यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म - सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूँढना। यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके जीसीडी ढूँढना और यूक्लिडियन विधि का उपयोग करके अभाज्य गुणनखंडन वर्गमूल का उपयोग करना

यूक्लिड का एल्गोरिदमपूर्णांकों की एक जोड़ी का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) खोजने के लिए एक एल्गोरिदम है।

महानतम सामान्य भाजक (जीसीडी)वह संख्या है जो दो संख्याओं को बिना किसी शेषफल के विभाजित करती है और स्वयं दी गई दो संख्याओं के किसी भी अन्य भाजक से बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती है। सीधे शब्दों में कहें तो, यह सबसे बड़ी संख्या है जिससे दो संख्याएँ जिनके लिए जीसीडी मांगी जा रही है, को बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जा सकता है।

विभाजन द्वारा जीसीडी खोजने के लिए एल्गोरिदम

1. बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करें.
2. यदि इसे बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है, तो छोटी संख्या जीसीडी है (आपको चक्र से बाहर निकल जाना चाहिए)।
3. यदि कोई शेष बचता है, तो बड़ी संख्या को भाग के शेष भाग से बदल दें।
4. चलिए बिंदु 1 पर चलते हैं।

उदाहरण:
30 और 18 के लिए जीसीडी खोजें।
30/18 = 1 (शेष 12)
18/12 = 1 (शेष 6)
12/6 = 2 (शेष 0)
अंत: जीसीडी 6 का भाजक है।
जीसीडी(30, 18) = 6

a = 50 b = 130 जबकि a != 0 और b != 0 : यदि a > b: a = a % b अन्यथा : b = b % a प्रिंट (a + b)

लूप में, विभाजन का शेष भाग वेरिएबल ए या बी में लिखा जाता है। लूप तब समाप्त होता है जब कम से कम एक चर शून्य हो। इसका मतलब यह है कि दूसरे में एक gcd है। हालाँकि, हम नहीं जानते कि वास्तव में कौन सा है। इसलिए, जीसीडी के लिए हम इन चरों का योग ज्ञात करते हैं। चूँकि एक चर शून्य है, इसका परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

घटाव द्वारा जीसीडी खोजने के लिए एल्गोरिदम

1. बड़ी संख्या में से छोटी संख्या घटाएँ।
2. यदि परिणाम 0 है, तो इसका मतलब है कि संख्याएँ एक दूसरे के बराबर हैं और जीसीडी हैं (आपको लूप से बाहर निकलना चाहिए)।
3. यदि घटाव का परिणाम 0 के बराबर नहीं है, तो बड़ी संख्या को घटाव के परिणाम से बदलें।
4. चलिए बिंदु 1 पर चलते हैं।

उदाहरण:
30 और 18 के लिए जीसीडी खोजें।
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
अंत: जीसीडी एक मीनूएंड या सबट्रेंड है।
जीसीडी(30, 18) = 6

ए = 50 बी = 130 जबकि ए != बी: यदि ए > बी: ए = ए - बी अन्यथा: बी = बी - एक प्रिंट (ए)

यह आलेख निम्न से संबंधित है सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) ढूँढनादो या दो से अधिक संख्याएँ. सबसे पहले, आइए यूक्लिड एल्गोरिथ्म को देखें; यह आपको दो संख्याओं की जीसीडी खोजने की अनुमति देता है। इसके बाद, हम एक ऐसी विधि पर ध्यान केंद्रित करेंगे जो हमें संख्याओं की जीसीडी को उनके सामान्य अभाज्य कारकों के उत्पाद के रूप में गणना करने की अनुमति देती है। इसके बाद, हम तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने पर विचार करेंगे, और ऋणात्मक संख्याओं की जीसीडी की गणना के उदाहरण भी देंगे।

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जीसीडी खोजने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम

ध्यान दें कि यदि हमने शुरू से ही अभाज्य संख्याओं की तालिका देखी होती, तो हमें पता चलता कि संख्याएँ 661 और 113 अभाज्य संख्याएँ हैं, जिससे हम तुरंत कह सकते हैं कि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है।

उत्तर:

जीसीडी(661, 113)=1।

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके जीसीडी ज्ञात करना

आइए जीसीडी खोजने के दूसरे तरीके पर विचार करें। सबसे बड़ा सामान्य भाजक संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके पाया जा सकता है। आइए एक नियम बनाएं: दो धनात्मक पूर्णांक a और b की gcd संख्याओं a और b के अभाज्य गुणनखंडों में पाए जाने वाले सभी सामान्य अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के बराबर है।.

आइए जीसीडी खोजने के नियम को समझाने के लिए एक उदाहरण दें। आइए जानते हैं संख्या 220 और 600 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने पर इनका रूप 220=2·2·5·11 और 600=2·2·2·3·5·5 होता है। संख्या 220 और 600 के गुणनखंडन में शामिल सामान्य अभाज्य गुणनखंड 2, 2 और 5 हैं। इसलिए, GCD(220, 600)=2·2·5=20।

इस प्रकार, यदि हम संख्याओं ए और बी को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते हैं और उनके सभी सामान्य कारकों का गुणनफल निकालते हैं, तो इससे संख्याओं ए और बी का सबसे बड़ा सामान्य भाजक मिलेगा।

आइए बताए गए नियम के अनुसार जीसीडी खोजने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

संख्या 72 और 96 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

आइए संख्याओं 72 और 96 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करें:

यानी 72=2·2·2·3·3 और 96=2·2·2·2·2·3. सामान्य अभाज्य गुणनखंड 2, 2, 2 और 3 हैं। इस प्रकार, GCD(72, 96)=2·2·2·3=24।

उत्तर:

जीसीडी(72,96)=24।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि जीसीडी खोजने के लिए उपरोक्त नियम की वैधता सबसे बड़े सामान्य भाजक की संपत्ति से होती है, जो बताती है कि जीसीडी(एम ए 1 , एम बी 1)=एम जीसीडी(ए 1 , बी 1), जहाँ m कोई धनात्मक पूर्णांक है।

तीन या अधिक संख्याओं की gcd ज्ञात करना

तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूँढना क्रमिक रूप से दो संख्याओं की जीसीडी खोजने तक कम किया जा सकता है। जीसीडी के गुणों का अध्ययन करते समय हमने इसका उल्लेख किया था। वहां हमने प्रमेय तैयार किया और सिद्ध किया: कई संख्याओं a 1, a 2, ..., a k का सबसे बड़ा सामान्य भाजक संख्या d k के बराबर है, जो क्रमिक रूप से GCD(a 1, a 2)=d 2 की गणना करके पाया जाता है। , GCD(d 2, a 3) =d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4,..., GCD(d k-1, a k)=d k.

आइए उदाहरण के समाधान को देखकर देखें कि कई संख्याओं की जीसीडी खोजने की प्रक्रिया कैसी दिखती है।

उदाहरण।

चार संख्याओं 78, 294, 570 और 36 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इस उदाहरण में, ए 1 =78, ए 2 =294, ए 3 =570, ए 4 =36।

सबसे पहले, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके, हम पहले दो संख्याओं 78 और 294 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक d 2 निर्धारित करते हैं। विभाजित करने पर, हमें समानताएँ 294 = 78 3 + 60 प्राप्त होती हैं; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 और 18=6·3. इस प्रकार, d 2 =GCD(78, 294)=6.

अब हिसाब लगाते हैं डी 3 =जीसीडी(डी 2, ए 3)=जीसीडी(6, 570). आइए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को फिर से लागू करें: 570=6·95, इसलिए, डी 3 = जीसीडी(6, 570)=6।

अभी हिसाब लगाना बाकी है डी 4 =जीसीडी(डी 3, ए 4)=जीसीडी(6, 36). चूँकि 36, 6 से विभाज्य है, तो d 4 = GCD(6, 36) = 6.

इस प्रकार, दी गई चार संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक d 4 = 6 है, अर्थात, gcd(78, 294, 570, 36)=6।

उत्तर:

जीसीडी(78, 294, 570, 36)=6।

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने से आप तीन या अधिक संख्याओं की जीसीडी की गणना भी कर सकते हैं। इस मामले में, सबसे बड़ा सामान्य भाजक दी गई संख्याओं के सभी सामान्य अभाज्य कारकों के उत्पाद के रूप में पाया जाता है।

उदाहरण।

पिछले उदाहरण से संख्याओं की जीसीडी की गणना उनके अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके करें।

समाधान।

आइए संख्याओं 78, 294, 570 और 36 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करें, हमें 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 प्राप्त होता है ·3·3. इन सभी चार संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंड संख्या 2 और 3 हैं। इस तरह, जीसीडी(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

अपने पहले संस्करण, "इन द किंगडम ऑफ इनजेनुइटी" (1908) की प्रस्तावना में, ई. आई. इग्नाटिव लिखते हैं: "...बौद्धिक पहल, त्वरित बुद्धि और "सरलता" को किसी के दिमाग में "ढोया" या "डाला" नहीं जा सकता है। परिणाम तभी विश्वसनीय होते हैं जब गणितीय ज्ञान के क्षेत्र का परिचय आसान और सुखद तरीके से किया जाता है, सामान्य और रोजमर्रा की स्थितियों से वस्तुओं और उदाहरणों का उपयोग करके, उचित बुद्धि और मनोरंजन के साथ चुना जाता है।

1911 संस्करण "गणित में स्मृति की भूमिका" की प्रस्तावना में ई.आई. इग्नाटिव लिखते हैं, "...गणित में सूत्रों को याद नहीं रखना चाहिए, बल्कि सोचने की प्रक्रिया को याद रखना चाहिए।"

वर्गमूल निकालने के लिए, दो अंकों की संख्याओं के लिए वर्गों की तालिकाएँ हैं; आप संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित कर सकते हैं और उत्पाद का वर्गमूल निकाल सकते हैं। वर्गों की एक तालिका कभी-कभी पर्याप्त नहीं होती है; गुणनखंड द्वारा मूल निकालना एक समय लेने वाला कार्य है, जिससे हमेशा वांछित परिणाम भी नहीं मिलता है। 209764 का वर्गमूल निकालने का प्रयास करें? अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करने पर उत्पाद 2*2*52441 प्राप्त होता है। परीक्षण और त्रुटि द्वारा, चयन - यह, निश्चित रूप से, किया जा सकता है यदि आप सुनिश्चित हैं कि यह एक पूर्णांक है। मैं जो विधि प्रस्तावित करना चाहता हूं वह आपको किसी भी स्थिति में वर्गमूल निकालने की अनुमति देती है।

एक बार संस्थान (पर्म स्टेट पेडागोगिकल इंस्टीट्यूट) में हमें इस पद्धति से परिचित कराया गया था, जिसके बारे में अब मैं बात करना चाहता हूं। मैंने कभी नहीं सोचा कि इस पद्धति का कोई प्रमाण है या नहीं, इसलिए अब मुझे स्वयं ही कुछ प्रमाण निकालना पड़ा।

इस विधि का आधार संख्या का संघटन है =.

=&, यानी और 2 =596334.

1. संख्या (5963364) को दाएं से बाएं जोड़े में विभाजित करें (5`96`33`64)

2. बाईं ओर के पहले समूह का वर्गमूल निकालें (-संख्या 2)। इस प्रकार हमें & का पहला अंक प्राप्त होता है।

3. पहले अंक (2 2 =4) का वर्ग ज्ञात करें।

4. पहले समूह और पहले अंक के वर्ग (5-4=1) के बीच अंतर ज्ञात करें।

5. हम अगले दो अंक हटा देते हैं (हमें संख्या 196 मिलती है)।

6. हमें मिले पहले अंक को दोगुना करें और इसे बाईं ओर पंक्ति (2*2=4) के पीछे लिखें।

7. अब हमें संख्या का दूसरा अंक ढूंढना होगा और: जो पहला अंक हमें मिला उसे दोगुना करने पर वह संख्या का दहाई अंक बन जाता है, जिसे इकाइयों की संख्या से गुणा करने पर आपको 196 से कम संख्या प्राप्त करनी होगी (यह है) संख्या 4, 44*4=176). 4 & का दूसरा अंक है.

8. अंतर ज्ञात कीजिए (196-176=20)।

9. हम अगले समूह को ध्वस्त करते हैं (हमें संख्या 2033 मिलती है)।

10. संख्या 24 को दोगुना करने पर हमें 48 प्राप्त होता है।

एक संख्या में 11.48 दहाई हैं, इकाई की संख्या से गुणा करने पर हमें 2033 (484*4=1936) से कम संख्या प्राप्त होनी चाहिए। हमें जो इकाई का अंक मिला (4) वह संख्या & का तीसरा अंक है।

मैंने निम्नलिखित मामलों के लिए प्रमाण दिया है:

1. तीन अंकों की संख्या का वर्गमूल निकालना;

2. चार अंकों की संख्या का वर्गमूल निकालना।

वर्गमूल निकालने की अनुमानित विधियाँ (कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना)।

1. प्राचीन बेबीलोनवासी अपनी संख्या x के वर्गमूल का अनुमानित मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित विधि का उपयोग करते थे। उन्होंने संख्या x को a 2 + b के योग के रूप में दर्शाया, जहां a 2 प्राकृतिक संख्या a (a 2 ? x) का सटीक वर्ग है जो संख्या x के सबसे करीब है, और सूत्र का उपयोग किया . (1)

सूत्र (1) का उपयोग करके, हम वर्गमूल निकालते हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 28 से:

एमके का उपयोग करके 28 की जड़ निकालने का परिणाम 5.2915026 है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, बेबीलोनियन विधि जड़ के सटीक मूल्य का एक अच्छा अनुमान देती है।

2. आइजैक न्यूटन ने वर्गमूल निकालने की एक विधि विकसित की जो अलेक्जेंड्रिया के हेरोन (लगभग 100 ईस्वी) के समय की है। यह विधि (न्यूटन की विधि के नाम से जानी जाती है) इस प्रकार है।

होने देना एक 1- किसी संख्या का पहला सन्निकटन (1 के रूप में आप किसी प्राकृतिक संख्या के वर्गमूल का मान ले सकते हैं - एक सटीक वर्ग जो इससे अधिक न हो) एक्स) ।

अगला, अधिक सटीक अनुमान एक 2नंबर सूत्र द्वारा पाया गया .

