الخوارزمية الإقليدية - إيجاد القاسم المشترك الأكبر. إيجاد GCD باستخدام الخوارزمية الإقليدية واستخدام الجذر التربيعي إلى العوامل الأولية باستخدام الطريقة الإقليدية

خوارزمية إقليدسهي خوارزمية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر (GCD) لزوج من الأعداد الصحيحة.

القاسم المشترك الأكبر (GCD)هو الرقم الذي يقسم رقمين بدون باق وهو نفسه قابل للقسمة بدون باق على أي مقسوم آخر على الرقمين المحددين. ببساطة، هذا هو أكبر رقم يمكن من خلاله تقسيم الرقمين المطلوب الحصول على gcd بدون باقي.

خوارزمية لإيجاد GCD عن طريق القسمة

1. اقسم الرقم الأكبر على الرقم الأصغر.
2. إذا تم تقسيمه بدون باقي، فإن الرقم الأصغر هو GCD (يجب عليك الخروج من الدورة).
3. فإن كان هناك باقي، فاستبدل العدد الأكبر بباقي القسمة.
4. دعنا ننتقل إلى النقطة 1.

مثال:
ابحث عن gcd لـ 30 و18.
30 / 18 = 1 (الباقي 12)
18 / 12 = 1 (الباقي 6)
12 / 6 = 2 (الباقي 0)
النهاية: GCD هو المقسوم على 6.
جي سي دي (30، 18) = 6

أ = 50 ب = 130 بينما أ != 0 و ب != 0 : إذا أ > ب: أ = أ % ب آخر: ب = ب % طباعة (أ + ب)

في الحلقة، يتم كتابة باقي القسمة إلى المتغير a أو b. تنتهي الحلقة عندما يكون أحد المتغيرات على الأقل صفرًا. وهذا يعني أن الآخر يحتوي على gcd. ومع ذلك، لا نعرف أيهما بالضبط. لذلك، بالنسبة لـ GCD نجد مجموع هذه المتغيرات. وبما أن أحد المتغيرات هو صفر، فإنه ليس له أي تأثير على النتيجة.

خوارزمية لإيجاد GCD عن طريق الطرح

1. اطرح الرقم الأصغر من الرقم الأكبر.
2. إذا كانت النتيجة 0، فهذا يعني أن الأرقام متساوية مع بعضها البعض وهي GCD (يجب عليك الخروج من الحلقة).
3. إذا كانت نتيجة الطرح لا تساوي 0، فاستبدل الرقم الأكبر بنتيجة الطرح.
4. دعنا ننتقل إلى النقطة 1.

مثال:
ابحث عن gcd لـ 30 و18.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
النهاية: GCD هو الطرح أو المطروح.
جي سي دي (30، 18) = 6

أ = 50 ب = 130 بينما أ != ب: إذا أ > ب: أ = أ - ب آخر: ب = ب - طباعة (أ)

هذا المقال عن إيجاد القاسم المشترك الأكبر (GCD)رقمين أو أكثر. أولاً، دعونا نلقي نظرة على خوارزمية إقليدس؛ فهي تسمح لك بالعثور على gcd لعددين. بعد ذلك، سنركز على الطريقة التي تسمح لنا بحساب gcd للأرقام كحاصل ضرب عواملها الأولية المشتركة. بعد ذلك، سننظر في إيجاد القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أرقام أو أكثر، وسنقدم أيضًا أمثلة لحساب GCD للأرقام السالبة.

التنقل في الصفحة.

خوارزمية إقليدية لإيجاد GCD

لاحظ أنه إذا انتقلنا إلى جدول الأعداد الأولية منذ البداية، فسنكتشف أن الرقمين 661 و113 هما أرقام أولية، ويمكننا أن نقول منها على الفور أن القاسم المشترك الأكبر لهما هو 1.

إجابة:

جي سي دي(661, 113)=1 .

إيجاد GCD عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية

دعونا نفكر في طريقة أخرى للعثور على GCD. يمكن إيجاد القاسم المشترك الأكبر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. دعونا صياغة القاعدة: إن gcd لعددين صحيحين موجبين a وb يساوي حاصل ضرب جميع العوامل الأولية المشتركة الموجودة في التحليلات الأولية للأعداد a وb.

دعونا نعطي مثالا لشرح قاعدة العثور على GCD. دعونا نعرف تحليل الأرقام 220 و 600 إلى عوامل أولية، فهي على الشكل 220=2·2·5·11 و 600=2·2·2·3·5·5. العوامل الأولية المشتركة في تحليل الأعداد 220 و600 هي 2 و2 و5. وبالتالي، GCD(220, 600)=2·2·5=20.

وبالتالي، إذا قمنا بتحليل الرقمين a وb إلى عوامل أولية وأوجدنا حاصل ضرب جميع عواملهما المشتركة، فسنجد القاسم المشترك الأكبر للرقمين a وb.

لنفكر في مثال للعثور على GCD وفقًا للقاعدة المذكورة.

مثال.

أوجد القاسم المشترك الأكبر للرقمين 72 و 96.

حل.

دعونا نحلل الرقمين 72 و 96 إلى عوامل أولية:

أي 72=2·2·2·3·3 و 96=2·2·2·2·2·3. العوامل الأولية المشتركة هي 2 و 2 و 2 و 3. وبالتالي، GCD(72, 96)=2·2·2·3=24.

إجابة:

جي سي دي(72, 96)=24 .

وفي ختام هذه الفقرة نلاحظ أن صحة القاعدة السابقة لإيجاد GCD تنبع من خاصية القاسم المشترك الأكبر والتي تنص على أن GCD(م أ 1 , م ب 1)=م GCD(أ 1 , ب 1)، حيث m هو أي عدد صحيح موجب.

العثور على gcd لثلاثة أرقام أو أكثر

يمكن اختزال العثور على القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أرقام أو أكثر إلى إيجاد gcd لعددين بشكل تسلسلي. لقد ذكرنا ذلك عند دراسة خصائص GCD. هناك قمنا بصياغة النظرية وإثباتها: القاسم المشترك الأكبر لعدة أرقام a 1، a 2، ...، a k يساوي الرقم d k، والذي تم العثور عليه عن طريق الحساب التسلسلي GCD(a 1, a 2)=d 2 , GCD(d 2, a 3) = d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4,..., GCD(d k-1, a k)=d k.

دعونا نرى كيف تبدو عملية العثور على gcd لعدة أرقام من خلال النظر إلى حل المثال.

مثال.

أوجد القاسم المشترك الأكبر لأربعة أعداد 78، 294، 570، 36.

حل.

في هذا المثال، 1 = 78، 2 = 294، 3 = 570، 4 = 36.

أولاً، باستخدام الخوارزمية الإقليدية، نحدد القاسم المشترك الأكبر d 2 للرقمين الأولين 78 و294. عند القسمة نحصل على المساواة 294 = 78 3 + 60 ; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 و18=6·3. وبالتالي، د 2 =GCD(78, 294)=6.

الآن دعونا نحسب د 3 =GCD(د 2، أ 3)=GCD(6، 570). دعونا نطبق الخوارزمية الإقليدية مرة أخرى: 570=6·95، وبالتالي، d 3 = GCD(6, 570)=6.

يبقى أن نحسب د 4 =GCD(د 3، أ 4)=GCD(6، 36). بما أن 36 يقبل القسمة على 6، فإن d 4 = GCD(6, 36) = 6.

وبالتالي، فإن القاسم المشترك الأكبر للأرقام الأربعة المعطاة هو d 4 = 6، أي gcd(78, 294, 570, 36)=6.

إجابة:

جي سي دي(78, 294, 570, 36)=6 .

يتيح لك تحليل الأرقام إلى عوامل أولية أيضًا حساب GCD لثلاثة أرقام أو أكثر. في هذه الحالة، يتم العثور على القاسم المشترك الأكبر باعتباره حاصل ضرب جميع العوامل الأولية المشتركة للأرقام المحددة.

مثال.

احسب gcd للأرقام من المثال السابق باستخدام عواملها الأولية.

حل.

دعونا نحلل الأرقام 78 و294 و570 و36 إلى عوامل أولية، فنحصل على 78=2·3·13، 294=2·3·7·7، 570=2·3·5·19، 36=2·2 ·3·3. العوامل الأولية المشتركة لجميع هذه الأعداد الأربعة هي الرقمين 2 و 3. لذلك، جي سي دي(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

في مقدمة طبعته الأولى "في مملكة الإبداع" (1908) كتب E. I. Ignatiev: "... المبادرة الفكرية والذكاء السريع و"البراعة" لا يمكن "التنقيب فيها" أو "وضعها" في رأس أي شخص. لا يمكن الاعتماد على النتائج إلا عندما يتم التقديم إلى مجال المعرفة الرياضية بطريقة سهلة وممتعة، باستخدام أشياء وأمثلة من المواقف العادية واليومية، تم اختيارها بذكاء وترفيه مناسبين.

في مقدمة طبعة عام 1911 بعنوان "دور الذاكرة في الرياضيات"، كتب إي.آي. يكتب Ignatiev "... في الرياضيات، ليس من الضروري تذكر الصيغ، ولكن عملية التفكير."

لاستخراج الجذر التربيعي توجد جداول مربعة للأعداد المكونة من رقمين، ويمكنك تحليل العدد إلى عوامل أولية واستخراج الجذر التربيعي لحاصل الضرب. في بعض الأحيان لا يكون جدول المربعات كافيًا، إذ إن استخراج الجذر عن طريق التحليل هو مهمة تستغرق وقتًا طويلاً، ولا تؤدي دائمًا إلى النتيجة المرجوة. حاول أخذ الجذر التربيعي لـ 209764؟ تحليل العوامل الأولية يعطي الناتج 2*2*52441. عن طريق التجربة والخطأ، التحديد - بالطبع، يمكن القيام بذلك إذا كنت متأكدًا من أن هذا عدد صحيح. الطريقة التي أريد أن أقترحها تسمح لك بأخذ الجذر التربيعي في أي حال.

ذات مرة في المعهد (معهد بيرم الحكومي التربوي) تعرفنا على هذه الطريقة التي أريد الآن التحدث عنها. لم أتساءل أبدًا عما إذا كان لهذه الطريقة دليل، لذا كان علي الآن أن أستنتج بعض الأدلة بنفسي.

أساس هذه الطريقة هو تكوين الرقم =.

=&، أي & 2=596334.

1. قسّم الرقم (5963364) إلى أزواج من اليمين إلى اليسار (5`96`33`64)

2. استخرج الجذر التربيعي للمجموعة الأولى على اليسار ( - رقم 2). هذه هي الطريقة التي نحصل بها على الرقم الأول من &.

3. أوجد مربع الرقم الأول (2 2 =4).

4. أوجد الفرق بين المجموعة الأولى ومربع الرقم الأول (5-4=1).

5. ننزل الرقمين التاليين (نحصل على الرقم 196).

6. ضاعف الرقم الأول الذي وجدناه واكتبه على اليسار خلف السطر (2*2=4).

7. الآن نحن بحاجة إلى العثور على الرقم الثاني من الرقم &: مضاعفة الرقم الأول الذي وجدناه يصبح رقم العشرات من الرقم، والذي عند ضربه بعدد الوحدات، تحتاج إلى الحصول على رقم أقل من 196 (هذا هو العدد 4، 44*4=176). 4 هو الرقم الثاني من &.

8. أوجد الفرق (196-176=20).

9. نقوم بهدم المجموعة التالية (نحصل على الرقم 2033).

10. ضاعف العدد 24 نحصل على 48.

يوجد 11.48 عشرات في العدد، عند ضربه في عدد الآحاد، يجب أن نحصل على رقم أقل من 2033 (484*4=1936). رقم الآحاد الذي وجدناه (4) هو الرقم الثالث من الرقم &.

