Sayısal dizinin sınırı. Dizinin yakınsadığı nasıl kanıtlanır? Yakınsak dizilerin temel özellikleri Dizi türleri

Dizi ve fonksiyon limitlerinin tanımı, limitlerin özellikleri, birinci ve ikinci dikkat çekici limitler, örnekler.

sabit sayı a aranan sınır diziler(x n) herhangi bir keyfi olarak küçük pozitif sayı ε > 0 için, tüm değerler olacak şekilde bir N sayısı varsa x n, n>N için eşitsizliği sağlar

Aşağıdaki gibi yazın: veya x n → a.

Eşitsizlik (6.1), çift eşitsizliğe eşdeğerdir

bir - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, n>N sayısından başlayarak, (a-ε , a+ε) aralığının içinde yer alır, yani. noktanın herhangi bir küçük ε komşusuna düşmek a.

Limiti olan diziye denir. yakınsak, aksi halde - farklı.

Bir fonksiyonun limiti kavramı, bir dizinin limiti kavramının bir genellemesidir, çünkü bir dizinin limiti, bir tamsayı argümanının x n = f(n) fonksiyonunun limiti olarak kabul edilebilir. n.

f(x) fonksiyonu verilsin ve a - sınır noktası bu fonksiyonun tanım alanı D(f), yani. herhangi bir komşuluğu D(f) kümesinin noktalarını içeren böyle bir nokta a. Nokta a D(f) kümesine ait olabilir veya olmayabilir.

Tanım 1. Sabit sayı A denir sınır fonksiyonlar f(x) de x → a eğer herhangi bir dizi (x n ) argüman değeri için a, karşılık gelen diziler (f(x n)) aynı A limitine sahiptir.

Bu tanım denir Heine'e göre bir fonksiyonun limitinin tanımlanması, veya " dizilerin dilinde”.

tanım 2. Sabit sayı A denir sınır fonksiyonlar f(x) de x→a eğer, keyfi, keyfi olarak küçük bir pozitif ε sayısı verilirse, δ >0 (ε'a bağlı olarak) bulunabilir, öyle ki, herkes için x, sayının ε komşuluğunda yatıyor a, yani için x eşitsizliği tatmin etmek
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Bu tanım denir Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limitini tanımlama, veya “ ε - δ dilinde"

Tanım 1 ve 2 eşdeğerdir. f(x) fonksiyonu x → a olarak sınır A'ya eşit, bu şöyle yazılır

Herhangi bir yaklaşım yöntemi için (f(x n)) dizisinin süresiz olarak artması (veya azalması) durumunda x sınırına a, o zaman f(x) fonksiyonunun sahip olduğunu söyleyeceğiz. sonsuz limit, ve şu şekilde yazın:

Limiti sıfır olan bir değişken (yani bir dizi veya fonksiyon) çağrılır. sonsuz küçük

Limiti sonsuza eşit olan değişkenlere denir. sonsuz büyük.

Pratikte limiti bulmak için aşağıdaki teoremleri kullanın.

teorem 1 . Her sınır varsa

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Yorum. 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ biçimindeki ifadeler belirsizdir, örneğin, iki sonsuz küçük veya sonsuz büyük niceliğin oranı ve bu tür bir limit bulmaya “belirsizlik ifşası” denir.

Teorem 2.

şunlar. sabit bir üslü derecenin tabanındaki sınıra geçmek mümkündür, özellikle,

Teorem 3.

(6.11)

nerede e» 2.7, doğal logaritmanın tabanıdır. (6.10) ve (6.11) formülleri birinci dikkat çekici limit ve ikinci dikkat çekici limit olarak adlandırılır.

(6.11) formülünün doğal sonuçları pratikte de kullanılır:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

özellikle sınır

Eğer x → a ve aynı anda x > a ise, x →a + 0 yazın. Özellikle a = 0 ise, 0+0 sembolü yerine +0 yazın. Benzer şekilde, eğer x→a ve aynı anda x ise ve buna göre isimlendirilir. sağ sınır ve sol sınır fonksiyonlar f(x) noktada a. f(x) fonksiyonunun limitinin x→ a olması için gerekli ve yeterlidir. . f(x) işlevi çağrılır sürekli noktada x 0 ise sınır

(6.15)

Koşul (6.15) şu şekilde yeniden yazılabilir:

yani, verilen bir noktada sürekli ise, bir fonksiyonun işareti altında sınıra geçiş mümkündür.

Eşitlik (6.15) ihlal edilirse, diyoruz ki de x = xo işlev f(x) sahip açıklık. y = 1/x fonksiyonunu düşünün. Bu fonksiyonun etki alanı kümedir. R, x = 0 hariç. x = 0 noktası, D(f) kümesinin bir sınır noktasıdır, çünkü komşularından herhangi birinde, yani, 0 noktasını içeren herhangi bir açık aralık D(f)'den gelen noktaları içerir, ancak kendisi bu kümeye ait değildir. f(x o)= f(0) değeri tanımlanmamıştır, bu nedenle fonksiyonun x o = 0 noktasında süreksizliği vardır.

f(x) işlevi çağrılır bir noktada sağda sürekli x o eğer limit

ve bir noktada solda sürekli x o eğer limit

Bir noktada bir fonksiyonun sürekliliği x o hem sağda hem de solda bu noktada sürekliliğine eşdeğerdir.

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için x oörneğin sağda, öncelikle sonlu bir limitin olması ve ikinci olarak bu limitin f(x o)'a eşit olması gerekir. Bu nedenle, bu iki koşuldan en az biri sağlanmazsa, fonksiyonda bir boşluk olacaktır.

1. Limit varsa ve f(x o)'ya eşit değilse, o zaman şöyle derler: işlev f(x) noktada xo var birinci türden kırılma, veya zıplamak.

2. Limit +∞ veya -∞ ise veya mevcut değilse, o zaman şunu söylerler: puan x o fonksiyonun bir molası var ikinci tür.

Örneğin, x → +0 olarak y = ctg x fonksiyonunun +∞'ye eşit bir limiti vardır, bu da x=0 noktasında ikinci türden bir süreksizliğe sahip olduğu anlamına gelir. fonksiyon y = E(x) (tamsayı parçası x) tamsayılı apsisli noktalarda birinci tür süreksizlikler veya atlamalar vardır.

Aralığın her noktasında sürekli olan bir fonksiyona denir. sürekli içinde . Sürekli bir fonksiyon, katı bir eğri ile temsil edilir.

