Euklideszi algoritmus - a legnagyobb közös osztó megtalálása. GCD megkeresése euklideszi algoritmussal és prímtényezők használatával Négyzetgyök az euklideszi módszerrel

Euklidész algoritmusa egy egész számpár legnagyobb közös osztójának (GCD) megtalálására szolgáló algoritmus.

Legnagyobb közös osztó (GCD) olyan szám, amely két számot maradék nélkül oszt, és maga is osztható maradék nélkül az adott két szám bármely más osztójával. Egyszerűen fogalmazva, ez a legnagyobb szám, amellyel két szám, amelyre a gcd-t keresik, maradék nélkül osztható.

Algoritmus a GCD osztás szerinti megtalálásához

1. Ossza el a nagyobb számot a kisebb számmal.
2. Ha maradék nélkül osztjuk, akkor a kisebb szám a GCD (ki kell lépnie a ciklusból).
3. Ha van maradék, akkor cserélje ki a nagyobb számot az osztás maradékával.
4. Térjünk át az 1. pontra.

Példa:
Keresse meg a 30-as és 18-as gcd-t.
30/18 = 1 (a maradék 12)
18/12 = 1 (a maradék 6)
12/6 = 2 (a maradék 0)
Vége: A GCD 6 osztója.
GCD(30; 18) = 6

a = 50 b = 130 míg a != 0 és b != 0 : ha a > b: a = a % b else : b = b % a nyomtatás (a + b)

A ciklusban az osztás maradékát az a vagy b változóba írjuk. A ciklus akkor ér véget, ha legalább az egyik változó nulla. Ez azt jelenti, hogy a másik tartalmaz egy gcd-t. Azt azonban nem tudjuk, hogy pontosan melyik. Ezért a GCD esetében megtaláljuk ezeknek a változóknak az összegét. Mivel az egyik változó nulla, ennek nincs hatása az eredményre.

Algoritmus a GCD kivonással történő megtalálásához

1. Vonja ki a kisebb számot a nagyobb számból.
2. Ha az eredmény 0, az azt jelenti, hogy a számok egyenlőek egymással, és GCD-k (ki kell lépnie a ciklusból).
3. Ha a kivonás eredménye nem egyenlő 0-val, akkor cserélje ki a nagyobb számot a kivonás eredményére.
4. Térjünk át az 1. pontra.

Példa:
Keresse meg a 30-as és 18-as gcd-t.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Vége: A GCD egy minuend vagy részfej.
GCD(30; 18) = 6

a = 50 b = 130 míg a != b: ha a > b: a = a - b else : b = b - a nyomtatás (a)

Ez a cikk arról szól a legnagyobb közös osztó megtalálása (GCD) két vagy több szám. Először nézzük meg az Euklidész algoritmust, amely lehetővé teszi két szám gcd-jének megtalálását. Ezek után egy olyan módszerre összpontosítunk, amely lehetővé teszi, hogy a számok gcd-jét a közös prímtényezőik szorzataként számítsuk ki. Ezután megvizsgáljuk három vagy több szám legnagyobb közös osztójának megtalálását, és példákat adunk a negatív számok gcd-jének kiszámítására.

Oldalnavigáció.

Euklideszi algoritmus a GCD megtalálására

Vegyük észre, hogy ha már a kezdetektől rátértünk volna a prímszámok táblázatára, akkor rájöttünk volna, hogy a 661 és 113 számok prímszámok, amelyekből azonnal azt mondhatnánk, hogy a legnagyobb közös osztójuk az 1.

Válasz:

GCD(661; 113)=1.

GCD megkeresése számok prímtényezőkbe való faktorálásával

Nézzünk egy másik módot a GCD megtalálására. A legnagyobb közös osztót úgy találhatjuk meg, hogy a számokat prímtényezőkké alakítjuk. Fogalmazzuk meg a szabályt: Két pozitív egész a és b gcd értéke egyenlő az a és b számok prímtényezőiben található összes közös prímtényező szorzatával.

Adjunk egy példát a GCD megtalálásának szabályának magyarázatára. Ismerjük meg a 220 és 600 számok prímtényezőkre való felosztását, ezek formájuk 220=2·2·5·11 és 600=2·2·2·3·5·5. A 220 és 600 számok faktorálásában részt vevő gyakori prímtényezők a 2, 2 és 5. Ezért GCD(220, 600)=2·2·5=20.

Így, ha az a és b számokat prímtényezőkké alakítjuk, és megtaláljuk az összes közös tényező szorzatát, akkor ez meg fogja találni az a és b számok legnagyobb közös osztóját.

Nézzünk egy példát a GCD megtalálására a megadott szabály szerint.

Példa.

Keresse meg a 72 és 96 számok legnagyobb közös osztóját!

Megoldás.

Tekintsük a 72-es és 96-os számokat prímtényezőkbe:

Azaz 72=2·2·2·3·3 és 96=2·2·2·2·2·3. A gyakori prímtényezők a 2, 2, 2 és 3. Így GCD(72, 96)=2·2·2·3=24.

Válasz:

GCD(72, 96)=24.

A bekezdés végén megjegyezzük, hogy a fenti GCD megállapítási szabály érvényessége a legnagyobb közös osztó tulajdonságából következik, amely kimondja, hogy GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), ahol m bármely pozitív egész szám.

Három vagy több szám gcd-jének megkeresése

Három vagy több szám legnagyobb közös osztójának megtalálása lecsökkenthető két szám gcd-jének szekvenciális megkeresésére. Ezt a GCD tulajdonságainak tanulmányozásakor említettük. Ott megfogalmaztuk és bebizonyítottuk a tételt: több szám legnagyobb közös osztója a 1, a 2, ..., a k egyenlő a d k számmal, amelyet a GCD(a 1, a 2)=d 2 szekvenciális kiszámításával kapunk. , GCD(d 2, a 3) =d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4,..., GCD(d k-1, a k)=d k.

Nézzük meg, hogyan néz ki a több számból álló gcd megtalálásának folyamata, ha megnézzük a példa megoldását.

Példa.

Keresse meg négy szám legnagyobb közös tényezőjét: 78, 294, 570 és 36.

Megoldás.

Ebben a példában a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

Először az euklideszi algoritmus segítségével határozzuk meg az első két 78 és 294 szám legnagyobb d 2 közös osztóját. Osztáskor a 294 = 78 3 + 60 egyenlőségeket kapjuk; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 és 18=6·3. így d2=GCD(78,294)=6.

Most számoljunk d3 =GCD(d 2; a 3)=GCD(6; 570). Alkalmazzuk ismét az euklideszi algoritmust: 570=6·95, tehát d 3 = GCD(6, 570)=6.

A számolás hátra van d 4 =GCD(d 3, a 4) = GCD(6, 36). Mivel a 36 osztható 6-tal, akkor d 4 = GCD(6, 36) = 6.

Így a négy adott szám legnagyobb közös osztója d 4 =6, azaz gcd(78, 294, 570, 36)=6.

Válasz:

GCD(78; 294; 570; 36)=6.

A számok prímtényezőkké alakítása lehetővé teszi három vagy több szám gcd-jének kiszámítását is. Ebben az esetben a legnagyobb közös osztót az adott számok összes közös prímtényezőjének szorzataként találjuk meg.

Példa.

Számítsa ki az előző példában szereplő számok gcd értékét a prímtényezők felhasználásával.

Megoldás.

Tekintsük a 78, 294, 570 és 36 számokat prímtényezőkbe, így 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 ·3·3. Ennek a négy számnak a közös prímtényezői a 2 és a 3. Ennélfogva, GCD(78; 294; 570; 36) = 2 · 3 = 6.

Első kiadásának, „A találékonyság királyságában” (1908) előszavában E. I. Ignatiev ezt írja: „... az intellektuális kezdeményezőkészséget, a gyors észjárást és a „leleményességet” senkinek nem lehet „belefúrni” vagy „a fejébe adni”. Az eredmények csak akkor megbízhatóak, ha a matematikai ismeretek területébe való bevezetést könnyen és kellemesen, hétköznapi és hétköznapi helyzetekből származó tárgyak és példák felhasználásával, megfelelő szellemességgel és szórakoztatással válogatják össze.”

Az 1911-es „Az emlékezet szerepe a matematikában” előszavában E.I. Ignatiev azt írja: „... a matematikában nem a képletekre kell emlékezni, hanem a gondolkodás folyamatára.

A négyzetgyök kinyeréséhez a kétjegyű számokhoz négyzettáblázatok állnak rendelkezésre; a számot prímtényezőkbe számolhatja, és kivonhatja a szorzat négyzetgyökét. A négyzettáblázat néha nem elég, a gyökér faktoringozással történő kinyerése időigényes feladat, ami szintén nem mindig vezet a kívánt eredményhez. Próbálja kivenni a 209764 négyzetgyökét? A prímtényezőkbe való faktorálás 2*2*52441 szorzatot ad. Próba és hiba, kiválasztás - ez természetesen megtehető, ha biztos benne, hogy ez egy egész szám. Az általam javasolt módszer minden esetben lehetővé teszi a négyzetgyök felvételét.

Egyszer az intézetben (Permi Állami Pedagógiai Intézet) megismerkedtünk ezzel a módszerrel, amiről most szeretnék beszélni. Soha nem gondolkodtam azon, hogy ennek a módszernek van-e bizonyítéka, ezért most magamnak kellett levezetnem a bizonyíték egy részét.

Ennek a módszernek az alapja az = szám összetétele.

=&, azaz & 2 =596334.

1. Osszuk a számot (5963364) párokra jobbról balra (5`96`33`64)

2. Bontsa ki a bal oldali első csoport négyzetgyökét ( - 2. szám). Így kapjuk meg a & első számjegyét.

3. Határozzuk meg az első számjegy négyzetét (2 2 =4).

4. Határozza meg a különbséget az első csoport és az első számjegy négyzete között (5-4=1).

5. Levesszük a következő két számjegyet (a 196-os számot kapjuk).

6. Duplázzuk meg a talált első számjegyet, és írjuk a sor mögé balra (2*2=4).

7. Most meg kell találnunk az & szám második számjegyét: a talált első számjegy duplája a szám tízes számjegye lesz, amelyet az egységek számával megszorozva 196-nál kisebb számot kell kapnunk (ez a 4-es szám, 44*4=176). A 4 a & második számjegye.

