie liczb przybliżonych, tj. dowolna liczba jest reprezentowana jako (liczba z zakresu od 1 do 10) `` (potęga 10), gdzie pierwszy czynnik zawiera tylko cyfry znaczące liczby. Na przykład 82000 km, zaokrąglone do najbliższych stu km, zostanie zapisane jako 8,20-10 4 km, a 0,00702 cm zostanie zapisane jako 7,02-10 –3 cm.

Liczby w tablicach matematycznych, trygonometrycznych lub logarytmicznych są przybliżone i zapisane określoną liczbą znaków. Pracując z takimi tabelami, należy przestrzegać zasad obliczeń z liczbami przybliżonymi.

Logarytmy.

Na początku XVII wieku. Złożoność problemów obliczeń stosowanych wzrosła tak bardzo, że nie można było sobie z nimi poradzić „ręcznie” ze względu na zbyt dużo pracy i czasu. Na szczęście wynaleziony z czasem przez J. Napiera na początku XVII wieku. logarytmy pozwoliły uporać się z powstałym problemem. Ponieważ teorię i zastosowania logarytmów opisano szczegółowo w specjalnym artykule LOGARITHM, ograniczymy się tylko do najbardziej niezbędnych informacji.

Można wykazać, że jeśli N jest dodatnią liczbą rzeczywistą, wówczas istnieje niepowtarzalna dodatnia liczba rzeczywista X, tak że 10 X = N. Numer X wywoływane (zwykłe lub dziesiętne) logarytm liczby N; tradycyjnie pisze się to tak: X=log N. Zatem logarytm jest wykładnikiem i wynika z praw operacji z wykładnikami

To właśnie te właściwości logarytmów wyjaśniają ich szerokie zastosowanie w arytmetyce. Pierwsza i druga właściwość pozwalają nam zredukować dowolny problem mnożenia i dzielenia do prostszego problemu dodawania i odejmowania. Trzecia i czwarta właściwość pozwalają zredukować potęgowanie i ekstrakcję pierwiastkową do znacznie prostszych operacji: mnożenia i dzielenia.

Dla ułatwienia korzystania z logarytmów zestawiono ich tablice. Aby sporządzić tabelę logarytmów dziesiętnych, wystarczy uwzględnić tylko logarytmy z liczb od 1 do 10. Przykładowo, ponieważ 247,6 = 10 2 × 2,476, mamy: log247,6 = log10 2 + log2,476 = 2 + log2,476, a ponieważ 0,02476 = 10 –2 × 2,476, to log0,02476 = log10 –2 + log2,476 = –2 + log2,476. Należy zauważyć, że logarytm dziesiętny liczby od 1 do 10 leży w przedziale od 0 do 1 i można go zapisać jako ułamek dziesiętny. Wynika z tego, że logarytm dziesiętny dowolnej liczby jest sumą liczby całkowitej, zwanej cechą logarytmu, i ułamka dziesiętnego, zwanego mantysą logarytmu. Charakterystykę logarytmu dowolnej liczby można znaleźć „w umyśle”; Mantysę należy znaleźć, korzystając z tablic logarytmów. Na przykład z tabel wynika, że ​​log2,476 = 0,39375, stąd log247,63 = 2,39375. Jeśli charakterystyka logarytmu jest ujemna (gdy liczba jest mniejsza niż jeden), wówczas wygodnie jest przedstawić ją jako różnicę dwóch dodatnich liczb całkowitych, na przykład log0,02476 = –2 + 0,39375 = 8,39375 – 10. poniższe przykłady wyjaśniają tę technikę.

Literatura:

Historia matematyki od czasów starożytnych do początków XIX wieku., tom. 1–3. M., 1970–1972.
Serre J.-P. Kurs arytmetyczny. M., 1972
Nieczajew V.I. Systemy numeryczne. M., 1975
Daan-Dalmedico A., Peiffer J . Ścieżki i labirynty. Eseje z historii matematyki. M., 1986
Englera E. Matematyka elementarna. M., 1987

Okrąg pokazał, jak można wyodrębnić pierwiastki kwadratowe w kolumnie. Pierwiastek możesz obliczyć z dowolną precyzją, znaleźć dowolną liczbę cyfr w jego zapisie dziesiętnym, nawet jeśli okaże się to niewymierne. Algorytm został zapamiętany, ale pytania pozostały. Nie było jasne, skąd wzięła się ta metoda i dlaczego dawała prawidłowy wynik. Nie było tego w książkach, a może po prostu szukałem w złych książkach. Ostatecznie, podobnie jak większość tego, co wiem i potrafię dzisiaj, wymyśliłem to sam. Dzielę się tutaj swoją wiedzą. Nawiasem mówiąc, nadal nie wiem, gdzie podano uzasadnienie algorytmu)))

Najpierw więc opowiem „jak działa system” na przykładzie, a potem wyjaśnię, dlaczego to faktycznie działa.

