koordinat çizgisi. Koordinat çizgisi üzerindeki noktalar. Koordinat çizgisi nasıl çizilir Koordinat çizgisi nasıl çizilir

Böylece birim segment ve onun onuncu, yüzüncü ve benzeri payları, son ondalık kesirlere karşılık gelecek olan koordinat çizgisinin noktalarına ulaşmamızı sağlar (önceki örnekte olduğu gibi). Ancak, koordinat doğrusu üzerinde vuramadığımız, ancak birim segmentin sonsuz küçük bir kesrine kadar daha küçük ve daha küçük kullanarak istediğimiz kadar yaklaşabileceğimiz noktalar var. Bu noktalar sonsuz periyodik ve periyodik olmayan ondalık kesirlere karşılık gelir. Birkaç örnek verelim. Koordinat doğrusu üzerindeki bu noktalardan biri 3.711711711…=3,(711) sayısına karşılık gelir. Bu noktaya yaklaşmak için, bir birim segmentin 7'sini, 1'ini, 1'ini, 7'sini, 1'ini, 1'ini, 1 milyonunu vb. olmak üzere 3 birim parça ayırmanız gerekir. Ve koordinat çizgisinin bir noktası daha pi'ye karşılık gelir (π=3.141592...).

Gerçel sayılar kümesinin öğelerinin tümü sonlu ve sonsuz ondalık kesirler biçiminde yazılabilen sayılar olduğundan, bu paragraftaki yukarıdaki tüm bilgiler bize, her noktasına belirli bir gerçek sayı atadığımızı iddia etmemizi sağlar. koordinat çizgisi, farklı noktaların farklı gerçek sayılara karşılık geldiği açıktır.

Bu yazışmaların birebir olduğu da oldukça açıktır. Yani, koordinat çizgisi üzerindeki belirli bir noktayı gerçek bir sayı ile ilişkilendirebiliriz, ancak belirli bir gerçek sayıyı, bu gerçek sayının karşılık geldiği koordinat çizgisi üzerinde belirli bir noktayı belirtmek için de kullanabiliriz. Bunu yapmak için, belirli sayıda birim segmentinin yanı sıra tek bir segmentin onda biri, yüzde biri vb. Orijinden doğru yönde ertelememiz gerekecek. Örneğin 703.405 sayısı, pozitif yönde 703 birim parça, bir birimin onda birini oluşturan 4 parça ve onu oluşturan 5 parça bir araya getirilerek orijinden ulaşılabilen koordinat doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelir. bir birimin binde biri.

Yani koordinat doğrusu üzerindeki her nokta bir reel sayıya karşılık gelir ve her gerçek sayının koordinat hattı üzerinde bir nokta şeklinde yeri vardır. Bu nedenle koordinat çizgisine genellikle sayı doğrusu.

Koordinat doğrusu üzerindeki noktaların koordinatları

Koordinat doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelen sayıya denir. bu noktanın koordinatı.

Bir önceki paragrafta, her gerçek sayının koordinat doğrusu üzerinde tek bir noktaya karşılık geldiğini, bu nedenle noktanın koordinatının, bu noktanın koordinat doğrusu üzerindeki konumunu benzersiz bir şekilde belirlediğini söylemiştik. Başka bir deyişle, bir noktanın koordinatı, bu noktayı koordinat doğrusu üzerinde benzersiz olarak tanımlar. Öte yandan, koordinat çizgisi üzerindeki her nokta tek bir gerçek sayıya karşılık gelir - bu noktanın koordinatı.

Sadece kabul edilen gösterim hakkında söylenmeye devam ediyor. Noktanın koordinatı, noktayı gösteren harfin sağına parantez içinde yazılır. Örneğin, M noktasının koordinatı -6 ise, M(-6) yazabilirsiniz ve formun gösterimi, koordinat çizgisi üzerindeki M noktasının bir koordinatı olduğu anlamına gelir.

Bibliyografya.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematik: 5 hücre için ders kitabı. Eğitim Kurumları.
• Vilenkin N.Ya. vb. Matematik. 6. sınıf: eğitim kurumları için ders kitabı.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8 hücre için ders kitabı. Eğitim Kurumları.