8. Keresse meg a különbséget (196-176=20).

9. A következő csoportot lebontjuk (a 2033-as számot kapjuk).

10. Megduplázzuk a 24-et, 48-at kapunk.

Egy számban 11,48 tízes van, az egyesek számával szorozva 2033-nál kisebb számot kell kapnunk (484*4=1936). A talált egyes számjegy (4) a & szám harmadik számjegye.

A következő esetekre adtam a bizonyítékot:

1. Háromjegyű szám négyzetgyökének kinyerése;

2. Négyjegyű szám négyzetgyökének kinyerése.

Hozzávetőleges módszerek a négyzetgyökök kinyerésére (számítógép használata nélkül).

1. Az ókori babilóniaiak a következő módszerrel keresték meg x számuk négyzetgyökének közelítő értékét. Az x számot a 2 + b összegként ábrázolták, ahol a 2 az x számhoz legközelebb eső a természetes szám (a 2 ? x) pontos négyzete, és a képletet használták. . (1)

Az (1) képlet segítségével kivonjuk a négyzetgyököt például a 28-as számból:

A 28-as gyökér MK-val történő kinyerésének eredménye 5.2915026.

Mint látható, a babiloni módszer jó közelítést ad a gyökér pontos értékéhez.

2. Isaac Newton kifejlesztett egy négyzetgyök-felvételi módszert, amely Alexandriai Heron idejére nyúlik vissza (i.sz. 100 körül). Ez a módszer (Newton-módszerként ismert) a következő.

Hadd egy 1- egy szám első közelítése (1-nek veheti egy természetes szám négyzetgyökének értékét - egy pontos négyzet, amely nem haladja meg X) .

Következő, pontosabb közelítés a 2 számok képlettel találjuk meg .

Az ókor óta a számokkal végzett munka két különböző területre oszlik: az egyik közvetlenül a számok tulajdonságaira vonatkozott, a másik a számolási technikákhoz kapcsolódott. "Számtan" alatt sok országban általában ezt az utóbbi területet értik, amely kétségtelenül a matematika legrégebbi ága.

Úgy tűnik, az ősi számológépek számára a legnagyobb nehézséget a törtekkel való munka jelentette. Ez látható az Ahmesz papiruszból (más néven Rhind-papirusz), egy ókori egyiptomi matematikai műből, amely Kr.e. 1650 körül nyúlik vissza. A 2/3 kivételével minden, a papiruszban említett tört számlálója 1. A törtek kezelésének nehézsége az ókori babiloni ékírásos táblák tanulmányozása során is szembetűnő. Mind az ókori egyiptomiak, mind a babilóniaiak láthatóan számításokat végeztek valamilyen abakusz segítségével. A számok tudománya jelentős fejlődésen ment keresztül az ókori görögök körében, Püthagorasztól kezdve, ie 530 körül. Ami magát a számítási technológiát illeti, ezen a területen a görögök sokkal kevesebbet tettek.

A későbbi rómaiak ezzel szemben gyakorlatilag nem járultak hozzá a számtudományhoz, de a gyorsan fejlődő termelés és kereskedelem igényei alapján továbbfejlesztették az abakuszt, mint számlálóeszközt. Nagyon keveset tudunk az indiai aritmetika eredetéről. Csak néhány későbbi, a számműveletek elméletével és gyakorlatával foglalkozó munka érkezett hozzánk, miután az indiai helyzetrendszert nullával javították. Hogy ez pontosan mikor történt, nem tudjuk biztosan, de ekkor fektették le a leggyakoribb aritmetikai algoritmusaink alapjait.

Az indiai számrendszert és az első aritmetikai algoritmusokat az arabok kölcsönözték. A legkorábbi fennmaradt arab számtani tankönyvet al-Khwarizmi írta 825 körül. Kiterjedten használja és magyarázza az indiai számokat. Ezt a tankönyvet később latinra fordították, és jelentős hatást gyakorolt ​​Nyugat-Európára. Az al-Khwarizmi név eltorzított változata az „algorizmus” szóban jutott el hozzánk, amely, ha tovább keveredik a görög szóval szívritmuszavar az "algoritmus" kifejezés lett.

Az indoarab aritmetika elsősorban L. Fibonacci munkásságának köszönhetően vált ismertté Nyugat-Európában Abakusz könyve (Liber abaci, 1202). Az abaszista módszer a mi helyzetrendszerünkhöz hasonló egyszerűsítéseket kínált, legalábbis az összeadás és szorzás tekintetében. Az abacistákat olyan algoritmusok váltották fel, amelyek nullát és az arab osztási és négyzetgyök-kivonási módszert alkalmazták. 1478-ban Trevisóban (Olaszország) adták ki az egyik első számtani tankönyvet, amelynek szerzőjét nem ismerjük. A kereskedelmi ügyletek lebonyolítása során végzett számításokkal foglalkozott. Ez a tankönyv számos később megjelent aritmetikai tankönyv elődje lett. A 17. század elejéig. Több mint háromszáz ilyen tankönyvet adtak ki Európában. Az aritmetikai algoritmusok ez idő alatt jelentősen javultak. A 16–17. Megjelentek az aritmetikai műveletek szimbólumai, például =, +, -, ґ, ё és .

A számtani számítások gépesítése.

A társadalom fejlődésével együtt nőtt az igény a gyorsabb és pontosabb számításokra. Ez az igény négy figyelemre méltó találmányt szült: az indo-arab számokat, a tizedesjegyeket, a logaritmusokat és a modern számítástechnikai gépeket.

Valójában a legegyszerűbb számolóeszközök a modern aritmetika megjelenése előtt léteztek, mert az ókorban elemi számtani műveleteket végeztek az abakuszon (Oroszországban abakuszokat használtak erre a célra). A legegyszerűbb modern számítástechnikai eszköz egy csúsztatási szabálynak tekinthető, amely két egymás mellett csúszó logaritmikus skálából áll, amely a skálák szegmenseinek összegzésével és kivonásával szorzást és osztást tesz lehetővé. B. Pascalt (1642) tartják az első mechanikus adagológép feltalálójának. Ugyanebben a században később G. Leibniz (1671) Németországban és S. Moreland (1673) Angliában talált fel szorzást végző gépeket. Ezek a gépek a 20. századi asztali számítástechnikai eszközök (aritmométerek) elődjeivé váltak, amelyek lehetővé tették az összeadás, kivonás, szorzás és osztás műveleteinek gyors és pontos elvégzését.

1812-ben az angol matematikus, C. Babbage elkezdett egy matematikai táblázatok kiszámítására szolgáló gép tervet készíteni. Bár a projekten végzett munka sok évig folytatódott, befejezetlen maradt. Ennek ellenére Babbage projektje ösztönzőként szolgált a modern elektronikus számítógépek megalkotásához, amelyekre az első példányok 1944 körül jelentek meg. E gépek sebessége elképesztő volt: segítségükkel percek vagy órák alatt meg lehetett oldani a korábban szükségessé vált problémákat. sok éves folyamatos számítások, akár összeadó gépek használatával is.

Pozitív egész számok.

Hadd AÉs B két véges halmaz, amelyeknek nincs közös eleme, és legyen A tartalmaz n elemek, és B tartalmaz m elemeket. Aztán sok S, amely a halmazok összes eleméből áll AÉs B, együtt véve egy véges halmaz, amely tartalmaz, mondjuk, s elemeket. Például ha A elemekből áll ( a, b, c), Egy csomó BAN BEN– elemekből ( x, y), majd a készlet S=A+Bés elemekből áll ( a, b, c, x, y). Szám s hívott összeg számok nÉs m, és így írjuk: s = n + m. Ebben a bejegyzésben a számok nÉs m hívják feltételeket, az összeg megtalálásának művelete – kiegészítés. A „+” műveleti szimbólum „pluszként” olvasható. Egy csomó P, amely minden olyan rendezett párból áll, amelyekben az első elemet a halmazból választjuk A, a második pedig a készletből való B, egy véges halmaz, amely tartalmazza, mondjuk, p elemeket. Például, ha, mint korábban, A = {a, b, c}, B = {x, y), Ez P=AґB = {(a,x), (a,y), (b,x), (b,y), (c,x), (c,y)). Szám p hívott munka számok aÉs b, és így írjuk: p = aґb vagy p = a×b. Számok aÉs b a műben hívják őket szorzók, a termék megtalálásának művelete – szorzás. A ґ műveleti szimbólum „szorozva ezzel”.

Kimutatható, hogy ezekből a definíciókból az egész számok összeadásának és szorzásának következő alapvető törvényei következnek:

– a kommutatív összeadás törvénye: a + b = b + a;

– asszociatív összeadás törvénye: a + (b + c) = (a + b) + c;

– a kommutatív szorzás törvénye: aґb = bґa;

– a szorzás asszociativitásának törvénye: aґ(bґc) = (aґb)ґc;

– az eloszlás törvénye: aґ(b + c)= (aґb) + (aґc).

Ha aÉs b– két pozitív egész szám, és ha van pozitív egész szám c, oly módon, hogy a = b + c, akkor ezt mondjuk a több b(ez így van leírva: a>b), vagy mi b Kevésbé a(ez így van leírva: b). Bármely két számra aÉs b három kapcsolat egyike érvényesül: vagy a = b, vagy a>b, vagy a.

Az első két alaptörvény azt mondja, hogy két vagy több tag összege nem függ attól, hogy hogyan vannak csoportosítva vagy milyen sorrendben vannak elrendezve. Hasonlóképpen a harmadik és a negyedik törvényből az következik, hogy két vagy több tényező szorzata nem függ attól, hogy a tényezőket hogyan csoportosítják, vagy milyen sorrendben vannak. Ezeket a tényeket az összeadás és szorzás "a kommutativitás és asszociativitás általánosított törvényeiként" ismerjük. Ezekből következik, hogy több tag összegének vagy több tényező szorzatának felírásakor a tagok és tényezők sorrendje lényegtelen, a zárójelek elhagyhatók.

