ligne de coordonnées. Points sur la ligne de coordonnées. Comment tracer une ligne de coordonnées Comment tracer une ligne de coordonnées

Ainsi le segment unitaire et ses dixièmes, centièmes et ainsi de suite permettent d'accéder aux points de la ligne de coordonnées, qui correspondront aux fractions décimales finales (comme dans l'exemple précédent). Cependant, il y a des points sur la ligne de coordonnées que nous ne pouvons pas atteindre, mais dont nous pouvons approcher arbitrairement près, en utilisant des points de plus en plus petits jusqu'à une fraction infinitésimale d'un segment unitaire. Ces points correspondent à des fractions décimales périodiques et non périodiques infinies. Donnons quelques exemples. Un de ces points sur la ligne de coordonnées correspond au nombre 3.711711711…=3,(711) . Pour approcher ce point, il faut mettre de côté 3 segments unitaires, 7 de ses dixièmes, 1 centième, 1 millième, 7 dix millièmes, 1 cent millième, 1 millionième de segment unitaire, etc. Et un autre point de la ligne de coordonnées correspond à pi (π=3,141592...).

Puisque les éléments de l'ensemble des nombres réels sont tous des nombres qui peuvent être écrits sous la forme de fractions décimales finies et infinies, alors toutes les informations ci-dessus dans ce paragraphe nous permettent d'affirmer que nous avons attribué un nombre réel spécifique à chaque point de la ligne de coordonnées, alors qu'il est clair que différents points correspondent à différents nombres réels.

Il est également tout à fait évident que cette correspondance est univoque. Autrement dit, nous pouvons associer un point donné sur la ligne de coordonnées à un nombre réel, mais nous pouvons également utiliser un nombre réel donné pour indiquer un point spécifique sur la ligne de coordonnées auquel correspond ce nombre réel. Pour ce faire, nous devrons reporter un certain nombre de segments unitaires, ainsi que des dixièmes, des centièmes, etc., d'un même segment de l'origine dans le bon sens. Par exemple, le nombre 703,405 correspond à un point sur la ligne de coordonnées, que l'on peut atteindre depuis l'origine en mettant de côté 703 segments unitaires dans le sens positif, 4 segments qui composent un dixième d'unité, et 5 segments qui composent un millième d'unité.

Ainsi, chaque point sur la ligne de coordonnées correspond à un nombre réel, et chaque nombre réel a sa place sous la forme d'un point sur la ligne de coordonnées. C'est pourquoi la ligne de coordonnées est souvent appelée ligne numérique.

Coordonnées des points sur la ligne de coordonnées

Le nombre correspondant à un point sur la ligne de coordonnées est appelé la coordonnée de ce point.

Dans le paragraphe précédent, nous avons dit que chaque nombre réel correspond à un seul point sur la ligne de coordonnées, par conséquent, la coordonnée du point détermine de manière unique la position de ce point sur la ligne de coordonnées. En d'autres termes, la coordonnée d'un point définit de manière unique ce point sur la ligne de coordonnées. D'autre part, chaque point sur la ligne de coordonnées correspond à un seul nombre réel - la coordonnée de ce point.

Il ne reste plus qu'à parler de la notation acceptée. La coordonnée du point est écrite entre parenthèses à droite de la lettre qui désigne le point. Par exemple, si le point M a une coordonnée de -6, alors vous pouvez écrire M(-6) , et la notation de la forme signifie que le point M sur la ligne de coordonnées a une coordonnée.

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Il est impossible de prétendre connaître les mathématiques si vous ne savez pas tracer des graphiques, tracer des inégalités sur une ligne de coordonnées et travailler avec des axes de coordonnées. La composante visuelle en science est vitale, car sans exemples visuels dans les formules et les calculs, vous pouvez parfois être très confus. Dans cet article, nous verrons comment travailler avec des axes de coordonnées et apprendre à construire des graphes de fonctions simples.