Bir miktarın sürekli büyümesiyle ilgili birçok sorun, ikinci dikkate değer sınıra yol açar. Bu tür görevler, örneğin şunları içerir: bileşik faiz yasasına göre katkının büyümesi, ülke nüfusunun büyümesi, radyoaktif bir maddenin çürümesi, bakterilerin çoğalması vb.

Düşünmek Ya.I. Perelman örneği, bu sayının yorumunu verir e bileşik faiz probleminde Sayı e bir sınır var . Tasarruf bankalarında faiz parası sabit sermayeye yıllık olarak eklenir. Bağlantı daha sık yapılırsa, faiz oluşumunda büyük miktarda yer aldığı için sermaye daha hızlı büyür. Tamamen teorik, oldukça basitleştirilmiş bir örnek alalım. Banka 100 den koysun. birimler yılda %100 oranında. Faiz getiren para ancak bir yıl sonra sabit sermayeye eklenirse, o zaman bu zamana kadar 100 den. birimler 200 den olacak. Şimdi bakalım 100 den neye dönüşecek. sabit sermayeye altı ayda bir faiz parası eklenmesi halinde Yarım yıl sonra 100 den. birimler 100 × 1.5 = 150 ve altı ay içinde - 150 × 1.5 = 225 (para birimi) büyüyecek. Katılım yılın 1/3'ünde bir yapılırsa, bir yıl sonra 100 den. birimler 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (den. birimlere) dönüşecektir. Faiz parası ekleme süresini 0,1 yıl, 0,01 yıl, 0,001 yıl vb.'ye çıkaracağız. Sonra 100 den dışında. birimler bir yıl sonra:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. birim),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. birim),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. birim).

Katılma faizinde sınırsız bir azalma ile, birikmiş sermaye süresiz olarak büyümez, ancak yaklaşık 271'e eşit belirli bir sınıra yaklaşır. Yıllık %100'e yerleştirilen sermaye, tahakkuk eden faiz tahakkuk etse bile 2,71 katından fazla artamaz. limit nedeniyle her saniye sermayeye eklendi

Örnek 3.1. Bir sayı dizisinin limitinin tanımını kullanarak, x n =(n-1)/n dizisinin limitinin 1'e eşit olduğunu kanıtlayın.

Çözüm.ε > 0 ne alırsak alalım, bunun için doğal bir N sayısı olduğunu kanıtlamamız gerekiyor, öyle ki tüm n > N için eşitsizliği |x n -1|< ε

Herhangi bir ε > 0 alın. x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n olduğundan, N'yi bulmak için 1/n eşitsizliğini çözmek yeterlidir.<ε. Отсюда n>1/ε ve dolayısıyla N, 1/ε N = E(1/ε)'nin tamsayı kısmı olarak alınabilir. Böylece limiti ispatlamış olduk.

Çözüm. Limit toplam teoremini uygulayın ve her terimin limitini bulun. n → ∞ olarak, her terimin payı ve paydası sonsuz olma eğilimindedir ve bölüm limiti teoremini doğrudan uygulayamayız. Bu nedenle, önce dönüştürüyoruz x n, birinci terimin payını ve paydasını bölerek n 2, ve ikinci n. Ardından, bölüm limiti teoremini ve toplam limit teoremini uygulayarak şunu buluruz:

Örnek 3.3. . Bulmak .

Burada derece limiti teoremini kullandık: bir derecenin limiti, tabanın limitinin derecesine eşittir.

Örnek 3.4. Bulmak ( ).

Çözüm. ∞-∞ biçiminde bir belirsizliğe sahip olduğumuz için fark limit teoremini uygulamak imkansızdır. Genel terimin formülünü dönüştürelim:

Örnek 3.5. f(x)=2 1/x fonksiyonu verilmiş. Sınırın olmadığını kanıtlayın.

Çözüm. Bir dizi açısından bir fonksiyonun limitinin tanımını kullanırız. 0'a yakınsayan bir dizi ( x n ) alın, yani. f(x n)= değerinin farklı diziler için farklı davrandığını gösterelim. x n = 1/n olsun. Açıkçası, o zaman sınır Şimdi olarak seçelim x n ortak terimi x n = -1/n olan ve aynı zamanda sıfıra eğilimli bir dizi. Bu nedenle, sınır yoktur.

Örnek 3.6. Sınırın olmadığını kanıtlayın.

Çözüm. x 1 , x 2 ,..., x n ,... için bir dizi olsun
. (f(x n)) = (sin x n ) dizisi farklı x n → ∞ için nasıl davranır?

x n \u003d p n ise, o zaman sin x n \u003d sin (p n) = hepsi için 0 n ve sınır ise
xn=2 p n+ p /2, sonra günah x n = günah(2 p n+ p/2) = günah p /2 = 1 hepsi için n ve dolayısıyla sınır. Böylece mevcut değil.

Sayı dizileri sonsuz sayı kümeleridir. Dizi örnekleri şunlardır: sonsuz bir geometrik ilerlemenin tüm üyelerinin dizisi, yaklaşık değerlerin dizisi ( x 1 = 1, x 2 = 1,4, x 3= 1.41, ...), düzgün çevrelerin dizisi n-Belirli bir daireye yazılan gonlar. Sayısal dizi kavramını geliştirelim.

Tanım 1. eğer her sayı n doğal sayı dizisinden 1, 2, 3,..., P,... gerçek bir sayı atanmış x p, sonra gerçek sayılar kümesi

x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , …(2.1)

aranan sayı dizisi, ya da sadece bir sıra. .

sayılar x 1 , x 2, x 3, ..., x p,... Arayacağım elementler, veya üyeler diziler (2.1), sembol x p - genel bir öğe veya bir dizinin bir üyesi ve sayı P - onun sayı. Kısaca, dizi (2.1) sembolü ile gösterilecektir. (xp).Örneğin, karakter (1/ n) bir sayı dizisini belirtir

Başka bir deyişle, bir dizi, sonsuz sayıda numaralandırılmış öğeler kümesi veya bir dizi sayı çifti olarak anlaşılabilir. (p, xp), ilk sayının ardışık 1, 2, 3, ... değerlerini aldığı yer. Öğelerinden herhangi birini elde etmek için bir yöntem belirtilmişse, bir dizi verilmiş olarak kabul edilir. Örneğin, formül x n = -1 + (-1)n 0, 2, 0, 2,... dizisini tanımlar.