Különösen az ismételt mennyiség a + a + ... + a tól től n kifejezés egyenlő nґa. Ismételt munka aґaґ ... ґa tól től n Megállapodtunk, hogy jelöljük a tényezőket a n; szám a hívott alapján, és a szám n – ismétlés termékjelző, maga az ismételt munka – n-edik hatvány számok a. Ezek a definíciók lehetővé teszik, hogy a következő alapvető törvényeket állítsuk fel a kitevőkre vonatkozóan:

A definíciók másik fontos következménye: aґ1 = a bármely egész számra a, és 1 az egyetlen egész szám, amely rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Az 1-es számot hívják Mértékegység.

Egész számok osztói.

Ha a, b, c– egész számok és aґb = c, Azt aÉs b egy szám osztói c. Mert aґ1 = a bármely egész számra a, arra a következtetésre jutunk, hogy 1 bármely egész szám osztója, és bármely egész szám osztója önmagának. Bármely egész osztó a, eltér 1 ill a, megkapta a nevet megfelelő osztó számok a.

Minden 1-től eltérő egész szám, amelynek nincs saját osztója, meghívásra kerül prímszám. (Példa a prímszámra a 7.) Olyan egész számot hívunk, amelynek saját osztói vannak összetett szám. (Például a 6-os szám összetett, mivel a 2 osztja a 6-ot.) A fentiekből következik, hogy az összes egész szám halmaza három osztályra oszlik: egy, prímszámok és összetett számok.

A számelméletben van egy nagyon fontos tétel, amely kimondja, hogy „bármely egész szám ábrázolható prímszámok szorzataként, és a tényezők sorrendjéig az ilyen ábrázolás egyedi”. Ezt a tételt az „aritmetika alaptételének” nevezik. Megmutatja, hogy a prímszámok „építőelemként” szolgálnak, amelyekből egytől eltérő összes egész szám összeállítható szorzás segítségével.

Ha adott egész számok halmaza, akkor azt a legnagyobb egész számot nevezzük, amely osztója az ebben a halmazban szereplő számoknak. legnagyobb közös osztó adott számkészlet; azt a legkisebb egész számot hívjuk, amelynek osztója egy adott halmaz minden egyes száma legkisebb közös többszörös adott számkészlet. Így a 12, 18 és 30 számok legnagyobb közös osztója 6. Ugyanazon számok legkisebb közös többszöröse 180. Ha két egész szám legnagyobb közös osztója aÉs b egyenlő 1-gyel, akkor a számok aÉs b hívják kölcsönösen prím. Például a 8-as és a 9-es számok viszonylag prímek, bár egyik sem prímszám.

Pozitív racionális számok.

Amint láttuk, az egész számok olyan absztrakciók, amelyek az objektumok véges halmazainak számlálásának folyamatából származnak. A mindennapi élet szükségleteihez azonban az egész számok nem elegendőek. Például egy asztallap hosszának mérésekor az alkalmazott mértékegység túl nagy lehet, és nem fér bele egész számú alkalommal a mért hosszba. Egy ilyen nehézséggel megbirkózni, az ún. töredékes(vagyis szó szerint „törött”) számok esetén egy kisebb hosszegység kerül bevezetésre. Ha d– valamilyen egész szám, majd a tört egység 1/ d az ingatlan határozza meg dґ1/d= 1, és ha n akkor egy egész szám nґ1/d egyszerűen így írjuk n/d. Ezeket az új számokat „közönséges” vagy „egyszerű” törtnek nevezik. Egész szám n hívott számláló törtek és számok d – névadó. A nevező azt mutatja, hogy hány egyenlő részre osztották fel az egységet, a számláló pedig azt, hogy hány ilyen részesedést vettek fel. Ha n d, a törtet megfelelőnek nevezzük; ha n = d vagy n>d, akkor ez helytelen. Az egész számokat 1-es nevezőjű törtként kell kezelni; például 2 = 2/1.

Mivel a tört n/d felosztás eredményeként értelmezhető n egység per d egyenlő részek és ezek közül az egyiket figyelembe véve egy tört két egész szám "hányadosának" vagy "arányának" tekinthető nÉs d, és a törtvonalat osztásjelnek kell érteni. Ezért a törteket (beleértve az egészeket is, mint a törtek speciális esetét) általában hívják racionális számok (a latin ratio - ratio szóból).

Két frakció n/dÉs ( kґn)/(kґd), Ahol k– egész szám, egyenlőnek tekinthető; például 4/6 = 2/3. (Itt n = 2, d= 3 és k= 2.) Ezt „a tört alapvető tulajdonságának” nevezik: egyetlen tört értéke sem változik, ha a tört számlálóját és nevezőjét szorozzuk (vagy osztjuk) ugyanazzal a számmal. Ebből következik, hogy bármely tört felírható két viszonylagos prímszám arányaként.

A tört fent javasolt értelmezéséből az is következik, hogy két tört összegeként n/dÉs m/d ugyanazzal a nevezővel vegye fel a törtet ( n + m)/d. Különböző nevezőjű törtek összeadásakor először a tört alapvető tulajdonságát használva kell azokat azonos (közös) nevezőjű ekvivalens törtekké alakítani. Például, n 1 /d 1 = (n 1 H d 2)/(d 1 H d 2) és n 2 /d 2 = (n 2 H d 1)/(d 1 H d 2), honnan

Csinálhatnánk másként is, és először megkereshetjük a legkisebb közös többszöröst, mondjuk m, nevezők d 1 és d 2. Aztán vannak egész számok k 1 és k 2 , olyan m = k 1 H d 1 = k 2 H d 2 és kapjuk:

Ezzel a módszerrel a szám máltalában hívják legalacsonyabb közös nevező két frakció. Ez a két eredmény egyenértékű a törtek egyenlőségének definíciójával.

Két frakció szorzata n 1 /d 1 és n 2 /d 2 egyenlőnek számít a törttel ( n 1 H n 2)/(d 1 H d 2).

Az egész számokra fent megadott nyolc alaptörvény akkor is érvényes, ha a a, b, c tetszőleges pozitív racionális számok megértése. Továbbá, ha két pozitív racionális számot adunk n 1 /d 1 és n 2 /d 2, akkor ezt mondjuk n 1 /d 1 > n 2 /d 2 akkor és csak akkor n 1 H d 2 > n 2 H d 1 .

Pozitív valós számok.

A számok használata a vonalszakaszok hosszának mérésére azt sugallja, hogy bármely két adott vonalszakaszra ABÉs CD kell lennie valami szegmensnek UV, talán nagyon kicsi, ami egész számú alkalommal elhalasztható az egyes szegmensekben ABÉs CD. Ha egy ilyen közös hosszegység UV létezik, akkor a szegmensek ABÉs CD arányosnak nevezzük. A pitagoreusok már az ókorban tudtak összemérhetetlen egyenes szakaszok létezéséről. Klasszikus példa a négyzet oldala és átlója. Ha egy négyzet oldalát vesszük hosszegységnek, akkor nincs olyan racionális szám, amely ennek a négyzetnek az átlójának mértéke lehetne. Ezt ellentmondásos érveléssel ellenőrizheti. Valóban, tegyük fel, hogy a racionális szám n/d az átló mértéke. De akkor 1/ d el lehetne halasztani n egyszer átlósan és d alkalommal a tér oldalán, annak ellenére, hogy a tér átlója és oldala összemérhetetlen. Ebből következően a hosszegység megválasztásától függetlenül nem minden szakasznak van racionális számokkal kifejezhető hossza. Ahhoz, hogy az összes vonalszakaszt valamilyen hosszegységgel mérni lehessen, a számrendszert ki kell terjeszteni olyan számokkal, amelyek a választott hosszegységhez nem arányos vonalszakaszok hosszának mérési eredményeit reprezentálják. Ezeket az új számokat pozitívnak nevezzük irracionális számok. Ez utóbbiak a pozitív racionális számokkal együtt egy szélesebb számhalmazt alkotnak, melynek elemeit pozitívnak nevezzük érvényes számok.

Ha VAGY– egy pontból kiinduló vízszintes félegyenes O, U– mutat rá VAGY, eltér az eredettől O, És OU egységszakaszként van kiválasztva, majd minden pont P félvonalon VAGY egyetlen pozitív valós számhoz társítható p, amely a szakasz hosszát fejezi ki OP. Ily módon egy az egyhez megfeleltetést hozunk létre a pozitív valós számok és a ponttól eltérő pontok között O, félvonalon VAGY. Ha pÉs q– pontoknak megfelelő két pozitív valós szám PÉs K tovább VAGY, akkor írunk p>q,p = q vagy p a pont helyétől függően P a ponttól jobbra K tovább VAGY, egybeesik K vagy attól balra található K.

A pozitív irracionális számok bevezetése jelentősen kibővítette az aritmetika alkalmazhatósági körét. Például ha a– bármilyen pozitív valós szám és n bármely egész szám, akkor csak egy pozitív valós szám létezik b, oly módon, hogy bn=a. Ez a szám b gyökérnek nevezik n fokozata aés így írják, ahol a szimbólum a körvonalában egy latin betűre hasonlít r, amellyel a latin szó kezdődik alapszám(gyökér) és hívják radikális. Meg lehet mutatni, hogy

Ezeket a kapcsolatokat a gyökök alapvető tulajdonságainak nevezzük.

Gyakorlati szempontból nagyon fontos, hogy bármely pozitív irracionális szám a kívánt pontossággal közelíthető legyen egy pozitív racionális számmal. Ez azt jelenti, hogy ha r egy pozitív irracionális szám és e egy tetszőlegesen kis pozitív racionális szám, akkor találhatunk pozitív racionális számokat aÉs b, oly módon, hogy a és b. Például egy szám irracionális. Ha kiválasztja e= 0,01, akkor ; ha úgy döntesz e= 0,001, akkor .

Indo-arab számrendszer.

Az aritmetikai algoritmusok vagy számítási sémák az alkalmazott számrendszertől függenek. Teljesen nyilvánvaló például, hogy a római számrendszerhez kitalált számítási módszerek eltérhetnek a jelenlegi indo-arab rendszerhez kitalált algoritmusoktól. Ezenkívül egyes számrendszerek teljesen alkalmatlanok lehetnek aritmetikai algoritmusok létrehozására. Történelmi adatok azt mutatják, hogy az indo-arab számjelölési rendszer elfogadása előtt egyáltalán nem léteztek olyan algoritmusok, amelyek elég egyszerűvé tették volna a számok összeadását, kivonását, szorzását és osztását „ceruzával és papírral”. Az indoarab rendszer fennállásának hosszú évei alatt számos speciálisan ehhez igazított algoritmikus eljárást fejlesztettek ki, így modern algoritmusaink egy egész korszak fejlesztési és fejlesztési termékei.

