Öklid algoritması - en büyük ortak böleni bulma. Öklid algoritmasını kullanarak ve asal çarpanlara ayırmayı kullanarak OBE'yi bulma Öklid yöntemini kullanarak karekök

Öklid algoritması bir çift tam sayının en büyük ortak bölenini (GCD) bulmaya yönelik bir algoritmadır.

En Büyük Ortak Bölen (GCD) iki sayıyı kalansız bölen ve kendisi de verilen iki sayının herhangi bir başka bölenine kalansız bölünebilen bir sayıdır. Basitçe söylemek gerekirse, bu, gcd'nin arandığı iki sayının kalansız olarak bölünebileceği en büyük sayıdır.

Bölmeye göre GCD'yi bulma algoritması

1. Büyük sayıyı küçük sayıya bölün.
2. Geriye kalan olmadan bölünürse, daha küçük olan sayı GCD'dir (döngüden çıkmalısınız).
3. Kalan varsa, büyük sayıyı bölümün geri kalanıyla değiştirin.
4. 1. noktaya geçelim.

Örnek:
30 ve 18 için gcd'yi bulun.
30/18 = 1 (kalan 12)
18/12 = 1 (kalan 6)
12/6 = 2 (kalan 0)
Son: GCD 6'nın bölenidir.
OBEB(30, 18) = 6

a = 50 b = 130 while a != 0 ve b != 0 : if a > b: a = a % b else : b = b % a print (a + b)

Döngüde bölümün geri kalanı a veya b değişkenine yazılır. Değişkenlerden en az biri sıfır olduğunda döngü sona erer. Bu, diğerinin bir gcd içerdiği anlamına gelir. Ancak hangisi olduğunu tam olarak bilmiyoruz. Dolayısıyla GCD için bu değişkenlerin toplamını buluyoruz. Değişkenlerden biri sıfır olduğundan sonuca etkisi yoktur.

Çıkarma yoluyla GCD'yi bulma algoritması

1. Küçük sayıyı büyük sayıdan çıkarın.
2. Sonuç 0 ise sayıların birbirine eşit ve GCD olduğu anlamına gelir (döngüden çıkmalısınız).
3. Çıkarma sonucu 0'a eşit değilse, büyük sayıyı çıkarma sonucuyla değiştirin.
4. 1. noktaya geçelim.

Örnek:
30 ve 18 için gcd'yi bulun.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Bitiş: GCD bir eksilen veya çıkandır.
OBEB(30, 18) = 6

a = 50 b = 130 while a != b: if a > b: a = a - b else : b = b - a print (a)

Bu makale hakkındadır en büyük ortak böleni bulma (GCD) iki veya daha fazla sayı. Öncelikle Euclid algoritmasına bakalım; iki sayının gcd'sini bulmanızı sağlar. Bundan sonra sayıların gcd'sini ortak asal çarpanlarının çarpımı olarak hesaplamamızı sağlayan bir yönteme odaklanacağız. Daha sonra, üç veya daha fazla sayının en büyük ortak bölenini bulmaya bakacağız ve ayrıca negatif sayıların genel değerini hesaplamaya ilişkin örnekler vereceğiz.

Sayfada gezinme.

GCD'yi bulmak için Öklid algoritması

Asal sayılar tablosuna en baştan dönseydik, 661 ve 113 sayılarının asal sayılar olduğunu öğrenmiş olurduk ve buradan en büyük ortak bölenlerinin 1 olduğunu hemen söyleyebiliriz.

Cevap:

OBEB(661, 113)=1 .

Sayıları asal faktörlere ayırarak GCD'yi bulma

GCD'yi bulmanın başka bir yolunu düşünelim. En büyük ortak bölen, sayıları asal çarpanlarına ayırarak bulunabilir. Bir kural formüle edelim: İki pozitif tamsayı a ve b'nin gcd'si, a ve b sayılarının asal çarpanlara ayrılmasında bulunan tüm ortak asal çarpanların çarpımına eşittir..

GCD bulma kuralını açıklamak için bir örnek verelim. 220 ve 600 sayılarının asal çarpanlarına ayrıştırılmasını bilelim, 220=2·2·5·11 ve 600=2·2·2·3·5·5 şeklindedirler. 220 ve 600 sayılarını çarpanlarına ayırmada kullanılan ortak asal çarpanlar 2, 2 ve 5'tir. Bu nedenle OBEB(220, 600)=2·2·5=20.

Dolayısıyla, a ve b sayılarını asal çarpanlara ayırıp tüm ortak çarpanlarının çarpımını bulursak, a ve b sayılarının en büyük ortak bölenini buluruz.

Belirtilen kurala göre GCD'yi bulma örneğini ele alalım.

Örnek.

72 ve 96 sayılarının en büyük ortak bölenini bulun.

Çözüm.

72 ve 96 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:

Yani, 72=2·2·2·3·3 ve 96=2·2·2·2·2·3. Ortak asal çarpanlar 2, 2, 2 ve 3'tür. Dolayısıyla OBEB(72, 96)=2·2·2·3=24.

Cevap:

OBEB(72, 96)=24 .

Bu paragrafın sonunda, GCD'yi bulmak için yukarıdaki kuralın geçerliliğinin, en büyük ortak bölenin özelliğinden kaynaklandığını belirtiyoruz; bu, şunu belirtir: OBEB(m a 1 , m b 1)=m OBEB(a 1 , b 1) burada m herhangi bir pozitif tam sayıdır.

Üç veya daha fazla sayının gcd'sini bulma

Üç veya daha fazla sayının en büyük ortak bölenini bulmak, iki sayının toplam değerini sırayla bulmaya indirgenebilir. GCD'nin özelliklerini incelerken bundan bahsetmiştik. Orada şu teoremi formüle ettik ve kanıtladık: a 1, a 2, ..., a k sayılarının en büyük ortak böleni, OBE(a 1, a 2)=d 2'nin ardışık olarak hesaplanmasıyla bulunan d k sayısına eşittir. , OBEB(d 2, a 3) =d 3, OBEB(d 3, a 4)=d 4,..., OBEB(d k-1, a k)=d k.

Örneğin çözümüne bakarak birkaç sayının gcd'sini bulma sürecinin nasıl göründüğünü görelim.

Örnek.

78, 294, 570 ve 36 numaralı dört sayının en büyük ortak bölenini bulun.

Çözüm.

Bu örnekte a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

Öncelikle Öklid algoritmasını kullanarak ilk iki sayı olan 78 ve 294'ün en büyük ortak bölenini d2 belirliyoruz. Bölme sırasında 294 = 78 3 + 60 eşitliğini elde ederiz; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 ve 18=6·3. Dolayısıyla d 2 =OBEB(78, 294)=6.

Şimdi hesaplayalım d 3 =OBEB(d 2, a 3)=OBEB(6, 570). Tekrar Öklid algoritmasını uygulayalım: 570=6·95, dolayısıyla d 3 = GCD(6, 570)=6.

Hesaplamak kalıyor d 4 =OBEB(d 3, a 4)=OBEB(6, 36). 36, 6'ya bölünebildiğine göre d 4 = OBEB(6, 36) = 6.

Böylece verilen dört sayının en büyük ortak böleni d 4 =6 yani gcd(78, 294, 570, 36)=6 olur.

Cevap:

OBEB(78, 294, 570, 36)=6 .

Sayıları asal çarpanlara ayırmak aynı zamanda üç veya daha fazla sayının gcd'sini hesaplamanıza da olanak tanır. Bu durumda en büyük ortak bölen, verilen sayıların tüm ortak asal çarpanlarının çarpımı olarak bulunur.

Örnek.

Önceki örnekteki sayıların asal çarpanlara ayırmalarını kullanarak gcd'sini hesaplayın.

Çözüm.

78, 294, 570 ve 36 sayılarını asal çarpanlara ayıralım, 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 elde ederiz ·3· 3. Bu dört sayının ortak asal çarpanları 2 ve 3 sayılarıdır. Buradan, OBEB(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

E. I. Ignatiev, "Yaratıcılık Krallığında" (1908) adlı ilk baskısının önsözünde şöyle yazıyor: "... entelektüel inisiyatif, kıvrak zeka ve "yaratıcılık" kimsenin kafasına "delinemez" veya "kafasına sokulamaz". Sonuçlar ancak matematiksel bilgi alanına giriş, sıradan ve günlük durumlardan uygun zeka ve eğlence ile seçilmiş nesneler ve örnekler kullanılarak kolay ve keyifli bir şekilde yapıldığında güvenilirdir.

“Matematikte Belleğin Rolü” 1911 baskısının önsözünde E.I. Ignatiev şöyle yazıyor: "... matematikte hatırlanması gereken formüller değil, düşünme sürecidir."

Karekökü çıkarmak için iki basamaklı sayıların kare tabloları vardır; sayıyı asal çarpanlara ayırabilir ve çarpımın karekökünü çıkarabilirsiniz. Kareler tablosu bazen yeterli olmaz; çarpanlara ayırma yoluyla kökün çıkarılması zaman alıcı bir iştir ve bu da her zaman istenen sonuca yol açmaz. 209764'ün karekökünü almayı deneyebilir misiniz? Asal çarpanları çarpanlarına ayırmak 2*2*52441 sonucunu verir. Deneme yanılma yoluyla seçim - bunun bir tam sayı olduğundan eminseniz elbette bu yapılabilir. Önermek istediğim yöntem her durumda karekök almanızı sağlıyor.

Bir zamanlar enstitüde (Perm Devlet Pedagoji Enstitüsü) şimdi bahsetmek istediğim bu yöntemle tanıştık. Bu yöntemin bir kanıtı olup olmadığını hiç merak etmedim, bu yüzden artık kanıtın bir kısmını kendim çıkarmak zorunda kaldım.

Bu yöntemin temeli = sayısının bileşimidir.

=&, yani & 2 =596334.

1. (5963364) sayısını sağdan sola doğru çiftlere bölün (5`96`33`64)

2. Soldaki ilk grubun karekökünü çıkarın ( - sayı 2). &'nin ilk rakamını bu şekilde elde ederiz.

3. İlk rakamın karesini bulun (2 2 =4).

4. Birinci grup ile ilk rakamın karesi arasındaki farkı bulun (5-4=1).

5. Sonraki iki rakamı indiriyoruz (196 sayısını alıyoruz).

6. Bulduğumuz ilk rakamı ikiye katlayın ve satırın soluna yazın (2*2=4).

7. Şimdi sayının ikinci basamağını bulmamız gerekiyor &: bulduğumuz ilk basamağın iki katı sayının onlar basamağı olur, bu birim sayısıyla çarpıldığında 196'dan küçük bir sayı elde etmeniz gerekir (bu 4 sayısı, 44*4=176). 4 &'nin ikinci basamağıdır.

8. Farkı bulun (196-176=20).

9. Bir sonraki grubu yıkıyoruz (2033 sayısını alıyoruz).

10. 24 sayısını ikiye katlarsak 48 elde ederiz.