ولقد قدمت الأدلة في الحالات التالية:

1. استخراج الجذر التربيعي لعدد مكون من ثلاثة أرقام؛

2. استخراج الجذر التربيعي لعدد مكون من أربعة أرقام.

الطرق التقريبية لاستخراج الجذور التربيعية (بدون استخدام الآلة الحاسبة).

1. استخدم البابليون القدماء الطريقة التالية لإيجاد القيمة التقريبية للجذر التربيعي لرقمهم x. لقد مثلوا الرقم x كمجموع a 2 + b، حيث a 2 هو المربع الدقيق للعدد الطبيعي a (a 2 ?x) الأقرب إلى الرقم x، واستخدموا الصيغة . (1)

وباستخدام الصيغة (1) نستخرج الجذر التربيعي من الرقم 28 مثلا:

نتيجة استخراج جذر 28 باستخدام MK هي 5.2915026.

كما ترون، فإن الطريقة البابلية تعطي تقديرًا تقريبيًا جيدًا للقيمة الدقيقة للجذر.

2. طور إسحاق نيوتن طريقة لأخذ الجذور التربيعية يعود تاريخها إلى مالك الحزين السكندري (حوالي 100 م). وهذه الطريقة (المعروفة بطريقة نيوتن) هي كما يلي.

يترك أ 1- التقريب الأول لرقم (ك 1 يمكنك أخذ قيم الجذر التربيعي لعدد طبيعي - مربع دقيق لا يتجاوز العاشر) .

التالي، تقريب أكثر دقة 2أعداد وجدت بواسطة الصيغة .

منذ العصور القديمة، تم تقسيم العمل مع الأرقام إلى مجالين مختلفين: أحدهما يتعلق بشكل مباشر بخصائص الأرقام، والآخر يرتبط بتقنيات العد. عادة ما يُقصد بكلمة "الحساب" في العديد من البلدان هذا المجال الأخير، وهو بلا شك أقدم فرع من فروع الرياضيات.

على ما يبدو، كانت الصعوبة الأكبر التي واجهتها الآلات الحاسبة القديمة هي التعامل مع الكسور. ويمكن ملاحظة ذلك من بردية أحمس (وتسمى أيضًا بردية ريند)، وهي عمل مصري قديم في الرياضيات يعود تاريخه إلى حوالي عام 1650 قبل الميلاد. جميع الكسور المذكورة في البردية، باستثناء 2/3، لها بسط يساوي 1. كما يمكن ملاحظة صعوبة التعامل مع الكسور عند دراسة الألواح المسمارية البابلية القديمة. من الواضح أن المصريين القدماء والبابليين أجروا حسابات باستخدام أحد أشكال المعداد. حظي علم الأعداد بتطور كبير بين قدماء الإغريق بدءاً من فيثاغورس حوالي عام 530 قبل الميلاد. أما بالنسبة لتكنولوجيا الحساب نفسها، فلم يفعل اليونانيون الكثير في هذا المجال.

على العكس من ذلك، لم يقدم الرومان اللاحقون أي مساهمة تقريبًا في علم الأرقام، ولكن بناءً على احتياجات الإنتاج والتجارة سريعة التطور، قاموا بتحسين المعداد كجهاز عد. لا يُعرف سوى القليل جدًا عن أصول الحساب الهندي. لم يصل إلينا سوى عدد قليل من الأعمال اللاحقة حول نظرية وممارسة عمليات الأعداد، والتي تمت كتابتها بعد تحسين النظام الموضعي الهندي من خلال تضمين الصفر فيه. لا نعرف على وجه اليقين متى حدث هذا، ولكن في ذلك الوقت تم وضع أسس الخوارزميات الحسابية الأكثر شيوعًا لدينا.

لقد استعار العرب نظام الأرقام الهندي والخوارزميات الحسابية الأولى. أقدم كتاب مدرسي للحساب العربي كتبه الخوارزمي حوالي عام 825. وهو يستخدم على نطاق واسع ويشرح الأرقام الهندية. تمت ترجمة هذا الكتاب المدرسي لاحقًا إلى اللاتينية وكان له تأثير كبير على أوروبا الغربية. لقد وصلت إلينا نسخة مشوهة من اسم الخوارزمي في كلمة "algorism"، والتي عندما تختلط أكثر مع الكلمة اليونانية عدم انتظام ضربات القلبأصبح مصطلح "الخوارزمية".

أصبح الحساب الهندي العربي معروفًا في أوروبا الغربية بشكل رئيسي بفضل عمل L. Fibonacci كتاب العداد (ليبر العداد، 1202). قدمت طريقة Abacist تبسيطات مشابهة لاستخدام نظامنا الموضعي، على الأقل في عمليات الجمع والضرب. تم استبدال العداديين بخوارزميات تستخدم الصفر والطريقة العربية في القسمة واستخراج الجذر التربيعي. نُشر أحد الكتب المدرسية الأولى في علم الحساب، والذي لا نعرف مؤلفه، في تريفيزو (إيطاليا) عام 1478. وقد تعامل مع العمليات الحسابية عند إجراء المعاملات التجارية. أصبح هذا الكتاب المدرسي سلفًا للعديد من الكتب المدرسية الحسابية التي ظهرت لاحقًا. حتى بداية القرن السابع عشر. تم نشر أكثر من ثلاثمائة كتاب مدرسي في أوروبا. تم تحسين الخوارزميات الحسابية بشكل ملحوظ خلال هذا الوقت. في القرنين السادس عشر والسابع عشر. ظهرت رموز للعمليات الحسابية مثل =، +، -، Б، ё، و .

ميكنة العمليات الحسابية.

ومع تطور المجتمع، زادت الحاجة إلى حسابات أسرع وأكثر دقة. وقد أدت هذه الحاجة إلى ظهور أربعة اختراعات رائعة: الأرقام الهندية العربية، والكسور العشرية، واللوغاريتمات، وآلات الحوسبة الحديثة.

في الواقع، كانت أبسط الأجهزة الحسابية موجودة قبل ظهور الحساب الحديث، لأنه في العصور القديمة تم إجراء العمليات الحسابية الأولية على المعداد (في روسيا، تم استخدام المعداد لهذا الغرض). يمكن اعتبار أبسط جهاز حاسوبي حديث قاعدة الشرائح، والتي تتكون من مقياسين لوغاريتميين ينزلق أحدهما على الآخر، مما يسمح بالضرب والقسمة عن طريق جمع وطرح أجزاء من المقاييس. يعتبر ب. باسكال (1642) مخترع أول آلة إضافة ميكانيكية. وفي وقت لاحق من نفس القرن، اخترع ج. لايبنتز (1671) في ألمانيا وس. مورلاند (1673) في إنجلترا آلات لإجراء الضرب. أصبحت هذه الآلات هي أسلاف أجهزة الحوسبة المكتبية (مقاييس الحساب) في القرن العشرين، مما جعل من الممكن إجراء عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة بسرعة ودقة.

في عام 1812، بدأ عالم الرياضيات الإنجليزي سي. باباج في إنشاء تصميم لآلة لحساب الجداول الرياضية. ورغم أن العمل في المشروع استمر لسنوات عديدة، إلا أنه ظل غير مكتمل. ومع ذلك، كان مشروع باباج بمثابة حافز لإنشاء أجهزة كمبيوتر إلكترونية حديثة، ظهرت الأمثلة الأولى منها حوالي عام 1944. وكانت سرعة هذه الآلات مذهلة: فبمساعدتها، كان من الممكن في دقائق أو ساعات حل المشكلات التي كانت تتطلبها سابقًا سنوات عديدة من الحسابات المستمرة، حتى مع استخدام آلات الجمع.

اعداد صحيحة موجبة.

يترك أو بهما مجموعتان محدودتان ليس لهما عناصر مشتركة، ودع أيتضمن نالعناصر، و بيتضمن معناصر. ثم كثير س، تتكون من جميع عناصر المجموعات أو ب، مجتمعة، هي مجموعة محدودة تحتوي، على سبيل المثال، سعناصر. على سبيل المثال، إذا أيتكون من عناصر ( أ, ب, ج)، مجموعة من في– من العناصر ( س, ذ)، ثم المجموعة س=أ+بويتكون من عناصر ( أ, ب, ج, س, ذ). رقم سمُسَمًّى كميةأعداد نو م، ونكتبها هكذا: ق = ن + م. في هذا الإدخال الأرقام نو موتسمى شروط، عملية العثور على المبلغ - إضافة. تتم قراءة رمز العملية "+" على أنه "زائد". مجموعة من صيتكون من جميع الأزواج المرتبة التي يتم فيها اختيار العنصر الأول من المجموعة أ، والثاني من المجموعة ب، هي مجموعة محدودة تحتوي، على سبيل المثال، صعناصر. على سبيل المثال، إذا، كما كان من قبل، أ = {أ, ب, ج}, ب = {س, ذ)، الذي - التي ف = أґب = {(أ,س), (أ,ذ), (ب,س), (ب,ذ), (ج,س), (ج,ذ)). رقم صمُسَمًّى عملأعداد أو ب، ونكتبها هكذا: ع = أґبأو ع = أ × ب. أعداد أو بفي العمل يطلق عليهم مضاعفاتعملية البحث عن المنتج – عمليه الضرب. تتم قراءة رمز العملية Б على أنه "مضروب في".

يمكن إثبات أنه من هذه التعريفات تتبع القوانين الأساسية التالية لجمع وضرب الأعداد الصحيحة:

– قانون الجمع التبادلي : أ + ب = ب + أ;

– قانون الإضافة النقابية: أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج;

– قانون الضرب التبادلي : أґب = بґأ;

- قانون ترابط الضرب: أґ(بґج) = (أґب)ґج;

- قانون التوزيع: أґ(ب + ج)= (أґب) + (أґج).

لو أو ب- عددان صحيحان موجبان وإذا كان هناك عدد صحيح موجب ج، مثل ذلك أ = ب + ج، ثم نقول ذلك أأكثر ب(هذا مكتوب هكذا: أ> ب)، أو ماذا بأقل أ(هذا مكتوب هكذا: ب). لأي رقمين أو بتحمل إحدى العلاقات الثلاث: إما أ = ب، أو أ> ب، أو أ.

ينص أول قانونين أساسيين على أن مجموع حدين أو أكثر لا يعتمد على كيفية تجميعها أو ترتيب ترتيبها. وبالمثل، من القانونين الثالث والرابع، يترتب على أن حاصل ضرب عاملين أو أكثر لا يعتمد على كيفية تجميع العوامل أو ترتيبها. تُعرف هذه الحقائق باسم "القوانين العامة للإبدال والترابط" الخاصة بالجمع والضرب. ويترتب على ذلك أنه عند كتابة مجموع عدة حدود أو حاصل ضرب عدة عوامل، يكون ترتيب الحدود والعوامل غير مهم ويمكن حذف الأقواس.

على وجه الخصوص، المبلغ المتكرر أ + أ + ... + أمن نحيث يساوي نґأ. العمل المتكرر أґأґ ... ґأمن نواتفقنا على الإشارة إلى العوامل ن; رقم أمُسَمًّى أساس، والرقم ن – تكرار مؤشر المنتج، العمل المتكرر نفسه - القوة نأعداد أ. تسمح لنا هذه التعريفات بوضع القوانين الأساسية التالية للأسس:

نتيجة مهمة أخرى للتعريفات: أґ1 = ألأي عدد صحيح أو 1 هو العدد الصحيح الوحيد الذي يمتلك هذه الخاصية. الرقم 1 يسمى وحدة.

مقسومات الأعداد الصحيحة.

