Skaitliskās secības ierobežojums. Kā pierādīt, ka secība saplūst? Konverģentu secību pamatīpašības Sekvenču veidi

Secības un funkciju robežu definēšana, robežu īpašības, pirmā un otrā ievērojamā robeža, piemēri.

nemainīgs skaitlis a sauca ierobežojums sekvences(x n) ja jebkuram patvaļīgi mazam pozitīvam skaitlim ε > 0 eksistē tāds skaitlis N, ka visas vērtības x n, kuriem n>N, apmierina nevienādību

Uzrakstiet to šādi: vai x n → a.

Nevienādība (6.1) ir ekvivalenta dubultajai nevienādībai

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, sākot no kāda skaitļa n>N, atrodas intervāla (a-ε , a+ε) iekšpusē, t.i. iekrist jebkurā mazā punkta ε apkaimē a.

Tiek izsaukta secība, kurai ir ierobežojums saplūst, citādi - atšķiras.

Funkcijas robežas jēdziens ir secības robežas jēdziena vispārinājums, jo secības robežu var uzskatīt par vesela skaitļa argumenta funkcijas x n = f(n) robežu. n.

Dota funkcija f(x) un pieņems a - robežpunktsšīs funkcijas definīcijas apgabals D(f), t.i. tāds punkts, kura jebkurā apkārtnē ir kopas D(f) punkti, kas atšķiras no a. Punkts a var piederēt vai nepiederēt kopai D(f).

1. definīcija. Tiek izsaukts konstants skaitlis A ierobežojums funkcijas f(x) plkst x→ a if jebkurai argumentu vērtību secībai (x n ), kas tiecas uz a, attiecīgajām sekvencēm (f(x n)) ir tāda pati robeža A.

Šo definīciju sauc funkcijas robežas noteikšana saskaņā ar Heine, vai " sekvenču valodā”.

2. definīcija. Tiek izsaukts konstants skaitlis A ierobežojums funkcijas f(x) plkst x→a ja, ņemot vērā patvaļīgu, patvaļīgi mazu pozitīvu skaitli ε, var atrast δ >0 (atkarībā no ε) tā, ka visiem x, kas atrodas skaitļa ε apkaimē a, t.i. priekš x nevienlīdzības apmierināšana
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Šo definīciju sauc funkcijas robežas noteikšana saskaņā ar Košī, vai “valodā ε - δ"

1. un 2. definīcijas ir līdzvērtīgas. Ja funkcijai f(x) kā x → a ir ierobežojums vienāds ar A, tas ir uzrakstīts kā

Gadījumā, ja secība (f(x n)) palielinās (vai samazinās) bezgalīgi jebkurai tuvināšanas metodei x līdz jūsu robežai a, tad teiksim, ka funkcijai f(x) ir bezgalīga robeža, un uzrakstiet to kā:

Tiek izsaukts mainīgais (t.i., secība vai funkcija), kura robeža ir nulle bezgala mazs.

Tiek izsaukts mainīgais, kura robeža ir vienāda ar bezgalību bezgala liels.

Lai praksē atrastu robežu, izmantojiet šādas teorēmas.

1. teorēma . Ja pastāv katrs ierobežojums

(6.4)

(6.5)

(6.6)

komentēt. Izteiksmes formā 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ ir nenoteiktas, piemēram, divu bezgalīgi mazu vai bezgala lielu daudzumu attiecība, un šāda veida robežas atrašanu sauc par “nenoteiktības atklāšanu”.

2. teorēma.

tie. ir iespējams pāriet uz robežu pie pakāpes ar nemainīgu eksponentu, jo īpaši,

3. teorēma.

(6.11)

kur e» 2,7 ir naturālā logaritma bāze. Formulas (6.10) un (6.11) sauc par pirmo ievērojamo robežu un otro ievērojamo robežu.

Praksē tiek izmantotas arī formulas (6.11.) sekas:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

jo īpaši robeža

Ja x → a un vienlaikus x > a, tad rakstiet x →a + 0. Ja konkrēti a = 0, tad simbola 0+0 vietā rakstiet +0. Līdzīgi, ja x→a un vienlaikus x un tiek attiecīgi nosaukti. labā robeža un kreisais ierobežojums funkcijas f(x) punktā a. Lai funkcijas f(x) robeža pastāvētu kā x→ a, ir nepieciešams un pietiek ar to . Tiek izsaukta funkcija f(x). nepārtraukts punktā x 0 ja ierobežojums

(6.15)

Nosacījumu (6.15.) var pārrakstīt šādi:

tas ir, pāreja uz robežu zem funkcijas zīmes ir iespējama, ja tā ir nepārtraukta noteiktā punktā.

Ja tiek pārkāpta vienlīdzība (6.15), tad mēs tā sakām plkst x = xo funkcija f(x) Tā ir plaisa. Apsveriet funkciju y = 1/x. Šīs funkcijas domēns ir kopa R, izņemot x = 0. Punkts x = 0 ir kopas D(f) robežpunkts, jo jebkurā tās apkārtnē, t.i., jebkurš atvērts intervāls, kas satur punktu 0, satur punktus no D(f), bet tas pats nepieder šai kopai. Vērtība f(x o)= f(0) nav definēta, tāpēc funkcijai punktā x o = 0 ir pārtraukums.

Tiek izsaukta funkcija f(x). nepārtraukta labajā pusē noteiktā punktā x o ja ierobežojums

un nepārtraukti pa kreisi punktā x o ja ierobežojums

Funkcijas nepārtrauktība punktā x o ir līdzvērtīgs tā nepārtrauktībai šajā punktā gan labajā, gan kreisajā pusē.

Lai funkcija būtu nepārtraukta punktā x o, piemēram, labajā pusē, pirmkārt, ir jābūt ierobežotai robežai un, otrkārt, šai robežai jābūt vienādai ar f(x o). Tāpēc, ja nav izpildīts vismaz viens no šiem diviem nosacījumiem, funkcijai būs atstarpe.

