koordináta vonal. Pontok a koordináta egyenesen. Hogyan rajzoljunk koordináta egyenest Hogyan rajzoljunk koordináta egyenest

Tehát az egységszegmens és a tizedik, századik és így tovább részei lehetővé teszik, hogy eljussunk a koordináta egyenes azon pontjaihoz, amelyek a végső tizedes törteknek felelnek meg (mint az előző példában). Vannak azonban a koordináta egyenesen olyan pontok, amelyeket nem tudunk eltalálni, de amelyekhez tetszőlegesen közelíthetünk, egyre kisebbeket használva egy egységszakasz végtelen töredékéig. Ezek a pontok végtelen periodikus és nem periodikus tizedes törteknek felelnek meg. Mondjunk néhány példát. A koordinátavonal egyik pontja a 3.711711711…=3,(711) számnak felel meg. Ahhoz, hogy ezt a pontot megközelítsük, félre kell tenni 3 egységszegmenst, annak 7 tizedét, 1 századrészét, 1 ezrelékét, 7 tízezrelékét, 1 százezrelékét, 1 milliomod részét, és így tovább. És a koordinátavonal egy pontja a pi-nek felel meg (π=3,141592...).

Mivel a valós számok halmazának elemei mind olyan számok, amelyek véges és végtelen tizedes törtek formájában is felírhatók, ezért ebben a bekezdésben az összes fenti információ lehetővé teszi számunkra annak állítását, hogy a szám minden pontjához egy adott valós számot rendeltünk. a koordináta egyenes, miközben jól látható, hogy a különböző pontok különböző valós számoknak felelnek meg.

Az is teljesen nyilvánvaló, hogy ez a levelezés egytől egyig. Vagyis a koordinátaegyenes adott pontjához társíthatunk valós számot, de egy adott valós számmal megjelölhetjük a koordinátaegyen egy adott pontját is, amelyhez ez a valós szám tartozik. Ehhez el kell halasztanunk bizonyos számú egységszegmenst, valamint egyetlen szegmens tizedrészét, századrészét és így tovább az origóból a megfelelő irányba. Például a 703.405 szám a koordinátavonal egy pontjának felel meg, amely az origóból úgy érhető el, hogy 703 pozitív irányú egységszegmenset félreteszünk, 4 darab tizedet alkot, és 5 szakaszt, amelyek egység ezredrésze.

Tehát a koordinátaegyenes minden pontja egy valós számnak felel meg, és minden valós számnak megvan a helye egy pont formájában a koordinátaegyenesen. Ezért gyakran hívják a koordináta egyenest számsor.

A koordinátaegyenes pontjainak koordinátái

A koordinátavonal egy pontjának megfelelő számot hívjuk ennek a pontnak a koordinátája.

Az előző bekezdésben azt mondtuk, hogy minden valós szám a koordinátaegyenes egyetlen pontjának felel meg, ezért a pont koordinátája egyértelműen meghatározza ennek a pontnak a helyzetét a koordinátaegyenesen. Más szóval, egy pont koordinátája egyedileg határozza meg ezt a pontot a koordinátaegyenesen. Másrészt a koordinátavonal minden pontja egyetlen valós számnak felel meg - ennek a pontnak a koordinátájának.

Már csak az elfogadott jelölésről kell beszélni. A pont koordinátája zárójelben van a pontot jelölő betűtől jobbra. Például, ha az M pont koordinátája -6, akkor M(-6) -ot írhatunk, és az űrlap jelölése azt jelenti, hogy a koordinátaegyenes M pontjának van koordinátája.

Bibliográfia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: tankönyv 5 cellához. oktatási intézmények.
• Vilenkin N.Ya. stb. Matematika. 6. évfolyam: tankönyv oktatási intézmények számára.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 8 cellához. oktatási intézmények.

Lehetetlen azt állítani, hogy ismeri a matematikát, ha nem tudja, hogyan kell grafikonokat ábrázolni, egyenlőtlenségeket rajzolni egy koordinátaegyenesre és dolgozni koordinátatengelyekkel. A vizuális komponens a tudományban létfontosságú, mert képletek és számítások vizuális példái nélkül néha nagyon összezavarodhat. Ebben a cikkben látni fogjuk, hogyan kell dolgozni koordinátatengelyekkel, és megtanuljuk, hogyan lehet egyszerű függvénygrafikonokat felépíteni.