Bir sayıda 11,48 onlu vardır, bir sayısıyla çarpıldığında 2033'ten (484*4=1936) küçük bir sayı elde etmemiz gerekir. Bulduğumuz birler basamağı (4), & sayısının üçüncü basamağıdır.

Aşağıdaki durumlar için kanıt verdim:

1. Üç basamaklı bir sayının karekökünün çıkarılması;

2. Dört basamaklı bir sayının karekökünün çıkarılması.

Karekök çıkarmanın yaklaşık yöntemleri (hesap makinesi kullanmadan).

1. Eski Babilliler, x sayısının karekökünün yaklaşık değerini bulmak için aşağıdaki yöntemi kullandılar. X sayısını a 2 + b'nin toplamı olarak temsil ettiler; burada a 2, x sayısına en yakın a (a 2 ? x) doğal sayısının tam karesidir ve şu formülü kullandılar: . (1)

Formül (1)'i kullanarak, örneğin 28 sayısından karekökü çıkarırız:

28'in kökünü MK kullanarak çıkarmanın sonucu 5.2915026'dır.

Gördüğünüz gibi Babil yöntemi kökün tam değerine iyi bir yaklaşım sağlıyor.

2. Isaac Newton, İskenderiyeli Heron'a (yaklaşık MS 100) kadar uzanan bir karekök alma yöntemi geliştirdi. Bu yöntem (Newton yöntemi olarak bilinir) aşağıdaki gibidir.

İzin vermek 1- bir sayının ilk yaklaşımı (1 olarak, bir doğal sayının karekökünün değerlerini alabilirsiniz - tam kareyi aşmayan) X) .

Sonraki, daha doğru yaklaşım bir 2 sayılar formülle bulunan .

Antik çağlardan beri sayılarla çalışmak iki farklı alana ayrılmıştır: biri doğrudan sayıların özellikleriyle ilgiliydi, diğeri ise sayma teknikleriyle ilgiliydi. Birçok ülkede "aritmetik" ile genellikle matematiğin şüphesiz en eski dalı olan bu ikinci alan kastedilmektedir.

Görünüşe göre eski hesap makinelerinin en büyük zorluğu kesirlerle çalışmaktı. Bu, MÖ 1650 yıllarına kadar uzanan eski bir Mısır matematik çalışması olan Ahmes Papirüsü'nde (Rhind Papirüsü olarak da bilinir) görülebilir. Papirüste adı geçen tüm kesirlerin, 2/3 hariç, payları 1'e eşittir. Kesirleri kullanmanın zorluğu, eski Babil çivi yazısı tabletleri incelendiğinde de fark edilir. Görünüşe göre hem eski Mısırlılar hem de Babilliler hesaplamaları bir çeşit abaküs kullanarak yapıyorlardı. Sayılar bilimi, Antik Yunanlılar arasında Pisagor'dan başlayarak M.Ö. 530 yıllarında önemli bir gelişme gösterdi. Hesaplama teknolojisine gelince, Yunanlılar bu alanda çok daha az şey yaptı.

Daha sonraki Romalılar ise tam tersine sayı bilimine neredeyse hiçbir katkıda bulunmadılar, ancak hızla gelişen üretim ve ticaretin ihtiyaçlarına dayanarak abaküsü bir sayma cihazı olarak geliştirdiler. Hint aritmetiğinin kökenleri hakkında çok az şey biliniyor. Sayı işlemlerinin teorisi ve pratiği üzerine sadece daha sonra Hint konumsal sistemi sıfır dahil edilerek geliştirildikten sonra yazılan birkaç çalışma bize ulaştı. Bunun tam olarak ne zaman gerçekleştiğini kesin olarak bilmiyoruz, ancak en yaygın aritmetik algoritmalarımızın temelleri o zaman atıldı.

Hint sayı sistemi ve ilk aritmetik algoritmalar Araplar tarafından ödünç alındı. Günümüze ulaşan en eski Arapça aritmetik ders kitabı 825 yılı civarında Harezmi tarafından yazılmıştır. Hint rakamlarını kapsamlı bir şekilde kullanır ve açıklar. Bu ders kitabı daha sonra Latinceye çevrildi ve Batı Avrupa üzerinde önemli bir etki yarattı. El-Harizmi isminin çarpık bir versiyonu bize "algorizm" kelimesiyle ulaşmış olup, bu kelime Yunanca kelimeyle daha da karıştırıldığında aritmi"algoritma" terimi haline geldi.

Hint-Arap aritmetiği Batı Avrupa'da esas olarak L. Fibonacci'nin çalışmaları sayesinde tanındı. Abaküs kitabı (Liber abacı, 1202). Abacist yöntemi, en azından toplama ve çarpma için konumsal sistemimizin kullanımına benzer basitleştirmeler sunuyordu. Abakistlerin yerini sıfır ve Arap bölme ve karekök çıkarma yöntemini kullanan algoritmalar aldı. Yazarını bilmediğimiz ilk aritmetik ders kitaplarından biri 1478 yılında Treviso'da (İtalya) yayımlandı. Ticari işlemler yapılırken hesaplamaları ele alıyordu. Bu ders kitabı daha sonra ortaya çıkan birçok aritmetik ders kitabının öncüsü oldu. 17. yüzyılın başlarına kadar. Avrupa'da bu türden üç yüzden fazla ders kitabı yayımlandı. Bu süre zarfında aritmetik algoritmalar önemli ölçüde geliştirildi. 16. – 17. yüzyıllarda. =, +, -, ґ, ё ve gibi aritmetik işlemlere yönelik semboller ortaya çıktı.

Aritmetik hesaplamaların mekanizasyonu.

Toplum geliştikçe daha hızlı ve daha doğru hesaplamalara olan ihtiyaç da arttı. Bu ihtiyaç dört dikkate değer icadın ortaya çıkmasına neden oldu: Hint-Arap rakamları, ondalık sayılar, logaritmalar ve modern bilgisayar makineleri.

Aslında, en basit hesaplama cihazları modern aritmetiğin ortaya çıkmasından önce mevcuttu, çünkü eski zamanlarda temel aritmetik işlemler abaküs üzerinde yapılıyordu (Rusya'da abaküsler bu amaçla kullanılıyordu). En basit modern bilgi işlem cihazı, biri diğeri boyunca kayan iki logaritmik ölçekten oluşan ve ölçeklerin bölümlerini toplayıp çıkararak çarpma ve bölmeye olanak tanıyan bir kayar hesap cetveli olarak düşünülebilir. B. Pascal (1642), ilk mekanik hesap makinesinin mucidi olarak kabul edilir. Aynı yüzyılın sonlarında Almanya'da G. Leibniz (1671) ve İngiltere'de S. Moreland (1673) çarpma işlemini gerçekleştiren makineleri icat ettiler. Bu makineler, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini hızlı ve doğru bir şekilde gerçekleştirmeyi mümkün kılan 20. yüzyılın masaüstü bilgisayar cihazlarının (aritmometreler) öncüsü oldu.

1812'de İngiliz matematikçi C. Babbage, matematiksel tabloları hesaplamak için bir makine tasarımı oluşturmaya başladı. Proje üzerinde çalışmalar uzun yıllar devam etmesine rağmen yarım kaldı. Bununla birlikte, Babbage'ın projesi, ilk örnekleri 1944 civarında ortaya çıkan modern elektronik bilgisayarların yaratılması için bir teşvik görevi gördü. Bu makinelerin hızı inanılmazdı: onların yardımıyla, daha önce gerekli olan sorunları dakikalar veya saatler içinde çözmek mümkündü. toplama makinelerinin kullanımıyla bile yıllarca süren sürekli hesaplamalar.

Pozitif tam sayılar.

İzin vermek A Ve B ortak elemanları olmayan iki sonlu kümedir ve A içerir N unsurlar ve B içerir M elementler. Sonra birçok S kümelerin tüm elemanlarından oluşan A Ve B birlikte ele alındığında, aşağıdakileri içeren sonlu bir kümedir: S elementler. Örneğin, eğer A elementlerden oluşur ( A, B, C), bir demet İÇİNDE– elementlerden ( X, sen), ardından küme S=A+B ve elementlerden oluşur ( A, B, C, X, sen). Sayı S isminde miktar sayılar N Ve M ve bunu şu şekilde yazıyoruz: s = n + m. Bu girişte sayılar N Ve M arandı şartlar, toplamı bulma işlemi – ek. İşlem sembolü "+" "artı" olarak okunur. Bir demet P kümeden ilk elemanın seçildiği tüm sıralı çiftlerden oluşan A ve ikincisi setten B, aşağıdakileri içeren sonlu bir kümedir: P elementler. Örneğin, daha önce olduğu gibi, A = {A, B, C}, B = {X, sen), O P=AґB = {(A,X), (A,sen), (B,X), (B,sen), (C,X), (C,sen)). Sayı P isminde iş sayılar A Ve B ve bunu şu şekilde yazıyoruz: p = birґB veya p = a×b. Sayılar A Ve B işte onlara denir çarpanlar, ürünü bulma işlemi – çarpma işlemi. İşlem sembolü ґ "çarpılır" olarak okunur.

Bu tanımlardan tam sayıların toplanması ve çarpılmasıyla ilgili aşağıdaki temel yasaların takip edildiği gösterilebilir:

– değişmeli toplama kanunu: a + b = b + bir;

– ilişkisel ekleme yasası: A + (B + C) = (A + B) + C;

– değişmeli çarpma kanunu: Aґb = bґA;

– çarpmanın birleşme kanunu: Aґ(BґC) = (AґB)ґC;

– dağıtım yasası: Aґ(B + C)= (AґB) + (AґC).

Eğer A Ve B– iki pozitif tam sayı ve pozitif bir tam sayı varsa C, öyle ki a = b + c o zaman şunu söylüyoruz A Daha B(bu şöyle yazılır: a>b), ya da ne B az A(bu şöyle yazılır: B). Herhangi iki sayı için A Ve Büç ilişkiden biri geçerli: ya a = b, veya a>b, veya A.

İlk iki temel yasa, iki veya daha fazla terimin toplamının, bunların nasıl gruplandırıldıklarına veya hangi sıraya göre düzenlendiklerine bağlı olmadığını söyler. Benzer şekilde, üçüncü ve dördüncü yasalardan, iki veya daha fazla faktörün çarpımının, faktörlerin nasıl gruplandırıldığına veya sıralarının ne olduğuna bağlı olmadığı sonucu çıkar. Bu gerçekler, toplama ve çarpmanın "genelleştirilmiş değişme ve birleşme yasaları" olarak bilinir. Buradan, birkaç terimin toplamı veya birkaç faktörün çarpımı yazarken terimlerin ve faktörlerin sırasının önemli olmadığı ve parantezlerin atlanabileceği sonucu çıkar.