A hindu-arab számrendszerben minden egyes számot képviselő bejegyzés tíz alapszimbólum 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 halmaza, amelyeket számoknak nevezünk. Például a négyszázhuszonhárom szám hindu-arab jelölése a 423-as számjegysorozat formáját ölti. A számjegy jelentését a szám hindu-arab jelölésében a helye vagy helyzete határozza meg, az ezt a jelölést alkotó számjegyek sorozatában. Az általunk megadott példában a 4-es szám négy százat, a 2-es két tízest, a 3-as pedig három egyest jelent. Az üres pozíciók kitöltésére használt 0 (nulla) nagyon fontos szerepet játszik; például a 403-as bejegyzés a négyszázhármas számot jelenti, azaz. tízesek hiányoznak. Ha a, b, c, d, e egyéni számokat jelentenek, akkor az indoarab rendszerben abcde egy egész szám rövidítését jelenti

Mivel minden egész szám egyedi ábrázolást enged meg az alakban

Ahol n egy egész szám, és a 0 , a 1 ,..., a n- számok, arra a következtetésre jutunk, hogy egy adott számrendszerben minden egész szám egyedi módon ábrázolható.

A hindu-arab számrendszer lehetővé teszi, hogy ne csak egész számokat írjon le tömören, hanem bármilyen pozitív valós számot is. Vezessük be a 10-es jelölést - n 1/10-ért n, Ahol n– tetszőleges pozitív egész szám. Ekkor, amint látható, bármely pozitív valós szám ábrázolható, és egyedileg a formában

Ez a rekord tömöríthető úgy, hogy számsorozatként írja be

hol van a tizedesvesszőnek nevezett előjel között a 0 és b Az 1 azt jelzi, hogy hol kezdődik a 10 negatív hatványa (egyes országokban pontokat használnak erre a célra). A pozitív valós szám írásának ezt a módszerét decimális bővítésnek nevezzük, a decimális kiterjesztése formájában megjelenő törtet pedig decimális.

Megmutatható, hogy pozitív racionális szám esetén a tizedesvessző utáni tizedes bővítés vagy megszakad (például 7/4 = 1,75), vagy ismétlődik (például 6577/1980 = 3,32171717...). Ha egy szám irracionális, akkor a decimális kiterjesztése nem szakad el és nem ismétlődik. Ha egy irracionális szám decimális kiterjesztését megszakítjuk valamilyen tizedesjegyen, akkor megkapjuk a racionális közelítését. Minél távolabb van a tizedesvesszőtől jobbra az az előjel, amelynél a tizedes kiterjesztést befejezzük, annál jobb a racionális közelítés (minél kisebb a hiba).

A hindu-arab rendszerben egy számot tíz alapjegyből írnak fel, amelyek jelentése a szám jelölésében elfoglalt helyüktől vagy helyzetüktől függ (egy számjegy értéke egyenlő a számjegy és néhány szám szorzatával 10-es teljesítmény). Ezért egy ilyen rendszert decimális pozíciórendszernek nevezünk. A helyzetszámrendszerek nagyon kényelmesek az aritmetikai algoritmusok felépítéséhez, ezért olyan elterjedt a modern világban az indo-arab számrendszer, bár az egyes országokban eltérő szimbólumok is használhatók az egyes számok jelölésére.

A számok nevei.

Az indoarab rendszerben a számnevek bizonyos szabályokat követnek. A számok elnevezésének legáltalánosabb módja az, hogy a számot először három számjegyből álló csoportokra osztják jobbról balra. Ezeket a csoportokat "időszakoknak" nevezik. Az első időszakot "egységek" periódusnak, a másodikat "ezres" periódusnak, a harmadikat "milliós" periódusnak stb. nevezik, amint az a következő példában látható:

Minden pontot úgy olvasunk, mintha egy háromjegyű szám lenne. Például a 962-es időszak „kilencszázhatvankettő”-ként olvasható. Több pontból álló szám olvasásához az egyes periódusokban lévő számjegyek csoportját a rendszer a bal szélsővel kezdi, majd balról jobbra haladva; Minden csoport után az időszak neve következik. Például a fenti szám így szól: "hetvenhárom billió nyolcszáznegyvenkétmilliárd-kilencszázhatvankétmillió-ötszázharminckétezer-hétszázkilencvennyolc". Vegye figyelembe, hogy egész számok olvasásakor és írásakor az „és” kötőszót általában nem használják. Az egységkategória neve kimarad. A trilliókat a kvadrilliók, a kvintillionok, a szextillók, a septillionok, az oktilliók, a nemallionok és a decillionok követik. Minden periódus értéke 1000-szer nagyobb, mint az előző.

A hindu-arab rendszerben a következő eljárást szokás követni a tizedesvesszőtől jobbra lévő számok olvasásához. Itt a pozíciókat nevezik (sorrendben balról jobbra): „tized”, „század”, „ezrelék”, „tízezredik” stb. A megfelelő tizedesjegyet a rendszer úgy olvassa be, mintha a tizedesvessző utáni számjegyek egész számot alkotnának, majd ezt követi a jobb oldali utolsó számjegy helyének neve. Például a 0,752 "hétszázötvenkét ezrelék"ként értelmezhető. A vegyes tizedesjegyek olvasása az egész számok elnevezésére vonatkozó szabály és a megfelelő tizedesjegyek elnevezésének szabályának kombinálásával történik. Például a 632.752 így szól: „hatszázharminckettő pont hétszázötvenkét ezrelék”. Figyelje meg az "egész számok" szót a tizedesvessző előtt. Az utóbbi években a tizedes számokat egyre egyszerűbben értelmezték, például a 3,782-t „hárompontos hétszáznyolcvankettő”-ként.

Kiegészítés.

Most készen állunk az általános iskolában tanított aritmetikai algoritmusok elemzésére. Ezek az algoritmusok decimális kiterjesztéssel írt pozitív valós számok műveleteivel foglalkoznak. Feltételezzük, hogy az elemi összeadási és szorzótáblákat fejből tanultuk.

Tekintsük az összeadási feladatot: számítsuk ki 279,8 + 5,632 + 27,54:

Először is összegezzük a 10-es szám azonos hatványait. A 19Х10 –1 számot az eloszlási törvény szerint 9Х10 –1-re és 10Х10 –1 = 1-re osztjuk. Az egységet balra mozgatjuk, és hozzáadjuk 21-hez, ami 22-t ad. A 22-es számot viszont 2-re osztjuk és 20 = 2H10. A 2H10 számot balra mozgatjuk, és hozzáadjuk a 9H10-hez, ami 11H10-et ad. Végül a 11H10-et 1H10-re és 10H10 = 1H10 2-re osztjuk, az 1H10 2-t balra mozgatjuk, és hozzáadjuk a 2H10 2-hez, ami 3H10 2-t kap. A végső végösszeg 312.972.

Nyilvánvaló, hogy az elvégzett számítások tömörebben is bemutathatók, egyúttal az iskolában tanított összeadási algoritmus példájaként is felhasználhatók. Ehhez mindhárom számot egymás alá írjuk úgy, hogy a tizedespontok ugyanabban a függőlegesben legyenek:

Jobbról kiindulva azt találjuk, hogy az együtthatók összege 10 –3-nál egyenlő 2-vel, amit a megfelelő oszlopba írunk a sor alá. Az együtthatók összege 10 –2-nél egyenlő 7-tel, amit szintén a megfelelő oszlopba írunk a sor alá. A 10 –1 együtthatók összege 19. A sor alá írjuk a 9-es számot, és az 1-et áthelyezzük az előző oszlopba, ahol egyesek vannak. Ha figyelembe vesszük ezt az egységet, az ebben az oszlopban szereplő együttható összege 22-nek bizonyul. Az egyik kettőt a sor alá írjuk, a másikat pedig áthelyezzük az előző oszlopba, ahol a tízesek vannak. Az átvitt kettőt figyelembe véve ebben az oszlopban az együtthatók összege 11. Egy egységet írunk a sor alá, a másikat pedig átvisszük az előző oszlopba, ahol százak vannak. Ebben az oszlopban az együtthatók összege 3-mal egyenlő, amelyet a vonal alá írunk. A szükséges összeg 312.972.

Kivonás.

A kivonás az összeadás fordítottja. Ha három pozitív valós szám a, b, cösszekapcsolva úgy a+b=c, akkor írunk a = c – b, ahol a „-” szimbólum „mínuszként” olvasható. Szám keresése a ismert számok szerint bÉs c"kivonásnak" nevezik. Szám c hívják minuend, szám b– „kivonható”, és a szám a- "különbség". Mivel pozitív valós számokról van szó, a feltételnek teljesülnie kell c > b.

Nézzünk egy példát a kivonásra: számítsunk ki 453,87 – 82,94.

Először is, ha szükséges, balról kölcsönve egy mértékegységet, átalakítjuk a minuend kiterjesztését úgy, hogy annak együtthatója bármely 10-es hatvány esetén nagyobb legyen, mint az azonos teljesítményű részrész együtthatója. A 4H10 2-ből kölcsönkérünk 1H10 2 = 10H10-et, hozzáadva az utolsó számot a bővítés következő tagjához, ami 15H10-et ad; ehhez hasonlóan kölcsönkérünk 1Х10 0 vagy 10Ч10 –1, és ezt a számot adjuk hozzá a bővítés utolsó előtti tagjához. Ezt követően lehetőséget kapunk arra, hogy a 10-es szám azonos hatványaihoz tartozó együtthatókat kivonjuk, és könnyen megtaláljuk a 370,93 különbséget.