Alkalmazás

A koordinátavonal az alapja a legegyszerűbb típusú gráfoknak, amelyekkel a tanuló találkozik oktatási útján. Szinte minden matematikai témában alkalmazzák: sebesség- és időszámításnál, objektumok méretének vetítésénél és területük kiszámításánál, trigonometriában szinuszokkal és koszinuszokkal végzett munka során.

Az ilyen közvetlen vonal fő értéke a láthatóság. Mivel a matematika olyan tudomány, amely magas szintű absztrakt gondolkodást igényel, a grafikonok segítenek egy objektum valós világban való ábrázolásában. Hogyan viselkedik? A tér melyik pontján lesz néhány másodperc, perc, óra múlva? Mi mondható el róla más tárgyakkal összehasonlítva? Mekkora a sebessége egy véletlenszerűen kiválasztott időpontban? Hogyan jellemezhető a mozgása?

És okkal beszélünk a sebességről – gyakran a függvénygrafikonok jelenítik meg. Ezenkívül képesek megjeleníteni az objektumon belüli hőmérséklet vagy nyomás változásait, méretét, tájolását a horizonthoz képest. Így a fizikában is gyakran szükség van koordinátaegyenes felépítésére.

1D grafikon

Létezik a többdimenziós koncepció. Csak egy szám elegendő a pont helyének meghatározásához. Pontosan ez a helyzet a koordinátaegyenes használatával. Ha a tér kétdimenziós, akkor két szám szükséges. Az ilyen típusú diagramokat sokkal gyakrabban használják, és a cikkben mindenképpen megvizsgáljuk őket.

Mit láthatunk a tengelyen lévő pontok segítségével, ha csak egy? Láthatjuk az objektum méretét, térbeli helyzetét valamilyen „nullához”, azaz az origónak választott ponthoz képest.

A paraméterek időbeli változását nem lehet látni, mivel minden leolvasás egy adott pillanatban jelenik meg. Valahol azonban el kell kezdeni! Tehát kezdjük.

Hogyan készítsünk koordinátatengelyt

Először meg kell rajzolnia egy vízszintes vonalat - ez lesz a tengelyünk. A jobb oldalon „élesítse meg” úgy, hogy úgy nézzen ki, mint egy nyíl. Így jelezzük, hogy a számok milyen irányba fognak növekedni. Lefelé irányuló irányban a nyíl általában nincs elhelyezve. Hagyományosan a tengely jobbra van irányítva, ezért egyszerűen ezt a szabályt fogjuk követni.

Tegyünk egy nulla jelet, amely megjeleníti a koordináták origóját. Ez az a hely, ahonnan a visszaszámlálás történik, legyen szó méretről, súlyról, sebességről vagy bármi másról. A nulla mellett feltétlenül ki kell jelölnünk az úgynevezett osztási árat, azaz be kell vezetnünk egy mértékegységszabványt, aminek megfelelően bizonyos mennyiségeket a tengelyen ábrázolunk. Ezt meg kell tenni annak érdekében, hogy meg tudjuk találni a szakasz hosszát a koordináta egyenesen.

Egymástól egyenlő távolságra pontokat vagy „bevágásokat” teszünk a vonalra, és alájuk írunk 1, 2, 3-at és így tovább. És most minden készen áll. De a kapott ütemterv mellett még meg kell tanulnia dolgozni.

A koordinátaegyenes pontjainak típusai

A tankönyvekben javasolt rajzokra első pillantásra világossá válik: a tengelyen lévő pontok kitölthetők vagy nem. Szerinted ez véletlen? Egyáltalán nem! A "szilárd" pont a nem szigorú egyenlőtlenséghez használatos – egy olyan, amely "nagyobb vagy egyenlő, mint". Ha szigorúan korlátoznunk kell az intervallumot (például az "x" értéket vehet fel nulláról egyre, de nem tartalmazza), akkor "üreges" pontot használunk, ami valójában egy kis kör. a tengelyen. Megjegyzendő, hogy a hallgatók nem igazán szeretik a szigorú egyenlőtlenségeket, mert nehezebb velük dolgozni.