لو أ, ب, ج- الأعداد الصحيحة و أґب = ج، الذي - التي أو بهي المقسومات على عدد ج. لأن أґ1 = ألأي عدد صحيح أنستنتج أن 1 هو مقسوم على أي عدد صحيح وأن أي عدد صحيح هو مقسوم على نفسه. أي مقسوم على عدد صحيح أ، يختلف عن 1 أو أ، حصلت على الاسم المقسوم عليه الصحيحأعداد أ.

يتم استدعاء أي عدد صحيح غير 1 وليس له مقسومات خاصة به رقم اولي. (مثال على الرقم الأولي هو الرقم 7.) يسمى الرقم الصحيح الذي له قواسمه الخاصة عدد مركب. (على سبيل المثال، الرقم 6 مركب، حيث أن 2 يقسم 6.) ويترتب على ما سبق أن مجموعة جميع الأعداد الصحيحة مقسمة إلى ثلاث فئات: واحد، أعداد أولية وأعداد مركبة.

هناك نظرية مهمة جدًا في نظرية الأعداد تنص على أنه "يمكن تمثيل أي عدد صحيح كحاصل ضرب الأعداد الأولية، وحتى ترتيب العوامل، يكون هذا التمثيل فريدًا". تُعرف هذه النظرية باسم "النظرية الأساسية في الحساب". إنه يوضح أن الأعداد الأولية تعمل بمثابة "وحدات البناء" التي يمكن من خلالها إنشاء جميع الأعداد الصحيحة باستثناء واحد باستخدام الضرب.

إذا تم إعطاء مجموعة معينة من الأعداد الصحيحة، فإن أكبر عدد صحيح يكون مقسومًا على كل رقم مدرج في هذه المجموعة يسمى القاسم المشترك الأكبرمجموعة معينة من الأرقام؛ يسمى أصغر عدد صحيح مقسوم عليه هو كل رقم من مجموعة معينة أقل مضاعف مشتركمجموعة معينة من الأرقام. وبالتالي، فإن القاسم المشترك الأكبر للأرقام 12 و18 و30 هو 6. والمضاعف المشترك الأصغر لنفس الأرقام هو 180. إذا كان القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين أو بيساوي 1، ثم الأرقام أو بوتسمى رئيسي متبادل. على سبيل المثال، الرقمان 8 و9 أوليان نسبيًا، على الرغم من أن أيًا منهما ليس أوليًا.

أرقام عقلانية إيجابية.

كما رأينا، الأعداد الصحيحة هي تجريدات تنشأ من عملية حساب مجموعات محدودة من الكائنات. ومع ذلك، لاحتياجات الحياة اليومية، الأعداد الصحيحة ليست كافية. على سبيل المثال، عند قياس طول سطح الطاولة، قد تكون وحدة القياس المعتمدة كبيرة جدًا ولا تتناسب مع الطول المقاس لعدد كامل من المرات. للتعامل مع هذه الصعوبة بمساعدة ما يسمى ب. كسور(أي، حرفيًا، "مكسورة")، يتم تقديم وحدة طول أصغر. لو د- بعض الأعداد الصحيحة، ثم الوحدة الكسرية 1/ ديحددها العقار دґ1/د= 1، وإذا نهو عدد صحيح، ثم نґ1/دنحن ببساطة نكتبها كما ن/د. تسمى هذه الأرقام الجديدة بالكسور "العادية" أو "البسيطة". عدد صحيح نمُسَمًّى البسطالكسور والأرقام د – المقام - صفة مشتركة - حالة. يوضح المقام عدد الأسهم المتساوية التي تم تقسيم الوحدة إليها، ويوضح البسط عدد هذه الأسهم التي تم أخذها. لو ند، الكسر يسمى الصحيح؛ لو ن = دأو ن> د، فهو غير صحيح. يتم التعامل مع الأعداد الصحيحة على أنها كسور ذات مقام 1؛ على سبيل المثال، 2 = 2/1.

منذ الكسر ن/ديمكن تفسيرها على أنها نتيجة للانقسام نوحدات لكل دأجزاء متساوية وبأخذ أحد هذه الأجزاء، يمكن اعتبار الكسر بمثابة "حاصل" أو "نسبة" لعددين صحيحين نو د، وفهم خط الكسر كعلامة القسمة. ولذلك، عادة ما يتم استدعاء الكسور (بما في ذلك الأعداد الصحيحة كحالة خاصة من الكسور). عاقِلالأرقام (من النسبة اللاتينية - النسبة).

كسرين ن/دو ( كґن)/(كґد)، أين ك- عدد صحيح، يمكن اعتباره متساويًا؛ على سبيل المثال، 4/6 = 2/3. (هنا ن = 2, د= 3 و ك= 2.) يُعرف هذا باسم "الخاصية الأساسية للكسر": لن تتغير قيمة أي كسر إذا تم ضرب (أو قسمة) بسط الكسر ومقامه بنفس الرقم. ويترتب على ذلك أنه يمكن كتابة أي كسر كنسبة بين رقمين أوليين نسبيًا.

من تفسير الكسر المقترح أعلاه، يتبع أيضًا أنه مجموع كسرين ن/دو م/دلها نفس المقام، يجب أن تأخذ الكسر ( ن + م)/د. عند إضافة كسور بمقامات مختلفة، يجب عليك أولًا تحويلها، باستخدام الخاصية الأساسية للكسر، إلى كسور مكافئة لها نفس المقام (المشترك). على سبيل المثال، ن 1 /د 1 = (ن 1 ح د 2)/(د 1 ح د 2 و ن 2 /د 2 = (ن 2 ح د 1)/(د 1 ح د 2) من أين

يمكن للمرء أن يفعل ذلك بطريقة مختلفة وأن يجد أولاً المضاعف المشترك الأصغر، على سبيل المثال م، القواسم د 1 و د 2. ثم هناك أعداد صحيحة ك 1 و ك 2، مثل ذلك م = ك 1 ح د 1 = ك 2 ح د 2 ونحصل على:

مع هذه الطريقة الرقم معادة ما يسمى القاسم المشترك الأدنىكسرين. هاتان النتيجتان متكافئتان في تعريف مساواة الكسور.

منتج من كسرين ن 1 /د 1 و ن 2 /د 2 يؤخذ مساويا للكسر ( ن 1 ح ن 2)/(د 1 ح د 2).

القوانين الأساسية الثمانية المذكورة أعلاه للأعداد الصحيحة صالحة أيضًا إذا كانت تحت أ, ب, جفهم الأعداد العقلانية الإيجابية التعسفية. وكذلك إذا أعطيت رقمين نسبيين موجبين ن 1 /د 1 و ن 2 /د 2، ثم نقول ذلك ن 1 /د 1 > ن 2 /د 2 إذا وفقط إذا ن 1 ح د 2 > ن 2 ح د 1 .

أرقام حقيقية إيجابية

يشير استخدام الأرقام لقياس أطوال مقاطع الخط إلى ذلك بالنسبة لأي مقطعين خطيين محددين أ.بو قرص مضغوطيجب أن يكون هناك بعض الجزء الأشعة فوق البنفسجية، ربما صغيرة جدًا، والتي يمكن تأجيلها عددًا صحيحًا من المرات في كل مقطع أ.بو قرص مضغوط. إذا كانت هذه وحدة مشتركة للطول الأشعة فوق البنفسجيةموجود، ثم الأجزاء أ.بو قرص مضغوطتسمى متناسبة. بالفعل في العصور القديمة، عرف الفيثاغوريون عن وجود شرائح مستقيمة غير قابلة للقياس. والمثال الكلاسيكي هو جانب المربع وقطره. إذا أخذنا جانب المربع كوحدة للطول، فلا يوجد رقم نسبي يمكن أن يكون قياسًا لقطر هذا المربع. يمكنك التحقق من ذلك من خلال الجدال بالتناقض. في الواقع، لنفترض أن العدد العقلاني ن/دهو قياس القطر. ولكن بعد ذلك الجزء 1/ ديمكن تأجيلها نمرة واحدة قطريا و دمرات على جانب المربع، على الرغم من أن قطري وجانب المربع غير قابلين للقياس. وبالتالي، بغض النظر عن اختيار وحدة الطول، ليست كل مقاطع الخط لها أطوال يمكن التعبير عنها بأرقام منطقية. لكي يتم قياس جميع مقاطع الخط بواسطة وحدة طول ما، يجب توسيع نظام الأرقام ليشمل أرقامًا تمثل نتائج قياس أطوال مقاطع الخط التي لا تتناسب مع وحدة الطول المختارة. وتسمى هذه الأرقام الجديدة إيجابية غير منطقيأعداد. هذا الأخير، إلى جانب الأرقام العقلانية الإيجابية، يشكل مجموعة أوسع من الأرقام، والتي تسمى عناصرها إيجابية صالحأعداد.

لو أو– نصف الخط الأفقي المنبثق من نقطة ما يا, ش- أشر على أو، يختلف عن الأصل يا، و الوحدة التنظيميةيتم اختياره كقطعة وحدة، ثم كل نقطة صعلى نصف الخط أويمكن أن ترتبط بعدد حقيقي موجب واحد ص، معبراً عن طول المقطع OP. بهذه الطريقة ننشئ تطابقًا فرديًا بين الأعداد الحقيقية الموجبة والنقاط الأخرى غير يا، على نصف الخط أو. لو صو س- رقمان حقيقيان موجبان يتوافقان مع النقاط صو سعلى أو، ثم نكتب ع>ف,ع = فأو p حسب موقع النقطة صعلى يمين النقطة سعلى أو، يتزامن مع سأو تقع على يسار س.

أدى إدخال الأرقام غير المنطقية الموجبة إلى توسيع نطاق تطبيق الحساب بشكل كبير. على سبيل المثال، إذا أ- أي عدد حقيقي موجب و نأي عدد صحيح، فإن هناك عددًا حقيقيًا موجبًا واحدًا فقط ب، مثل ذلك مليار = أ. هذا العدد بيسمى الجذر نالدرجة ال أويتم كتابته حيث يشبه الرمز في مخططه الحرف اللاتيني صالتي تبدأ بها الكلمة اللاتينية الجذر(الجذر) ويسمى متطرف. يمكن أن يظهر ذلك

تُعرف هذه العلاقات بالخصائص الأساسية للجذور.

من وجهة نظر عملية، من المهم جدًا أن يتم تقريب أي عدد غير نسبي موجب بالدقة المطلوبة بواسطة رقم نسبي موجب. وهذا يعني أنه إذا صهو عدد غير عقلاني موجب و ههو رقم نسبي موجب صغير بشكل تعسفي، ثم يمكننا العثور على أرقام منطقية موجبة أو ب، مثل ذلك أ و ب. على سبيل المثال، الرقم غير منطقي. إذا قمت بتحديد ه= 0.01 إذن؛ إذا اخترت ه= 0.001

نظام الأرقام الهندي العربي.

تعتمد الخوارزميات، أو مخططات الحساب، على نظام الأرقام المستخدم. فمن الواضح تمامًا، على سبيل المثال، أن طرق الحساب التي تم اختراعها لنظام الأرقام الروماني قد تختلف عن الخوارزميات التي تم اختراعها للنظام الهندي العربي الحالي. علاوة على ذلك، قد تكون بعض أنظمة الأرقام غير مناسبة تمامًا لبناء الخوارزميات الحسابية. تظهر البيانات التاريخية أنه قبل اعتماد نظام تدوين الأرقام الهندي العربي، لم تكن هناك خوارزميات على الإطلاق تجعل من السهل جمع الأرقام وطرحها وضربها وقسمتها باستخدام "القلم والورق". على مدار السنوات الطويلة من وجود النظام الهندي العربي، تم تطوير العديد من الإجراءات الخوارزمية التي تم تكييفها خصيصًا له، بحيث تكون خوارزمياتنا الحديثة نتاج عصر كامل من التطوير والتحسين.