A kivonási műveletek rögzítése tömörebb formában is bemutatható, és példát kaphat az iskolában tanult kivonási algoritmusra. A részfejet a minuend alá írjuk úgy, hogy a tizedespontjaik ugyanabban a függőlegesben legyenek. Jobbról kiindulva azt találjuk, hogy az együtthatók különbsége 10 –2-nél egyenlő 3-mal, és ezt a számot ugyanabba az oszlopba írjuk a sor alá. Mivel a következő bal oldali oszlopban nem tudjuk kivonni a 9-et 8-ból, ezért a minuend egység pozíciójában lévő hármat kettőre változtatjuk, a tizedes pozícióban lévő 8-ast pedig 18-nak tekintjük. A 9-et 18-ból kivonva 9-et kapunk stb. ., azaz .

Szorzás.

Tekintsük először az ún A „rövid” szorzás egy pozitív valós szám szorzása az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 egyjegyű számok egyikével, például 32,67ґ4. Az eloszlás törvényét, valamint a szorzás asszociativitásának és kommutativitásának törvényét felhasználva lehetőséget kapunk a tényezők részekre bontására és kényelmesebb elrendezésére. Például,

Ezeket a számításokat tömörebben a következőképpen írhatjuk fel:

A tömörítési folyamat folytatható. A 32,67 szorzószám alá írjuk a 4-es tényezőt, a jelzett módon:

Mivel 4ґ7 = 28, a sor alá írjuk a 8-as számot, a szorzószám 6-os száma fölé pedig a 2-t. Ezután 4ґ6 = 24, ami a jobb oldali oszlopból átvitteket figyelembe véve 26-ot ad. A sor alá írjuk a 6-os számot, a szorzószám 2-es fölé pedig a 2-t. Ekkor 4ґ2 = 8-at kapunk, ami az átvitt kettővel kombinálva 10-et ad. A sor alá 0-t, a szorzószám 3-asa fölé írunk. Végül 4ґ3 = 12, ami az átvitt egységet figyelembe véve 13-at ad; A sor alá a 13-as szám van írva. Tizedesvesszővel azt a választ kapjuk, hogy a szorzat 130,68.

A „hosszú” szorzás egyszerűen egy újra és újra megismételt „rövid” szorzás. Vegyük például, hogy megszorozzuk a 32,67-et a 72,4-gyel. Tegyük a szorzót a szorzó alá, a jelzett módon:

Jobbról balra rövid szorzást végezve megkapjuk a 13,068 első hányadosát, a 65,34 második hányadosát és a 2286,9 harmadik hányadosát. Az eloszlás törvénye szerint a keresendő szorzat ezen részszorzatok összege, vagyis 2365.308. Írásos jelölésnél a résztermékeknél a tizedesvessző kimarad, de azokat helyesen „lépésekbe” kell rendezni, hogy azután összegezve megkapjuk a teljes terméket. A szorzatban lévő tizedesjegyek száma megegyezik a szorzó és a szorzó tizedesjegyeinek összegével.

Osztály.

Az osztás a szorzás fordított művelete; ahogy a szorzás helyettesíti az ismételt összeadást, az osztás az ismételt kivonást. Vegyük például a kérdést: hányszor van benne 3 a 14-ben? Megismételve a 3-at 14-ből kivonva azt kapjuk, hogy a 3 négyszer „belép” a 14-be, a 2-es pedig „marad”, azaz.

A 14-es számot hívják osztható, 3-as szám – osztó, 4-es szám – magánés 2-es szám - a maradék. Az így létrejövő összefüggést a következőképpen lehet szavakkal kifejezni:

osztalék = (osztó ґ hányados) + maradék,

0 Ј maradék

Az 1400 osztva 3-mal hányadosának és maradékának megtalálása 3 ismételt kivonásával sok időt és erőfeszítést igényel. Az eljárást jelentősen felgyorsíthatnánk, ha 1400-ból először 300-at, majd a maradékból 30-at, végül 3-at vonnánk ki. A 300 négyszeri levonása után 200 maradékot kapnánk; ha 200-ból hatszor kivonjuk a 30-at, a maradék 20 lesz; végül, miután hatszor kivontuk a 3-at 20-ból, megkapjuk a maradék 2-t.

A keresendő hányados és maradék 466, illetve 2. A számítások rendszerezhetők, majd szekvenciálisan tömöríthetők az alábbiak szerint:

A fenti érvelés akkor érvényes, ha az osztó és az osztó bármilyen pozitív valós szám, amelyet decimális rendszerben fejeznek ki. Illusztráljuk ezt a 817.65е23.7 példájával.

Először is az osztót egész számmá kell konvertálni tizedesponteltolás segítségével. Ebben az esetben az osztalék tizedespontja ugyanannyi tizedesjellel eltolódik. Az osztó és az osztalék az alábbiak szerint van elrendezve:

Határozzuk meg, hogy az osztó hányszor szerepel a 817-es háromjegyű számban, az osztó első részében, amelyet az osztóval osztunk. Mivel a becslések szerint háromszor van benne, megszorozzuk 237-et 3-mal, és kivonjuk 711 szorzatát 817-ből. A 106 különbsége kisebb, mint az osztó. Ez azt jelenti, hogy a 237-es szám legfeljebb háromszor jelenik meg a próbaosztalékban. A vízszintes vonal alatti 2-es osztó alá írt 3-as szám a keresendő hányados első számjegye. Miután lejjebb léptünk az osztalék következő számjegyénél, megkapjuk a következő próbaosztalékot, az 1066-ot, és meg kell határoznunk, hogy a 237 osztó hányszor fér bele az 1066-os számba; Mondjuk 4-szer. Az osztót megszorozzuk 4-gyel, és megkapjuk a 948 szorzatot, amelyet kivonunk 1066-ból; a különbség 118-nak bizonyul, ami azt jelenti, hogy a hányados következő számjegye 4. Ezután kivonjuk az osztalék következő számjegyét, és megismételjük a fent leírt teljes eljárást. Ezúttal kiderül, hogy az 1185 próbaosztalék pontosan (maradék nélkül) osztható 237-tel (az osztás maradéka végül 0-nak bizonyul). Ha a hányadosban tizedesvesszővel elválasztjuk az osztalékban elválasztott számjegyek számát (emlékezzünk arra, hogy korábban elmozdítottuk a tizedesvesszőt), azt a választ kapjuk: a hányados egyenlő 34,5-tel.

Frakciók.

A törtekkel végzett számítások közé tartozik az összeadás, kivonás, szorzás és osztás, valamint az összetett törtek egyszerűsítése.

Az azonos nevezővel rendelkező törtek összeadása a számlálók összeadásával történik, pl.

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

Ha a törtek különböző nevezőkkel rendelkeznek, akkor először le kell redukálni őket egy közös nevezőre, pl. konvertálja át azonos nevezőjű törtekre. Ehhez megkeressük a legkisebb közös nevezőt (az egyes adott nevezők legkisebb többszörösét). Például 2/3, 1/6 és 3/5 összeadásakor a legkisebb közös nevező a 30:

Összegezve azt kapjuk

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

A törtek kivonása ugyanúgy történik, mint az összeadás. Ha a nevezők azonosak, akkor a kivonás a számlálók kivonása: 10/13 – 2/13 = 8/13; Ha a törtek különböző nevezőkkel rendelkeznek, akkor először közös nevezőre kell hozni őket:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

A törtek szorzásakor a számlálójukat és a nevezőiket külön szorozzuk. Például,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

Egy tört egy másikkal való osztásához meg kell szorozni az első törtet (osztó) a második (osztó) reciprok törtével (a reciprok tört megszerzéséhez fel kell cserélni az eredeti tört számlálóját és nevezőjét), pl. ( n 1 /d 1)е( n 2 /d 2) = (n 1 H d 2)/(d 1 H n 2). Például,

3/4е7/8 = 3/4ґ8/7 = 24/28 = 6/7.

A vegyes szám egy egész szám és egy tört összege (vagy különbsége), például 4 + 2/3 vagy 10 – 1/8. Mivel egy egész szám 1-es nevezőjű törtnek tekinthető, a vegyes szám nem más, mint két tört összege (vagy különbsége). Például,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

Az összetett tört olyan tört, amelynek a számlálójában, a nevezőben vagy a számlálóban és a nevezőben van egy tört. Ez a tört egyszerű törtté alakítható:

Négyzetgyök.

Ha n r, oly módon, hogy r 2 = n. Szám r hívott négyzetgyök tól től nés ki van jelölve. Az iskolában kétféleképpen tanítanak négyzetgyököket kivonni.

Az első módszer népszerűbb, mert egyszerűbb és könnyebben alkalmazható; Az ezzel a módszerrel végzett számítások könnyen megvalósíthatók asztali számológépen, és általánosíthatók a kockagyökökre és a magasabb gyökerekre. A módszer azon alapul, hogy ha r 1 – a gyökér megközelítése, akkor r 2 = (1/2)(r 1 + n/r 1) – a gyökér pontosabb közelítése.

Illusztráljuk az eljárást úgy, hogy kiszámoljuk egy 1 és 100 közötti szám négyzetgyökét, mondjuk a 40-et. Mivel 6 2 = 36 és 7 2 = 49, arra a következtetésre jutunk, hogy a 6 a legjobb közelítés egész számokhoz. Pontosabb közelítést kapunk a 6-ból a következőképpen. A 40-et 6-tal osztva 6,6-ot kapunk (első tizedesjegyre kerekítve) még tizedek számai). Ahhoz, hogy egy második közelítést kapjunk, átlagoljuk a két számot (6 és 6,6), és 6,3-at kapunk. Az eljárást megismételve még jobb közelítést kapunk. A 40-et elosztva 6,3-mal, megkapjuk a 6,350-es számot, és a harmadik közelítésből kiderül, hogy (1/2)(6,3 + 6,350) = 6,325. Egy másik ismétlés 40е6.325 = 6.3241106, a negyedik közelítés pedig (1/2)(6.325 + 6.3241106) = 6.3245553. A folyamat a kívánt ideig folytatható. Általában minden következő közelítés kétszer annyi számjegyet tartalmazhat, mint az előző. Példánkban tehát, mivel az első közelítés, a 6-os egész szám csak egy számjegyet tartalmaz, a második közelítésben két, a harmadikban négy, a negyedikben nyolc számjegyet tarthatunk.