Application

La ligne de coordonnées est à la base des types de graphiques les plus simples qu'un élève rencontre dans son parcours scolaire. Il est utilisé dans presque tous les sujets mathématiques: lors du calcul de la vitesse et du temps, de la projection de la taille des objets et du calcul de leur surface, en trigonométrie lors du travail avec les sinus et les cosinus.

La principale valeur d'une telle ligne directe est la visibilité. Parce que les mathématiques sont une science qui nécessite un haut niveau de pensée abstraite, les graphiques aident à représenter un objet dans le monde réel. Comment se comporte-t-il ? A quel endroit de l'espace sera-t-il dans quelques secondes, minutes, heures ? Que peut-on en dire par rapport à d'autres objets ? Quelle est sa vitesse à un instant choisi au hasard ? Comment caractériser son mouvement ?

Et nous parlons de vitesse pour une raison - ce sont souvent les graphiques de fonction qui l'affichent. Et ils peuvent également afficher les changements de température ou de pression à l'intérieur de l'objet, sa taille, son orientation par rapport à l'horizon. Ainsi, la construction d'une ligne de coordonnées est également souvent requise en physique.

Graphique 1D

Il y a un concept de multidimensionnalité. En un seul nombre suffit pour déterminer l'emplacement du point. C'est exactement le cas avec l'utilisation de la ligne de coordonnées. Si l'espace est à deux dimensions, alors deux nombres sont nécessaires. Les graphiques de ce type sont beaucoup plus souvent utilisés, et nous les considérerons certainement un peu plus loin dans l'article.

Que peut-on voir à l'aide de points sur l'axe, s'il n'y en a qu'un ? Vous pouvez voir la taille de l'objet, sa position dans l'espace par rapport à un "zéro", c'est-à-dire le point choisi comme origine.

Il ne sera pas possible de voir l'évolution des paramètres dans le temps, car toutes les lectures seront affichées pour un moment précis. Cependant, il faut bien commencer quelque part ! Alors, commençons.

Comment construire un axe de coordonnées

Vous devez d'abord tracer une ligne horizontale - ce sera notre axe. Sur le côté droit, « affûtez-le » pour qu'il ressemble à une flèche. Ainsi, nous indiquons la direction dans laquelle les nombres vont augmenter. Dans le sens descendant, la flèche n'est généralement pas placée. Traditionnellement, l'axe est dirigé vers la droite, nous suivrons donc simplement cette règle.

Mettons un zéro, qui affichera l'origine des coordonnées. C'est l'endroit même à partir duquel le compte à rebours est pris, que ce soit la taille, le poids, la vitesse ou toute autre chose. En plus de zéro, nous devons nécessairement désigner le prix dit de division, c'est-à-dire introduire une norme unitaire, conformément à laquelle nous tracerons certaines quantités sur l'axe. Cela doit être fait afin de pouvoir trouver la longueur du segment sur la ligne de coordonnées.

À égale distance les uns des autres, nous plaçons des points ou des «encoches» sur la ligne, et sous eux, nous écrivons 1,2,3, respectivement, et ainsi de suite. Et maintenant, tout est prêt. Mais avec le calendrier qui en résulte, vous devez encore apprendre à travailler.

Types de points sur la ligne de coordonnées

Au premier coup d'œil aux dessins proposés dans les manuels, cela devient clair: les points sur l'axe peuvent être remplis ou non remplis. Pensez-vous que c'est une coïncidence? Pas du tout! Un point "plein" est utilisé pour l'inégalité non stricte - celui qui se lit "supérieur ou égal à". Si nous devons limiter strictement l'intervalle (par exemple, "x" peut prendre des valeurs de zéro à un, mais ne l'inclut pas), nous utiliserons un point "creux", c'est-à-dire en fait un petit cercle sur l'axe. Il faut noter que les élèves n'aiment pas vraiment les inégalités strictes, car elles sont plus difficiles à travailler.