في نظام الأرقام الهندوسي العربي، كل إدخال يمثل رقمًا هو مجموعة من عشرة رموز أساسية 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، تسمى أرقامًا. على سبيل المثال، يأخذ التدوين الهندوسي العربي للرقم أربعمائة وثلاثة وعشرون شكل تسلسل الأرقام 423. ويتم تحديد معنى الرقم في التدوين الهندوسي العربي للرقم حسب مكانه أو موضعه، في تسلسل الأرقام التي تشكل هذا الترميز. في المثال الذي قدمناه، الرقم 4 يعني أربع مئات، والرقم 2 يعني عشرتين، والرقم 3 يعني ثلاثة آحاد. ويلعب الرقم 0 (صفر)، المستخدم لملء المناصب الفارغة، دورًا مهمًا للغاية؛ على سبيل المثال، المدخل 403 يعني الرقم أربعمائة وثلاثة، أي. العشرات مفقودون. لو أ, ب, ج, د, هيعني الأرقام الفردية، ثم في النظام الهندي العربي abcdeيعني اختصار لعدد صحيح

نظرًا لأن كل عدد صحيح يقبل تمثيلًا فريدًا في النموذج

أين نهو عدد صحيح، و أ 0 , أ 1 ,..., ن- الأرقام، نستنتج أنه في نظام أرقام معين، يمكن تمثيل كل عدد صحيح بطريقة فريدة.

يتيح لك نظام الأرقام الهندوسي العربي أن تكتب بإيجاز ليس فقط الأعداد الصحيحة، ولكن أيضًا أي أرقام حقيقية موجبة. دعونا نقدم الترميز 10 - نلمدة 1/10 ن، أين ن- عدد صحيح موجب تعسفي. ومن ثم، كما يتبين، يمكن تمثيل أي عدد حقيقي موجب، وبشكل فريد، في الصورة

يمكن ضغط هذا السجل عن طريق كتابته كسلسلة من الأرقام

أين تقع العلامة التي تسمى العلامة العشرية بين أ 0 و بويشير الرقم 1 إلى أين تبدأ القوى السالبة للرقم 10 (في بعض البلدان يتم استخدام نقطة لهذا الغرض). تسمى هذه الطريقة لكتابة عدد حقيقي موجب بالتوسيع العشري، والكسر الذي يتم تقديمه على شكل مفكوكه العشري هو عدد عشري.

يمكن إثبات أنه بالنسبة للرقم النسبي الموجب، فإن التوسع العشري بعد العلامة العشرية إما ينقطع (على سبيل المثال، 7/4 = 1.75) أو يتكرر (على سبيل المثال، 6577/1980 = 3.32171717...). إذا كان الرقم غير نسبي، فإن توسعه العشري لا ينقطع ولا يتكرر. إذا توقف التوسع العشري لعدد غير نسبي عند منزلة عشرية ما، فإننا نحصل على التقريب العقلاني له. كلما كانت الإشارة التي ننهي عندها العلامة العشرية أبعد عن يمين العلامة العشرية، كان التقريب العقلاني أفضل (كلما كان الخطأ أصغر).

في النظام الهندوسي العربي، تتم كتابة الرقم باستخدام عشرة أرقام أساسية، يعتمد معناها على مكانها، أو موضعها، في تدوين الرقم (قيمة الرقم تساوي حاصل ضرب الرقم وبعضها قوة 10). لذلك يسمى هذا النظام بالنظام الموضعي العشري. تعتبر أنظمة الأرقام الموضعية ملائمة جدًا لبناء الخوارزميات الحسابية، ولهذا السبب ينتشر نظام الأرقام الهندي العربي على نطاق واسع في العالم الحديث، على الرغم من إمكانية استخدام رموز مختلفة للإشارة إلى أرقام فردية في بلدان مختلفة.

اسماء الارقام.

أسماء الأرقام في النظام الهندي العربي تتبع قواعد معينة. الطريقة الأكثر شيوعًا لتسمية الأرقام هي أن يتم تقسيم الرقم أولاً إلى مجموعات مكونة من ثلاثة أرقام من اليمين إلى اليسار. تسمى هذه المجموعات "الفترات". الفترة الأولى تسمى فترة "الوحدات"، والثانية - فترة "الآلاف"، والثالثة - فترة "الملايين"، وما إلى ذلك، كما هو موضح في المثال التالي:

تتم قراءة كل فترة كما لو كانت رقمًا مكونًا من ثلاثة أرقام. على سبيل المثال، تتم قراءة الفترة 962 على أنها "تسعمائة واثنان وستون". لقراءة رقم يتكون من عدة فترات، تتم قراءة مجموعة الأرقام في كل فترة، بدءًا من أقصى اليسار ثم المتابعة بالترتيب من اليسار إلى اليمين؛ ويتبع كل مجموعة اسم الفترة. على سبيل المثال، الرقم أعلاه يقرأ "ثلاثة وسبعون تريليون وثمانمائة واثنان وأربعون مليار وتسعمائة واثنان وستون مليون وخمسمائة واثنان وثلاثون ألف وسبعمائة وثمانية وتسعون." لاحظ أنه عند قراءة الأعداد الصحيحة وكتابتها، لا يتم استخدام أداة العطف "و" عادةً. تم حذف اسم فئة الوحدة. التريليونات تليها كوادريليون، وكوينتيليون، وسيكتيليون، وسيبتيليون، وأوكتيليون، ونونيليون، وديسيليون. كل فترة لها قيمة أكبر 1000 مرة من الفترة السابقة.

في النظام الهندوسي العربي، من المعتاد اتباع الإجراء التالي لقراءة الأرقام الموجودة على يمين العلامة العشرية. هنا تسمى المواضع (بالترتيب من اليسار إلى اليمين): "أعشار"، "أجزاء من مائة"، "أجزاء من ألف"، "أجزاء من عشرة آلاف"، إلخ. تتم قراءة العلامة العشرية الصحيحة كما لو كانت الأرقام الموجودة بعد العلامة العشرية تشكل رقمًا صحيحًا، متبوعًا باسم موضع الرقم الأخير على اليمين. على سبيل المثال، تتم قراءة 0.752 كـ "سبعمائة واثنين وخمسين جزءًا من الألف". تتم قراءة العلامة العشرية المختلطة من خلال الجمع بين قاعدة تسمية الأعداد الصحيحة وقاعدة تسمية الكسور العشرية الصحيحة. على سبيل المثال، يقرأ الرقم 632.752 "ستمائة واثنان وثلاثون نقطة وسبعمائة واثنين وخمسون جزءًا من الألف". لاحظ كلمة "الأعداد الصحيحة" قبل العلامة العشرية. في السنوات الأخيرة، أصبحت قراءة الأرقام العشرية أكثر بساطة، على سبيل المثال 3.782 على أنها "ثلاثة وسبعمائة واثنان وثمانون".

إضافة.

نحن الآن جاهزون لتحليل الخوارزميات الحسابية التي يتم تدريسها في المدرسة الابتدائية. تتعامل هذه الخوارزميات مع العمليات على الأعداد الحقيقية الموجبة المكتوبة على شكل توسعات عشرية. نحن نفترض أن جداول الجمع والضرب الأولية قد تم حفظها عن ظهر قلب.

خذ بعين الاعتبار مسألة الجمع: احسب 279.8 + 5.632 + 27.54:

أولا نجمع نفس قوى الرقم 10. العدد 19X10 –1 ينقسم وفقا لقانون التوزيع إلى 9X10 –1 و 10X10 –1 = 1. ننقل الوحدة إلى اليسار ونضيفها إلى 21، وهو ما يعطي 22. وبدورنا، نقوم بتقسيم الرقم 22 إلى 2 و 20 = 2H10. نحرك الرقم 2H10 إلى اليسار ونضيفه إلى 9H10 فيعطينا 11H10. أخيرًا، نقسم 11H10 إلى 1H10 و10H10 = 1H10 2، ونحرك 1H10 2 إلى اليسار ونضيفه إلى 2H10 2، فيعطينا 3H10 2. المجموع النهائي هو 312.972.

من الواضح أنه يمكن تقديم الحسابات التي يتم إجراؤها بشكل أكثر إيجازًا، وفي نفس الوقت استخدامها كمثال لخوارزمية الجمع التي يتم تدريسها في المدرسة. للقيام بذلك، نكتب الأرقام الثلاثة واحدًا تحت الآخر بحيث تكون النقاط العشرية على نفس المستوى الرأسي:

وبالبدء من اليمين نجد أن مجموع المعاملات عند 10 –3 يساوي 2، وهو ما نكتبه في العمود المقابل تحت السطر. مجموع المعاملات عند 10 –2 يساوي 7، وهو مكتوب أيضًا في العمود المقابل تحت السطر. مجموع المعاملات لـ 10 –1 هو 19. نكتب الرقم 9 تحت السطر، وننقل 1 إلى العمود السابق، حيث يوجد رقم واحد. مع الأخذ في الاعتبار هذه الوحدة، فإن مجموع المعامل في هذا العمود يساوي 22. نكتب واحدًا واثنين تحت السطر، وننقل الآخر إلى العمود السابق، حيث توجد العشرات. مع الأخذ في الاعتبار الاثنين المنقولين، فإن مجموع المعاملات في هذا العمود يساوي 11. نكتب وحدة واحدة تحت السطر، وننقل الأخرى إلى العمود السابق، حيث يوجد المئات. ويتبين أن مجموع المعاملات في هذا العمود يساوي 3، وهو ما نكتبه أسفل السطر. المبلغ المطلوب هو 312.972.

الطرح.

الطرح هو عكس الجمع. إذا كانت هناك ثلاثة أعداد حقيقية موجبة أ, ب, جمترابطة بحيث أ+ب=ج، ثم نكتب أ = ج - ب، حيث تتم قراءة الرمز "-" على أنه "ناقص". العثور على رقم أحسب الارقام المعروفة بو جيسمى "الطرح". رقم جدعا مينويند، رقم ب- "قابل للطرح" والرقم أ- "اختلاف". وبما أننا نتعامل مع أعداد حقيقية موجبة، فيجب استيفاء الشرط ج > ب.

دعونا نلقي نظرة على مثال للطرح: احسب 453.87 – 82.94.

أولًا، باستعارة وحدة من اليسار إذا لزم الأمر، نقوم بتحويل مفكوك الطرح بحيث يكون معامله لأي أس 10 أكبر من معامل المطروح لنفس الأس. من 4H10 2 نستعير 1H10 2 = 10H10، بإضافة الرقم الأخير إلى الحد التالي في الموسع، والذي يعطي 15H10؛ وبالمثل، نستعير 1X10 0، أو 10Ч10 –1، ونضيف هذا الرقم إلى الحد قبل الأخير من التوسيع. بعد ذلك، نحصل على فرصة طرح المعاملات لنفس قوى الرقم 10 وإيجاد الفرق 370.93 بسهولة.

يمكن تقديم تسجيل عمليات الطرح في شكل أكثر ضغطًا ويمكنك الحصول على مثال لخوارزمية الطرح التي تمت دراستها في المدرسة. نكتب المطروح أسفل علامة الطرح بحيث تكون الفواصل العشرية لها على نفس الوضع الرأسي. بدءًا من اليمين نجد أن الفرق في المعاملات عند 10 –2 يساوي 3، ونكتب هذا الرقم في نفس العمود تحت السطر. وبما أنه في العمود التالي على اليسار لا يمكننا طرح 9 من 8، فإننا نغير الثلاثة في موضع الوحدات من الطرح إلى اثنين ونعامل الرقم 8 في موضع الأعشار على أنه 18. وبعد طرح 9 من 18 نحصل على 9، إلخ .، أي. .

