A numerikus sorozat határa. Hogyan bizonyítható, hogy a sorozat konvergál? Konvergens sorozatok alapvető tulajdonságai Sorozattípusok

Sorozat- és függvényhatárok meghatározása, határértékek tulajdonságai, első és második figyelemre méltó határértékek, példák.

állandó szám a hívott határ sorozatok(x n) ha bármely tetszőlegesen kis ε > 0 pozitív számhoz létezik olyan N szám, hogy minden érték x n, amelyre n>N, elégítsük ki az egyenlőtlenséget

Írja fel a következőképpen: vagy x n → a.

A (6.1) egyenlőtlenség ekvivalens a kettős egyenlőtlenséggel

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, valamilyen n>N számból kiindulva, az (a-ε , a+ε) intervallumon belül helyezkednek el, azaz. esnek a pont bármely kis ε-szomszédságába a.

Egy határértékkel rendelkező sorozatot nevezünk összetartó, másképp - divergens.

A függvény határának fogalma a sorozat határértéke fogalmának általánosítása, mivel a sorozat határértéke egy egész argumentum x n = f(n) függvényének határértékének tekinthető. n.

Legyen adott egy f(x) függvény, és legyen a - határpont ennek a függvénynek a definíciós tartománya D(f), azaz. olyan pont, amelynek bármely szomszédságában a D(f) halmaz különböző pontjai vannak a. Pont a tartozhat vagy nem a D(f) halmazba.

1. definíció. Az A konstans számot hívják határ funkciókat f(x) nál nél x→ a if bármely (x n ) argumentumérték sorozathoz, amely arra hajlik a, a megfelelő sorozatok (f(x n)) azonos A határértékkel rendelkeznek.

Ezt a meghatározást hívják függvény határának meghatározása Heine szerint, vagy " a szekvenciák nyelvén”.

2. definíció. Az A konstans számot hívják határ funkciókat f(x) nál nél x→a, ha egy tetszőleges, tetszőlegesen kis ε pozitív szám megadásával δ >0 (ε-től függően) úgy találjuk, hogy mindenre x, a szám ε-szomszédságában fekszik a, azaz számára x az egyenlőtlenség kielégítése
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Ezt a meghatározást hívják egy függvény határának meghatározása Cauchy szerint, vagy „az ε - δ nyelven"

Az 1. és 2. definíció egyenértékű. Ha az f(x) mint x → a függvény rendelkezik határ egyenlő A-val, ezt így írjuk

Abban az esetben, ha az (f(x n)) sorozat korlátlanul nő (vagy csökken) bármely közelítési módszernél x a határodig a, akkor azt mondjuk, hogy az f(x) függvény rendelkezik végtelen határ,és így írd le:

Olyan változót (azaz sorozatot vagy függvényt), amelynek határértéke nulla, hívunk végtelenül kicsi.

Olyan változót hívunk, amelynek határértéke egyenlő a végtelennel végtelenül nagy.

A határ gyakorlati meghatározásához használja a következő tételeket.

1. tétel . Ha minden határ létezik

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Megjegyzés. A 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ formájú kifejezések határozatlanok, például két végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy mennyiség aránya, és az ilyen határérték megtalálását „bizonytalansági feltárásnak” nevezzük.

2. tétel.

azok. konstans kitevővel át lehet lépni a fok alapján lévő határértékre, különösen,

3. tétel.

(6.11)

ahol e» 2,7 a természetes logaritmus alapja. A (6.10) és (6.11) képleteket az első figyelemre méltó határnak és a második figyelemre méltó határnak nevezzük.

A (6.11) képlet következményeit a gyakorlatban is használják:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

különösen a határ

Ha x → a és egyben x > a, akkor x →a + 0-t írjon. Ha konkrétan a = 0, akkor a 0+0 szimbólum helyett +0-t írjon. Hasonlóképpen, ha x→a és egyben x és ennek megfelelően nevezik el. jobb határés bal határ funkciókat f(x) azon a ponton a. Ahhoz, hogy az f(x) függvény határértéke x→ a formában létezzen, szükséges és elegendő, hogy . Az f(x) függvényt meghívjuk folyamatos azon a ponton x 0 ha limit

(6.15)

A (6.15) feltétel a következőképpen írható át:

vagyis a függvény előjele alatti határértékre való áthaladás akkor lehetséges, ha az adott pontban folytonos.

Ha a (6.15) egyenlőség sérül, akkor ezt mondjuk nál nél x = xo funkció f(x) Megvan rés. Tekintsük az y = 1/x függvényt. Ennek a függvénynek a tartománya a halmaz R, kivéve x = 0. Az x = 0 pont a D(f) halmaz határpontja, mivel bármelyik szomszédságában, azaz minden 0 pontot tartalmazó nyitott intervallum tartalmaz D(f) pontokat, de maga nem tartozik ebbe a halmazba. Az f(x o)= f(0) érték nincs definiálva, ezért a függvénynek megszakadása van az x o = 0 pontban.

Az f(x) függvényt meghívjuk folyamatos a jobb oldalon egy ponton x o ha határ

és folyamatos a bal oldalon egy ponton x o ha határ

Egy függvény folytonossága egy pontban x o egyenlő a folytonosságával ezen a ponton a jobb és a bal oldalon egyaránt.

Ahhoz, hogy egy függvény folytonos legyen egy pontban x o, például a jobb oldalon először is szükség van arra, hogy legyen véges határérték , másodszor, hogy ez a határ egyenlő legyen f(x o)-val. Ezért, ha e két feltétel közül legalább az egyik nem teljesül, akkor a függvényben rés lesz.

1. Ha a határ létezik, és nem egyenlő f(x o-val), akkor ezt mondják funkció f(x) azon a ponton xo-nak van első fajta törés, vagy ugrás.

2. Ha a határ +∞ vagy -∞ vagy nem létezik, akkor azt mondják, hogy in pont x o a funkciónak szünet van második fajta.

Például az y = ctg x mint x → +0 függvény határértéke +∞ , ami azt jelenti, hogy az x=0 pontban másodlagos folytonossági hiánya van. Függvény y = E(x) (egész része x) az egész abszcisszákkal rendelkező pontokban az első típusú megszakadások vagy ugrások vannak.

