linia współrzędnych. Punkty na linii współrzędnych. Jak narysować linię współrzędnych Jak narysować linię współrzędnych

Czyli segment jednostkowy i jego dziesiąte, setne itd. udziały pozwalają nam dotrzeć do punktów linii współrzędnych, które będą odpowiadały ostatnim ułamkom dziesiętnym (jak w poprzednim przykładzie). Są jednak punkty na linii współrzędnych, których nie możemy trafić, ale do których możemy podejść tak blisko, jak tylko chcemy, używając coraz mniejszych, aż do nieskończenie małego ułamka segmentu jednostki. Punkty te odpowiadają nieskończonym okresowym i nieokresowym ułamkom dziesiętnym. Podajmy kilka przykładów. Jeden z tych punktów na linii współrzędnych odpowiada liczbie 3.711711711…=3,(711) . Aby zbliżyć się do tego punktu, musisz odłożyć na bok 3 segmenty jednostki, 7 z jego dziesiątych, 1 setną, 1 tysięczną, 7 dziesięciotysięczną, 1 stutysięczną, 1 milionową segmentu jednostkowego i tak dalej. I jeszcze jeden punkt na linii współrzędnych odpowiada pi (π=3,141592...).

Ponieważ elementami zbioru liczb rzeczywistych są wszystkie liczby, które można zapisać w postaci skończonych i nieskończonych ułamków dziesiętnych, to wszystkie powyższe informacje w tym akapicie pozwalają stwierdzić, że przypisaliśmy określoną liczbę rzeczywistą do każdego punktu linii współrzędnych, podczas gdy jasne jest, że różne punkty odpowiadają różnym liczbom rzeczywistym.

Jest też dość oczywiste, że ta korespondencja jest jeden do jednego. Oznacza to, że możemy skojarzyć dany punkt na linii współrzędnych z liczbą rzeczywistą, ale możemy również użyć danej liczby rzeczywistej do wskazania konkretnego punktu na linii współrzędnych, któremu odpowiada ta liczba rzeczywista. Aby to zrobić, będziemy musieli przesunąć określoną liczbę segmentów jednostkowych, a także dziesiątych, setnych itd. jednego segmentu od początku we właściwym kierunku. Na przykład liczba 703.405 odpowiada punktowi na linii współrzędnych, do którego można dotrzeć od początku, odkładając 703 segmenty jednostki w kierunku dodatnim, 4 segmenty, które składają się na dziesiątą część jednostki i 5 segmentów, które tworzą jedna tysięczna jednostki.

Tak więc każdy punkt na linii współrzędnych odpowiada liczbie rzeczywistej, a każda liczba rzeczywista ma swoje miejsce w postaci punktu na linii współrzędnych. Dlatego często nazywa się linię współrzędnych Numer linii.

Współrzędne punktów na linii współrzędnych

Numer odpowiadający punktowi na linii współrzędnych nazywa się współrzędna tego punktu.

W poprzednim akapicie powiedzieliśmy, że każda liczba rzeczywista odpowiada pojedynczemu punktowi na linii współrzędnych, dlatego współrzędna punktu jednoznacznie określa położenie tego punktu na linii współrzędnych. Innymi słowy, współrzędna punktu jednoznacznie definiuje ten punkt na linii współrzędnych. Z drugiej strony, każdemu punktowi na linii współrzędnych odpowiada jedna liczba rzeczywista - współrzędna tego punktu.

Pozostaje powiedzieć tylko o przyjętej notacji. Współrzędne punktu są zapisane w nawiasach po prawej stronie litery oznaczającej punkt. Na przykład, jeśli punkt M ma współrzędną -6, to można napisać M(-6) , a zapis postaci oznacza, że ​​punkt M na linii współrzędnych ma współrzędną.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka: podręcznik na 5 komórek. instytucje edukacyjne.
• Vilenkin N.Ya. itd. Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla instytucji edukacyjnych.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik na 8 komórek. instytucje edukacyjne.