Ha a szám n nem 1 és 100 között van, akkor először osztani (vagy szorozni) kell n mondjuk 100-as hatványra k-edik úgy, hogy a szorzat 1-től 100-ig terjedjen. Ekkor a szorzat négyzetgyöke 1-től 10-ig terjedő tartományban lesz, és miután kivontuk, a kapott számot megszorozzuk (vagy elosztjuk) 10-zel k, keresse meg a szükséges négyzetgyököt. Például ha n= 400000, akkor először mi feloszt 400 000 100 2-vel, és megkapjuk a 40-es számot, amely 1 és 100 közötti tartományban van. Mint fentebb látható, ez megközelítőleg egyenlő 6,3245553-mal. Szorzás ez a szám 10 2-vel, 632,45553-at kapunk hozzávetőleges értékként, és a 0,63245553 szám közelítő értékeként szolgál.

A fent említett eljárások közül a második az algebrai azonosságon ( a + b) 2 = a 2 + (2a + b)b. Minden lépésnél a négyzetgyök már kapott részét vesszük mint a, és a még meghatározandó rész az b.

Köbgyök.

A pozitív valós szám köbgyökének kinyerésére a négyzetgyök kinyeréséhez hasonló algoritmusok léteznek. Például egy szám kockagyökének megkeresésére n, először közelítjük a gyökét valamilyen számmal r 1 . Ezután pontosabb közelítést készítünk r 2 = (1/3)(2r 1 + n/r 1 2), ami viszont helyet ad egy még pontosabb közelítésnek r 3 = (1/3)(2r 2 + n/r 2 2) stb. A gyökér egyre pontosabb közelítéseinek megalkotásának folyamata a végtelenségig folytatódhat.

Tekintsük például egy 1 és 1000 közötti szám kockagyökének kiszámítását, mondjuk a 200-as számot. Mivel 5 3 = 125 és 6 3 = 216, arra a következtetésre jutunk, hogy a 6 a legközelebbi egész szám 200 kockagyökéhez. Ezért választunk r 1 = 6, és szekvenciálisan számítsuk ki r 2 = 5,9, r 3 = 5,85, r 4 = 5,8480. Minden közelítésben a harmadiktól kezdve megengedett olyan karakterszám megtartása, amely eggyel kevesebb, mint az előző közelítésben szereplő karakterek számának kétszerese. Ha a szám, amelyből a kockagyököt ki akarja venni, nem 1 és 1000 között van, akkor először el kell osztania (vagy meg kell szoroznia) valamivel, például k th, az 1000-es szám hatványa, és ezzel bevisszük a kívánt számtartományba. Az újonnan kapott szám kockagyöke 1 és 10 közötti tartományban van. Kiszámítása után meg kell szorozni (vagy el kell osztani) 10-zel k hogy megkapjuk az eredeti szám kockagyökét.

A második, összetettebb algoritmus egy pozitív valós szám kockagyökének megtalálására az algebrai azonosságon alapul ( a + b) 3 = a 3 + (3a 2 + 3ab + b 2)b. Jelenleg a kockagyökök, valamint a magasabb erők gyökereinek kinyerésére szolgáló algoritmusokat nem tanítják a középiskolában, mivel logaritmusokkal vagy algebrai módszerekkel könnyebben megtalálhatók.

Euklidész algoritmusa.

Ezt az algoritmust ben mutatták be Kezdetek Eukleidész (Kr. e. 300 körül). Két egész szám legnagyobb közös osztójának kiszámítására szolgál. Pozitív számok esetén eljárási szabályként fogalmazódik meg: „A két megadott szám közül a nagyobbat osszuk el a kisebbel. Ezután osszuk el az osztót a maradékkal, és folytassuk így, amíg az utolsó osztót egyenletesen el nem osztja az utolsó maradékkal. Az utolsó osztó lesz a két megadott szám legnagyobb közös osztója.

Numerikus példaként vegyünk két egész számot: 3132 és 7200. Az algoritmus ebben az esetben a következő lépésekből áll:

A legnagyobb közös osztó megegyezik az utolsó osztóval – a 36-os számmal. A magyarázat egyszerű. Példánkban az utolsó sorból látjuk, hogy a 36 osztja a 288-at. Az utolsó előtti sorból az következik, hogy a 36 osztja a 324-et. Tehát sorról sorra haladva meg vagyunk győződve arról, hogy a 36-os szám osztja 936-ot. , 3132 és 7200 Most azt állítjuk, hogy a 36 a 3132 és 7200 számok közös osztója. g a 3132 és 7200 számok legnagyobb közös osztója. Mivel g osztja a 3132-t és a 7200-at, az első sorból az következik g oszt 936. A második sorból arra következtetünk g oszt 324. Tehát sorról sorra haladva meg vagyunk győződve arról gÉs mivel a 36 a 3132 és 7200 számok közös osztója, és a legnagyobb közös osztójukkal van osztva, arra a következtetésre jutunk, hogy a 36 a legnagyobb közös osztó.

Vizsgálat.

Az aritmetikai számítások állandó figyelmet igényelnek, ezért hajlamosak a hibákra. Ezért nagyon fontos a számítási eredmények ellenőrzése.

1. A számoszlop hozzáadását úgy ellenőrizhetjük, hogy az oszlopban lévő számokat először felülről lefelé, majd lentről felfelé adjuk hozzá. Ennek az igazolási módszernek az indoklása a kommutativitás és az összeadás asszociativitásának általánosított törvénye.

2. A kivonást úgy ellenőrizzük, hogy a különbséget összeadjuk a részfejjellel - a minuendet kell megkapni. Ennek az ellenőrzési módszernek az oka a kivonási művelet meghatározása.

3. A szorzás a szorzó és a szorzó átrendezésével ellenőrizhető. Ennek az igazolási módnak az indoklása a kommutatív szorzás törvénye. A szorzást úgy ellenőrizheti, hogy a szorzót (vagy szorzót) két tagra bontja, két külön szorzási műveletet hajt végre, és összeadja a kapott szorzatokat - az eredeti szorzatot kell kapnia.

4. Az osztás ellenőrzéséhez meg kell szorozni a hányadost az osztóval, és a maradékot hozzá kell adni a szorzathoz. Meg kellene kapnia az osztalékot. Ennek az ellenőrzési módszernek az oka az osztási művelet meghatározása.

5. A négyzetgyök (vagy köbgyök) kinyerésének helyességének ellenőrzése abból áll, hogy a kapott számot négyzetre emeléssel (vagy kockával) emeljük – az eredeti számot kell megkapni.

Az egész számok összeadásának vagy szorzásának ellenőrzésére különösen egyszerű és nagyon megbízható módszer egy olyan technika, amely átmenetet jelent az ún. "összehasonlítások modulo 9". Nevezzük „többletnek” a szám írásához használt számjegyek összegének maradékát, ha elosztjuk 9-cel. Ekkor a „túllépésekre” vonatkozóan két tétel fogalmazható meg: „az egész számok összegének többlete egyenlő a tagok többletösszegének többletével”, és „két egész szám szorzatának többlete egyenlő a túlkapásaik szorzatának többletét.” Az alábbiakban példákat láthatunk ezen a tételen alapuló ellenőrzésekre:

Az összehasonlításokra való átállás modulo 9 módszere más aritmetikai algoritmusok tesztelésekor is használható. Természetesen egy ilyen ellenőrzés nem tévedhetetlen, mivel a „túllépésekkel” való munka során hibák is előfordulhatnak, de egy ilyen helyzet nem valószínű.

Érdeklődés.

A százalék az a tört, amelynek nevezője 100; A százalékokat háromféleképpen írhatjuk fel: törtként, tizedesjegyként vagy a speciális % százalékos jelöléssel. Például a 7 százalék felírható 7/100-nak, 0,07-nek vagy 7%-nak.

A százalékos probléma leggyakoribb típusára a következő példa: „Találd meg a 82-ből 17%-ot.” A probléma megoldásához ki kell számítania a 0,17ґ82 = 13,94 szorzatot. Az ilyen termékekben 0,17-et neveznek árfolyamnak, 82-t az alapnak, és 13,94-et a részesedésnek, százalékban kifejezve. A három említett mennyiség a reláción keresztül kapcsolódik egymáshoz

Kamatláb ґ alap = százalékos részesedés.

Ha bármelyik két mennyiség ismert, ebből az összefüggésből a harmadik meghatározható. Ennek megfelelően háromféle problémát kapunk „százalékok használatával”.

1. példa. Az iskolába beiratkozott tanulók száma 351-ről 396-ra nőtt. Hány százalékkal nőtt ez a szám?

A növekedés 396 – 351 = 45 fő volt. A 45/351 törtet százalékban felírva 45/351 = 0,128 = 12,8%-ot kapunk.

2. példa. Az üzletben az akció során egy hirdetés azt mondja: „25% kedvezmény minden termékre”. Mi az eladási ára egy olyan cikknek, amelyet általában 3,60 dollárért adnak el?

A 3,60 dolláros ár 25%-os csökkenése 0,25-3,60 = 0,90 dolláros csökkenést jelent; ezért az árucikk ára az akció során 3,60 USD – 0,90 USD = 2,70 USD lesz.

3. példa. A bankban elhelyezett pénz évi 5%-os kamattal 40 dollár nyereséget hozott évente. Mekkora összeget utaltak be a bankba?

Mivel az összeg 5%-a 40 dollár, i.e. 5/100 ґ összeg = 40 dollár, vagy 1/100 ґ összeg = 8 dollár, a teljes összeg 800 dollár.

Közelítő számok aritmetikája.

A számításokhoz használt számos szám vagy mérésekből, vagy becslésekből származik, ezért csak közelítésnek tekinthetők. Nyilvánvaló, hogy a közelítő számokkal végzett számítások eredménye csak közelítő szám lehet. Tegyük fel például, hogy a pultfelület mérése a következő eredményeket adta (a legközelebbi tized méterre kerekítve): szélesség 1,2 m, hossz 3,1 m; mondhatnánk, hogy a pult területe 1,2ґ3,1 = 3,72 m2. A valóságban azonban az információ korántsem ennyire biztos. Mivel az 1,2 m érték csak azt jelzi, hogy a szélességmérés 1,15 és 1,25 m között van, a 3,1 pedig azt, hogy a hosszmérés 3,05 és 3,15 m között van, a számlálóterületről csak annyit mondhatunk, hogy 1,15-3,05-nél nagyobbnak kell lennie. = 3,5075, de kevesebb, mint 1,25ґ3,15 = 3,9375. Ezért a pult területére vonatkozó kérdésre az egyetlen ésszerű válasz az, hogy az körülbelül 3,7 m 2.