Olyan függvényt hívunk, amely az intervallum minden pontjában folytonos folyamatos ban ben . A folytonos függvényt tömör görbe ábrázolja.

Egyes mennyiségek folyamatos növekedésével kapcsolatos számos probléma a második figyelemre méltó határhoz vezet. Ilyen feladatok például: a kamatos kamat törvénye szerinti járulék növekedése, az ország népességének növekedése, radioaktív anyag bomlása, baktériumok szaporítása stb.

Fontolgat példa Ya. I. Perelman, amely megadja a szám értelmezését e a kamatos kamat problémájában. Szám e van egy határ . A takarékpénztárakban évente kamatpénzt adnak az állótőkéhez. Ha gyakrabban jön létre a kapcsolat, akkor a tőke gyorsabban növekszik, mivel nagy összeg vesz részt a kamatképzésben. Vegyünk egy tisztán elméleti, erősen leegyszerűsített példát. Tegyen a bank 100 den-t. egységek évi 100%-os arányban. Ha a kamatozó pénzt csak egy év múlva adják az alaptőkéhez, akkor addigra 100 den. egységek 200 den lesz. Most lássuk, mivé lesz 100 den. egységek, ha félévente kamatpénzt adnak az alaptőkéhez. Fél év után 100 den. egységek nő 100 × 1,5 = 150, és további hat hónap múlva - 150 × 1,5 = 225 (pénzegység). Ha az év 1/3-án történik a csatlakozás, akkor egy év múlva 100 den. egységek 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (den. egység) lesz. A kamatpénz hozzáadásának időkeretét megnöveljük 0,1 évre, 0,01 évre, 0,001 évre stb. Aztán 100 denből. egységek egy évvel később:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. egység),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. egység),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. egység).

A csatlakozási kamat feltételeinek korlátlan csökkentésével a felhalmozott tőke nem növekszik a végtelenségig, hanem közelít egy körülbelül 271-nek megfelelő határt. Az évi 100%-ra helyezett tőke akkor sem nőhet 2,71-szeresnél többet, ha a felhalmozott kamat minden másodpercben hozzáadódik a fővároshoz, mert a határ

Példa 3.1. Egy számsorozat határértékének definíciójával bizonyítsuk be, hogy az x n =(n-1)/n sorozatnak 1-gyel egyenlő határa van.

Megoldás. Be kell bizonyítanunk, hogy bármilyen ε > 0 értéket veszünk is fel, létezik egy N természetes szám, úgy, hogy minden n > N esetén az |x n -1|< ε

Tetszőleges ε > 0. Mivel x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, akkor N megtalálásához elegendő az 1/n egyenlőtlenséget megoldani.<ε. Отсюда n>1/ε és ezért N az 1/ε egész részeként N = E(1/ε). Ezzel bebizonyítottuk, hogy a határ .

Megoldás. Alkalmazza a határösszeg tételt, és keresse meg az egyes tagok határértékét. Mivel n → ∞, az egyes tagok számlálója és nevezője a végtelen felé tart, és a hányadoshatártételt nem tudjuk közvetlenül alkalmazni. Ezért először átalakulunk x n, az első tag számlálóját és nevezőjét osztva ezzel n 2, és a második n. Ezután a hányadoshatár-tételt és az összeghatár-tételt alkalmazva azt kapjuk, hogy:

Példa 3.3. . Megtalálja .

Itt a fokhatártételt használtuk: egy fok határa egyenlő az alap határának fokával.

Példa 3.4. Megtalálja ( ).

Megoldás. A differenciahatártételt lehetetlen alkalmazni, mivel ∞-∞ alakú bizonytalanságunk van. Alakítsuk át az általános kifejezés képletét:

Példa 3.5. Adott egy f(x)=2 1/x függvény. Bizonyítsuk be, hogy a határ nem létezik.

Megoldás. Egy függvény határértékének 1-es definícióját használjuk sorozatként. Vegyünk egy sorozatot ( x n ), amely 0-hoz konvergál, azaz. Mutassuk meg, hogy az f(x n)= érték eltérően viselkedik a különböző sorozatoknál. Legyen x n = 1/n. Nyilván akkor a határ Válasszunk most mint x n egy közös tagú sorozat x n = -1/n, amely szintén nullára hajlik. Ezért nincs korlát.

Példa 3.6. Bizonyítsuk be, hogy a határ nem létezik.

Megoldás. Legyen x 1 , x 2 ,..., x n ,... sorozat, amelyre
. Hogyan viselkedik az (f(x n)) = (sin x n ) sorozat különböző x n → ∞ esetén

Ha x n \u003d p n, akkor sin x n \u003d sin (p n) = 0 mindenre nés korlátozza az If
xn=2 p n+ p /2, akkor sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 mindenre nés innen a határ. Így nem létezik.

A számsorozatok végtelen számhalmazok. Példák sorozatokra: egy végtelen geometriai progresszió összes tagjának sorozata, közelítő értékek sorozata ( x 1 = 1, x 2 = 1,4, x 3= 1,41, ...), a reguláris kerületek sorozata n-gonok egy adott körbe írva. Finomítsuk a numerikus sorozat fogalmát.

1. definíció. Ha minden szám n az 1, 2, 3,... természetes számsorból, P,... valós számot rendeltek hozzá x p, akkor a valós számok halmaza

x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , …(2.1)

hívott számsor, vagy csak egy sorozat. .

Számok x 1, x 2, x 3, ..., x p,... hívni fog elemek, vagy tagjai sorozatok (2.1), szimbólum x p - Tábornok egy elem vagy egy sorozat tagja, és a szám P -övé szám. Röviden, a sorozatot (2.1) a szimbólum jelöli (x p ). Például a karakter (1/ n) számsort jelöl

Más szavakkal, egy sorozat felfogható számozott elemek végtelen halmazaként vagy számpárok halmazaként. (p, x p), amelyben az első szám az 1, 2, 3, ... egymást követő értékeket veszi fel. Egy sorozatot adottnak tekintünk, ha bármely elemének megszerzésének módszere van megadva. Például a képlet x n = -1 + (-1)n a 0, 2, 0, 2,... sorozatot határozza meg.