Geometrik olarak, dizi, sayısal eksende, koordinatları dizinin karşılık gelen üyelerine eşit olan bir noktalar dizisi olarak tasvir edilir. Şek. 2.1 sırayı gösterir ( x n} = {1/n) sayı satırında.

Yakınsak dizi kavramı

Tanım 2. Sayı a aranan sıra sınırı{x n} , herhangi bir pozitif sayı için ise ε bir numara var N, bu herkes için n > N eşitsizlik

Limiti olan diziye denir. yakınsak. Dizinin limiti bir sayıya sahipse a, sonra şöyle yazılır:

Limiti olmayan diziye denir farklı.

Tanım 3. Limiti bir sayı olan bir dizi a= 0 denir sonsuz küçük dizi

Açıklama 1. sıralayalım ( x n) limit olarak sayıya sahiptir a. Daha sonra dizi (α n} = {x n - bir) sonsuz küçüktür, yani. herhangi bir eleman x p limitli yakınsak dizi a, olarak temsil edilebilir

nerede α n- sonsuz küçük bir dizinin elemanı (α n} .

Açıklama 2. Eşitsizlik (2.2) eşitsizliklere eşdeğerdir (§ 1.5'ten bir sayının modülünün özellik 4'üne bakın)

Bu şu anlama gelir: n > N dizinin tüm elemanları ( x n) yer almaktadır ε-mahalle puan a(Şekil 2.2) ve sayı Nε değeri ile belirlenir.

Bu tanımın geometrik bir yorumunu vermek ilginçtir. Dizi sonsuz bir sayı kümesi olduğundan, noktanın herhangi bir ε komşuluğunda yakınsarsa a gerçek çizgide sonsuz sayıda nokta vardır - bu dizinin elemanları, ε-komşunun dışında ise sonlu sayıda eleman vardır. Bu nedenle, bir dizinin limitine genellikle denir. kalınlaşma noktası.

Açıklama 3. Sınırsız sıra yok son sınır. Ancak, sahip olabilir sonsuz aşağıdaki biçimde yazılan limit:

Aynı zamanda, belirli bir sayıdan başlayarak dizinin tüm üyeleri pozitif (negatif) ise, yazın

Eğer bir ( x n) sonsuz küçük bir dizidir, o zaman (1 /x p} - sonsuz bir dizi(2.3) anlamında sonsuz bir limite sahiptir ve bunun tersi de geçerlidir.

Yakınsak ve ıraksak dizilere örnekler verelim.

örnek 1 Bir dizinin limit tanımını kullanarak, olduğunu gösterin.

Çözüm. Herhangi bir sayıyı ε > 0 alın.

(2.2) eşitsizliğinin geçerli olması için 1 / ( eşitsizliğinin çözülmesi yeterlidir. n + 1) < ε, откуда получаем n> (1 - ε) / ε. almak için yeterli N= [(1 - ε)/ε] (1 - ε)/ ε)* sayısının tamsayı kısmı, böylece eşitsizlik |x p - 1| < ε выполнялосьпривсех n > N.

* Sembol [ a] sayının tamsayı kısmı anlamına gelir a, yani aşmayan en büyük tam sayı a. Örneğin, =2, =2, =0, [-0, 5] = -1, [-23.7] = -24.

Örnek 2 dizisini göster ( x n} = (-1)n, veya -1, 1, -1, 1,... sınırı yoktur.

Çözüm. Aslında, limit olarak kabul ettiğimiz sayı ne olursa olsun: 1 veya -1, ε ile< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x p: tüm tek sayılı elemanlar -1, çift sayılı elemanlar 1'dir.

Yakınsak dizilerin temel özellikleri

Yüksek matematik dersinde teoremler şeklinde formüle edilen yakınsak dizilerin temel özelliklerini sunalım.

1.Sonsuz küçük bir dizinin tüm elemanları ise{x n} aynı sayı c'ye eşittir, sonra c = 0.

2. Yakınsak bir dizinin sadece bir limiti vardır.

3.Yakınsak dizi sınırlıdır.

4.Yakınsak dizilerin toplamı (fark){x n} ve{y n} limiti, dizilerin limitlerinin toplamına (farkına) eşit olan yakınsak bir dizidir.{x p} ve{y p}.

5.yakınsak dizilerin çarpımı{x n} ve{y n} limiti dizilerin limitlerinin çarpımına eşit olan yakınsak bir dizidir{x n} ve{y n} .

6.İki yakınsak dizinin bölümü{x n} ve{y n} dizinin limitinin olması şartıyla{y n} sıfır değil, limiti dizilerin limitlerinin bölümüne eşit olan yakınsak bir dizi var{x n} ve{y p} .

7. Bir yakınsak dizinin elemanları ise{x n} bir sayıdan başlayarak x p ≥ b (x p ≤ b) eşitsizliğini sağlıyorsa, bu dizinin a limiti de a ≥ b (a ≤ b) eşitsizliğini sağlar.

8.Sonsuz küçük bir dizinin sınırlı bir dizi veya bir sayı ile çarpımı sonsuz küçük bir dizidir.

9.Sonlu sayıda sonsuz küçük dizinin ürünü, sonsuz küçük bir dizidir.

Bu özelliklerin uygulamalarını örneklerle ele alalım.

Örnek 3. Limiti bulun.

Çözüm. saat n kesrin payı ve paydası sonsuz olma eğilimindedir, yani. bölüm limiti teoremi, dizilerin sonlu limitlerinin varlığını varsaydığı için hemen uygulanamaz. Bu diziyi, pay ve paydayı bölerek dönüştürüyoruz. n 2. O zaman bölümün limiti, toplamın limiti ve tekrar bölümün limiti üzerine teoremleri uygulayarak, art arda buluruz.

Örnek 4 x p) = P.

Çözüm. Burada, önceki örnekte olduğu gibi, pay ve paydanın sonlu sınırları yoktur ve bu nedenle öncelikle uygun dönüşümler gerçekleştirilmelidir. Pay ve paydayı bölerek n, alırız

Pay, sonsuz küçük bir dizinin ve sınırlı bir dizinin çarpımını içerdiğinden, özellik 8'e göre nihayet şunu elde ederiz:

Örnek 5 Dizinin limitini bulun ( x n) = P .

