Granica ciągu liczbowego. Jak udowodnić, że sekwencja jest zbieżna? Podstawowe własności ciągów zbieżnych Rodzaje ciągów

Definicja granic sekwencji i funkcji, własności granic, granica godna uwagi pierwsza i druga, przykłady.

stała liczba a nazywa limit sekwencje(x n) jeśli dla dowolnej arbitralnie małej liczby dodatniej ε > 0 istnieje liczba N taka, że ​​wszystkie wartości x n, dla którego n>N spełnia nierówność

Napisz to w następujący sposób: lub x n → a.

Nierówność (6.1) jest równoważna podwójnej nierówności

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, zaczynając od pewnej liczby n>N, leżą wewnątrz przedziału (a-ε , a+ε), tj. wpaść w każde małe ε-sąsiedztwo punktu a.

Sekwencja, która ma limit, nazywa się zbieżny, Inaczej - rozbieżny.

Pojęcie granicy funkcji jest uogólnieniem pojęcia granicy ciągu, ponieważ granicę ciągu można uznać za granicę funkcji x n = f(n) argumentu całkowitego n.

Niech będzie dana funkcja f(x) i niech a - punkt graniczny dziedzina definicji tej funkcji D(f), tj. taki punkt, którego każde sąsiedztwo zawiera punkty zbioru D(f) różne od a. Kropka a może, ale nie musi należeć do zbioru D(f).

Definicja 1. Stała liczba A nazywa się limit Funkcje f(x) w x→ a jeśli dla dowolnego ciągu (x n ) wartości argumentów zmierzających do a, odpowiadające sekwencje (f(x n)) mają tę samą granicę A.

Ta definicja nazywa się określenie granicy funkcji według Heinego, lub " w języku ciągów”.

Definicja 2. Stała liczba A nazywa się limit Funkcje f(x) w x→a jeśli przy danej dowolnej, dowolnie małej liczbie dodatniej ε, można znaleźć δ >0 (w zależności od ε) takie, że dla wszystkich x, leżący w ε-sąsiedztwie liczby a, tj. dla x zaspokojenie nierówności
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Ta definicja nazywa się określenie granicy funkcji według Cauchy'ego, lub „w języku ε - δ"

Definicje 1 i 2 są równoważne. Jeżeli funkcja f(x) jako x → a ma limit równe A, to jest zapisane jako

W przypadku, gdy ciąg (f(x n)) rośnie (lub maleje) w nieskończoność dla dowolnej metody aproksymacji x do twojego limitu a, wtedy powiemy, że funkcja f(x) ma nieskończona granica, i napisz jako:

Zmienna (tj. sekwencja lub funkcja), której limit wynosi zero, nazywa się nieskończenie mały.

Zmienna, której granica jest równa nieskończoności, nazywa się nieskończenie duży.

Aby znaleźć granicę w praktyce, skorzystaj z następujących twierdzeń.

Twierdzenie 1 . Jeśli każdy limit istnieje

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentarz. Wyrażenia postaci 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ są nieokreślone, np. stosunek dwóch nieskończenie małych lub nieskończenie dużych wielkości, a znalezienie tego rodzaju granicy nazywamy „ujawnieniem niepewności”.

Twierdzenie 2.

tych. możliwe jest przejście do granicy u podstawy stopnia przy stałym wykładniku, w szczególności,

Twierdzenie 3.

(6.11)

gdzie mi» 2.7 to podstawa logarytmu naturalnego. Wzory (6.10) i (6.11) nazywane są pierwszą godną uwagi granicą i drugą godną uwagi granicą.

W praktyce stosuje się również następstwa wzoru (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

w szczególności limit

Jeśli x → a i jednocześnie x > a, to napisz x →a + 0. Jeżeli w szczególności a = 0, to zamiast symbolu 0+0 napisz +0. Podobnie, jeśli x→a i jednocześnie x i są odpowiednio nazwane. właściwy limit oraz lewy limit Funkcje f(x) w punkcie a. Aby granica funkcji f(x) istniała jako x→a, jest konieczne i wystarczające, aby . Funkcja f(x) nazywa się ciągły w punkcie x 0 jeśli limit

(6.15)

Warunek (6.15) można przepisać jako:

czyli przejście do granicy pod znakiem funkcji jest możliwe, jeśli jest ona ciągła w danym punkcie.

Jeśli równość (6.15) zostanie naruszona, wtedy mówimy, że w x = xo funkcjonować f(x) To ma luka. Rozważmy funkcję y = 1/x. Domeną tej funkcji jest zbiór R, z wyjątkiem x = 0. Punkt x = 0 jest punktem granicznym zbioru D(f), ponieważ w dowolnym z jego sąsiedztw, tj. każdy otwarty przedział zawierający punkt 0 zawiera punkty z D(f), ale sam nie należy do tego zbioru. Wartość f(xo)=f(0) nie jest zdefiniowana, więc funkcja ma nieciągłość w punkcie xo=0.

Funkcja f(x) nazywa się ciągły po prawej w punkcie x o jeśli limit

oraz ciągły po lewej w punkcie x o jeśli limit

Ciągłość funkcji w punkcie x o jest równoznaczny z jego ciągłością w tym miejscu zarówno po prawej, jak i po lewej stronie.

Aby funkcja była ciągła w punkcie x o, na przykład po prawej, konieczne jest po pierwsze, aby istniała granica skończona, a po drugie, aby ta granica była równa f(xo). Dlatego jeśli przynajmniej jeden z tych dwóch warunków nie jest spełniony, funkcja będzie miała przerwę.

1. Jeśli granica istnieje i nie jest równa f(xo), to mówią, że funkcjonować f(x) w punkcie xo ma przerwa pierwszego rodzaju, lub skok.

2. Jeśli granica wynosi +∞ lub -∞ lub nie istnieje, to mówią, że in punkt x o funkcja ma przerwę drugi rodzaj.

Na przykład funkcja y = ctg x jako x → +0 ma granicę równą +∞ , co oznacza, że ​​w punkcie x=0 ma nieciągłość drugiego rodzaju. Funkcja y = E(x) (część całkowita z x) w punktach z odciętymi liczbami całkowitymi ma nieciągłości pierwszego rodzaju, czyli skoki.