Nie można twierdzić, że znasz matematykę, jeśli nie wiesz, jak rysować wykresy, rysować nierówności na linii współrzędnych i pracować z osiami współrzędnych. Komponent wizualny w nauce jest niezbędny, ponieważ bez wizualnych przykładów we wzorach i obliczeniach czasami można się bardzo pomylić. W tym artykule zobaczymy, jak pracować z osiami współrzędnych i nauczymy się budować proste wykresy funkcji.

Aplikacja

Linia współrzędnych jest podstawą najprostszych typów wykresów, z którymi uczeń spotyka się na swojej ścieżce edukacyjnej. Znajduje zastosowanie w prawie każdym temacie matematycznym: przy obliczaniu prędkości i czasu, rzutowaniu wielkości obiektów i obliczaniu ich powierzchni, w trygonometrii podczas pracy z sinusami i cosinusami.

Główną wartością takiej bezpośredniej linii jest widoczność. Ponieważ matematyka jest nauką wymagającą wysokiego poziomu myślenia abstrakcyjnego, wykresy pomagają w reprezentowaniu obiektu w świecie rzeczywistym. Jak się zachowuje? W którym momencie w kosmosie będzie za kilka sekund, minut, godzin? Co można o nim powiedzieć w porównaniu z innymi obiektami? Jaka jest jego prędkość w losowo wybranym czasie? Jak scharakteryzować jego ruch?

I nie bez powodu mówimy o prędkości - często wyświetlają ją wykresy funkcji. Mogą również wyświetlać zmiany temperatury lub ciśnienia wewnątrz obiektu, jego wielkość, orientację względem horyzontu. Dlatego też konstruowanie linii współrzędnych jest często wymagane również w fizyce.

Wykres 1D

Istnieje koncepcja wielowymiarowości. Wystarczy jedna liczba, aby określić położenie punktu. Tak jest właśnie w przypadku linii współrzędnych. Jeśli przestrzeń jest dwuwymiarowa, wymagane są dwie liczby. Wykresy tego typu są używane znacznie częściej i na pewno rozważymy je nieco dalej w artykule.

Co można zobaczyć za pomocą punktów na osi, jeśli jest tylko jedna? Możesz zobaczyć rozmiar obiektu, jego położenie w przestrzeni względem pewnego „zera”, czyli punktu wybranego jako początek.

Nie będzie można zobaczyć zmiany parametrów w czasie, ponieważ wszystkie odczyty będą wyświetlane przez jedną konkretną chwilę. Jednak od czegoś trzeba zacząć! Więc zacznijmy.

Jak zbudować oś współrzędnych

Najpierw musisz narysować linię poziomą - to będzie nasza oś. Po prawej stronie „wyostrz” go tak, aby wyglądał jak strzała. W ten sposób wskazujemy kierunek, w którym liczby będą rosły. Strzałka skierowana w dół zwykle nie jest umieszczana. Tradycyjnie oś skierowana jest w prawo, więc po prostu będziemy się trzymać tej zasady.

Ustawmy znak zerowy, który pokaże początek współrzędnych. To jest właśnie miejsce, z którego odbywa się odliczanie, czy to rozmiar, waga, prędkość, czy cokolwiek innego. Oprócz zera musimy koniecznie wyznaczyć tak zwaną cenę podziału, czyli wprowadzić standard jednostkowy, zgodnie z którym będziemy wykreślać na osi określone wielkości. Należy to zrobić, aby móc znaleźć długość odcinka na linii współrzędnych.

W równej odległości od siebie umieszczamy kropki lub „nacięcia” na linii, a pod nimi piszemy odpowiednio 1,2,3 i tak dalej. A teraz wszystko gotowe. Ale z wynikającym harmonogramem nadal musisz nauczyć się pracować.

Rodzaje punktów na linii współrzędnych

Na pierwszy rzut oka na rysunki proponowane w podręcznikach staje się jasne: punkty na osi mogą być wypełnione lub nie. Myślisz, że to przypadek? Zupełnie nie! „Pełna” kropka jest używana dla nieścisłej nierówności – takiej, która brzmi „większe lub równe”. Jeśli musimy ściśle ograniczyć przedział (na przykład „x” może przyjmować wartości od zera do jednego, ale go nie obejmuje), użyjemy punktu „pustego”, czyli w rzeczywistości małego koła na osi. Należy zauważyć, że studenci tak naprawdę nie lubią ostrych nierówności, ponieważ trudniej się z nimi pracuje.