Weźmy liczbę (liczba została wzięta „z powietrza”, tak po prostu przyszła mi do głowy).

1. Dzielimy jego liczby na pary: te po lewej stronie przecinka są grupowane po dwa od prawej do lewej, a te po prawej stronie są grupowane po dwa od lewej do prawej. Dostajemy.

2. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z pierwszej grupy liczb po lewej stronie - w naszym przypadku tak jest (jest oczywiste, że dokładnego pierwiastka nie można wyodrębnić, bierzemy liczbę, której kwadrat jest jak najbliżej naszej liczby utworzonej przez pierwszą grupę liczb, ale jej nie przekracza). W naszym przypadku będzie to liczba. Zapisujemy odpowiedź - jest to najważniejsza cyfra pierwiastka.

3. Podnosimy liczbę, która już jest w odpowiedzi – to – i odejmujemy ją od pierwszej grupy liczb po lewej stronie – od liczby. W naszym przypadku tak pozostaje.

4. Po prawej stronie przypisujemy następującą grupę dwóch liczb: . Mnożymy liczbę znajdującą się już w odpowiedzi przez i otrzymujemy .

5. Teraz obserwuj uważnie. Musimy przypisać jedną cyfrę do liczby po prawej stronie i pomnożyć liczbę przez tę samą przypisaną cyfrę. Wynik powinien być jak najbliżej tej liczby, ale nie więcej. W naszym przypadku będzie to liczba, którą wpisujemy w odpowiedzi obok, po prawej stronie. Jest to kolejna cyfra w zapisie dziesiętnym naszego pierwiastka kwadratowego.

6. Odejmując iloczyn otrzymujemy .

7. Następnie powtarzamy znane operacje: do otrzymanej liczby przypisujemy następującą grupę cyfr, mnożymy przez , do otrzymanej liczby > przypisujemy jedną cyfrę w prawo, tak że pomnożona przez nią otrzymamy liczbę mniejszą od , ale najbliższą do niego - jest to kolejna cyfra w zapisie pierwiastka dziesiętnego.

Obliczenia zostaną zapisane w następujący sposób:

A teraz obiecane wyjaśnienie. Algorytm opiera się na wzorze

Komentarze: 51

1. 2 Anton:

   Zbyt chaotyczny i zagmatwany. Ułóż wszystko punkt po punkcie i ponumeruj. Plus: wyjaśnij, gdzie w każdej akcji podstawiamy wymagane wartości. Nigdy wcześniej nie obliczałem pierwiastka głównego; trudno mi było to rozgryźć.

2. 5 Julia:

3. 6 :

   Julia, 23, jest obecnie wpisana po prawej stronie; są to dwie pierwsze (po lewej) cyfry pierwiastka otrzymanego już w odpowiedzi. Pomnóż przez 2 zgodnie z algorytmem. Powtarzamy kroki opisane w punkcie 4.

4. 7 zzz:

   błąd w „6. Od 167 odejmujemy iloczyn 43 * 3 = 123 (129 nada) i otrzymujemy 38.
   Nie rozumiem, jak to się stało, że po przecinku było 08…

5. 9 Fiedotow Aleksander:

   I nawet w epoce przed kalkulatorami uczono nas w szkole nie tylko pierwiastka kwadratowego, ale także pierwiastka sześciennego w kolumnie, ale była to bardziej żmudna i żmudna praca. Łatwiej było skorzystać z tablic Bradisa czy suwaka logarytmicznego, którego uczyliśmy się już w liceum.

6. 10 :

   Aleksandrze, masz rację, możesz wyodrębnić pierwiastki dużych potęg do kolumny. Napiszę tylko o tym, jak znaleźć pierwiastek sześcienny.

7. 12 Siergiej Walentinowicz:

   Droga Elżbieto Aleksandrowna! Pod koniec lat 70. opracowałem schemat automatycznego (tj. nie selekcji) obliczania kwadratów. root na maszynie dodającej Felix. Dla zainteresowanych mogę przesłać opis.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((Wyciąganie pierwiastka kwadratowego z kolumny)))
   Algorytm jest uproszczony, jeśli używasz drugiego systemu liczbowego, który jest badany w informatyce, ale jest również przydatny w matematyce. JAKIŚ. Kołmogorow przedstawił ten algorytm w popularnych wykładach dla uczniów. Jego artykuł można znaleźć w „Kolekcji Czebyszewa” (Dzienniku Matematycznym, linku do niego szukaj w Internecie)
   Przy okazji powiedz:
   G. Leibniz zastanawiał się kiedyś nad przejściem z systemu liczb 10. na system binarny ze względu na jego prostotę i przystępność dla początkujących (uczniów szkół podstawowych). Ale łamanie ustalonych tradycji jest jak rozbijanie czołem bramy fortecy: jest to możliwe, ale bezużyteczne. Okazuje się więc, jak mawiał najczęściej cytowany brodaty filozof dawnych czasów: tradycje wszystkich zmarłych pokoleń tłumią świadomość żywych.