Geometriailag a sorozatot a numerikus tengelyen olyan pontok sorozataként ábrázoljuk, amelyek koordinátái megegyeznek a sorozat megfelelő tagjaival. ábrán 2.1 mutatja a sorrendet ( x n} = {1/n) a számegyenesen.

A konvergens sorozat fogalma

2. definíció. Szám a hívott sorozathatár{x n} , ha bármilyen pozitív számra ε van egy szám N, ez mindenkinek n > N az egyenlőtlenséget

Egy határértékkel rendelkező sorozatot nevezünk összetartó. Ha a sorozat határértéke egy szám a, akkor ez így van kiírva:

Olyan sorozatot hívunk, amelynek nincs határa divergens.

3. definíció. Egy sorozat, amelynek határértéke egy szám a= 0-t hívunk végtelenül kicsi sorozat.

Megjegyzés 1. Legyen a sorozat ( x n) korlátja a szám a. Ezután a sorozat (α n} = {x n - a) végtelenül kicsi, azaz. bármilyen elemet x p konvergens sorozat határértékkel a, mint

ahol α n- egy infinitezimális sorozat eleme (α n} .

2. megjegyzés. Az egyenlőtlenség (2.2) egyenlő az egyenlőtlenségekkel (lásd egy szám modulusának 4. tulajdonságát az 1.5. §-ból)

Ez azt jelenti, hogy at n > N a sorozat összes eleme ( x n) találhatók ε-szomszédság pontokat a(2.2. ábra), és a számot Nε értéke határozza meg.

Érdekes ennek a definíciónak a geometriai értelmezését adni. Mivel a sorozat egy végtelen számhalmaz, akkor ha konvergál, a pont bármely ε-szomszédságában a a valós egyenesen végtelen számú pont van - ennek a sorozatnak az elemei, míg az ε-szomszédságon kívül véges számú elem található. Ezért egy sorozat határértékét gyakran nevezik sűrűsödési pont.

3. megjegyzés. A korlátlan sorozatnak nincs végső határ. Azonban lehet végtelen limit, amely a következő formában van írva:

Ha egyidejűleg egy bizonyos számtól kezdve a sorozat minden tagja pozitív (negatív), akkor írjon

Ha egy ( x n) egy infinitezimális sorozat, akkor (1 /x p} - végtelen sorozat amelynek végtelen határa van a (2.3) értelmében, és fordítva.

Adjunk példákat konvergens és divergens sorozatokra.

1. példa Mutassuk meg egy sorozat határértékének definíciójával, hogy .

Megoldás. Vegyünk bármilyen ε > 0 számot. Mivel

akkor a (2.2) egyenlőtlenség fennállásához elegendő az 1 / ( n + 1) < ε, откуда получаем n> (1 - ε) / ε. Elég elvenni N= [(1 - ε)/ε] (a szám egész része (1 - ε)/ ε)* úgy, hogy az egyenlőtlenség |x p - 1| < ε выполнялосьпривсех n > N.

* Szimbólum [ a] a szám egész részét jelenti a, azaz legnagyobb egész szám nem haladja meg a. Például =2, =2, =0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24.

2. példa Mutasd meg, hogy a sorozat ( x n} = (-1)n, vagy -1, 1, -1, 1,... nincs korlátja.

Megoldás. Valójában bármilyen számot is feltételezünk határként: 1 vagy -1, ε-vel< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x p: minden páratlan elem -1, a páros elem 1.

A konvergens sorozatok alapvető tulajdonságai

Mutassuk be a konvergens sorozatok főbb tulajdonságait, amelyek a felsőbb matematika során tételek formájában fogalmazódnak meg.

1.Ha egy infinitezimális sorozat minden eleme{x n} azonos c számmal, akkor c = 0.

2. Egy konvergens sorozatnak csak egy határa van.

3.A konvergens sorozat korlátos.

4.Konvergens sorozatok összege (különbsége).{x n} és{y n} olyan konvergens sorozat, amelynek határértéke egyenlő a sorozatok határértékeinek összegével (különbségével).{x p} és{y p}.

5.Konvergens sorozatok szorzata{x n} és{y n} egy konvergens sorozat, amelynek határértéke egyenlő a sorozatok határértékeinek szorzatával{x n} és{y n} .

6.Két konvergens sorozat hányadosa{x n} és{y n} feltéve, hogy a sorozat határa{y n} nem nulla, van egy konvergens sorozat, amelynek határértéke egyenlő a sorozatok határainak hányadosával{x n} és{y p} .

7. Ha egy konvergens sorozat elemei{x n} kielégíti az x p ≥ b (x p ≤ b) egyenlőtlenséget valamilyen számból kiindulva, akkor ennek a sorozatnak a határértéke kielégíti az a ≥ b (a ≤ b) egyenlőtlenséget is.

8.Egy infinitezimális sorozatnak egy korlátos sorozattal vagy egy számmal szorzata egy infinitezimális sorozat.

9.Véges számú infinitezimális sorozat szorzata egy infinitezimális sorozat.

Tekintsük ezeknek a tulajdonságoknak az alkalmazását példákkal.

3. példa Keresse meg a határt.

Megoldás. Nál nél n a tört számlálója és nevezője a végtelenbe hajlik, azaz. a hányadoshatártétel nem alkalmazható azonnal, mivel feltételezi a sorozatok véges határainak meglétét. Ezt a sorozatot úgy alakítjuk át, hogy a számlálót és a nevezőt elosztjuk ezzel n 2. A hányados határára, az összeg határára és ismét a hányados határára vonatkozó tételeket alkalmazva egymás után azt kapjuk, hogy

4. példa x p) = at P.

Megoldás. Itt, mint az előző példában, a számlálónak és a nevezőnek nincs véges határa, ezért először a megfelelő transzformációkat kell végrehajtani. A számlálót és a nevezőt osztva ezzel n, kapunk

Mivel a számláló egy infinitezimális sorozat és egy korlátos sorozat szorzatát tartalmazza, így a 8-as tulajdonsággal végül megkapjuk

5. példa Keresse meg a sorozat határát ( x n) = at P .