Attól függően, hogy milyen pontokat használ a diagramon, a megszerkesztett intervallumok is el lesznek nevezve. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalon nem szigorú, akkor szegmenst kapunk. Ha egyrészt kiderül, hogy „nyitott”, akkor azt félintervallumnak nevezik. Végül, ha egy egyenes egy részét mindkét oldalon üreges pontok határolják, akkor azt intervallumnak nevezzük.

Repülőgép

Amikor két egyenest építünk rá, már figyelembe vesszük a függvények grafikonjait. Tegyük fel, hogy a vízszintes vonal az időtengely, a függőleges vonal pedig a távolság. És most már meg tudjuk határozni, hogy a tárgy mekkora távolságot tesz meg egy perc vagy egy óra utazás alatt. Így a síkkal végzett munka lehetővé teszi egy objektum állapotváltozásának nyomon követését. Ez sokkal érdekesebb, mint egy statikus állapot feltárása.

Egy ilyen síkon a legegyszerűbb gráf egy egyenes, amely az Y(X) = aX + b függvényt tükrözi. Meghajlik a vonal? Ez azt jelenti, hogy az objektum a kutatás során megváltoztatja tulajdonságait.

Képzeld el, hogy egy épület tetején állsz, és egy követ tart a kinyújtott kezedben. Amikor elengeded, lerepül, és nulla sebességről indul. De egy másodperc alatt 36 kilométer per órás sebességet fog leküzdeni. A kő tovább fog gyorsulni, és ahhoz, hogy a grafikonon megrajzolhassa mozgását, több időpontban is meg kell mérnie a sebességét úgy, hogy a tengelyen a megfelelő helyeken pontokat állít be.

A vízszintes koordinátavonal jelölései alapértelmezés szerint X1, X2, X3, a függőlegesen pedig Y1, Y2, Y3 jelzések. Ezeket egy síkra vetítve és metszéspontokat találva megtaláljuk a kapott minta töredékeit. Ezeket egy vonallal összekötve a függvény grafikonját kapjuk. Leeső kő esetén a másodfokú függvény így fog kinézni: Y(X) = aX * X + bX + c.

Skála

Természetesen nem szükséges egész számokat beállítani az egyenes vonallal történő osztások mellé. Ha egy 0,03 méter/perc sebességgel kúszó csiga mozgását fontolgatja, állítsa be értékként a koordináta egyenesen. Ebben az esetben állítsa az osztásértéket 0,01 méterre.

Különösen kényelmes az ilyen rajzokat egy ketrecben lévő notebookban elkészíteni - itt azonnal láthatja, hogy van-e elég hely a lapon az ütemezéshez, hogy túllép-e a margókon. Nem nehéz kiszámítani az erejét, mert egy ilyen notebook cellájának szélessége 0,5 centiméter. Elvette – csökkentette a képet. A grafikon léptékének megváltoztatásával nem veszíti el és nem változtatja meg tulajdonságait.

Pont és egyenes koordináták

Ha egy leckében egy matematikai feladatot adunk meg, az különféle geometriai alakzatok paramétereit tartalmazhatja, oldalhosszak, kerületek, területek és koordináták formájában egyaránt. Ebben az esetben előfordulhat, hogy létre kell hoznia egy alakzatot, és hozzá kell rendelnie néhány adatot. Felmerül a kérdés: hogyan lehet megtalálni a szükséges információkat a koordinátavonalon? És hogyan építsünk figurát?

Például egy pontról beszélünk. Ekkor egy nagybetű jelenik meg a feladat feltételében, és több szám jelenik meg zárójelben, leggyakrabban kettő (ez azt jelenti, hogy kétdimenziós térben fogunk számolni). Ha három szám van zárójelben, pontosvesszővel vagy vesszővel elválasztva, akkor ez egy háromdimenziós tér. Mindegyik érték egy koordináta a megfelelő tengelyen: először a vízszintes (X), majd a függőleges (Y) mentén.