प्राचीन काल से, संख्याओं के साथ काम को दो अलग-अलग क्षेत्रों में विभाजित किया गया है: एक सीधे संख्याओं के गुणों से संबंधित था, दूसरा गिनती तकनीकों से जुड़ा था। कई देशों में "अंकगणित" से आमतौर पर इस बाद वाले क्षेत्र का मतलब होता है, जो निस्संदेह गणित की सबसे पुरानी शाखा है।

जाहिर है, प्राचीन कैलकुलेटरों के लिए सबसे बड़ी कठिनाई भिन्नों के साथ काम करना था। इसे अहम्स पेपिरस (जिसे रिंड पेपिरस भी कहा जाता है) से देखा जा सकता है, जो लगभग 1650 ईसा पूर्व की गणित पर मिस्र की एक प्राचीन कृति है। 2/3 को छोड़कर, पपीरस में उल्लिखित सभी अंशों के अंश 1 के बराबर हैं। प्राचीन बेबीलोनियन क्यूनिफॉर्म गोलियों का अध्ययन करते समय अंशों को संभालने की कठिनाई भी ध्यान देने योग्य है। प्राचीन मिस्रवासी और बेबीलोनियाई दोनों स्पष्ट रूप से अबेकस के किसी न किसी रूप का उपयोग करके गणना करते थे। संख्याओं के विज्ञान को 530 ईसा पूर्व के आसपास पाइथागोरस से शुरू करके प्राचीन यूनानियों के बीच महत्वपूर्ण विकास प्राप्त हुआ। जहां तक ​​गणना की तकनीक का प्रश्न है, यूनानियों द्वारा इस क्षेत्र में बहुत कम काम किया गया था।

इसके विपरीत, बाद के रोमनों ने संख्याओं के विज्ञान में वस्तुतः कोई योगदान नहीं दिया, लेकिन तेजी से विकसित हो रहे उत्पादन और व्यापार की जरूरतों के आधार पर, उन्होंने गिनती के उपकरण के रूप में अबेकस में सुधार किया। भारतीय अंकगणित की उत्पत्ति के बारे में बहुत कम जानकारी है। संख्या संचालन के सिद्धांत और व्यवहार पर कुछ ही बाद के कार्य हमारे पास आए हैं, जो भारतीय स्थिति प्रणाली में शून्य को शामिल करके सुधार किए जाने के बाद लिखे गए थे। यह वास्तव में कब हुआ, हम निश्चित रूप से नहीं जानते, लेकिन यह तब था जब हमारे सबसे सामान्य अंकगणितीय एल्गोरिदम की नींव रखी गई थी।

भारतीय संख्या प्रणाली और पहला अंकगणितीय एल्गोरिदम अरबों द्वारा उधार लिया गया था। सबसे पुरानी अरबी अंकगणित पाठ्यपुस्तक अल-ख्वारिज्मी द्वारा 825 के आसपास लिखी गई थी। यह भारतीय अंकों का व्यापक उपयोग और व्याख्या करती है। इस पाठ्यपुस्तक का बाद में लैटिन में अनुवाद किया गया और इसका पश्चिमी यूरोप पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ा। अल-ख्वारिज्मी नाम का एक विकृत संस्करण "एल्गोरिज्म" शब्द के रूप में हमारे सामने आया है, जिसे आगे ग्रीक शब्द के साथ मिलाया गया है। अतालता"एल्गोरिदम" शब्द बन गया।

इंडो-अरबी अंकगणित पश्चिमी यूरोप में मुख्य रूप से एल. फिबोनाची के काम के कारण जाना गया अबेकस की किताब (लिबर अबासी, 1202). एबासिस्ट पद्धति ने हमारी स्थितीय प्रणाली के उपयोग के समान सरलीकरण की पेशकश की, कम से कम जोड़ और गुणा के लिए। अबासिस्टों को एल्गोरिदम द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो शून्य और विभाजन और वर्गमूल निष्कर्षण की अरबी पद्धति का उपयोग करते थे। पहली अंकगणित पाठ्यपुस्तकों में से एक, जिसके लेखक हमारे लिए अज्ञात हैं, 1478 में ट्रेविसो (इटली) में प्रकाशित हुई थी। यह व्यापार लेनदेन करते समय गणनाओं से निपटती थी। यह पाठ्यपुस्तक बाद में सामने आई कई अंकगणितीय पाठ्यपुस्तकों की पूर्ववर्ती बन गई। 17वीं शताब्दी की शुरुआत तक। ऐसी तीन सौ से अधिक पाठ्यपुस्तकें यूरोप में प्रकाशित हुईं। इस दौरान अंकगणित एल्गोरिदम में काफी सुधार हुआ है। 16वीं-17वीं शताब्दी में। अंकगणितीय संक्रियाओं के लिए प्रतीक दिखाई दिए, जैसे =, +, -, ґ, ё और।

अंकगणितीय गणनाओं का मशीनीकरण।

जैसे-जैसे समाज विकसित हुआ, वैसे-वैसे तेज़ और अधिक सटीक गणनाओं की आवश्यकता भी बढ़ी। इस आवश्यकता ने चार उल्लेखनीय आविष्कारों को जन्म दिया: इंडो-अरबी अंक, दशमलव, लघुगणक और आधुनिक कंप्यूटिंग मशीनें।

वास्तव में, आधुनिक अंकगणित के आगमन से पहले सबसे सरल गणना उपकरण मौजूद थे, क्योंकि प्राचीन काल में प्राथमिक अंकगणितीय संचालन अबेकस पर किए जाते थे (रूस में, अबेकस का उपयोग इस उद्देश्य के लिए किया जाता था)। सबसे सरल आधुनिक कंप्यूटिंग डिवाइस को एक स्लाइड नियम माना जा सकता है, जिसमें दो लॉगरिदमिक स्केल होते हैं जो एक दूसरे के साथ स्लाइड करते हैं, जो स्केल के खंडों को जोड़कर और घटाकर गुणा और विभाजन की अनुमति देता है। बी. पास्कल (1642) को पहली यांत्रिक जोड़ने वाली मशीन का आविष्कारक माना जाता है। बाद में उसी शताब्दी में, जर्मनी में जी. लीबनिज़ (1671) और इंग्लैंड में एस. मोरलैंड (1673) ने गुणन करने के लिए मशीनों का आविष्कार किया। ये मशीनें 20वीं सदी के डेस्कटॉप कंप्यूटिंग उपकरणों (अरिथमोमीटर) की पूर्ववर्ती बन गईं, जिससे जोड़, घटाव, गुणा और भाग कार्यों को जल्दी और सटीक रूप से निष्पादित करना संभव हो गया।

1812 में, अंग्रेजी गणितज्ञ सी. बैबेज ने गणितीय तालिकाओं की गणना के लिए एक मशीन का डिज़ाइन बनाना शुरू किया। हालाँकि इस परियोजना पर कई वर्षों तक काम चलता रहा, लेकिन यह अधूरा रह गया। फिर भी, बैबेज की परियोजना ने आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों के निर्माण के लिए एक प्रोत्साहन के रूप में काम किया, जिसका पहला उदाहरण 1944 के आसपास सामने आया। इन मशीनों की गति अद्भुत थी: उनकी मदद से, मिनटों या घंटों में उन समस्याओं को हल करना संभव था जिनकी पहले आवश्यकता थी कई वर्षों तक लगातार गणनाएँ, यहाँ तक कि मशीनों को जोड़कर भी।

सकारात्मक पूर्णांक।

होने देना एऔर बीदो परिमित समुच्चय हैं जिनमें कोई उभयनिष्ठ तत्व नहीं है, और चलो एरोकना एनतत्व, और बीरोकना एमतत्व. फिर बहुत सारे एस, जिसमें सेट के सभी तत्व शामिल हैं एऔर बी, एक साथ लिया गया, एक परिमित सेट है, जिसमें कहा गया है, एसतत्व. उदाहरण के लिए, यदि एतत्वों से मिलकर बनता है ( ए, बी, सी), गुच्छा में– तत्वों से ( एक्स, य), फिर सेट एस=ए+बीऔर इसमें तत्व शामिल हैं ( ए, बी, सी, एक्स, य). संख्या एसबुलाया मात्रानंबर एनऔर एम, और हम इसे इस तरह लिखते हैं: एस = एन + एम. इस प्रविष्टि में संख्याएँ एनऔर एमकहा जाता है शर्तें, योग ज्ञात करने की क्रिया - जोड़ना. ऑपरेशन चिन्ह "+" को "प्लस" के रूप में पढ़ा जाता है। गुच्छा पी, जिसमें सभी क्रमित जोड़े शामिल हैं जिनमें सेट से पहला तत्व चुना गया है ए, और दूसरा सेट से है बी, एक परिमित समुच्चय है जिसमें, मान लीजिए, पीतत्व. उदाहरण के लिए, यदि, पहले की तरह, ए = {ए, बी, सी}, बी = {एक्स, य), वह पी=एґबी = {(ए,एक्स), (ए,य), (बी,एक्स), (बी,य), (सी,एक्स), (सी,य)). संख्या पीबुलाया कामनंबर एऔर बी, और हम इसे इस तरह लिखते हैं: पी = एґबीया पी = ए×बी. नंबर एऔर बीजिस काम में उन्हें बुलाया जाता है मल्टीप्लायरों, उत्पाद खोजने का संचालन - गुणा. ऑपरेशन प्रतीक ґ को "गुणा" के रूप में पढ़ा जाता है।

यह दिखाया जा सकता है कि इन परिभाषाओं से पूर्णांकों के योग और गुणन के निम्नलिखित मौलिक नियम अनुसरण करते हैं:

– क्रमविनिमेय जोड़ का नियम: ए + बी = बी + ए;

– साहचर्य जोड़ का नियम: ए + (बी + सी) = (ए + बी) + सी;

– क्रमविनिमेय गुणन का नियम: एґबी = बीґए;

– गुणन की साहचर्यता का नियम: एґ(बीґसी) = (एґबी)ґसी;

– वितरण का नियम: एґ(बी + सी)= (एґबी) + (एґसी).

अगर एऔर बी– दो धनात्मक पूर्णांक और यदि कोई धनात्मक पूर्णांक है सी, ऐसा है कि ए = बी + सी, तो हम ऐसा कहते हैं एअधिक बी(यह इस प्रकार लिखा गया है: ए>बी), या क्या बीकम ए(यह इस प्रकार लिखा गया है: बी)। किन्हीं दो संख्याओं के लिए एऔर बीतीन रिश्तों में से एक संबंध रखता है: या तो ए = बी, या ए>बी, या एक।

पहले दो मौलिक कानून कहते हैं कि दो या दो से अधिक पदों का योग इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि उन्हें कैसे समूहीकृत किया गया है या उन्हें किस क्रम में व्यवस्थित किया गया है। इसी प्रकार, तीसरे और चौथे नियम से यह पता चलता है कि दो या दो से अधिक कारकों का उत्पाद इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि कारकों को कैसे समूहीकृत किया गया है या उनका क्रम क्या है। इन तथ्यों को जोड़ और गुणन के "क्रमपरिवर्तन और साहचर्य के सामान्यीकृत नियम" के रूप में जाना जाता है। उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि कई पदों का योग या कई कारकों का गुणनफल लिखते समय, पदों और कारकों का क्रम महत्वहीन होता है और कोष्ठक को छोड़ा जा सकता है।

विशेष रूप से, बार-बार की गई राशि ए + ए + ... + एसे एनपद बराबर है एनґए. बार-बार किया गया कार्य एґएґ ... ґएसे एनहम कारकों को निरूपित करने पर सहमत हुए एक; संख्या एबुलाया आधार, और संख्या एन – दोहराएँ उत्पाद सूचक, बार-बार किया गया कार्य ही - nवीं शक्तिनंबर ए. ये परिभाषाएँ हमें प्रतिपादकों के लिए निम्नलिखित मौलिक कानून स्थापित करने की अनुमति देती हैं:

परिभाषाओं का एक अन्य महत्वपूर्ण परिणाम: एґ1 = एकिसी भी पूर्णांक के लिए ए, और 1 एकमात्र पूर्णांक है जिसमें यह गुण है। नंबर 1 को कहा जाता है इकाई.

पूर्णांकों के भाजक.

अगर ए, बी, सी– पूर्णांक और एґबी = सी, वह एऔर बीकिसी संख्या के विभाजक हैं सी. क्योंकि एґ1 = एकिसी भी पूर्णांक के लिए ए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 1 किसी पूर्णांक का भाजक है और कोई भी पूर्णांक स्वयं का भाजक है। कोई भी पूर्णांक भाजक ए, 1 या से भिन्न ए, नाम मिल गया उचित भाजकनंबर ए.