Özellikle tekrarlanan miktar a + a + ... + a itibaren N terimler eşittir NґA. Tekrarlanan çalışma AґAґ ... ґA itibaren N Faktörleri belirtme konusunda anlaştık BİR; sayı A isminde temel ve numara N – ürün göstergesini tekrarla, tekrarlanan çalışmanın kendisi – n'inci güç sayılar A. Bu tanımlar üslü sayılar için aşağıdaki temel yasaları oluşturmamızı sağlar:

Tanımların bir diğer önemli sonucu: Aґ1 = A herhangi bir tamsayı için A ve 1 bu özelliğe sahip tek tam sayıdır. 1 numara denir birim.

Tam sayıların bölenleri.

Eğer A, B, C– tamsayılar ve Aґb = c, O A Ve B bir sayının bölenleridir C. Çünkü Aґ1 = A herhangi bir tamsayı için A 1'in herhangi bir tam sayının böleni olduğu ve herhangi bir tam sayının kendisinin bölen olduğu sonucuna varırız. Herhangi bir tamsayı bölen A, 1'den farklı veya A, adını aldım uygun bölen sayılar A.

1'den farklı ve kendi böleni olmayan tam sayılara denir. asal sayı. (Asal sayıya örnek olarak 7 sayısı verilebilir.) Kendi bölenleri olan tam sayılara denir. bileşik sayı. (Örneğin, 6 sayısı bileşiktir, çünkü 2, 6'yı böler.) Yukarıdakilerden, tüm tam sayılar kümesinin üç sınıfa bölündüğü sonucu çıkar: bir, asal sayılar ve bileşik sayılar.

Sayı teorisinde "herhangi bir tamsayı asal sayıların çarpımı olarak temsil edilebilir ve faktörlerin sırasına bağlı olarak böyle bir temsil benzersizdir" şeklinde çok önemli bir teorem vardır. Bu teorem "aritmetiğin temel teoremi" olarak bilinir. Asal sayıların, çarpma işlemi kullanılarak bir dışındaki tüm tam sayıların oluşturulabileceği "yapı taşları" görevi gördüğünü gösterir.

Belirli bir tam sayı kümesi verilmişse, bu kümede yer alan her sayıyı bölen en büyük tam sayıya ne ad verilir? en büyük ortak böleni verilen sayı kümesi; Belirli bir kümedeki her sayı böleni olan en küçük tam sayıya ne denir en küçük ortak Kat verilen sayı kümesi. Yani 12, 18 ve 30 sayılarının en büyük ortak böleni 6'dır. Aynı sayıların en küçük ortak katı ise 180'dir. İki tam sayının en büyük ortak böleni ise A Ve B 1'e eşitse sayılar A Ve B arandı karşılıklı olarak asal. Örneğin 8 ve 9 sayıları asal olmasa da aralarında asaldır.

Pozitif rasyonel sayılar.

Gördüğümüz gibi tamsayılar, sonlu nesne kümelerini sayma işleminden kaynaklanan soyutlamalardır. Ancak günlük yaşamın ihtiyaçları için tam sayılar yeterli değildir. Örneğin, bir masa tablasının uzunluğunu ölçerken, benimsenen ölçü birimi çok büyük olabilir ve ölçülen uzunluğa tam olarak sığmayabilir. Sözde yardımıyla böyle bir zorlukla başa çıkmak. kesirli(yani kelimenin tam anlamıyla "kırık") sayılara daha küçük bir uzunluk birimi eklenir. Eğer D– bir tamsayı, ardından kesirli birim 1/ D mülk tarafından belirlenir Dґ1/D= 1 ve eğer N bir tamsayıdır, o halde Nґ1/D basitçe şöyle yazıyoruz N/D. Bu yeni sayılara “sıradan” veya “basit” kesirler adı veriliyor. Tamsayı N isminde pay kesirler ve sayılar D – payda. Payda birimin kaç eşit paya bölündüğünü, pay ise bu paylardan kaç tanesinin alındığını gösterir. Eğer N d, kesir uygun olarak adlandırılır; eğer n = d veya n>d, o zaman bu yanlıştır. Tamsayılar, paydası 1 olan kesirler olarak ele alınır; örneğin 2 = 2/1.

kesirden bu yana N/D bölünmenin sonucu olarak yorumlanabilir N başına birim D eşit parçalara sahip olan ve bu parçalardan birini alan bir kesir, iki tam sayının "bölümü" veya "oranı" olarak düşünülebilir N Ve D ve kesir doğrusunu bölme işareti olarak anlayın. Bu nedenle, kesirler (kesirlerin özel bir durumu olarak tamsayılar dahil) genellikle kesirler olarak adlandırılır. akılcı sayılar (Latince oran - orandan).

İki kesir N/D Ve ( kґN)/(kґD), Nerede k– bir tamsayı, eşit kabul edilebilir; örneğin 4/6 = 2/3. (Burada N = 2, D= 3 ve k= 2.) Bu, “bir kesrin temel özelliği” olarak bilinir: kesrin payı ve paydası aynı sayıyla çarpılırsa (veya bölünürse) herhangi bir kesrin değeri değişmez. Buradan, herhangi bir kesrin, nispeten asal iki sayının oranı olarak yazılabildiği sonucu çıkar.

Yukarıda önerilen kesrin yorumlanmasından aynı zamanda iki kesrin toplamı olduğu sonucu çıkar. N/D Ve M/D paydası aynı olduğundan kesri almalısınız ( N + M)/D. Farklı paydalara sahip kesirleri toplarken, öncelikle bunları kesirin temel özelliğini kullanarak aynı (ortak) paydaya sahip eşdeğer kesirlere dönüştürmelisiniz. Örneğin, N 1 /D 1 = (N 1 saat D 2)/(D 1 saat D 2) ve N 2 /D 2 = (N 2 saat D 1)/(D 1 saat D 2), nereden

Bunu farklı bir şekilde yapabilir ve ilk olarak en küçük ortak katı bulabiliriz. M, paydalar D 1 ve D 2. O zaman tamsayılar var k 1 ve k 2, öyle ki m = k 1 saat D 1 = k 2 saat D 2 ve şunu elde ederiz:

Bu yöntemle sayı M genellikle denir en düşük ortak payda iki fraksiyon. Bu iki sonuç kesirlerin eşitliği tanımı gereği eşdeğerdir.

İki kesrin çarpımı N 1 /D 1 ve N 2 /D 2 kesire eşit alınır ( N 1 saat N 2)/(D 1 saat D 2).

Tamsayılar için yukarıda verilen sekiz temel yasa aşağıdaki durumlarda da geçerlidir: A, B, C Keyfi pozitif rasyonel sayıları anlar. Ayrıca iki pozitif rasyonel sayı verilirse N 1 /D 1 ve N 2 /D 2, o zaman şunu söylüyoruz N 1 /D 1 > N 2 /D 2 ancak ve ancak N 1 saat D 2 > N 2 saat D 1 .

Pozitif gerçek sayılar.

Doğru parçalarının uzunluklarını ölçmek için sayıların kullanılması, verilen herhangi iki doğru parçası için şunu önerir: AB Ve CD bir bölüm olmalı UV, belki de çok küçük ve her bir segmentte tamsayı sayıda ertelenebilen AB Ve CD. Böyle ortak bir uzunluk birimi varsa UV varsa, segmentler AB Ve CD orantılı denir. Zaten eski zamanlarda Pisagorcular, ölçülemez düz bölümlerin varlığını biliyorlardı. Klasik bir örnek, bir karenin kenarı ve köşegenidir. Bir karenin kenar uzunluğunu uzunluk birimi olarak alırsak, bu karenin köşegeninin ölçüsü olabilecek hiçbir rasyonel sayı yoktur. Bunu çelişkiyle tartışarak doğrulayabilirsiniz. Aslında rasyonel sayının N/D köşegen ölçüsüdür. Ama sonra bölüm 1/ D ertelenebilir N bir kez çapraz olarak ve D Karenin köşegeni ve kenarının orantısız olmasına rağmen, karenin kenarındaki zamanlar. Sonuç olarak, uzunluk birimi seçimi ne olursa olsun, tüm doğru parçalarının rasyonel sayılarla ifade edilebilecek uzunlukları yoktur. Tüm çizgi bölümlerinin bir uzunluk birimiyle ölçülmesi için sayı sisteminin, seçilen uzunluk birimiyle orantısız olan çizgi bölümlerinin uzunluklarının ölçülmesinin sonuçlarını temsil eden sayıları içerecek şekilde genişletilmesi gerekir. Bu yeni sayılara pozitif denir mantıksız sayılar. İkincisi, pozitif rasyonel sayılarla birlikte, elemanları pozitif olarak adlandırılan daha geniş bir sayı kümesi oluşturur. geçerli sayılar.

Eğer VEYA– bir noktadan çıkan yatay yarım çizgi Ö, sen- puan VEYA, kökeninden farklı Ö, Ve kuruluş birimi birim segment olarak seçilirse her nokta P yarım çizgide VEYA tek bir pozitif gerçek sayıyla ilişkilendirilebilir P, segmentin uzunluğunu ifade eden OP. Bu şekilde pozitif reel sayılar ile pozitif reel sayılar dışındaki noktalar arasında bire bir ilişki kurarız. Ö, yarım çizgide VEYA. Eğer P Ve Q– noktalara karşılık gelen iki pozitif gerçek sayı P Ve Q Açık VEYA, sonra yazarız p>q,p = q veya p noktanın konumuna bağlı olarak P noktanın sağında Q Açık VEYA, ile çakışıyor Q veya solunda bulunur Q.

Pozitif irrasyonel sayıların tanıtılması, aritmetiğin uygulanabilirliğinin kapsamını önemli ölçüde genişletti. Örneğin, eğer A– herhangi bir pozitif gerçek sayı ve N herhangi bir tam sayı ise yalnızca bir pozitif gerçek sayı vardır B, öyle ki bn=a. Bu numara B kök denir N derecesi A ve ana hatlarındaki sembolün bir Latin harfine benzediği şekilde yazılır R Latince kelimenin başladığı yer tabanı(kök) ve denir radikal. Bu gösterilebilir

Bu ilişkiler radikallerin temel özellikleri olarak bilinir.

Pratik açıdan bakıldığında, herhangi bir pozitif irrasyonel sayının, pozitif bir rasyonel sayı ile istenildiği kadar doğru bir şekilde tahmin edilebilmesi çok önemlidir. Bu şu anlama gelir: R pozitif bir irrasyonel sayıdır ve e keyfi olarak küçük bir pozitif rasyonel sayı ise, o zaman pozitif rasyonel sayılar bulabiliriz A Ve B, öyle ki bir ve B. Örneğin bir sayı irrasyoneldir. Eğer seçerseniz e= 0,01 ise; Eğer seçersen e= 0,001 ise .

Hint-Arap sayı sistemi.