W zależności od tego, jakich punktów użyjesz na wykresie, konstruowane interwały również zostaną nazwane. Jeśli nierówność po obu stronach nie jest ścisła, otrzymujemy segment. Jeśli z jednej strony okaże się, że jest „otwarty”, zostanie nazwany półokresem. Wreszcie, jeśli część prostej jest ograniczona z obu stron pustymi punktami, będzie nazywana interwałem.

Samolot

Konstruując dwie linie dalej, możemy już wziąć pod uwagę wykresy funkcji. Powiedzmy, że linia pozioma to oś czasu, a linia pionowa to odległość. A teraz jesteśmy w stanie określić, jaką odległość obiekt pokona w minutę lub godzinę podróży. Dzięki temu praca z samolotem umożliwia monitorowanie zmiany stanu obiektu. Jest to o wiele bardziej interesujące niż badanie stanu statycznego.

Najprostszym wykresem na takiej płaszczyźnie jest linia prosta, która odzwierciedla funkcję Y(X) = aX + b. Czy linia się ugina? Oznacza to, że obiekt zmienia swoje właściwości w procesie badawczym.

Wyobraź sobie, że stoisz na dachu budynku, trzymając w wyciągniętej dłoni kamień. Gdy go puścisz, poleci w dół, zaczynając swój ruch od zerowej prędkości. Ale za sekundę pokona 36 kilometrów na godzinę. Kamień będzie dalej przyspieszał i aby narysować jego ruch na wykresie, będziesz musiał zmierzyć jego prędkość w kilku punktach w czasie, ustawiając punkty na osi w odpowiednich miejscach.

Znaczniki na poziomej linii współrzędnych są domyślnie nazywane X1, X2,X3, a na pionowej — odpowiednio Y1, Y2,Y3. Rzutując je na płaszczyznę i znajdując przecięcia, znajdujemy fragmenty powstałego wzoru. Łącząc je jedną linią otrzymujemy wykres funkcji. W przypadku spadającego kamienia funkcja kwadratowa będzie wyglądać następująco: Y(X) = aX * X + bX + c.

Skala

Oczywiście nie jest konieczne ustawianie wartości całkowitych przy dzieleniach linią prostą. Jeśli zastanawiasz się nad ruchem ślimaka, który pełza z prędkością 0,03 metra na minutę, ustaw jako wartości na linii prostej współrzędnych. W takim przypadku ustaw wartość podziału na 0,01 metra.

Szczególnie wygodne jest wykonywanie takich rysunków w zeszycie w klatce - tutaj od razu możesz zobaczyć, czy na arkuszu jest wystarczająco dużo miejsca na twój harmonogram, czy wyjdziesz poza marginesy. Obliczenie swojej siły nie jest trudne, ponieważ szerokość komórki w takim zeszycie wynosi 0,5 centymetra. Zajęło - zmniejszyłem obraz. Zmieniając skalę wykresu, nie straci on ani nie zmieni swoich właściwości.

Współrzędne punktu i linii

Podany na lekcji problem matematyczny może zawierać parametry o różnych kształtach geometrycznych, zarówno w postaci długości boków, obwodu, pola, jak i w postaci współrzędnych. W takim przypadku może być konieczne zarówno zbudowanie kształtu, jak i uzyskanie powiązanych z nim danych. Powstaje pytanie: jak znaleźć wymagane informacje na linii współrzędnych? A jak zbudować figurę?

Na przykład mówimy o punkcie. Wtedy w stanie problemu pojawi się wielka litera, a w nawiasach pojawi się kilka cyfr, najczęściej dwie (to oznacza, że ​​będziemy liczyć w przestrzeni dwuwymiarowej). Jeśli w nawiasach są trzy liczby oddzielone średnikiem lub przecinkiem, to jest to przestrzeń trójwymiarowa. Każda z wartości jest współrzędną na odpowiedniej osi: najpierw wzdłuż poziomej (X), a następnie wzdłuż pionowej (Y).