Funkcja, która jest ciągła w każdym punkcie przedziału, nazywa się ciągły w . Funkcja ciągła jest reprezentowana przez ciągłą krzywą.

Wiele problemów związanych z ciągłym wzrostem pewnej ilości prowadzi do drugiej niezwykłej granicy. Do takich zadań należą np.: wzrost składki zgodnie z prawem procentu składanego, wzrost liczby ludności kraju, rozkład substancji promieniotwórczej, namnażanie się bakterii itp.

Rozważać przykład Ja.I. Perelmana, co daje interpretację liczby mi w zagadnieniu procentu składanego. Numer mi jest limit . W kasach oszczędnościowych corocznie do kapitału trwałego doliczane są odsetki. Jeśli połączenie jest nawiązywane częściej, kapitał rośnie szybciej, ponieważ w tworzenie odsetek zaangażowana jest duża kwota. Weźmy czysto teoretyczny, bardzo uproszczony przykład. Niech bank postawi 100 den. jednostki w wysokości 100% rocznie. Jeżeli pieniądze oprocentowane dodawane są do kapitału trwałego dopiero po roku, to do tego czasu 100 den. jednostki zamieni się w 200 den. Zobaczmy teraz, w co zamieni się 100 den. jednostek, jeżeli co sześć miesięcy do kapitału trwałego dodawane są odsetki. Po pół roku 100 den. jednostki wzrośnie o 100 × 1,5 = 150, a za kolejne sześć miesięcy - o 150 × 1,5 = 225 (jednostek pieniędzy). Jeśli akcesja odbywa się co 1/3 roku, to po roku 100 den. jednostki zmieni się w 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (jednostki den.). Zwiększymy ramy czasowe na dodawanie odsetek do 0,1 roku, 0,01 roku, 0,001 roku i tak dalej. Wtedy ze 100 den. jednostki rok później:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (jednostek den.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (jednostki den.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (jednostki den.).

Przy nieograniczonej obniżce warunków łączenia odsetek zgromadzony kapitał nie rośnie w nieskończoność, ale zbliża się do pewnej granicy równej ok. 271. Kapitał ustawiony na 100% w skali roku nie może wzrosnąć więcej niż 2,71 razy, nawet jeśli naliczone odsetki byłyby dodawane do kapitału co sekundę, bo limit

Przykład 3.1. Korzystając z definicji granicy ciągu liczb, udowodnij, że ciąg x n =(n-1)/n ma granicę równą 1.

Rozwiązanie. Musimy udowodnić, że bez względu na to, jakie przyjmiemy ε > 0, istnieje dla niego liczba naturalna N, taka, że ​​dla wszystkich n > N nierówność |x n -1|< ε

Weź dowolne ε > 0. Ponieważ x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, to aby znaleźć N wystarczy rozwiązać nierówność 1/n<ε. Отсюда n>1/ε, a zatem N można przyjąć jako część całkowitą 1/ε N = E(1/ε). Udowodniliśmy w ten sposób, że granica.

Rozwiązanie. Zastosuj twierdzenie o sumie granicznej i znajdź granicę każdego terminu. Ponieważ n → ∞, licznik i mianownik każdego wyrazu dąży do nieskończoności i nie możemy bezpośrednio zastosować twierdzenia granicznego ilorazu. Dlatego najpierw przekształcamy x n, dzieląc licznik i mianownik pierwszego członu przez n 2, i drugi n. Następnie, stosując twierdzenie graniczne ilorazu i twierdzenie graniczne sumy, otrzymujemy:

Przykład 3.3. . Odnaleźć .

Tutaj użyliśmy twierdzenia granicznego stopnia: granica stopnia jest równa stopniowi granicy podstawy.

Przykład 3.4. Odnaleźć ( ).

Rozwiązanie. Nie można zastosować twierdzenia granicznego różnicy, ponieważ mamy niepewność postaci ∞-∞. Przekształćmy formułę terminu ogólnego:

Przykład 3.5. Dana funkcja f(x)=2 1/x . Udowodnij, że limit nie istnieje.

Rozwiązanie. Używamy definicji 1 granicy funkcji w kategoriach ciągu. Weź ciąg ( x n ) zbieżny do 0, tj. Pokażmy, że wartość f(x n)= zachowuje się różnie dla różnych sekwencji. Niech x n = 1/n. Oczywiście, wtedy limit Wybierzmy teraz jako x n sekwencja ze wspólnym wyrazem x n = -1/n, również dążąca do zera. Dlatego nie ma ograniczeń.

Przykład 3.6. Udowodnij, że limit nie istnieje.

Rozwiązanie. Niech x 1 , x 2 ,..., x n ,... będzie ciągiem dla którego
. Jak zachowuje się ciąg (f(x n)) = (sin x n ) dla różnych x n → ∞

Jeśli x n \u003d p n, to sin x n \u003d grzech (p n) = 0 dla wszystkich n i ogranicz jeśli
xn=2 p n+ p /2, to sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 dla wszystkich n i stąd granica. Tak więc nie istnieje.

Sekwencje liczbowe to nieskończone zbiory liczb. Przykładami ciągów są: ciąg wszystkich członków nieskończonego postępu geometrycznego, ciąg wartości przybliżonych ( x 1 = 1, x 2 = 1,4, x 3= 1,41, ...), ciąg obwodów regularnych n-gony wpisane w dany okrąg. Doprecyzujmy pojęcie ciągu liczbowego.

Definicja 1. Jeśli każdy numer n z naturalnego ciągu liczb 1, 2, 3,..., P,... przypisał numer rzeczywisty xp, to zbiór liczb rzeczywistych

x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , …(2.1)

nazywa sekwencja numerów, lub po prostu sekwencja. .

Liczby x 1 , x 2, x 3, ..., xp,... zadzwonię elementy, lub członkowie sekwencje (2.1), symbol x p - ogólny element lub członek ciągu, a liczba P - jego numer. W skrócie, sekwencja (2.1) będzie oznaczona symbolem (xp). Na przykład znak (1/ n) oznacza ciąg liczb

Innymi słowy, ciąg może być rozumiany jako nieskończony zbiór ponumerowanych elementów lub zbiór par liczb (p, x p), w którym pierwsza liczba przyjmuje kolejne wartości 1, 2, 3, ... . Sekwencja jest uważana za podaną, jeśli określono metodę uzyskania któregokolwiek z jej elementów. Na przykład formuła xn = -1 + (-1)n definiuje sekwencję 0, 2, 0, 2,... .

