La limite de la suite numérique. Comment prouver que la suite converge ? Propriétés de base des suites convergentes Types de suites

Définition des limites de séquence et de fonction, propriétés des limites, première et deuxième limites remarquables, exemples.

nombre constant un appelé limite séquences(x n) si pour tout nombre positif arbitrairement petit ε > 0 il existe un nombre N tel que toutes les valeurs x n, pour laquelle n>N, satisfont l'inégalité

Écrivez-le comme suit : ou x n → a.

L'inégalité (6.1) est équivalente à la double inégalité

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, à partir d'un certain nombre n>N, se situent à l'intérieur de l'intervalle (a-ε , a+ε), c'est-à-dire tomber dans n'importe quel petit ε-voisinage du point un.

Une suite qui a une limite est appelée convergent, Par ailleurs - divergent.

Le concept de limite d'une fonction est une généralisation du concept de limite d'une suite, puisque la limite d'une suite peut être considérée comme la limite de la fonction x n = f(n) d'un argument entier n.

Soit une fonction f(x) donnée et soit un - point limite le domaine de définition de cette fonction D(f), soit tel point dont tout voisinage contient des points de l'ensemble D(f) différents de un. Point un peut appartenir ou non à l'ensemble D(f).

Définition 1. Le nombre constant A est appelé limite les fonctions f(x) à x→ a si pour toute suite (x n ) de valeurs d'argument tendant vers un, les suites correspondantes (f(x n)) ont la même limite A.

Cette définition s'appelle définir la limite d'une fonction selon Heine, ou " dans le langage des séquences”.

Définition 2. Le nombre constant A est appelé limite les fonctions f(x) à x→a si, étant donné un nombre positif arbitrairement petit ε, on peut trouver δ > 0 (dépendant de ε) tel que pour tout X, situé dans le ε-voisinage du nombre un, c'est à dire. pour X satisfaire l'inégalité
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Cette définition s'appelle définir la limite d'une fonction selon Cauchy, ou « dans le langage ε - δ"

Les définitions 1 et 2 sont équivalentes. Si la fonction f(x) lorsque x → a a limiteégal à A, cela s'écrit

Dans le cas où la séquence (f(x n)) augmente (ou diminue) indéfiniment pour toute méthode d'approximation Xà ta limite un, alors on dira que la fonction f(x) a limite infinie, et écrivez-le comme suit :

Une variable (c'est-à-dire une séquence ou une fonction) dont la limite est zéro est appelée infiniment petit.

Une variable dont la limite est égale à l'infini est appelée infiniment grand.

Pour trouver la limite en pratique, utilisez les théorèmes suivants.

Théorème 1 . Si toutes les limites existent

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Commentaire. Les expressions de la forme 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ sont indéfinies, par exemple, le rapport de deux quantités infinitésimales ou infiniment grandes, et trouver une limite de ce type est appelé "divulgation d'incertitude".

Théorème 2.

ceux. il est possible de passer à la limite à la base du degré à exposant constant, notamment,

Théorème 3.

(6.11)

où e» 2,7 est la base du logarithme naturel. Les formules (6.10) et (6.11) sont appelées la première limite remarquable et la deuxième limite remarquable.

Les corollaires de la formule (6.11) sont également utilisés en pratique :

(6.12)

(6.13)

(6.14)

notamment la limite

Si x → a et en même temps x > a, alors écrivez x → a + 0. Si, en particulier, a = 0, alors écrivez +0 au lieu du symbole 0+0. De même, si x→a et en même temps x et sont nommés en conséquence. limite droite et limite gauche les fonctions f(x) à ce point un. Pour que la limite de la fonction f(x) existe en tant que x→ a, il faut et il suffit que . La fonction f(x) est appelée continu à ce point x 0 si limite

(6.15)

La condition (6.15) peut être réécrite comme suit :

c'est-à-dire que le passage à la limite sous le signe d'une fonction est possible si elle est continue en un point donné.

Si l'égalité (6.15) est violée, alors on dit que à x = xo fonction f(x) Il a écart. Considérons la fonction y = 1/x. Le domaine de cette fonction est l'ensemble R, sauf pour x = 0. Le point x = 0 est un point limite de l'ensemble D(f), puisque dans n'importe lequel de ses voisinages, c'est-à-dire, tout intervalle ouvert contenant le point 0 contient des points de D(f), mais il n'appartient pas lui-même à cet ensemble. La valeur f(x o)= f(0) n'est pas définie, donc la fonction a une discontinuité au point x o = 0.

La fonction f(x) est appelée continue à droite en un point x o si limite

et continue à gauche en un point x o si limite

Continuité d'une fonction en un point x oéquivaut à sa continuité en ce point à la fois à droite et à gauche.

Pour qu'une fonction soit continue en un point x o, par exemple, à droite, il faut d'une part qu'il y ait une limite finie , et d'autre part que cette limite soit égale à f(x o). Par conséquent, si au moins une de ces deux conditions n'est pas remplie, alors la fonction aura un écart.

1. Si la limite existe et n'est pas égale à f(x o), alors on dit que fonction f(x) à ce point xo a rupture du premier type, ou saut.

2. Si la limite est +∞ ou -∞ ou n'existe pas, alors ils disent que dans indiquer x o la fonction a une pause deuxième type.

Par exemple, la fonction y = ctg x lorsque x → +0 a une limite égale à +∞ , ce qui signifie qu'au point x=0 elle a une discontinuité de seconde espèce. Fonction y = E(x) (partie entière de X) aux points d'abscisses entières présente des discontinuités de première espèce, ou des sauts.

Une fonction continue en tout point de l'intervalle est appelée continu dans . Une fonction continue est représentée par une courbe continue.