1 के अलावा कोई भी पूर्णांक जिसका अपना भाजक न हो, कहलाता है प्रधान संख्या. (अभाज्य संख्या का एक उदाहरण संख्या 7 है।) एक पूर्ण संख्या जिसके अपने भाजक होते हैं, कहलाती है समग्र संख्या. (उदाहरण के लिए, संख्या 6 भाज्य है, क्योंकि 2, 6 को विभाजित करता है।) ऊपर से यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी पूर्णांकों का समुच्चय तीन वर्गों में विभाजित है: एक, अभाज्य संख्याएँ और भाज्य संख्याएँ।

संख्या सिद्धांत में एक बहुत ही महत्वपूर्ण प्रमेय है जो बताता है कि "किसी भी पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, और कारकों के क्रम तक, ऐसा प्रतिनिधित्व अद्वितीय है।" इस प्रमेय को "अंकगणित का मौलिक प्रमेय" के रूप में जाना जाता है। यह दर्शाता है कि अभाज्य संख्याएँ "बिल्डिंग ब्लॉक्स" के रूप में काम करती हैं जिनसे गुणन का उपयोग करके एक के अलावा अन्य सभी पूर्णांकों का निर्माण किया जा सकता है।

यदि पूर्णांकों का एक निश्चित सेट दिया गया है, तो सबसे बड़ा पूर्णांक जो इस सेट में शामिल प्रत्येक संख्या का विभाजक है, कहलाता है महत्तम सामान्य भाजकसंख्याओं का दिया गया सेट; वह सबसे छोटा पूर्णांक जिसका भाजक किसी दिए गए समुच्चय की प्रत्येक संख्या हो, कहलाता है न्यूनतम समापवर्तकसंख्याओं का सेट दिया गया। इस प्रकार, संख्या 12, 18 और 30 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 6 है। समान संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज 180 है। यदि दो पूर्णांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है एऔर बी 1 के बराबर है, फिर संख्याएँ एऔर बीकहा जाता है परस्पर प्रधान. उदाहरण के लिए, संख्याएँ 8 और 9 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, हालाँकि उनमें से कोई भी अभाज्य नहीं है।

सकारात्मक तर्कसंगत संख्याएँ.

जैसा कि हमने देखा है, पूर्णांक अमूर्तताएं हैं जो वस्तुओं के सीमित सेटों की गिनती की प्रक्रिया से उत्पन्न होती हैं। हालाँकि, रोजमर्रा की जिंदगी की जरूरतों के लिए पूर्णांक पर्याप्त नहीं हैं। उदाहरण के लिए, टेबल टॉप की लंबाई मापते समय, माप की अपनाई गई इकाई बहुत बड़ी हो सकती है और मापी गई लंबाई में पूरी संख्या में फिट नहीं हो सकती है। तथाकथित की मदद से ऐसी कठिनाई से निपटने के लिए। आंशिक(यानी, शाब्दिक रूप से, "टूटी हुई") संख्याएं, लंबाई की एक छोटी इकाई पेश की जाती है। अगर डी– कुछ पूर्णांक, फिर भिन्नात्मक इकाई 1/ डीसंपत्ति द्वारा निर्धारित डीґ1/डी= 1, और यदि एनतो, एक पूर्णांक है एनґ1/डीहम इसे बस इस रूप में लिखते हैं एन/डी. इन नई संख्याओं को "साधारण" या "सरल" भिन्न कहा जाता है। पूर्णांक एनबुलाया मीटरभिन्न और संख्याएँ डी – भाजक. हर यह दर्शाता है कि इकाई को कितने बराबर शेयरों में विभाजित किया गया था, और अंश दर्शाता है कि ऐसे कितने शेयर लिए गए थे। अगर एन d, भिन्न को उचित कहा जाता है; अगर एन = डीया एन>डी, तो यह गलत है। पूर्णांकों को 1 के हर वाले भिन्न के रूप में माना जाता है; उदाहरण के लिए, 2 = 2/1.

अंश के बाद से एन/डीविभाजन के परिणाम के रूप में व्याख्या की जा सकती है एनइकाई प्रति डीसमान भाग और उन भागों में से एक को लेते हुए, एक भिन्न को दो पूर्ण संख्याओं के "भागफल" या "अनुपात" के रूप में सोचा जा सकता है एनऔर डी, और भिन्न रेखा को विभाजन चिन्ह के रूप में समझें। इसलिए, भिन्न (भिन्न के विशेष मामले के रूप में पूर्णांक सहित) को आमतौर पर कहा जाता है तर्कसंगतसंख्याएँ (लैटिन अनुपात से - अनुपात)।

दो अंश एन/डीऔर ( कґएन)/(कґडी), कहाँ क- एक पूर्णांक, बराबर माना जा सकता है; उदाहरण के लिए, 4/6 = 2/3. (यहाँ एन = 2, डी= 3 और क= 2.) इसे "अंश की मौलिक संपत्ति" के रूप में जाना जाता है: यदि अंश के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा (या विभाजित) किया जाए तो किसी भी अंश का मूल्य नहीं बदलेगा। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी भी भिन्न को दो अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है।

ऊपर प्रस्तावित भिन्न की व्याख्या से यह भी पता चलता है कि यह दो भिन्नों का योग है एन/डीऔर एम/डीसमान हर होने पर, आपको भिन्न लेना चाहिए ( एन + एम)/डी. विभिन्न हर वाली भिन्नों को जोड़ते समय, आपको पहले भिन्न के मूल गुण का उपयोग करके, उन्हें समान (सामान्य) हर वाली समतुल्य भिन्नों में परिवर्तित करना होगा। उदाहरण के लिए, एन 1 /डी 1 = (एन 1 एच डी 2)/(डी 1 एच डी 2) और एन 2 /डी 2 = (एन 2 एच डी 1)/(डी 1 एच डी 2), कहाँ से

कोई इसे अलग ढंग से कर सकता है और सबसे पहले लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कर सकता है, मान लीजिए एम, हर डी 1 और डी 2. फिर पूर्णांक हैं क 1 और क 2 , ऐसा कि एम = के 1 एच डी 1 = क 2 एच डी 2 और हमें मिलता है:

इस विधि से संख्या एमआमतौर पर कहा जाता है न्यूनतम सार्व भाजकदो अंश. भिन्नों की समानता की परिभाषा के अनुसार ये दोनों परिणाम समतुल्य हैं।

दो भिन्नों का गुणनफल एन 1 /डी 1 और एन 2 /डी 2 को भिन्न के बराबर लिया जाता है ( एन 1 एच एन 2)/(डी 1 एच डी 2).

पूर्णांकों के लिए ऊपर दिए गए आठ मूलभूत नियम भी मान्य हैं यदि, के अंतर्गत ए, बी, सीमनमानी सकारात्मक परिमेय संख्याओं को समझें। साथ ही, यदि दो धनात्मक परिमेय संख्याएँ दी गई हों एन 1 /डी 1 और एन 2 /डी 2, तो हम ऐसा कहते हैं एन 1 /डी 1 > एन 2 /डी 2 यदि और केवल यदि एन 1 एच डी 2 > एन 2 एच डी 1 .

सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ.

रेखाखंडों की लंबाई मापने के लिए संख्याओं के उपयोग से पता चलता है कि किन्हीं दो दिए गए रेखाखंडों के लिए अबऔर सीडीकुछ खंड अवश्य होगा यूवी, शायद बहुत छोटा, जिसे प्रत्येक खंड में पूर्णांक संख्या में कई बार स्थगित किया जा सकता है अबऔर सीडी. यदि लंबाई की ऐसी एक सामान्य इकाई यूवीमौजूद है, फिर खंड अबऔर सीडीसमनुरूप कहलाते हैं। पहले से ही प्राचीन काल में, पाइथागोरस को असंगत सीधे खंडों के अस्तित्व के बारे में पता था। एक उत्कृष्ट उदाहरण एक वर्ग की भुजा और उसका विकर्ण है। यदि हम किसी वर्ग की भुजा को लंबाई की इकाई के रूप में लें, तो ऐसी कोई परिमेय संख्या नहीं है जो इस वर्ग के विकर्ण का माप हो सके। आप विरोधाभास द्वारा बहस करके इसे सत्यापित कर सकते हैं। वास्तव में, मान लीजिए कि परिमेय संख्या एन/डीविकर्ण का माप है. लेकिन फिर खंड 1/ डीस्थगित किया जा सकता है एनएक बार तिरछे और डीवर्ग की भुजा पर कई बार, इस तथ्य के बावजूद कि वर्ग का विकर्ण और भुजा असंगत हैं। नतीजतन, लंबाई की इकाई की पसंद की परवाह किए बिना, सभी रेखा खंडों की लंबाई ऐसी नहीं होती है जिसे तर्कसंगत संख्याओं में व्यक्त किया जा सके। सभी रेखा खंडों को लंबाई की किसी इकाई द्वारा मापने के लिए, संख्या प्रणाली का विस्तार किया जाना चाहिए ताकि रेखा खंडों की लंबाई मापने के परिणामों का प्रतिनिधित्व करने वाली संख्याओं को शामिल किया जा सके जो लंबाई की चुनी गई इकाई के अनुरूप नहीं हैं। इन नए नंबरों को सकारात्मक कहा जाता है तर्कहीननंबर. उत्तरार्द्ध, सकारात्मक तर्कसंगत संख्याओं के साथ मिलकर, संख्याओं का एक व्यापक समूह बनाते हैं, जिनके तत्वों को सकारात्मक कहा जाता है वैधनंबर.

अगर या- एक बिंदु से निकलने वाली क्षैतिज अर्ध-रेखा हे, यू- पर इशारा करें या, मूल से भिन्न हे, और कहांएक इकाई खंड के रूप में चुना जाता है, फिर प्रत्येक बिंदु पीआधी लाइन पर याएकल धनात्मक वास्तविक संख्या से संबद्ध किया जा सकता है पी, खंड की लंबाई व्यक्त करते हुए सेशन. इस तरह हम सकारात्मक वास्तविक संख्याओं और इसके अलावा अन्य बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करते हैं हे, आधी लाइन पर या. अगर पीऔर क्यू- बिंदुओं के अनुरूप दो सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ पीऔर क्यूपर या, फिर हम लिखते हैं पी>क्यू,पी = क्यूया पी बिंदु के स्थान पर निर्भर करता है पीबिंदु के दाईं ओर क्यूपर या, के साथ मेल खाता है क्यूया के बायीं ओर स्थित है क्यू.

सकारात्मक अपरिमेय संख्याओं की शुरूआत ने अंकगणित की प्रयोज्यता के दायरे को काफी हद तक विस्तारित किया। उदाहरण के लिए, यदि ए– कोई भी सकारात्मक वास्तविक संख्या और एनयदि कोई पूर्णांक है तो केवल एक ही धनात्मक वास्तविक संख्या होती है बी, ऐसा है कि बीएन=ए. यह नंबर बीजड़ कहा जाता है एनकी डिग्री एऔर इसे ऐसे लिखा जाता है, जहां इसकी रूपरेखा में प्रतीक एक लैटिन अक्षर जैसा दिखता है आर, जिससे लैटिन शब्द शुरू होता है मूलांक(रूट) और कहा जाता है मौलिक. ऐसा दिखाया जा सकता है

इन संबंधों को कट्टरपंथियों के मूल गुणों के रूप में जाना जाता है।

व्यावहारिक दृष्टिकोण से, यह बहुत महत्वपूर्ण है कि किसी भी सकारात्मक अपरिमेय संख्या का एक सकारात्मक परिमेय संख्या द्वारा वांछित रूप से सटीक अनुमान लगाया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि अगर आरएक धनात्मक अपरिमेय संख्या है और इएक मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक परिमेय संख्या है, तो हम सकारात्मक परिमेय संख्याएँ पा सकते हैं एऔर बी, ऐसा है कि ए और बी। उदाहरण के लिए, एक संख्या अपरिमेय है. यदि आप चुनते हैं इ= 0.01, फिर ; यदि आप चुनते हैं इ= 0.001, फिर .

इंडो-अरबी संख्या प्रणाली.