Çözüm. ( x n} . Formülü çarpın ve bölün ( x n) eşlenik ifadeye:

e sayısı

Sırayı düşünün ( x n} , ortak terimi formülle ifade edilen

Matematiksel analiz sırasında, bu dizinin olduğu kanıtlanmıştır. monoton olarak artar ve bir sınırı vardır. Bu sınıra sayı denir e. Bu nedenle, tanım gereği

Sayı e matematikte büyük rol oynar. Daha sonra, gerekli herhangi bir doğrulukla hesaplamak için bir yöntem ele alınacaktır. Numaranın burada olduğunu unutmayın e mantıksız; yaklaşık değeri e = 2,7182818... .

3. Sayı dizisi sınırı

3.1. Sayısal dizi kavramı ve doğal bir argümanın işlevi

Tanım 3.1. Sayısal bir dizi (bundan sonra sadece bir dizi olarak anılacaktır), sıralı sayılabilir bir sayı dizisidir.

{x1, x2, x3, ... }.

İki noktaya dikkat edin.

1. Dizide sonsuz sayıda sayı vardır. Sonlu sayıda sayı varsa, bu bir dizi değildir!

2. Tüm sayılar sıralanmıştır, yani belirli bir sıraya göre düzenlenmiştir.

Aşağıda, dizinin kısaltmasını sıklıkla kullanacağız ( xn}.

Diziler üzerinde belirli işlemler gerçekleştirilebilir. Bunlardan bazılarını ele alalım.

1. Bir dizinin bir sayı ile çarpımı.

müteakip c×{ xn) öğeleri olan bir dizidir ( c× xn), yani

c×{ x1, x2, x3, ... }={c× x1, s× x2, s× x3, ... }.

2. Dizilerde toplama ve çıkarma.

{xn}±{ yıl}={xn± yıl},

veya daha ayrıntılı olarak,

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Dizilerin çarpımı.

{xn}×{ yıl}={xn× yıl}.

4. Dizilerin bölünmesi.

{xn}/{yıl}={xn/yn}.

Doğal olarak, bu durumda tüm yıl¹ 0.

Tanım 3.2. müteakip ( xn) https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height ise yukarıdan sınırlı olarak adlandırılır = "25 src=">. Bir dizi (xn) hem yukarıdan hem de aşağıdan sınırlandırılmışsa sınırlı olarak adlandırılır.

3.2. Sıra sınırı. Sonsuz büyük dizi

Tanım 3.3. Sayı a dizinin limiti denir ( xn) n sonsuzluğa meyilliyse,

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> ise .

Eğer diyorlar.

Tanım 3.4. müteakip ( xn) sonsuz büyük if olarak adlandırılır (yani, eğer ).

3.3. Sonsuz küçük bir dizi.

Tanım 3.5.(xn) dizisine sonsuz küçük if, yani if ​​olarak adlandırılır.

Sonsuz küçük diziler aşağıdaki özelliklere sahiptir.

1. Sonsuz küçük dizilerin toplamı ve farkı da sonsuz küçük bir dizidir.

2. Sonsuz küçük bir dizi sınırlıdır.

3. Sonsuz küçük bir dizi ile sınırlı bir dizinin ürünü sonsuz küçük bir dizidir.

4. Eğer ( xn) sonsuz büyük bir dizidir, sonra bazılarından başlayarak N, sıra (1/ xn) ve bu sonsuz küçük bir dizidir. Tersine, eğer ( xn) sonsuz küçük bir dizidir ve tümü xn sıfırdan farklıdır, o zaman (1/ xn) sonsuz büyük bir dizidir.

3.4. yakınsak diziler.

Tanım 3.6. Sonlu bir sınır varsa https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. Eğer , sonra .

3.5. Eşitsizliklerde sınıra geçiş.

Teorem 3.1. Eğer bazılarından başlayarak N, tüm xn ³ b, sonra .

Sonuçlar. Eğer bazılarından başlayarak N, tüm xn ³ yıl, sonra .

Yorum. Dikkat edin, eğer bazılarından başlayarak N, tüm xn > b, o zaman , yani sınıra geçerken katı eşitsizlik katı olmayan hale gelebilir.

Teorem 3.2.("İki polis teoremi") Eğer, bazılarından başlayarak N, aşağıdaki özellikler geçerlidir

1..gif" width="163" height="33 src=">,

sonra var.

3.6. Monoton bir dizinin limiti.

Tanım 3.7. müteakip ( xn) varsa monoton artan denir n xn+1 ³ xn.

müteakip ( xn) varsa kesinlikle monoton artan denir n xn+1> xn.

xn­.

Tanım 3.8. müteakip ( xn) varsa monoton azalan denir n xn+1 £ xn.

müteakip ( xn) varsa kesinlikle monoton azalan denir n xn+1< xn.

Bu durumların her ikisi de sembolü ile birleştirilmiştir. xn¯.

Monoton bir dizinin limitinin varlığına ilişkin teorem.

1. Eğer dizi ( xn) monoton olarak artıyor (azalan) ve yukarıdan (aşağıdan) sınırlıysa, sup( xn) (inf( xn}).

2 Eğer dizi ( xn) monoton olarak artar (azalır), ancak yukarıdan (aşağıdan) sınırlı değildir, o zaman +¥'ye (-¥) eşit bir sınırı vardır.

Bu teoreme dayanarak, dikkate değer bir limit olduğu kanıtlanmıştır.

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Buna bir sıra dizisi denir ( xn}.

Teorem 3.3. Eğer sıra ( xn) yakınsar ve limiti a, o zaman onun alt dizilerinden herhangi biri de yakınsar ve aynı limite sahiptir.

Eğer bir ( xn) sonsuz büyük bir diziyse, alt dizilerinden herhangi biri de sonsuz büyüktür.

Bolzano-Weierstrass lemması.

1. Herhangi bir sınırlı diziden, sonlu bir limite yakınsayan bir alt dizi çıkarılabilir.

2. Herhangi bir sınırsız diziden sonsuz büyüklükte bir alt dizi çıkarılabilir.

Bu lemmaya dayanarak, limitler teorisinin ana sonuçlarından biri kanıtlanmıştır: Bolzano-Cauchy yakınsama kriteri.

Sıralama için ( xn) sonlu bir sınır vardı, gerekli ve yeterli

Bu özelliği sağlayan diziye temel dizi veya kendi içinde yakınsayan dizi denir.