1. Ja robeža pastāv un nav vienāda ar f(x o), tad viņi tā saka funkcija f(x) punktā xo ir pirmā veida pārtraukums, vai lēkt.

2. Ja robeža ir +∞ vai -∞ vai tā nepastāv, tad viņi saka, ka iekšā punktu x o funkcijai ir pārtraukums otrais veids.

Piemēram, funkcijai y = ctg x kā x → +0 ir robeža, kas vienāda ar +∞ , kas nozīmē, ka punktā x=0 tai ir otrā veida pārtraukums. Funkcija y = E(x) (vesela daļa no x) punktos ar veseliem skaitļiem abscisēm ir pirmā veida pārtraukumi vai lēcieni.

Tiek izsaukta funkcija, kas ir nepārtraukta katrā intervāla punktā nepārtraukts iekšā . Nepārtrauktu funkciju attēlo cieta līkne.

Daudzas problēmas, kas saistītas ar kāda daudzuma nepārtrauktu pieaugumu, noved pie otrās ievērojamās robežas. Pie šādiem uzdevumiem, piemēram, pieder: iemaksas pieaugums pēc salikto procentu likuma, valsts iedzīvotāju skaita pieaugums, radioaktīvās vielas sabrukšana, baktēriju pavairošana u.c.

Apsveriet Ya. I. Perelman piemērs, kas sniedz skaitļa interpretāciju e salikto procentu problēmā. Numurs e ir limits . Krājbankās ik gadu pamatkapitālam pievieno procentu naudu. Ja savienojums tiek veikts biežāk, tad kapitāls aug ātrāk, jo procentu veidošanā tiek iesaistīts liels daudzums. Ņemsim tīri teorētisku, ļoti vienkāršotu piemēru. Lai banka ieliek 100 den. vienības ar likmi 100% gadā. Ja procentus nesošo naudu pamatkapitālam pievieno tikai pēc gada, tad līdz šim laikam 100 den. vienības pārvērtīsies par 200 den. Tagad paskatīsimies, par ko pārvērtīsies 100 den. vienības, ja ik pēc sešiem mēnešiem pamatkapitālam pievieno procentu naudu. Pēc pusgada 100 den. vienības pieaugs par 100 × 1,5 = 150, bet vēl sešos mēnešos - par 150 × 1,5 = 225 (naudas vienības). Ja pievienošanās notiek ik pēc 1/3 gada, tad pēc gada 100 den. vienības pārvērtīsies par 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (den. vienības). Mēs pagarināsim procentu naudas pievienošanas termiņu līdz 0,1 gadam, 0,01 gadam, 0,001 gadam utt. Tad no 100 den. vienības gadu vēlāk:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. vienības),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. vienības),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. vienības).

Ar neierobežotu pievienošanās procentu termiņu samazināšanu uzkrātais kapitāls nepalielinās bezgalīgi, bet tuvojas noteiktai robežai, kas ir aptuveni 271. Kapitāls, kas novietots uz 100% gadā, nevar palielināties vairāk kā 2,71 reizi, pat ja uzkrātie procenti būtu pievieno galvaspilsētai katru sekundi, jo limits

Piemērs 3.1. Izmantojot skaitļu virknes robežas definīciju, pierādiet, ka secībai x n =(n-1)/n ir robeža, kas vienāda ar 1.

Risinājums. Mums jāpierāda, ka neatkarīgi no ε > 0, tam ir naturāls skaitlis N, lai visiem n > N nevienādība |x n -1|< ε

Ņem jebkuru ε > 0. Tā kā x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, tad, lai atrastu N, pietiek atrisināt nevienādību 1/n<ε. Отсюда n>1/ε un līdz ar to N var uzskatīt par 1/ε veselu daļu N = E(1/ε). Tādējādi mēs pierādījām, ka robeža .

Risinājums. Pielietojiet robežsummas teorēmu un atrodiet katra termina robežu. Kā n → ∞, katra vārda skaitītājam un saucējam ir tendence uz bezgalību, un mēs nevaram tieši piemērot koeficienta ierobežojumu teorēmu. Tāpēc mēs vispirms pārveidojam x n, dalot pirmā vārda skaitītāju un saucēju ar n 2, un otrais n. Pēc tam, izmantojot koeficienta ierobežojumu teorēmu un summas ierobežojumu teorēmu, mēs atrodam:

Piemērs 3.3. . Atrast.

Šeit mēs izmantojām pakāpes robežu teorēmu: pakāpes robeža ir vienāda ar bāzes robežas pakāpi.

Piemērs 3.4. Atrast ( ).

Risinājums. Nav iespējams piemērot starpības robežu teorēmu, jo mums ir formas ∞-∞ nenoteiktība. Pārveidosim vispārīgā termina formulu:

Piemērs 3.5. Dota funkcija f(x)=2 1/x . Pierādiet, ka ierobežojums nepastāv.

Risinājums. Mēs izmantojam funkcijas robežas definīciju 1 secības izteiksmē. Ņem secību ( x n ), kas saplūst ar 0, t.i. Parādīsim, ka vērtība f(x n)= dažādām sekvencēm darbojas atšķirīgi. Pieņemsim, ka x n = 1/n. Acīmredzot, tad robeža Izvēlēsimies tagad kā x n secība ar kopīgu terminu x n = -1/n, arī tiecas uz nulli. Tāpēc ierobežojumu nav.

Piemērs 3.6. Pierādiet, ka ierobežojums nepastāv.

Risinājums. Lai x 1 , x 2 ,..., x n ,... ir secība, kurai
. Kā secība (f(x n)) = (sin x n ) darbojas dažādiem x n → ∞

Ja x n \u003d p n, tad sin x n \u003d sin (p n) = 0 visiem n un ierobežot Ja
xn=2 p n+ p /2, tad sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 visiem n un līdz ar to arī robeža. Tādējādi neeksistē.