Aritmetiğin algoritmaları veya hesaplama şemaları, kullanılan sayı sistemine bağlıdır. Örneğin Roma sayı sistemi için icat edilen hesaplama yöntemlerinin, mevcut Hint-Arap sistemi için icat edilen algoritmalardan farklı olabileceği oldukça açıktır. Üstelik bazı sayı sistemleri aritmetik algoritmaların oluşturulması için tamamen uygun olmayabilir. Tarihsel veriler, Hint-Arap sayı notasyonu sisteminin benimsenmesinden önce, sayıları "kalem ve kağıt" kullanarak toplamayı, çıkarmayı, çarpmayı ve bölmeyi yeterince kolaylaştıran hiçbir algoritmanın bulunmadığını gösteriyor. Hint-Arap sisteminin uzun yıllar süren varlığı boyunca, ona özel olarak uyarlanmış çok sayıda algoritmik prosedür geliştirildi, böylece modern algoritmalarımız bütün bir geliştirme ve iyileştirme çağının ürünü oldu.

Hindu-Arap sayı sisteminde, bir sayıyı temsil eden her giriş, sayı adı verilen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi on temel simgeden oluşan bir dizidir. Örneğin, dört yüz yirmi üç sayısının Hindu-Arap gösterimi, 423 rakamlarının dizisi şeklini alır. Bir sayının Hindu-Arap gösterimindeki bir rakamın anlamı, yerine veya konumuna göre belirlenir. bu gösterimi oluşturan basamakların sırasına göre. Verdiğimiz örnekte 4 sayısı dört yüzlük, 2 sayısı iki onluk, 3 sayısı da üç birlik anlamına gelmektedir. Boş pozisyonları doldurmak için kullanılan 0 (sıfır) sayısı çok önemli bir rol oynuyor; örneğin, 403 girişi dört yüz üç sayısını ifade eder; onlarcası eksik. Eğer A, B, C, D, e bireysel sayılar anlamına gelir, daha sonra Hint-Arap sisteminde ABCDE bir tamsayının kısaltması anlamına gelir

Her tamsayı formda benzersiz bir temsili kabul ettiğinden

Nerede N bir tamsayıdır ve A 0 , A 1 ,..., BİR- sayılar, belirli bir sayı sisteminde her tam sayının benzersiz bir şekilde temsil edilebileceği sonucuna varırız.

Hindu-Arap sayı sistemi, yalnızca tam sayıları değil, aynı zamanda pozitif gerçek sayıları da kısa ve öz bir şekilde yazmanıza olanak tanır. 10 notasyonunu tanıtalım - N 1/10 için N, Nerede N– keyfi bir pozitif tamsayı. Daha sonra, gösterilebileceği gibi, herhangi bir pozitif gerçek sayı, benzersiz bir şekilde şu şekilde temsil edilebilir:

Bu kayıt bir sayı dizisi olarak yazılarak sıkıştırılabilir.

arasında ondalık nokta adı verilen işaret nerede A 0 ve B 1, 10'un negatif kuvvetlerinin nerede başladığını gösterir (bazı ülkelerde bu amaçla nokta kullanılır). Pozitif bir gerçek sayı yazmanın bu yöntemine ondalık genişleme denir ve ondalık açılımı biçiminde sunulan bir kesir ondalık.

Pozitif bir rasyonel sayı için, virgülden sonraki ondalık açılımın ya kesildiği (örneğin, 7/4 = 1,75) ya da tekrarlandığı (örneğin, 6577/1980 = 3,32171717...) gösterilebilir. Bir sayı irrasyonelse, ondalık açılımı kesilmez ve tekrarlanmaz. İrrasyonel bir sayının ondalık açılımı herhangi bir ondalık basamakta kesintiye uğrarsa, onun rasyonel yaklaşımını elde ederiz. Ondalık sayıyı sonlandırdığımız işaret ondalık noktanın sağına ne kadar uzaksa, rasyonel yaklaşım o kadar iyi olur (hata o kadar küçük olur).

Hindu-Arap sisteminde bir sayı, anlamı sayının gösterimindeki yerine veya konumuna bağlı olan on temel rakam kullanılarak yazılır (bir rakamın değeri, rakamın çarpımına eşittir ve bazısı da rakamın çarpımına eşittir). 10'un kuvveti). Bu nedenle böyle bir sisteme ondalık konum sistemi denir. Konumsal sayı sistemleri aritmetik algoritmalar oluşturmak için çok uygundur ve Hint-Arap sayı sisteminin modern dünyada bu kadar yaygın olmasının nedeni budur, ancak farklı ülkelerde bireysel sayıları belirtmek için farklı semboller kullanılabilir.

Sayıların adları.

Hint-Arap sistemindeki sayıların adları belirli kurallara tabidir. Sayıları adlandırmanın en yaygın yolu, sayının önce sağdan sola doğru üç basamaklı gruplara bölünmesidir. Bu gruplara "dönemler" denir. Aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi, ilk döneme "birimlerin" dönemi, ikincisine "binler" dönemi, üçüncüsüne "milyonlarca" dönemi vb. denir:

Her nokta sanki üç basamaklı bir sayıymış gibi okunur. Örneğin 962 dönemi "dokuz yüz altmış iki" olarak okunur. Birkaç noktadan oluşan bir sayıyı okumak için her dönemdeki rakam grubu, en soldan başlayarak soldan sağa doğru sırayla okunur; Her grubun ardından dönemin adı gelir. Örneğin, yukarıdaki sayı "yetmiş üç trilyon sekiz yüz kırk iki milyar dokuz yüz altmış iki milyon beş yüz otuz iki bin yedi yüz doksan sekiz" şeklindedir. Tam sayıları okurken ve yazarken genellikle “ve” bağlacının kullanılmadığını unutmayın. Birim kategorisinin adı atlanır. Trilyonları katrilyonlar, kentilyonlar, sekstilyonlar, septilyonlar, oktilyonlar, allyonlar ve desilyonlar takip ediyor. Her dönem bir öncekinden 1000 kat daha büyük bir değere sahiptir.

Hindu-Arap sisteminde, virgülün sağındaki sayıları okumak için aşağıdaki prosedürü takip etmek gelenekseldir. Burada konumlar (soldan sağa sırayla) olarak adlandırılır: "onda bir", "yüzde bir", "binde bir", "on binde bir" vb. Uygun bir ondalık sayı, virgülden sonraki rakamlar bir tam sayı oluşturuyormuş gibi okunur ve ardından sağdaki son rakamın konumunun adı gelir. Örneğin 0,752 "yedi yüz elli iki binde biri" olarak okunur. Karışık bir ondalık sayı, tam sayıları adlandırma kuralı ile uygun ondalık sayıları adlandırma kuralı birleştirilerek okunur. Örneğin, 632.752'de "altı yüz otuz iki nokta yedi yüz elli iki binde bir" yazıyor. Ondalık noktadan önceki "tamsayılar" kelimesine dikkat edin. Son yıllarda ondalık sayılar giderek daha basit bir şekilde okunmaya başlandı, örneğin 3,782 "üç virgül yedi yüz seksen iki" olarak.

Ek.

Artık ilkokulda öğretilen aritmetik algoritmaları analiz etmeye hazırız. Bu algoritmalar, ondalık açılımlar olarak yazılan pozitif gerçek sayılar üzerindeki işlemlerle ilgilenir. Temel toplama ve çarpım tablolarının ezberlendiğini varsayıyoruz.

Toplama problemini düşünün: 279,8 + 5,632 + 27,54'ü hesaplayın:

Öncelikle 10 sayısının aynı kuvvetlerini topluyoruz. 19Х10 –1 sayısı dağıtım kanununa göre 9Х10 –1 ve 10Х10 –1 = 1 olarak bölünüyor. Birimi sola kaydırıp 21'e ekliyoruz; 22'yi verir. Sırasıyla 22 sayısını 2'ye böleriz ve 20 = 2H10 olur. 2H10 sayısını sola kaydırıp 9H10'a ekleriz, bu da 11H10'u verir. Son olarak 11H10'u 1H10'a bölüyoruz ve 10H10 = 1H10 2, 1H10 2'yi sola kaydırıp 2H10 2'ye ekliyoruz, bu da 3H10 2'yi veriyor. Nihai toplam 312.972 olarak çıkıyor.

Yapılan hesaplamaların daha kısa ve öz bir biçimde sunulabileceği, aynı zamanda okulda öğretilen toplama algoritmasının bir örneği olarak da kullanılabileceği açıktır. Bunu yapmak için, ondalık noktalar aynı dikeyde olacak şekilde üç sayıyı da alt üste yazıyoruz:

Sağdan başlayarak 10 –3'teki katsayıların toplamının 2'ye eşit olduğunu buluyoruz ve bunu satırın altındaki ilgili sütuna yazıyoruz. 10 –2'deki katsayıların toplamı 7'ye eşittir ve bu da satırın altındaki ilgili sütunda yazılmıştır. 10 –1 için katsayıların toplamı 19'dur. Satırın altına 9 sayısını yazıp 1'i, birlerin bulunduğu bir önceki sütuna taşıyoruz. Bu birim dikkate alındığında bu sütundaki katsayının toplamı 22 olur. Çizginin altına bir iki yazıp diğerini bir önceki sütuna, yani onların olduğu yere taşıyoruz. Aktarılan ikisini dikkate aldığımızda bu sütundaki katsayıların toplamı 11'e eşittir. Bir birimi satırın altına yazıp diğerini yüzlerce olan bir önceki sütuna aktarıyoruz. Bu sütundaki katsayıların toplamı, satırın altına yazdığımız 3'e eşit çıkıyor. Gerekli tutar 312.972'dir.

Çıkarma.

Çıkarma toplamanın tersidir. Üç pozitif reel sayı ise A, B, C böylece birbirine bağlı a+b=c, sonra yazarız a = c – b Burada “-” sembolü “eksi” olarak okunur. Bir numara bulma A bilinen sayılara göre B Ve C"çıkarma" denir. Sayı C eksi, sayı denir B– “çıkarılabilir” ve sayı A- "fark". Pozitif reel sayılarla uğraştığımız için bu koşulun sağlanması gerekir. c > b.

Bir çıkarma örneğine bakalım: 453,87 – 82,94'ü hesaplayın.

Öncelikle gerekirse soldan bir birim alarak eksilenin açılımını, 10'un herhangi bir kuvveti için katsayısı, aynı kuvvet için çıkanın katsayısından büyük olacak şekilde dönüştürüyoruz. 4H10 2'den 1H10 2 = 10H10'u ödünç alırız, genişletmedeki bir sonraki terime son sayıyı ekleriz, bu da 15H10'u verir; benzer şekilde 1x10 0 veya 10x10 –1 ödünç alıyoruz ve bu sayıyı genişlemenin sondan bir önceki dönemine ekliyoruz. Bundan sonra 10 sayısının aynı kuvvetlerinin katsayılarını çıkarma ve 370,93 farkını kolayca bulma fırsatını yakalıyoruz.

Çıkarma işlemlerinin kaydı daha sıkıştırılmış bir biçimde sunulabilir ve okulda çalışılan bir çıkarma algoritmasının örneğini alabilirsiniz. Çıkarılanı eksilen kısmın altına yazıyoruz ki virgülleri aynı dikeyde olsun. Sağdan başlayarak 10 –2'deki katsayılar farkının 3'e eşit olduğunu buluyoruz ve bu sayıyı aynı sütunda satırın altına yazıyoruz. Soldaki bir sonraki sütunda 8'den 9'u çıkaramadığımız için eksinin birler pozisyonundaki üçü ikiye değiştiriyoruz ve onda birler pozisyonundaki 8 sayısını 18 olarak ele alıyoruz. 18'den 9'u çıkardıktan sonra 9 elde ediyoruz, vb. ., yani .