Birçok insan için matematiksel analiz, gerçek hayattan uzak, anlaşılmaz sayılar, simgeler ve tanımlar kümesidir. Bununla birlikte, içinde bulunduğumuz dünya, tanımlanması yalnızca çevremizdeki dünya hakkında bilgi edinmeye ve karmaşık sorunlarını çözmeye değil, aynı zamanda günlük pratik görevleri basitleştirmeye yardımcı olan sayısal kalıplar üzerine kuruludur. Bir matematikçi, bir sayı dizisinin yakınsadığını söylediğinde ne demek istiyor? Bu daha ayrıntılı olarak tartışılmalıdır.

küçük?

İç içe geçen matruşka bebekleri hayal edin. En büyüğünden başlayıp en küçüğüne kadar sayılar şeklinde yazılan boyutları bir dizi oluşturur. Sonsuz sayıda bu kadar parlak figür hayal ederseniz, ortaya çıkan sıra fevkalade uzun olacaktır. Bu yakınsak bir sayı dizisidir. Ve sıfıra eğilimlidir, çünkü sonraki her yuvalama bebeğinin boyutu, felaketle azalan, yavaş yavaş hiçbir şeye dönüşmez. Böylece, açıklamak kolaydır: sonsuz küçük olan.

Benzer bir örnek, mesafeye giden bir yol olabilir. Ve boyunca gözlemciden uzaklaşan, yavaş yavaş küçülen arabanın görsel boyutları, noktayı andıran şekilsiz bir lekeye dönüşür. Böylece makine, bilinmeyen bir yönde uzaklaşan bir nesne gibi sonsuz derecede küçülür. Belirtilen gövdenin parametreleri, kelimenin tam anlamıyla hiçbir zaman sıfır olmayacak, ancak nihai sınırda her zaman bu değere yönelecektir. Bu nedenle, bu dizi tekrar sıfıra yakınsar.

Her şeyi damla damla hesaplayalım

Gerçek bir yaşam durumu hayal edelim. Doktor hastaya ilacı alması için günde on damla ile başlayıp ertesi gün iki damla ekleyerek reçete etti. Ve böylece doktor, hacmi 190 damla olan ilaç şişesinin içeriği bitene kadar devam etmeyi önerdi. Yukarıdakilerden, güne göre boyanmış bu türlerin sayısının aşağıdaki sayı serisi olacağı takip edilir: 10, 12, 14, vb.

Tüm kursu tamamlama zamanını ve dizinin üye sayısını nasıl öğrenebilirim? Burada elbette ilkel bir şekilde damlaları sayabilirsiniz. Ancak, verilen modele göre, d = 2 adımlı formülü kullanmak çok daha kolaydır. Ve bu yöntemi kullanarak, sayı serisinin üye sayısının 10 olduğunu bulun. Bu durumda, 10 = 28. Üye numarası ilacı aldığı gün sayısını, 28 ise hastanın son gün kullanması gereken damla sayısını ifade eder. Bu dizi birleşiyor mu? Hayır, çünkü böyle bir sayı serisinin alttan 10, üstten 28 ile sınırlı olmasına rağmen önceki örneklerden farklı olarak limiti yoktur.

Fark ne?

Şimdi açıklığa kavuşturmaya çalışalım: sayı serisinin yakınsak bir dizi olduğu ortaya çıktığında. Yukarıdan da anlaşılacağı gibi, bu tür bir tanım, varlığı konunun özünü ortaya çıkaran sonlu bir limit kavramıyla doğrudan ilgilidir. Peki daha önce verilen örnekler arasındaki temel fark nedir? Ve neden sonuncusunda 28 sayısı X n = 10 + 2(n-1) sayı serisinin sınırı olarak kabul edilemez?

Bu konuyu açıklığa kavuşturmak için, aşağıdaki formülle verilen, n'nin doğal sayılar kümesine ait olduğu başka bir diziyi düşünün.

Bu üye topluluğu, payı 1 olan ve paydası sürekli artan bir dizi sıradan kesirdir: 1, ½ ...

Ayrıca, bu serinin sonraki her temsilcisi, sayı doğrusu üzerindeki konum açısından giderek 0'a yaklaşıyor. Bu, noktaların sınır olan sıfır etrafında kümelendiği böyle bir komşuluğun ortaya çıktığı anlamına geliyor. Ve ona ne kadar yakınlarsa, sayı doğrusundaki konsantrasyonları o kadar yoğun olur. Ve aralarındaki mesafe feci şekilde azalır ve sonsuz küçük bir mesafeye dönüşür. Bu, dizinin yakınsadığının bir işaretidir.

Benzer şekilde, şekilde gösterilen çok renkli dikdörtgenler, uzayda uzaklaşırken görsel olarak daha kalabalıktır, varsayımsal sınır ihmal edilebilir hale gelir.

Sonsuz büyük diziler

Yakınsak bir dizinin tanımını analiz ettikten sonra, şimdi karşı örneklere dönüyoruz. Birçoğu eski zamanlardan beri insan tarafından bilinmektedir. Iraksak dizilerin en basit varyantları, doğal ve çift sayılar dizisidir. Sürekli artan üyeleri giderek pozitif sonsuzluğa yaklaştıklarından, başka bir şekilde sonsuz büyük olarak adlandırılırlar.

Sırasıyla adım ve paydası sıfırdan büyük olan aritmetik ve geometrik ilerlemelerden herhangi biri de bunun örnekleri olarak kullanılabilir. Iraksak diziler, ayrıca, hiçbir sınırı olmayan sayısal diziler olarak kabul edilir. Örneğin, X n = (-2) n -1 .

Fibonacci Dizisi

Daha önce bahsedilen sayısal serilerin insanlık için pratik kullanımı yadsınamaz. Ama sayısız başka harika örnek var. Bunlardan biri Fibonacci dizisidir. Bir ile başlayan üyelerinin her biri, öncekilerin toplamıdır. İlk iki temsilcisi 1 ve 1'dir. Üçüncüsü 1+1=2, dördüncüsü 1+2=3, beşincisi 2+3=5. Ayrıca, aynı mantığa göre, 8, 13, 21 vb. sayıları takip eder.

Bu sayı dizisi süresiz olarak büyür ve sonlu bir sınırı yoktur. Ama harika bir özelliği daha var. Her bir önceki sayının bir sonrakine oranı, değeri 0.618'e giderek daha yakındır. Burada yakınsak ve ıraksak dizi arasındaki farkı anlayabilirsiniz, çünkü bir dizi alınan özel bölme yaparsanız, belirtilen sayısal sistem 0,618'e eşit bir son sınır.