Selon les points que vous utilisez sur le graphique, les intervalles construits seront également nommés. Si l'inégalité des deux côtés n'est pas stricte, alors on obtient un segment. Si d'une part il s'avère être "ouvert", alors on l'appellera un demi-intervalle. Enfin, si une partie de droite est délimitée de part et d'autre par des points creux, on l'appellera un intervalle.

Avion

Lors de la construction de deux lignes sur nous pouvons déjà considérer les graphiques de fonctions. Disons que la ligne horizontale est l'axe du temps et la ligne verticale est la distance. Et maintenant, nous sommes en mesure de déterminer quelle distance l'objet parcourra en une minute ou une heure de voyage. Ainsi, travailler avec un plan permet de suivre l'évolution de l'état d'un objet. C'est beaucoup plus intéressant que d'explorer un état statique.

Le graphe le plus simple sur un tel plan est une droite ; il reflète la fonction Y(X) = aX + b. La ligne se plie-t-elle ? Cela signifie que l'objet change ses caractéristiques au cours du processus de recherche.

Imaginez que vous êtes debout sur le toit d'un immeuble tenant une pierre dans votre main tendue. Lorsque vous le relâchez, il vole vers le bas, commençant son mouvement à partir d'une vitesse nulle. Mais en une seconde, il surmontera 36 kilomètres à l'heure. La pierre continuera à accélérer davantage, et pour dessiner son mouvement sur le graphique, vous devrez mesurer sa vitesse à plusieurs moments dans le temps en définissant des points sur l'axe aux endroits appropriés.

Les marques sur la ligne de coordonnées horizontales par défaut sont nommées X1, X2, X3 et sur la verticale - Y1, Y2, Y3, respectivement. En les projetant sur un plan et en trouvant des intersections, nous trouvons des fragments du motif résultant. En les connectant avec une seule ligne, nous obtenons un graphique de la fonction. Dans le cas d'une pierre qui tombe, la fonction quadratique ressemblera à : Y(X) = aX * X + bX + c.

Échelle

Bien sûr, il n'est pas nécessaire de définir des valeurs entières à côté des divisions par une ligne droite. Si vous envisagez le mouvement d'un escargot qui rampe à une vitesse de 0,03 mètre par minute, définissez des valeurs sur la ligne droite des coordonnées. Dans ce cas, réglez la valeur de division sur 0,01 mètre.

Il est particulièrement pratique de réaliser de tels dessins dans un cahier dans une cage - ici, vous pouvez voir immédiatement s'il y a suffisamment d'espace sur la feuille pour votre emploi du temps, si vous irez au-delà des marges. Il n'est pas difficile de calculer votre force, car la largeur de la cellule dans un tel cahier est de 0,5 centimètres. Il a fallu - réduit l'image. En changeant l'échelle du graphique, il ne perdra ni ne changera ses propriétés.

Coordonnées des points et des lignes

Lorsqu'un problème mathématique est donné dans une leçon, il peut contenir les paramètres de diverses formes géométriques, à la fois sous forme de longueurs de côté, de périmètre, d'aire et sous forme de coordonnées. Dans ce cas, vous devrez peut-être à la fois créer une forme et obtenir des données qui lui sont associées. La question se pose : comment trouver l'information recherchée sur la ligne de coordonnées ? Et comment construire une figure?

Par exemple, on parle d'un point. Ensuite, une lettre majuscule apparaîtra dans l'état du problème, et plusieurs chiffres apparaîtront entre parenthèses, le plus souvent deux (cela signifie que nous compterons dans un espace à deux dimensions). S'il y a trois nombres entre parenthèses, séparés par un point-virgule ou une virgule, il s'agit d'un espace tridimensionnel. Chacune des valeurs est une coordonnée sur l'axe correspondant : d'abord selon l'horizontale (X), puis selon la verticale (Y).