अंकगणित के एल्गोरिदम, या गणना योजनाएं, प्रयुक्त संख्या प्रणाली पर निर्भर करती हैं। उदाहरण के लिए, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि रोमन संख्या प्रणाली के लिए आविष्कृत गणना पद्धतियाँ वर्तमान इंडो-अरबी प्रणाली के लिए आविष्कृत एल्गोरिदम से भिन्न हो सकती हैं। इसके अलावा, कुछ संख्या प्रणालियाँ अंकगणितीय एल्गोरिदम के निर्माण के लिए पूरी तरह से अनुपयुक्त हो सकती हैं। ऐतिहासिक आंकड़ों से पता चलता है कि इंडो-अरबी संख्या अंकन प्रणाली को अपनाने से पहले, कोई भी एल्गोरिदम नहीं था जो "पेंसिल और कागज" का उपयोग करके संख्याओं को जोड़ना, घटाना, गुणा करना और विभाजित करना आसान बनाता था। इंडो-अरबी प्रणाली के अस्तित्व के लंबे वर्षों में, इसके लिए विशेष रूप से अनुकूलित कई एल्गोरिदमिक प्रक्रियाएं विकसित की गईं, ताकि हमारे आधुनिक एल्गोरिदम विकास और सुधार के पूरे युग का उत्पाद हों।

हिंदू-अरबी संख्या प्रणाली में, एक संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाली प्रत्येक प्रविष्टि दस मूल प्रतीकों 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 का एक सेट है, जिन्हें अंक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या चार सौ तेईस के लिए हिंदू-अरबी संकेतन अंकों के अनुक्रम 423 का रूप लेता है। किसी संख्या के हिंदू-अरबी संकेतन में एक अंक का अर्थ उसके स्थान, या स्थिति से निर्धारित होता है, अंकों के अनुक्रम में जो इस अंकन को बनाते हैं। हमने जो उदाहरण दिया है, उसमें संख्या 4 का अर्थ चार सैकड़ा, संख्या 2 का अर्थ दो दहाई और संख्या 3 का अर्थ तीन इकाइयाँ हैं। रिक्त पदों को भरने के लिए प्रयुक्त संख्या 0 (शून्य) बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है; उदाहरण के लिए, प्रविष्टि 403 का अर्थ संख्या चार सौ तीन है, अर्थात। दसियों गायब हैं. अगर ए, बी, सी, डी, इमतलब व्यक्तिगत संख्याएँ, फिर इंडो-अरबी प्रणाली में एबीसीडीईइसका मतलब पूर्णांक का संक्षिप्त रूप है

चूँकि प्रत्येक पूर्णांक प्रपत्र में एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व स्वीकार करता है

कहाँ एनएक पूर्णांक है, और ए 0 , ए 1 ,..., एक- संख्याएँ, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी दी गई संख्या प्रणाली में, प्रत्येक पूर्णांक को एक अद्वितीय तरीके से दर्शाया जा सकता है।

हिंदू-अरबी संख्या प्रणाली आपको न केवल पूर्णांक, बल्कि किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या को भी संक्षिप्त रूप से लिखने की अनुमति देती है। आइए संकेतन 10 का परिचय दें - एन 1/10 के लिए एन, कहाँ एन- एक मनमाना सकारात्मक पूर्णांक. फिर, जैसा कि दिखाया जा सकता है, किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या को, और विशिष्ट रूप से, रूप में दर्शाया जा सकता है

इस रिकॉर्ड को संख्याओं के अनुक्रम के रूप में लिखकर संपीड़ित किया जा सकता है

बीच में चिन्ह, जिसे दशमलव बिंदु कहा जाता है, कहाँ है? ए 0 और बी 1 इंगित करता है कि 10 की नकारात्मक शक्तियाँ कहाँ से शुरू होती हैं (कुछ देशों में इस उद्देश्य के लिए एक बिंदु का उपयोग किया जाता है)। किसी धनात्मक वास्तविक संख्या को लिखने की इस विधि को दशमलव प्रसार कहा जाता है और इसके दशमलव प्रसार के रूप में प्रस्तुत भिन्न को दशमलव.

यह दिखाया जा सकता है कि एक सकारात्मक परिमेय संख्या के लिए, दशमलव बिंदु के बाद दशमलव विस्तार या तो टूट जाता है (उदाहरण के लिए, 7/4 = 1.75) या दोहराता है (उदाहरण के लिए, 6577/1980 = 3.32171717...)। यदि कोई संख्या अपरिमेय है तो उसका दशमलव प्रसार टूटता नहीं है और उसकी पुनरावृत्ति नहीं होती है। यदि किसी अपरिमेय संख्या का दशमलव विस्तार किसी दशमलव स्थान पर बाधित होता है, तो हमें इसका तर्कसंगत सन्निकटन प्राप्त होता है। दशमलव बिंदु के दाईं ओर वह चिह्न जितना दूर स्थित है जिस पर हम दशमलव विस्तार को समाप्त करते हैं, तर्कसंगत सन्निकटन उतना ही बेहतर होगा (त्रुटि उतनी ही छोटी होगी)।

हिंदू-अरबी प्रणाली में, एक संख्या को दस मूल अंकों का उपयोग करके लिखा जाता है, जिसका अर्थ संख्या के अंकन में उनके स्थान या स्थिति पर निर्भर करता है (एक अंक का मान अंक के उत्पाद के बराबर होता है और कुछ 10 की शक्ति)। इसलिए, ऐसी प्रणाली को दशमलव स्थितीय प्रणाली कहा जाता है। अंकगणितीय एल्गोरिदम के निर्माण के लिए स्थितीय संख्या प्रणाली बहुत सुविधाजनक हैं, और यही कारण है कि आधुनिक दुनिया में इंडो-अरबी संख्या प्रणाली इतनी व्यापक है, हालांकि विभिन्न देशों में व्यक्तिगत संख्याओं को दर्शाने के लिए अलग-अलग प्रतीकों का उपयोग किया जा सकता है।

संख्याओं के नाम.

इंडो-अरबी प्रणाली में संख्याओं के नाम कुछ नियमों का पालन करते हैं। संख्याओं के नामकरण का सबसे आम तरीका यह है कि संख्याओं को पहले दाएँ से बाएँ तीन अंकों के समूहों में विभाजित किया जाता है। इन समूहों को "अवधि" कहा जाता है। पहली अवधि को "इकाइयों" की अवधि कहा जाता है, दूसरे को - "हजारों" की अवधि, तीसरे को - "लाखों" की अवधि, आदि, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में दिखाया गया है:

प्रत्येक अवधि को ऐसे पढ़ा जाता है मानो वह तीन अंकों की संख्या हो। उदाहरण के लिए, अवधि 962 को "नौ सौ बासठ" के रूप में पढ़ा जाता है। कई आवर्तों से बनी किसी संख्या को पढ़ने के लिए, प्रत्येक आवर्त में अंकों के समूह को सबसे बाईं ओर से शुरू करके और फिर बाएँ से दाएँ क्रम में आगे बढ़ते हुए पढ़ा जाता है; प्रत्येक समूह के बाद काल का नाम आता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त संख्या में लिखा है "तहत्तर ट्रिलियन आठ सौ बयालीस अरब नौ सौ बासठ मिलियन पांच सौ बत्तीस हजार सात सौ निन्यानवे।" ध्यान दें कि पूर्णांकों को पढ़ते और लिखते समय आमतौर पर संयोजन "और" का उपयोग नहीं किया जाता है। इकाई श्रेणी का नाम छोड़ दिया गया है. ट्रिलियन के बाद क्वाड्रिलियन, क्विंटिलियन, सेक्स्टिलियन, सेप्टिलियन, ऑकटिलियन, नॉनएलियन और डेसिलियन आते हैं। प्रत्येक अवधि का मान पिछली अवधि से 1000 गुना अधिक होता है।

हिंदू-अरबी प्रणाली में दशमलव बिंदु के दाईं ओर की संख्याओं को पढ़ने के लिए निम्नलिखित प्रक्रिया का पालन करने की प्रथा है। यहां पदों को (बाएं से दाएं क्रम में) कहा जाता है: "दसवां", "सैकड़ावां", "हजारवां", "दस-हजारवां", आदि। एक उचित दशमलव को ऐसे पढ़ा जाता है जैसे कि दशमलव बिंदु के बाद के अंक एक पूर्ण संख्या बनाते हैं, जिसके बाद दाईं ओर अंतिम अंक की स्थिति का नाम आता है। उदाहरण के लिए, 0.752 को "सात सौ बावन हजारवां" पढ़ा जाता है। मिश्रित दशमलव को पूर्ण संख्याओं के नामकरण के नियम को उचित दशमलव के नामकरण के नियम के साथ जोड़कर पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, 632.752 में लिखा है "छह सौ बत्तीस दशमलव सात सौ बावन हजारवां।" दशमलव बिंदु से पहले "पूर्णांक" शब्द पर ध्यान दें। हाल के वर्षों में, दशमलव संख्याओं को अधिक सरलता से पढ़ा जाने लगा है, उदाहरण के लिए 3.782 को "तीन दशमलव सात सौ बयासी" के रूप में।

जोड़ना।

अब हम प्राथमिक विद्यालय में पढ़ाए जाने वाले अंकगणितीय एल्गोरिदम का विश्लेषण करने के लिए तैयार हैं। ये एल्गोरिदम दशमलव विस्तार के रूप में लिखे गए सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर संचालन से निपटते हैं। हम मानते हैं कि प्रारंभिक जोड़ और गुणन सारणी को याद कर लिया गया है।

जोड़ समस्या पर विचार करें: 279.8 + 5.632 + 27.54 की गणना करें:

सबसे पहले, हम संख्या 10 की समान शक्तियों का योग करते हैं। संख्या 19Х10 -1 को वितरण नियम के अनुसार 9Х10 -1 और 10Х10 -1 = 1 में विभाजित किया गया है। हम इकाई को बाईं ओर ले जाते हैं और इसे 21 में जोड़ते हैं, जो 22 देता है। बदले में, हम संख्या 22 को 2 और 20 = 2H10 में विभाजित करते हैं। हम संख्या 2H10 को बाईं ओर ले जाते हैं और इसे 9H10 में जोड़ते हैं, जो 11H10 देता है। अंत में, हम 11H10 को 1H10 और 10H10 = 1H10 2 में विभाजित करते हैं, 1H10 2 को बाईं ओर ले जाते हैं और इसे 2H10 2 में जोड़ते हैं, जिससे 3H10 2 प्राप्त होता है। अंतिम कुल 312.972 निकला।

यह स्पष्ट है कि की गई गणनाओं को अधिक संक्षिप्त रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है, साथ ही इसे स्कूल में पढ़ाए जाने वाले अतिरिक्त एल्गोरिदम के उदाहरण के रूप में उपयोग किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम तीनों संख्याओं को एक के नीचे एक लिखते हैं ताकि दशमलव बिंदु एक ही ऊर्ध्वाधर पर हों:

दाईं ओर से शुरू करने पर, हम पाते हैं कि 10-3 पर गुणांकों का योग 2 के बराबर है, जिसे हम पंक्ति के नीचे संबंधित कॉलम में लिखते हैं। 10-2 पर गुणांकों का योग 7 के बराबर होता है, जिसे पंक्ति के नीचे संबंधित कॉलम में भी लिखा जाता है। 10-1 के लिए गुणांकों का योग 19 है। हम पंक्ति के नीचे संख्या 9 लिखते हैं, और 1 को पिछले कॉलम में ले जाते हैं, जहां वे हैं। इस इकाई को ध्यान में रखते हुए, इस कॉलम में गुणांक का योग 22 के बराबर हो जाता है। हम एक पंक्ति के नीचे एक दो लिखते हैं, और दूसरे को पिछले कॉलम में ले जाते हैं, जहां दहाई हैं। हस्तांतरित दो को ध्यान में रखते हुए, इस कॉलम में गुणांकों का योग 11 के बराबर है। हम एक इकाई को लाइन के नीचे लिखते हैं, और दूसरे को पिछले कॉलम में स्थानांतरित करते हैं, जहां सैकड़ों हैं। इस कॉलम में गुणांकों का योग 3 के बराबर निकलता है, जिसे हम पंक्ति के नीचे लिखते हैं। आवश्यक राशि 312.972 है.

घटाव.

घटाव जोड़ का व्युत्क्रम है। यदि तीन धनात्मक वास्तविक संख्याएँ ए, बी, सीआपस में जुड़ा हुआ ताकि ए+बी=सी, फिर हम लिखते हैं ए = सी - बी, जहां प्रतीक "-" को "माइनस" के रूप में पढ़ा जाता है। एक नंबर ढूँढना एज्ञात संख्या के अनुसार बीऔर सी"घटाव" कहा जाता है। संख्या सीमिनिएन्ड, संख्या कहा जाता है बी- "घटाने योग्य", और संख्या ए- "अंतर"। चूँकि हम सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के साथ काम कर रहे हैं, शर्त पूरी होनी चाहिए सी > बी.

आइए घटाव का एक उदाहरण देखें: 453.87 - 82.94 की गणना करें।

सबसे पहले, यदि आवश्यक हो तो बाईं ओर से एक इकाई उधार लेकर, हम मीनुएंड के विस्तार को रूपांतरित करते हैं ताकि 10 की किसी भी शक्ति के लिए इसका गुणांक उसी शक्ति के लिए सबट्रेंड के गुणांक से अधिक हो। 4H10 2 से हम 1H10 2 = 10H10 उधार लेते हैं, अंतिम संख्या को विस्तार में अगले पद में जोड़ते हैं, जो 15H10 देता है; इसी तरह, हम 1Х10 0, या 10Ч10 -1 उधार लेते हैं, और इस संख्या को विस्तार के अंतिम पद में जोड़ते हैं। इसके बाद हमें संख्या 10 की समान घातों के गुणांकों को घटाने का अवसर मिलता है और 370.93 का अंतर आसानी से ज्ञात हो जाता है।

घटाव संक्रियाओं की रिकॉर्डिंग को अधिक संक्षिप्त रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है और आप स्कूल में पढ़े गए घटाव एल्गोरिथ्म का एक उदाहरण प्राप्त कर सकते हैं। हम लघुअंत के अंतर्गत उपशीर्षक लिखते हैं ताकि उनके दशमलव बिंदु एक ही ऊर्ध्वाधर पर हों। दाईं ओर से शुरू करने पर, हम पाते हैं कि 10-2 पर गुणांकों में अंतर 3 के बराबर है, और हम इस संख्या को पंक्ति के नीचे उसी कॉलम में लिखते हैं। चूँकि बाईं ओर के अगले कॉलम में हम 8 में से 9 नहीं घटा सकते हैं, हम मीनूएंड की इकाई स्थिति में तीन को दो में बदल देते हैं और दसवें स्थान में संख्या 8 को 18 मानते हैं। 18 में से 9 घटाने के बाद हमें 9 मिलता है, आदि। ।, अर्थात। ।

गुणन.