Grafik çizmeyi, bir koordinat doğrusu üzerinde eşitsizlikleri çizmeyi, koordinat eksenleriyle çalışmayı bilmiyorsanız matematik bildiğinizi iddia etmek mümkün değildir. Bilimde görsel bileşen çok önemlidir, çünkü formüllerde ve hesaplamalarda görsel örnekler olmadan bazen çok kafanız karışabilir. Bu yazıda koordinat eksenleriyle nasıl çalışılacağını göreceğiz ve basit fonksiyon grafiklerinin nasıl oluşturulacağını öğreneceğiz.

Başvuru

Koordinat çizgisi, bir öğrencinin eğitim yolunda karşılaştığı en basit grafik türlerinin temelidir. Hemen hemen her matematiksel konuda kullanılır: hız ve zamanı hesaplarken, nesnelerin boyutunu tahmin ederken ve alanlarını hesaplarken, trigonometride sinüs ve kosinüslerle çalışırken.

Böyle bir doğrudan hattın ana değeri görünürlüktür. Matematik, yüksek düzeyde soyut düşünme gerektiren bir bilim olduğundan, grafikler gerçek dünyada bir nesneyi temsil etmeye yardımcı olur. Nasıl davranır? Birkaç saniye, dakika, saat içinde uzayın hangi noktasında olacak? Diğer nesnelerle karşılaştırıldığında onun hakkında ne söylenebilir? Rastgele seçilmiş bir zamanda hızı nedir? Hareketi nasıl karakterize edilir?

Ve bir sebepten dolayı hızdan bahsediyoruz - genellikle onu gösteren fonksiyon grafikleridir. Ayrıca nesnenin içindeki sıcaklık veya basınçtaki değişiklikleri, boyutunu, ufka göre yönelimini de görüntüleyebilirler. Bu nedenle, fizikte de genellikle bir koordinat çizgisi oluşturmak gerekir.

1D Grafik

Çok boyutluluk kavramı var. Noktanın yerini belirlemek için sadece bir sayı yeterlidir. Koordinat çizgisinin kullanımında durum tam olarak budur. Uzay iki boyutlu ise, o zaman iki sayı gereklidir. Bu tür çizelgeler çok daha sık kullanılır ve bunları makalede kesinlikle biraz daha ele alacağız.

Sadece bir tane ise, eksen üzerindeki noktaların yardımıyla ne görülebilir? Nesnenin boyutunu, uzaydaki konumunu bir "sıfır"a göre, yani başlangıç ​​noktası olarak seçilen noktayı görebilirsiniz.

Tüm okumalar belirli bir an için görüntüleneceğinden, zaman içinde parametrelerdeki değişikliği görmek mümkün olmayacaktır. Ancak, bir yerden başlamak zorundasınız! O halde başlayalım.

Koordinat ekseni nasıl oluşturulur

İlk önce yatay bir çizgi çizmeniz gerekiyor - bu bizim eksenimiz olacak. Sağ tarafta, bir ok gibi görünecek şekilde "keskinleştirin". Böylece sayıların artacağı yönü belirtmiş oluyoruz. Aşağı yönde ok genellikle yerleştirilmez. Geleneksel olarak, eksen sağa yönlendirilir, bu yüzden bu kuralı takip edeceğiz.

Koordinatların orijinini gösterecek bir sıfır işareti koyalım. Boyut, ağırlık, hız veya başka herhangi bir şey olsun, geri sayımın yapıldığı yer burasıdır. Sıfıra ek olarak, mutlaka sözde bölünme fiyatını belirlemeliyiz, yani belirli miktarları eksende çizeceğimize göre bir birim standardı getirmeliyiz. Bu, parçanın uzunluğunu koordinat doğrusu üzerinde bulabilmek için yapılmalıdır.

Birbirinden eşit mesafede, çizgiye noktalar veya “çentikler” koyarız ve altlarına sırasıyla 1,2,3 yazarız, vb. Ve şimdi, her şey hazır. Ancak ortaya çıkan programla, hala nasıl çalışacağınızı öğrenmeniz gerekiyor.

Koordinat çizgisindeki nokta türleri

Ders kitaplarında önerilen çizimlere ilk bakışta anlaşılıyor: eksen üzerindeki noktalar doldurulabilir veya doldurulmayabilir. Sizce tesadüf mü? Hiç de bile! Kesin olmayan eşitsizlik için "dolu" bir nokta kullanılır - "büyük veya eşittir" yazan bir nokta. Aralığı kesinlikle sınırlamamız gerekirse (örneğin, "x" sıfırdan bire değerler alabilir, ancak bunu içermez), "içi boş" bir nokta, yani aslında küçük bir daire kullanacağız. eksen üzerinde. Öğrencilerin katı eşitsizliklerden pek hoşlanmadıklarına dikkat edilmelidir, çünkü bunlarla çalışmak daha zordur.