Geometrycznie sekwencja jest przedstawiona na osi numerycznej jako sekwencja punktów, których współrzędne są równe odpowiednim członom sekwencji. Na ryc. 2.1 pokazuje sekwencję ( x n} = {1/n) na wierszu liczbowym.

Pojęcie ciągu zbieżnego

Definicja 2. Numer a nazywa limit sekwencji{x n} , jeśli dla dowolnej liczby dodatniej ε jest numer N, że dla wszystkich n > N nierówności

Sekwencja, która ma limit, nazywa się zbieżny. Jeśli ciąg ma liczbę jako granicę a, to jest napisane tak:

Sekwencja, która nie ma limitu, nazywa się rozbieżny.

Definicja 3. Sekwencja, której ograniczeniem jest liczba a= 0 nazywa się nieskończenie mała sekwencja.

Uwaga 1. Niech sekwencja ( x n) ma za granicę liczbę a. Następnie ciąg (α n} = {x n - a) jest nieskończenie mały, tj. dowolny element x p ciąg zbieżny z limitem a, można przedstawić jako

gdzie α n- element ciągu nieskończenie małego (α n} .

Uwaga 2. Nierówność (2.2) jest równoznaczna z nierównościami (patrz własność 4 modułu liczby z § 1.5)

Oznacza to, że w n > N wszystkie elementy ciągu ( x n) znajdują się w ε-sąsiedztwo zwrotnica a(rys. 2.2) oraz liczba N jest określony przez wartość ε.

Interesujące jest przedstawienie geometrycznej interpretacji tej definicji. Ponieważ ciąg jest nieskończonym zbiorem liczb, to jeśli jest zbieżny, w dowolnym ε-sąsiedztwie punktu a na linii rzeczywistej znajduje się nieskończona liczba punktów – elementów tego ciągu, natomiast poza ε-sąsiedztwem liczba elementów jest skończona. Dlatego granica ciągu jest często nazywana punkt zagęszczania.

Uwaga 3. Nieograniczona sekwencja nie ma finał limit. Jednak może mieć nieskończony limit, który jest zapisany w postaci:

Jeśli w tym samym czasie, zaczynając od określonej liczby, wszystkie elementy ciągu są dodatnie (ujemne), to napisz

Jeśli ( x n) jest ciągiem nieskończenie małym, to (1 /x p} - nieskończona sekwencja który ma nieskończoną granicę w sensie (2.3) i na odwrót.

Podajmy przykłady ciągów zbieżnych i rozbieżnych.

Przykład 1 Pokaż, korzystając z definicji granicy ciągu, że .

Rozwiązanie. Weź dowolną liczbę ε > 0. Ponieważ

następnie, aby nierówność (2.2) się utrzymała, wystarczy rozwiązać nierówność 1 / ( n + 1) < ε, откуда получаем n> (1 - ε) / ε. Wystarczy wziąć N= [(1 - ε)/ε] (całkowita część liczby (1 - ε)/ ε)* tak, że nierówność |x p - 1| < ε выполнялосьпривсех n > N.

* Symbol [ a] oznacza część całkowitą liczby a, tj. największa liczba całkowita nieprzekraczająca a. Na przykład =2, =2, =0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24.

Przykład 2 Pokaż, że sekwencja ( x n} = (-1)n lub -1, 1, -1, 1,... nie ma limitu.

Rozwiązanie. Rzeczywiście, jakąkolwiek liczbę przyjmiemy jako granicę: 1 lub -1, przy ε< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x p: wszystkie nieparzyste elementy to -1, parzyste to 1.

Podstawowe własności ciągów zbieżnych

Przedstawmy główne własności ciągów zbieżnych, które są formułowane w postaci twierdzeń w toku matematyki wyższej.

1.Jeśli wszystkie elementy nieskończenie małej sekwencji{x n} są równe tej samej liczbie c, to c = 0.

2. Sekwencja zbieżna ma tylko jeden limit.

3.Sekwencja zbieżna jest ograniczona.

4.Suma (różnica) ciągów zbieżnych{x n} oraz{y n} jest ciągiem zbieżnym, którego granica jest równa sumie (różnicy) granic ciągów{x p} oraz{y p}.

5.Iloczyn ciągów zbieżnych{x n} oraz{y n} jest ciągiem zbieżnym, którego granica jest równa iloczynowi granic ciągów{x n} oraz{y n} .

6.Iloraz dwóch ciągów zbieżnych{x n} oraz{y n} pod warunkiem, że granica ciągu{y n} jest niezerowe, istnieje ciąg zbieżny, którego granica jest równa ilorazowi granic ciągów{x n} oraz{y p} .

7. Jeśli elementy ciągu zbieżnego{x n} spełniają nierówność x p ≥ b (x p ≤ b) zaczynając od jakiejś liczby, to granica a tego ciągu również spełnia nierówność a ≥ b (a ≤ b).

8.Iloczyn nieskończenie małej sekwencji przez sekwencję ograniczoną lub liczbę jest sekwencją nieskończenie małą.

9.Iloczynem skończonej liczby nieskończenie małych ciągów jest ciąg nieskończenie mały.

Rozważmy zastosowanie tych właściwości na przykładach.

Przykład 3. Znajdź limit.

Rozwiązanie. Na n licznik i mianownik ułamka mają tendencję do nieskończoności, tj. Twierdzenie o granicy ilorazu nie może być zastosowane od razu, ponieważ zakłada istnienie skończonych granic ciągów. Przekształcamy tę sekwencję, dzieląc licznik i mianownik przez n 2. Stosując następnie twierdzenia o granicy ilorazu, granicy sumy i znowu granicy ilorazu, kolejno znajdujemy

Przykład 4 x p) = w P.

Rozwiązanie. Tutaj, podobnie jak w poprzednim przykładzie, licznik i mianownik nie mają skończonych granic i dlatego należy najpierw wykonać odpowiednie przekształcenia. Dzielenie licznika i mianownika przez n, dostajemy

Ponieważ licznik jest iloczynem ciągu nieskończenie małego i ciągu ograniczonego, to z właściwości 8 otrzymujemy w końcu

Przykład 5 Znajdź granicę ciągu ( x n) = w P .