Skaitļu secības ir bezgalīgas skaitļu kopas. Secību piemēri ir: visu bezgalīgas ģeometriskās progresijas locekļu secība, aptuveno vērtību secība ( x 1 = 1, x 2 = 1,4, x 3= 1,41, ...), regulāras perimetru secība n-gons, kas ierakstīti noteiktā aplī. Precizēsim skaitliskās secības jēdzienu.

1. definīcija. Ja katrs numurs n no naturālās skaitļu sērijas 1, 2, 3,..., P,... piešķirts reāls numurs x p, tad reālo skaitļu kopa

x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , …(2.1)

sauca numuru secība, vai tikai secība. .

Skaitļi x 1, x 2, x 3, ..., x p,... piezvanīs elementi, vai biedri sekvences (2.1), simbols x lpp - ģenerālis elementu vai virknes dalībnieku un skaitli P - viņa numuru.Īsumā secība (2.1) tiks apzīmēta ar simbolu (x p ). Piemēram, rakstzīme (1/ n) apzīmē skaitļu virkni

Citiem vārdiem sakot, secību var saprast kā bezgalīgu numurētu elementu kopu vai skaitļu pāru kopu (p, x p), kurā pirmais skaitlis ieņem secīgās vērtības 1, 2, 3, ... . Secība tiek uzskatīta par dotu, ja ir norādīta metode jebkura tās elementa iegūšanai. Piemēram, formula x n = -1 + (-1)n definē secību 0, 2, 0, 2,... .

Ģeometriski secība ir attēlota uz skaitliskās ass kā punktu secība, kuru koordinātas ir vienādas ar atbilstošajiem secības dalībniekiem. Uz att. 2.1 parāda secību ( x n} = {1/n) skaitļu rindā.

Konverģentas secības jēdziens

2. definīcija. Numurs a sauca secības ierobežojums{x n} , ja kādam pozitīvam skaitlim ε ir numurs N, tas visiem n > N nevienlīdzība

Tiek izsaukta secība, kurai ir ierobežojums saplūst. Ja secības ierobežojums ir skaitlis a, tad tas ir rakstīts šādi:

Tiek izsaukta secība, kurai nav ierobežojumu atšķiras.

3. definīcija. Secība, kuras ierobežojums ir skaitlis a= 0 tiek izsaukts bezgalīgi maza secība.

1. piezīme.Ļaujiet secībai ( x n) ierobežo skaitli a. Tad secība (α n} = {x n - a) ir bezgala mazs, t.i. jebkurš elements x lpp konverģenta secība ar ierobežojumu a, var attēlot kā

kur α n- bezgalīgi mazas secības elements (α n} .

2. piezīme. Nevienādība (2.2) ir ekvivalenta nevienādībām (sk. skaitļa moduļa 4. īpašību no 1.5. §)

Tas nozīmē, ka plkst n > N visi secības elementi ( x n) atrodas ε-apkaime punktus a(2.2. att.), un numuru N nosaka pēc ε vērtības.

Interesanti ir sniegt šīs definīcijas ģeometrisku interpretāciju. Tā kā secība ir bezgalīga skaitļu kopa, tad, ja tā saplūst, jebkurā punkta ε apkaimē a uz reālās līnijas ir bezgalīgi daudz punktu - šīs secības elementu, savukārt ārpus ε-apkaimes ir ierobežots skaits elementu. Tāpēc bieži tiek saukta secības robeža sabiezēšanas punkts.

3. piezīme. Neierobežotai secībai nav galīgais ierobežojums. Tomēr viņai var būt bezgalīgs limits, kas ir uzrakstīts šādā formā:

Ja tajā pašā laikā, sākot no noteikta skaitļa, visi secības dalībnieki ir pozitīvi (negatīvi), tad rakstiet

Ja ( x n) ir bezgalīgi maza secība, tad (1 /x lpp} - bezgalīga secība kam ir bezgalīga robeža (2.3) nozīmē un otrādi.

Sniegsim konverģentu un atšķirīgu secību piemērus.

1. piemērs Parādiet, izmantojot secības robežas definīciju, ka .

Risinājums. Ņem jebkuru skaitli ε > 0. Tā kā

tad, lai nevienādība (2.2) pastāvētu, pietiek atrisināt nevienādību 1 / ( n + 1) < ε, откуда получаем n> (1 - ε) / ε. Pietiekami paņemt N= [(1 - ε)/ε] (skaitļa (1 - ε)/ ε veselā daļa)* tā, lai nevienādība |x lpp - 1| < ε выполнялосьпривсех n > N.

* Simbols [ a] nozīmē skaitļa veselu daļu a, t.i. lielākais veselais skaitlis, kas nepārsniedz a. Piemēram, =2, =2, =0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24.

2. piemērs Parādiet, ka secība ( x n} = (-1)n, vai -1, 1, -1, 1,... nav ierobežojumu.

Risinājums. Patiešām, neatkarīgi no tā, kādu skaitli mēs pieņemam par robežu: 1 vai -1, ar ε< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x lpp: visi nepāra skaitļu elementi ir -1, pāra elementi ir 1.

Konverģentu secību pamatīpašības

Iesniegsim galvenās konverģento secību īpašības, kuras tiek formulētas teorēmu veidā augstākās matemātikas gaitā.

1.Ja visi bezgalīgi mazas secības elementi{x n} ir vienādi ar to pašu skaitli c, tad c = 0.

2. Konverģentai secībai ir tikai viens ierobežojums.

3.Konverģentā secība ir ierobežota.

4.Konverģentu secību summa (starpība).{x n} un{g n} ir konverģenta secība, kuras robeža ir vienāda ar secību robežu summu (starpību).{x lpp} un{y p}.

5.Konverģentu secību reizinājums{x n} un{g n} ir konverģenta secība, kuras robeža ir vienāda ar secību robežu reizinājumu{x n} un{g n} .