Çarpma işlemi.

İlk önce sözde düşünelim “kısa” çarpma, pozitif bir gerçek sayının 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek basamaklı sayılardan biriyle (örneğin 32,67ґ4) çarpılmasıdır. Dağılım yasasını, birleşme ve çarpma yasalarının yanı sıra değişme yasalarını kullanarak, faktörleri parçalara ayırma ve bunları daha uygun bir şekilde düzenleme fırsatına sahip oluyoruz. Örneğin,

Bu hesaplamalar daha özet olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir:

Sıkıştırma işlemine devam edilebilir. 4 faktörünü belirtildiği gibi 32,67 çarpanının altına yazıyoruz:

4ґ7 = 28 olduğundan, satırın altına 8 sayısını yazıyoruz ve çarpanın 6 sayısının üzerine 2'yi yerleştiriyoruz. Daha sonra 4ґ6 = 24, sağdaki sütundan aktarılanlar dikkate alındığında 26 verir. 6 sayısını satırın altına, çarpanın 2 sayısının üstüne de 2 yazıyoruz. Daha sonra 4ґ2 = 8 elde ederiz, bu da aktarılan iki ile kombinasyon halinde 10 verir. Çarpmanın altındaki satırın altındaki 0 ​​sayısını ve 3 sayısının üzerindeki rakamı imzalarız. Son olarak 4ґ3 = 12, aktarılan birim dikkate alındığında 13'ü verir; Çizginin altında 13 sayısı yazılıdır. Ondalık noktayı koyarak cevabı alıyoruz: ürün 130,68'e eşittir.

"Uzun" bir çarpma, defalarca tekrarlanan "kısa" bir çarpmadır. Örneğin 32,67 sayısını 72,4 sayısıyla çarpmayı düşünün. Çarpanı belirtildiği gibi çarpanın altına yerleştirelim:

Sağdan sola kısa çarpma yaparak ilk bölümü 13.068, ikinci bölümü 65.34 ve üçüncü bölümünü 2286.9 elde ederiz. Dağılım kanununa göre bulunması gereken ürün bu kısmi çarpımların toplamı yani 2365.308'dir. Yazılı gösterimde, kısmi çarpımlarda ondalık nokta atlanır, ancak daha sonra tam çarpımı elde etmek üzere toplanabilmesi için bunların "adımlar" halinde doğru şekilde düzenlenmesi gerekir. Çarpımdaki ondalık basamak sayısı, çarpan ve çarpandaki ondalık basamak sayısının toplamına eşittir.

Bölüm.

Bölme, çarpmanın ters işlemidir; Nasıl ki tekrar tekrar toplamanın yerini çarpma alıyorsa, tekrar tekrar çıkarmanın yerini de bölme alır. Örneğin şu soruyu düşünün: 3, 14'ün içinde kaç kez bulunur? 14'ten 3'ü çıkarma işlemini tekrarladığımızda, 3'ün 14'e dört kez "girdiğini" ve 2 sayısının "kaldığını" görüyoruz, yani.

14 sayısı denir bölünebilir, 3 numara - bölücü, 4 numara - özel ve 2 numara – kalan. Ortaya çıkan ilişki kelimelerle şu şekilde ifade edilebilir:

temettü = (bölen ґ bölüm) + kalan,

0 Ј kalan

1400'ün 3'e bölümünden art arda 3 çıkarılarak bölümü ve kalanını bulmak çok fazla zaman ve çaba gerektirir. Önce 1400'den 300'ü, sonra kalandan 30'u ve son olarak da 3'ü çıkarırsak işlem önemli ölçüde hızlanabilir. Dört kez 300 çıkardıktan sonra 200 kalanını elde ederiz; Altı kez 200'den 30 çıkarıldığında kalan 20 olur; son olarak 20'den altı kez 3'ü çıkardıktan sonra kalan 2'yi elde ederiz.

Bulunacak bölüm ve kalan sırasıyla 466 ve 2'dir.Hesaplamalar aşağıdaki gibi düzenlenebilir ve ardından sırayla sıkıştırılabilir:

Yukarıdaki mantık, bölenin ve bölenin ondalık sistemde ifade edilen herhangi bir pozitif gerçek sayı olması durumunda geçerlidir. Bunu 817.65е23.7 örneğiyle açıklayalım.

Öncelikle bölenin ondalık nokta kaydırması kullanılarak bir tam sayıya dönüştürülmesi gerekir. Bu durumda, payın ondalık noktası aynı sayıda ondalık basamak kadar kaydırılır. Bölen ve temettü aşağıda gösterildiği gibi düzenlenmiştir:

Bölene böldüğümüz bölenin ilk kısmı olan üç basamaklı 817 sayısının bölenin kaç katı içerdiğini belirleyelim. Üç kez kapsandığı tahmin edildiğinden 237'yi 3 ile çarpıyoruz ve 711'in çarpımını 817'den çıkarıyoruz. 106'nın farkı bölenden küçüktür. Bu, 237 sayısının deneme temettüsünde en fazla üç kez göründüğü anlamına gelir. Yatay çizginin altında 2 sayısının böleni altında yazılan 3 sayısı bulunması gereken bölümün ilk basamağıdır. Bölünmenin bir sonraki basamağını aşağıya kaydırdıktan sonra, bir sonraki deneme bölüşümü olan 1066'yı elde ederiz ve bölenin 237'nin 1066 sayısına kaç kez uyduğunu belirlememiz gerekir; 4 kere diyelim. Böleni 4 ile çarpıyoruz ve 1066'dan çıkardığımız 948 sonucunu elde ediyoruz; fark 118 olur, bu da bölümün bir sonraki basamağının 4 olduğu anlamına gelir. Daha sonra bölüşümün bir sonraki basamağını çıkarırız ve yukarıda açıklanan prosedürün tamamını tekrarlarız. Bu sefer, deneme temettüsünün (1185) tam olarak (kalan olmadan) 237'ye bölünebildiği ortaya çıkıyor (bölmenin geri kalanı sonunda 0 oluyor). Bölünmede ayrılanlarla aynı sayıda rakamı bölümde bir ondalık noktayla ayırarak (daha önce ondalık noktayı hareket ettirdiğimizi unutmayın), cevabı alırız: bölüm 34,5'e eşittir.

Kesirler.

Kesirlerle yapılan hesaplamalar, toplama, çıkarma, çarpma ve bölmenin yanı sıra karmaşık kesirlerin basitleştirilmesini de içerir.

Aynı paydaya sahip kesirlerin eklenmesi payların eklenmesiyle yapılır, örneğin:

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

Kesirlerin farklı paydaları varsa, önce ortak bir paydaya indirilmeleri gerekir, yani. paydaları aynı olan kesirlere dönüştürün. Bunu yapmak için en küçük ortak paydayı (verilen paydaların her birinin en küçük katı) buluyoruz. Örneğin 2/3, 1/6 ve 3/5'i toplarken en küçük ortak payda 30 olur:

Özetle şunu anlıyoruz

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

Kesirlerin çıkarılması, toplama işlemiyle aynı şekilde yapılır. Paydalar aynıysa çıkarma işlemi payların çıkarılmasına gelir: 10/13 – 2/13 = 8/13; Kesirlerin farklı paydaları varsa, önce onları ortak bir paydaya getirmelisiniz:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

Kesirlerle çarparken pay ve paydaları ayrı ayrı çarpılır. Örneğin,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

Bir kesri diğerine bölmek için, ilk kesri (bölen) ikincinin (bölen) karşılıklı kesri ile çarpmanız gerekir (karşılıklı kesir elde etmek için, orijinal kesrin payını ve paydasını değiştirmeniz gerekir), yani. ( N 1 /D 1)e( N 2 /D 2) = (N 1 saat D 2)/(D 1 saat N 2). Örneğin,

3/4е7/8 = 3/4ґ8/7 = 24/28 = 6/7.

Karışık sayı, bir tam sayı ile bir kesrin toplamıdır (veya farkıdır), örneğin 4 + 2/3 veya 10 – 1/8. Bir tam sayı, paydası 1 olan bir kesir olarak düşünülebileceğinden, karışık sayı, iki kesrin toplamından (veya farkından) başka bir şey değildir. Örneğin,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

Karmaşık kesir, payda, paydada veya pay ve paydada bir kesir bulunan kesirdir. Bu kesir basit bir kesir haline dönüştürülebilir:

Kare kök.

Eğer N R, öyle ki R 2 = N. Sayı R isminde kare kök itibaren N ve belirlenir. Okulda size karekök almayı iki şekilde öğretiyorlar.

İlk yöntem daha basit ve uygulanması daha kolay olduğundan daha popülerdir; Bu yöntemi kullanan hesaplamalar, bir masaüstü hesap makinesinde kolayca uygulanır ve küp kökler ve daha yüksek kökler durumuna genelleştirilir. Yöntem şu gerçeğe dayanmaktadır: R 1 – köke yaklaşıyor, sonra R 2 = (1/2)(R 1 + N/R 1) – kökün daha doğru yaklaşımı.

1 ile 100 arasındaki bir sayının, örneğin 40 sayısının, karekökünü hesaplayarak işlemi örnekleyelim. 6 2 = 36 ve 7 2 = 49 olduğundan, tam sayılarda en iyi yaklaşımın 6 olduğu sonucuna varıyoruz. 6'dan daha doğru bir yaklaşım aşağıdaki şekilde elde edilir. 40'ın 6'ya bölünmesi 6,6 sonucunu verir (ilk ondalık basamağa yuvarlanır) eşit ondalık sayılar). 'ye ikinci bir yaklaşım elde etmek için, 6 ve 6,6 sayılarının ortalamasını alırız ve 6,3 elde ederiz. Prosedürü tekrarlayarak daha iyi bir yaklaşım elde ederiz. 40'ı 6,3'e bölerek 6,350 sayısını buluruz ve üçüncü yaklaşım (1/2)(6,3 + 6,350) = 6,325 olur. Başka bir tekrarda 40е6.325 = 6.3241106 elde edilir ve dördüncü yaklaşım (1/2)(6.325 + 6.3241106) = 6.3245553 olur. İşlem istenildiği kadar devam edebilir. Genel olarak, sonraki her bir yaklaşım, bir öncekinin iki katı kadar rakam içerebilir. Yani örneğimizde, ilk yaklaşım olan 6 tamsayısı yalnızca bir rakam içerdiğinden, ikinci yaklaşımda iki rakamı, üçüncüde dört rakamı ve dördüncüde sekiz rakamı tutabiliriz.

eğer sayı N 1 ile 100 arasında değilse, önce bölmeniz (veya çarpmanız) gerekir N 100'ün bir kuvvetine göre, diyelim ki k-th, böylece ürün 1 ile 100 aralığında olsun. Daha sonra ürünün karekökü 1 ile 10 arasında olacaktır ve çıkarıldıktan sonra elde edilen sayıyı 10 ile çarparız (veya böleriz). k, gerekli karekökü bulun. Örneğin, eğer N= 400000, o zaman ilk önce bölmek 400000'e 100 2 ve 1'den 100'e kadar olan aralıkta yer alan 40 sayısını elde ederiz. Yukarıda gösterildiği gibi yaklaşık olarak 6,3245553'e eşittir. Çarpma Bu sayıyı 10 2'ye katladığımızda yaklaşık değer olarak 632,45553 elde ederiz ve 0,63245553 sayısı da yaklaşık değer olarak hizmet eder.