Rozwiązanie. Tutaj nie można bezpośrednio zastosować twierdzenia o granicy sumy (różnicy) ciągów, ponieważ nie ma skończonych granic wyrazów we wzorze na ( x n} . Pomnóż i podziel wzór na ( x n) do wyrażenia sprzężonego :

liczba e

Rozważ sekwencję ( x n} , którego wspólny termin jest wyrażony wzorem

W toku analizy matematycznej udowodniono, że ta sekwencja wzrasta monotonicznie i ma limit. Ten limit nazywa się liczbą mi. Dlatego z definicji

Numer mi odgrywa dużą rolę w matematyce. Następnie zostanie rozważona metoda jej obliczania z wymaganą dokładnością. Zwróć uwagę, że liczba mi jest irracjonalny; jego przybliżona wartość to mi = 2,7182818... .

3. Limit ciągu liczb

3.1. Pojęcie ciągu liczbowego i funkcja argumentu naturalnego

Definicja 3.1. Ciąg liczbowy (zwany dalej po prostu ciągiem) to uporządkowany policzalny zbiór liczb

{x1, x2, x3, ... }.

Zwróć uwagę na dwa punkty.

1. W ciągu jest nieskończenie wiele liczb. Jeśli istnieje skończona liczba liczb, to nie jest ciąg!

2. Wszystkie liczby są uporządkowane, to znaczy ułożone w określonej kolejności.

W dalszej części często będziemy używać skrótu ciągu ( xn}.

Na sekwencjach można wykonywać pewne operacje. Rozważmy niektóre z nich.

1. Mnożenie ciągu przez liczbę.

Podciąg c×{ xn) to ciąg z elementami ( c× xn), to znaczy

c×{ x1, x2, x3, ... }={c× x1, s× x2, s× x3, ... }.

2. Dodawanie i odejmowanie ciągów.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

lub, bardziej szczegółowo,

{x1, x2, x3, ...}±{ r1, r2, r3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± lat 3, ... }.

3. Mnożenie ciągów.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. Podział ciągów.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Oczywiście zakłada się, że w tym przypadku wszystkie yn¹ 0.

Definicja 3.2. Podciąg ( xn) nazywa się ograniczony od góry, jeśli https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height = "25 src=">. Sekwencja (xn) nazywana jest ograniczoną, jeśli jest ograniczona zarówno powyżej, jak i poniżej.

3.2. Limit sekwencji. Nieskończenie duża sekwencja

Definicja 3.3. Numer a nazywa się granicą ciągu ( xn) w n dążący do nieskończoności, jeśli

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> jeśli .

Mówią, że jeśli...

Definicja 3.4. Podciąg ( xn) nazywa się nieskończenie dużym if (czyli if ).

3.3. Nieskończenie mała sekwencja.

Definicja 3.5. Sekwencja (xn) nazywana jest nieskończenie małymi if , czyli if .

Ciągi nieskończenie małe mają następujące właściwości.

1. Suma i różnica ciągów nieskończenie małych jest również ciągiem nieskończenie małym.

2. Sekwencja nieskończenie mała jest ograniczona.

3. Iloczynem ciągu nieskończenie małego i ciągu ograniczonego jest ciąg nieskończenie mały.

4. Jeśli ( xn) jest nieskończenie dużym ciągiem, a następnie zaczyna się od pewnego N, sekwencja (1/ xn) i jest to sekwencja nieskończenie mała. I odwrotnie, jeśli ( xn) jest ciągiem nieskończenie małym i wszystko xn są różne od zera, to (1/ xn) jest nieskończenie dużą sekwencją.

3.4. ciągi zbieżne.

Definicja 3.6. Jeśli istnieje limit końcowy https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. Jeśli , następnie .

3.5. Przejście do granicy nierówności.

Twierdzenie 3.1. Jeśli, zaczynając od niektórych N, wszystko xn ³ b, następnie .

Konsekwencja. Jeśli, zaczynając od niektórych N, wszystko xn ³ yn, następnie .

Komentarz. Zauważ, że jeśli, zaczynając od niektórych N, wszystko xn > b, to znaczy po przekroczeniu granicy ścisła nierówność może stać się nieścisła.

Twierdzenie 3.2.(„Twierdzenie dwóch policjantów”) Jeśli, zaczynając od niektórych N, następujące właściwości zachowują

1..gif" width="163" height="33 src=">,

wtedy istnieje.

3.6. Granica ciągu monotonicznego.

Definicja 3.7. Podciąg ( xn) nazywa się monotonicznie rosnącym, jeśli dla dowolnego n xn+1 ³ xn.

Podciąg ( xn) nazywamy ściśle monotonicznie rosnącym, jeśli w ogóle n xn+1> xn.

xn­.

Definicja 3.8. Podciąg ( xn) nazywamy monotonicznie malejącym, jeśli dla dowolnego n xn+1 £ xn.

Podciąg ( xn) nazywamy ściśle monotonicznie malejącym if for any n xn+1< xn.

Oba te przypadki są połączone z symbolem xn¯.

Twierdzenie o istnieniu granicy ciągu monotonicznego.

1. Jeśli sekwencja ( xn) jest monotonicznie rosnąca (malejąca) i ograniczona od góry (od dołu), to ma skończoną granicę równą sup( xn) (inf( xn}).

2 Jeśli sekwencja ( xn) monotonicznie rośnie (maleje), ale nie jest ograniczany od góry (od dołu), to ma granicę równą +¥ (-¥).

Na podstawie tego twierdzenia udowodniono, że istnieje tak zwana granica niezwykła

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Nazywa się to podciągiem sekwencji ( xn}.

Twierdzenie 3.3. Jeśli sekwencja ( xn) jest zbieżny, a jego granica to a, to dowolna z jego podciągów również jest zbieżna i ma ten sam limit.

Jeśli ( xn) jest ciągiem nieskończenie dużym, to każdy z jego podciągów jest również nieskończenie duży.

Lemat Bolzano-Weierstrassa.

1. Z dowolnego ograniczonego ciągu można wyodrębnić podciąg zbieżny do skończonej granicy.

2. Nieskończenie duży podciąg można wydobyć z dowolnej nieograniczonej sekwencji.

Na podstawie tego lematu udowodniono jeden z głównych wyników teorii granic - Kryterium zbieżności Bolzano-Cauchy'ego.