عمليه الضرب.

دعونا نفكر أولاً في ما يسمى ب الضرب "القصير" هو ضرب عدد حقيقي موجب بأحد الأعداد المكونة من رقم واحد 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، على سبيل المثال، 32.67q4. باستخدام قانون التوزيع، وكذلك قوانين الترابط والإبدال في الضرب، نحصل على فرصة لتقسيم العوامل إلى أجزاء وترتيبها بطريقة أكثر ملاءمة. على سبيل المثال،

يمكن كتابة هذه الحسابات بشكل أكثر إحكاما على النحو التالي:

يمكن أن تستمر عملية الضغط. نكتب العامل 4 تحت المضاعف 32.67 كما هو مبين:

بما أن 4×7 = 28، فإننا نكتب الرقم 8 تحت السطر، ونضع 2 فوق الرقم 6 في المضاعف. بعد ذلك، 4Б6 = 24، والذي، مع الأخذ في الاعتبار ما تم نقله من العمود على اليمين، يعطي 26. نكتب الرقم 6 تحت السطر، ونكتب 2 فوق الرقم 2 للمضاعف. ثم نحصل على 4 2 = 8، والذي بالاشتراك مع الاثنين المنقولين يعطي 10. نوقع الرقم 0 تحت السطر، والرقم فوق الرقم 3 من المضاعف. وأخيرا، 4Б3 = 12، والتي، مع الأخذ في الاعتبار الوحدة المنقولة، تعطي 13؛ الرقم 13 مكتوب تحت السطر. وبوضع العلامة العشرية نحصل على الإجابة: حاصل الضرب يساوي 130.68.

الضرب "الطويل" هو ببساطة ضرب "قصير" يتكرر مرارًا وتكرارًا. لنأخذ على سبيل المثال ضرب الرقم 32.67 في الرقم 72.4. لنضع المضاعف تحت المضاعف، كما هو موضح:

بإجراء الضرب القصير من اليمين إلى اليسار، نحصل على حاصل القسمة الأول 13.068، والثاني 65.34، والثالث 2286.9. وفقًا لقانون التوزيع، فإن المنتج المطلوب العثور عليه هو مجموع هذه المنتجات الجزئية، أو 2365.308. في التدوين الكتابي، يتم حذف العلامة العشرية في المنتجات الجزئية، ولكن يجب ترتيبها بشكل صحيح في "خطوات" حتى يتم تلخيصها بعد ذلك للحصول على المنتج الكامل. عدد المنازل العشرية في المنتج يساوي مجموع عدد المنازل العشرية في المضاعف والمضاعف.

قسم.

القسمة هي العملية العكسية للضرب؛ فكما أن الضرب يحل محل الجمع المتكرر، فإن القسمة تحل محل الطرح المتكرر. خذ على سبيل المثال السؤال: كم مرة يوجد الرقم 3 في العدد 14؟ وبتكرار عملية طرح 3 من 14 نجد أن 3 "يدخل" 14 أربع مرات، والرقم 2 "يبقى"، أي.

الرقم 14 يسمى قابل للقسمة، رقم 3 - مقسم، رقم 4 - خاصورقم 2 – الباقي. ويمكن التعبير عن العلاقة الناتجة بالكلمات على النحو التالي:

الأرباح = (حاصل المقسوم عليه) + الباقي،

0 الباقي

إن إيجاد حاصل القسمة 1400 والباقي على 3 عن طريق طرح 3 بشكل متكرر سيتطلب الكثير من الوقت والجهد. يمكن تسريع الإجراء بشكل كبير إذا طرحنا أولاً 300 من 1400، ثم 30 من الباقي، وأخيرًا 3. وبعد طرح 300 أربع مرات، سنحصل على الباقي 200؛ وبعد طرح 30 من 200 ست مرات، يصبح الباقي 20؛ وأخيرًا، بعد طرح 3 من 20 ست مرات، نحصل على الباقي 2. لذلك،

الناتج والباقي المطلوب العثور عليه هما 466 و 2 على التوالي، ويمكن تنظيم الحسابات ومن ثم ضغطها بالتسلسل على النحو التالي:

ينطبق المنطق المذكور أعلاه إذا كان المقسوم والمقسوم عبارة عن أرقام حقيقية موجبة يتم التعبير عنها في النظام العشري. دعونا نوضح ذلك بمثال 817.65е23.7.

أولاً، يجب تحويل المقسوم عليه إلى عدد صحيح باستخدام إزاحة النقطة العشرية. في هذه الحالة، يتم إزاحة العلامة العشرية للمقسوم بنفس عدد المنازل العشرية. يتم ترتيب المقسوم عليه وأرباحه كما هو موضح أدناه:

دعونا نحدد عدد المرات التي يوجد فيها المقسوم عليه في العدد المكون من ثلاثة أرقام 817، وهو الجزء الأول من المقسوم الذي نقسمه على المقسوم عليه. وبما أنه مقدر احتواؤه ثلاث مرات، فإننا نضرب 237 في 3 ونطرح حاصل ضرب 711 من 817. والفرق 106 أقل من المقسوم عليه. وهذا يعني أن الرقم 237 يظهر في الأرباح التجريبية بما لا يزيد عن ثلاث مرات. الرقم 3، المكتوب تحت المقسوم على الرقم 2 أسفل الخط الأفقي، هو الرقم الأول من حاصل القسمة الذي يجب إيجاده. بعد أن ننتقل إلى الرقم التالي من المقسوم، نحصل على المقسوم التجريبي التالي 1066، ونحتاج إلى تحديد عدد المرات التي يتناسب فيها المقسوم عليه 237 مع الرقم 1066؛ لنفترض 4 مرات. نضرب المقسوم عليه في 4 ونحصل على الناتج 948 الذي نطرحه من 1066؛ اتضح أن الفرق هو 118، مما يعني أن الرقم التالي من الحاصل هو 4. ثم نطرح الرقم التالي من المقسوم ونكرر الإجراء بأكمله الموضح أعلاه. هذه المرة اتضح أن المقسوم التجريبي 1185 هو بالضبط (بدون باقي) قابل للقسمة على 237 (تبين أخيرًا أن باقي القسمة هو 0). من خلال الفصل بفاصلة عشرية في حاصل القسمة بنفس عدد الأرقام التي يتم فصلها في المقسوم (تذكر أننا قمنا سابقًا بنقل العلامة العشرية)، نحصل على الإجابة: حاصل القسمة يساوي 34.5.

الكسور.

تشمل العمليات الحسابية للكسور الجمع والطرح والضرب والقسمة، بالإضافة إلى تبسيط الكسور المعقدة.

جمع الكسور التي لها نفس المقام تتم عن طريق جمع البسط، على سبيل المثال:

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

إذا كانت الكسور لها مقامات مختلفة، فيجب أولاً اختزالها إلى مقام مشترك، أي. تحويلها إلى كسور لها نفس المقامات. للقيام بذلك، نجد المقام المشترك الأصغر (أصغر مضاعف لكل من المقامات المحددة). على سبيل المثال، عند جمع 2/3 و1/6 و3/5، يكون المقام المشترك الأصغر هو 30:

تلخيص، نحصل على

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

يتم طرح الكسور بنفس طريقة جمعها. إذا كانت المقامات هي نفسها، فإن عملية الطرح تنتهي بطرح البسطين: 10/13 – 2/13 = 8/13؛ إذا كانت الكسور لها مقامات مختلفة، فيجب عليك أولاً إحضارها إلى مقام مشترك:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

عند ضرب الكسور، يتم ضرب بسطها ومقامها بشكل منفصل. على سبيل المثال،

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

لتقسيم كسر على آخر، تحتاج إلى ضرب الكسر الأول (المقسوم) في الكسر المتبادل للثاني (المقسوم عليه) (للحصول على الكسر المتبادل، تحتاج إلى تبديل بسط ومقام الكسر الأصلي)، أي. ( ن 1 /د 1)ه( ن 2 /د 2) = (ن 1 ح د 2)/(د 1 ح ن 2). على سبيل المثال،

3/4е7/8 = 3/4е8/7 = 24/28 = 6/7.

الرقم المختلط هو مجموع (أو فرق) عدد صحيح وكسر، مثل 4 + 2/3 أو 10 – 1/8. بما أنه يمكن اعتبار العدد الصحيح كسرًا مقامه 1، فإن العدد المختلط ليس أكثر من مجموع (أو فرق) كسرين. على سبيل المثال،

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

الكسر المركب هو الذي يحتوي على كسر إما في البسط أو المقام أو البسط والمقام. يمكن تحويل هذا الكسر إلى جزء بسيط:

الجذر التربيعي.

لو ن ص، مثل ذلك ص 2 = ن. رقم صمُسَمًّى الجذر التربيعيمن نويتم تعيينه. يعلمونك في المدرسة استخراج الجذور التربيعية بطريقتين.

الطريقة الأولى هي الأكثر شعبية لأنها أبسط وأسهل في التطبيق؛ يمكن تنفيذ العمليات الحسابية باستخدام هذه الطريقة بسهولة على الآلة الحاسبة المكتبية وتعميمها على حالة الجذور التكعيبية والجذور العليا. تعتمد الطريقة على حقيقة أنه إذا ص 1- يقترب من الجذر إذن ص 2 = (1/2)(ص 1 + ن/ص 1) – تقريب أكثر دقة للجذر.

دعونا نوضح الإجراء عن طريق حساب الجذر التربيعي لبعض الأرقام بين 1 و100، مثل الرقم 40. وبما أن 6 2 = 36 و7 2 = 49، فإننا نستنتج أن 6 هو أفضل تقريب للأعداد الصحيحة. يتم الحصول على تقريب أكثر دقة من 6 على النحو التالي. قسمة 40 على 6 تعطي 6.6 (مقربًا إلى العلامة العشرية الأولى) حتىأعداد الأعشار). للحصول على تقريب ثانٍ لـ ، نقوم بمتوسط ​​الرقمين 6 و 6.6 ونحصل على 6.3. وبتكرار الإجراء، نحصل على تقريب أفضل. بقسمة 40 على 6.3 نجد الرقم 6.350، والتقريب الثالث يصبح (1/2)(6.3 + 6.350) = 6.325. تكرار آخر يعطي 40е6.325 = 6.3241106، والتقريب الرابع هو (1/2)(6.325 + 6.3241106) = 6.3245553. يمكن أن تستمر العملية طالما رغبت في ذلك. بشكل عام، يمكن أن يحتوي كل تقريب لاحق على ضعف عدد الأرقام السابقة. لذلك، في مثالنا، بما أن التقريب الأول، العدد الصحيح 6، يحتوي على رقم واحد فقط، يمكننا الاحتفاظ برقمين في التقريب الثاني، وأربعة في الثالث، وثمانية في الرابع.

إذا كان الرقم نلا تقع بين 1 و100، فيجب عليك أولاً القسمة (أو الضرب) نلبعض قوة 100، على سبيل المثال، ل ك-ث بحيث يكون الناتج في النطاق من 1 إلى 100. ثم سيكون الجذر التربيعي للمنتج في النطاق من 1 إلى 10، وبعد استخراجه نضرب (أو نقسم) الرقم الناتج على 10 ك، ابحث عن الجذر التربيعي المطلوب. على سبيل المثال، إذا ن= 400000، ثم نحن أولا يقسم 400000 في 100 2 ونحصل على الرقم 40 الذي يقع في النطاق من 1 إلى 100. وكما هو موضح أعلاه، فهو يساوي تقريبًا 6.3245553. ضربهذا الرقم بمقدار 10 2، نحصل على 632.45553 كقيمة تقريبية لـ، والرقم 0.63245553 بمثابة قيمة تقريبية لـ.