Yukarıda bahsedilen prosedürlerden ikincisi cebirsel özdeşliğe dayanmaktadır ( A + B) 2 = A 2 + (2A + B)B. Her adımda karekökün halihazırda elde edilen kısmı şu şekilde alınır: A ve hala belirlenmesi gereken kısım şu: B.

Küp kökü.

Pozitif bir gerçek sayının küp kökünü çıkarmak için, karekökü çıkarmaya benzer algoritmalar vardır. Örneğin bir sayının küp kökünü bulmak için N, önce kökün yaklaşık değerini bir sayıyla hesaplarız R 1. Daha sonra daha doğru bir yaklaşım oluştururuz R 2 = (1/3)(2R 1 + N/R 1 2), bu da daha doğru bir yaklaşıma yol açar R 3 = (1/3)(2R 2 + N/R 2 2), vb. Kökün giderek daha doğru yaklaşımlarını oluşturma prosedürü süresiz olarak devam edebilir.

Örneğin, 1 ile 1000 arasında bir sayının, örneğin 200 sayısının küp kökünü hesaplamayı düşünün. 5 3 = 125 ve 6 3 = 216 olduğundan, 6'nın 200'ün küp köküne en yakın tam sayı olduğu sonucuna varırız. Bu nedenle seçiyoruz R 1 = 6 ve sırayla hesaplayın R 2 = 5,9, R 3 = 5,85, R 4 = 5,8480. Her bir yaklaşımda, üçüncüden başlayarak, önceki yaklaşımdaki karakter sayısının iki katından bir eksik olan karakter sayısının korunmasına izin verilir. Küp kökünü çıkarmak istediğiniz sayı 1 ile 1000 arasında değilse, önce bunu bazılarına bölmeniz (veya çarpmanız) gerekir, örneğin: k 1000 sayısının kuvveti ve böylece istenilen sayı aralığına getirilmesi. Yeni elde edilen sayının küp kökü 1 ile 10 aralığındadır. Hesaplandıktan sonra 10 ile çarpılması (veya bölünmesi) gerekir. k orijinal sayının küp kökünü almak için.

Pozitif bir gerçek sayının küp kökünü bulmaya yönelik ikinci, daha karmaşık algoritma, cebirsel özdeşliğin ( A + B) 3 = A 3 + (3A 2 + 3ab + B 2)B. Şu anda, küp köklerin yanı sıra daha yüksek kuvvetlerin köklerini çıkarmaya yönelik algoritmalar lisede öğretilmemektedir, çünkü bunları logaritma veya cebirsel yöntemler kullanarak bulmak daha kolaydır.

Öklid'in algoritması.

Bu algoritma şu şekilde sunuldu: BaşlangıçlarÖklid (MÖ 300 civarı). İki tam sayının en büyük ortak bölenini hesaplamak için kullanılır. Pozitif sayılar durumunda, bir prosedür kuralı olarak formüle edilir: “Verilen iki sayıdan büyük olanı küçüğüne bölün. Daha sonra böleni kalana bölün ve son bölen son kalana eşit olarak bölünene kadar bu şekilde devam edin. Bölenlerden sonuncusu verilen iki sayının en büyük ortak böleni olacaktır."

Sayısal bir örnek olarak, 3132 ve 7200 olmak üzere iki tam sayıyı düşünün. Bu durumda algoritma aşağıdaki adımlara iner:

En büyük ortak bölen, son bölenle aynıdır - 36 sayısı. Açıklaması basit. Örneğimizde son satırda 36 sayısının 288 sayısını böldüğünü görüyoruz. Sondan bir önceki satırdan 36 sayısının 324'ü böldüğü anlaşılıyor. Yani satırdan satıra giderek 36 sayısının 936'yı böldüğüne ikna oluyoruz. , 3132 ve 7200 Şimdi 36 sayısının, 3132 ve 7200 sayılarının ortak böleni olduğunu iddia ediyoruz. G 3132 ve 7200 sayılarının en büyük ortak bölenidir. G 3132 ve 7200'ü bölüyor, ilk satırdan itibaren şu çıkıyor G 936'yı böler. İkinci satırdan şu sonuca varırız: G 324'ü böler. Yani satır satır inerken şunu biliyoruz: G 288 ve 36'yı böler. Ve 36, 3132 ve 7200 sayılarının ortak böleni olduğundan ve en büyük ortak bölenlerine bölündüğünden, 36'nın bu en büyük ortak bölen olduğu sonucuna varırız.

Muayene.

Aritmetik hesaplamalar sürekli dikkat gerektirir ve bu nedenle hatalara açıktır. Bu nedenle hesaplama sonuçlarının kontrol edilmesi çok önemlidir.

1. Bir sayı sütununun eklenmesi, sütundaki sayıların önce yukarıdan aşağıya, sonra aşağıdan yukarıya doğru eklenmesiyle kontrol edilebilir. Bu doğrulama yönteminin gerekçesi, genelleştirilmiş değişme ve toplamanın birleşme kanunudur.

2. Çıkarılan sayıya fark eklenerek çıkarma işlemi kontrol edilir - eksi elde edilmelidir. Bu doğrulama yönteminin mantığı çıkarma işleminin tanımıdır.

3. Çarpma, çarpan ve çarpan yeniden düzenlenerek kontrol edilebilir. Bu doğrulama yönteminin gerekçesi değişmeli çarpma yasasıdır. Çarpanı (veya çarpımı) iki terime bölerek, iki ayrı çarpma işlemi gerçekleştirerek ve elde edilen çarpımları toplayarak çarpma işlemini kontrol edebilirsiniz; orijinal çarpımı almalısınız.

4. Bölmeyi kontrol etmek için bölümü bölenle çarpmanız ve kalanı çarpıma eklemeniz gerekir. Temettüyü almalısınız. Bu doğrulama yönteminin mantığı bölme işleminin tanımıdır.

5. Bir kare (veya kübik) kökün çıkarılmasının doğruluğunun kontrol edilmesi, elde edilen sayının kare (veya küp) ile yükseltilmesinden oluşur - orijinal sayı elde edilmelidir.

Tamsayıların toplamasını veya çarpmasını kontrol etmenin özellikle basit ve çok güvenilir bir yolu, sözde geçişi temsil eden bir tekniktir. "karşılaştırmalar modülo 9". Sayıyı yazmak için kullanılan rakamların toplamının 9'a bölündüğünde kalan kısmına "fazla" diyelim. Daha sonra, "fazlalıklar" ile ilgili olarak iki teorem formüle edilebilir: "tam sayıların toplamının fazlası, terimlerin fazlalıkları toplamının fazlasına eşittir" ve "iki tam sayının çarpımının fazlası eşittir" aşırılıklarının ürününün fazlası. Aşağıda bu teoremi temel alan kontrol örnekleri verilmiştir:

Karşılaştırma modulo 9'a geçme yöntemi, diğer aritmetik algoritmaları test ederken de kullanılabilir. Elbette böyle bir kontrol hatasız değildir, çünkü "aşırılıklar" ile çalışmak da hatalara tabidir, ancak böyle bir durum pek mümkün değildir.

Faiz.

Yüzde, paydası 100 olan bir kesirdir; Yüzdeler üç şekilde yazılabilir: kesir olarak, ondalık sayı olarak veya özel yüzde gösterimi % kullanılarak. Örneğin yüzde 7, 7/100, 0,07 ya da %7 olarak yazılabilir.

En yaygın yüzde probleminin bir örneği şudur: "82'nin %17'sini bulun." Bu sorunu çözmek için 0,17ґ82 = 13,94 çarpımını hesaplamanız gerekir. Bu tür ürünlerde 0,17'ye oran, 82'ye baz, 13,94'e ise yüzde olarak ifade edilen pay denir. Bahsedilen üç büyüklük birbiriyle ilişkiyle ilişkilidir.

Oran � taban = yüzde pay.

Herhangi iki miktar biliniyorsa üçüncüsü bu ilişkiden belirlenebilir. Buna göre “yüzdeleri kullanarak” üç tür problemle karşılaşıyoruz.

örnek 1. Bu okulda kayıtlı öğrenci sayısı 351'den 396'ya çıktı. Bu sayı yüzde kaç arttı?

Artış 396 – 351 = 45 kişi oldu. 45/351 kesrini yüzde olarak yazarsak 45/351 = 0,128 = %12,8 elde ederiz.

Örnek 2. İndirim sırasında mağazadaki bir reklamda "Tüm ürünlerde %25 indirim" yazıyor. Normalde 3,60 dolara satılan bir ürünün satış fiyatı nedir?

Fiyattaki %25'lik 3,60 dolarlık düşüş, 0,25-3,60 = 0,90 dolarlık bir düşüş anlamına gelir; bu nedenle ürünün satış sırasındaki fiyatı 3,60 ABD Doları – 0,90 ABD Doları = 2,70 ABD Doları olacaktır.

Örnek 3. Bankaya yılda %5 oranında yatırılan para, yılda 40 dolar kar getirdi. Bankaya ne kadar para yatırıldı?

Tutarın %5'i 40$ olduğundan, yani. 5/100 ґ miktar = 40 $ veya 1/100 ґ miktar = 8 dolar, toplam tutar 800 dolar.

Yaklaşık sayıların aritmetiği.

Hesaplamalarda kullanılan sayıların çoğu ölçümlerden veya tahminlerden kaynaklanır ve bu nedenle yalnızca yaklaşık değerler olarak kabul edilebilir. Yaklaşık sayılarla yapılan hesaplamaların sonucunun ancak yaklaşık bir sayı olabileceği açıktır. Örneğin, karşı yüzey ölçümlerinin aşağıdaki sonuçları verdiğini varsayalım (metrenin en yakın onda birine yuvarlanmış): genişlik 1,2 m, uzunluk 3,1 m; tezgahın alanının 1,2ґ3,1 = 3,72 m2 olduğu söylenebilir. Ancak gerçekte bilgiler bu kadar kesin olmaktan uzaktır. 1,2 m değeri yalnızca genişlik ölçümünün 1,15 ila 1,25 m arasında olduğunu ve 3,1 değeri ise uzunluk ölçümünün 3,05 ila 3,15 m arasında olduğunu gösterdiğinden, tezgah alanı hakkında yalnızca 1,15ґ3,05'ten büyük olması gerektiğini söyleyebiliriz. = 3,5075, ancak 1,25ґ3,15 = 3,9375'ten az. Dolayısıyla tezgahın alanıyla ilgili soruya verilecek tek mantıklı cevap yaklaşık 3,7 m2 olduğunu söylemek olacaktır.