Rappelez-vous comment dessiner un segment ? Vous avez réussi la géométrie. S'il y a deux points, une ligne peut être tracée entre eux. Leurs coordonnées sont indiquées entre parenthèses si un segment apparaît dans le problème. Par exemple : A(15, 13) - B(1, 4). Pour construire une telle ligne, vous devez trouver et marquer des points sur le plan de coordonnées, puis les connecter. C'est tout!

Et tous les polygones, comme vous le savez, peuvent être dessinés à l'aide de segments. Problème résolu.

Calculs

Supposons qu'il existe un objet dont la position le long de l'axe X est caractérisée par deux nombres : il commence au point de coordonnée (-3) et se termine à (+2). Si nous voulons connaître la longueur de cet objet, nous devons soustraire le plus petit nombre du plus grand nombre. Notez qu'un nombre négatif absorbe le signe de la soustraction, car "un moins fois un moins est égal à un plus". Nous ajoutons donc (2+3) et obtenons 5. C'est le résultat souhaité.

Autre exemple : on nous donne le point final et la longueur de l'objet, mais pas le point de départ (et nous devons le trouver). Soit la position du point connu soit (6), et la taille de l'objet étudié soit (4). En soustrayant la longueur de la coordonnée finale, nous obtenons la réponse. Somme : (6 - 4) = 2.

Nombres négatifs

Il est souvent nécessaire en pratique de travailler avec des valeurs négatives. Dans ce cas, nous nous déplacerons le long de l'axe des coordonnées vers la gauche. Par exemple, un objet de 3 centimètres de haut flotte dans l'eau. Un tiers est immergé dans le liquide, les deux tiers dans l'air. Ensuite, en choisissant la surface de l'eau comme axe, nous obtenons deux nombres en utilisant les calculs arithmétiques les plus simples: le point supérieur de l'objet a la coordonnée (+2) et celui du bas - (-1) centimètre.

Il est facile de voir que dans le cas d'un avion, nous avons les quatre quarts de la ligne de coordonnées. Chacun d'eux a son propre numéro. Dans la première partie (en haut à droite), il y aura des points qui ont deux coordonnées positives, dans la seconde - en haut à gauche - les valeurs de l'axe X seront négatives et le long de l'axe Y - positives. Les troisième et quatrième sont comptés plus loin dans le sens antihoraire.

Propriété importante

Vous savez qu'une ligne peut être représentée par un nombre infini de points. Nous pouvons voir aussi attentivement que nous le souhaitons n'importe quel nombre de valeurs dans chaque direction de l'axe, mais nous n'en rencontrerons pas qui se répètent. Cela semble naïf et compréhensible, mais cette affirmation découle d'un fait important : chaque nombre correspond à un et un seul point sur la ligne de coordonnées.

Conclusion

N'oubliez pas que tous les axes, figures et, si possible, les graphiques doivent être construits sur une règle. Les unités de mesure n'ont pas été inventées par l'homme par hasard - si vous faites une erreur lors du dessin, vous courez le risque de voir une image différente qui aurait dû être obtenue.

Soyez prudent et précis dans le traçage des graphiques et des calculs. Comme toute science étudiée à l'école, les mathématiques aiment la précision. Faites un petit effort et de bonnes notes ne prendront pas longtemps.

Sujet de la leçon :

« Coordonnées sur une droite»

Le but de la leçon :

initier les élèves à la ligne de coordonnées et aux nombres négatifs.

Objectifs de la leçon:

Entraînement : initier les élèves à la droite de coordonnées et aux nombres négatifs.

Développer : développement de la pensée logique, élargissement de ses horizons.

Pédagogique : développement de l'intérêt cognitif, éducation à la culture de l'information.

Plan de cours:

Moment d'organisation. Vérification des élèves et de leur état de préparation pour la leçon.

Actualisation des connaissances de base. Enquête orale auprès des étudiants sur le sujet traité.