Emlékszel, hogyan kell szegmenst rajzolni? Átadtad a geometriát. Ha két pont van, akkor közöttük vonal húzható. A koordinátáikat zárójelben jelöljük, ha a feladatban szegmens jelenik meg. Például: A(15, 13) - B(1, 4). Egy ilyen vonal felépítéséhez meg kell találni és meg kell jelölni a pontokat a koordinátasíkon, majd összekapcsolni őket. Ez minden!

És mint tudod, bármilyen sokszög megrajzolható szegmensekkel. Probléma megoldódott.

Számítások

Tegyük fel, hogy van olyan objektum, amelynek helyzetét az X tengely mentén két számmal jellemezzük: a (-3) koordinátájú pontnál kezdődik és (+2) pontban ér véget. Ha meg akarjuk tudni ennek az objektumnak a hosszát, akkor a kisebb számot ki kell vonnunk a nagyobb számból. Ne feledje, hogy a negatív szám elnyeli a kivonás előjelét, mert "a mínusz szor a mínusz egyenlő pluszral." Tehát összeadjuk (2+3), és 5-öt kapunk. Ez a szükséges eredmény.

Egy másik példa: megadjuk az objektum végpontját és hosszát, de a kezdőpontot nem (és meg kell találnunk). Legyen az ismert pont helyzete (6), a vizsgált objektum mérete pedig (4). A hosszúságot a végső koordinátából kivonva megkapjuk a választ. Összesen: (6 - 4) = 2.

Negatív számok

A gyakorlatban gyakran szükséges negatív értékekkel dolgozni. Ebben az esetben a koordinátatengely mentén balra haladunk. Például egy 3 centiméter magas tárgy lebeg a vízben. Egyharmada folyadékba, kétharmada levegőbe merül. Ezután a vízfelületet tengelynek választva a legegyszerűbb számtani számításokkal két számot kapunk: az objektum felső pontjának koordinátája (+2), az alsóé pedig -1 centiméter.

Könnyen belátható, hogy egy sík esetében a koordináta egyenes négynegyede van. Mindegyiknek megvan a maga száma. Az első (jobb felső) részben olyan pontok lesznek, amelyeknek két pozitív koordinátája van, a másodikban - a bal felső sarokban - az X tengely értékei negatívak, az Y tengely mentén pedig pozitívak. A harmadik és negyedik az óramutató járásával ellentétes irányban tovább számol.

Fontos tulajdonság

Tudod, hogy egy vonal végtelen számú pontként ábrázolható. A tengely minden irányában tetszőleges számú értéket megtekinthetünk, de ismétlődőkkel nem fogunk találkozni. Naivnak és érthetőnek tűnik, de ez az állítás egy fontos tényből fakad: minden szám egy és csak egy pontnak felel meg a koordinátaegyenesen.

Következtetés

Ne feledje, hogy minden tengelyt, figurát és lehetőség szerint grafikát vonalzóra kell építeni. A mértékegységeket nem véletlenül találta ki az ember – ha hibát követ el a rajzolás során, fennáll annak a veszélye, hogy olyan képet fog látni, amilyennek nem kellett volna.

Legyen óvatos és pontos a grafikonok és a számítások elkészítésekor. Mint minden iskolában tanult tudomány, a matematika is szereti a pontosságot. Tegyen egy kis erőfeszítést, és a jó jegyek nem tartanak sokáig.

Az óra témája:

« Koordináták egy egyenesen»

Az óra célja:

ismertesse meg a tanulókkal a koordinátaegyenest és a negatív számokat.

Az óra céljai:

Képzés: ismertesse meg a tanulókkal a koordinátaegyenest és a negatív számokat.

Fejlesztő: logikus gondolkodás fejlesztése, látókör szélesítése.

Nevelés: kognitív érdeklődés fejlesztése, információs kultúra nevelése.

Tanterv:

Szervezési pillanat. A tanulók és a tanórára való felkészültségük ellenőrzése.

Alapvető ismeretek felfrissítése. A hallgatók szóbeli felmérése a tárgyalt témában.