Pamiętasz, jak narysować segment? Zdałeś to na geometrii. Jeśli są dwa punkty, można między nimi narysować linię. Ich współrzędne są podane w nawiasach, jeśli w zadaniu pojawia się jakiś odcinek. Na przykład: A (15, 13) - B (1, 4). Aby zbudować taką linię, musisz znaleźć i zaznaczyć punkty na płaszczyźnie współrzędnych, a następnie je połączyć. To wszystko!

A dowolne wielokąty, jak wiesz, można narysować za pomocą segmentów. Problem rozwiązany.

Obliczenia

Załóżmy, że istnieje jakiś obiekt, którego położenie wzdłuż osi X jest scharakteryzowane przez dwie liczby: zaczyna się w punkcie o współrzędnej (-3) i kończy na (+2). Jeśli chcemy poznać długość tego obiektu, musimy odjąć mniejszą liczbę od większej. Zauważ, że liczba ujemna pochłania znak odejmowania, ponieważ „minus razy minus równa się plus”. Dodajemy więc (2+3) i otrzymujemy 5. To jest wymagany wynik.

Inny przykład: otrzymujemy punkt końcowy i długość obiektu, ale nie punkt początkowy (i musimy go znaleźć). Niech pozycja znanego punktu będzie równa (6), a wielkość badanego obiektu będzie równa (4). Odejmując długość od końcowej współrzędnej, otrzymujemy odpowiedź. Razem: (6 - 4) = 2.

Liczby ujemne

Często w praktyce wymagana jest praca z wartościami ujemnymi. W takim przypadku przesuniemy się wzdłuż osi współrzędnych w lewo. Na przykład obiekt o wysokości 3 centymetrów unosi się w wodzie. Jedna trzecia jest zanurzona w cieczy, dwie trzecie w powietrzu. Następnie wybierając oś jako oś, otrzymujemy dwie liczby korzystając z najprostszych obliczeń arytmetycznych: górny punkt obiektu ma współrzędną (+2), a dolny - (-1) centymetr.

Łatwo zauważyć, że w przypadku samolotu mamy cztery czwarte linii współrzędnych. Każdy z nich ma swój numer. W pierwszej (prawej górnej) części będą punkty, które mają dwie dodatnie współrzędne, w drugiej - od góry po lewej - wartości osi X będą ujemne, a wzdłuż osi Y - dodatnie. Trzecia i czwarta są liczone dalej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Ważna nieruchomość

Wiesz, że linię można przedstawić jako nieskończoną liczbę punktów. Możemy oglądać tak dokładnie, jak nam się podoba, dowolną liczbę wartości w każdym kierunku osi, ale nie spotkamy się z powtarzającymi się. Wydaje się to naiwne i zrozumiałe, ale stwierdzenie to wynika z ważnego faktu: każda liczba odpowiada jednemu i tylko jednemu punktowi na linii współrzędnych.

Wniosek

Pamiętaj, że wszelkie osie, figury i jeśli to możliwe grafiki muszą być zbudowane na linijce. Jednostki miary nie zostały wymyślone przez człowieka przypadkowo - jeśli popełnisz błąd podczas rysowania, ryzykujesz, że zobaczysz inny obraz, który powinien zostać uzyskany.

Bądź ostrożny i dokładny w kreśleniu wykresów i obliczeń. Jak każda nauka szkolna, matematyka kocha dokładność. Włóż trochę wysiłku, a dobre oceny nie potrwają długo.

Temat lekcji:

« Współrzędne na linii prostej»

Cel lekcji:

zapoznaj uczniów z linią współrzędnych i liczbami ujemnymi.

Cele Lekcji:

Szkolenie: zapoznaj uczniów z linią współrzędnych i liczbami ujemnymi.

Rozwijanie: rozwijanie logicznego myślenia, poszerzanie horyzontów.

Edukacyjne: rozwój zainteresowań poznawczych, edukacja kultury informacyjnej.