W kolejności dla sekwencji ( xn) istniała granica skończona, jest to konieczne i wystarczające, aby

Sekwencja spełniająca tę właściwość nazywana jest sekwencją podstawową lub sekwencją, która jest zbieżna sama w sobie.

Dla wielu osób analiza matematyczna to tylko zbiór niezrozumiałych liczb, ikon i definicji, które są dalekie od prawdziwego życia. Jednak świat, w którym istniejemy, zbudowany jest na wzorach liczbowych, których identyfikacja pomaga nie tylko poznawać otaczający nas świat i rozwiązywać jego złożone problemy, ale także upraszczać codzienne zadania praktyczne. Co ma na myśli matematyk, kiedy mówi, że sekwencja liczb jest zbieżna? Należy to omówić bardziej szczegółowo.

mały?

Wyobraź sobie lalki matrioszki, które pasują jedna do drugiej. Ich rozmiary, zapisane w postaci liczb, zaczynając od największej, a kończąc na najmniejszej z nich, tworzą ciąg. Jeśli wyobrazisz sobie nieskończoną liczbę tak jasnych postaci, wynikowy rząd będzie fantastycznie długi. To jest zbieżna sekwencja liczb. I dąży do zera, ponieważ rozmiar każdej kolejnej lalki gniazdującej, katastrofalnie zmniejszający się, stopniowo zamienia się w nic. Łatwo więc wyjaśnić: co jest nieskończenie małe.

Podobnym przykładem może być droga prowadząca w dal. A wizualne wymiary samochodu oddalającego się od obserwatora wzdłuż niego, stopniowo kurcząc się, zamieniają się w bezkształtną plamkę przypominającą kropkę. W ten sposób samochód, niczym przedmiot, oddalający się w nieznanym kierunku, staje się nieskończenie mały. Parametry określonego ciała nigdy nie będą wynosić zero w najprawdziwszym tego słowa znaczeniu, ale niezmiennie dążą do tej wartości w ostatecznym limicie. Dlatego ta sekwencja ponownie zbiega się do zera.

Obliczmy wszystko kropla po kropli

Wyobraźmy sobie sytuację z prawdziwego życia. Lekarz zalecił pacjentowi przyjmowanie leku, zaczynając od dziesięciu kropli dziennie i dodając dwie każdego dnia następnego. I tak lekarz zasugerował kontynuowanie do wyczerpania zawartości fiolki z lekiem, której objętość wynosi 190 kropli. Z powyższego wynika, że ​​liczba takich malowanych w dzień będzie następującą serią liczb: 10, 12, 14 i tak dalej.

Jak sprawdzić czas zaliczenia całego kursu i liczbę członków ciągu? Tutaj oczywiście można policzyć krople w prymitywny sposób. Ale biorąc pod uwagę wzorzec, o wiele łatwiej jest użyć wzoru z krokiem d = 2. Używając tej metody, dowiedz się, że liczba członków szeregu liczbowego wynosi 10. W tym przypadku 10 = 28. Numer członka wskazuje liczbę dni przyjmowania leku, a 28 odpowiada liczbie kropli, które pacjent powinien zastosować w ostatnim dniu. Czy ta sekwencja jest zbieżna? Nie, bo pomimo tego, że jest ograniczona do 10 od dołu i 28 od góry, taka seria liczb nie ma ograniczeń, w przeciwieństwie do poprzednich przykładów.

Jaka jest różnica?

Spróbujmy teraz wyjaśnić: kiedy szereg liczb okaże się ciągiem zbieżnym. Definicja tego rodzaju, jak z powyższego wynika, wiąże się bezpośrednio z pojęciem granicy skończonej, której obecność ujawnia istotę zagadnienia. Jaka jest więc zasadnicza różnica między poprzednio podanymi przykładami? I dlaczego w ostatnim z nich liczby 28 nie można uznać za granicę szeregu liczbowego X n = 10 + 2(n-1)?

Aby wyjaśnić tę kwestię, rozważmy inny ciąg podany poniższym wzorem, gdzie n należy do zbioru liczb naturalnych.

Ta społeczność członków to zbiór zwykłych ułamków, których licznik to 1, a mianownik stale rośnie: 1, ½ ...

Co więcej, każdy kolejny przedstawiciel tej serii, pod względem położenia na osi liczbowej, coraz bardziej zbliża się do 0. Oznacza to, że takie sąsiedztwo pojawia się tam, gdzie punkty skupiają się wokół zera, czyli granicy. A im bliżej są, tym gęstsza staje się ich koncentracja na osi liczbowej. A odległość między nimi jest katastrofalnie zmniejszona, zamieniając się w nieskończenie małą. To znak, że kolejność się zbiega.

Podobnie wielokolorowe prostokąty pokazane na rysunku, oddalając się w kosmosie, są wizualnie bardziej zatłoczone, w hipotetycznym limicie stają się znikome.

Nieskończenie duże sekwencje

Po przeanalizowaniu definicji ciągu zbieżnego przechodzimy teraz do kontrprzykładów. Wiele z nich było znanych człowiekowi od czasów starożytnych. Najprostsze warianty ciągów rozbieżnych to ciągi liczb naturalnych i parzystych. Nazywa się je nieskończenie dużymi w inny sposób, ponieważ ich członkowie, stale rosnący, coraz bardziej zbliżają się do pozytywnej nieskończoności.

Dowolny z ciągów arytmetycznych i geometrycznych z odpowiednio krokiem i mianownikiem większym od zera może również służyć jako taki przykład. Za ciągi rozbieżne uważa się ponadto szeregi liczbowe, które w ogóle nie mają granicy. Na przykład X n = (-2) n -1 .

ciąg Fibonacciego

Praktyczne zastosowanie wspomnianej wcześniej serii liczbowej dla ludzkości jest niezaprzeczalne. Ale istnieje niezliczona ilość innych wspaniałych przykładów. Jednym z nich jest ciąg Fibonacciego. Każdy z jej członków, który zaczyna się od jednego, jest sumą poprzednich. Jego dwaj pierwsi przedstawiciele to 1 i 1. Trzeci 1+1=2, czwarty 1+2=3, piąty 2+3=5. Dalej, zgodnie z tą samą logiką, następują liczby 8, 13, 21 i tak dalej.