6.Divu konverģentu secību koeficients{x n} un{g n} ar nosacījumu, ka secības robeža{g n} nav nulle, ir konverģenta secība, kuras robeža ir vienāda ar secību robežu koeficientu{x n} un{y p} .

7. Ja konverģentas secības elementi{x n} apmierina nevienādību x p ≥ b (x p ≤ b), sākot no kāda skaitļa, tad šīs secības robeža a apmierina arī nevienādību a ≥ b (a ≤ b).

8.Bezgalīgi mazas secības reizinājums ar ierobežotu secību vai skaitli ir bezgalīgi maza secība.

9.Galīga skaita bezgalīgi mazu secību reizinājums ir bezgalīgi maza secība.

Apskatīsim šo īpašību pielietojumu ar piemēriem.

Piemērs 3. Atrodiet robežu.

Risinājums. Plkst n daļas skaitītājs un saucējs tiecas uz bezgalību, t.i. koeficienta robežu teorēmu nevar pielietot uzreiz, jo tā pieņem secību ierobežotu robežu esamību. Mēs pārveidojam šo secību, dalot skaitītāju un saucēju ar n 2. Pēc tam piemērojot teorēmas par koeficienta robežu, summas robežu un vēlreiz par koeficienta robežu, secīgi atrodam

4. piemērs x lpp) = plkst P.

Risinājums. Šeit, tāpat kā iepriekšējā piemērā, skaitītājam un saucējam nav galīgu ierobežojumu, un tāpēc vispirms ir jāveic atbilstošās transformācijas. Skaitītāja un saucēja dalīšana ar n, saņemam

Tā kā skaitītājs satur bezgalīgi mazas secības un ierobežotas secības reizinājumu, tad ar īpašību 8 mēs beidzot iegūstam

5. piemērs Atrodiet secības robežu ( x n) = plkst P .

Risinājums. Šeit nav iespējams tieši pielietot teorēmu par secību summas (starpības) robežu, jo formulā () terminiem nav ierobežotu ierobežojumu. x n} . Reiziniet un sadaliet formulu ( x n) uz konjugāta izteiksmi:

Numurs e

Apsveriet secību ( x n} , kuru kopējo terminu izsaka ar formulu

Matemātiskās analīzes gaitā ir pierādīts, ka šī secība palielinās monotoni un tam ir ierobežojums. Šo ierobežojumu sauc par numuru e. Tāpēc pēc definīcijas

Numurs e spēlē lielu lomu matemātikā. Tālāk tiks apsvērta metode, kā to aprēķināt ar jebkuru nepieciešamo precizitāti. Šeit ņemiet vērā, ka numurs e ir neracionāls; tā aptuvenā vērtība ir e = 2,7182818... .

3. Skaitļu secības ierobežojums

3.1. Skaitliskās secības jēdziens un dabiskā argumenta funkcija

Definīcija 3.1. Skaitliskā secība (turpmāk tekstā vienkārši secība) ir sakārtota saskaitāma skaitļu kopa

{x1, x2, x3, ... }.

Pievērsiet uzmanību diviem punktiem.

1. Secībā ir bezgalīgi daudz skaitļu. Ja ir ierobežots skaitļu skaits, tā nav secība!

2. Visi cipari ir sakārtoti, tas ir, sakārtoti noteiktā secībā.

Turpmāk mēs bieži izmantosim secības saīsinājumu ( xn}.

Secībām var veikt noteiktas darbības. Apskatīsim dažus no tiem.

1. Secības reizināšana ar skaitli.

Secība c×{ xn) ir secība ar elementiem ( c× xn), tas ir

c×{ x1, x2, x3, ... }={c× x1, s× x2, s× x3, ... }.

2. Secību saskaitīšana un atņemšana.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

vai, sīkāk,

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Secību reizināšana.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. Sekvenču dalījums.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Protams, tiek pieņemts, ka šajā gadījumā visi yn¹ 0.

Definīcija 3.2. Secība ( xn) tiek saukts par ierobežotu no augšas, ja https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height = "25 src=">. Secība (xn) tiek saukta par ierobežotu, ja tā ir ierobežota gan augšā, gan apakšā.

3.2. Secības ierobežojums. Bezgalīgi liela secība

Definīcija 3.3. Numurs a sauc par secības robežu ( xn) plkst n tiecas uz bezgalību, ja

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> ja .

Viņi saka, ka, ja.

Definīcija 3.4. Secība ( xn) sauc par bezgalīgi lielu if (tas ir, ja ).

3.3. Bezgalīgi maza secība.

Definīcija 3.5. Secību (xn) sauc par bezgalīgi mazu, ja , tas ir, ja .

Bezgalīgi mazām sekvencēm ir šādas īpašības.

1. Bezgalīgi mazo secību summa un starpība arī ir bezgalīgi maza secība.

2. Bezgalīgi maza secība ir ierobežota.

3. Bezgalīgi mazas secības un ierobežotas secības reizinājums ir bezgalīgi maza secība.

4. Ja ( xn) ir bezgalīgi liela secība, tad sākot no dažām N, secība (1/ xn), un tā ir bezgalīgi maza secība. Un otrādi, ja ( xn) ir bezgalīgi maza secība un viss xn atšķiras no nulles, tad (1/ xn) ir bezgalīgi liela secība.

3.4. konverģentas sekvences.

Definīcija 3.6. Ja ir beigu ierobežojums https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. Ja , tad .

3.5. Pāreja līdz robežai nevienlīdzībās.

Teorēma 3.1. Ja, sākot no dažiem N, viss xn ³ b, tad.

Sekas. Ja, sākot no dažiem N, viss xn ³ yn, tad .

komentēt. Ņemiet vērā, ka, ja, sākot no dažiem N, viss xn > b, tad , tas ir, pārejot uz robežu, stingrā nevienlīdzība var kļūt nestingra.