Explication du nouveau matériel.

4. Consolidation du matériel étudié.

5. Résumant. Un résumé de ce qui a été appris dans la leçon. Interrogations des étudiants.

6. Conclusions. Résumer les points principaux de la leçon. Évaluation des connaissances. Mettre des marques.

7. Devoirs. Travail indépendantétudiants avec du matériel d'apprentissage.

Matériel : craie, planche, toboggans.

Plan d'ensemble élargi

Nom et contenu de la scène

Activité

Activité

étudiants

je mets en scène

Moment d'organisation. Salutations.

Remplir le journal.

salue la classe, le chef de classe donne une liste des absents.

dire bonjour à

prof

IIe stade

Actualisation des connaissances de base.

L'ancien scientifique grec Pythagore a dit : "Les nombres gouvernent le monde." Nous vivons dans ce monde de nombres, et pendant nos années scolaires, nous apprenons à travailler avec des nombres différents.

1 Quels nombres connaissons-nous déjà pour la leçon d'aujourd'hui ?

2 Quels problèmes ces chiffres nous aident-ils à résoudre ?

Aujourd'hui, nous passons à l'étude du deuxième chapitre de notre manuel "Nombres rationnels", où nous élargirons nos connaissances sur les nombres, et après avoir étudié tout le chapitre "Nombres rationnels", nous apprendrons à effectuer toutes les actions que vous connaissez avec eux et commencez par la ligne de coordonnées du sujet.

1. fractions naturelles, communes, fractions décimales

2. addition, soustraction, multiplication, division, trouver une fraction à partir d'un nombre et un nombre à partir de sa fraction, résoudre diverses équations et problèmes

Stade III

Explication du nouveau matériel.

Prenons la ligne AB et divisons-la avec le point O en deux rayons supplémentaires - OA et OB. Nous sélectionnons un seul segment sur une ligne droite et prenons le point O comme origine et direction.

Définitions :

Une ligne droite avec un point de référence choisi dessus, un segment unitaire et une direction s'appelle une ligne de coordonnées.

Le nombre indiquant la position d'un point sur une droite s'appelle la coordonnée de ce point.

Comment construire une ligne de coordonnées ?

dessiner un direct

définir un seul segment

indiquer le sens

La ligne de coordonnées peut être tracée de différentes manières : horizontalement, verticalement et à tout autre angle par rapport à l'horizon, et a un début mais pas de fin.

Exercice 1. Parmi les droites suivantes, lesquelles ne sont pas coordonnées ? (diapositive)

Traçons une ligne de coordonnées, marquons l'origine des coordonnées, un segment unitaire et mettons de côté les points 1,2,3,4 et ainsi de suite à gauche et à droite.

Regardons la ligne de coordonnées résultante. Pourquoi une telle ligne droite est-elle gênante ?

La direction vers la droite depuis l'origine est dite positive, et la direction sur la droite est indiquée par une flèche. Les nombres situés à droite du point O sont dits positifs. Les nombres négatifs sont situés à gauche du point O, et la direction à gauche du point O est dite négative (la direction négative n'est pas indiquée). Si la ligne de coordonnées est située verticalement, alors au-dessus de l'origine - nombres positifs, en dessous de l'origine - négatif. Les nombres négatifs sont écrits avec un signe "-". Ils lisent : "Moins un", "Moins deux", "Moins trois", etc. Le nombre 0 - l'origine n'est ni positive ni négative. Il sépare les nombres positifs des nombres négatifs.

La solution des équations et le concept de "dette" dans les calculs commerciaux ont conduit à l'émergence de nombres négatifs.