De nombreux problèmes associés à la croissance continue d'une certaine quantité conduisent à la deuxième limite remarquable. Ces tâches comprennent, par exemple : la croissance de la contribution selon la loi de l'intérêt composé, la croissance de la population du pays, la désintégration d'une substance radioactive, la multiplication des bactéries, etc.

Envisager exemple de Ya. I. Perelman, qui donne l'interprétation du nombre e dans le problème des intérêts composés. Numéro e il existe une limite . Dans les caisses d'épargne, les intérêts sont ajoutés annuellement au capital fixe. Si la connexion est établie plus souvent, le capital augmente plus rapidement, car une grande quantité est impliquée dans la formation des intérêts. Prenons un exemple purement théorique, très simplifié. Laissez la banque mettre 100 den. unités au taux de 100% par an. Si de l'argent portant intérêt n'est ajouté au capital fixe qu'après un an, alors à ce moment-là 100 den. unités se transformera en 200 den. Voyons maintenant ce que deviendront 100 den. unités, si les intérêts sont ajoutés au capital fixe tous les six mois. Après six mois 100 den. unités augmentera de 100 × 1,5 = 150, et dans six mois - de 150 × 1,5 = 225 (unités monétaires). Si l'adhésion se fait tous les 1/3 de l'année, puis après un an 100 den. unités deviendra 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (unités den.). Nous augmenterons le délai d'ajout des intérêts à 0,1 an, 0,01 an, 0,001 an, etc. Puis sur 100 den. unités un an plus tard:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (unités densité),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (unités densité),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (unités densité).

Avec une réduction illimitée des conditions de participation, le capital accumulé ne croît pas indéfiniment, mais se rapproche d'une certaine limite égale à environ 271. Le capital placé à 100% par an ne peut augmenter plus de 2,71 fois, même si les intérêts courus étaient ajouté au capital chaque seconde parce que la limite

Exemple 3.1. En utilisant la définition de la limite d'une suite de nombres, prouver que la suite x n =(n-1)/n a une limite égale à 1.

La solution. Nous devons prouver que quel que soit ε > 0 que nous prenons, il existe un nombre naturel N pour lui, tel que pour tout n > N l'inégalité |x n -1|< ε

Soit tout ε > 0. Puisque x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, alors pour trouver N il suffit de résoudre l'inégalité 1/n<ε. Отсюда n>1/ε et, par conséquent, N peut être considéré comme la partie entière de 1/ε N = E(1/ε). Nous avons ainsi prouvé que la limite .

La solution. Appliquez le théorème de la somme limite et trouvez la limite de chaque terme. Comme n → ∞, le numérateur et le dénominateur de chaque terme tendent vers l'infini, et nous ne pouvons pas appliquer directement le théorème limite du quotient. Par conséquent, nous transformons d'abord x n, en divisant le numérateur et le dénominateur du premier terme par n 2, et le deuxième n. Ensuite, en appliquant le théorème du quotient limite et le théorème de la somme limite, on trouve :

Exemple 3.3. . Trouver .

Ici nous avons utilisé le théorème des degrés limites : la limite d'un degré est égale au degré de la limite de la base.

Exemple 3.4. Trouver ( ).

La solution. Il est impossible d'appliquer le théorème limite des différences, puisque nous avons une incertitude de la forme ∞-∞. Transformons la formule du terme général :

Exemple 3.5. Soit une fonction f(x)=2 1/x . Démontrer que la limite n'existe pas.

La solution. Nous utilisons la définition 1 de la limite d'une fonction en termes de suite. Prenons une suite ( x n ) convergeant vers 0, c'est-à-dire Montrons que la valeur f(x n)= se comporte différemment pour différentes séquences. Soit x n = 1/n. Évidemment, alors la limite Choisissons maintenant comme x n une suite de terme commun x n = -1/n, tendant également vers zéro. Par conséquent, il n'y a pas de limite.

Exemple 3.6. Démontrer que la limite n'existe pas.

La solution. Soit x 1 , x 2 ,..., x n ,... une suite pour laquelle
. Comment la séquence (f(x n)) = (sin x n ) se comporte-t-elle pour différents x n → ∞

Si x n \u003d p n, alors sin x n \u003d sin (p n) = 0 pour tout n et limite Si
xn=2 p n+ p /2, alors sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 pour tous n et donc la limite. Donc n'existe pas.

Les séquences de nombres sont des ensembles infinis de nombres. Des exemples de séquences sont: la séquence de tous les membres d'une progression géométrique infinie, la séquence de valeurs approchées ( x1 = 1, x2 = 1,4, x3= 1.41, ...), la suite de périmètres de n-gons inscrits dans un cercle donné. Affinons la notion de suite numérique.

Définition 1. Si chaque nombre n de la série naturelle des nombres 1, 2, 3,..., P,... attribué un nombre réel xp, alors l'ensemble des nombres réels

X 1 , X 2 , X 3 , …, X n , …(2.1)

appelé séquence de nombres, ou juste une séquence. .

Nombres x1 , x2, x3, ..., xp,... appellera éléments, ou membres séquences (2.1), symbole x p - général un élément, ou un membre d'une séquence, et le nombre P- le sien Numéro. Brièvement, la séquence (2.1) sera désignée par le symbole (x p ). Par exemple, le caractère (1/ n) désigne une séquence de nombres

En d'autres termes, une séquence peut être comprise comme un ensemble infini d'éléments numérotés ou un ensemble de paires de nombres (p, x p), dans lequel le premier nombre prend les valeurs consécutives 1, 2, 3, ... . Une séquence est considérée comme donnée si une méthode pour obtenir l'un de ses éléments est spécifiée. Par exemple, la formule x n = -1 + (-1)n définit la séquence 0, 2, 0, 2,... .