Teorēma 3.2.("Divu policistu teorēma") Ja, sākot no dažiem N, ir spēkā tālāk norādītās īpašības

1..gif" width="163" height="33 src=">,

tad pastāv.

3.6. Monotonas secības ierobežojums.

Definīcija 3.7. Secība ( xn) sauc par monotoni pieaugošu, ja tāds ir n xn+1 ³ xn.

Secība ( xn) tiek saukts par stingri monotoni pieaugošu, ja tāds ir n xn+1> xn.

xn­.

Definīcija 3.8. Secība ( xn) sauc par monotoni samazinošu, ja tāda ir n xn+1 £ xn.

Secība ( xn) tiek saukts par stingri monotoni samazinošu, ja tāds ir n xn+1< xn.

Abi šie gadījumi ir apvienoti ar simbolu xn¯.

Teorēma par monotonas secības robežas esamību.

1. Ja secība ( xn) monotoni pieaug (samazinās) un ir ierobežots no augšas (no apakšas), tad tam ir ierobežota robeža, kas vienāda ar sup( xn) (inf( xn}).

2 Ja secība ( xn) monotoni palielinās (samazinās), bet nav ierobežots no augšas (no apakšas), tad tam ir robeža, kas vienāda ar +¥ (-¥).

Pamatojoties uz šo teorēmu, ir pierādīts, ka pastāv tā sauktā ievērojamā robeža

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. To sauc par secības apakšsekvenci ( xn}.

Teorēma 3.3. Ja secība ( xn) saplūst un tā robeža ir a, tad jebkura no tās apakšsecībām arī saplūst un tai ir tāda pati robeža.

Ja ( xn) ir bezgalīgi liela secība, tad jebkura tās apakšsecība ir arī bezgalīgi liela.

Bolcāno-Veijerštrāsas lemma.

1. No jebkuras ierobežotas secības var iegūt apakšsecību, kas saplūst līdz galīgai robežai.

2. No jebkuras neierobežotas secības var iegūt bezgalīgi lielu apakšsecību.

Uz šīs lemmas pamata tiek pierādīts viens no galvenajiem robežu teorijas rezultātiem - Bolcāno-Košī konverģences kritērijs.

Lai secība ( xn) bija ierobežota robeža, tas ir nepieciešams un pietiekams

Secību, kas apmierina šo īpašību, sauc par fundamentālo secību vai secību, kas saplūst pati par sevi.

Daudziem cilvēkiem matemātiskā analīze ir tikai nesaprotamu skaitļu, ikonu un definīciju kopums, kas ir tālu no reālās dzīves. Taču pasaule, kurā mēs eksistējam, ir veidota uz skaitliskiem modeļiem, kuru apzināšana palīdz ne tikai izzināt apkārtējo pasauli un atrisināt tās sarežģītās problēmas, bet arī vienkāršot ikdienas praktiskos uzdevumus. Ko domā matemātiķis, sakot, ka skaitļu virkne saplūst? Tas būtu jāapspriež sīkāk.

mazs?

Iedomājieties matrjoškas, kas iederas viena otrā. To izmēri, kas rakstīti skaitļu veidā, sākot ar lielāko un beidzot ar mazāko no tiem, veido secību. Ja jūs iedomājaties bezgalīgi daudz šādu spilgtu figūru, tad iegūtā rinda būs fantastiski gara. Šī ir konverģenta skaitļu secība. Un tai ir tendence uz nulli, jo katras nākamās ligzdošanas lelles izmērs, katastrofāli samazinoties, pamazām pārvēršas par neko. Tādējādi ir viegli izskaidrot: kas ir bezgalīgi mazs.

Līdzīgs piemērs varētu būt ceļš, kas iet tālumā. Un pa to no novērotāja prom braucošās automašīnas vizuālie izmēri, pamazām sarūkdami, pārvēršas par bezveidīgu plankumu, kas atgādina punktu. Tādējādi automašīna, tāpat kā objekts, attālinoties nezināmā virzienā, kļūst bezgala maza. Norādītā ķermeņa parametri nekad nebūs nulle vārda tiešākajā nozīmē, bet vienmēr tiecas uz šo vērtību gala robežās. Tāpēc šī secība atkal saplūst līdz nullei.

Aprēķināsim visu pa pilienam

Iedomāsimies reālu dzīves situāciju. Ārsts izrakstīja pacientam zāles, sākot ar desmit pilieniem dienā un katru nākamo dienu pievienojot divus. Un tā ārsts ieteica turpināt, līdz beigsies zāļu flakona saturs, kura tilpums ir 190 pilieni. No iepriekš minētā izriet, ka šādu skaitļu skaits, kas krāsots pa dienām, būs šādas skaitļu sērijas: 10, 12, 14 utt.

Kā uzzināt visa kursa nokārtošanas laiku un secības dalībnieku skaitu? Šeit, protams, var primitīvi skaitīt pilienus. Bet, ņemot vērā modeli, ir daudz vieglāk izmantot formulu ar soli d = 2. Un, izmantojot šo metodi, noskaidrojiet, ka skaitļu sērijas dalībnieku skaits ir 10. Šajā gadījumā a 10 = 28. Dalībnieka numurs norāda zāļu lietošanas dienu skaitu, un 28 atbilst pilienu skaitam, kas pacientam jālieto pēdējā dienā. Vai šī secība saplūst? Nē, jo, neskatoties uz to, ka tas ir ierobežots līdz 10 no apakšas un 28 no augšas, šādai skaitļu sērijai atšķirībā no iepriekšējiem piemēriem nav ierobežojumu.

Kāda ir atšķirība?

Tagad mēģināsim precizēt: kad skaitļu rinda izrādās konverģenta secība. Šāda veida definīcija, kā var secināt no iepriekš minētā, ir tieši saistīta ar ierobežotas robežas jēdzienu, kuras klātbūtne atklāj jautājuma būtību. Kāda tad ir principiālā atšķirība starp iepriekš dotajiem piemēriem? Un kāpēc pēdējā no tām skaitli 28 nevar uzskatīt par skaitļu sērijas X n = 10 + 2(n-1) robežu?