Les nombres négatifs sont apparus bien plus tard que les nombres naturels et les fractions ordinaires. Les premières informations sur les nombres négatifs se trouvent chez les mathématiciens chinois au IIe siècle av. avant JC e. Les nombres positifs étaient alors interprétés comme propriété, et les nombres négatifs comme dette, pénurie. En Europe, la reconnaissance est venue mille ans plus tard, et même alors, pendant longtemps, les nombres négatifs ont été qualifiés de "faux", "imaginaires" ou "absurdes". Au 17ème siècle, les nombres négatifs recevaient une représentation géométrique visuelle sur la droite numérique.

Vous pouvez également donner des exemples de ligne de coordonnées : un thermomètre, une comparaison des sommets des montagnes et des dépressions (le niveau de la mer est pris égal à zéro), la distance sur une carte, une cage d'ascenseur, des maisons, des grues.

Pense Connaissez-vous d'autres exemples de lignes de coordonnées ?

Tâches.

Tâche2. Nommez les coordonnées des points.

Tâche3. Tracer des points sur une ligne de coordonnées

Tâche 4 . Tracez une ligne horizontale et marquez dessus le point O. Marquez les points A, B, C, K sur cette ligne si l'on sait que :

A est 9 cases à droite de O ;

B est à 6,5 cases à gauche de O ;

C est à 3½ espaces à droite de O;

K est 3 espaces à gauche de O .

Enregistré en notes de fond.

Écoutez, complétez.

Effectuez la tâche dans votre cahier, puis expliquez vos réponses à haute voix.

Dessiner, marquer l'origine des coordonnées d'un seul segment

Une telle droite est gênante en ce qu'un même nombre correspond à 2 points sur la droite.

L'histoire avant notre ère et notre époque.

Stade IV

Consolidation du matériel étudié.

1. Qu'est-ce qu'une ligne de coordonnées ?

2. Comment construire une ligne de coordonnées ?

1. Une ligne droite avec un point de référence choisi dessus, un segment unitaire et une direction s'appelle une ligne de coordonnées

2) tracer une ligne droite

marquer le début du compte à rebours

définir un seul segment

indiquer le sens

Stade V

Résumé

Qu'avons-nous appris de nouveau aujourd'hui ?

Ligne de coordonnées et nombres négatifs.

VI stade

Évaluation des connaissances. Mettre des marques.

Devoirs.

Formuler des questions sur le sujet traité (connaître les réponses)

ligne de coordonnées.

Prenons une ligne droite. Appelons-la une droite x (Fig. 1). Nous choisissons un point de référence O sur cette ligne, et indiquons également la direction positive de cette ligne avec une flèche (Fig. 2). Ainsi, à droite du point O, nous aurons des nombres positifs et à gauche - négatifs. Nous choisissons l'échelle, c'est-à-dire la taille du segment de droite, égale à un. On l'a eu ligne de coordonnées(Fig. 3). Chaque numéro correspond à un seul point spécifique sur cette ligne. De plus, ce nombre est appelé la coordonnée de ce point. Par conséquent, la ligne s'appelle la ligne de coordonnées. Et le point de référence O est appelé l'origine.

Par exemple, sur la fig. 4 le point B est à une distance de 2 à droite de l'origine. Le point D est à une distance 4 à gauche de l'origine. En conséquence, le point B a une coordonnée de 2 et le point D a une coordonnée de -4. Le point O lui-même, étant un point de référence, a pour coordonnée 0 (zéro). Il est généralement écrit comme ceci : O(0), B(2), D(-4). Et pour ne pas dire constamment « point D de coordonnée telle ou telle », ils disent plus simplement : « point 0, point 2, point -4 ». Et dans ce cas, il suffit de désigner le point lui-même avec sa coordonnée (Fig. 5).

Connaissant les coordonnées de deux points de la ligne de coordonnées, nous pouvons toujours calculer la distance entre eux. Disons que nous avons deux points A et B avec des coordonnées a et b respectivement. Alors la distance entre eux sera |a - b|. Enregistrement |a - b| lu comme "a moins b modulo" ou "le module de la différence entre les nombres a et b".

Qu'est-ce qu'un module ?