Új anyag magyarázata.

4. A tanult anyag konszolidációja.

5. Összegzés. A leckében tanultak összefoglalása. Diákok kérdései.

6. Következtetések. Az óra főbb pontjainak összefoglalása. Tudásértékelés. Jelek elhelyezése.

7. Házi feladat. Önálló munkavégzés tanulók tananyaggal.

Felszerelés: kréta, tábla, csúszdák.

Kibővített vázlatterv

Színpadi név és tartalom

Tevékenység

Tevékenység

hallgatók

színpadra állítom

Szervezési pillanat. Üdvözlet.

A napló kitöltése.

köszönti az osztályt, a hiányzók névsorát az osztályfőnök adja.

köszönj a

tanár

II szakasz

Az alapismeretek frissítése.

Az ókori görög tudós, Pythagoras azt mondta: "A számok uralják a világot." A számoknak ebben a világában élünk, és iskolás korunkban megtanulunk különböző számokkal dolgozni.

1 Milyen számokat ismerünk már a mai órán?

2 Milyen problémák megoldásában segítenek ezek a számok?

Ma áttérünk a "Racionális számok" című tankönyvünk második fejezetének tanulmányozására, ahol bővítjük a számokkal kapcsolatos ismereteinket, majd a teljes "Racionális számok" fejezet tanulmányozása után megtanuljuk, hogyan kell végrehajtani az összes ismert műveletet. velük, és kezdje a téma koordináta vonalával.

1. természetes, közönséges törtek, tizedes törtek

2.összeadás, kivonás, szorzás, osztás, számból tört, törtéből szám keresése, különféle egyenletek és feladatok megoldása

szakasz III

Új anyag magyarázata.

Vegyük az AB egyenest, és osszuk fel az O ponttal két további sugárra - OA és OB. Kijelölünk egy szakaszt egy egyenesen, és az O pontot vesszük origónak és iránynak.

Definíciók:

Koordinátavonalnak nevezzük azt az egyenest, amelyen egy referenciapont, egy egységszakasz és egy irány van kiválasztva.

Azt a számot, amely egy pont helyzetét mutatja egy egyenesen, a pont koordinátájának nevezzük.

Hogyan készítsünk koordináta egyenest?

rajzoljon egy közvetlen

állítson be egyetlen szegmenst

jelezze az irányt

A koordinátavonalat többféleképpen megrajzolhatjuk: vízszintesen, függőlegesen és a horizonthoz képest bármilyen más szögben, és van eleje, de vége nincs.

1. Feladat. Az alábbi sorok közül melyik nem koordináta? (dia)

Rajzoljunk egy koordinátavonalat, jelöljük meg a koordináták origóját, egy egységszakaszt és tegyük félre az 1,2,3,4 és így tovább balra és jobbra pontokat.

Nézzük meg a kapott koordináta egyenest. Miért kényelmetlen egy ilyen egyenes vonal?

Az origótól jobbra eső irányt pozitívnak nevezzük, az egyenes irányát pedig nyíl jelzi. Az O ponttól jobbra található számokat pozitívnak nevezzük. A negatív számok az O ponttól balra helyezkednek el, az O ponttól balra eső irányt pedig negatívnak nevezzük (a negatív irány nincs feltüntetve). Ha a koordinátavonal függőlegesen helyezkedik el, akkor fent az origótól - pozitív számok, lent az origótól - negatív. A negatív számokat „-” jellel írjuk. Ezt olvasták: „Mínusz egy”, „Mínusz kettő”, „Mínusz három” stb. A 0 szám – az origó sem nem pozitív, sem nem negatív. Elválasztja a pozitív és negatív számokat.

Az egyenletek megoldása és az "adósság" fogalma a kereskedési számításokban negatív számok megjelenéséhez vezetett.