Géométriquement, la séquence est représentée sur l'axe numérique comme une séquence de points dont les coordonnées sont égales aux membres correspondants de la séquence. Sur la fig. 2.1 montre la séquence ( x n} = {1/n) sur la droite numérique.

Le concept de suite convergente

Définition 2. Numéro un appelé limite de séquence{x n} , si pour tout nombre positif ε il y a un nombre N, que pour tout n > N l'inégalité

Une suite qui a une limite est appelée convergent. Si la séquence a un nombre comme limite un, alors il s'écrit comme ceci :

Une séquence qui n'a pas de limite est appelée divergent.

Définition 3. Une séquence qui a un nombre comme limite un= 0 est appelé séquence infinitésimale.

Remarque 1. Soit la suite ( x n) a pour limite le nombre un. Alors la suite (α n} = {x n - une) est infiniment petit, c'est-à-dire n'importe quel élément x p suite convergente avec limite un, peut être représenté par

où a n-élément d'une suite infinitésimale (α n} .

Remarque 2. L'inégalité (2.2) est équivalente aux inégalités (voir la propriété 4 du module d'un nombre du § 1.5)

Cela signifie qu'à n > N tous les éléments de la séquence ( x n) sont situés dans ε-voisinage points un(Fig. 2.2), et le nombre N est déterminé par la valeur de ε.

Il est intéressant de donner une interprétation géométrique de cette définition. Puisque la suite est un ensemble infini de nombres, alors si elle converge, dans tout ε-voisinage du point un sur la ligne réelle, il y a un nombre infini de points - éléments de cette séquence, tandis qu'à l'extérieur du ε-voisinage, il y a un nombre fini d'éléments. Par conséquent, la limite d'une suite est souvent appelée point d'épaississement.

Remarque 3. La séquence illimitée n'a pas final limite. Cependant, elle peut avoir sans fin limite, qui s'écrit sous la forme suivante :

Si en même temps, à partir d'un certain nombre, tous les membres de la séquence sont positifs (négatifs), alors écrivez

Si un ( x n) est une suite infinitésimale, alors (1 /xp} - une suite infinie qui a une limite infinie au sens de (2.3), et vice versa.

Donnons des exemples de suites convergentes et divergentes.

Exemple 1 Montrer, en utilisant la définition de la limite d'une suite, que .

La solution. Prenez n'importe quel nombre ε > 0. Puisque

alors pour que l'inégalité (2.2) soit vérifiée, il suffit de résoudre l'inégalité 1 / ( n + 1) < ε, откуда получаем n> (1 - ε) / ε. Assez pour prendre N= [(1 - ε)/ε] (la partie entière du nombre (1 - ε)/ ε)* de sorte que l'inégalité |xp - 1| < ε выполнялосьпривсех n > N.

* Symbole [ un] désigne la partie entière du nombre un, c'est à dire. plus grand entier ne dépassant pas un. Par exemple, =2, =2, =0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24.

Exemple 2 Montrer que la suite ( x n} = (-1)n, ou -1, 1, -1, 1,... n'a pas de limite.

La solution. En effet, quel que soit le nombre que nous prenons comme limite : 1 ou -1, avec ε< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x p: tous les éléments impairs valent -1, les éléments pairs valent 1.

Propriétés de base des suites convergentes

Présentons les principales propriétés des suites convergentes, qui sont formulées sous forme de théorèmes au cours des mathématiques supérieures.

1.Si tous les éléments d'une suite infinitésimale{x n} sont égaux au même nombre c, alors c = 0.

2. Une suite convergente n'a qu'une seule limite.

3.La suite convergente est bornée.

4.Somme (différence) de séquences convergentes{x n} et{oui n} est une suite convergente dont la limite est égale à la somme (différence) des limites des suites{x p} et{oui p}.

5.Produit de suites convergentes{x n} et{oui n} est une suite convergente dont la limite est égale au produit des limites des suites{x n} et{oui n} .

6.Quotient de deux suites convergentes{x n} et{oui n} à condition que la limite de la suite{oui n} est non nul, il existe une suite convergente dont la borne est égale au quotient des limites des suites{x n} et{oui p} .

7. Si les éléments d'une suite convergente{x n} satisfont l'inégalité x p ≥ b (x p ≤ b) à partir d'un certain nombre, alors la limite a de cette suite satisfait aussi l'inégalité a ≥ b (a ≤ b).

8.Le produit d'une suite infinitésimale par une suite bornée ou par un nombre est une suite infinitésimale.

9.Le produit d'un nombre fini de suites infinitésimales est une suite infinitésimale.

Considérons l'application de ces propriétés avec des exemples.

Exemple 3. Trouvez la limite.

La solution. À n le numérateur et le dénominateur de la fraction tendent vers l'infini, c'est-à-dire le théorème limite du quotient ne peut pas être appliqué immédiatement, car il suppose l'existence de limites finies de suites. Nous transformons cette séquence en divisant le numérateur et le dénominateur par n 2. Appliquant ensuite les théorèmes sur la limite du quotient, la limite de la somme, et encore la limite du quotient, on trouve successivement

Exemple 4 x p) = à P.

La solution. Ici, comme dans l'exemple précédent, le numérateur et le dénominateur n'ont pas de limites finies, et donc les transformations appropriées doivent d'abord être effectuées. En divisant le numérateur et le dénominateur par n, on a

Puisque le numérateur contient le produit d'une suite infinitésimale et d'une suite bornée, alors, par la propriété 8, on obtient finalement

Exemple 5 Trouver la limite de la suite ( x n) = à P .