Fibonacci Oran Dizisi

Yukarıda belirtilen sayı serisi, piyasaların teknik analizi için pratik amaçlar için yaygın olarak kullanılmaktadır. Ancak bu, Mısırlıların ve Yunanlıların eski zamanlarda bildikleri ve uygulamaya koyabildikleri yetenekleriyle sınırlı değildir. Bu, inşa ettikleri piramitler ve Parthenon tarafından kanıtlanmıştır. Sonuçta, 0,618 sayısı, eski günlerde iyi bilinen altın bölümün sabit bir katsayısıdır. Bu kurala göre, herhangi bir rastgele bölüm, bölümleri arasındaki oran, bölümlerin en büyüğü ile toplam uzunluk arasındaki oran ile çakışacak şekilde bölünebilir.

Bu ilişkilerin bir dizisini oluşturalım ve bu diziyi analiz etmeye çalışalım. Sayı serisi aşağıdaki gibi olacaktır: 1; 0,5; 0.67; 0,6; 0.625; 0.615; 0.619 vb. Bu şekilde devam ederek, yakınsak dizinin sınırının gerçekten 0.618 olacağı doğrulanabilir. Ancak bu düzenliliğin diğer özelliklerini de not etmek gerekir. Burada sayılar rastgele gidiyor gibi görünüyor ve hiç de artan veya azalan sırada değil. Bu, bu yakınsak dizinin monoton olmadığı anlamına gelir. Bunun neden böyle olduğu daha fazla tartışılacaktır.

monotonluk ve sınırlama

Sayı serisinin artan sayıları olan üyeleri açıkça azalabilir (eğer x 1>x 2>x 3>...> x n>...) veya artabilir (eğer x 1 ise)

Bu serinin sayılarını boyadıktan sonra, süresiz olarak 1'e yaklaşan üyelerinden herhangi birinin bu değeri asla aşamayacağını fark edebilirsiniz. Bu durumda, yakınsak dizinin sınırlı olduğu söylenir. Bu, her zaman seri modulo terimlerinin herhangi birinden daha büyük olan böyle bir pozitif M sayısı olduğunda olur. Bir sayı dizisinin monotonluk belirtileri varsa ve bir sınırı varsa ve bu nedenle yakınsaksa, o zaman zorunlu olarak böyle bir özelliğe sahiptir. Ve bunun tersi doğru olmak zorunda değildir. Bu, yakınsak bir dizi için sınırlılık teoremi ile kanıtlanır.

Bu tür gözlemlerin pratikte uygulanmasının çok faydalı olduğu ortaya çıkıyor. X n = n/n+1 dizisinin özelliklerini inceleyerek özel bir örnek verelim ve yakınsaklığını ispatlayalım. Monoton olduğunu göstermek kolaydır, çünkü (x n +1 - x n) herhangi bir n değeri için pozitif bir sayıdır. Dizinin limiti 1 sayısına eşittir; bu, Weierstrass teoremi olarak da adlandırılan yukarıdaki teoremin tüm koşullarının sağlandığı anlamına gelir. Yakınsak bir dizinin sınırlılığına ilişkin teorem, eğer bir limiti varsa, o zaman her durumda sınırlı olduğu ortaya çıkar. Ancak, aşağıdaki örneği ele alalım. X n = (-1) n sayı dizisi aşağıdan -1 ve yukarıdan 1 ile sınırlandırılmıştır. Ancak bu dizi monoton değildir, limiti yoktur ve bu nedenle yakınsak değildir. Yani bir limitin varlığı ve yakınsama her zaman sınırlamadan doğmaz. Bunun çalışması için Fibonacci oranlarında olduğu gibi alt ve üst limitlerin eşleşmesi gerekir.

Evrenin sayıları ve yasaları

Yakınsak ve ıraksak dizinin en basit varyantları, belki de X n = n ve X n = 1/n sayısal serileridir. Bunlardan ilki doğal bir sayı dizisidir. Daha önce de belirtildiği gibi, sonsuz büyüklüktedir. İkinci yakınsak dizi sınırlıdır ve terimleri büyüklük olarak sonsuz küçüktür. Bu formüllerin her biri, çok yönlü Evrenin taraflarından birini kişileştirir, bir kişinin bilinmeyen, sayı ve işaret dilinde sınırlı algıya erişilemeyen bir şeyi hayal etmesine ve hesaplamasına yardımcı olur.

İhmal edilebilirden inanılmaz derecede büyük olana kadar değişen evren yasaları da 0,618 altın oranıyla ifade edilir. Bilim adamları, şeylerin özünün temeli olduğuna ve doğa tarafından parçalarını oluşturmak için kullanıldığına inanırlar. Daha önce bahsettiğimiz Fibonacci serisinin sonraki ve önceki üyeleri arasındaki ilişkiler, bu eşsiz serinin şaşırtıcı özelliklerinin gösterimini tamamlamaz. Bir önceki terimi bir sonraki terime bölme oranını düşünürsek, o zaman 0,5'lik bir dizi elde ederiz; 0.33; 0.4; 0,375; 0.384; 0.380; 0.382 vb. Bu sınırlı dizinin yakınsaması ilginçtir, monoton değildir, ancak belirli bir üyeden uçtaki komşu sayıların oranı her zaman yaklaşık olarak 0,382'ye eşittir, bu da mimari, teknik analiz ve diğer endüstrilerde kullanılabilir.

Fibonacci serisinin başka ilginç katsayıları da vardır, hepsi doğada özel bir rol oynar ve insan tarafından pratik amaçlar için de kullanılır. Matematikçiler, Evrenin belirtilen katsayılardan oluşan belirli bir “altın sarmal” a göre geliştiğinden emindir. Onların yardımıyla, belirli bakterilerin sayısındaki büyümeden uzaktaki kuyruklu yıldızların hareketine kadar, Dünya'da ve uzayda meydana gelen birçok olayı hesaplamak mümkündür. Görünüşe göre, DNA kodu benzer yasalara uyuyor.

Geometrik ilerlemeyi azaltmak

Yakınsak bir dizinin limitinin benzersizliğini öne süren bir teorem vardır. Bu, matematiksel özelliklerini bulmak için şüphesiz önemli olan iki veya daha fazla limite sahip olamayacağı anlamına gelir.

Bazı durumları ele alalım. Bir aritmetik ilerlemenin üyelerinden oluşan herhangi bir sayısal seri, sıfır adımlı durum dışında ıraksaktır. Aynısı, paydası 1'den büyük olan bir geometrik dizi için de geçerlidir. Bu tür sayısal serilerin sınırları, sonsuzun "artı" veya "eksi"sidir. Payda -1'den küçükse, hiçbir sınır yoktur. Diğer seçenekler de mümkündür.