Plan lekcji:

Moment organizacyjny. Sprawdzenie uczniów i ich gotowości do lekcji.

Aktualizacja podstawowej wiedzy. Ankieta ustna studentów na omawiany temat.

Wyjaśnienie nowego materiału.

4. Konsolidacja badanego materiału.

5. Zreasumowanie. Podsumowanie tego, czego nauczyliśmy się na lekcji. Pytania od studentów.

6. Wnioski. Podsumowanie głównych punktów lekcji. Ocena wiedzy. Stawianie znaków.

7. Praca domowa. Niezależna praca uczniowie z materiałem do nauki.

Wyposażenie: kreda, deska, zjeżdżalnie.

Rozszerzony plan zarysu

Nazwa etapu i treść

Działalność

Działalność

studenci

ja wystawiam

Moment organizacyjny. Pozdrowienia.

Wypełnianie dziennika.

wita klasę, kierownik klasy podaje listę nieobecnych.

Powiedz cześć

nauczyciel

II etap

Aktualizacja podstawowej wiedzy.

Starożytny grecki naukowiec Pitagoras powiedział: „Liczby rządzą światem”. Żyjemy w tym świecie liczb i w naszych latach szkolnych uczymy się pracować z różnymi liczbami.

1 Jakie liczby już znamy na dzisiejszą lekcję?

2 Jakie problemy pomagają nam rozwiązać te liczby?

Dziś przechodzimy do studiowania drugiego rozdziału naszego podręcznika „Liczby wymierne”, w którym poszerzymy naszą wiedzę o liczbach, a po przestudiowaniu całego rozdziału „Liczby wymierne” nauczymy się wykonywać wszystkie znane wam czynności z nimi i zacznij od linii współrzędnych tematu.

1. naturalne, zwykłe ułamki zwykłe, ułamki dziesiętne

2.dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, znajdowanie ułamka z liczby i liczby z jej ułamka, rozwiązywanie różnych równań i problemów

Etap III

Wyjaśnienie nowego materiału.

Weźmy prostą AB i podzielmy ją z punktem O na dwa dodatkowe promienie - OA i OB. Wybieramy pojedynczy odcinek na linii prostej i przyjmujemy punkt O jako początek i kierunek.

Definicje:

Linia prosta z wybranym na niej punktem odniesienia, segmentem jednostki i kierunkiem nazywana jest linią współrzędnych.

Liczba wskazująca położenie punktu na linii prostej nazywana jest współrzędną tego punktu.

Jak skonstruować linię współrzędnych?

narysuj bezpośredni

ustaw jeden segment

wskazać kierunek

Linia współrzędnych może być narysowana na różne sposoby: poziomo, pionowo i pod dowolnym kątem do horyzontu, ma początek, ale nie ma końca.

Ćwiczenie 1. Które z poniższych linii nie są współrzędne? (slajd)

Narysujmy współrzędną, zaznaczmy początek współrzędnych, odcinek jednostki i odłóżmy punkty 1,2,3,4 i tak dalej w lewo i prawo.

Spójrzmy na wynikową linię współrzędnych. Dlaczego taka prosta linia jest niewygodna?

Kierunek na prawo od początku nazywamy dodatnim, a kierunek na linii prostej wskazuje strzałka. Liczby znajdujące się na prawo od punktu O nazywane są dodatnimi. Liczby ujemne znajdują się na lewo od punktu O, a kierunek na lewo od punktu O nazywa się ujemnym (kierunek ujemny nie jest wskazany). Jeśli linia współrzędnych znajduje się pionowo, to powyżej od początku - liczby dodatnie, poniżej od początku - ujemne. Liczby ujemne są zapisywane ze znakiem „-”. Czytali: „Minus jeden”, „Minus dwa”, „Minus trzy” itd. Liczba 0 - pochodzenie nie jest ani dodatnie, ani ujemne. Oddziela liczby dodatnie od ujemnych.

Rozwiązanie równań i pojęcie „długu” w obliczeniach handlowych doprowadziło do pojawienia się liczb ujemnych.