Nézzük ezután a 3,73 m, 52,1 m és 0,282 m hozzávetőleges mérési eredményeinek összeadásának problémáját. Az egyszerű összeg 56,112 m. De az előző feladathoz hasonlóan minden bizonnyal elmondható, hogy a valódi összeg nagyobbnak kell lennie, mint 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 m, és kisebbnek kell lennie, mint 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 m. Így a kérdésre az egyetlen ésszerű válasz az, hogy az összeg megközelítőleg 56 m.

A fenti két példa néhány olyan szabályt mutat be, amelyek hasznosak a közelítő számokkal való munka során. A számok kerekítésének különböző módjai vannak. Az egyik az, hogy el kell hagyni a szám alsó számjegyeit. Sőt, ha az első eldobandó számjegy több mint öt, akkor az utolsó megmaradt számjegyet eggyel növelni kell, ha kevesebb, akkor a maradék rész utolsó számjegye változatlan marad.

Ha az első elvetendő számjegy pontosan öt, akkor az utolsó megtartandó számjegyet eggyel növeljük, ha páratlan, és változatlan marad, ha páros. Például a legközelebbi századra kerekítve a 3,14159;17,7682; 28 999; 0,00234; 7,235 és 7,325 3,14 lesz; 17,77; 29.00; 0,00; 7,24 és 7,32.

A kerekítés másik módja a jelentős számok fogalmához kapcsolódik, és a számok gépi írásakor használatos. Egy közelítő szám jelentős számjegyei a tizedes jelölésben szereplő számjegyek, balról jobbra haladva, az első nem nulla számjeggyel kezdve, és a hibának megfelelő tizedesjegy helyén lévő számjegygel végződnek. Például a 12,1 közelítő szám jelentős számjegyei az 1, 2, 1 számok; hozzávetőleges szám 0,072 – számok 7, 2; a hozzávetőleges 82000-es szám száz pontossággal felírva 8, 2, 0.

Most megfogalmazzuk a fent említett közelítő számokkal való működés két szabályát.

A hozzávetőleges számok összeadásakor és kivonásakor minden számot a legkevésbé pontos szám utolsó számjegye utáni számjegyre kell kerekíteni, az így kapott összeget és különbséget pedig a legkevésbé pontos számjegy számjegyére kell kerekíteni. A hozzávetőleges számok szorzásakor és osztásakor minden számot a legkisebb jelentőségű szám utolsó jelentős számjegye utáni előjelre kell kerekíteni, a szorzatot és hányadost a legkevésbé pontos szám ismertével megegyező pontossággal kell kerekíteni.

Visszatérve a korábban vizsgált problémákhoz, a következőket kapjuk:

1,2ґ3,1 = 3,72 m 2 » 3,7 m 2

3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 m 2 "56,1 m,

ahol a "" jel azt jelenti, hogy "körülbelül egyenlő".

Egyes aritmetikai tankönyvek algoritmusokat kínálnak a hozzávetőleges számokkal való munkavégzéshez, ami lehetővé teszi, hogy elkerülje a szükségtelen előjeleket a számítás során. Emellett alkalmazzák az ún. hozzávetőleges számok rögzítése, azaz. bármely szám (1-től 10-ig terjedő tartományban lévő szám) ґ (10 hatványa), ahol az első tényező csak a szám jelentős számjegyeit tartalmazza. Például a 82000 km-t száz km-re kerekítve 8,20ґ10 4 km-nek írjuk, 0,00702 cm-t pedig 7,02ґ10 –3 cm-nek.

A matematikai táblázatokban, trigonometrikus vagy logaritmikus táblázatokban található számok hozzávetőlegesek, meghatározott számú előjellel írva. Amikor ilyen táblázatokkal dolgozik, kövesse a hozzávetőleges számokkal történő számítások szabályait.

Logaritmusok.

A 17. század elejére. Az alkalmazott számítástechnikai problémák bonyolultsága annyira megnőtt, hogy a túl sok munka és idő miatt nem lehetett velük „kézi” megbirkózni. Szerencsére J. Napier találta ki időben a 17. század elején. a logaritmusok lehetővé tették a felmerülő problémával való megbirkózást. Mivel a logaritmus elméletét és alkalmazásait egy speciális LOGARITMUS cikk ismerteti részletesen, csak a legszükségesebb információkra szorítkozunk.

Kimutatható, hogy ha n pozitív valós szám, akkor van egy egyedi pozitív valós szám x, úgy, hogy 10 x = n. Szám x hívott (normál vagy decimális) logaritmus számok n; hagyományosan így írják: x=napló n. Így a logaritmus kitevő, és a kitevőkkel végzett műveletek törvényeiből az következik, hogy

A logaritmusoknak ezek a tulajdonságai magyarázzák széleskörű használatukat az aritmetikában. Az első és a második tulajdonság lehetővé teszi, hogy minden szorzási és osztási problémát egyszerűbb összeadási és kivonási feladatra redukáljunk. A harmadik és negyedik tulajdonság lehetővé teszi, hogy a hatványozást és a gyökérkivonást sokkal egyszerűbb műveletekre csökkentsük: szorzásra és osztásra.

A logaritmusok könnyebb használatának érdekében összeállítottuk a táblázataikat. A decimális logaritmusok táblázatának összeállításához elegendő csak 1-től 10-ig terjedő számok logaritmusát feltüntetni. Például mivel 247,6 = 10 2 ґ2,476, a következőt kapjuk: log247,6 = log10 2 + log2,476 = 2 + log2.476, és mivel 0.02476 = 10 –2 ґ2.476, akkor log0.02476 = log10 –2 + log2.476 = –2 + log2.476. Vegye figyelembe, hogy egy 1 és 10 közötti szám decimális logaritmusa 0 és 1 között van, és decimálisként is felírható. Ebből az következik, hogy bármely szám decimális logaritmusa egy egész szám, amelyet a logaritmus jellemzőjének, és egy tizedes tört, amelyet a logaritmus mantisszának neveznek, összege. Bármely szám logaritmusának jellemzője megtalálható az „elmében”; A mantisszát logaritmustáblázatok segítségével kell megtalálni. Például a táblázatokból azt találjuk, hogy log2.476 = 0.39375, tehát log247.63 = 2.39375. Ha a logaritmus karakterisztikája negatív (amikor a szám kisebb egynél), akkor célszerű két pozitív egész szám különbségeként ábrázolni, például log0,02476 = –2 + 0,39375 = 8,39375 – 10. a következő példák magyarázzák ezt a technikát.

Irodalom:

A matematika története az ókortól a 19. század elejéig., vol. 1–3. M., 1970–1972.
Serre J.-P. Számtantanfolyam. M., 1972
Nechaev V.I. Numerikus rendszerek. M., 1975
Daan-Dalmedico A., Peiffer J . Utak és labirintusok. Esszék a matematika történetéről. M., 1986
Engler E. Alapfokú matematika. M., 1987

A kör megmutatta, hogyan lehet négyzetgyököket kivonni egy oszlopból. A gyökér tetszőleges pontossággal számítható ki, tetszőleges számú számjegyet találhat a decimális jelölésében, még akkor is, ha az irracionálisnak bizonyul. Az algoritmust emlékeztek, de kérdések maradtak. Nem volt világos, honnan származik a módszer, és miért adta a megfelelő eredményt. Nem volt benne a könyvekben, vagy lehet, hogy csak rossz könyvekben néztem. Végül, mint sok mindent, amit ma tudok és meg tudok csinálni, magam találtam ki. Itt osztom meg a tudásomat. Egyébként még mindig nem tudom, hol van az algoritmus indoklása)))

Tehát először egy példával elmondom, „hogyan működik a rendszer”, majd elmagyarázom, hogy valójában miért működik.

Vegyünk egy számot (a szám "levegőből" lett szedve, csak eszembe jutott).

1. Számait párokra osztjuk: a tizedesvesszőtől balra lévőket jobbról balra, a jobb oldaliakat pedig balról jobbra kettőt csoportosítjuk. Kapunk.

2. A bal oldali első számcsoportból kivonjuk a négyzetgyököt - esetünkben ez (jól látható, hogy a pontos gyöket nem lehet kivonni, olyan számot veszünk, amelynek négyzete a lehető legközelebb van a számok első csoportja, de nem haladja meg azt). A mi esetünkben ez egy szám lesz. Felírjuk a választ - ez a gyökér legjelentősebb számjegye.

3. A válaszban már szereplő számot - ezt - négyzetre emeljük, és a bal oldali első számcsoportból kivonjuk a számból. A mi esetünkben ez marad.

4. A következő két számból álló csoportot rendeljük jobbra: . A válaszban már szereplő számot megszorozzuk -vel, és megkapjuk.

5. Most figyeljen alaposan. A jobb oldali számhoz egy számjegyet kell rendelnünk, és a számot meg kell szoroznunk, azaz ugyanazzal a hozzárendelt számjegygel. Az eredménynek a lehető legközelebb kell lennie ehhez a számhoz, de ismételten nem több. Esetünkben ez lesz a szám, ezt írjuk a válaszba mellé, jobbra. Ez a következő számjegy a négyzetgyök tizedes jelölésében.

6. A szorzat kivonásából kapjuk.

7. Ezután megismételjük az ismert műveleteket: a kapott számhoz a következő számjegycsoportot rendeljük jobb oldalra, szorozzuk meg -val > jobbra egy számjegyet rendelünk úgy, hogy ezzel megszorozva egy kisebb, de legközelebbi számot kapunk hozzá - ez a következő számjegy a tizedesgyök jelölésben.

A számításokat a következőképpen írjuk le:

És most a beígért magyarázat. Az algoritmus a képletre épül

Megjegyzések: 51

1. 2 Anton:

   Túl kaotikus és zavaros. Rendezd el mindent pontról pontra, és számozd meg! Plusz: magyarázza el, hol helyettesítjük a szükséges értékeket az egyes műveletekben. Soha nem számoltam még gyökérgyököt; nehezen tudtam kitalálni.