أما الإجراء الثاني المذكور أعلاه فهو يعتمد على الهوية الجبرية ( أ + ب) 2 = أ 2 + (2أ + ب)ب. في كل خطوة، يتم أخذ الجزء الذي تم الحصول عليه بالفعل من الجذر التربيعي على أنه أ، والجزء الذي لا يزال يتعين تحديده هو ب.

الجذر التكعيبي.

لاستخراج الجذر التكعيبي لعدد حقيقي موجب، توجد خوارزميات مشابهة لتلك المستخدمة في استخراج الجذر التربيعي. على سبيل المثال، للعثور على الجذر التكعيبي لعدد ن، أولاً نقوم بتقريب الجذر بعدد معين ص 1 . ثم نبني تقريب أكثر دقة ص 2 = (1/3)(2ص 1 + ن/ص 1 2)، والذي بدوره يفسح المجال لتقريب أكثر دقة ص 3 = (1/3)(2ص 2 + ن/ص 2 2) الخ. يمكن أن يستمر إجراء بناء تقديرات تقريبية دقيقة بشكل متزايد للجذر إلى أجل غير مسمى.

لنأخذ على سبيل المثال حساب الجذر التكعيبي لعدد يقع بين 1 و1000، مثل الرقم 200. وبما أن 5 3 = 125 و6 3 = 216، فإننا نستنتج أن 6 هو أقرب عدد صحيح إلى الجذر التكعيبي للعدد 200. لذلك نختار ص 1 = 6 وحسابها بالتسلسل ص 2 = 5,9, ص 3 = 5,85, ص 4 = 5.8480. في كل تقريب، ابتداءً من الثالث، يُسمح بالاحتفاظ بعدد من الأحرف يقل بمقدار واحد عن ضعف عدد الأحرف في التقريب السابق. إذا كان الرقم الذي تريد استخراج الجذر التكعيبي منه لا يقع بين 1 و1000، فيجب عليك أولاً قسمته (أو ضربه) على بعض، على سبيل المثال، كعشر، قوة الرقم 1000 وبالتالي إدخاله في النطاق المطلوب من الأرقام. يقع الجذر التكعيبي للرقم الذي تم الحصول عليه حديثًا في النطاق من 1 إلى 10. وبعد حسابه، يجب ضربه (أو قسمته) على 10 كللحصول على الجذر التكعيبي للرقم الأصلي.

تعتمد الخوارزمية الثانية، الأكثر تعقيدًا، للعثور على الجذر التكعيبي لعدد حقيقي موجب، على استخدام الهوية الجبرية ( أ + ب) 3 = أ 3 + (3أ 2 + 3أب + ب 2)ب. حاليًا، لا يتم تدريس خوارزميات استخراج الجذور التكعيبية، وكذلك جذور القوى العليا، في المدرسة الثانوية، حيث يسهل العثور عليها باستخدام اللوغاريتمات أو الطرق الجبرية.

خوارزمية إقليدس.

تم تقديم هذه الخوارزمية في البداياتإقليدس (ج. 300 قبل الميلاد). يتم استخدامه لحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين. وفي حالة الأعداد الموجبة، تتم صياغتها كقاعدة إجرائية: "اقسم أكبر الرقمين المعطاين على الأصغر. ثم قسّم المقسوم عليه على الباقي واستمر بهذه الطريقة حتى يتم قسمة المقسوم الأخير على الباقي الأخير بالتساوي. وسيكون آخر المقسوم عليه هو القاسم المشترك الأكبر للرقمين المحددين.

كمثال رقمي، فكر في عددين صحيحين 3132 و7200. تتلخص الخوارزمية في هذه الحالة في الخطوات التالية:

القاسم المشترك الأكبر هو نفس المقسوم عليه الأخير - الرقم 36. الشرح بسيط. في مثالنا، نرى من السطر الأخير أن الرقم 36 يقسم الرقم 288. ومن السطر قبل الأخير، يتبع ذلك أن الرقم 36 يقسم 324. لذا، وبالانتقال من سطر إلى آخر، نحن مقتنعون بأن الرقم 36 يقسم 936. و 3132 و 7200 ندعي الآن أن الرقم 36 هو قاسم مشترك للرقمين 3132 و 7200. زهو القاسم المشترك الأكبر للأرقام 3132 و 7200. منذ ذلك الحين زيقسم 3132 و 7200، من السطر الأول يتبع ذلك زيقسم 936. ومن السطر الثاني نستنتج ذلك زيقسم 324. لذلك، من سطر إلى سطر، نحن مقتنعون بذلك زيقسم 288 و 36. وبما أن 36 هو قاسم مشترك للرقمين 3132 و 7200 ويقسم على القاسم المشترك الأكبر لهما، نستنتج أن 36 هو القاسم المشترك الأكبر.

فحص.

تتطلب الحسابات الحسابية اهتمامًا مستمرًا، وبالتالي تكون عرضة للأخطاء. لذلك، من المهم جدًا التحقق من نتائج الحساب.

1. يمكن التحقق من إضافة عمود من الأرقام عن طريق إضافة الأرقام الموجودة في العمود أولاً من الأعلى إلى الأسفل ثم من الأسفل إلى الأعلى. مبرر طريقة التحقق هذه هو القانون المعمم للتبديل وترابط الإضافة.

2. يتم التحقق من الطرح عن طريق إضافة الفرق مع المطروح - يجب الحصول على المطرح. الأساس المنطقي لطريقة التحقق هذه هو تعريف عملية الطرح.

3. يمكن التحقق من الضرب عن طريق إعادة ترتيب المضاعف والمضاعف. مبرر طريقة التحقق هذه هو قانون الضرب التبادلي. يمكنك التحقق من الضرب عن طريق تقسيم العامل (أو المضاعف) إلى حدين، وإجراء عمليتين ضرب منفصلتين وإضافة المنتجات الناتجة - يجب أن تحصل على المنتج الأصلي.

4. للتحقق من القسمة، عليك ضرب الناتج بالمقسوم عليه وإضافة الباقي إلى الناتج. يجب أن تحصل على الأرباح. الأساس المنطقي لطريقة التحقق هذه هو تعريف عملية التقسيم.

5. التحقق من صحة استخراج الجذر التربيعي (أو المكعب) يتمثل في رفع الرقم الناتج بالتربيع (أو المكعب) - يجب الحصول على الرقم الأصلي.

هناك طريقة بسيطة وموثوقة للغاية للتحقق من إضافة أو مضاعفة الأعداد الصحيحة وهي تقنية تمثل الانتقال إلى ما يسمى. "وحدة المقارنات 9". دعونا نسمي "الزائدة" باقي مجموع الأرقام المستخدمة لكتابة الرقم عند قسمته على 9. ومن ثم، فيما يتعلق بـ "التجاوزات"، يمكن صياغة نظريتين: "الزيادة في مجموع الأعداد الصحيحة تساوي الزيادة في مجموع التجاوزات في الحدود"، و"الزيادة في حاصل ضرب عددين صحيحين تساوي الزيادة في مجموع الأعداد الصحيحة". الفائض من نتاج تجاوزاتهم." فيما يلي أمثلة على عمليات التحقق بناءً على هذه النظرية:

يمكن أيضًا استخدام طريقة الانتقال إلى المقارنات modulo 9 عند اختبار الخوارزميات الحسابية الأخرى. وبطبيعة الحال، فإن مثل هذا الفحص ليس معصوما من الخطأ، لأن العمل مع "التجاوزات" يخضع أيضا للأخطاء، ولكن مثل هذا الموقف غير مرجح.

اهتمام.

النسبة المئوية هي كسر مقامه 100؛ يمكن كتابة النسب المئوية بثلاث طرق: في صورة كسر أو عدد عشري أو باستخدام علامة النسبة المئوية الخاصة %. على سبيل المثال، يمكن كتابة 7 بالمائة كـ 7/100، أو 0.07، أو 7%.

مثال على النوع الأكثر شيوعًا من مسائل النسبة المئوية هو ما يلي: "أوجد 17% من 82." لحل هذه المشكلة، تحتاج إلى حساب المنتج 0.17Б82 = 13.94. في المنتجات من هذا النوع، يسمى 0.17 المعدل، و82 هو الأساس، و13.94 هو الحصة، معبرًا عنها كنسبة مئوية. ترتبط الكميات الثلاثة المذكورة ببعضها البعض بالعلاقة

معدل القاعدة = النسبة المئوية للحصة.

وإذا عرفت أي كميتين فيمكن تحديد الكمية الثالثة من هذه العلاقة. وبناء على ذلك، نحصل على ثلاثة أنواع من المسائل "باستخدام النسب المئوية".

مثال 1. وارتفع عدد الطلاب المسجلين في هذه المدرسة من 351 إلى 396. وبأي نسبة ارتفع هذا العدد؟

وكانت الزيادة 396 – 351 = 45 شخصا. وبكتابة الكسر 45/351 كنسبة مئوية، نحصل على 45/351 = 0.128 = 12.8%.

مثال 2. إعلان في المتجر أثناء التخفيضات يقول "خصم 25% على جميع العناصر". ما هو سعر البيع لعنصر يُباع عادة بمبلغ 3.60 دولار؟

انخفاض بنسبة 25% في السعر بمقدار 3.60 دولار يعني انخفاضًا بمقدار 0.25-3.60 = 0.90 دولار؛ وبالتالي فإن سعر السلعة أثناء البيع سيكون 3.60 دولار – 0.90 دولار = 2.70 دولار.

مثال 3. حققت الأموال المودعة في البنك بنسبة 5٪ سنويًا ربحًا قدره 40 دولارًا سنويًا. ما هو المبلغ الذي تم إيداعه في البنك؟

بما أن 5% من المبلغ يساوي 40 دولارًا، أي. مبلغ 5/100 = 40 دولارًا، أو مبلغ 1/100 = 8 دولارات، المبلغ الإجمالي هو 800 دولار.

حساب الأعداد التقريبية.

تنشأ العديد من الأرقام المستخدمة في الحسابات إما من القياسات أو التقديرات، وبالتالي لا يمكن اعتبارها إلا أرقامًا تقريبية. من الواضح أن نتيجة الحسابات التي يتم إجراؤها بأرقام تقريبية لا يمكن أن تكون إلا رقمًا تقريبيًا. على سبيل المثال، لنفترض أن قياسات سطح العداد أسفرت عن النتائج التالية (مقربة إلى أقرب عشر من المتر): العرض 1.2 م، الطول 3.1 م؛ يمكن القول أن مساحة العداد هي 1.2К3.1 = 3.72 م2. ومع ذلك، في الواقع، المعلومات بعيدة كل البعد عن كونها مؤكدة. بما أن القيمة 1.2 م تشير فقط إلى أن قياس العرض يتراوح بين 1.15 و1.25 م، وتشير 3.1 إلى أن قياس الطول يتراوح بين 3.05 و3.15 م، أما بالنسبة لمساحة العداد فلا يمكننا إلا أن نقول إنها يجب أن تكون أكبر من 1.15q3.05 = 3.5075 ولكن أقل من 1.25 β 3.15 = 3.9375. ولذلك فإن الإجابة الوحيدة المعقولة على السؤال المتعلق بمساحة العداد هي القول بأنها تساوي 3.7 م2 تقريبًا.

ولننظر بعد ذلك إلى مشكلة جمع نتائج القياسات التقريبية 3.73 م، 52.1 م، 0.282 م، المجموع البسيط هو 56.112 م، ولكن كما في المشكلة السابقة، كل ما يمكن قوله على وجه اليقين هو أن المجموع الحقيقي يجب أن يكون أكبر من 3.725 + 52.05 + 0.2815 = 56.0565 م وأقل من 3.735 + 52.15 + 0.2825 = 56.1765 م، وبالتالي فإن الإجابة المعقولة الوحيدة على السؤال هي أن نقول إن المجموع يساوي 56.1 م تقريبًا.