Ta seria liczb rośnie w nieskończoność i nie ma skończonej granicy. Ale ma jeszcze jedną cudowną właściwość. Stosunek każdej poprzedniej liczby do następnej jest coraz bardziej zbliżony do wartości 0,618. Tutaj możesz zrozumieć różnicę między ciągiem zbieżnym i rozbieżnym, ponieważ jeśli wykonasz serię otrzymanych dzieleń prywatnych, określony system liczbowy będzie miał ostateczny limit równy 0,618.

Sekwencja współczynnika Fibonacciego

Wskazane powyżej serie liczb są szeroko stosowane w celach praktycznych do analizy technicznej rynków. Ale to nie ogranicza się do jego możliwości, które Egipcjanie i Grecy znali i potrafili zastosować w starożytności. Świadczą o tym zbudowane przez nich piramidy i Partenon. W końcu liczba 0,618 to stały współczynnik złotego przekroju, dobrze znany w dawnych czasach. Zgodnie z tą zasadą dowolny dowolny odcinek można podzielić w taki sposób, aby stosunek jego części pokrywał się ze stosunkiem największego z odcinków do całkowitej długości.

Zbudujmy serię tych relacji i spróbujmy przeanalizować tę sekwencję. Szereg liczb będzie następujący: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 i tak dalej. Kontynuując w ten sposób można zweryfikować, że granica ciągu zbieżnego rzeczywiście wyniesie 0,618. Należy jednak zwrócić uwagę na inne właściwości tej prawidłowości. Tutaj liczby wydają się iść losowo, a nie w porządku rosnącym lub malejącym. Oznacza to, że ta zbieżna sekwencja nie jest monotonna. Dlaczego tak jest, zostanie omówione dalej.

monotonia i ograniczenia

Elementy szeregu liczb o rosnących liczbach mogą wyraźnie maleć (jeśli x 1>x 2>x 3>...> x n>...) lub wzrastać (jeśli x 1

Po namalowaniu liczb z tej serii można zauważyć, że żaden z jej członków, zbliżając się w nieskończoność do 1, nigdy nie przekroczy tej wartości. W tym przypadku ciąg zbieżny jest określany jako ograniczony. Dzieje się tak, gdy istnieje taka liczba dodatnia M, która jest zawsze większa niż którykolwiek z wyrazów szeregu modulo. Jeśli szereg liczb ma oznaki monotonii i ma granicę, a zatem jest zbieżny, to z konieczności jest obdarzony taką właściwością. A odwrotnie nie musi być prawdą. Świadczy o tym twierdzenie o ograniczeniu ciągu zbieżnego.

Zastosowanie takich obserwacji w praktyce okazuje się bardzo przydatne. Podajmy konkretny przykład badając własności ciągu X n = n/n+1 i udowodnijmy jego zbieżność. Łatwo wykazać, że jest monotoniczny, ponieważ (x n +1 - x n) jest liczbą dodatnią dla dowolnych wartości n. Granica ciągu jest równa liczbie 1, co oznacza, że ​​spełnione są wszystkie warunki powyższego twierdzenia, zwanego także twierdzeniem Weierstrassa. Twierdzenie o ograniczoności ciągu zbieżnego mówi, że jeśli ma on granicę, to w każdym razie okazuje się, że jest on ograniczony. Weźmy jednak następujący przykład. Szereg liczb X n = (-1) n jest ograniczony od dołu przez -1, a od góry przez 1. Ale ten ciąg nie jest monotonny, nie ma granic i dlatego nie jest zbieżny. Oznacza to, że istnienie granicy i zbieżności nie zawsze wynika z ograniczenia. Aby to zadziałało, dolna i górna granica muszą się zgadzać, tak jak w przypadku współczynników Fibonacciego.

Liczby i prawa wszechświata

Najprostszymi wariantami ciągu zbieżnego i rozbieżnego są być może szeregi liczbowe X n = n i X n = 1/n. Pierwsza z nich to naturalny ciąg liczb. Jest, jak już wspomniano, nieskończenie duży. Druga zbieżna sekwencja jest ograniczona, a jej terminy są bliskie nieskończenie małej wielkości. Każda z tych formuł uosabia jedną ze stron wieloaspektowego Wszechświata, pomagając sobie wyobrazić i obliczyć coś niepoznawalnego, niedostępnego dla ograniczonej percepcji w języku liczb i znaków.

Prawa wszechświata, od znikomych do niewiarygodnie dużych, są również wyrażone przez złoty podział 0,618. Naukowcy uważają, że jest podstawą istoty rzeczy i jest używany przez naturę do tworzenia jej części. Relacje między kolejnymi i poprzednimi członkami serii Fibonacci, o których już wspominaliśmy, nie dopełniają pokazu niesamowitych właściwości tej wyjątkowej serii. Jeśli weźmiemy pod uwagę iloraz dzielenia poprzedniego wyrazu przez następny przez jeden, otrzymamy szereg 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 i tak dalej. Interesujące jest to, że ta ograniczona sekwencja jest zbieżna, nie jest monotonna, ale stosunek sąsiednich liczb ekstremów od pewnego członka zawsze wynosi w przybliżeniu 0,382, co można również wykorzystać w architekturze, analizie technicznej i innych branżach.

Istnieją inne interesujące współczynniki serii Fibonacciego, wszystkie odgrywają szczególną rolę w przyrodzie i są również wykorzystywane przez człowieka do celów praktycznych. Matematycy są pewni, że Wszechświat rozwija się według pewnej „złotej spirali” utworzonej ze wskazanych współczynników. Za ich pomocą można obliczyć wiele zjawisk zachodzących na Ziemi iw kosmosie, począwszy od wzrostu liczebności określonych bakterii, a skończywszy na ruchu odległych komet. Jak się okazuje, kod DNA podlega podobnym prawom.

Zmniejszenie postępu geometrycznego

Istnieje twierdzenie potwierdzające jednoznaczność granicy ciągu zbieżnego. Oznacza to, że nie może mieć dwóch lub więcej granic, co jest niewątpliwie ważne dla znalezienia jego matematycznych cech.