Şimdi 3,73 m, 52,1 m ve 0,282 m'lik yaklaşık ölçümlerin sonuçlarını toplama problemini ele alalım. Basit toplam 56,112 m'dir. Ancak önceki problemde olduğu gibi kesin olarak söylenebilecek tek şey gerçek toplamın olduğudur. 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 m'den büyük ve 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 m'den küçük olmalıdır.Bu nedenle sorunun tek makul cevabı, toplamın yaklaşık olarak 56,1 m'ye eşit olduğunu söylemektir.

Yukarıdaki iki örnek, yaklaşık sayılarla çalışırken yararlı olan bazı kuralları göstermektedir. Sayıları yuvarlamanın farklı yolları vardır. Bunlardan biri sayının alt rakamlarını atmaktır. Ayrıca atılacak ilk rakam beşten fazla ise kalan son rakam bir artırılmalı, daha az ise kalan kısmın son rakamı değişmeden kalır.

Atılacak ilk rakam tam olarak beş ise, kalan son rakam tek ise bir artırılır, çift ise değişmeden kalır. Örneğin en yakın yüzlüğe yuvarlarken 3.14159;17.7682; 28.999; 0,00234; 7,235 ve 7,325, 3,14 olur; 17.77; 29.00; 0,00; 7.24 ve 7.32.

Başka bir yuvarlama yöntemi anlamlı rakamlar kavramıyla ilişkilidir ve makineyle bir sayı yazarken kullanılır. Yaklaşık bir sayının anlamlı rakamları, sıfırdan farklı ilk rakamdan başlayıp, hataya karşılık gelen ondalık basamağın yerindeki rakamla biten, soldan sağa doğru ondalık gösterimdeki rakamlardır. Örneğin, yaklaşık 12,1 sayısının anlamlı rakamları 1, 2, 1 sayılarıdır; yaklaşık sayı 0,072 – sayılar 7, 2; 82000 sayısının en yakın yüzlüğe yazılan yaklaşık sayısı 8, 2, 0'dır.

Şimdi yukarıda belirtilen yaklaşık sayılarla işlem yapmak için iki kuralı formüle edeceğiz.

Yaklaşık sayıları toplarken ve çıkarırken her sayı, en az doğru olan sayının son rakamından sonraki rakama, elde edilen toplam ve fark ise en az doğru olan sayının aynı rakam sayısına yuvarlanmalıdır. Yaklaşık sayılar çarpılırken ve bölünürken her sayı, en az anlamlı sayının son anlamlı basamağından sonraki işarete yuvarlanmalı, çarpım ve bölüm, en az doğru sayı bilinen sayıyla aynı doğrulukla yuvarlanmalıdır.

Daha önce ele alınan sorunlara dönersek şunu elde ederiz:

1,2ґ3,1 = 3,72 m 2 » 3,7 m 2

3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 m2 "56,1 m,

burada " işareti "yaklaşık olarak eşit" anlamına gelir.

Bazı aritmetik ders kitapları, yaklaşık sayılarla çalışmak için algoritmalar sağlayarak hesaplama sırasında gereksiz işaretlerden kaçınmanıza olanak tanır. Ayrıca sözde kullanıyorlar. yaklaşık sayıların kaydedilmesi, yani herhangi bir sayı (1'den 10'a kadar olan bir sayı) formunda temsil edilir � (10'un kuvvetleri), burada birinci faktör sayının yalnızca anlamlı rakamlarını içerir. Örneğin, en yakın yüz km'ye yuvarlanan 82000 km, 8,20ґ10 4 km, 0,00702 cm ise 7,02ґ10 –3 cm olarak yazılır.

Matematiksel tablolardaki, trigonometrik veya logaritmik tablolardaki sayılar yaklaşıktır, belirli sayıda işaretle yazılır. Bu tür tablolarla çalışırken yaklaşık sayılarla hesaplama kurallarına uymalısınız.

Logaritmalar.

17. yüzyılın başlarında. Uygulamalı hesaplama problemlerinin karmaşıklığı o kadar arttı ki, çok fazla emek ve zaman nedeniyle "manuel" olarak başa çıkmak mümkün olmadı. Neyse ki, 17. yüzyılın başında J. Napier tarafından zamanında icat edildi. logaritmalar ortaya çıkan problemin üstesinden gelmeyi mümkün kıldı. Logaritmanın teorisi ve uygulamaları LOGARITHM adlı özel bir makalede ayrıntılı olarak anlatıldığı için kendimizi yalnızca en gerekli bilgilerle sınırlayacağız.

Eğer gösterilebilirse N pozitif bir gerçek sayı ise benzersiz bir pozitif gerçek sayı vardır X, öyle ki 10 X = N. Sayı X denir (normal veya ondalık) logaritma sayılar N; geleneksel olarak şu şekilde yazılır: X= günlük N. Dolayısıyla logaritma bir üslüdür ve üslü işlemler yasalarından şu sonuç çıkar:

Aritmetikte yaygın kullanımlarını açıklayan logaritmanın bu özellikleridir. Birinci ve ikinci özellikler, herhangi bir çarpma ve bölme problemini daha basit bir toplama ve çıkarma problemine indirgememize olanak tanır. Üçüncü ve dördüncü özellikler, üstel alma ve kök çıkarma işlemlerini çok daha basit işlemlere (çarpma ve bölme) indirgemeyi mümkün kılar.

Logaritmanın kullanım kolaylığı açısından tabloları derlenmiştir. Ondalık logaritma tablosu derlemek için yalnızca 1'den 10'a kadar sayıların logaritmasını dahil etmek yeterlidir. Örneğin, 247.6 = 10 2 ґ2.476 olduğundan, elimizde: log247.6 = log10 2 + log2.476 = 2 + log2.476 ve 0.02476 = 10 –2 ґ2.476 olduğundan, log0.02476 = log10 –2 + log2.476 = –2 + log2.476. 1 ile 10 arasındaki bir sayının ondalık logaritmasının 0 ile 1 arasında olduğunu ve ondalık sayı olarak yazılabileceğini unutmayın. Bundan, herhangi bir sayının ondalık logaritmasının, logaritmanın karakteristiği adı verilen bir tam sayı ile logaritmanın mantisi adı verilen ondalık kesirin toplamı olduğu sonucu çıkar. Herhangi bir sayının logaritmasının özelliği “zihinde” bulunabilir; Mantis logaritma tabloları kullanılarak bulunmalıdır. Örneğin, tablolardan log2.476 = 0,39375'i, dolayısıyla log247.63 = 2,39375'i buluyoruz. Logaritmanın özelliği negatifse (sayı birden küçük olduğunda), bunu iki pozitif tam sayının farkı olarak temsil etmek uygundur, örneğin log0,02476 = –2 + 0,39375 = 8,39375 – 10. aşağıdaki örnekler bu tekniği açıklamaktadır.

Edebiyat:

Antik çağlardan 19. yüzyılın başlarına kadar matematiğin tarihi., cilt. 1–3. M., 1970–1972.
Serre J.-P. Aritmetik kursu. M., 1972
Nechaev V.I. Sayısal sistemler. M., 1975
Daan-Dalmedico A., Peiffer J . Yollar ve labirentler. Matematik tarihi üzerine denemeler. M., 1986
Enger E. İlköğretim Matematik. M., 1987

Daire, bir sütunda karekökleri nasıl çıkarabileceğinizi gösterdi. Kökü keyfi bir kesinlikle hesaplayabilir, irrasyonel olduğu ortaya çıksa bile ondalık gösteriminde istediğiniz sayıda rakamı bulabilirsiniz. Algoritma hatırlandı ancak sorular kaldı. Yöntemin nereden geldiği ve neden doğru sonuç verdiği belli değildi. Kitaplarda yoktu ya da belki de yanlış kitaplara bakıyordum. Sonunda, bugün bildiğim ve yapabildiğim çoğu şey gibi, bunu da kendim buldum. Bilgilerimi burada paylaşıyorum. Bu arada, algoritmanın mantığının nerede verildiğini hala bilmiyorum)))

Bu yüzden önce size “sistemin nasıl çalıştığını” bir örnekle anlatacağım, sonra aslında neden çalıştığını açıklayacağım.

Bir sayı alalım (sayı “havadan alınmış”, hemen aklıma geldi).

1. Sayılarını çiftlere ayırıyoruz: Ondalık noktanın solundakiler sağdan sola ikişer, sağdakiler ise soldan sağa ikişer gruplanıyor. Anlıyoruz.

2. Soldaki ilk sayı grubundan karekökü çıkarıyoruz - bizim durumumuzda bu (tam kökün çıkarılamayacağı açıktır, karesi, sayının oluşturduğu sayıya mümkün olduğunca yakın olan bir sayı alıyoruz) ilk grup sayılar, ancak onu aşmaz). Bizim durumumuzda bu bir sayı olacaktır. Cevabı yazıyoruz - bu kökün en önemli basamağıdır.

3. Zaten cevapta bulunan sayının karesini alıyoruz - bu - ve onu soldaki ilk sayı grubundan - sayıdan çıkarıyoruz. Bizim durumumuzda kalır.

4. Aşağıdaki iki sayıdan oluşan grubu sağa atarız: . Zaten cevapta bulunan sayıyı ile çarparız ve elde ederiz.

5. Şimdi dikkatlice izleyin. Sağdaki sayıya bir rakam verip, sayıyı aynı atanan rakamla çarpmamız gerekiyor. Sonuç mümkün olduğunca bu sayıya yakın olmalı, ancak yine de bu sayıyı aşmamalıdır. Bizim durumumuzda bu sayı olacak, sağ taraftaki cevaba yazıyoruz. Bu, karekökümüzün ondalık gösterimindeki bir sonraki rakamdır.

6. Çarpımı çıkardığımızdan şunu elde ederiz.

7. Daha sonra, tanıdık işlemleri tekrarlıyoruz: aşağıdaki rakam grubunu sağa atarız, elde edilen sayıyı ile çarparız > sağa bir rakam atarız, öyle ki onunla çarpıldığında 'dan küçük ama ona en yakın sayıyı elde ederiz. ona göre - bu, ondalık kök gösterimindeki bir sonraki rakamdır.

Hesaplamalar şu şekilde yazılacaktır:

Ve şimdi vaat edilen açıklama. Algoritma formüle dayanmaktadır

Yorumlar: 51

1. 2 Anton:

   Fazla kaotik ve kafa karıştırıcı. Her şeyi nokta nokta düzenleyin ve numaralandırın. Artı: Her eylemde gerekli değerleri nerede değiştirdiğimizi açıklayın. Daha önce hiç kök kök hesaplamamıştım; bulmakta zorlandım.