Algébriquement, le module de x est un nombre non négatif. Noté |x|. De plus, si x > 0, alors |x| =x. Si x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

Géométriquement, le module du nombre x est la distance entre le point et l'origine. Et s'il y a deux points de coordonnées x1 et x2, alors |x1 - x2| est la distance entre ces points.

Le module est aussi appelé valeur absolue.

Que pouvons-nous dire d'autre en ce qui concerne la ligne de coordonnées ? Certainement des intervalles numériques.

Types d'intervalles numériques.

Disons que nous avons deux nombres a et b. De plus, b > a (b est supérieur à a). Sur la ligne de coordonnées, cela signifie que le point b est à droite du point a. Remplaçons b dans notre inégalité par la variable x. Soit x > a. Alors x est tout nombre supérieur à a. Sur la ligne de coordonnées, ce sont respectivement tous les points à droite du point a. Cette partie de la ligne est ombrée (Fig. 6). Un tel ensemble de points est appelé faisceau ouvert, et cet intervalle numérique est noté (a ; +∞), où le signe +∞ se lit comme "plus l'infini". Notez que le point a lui-même n'est pas inclus dans cet intervalle et est indiqué par un cercle clair.

Considérons aussi le cas où x ≥ a. Alors x est tout nombre supérieur ou égal à a. Sur la ligne de coordonnées, ce sont tous les points à droite de a, ainsi que le point a lui-même (sur la figure 7, le point a est déjà indiqué par un cercle noir). Un tel ensemble de points est appelé faisceau fermé(ou juste un rayon), et cet intervalle numérique est noté .

La ligne de coordonnées est aussi appelée axe de coordonnées. Ou juste l'axe des x.

À la fin du chapitre 1, nous avons dit qu'au cours de l'algèbre, vous et moi devons apprendre à décrire des situations réelles avec des mots (modèle verbal), algébriquement (modèle algébrique ou, comme le disent souvent les mathématiciens, analytique), graphiquement (modèle graphique ou modèle géométrique). Toute la première section cahier de texte(chapitres 1 à 5) a été consacrée à l'étude du langage mathématique avec lequel les modèles analytiques sont décrits.

À partir du chapitre 6, nous étudierons non seulement de nouveaux modèles analytiques, mais également graphiques (géométriques). Ils sont construits à l'aide d'une ligne de coordonnées, avion coordonné. Ces concepts vous sont un peu familiers depuis le cours de mathématiques en 5e-6e année.

Droite /, sur laquelle l'initiale point O (point de référence), échelle (simple segment de ligne, c'est-à-dire un segment dont la longueur est considérée comme égale à 1) et la direction positive, est appelé la ligne de coordonnées, ou l'axe de coordonnées (Fig. 7); Le terme "axe des x" est également utilisé.

Chaque numéro correspond à un seul point sur la ligne. Par exemple, le nombre 3,5 correspond au point M (Fig. 8), qui est éloigné de l'origine, c'est-à-dire du point O, à une distance égale à 3,5 (sur une échelle donnée), et reporté du point O dans un sens (positif) donné. Le nombre -4 correspond au point P (voir Fig. 8), qui est éloigné du point O à une distance égale à 4, et reporté du point O dans le sens négatif, c'est-à-dire dans le sens opposé au donné une.

L'inverse est également vrai : chaque point de la ligne de coordonnées correspond à un seul nombre.

Par exemple, le point K, qui est à 5,4 du point O dans le sens positif (donné), correspond au nombre 5,4, et le point N, qui est à 2,1 du point O dans le sens négatif, correspond au nombre - 2,1 (voir fig. . 8).

Ces nombres sont appelés les coordonnées des points correspondants. Ainsi, dans la fig. 8 point K a pour coordonnée 5,4 ; point P - coordonnée -4 ; point M - coordonnée 3,5 ; point N - coordonnée -2.1 ; point O - coordonnée 0 (zéro). D'où le nom - "ligne de coordonnées". Au sens figuré, la ligne de coordonnées est une maison densément peuplée, les résidents de cette maison sont des points et les coordonnées des points sont le nombre d'appartements dans lesquels vivent les résidents des points.