Megoldás. Itt lehetetlen közvetlenül alkalmazni a sorozatok összegének (különbségének) határára vonatkozó tételt, mivel a ( képletben szereplő tagoknak nincsenek véges határai) x n} . Szorozza meg és ossza el a képletet ( x n) a konjugált kifejezésre:

e szám

Tekintsük a sorrendet ( x n} , amelynek közös tagját a képlet fejezi ki

A matematikai elemzés során bebizonyosodik, hogy ez a sorozat monoton növekszikés van határa. Ezt a határt számnak nevezik e. Ezért definíció szerint

Szám e nagy szerepet játszik a matematikában. Ezután mérlegelünk egy módszert annak bármilyen pontossággal történő kiszámításához. Jegyezze meg itt, hogy a szám e irracionális; hozzávetőleges értéke az e = 2,7182818... .

3. Számsorozat határa

3.1. A numerikus sorozat fogalma és a természetes argumentum függvénye

Meghatározás 3.1. A numerikus sorozat (a továbbiakban egyszerűen sorozat) számok rendezett, megszámlálható halmaza

{x1, x2, x3, ... }.

Két pontra figyelj.

1. Végtelen sok szám van a sorozatban. Ha véges számú szám van, akkor ez nem sorozat!

2. Minden szám rendezett, azaz egy bizonyos sorrendben van elrendezve.

A következőkben gyakran fogjuk használni a sorozat rövidítését ( xn}.

Bizonyos műveletek végrehajthatók szekvenciákon. Nézzünk meg néhányat közülük.

1. Sorozat szorzása számmal.

Utóbbi c×{ xn) egy sorozat elemekkel ( c× xn), vagyis

c×{ x1, x2, x3, ... }={c× x1, s× x2, s× x3, ... }.

2. Sorozatok összeadása és kivonása.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

vagy részletesebben,

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Sorozatok szorzása.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. A sorozatok felosztása.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Természetesen feltételezzük, hogy ebben az esetben minden yn¹ 0.

Meghatározás 3.2. Sorozat ( xn) felülről korlátosnak nevezzük, ha https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height = "25 src=">. Egy sorozatot (xn) korlátosnak nevezünk, ha fent és lent is korlátos.

3.2. Sorozatkorlát. Végtelenül nagy sorozat

Meghatározás 3.3. Szám a sorozat határának nevezzük ( xn) nál nél n a végtelenbe hajló, ha

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> ha .

Azt mondják, ha .

Meghatározás 3.4. Sorozat ( xn) végtelenül nagy if-nek (vagyis ha ).

3.3. Végtelenül kicsi sorozat.

Meghatározás 3.5. Az (xn) sorozatot infinitezimálisnak nevezzük, ha , vagyis ha .

Az infinitezimális sorozatok a következő tulajdonságokkal rendelkeznek.

1. Az infinitezimális sorozatok összege és különbsége is infinitezimális sorozat.

2. Egy infinitezimális sorozat korlátos.

3. Egy infinitezimális sorozat és egy korlátos sorozat szorzata egy infinitezimális sorozat.

4. Ha ( xn) egy végtelenül nagy sorozat, akkor néhányból kiindulva N, a sorozat (1/ xn), és ez egy végtelenül kicsi sorozat. Ezzel szemben, ha ( xn) egy végtelenül kicsi sorozat, és minden xn nullától eltérőek, akkor (1/ xn) egy végtelenül nagy sorozat.

3.4. konvergens sorozatok.

Meghatározás 3.6. Ha van végkorlát: https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. Ha , akkor .

3.5. Átmenet a határig az egyenlőtlenségekben.

3.1. Tétel. Ha néhányból kiindulva N, összes xn ³ b, akkor .

Következmény. Ha néhányból kiindulva N, összes xn ³ yn, akkor .

Megjegyzés. Vegye figyelembe, hogy ha néhányból kiindulva N, összes xn > b, akkor , vagyis a határhoz való átlépéskor a szigorú egyenlőtlenség nem szigorúvá válhat.

Tétel 3.2.("Két rendőr tétele") Ha néhányból kiindulva N, a következő tulajdonságok érvényesek

1..gif" width="163" height="33 src=">,

akkor létezik.

3.6. A monoton sorozat határa.

Meghatározás 3.7. Sorozat ( xn) monoton növekvőnek nevezzük, ha van ilyen n xn+1 ³ xn.

Sorozat ( xn) szigorúan monoton növekvőnek nevezzük, ha van ilyen n xn+1> xn.

xn­.

Meghatározás 3.8. Sorozat ( xn) monoton csökkenőnek nevezzük, ha van ilyen n xn+1 £ xn.

Sorozat ( xn) szigorúan monoton csökkenőnek nevezzük, ha van ilyen n xn+1< xn.

Mindkét eset a szimbólummal kombinálva van xn¯.

Tétel egy monoton sorozat határértékének létezéséről.

1. Ha a sorozat ( xn) monoton növekszik (csökkenő) és felülről (alulról) korlátos, akkor van egy véges határértéke egyenlő sup( xn) (inf( xn}).

2 Ha a sorozat ( xn) monoton növekszik (csökken), de felülről (alulról) nem korlátozódik, akkor +¥ (-¥) korlátja van.

Ezen tétel alapján bebizonyosodik, hogy létezik egy ún. figyelemre méltó határ

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Ezt sorozat-alszekvenciának nevezik ( xn}.

3.3. Tétel. Ha a sorozat ( xn) konvergál és a határa az a, akkor bármelyik részsorozata is konvergál, és ugyanaz a határértéke.

Ha egy ( xn) végtelenül nagy sorozat, akkor bármelyik részsorozata is végtelenül nagy.

Bolzano-Weierstrass lemma.

1. Bármely korlátos sorozatból ki lehet bontani egy olyan részsorozatot, amely egy véges határértékhez konvergál.

2. Tetszőleges korlátlan sorozatból végtelenül nagy részsorozat kinyerhető.

E lemma alapján bizonyítást nyer a határelmélet egyik fő eredménye - Bolzano-Cauchy konvergenciakritérium.