X n = (1/4) n -1 formülüyle verilen sayı serisini düşünün. İlk bakışta, bu yakınsak dizinin sınırlı olduğunu görmek kolaydır, çünkü kesinlikle azalmaktadır ve hiçbir şekilde negatif değerler alamaz.

Üyelerinden birkaçını arka arkaya yazalım.

Alın: 1; 0.25; 0.0625; 0.015625; 0.00390625 vb. Payda 0 ile verilen bir geometrik ilerlemenin ne kadar hızlı olduğunu anlamak için oldukça basit hesaplamalar yeterlidir.

temel diziler

Fransız bilim adamı Augustin Louis Cauchy, matematiksel analizle ilgili birçok eseri dünyaya duyurdu. Diferansiyel, integral, limit ve süreklilik gibi kavramlara tanımlar verdi. Ayrıca yakınsak dizilerin temel özelliklerini de inceledi. Fikirlerinin özünü anlamak için bazı önemli detayları özetlemek gerekiyor.

Makalenin en başında, belirli bir dizinin üyelerini gerçek çizgi üzerinde temsil eden noktaların giderek daha yoğun bir şekilde sıralanmaya başladığı bir mahallenin olduğu diziler olduğu gösterildi. Aynı zamanda, bir sonraki temsilcinin sayısı arttıkça aralarındaki mesafe azalır ve sonsuz küçük bir temsilciye dönüşür. Böylece, belirli bir mahallede, belirli bir dizinin sonsuz sayıda temsilcisinin gruplandığı, bunun dışında ise sonlu sayıda olduğu ortaya çıkıyor. Bu tür dizilere temel denir.

Bir Fransız matematikçi tarafından yaratılan ünlü Cauchy kriteri, böyle bir özelliğin varlığının dizinin yakınsadığını kanıtlamak için yeterli olduğunu açıkça göstermektedir. Tersi de doğrudur.

Fransız matematikçinin bu sonucunun çoğunlukla tamamen teorik ilgiye sahip olduğu belirtilmelidir. Pratikte uygulanması oldukça karmaşık bir konu olarak kabul edilir, bu nedenle serilerin yakınsaklığını açıklığa kavuşturmak için bir dizi için sonlu bir limitin varlığını kanıtlamak çok daha önemlidir. Aksi takdirde, farklı olarak kabul edilir.

Problemleri çözerken yakınsak dizilerin temel özelliklerini de hesaba katmak gerekir. Aşağıda sunulmuştur.

sonsuz toplamlar

Arşimet, Öklid, Eudoxus gibi antik çağın ünlü bilim adamları, eğrilerin uzunluklarını, cisimlerin hacimlerini ve şekillerin alanlarını hesaplamak için sonsuz sayı serilerinin toplamlarını kullandılar. Özellikle, bu şekilde parabolik segmentin alanını bulmak mümkün oldu. Bunun için q=1/4 olan bir geometrik ilerlemenin sayısal serisinin toplamı kullanıldı. Diğer rasgele figürlerin hacimleri ve alanları da benzer şekilde bulundu. Bu seçeneğe "tükenme" yöntemi adı verildi. Buradaki fikir, karmaşık bir şekle sahip olan incelenen vücudun, kolayca ölçülebilen parametrelere sahip figürler olan parçalara bölünmesiydi. Bu nedenle alanlarını ve hacimlerini hesaplamak zor olmadı ve daha sonra toplandı.

Bu arada, benzer görevler modern okul çocuklarına çok aşinadır ve KULLANIM görevlerinde bulunur. Uzak atalar tarafından bulunan benzersiz yöntem, açık ara en basit çözümdür. Sayısal şeklin bölündüğü sadece iki veya üç parça olsa bile, alanlarının toplamı yine de sayı serisinin toplamıdır.

Eski Yunan bilim adamları Leibniz ve Newton'dan çok daha sonra, bilge seleflerinin deneyimlerine dayanarak, integral hesaplama yasalarını öğrendiler. Dizilerin özelliklerinin bilgisi, diferansiyel ve cebirsel denklemleri çözmelerine yardımcı oldu. Şu anda, birçok nesil yetenekli bilim insanının çabalarıyla oluşturulan seri teorisi, çok sayıda matematiksel ve pratik problemi çözme şansı veriyor. Ve sayısal dizilerin incelenmesi, başlangıcından bu yana matematiksel analiz tarafından çözülen ana problemdir.

Sıralama, matematiğin temel kavramlarından biridir. Dizi sayılardan, noktalardan, işlevlerden, vektörlerden vb. oluşabilir. Her n doğal sayısının bir kümenin x n elemanı ile ilişkilendirilmesine göre bir yasa belirtilirse, bir dizi verilmiş olarak kabul edilir. Dizi x 1 , x 2 , …, x n veya kısaca (x n) olarak yazılır. x 1 , x 2 , ..., x n öğeleri dizinin üyeleri olarak adlandırılır, x 1 - birinci, x 2 - ikinci, x n - dizinin ortak (n-inci) üyesi.

Çoğu zaman, sayısal diziler, yani üyeleri sayı olan diziler dikkate alınır. Analitik yöntem, sayısal bir dizi belirlemenin en basit yoludur. Bu, x 1 dizisinin n'inci üyesini n sayısı cinsinden ifade eden bir formül kullanılarak yapılır. örneğin, eğer

Başka bir yol yinelemedir (Latince kelimeden tekrarlar- “dönüş”), dizinin ilk birkaç üyesi ve kural belirlendiğinde, sonraki her üyenin öncekiler üzerinden hesaplanmasına izin verilir. Örneğin:

Sayı dizilerinin örnekleri, aritmetik ilerleme ve geometrik ilerlemedir.

n sayısı sınırsız olarak arttıkça dizinin üyelerinin davranışını izlemek ilginçtir (n'nin süresiz olarak artması n → ∞ olarak yazılır ve şöyle okunur: "n sonsuza eğilim gösterir").

Ortak terimi x n = 1/n olan bir dizi düşünün: x 1 = 1, x 2 = 1/2; x 3 \u003d 1/3, ..., x 100 \u003d 1/100, .... Bu dizinin tüm üyeleri sıfır değildir, ancak n ne kadar büyükse, x n sıfırdan o kadar az farklıdır. Bu dizinin terimleri, n süresiz olarak arttıkça sıfır olma eğilimindedir. Sıfır sayısının bu dizinin limiti olduğu söylenir.