आइए पहले तथाकथित पर विचार करें "लघु" गुणन एक धनात्मक वास्तविक संख्या को एकल-अंकीय संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 में से किसी एक से गुणा करना है, उदाहरण के लिए, 32.67ґ4। वितरण के नियम के साथ-साथ गुणन की साहचर्यता और क्रमविनिमेयता के नियमों का उपयोग करके, हमें कारकों को भागों में तोड़ने और उन्हें अधिक सुविधाजनक तरीके से व्यवस्थित करने का अवसर मिलता है। उदाहरण के लिए,

इन गणनाओं को इस प्रकार अधिक संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है:

संपीड़न प्रक्रिया जारी रखी जा सकती है। जैसा कि संकेत दिया गया है, हम गुणक 32.67 के अंतर्गत गुणनखंड 4 लिखते हैं:

चूँकि 4ґ7 = 28, हम रेखा के नीचे संख्या 8 लिखते हैं, और गुणक की संख्या 6 के ऊपर 2 रखते हैं। अगला, 4ґ6 = 24, जो दाईं ओर के कॉलम से स्थानांतरित किए गए को ध्यान में रखते हुए, 26 देता है। हम पंक्ति के नीचे संख्या 6 लिखते हैं, और गुणक की संख्या 2 के ऊपर 2 लिखते हैं। तब हमें 4ґ2 = 8 प्राप्त होता है, जो स्थानांतरित दो के संयोजन में 10 देता है। हम रेखा के नीचे संख्या 0 पर हस्ताक्षर करते हैं, और गुणक की संख्या 3 के ऊपर एक पर हस्ताक्षर करते हैं। अंत में, 4ґ3 = 12, जो हस्तांतरित इकाई को ध्यान में रखते हुए 13 देता है; लाइन के नीचे 13 नंबर लिखा हुआ है. दशमलव बिंदु लगाने पर हमें उत्तर मिलता है: गुणनफल 130.68 के बराबर है।

एक "दीर्घ" गुणन बस एक "छोटा" गुणन है जिसे बार-बार दोहराया जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 32.67 को संख्या 72.4 से गुणा करने पर विचार करें। आइए गुणक को गुणक के नीचे रखें, जैसा कि संकेत दिया गया है:

दाएँ से बाएँ संक्षिप्त गुणन करने पर, हमें पहला भागफल 13.068, दूसरा 65.34 और तीसरा 2286.9 प्राप्त होता है। वितरण के नियम के अनुसार, जिस उत्पाद को खोजने की आवश्यकता है वह इन आंशिक उत्पादों का योग है, या 2365.308। लिखित नोटेशन में, आंशिक उत्पादों में दशमलव बिंदु को छोड़ दिया जाता है, लेकिन पूर्ण उत्पाद प्राप्त करने के लिए उन्हें संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए उन्हें "चरणों" में सही ढंग से व्यवस्थित किया जाना चाहिए। गुणनफल में दशमलव स्थानों की संख्या गुणक और गुणक में दशमलव स्थानों की संख्या के योग के बराबर होती है।

विभाजन।

भाग गुणन की विपरीत क्रिया है; जिस तरह बार-बार जोड़ने की जगह गुणा करता है, उसी तरह बार-बार घटाने की जगह भाग देता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित प्रश्न पर विचार करें: 14 में 3 कितनी बार समाहित है? 14 में से 3 घटाने की क्रिया को दोहराते हुए, हम पाते हैं कि 3 चार बार 14 में "प्रवेश" करता है, और संख्या 2 "बनी रहती है", अर्थात।

14 नंबर कहा जाता है भाज्य, संख्या 3 - डिवाइडर, चार नंबर - निजीऔर नंबर 2 - शेष. परिणामी संबंध को निम्नलिखित शब्दों में व्यक्त किया जा सकता है:

लाभांश = (भाजक ґ भागफल) + शेषफल,

0 Ј शेष

बार-बार 3 घटाकर 3 से विभाजित 1400 का भागफल और शेषफल ज्ञात करने में बहुत समय और प्रयास की आवश्यकता होगी। यदि हम पहले 1400 में से 300 घटाएं, फिर शेष में से 30 और अंत में 3 घटाएं तो प्रक्रिया काफी तेज हो सकती है। 300 को चार बार घटाने के बाद, हमें शेष 200 मिलेगा; 200 में से छह बार 30 घटाने पर शेषफल 20 होगा; अंततः, 20 में से छह बार 3 घटाने पर, हमें शेष 2 प्राप्त होता है। इसलिए,

प्राप्त भागफल और शेषफल क्रमशः 466 और 2 हैं। गणनाओं को व्यवस्थित किया जा सकता है और फिर निम्नानुसार क्रमिक रूप से संपीड़ित किया जा सकता है:

उपरोक्त तर्क तब लागू होता है जब लाभांश और भाजक दशमलव प्रणाली में व्यक्त कोई सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हों। आइए इसे 817.65е23.7 के उदाहरण से स्पष्ट करें।

सबसे पहले, दशमलव बिंदु बदलाव का उपयोग करके भाजक को पूर्णांक में परिवर्तित किया जाना चाहिए। इस मामले में, लाभांश का दशमलव बिंदु समान दशमलव स्थानों से स्थानांतरित हो जाता है। भाजक और लाभांश को नीचे दिखाए अनुसार व्यवस्थित किया गया है:

आइए निर्धारित करें कि तीन अंकों की संख्या 817 में भाजक कितनी बार समाहित है, लाभांश का पहला भाग जिसे हम भाजक से विभाजित करते हैं। चूँकि इसके तीन बार समाहित होने का अनुमान है, हम 237 को 3 से गुणा करते हैं और 711 के गुणनफल को 817 में से घटाते हैं। 106 का अंतर भाजक से कम है। इसका मतलब यह है कि परीक्षण लाभांश में संख्या 237 तीन बार से अधिक नहीं दिखाई देती है। क्षैतिज रेखा के नीचे संख्या 2 भाजक के नीचे लिखी गई संख्या 3, भागफल का पहला अंक है जिसे खोजने की आवश्यकता है। लाभांश के अगले अंक को नीचे ले जाने के बाद, हमें अगला परीक्षण लाभांश 1066 मिलता है, और हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि भाजक 237 कितनी बार संख्या 1066 में फिट बैठता है; मान लीजिए 4 बार. हम भाजक को 4 से गुणा करते हैं और गुणनफल 948 प्राप्त करते हैं, जिसे हम 1066 से घटाते हैं; अंतर 118 हो जाता है, जिसका अर्थ है कि भागफल का अगला अंक 4 है। फिर हम लाभांश के अगले अंक को घटाते हैं और ऊपर वर्णित पूरी प्रक्रिया को दोहराते हैं। इस बार यह पता चला है कि परीक्षण लाभांश 1185 बिल्कुल (शेषफल के बिना) 237 से विभाज्य है (विभाजन का शेष अंततः 0 हो जाता है)। भागफल में दशमलव बिंदु के साथ अंकों की उतनी ही संख्या को अलग करने पर, जितने अंकों को लाभांश में अलग किया जाता है (याद रखें कि हमने पहले दशमलव बिंदु को स्थानांतरित कर दिया था), हमें उत्तर मिलता है: भागफल 34.5 के बराबर है।

भिन्न।

भिन्नों के साथ गणना में जोड़, घटाव, गुणा और भाग के साथ-साथ जटिल भिन्नों को सरल बनाना शामिल है।

समान हर वाली भिन्नों को जोड़ने का कार्य अंशों को जोड़कर किया जाता है, उदाहरण के लिए,

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

यदि भिन्नों के हर अलग-अलग हैं, तो पहले उन्हें एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए, यानी। समान हर वाले भिन्नों में बदलें। ऐसा करने के लिए, हम लघुत्तम समापवर्तक (दिए गए प्रत्येक हर का सबसे छोटा गुणज) ज्ञात करते हैं। उदाहरण के लिए, 2/3, 1/6 और 3/5 जोड़ने पर, सबसे कम सामान्य हर 30 होता है:

संक्षेप में, हम पाते हैं

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

भिन्नों को घटाने का कार्य उन्हें जोड़ने के समान ही किया जाता है। यदि हर समान हैं, तो घटाव अंशों को घटाने के लिए आता है: 10/13 - 2/13 = 8/13; यदि भिन्नों के हर अलग-अलग हैं, तो आपको पहले उन्हें एक सामान्य हर में लाना होगा:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

भिन्नों को गुणा करते समय उनके अंश और हर को अलग-अलग गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

एक अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको पहले अंश (लाभांश) को दूसरे (भाजक) के व्युत्क्रम अंश से गुणा करना होगा (पारस्परिक अंश प्राप्त करने के लिए, आपको मूल अंश के अंश और हर को स्वैप करना होगा), यानी। ( एन 1 /डी 1)ई( एन 2 /डी 2) = (एन 1 एच डी 2)/(डी 1 एच एन 2). उदाहरण के लिए,

3/4ई7/8 = 3/4ґ8/7 = 24/28 = 6/7.

मिश्रित संख्या एक पूर्ण संख्या और भिन्न का योग (या अंतर) होती है, जैसे 4 + 2/3 या 10 - 1/8। चूँकि एक पूर्ण संख्या को 1 के हर वाले भिन्न के रूप में सोचा जा सकता है, एक मिश्रित संख्या दो भिन्नों के योग (या अंतर) से अधिक कुछ नहीं है। उदाहरण के लिए,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

सम्मिश्र भिन्न वह होती है जिसमें अंश, हर या अंश और हर में से किसी एक में भिन्न होता है। इस भिन्न को सरल भिन्न में बदला जा सकता है:

वर्गमूल।

अगर एन आर, ऐसा है कि आर 2 = एन. संख्या आरबुलाया वर्गमूलसे एनऔर नामित किया गया है. स्कूल में वे आपको दो तरीकों से वर्गमूल निकालना सिखाते हैं।

पहली विधि अधिक लोकप्रिय है क्योंकि यह सरल और लागू करने में आसान है; इस पद्धति का उपयोग करके गणना आसानी से डेस्कटॉप कैलकुलेटर पर लागू की जाती है और घनमूल और उच्च मूल के मामले में सामान्यीकृत की जाती है। विधि इस तथ्य पर आधारित है कि यदि आर 1 - फिर जड़ के पास पहुँचना आर 2 = (1/2)(आर 1 + एन/आर 1)- जड़ का अधिक सटीक अनुमान।

आइए 1 और 100 के बीच की किसी संख्या, मान लीजिए संख्या 40, के वर्गमूल की गणना करके प्रक्रिया को स्पष्ट करें। चूँकि 6 2 = 36 और 7 2 = 49, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि पूर्ण संख्याओं में 6 सबसे अच्छा सन्निकटन है। 6 से अधिक सटीक अनुमान इस प्रकार प्राप्त होता है। 40 को 6 से विभाजित करने पर 6.6 प्राप्त होता है (दशमलव के पहले स्थान तक पूर्णांकित) यहां तक ​​कीदसवें की संख्या)। का दूसरा सन्निकटन प्राप्त करने के लिए, हम दो संख्याओं 6 और 6.6 का औसत निकालते हैं और 6.3 प्राप्त करते हैं। प्रक्रिया को दोहराते हुए, हमें और भी बेहतर सन्निकटन प्राप्त होता है। 40 को 6.3 से विभाजित करने पर, हमें संख्या 6.350 मिलती है, और तीसरा सन्निकटन (1/2)(6.3 + 6.350) = 6.325 होता है। एक और पुनरावृत्ति 40е6.325 = 6.3241106 देती है, और चौथा सन्निकटन (1/2)(6.325 + 6.3241106) = 6.3245553 होता है। यह प्रक्रिया जब तक चाहे तब तक जारी रह सकती है। सामान्य तौर पर, प्रत्येक बाद के सन्निकटन में पिछले वाले की तुलना में दोगुने अंक हो सकते हैं। इसलिए, हमारे उदाहरण में, चूँकि पहले सन्निकटन, पूर्णांक 6 में केवल एक अंक होता है, हम दूसरे सन्निकटन में दो अंक, तीसरे में चार और चौथे में आठ अंक रख सकते हैं।

यदि संख्या एन 1 और 100 के बीच नहीं है, तो आपको पहले भाग देना होगा (या गुणा करना होगा) एन 100 की कुछ घात, मान लीजिए, को क-वें ताकि उत्पाद 1 से 100 की सीमा में हो। फिर उत्पाद का वर्गमूल 1 से 10 की सीमा में होगा, और इसे निकालने के बाद, हम परिणामी संख्या को 10 से गुणा (या विभाजित) करते हैं क, आवश्यक वर्गमूल ज्ञात कीजिए। उदाहरण के लिए, यदि एन= 400000, तो पहले हम विभाजित करना 400000 गुणा 100 2 और हमें संख्या 40 प्राप्त होती है, जो 1 से 100 तक की सीमा में होती है। जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, यह लगभग 6.3245553 के बराबर है। गुणाइस संख्या को 10 2 तक, हमें अनुमानित मान के रूप में 632.45553 प्राप्त होता है, और संख्या 0.63245553 इसके लिए अनुमानित मान के रूप में कार्य करती है।

ऊपर उल्लिखित प्रक्रियाओं में से दूसरी बीजगणितीय पहचान पर आधारित है ( ए + बी) 2 = ए 2 + (2ए + बी)बी. प्रत्येक चरण में, वर्गमूल का पहले से ही प्राप्त भाग लिया जाता है ए, और जिस हिस्से को अभी भी निर्धारित करने की आवश्यकता है बी.