Lai noskaidrotu šo jautājumu, apsveriet citu secību, kas dota ar zemāk esošo formulu, kur n pieder naturālo skaitļu kopai.

Šī dalībnieku kopiena ir parasto daļskaitļu kopa, kuras skaitītājs ir 1, un saucējs nepārtraukti palielinās: 1, ½ ...

Turklāt katrs nākamais šīs sērijas pārstāvis, ņemot vērā atrašanās vietu uz skaitļu līnijas, arvien vairāk tuvojas 0. Tas nozīmē, ka parādās tāda apkārtne, kur punkti sakrīt ap nulli, kas ir robeža. Un jo tuvāk viņi tai ir, jo blīvāka kļūst viņu koncentrācija uz skaitļu līniju. Un attālums starp tiem ir katastrofāli samazināts, pārvēršoties bezgalīgi mazā. Tā ir zīme, ka secība saplūst.

Tāpat arī attēlā redzamie daudzkrāsainie taisnstūri, attālinoties telpā, ir vizuāli pieblīvētāki, hipotētiskajā robežā pārvēršoties par niecīgiem.

Bezgalīgi lielas secības

Izanalizējuši konverģentas secības definīciju, tagad pievēršamies pretpiemēriem. Daudzi no tiem cilvēkiem ir zināmi kopš seniem laikiem. Vienkāršākie atšķirīgo secību varianti ir naturālu un pāra skaitļu sērijas. Citā veidā tos sauc par bezgalīgi lieliem, jo ​​to locekļi, pastāvīgi pieaugot, arvien vairāk tuvojas pozitīvai bezgalībai.

Par šādu piemēru var kalpot arī jebkura aritmētiskā un ģeometriskā progresija, kuras solis un saucējs ir attiecīgi lielāks par nulli. Atšķirīgās secības tiek uzskatītas arī par skaitliskām sērijām, kurām vispār nav ierobežojumu. Piemēram, X n = (-2) n -1.

Fibonači secība

Iepriekš minēto skaitlisko sēriju praktiskā izmantošana cilvēcei ir nenoliedzama. Taču ir neskaitāmi citi lieliski piemēri. Viens no tiem ir Fibonači secība. Katrs tā dalībnieks, kas sākas ar vienu, ir iepriekšējo dalībnieku summa. Tās pirmie divi pārstāvji ir 1 un 1. Trešais 1+1=2, ceturtais 1+2=3, piektais 2+3=5. Tālāk pēc šīs pašas loģikas seko skaitļi 8, 13, 21 un tā tālāk.

Šī skaitļu sērija aug bezgalīgi, un tai nav ierobežota ierobežojuma. Bet tam ir vēl viens brīnišķīgs īpašums. Katra iepriekšējā skaitļa attiecība pret nākamo arvien vairāk savā vērtībā ir tuva 0,618. Šeit jūs varat saprast atšķirību starp konverģentu un diverģentu secību, jo, veicot virkni saņemto privāto dalījumu, norādītā skaitliskā sistēma būs beigu robeža, kas vienāda ar 0,618.

Fibonači attiecību secība

Iepriekš norādītās numuru sērijas tiek plaši izmantotas praktiskos nolūkos tirgus tehniskajai analīzei. Bet tas neaprobežojas tikai ar tās spējām, kuras ēģiptieši un grieķi zināja un spēja pielietot praksē senos laikos. To pierāda viņu uzbūvētās piramīdas un Partenons. Galu galā skaitlis 0,618 ir nemainīgs zelta griezuma koeficients, kas bija labi zināms vecos laikos. Saskaņā ar šo noteikumu jebkuru patvaļīgu segmentu var sadalīt tā, lai tā daļu attiecība sakristu ar attiecību starp lielāko no segmentiem un kopējo garumu.

Izveidosim virkni šo attiecību un mēģināsim analizēt šo secību. Skaitļu sērijas būs šādas: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 un tā tālāk. Šādi turpinot, var pārliecināties, ka konverģences secības robeža patiešām būs 0,618. Tomēr ir jāņem vērā arī citas šīs likumsakarības īpašības. Šeit skaitļi šķiet nejauši, nevis augošā vai dilstošā secībā. Tas nozīmē, ka šī konverģējošā secība nav monotona. Kāpēc tas tā, tiks apspriests tālāk.

monotonija un ierobežojumi

Skaitļu sērijas dalībnieki ar pieaugošiem skaitļiem var skaidri samazināties (ja x 1>x 2>x 3>...> x n>...) vai palielināties (ja x 1

Uzzīmējot šīs sērijas skaitļus, var pamanīt, ka neviens no tās dalībniekiem, tuvojoties 1 bezgalīgi, nekad nepārsniegs šo vērtību. Šajā gadījumā konverģentā secība tiek uzskatīta par ierobežotu. Tas notiek ikreiz, kad ir tik pozitīvs skaitlis M, kas vienmēr ir lielāks par jebkuru no sērijas modulo nosacījumiem. Ja skaitļu sērijai ir monotonitātes pazīmes un tai ir robeža, un tāpēc tā saplūst, tad tai noteikti ir šāds īpašums. Un tam nav jābūt patiesībai. Par to liecina robežas teorēma konverģentai secībai.