   Do następnego razu.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   ))Siergiej Walentinowicz, tak, jestem zainteresowany...((

   Założę się, że jest to wariacja na temat „Feliksa” babilońskiej metody wydobywania kwadratowego rycerza metodą kolejnych przybliżeń. Algorytm ten został objęty metodą Newtona (metoda styczna)

   Zastanawiam się, czy nie pomyliłem się w moich przewidywaniach?

10. 18 :

    2 Wład z Engelsstadt

    Tak, algorytm w formacie binarnym powinien być prostszy, to całkiem oczywiste.

    O metodzie Newtona. Może to prawda, ale i tak jest to interesujące

11. 20 Cyryl:

    Wielkie dzięki. Ale nadal nie ma algorytmu, nikt nie wie, skąd się wziął, ale wynik jest poprawny. WIELKIE DZIĘKI! Długo tego szukałem)

12. 21 Aleksander:

    Jak wyodrębnić pierwiastek z liczby, w której druga grupa od lewej do prawej jest bardzo mała? na przykład ulubiona liczba wszystkich to 4 398 046 511 104. Po pierwszym odjęciu nie da się już wszystkiego kontynuować zgodnie z algorytmem. Czy możesz wyjaśnić?

13. 22 Aleksiej:

    Tak, znam tę metodę. Pamiętam, że czytałem to w książce „Algebra” w jakimś starym wydaniu. Następnie przez analogię sam wydedukował, jak wyodrębnić pierwiastek sześcienny w kolumnie. Ale tam jest to już bardziej skomplikowane: każdą cyfrę wyznacza się nie przez jedną (jak w przypadku kwadratu), ale przez dwa odejmowanie, a nawet tam za każdym razem trzeba pomnożyć długie liczby.

14. 23 Artem:

    W przykładzie wyodrębnienia pierwiastka kwadratowego z 56789.321 występują literówki. Grupę liczb 32 przypisuje się dwukrotnie liczbom 145 i 243, w liczbie 2388025 drugą 8 należy zastąpić liczbą 3. Następnie ostatnie odejmowanie należy zapisać następująco: 2431000 – 2383025 = 47975.
    Dodatkowo dzieląc resztę przez podwojoną wartość odpowiedzi (bez uwzględnienia przecinka) otrzymujemy dodatkową liczbę cyfr znaczących (47975/(2*238305) = 0,100658819...), którą należy doliczyć do odpowiedź (√56789,321 = 238,305... = 238,305100659).

15. 24 Siergiej:

    Najwyraźniej algorytm pochodzi z książki Izaaka Newtona „Ogólna arytmetyka, czyli książka o syntezie i analizie arytmetycznej”. Oto jego fragment:

    O WYCIĄGANIU KORZENI

    Aby wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z liczby, należy najpierw umieścić kropkę nad jej cyframi, zaczynając od jedności. Następnie należy wpisać w iloraz lub pierwiastek liczbę, której kwadrat jest równy lub najbliższy na niekorzyść liczbom lub liczbie poprzedzającej pierwszy punkt. Po odjęciu tego kwadratu pozostałe cyfry pierwiastka zostaną kolejno znalezione, dzieląc resztę przez dwukrotność wartości już wyodrębnionej części pierwiastka i odejmując za każdym razem od reszty kwadratu ostatnią znalezioną cyfrę i jej dziesięciokrotny iloczyn przez nazwany dzielnik.

16. 25 Siergiej:

    Proszę również o poprawienie tytułu książki „Arytmetyka ogólna czyli książka o syntezie i analizie arytmetycznej”

17. 26 Aleksander:

    Dziękuję za ciekawy materiał. Ale ta metoda wydaje mi się nieco bardziej skomplikowana niż jest to potrzebne na przykład dziecku w wieku szkolnym. Używam prostszej metody polegającej na rozwinięciu funkcji kwadratowej za pomocą dwóch pierwszych pochodnych. Jego formuła to:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, gdzie
    A1 jest liczbą całkowitą, której kwadrat jest najbliższy x;
    A2 to ułamek, licznik to x-A1, a mianownik to 2*A1.
    W przypadku większości liczb spotykanych na kursie szkolnym wystarczy to, aby uzyskać wynik z dokładnością do części setnej.
    Jeśli potrzebujesz dokładniejszego wyniku, weź
    A3 to ułamek, licznik to A2 do kwadratu, a mianownik to 2*A1+1.
    Oczywiście, żeby z niego skorzystać potrzebna jest tablica kwadratów liczb całkowitych, ale w szkole nie stanowi to problemu. Zapamiętanie tej formuły jest dość proste.
    Jednak dezorientuje mnie to, że A3 uzyskałem empirycznie w wyniku eksperymentów z arkuszem kalkulacyjnym i nie do końca rozumiem, dlaczego ten członek ma taki wygląd. Może możesz mi coś doradzić?

18. 27 Aleksander:

    Tak, też brałem pod uwagę te kwestie, ale diabeł tkwi w szczegółach. Ty piszesz:
    „ponieważ a2 i b różnią się niewiele.” Pytanie tylko, jak mało.
    Formuła ta sprawdza się dobrze na liczbach z drugiej dziesiątki i znacznie gorzej (nie do setnych, tylko do dziesiątych) na liczbach z pierwszej dziesiątki. Trudno zrozumieć, dlaczego tak się dzieje, bez użycia instrumentów pochodnych.

19. 28 Aleksander:

    Wyjaśnię, co uważam za zaletę proponowanej przeze mnie formuły. Nie wymaga to nie do końca naturalnego podziału liczb na pary cyfr, co, jak pokazuje doświadczenie, często jest wykonywane z błędami. Jego znaczenie jest oczywiste, ale dla osoby obeznanej z analizą jest banalne. Dobrze sprawdza się na liczbach od 100 do 1000, które są najczęściej spotykanymi liczbami w szkole.

20. 29 Aleksander:

    Przy okazji, poszperałem trochę i znalazłem dokładne wyrażenie dla A3 w mojej formule:
    A3=A22/2(A1+A2)

21. 30 Wasyl Strzyżak:

    W naszych czasach, przy powszechnym stosowaniu technologii komputerowej, kwestia wyodrębnienia kwadratowego rycerza z liczby nie jest tego warta z praktycznego punktu widzenia. Ale dla miłośników matematyki niewątpliwie interesujące będą różne opcje rozwiązania tego problemu. W programie szkolnym sposób tego liczenia bez użycia dodatkowych środków powinien odbywać się na równi z mnożeniem i długim dzieleniem. Algorytm obliczeniowy musi być nie tylko zapamiętany, ale także zrozumiały. Klasyczna metoda, przedstawiona w tym materiale do omówienia z ujawnieniem istoty, w pełni spełnia powyższe kryteria.
    Istotną wadą metody zaproponowanej przez Aleksandra jest zastosowanie tablicy kwadratów liczb całkowitych. Autor milczy na temat większości liczb spotykanych w szkolnym kursie. Jeśli chodzi o formułę, ogólnie podoba mi się ona ze względu na stosunkowo dużą dokładność obliczeń.

22. 31 Aleksander:

    za 30 Wasilij Strzyżak
    Nic nie milczałem. Tablica kwadratów ma wynosić aż 1000. Za moich czasów w szkole po prostu uczyli się tego na pamięć i było to we wszystkich podręcznikach do matematyki. Wyraźnie nazwałem ten przedział.
    Jeśli chodzi o technologię komputerową, nie jest ona wykorzystywana głównie na lekcjach matematyki, chyba że szczegółowo omawiany jest temat korzystania z kalkulatora. Kalkulatory są teraz wbudowane w urządzenia, których nie wolno używać podczas egzaminu Unified State Exam.

23. 32 Wasyl Strzyżak:

    Aleksandrze, dziękuję za wyjaśnienie!Pomyślałem, że dla proponowanej metody teoretycznie konieczne jest zapamiętanie lub skorzystanie z tabeli kwadratów wszystkich liczb dwucyfrowych.Wtedy dla liczb pierwiastkowych nie mieszczących się w przedziale od 100 do 10000 można zastosować technikę zwiększania lub zmniejszania ich o wymaganą liczbę rzędów wielkości poprzez przesuwanie przecinka dziesiętnego.

24. 33 Wasyl Strzyżak:

25. 39 ALEKSANDER:

    MÓJ PIERWSZY PROGRAM W JĘZYKU IAMB NA RADZIECKIEJ MASZYNIE „ISKRA 555” ZOSTAŁ NAPISANY W CELU WYCIĄGNIĘCIA pierwiastka kwadratowego z liczby przy użyciu algorytmu ekstrakcji kolumnowej! a teraz zapomniałem, jak go wyodrębnić ręcznie!