Grafikte hangi noktaları kullandığınıza bağlı olarak, oluşturulan aralıklar da adlandırılacaktır. Her iki taraftaki eşitsizlik katı değilse, o zaman bir segment elde ederiz. Bir yandan “açık” olduğu ortaya çıkarsa, buna yarım aralık denir. Son olarak, bir doğrunun bir kısmı her iki tarafından içi boş noktalarla sınırlandırılmışsa, buna aralık denir.

Uçak

Üzerine iki çizgi oluştururken, fonksiyonların grafiklerini zaten düşünebiliriz. Diyelim ki yatay çizgi zaman ekseni ve dikey çizgi mesafedir. Ve şimdi nesnenin bir dakikalık veya bir saatlik yolculukta hangi mesafeyi aşacağını belirleyebiliyoruz. Böylece bir düzlemle çalışmak, bir nesnenin durumundaki değişikliği izlemeyi mümkün kılar. Bu, statik bir durumu keşfetmekten çok daha ilginç.

Böyle bir düzlemdeki en basit grafik düz bir çizgidir; Y(X) = aX + b fonksiyonunu yansıtır. Çizgi bükülür mü? Bu, nesnenin araştırma sürecinde özelliklerini değiştirdiği anlamına gelir.

Uzattığınız elinizde bir taş tutan bir binanın çatısında durduğunuzu hayal edin. Bıraktığınızda, hareketine sıfır hızdan başlayarak aşağı uçacaktır. Ancak bir saniyede saatte 36 kilometreyi aşacak. Taş daha da hızlanmaya devam edecek ve hareketini çizelgeye çizebilmek için eksen üzerinde uygun yerlere noktalar koyarak hızını zaman içinde birkaç noktada ölçmeniz gerekecek.

Yatay koordinat çizgisi üzerindeki işaretler varsayılan olarak X1, X2,X3 ve dikey - Y1, Y2,Y3 olarak adlandırılır. Bunları bir düzleme yansıtarak ve kesişme noktaları bularak, ortaya çıkan desenin parçalarını buluruz. Onları bir çizgiyle bağlayarak, fonksiyonun bir grafiğini elde ederiz. Düşen bir taş durumunda, ikinci dereceden fonksiyon şöyle görünecektir: Y(X) = aX * X + bX + c.

Ölçek

Bölmelerin yanına düz bir çizgi ile tamsayı değerleri koymak elbette gerekli değildir. Dakikada 0,03 metre hızla sürünen bir salyangozun hareketini düşünüyorsanız koordinat düz çizgisi üzerinde değerler olarak ayarlayın. Bu durumda bölme değerini 0,01 metreye ayarlayın.

Bu tür çizimleri bir kafeste bir defterde yapmak özellikle uygundur - burada, sayfanızda programınız için yeterli alan olup olmadığını, kenar boşluklarının ötesine geçip geçmeyeceğinizi hemen görebilirsiniz. Gücünüzü hesaplamak zor değil, çünkü böyle bir defterdeki hücrenin genişliği 0,5 santimetredir. Aldı - resmi azalttı. Grafiğin ölçeğini değiştirerek özelliklerini kaybetmez veya değiştirmez.

Nokta ve çizgi koordinatları

Bir derste matematik problemi verildiğinde, hem kenar uzunlukları, çevre, alan şeklinde hem de koordinatlar şeklinde çeşitli geometrik şekillerin parametrelerini içerebilir. Bu durumda, hem bir şekil oluşturmanız hem de onunla ilişkili bazı verileri almanız gerekebilir. Soru ortaya çıkıyor: koordinat çizgisinde gerekli bilgiler nasıl bulunur? Ve bir figür nasıl inşa edilir?

Örneğin, bir noktadan bahsediyoruz. Ardından, sorunun durumunda bir büyük harf görünecek ve parantez içinde, çoğu zaman iki olmak üzere birkaç sayı görünecektir (bu, iki boyutlu uzayda sayacağımız anlamına gelir). Parantez içinde noktalı virgül veya virgülle ayrılmış üç sayı varsa, bu üç boyutlu bir alandır. Değerlerin her biri, karşılık gelen eksende bir koordinattır: önce yatay (X), ardından dikey (Y).