2. 5 Julia:

3. 6 :

   Yulia, 23 şu anda sağda yazıyor; bunlar zaten cevapta alınan kökün ilk iki (solda) basamağıdır. Algoritmaya göre 2 ile çarpın. 4. maddede açıklanan adımları tekrarlıyoruz.

4. 7zz:

   “6. 167'den 43 * 3 = 123 (129 nada) çarpımını çıkarırsak 38 elde ederiz.”
   Ondalık noktadan sonra nasıl 08 çıktığını anlamıyorum...

5. 9 Fedotov İskender:

   Ve hesap makinesi öncesi dönemde bile, okulda bize sadece karekök değil, aynı zamanda bir sütundaki küp kökü de öğretiliyordu, ama bu daha sıkıcı ve özenli bir işti. Lisede üzerinde çalıştığımız Bradis tablolarını veya hesap cetvelini kullanmak daha kolaydı.

6. 10 :

   İskender haklısın, büyük güçlerin köklerini bir sütuna çıkarabilirsiniz. Küp kökünün nasıl bulunacağını yazacağım.

7. 12 Sergey Valentinoviç:

   Sevgili Elizaveta Aleksandrovna! 70'lerin sonlarında, quadra'nın otomatik (yani seçim yoluyla değil) hesaplanması için bir şema geliştirdim. Felix ekleme makinesinde kök. Eğer ilgilenirseniz size bir açıklama gönderebilirim.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((Sütunun karekökünün çıkarılması)))
   Bilgisayar bilimlerinde incelenen ancak matematikte de yararlı olan 2. sayı sistemini kullanırsanız algoritma basitleşir. BİR. Kolmogorov bu algoritmayı okul çocukları için popüler derslerde sundu. Makalesi “Chebyshev Koleksiyonu”nda bulunabilir (Matematik Dergisi, internette bir bağlantı arayın)
   Bu arada şunu söyle:
   G. Leibniz bir zamanlar basitliği ve yeni başlayanlar (ilkokul çocukları) için erişilebilirliği nedeniyle 10'uncu sayı sisteminden ikili sayı sistemine geçme fikrini düşünüyordu. Ancak yerleşik gelenekleri çiğnemek, alnınızla bir kale kapısını kırmak gibidir: bu mümkündür, ancak faydası yoktur. Eski zamanların en çok alıntı yapılan sakallı filozofuna göre şu ortaya çıkıyor: Tüm ölü nesillerin gelenekleri, yaşayanların bilincini bastırıyor.

   Bir sonrakine kadar.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   ))Sergey Valentinovich, evet ilgileniyorum...((

   Bunun, ardışık yaklaşımlar yöntemini kullanarak kare atı çıkarmaya yönelik Babil yönteminin "Felix"inin bir varyasyonu olduğuna bahse girerim. Bu algoritma Newton'un yöntemi (teğet yöntemi) kapsamındaydı.

   Bakalım tahminlerimde yanılmış mıyım?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Evet, ikili algoritmanın daha basit olması gerekir, bu oldukça açık.

    Newton'un yöntemi hakkında. Belki bu doğrudur ama yine de ilginç

11. 20 Kiril:

    Çok teşekkürler. Ama hala bir algoritma yok, nereden geldiğini kimse bilmiyor ama sonuç doğru. ÇOK TEŞEKKÜRLER! Uzun zamandır bunu arıyordum)

12. 21 İskender:

    Soldan sağa ikinci grubun çok küçük olduğu bir sayının kökünü nasıl çıkaracaksınız? örneğin herkesin favori numarası 4.398.046.511.104'tür. İlk çıkarma işleminden sonra her şeye algoritmaya göre devam etmek mümkün değildir. Açıklayabilir misiniz lütfen.

13. 22 Alexey:

    Evet bu yöntemi biliyorum. Bunu eski bir baskının “Cebir” kitabında okuduğumu hatırlıyorum. Daha sonra, benzetme yoluyla, bir sütundaki küp kökünün nasıl çıkarılacağını kendisi çıkardı. Ancak orada durum zaten daha karmaşık: her rakam bir rakamla değil (kare için olduğu gibi), iki çıkarmayla belirlenir ve orada bile her seferinde uzun sayıları çarpmanız gerekir.

14. 23 Artem:

    56789.321'in karekökünün çıkarılması örneğinde yazım hataları var. 32 sayı grubunda 145 ve 243 sayıları iki kere atanır, 2388025 sayısında ikinci 8 yerine 3 yazılmalıdır. Daha sonra son çıkarma işlemi şu şekilde yazılmalıdır: 2431000 – 2383025 = 47975.
    Ek olarak, kalanı cevabın iki katı değerine böldüğümüzde (virgül dikkate alınmadan), ek bir sayıda anlamlı basamak elde ederiz (47975/(2*238305) = 0,100658819...) cevap (√56789,321 = 238,305... = 238,305100659).

15. 24 Sergey:

    Algoritmanın Isaac Newton'un "Genel Aritmetik veya aritmetik sentez ve analiz üzerine bir kitap" kitabından geldiği anlaşılıyor. İşte ondan bir alıntı:

    KÖKLERİN ÇIKARILMASI HAKKINDA

    Bir sayının karekökünü çıkarmak için önce sayının rakamlarının üzerine, birlerden başlayarak bir nokta koymalısınız. Daha sonra karesi ilk noktadan önceki sayılara veya sayılara eşit veya dezavantajlı olarak en yakın olan sayıyı bölüm veya radikale yazmalısınız. Bu kareyi çıkardıktan sonra, kökün kalan rakamları, kalanın kökün önceden çıkarılmış kısmının değerinin iki katına bölünmesi ve her seferinde karenin geri kalanından son bulunan rakam ve on katı çarpımının çıkarılmasıyla sırayla bulunacaktır. adı geçen bölen

16. 25 Sergey:

    Lütfen “Genel Aritmetik veya aritmetik sentez ve analizle ilgili bir kitap” kitabının başlığını da düzeltin.

17. 26 İskender:

    İlginç malzeme için teşekkürler. Ancak bu yöntem bana, örneğin bir okul çocuğu için ihtiyaç duyulandan biraz daha karmaşık görünüyor. İkinci dereceden bir fonksiyonu ilk iki türevi kullanarak genişletmeye dayanan daha basit bir yöntem kullanıyorum. Formülü:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, burada
    A1, karesi x'e en yakın olan tam sayıdır;
    A2 bir kesirdir, pay x-A1, payda 2*A1'dir.
    Bir okul kursunda karşılaşılan çoğu sayı için bu, sonucun yüzde bire kadar doğru olması için yeterlidir.
    Daha doğru bir sonuca ihtiyacınız varsa,
    A3 bir kesirdir, pay A2'nin karesidir, payda 2*A1+1'dir.
    Tabii ki, onu kullanmak için tam sayıların karelerinden oluşan bir tabloya ihtiyacınız var, ancak bu okulda bir sorun değil. Bu formülü hatırlamak oldukça basittir.
    Ancak A3'ü elektronik tablo ile yaptığım deneyler sonucunda ampirik olarak elde etmiş olmam kafamı karıştırıyor ve bu üyenin neden bu görünüme sahip olduğunu tam olarak anlamıyorum. Belki bana biraz tavsiye verebilirsin?

18. 27 İskender:

    Evet, bunları ben de düşündüm ama şeytan ayrıntıda gizlidir. Sen yaz:
    “çünkü a2 ve b oldukça az farklılık gösteriyor.” Soru tam olarak ne kadar az olduğudur.
    Bu formül ikinci ondaki sayılar üzerinde iyi çalışır ve ilk ondaki sayılar üzerinde çok daha kötü (yüzde birlere kadar değil, yalnızca onda birlere kadar) işe yarar. Türevler kullanılmadan bunun neden olduğunu anlamak zordur.

19. 28 İskender:

    Önerdiğim formülün avantajı olarak gördüklerimi açıklığa kavuşturacağım. Sayıların tamamen doğal olmayan rakam çiftlerine bölünmesini gerektirmez; bu, deneyimlerin gösterdiği gibi, çoğu zaman hatalarla gerçekleştirilir. Anlamı açıktır, ancak analize aşina bir kişi için önemsizdir. Okulda en sık karşılaşılan sayılar olan 100'den 1000'e kadar sayılar üzerinde iyi çalışır.

20. 29 İskender:

    Bu arada, biraz araştırma yaptım ve formülümde A3'ün tam ifadesini buldum:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    Günümüzde bilgisayar teknolojisinin yaygınlaşmasıyla birlikte, kare atı bir sayıdan çıkarma sorunu pratik açıdan buna değmez. Ancak matematik severler için bu sorunu çözmek için çeşitli seçenekler şüphesiz ilgi çekici olacaktır. Okul müfredatında, ek fon kullanılmadan bu hesaplamanın yöntemi, çarpma ve uzun bölme ile aynı düzeyde yer almalıdır. Hesaplama algoritması sadece ezberlenmemeli, aynı zamanda anlaşılabilir olmalıdır. Bu materyalde özün açıklanmasıyla birlikte tartışılmak üzere sunulan klasik yöntem, yukarıdaki kriterlere tamamen uygundur.
    Alexander tarafından önerilen yöntemin önemli bir dezavantajı, tam sayıların karelerinden oluşan bir tablonun kullanılmasıdır. Yazar, okul kurslarında karşılaşılan sayıların çoğunluğu konusunda sessiz kalıyor. Formüle gelince, genel olarak hesaplamanın nispeten yüksek doğruluğu nedeniyle hoşuma gidiyor.

22. 31 İskender:

    30 vasil stryzhak için
    Hiçbir şeyi gizli tutmadım. Kareler tablosunun 1000'e kadar olması gerekiyordu. Benim okuldayken bunu ezberlediler ve tüm matematik ders kitaplarında vardı. Bu aralığı açıkça adlandırdım.
    Bilgisayar teknolojisine gelince, hesap makinesi kullanma konusu özel olarak tartışılmadıkça, esas olarak matematik derslerinde kullanılmaz. Hesap makineleri artık Birleşik Devlet Sınavında kullanılması yasak olan cihazlara yerleştirilmiştir.

23. 32 vasil stryzhak:

    Alexander, açıklama için teşekkürler! Önerilen yöntem için teorik olarak tüm iki basamaklı sayıların kareler tablosunu hatırlamanın veya kullanmanın gerekli olduğunu düşündüm. Daha sonra 100 ila 10000 aralığına dahil olmayan radikal sayılar için şunları yapabilirsiniz: Ondalık noktayı hareket ettirerek bunları gerekli sayıda büyüklük sırasına göre artırma veya azaltma tekniğini kullanın.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 İskender:

    SOVYET MAKİNASI ÜZERİNDE IAMB DİLİNDEKİ İLK PROGRAMI “ISKRA 555″ SÜTUN ÇIKARMA ALGORİTMASINI KULLANARAK BİR SAYININ KARE KÖKÜNÜ ÇIKARMAK İÇİN YAZILDI! ve şimdi bunu manuel olarak nasıl çıkaracağımı unuttum!