La solution. Ici, il est impossible d'appliquer directement le théorème sur la limite de la somme (différence) des séquences, car il n'y a pas de limites finies des termes dans la formule pour ( x n} . Multipliez et divisez la formule pour ( x n) à l'expression conjuguée :

Numéro e

Considérez la séquence ( x n} , dont le terme commun s'exprime par la formule

Au cours de l'analyse mathématique, il est prouvé que cette séquence augmente de façon monotone et a une limite. Cette limite s'appelle le nombre e. Donc, par définition

Numéro e joue un grand rôle en mathématiques. Ensuite, une méthode pour le calculer avec toute précision requise sera envisagée. Notez ici que le nombre e est irrationnel ; sa valeur approximative est e = 2,7182818... .

3. Limite de séquence de nombres

3.1. Le concept d'une suite numérique et d'une fonction d'un argument naturel

Définition 3.1. Une séquence numérique (ci-après simplement une séquence) est un ensemble dénombrable ordonné de nombres

{x1, x2, x3, ... }.

Faites attention à deux points.

1. Il y a une infinité de nombres dans la suite. S'il y a un nombre fini de nombres, ce n'est pas une suite !

2. Tous les nombres sont ordonnés, c'est-à-dire disposés dans un certain ordre.

Dans ce qui suit, nous utiliserons souvent l'abréviation de la séquence ( xn}.

Certaines opérations peuvent être effectuées sur des séquences. Considérons certains d'entre eux.

1. Multiplication d'une suite par un nombre.

Sous-séquence c×{ xn) est une séquence avec des éléments ( c× xn), C'est

c×{ x1, x2, x3, ... }={c× x1, s× x2, s× x3, ... }.

2. Addition et soustraction de séquences.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

ou, plus en détail,

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Multiplication de séquences.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. Division des séquences.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Naturellement, on suppose que dans ce cas tous yn¹ 0.

Définition 3.2. Sous-séquence ( xn) est appelé borné d'en haut si https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height = "25 src=">. Une séquence (xn) est dite bornée si elle est bornée à la fois au-dessus et au-dessous.

3.2. Limite de séquence. Suite infiniment grande

Définition 3.3. Numéro un est appelée la limite de la suite ( xn) à n tendant vers l'infini, si

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> si .

Ils disent que si.

Définition 3.4. Sous-séquence ( xn) est dit infiniment grand si (c'est-à-dire si ).

3.3. Une séquence infinitésimale.

Définition 3.5. Une suite (xn) est dite infinitésimale si , c'est-à-dire si .

Les suites infinitésimales ont les propriétés suivantes.

1. La somme et la différence de suites infinitésimales est également une suite infinitésimale.

2. Une suite infinitésimale est bornée.

3. Le produit d'une suite infinitésimale et d'une suite bornée est une suite infinitésimale.

4. Si ( xn) est une suite infiniment grande, puis partant de quelques N, la suite (1/ xn), et c'est une suite infinitésimale. Inversement, si ( xn) est une suite infinitésimale et tout xn sont différents de zéro, alors (1/ xn) est une suite infiniment grande.

3.4. suites convergentes.

Définition 3.6. S'il y a une limite de fin https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. Si , alors .

3.5. Passage à la limite des inégalités.

Théorème 3.1. Si, à partir de quelques N, tout xn ³ b, alors .

Conséquence. Si, à partir de quelques N, tout xn ³ yn, alors .

Commentaire. Notez que si, à partir de quelques N, tout xn > b, alors , c'est-à-dire qu'en passant à la limite, l'inégalité stricte peut devenir non stricte.

Théorème 3.2.("Théorème de deux policiers") Si, à partir de quelques N, les propriétés suivantes sont vérifiées

1..gif" largeur="163" hauteur="33 src=">,

existe alors.

3.6. La limite d'une séquence monotone.

Définition 3.7. Sous-séquence ( xn) est appelé croissant monotone si pour tout n xn+1 ³ xn.

Sous-séquence ( xn) est dit strictement monotone croissant si pour tout n xn+1> xn.

xn­.

Définition 3.8. Sous-séquence ( xn) est dit monotone décroissant si pour tout n xn+1 £ xn.

Sous-séquence ( xn) est dit strictement monotone décroissant si pour tout n xn+1< xn.

Ces deux cas sont combinés avec le symbole xn¯.

Théorème sur l'existence d'une limite d'une suite monotone.

1. Si la séquence ( xn) est monotone croissante (décroissante) et bornée par le haut (par le bas), alors elle a une limite finie égale à sup( xn) (inf( xn}).

2 Si la séquence ( xn) augmente (diminue) de manière monotone, mais n'est pas limité par le haut (par le bas), alors il a une limite égale à +¥ (-¥).

Sur la base de ce théorème, on prouve qu'il existe une limite dite remarquable

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. C'est ce qu'on appelle une sous-séquence de séquence ( xn}.

Théorème 3.3. Si la séquence ( xn) converge et sa limite est un, alors n'importe laquelle de ses sous-séquences converge également et a la même limite.

Si un ( xn) est une suite infiniment grande, alors chacune de ses sous-suites est également infiniment grande.

Lemme de Bolzano-Weierstrass.

1. De toute suite bornée, on peut extraire une sous-suite qui converge vers une limite finie.

2. Une sous-suite infiniment grande peut être extraite de n'importe quelle suite non bornée.

Sur la base de ce lemme, l'un des principaux résultats de la théorie des limites est prouvé - Critère de convergence de Bolzano-Cauchy.

Dans l'ordre de la suite ( xn) il y avait une limite finie, il faut et il suffit que

Une suite qui satisfait cette propriété est appelée une suite fondamentale, ou une suite qui converge en elle-même.