Bir segmentin nasıl çizileceğini hatırlıyor musunuz? Geometriye geçtin. İki nokta varsa, aralarında bir çizgi çizilebilir. Problemde bir segment görünüyorsa, koordinatları parantez içinde gösterilir. Örneğin: A(15, 13) - B(1, 4). Böyle bir çizgi oluşturmak için koordinat düzleminde noktaları bulup işaretlemeniz ve ardından bunları birleştirmeniz gerekir. Bu kadar!

Ve bildiğiniz gibi herhangi bir çokgen, segmentler kullanılarak çizilebilir. Sorun çözüldü.

hesaplamalar

X ekseni boyunca konumu iki sayı ile karakterize edilen bir nesne olduğunu varsayalım: (-3) koordinatlı noktada başlar ve (+2) ile biter. Bu cismin uzunluğunu bilmek istiyorsak, büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarmalıyız. Negatif bir sayının çıkarmanın işaretini soğurduğuna dikkat edin, çünkü "eksi çarpı bir eksi artıya eşittir." (2+3) ekleyip 5 elde ederiz. Bu gerekli sonuçtur.

Başka bir örnek: bize nesnenin bitiş noktası ve uzunluğu verilir, ancak başlangıç ​​noktası verilmez (ve onu bulmamız gerekir). Bilinen noktanın konumu (6) ve incelenen nesnenin boyutu (4) olsun. Uzunluğu son koordinattan çıkararak cevabı alırız. Toplam: (6 - 4) = 2.

negatif sayılar

Pratikte çoğu zaman negatif değerlerle çalışmak gerekir. Bu durumda, koordinat ekseni boyunca sola doğru hareket edeceğiz. Örneğin, 3 cm yüksekliğindeki bir cisim suda yüzer. Üçte biri sıvıya daldırılır, üçte ikisi havadadır. Ardından, su yüzeyini eksen olarak seçerek, en basit aritmetik hesaplamaları kullanarak iki sayı elde ederiz: nesnenin üst noktası (+2) koordinatına ve alt noktası - (-1) santimetreye sahiptir.

Bir düzlemde koordinat çizgisinin dörtte dördüne sahip olduğumuzu görmek kolaydır. Her birinin kendi numarası vardır. İlk (sağ üst) kısımda iki pozitif koordinatı olan noktalar olacak, ikincisinde - sol üstten - X ekseninin değerleri negatif ve Y ekseni boyunca - pozitif olacak. Üçüncü ve dördüncü saat yönünün tersine sayılır.

Önemli özellik

Bir doğrunun sonsuz sayıda nokta olarak temsil edilebileceğini biliyorsunuz. Eksenin her yönündeki herhangi bir sayıda değeri istediğimiz kadar dikkatli görebiliriz, ancak tekrar edenlerle karşılaşmayacağız. Naif ve anlaşılır görünüyor, ancak bu ifade önemli bir olgudan kaynaklanıyor: her sayı koordinat doğrusu üzerinde bir ve yalnızca bir noktaya karşılık geliyor.

Çözüm

Tüm eksenlerin, şekillerin ve mümkünse grafiklerin bir cetvel üzerine kurulması gerektiğini unutmayın. Ölçü birimleri insan tarafından tesadüfen icat edilmedi - çizerken bir hata yaparsanız, elde edilmesi gereken farklı bir görüntü görme riskiyle karşı karşıya kalırsınız.

Grafikleri ve hesaplamaları çizerken dikkatli ve doğru olun. Okulda öğrenilen herhangi bir bilim gibi matematik de doğruluğu sever. Biraz çaba harcarsanız, iyi notlar uzun sürmez.

Ders konusu:

« Düz bir çizgi üzerinde koordinatlar»

Dersin amacı:

öğrencileri koordinat doğrusu ve negatif sayılarla tanıştırın.

Dersin Hedefleri:

Eğitim: öğrencileri koordinat doğrusu ve negatif sayılarla tanıştırın.

Gelişmek: Mantıksal düşünmenin gelişimi, kişinin ufkunu genişletme.

Eğitimsel: bilişsel ilginin gelişimi, bilgi kültürünün eğitimi.

Ders planı:

Organizasyon anı.Öğrencileri ve derse hazır olup olmadıklarını kontrol etmek.