A negatív számok sokkal később jelentek meg, mint a természetes számok és a közönséges törtek. Az első információ a negatív számokról a kínai matematikusok körében található az ie 2. században. időszámításunk előtt e. A pozitív számokat akkor tulajdonként, a negatív számokat pedig adósságként, hiányként értelmezték. Európában ezer évvel később jött a felismerés, és még akkor is sokáig „hamisnak”, „képzetesnek” vagy „abszurdnak” nevezték a negatív számokat. A 17. században a negatív számok vizuális geometriai ábrázolást kaptak a számegyenesen.

Példákat is adhat koordinátavonalra: hőmérő, hegycsúcsok és mélyedések összehasonlítása (a tengerszintet nullának vesszük), távolság a térképen, liftakna, házak, daruk.

Gondol tudsz más példát koordinátavonalra?

Feladatok.

2. feladat. Nevezd meg a pontok koordinátáit!

3. feladat. Pontokat ábrázolni egy koordináta egyenesen

4. feladat . Rajzolj egy vízszintes vonalat, és jelöld meg rajta az O pontot. Jelöld ezen az egyenesen az A, B, C, K pontokat, ha ismert, hogy:

A értéke 9 cella az O-tól jobbra;

B jelentése 6,5 cella az O-tól balra;

C 3½ szóköz az O-tól jobbra;

K 3 szóközzel az O-tól balra .

Alapjegyekben rögzítve.

Figyelj, egészítsd ki.

Fejezze be a feladatot a füzetében, majd fejtse ki hangosan a válaszait.

Rajzolj, jelöld meg a koordináták origóját egyetlen szakaszon

Egy ilyen egyenes kényelmetlen, mivel ugyanaz a szám az egyenes 2 pontjának felel meg.

Történelem korszakunk előtt és korszakunk.

IV szakasz

A tanult anyag konszolidációja.

1. Mi az a koordinátaegyenes?

2. Hogyan építsünk koordináta egyenest?

1. Koordinátavonalnak nevezzük azt az egyenest, amelyen referenciapontot választunk, egységnyi szakaszt és irányt

2) húzz egy egyenest

jelölje meg a visszaszámlálás kezdetét

állítson be egyetlen szegmenst

jelezze az irányt

V. szakasz

Összegzés

Mi újat tanultunk ma?

Koordinátaegyenes és negatív számok.

VI szakasz

Tudásértékelés. Jelek elhelyezése.

Házi feladat.

Tegyen fel kérdéseket a tárgyalt témával kapcsolatban (tudja a válaszokat rájuk)

koordináta vonal.

Vegyünk egy egyenest. Nevezzük x egyenesnek (1. ábra). Ezen az egyenesen egy O referenciapontot választunk, és ennek az egyenesnek a pozitív irányát is jelöljük nyíllal (2. ábra). Így az O ponttól jobbra pozitív számok lesznek, balra pedig negatívak. Kiválasztjuk a léptéket, vagyis az egyenes szakasz méretét, amely egyenlő eggyel. Megkaptuk koordináta vonal(3. ábra). Minden szám egy adott pontnak felel meg ezen a vonalon. Ezenkívül ezt a számot a pont koordinátájának nevezik. Ezért az egyenest koordináta egyenesnek nevezik. Az O referenciapontot pedig origónak nevezzük.

Például az ábrán. 4 A B pont 2 távolságra van az origótól jobbra. A D pont 4 távolságra van az origótól balra. Ennek megfelelően a B pont koordinátája 2, a D pont pedig -4. Maga az O pont referenciapontként 0 (nulla) koordinátájú. Általában így írják: O(0), B(2), D(-4). És hogy ne mondjuk állandóan „D pont ilyen és ilyen koordinátákkal”, egyszerűbben mondják: „0 pont, 2 pont, -4 pont”. És ebben az esetben elég magát a pontot kijelölni a koordinátájával (5. ábra).

A koordinátaegyenes két pontjának koordinátáinak ismeretében mindig ki tudjuk számítani a köztük lévő távolságot. Tegyük fel, hogy van két A és B pontunk a és b koordinátákkal. Ekkor a köztük lévő távolság |a - b| lesz. |a - b| rekord "a mínusz b modulo" vagy "az a és b számok különbségének modulusa".

Mi az a modul?