Pour beaucoup de gens, l'analyse mathématique n'est qu'un ensemble de nombres, d'icônes et de définitions incompréhensibles qui sont loin de la réalité. Cependant, le monde dans lequel nous existons est construit sur des modèles numériques, dont l'identification permet non seulement d'apprendre sur le monde qui nous entoure et de résoudre ses problèmes complexes, mais aussi de simplifier les tâches pratiques quotidiennes. Que veut dire un mathématicien lorsqu'il dit qu'une suite de nombres converge ? Cela devrait être discuté plus en détail.

petit?

Imaginez des poupées matriochka qui s'emboîtent les unes dans les autres. Leurs tailles, écrites sous forme de nombres, commençant par le plus grand et finissant par le plus petit d'entre eux, forment une séquence. Si vous imaginez un nombre infini de ces chiffres brillants, la ligne résultante sera incroyablement longue. Il s'agit d'une suite de nombres convergents. Et il tend vers zéro, puisque la taille de chaque poupée gigogne suivante, diminuant de manière catastrophique, se transforme progressivement en néant. Ainsi, il est facile d'expliquer : ce qui est infiniment petit.

Un exemple similaire serait une route allant au loin. Et les dimensions visuelles de la voiture s'éloignant de l'observateur le long de celle-ci, se rétrécissant progressivement, se transforment en un point informe ressemblant à un point. Ainsi, la voiture, comme un objet, s'éloignant dans une direction inconnue, devient infiniment petite. Les paramètres du corps spécifié ne seront jamais nuls dans le vrai sens du terme, mais tendront invariablement vers cette valeur dans la limite finale. Par conséquent, cette suite converge à nouveau vers zéro.

Calculons tout goutte à goutte

Imaginons une situation réelle. Le médecin a prescrit au patient de prendre le médicament, en commençant par dix gouttes par jour et en ajoutant deux le lendemain. Et donc le médecin a suggéré de continuer jusqu'à ce que le contenu du flacon de médicament, dont le volume est de 190 gouttes, soit épuisé. De ce qui précède, il résulte que le nombre de tels, peints par jour, sera la série de nombres suivante : 10, 12, 14, et ainsi de suite.

Comment connaître le temps de passage de tout le parcours et le nombre de membres de la séquence? Ici, bien sûr, vous pouvez compter les gouttes de manière primitive. Mais il est beaucoup plus facile, étant donné le modèle, d'utiliser la formule avec un pas de d = 2. Et en utilisant cette méthode, découvrez que le nombre de membres de la série de nombres est 10. Dans ce cas, a 10 = 28. Le numéro de membre indique le nombre de jours de prise du médicament, et 28 correspond au nombre de gouttes que le patient doit utiliser le dernier jour. Cette suite converge-t-elle ? Non, car malgré le fait qu'elle soit limitée à 10 d'en bas et 28 d'en haut, une telle série de nombres n'a pas de limite, contrairement aux exemples précédents.

Quelle est la différence?

Essayons maintenant de clarifier : quand la série de nombres s'avère être une suite convergente. Une telle définition, comme on peut le conclure de ce qui précède, est directement liée au concept de limite finie, dont la présence révèle l'essence du problème. Alors, quelle est la différence fondamentale entre les exemples précédemment donnés ? Et pourquoi dans le dernier d'entre eux le nombre 28 ne peut pas être considéré comme la limite de la série de nombres X n = 10 + 2(n-1) ?

Pour clarifier ce problème, considérons une autre séquence donnée par la formule ci-dessous, où n appartient à l'ensemble des nombres naturels.

Cette communauté de membres est un ensemble de fractions ordinaires dont le numérateur est 1 et dont le dénominateur est constamment croissant : 1, ½...

De plus, chaque représentant ultérieur de cette série, en termes d'emplacement sur la droite numérique, se rapproche de plus en plus de 0. Cela signifie qu'un tel voisinage apparaît là où les points se regroupent autour de zéro, qui est la limite. Et plus ils en sont proches, plus leur concentration sur la droite numérique devient dense. Et la distance entre eux est catastrophiquement réduite, devenant infinitésimale. C'est un signe que la suite converge.

De même, les rectangles multicolores représentés sur la figure, lorsqu'ils s'éloignent dans l'espace, sont visuellement plus encombrés, dans la limite hypothétique devenant négligeable.

Séquences infiniment grandes

Après avoir analysé la définition d'une suite convergente, passons maintenant aux contre-exemples. Beaucoup d'entre eux sont connus de l'homme depuis l'Antiquité. Les variantes les plus simples des suites divergentes sont les séries de nombres naturels et pairs. Ils sont dits infiniment grands d'une autre manière, puisque leurs membres, sans cesse croissants, se rapprochent de plus en plus de l'infini positif.

N'importe laquelle des progressions arithmétiques et géométriques avec un pas et un dénominateur supérieur à zéro, respectivement, peut également servir d'exemple. Les séquences divergentes sont considérées, de plus, comme des séries numériques, qui n'ont pas du tout de limite. Par exemple, X n = (-2) n -1 .

Suite de Fibonacci

L'utilité pratique des séries numériques mentionnées précédemment pour l'humanité est indéniable. Mais il existe d'innombrables autres grands exemples. L'une d'elles est la suite de Fibonacci. Chacun de ses membres, qui commence par un, est la somme des précédents. Ses deux premiers représentants sont 1 et 1. Le troisième 1+1=2, le quatrième 1+2=3, le cinquième 2+3=5. De plus, selon la même logique, les nombres 8, 13, 21 et ainsi de suite suivent.

Cette série de nombres croît indéfiniment et n'a pas de limite finie. Mais il a une autre propriété merveilleuse. Le rapport de chaque nombre précédent au suivant est de plus en plus proche dans sa valeur de 0, 618. Ici, vous pouvez comprendre la différence entre une séquence convergente et divergente, car si vous effectuez une série de divisions privées reçues, le système numérique spécifié aura une limite finale égale à 0,618.