A sorrend érdekében ( xn) volt egy véges határ, ez szükséges és elégséges

Az ezt a tulajdonságot kielégítő sorozatot alapvető sorozatnak vagy önmagában konvergáló sorozatnak nevezzük.

Sok ember számára a matematikai elemzés csak érthetetlen számok, ikonok és definíciók halmaza, amelyek távol állnak a valós élettől. A világ, amelyben létezünk, azonban numerikus mintákra épül, amelyek azonosítása nemcsak a körülöttünk lévő világ megismerését és összetett problémáinak megoldását segíti elő, hanem a mindennapi gyakorlati feladatok egyszerűsítését is. Mire gondol a matematikus, amikor azt mondja, hogy egy számsorozat konvergál? Ezt részletesebben kell megvitatni.

kicsi?

Képzelj el matrjoska babákat, amelyek egymásba illeszkednek. Méretük számok formájában, a legnagyobbal kezdődően és a legkisebbel végződve sorozatot alkot. Ha végtelen számú ilyen fényes figurát képzel el, akkor a kapott sor fantasztikusan hosszú lesz. Ez egy konvergens számsorozat. És inkább nullára megy, mivel minden egyes következő fészkelő baba mérete katasztrofálisan csökken, fokozatosan semmivé válik. Így könnyen megmagyarázható: mi a végtelenül kicsi.

Hasonló példa lehet a távolba vezető út. A szemlélőtől eltávolodó autó vizuális méretei pedig fokozatosan zsugorodnak egy pontra emlékeztető formátlan folttá. Így az autó, mint egy tárgy, ismeretlen irányba távolodva végtelenül kicsivé válik. A megadott test paraméterei soha nem lesznek nullák a szó legigazabb értelmében, hanem változatlanul erre az értékre hajlanak a végső határban. Ezért ez a sorozat ismét nullához konvergál.

Számoljunk ki mindent cseppenként

Képzeljünk el egy valós élethelyzetet. Az orvos felírta a betegnek, hogy vegye be a gyógyszert, napi tíz csepptől kezdve, és minden következő napon adjon hozzá kettőt. Ezért az orvos azt javasolta, hogy folytassuk, amíg el nem fogy a 190 csepp térfogatú gyógyszeres injekciós üveg tartalma. A fentiekből az következik, hogy az ilyenek száma nappal festve a következő számsor lesz: 10, 12, 14 és így tovább.

Hogyan lehet megtudni a teljes tanfolyam teljesítésének idejét és a sorozat tagjainak számát? Itt persze primitív módon lehet számolni a cseppeket. De a minta alapján sokkal egyszerűbb a képletet d = 2 lépéssel használni. Ezzel a módszerrel derítsük ki, hogy a számsor tagjainak száma 10. Ebben az esetben a 10 = 28. A tagszám a gyógyszerszedés napjainak számát jelöli, a 28 pedig azt a cseppszámot jelöli, amelyet a betegnek az utolsó napon kell bevennie. Ez a sorozat konvergál? Nem, mert annak ellenére, hogy alulról 10-re, felülről 28-ra van korlátozva, az ilyen számsoroknak az előző példákkal ellentétben nincs határa.

Mi a különbség?

Most próbáljuk meg tisztázni: mikor lesz a számsor konvergens sorozat. Egy ilyen jellegű meghatározás, amint az a fentiekből következtethető, közvetlenül kapcsolódik a véges határ fogalmához, amelynek jelenléte felfedi a kérdés lényegét. Mi tehát az alapvető különbség a korábban megadott példák között? És miért nem tekinthető az utolsóban a 28-as szám az X n = 10 + 2(n-1) számsor határértékének?

A kérdés tisztázása érdekében vegyünk egy másik sorozatot az alábbi képlettel, ahol n a természetes számok halmazához tartozik.

Ez a tagközösség közönséges törtek halmaza, amelynek számlálója 1, a nevező pedig folyamatosan növekszik: 1, ½ ...

Sőt, ennek a sorozatnak minden további képviselője a számegyenesen elfoglalt helyét tekintve egyre inkább megközelíti a 0-t. Ez azt jelenti, hogy megjelenik egy olyan környék, ahol a pontok nulla körül csoportosulnak, ami a határ. És minél közelebb vannak hozzá, annál sűrűbbé válik a számegyenesen való koncentrációjuk. És a köztük lévő távolság katasztrofálisan csökken, és végtelenül kicsivé válik. Ez annak a jele, hogy a sorozat konvergál.

Hasonlóan, az ábrán látható többszínű téglalapok a térben távolodva vizuálisan zsúfoltabbak, a hipotetikus határban elhanyagolhatóvá válnak.

Végtelenül nagy sorozatok

A konvergens sorozat definíciójának elemzése után most ellenpéldák felé fordulunk. Sokukat az ember ősidők óta ismeri. A divergens sorozatok legegyszerűbb változatai a természetes és páros számok sorozata. Másképpen is nevezik őket végtelenül nagynak, mivel folyamatosan gyarapodó tagjaik egyre inkább a pozitív végtelen felé közelednek.

Példaként szolgálhat a nullánál nagyobb lépéssel és nevezővel rendelkező bármely számtani és geometriai progresszió is. A divergens sorozatokat ezen túlmenően numerikus sorozatoknak tekintjük, amelyeknek egyáltalán nincs határa. Például X n = (-2) n -1.

Fibonacci sorozat

A korábban említett számsorok gyakorlati haszna az emberiség számára tagadhatatlan. De számtalan más nagyszerű példa is van. Az egyik a Fibonacci-szekvencia. Minden egyes eggyel kezdődő tagja az előzőek összege. Első két képviselője 1 és 1. A harmadik 1+1=2, a negyedik 1+2=3, az ötödik 2+3=5. Továbbá ugyanezen logika szerint a 8, 13, 21 és így tovább következnek.

Ez a számsor a végtelenségig növekszik, és nincs véges határa. De van még egy csodálatos tulajdonsága. Minden egyes előző számnak a következőhöz viszonyított aránya értékében egyre közelebb van a 0,618-hoz.Itt érthető a különbség a konvergens és a divergens sorozat között, mert ha egy sor kapott privát osztást készítünk, akkor a megadott numerikus rendszer a végső határ 0,618.