Liczby ujemne pojawiły się znacznie później niż liczby naturalne i zwykłe ułamki. Pierwsze informacje o liczbach ujemnych znajdują się wśród matematyków chińskich w II wieku p.n.e. pne mi. Liczby dodatnie interpretowano wówczas jako własność, a liczby ujemne jako dług, niedobór. W Europie uznanie przyszło tysiąc lat później i nawet wtedy przez długi czas liczby ujemne były nazywane „fałszywymi”, „wyimaginowanymi” lub „absurdalnymi”. W XVII wieku liczby ujemne otrzymały wizualną reprezentację geometryczną na osi liczbowej.

Możesz również podać przykłady linii współrzędnych: termometr, porównanie szczytów i zagłębień górskich (poziom morza przyjmuje się jako zero), odległość na mapie, szyb windy, domy, dźwigi.

Myśleć czy znasz inne przykłady linii współrzędnych?

Zadania.

Zadanie2. Nazwij współrzędne punktów.

Zadanie3. Wykreśl punkty na linii współrzędnych

Zadanie 4 . Narysuj linię poziomą i zaznacz na niej punkt O. Zaznacz na tej linii punkty A, B, C, K, jeśli wiadomo, że:

A to 9 komórek na prawo od O;

B to 6,5 komórki na lewo od O;

C to 3½ spacji na prawo od O;

K to 3 spacje na lewo od O .

Zapisane w nutach podstawowych.

Posłuchaj, uzupełnij.

Wykonaj zadanie w notatniku, a następnie wyjaśnij na głos swoje odpowiedzi.

Narysuj, zaznacz początek współrzędnych pojedynczym segmentem

Taka linia prosta jest niewygodna, ponieważ ta sama liczba odpowiada 2 punktom na linii prostej.

Historia przed naszą erą i naszą erą.

IV etap

Konsolidacja badanego materiału.

1. Co to jest linia współrzędnych?

2. Jak zbudować linię współrzędnych?

1. Linia prosta z wybranym na niej punktem odniesienia, segmentem jednostki i kierunkiem nazywana jest linią współrzędnych

2) narysuj linię prostą

zaznacz początek odliczania

ustaw jeden segment

wskazać kierunek

Etap V

Zreasumowanie

Czego nowego nauczyliśmy się dzisiaj?

Linia współrzędnych i liczby ujemne.

VI etap

Ocena wiedzy. Stawianie znaków.

Praca domowa.

Wymyśl pytania na omawiany temat (znaj odpowiedzi na nie)

linia współrzędnych.

Weźmy linię prostą. Nazwijmy to linią prostą x (ryc. 1). Wybieramy punkt odniesienia O na tej linii, a także wskazujemy strzałką dodatni kierunek tej linii (ryc. 2). Tak więc po prawej stronie punktu O będziemy mieli liczby dodatnie, a po lewej - ujemne. Wybieramy skalę, czyli wielkość odcinka linii prostej, równą jeden. Mamy to linia współrzędnych(rys. 3). Każda liczba odpowiada określonemu pojedynczemu punktowi na tej linii. Co więcej, liczba ta nazywana jest współrzędną tego punktu. Dlatego linia nazywana jest linią współrzędnych. A punkt odniesienia O nazywa się początkiem.

Na przykład na ryc. 4 punkt B znajduje się w odległości 2 na prawo od początku. Punkt D znajduje się w odległości 4 na lewo od początku. W związku z tym punkt B ma współrzędną 2, a punkt D ma współrzędną -4. Sam punkt O, będący punktem odniesienia, ma współrzędną 0 (zero). Zwykle zapisuje się to tak: O(0), B(2), D(-4). Aby nie mówić ciągle „punkt D o współrzędnych takich a takich”, mówią prościej: „punkt 0, punkt 2, punkt -4”. W tym przypadku wystarczy wskazać sam punkt jego współrzędną (ryc. 5).

Znając współrzędne dwóch punktów linii współrzędnych, zawsze możemy obliczyć odległość między nimi. Powiedzmy, że mamy dwa punkty A i B o współrzędnych aib odpowiednio. Wtedy odległość między nimi będzie |a - b|. Zapisz |a - b| czytać jako „a minus b modulo” lub „moduł różnicy między liczbami a i b”.