2. 5 Júlia:

3. 6 :

   A Julia, 23 jelenleg a jobb oldalon van írva, ez a válaszban már kapott gyökér első két (bal oldali) számjegye. Szorozzuk meg 2-vel az algoritmus szerint. A 4. pontban leírt lépéseket megismételjük.

4. 7 zzz:

   hiba a „6. 167-ből kivonjuk a 43 * 3 = 123 (129 nada) szorzatot, 38-at kapunk.
   Nem értem, hogy lett 08 a tizedesvessző után...

5. 9 Fedotov Sándor:

   És még a számológép előtti korszakban is nemcsak négyzetgyököt tanítottak nekünk, hanem oszlopban a kockagyököt is, de ez fárasztóbb és fáradságosabb munka volt. Könnyebb volt a Bradis táblázatok vagy a diaszabályozás használata, amit már középiskolában tanultunk.

6. 10 :

   Sándor, igazad van, nagy hatalmak gyökereit bonthatod ki egy oszlopba. Csak arról fogok írni, hogyan lehet megtalálni a kocka gyökerét.

7. 12 Szergej Valentinovics:

   Kedves Elizaveta Alexandrovna! A 70-es évek végén kidolgoztam egy sémát a kvadrák automatikus (azaz nem szelekciós) kiszámítására. root a Felix hozzáadógépen. Ha érdekel küldök leírást.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((Az oszlop négyzetgyökének kivonása)))
   Az algoritmus leegyszerűsödik, ha a számítástechnikában tanult, de a matematikában is hasznos 2. számrendszert használjuk. A.N. Kolmogorov ezt az algoritmust az iskolásoknak tartott népszerű előadásokban mutatta be. Cikke megtalálható a „Csebisev-gyűjteményben” (Mathematical Journal, keressen rá hivatkozást az interneten)
   Mellesleg mondd:
   G. Leibniz valamikor eljátszott a gondolattal, hogy a 10-es számrendszerről a kettes számrendszerre térjen át annak egyszerűsége és a kezdők (általános iskolások) számára is elérhetősége miatt. De a kialakult hagyományokat megtörni olyan, mint homlokkal törni az erődkaput: lehetséges, de haszontalan. Kiderült tehát, ahogy a régi idők legtöbbet idézett szakállas filozófusa szerint: minden halott nemzedék hagyománya elnyomja az élők tudatát.

   A következő alkalomig.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   ))Sergej Valentinovics, igen, érdekel...((

   Fogadok, hogy ez a négyzetlovag kinyerésének babilóniai módszerének „Felix”-jének egy variációja az egymást követő közelítések módszerével. Ezt az algoritmust a Newton-módszer (tangens módszer) fedte le.

   Vajon tévedtem-e az előrejelzésemben?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Igen, a bináris algoritmusnak egyszerűbbnek kell lennie, ez elég nyilvánvaló.

    Newton módszeréről. Talán ez igaz, de akkor is érdekes

11. 20 Kirill:

    Nagyon köszönöm. De még mindig nincs algoritmus, senki sem tudja, honnan jött, de az eredmény helyes. NAGYON KÖSZÖNÖM! Már régóta keresem ezt)

12. 21 Sándor:

    Hogyan lehet kivonni a gyökeret egy olyan számból, ahol a második csoport balról jobbra nagyon kicsi? például mindenkinek a kedvenc száma a 4 398 046 511 104. Az első kivonás után nem lehet mindent az algoritmus szerint folytatni. Elmagyaráznád kérlek.

13. 22 Alekszej:

    Igen, ismerem ezt a módszert. Emlékszem, hogy valami régi kiadású „Algebra” című könyvében olvastam. Aztán hasonlatosan ő maga vezette le, hogyan lehet oszlopban kivonni a kockagyököt. De ott már bonyolultabb: minden számjegyet nem egy (mint egy négyzetnél), hanem két kivonás határozza meg, és ott is minden alkalommal meg kell szorozni a hosszú számokat.

14. 23 Artem:

    Az 56789.321 négyzetgyökének kinyerésének példájában elírási hibák vannak. A 32-es számcsoportot kétszer a 145-ös és a 243-as számokhoz rendeljük, a 2388025-ös számban a második 8-at 3-ra kell cserélni. Ezután az utolsó kivonást a következőképpen kell írni: 2431000 – 2383025 = 47975.
    Ezen túlmenően, ha a maradékot elosztjuk a válasz megduplázott értékével (a vessző figyelembe vétele nélkül), további jelentős számjegyet kapunk (47975/(2*238305) = 0,100658819...), amelyet hozzá kell adni a válasz (√56789.321 = 238.305... = 238.305100659).

15. 24 Szergej:

    Az algoritmus nyilvánvalóan Isaac Newton „Általános aritmetika vagy egy aritmetikai szintézisről és elemzésről szóló könyv” című könyvéből származik. Íme egy részlet belőle:

    A GYÖKEREK KIVONÁSÁRÓL

    Egy szám négyzetgyökének kinyeréséhez először egy pontot kell elhelyezni a számjegyei fölé, a számjegyektől kezdve. Ezután írja be a hányadosba vagy gyökbe azt a számot, amelynek négyzete egyenlő az első pontot megelőző számokkal vagy számokkal, vagy a legközelebb van azokhoz. Ennek a négyzetnek a kivonása után a gyökér fennmaradó számjegyeit szekvenciálisan megtaláljuk úgy, hogy a maradékot elosztjuk a gyök már kivont részének kétszeresével, és minden alkalommal kivonjuk a négyzet maradékából az utolsó talált számjegyet és annak tízszeres szorzatát a nevezett osztó.

16. 25 Szergej:

    Kérjük, javítsa ki a könyv címét is: „Általános aritmetika vagy könyv az aritmetikai szintézisről és elemzésről”

17. 26 Sándor:

    Köszönöm az érdekes anyagot. De ez a módszer számomra valamivel bonyolultabbnak tűnik, mint ami például egy iskolás számára szükséges. Egy egyszerűbb módszert használok, amely egy másodfokú függvény kibontásán alapul az első két derivált használatával. A képlete a következő:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, ahol
    A1 az az egész szám, amelynek négyzete a legközelebb van x-hez;
    A2 tört, számlálója x-A1, nevezője 2*A1.
    Az iskolai kurzus során talált legtöbb szám esetében ez elég ahhoz, hogy az eredmény századra legyen pontos.
    Ha pontosabb eredményre van szüksége, vegye fel
    Az A3 tört, a számláló A2 négyzet, a nevező 2*A1+1.
    Természetesen a használatához szükség van egy egész számok négyzeteinek táblázatára, de ez nem jelent problémát az iskolában. Megjegyezni ezt a képletet nagyon egyszerű.
    Azonban zavar, hogy az A3-at tapasztalati úton, táblázatos kísérletek eredményeként kaptam meg, és nem egészen értem, hogy ennek a tagnak miért van ilyen megjelenése. Esetleg tudtok tanácsot adni?

18. 27 Sándor:

    Igen, én is mérlegeltem ezeket a szempontokat, de az ördög a részletekben rejlik. Írsz:
    "mivel a2 és b elég kevéssé különbözik." A kérdés az, hogy pontosan milyen kevés.
    Ez a képlet jól működik a második tízben lévő számokon, és sokkal rosszabbul (nem századig, csak tizedig) az első tízben. Hogy ez miért történik, nehéz megérteni származékok használata nélkül.

19. 28 Sándor:

    Tisztázom, mit látok az általam javasolt képlet előnyének. Nem szükséges a számok nem teljesen természetes felosztása számpárokra, ami a tapasztalatok szerint gyakran hibásan történik. Jelentése nyilvánvaló, de az elemzésben jártas ember számára triviális. Jól működik 100 és 1000 közötti számokon, amelyek a leggyakoribb számok az iskolában.

20. 29 Sándor:

    Egyébként ástam egy kicsit, és megtaláltam az A3 pontos kifejezését a képletemben:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    Korunkban, a számítástechnika elterjedt alkalmazása mellett gyakorlati szempontból nem éri meg a négyzetlovag számból való kiemelésének kérdése. De a matematika szerelmesei számára a probléma megoldásának különféle lehetőségei kétségtelenül érdekesek lesznek. Az iskolai tantervben ennek a további források felhasználása nélküli számításának a szorzással és hosszú osztással egyenrangúnak kell lennie. A számítási algoritmust nemcsak megjegyezni kell, hanem érthető is. Az ebben az anyagban bemutatott klasszikus módszer a lényeg feltárásával teljes mértékben megfelel a fenti kritériumoknak.
    Az Alexander által javasolt módszer jelentős hátránya az egész számok négyzeteinek táblázatának használata. A szerző hallgat az iskolai tanfolyam során előforduló számok többségéről. Ami a képletet illeti, a számítás viszonylag nagy pontossága miatt általában tetszik.

22. 31 Sándor:

    30 vasil stryzhakért
    Nem hallgattam el semmit. A négyzettáblázatnak 1000-ig kell lennie. Az én iskolás koromban egyszerűen fejből tanulták, és minden matematika tankönyvben benne volt. Ezt az intervallumot kifejezetten elneveztem.
    Ami a számítástechnikát illeti, nem elsősorban matematika órákon használják, kivéve, ha a számológép használatának témája külön esik szóba. A számológépek már be vannak építve olyan eszközökbe, amelyek használata tilos az egységes államvizsgán.

23. 32 vasil stryzhak:

    Sándor, köszönöm a felvilágosítást!Azt hittem, hogy a javasolt módszerhez elméletileg szükséges megjegyezni vagy használni az összes kétjegyű szám négyzettáblázatát. Aztán a 100-tól 10000-ig terjedő intervallumban nem szereplő gyökszámok esetén használja azt a technikát, hogy a tizedesvessző mozgatásával növelje vagy csökkentse azokat a szükséges nagyságrendekkel.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 ALEXANDER:

    AZ ELSŐ IAMB NYELVI PROGRAMOM AZ „ISKRA 555” SZOVJÁT GÉPEN AZÉRT ÍRT, HOGY EGY SZÁM NEGYEDGYÖKÉT KIVONJA AZ OSZLOPKINYÚJTÁSI ALGORITMUS HASZNÁLATÁVAL! és most elfelejtettem, hogyan kell manuálisan kicsomagolni!