Fibonacci-arány sorozat

A fent jelzett számsorokat széles körben használják gyakorlati célokra a piacok technikai elemzéséhez. De ez nem korlátozódik a képességeire, amelyeket az egyiptomiak és a görögök ismertek, és az ókorban a gyakorlatba is tudták alkalmazni. Ezt bizonyítják az általuk épített piramisok és a Parthenon. Végül is a 0,618 az aranymetszet állandó együtthatója, amely a régi időkben jól ismert. E szabály szerint bármely tetszőleges szakasz felosztható úgy, hogy a részei közötti arány egybeessen a szegmensek közül a legnagyobb és a teljes hossz arányával.

Építsünk fel egy sorozatot ezekből az összefüggésekből, és próbáljuk meg elemezni ezt a sorozatot. A számsor a következő lesz: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 és így tovább. Így folytatva ellenőrizhető, hogy a konvergens sorozat határa valóban 0,618 lesz. Meg kell azonban jegyezni ennek a szabályszerűségnek egyéb tulajdonságait is. Itt úgy tűnik, hogy a számok véletlenszerűen mennek, és egyáltalán nem növekvő vagy csökkenő sorrendben. Ez azt jelenti, hogy ez a konvergens sorozat nem monoton. Hogy ez miért van így, arról még lesz szó.

monotónia és korlátoltság

A növekvő számokkal rendelkező számsor tagjai egyértelműen csökkenhetnek (ha x 1>x 2>x 3>...> x n>...) vagy növekedhetnek (ha x 1

Ennek a sorozatnak a számait lefestve észrevehető, hogy a végtelenségig 1-hez közeledő bármely tagja soha nem lépi túl ezt az értéket. Ebben az esetben a konvergens sorozatot korlátosnak mondjuk. Ez megtörténik, ha van egy ilyen pozitív M szám, amely mindig nagyobb, mint a modulo sorozat bármely tagja. Ha egy számsorozatnak monotonitás jelei vannak, és van határa, és ezért konvergál, akkor szükségszerűen fel van ruházva ilyen tulajdonsággal. És ennek az ellenkezője nem kell, hogy igaz legyen. Ezt bizonyítja a konvergens sorozatra vonatkozó korlátossági tétel.

Az ilyen megfigyelések gyakorlati alkalmazása nagyon hasznosnak bizonyul. Adjunk egy konkrét példát az X n = n/n+1 sorozat tulajdonságainak vizsgálatával, és igazoljuk a konvergenciáját. Könnyű kimutatni, hogy monoton, mivel (x n +1 - x n) pozitív szám n bármely értékére. A sorozat határértéke egyenlő az 1-gyel, ami azt jelenti, hogy a fenti, Weierstrass-tételnek is nevezett tétel minden feltétele teljesül. A konvergens sorozat korlátosságának tétele kimondja, hogy ha van határa, akkor mindenképpen korlátosnak bizonyul. Vegyük azonban a következő példát. Az X n = (-1) n számsort alulról -1, felülről 1 határolja. Ez a sorozat azonban nem monoton, nincs határa, ezért nem konvergál. Vagyis a korlát léte és a konvergencia nem mindig következik a korlátozásból. Ahhoz, hogy ez működjön, az alsó és a felső határnak egyeznie kell, mint a Fibonacci-arányok esetében.

A számok és a világegyetem törvényei

Egy konvergens és divergens sorozat legegyszerűbb változatai talán az X n = n és X n = 1/n numerikus sorozatok. Közülük az első egy természetes számsor. Mint már említettük, végtelenül nagy. A második konvergens sorozat korlátos, és tagjainak nagysága közel a végtelenül kicsi. E képletek mindegyike megszemélyesíti a sokrétű Univerzum egyik oldalát, segítve az embert elképzelni és kiszámítani valami megismerhetetlent, ami a számok és jelek nyelvén a korlátozott érzékelés számára hozzáférhetetlen.

Az univerzum törvényeit, amelyek az elhanyagolhatótól a hihetetlenül nagyig terjednek, a 0,618-as aranymetszés is kifejezi. A tudósok úgy vélik, hogy ez a dolgok lényegének alapja, és a természet felhasználja részei kialakítására. A Fibonacci sorozat következő és előző tagjai közötti kapcsolatok, amelyeket már említettünk, még nem fejezik be ennek az egyedülálló sorozatnak a lenyűgöző tulajdonságait. Ha figyelembe vesszük az elõzõ tag és a következõ eggyel való osztásának hányadosát, akkor 0,5-ös sorozatot kapunk; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 és így tovább. Érdekes, hogy ez a korlátozott sorozat konvergál, nem monoton, de az adott tagtól szélső szomszédos számok aránya mindig megközelítőleg 0,382, ami az építészetben, a műszaki elemzésben és más iparágakban is használható.

A Fibonacci sorozatnak vannak más érdekes együtthatói is, mindegyik különleges szerepet játszik a természetben, és az ember gyakorlati célokra is használja. A matematikusok biztosak abban, hogy az Univerzum egy bizonyos „aranyspirál” szerint fejlődik, amely a jelzett együtthatókból alakul ki. Segítségükkel számos, a Földön és az űrben előforduló jelenség kiszámítható, az egyes baktériumok számának növekedésétől a távoli üstökösök mozgásáig. Mint kiderült, a DNS-kód hasonló törvényeknek engedelmeskedik.

Csökkenő geometriai progresszió

Van egy tétel, amely egy konvergens sorozat határértékének egyediségét állítja. Ez azt jelenti, hogy nem lehet két vagy több határértéke, ami kétségtelenül fontos a matematikai jellemzőinek megtalálásához.

Nézzünk meg néhány esetet. Bármely számtani sorozat, amely egy aritmetikai sorozat tagjaiból áll, divergens, kivéve a nulla lépéses esetet. Ugyanez vonatkozik azokra a geometriai sorozatokra is, amelyek nevezője nagyobb, mint 1. Az ilyen numerikus sorozatok határai a végtelen "plusz" vagy "mínusz". Ha a nevező kisebb, mint -1, akkor nincs korlát. Más lehetőségek is lehetségesek.