Temel bilgilerin güncellenmesi.Öğrencilerin kapsanan konuyla ilgili sözlü anketi.

Yeni malzemenin açıklaması.

4. İncelenen materyalin konsolidasyonu.

5. Özetleme. Derste öğrenilenlerin bir özeti. Öğrencilerden sorular.

6. Sonuçlar. Dersin ana noktalarını özetlemek. Bilgi değerlendirmesi. İşaretler koymak.

7. Ev ödevi. Bağımsız işöğrenme materyali olan öğrenciler.

ekipman: tebeşir, tahta, slaytlar.

Genişletilmiş anahat planı

Sahne adı ve içeriği

Aktivite

Aktivite

öğrenciler

ben sahne

Organizasyon anı. Selamlar.

Günlüğü doldurmak.

sınıfı selamlar, sınıf başkanı devamsızların bir listesini verir.

Merhaba de

öğretmen

II aşama

Temel bilgilerin güncellenmesi.

Antik Yunan bilim adamı Pisagor, "Sayılar dünyayı yönetir" dedi. Bu sayılar dünyasında yaşıyoruz ve okul yıllarımızda farklı sayılarla çalışmayı öğreniyoruz.

1 Bugünkü ders için hangi sayıları zaten biliyoruz?

2 Bu sayılar hangi sorunları çözmemize yardımcı olur?

Bugün, sayılar hakkındaki bilgimizi genişleteceğimiz "Rasyonel Sayılar" ders kitabımızın ikinci bölümünün çalışmasına geçiyoruz ve "Rasyonel Sayılar" bölümünün tamamını çalıştıktan sonra, bildiğiniz tüm eylemleri nasıl yapacağımızı öğreneceğiz. onlarla ve konu koordinat çizgisiyle başlayın.

1. doğal, ortak kesirler, ondalık kesirler

2.toplama, çıkarma, çarpma, bölme, bir sayıdan bir kesir ve onun kesirinden bir sayı bulma, çeşitli denklem ve problemleri çözme

Aşama III

Yeni malzemenin açıklaması.

AB doğrusunu alalım ve O noktasıyla iki ek ışına bölelim - OA ve OB. Düz bir doğru üzerinde tek bir doğru parçası seçiyoruz ve O noktasını orijin ve yön olarak alıyoruz.

Tanımlar:

Üzerinde bir referans noktası, bir birim parçası ve bir yön bulunan düz bir çizgiye koordinat çizgisi denir.

Bir noktanın bir doğru üzerindeki konumunu gösteren sayıya bu noktanın koordinatı denir.

Koordinat çizgisi nasıl oluşturulur?

direkt çiz

tek bir segment ayarla

yönü belirtmek

Koordinat çizgisi farklı şekillerde çizilebilir: yatay, dikey ve ufka herhangi bir açıda ve bir başlangıcı var ama sonu yok.

1. Egzersiz. Aşağıdaki doğrulardan hangisi koordinat değildir? (slayt)

Bir koordinat çizgisi çizelim, koordinatların orijinini, bir birim segmentini işaretleyelim ve sola ve sağa 1,2,3,4 vb. noktaları bir kenara koyalım.

Ortaya çıkan koordinat çizgisine bakalım. Böyle düz bir çizgi neden sakıncalıdır?

Orijinden sağa doğru yöne pozitif denir ve düz çizgi üzerindeki yön bir okla gösterilir. O noktasının sağında bulunan sayılara pozitif denir. Negatif sayılar O noktasının solunda bulunur ve O noktasının solundaki yöne negatif denir (negatif yön belirtilmez). Koordinat çizgisi dikey olarak yerleştirilmişse, orijinden yukarıda - pozitif sayılar, orijinden aşağıda - negatif. Negatif sayılar “-” işareti ile yazılır. Okurlar: “Eksi bir”, “Eksi iki”, “Eksi üç” vb. 0 sayısı - orijin ne pozitif ne de negatiftir. Negatif sayıları pozitiften ayırır.

Denklemlerin çözümü ve ticaret hesaplamalarında "borç" kavramı, negatif sayıların ortaya çıkmasına neden oldu.