क्युब जड़।

किसी धनात्मक वास्तविक संख्या का घनमूल निकालने के लिए, वर्गमूल निकालने के समान एल्गोरिदम होते हैं। उदाहरण के लिए, किसी संख्या का घनमूल ज्ञात करना एन, पहले हम किसी संख्या से मूल का अनुमान लगाते हैं आर 1 . फिर हम अधिक सटीक अनुमान लगाते हैं आर 2 = (1/3)(2आर 1 + एन/आर 1 2), जो बदले में और भी अधिक सटीक सन्निकटन का मार्ग प्रशस्त करता है आर 3 = (1/3)(2आर 2 + एन/आर 2 2), आदि। जड़ के अधिकाधिक सटीक अनुमान बनाने की प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रह सकती है।

उदाहरण के लिए, 1 और 1000 के बीच किसी संख्या के घनमूल की गणना करने पर विचार करें, मान लीजिए संख्या 200। चूँकि 5 3 = 125 और 6 3 = 216, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 6, 200 के घनमूल के निकटतम पूर्णांक है। इसलिए, हम चुनते हैं आर 1 = 6 और क्रमिक रूप से गणना करें आर 2 = 5,9, आर 3 = 5,85, आर 4 = 5.8480. प्रत्येक सन्निकटन में, तीसरे से शुरू करके, ऐसे कई वर्णों को बनाए रखने की अनुमति दी जाती है जो पिछले सन्निकटन में वर्णों की संख्या के दोगुने से एक कम है। यदि वह संख्या जिससे आप घनमूल निकालना चाहते हैं वह 1 और 1000 के बीच नहीं है, तो आपको पहले उसे कुछ से विभाजित (या गुणा) करना होगा, मान लीजिए, कवें, संख्या 1000 की शक्ति और इस प्रकार इसे संख्याओं की वांछित सीमा में लाएं। नई प्राप्त संख्या का घनमूल 1 से 10 के बीच होता है। इसकी गणना के बाद इसे 10 से गुणा (या विभाजित) करना होगा। कमूल संख्या का घनमूल प्राप्त करने के लिए.

किसी धनात्मक वास्तविक संख्या का घनमूल ज्ञात करने के लिए दूसरा, अधिक जटिल एल्गोरिथम बीजगणितीय पहचान के उपयोग पर आधारित है ( ए + बी) 3 = ए 3 + (3ए 2 + 3अब + बी 2)बी. वर्तमान में, घनमूल निकालने के लिए एल्गोरिदम, साथ ही उच्च शक्तियों की जड़ें, हाई स्कूल में नहीं सिखाई जाती हैं, क्योंकि लघुगणक या बीजगणितीय तरीकों का उपयोग करके उन्हें ढूंढना आसान होता है।

यूक्लिड का एल्गोरिदम.

यह एल्गोरिथम प्रस्तुत किया गया था शुरुआतयूक्लिड (लगभग 300 ईसा पूर्व)। इसका उपयोग दो पूर्णांकों के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने के लिए किया जाता है। सकारात्मक संख्याओं के मामले में, इसे एक प्रक्रियात्मक नियम के रूप में तैयार किया गया है: “दो दी गई संख्याओं में से बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करें। फिर भाजक को शेषफल से विभाजित करें और इस प्रकार जारी रखें जब तक कि अंतिम भाजक अंतिम शेषफल से समान रूप से विभाजित न हो जाए। विभाजक में से अंतिम दो दी गई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगा।

एक संख्यात्मक उदाहरण के रूप में, दो पूर्णांक 3132 और 7200 पर विचार करें। इस मामले में एल्गोरिथ्म निम्नलिखित चरणों में आता है:

सबसे बड़ा सामान्य भाजक अंतिम भाजक के समान है - संख्या 36। स्पष्टीकरण सरल है। हमारे उदाहरण में, हम अंतिम पंक्ति से देखते हैं कि संख्या 36, संख्या 288 को विभाजित करती है। अंतिम पंक्ति से यह पता चलता है कि संख्या 36, 324 को विभाजित करती है। इसलिए, एक पंक्ति से दूसरी पंक्ति की ओर बढ़ते हुए, हम आश्वस्त हैं कि संख्या 36, 936 को विभाजित करती है , 3132 और 7200 अब हम दावा करते हैं कि संख्या 36, संख्या 3132 और 7200 का एक सामान्य भाजक है। जीसंख्या 3132 और 7200 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। चूँकि जी 3132 और 7200 को विभाजित करता है, पहली पंक्ति से यह उसका अनुसरण करता है जी 936 को विभाजित करता है। दूसरी पंक्ति से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं जी 324 को विभाजित करता है। इसलिए, एक पंक्ति से दूसरी पंक्ति की ओर बढ़ते हुए, हम इस बात से आश्वस्त हैं जी 288 और 36 को विभाजित करता है। और चूँकि 36 संख्या 3132 और 7200 का एक सामान्य भाजक है और उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित होता है, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 36 यह सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

इंतिहान।

अंकगणितीय गणनाओं पर निरंतर ध्यान देने की आवश्यकता होती है और इसलिए त्रुटियों की संभावना होती है। इसलिए, गणना परिणामों की जांच करना बहुत महत्वपूर्ण है।

1. किसी कॉलम में संख्याओं को जोड़ने की जांच पहले ऊपर से नीचे और फिर नीचे से ऊपर तक संख्याओं को जोड़कर की जा सकती है। सत्यापन की इस पद्धति का औचित्य क्रमविनिमेयता और जोड़ की साहचर्यता का सामान्यीकृत नियम है।

2. घटाव को घटाव के साथ अंतर जोड़कर जांचा जाता है - न्यूनतम प्राप्त होना चाहिए। इस सत्यापन विधि का औचित्य घटाव संक्रिया की परिभाषा है।

3. गुणक और गुणक को पुनर्व्यवस्थित करके गुणन की जाँच की जा सकती है। सत्यापन की इस पद्धति का औचित्य क्रमविनिमेय गुणन का नियम है। आप गुणनखंड (या गुणक) को दो पदों में तोड़कर, दो अलग-अलग गुणन संचालन करके और परिणामी उत्पादों को जोड़कर गुणन की जांच कर सकते हैं - आपको मूल उत्पाद मिलना चाहिए।

4. विभाजन की जांच करने के लिए, आपको भागफल को भाजक से गुणा करना होगा और शेष को उत्पाद में जोड़ना होगा। आपको लाभांश मिलना चाहिए. इस सत्यापन विधि का औचित्य विभाजन संचालन की परिभाषा है।

5. वर्ग (या घन) मूल निकालने की शुद्धता की जाँच में परिणामी संख्या को वर्ग (या घन) द्वारा बढ़ाना शामिल है - मूल संख्या प्राप्त की जानी चाहिए।

पूर्णांकों के जोड़ या गुणा की जांच करने का एक विशेष रूप से सरल और बहुत विश्वसनीय तरीका एक ऐसी तकनीक है जो तथाकथित में संक्रमण का प्रतिनिधित्व करती है। "तुलना मॉड्यूलो 9"। आइए हम संख्या को 9 से विभाजित करने पर लिखने के लिए उपयोग किए गए अंकों के योग के शेषफल को "अतिरिक्त" कहते हैं। फिर, "अतिरिक्त" के संबंध में, दो प्रमेय तैयार किए जा सकते हैं: "पूर्णांकों के योग का आधिक्य पदों के आधिक्य के योग के आधिक्य के बराबर होता है," और "दो पूर्णांकों के गुणनफल का आधिक्य, के बराबर होता है उनकी अधिकता के उत्पाद की अधिकता। इस प्रमेय पर आधारित जाँच के उदाहरण नीचे दिए गए हैं:

तुलना मॉड्यूलो 9 पर जाने की विधि का उपयोग अन्य अंकगणितीय एल्गोरिदम का परीक्षण करते समय भी किया जा सकता है। बेशक, ऐसी जांच अचूक नहीं है, क्योंकि "अतिरिक्त" के साथ काम करना भी त्रुटियों के अधीन है, लेकिन ऐसी स्थिति की संभावना नहीं है।

दिलचस्पी।

प्रतिशत एक भिन्न है जिसका हर 100 है; प्रतिशत को तीन तरीकों से लिखा जा सकता है: अंश के रूप में, दशमलव के रूप में, या विशेष प्रतिशत अंकन % का उपयोग करके। उदाहरण के लिए, 7 प्रतिशत को 7/100, 0.07 या 7% के रूप में लिखा जा सकता है।

सबसे सामान्य प्रकार की प्रतिशत समस्या का एक उदाहरण निम्नलिखित है: "82 का 17% ज्ञात कीजिए।" इस समस्या को हल करने के लिए, आपको उत्पाद 0.17ґ82 = 13.94 की गणना करने की आवश्यकता है। इस प्रकार के उत्पादों में, 0.17 को दर कहा जाता है, 82 को आधार कहा जाता है, और 13.94 को हिस्सा कहा जाता है, जिसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। उल्लिखित तीन मात्राएँ एक दूसरे से संबंध द्वारा संबंधित हैं

दर ґ आधार = प्रतिशत हिस्सेदारी.

यदि कोई दो मात्राएँ ज्ञात हों, तो तीसरी राशि इस संबंध से निर्धारित की जा सकती है। तदनुसार, हमें "प्रतिशत का उपयोग करने" में तीन प्रकार की समस्याएँ मिलती हैं।

उदाहरण 1. इस विद्यालय में नामांकित छात्रों की संख्या 351 से बढ़कर 396 हो गयी। यह संख्या कितने प्रतिशत बढ़ी?

वृद्धि 396 - 351 = 45 लोगों की थी। भिन्न 45/351 को प्रतिशत के रूप में लिखने पर हमें 45/351 = 0.128 = 12.8% प्राप्त होता है।

उदाहरण 2. बिक्री के दौरान स्टोर में एक विज्ञापन कहता है, "सभी वस्तुओं पर 25% की छूट।" उस वस्तु का विक्रय मूल्य क्या है जो सामान्यतः $3.60 में बिकता है?

$3.60 की कीमत में 25% की कमी का मतलब है 0.25-3.60 = $0.90 की कमी; इसलिए, बिक्री के दौरान आइटम की कीमत $3.60 - $0.90 = $2.70 होगी।

उदाहरण 3. बैंक में 5% प्रति वर्ष की दर से जमा किये गये धन से प्रति वर्ष 40 डॉलर का लाभ होता था। बैंक में कितनी राशि जमा की गई?

चूँकि राशि का 5% $40 है, अर्थात। 5/100 ґ राशि = $40, या 1/100 ґ राशि = 8 डॉलर, कुल राशि 800 डॉलर है।

अनुमानित संख्याओं का अंकगणित.

गणना में उपयोग की जाने वाली कई संख्याएँ या तो माप या अनुमान से उत्पन्न होती हैं और इसलिए उन्हें केवल अनुमान माना जा सकता है। यह स्पष्ट है कि अनुमानित संख्याओं के साथ की गई गणना का परिणाम केवल अनुमानित संख्या ही हो सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि काउंटर सतह के माप से निम्नलिखित परिणाम प्राप्त हुए (एक मीटर के निकटतम दसवें हिस्से तक): चौड़ाई 1.2 मीटर, लंबाई 3.1 मीटर; कोई कह सकता है कि काउंटर का क्षेत्रफल 1.2ґ3.1 = 3.72 m2 है। हालाँकि, हकीकत में जानकारी इतनी निश्चित होने से कोसों दूर है। चूँकि मान 1.2 मीटर केवल इंगित करता है कि चौड़ाई माप 1.15 और 1.25 मीटर के बीच है, और 3.1 इंगित करता है कि लंबाई माप 3.05 और 3.15 मीटर के बीच है, काउंटर क्षेत्र के बारे में हम केवल यह कह सकते हैं कि यह 1.15ґ3.05 से अधिक होना चाहिए = 3.5075, लेकिन 1.25ґ3.15 से कम = 3.9375। इसलिए, काउंटर के क्षेत्रफल के बारे में प्रश्न का एकमात्र उचित उत्तर यह कहना है कि यह लगभग 3.7 मीटर 2 है।

आइए अब हम 3.73 मीटर, 52.1 मीटर और 0.282 मीटर के अनुमानित मापों के परिणामों को जोड़ने की समस्या पर विचार करें। सरल योग 56.112 मीटर है। लेकिन, पिछली समस्या की तरह, निश्चितता के साथ कहा जा सकता है कि सही योग है 3.725 + 52.05 + 0.2815 = 56.0565 मीटर से अधिक और 3.735 + 52.15 + 0.2825 = 56.1765 मीटर से कम होना चाहिए। इस प्रकार, प्रश्न का एकमात्र उचित उत्तर यह कहना है कि योग लगभग 56.1 मीटर के बराबर है।

ऊपर दिए गए दो उदाहरण कुछ नियमों को दर्शाते हैं जो अनुमानित संख्याओं के साथ काम करते समय उपयोगी होते हैं। संख्याओं को पूर्णांकित करने के विभिन्न तरीके हैं। उनमें से एक है संख्या के निचले अंकों को हटा देना। इसके अलावा, यदि छोड़ा जाने वाला पहला अंक पांच से अधिक है, तो अंतिम शेष अंक को एक से बढ़ाया जाना चाहिए; यदि यह कम है, तो शेष भाग का अंतिम अंक अपरिवर्तित रहता है।

यदि छोड़ा जाने वाला पहला अंक ठीक पाँच है, तो रखा जाने वाला अंतिम अंक विषम होने पर एक बढ़ा दिया जाता है और यदि सम है तो अपरिवर्तित रहता है। उदाहरण के लिए, संख्या 3.14159;17.7682; को निकटतम सौवें तक पूर्णांकित करने पर; 28,999; 0.00234; 7.235 और 7.325 3.14 हो जाते हैं; 17.77; 29.00; 0.00; 7.24 और 7.32.