Tekintsük az X n = (1/4) n -1 képlettel megadott számsorokat. Első pillantásra könnyen belátható, hogy ez a konvergens sorozat korlátos, mert szigorúan csökken, és semmilyen módon nem képes negatív értékeket felvenni.

Írjuk fel sorba néhány tagját.

Szerezd meg: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0,00390625 és így tovább. Egészen egyszerű számítások elegendőek ahhoz, hogy megértsük, milyen gyors egy adott geometriai progresszió 0 nevezővel

Alapvető sorozatok

Augustin Louis Cauchy francia tudós számos matematikai elemzéssel kapcsolatos munkát tárt a világ elé. Olyan fogalmakat adott, mint a differenciál, az integrál, a határ és a folytonosság. Tanulmányozta a konvergens sorozatok alapvető tulajdonságait is. Elképzelései lényegének megértéséhez össze kell foglalni néhány fontos részletet.

Már a cikk elején megmutatták, hogy vannak olyan sorozatok, amelyeknél van egy olyan szomszédság, ahol a valós egyenesen egy bizonyos sorozat tagjait reprezentáló pontok egyre sűrűbben sorakoznak fel. Ugyanakkor a köztük lévő távolság csökken, ahogy a következő képviselő száma nő, és végtelenül kicsivé válik. Így kiderül, hogy egy adott környéken egy adott sorozat végtelen számú képviselője csoportosul, míg azon kívül véges sok van. Az ilyen sorozatokat alapvetőnek nevezzük.

A híres Cauchy-kritérium, amelyet egy francia matematikus alkotott meg, világosan jelzi, hogy egy ilyen tulajdonság jelenléte elegendő a sorozat konvergálásának bizonyításához. Ennek a fordítottja is igaz.

Meg kell jegyezni, hogy a francia matematikusnak ez a következtetése többnyire pusztán elméleti érdek. Gyakorlati alkalmazása meglehetősen bonyolult kérdésnek tekinthető, ezért a sorozatok konvergenciájának tisztázása érdekében sokkal fontosabb a sorozatra vonatkozó véges határ meglétének bizonyítása. Ellenkező esetben divergensnek minősül.

A feladatok megoldásánál figyelembe kell venni a konvergens sorozatok alapvető tulajdonságait is. Az alábbiakban bemutatjuk őket.

Végtelen összegek

Az ókor olyan híres tudósai, mint Arkhimédész, Eukleidész, Eudoxosz, végtelen számsorok összegét használták a görbék hosszának, a testek térfogatának és az alakzatok területeinek kiszámításához. Különösen így lehetett megtudni a parabola szegmens területét. Ehhez egy q=1/4-es geometriai sorozat numerikus sorozatának összegét használtuk. Hasonló módon kerültek elő más tetszőleges alakok térfogatai és területei is. Ezt az opciót "kimerülési" módszernek nevezték. Az ötlet az volt, hogy a vizsgált, összetett alakú testet részekre bontották, amelyek könnyen mérhető paraméterekkel rendelkező figurák voltak. Emiatt nem volt nehéz kiszámolni területeiket és térfogatukat, majd összeadták.

Egyébként a hasonló feladatok nagyon ismerősek a modern iskolások számára, és megtalálhatók az USE feladatokban. Az egyedülálló módszer, amelyet távoli ősök találtak, messze a legegyszerűbb megoldás. Még ha csak két-három részre van osztva a számadat, területük összeadása akkor is a számsor összege.

Jóval később, mint az ókori görög tudósok, Leibniz és Newton, bölcs elődeik tapasztalatai alapján tanulták meg az integrálszámítás törvényeit. A sorozatok tulajdonságainak ismerete segítette őket a differenciál- és algebrai egyenletek megoldásában. Jelenleg a sorozatelmélet, amelyet tehetséges tudósok sok generációjának erőfeszítései hoztak létre, lehetőséget ad számos matematikai és gyakorlati probléma megoldására. A numerikus sorozatok tanulmányozása pedig a matematikai elemzés által megoldott fő probléma a kezdetek óta.

A szekvencia a matematika egyik alapfogalma. A sorozat összeállítható számokból, pontokból, függvényekből, vektorokból stb. Egy sorozatot adottnak tekintünk, ha olyan törvényt adunk meg, amely szerint minden n természetes szám valamilyen halmaz egy x n eleméhez kapcsolódik. A sorozatot x 1 , x 2 , …, x n vagy röviden (x n) alakban írjuk fel. Az x 1 , x 2 , ..., x n elemeket a sorozat tagjainak nevezzük, x 1 - az első, x 2 - a második, x n - a sorozat közös (n-edik) tagja.

Leggyakrabban numerikus sorozatokat veszünk figyelembe, vagyis olyan sorozatokat, amelyek tagjai számok. Az analitikai módszer a legegyszerűbb módja egy numerikus sorozat meghatározásának. Ez egy olyan képlet segítségével történik, amely az x 1 sorozat n-edik tagját fejezi ki n számával. Például ha

Egy másik módszer a visszatérő (a latin szóból recidívák- „visszatérés”), amikor a sorozat és a szabály első néhány tagja be van állítva, lehetővé téve minden következő tag kiszámítását az előzőeken keresztül. Például:

A számsorozatok példái az aritmetikai és a geometriai progresszió.

Érdekes nyomon követni a sorozattagok viselkedését, ahogy az n szám korlátlanul növekszik (azt, hogy n korlátlanul növekszik, n → ∞-ként írjuk le, és ez így szól: „n hajlamos a végtelenre”).

Tekintsünk egy sorozatot egy közös taggal x n = 1/n: x 1 = 1, x 2 = 1/2; x 3 \u003d 1/3, ..., x 100 = 1/100, .... Ennek a sorozatnak minden tagja nem nulla, de minél nagyobb n, annál kevésbé tér el x n nullától. Ennek a sorozatnak a tagjai nullára hajlanak, mivel n korlátlanul növekszik. A nulla szám állítólag ennek a sorozatnak a határa.

Egy másik példa: x n = (−1) n / n - a sorozatot határozza meg

Ennek a sorozatnak a tagjai is hajlamosak a nullára, de vagy nagyobbak, mint nulla, vagy kisebbek nullánál - ez a határ.