Šādu novērojumu pielietošana praksē izrādās ļoti noderīga. Sniegsim konkrētu piemēru, pārbaudot secības X n = n/n+1 īpašības un pierādīsim tās konverģenci. Ir viegli parādīt, ka tas ir monotons, jo (x n +1 - x n) ir pozitīvs skaitlis jebkurai n vērtībai. Secības robeža ir vienāda ar skaitli 1, kas nozīmē, ka ir izpildīti visi iepriekš minētās teorēmas nosacījumi, ko sauc arī par Veierštrāsa teorēmu. Teorēma par konverģentas secības robežu nosaka, ka, ja tai ir robeža, tad jebkurā gadījumā tā izrādās ierobežota. Tomēr ņemsim šādu piemēru. Skaitļu sērija X n = (-1) n no apakšas ir ierobežota ar -1 un no augšas ar 1. Taču šī secība nav monotona, tai nav ierobežojumu, un tāpēc tā nesaplūst. Tas ir, ierobežojuma esamība un konverģence ne vienmēr izriet no ierobežojuma. Lai tas darbotos, apakšējai un augšējai robežai ir jāsakrīt, kā tas ir Fibonači koeficientu gadījumā.

Visuma skaitļi un likumi

Vienkāršākie konverģentas un diverģentas secības varianti, iespējams, ir skaitliskās rindas X n = n un X n = 1/n. Pirmā no tām ir dabiska skaitļu virkne. Tas, kā jau minēts, ir bezgala liels. Otrā konverģentā secība ir ierobežota, un tās termini ir tuvu bezgalīgi mazam. Katra no šīm formulām personificē kādu no daudzpusīgā Visuma pusēm, palīdzot cilvēkam skaitļu un zīmju valodā iztēloties un izskaitļot kaut ko nezināmu, ierobežotai uztverei nepieejamu.

Visuma likumi, sākot no niecīgiem līdz neticami lieliem, tiek izteikti arī ar zelta attiecību 0,618. Zinātnieki uzskata, ka tas ir lietu būtības pamatā un daba to izmanto, veidojot savas daļas. Jau pieminētās attiecības starp nākamajiem un iepriekšējiem Fibonači sērijas dalībniekiem nepabeidz šīs unikālās sērijas apbrīnojamo īpašību demonstrāciju. Ja ņemam vērā koeficientu, kas dalot iepriekšējo biedru ar nākamo ar vienu, tad iegūstam virkni 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 un tā tālāk. Interesanti, ka šī ierobežotā secība saplūst, tā nav monotona, bet blakus esošo ekstrēmo skaitļu attiecība no noteikta locekļa vienmēr ir aptuveni vienāda ar 0,382, ko var izmantot arī arhitektūrā, tehniskajā analīzē un citās nozarēs.

Ir arī citi interesanti Fibonači sērijas koeficienti, tiem visiem ir īpaša loma dabā, un tos izmanto arī cilvēks praktiskiem mērķiem. Matemātiķi ir pārliecināti, ka Visums attīstās saskaņā ar noteiktu “zelta spirāli”, kas veidojas no norādītajiem koeficientiem. Ar to palīdzību ir iespējams aprēķināt daudzas parādības, kas notiek uz Zemes un kosmosā, sākot no noteiktu baktēriju skaita pieauguma līdz tālu komētu kustībai. Kā izrādās, DNS kods pakļaujas līdzīgiem likumiem.

Samazinās ģeometriskā progresija

Pastāv teorēma, kas apliecina konverģentas secības robežas unikalitāti. Tas nozīmē, ka tam nevar būt divas vai vairākas robežas, kas neapšaubāmi ir svarīgi, lai atrastu tā matemātiskos raksturlielumus.

Apskatīsim dažus gadījumus. Jebkura skaitliska rinda, kas sastāv no aritmētiskās progresijas locekļiem, ir atšķirīga, izņemot gadījumu ar nulles soli. Tas pats attiecas uz ģeometrisko progresiju, kuras saucējs ir lielāks par 1. Šādu skaitlisko rindu robežas ir bezgalības "pluss" vai "mīnuss". Ja saucējs ir mazāks par -1, tad ierobežojuma vispār nav. Iespējamas arī citas iespējas.

Aplūkosim skaitļu sēriju, kas dota ar formulu X n = (1/4) n -1 . No pirmā acu uzmetiena ir viegli redzēt, ka šī konverģējošā secība ir ierobežota, jo tā ir stingri dilstoša un nekādā gadījumā nevar iegūt negatīvas vērtības.

Uzrakstīsim kādu tā dalībnieku skaitu pēc kārtas.

Iegūt: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0.00390625 un tā tālāk. Pietiek ar pavisam vienkāršiem aprēķiniem, lai saprastu, cik ātra ir dotā ģeometriskā progresija ar saucējiem 0

Fundamentālās secības

Franču zinātnieks Augustins Luiss Košī atklāja pasaulei daudzus darbus, kas saistīti ar matemātisko analīzi. Viņš sniedza definīcijas tādiem jēdzieniem kā diferenciālis, integrālis, ierobežojums un nepārtrauktība. Viņš arī pētīja konverģentu secību pamatīpašības. Lai saprastu viņa ideju būtību, ir nepieciešams apkopot dažas svarīgas detaļas.

Jau pašā raksta sākumā tika parādīts, ka ir tādas sekvences, kurām ir apkaime, kur punkti, kas attēlo noteiktas sērijas dalībniekus uz reālās līnijas, sāk grupēties, sarindojoties arvien blīvāk. Tajā pašā laikā attālums starp tiem samazinās, palielinoties nākamā pārstāvja skaitam, pārvēršoties par bezgalīgi mazu. Tādējādi izrādās, ka noteiktā apkaimē ir sagrupēts bezgalīgs skaits noteiktas sērijas pārstāvju, savukārt ārpus tās ir ierobežots skaits. Šādas secības sauc par fundamentālām.

Slavenais Košī kritērijs, ko radījis franču matemātiķis, skaidri norāda, ka šādas īpašības klātbūtne ir pietiekama, lai pierādītu, ka secība saplūst. Arī otrādi ir taisnība.