يوضح المثالان أعلاه بعض القواعد المفيدة عند التعامل مع الأرقام التقريبية. هناك طرق مختلفة لتقريب الأرقام. واحد منهم هو تجاهل الأرقام السفلية من الرقم. علاوة على ذلك، إذا كان الرقم الأول الذي سيتم التخلص منه أكثر من خمسة، فيجب زيادة الرقم الأخير المتبقي بمقدار واحد، وإذا كان أقل، يبقى الرقم الأخير من الجزء المتبقي دون تغيير.

إذا كان الرقم الأول الذي سيتم التخلص منه هو خمسة بالضبط، فسيتم زيادة الرقم الأخير الذي سيتم الاحتفاظ به بمقدار واحد إذا كان فرديًا ويبقى دون تغيير إذا كان زوجيًا. على سبيل المثال، عند التقريب إلى أقرب جزء من مائة يكون الرقم 3.14159;17.7682; 28,999؛ 0.00234; 7.235 و7.325 يصبحان 3.14؛ 17.77؛ 29.00; 0.00; 7.24 و 7.32.

ترتبط طريقة أخرى للتقريب بمفهوم الأرقام المهمة وتستخدم عند كتابة رقم بواسطة الآلة. الأرقام المهمة لعدد تقريبي هي الأرقام الموجودة في تدوينه العشري بالترتيب من اليسار إلى اليمين، بدءًا من الرقم الأول غير الصفر وانتهاءً بالرقم الذي يقف بدلاً من العلامة العشرية المقابلة للخطأ. على سبيل المثال، الأرقام المهمة للرقم التقريبي 12.1 هي الأرقام 1، 2، 1؛ الرقم التقريبي 0.072 - الأرقام 7، 2؛ الرقم التقريبي 82000، مكتوبًا لأقرب مائة، هو 8، 2، 0.

الآن سنقوم بصياغة القاعدتين للعمل بالأرقام التقريبية المذكورة أعلاه.

عند جمع وطرح أرقام تقريبية، يجب تقريب كل رقم إلى الرقم الذي يلي الرقم الأخير من الرقم الأقل دقة، ويجب تقريب المجموع والفرق الناتج إلى نفس عدد الأرقام مثل الرقم الأقل دقة. عند ضرب الأعداد التقريبية وقسمتها، يجب تقريب كل رقم إلى العلامة التي تلي آخر رقم مهم من العدد الأقل أهمية، ويجب تقريب حاصل الضرب والحاصل بنفس الدقة المعروفة بالرقم الأقل دقة.

وبالعودة إلى المسائل التي سبق أن تناولناها نجد أن:

1.2Б3.1 = 3.72 م2 » 3.7 م2

3.73 + 52.1 + 0.28 = 56.11 م2 "56.1 م،

حيث العلامة " تعني "متساوية تقريبًا".

توفر بعض الكتب المدرسية الحسابية خوارزميات للعمل مع الأرقام التقريبية، مما يسمح لك بتجنب العلامات غير الضرورية عند الحساب. بالإضافة إلى ذلك، يستخدمون ما يسمى. تسجيل أرقام تقريبية، أي. يتم تمثيل أي رقم على أنه (رقم في النطاق من 1 إلى 10) đ (أس 10)، حيث يحتوي العامل الأول فقط على الأرقام المهمة من الرقم. على سبيل المثال، 82000 كم، مقربة إلى أقرب مائة كيلومتر، سيتم كتابتها على النحو التالي 8.20 10 4 كم، وسيتم كتابة 0.00702 سم على النحو 7.02 10 -3 سم.

الأرقام في الجداول الرياضية أو الجداول المثلثية أو اللوغاريتمية هي أرقام تقريبية، مكتوبة بعدد معين من العلامات. عند العمل مع هذه الجداول، يجب عليك اتباع قواعد الحسابات بالأرقام التقريبية.

اللوغاريتمات.

بحلول بداية القرن السابع عشر. لقد زاد تعقيد مشاكل الحوسبة التطبيقية كثيرًا لدرجة أنه لم يكن من الممكن التعامل معها "يدويًا" بسبب كثرة العمل والوقت. لحسن الحظ، اخترعه J. Napier في بداية القرن السابع عشر. جعلت اللوغاريتمات من الممكن التعامل مع المشكلة التي نشأت. نظرًا لأن نظرية اللوغاريتمات وتطبيقاتها موصوفة بالتفصيل في مقالة خاصة عن اللوغاريتم، فسوف نقتصر على المعلومات الأكثر أهمية فقط.

يمكن أن يظهر أنه إذا نإذا كان عدداً حقيقياً موجباً، فإن هناك عدداً حقيقياً موجباً فريداً س، بحيث 10 س = ن. رقم سيسمى (عادي أو عشري) اللوغاريتمأعداد ن; تقليديا يتم كتابته مثل هذا: س=log ن. وبالتالي، فإن اللوغاريتم هو الأس، ومن قوانين العمليات مع الأسس يتبع ذلك

إن خصائص اللوغاريتمات هذه هي التي تفسر استخدامها على نطاق واسع في الحساب. تسمح لنا الخاصيتان الأولى والثانية بتقليل أي مسألة ضرب وقسمة إلى مسألة جمع وطرح أبسط. الخاصيتان الثالثة والرابعة تجعل من الممكن تقليل الأس واستخراج الجذر إلى عمليات أبسط بكثير: الضرب والقسمة.

لسهولة استخدام اللوغاريتمات، تم تجميع جداولها. لتجميع جدول اللوغاريتمات العشرية، يكفي تضمين لوغاريتمات الأرقام من 1 إلى 10 فقط. على سبيل المثال، بما أن 247.6 = 10 2 Б2.476، لدينا: log247.6 = log10 2 + log2.476 = 2 + log2.476، وبما أن 0.02476 = 10 –2 ч2.476، فإن log0.02476 = log10 –2 + log2.476 = –2 + log2.476. لاحظ أن اللوغاريتم العشري لرقم يقع بين 1 و10 يقع بين 0 و1 ويمكن كتابته كرقم عشري. ويترتب على ذلك أن اللوغاريتم العشري لأي رقم هو مجموع عدد صحيح يسمى خاصية اللوغاريتم، وكسر عشري يسمى الجزء العشري من اللوغاريتم. يمكن العثور على خاصية لوغاريتم أي رقم "في العقل"؛ يجب العثور على الجزء العشري باستخدام جداول اللوغاريتمات. على سبيل المثال، من الجداول نجد أن log2.476 = 0.39375، وبالتالي log247.63 = 2.39375. إذا كانت خاصية اللوغاريتم سالبة (عندما يكون الرقم أقل من واحد)، فمن المناسب تمثيلها على أنها الفرق بين عددين صحيحين موجبين، على سبيل المثال، log0.02476 = –2 + 0.39375 = 8.39375 – 10. الأمثلة التالية تشرح هذه التقنية.

الأدب:

تاريخ الرياضيات من العصور القديمة إلى بداية القرن التاسع عشر.، المجلد. 1-3. م، 1970-1972.
سيري ج.-ب. دورة الحسابية. م، 1972
نيشيف ف. الأنظمة العددية. م، 1975
دان-دالميديكو أ.، بيفر ج . المسارات والمتاهات. مقالات عن تاريخ الرياضيات. م، 1986
إنجلر إي. الرياضيات الابتدائية. م، 1987

أظهرت الدائرة كيف يمكنك استخراج الجذور التربيعية في العمود. يمكنك حساب الجذر بدقة تعسفية، والعثور على أي عدد من الأرقام في تدوينه العشري، حتى لو تبين أنه غير منطقي. تم تذكر الخوارزمية، ولكن ظلت الأسئلة قائمة. ولم يكن من الواضح من أين أتت هذه الطريقة ولماذا أعطت النتيجة الصحيحة. لم يكن الأمر موجودًا في الكتب، أو ربما كنت أبحث فقط في الكتب الخطأ. في النهاية، مثل الكثير مما أعرفه ويمكنني فعله اليوم، توصلت إليه بنفسي. أشارك معرفتي هنا. بالمناسبة، ما زلت لا أعرف أين يتم تقديم الأساس المنطقي للخوارزمية)))

لذا، سأخبرك أولاً "كيف يعمل النظام" بمثال، ثم أشرح لك سبب عمله فعليًا.

لنأخذ رقمًا (تم أخذ الرقم "من فراغ"، لقد تبادر إلى ذهني للتو).

1. نقسم أرقامها إلى أزواج: تلك الموجودة على يسار العلامة العشرية يتم تجميعها اثنين من اليمين إلى اليسار، وتلك الموجودة على اليمين يتم تجميعها اثنين من اليسار إلى اليمين. نحن نحصل.

2. نستخرج الجذر التربيعي من المجموعة الأولى من الأرقام على اليسار - في حالتنا هذا (من الواضح أنه قد لا يتم استخراج الجذر الدقيق، نأخذ رقمًا يكون مربعه أقرب ما يمكن إلى رقمنا المكون من المجموعة الأولى من الأرقام، ولكن لا تتجاوزها). في حالتنا سيكون هذا رقمًا. نكتب الإجابة - هذا هو الرقم الأكثر أهمية في الجذر.

3. نقوم بتربيع الرقم الموجود بالفعل في الإجابة - هذا - ونطرحه من مجموعة الأرقام الأولى على اليسار - من الرقم. وفي حالتنا يبقى.

4. نقوم بتعيين المجموعة التالية المكونة من رقمين على اليمين: . نضرب الرقم الموجود بالفعل في الإجابة ونحصل على .

5. الآن شاهد بعناية. نحتاج إلى تخصيص رقم واحد للرقم الموجود على اليمين، وضرب الرقم في نفس الرقم المخصص. يجب أن تكون النتيجة أقرب ما يمكن إلى هذا الرقم، ولكن مرة أخرى ليس أكثر. في حالتنا، سيكون هذا هو الرقم الذي نكتبه في الإجابة التي بجانبه على اليمين. هذا هو الرقم التالي في العلامة العشرية للجذر التربيعي.

6. من طرح المنتج نحصل على .

7. بعد ذلك، نكرر العمليات المألوفة: نقوم بتعيين مجموعة الأرقام التالية على اليمين، ونضرب في الرقم الناتج > ونخصص رقمًا واحدًا على اليمين، بحيث عندما نضربه نحصل على رقم أصغر من ولكن الأقرب إليه - هذا هو الرقم التالي في تدوين الجذر العشري.

سيتم كتابة الحسابات على النحو التالي:

والآن التفسير الموعود. تعتمد الخوارزمية على الصيغة

التعليقات: 51

1. 2 أنطون:

   فوضوية ومربكة للغاية. رتب كل شيء نقطة بنقطة وترقيمها. بالإضافة إلى: شرح أين نستبدل القيم المطلوبة في كل إجراء. لم أقم بحساب الجذر الجذري من قبل، وقد واجهت صعوبة في اكتشافه.

2. 5 جوليا:

3. 6 :

   يوليا، 23 عامًا مكتوبة حاليًا على اليمين، وهذان هما أول رقمين (على اليسار) من الجذر الذي تم تلقيه بالفعل في الإجابة. اضرب في 2 وفقًا للخوارزمية. نكرر الخطوات الموضحة في النقطة 4.

4. 7 زز:

   خطأ في "6. من 167 نطرح الناتج 43 * 3 = 123 (129 ندا)، نحصل على 38.
   لا أفهم كيف أصبح الرقم 08 بعد العلامة العشرية...