Algebrailag az x modulusa nemnegatív szám. Jelölve: |x|. Sőt, ha x > 0, akkor |x| = x. Ha x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

Geometriailag az x szám modulusa a pont és az origó közötti távolság. És ha van két pont x1 és x2 koordinátájú, akkor |x1 - x2| az e pontok közötti távolság.

A modult is hívják abszolút érték.

Mit mondhatunk még, ha a koordináta egyenesről van szó? Természetesen a numerikus intervallumokról.

A numerikus intervallumok típusai.

Tegyük fel, hogy két a és b számunk van. Ráadásul b > a (b nagyobb, mint a). A koordináta egyenesen ez azt jelenti, hogy a b pont az a ponttól jobbra van. Cseréljük le b-t az egyenlőtlenségünkben az x változóval. Azaz x > a. Ekkor x minden szám nagyobb, mint a. A koordinátaegyenesen ezek rendre az a ponttól jobbra lévő összes pont. A vonal ezen része árnyékolt (6. ábra). Az ilyen ponthalmazt ún nyitott gerenda, és ezt a numerikus intervallumot (a; +∞) jelöljük, ahol a +∞ jelet „plusz végtelenként” olvassuk. Figyeljük meg, hogy maga az a pont nem szerepel ebben az intervallumban, és világos kör jelzi.

Tekintsük azt az esetet is, amikor x ≥ a. Ekkor x minden szám nagyobb vagy egyenlő a-val. A koordinátaegyenesen ezek mind a jobb oldali pontok, valamint maga az a pont (a 7. ábrán az a pontot már sötét kör jelzi). Az ilyen ponthalmazt ún zárt gerenda(vagy csak egy sugár), és ezt a numerikus intervallumot jelöli.

A koordináta egyenest is hívják koordináta tengely. Vagy csak az x tengely.

Az 1. fejezet végén elmondtuk, hogy az algebra során neked és nekem meg kell tanulnunk leírni a valós helyzeteket szavakkal (verbális modell), algebrailag (algebrai vagy ahogy a matematikusok szokták mondani, analitikus modell), grafikusan (grafikus). vagy geometriai modell). A teljes első rész tankönyv(1-5. fejezet) annak a matematikai nyelvnek a tanulmányozásának szentelték, amellyel az analitikai modelleket írják le.

A 6. fejezettől kezdve nemcsak új analitikai, hanem grafikus (geometriai) modelleket is tanulmányozunk. Koordinátavonal segítségével építik fel, Koordináta sík. Ezek a fogalmak egy kicsit ismerősek számodra az 5-6. osztályos matematika tanfolyamról.

Egyenes /, amelyen a kezdőbetű pont O (referenciapont), skála (egyetlen vonalszakasz, azaz azt a szakaszt, amelynek hosszát 1)-nek tekintjük és a pozitív irányt koordinátaegyenesnek, vagy koordinátatengelynek nevezzük (7. ábra); Az "x-tengely" kifejezést is használják.

Minden szám a vonal egyetlen pontjának felel meg. Például a 3,5-ös szám az M pontnak felel meg (8. ábra), amelyet eltávolítunk az origóból, azaz az O pontból 3,5-tel egyenlő távolságra (adott skálán), és elhalasztjuk az O ponttól. adott (pozitív) irányba. A -4 szám a P pontnak felel meg (lásd 8. ábra), amelyet az O pontból 4-gyel egyenlő távolságra távolítunk el, és az O ponttól negatív irányba, azaz az adottval ellentétes irányba toljuk el. egy.

Ennek fordítva is igaz: a koordinátaegyenes minden pontja egyetlen számnak felel meg.

Például a K pont, amely pozitív (adott) irányban 5,4-re van az O ponttól, az 5,4-es számnak felel meg, az N pont pedig, amely negatív irányban 2,1-re van az O ponttól, a -2,1 számnak felel meg (lásd az ábrát). . 8).

Ezeket a számokat a megfelelő pontok koordinátáinak nevezzük. Tehát az ábrán. 8 K pont koordinátája 5,4; pont P - koordináta -4; pont M - koordináta 3,5; N pont - koordináta -2,1; pont O - koordináta 0 (nulla). Innen a név - "koordinátavonal". Képletesen szólva, a koordinátavonal egy sűrűn lakott ház, ennek a háznak a lakói pontok, a pontok koordinátái pedig azoknak a lakásoknak a száma, amelyekben a pontlakók laknak.