Co to jest moduł?

Algebraicznie moduł x jest liczbą nieujemną. Oznaczone jako |x|. Co więcej, jeśli x > 0, to |x| = x. Jeśli x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

Geometrycznie moduł liczby x jest odległością między punktem a początkiem. A jeśli są dwa punkty o współrzędnych x1 i x2, to |x1 - x2| to odległość między tymi punktami.

Moduł jest również nazywany całkowita wartość.

Co jeszcze możemy powiedzieć, jeśli chodzi o linię współrzędnych? Na pewno o przedziałach liczbowych.

Rodzaje przedziałów liczbowych.

Powiedzmy, że mamy dwie liczby a i b. Ponadto b > a (b jest większe od a). Na linii współrzędnych oznacza to, że punkt b znajduje się na prawo od punktu a. Zastąpmy b w naszej nierówności zmienną x. Czyli x > a. Wtedy x to wszystkie liczby większe od a. Na linii współrzędnych są to odpowiednio wszystkie punkty na prawo od punktu a. Ta część linii jest zacieniona (ryc. 6). Taki zbiór punktów nazywa się otwarta wiązka, a ten przedział liczbowy jest oznaczony przez (a; +∞), gdzie znak +∞ czytamy jako „plus nieskończoność”. Zwróć uwagę, że sam punkt a nie jest zawarty w tym przedziale i jest oznaczony jasnym kółkiem.

Rozważmy także przypadek, gdy x ≥ a. Wtedy x to wszystkie liczby większe lub równe a. Na linii współrzędnych są to wszystkie punkty na prawo od a, a także sam punkt a (na ryc. 7 punkt a jest już zaznaczony ciemnym kółkiem). Taki zbiór punktów nazywa się zamknięta belka(lub po prostu promień), a ten przedział liczbowy jest oznaczony przez .

Linia współrzędnych jest również nazywana oś współrzędnych. Albo po prostu oś X.

Pod koniec rozdziału 1 powiedzieliśmy, że w trakcie algebry musimy nauczyć się opisywać rzeczywiste sytuacje słowami (model werbalny), algebraicznie (algebraiczny lub, jak często mówią matematycy, analityczny), graficznie (graficzny lub model geometryczny). Cała pierwsza sekcja podręcznik(rozdziały 1-5) poświęcono badaniu języka matematycznego, za pomocą którego opisywane są modele analityczne.

Począwszy od rozdziału 6 będziemy badać nie tylko nowe modele analityczne, ale także graficzne (geometryczne). Są zbudowane przy użyciu linii współrzędnych, płaszczyzna współrzędnych. Te pojęcia są ci trochę znane z kursu matematyki w klasach 5-6.

Linia prosta /, na której inicjał kropka O (punkt odniesienia), skala (pojedyncza odcinek, czyli odcinek, którego długość jest uważana za równą 1) i kierunek dodatni, nazywa się linią współrzędnych lub osią współrzędnych (ryc. 7); Stosowany jest również termin „oś x”.

Każda liczba odpowiada jednemu punktowi na linii. Na przykład liczba 3,5 odpowiada punktowi M (ryc. 8), który jest usuwany z początku, tj. z punktu O, w odległości równej 3,5 (w danej skali) i przesunięty od punktu O w danym (pozytywnym) kierunku. Liczba -4 odpowiada punktowi P (patrz rys. 8), który jest odsunięty od punktu O w odległości równej 4, a od punktu O przesunięty w kierunku ujemnym, tj. w kierunku przeciwnym do podanego jeden.

Odwrotność jest również prawdziwa: każdemu punktowi linii współrzędnych odpowiada jedna liczba.

Na przykład punkt K, który znajduje się 5,4 od punktu O w kierunku dodatnim (danym), odpowiada liczbie 5.4, a punkt N, który jest 2,1 od punktu O w kierunku ujemnym, odpowiada liczbie - 2,1 (patrz rys. 8).