Séquence de rapport de Fibonacci

La série de chiffres indiquée ci-dessus est largement utilisée à des fins pratiques pour l'analyse technique des marchés. Mais cela ne se limite pas à ses capacités, que les Égyptiens et les Grecs connaissaient et pouvaient mettre en pratique dans les temps anciens. Ceci est prouvé par les pyramides qu'ils ont construites et le Parthénon. Après tout, le nombre 0,618 est un coefficient constant du nombre d'or, bien connu autrefois. Selon cette règle, tout segment arbitraire peut être divisé de manière à ce que le rapport entre ses parties coïncide avec le rapport entre le plus grand des segments et la longueur totale.

Construisons une série de ces relations et essayons d'analyser cette séquence. La série de numéros sera la suivante : 1 ; 0,5 ; 0,67 ; 0,6 ; 0,625 ; 0,615 ; 0,619 et ainsi de suite. En continuant ainsi, on peut vérifier que la limite de la suite convergente sera bien de 0,618. Cependant, il faut noter d'autres propriétés de cette régularité. Ici, les chiffres semblent aller au hasard, et pas du tout dans l'ordre croissant ou décroissant. Cela signifie que cette suite convergente n'est pas monotone. Pourquoi il en est ainsi sera discuté plus loin.

monotonie et limitation

Les membres de la série de nombres avec des nombres croissants peuvent clairement décroître (si x 1>x 2>x 3>...> x n>...) ou augmenter (si x 1

Après avoir peint les chiffres de cette série, on peut remarquer qu'aucun de ses membres, s'approchant indéfiniment de 1, ne dépassera jamais cette valeur. Dans ce cas, la suite convergente est dite bornée. Cela se produit chaque fois qu'il existe un tel nombre positif M, qui est toujours supérieur à l'un des termes de la série modulo. Si une série de nombres a des signes de monotonie et a une limite, et donc converge, alors elle est nécessairement dotée d'une telle propriété. Et le contraire n'est pas forcément vrai. Ceci est mis en évidence par le théorème de délimitation pour une suite convergente.

L'application de telles observations dans la pratique s'avère très utile. Donnons un exemple précis en examinant les propriétés de la suite X n = n/n+1 et démontrons sa convergence. Il est facile de montrer qu'il est monotone, puisque (x n +1 - x n) est un nombre positif pour toutes les valeurs de n. La limite de la suite est égale au nombre 1, ce qui signifie que toutes les conditions du théorème ci-dessus, également appelé théorème de Weierstrass, sont satisfaites. Le théorème sur la délimitation d'une suite convergente stipule que si elle a une limite, alors dans tous les cas elle s'avère bornée. Prenons cependant l'exemple suivant. La série de nombres X n = (-1) n est bornée en bas par -1 et en haut par 1. Mais cette suite n'est pas monotone, n'a pas de limite, et donc ne converge pas. Autrement dit, l'existence d'une limite et la convergence ne découlent pas toujours de la limitation. Pour que cela fonctionne, les limites inférieure et supérieure doivent correspondre, comme dans le cas des rapports de Fibonacci.

Nombres et lois de l'univers

Les variantes les plus simples d'une séquence convergente et divergente sont, peut-être, la série numérique X n = n et X n = 1/n. Le premier d'entre eux est une suite naturelle de nombres. Il est, comme déjà mentionné, infiniment grand. La deuxième séquence convergente est bornée et ses termes sont proches de l'infinitésimal en grandeur. Chacune de ces formules personnifie l'un des côtés de l'Univers aux multiples facettes, aidant une personne à imaginer et à calculer quelque chose d'inconnaissable, inaccessible à une perception limitée dans le langage des nombres et des signes.

Les lois de l'univers, allant de négligeable à incroyablement grand, sont également exprimées par le nombre d'or de 0,618. Les scientifiques pensent qu'il est à la base de l'essence des choses et qu'il est utilisé par la nature pour former ses parties. Les relations entre les membres suivants et précédents de la série de Fibonacci, que nous avons déjà évoquées, ne complètent pas la démonstration des étonnantes propriétés de cette série unique. Si nous considérons le quotient de la division du terme précédent par le suivant par un, alors nous obtenons une série de 0,5 ; 0,33 ; 0,4 ; 0,375 ; 0,384 ; 0,380 ; 0,382 et ainsi de suite. Il est intéressant que cette séquence limitée converge, elle n'est pas monotone, mais le rapport des nombres voisins extrêmes d'un certain membre est toujours égal à environ 0,382, ce qui peut également être utilisé dans l'architecture, l'analyse technique et d'autres industries.

Il existe d'autres coefficients intéressants de la série de Fibonacci, tous jouent un rôle particulier dans la nature et sont également utilisés par l'homme à des fins pratiques. Les mathématiciens sont sûrs que l'Univers se développe selon une certaine "spirale dorée" formée à partir des coefficients indiqués. Avec leur aide, il est possible de calculer de nombreux phénomènes se produisant sur Terre et dans l'espace, allant de la croissance du nombre de certaines bactéries au déplacement de comètes lointaines. Il s'avère que le code ADN obéit à des lois similaires.

Progression géométrique décroissante

Il existe un théorème affirmant l'unicité de la limite d'une suite convergente. Cela signifie qu'il ne peut pas avoir deux ou plusieurs limites, ce qui est sans aucun doute important pour trouver ses caractéristiques mathématiques.

Considérons quelques cas. Toute série numérique composée de membres d'une progression arithmétique est divergente, sauf pour le cas avec un pas nul. Il en va de même pour une progression géométrique dont le dénominateur est supérieur à 1. Les bornes de telles séries numériques sont le "plus" ou le "moins" de l'infini. Si le dénominateur est inférieur à -1, il n'y a aucune limite. D'autres options sont également possibles.