Rozważmy kilka przypadków. Każdy szereg liczbowy złożony z elementów postępu arytmetycznego jest rozbieżny, z wyjątkiem przypadku z krokiem zerowym. To samo dotyczy postępu geometrycznego, którego mianownik jest większy niż 1. Granice takiego szeregu liczbowego to „plus” lub „minus” nieskończoności. Jeśli mianownik jest mniejszy niż -1, to w ogóle nie ma limitu. Możliwe są również inne opcje.

Rozważmy szereg liczb wyrażony wzorem X n = (1/4) n -1 . Na pierwszy rzut oka łatwo zauważyć, że ten ciąg zbieżny jest ograniczony, ponieważ jest ściśle malejący iw żaden sposób nie może przyjmować wartości ujemnych.

Napiszmy kilka jego członków z rzędu.

Zdobądź: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0,00390625 i tak dalej. Wystarczą dość proste obliczenia, aby zrozumieć, jak szybko dany ciąg geometryczny z mianownikami 0

Sekwencje podstawowe

Francuski naukowiec Augustin Louis Cauchy ujawnił światu wiele prac związanych z analizą matematyczną. Nadał definicje takich pojęć, jak różniczk, całka, granica i ciągłość. Studiował również podstawowe właściwości ciągów zbieżnych. Aby zrozumieć istotę jego pomysłów, konieczne jest podsumowanie kilku ważnych szczegółów.

Na samym początku artykułu pokazano, że istnieją takie ciągi, dla których istnieje sąsiedztwo, w którym punkty reprezentujące elementy pewnego szeregu na prostej zaczynają się skupiać, ustawiając się coraz gęściej. Jednocześnie odległość między nimi zmniejsza się wraz ze wzrostem liczby kolejnego przedstawiciela, zamieniając się w nieskończenie małą. Okazuje się więc, że w danym sąsiedztwie zgrupowana jest nieskończona liczba przedstawicieli danego szeregu, podczas gdy poza nim jest ich skończona liczba. Takie sekwencje nazywane są podstawowymi.

Słynne kryterium Cauchy'ego, stworzone przez francuskiego matematyka, wyraźnie wskazuje, że obecność takiej właściwości wystarczy do wykazania zbieżności ciągu. Odwrotna sytuacja również jest prawdziwa.

Należy zauważyć, że ten wniosek francuskiego matematyka ma głównie znaczenie czysto teoretyczne. Jego zastosowanie w praktyce uważa się za dość skomplikowaną sprawę, dlatego dla wyjaśnienia zbieżności szeregów o wiele ważniejsze jest udowodnienie istnienia skończonej granicy ciągu. W przeciwnym razie jest uważany za rozbieżny.

Przy rozwiązywaniu problemów należy również wziąć pod uwagę podstawowe własności ciągów zbieżnych. Przedstawiono je poniżej.

Nieskończone sumy

Tacy znani naukowcy starożytności jak Archimedes, Euklides, Eudoksos wykorzystywali sumy nieskończonych szeregów liczbowych do obliczania długości krzywych, objętości ciał i powierzchni figur. W szczególności w ten sposób można było poznać obszar odcinka parabolicznego. W tym celu wykorzystano sumę szeregu liczbowego postępu geometrycznego z q=1/4. W podobny sposób znaleziono objętości i pola innych dowolnych figur. Ta opcja została nazwana metodą „wyczerpania”. Pomysł polegał na tym, że badane ciało o złożonym kształcie zostało rozbite na części, które były figurami o łatwych do zmierzenia parametrach. Z tego powodu nie było trudno obliczyć ich powierzchnie i kubatury, a następnie je zsumować.

Nawiasem mówiąc, podobne zadania są dobrze znane współczesnym uczniom i można je znaleźć w zadaniach USE. Unikalna metoda, znaleziona przez odległych przodków, jest zdecydowanie najprostszym rozwiązaniem. Nawet jeśli istnieją tylko dwie lub trzy części, na które podzielona jest liczba, to dodanie ich pól jest nadal sumą szeregu liczb.

Znacznie później niż starożytni greccy naukowcy Leibniz i Newton, opierając się na doświadczeniach swoich mądrych poprzedników, nauczyli się praw obliczeń całkowych. Znajomość właściwości sekwencji pomogła im rozwiązać równania różniczkowe i algebraiczne. Obecnie teoria serii, tworzona wysiłkiem wielu pokoleń utalentowanych naukowców, daje szansę rozwiązania ogromnej liczby problemów matematycznych i praktycznych. A badanie ciągów liczbowych jest głównym problemem rozwiązywanym przez analizę matematyczną od jej powstania.

Sekwencja jest jednym z podstawowych pojęć matematyki. Sekwencja może składać się z liczb, punktów, funkcji, wektorów i tak dalej. Ciąg uważa się za podany, jeśli określone jest prawo, zgodnie z którym każda liczba naturalna n jest związana z elementem x n pewnego zbioru. Sekwencja jest zapisywana jako x 1 , x 2 , …, x n , lub w skrócie (x n). Elementy x 1 , x 2 , ..., x n nazywamy elementami ciągu, x 1 - pierwszy, x 2 - drugi, x n - wspólny (n-ty) element ciągu.

Najczęściej rozważane są ciągi liczbowe, czyli ciągi, których członkami są liczby. Metoda analityczna to najprostszy sposób określenia ciągu liczbowego. Odbywa się to za pomocą wzoru, który wyraża n-ty element ciągu x 1 jako jego numer n. Na przykład, jeśli

Inny sposób powtarza się (od łacińskiego słowa nawroty- „powracający”), gdy ustawionych jest kilka pierwszych elementów ciągu i reguły, co pozwala na przeliczenie każdego kolejnego elementu przez poprzednie. Na przykład:

Przykładami sekwencji liczb są postęp arytmetyczny i postęp geometryczny.

Interesujące jest prześledzenie zachowania elementów ciągu, gdy liczba n wzrasta bez ograniczeń (fakt, że n rośnie w nieskończoność jest zapisany jako n → ∞ i brzmi: „n dąży do nieskończoności”).

Rozważ ciąg ze wspólnym wyrazem x n = 1/n: x 1 = 1, x 2 = 1/2; x 3 \u003d 1/3, ..., x 100 \u003d 1/100, .... Wszystkie elementy tej sekwencji są niezerowe, ale im większe n, tym mniej x n różni się od zera. Terminy tej sekwencji mają tendencję do zera, gdy n wzrasta w nieskończoność. Mówi się, że liczba zero jest granicą tej sekwencji.