Pourquoi avons-nous besoin d'une ligne de coordonnées? Pourquoi caractériser un point par un nombre, et un nombre par un point ? Y a-t-il un avantage à cela? Oui il y a.
Soit, par exemple, deux points sont donnés sur la ligne de coordonnées: A - avec la coordonnée o et B - avec la coordonnée b (généralement dans de tels cas, ils écrivent plus court:
A(a), B(b)). Supposons que nous ayons besoin de trouver la distance d entre les points A et B. Il s'avère qu'au lieu de faire mesures géométriques, utilisez simplement la formule toute faite d \u003d (a - b) (vous l'avez étudiée en 6e année).
Ainsi, sur la figure 8, nous avons :

Dans un souci de concision du raisonnement, les mathématiciens ont convenu au lieu de la longue phrase "point A de la ligne de coordonnées, ayant la coordonnée a", d'utiliser une phrase courte : "point a", et, en conséquence, sur le dessin, le point sous la considération est notée par sa coordonnée. Ainsi, la figure 9 montre une ligne de coordonnées, sur laquelle les points sont marqués - 4 ; - 2,1 ; 0 ; une; 3,5 ; 5.4.

La ligne de coordonnées nous donne la possibilité de passer librement du langage algébrique au langage géométrique et vice versa. Soit, par exemple, le nombre a inférieur au nombre b. En langage algébrique, cela s'écrit : a< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Cependant, les langages algébriques et géométriques sont des variétés du même langage mathématique que nous étudions.

Familiarisons-nous avec plusieurs autres éléments du langage mathématique associés à la ligne de coordonnées.

1. Marquez un point a sur la ligne de coordonnées. Considérez tous les points qui se trouvent sur la ligne droite à droite du point a et marquez la partie correspondante avec une hachure de ligne de coordonnées (Fig. 10). Cet ensemble de points (nombres) est appelé un rayon ouvert et noté (a, +oo), où le signe +oo se lit comme suit : "plus l'infini" ; elle est caractérisée par l'inégalité x > a (par dz on entend tout point de la poutre).

Remarque: le point a n'appartient pas à un faisceau ouvert, mais si ce point doit être attaché à un faisceau ouvert, écrivez x\u003e a ou et, en conséquence, peignez le point b sur le dessin (Fig. 13);

pour (-oo, b) nous utiliserons aussi le terme rayon.

3. Laissez les points a et b être marqués sur la ligne de coordonnées, et< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

Cet ensemble (de nombres) est appelé un intervalle et noté (a, b).

Elle est caractérisée par une double inégalité stricte a< х < b (под х понимается любая точка интервала).

A noter : l'intervalle (a, b) est l'intersection (partie commune) de deux rayons ouverts (-oo, b) et (a, + oo) - ceci est clairement visible sur la figure 15.

Si nous ajoutons ses extrémités à l'intervalle (a, b), c'est-à-dire les points a et b, alors nous obtenons le segment [a, b] (Fig. 16),

qui est caractérisée par une double inégalité non stricte a< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

Le segment [a, b] est l'intersection (partie commune) de deux rayons (-oo, b] et et qui est caractérisé par des inégalités doubles : a< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

Ainsi, nous avons introduit cinq nouveaux termes du langage mathématique : rayon, rayon ouvert, intervalle, segment, demi-intervalle. Il existe aussi un terme général : les écarts numériques.

La ligne de coordonnées elle-même est également considérée comme un intervalle numérique ; la notation (-oo, +oo) est utilisée pour cela.

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A. V. Pogorelov, Géométrie pour les élèves de la 7e à la 11e année, Manuel pour les établissements d'enseignement