5. 9 فيدوتوف الكسندر:

   وحتى في عصر ما قبل الآلة الحاسبة، كنا نتعلم في المدرسة ليس فقط الجذر التربيعي، ولكن أيضًا الجذر التكعيبي في العمود، لكن هذا كان عملاً شاقًا ومضنيًا. كان من الأسهل استخدام جداول براديس أو قاعدة الشرائح، التي درسناها بالفعل في المدرسة الثانوية.

6. 10 :

   ألكساندر، أنت على حق، يمكنك استخراج جذور القوى الكبيرة في عمود. سأكتب فقط عن كيفية العثور على الجذر التكعيبي.

7. 12 سيرجي فالنتينوفيتش:

   عزيزتي إليزافيتا الكسندروفنا! في أواخر السبعينيات، قمت بتطوير مخطط للحساب التلقائي (أي ليس عن طريق الاختيار) للكوادرا. الجذر على آلة إضافة فيليكس. إذا كنت مهتما، يمكنني أن أرسل لك الوصف.

8. 14 فلاد أوس إنجلشتات:

   (((استخراج الجذر التربيعي للعمود)))
   يتم تبسيط الخوارزمية إذا كنت تستخدم نظام الأرقام الثاني، والذي تتم دراسته في علوم الكمبيوتر، ولكنه مفيد أيضًا في الرياضيات. أ.ن. قدم كولموجوروف هذه الخوارزمية في محاضرات شعبية لأطفال المدارس. يمكن العثور على مقالته في "مجموعة تشيبيشيف" (المجلة الرياضية، ابحث عن رابط لها على الإنترنت)
   بالمناسبة قل:
   كان لدى G. Leibniz في وقت ما فكرة الانتقال من نظام الأرقام العاشر إلى النظام الثنائي بسبب بساطته وسهولة الوصول إليه للمبتدئين (أطفال المدارس الابتدائية). لكن كسر التقاليد الراسخة يشبه كسر بوابة القلعة بجبهتك: إنه ممكن، لكنه عديم الفائدة. لذلك اتضح، كما قال الفيلسوف الملتحي الأكثر اقتباسًا في الأيام الخوالي: تقاليد جميع الأجيال الميتة تقمع وعي الأحياء.

   حتى المرة القادمة.

9. 15 فلاد أوس إنجلشتات:

   ))سيرجي فالنتينوفيتش، نعم، أنا مهتم...((

   وأراهن أن هذا اختلاف عن «فيليكس» الطريقة البابلية في استخراج الفارس المربع باستخدام طريقة التقريبات المتعاقبة. تمت تغطية هذه الخوارزمية بطريقة نيوتن (طريقة الظل)

   أتساءل هل كنت مخطئا في توقعاتي؟

10. 18 :

    2 فلاد من إنجلشتات

    نعم، يجب أن تكون الخوارزمية الثنائية أبسط، وهذا واضح جدًا.

    نبذة عن طريقة نيوتن. ربما هذا صحيح، لكنه لا يزال مثيرا للاهتمام

11. 20 كيريل:

    شكرًا جزيلاً. لكن لا توجد خوارزمية حتى الآن، ولا أحد يعرف من أين أتت، لكن النتيجة صحيحة. شكرًا جزيلاً! لقد كنت أبحث عن هذا لفترة طويلة)

12. 21 ألكسندر:

    كيف يمكنك استخراج الجذر من رقم تكون فيه المجموعة الثانية من اليسار إلى اليمين صغيرة جدًا؟ على سبيل المثال، الرقم المفضل لدى الجميع هو 4,398,046,511,104. بعد الطرح الأول، لا يمكن متابعة كل شيء وفقًا للخوارزمية. هل يمكن ان توضح من فضلك.

13. 22 أليكسي:

    نعم أعرف هذه الطريقة. أتذكر أنني قرأته في كتاب "الجبر" من إحدى الطبعات القديمة. ثم، عن طريق القياس، استنتج هو نفسه كيفية استخراج الجذر التكعيبي في العمود. ولكن الأمر أكثر تعقيدًا بالفعل: لا يتم تحديد كل رقم بواسطة رقم واحد (كما هو الحال بالنسبة للمربع)، ولكن من خلال عمليتي طرح، وحتى هناك يتعين عليك مضاعفة الأرقام الطويلة في كل مرة.

14. 23 ارتيم:

    توجد أخطاء مطبعية في مثال استخراج الجذر التربيعي لـ 56789.321. يتم تخصيص مجموعة الأرقام 32 مرتين للرقمين 145 و 243، في الرقم 2388025 يجب استبدال 8 الثانية بـ 3. ثم يجب كتابة الطرح الأخير على النحو التالي: 2431000 – 2383025 = 47975.
    بالإضافة إلى ذلك، عند قسمة الباقي على القيمة المضاعفة للإجابة (دون مراعاة الفاصلة)، نحصل على عدد إضافي من الأرقام المهمة (47975/(2*238305) = 0.100658819...)، والتي يجب إضافتها إلى الجواب (√56789.321 = 238.305... = 238.305100659).

15. 24 سيرجي:

    ويبدو أن الخوارزمية جاءت من كتاب إسحاق نيوتن "الحساب العام أو كتاب في التركيب والتحليل الحسابي". وهنا مقتطف منه:

    حول استخراج الجذور

    لاستخراج الجذر التربيعي لعدد ما، عليك أولاً وضع نقطة فوق أرقامه، بدءاً من الآحاد. ثم عليك أن تكتب في خارج القسمة أو الجذر الرقم الذي مربعه يساوي أو أقرب إلى الأعداد أو الرقم الذي يسبق النقطة الأولى. بعد طرح هذا المربع، سيتم العثور على الأرقام المتبقية من الجذر بالتتابع عن طريق قسمة الباقي على ضعف قيمة الجزء المستخرج بالفعل من الجذر وطرح كل مرة من باقي المربع آخر رقم تم العثور عليه وحاصل ضربه العشرة على المقسوم عليه المسمى.

16. 25 سيرجي:

    كما يرجى تصحيح عنوان كتاب "الحساب العام أو كتاب في التركيب والتحليل الحسابي"

17. 26 ألكسندر:

    شكرا على المادة المثيرة للاهتمام. لكن هذه الطريقة تبدو لي أكثر تعقيدا إلى حد ما مما هو مطلوب، على سبيل المثال، لتلميذ المدرسة. أستخدم طريقة أبسط تعتمد على فك الدالة التربيعية باستخدام المشتقتين الأوليين. صيغته هي:
    sqrt(x)= A1+A2-A3، حيث
    A1 هو العدد الصحيح الذي يكون مربعه أقرب إلى x؛
    A2 عبارة عن كسر، البسط هو x-A1، والمقام هو 2*A1.
    بالنسبة لمعظم الأرقام التي تمت مواجهتها في الدورة المدرسية، فهذا يكفي للحصول على نتيجة دقيقة حتى المائة.
    إذا كنت بحاجة إلى نتيجة أكثر دقة، خذ
    A3 عبارة عن كسر، البسط هو A2 تربيع، والمقام هو 2*A1+1.
    بالطبع، لاستخدامه، تحتاج إلى جدول مربعات الأعداد الصحيحة، لكن هذه ليست مشكلة في المدرسة. تذكر هذه الصيغة بسيط للغاية.
    ومع ذلك، فإنه يحيرني أنني حصلت على A3 تجريبيًا نتيجة تجارب مع جدول بيانات ولا أفهم تمامًا سبب ظهور هذا العضو. ربما يمكنك أن تعطيني بعض النصائح؟

18. 27 ألكسندر:

    نعم، لقد أخذت هذه الاعتبارات في الاعتبار أيضًا، ولكن الشيطان يكمن في التفاصيل. انت تكتب:
    "نظرًا لأن a2 وb يختلفان قليلاً جدًا." والسؤال هو بالضبط كم هو قليل.
    تعمل هذه الصيغة بشكل جيد مع الأعداد في العشرة الثانية، والأسوأ من ذلك بكثير (لا تصل إلى أجزاء من المائة، بل حتى أعشار فقط) مع الأعداد في العشرة الأولى. من الصعب فهم سبب حدوث ذلك دون استخدام المشتقات.

19. 28 ألكسندر:

    وسأوضح ما أعتبره فائدة الصيغة التي أقترحها. لا يتطلب الأمر التقسيم غير الطبيعي للأرقام إلى أزواج من الأرقام، والذي، كما تظهر التجربة، غالبًا ما يتم إجراؤه مع وجود أخطاء. معناها واضح، ولكن بالنسبة لشخص مطلع على التحليل، فهو تافه. يعمل بشكل جيد على الأرقام من 100 إلى 1000، وهي الأرقام الأكثر شيوعًا في المدرسة.

20. 29 ألكسندر:

    بالمناسبة، لقد قمت ببعض البحث ووجدت التعبير الدقيق لـ A3 في صيغتي:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 فاسيل ستريزاك:

    في عصرنا هذا، مع الاستخدام الواسع النطاق لتكنولوجيا الكمبيوتر، فإن مسألة استخراج الفارس المربع من الرقم لا تستحق العناء من الناحية العملية. لكن بالنسبة لعشاق الرياضيات، فإن الخيارات المختلفة لحل هذه المشكلة ستكون بلا شك موضع اهتمام. في المناهج الدراسية، يجب أن تتم طريقة هذا الحساب دون استخدام أموال إضافية على قدم المساواة مع الضرب والقسمة المطولة. لا يجب حفظ خوارزمية الحساب فحسب، بل يجب أيضًا أن تكون مفهومة. الطريقة الكلاسيكية المقدمة في هذه المادة للمناقشة مع الكشف عن الجوهر، تتوافق تمامًا مع المعايير المذكورة أعلاه.
    العيب الكبير في الطريقة التي اقترحها ألكساندر هو استخدام جدول مربعات الأعداد الصحيحة. المؤلف صامت بشأن غالبية الأرقام التي تمت مواجهتها في الدورة المدرسية. أما بالنسبة للصيغة، فأنا أحبها بشكل عام نظرًا للدقة العالية نسبيًا في الحساب.

22. 31 الكسندر:

    لمدة 30 فاسيل ستريزاك
    لم أبقي أي شيء هادئًا. من المفترض أن يصل جدول المربعات إلى 1000. خلال فترة وجودي في المدرسة، كانوا ببساطة يحفظون ذلك عن ظهر قلب وكان موجودًا في جميع كتب الرياضيات المدرسية. لقد قمت صراحة بتسمية هذا الفاصل الزمني.
    أما بالنسبة لتكنولوجيا الحاسوب فلا تستخدم بشكل رئيسي في دروس الرياضيات إلا إذا تم مناقشة موضوع استخدام الآلة الحاسبة بشكل خاص. أصبحت الآلات الحاسبة الآن مدمجة في الأجهزة المحظورة استخدامها في امتحان الدولة الموحدة.

23. 32 فاسيل ستريزاك:

    ألكساندر، شكرًا لك على التوضيح! اعتقدت أنه بالنسبة للطريقة المقترحة، من الضروري نظريًا أن تتذكر أو تستخدم جدول مربعات لجميع الأعداد المكونة من رقمين. ثم بالنسبة للأعداد الجذرية غير المدرجة في الفترة من 100 إلى 10000، يمكنك استخدم تقنية زيادتها أو تقليلها بالعدد المطلوب من أوامر الحجم عن طريق تحريك العلامة العشرية.

24. 33 فاسيل ستريزاك:

25. 39 ألكسندر:

    تمت كتابة أول برنامج لي بلغة IAMB على الآلة السوفيتية "ISKRA 555" لاستخراج الجذر التربيعي لعدد باستخدام خوارزمية استخراج العمود! والآن نسيت كيفية استخراجه يدويًا!