Inny przykład: x n = (−1) n / n - definiuje sekwencję

Członkowie tej sekwencji również dążą do zera, ale są albo większe od zera, albo mniejsze od zera - ich granica.

Rozważ inny przykład: x n = (n − 1)/(n + 1). Jeśli reprezentujemy x n w postaci

wtedy staje się jasne, że ta sekwencja dąży do jedności.

Określmy granicę ciągu. Liczbę a nazywamy granicą ciągu (x n), jeśli dla dowolnej liczby dodatniej ε można określić liczbę N taką, że dla wszystkich n > N nierówność |x n − a|< ε.

Jeśli a jest granicą ciągu (x n), to napisz x n → a, lub a = lim n→∞ x n (lim to pierwsze trzy litery słowa łacińskiego limonki- "limit").

Ta definicja stanie się jaśniejsza, jeśli nadamy jej znaczenie geometryczne. Liczbę a zamykamy w przedziale (a − ε, a + ε) (patrz rysunek). Liczba a jest granicą ciągu (x n), jeżeli, niezależnie od małości przedziału (a − ε, a + ε), wszystkie elementy ciągu o liczbach większych niż niektóre N leżą w tym przedziale. Innymi słowy, poza dowolnym przedziałem (a − ε, a + ε) może istnieć tylko skończona liczba członków ciągu.

Dla rozpatrywanego ciągu x n = (−1) n /n, ε-sąsiedztwo punktu zerowego przy ε = 1/10 obejmuje wszystkie człony ciągu, z wyjątkiem pierwszej dziesiątki, a dla ε = 1/100, wszystkich członków sekwencji, z wyjątkiem pierwszej setki.

Sekwencja mająca granicę nazywana jest zbieżną, a sekwencja, która nie ma granicy, nazywana jest rozbieżną. Oto przykład ciągu rozbieżnego: x n = (−1) n . Jego terminy to na przemian +1 i -1 i nie mają tendencji do żadnych ograniczeń.

Jeśli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony, tj. istnieją liczby ci d takie, że wszystkie elementy ciągu spełniają warunek c ≤ x n ≤ d. Wynika z tego, że wszystkie sekwencje nieograniczone są rozbieżne. Oto sekwencje:

Mówi się, że sekwencja dążąca do zera jest nieskończenie mała. Pojęcie nieskończenie małe może być użyte jako podstawa do ogólnej definicji granicy ciągu, ponieważ granica ciągu (x n) jest równa a wtedy i tylko wtedy, gdy x n można przedstawić jako sumę x n = a + α n , gdzie α n jest nieskończenie małe.

Rozważane sekwencje (1/n), ((-1) n /n) są nieskończenie małe. Ciąg (n − 1)/(n + 1), jak wynika z (2), różni się od 1 o nieskończenie małe 2/(n + 1), a zatem granica tego ciągu wynosi 1.

Duże znaczenie w analizie matematycznej ma także pojęcie nieskończenie dużego ciągu. Ciąg (x n) nazywamy nieskończenie dużym, jeśli ciąg (1/x n) jest nieskończenie mały. Nieskończenie duża sekwencja (x n) jest zapisywana jako x n → ∞ lub lim n→∞ x n = ∞ i mówi się, że „idzie do nieskończoności”. Oto przykłady nieskończenie dużych ciągów:

(n 2), (2 n), (√(n + 1)), (n - n 2).

Podkreślamy, że nieskończenie duża sekwencja nie ma granic.

Rozważ ciągi (x n) i (yn ). Możesz zdefiniować sekwencje za pomocą wspólnych terminów x n + y n , x n − y n , x n y n i (jeśli y n ≠ 0) x n /y n . Prawdziwe jest następujące twierdzenie, które często nazywa się twierdzeniem o operacjach arytmetycznych z granicami: jeśli ciągi (x n) i (y n) są zbieżne, to ciągi (x n + y n), (x n − y n), (x n y n), ( x n / y n) również są zbieżne i obowiązują następujące równości:

W tym drugim przypadku konieczne jest dodatkowo wymaganie, aby wszystkie elementy ciągu (yn) były niezerowe, a także spełniony był warunek lim n→∞ y n ≠ 0.

Stosując to twierdzenie, można znaleźć wiele ograniczeń. Znajdź na przykład granicę ciągu ze wspólnym wyrazem

Reprezentujące x n w postaci

ustalić, że istnieje granica licznika i mianownika:

więc otrzymujemy:

lim n → x n = 2/1 =2.

Ważną klasą sekwencji są sekwencje monotoniczne. Tak zwane ciągi rosnące (x n+1 > x n dla dowolnego n), malejące (x n+1< x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

Wyobraź sobie, że ciąg (x n) nie maleje, czyli nierówności

x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ … ≤ x n ≤ x n+1 ≤ …,

i niech dodatkowo ten ciąg będzie ograniczony od góry, tj. wszystkie x n nie przekraczają pewnej liczby d. Każdy członek takiego ciągu jest większy lub równy poprzedniemu, ale żaden z nich nie przekracza d. Jest całkiem oczywiste, że ta sekwencja dąży do pewnej liczby, która jest albo mniejsza niż d, albo równa d. W toku analizy matematycznej udowodniono twierdzenie, że ciąg nierosnący i ograniczony od góry ma granicę (podobne stwierdzenie jest prawdziwe dla ciągu nierosnącego i ograniczonego od dołu). To niezwykłe twierdzenie daje wystarczające warunki do istnienia granicy. Wynika z niego na przykład, że ciąg obszarów regularnych n-gonów wpisanych w okrąg o jednostkowym promieniu ma granicę, ponieważ jest monotonicznie rosnący i ograniczony od góry. Granica tego ciągu jest oznaczona przez π.

Wykorzystując granicę ciągu monotonicznie ograniczonego, wyznacza się odgrywającą dużą rolę w analizie matematycznej liczbę e - podstawę logarytmów naturalnych:

e = lim n→∞ (1 + 1/n) n .

Sekwencja (1), jak już wspomniano, jest monotonna, a ponadto ograniczona od góry. Ma limit. Możemy łatwo znaleźć ten limit. Jeśli jest równa a, to liczba a musi spełniać równość a = √(2 + a). Rozwiązując to równanie, otrzymujemy a = 2.