Considérons la série de nombres donnée par la formule X n = (1/4) n -1 . A première vue, il est facile de voir que cette suite convergente est bornée car elle est strictement décroissante et en aucun cas susceptible de prendre des valeurs négatives.

Écrivons un certain nombre de ses membres dans une rangée.

Obtenez : 1 ; 0,25 ; 0,0625 ; 0,015625 ; 0.00390625 et ainsi de suite. Des calculs assez simples suffisent pour comprendre à quelle vitesse une progression géométrique donnée de dénominateurs 0

Séquences fondamentales

Augustin Louis Cauchy, un scientifique français, a révélé au monde de nombreux travaux liés à l'analyse mathématique. Il a donné des définitions à des concepts tels que différentiel, intégral, limite et continuité. Il a également étudié les propriétés de base des séquences convergentes. Afin de comprendre l'essence de ses idées, il est nécessaire de résumer quelques détails importants.

Au tout début de l'article, il a été montré qu'il existe de telles séquences pour lesquelles il existe un voisinage où les points représentant les membres d'une certaine série sur la ligne réelle commencent à se regrouper, s'alignant de plus en plus densément. Dans le même temps, la distance entre eux diminue à mesure que le nombre du représentant suivant augmente, devenant infiniment petit. Ainsi, il s'avère que dans un voisinage donné un nombre infini de représentants d'une série donnée sont regroupés, alors qu'en dehors de celui-ci il y en a un nombre fini. De telles séquences sont dites fondamentales.

Le célèbre critère de Cauchy, créé par un mathématicien français, indique clairement que la présence d'une telle propriété suffit à prouver que la suite converge. L'inverse est également vrai.

Il faut noter que cette conclusion du mathématicien français est surtout d'intérêt purement théorique. Son application en pratique est considérée comme une question assez compliquée, par conséquent, afin de clarifier la convergence des séries, il est beaucoup plus important de prouver l'existence d'une limite finie pour une suite. Sinon, il est considéré comme divergent.

Lors de la résolution de problèmes, il convient également de prendre en compte les propriétés de base des suites convergentes. Ils sont présentés ci-dessous.

Sommes infinies

Des scientifiques célèbres de l'Antiquité comme Archimède, Euclide, Eudoxe ont utilisé les sommes de séries de nombres infinis pour calculer les longueurs des courbes, les volumes des corps et les aires des figures. En particulier, de cette manière, il a été possible de connaître l'aire du segment parabolique. Pour cela, la somme des séries numériques d'une progression géométrique avec q=1/4 a été utilisée. Les volumes et les aires d'autres figures arbitraires ont été trouvés de la même manière. Cette option s'appelait la méthode "d'épuisement". L'idée était que le corps étudié, de forme complexe, était divisé en parties, qui étaient des figures avec des paramètres facilement mesurables. Pour cette raison, il n'était pas difficile de calculer leurs superficies et leurs volumes, puis ils ont été additionnés.

Soit dit en passant, des tâches similaires sont très familières aux écoliers modernes et se retrouvent dans les tâches USE. La méthode unique, trouvée par des ancêtres lointains, est de loin la solution la plus simple. Même s'il n'y a que deux ou trois parties en lesquelles le chiffre numérique est divisé, l'addition de leurs aires est toujours la somme de la série de nombres.

Bien plus tard que les anciens scientifiques grecs Leibniz et Newton, sur la base de l'expérience de leurs sages prédécesseurs, ils ont appris les lois du calcul intégral. La connaissance des propriétés des séquences les a aidés à résoudre des équations différentielles et algébriques. À l'heure actuelle, la théorie des séries, créée par les efforts de nombreuses générations de scientifiques talentueux, permet de résoudre un grand nombre de problèmes mathématiques et pratiques. Et l'étude des suites numériques est le principal problème résolu par l'analyse mathématique depuis ses débuts.

La séquence est l'un des concepts de base des mathématiques. La séquence peut être composée de nombres, de points, de fonctions, de vecteurs, etc. Une séquence est considérée comme donnée si une loi est spécifiée selon laquelle chaque nombre naturel n est associé à un élément x n d'un ensemble. La séquence s'écrit x 1 , x 2 , …, x n , ou brièvement (x n). Les éléments x 1 , x 2 , ..., x n sont appelés membres de la séquence, x 1 - le premier, x 2 - le second, x n - membre commun (n-ième) de la séquence.

Le plus souvent, on considère des suites numériques, c'est-à-dire des suites dont les membres sont des nombres. La méthode analytique est la manière la plus simple de spécifier une suite numérique. Cela se fait à l'aide d'une formule qui exprime le nième membre de la séquence x 1 en fonction de son nombre n. Par exemple, si

Une autre manière est récurrente (du mot latin récidives- "retour"), lorsque les premiers membres de la séquence et la règle sont définis, permettant à chaque membre suivant d'être calculé à travers les précédents. Par exemple:

Des exemples de suites de nombres sont la progression arithmétique et la progression géométrique.

Il est intéressant de retracer le comportement des membres de la suite lorsque le nombre n croît sans limite (le fait que n croît indéfiniment s'écrit n → ∞ et se lit : « n tend vers l'infini »).

Considérons une suite avec un terme commun x n = 1/n : x 1 = 1, x 2 = 1/2 ; x 3 \u003d 1/3, ..., x 100 \u003d 1/100, .... Tous les membres de cette séquence sont non nuls, mais plus n est grand, moins x n diffère de zéro. Les termes de cette séquence tendent vers zéro lorsque n augmente indéfiniment. On dit que le nombre zéro est la limite de cette suite.