Miért van szükségünk koordináta egyenesre? Miért jellemezzünk egy pontot számmal, egy számot pedig ponttal? Van ennek valami haszna? Igen van.
Legyen például két pont adott a koordináta egyenesen: A - o koordinátával és B - b koordinátával (általában ilyenkor rövidebben írják:
A(a), B(b)). Tegyük fel, hogy meg kell találnunk az A és B pont közötti d távolságot. Kiderül, hogy ahelyett, hogy megtennénk geometriai mérések, csak használja a d \u003d (a - b) kész képletet (6. osztályban tanulta).
Tehát a 8. ábrán:

Az érvelés tömörsége érdekében a matematikusok megállapodtak abban, hogy a „koordinátaegyenes A pontja, amelynek koordinátája a” hosszú kifejezés helyett egy rövid kifejezést használnak: „a pont”, és ennek megfelelően a rajzon az alatta lévő pontot. a mérlegelést a koordinátája jelöli. Tehát a 9. ábra egy koordinátavonalat mutat, amelyen pontok vannak jelölve - 4; - 2,1; 0; egy; 3,5; 5.4.

A koordinátavonal lehetőséget ad arra, hogy szabadon váltsunk algebrai nyelvről geometriai nyelvre és fordítva. Legyen például az a szám kisebb, mint a b. Az algebrai nyelvben ezt így írják: a< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Mindazonáltal mind az algebrai, mind a geometriai nyelvek ugyanannak a matematikai nyelvnek a változatai, amelyet tanulmányozunk.

Ismerkedjünk meg a matematikai nyelv több olyan elemével, amelyek a koordinátaegyeneshez kapcsolódnak.

1. Legyen egy a pont a koordináta egyenesen. Tekintsük az a ponttól jobbra lévő egyenesen lévő összes pontot, és jelöljük a megfelelő részt koordinátavonal-sraffozással (10. ábra). Ezt a ponthalmazt (számokat) nyitott sugárnak nevezik, és (a, + oo) jelöli, ahol a + oo jel így szól: „plusz végtelen”; az x > a egyenlőtlenség jellemzi (dz alatt a nyaláb tetszőleges pontját értjük).

Kérjük, vegye figyelembe: az a pont nem tartozik nyitott gerendához, de ha ezt a pontot egy nyitott gerendához kell rögzíteni, akkor írja be x\u003e a vagy, és ennek megfelelően fesse át a b pontot a rajzon (13. ábra);

(-oo, b) esetén a sugár kifejezést is használjuk.

3. Legyen a és b pont a koordináta egyenesen, és< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

Ezt a számhalmazt intervallumnak nevezzük, és (a, b)-vel jelöljük.

Szigorú kettős egyenlőtlenség jellemzi a< х < b (под х понимается любая точка интервала).

Figyelem: az (a, b) intervallum két nyitott sugár (-oo, b) és (a, + oo) metszéspontja (közös része) – ez jól látható a 15. ábrán.

Ha az (a, b) intervallumhoz hozzáadjuk a végeit, azaz az a és b pontokat, akkor az [a, b] szakaszt kapjuk (16. ábra),

amelyet nem szigorú kettős egyenlőtlenség jellemez a< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

Az [a, b] szakasz két sugár (-oo, b) metszéspontja (közös része), és és amelyet kettős egyenlőtlenségek jellemeznek: a< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

Tehát a matematikai nyelv öt új fogalmát vezettük be: sugár, nyitott sugár, intervallum, szakasz, félintervallum. Van egy általános kifejezés is: numerikus hézagok.

Maga a koordinátaegyenes is numerikus intervallumnak számít; a (-oo, +oo) jelölést használjuk rá.

Matematika 7. osztálynak ingyenes letöltés, óravázlatok, iskolai készülődés online

A. V. Pogorelov, Geometria 7-11. osztályosoknak, Tankönyv oktatási intézmények számára