Negatif sayılar, doğal sayılardan ve sıradan kesirlerden çok daha sonra ortaya çıktı. Negatif sayılarla ilgili ilk bilgiler MÖ 2. yüzyılda Çinli matematikçiler arasında bulunur. M.Ö e. Pozitif sayılar daha sonra mülk olarak ve negatif sayılar borç, kıtlık olarak yorumlandı. Avrupa'da tanıma bin yıl sonra geldi ve o zaman bile uzun süre negatif sayılar "yanlış", "hayali" veya "saçma" olarak adlandırıldı. 17. yüzyılda, negatif sayılar, sayı doğrusunda görsel bir geometrik temsil aldı.

Koordinat çizgisine örnekler de verebilirsiniz: termometre, dağ zirveleri ve çöküntülerinin karşılaştırması (deniz seviyesi sıfır olarak alınır), haritadaki mesafe, asansör boşluğu, evler, vinçler.

Düşünmek başka bir koordinat çizgisi örneği biliyor musunuz?

Görevler.

Görev2. Noktaların koordinatlarını adlandırın.

Görev3. Koordinat çizgisi üzerinde noktaları çizin

Görev 4 . Yatay bir çizgi çizin ve üzerine O noktasını işaretleyin. A, B, C, K noktalarını bu çizginin üzerine işaretleyin, eğer biliniyorsa:

A, O'nun sağındaki 9 hücredir;

B, O'nun solundaki 6.5 hücredir;

C, O'nun 3½ boşluk sağındadır;

K, O'nun solundaki 3 boşluktur .

Temel notalara kaydedilmiştir.

Dinle, tamamla.

Not defterinizdeki görevi tamamlayın ve ardından cevaplarınızı yüksek sesle açıklayın.

Çizin, koordinatların kökenini tek bir segment olarak işaretleyin

Böyle bir düz çizgi, aynı sayının düz çizgi üzerinde 2 noktaya tekabül etmesi bakımından sakıncalıdır.

Çağımızdan ve çağımızdan önceki tarih.

IV aşama

İncelenen materyalin konsolidasyonu.

1. Koordinat çizgisi nedir?

2. Koordinat çizgisi nasıl oluşturulur?

1. Üzerinde bir referans noktası, bir birim parçası ve bir yön bulunan düz bir çizgiye koordinat çizgisi denir.

2) düz bir çizgi çizin

geri sayımın başlangıcını işaretle

tek bir segment ayarla

yönü belirtmek

Aşama V

Özetleme

Bugün yeni ne öğrendik?

Koordinat çizgisi ve negatif sayılar.

VI aşaması

Bilgi değerlendirmesi. İşaretler koymak.

Ev ödevi.

İşlenen konuyla ilgili sorular oluşturun (cevaplarını bilin)

koordinat çizgisi.

Düz bir çizgi çekelim. Buna düz bir çizgi x diyelim (Şekil 1). Bu çizgi üzerinde bir O referans noktası seçiyoruz ve ayrıca bu çizginin pozitif yönünü bir okla gösteriyoruz (Şekil 2). Böylece, O noktasının sağında pozitif sayılar ve solda - negatif olacağız. Ölçeği, yani düz çizgi parçasının boyutunu bire eşit olarak seçiyoruz. anladık koordinat çizgisi(Şek. 3). Her sayı, bu çizgi üzerinde belirli bir tek noktaya karşılık gelir. Ayrıca bu sayıya bu noktanın koordinatı denir. Bu nedenle, çizgiye koordinat çizgisi denir. Ve O referans noktasına orijin denir.

Örneğin, Şek. 4 noktası B, orijinin sağında 2 uzaklıkta. D noktası orijinin solunda 4 uzaklıkta. Buna göre B noktasının koordinatı 2, D noktasının koordinatı -4'tür. O noktasının kendisi bir referans noktası olarak 0 (sıfır) koordinatına sahiptir. Genellikle şu şekilde yazılır: O(0), B(2), D(-4). Ve sürekli olarak “şu ve benzeri koordinatlı D noktası” dememek için daha basit: “nokta 0, nokta 2, nokta -4” derler. Ve bu durumda noktanın kendisini koordinatı ile belirtmek yeterlidir (Şek. 5).

Koordinat çizgisinin iki noktasının koordinatlarını bilerek, her zaman aralarındaki mesafeyi hesaplayabiliriz. Diyelim ki sırasıyla a ve b koordinatlarına sahip iki A ve B noktamız var. O zaman aralarındaki mesafe |a - b| olacaktır. Kayıt |a - b| "a eksi b modulo" veya "a ve b sayıları arasındaki farkın modülü" olarak okuyun.