Autre exemple : x n = (−1) n / n - définit la séquence

Les membres de cette séquence tendent également vers zéro, mais ils sont soit supérieurs à zéro, soit inférieurs à zéro - leur limite.

Prenons un autre exemple : x n = (n − 1)/(n + 1). Si nous représentons x n sous la forme

alors il devient clair que cette séquence tend vers l'unité.

Définissons la limite d'une suite. Un nombre a est appelé limite d'une suite (x n) si, pour tout nombre positif ε, on peut spécifier un nombre N tel que, pour tout n > N, l'inégalité |x n − a|< ε.

Si a est la limite de la suite (x n), alors écrivez x n → a, ou a = lim n→∞ x n (lim sont les trois premières lettres du mot latin citrons verts- "limite").

Cette définition deviendra plus claire si nous lui donnons un sens géométrique. On enferme le nombre a dans l'intervalle (a − ε, a + ε) (voir la figure). Le nombre a est la limite de la suite (x n) si, quelle que soit la petitesse de l'intervalle (a − ε, a + ε), tous les membres de la suite avec des nombres supérieurs à un certain N se trouvent dans cet intervalle. En d'autres termes, en dehors de tout intervalle (a − ε, a + ε), il ne peut y avoir qu'un nombre fini de membres de la séquence.

Pour la séquence considérée x n = (−1) n /n, le ε-voisinage du point zéro à ε = 1/10 inclut tous les membres de la séquence, à l'exception des dix premiers, et pour ε = 1/100, tous les membres de la séquence, à l'exception des cent premiers.

Une suite qui a une limite est dite convergente, et une suite qui n'a pas de limite est dite divergente. Voici un exemple de suite divergente : x n = (−1) n . Ses termes sont alternativement +1 et -1 et ne tendent vers aucune limite.

Si la suite converge, alors elle est bornée, c'est-à-dire qu'il existe des nombres c et d tels que tous les membres de la suite satisfont la condition c ≤ x n ≤ d. Il s'ensuit que toutes les suites non bornées sont divergentes. Ce sont les séquences :

Une suite tendant vers zéro est dite infinitésimale. Le concept d'infinitésimal peut être utilisé comme base pour la définition générale de la limite d'une suite, puisque la limite d'une suite (x n) est égale à a si et seulement si x n peut être représenté comme une somme x n = a + α n , où α n est infinitésimal.

Les suites considérées (1/n), ((−1) n /n) sont infinitésimales. La suite (n − 1)/(n + 1), d'après (2), diffère de 1 d'un infinitésimal 2/(n + 1), et donc la limite de cette suite est 1.

Le concept de séquence infiniment grande est également d'une grande importance dans l'analyse mathématique. Une suite (x n) est dite infiniment grande si la suite (1/x n) est infiniment petite. Une suite infiniment grande (x n) s'écrit x n → ∞, ou lim n→∞ x n = ∞, et on dit qu'elle « va à l'infini ». Voici des exemples de séquences infiniment grandes :

(n 2), (2 n), (√(n + 1)), (n - n 2).

Nous soulignons qu'une suite infiniment grande n'a pas de limite.

Considérons les séquences (x n) et (y n). Vous pouvez définir des séquences avec des termes communs x n + y n , x n − y n , x n y n et (si y n ≠ 0) x n /y n . Le théorème suivant est vrai, souvent appelé théorème des opérations arithmétiques avec limites : si les suites (x n) et (y n) convergent, alors les suites (x n + y n), (x n − y n), (x n y n), ( x n /y n) convergent également et les égalités suivantes sont vérifiées :

Dans ce dernier cas, il faut exiger, en plus, que tous les membres de la suite (y n) soient non nuls, et aussi que la condition lim n→∞ y n ≠ 0 soit satisfaite.

En appliquant ce théorème, de nombreuses limites peuvent être trouvées. Trouver, par exemple, la limite d'une suite avec un terme commun

Représenter x n sous la forme

établir que la limite du numérateur et du dénominateur existe :

donc on obtient :

lim n→∞ x n = 2/1 =2.

Une classe importante de séquences est celle des séquences monotones. Séquences dites croissantes (x n+1 > x n pour tout n), décroissantes (x n+1< x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

Imaginons que la suite (x n) ne diminue pas, c'est-à-dire que les inégalités

X 1 ≤ X 2 ≤ X 3 ≤ … ≤ X n ≤ X n+1 ≤ …,

et que, de plus, cette suite soit bornée par le haut, c'est-à-dire que tous les x n ne dépassent pas un certain nombre d. Chaque membre d'une telle séquence est supérieur ou égal au précédent, mais aucun d'entre eux ne dépasse d. Il est bien évident que cette suite tend vers un nombre inférieur à d ou égal à d. Au cours de l'analyse mathématique, un théorème est prouvé qu'une séquence non décroissante et bornée d'en haut a une limite (une déclaration similaire est vraie pour une séquence non croissante et bornée d'en bas). Ce théorème remarquable donne des conditions suffisantes pour l'existence d'une limite. Il s'ensuit, par exemple, que la suite d'aires de n-gones réguliers inscrites dans un cercle de rayon unitaire a une limite, puisqu'elle est monotone croissante et bornée par le haut. La limite de cette suite est notée π.

En utilisant la limite d'une séquence bornée monotone, le nombre e, qui joue un rôle important dans l'analyse mathématique, est déterminé - la base des logarithmes naturels :

e = lim n→∞ (1 + 1/n) n .

La séquence (1), comme déjà noté, est monotone et, de plus, délimitée par le haut. Elle a une limite. Nous pouvons facilement trouver cette limite. S'il est égal à a, alors le nombre a doit satisfaire l'égalité a = √(2 + a). En résolvant cette équation, on obtient a = 2.