Vegyünk egy másik példát: x n = (n − 1)/(n + 1). Ha x n-t ábrázolunk az alakban

akkor világossá válik, hogy ez a sorozat az egység felé hajlik.

Határozzuk meg egy sorozat határát. Egy a számot egy sorozat (x n) határértékének nevezünk, ha bármely ε pozitív számhoz megadhatunk egy N számot úgy, hogy minden n > N esetén az |x n − a|< ε.

Ha a a sorozat határértéke (x n), akkor x n → a, vagy a = lim n→∞ x n (a lim a latin szó első három betűje lime- "korlát").

Ez a meghatározás világosabb lesz, ha geometriai jelentést adunk neki. Az a számot az (a − ε, a + ε) intervallumba zárjuk (lásd az ábrát). Az a szám az (x n) sorozat határa, ha az intervallum kicsiségétől (a − ε, a + ε) függetlenül a sorozat valamennyi tagja, amelynek néhány N-nél nagyobb a száma, ebben az intervallumban található. Más szóval, bármely intervallumon (a − ε, a + ε) kívül csak véges számú tagja lehet a sorozatnak.

A vizsgált x n = (−1) n /n sorozat esetén a nullapont ε-környezete ε = 1/10 esetén a sorozat összes tagját tartalmazza, kivéve az első tízet, és ε = 1/100 esetén, a sorozat összes tagja, kivéve az első százat.

A határértékkel rendelkező sorozatot konvergensnek, a határérték nélküli sorozatot pedig divergensnek nevezzük. Íme egy példa egy divergens sorozatra: x n = (−1) n . Feltételei felváltva +1 és -1, és nem hajlamosak semmilyen korlátra.

Ha a sorozat konvergál, akkor korlátos, azaz vannak c és d számok, amelyekre a sorozat minden tagja kielégíti a c ≤ x n ≤ d feltételt. Ebből következik, hogy minden korlátlan sorozat divergens. Ezek a sorozatok:

A nullára hajló sorozatot végtelenül kicsinek mondjuk. Az infinitezimális fogalma alapul szolgálhat egy sorozat határértékének általános meghatározásához, mivel a sorozat határértéke (x n) akkor és csak akkor egyenlő a-val, ha x n összegként ábrázolható x n = a + α n , ahol α n végtelenül kicsi.

A figyelembe vett (1/n), ((−1) n /n) sorozatok infinitezimálisak. Az (n − 1)/(n + 1) sorozat, ahogyan a (2)-ből következik, egy végtelenül kicsiny 2/(n + 1) értékkel tér el 1-től, ezért ennek a sorozatnak a határa 1.

A matematikai elemzésben nagy jelentősége van a végtelenül nagy sorozat fogalmának is. Egy sorozatot (x n) végtelenül nagynak nevezünk, ha a sorozat (1/x n) végtelenül kicsi. Egy végtelenül nagy sorozatot (x n) x n → ∞ vagy lim n→∞ x n = ∞ alakban írunk le, és azt mondjuk, hogy „a végtelenbe megy”. Íme példák végtelenül nagy sorozatokra:

(n 2), (2 n), (√(n + 1)), (n - n 2).

Hangsúlyozzuk, hogy egy végtelenül nagy sorozatnak nincs határa.

Tekintsük az (x n) és (y n) sorozatokat. Sorozatokat definiálhat az x n + y n, x n − y n, x n y n és (ha y n ≠ 0) x n /y n általános kifejezésekkel. A következő tétel igaz, amit gyakran neveznek a határértékes aritmetikai műveletek tételének: ha az (x n) és (y n) sorozatok konvergálnak, akkor az (x n + y n), (x n − y n), (x n y n), ( x n /y n) is konvergál, és a következő egyenlőségek teljesülnek:

Ez utóbbi esetben meg kell követelni, hogy az (y n) sorozat minden tagja nullától eltérő legyen, valamint a lim n→∞ y n ≠ 0 feltétel teljesüljön.

Ennek a tételnek az alkalmazásával számos korlátot találhatunk. Keresse meg például egy közös taggal rendelkező sorozat határát

x n ábrázolása az alakban

állapítsa meg, hogy létezik-e a számláló és a nevező határa:

így kapjuk:

lim n→∞ x n = 2/1 =2.

A szekvenciák fontos osztálya a monoton szekvenciák. Az úgynevezett sorozatok növekvő (x n+1 > x n bármely n esetén), csökkenő (x n+1)< x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

Képzeljük el, hogy az (x n) sorozat nem csökken, azaz az egyenlőtlenségek

x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ … ≤ x n ≤ x n+1 ≤ …,

és legyen ezen kívül ez a sorozat felülről korlátos, azaz minden x n ne haladja meg valamelyik d számot. Egy ilyen sorozat minden tagja nagyobb vagy egyenlő az előzőnél, de egyik sem haladja meg a d értéket. Teljesen nyilvánvaló, hogy ez a sorozat valamilyen számra hajlamos, amely vagy kisebb, mint d, vagy egyenlő d-vel. A matematikai elemzés során bebizonyosodik egy tétel, hogy a nem csökkenő és felülről korlátos sorozatnak van határa (hasonló állítás igaz a nem növekvő és alulról korlátos sorozatra). Ez a figyelemre méltó tétel elegendő feltételt ad a határérték meglétéhez. Ebből például az következik, hogy az egységsugarú körbe írt szabályos n-szögek területsorozatának van határa, hiszen monotonan növekszik és felülről határos. Ennek a sorozatnak a határát π jelöli.

A monoton korlátos sorozat határát felhasználva meghatározzuk a matematikai elemzésben nagy szerepet játszó e számot - a természetes logaritmusok alapját:

e = lim n→∞ (1 + 1/n) n .

Az (1) szekvencia, mint már említettük, monoton, ráadásul felülről határolt. Neki van határa. Ezt a határt könnyen megtaláljuk. Ha egyenlő a-val, akkor az a számnak teljesítenie kell az a = √(2 + a) egyenlőséget. Ezt az egyenletet megoldva a = 2-t kapunk.