पूर्णांकन की एक अन्य विधि महत्वपूर्ण अंकों की अवधारणा से जुड़ी है और इसका उपयोग मशीन द्वारा कोई संख्या लिखते समय किया जाता है। किसी अनुमानित संख्या के महत्वपूर्ण अंक उसके दशमलव अंकन में बाएं से दाएं क्रम में अंक होते हैं, जो पहले गैर-शून्य अंक से शुरू होते हैं और उस अंक के साथ समाप्त होते हैं जो त्रुटि के अनुरूप दशमलव स्थान पर होता है। उदाहरण के लिए, अनुमानित संख्या 12.1 के सार्थक अंक संख्या 1, 2, 1 हैं; अनुमानित संख्या 0.072 - संख्या 7, 2; अनुमानित संख्या 82000, जिसे निकटतम सौ तक लिखा जाता है, 8, 2, 0 है।

अब हम ऊपर उल्लिखित अनुमानित संख्याओं के साथ संचालन के लिए दो नियम बनाएंगे।

अनुमानित संख्याओं को जोड़ते और घटाते समय, प्रत्येक संख्या को सबसे कम सटीक संख्या के अंतिम अंक के बाद वाले अंक तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए, और परिणामी योग और अंतर को सबसे कम सटीक संख्या के समान अंकों तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए। अनुमानित संख्याओं को गुणा और विभाजित करते समय, प्रत्येक संख्या को सबसे कम महत्वपूर्ण संख्या के अंतिम महत्वपूर्ण अंक के बाद वाले चिह्न तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए, और उत्पाद और भागफल को उसी सटीकता के साथ पूर्णांकित किया जाना चाहिए, जिस सटीकता से सबसे कम सटीक संख्या ज्ञात होती है।

पहले मानी गई समस्याओं पर लौटने पर, हमें मिलता है:

1.2ґ3.1 = 3.72 मीटर 2 »3.7 मीटर 2

3.73 + 52.1 + 0.28 = 56.11 मीटर 2 "56.1 मीटर,

जहां चिन्ह " का अर्थ "लगभग बराबर" है।

कुछ अंकगणित पाठ्यपुस्तकें अनुमानित संख्याओं के साथ काम करने के लिए एल्गोरिदम प्रदान करती हैं, जिससे आप गणना करते समय अनावश्यक संकेतों से बच सकते हैं। इसके अलावा, वे तथाकथित का उपयोग करते हैं। अनुमानित संख्याएँ रिकार्ड करना, अर्थात् किसी भी संख्या को (1 से 10 तक की सीमा में एक संख्या) ґ (10 की घात) के रूप में दर्शाया जाता है, जहां पहले कारक में संख्या के केवल महत्वपूर्ण अंक होते हैं। उदाहरण के लिए, 82000 किमी, निकटतम सौ किमी तक, 8.20ґ10 4 किमी के रूप में लिखा जाएगा, और 0.00702 सेमी को 7.02ґ10 –3 सेमी के रूप में लिखा जाएगा।

गणितीय तालिकाओं, त्रिकोणमितीय या लघुगणकीय तालिकाओं में संख्याएँ अनुमानित होती हैं, जिन्हें एक निश्चित संख्या में चिह्नों के साथ लिखा जाता है। ऐसी तालिकाओं के साथ काम करते समय, आपको अनुमानित संख्याओं के साथ गणना के नियमों का पालन करना चाहिए।

लघुगणक.

17वीं शताब्दी की शुरुआत तक। व्यावहारिक कंप्यूटिंग समस्याओं की जटिलता इतनी बढ़ गई है कि बहुत अधिक श्रम और समय के कारण उन्हें "मैन्युअल रूप से" संभालना संभव नहीं था। सौभाग्य से, 17वीं शताब्दी की शुरुआत में जे. नेपियर द्वारा समय रहते इसका आविष्कार किया गया। लघुगणक ने उत्पन्न होने वाली समस्या से निपटना संभव बना दिया। चूंकि लघुगणक के सिद्धांत और अनुप्रयोगों को एक विशेष लेख LOGARITHM में विस्तार से वर्णित किया गया है, हम खुद को केवल सबसे आवश्यक जानकारी तक ही सीमित रखेंगे।

यह दिखाया जा सकता है कि यदि एनएक धनात्मक वास्तविक संख्या है, तो एक अद्वितीय धनात्मक वास्तविक संख्या है एक्स, ऐसे कि 10 एक्स = एन. संख्या एक्सकहा जाता है (नियमित या दशमलव) लोगारित्मनंबर एन; परंपरागत रूप से इसे इस प्रकार लिखा जाता है: एक्स= लॉग एन. इस प्रकार, लघुगणक एक घातांक है, और घातांक के साथ संचालन के नियमों से यह उसका अनुसरण करता है

लघुगणक के ये गुण ही अंकगणित में उनके व्यापक उपयोग की व्याख्या करते हैं। पहला और दूसरा गुण हमें किसी भी गुणा और भाग की समस्या को सरल जोड़ और घटाव की समस्या में बदलने की अनुमति देते हैं। तीसरा और चौथा गुण घातांक और मूल निष्कर्षण को बहुत सरल ऑपरेशनों में कम करना संभव बनाता है: गुणा और भाग।

लघुगणक के उपयोग में आसानी के लिए उनकी तालिकाएँ संकलित की गई हैं। दशमलव लघुगणक की एक तालिका संकलित करने के लिए, केवल 1 से 10 तक की संख्याओं के लघुगणक को शामिल करना पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, चूँकि 247.6 = 10 2 ґ2.476, हमारे पास है: log247.6 = log10 2 + log2.476 = 2 + लॉग2.476, और चूँकि 0.02476 = 10 –2 ґ2.476, तो लॉग0.02476 = लॉग10 –2 + लॉग2.476 = –2 + लॉग2.476। ध्यान दें कि 1 और 10 के बीच की संख्या का दशमलव लघुगणक 0 और 1 के बीच होता है और इसे दशमलव के रूप में लिखा जा सकता है। इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी संख्या का दशमलव लघुगणक एक पूर्णांक का योग होता है, जिसे लघुगणक की विशेषता कहा जाता है, और दशमलव अंश, लघुगणक का मंटिसा कहा जाता है। किसी भी संख्या के लघुगणक की विशेषता "दिमाग में" पाई जा सकती है; मंटिसा को लघुगणक की तालिकाओं का उपयोग करके पाया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, तालिकाओं से हमें पता चलता है कि लॉग2.476 = 0.39375, इसलिए लॉग247.63 = 2.39375। यदि लघुगणक की विशेषता ऋणात्मक है (जब संख्या एक से कम है), तो इसे दो धनात्मक पूर्णांकों के अंतर के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, log0.02476 = -2 + 0.39375 = 8.39375 - 10. निम्नलिखित उदाहरण इस तकनीक को समझाते हैं।

साहित्य:

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वृत्त ने दिखाया कि आप किसी कॉलम में वर्गमूल कैसे निकाल सकते हैं। आप मनमाने परिशुद्धता के साथ मूल की गणना कर सकते हैं, इसके दशमलव अंकन में किसी भी संख्या में अंक पा सकते हैं, भले ही यह तर्कहीन हो। एल्गोरिदम तो याद आ गया, लेकिन सवाल बने रहे. यह स्पष्ट नहीं था कि यह विधि कहां से आई और इसने सही परिणाम क्यों दिया। यह किताबों में नहीं था, या शायद मैं ग़लत किताबों में देख रहा था। अंत में, जो कुछ मैं जानता हूं और आज कर सकता हूं, उसमें से अधिकांश की तरह, मैं इसे स्वयं लेकर आया हूं। मैं यहां अपना ज्ञान साझा करता हूं। वैसे, मुझे अभी भी नहीं पता कि एल्गोरिदम का औचित्य कहां दिया गया है)))

तो, पहले मैं आपको एक उदाहरण के साथ "सिस्टम कैसे काम करता है" बताता हूं, और फिर मैं समझाता हूं कि यह वास्तव में क्यों काम करता है।

आइए एक संख्या लें (संख्या "हवा से ली गई", यह बस दिमाग में आ गई)।

1. हम इसकी संख्याओं को जोड़ियों में विभाजित करते हैं: जो दशमलव बिंदु के बाईं ओर हैं उन्हें दाएं से बाएं दो समूह में रखा जाता है, और जो दाईं ओर हैं उन्हें बाएं से दाएं दो समूह में रखा जाता है। हम पाते हैं।

2. हम बायीं ओर की संख्याओं के पहले समूह से वर्गमूल निकालते हैं - हमारे मामले में यह है (यह स्पष्ट है कि सटीक मूल नहीं निकाला जा सकता है, हम एक ऐसी संख्या लेते हैं जिसका वर्ग जितना संभव हो सके हमारे द्वारा बनाई गई संख्या के करीब होता है) संख्याओं का पहला समूह, लेकिन उससे अधिक नहीं)। हमारे मामले में यह एक संख्या होगी. हम उत्तर लिखते हैं - यह मूल का सबसे महत्वपूर्ण अंक है।

3. हम उस संख्या का वर्ग करते हैं जो पहले से ही उत्तर में है - यह - और इसे बाईं ओर की संख्याओं के पहले समूह से - संख्या से घटा दें। हमारे मामले में यह बना हुआ है.

4. हम दाईं ओर दो संख्याओं का निम्नलिखित समूह निर्दिष्ट करते हैं: . हम उत्तर में पहले से मौजूद संख्या को से गुणा करते हैं और हमें प्राप्त होता है।

5. अब ध्यान से देखिये. हमें दाईं ओर की संख्या को एक अंक निर्दिष्ट करना होगा, और संख्या को उसी निर्दिष्ट अंक से गुणा करना होगा। परिणाम जितना संभव हो उतना करीब होना चाहिए, लेकिन फिर से इस संख्या से अधिक नहीं। हमारे मामले में, यह संख्या होगी, हम इसे उत्तर के आगे, दाईं ओर लिखते हैं। यह हमारे वर्गमूल के दशमलव अंकन में अगला अंक है।

6. उत्पाद घटाने पर हमें प्राप्त होता है।

7. इसके बाद, हम परिचित कार्यों को दोहराते हैं: हम अंकों के निम्नलिखित समूह को दाईं ओर निर्दिष्ट करते हैं, परिणामी संख्या से गुणा करते हैं > हम दाईं ओर एक अंक निर्दिष्ट करते हैं, जैसे कि जब इसे गुणा किया जाता है तो हमें इससे छोटी, लेकिन निकटतम संख्या मिलती है इसके लिए - यह दशमलव रूट नोटेशन में अगला अंक है।

गणना इस प्रकार लिखी जाएगी:

और अब वादा किया गया स्पष्टीकरण। एल्गोरिथम सूत्र पर आधारित है

टिप्पणियाँ: 51

1. 2 एंटोन:

   बहुत अव्यवस्थित और भ्रमित करने वाला. सभी चीज़ों को बिंदुवार व्यवस्थित करें और उन्हें क्रमांकित करें। प्लस: समझाएं कि हम प्रत्येक क्रिया में आवश्यक मानों को कहां प्रतिस्थापित करते हैं। मैंने पहले कभी मूल जड़ की गणना नहीं की है; मुझे इसका पता लगाने में कठिनाई हुई।

2. 5 जूलिया:

3. 6 :

   यूलिया, 23 वर्तमान में दाईं ओर लिखा हुआ है; ये उत्तर में पहले से ही प्राप्त मूल के पहले दो (बाईं ओर) अंक हैं। एल्गोरिथम के अनुसार 2 से गुणा करें। हम बिंदु 4 में वर्णित चरणों को दोहराते हैं।

4. 7 ज़ज़:

   "6" में त्रुटि। 167 से हम गुणनफल 43 * 3 = 123 (129 नाडा) घटाते हैं, हमें 38 प्राप्त होता है।”
   मुझे समझ नहीं आ रहा कि दशमलव बिंदु के बाद यह 08 कैसे हो गया...