Başka bir örnek: x n = (−1) n / n - diziyi tanımlar

Bu dizinin üyeleri de sıfıra eğilimlidir, ancak ya sıfırdan büyüktür ya da sıfırdan küçüktür - limitleri.

Başka bir örnek düşünün: x n = (n − 1)/(n + 1). x n'yi formda temsil edersek

o zaman bu dizinin birlik eğiliminde olduğu açık hale gelir.

Bir dizinin limitini tanımlayalım. Herhangi bir pozitif sayı ε için, tüm n > N için eşitsizliği |x n − a|< ε.

a dizisinin (x n) limiti ise, x n → a veya a = lim n→∞ x n yazın (lim, Latince kelimenin ilk üç harfidir misket limonu- "sınır").

Bu tanım ona geometrik bir anlam verirsek daha açık hale gelecektir. a sayısını (a − ε, a + ε) aralığına alıyoruz (şekle bakın). Aralığın (a − ε, a + ε) küçüklüğünden bağımsız olarak, dizinin bazı N'den büyük sayıları olan tüm üyeleri bu aralıkta yer alıyorsa, a sayısı dizinin (x n) sınırıdır. Başka bir deyişle, herhangi bir aralığın (a − ε, a + ε) dışında dizinin yalnızca sonlu sayıda üyesi olabilir.

Değerlendirilen x n = (-1) n /n dizisi için, ε = 1/10'daki sıfır noktasının ε komşuluğu, dizinin ilk on hariç tüm üyelerini içerir ve ε = 1/100 için, ilk yüz hariç dizinin tüm üyeleri.

Limiti olan diziye yakınsak, limiti olmayan diziye ıraksak denir. İşte bir ıraksak dizi örneği: x n = (−1) n . Terimleri dönüşümlü olarak +1 ve -1'dir ve herhangi bir sınırlama eğiliminde değildir.

Dizi yakınsaksa, sınırlıdır, yani dizinin tüm üyeleri c ≤ x n ≤ d koşulunu sağlayacak şekilde c ve d sayıları vardır. Tüm sınırsız dizilerin ıraksak olduğu sonucu çıkar. Bunlar sıralar:

Sıfıra eğilimli bir dizinin sonsuz küçük olduğu söylenir. Sonsuz küçük kavramı bir dizinin limitinin genel tanımının temeli olarak kullanılabilir, çünkü bir dizinin limiti (x n) a'ya eşittir ve ancak x n, x n = a + α toplamı olarak temsil edilebiliyorsa n , burada α n sonsuz küçüktür.

Ele alınan diziler (1/n), ((−1) n /n) sonsuz küçüktür. (2)'den aşağıdaki gibi (n − 1)/(n + 1) dizisi, 1'den sonsuz küçük bir 2/(n + 1) farklıdır ve bu nedenle bu dizinin limiti 1'dir.

Matematiksel analizde büyük önem taşıyan, aynı zamanda sonsuz büyük bir dizi kavramıdır. Dizi (1/x n) sonsuz küçükse, diziye (x n) sonsuz büyük denir. Sonsuz büyük bir dizi (x n), x n → ∞ veya lim n→∞ x n = ∞ olarak yazılır ve "sonsuza gittiği" söylenir. İşte sonsuz büyük dizilerin örnekleri:

(n 2), (2 n), (√(n + 1)), (n - n 2).

Sonsuz büyük bir dizinin sınırı olmadığını vurguluyoruz.

(x n) ve (y n) dizilerini göz önünde bulundurun. Dizileri x n + y n , x n - y n , x n y n ve (eğer y n ≠ 0 ise) x n /y n ortak terimleriyle tanımlayabilirsiniz. Genellikle limitli aritmetik işlemlerde teorem olarak adlandırılan aşağıdaki teorem doğrudur: (x n) ve (y n) dizileri yakınsarsa, (x n + y n), (x n − y n), (x n y n), ( x n /y n) de yakınsar ve aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

İkinci durumda, ek olarak, (y n) dizisinin tüm üyelerinin sıfırdan farklı olması ve ayrıca lim n→∞ y n ≠ 0 koşulunun sağlanması gerekir.

Bu teoremi uygulayarak birçok limit bulunabilir. Örneğin, ortak terimi olan bir dizinin limitini bulun.

x n'yi formda temsil etmek

pay ve payda sınırının var olduğunu belirleyin:

böylece şunu elde ederiz:

lim n→∞ x n = 2/1 =2.

Önemli bir dizi sınıfı monoton dizilerdir. Artan (herhangi bir n için x n+1 > x n), azalan (x n+1< x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

(x n) dizisinin, yani eşitsizliklerin azalmadığını hayal edin.

x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ … ≤ x n ≤ x n+1 ≤ …,

ve ayrıca, bu dizinin yukarıdan sınırlandırılmasına izin verin, yani tüm x n'ler bir d sayısını aşmasın. Böyle bir dizinin her üyesi bir öncekinden büyük veya ona eşittir, ancak hiçbiri d'yi geçmez. Bu dizinin ya d'den küçük ya da d'ye eşit bir sayıya yöneldiği oldukça açıktır. Matematiksel analiz sırasında, bir teoremin, azalan olmayan ve yukarıdan sınırlandırılmış bir dizinin bir limiti olduğu kanıtlanır (benzer bir ifade, artan olmayan ve alttan sınırlı bir dizi için de geçerlidir). Bu dikkate değer teorem, bir limitin varlığı için yeterli koşulları verir. Örneğin, bundan, birim yarıçaplı bir daireye yazılan düzenli n-gonların alanlarının dizisinin, monoton olarak arttığı ve yukarıdan sınırlandığı için bir limiti olduğu sonucu çıkar. Bu dizinin limiti π ile gösterilir.

Monoton sınırlı bir dizinin limiti kullanılarak, matematiksel analizde büyük rol oynayan e sayısı belirlenir - doğal logaritmaların temeli:

e = lim n→∞ (1 + 1/n) n .

Sıra (1), daha önce belirtildiği gibi monotondur ve ayrıca yukarıdan sınırlandırılmıştır. Onun bir sınırı var. Bu limiti kolayca bulabiliriz. Eğer a'ya eşitse, a sayısı a = √(2 + a) eşitliğini sağlamalıdır. Bu denklemi çözerek a = 2 elde ederiz.