Modül nedir?

Cebirsel olarak, x'in modülü negatif olmayan bir sayıdır. |x| olarak gösterilir. Ayrıca, x > 0 ise |x| = x. x ise< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

Geometrik olarak, x sayısının modülü, nokta ile orijin arasındaki mesafedir. Ve eğer koordinatları x1 ve x2 olan iki nokta varsa, o zaman |x1 - x2| bu noktalar arasındaki mesafedir.

Modül ayrıca denir mutlak değer.

Koordinat çizgisi söz konusu olduğunda başka ne söyleyebiliriz? Kesinlikle sayısal aralıklar hakkında.

Sayısal aralık türleri.

Diyelim ki elimizde a ve b olmak üzere iki sayı var. Ayrıca, b > a (b, a'dan büyüktür). Koordinat doğrusunda bu, b noktasının a noktasının sağında olduğu anlamına gelir. Eşitsizliğimizdeki b'yi x değişkeniyle değiştirelim. x > a'dır. O zaman x, a'dan büyük tüm sayılardır. Koordinat doğrusu üzerinde, bunlar sırasıyla, a noktasının sağındaki tüm noktalardır. Çizginin bu kısmı gölgelenmiştir (Şekil 6). Böyle bir nokta kümesine denir açık ışın, ve bu sayısal aralık (a; +∞) ile gösterilir, burada +∞ işareti “artı sonsuz” olarak okunur. a noktasının kendisinin bu aralığa dahil olmadığına ve açık bir daire ile gösterildiğine dikkat edin.

x ≥ a olduğu durumu da göz önünde bulundurun. O zaman x, a'dan büyük veya ona eşit tüm sayılardır. Koordinat çizgisinde, bunların hepsi a'nın sağındaki noktalar ve ayrıca a noktasının kendisidir (Şekil 7'de a noktası zaten koyu bir daire ile belirtilmiştir). Böyle bir nokta kümesine denir kapalı ışın(veya sadece bir ışın) ve bu sayısal aralık ile gösterilir.

Koordinat çizgisi de denir koordinat ekseni. Veya sadece x ekseni.

1. Bölümün sonunda, cebir dersinde, gerçek durumları kelimelerle (sözlü model), cebirsel (cebirsel veya matematikçilerin sıklıkla söylediği gibi analitik model), grafik (grafik) olarak tanımlamayı öğrenmemiz gerektiğini söyledik. veya geometrik model). İlk bölümün tamamı ders kitabı(1-5. bölümler) analitik modellerin tanımlandığı matematiksel dilin incelenmesine ayrılmıştır.

Bölüm 6'dan başlayarak, sadece yeni analitik değil, aynı zamanda grafik (geometrik) modelleri de inceleyeceğiz. Bir koordinat çizgisi kullanılarak oluşturulurlar, koordinat uçağı. Bu kavramlar size 5-6. sınıflardaki matematik dersinden biraz tanıdık geliyor.

Düz çizgi /, üzerinde ilk nokta O (referans noktası), ölçek (tek çizgi segmenti, yani uzunluğu 1) ve pozitif yönüne eşit kabul edilen bir segment, koordinat çizgisi veya koordinat ekseni olarak adlandırılır (Şekil 7); "x ekseni" terimi de kullanılır.

Her sayı, doğru üzerinde tek bir noktaya karşılık gelir. Örneğin, 3.5 sayısı, orijinden, yani O noktasından 3.5'e eşit bir mesafede (belirli bir ölçekte) kaldırılan ve O noktasından ertelenen M noktasına (Şekil 8) karşılık gelir. belirli bir (pozitif) yönde. -4 sayısı, O noktasından 4'e eşit bir mesafede kaldırılan ve O noktasından negatif yönde, yani verilenin tersi yönde ertelenen P noktasına karşılık gelir (bkz. Şekil 8). bir.

Bunun tersi de doğrudur: koordinat çizgisinin her noktası tek bir sayıya karşılık gelir.

Örneğin, pozitif (verilen) yönde O noktasından 5.4 olan K noktası 5.4 sayısına karşılık gelir ve negatif yönde O noktasından 2.1 olan N noktası - 2.1 sayısına karşılık gelir (bkz. şek. 8).