5. 9 फेडोटोव अलेक्जेंडर:

   और यहां तक ​​कि प्री-कैलकुलेटर युग में भी, हमें स्कूल में न केवल वर्गमूल सिखाया जाता था, बल्कि एक कॉलम में घनमूल भी पढ़ाया जाता था, लेकिन यह अधिक कठिन और श्रमसाध्य काम था। ब्रैडिस टेबल या स्लाइड नियम का उपयोग करना आसान था, जिसका अध्ययन हम पहले ही हाई स्कूल में कर चुके थे।

6. 10 :

   अलेक्जेंडर, आप सही हैं, आप बड़ी शक्तियों की जड़ों को एक कॉलम में निकाल सकते हैं। मैं सिर्फ घनमूल कैसे ज्ञात करें इसके बारे में लिखने जा रहा हूँ।

7. 12 सर्गेई वैलेंटाइनोविच:

   प्रिय एलिसैवेटा अलेक्जेंड्रोवना! 70 के दशक के उत्तरार्ध में, मैंने क्वाड्रा की स्वचालित (अर्थात्, चयन द्वारा नहीं) गणना के लिए एक योजना विकसित की। फ़ेलिक्स जोड़ने वाली मशीन पर रूट करें। यदि आप रुचि रखते हैं, तो मैं आपको एक विवरण भेज सकता हूं।

8. 14 व्लाद ऑस एंगेल्सस्टेड:

   (((स्तंभ का वर्गमूल निकालना)))
   यदि आप दूसरी संख्या प्रणाली का उपयोग करते हैं, तो एल्गोरिदम सरल हो जाता है, जिसका अध्ययन कंप्यूटर विज्ञान में किया जाता है, लेकिन यह गणित में भी उपयोगी है। एक। कोलमोगोरोव ने स्कूली बच्चों के लिए लोकप्रिय व्याख्यानों में इस एल्गोरिदम को प्रस्तुत किया। उनका लेख "चेबीशेव कलेक्शन" (गणितीय जर्नल, इंटरनेट पर इसका लिंक देखें) में पाया जा सकता है।
   वैसे, कहो:
   जी. लीबनिज ने एक समय में शुरुआती (प्राथमिक स्कूली बच्चों) के लिए इसकी सरलता और पहुंच के कारण 10वीं संख्या प्रणाली से बाइनरी प्रणाली में संक्रमण करने का विचार किया था। लेकिन स्थापित परंपराओं को तोड़ना अपने माथे से किले के द्वार को तोड़ने जैसा है: यह संभव है, लेकिन यह बेकार है। तो यह पता चलता है, जैसा कि पुराने दिनों में सबसे उद्धृत दाढ़ी वाले दार्शनिक के अनुसार: सभी मृत पीढ़ियों की परंपराएं जीवित लोगों की चेतना को दबा देती हैं।

   अगली बार तक।

9. 15 व्लाद ऑस एंगेल्सस्टेड:

   ))सर्गेई वैलेंटाइनोविच, हां, मुझे दिलचस्पी है...((

   मैं शर्त लगाता हूं कि यह क्रमिक सन्निकटन की विधि का उपयोग करके वर्गाकार शूरवीर निकालने की बेबीलोनियाई विधि के "फेलिक्स" पर एक भिन्नता है। यह एल्गोरिदम न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि) द्वारा कवर किया गया था

   मुझे आश्चर्य है कि क्या मैं अपने पूर्वानुमान में ग़लत था?

10. 18 :

    2 व्लाद ऑस एंगेल्सस्टेड

    हां, बाइनरी में एल्गोरिदम सरल होना चाहिए, यह बिल्कुल स्पष्ट है।

    न्यूटन की विधि के बारे में. शायद यह सच है, लेकिन यह अभी भी दिलचस्प है

11. 20 किरिल:

    बहुत-बहुत धन्यवाद। लेकिन अभी भी कोई एल्गोरिदम नहीं है, कोई नहीं जानता कि यह कहां से आया है, लेकिन परिणाम सही है। बहुत-बहुत धन्यवाद! मैं काफी समय से इसकी तलाश कर रहा था)

12. 21 अलेक्जेंडर:

    आप उस संख्या से मूल कैसे निकालेंगे जहां बाएं से दाएं दूसरा समूह बहुत छोटा है? उदाहरण के लिए, हर किसी का पसंदीदा नंबर 4,398,046,511,104 है। पहले घटाव के बाद एल्गोरिथम के अनुसार सब कुछ जारी रखना संभव नहीं है। क्या आप कृपया समझा सकते हैं।

13. 22 एलेक्सी:

    हाँ, मैं यह तरीका जानता हूँ। मुझे इसे किसी पुराने संस्करण की पुस्तक "बीजगणित" में पढ़ना याद है। फिर, सादृश्य द्वारा, उन्होंने स्वयं यह अनुमान लगाया कि एक कॉलम में घनमूल कैसे निकाला जाता है। लेकिन वहां यह पहले से ही अधिक जटिल है: प्रत्येक अंक एक से नहीं (एक वर्ग के लिए), बल्कि दो घटावों से निर्धारित होता है, और वहां भी आपको हर बार लंबी संख्याओं को गुणा करना पड़ता है।

14. 23 आर्टेम:

    56789.321 का वर्गमूल निकालने के उदाहरण में त्रुटियाँ हैं। संख्या 32 के समूह को संख्या 145 और 243 को दो बार सौंपा गया है, संख्या 2388025 में दूसरे 8 को 3 से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। फिर अंतिम घटाव इस प्रकार लिखा जाना चाहिए: 2431000 - 2383025 = 47975।
    इसके अतिरिक्त, जब शेषफल को उत्तर के दोगुने मान (अल्पविराम को ध्यान में रखे बिना) से विभाजित किया जाता है, तो हमें महत्वपूर्ण अंकों की एक अतिरिक्त संख्या (47975/(2*238305) = 0.100658819...) प्राप्त होती है, जिसे इसमें जोड़ा जाना चाहिए उत्तर (√56789.321 = 238.305... = 238.305100659)।

15. 24 सर्गेई:

    जाहिर तौर पर एल्गोरिदम आइजैक न्यूटन की पुस्तक "जनरल अरिथमेटिक या अंकगणित संश्लेषण और विश्लेषण पर एक पुस्तक" से आया है। यहाँ इसका एक अंश है:

    जड़ें निकालने के बारे में

    किसी संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए, आपको सबसे पहले इकाई से शुरू करते हुए, उसके अंकों के ऊपर एक बिंदु लगाना होगा। फिर आपको भागफल या मूलांक में वह संख्या लिखनी चाहिए जिसका वर्ग पहले बिंदु से पहले वाली संख्या या संख्या के बराबर या हानि में निकटतम हो। इस वर्ग को घटाने के बाद, मूल के शेष अंक क्रमिक रूप से प्राप्त किए जाएंगे, शेष को मूल के पहले से निकाले गए भाग के मूल्य के दोगुने से विभाजित किया जाएगा और हर बार वर्ग के शेष भाग से अंतिम पाए गए अंक और उसके दस गुना उत्पाद को घटाया जाएगा। नामित भाजक.

16. 25 सर्गेई:

    कृपया पुस्तक का शीर्षक "सामान्य अंकगणित या अंकगणित संश्लेषण और विश्लेषण के बारे में एक पुस्तक" भी सही करें।

17. 26 अलेक्जेंडर:

    रोचक सामग्री के लिए धन्यवाद. लेकिन यह विधि मुझे आवश्यकता से कुछ अधिक जटिल लगती है, उदाहरण के लिए, एक स्कूली बच्चे के लिए। मैं पहले दो डेरिवेटिव का उपयोग करके द्विघात फ़ंक्शन का विस्तार करने पर आधारित एक सरल विधि का उपयोग करता हूं। इसका सूत्र है:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, कहाँ
    A1 वह पूर्णांक है जिसका वर्ग x के निकटतम है;
    A2 एक भिन्न है, अंश x-A1 है, हर 2*A1 है।
    स्कूल पाठ्यक्रम में आने वाली अधिकांश संख्याओं के लिए, यह परिणाम सौवें तक सटीक प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है।
    यदि आपको अधिक सटीक परिणाम की आवश्यकता है, तो लें
    A3 एक भिन्न है, अंश A2 वर्ग है, हर 2*A1+1 है।
    बेशक, इसका उपयोग करने के लिए आपको पूर्णांकों के वर्गों की एक तालिका की आवश्यकता होगी, लेकिन स्कूल में यह कोई समस्या नहीं है। इस फॉर्मूले को याद रखना काफी आसान है.
    हालाँकि, यह मुझे भ्रमित करता है कि मैंने स्प्रेडशीट के साथ प्रयोगों के परिणामस्वरूप अनुभवजन्य रूप से A3 प्राप्त किया और मुझे यह समझ में नहीं आ रहा है कि इस सदस्य का ऐसा स्वरूप क्यों है। शायद आप मुझे कुछ सलाह दे सकें?

18. 27 अलेक्जेंडर:

    हाँ, मैंने भी इन विचारों पर विचार किया है, लेकिन शैतान विवरण में है। आप लिखिए:
    "चूंकि a2 और b में बहुत कम अंतर है।" सवाल बिल्कुल यह है कि कितना कम है.
    यह सूत्र दूसरे दस की संख्याओं पर अच्छा काम करता है और पहले दस की संख्याओं पर बहुत खराब (सौवें तक नहीं, केवल दसवें तक) काम करता है। ऐसा क्यों होता है, इसे डेरिवेटिव के उपयोग के बिना समझना मुश्किल है।

19. 28 अलेक्जेंडर:

    मैं स्पष्ट करूँगा कि मेरे प्रस्तावित फ़ॉर्मूले में मुझे क्या फ़ायदा दिखता है। इसमें अंकों के जोड़े में संख्याओं के पूरी तरह से प्राकृतिक विभाजन की आवश्यकता नहीं होती है, जैसा कि अनुभव से पता चलता है, अक्सर त्रुटियों के साथ किया जाता है। इसका अर्थ स्पष्ट है, लेकिन विश्लेषण से परिचित व्यक्ति के लिए यह तुच्छ है। 100 से 1000 तक की संख्याओं पर अच्छा काम करता है, जो स्कूल में मिलने वाली सबसे आम संख्याएँ हैं।

20. 29 अलेक्जेंडर:

    वैसे, मैंने कुछ खोजबीन की और अपने सूत्र में A3 के लिए सटीक अभिव्यक्ति पाई:
    ए3= ए22 /2(ए1+ए2)

21. 30 वासिल स्ट्राइजाक:

    हमारे समय में, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के व्यापक उपयोग के साथ, किसी संख्या से वर्गाकार शूरवीर निकालने का प्रश्न व्यावहारिक दृष्टिकोण से सार्थक नहीं है। लेकिन गणित प्रेमियों के लिए इस समस्या को हल करने के विभिन्न विकल्प निस्संदेह रुचिकर होंगे। स्कूली पाठ्यक्रम में, अतिरिक्त धन के उपयोग के बिना इस गणना की विधि गुणा और दीर्घ विभाजन के बराबर होनी चाहिए। गणना एल्गोरिथ्म को न केवल याद रखना चाहिए, बल्कि समझने योग्य भी होना चाहिए। सार के प्रकटीकरण के साथ चर्चा के लिए इस सामग्री में प्रस्तुत शास्त्रीय विधि, उपरोक्त मानदंडों का पूरी तरह से अनुपालन करती है।
    अलेक्जेंडर द्वारा प्रस्तावित विधि का एक महत्वपूर्ण दोष पूर्णांकों के वर्गों की एक तालिका का उपयोग है। स्कूल पाठ्यक्रम में आने वाली अधिकांश संख्याओं के बारे में लेखक चुप है। जहां तक ​​सूत्र का सवाल है, सामान्य तौर पर गणना की अपेक्षाकृत उच्च सटीकता के कारण मुझे यह पसंद है।

22. 31 अलेक्जेंडर:

    30 वासिल स्ट्राइज़क के लिए
    मैंने कुछ भी चुप नहीं रखा. वर्गों की तालिका 1000 तक मानी जाती है। स्कूल में मेरे समय में वे इसे बस याद करते थे और यह सभी गणित की पाठ्यपुस्तकों में था। मैंने स्पष्ट रूप से इस अंतराल को नाम दिया है।
    जहाँ तक कंप्यूटर तकनीक का सवाल है, इसका उपयोग मुख्य रूप से गणित के पाठों में नहीं किया जाता है, जब तक कि कैलकुलेटर के उपयोग के विषय पर विशेष रूप से चर्चा नहीं की जाती है। कैलकुलेटर अब उन उपकरणों में बनाए गए हैं जो एकीकृत राज्य परीक्षा में उपयोग के लिए निषिद्ध हैं।

23. 32 वासिल स्ट्राइजक:

    अलेक्जेंडर, स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद! मैंने सोचा कि प्रस्तावित पद्धति के लिए सभी दो अंकों की संख्याओं के वर्गों की तालिका को याद रखना या उसका उपयोग करना सैद्धांतिक रूप से आवश्यक है। फिर 100 से 10000 तक के अंतराल में शामिल नहीं होने वाली मूल संख्याओं के लिए, आप कर सकते हैं दशमलव बिंदु को घुमाकर परिमाण के आदेशों की आवश्यक संख्या तक उन्हें बढ़ाने या घटाने की तकनीक का उपयोग करें।

24. 33 वासिल स्ट्राइज़क:

25. 39 अलेक्जेंडर:

    सोवियत मशीन पर IAMB भाषा में मेरा पहला प्रोग्राम "इस्क्रा 555" कॉलम निष्कर्षण एल्गोरिदम का उपयोग करके एक संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए लिखा गया था! और अब मैं भूल गया कि इसे मैन्युअल रूप से कैसे निकालना है!