Liczby te nazywane są współrzędnymi odpowiednich punktów. Tak więc na ryc. 8 punkt K ma współrzędną 5,4; punkt P - współrzędna -4; punkt M - współrzędna 3,5; punkt N - współrzędna -2,1; punkt O - współrzędna 0 (zero). Stąd nazwa - "linia współrzędnych". Mówiąc obrazowo, współrzędna to gęsto zaludniony dom, mieszkańcy tego domu to punkty, a współrzędne punktów to liczba mieszkań, w których mieszkają mieszkańcy punktów.

Dlaczego potrzebujemy linii współrzędnych? Po co charakteryzować punkt liczbą, a liczbę punktem? Czy są z tego jakieś korzyści? Tak jest.
Niech np. na linii współrzędnych podane są dwa punkty: A - o współrzędnej o i B - o współrzędnej b (zwykle w takich przypadkach piszą krócej:
A(a), B(b)). Załóżmy, że musimy znaleźć odległość d między punktami A i B. Okazuje się, że zamiast robić pomiary geometryczne, po prostu użyj gotowej formuły d \u003d (a - b) (studiowałeś w klasie 6).
Tak więc na rysunku 8 mamy:

Dążąc do zwięzłości rozumowania, matematycy zgodzili się zamiast długiej frazy „punkt A linii współrzędnych o współrzędnej a”, na użycie krótkiej frazy: „punkt a” i odpowiednio na rysunku punkt pod rozpatrzenie jest oznaczone jego współrzędną. Tak więc rysunek 9 pokazuje linię współrzędnych, na której zaznaczono punkty - 4; - 2,1; 0; jeden; 3,5; 5.4.

Linia współrzędnych daje nam możliwość swobodnego przełączania się z języka algebraicznego na geometryczny i odwrotnie. Niech na przykład liczba a będzie mniejsza od liczby b. W języku algebraicznym zapisujemy to jako: a< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Jednak zarówno języki algebraiczne, jak i geometryczne są odmianami tego samego języka matematycznego, który badamy.

Zapoznajmy się z kilkoma innymi elementami języka matematycznego, które są związane z linią współrzędnych.

1. Niech punkt a zostanie zaznaczony na linii współrzędnych. Rozważ wszystkie punkty leżące na linii prostej na prawo od punktu a i zaznacz odpowiednią część kreskowaniem linii współrzędnych (ryc. 10). Ten zbiór punktów (liczb) nazywany jest otwartym promieniem i oznaczany przez (a, +oo), gdzie znak +oo brzmi: „plus nieskończoność”; charakteryzuje go nierówność x > a (przez dz rozumiemy dowolny punkt belki).

Uwaga: punkt a nie należy do otwartej belki, ale jeśli ten punkt musi być dołączony do otwartej belki, napisz x\u003e a lub odpowiednio zamaluj punkt b na rysunku (ryc. 13);

dla (-oo, b) użyjemy również terminu promień.

3. Niech punkty a i b będą zaznaczone na linii współrzędnych oraz< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

Ten zbiór (liczb) nazywany jest interwałem i oznaczany przez (a, b).

Charakteryzuje się ścisłą podwójną nierównością a< х < b (под х понимается любая точка интервала).

Uwaga: odstęp (a, b) to przecięcie (część wspólna) dwóch otwartych promieni (-oo, b) i (a, + oo) - widać to wyraźnie na rysunku 15.

Jeśli do przedziału (a, b) dodamy jego końce, czyli punkty a i b, to otrzymamy odcinek [a, b] (rys. 16),

który charakteryzuje się nieścisłą podwójną nierównością a< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

Odcinek [a, b] to przecięcie (część wspólna) dwóch promieni (-oo, b] i który charakteryzuje się podwójnymi nierównościami: a< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

Wprowadziliśmy więc pięć nowych terminów języka matematycznego: promień, promień otwarty, odstęp, odcinek, półprzedział. Istnieje również ogólny termin: luki liczbowe.

Sama linia współrzędnych jest również uważana za przedział liczbowy; używa się do tego notacji (-oo, +oo).

Matematyka do pobrania za darmo dla klasy 7, plany lekcji, przygotowania do szkoły online

A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucji edukacyjnych