Bu sayılara karşılık gelen noktaların koordinatları denir. Yani, Şek. 8 noktası K, 5.4'lük bir koordinata sahiptir; P noktası - koordinat -4; M noktası - 3.5 koordinatı; N noktası - koordinat -2.1; O noktası - koordinat 0 (sıfır). Bu nedenle adı - "koordinat çizgisi". Mecazi olarak, koordinat çizgisi yoğun nüfuslu bir evdir, bu evin sakinleri noktalardır ve noktaların koordinatları, nokta sakinlerinin yaşadığı daire sayılarıdır.

Neden bir koordinat çizgisine ihtiyacımız var? Neden bir noktayı sayıyla ve sayıyı noktayla karakterize edelim? Bunun bir faydası var mı? Evet var.
Örneğin, koordinat satırında iki nokta verilsin: A - o koordinatıyla ve B - b koordinatıyla (genellikle bu gibi durumlarda daha kısa yazarlar:
A(a), B(b)). A ve B noktaları arasındaki d mesafesini bulmamız gerektiğini varsayalım. geometrik ölçümler, sadece hazır formülü kullanın d \u003d (a - b) (6. sınıfta okudunuz).
Yani, şekil 8'de elimizde:

Akıl yürütmenin kısa olması için, matematikçiler uzun "koordinat çizgisinin A noktası, koordinat a'ya sahip" yerine kısa bir ifade kullanmak için anlaştılar: "a noktası" ve buna göre çizimde, aşağıdaki nokta. değerlendirme koordinatı ile gösterilir. Böylece, şekil 9, üzerinde noktaların - 4 olarak işaretlendiği bir koordinat çizgisini göstermektedir; - 2.1; 0; bir; 3.5; 5.4.

Koordinat çizgisi bize cebirden geometrik dile ve tam tersi şekilde serbestçe geçiş yapma fırsatı verir. Örneğin a sayısı b sayısından küçük olsun. Cebirsel dilde bu şu şekilde yazılır: a< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Bununla birlikte, hem cebirsel hem de geometrik diller, üzerinde çalıştığımız aynı matematiksel dilin çeşitleridir.

Koordinat çizgisiyle ilişkili matematiksel dilin birkaç öğesiyle tanışalım.

1. Koordinat doğrusu üzerinde bir a noktası işaretlensin. A noktasının sağındaki düz çizgi üzerinde bulunan tüm noktaları göz önünde bulundurun ve ilgili kısmı bir koordinat çizgisi taraması ile işaretleyin (Şekil 10). Bu noktalara (sayılar) açık ışın denir ve (a, +oo) ile gösterilir, burada +oo işareti şu şekildedir: “artı sonsuz”; x > a eşitsizliği ile karakterize edilir (dz ile kirişin herhangi bir noktasını kastediyoruz).

Lütfen dikkat: a noktası açık bir kirişe ait değildir, ancak bu noktanın açık bir kirişe eklenmesi gerekiyorsa, x\u003e a veya yazın ve buna göre çizimde b noktasının üzerine boyayın (Şek. 13);

(-oo, b) için ray terimini de kullanacağız.

3. Koordinat doğrusu üzerinde a ve b noktaları işaretlensin ve< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

Bu (sayılar) kümesine aralık denir ve (a, b) ile gösterilir.

Katı bir çift eşitsizlik ile karakterize edilir a< х < b (под х понимается любая точка интервала).

Lütfen dikkat: (a, b) aralığı, iki açık ışının (-oo, b) ve (a, + oo) kesişimidir (ortak kısım) - bu, Şekil 15'te açıkça görülmektedir.

Uçlarını (a, b) aralığına, yani a ve b noktalarına eklersek, [a, b] segmentini alırız (Şekil 16),

katı olmayan bir çift eşitsizlik ile karakterize edilen a< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

[a, b] segmenti, iki ışının (-oo, b] kesişimidir (ortak kısım) ve çift eşitsizliklerle karakterize edilir: a< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

Böylece matematik dilinin beş yeni terimini tanıttık: ışın, açık ışın, aralık, parça, yarı aralık. Genel bir terim de vardır: sayısal boşluklar.

Koordinat çizgisinin kendisi de sayısal bir aralık olarak kabul edilir; (-oo, +oo) notasyonu bunun için kullanılır.

7. sınıf için matematik ücretsiz indir, ders planları, çevrimiçi okula hazırlanma

A. V. Pogorelov, 7-11. sınıflar için Geometri, Eğitim kurumları için ders kitabı