Jāpiebilst, ka šis franču matemātiķa secinājums lielākoties ir tīri teorētiski interesants. Tā pielietošana praksē uzskatāma par diezgan sarežģītu lietu, tāpēc, lai noskaidrotu rindu konverģenci, daudz svarīgāk ir pierādīt virknes ierobežotas robežas esamību. Pretējā gadījumā tas tiek uzskatīts par atšķirīgu.

Risinot uzdevumus, jāņem vērā arī konverģentu secību pamatīpašības. Tie ir parādīti zemāk.

Bezgalīgas summas

Tādi slaveni senatnes zinātnieki kā Arhimēds, Eiklīds, Eudokss izmantoja bezgalīgu skaitļu rindu summas, lai aprēķinātu līkņu garumus, ķermeņu tilpumus un figūru laukumus. Jo īpaši šādā veidā bija iespējams noskaidrot paraboliskā segmenta laukumu. Šim nolūkam tika izmantota ģeometriskās progresijas skaitlisko sēriju summa ar q=1/4. Līdzīgi tika atrasti arī citu patvaļīgu figūru apjomi un laukumi. Šo iespēju sauca par "izsmelšanas" metodi. Ideja bija tāda, ka pētītais ķermenis, kas ir sarežģītas formas, tika sadalīts daļās, kas bija figūras ar viegli izmērāmiem parametriem. Šī iemesla dēļ nebija grūti aprēķināt to platības un apjomus, un pēc tam tos saskaitīja.

Starp citu, līdzīgi uzdevumi ir ļoti pazīstami mūsdienu skolēniem un ir atrodami USE uzdevumos. Unikālā metode, ko atraduši tālie senči, ir vienkāršākais risinājums. Pat ja ir tikai divas vai trīs daļas, kurās skaitliskais skaitlis ir sadalīts, to laukumu saskaitīšana joprojām ir skaitļu sērijas summa.

Daudz vēlāk nekā senie grieķu zinātnieki Leibnics un Ņūtons, pamatojoties uz savu gudro priekšgājēju pieredzi, viņi apguva integrāļa aprēķina likumus. Zināšanas par sekvenču īpašībām palīdzēja viņiem atrisināt diferenciālvienādojumus un algebriskos vienādojumus. Šobrīd sēriju teorija, kas izveidota ar daudzu talantīgu zinātnieku paaudžu pūliņiem, dod iespēju atrisināt milzīgu skaitu matemātisko un praktisko problēmu. Un skaitlisko secību izpēte ir galvenā matemātiskās analīzes problēma kopš tās pirmsākumiem.

Secība ir viens no matemātikas pamatjēdzieniem. Secība var sastāvēt no skaitļiem, punktiem, funkcijām, vektoriem un tā tālāk. Secība tiek uzskatīta par dotu, ja ir noteikts likums, saskaņā ar kuru katrs naturālais skaitlis n ir saistīts ar kādas kopas elementu x n. Secība tiek uzrakstīta kā x 1 , x 2 , …, x n vai īsi (x n). Elementi x 1 , x 2 , ..., x n tiek saukti par secības dalībniekiem, x 1 - pirmais, x 2 - otrais, x n - kopīgs (n-tais) secības dalībnieks.

Visbiežāk tiek aplūkotas skaitliskās secības, tas ir, secības, kuru dalībnieki ir skaitļi. Analītiskā metode ir vienkāršākais veids, kā norādīt skaitlisko secību. Tas tiek darīts, izmantojot formulu, kas izsaka secības x 1 n-to locekli tās skaitļa n izteiksmē. Piemēram, ja

Vēl viens veids ir atkārtots (no latīņu vārda recidīvi- “atgriešanās”), kad ir iestatīti daži pirmie secības locekļi un noteikums, ļaujot katru nākamo locekli aprēķināt, izmantojot iepriekšējos. Piemēram:

Skaitļu secību piemēri ir aritmētiskā un ģeometriskā progresija.

Interesanti ir izsekot secības locekļu uzvedību, kad skaitlis n palielinās bez ierobežojumiem (fakts, ka n palielinās bezgalīgi, tiek rakstīts kā n → ∞ un skan: “n tendence uz bezgalību”).

Aplūkosim secību ar kopīgu terminu x n = 1/n: x 1 = 1, x 2 = 1/2; x 3 \u003d 1/3, ..., x 100 = 1/100, .... Visi šīs secības dalībnieki nav nulle, bet jo lielāks n, jo mazāk x n atšķiras no nulles. Šīs secības terminiem ir tendence uz nulli, jo n palielinās bezgalīgi. Tiek uzskatīts, ka skaitlis nulle ir šīs secības robeža.

Vēl viens piemērs: x n = (−1) n / n - definē secību

Šīs secības dalībnieki arī mēdz uz nulli, taču tie ir vai nu lielāki par nulli, vai mazāki par nulli – to robeža.

Apsveriet citu piemēru: x n = (n − 1)/(n + 1). Ja formā attēlojam x n

tad kļūst skaidrs, ka šī secība tiecas uz vienotību.

Definēsim secības robežu. Skaitli a sauc par virknes robežu (x n), ja jebkuram pozitīvam skaitlim ε var norādīt skaitli N tā, ka visiem n > N nevienādība |x n − a|< ε.

Ja a ir secības robeža (x n), tad ierakstiet x n → a vai a = lim n→∞ x n (lim ir latīņu vārda pirmie trīs burti laimi- "ierobežojums").

Šī definīcija kļūs skaidrāka, ja piešķirsim tai ģeometrisku nozīmi. Skaitli a iekļaujam intervālā (a − ε, a + ε) (skat. attēlu). Skaitlis a ir secības (x n) robeža, ja neatkarīgi no intervāla mazuma (a − ε, a + ε) šajā intervālā atrodas visi secības dalībnieki, kuru skaitļi ir lielāki par kādu N. Citiem vārdiem sakot, ārpus jebkura intervāla (a − ε, a + ε) var būt tikai ierobežots skaits sekvences dalībnieku.

Aplūkotajai secībai x n = (−1) n /n nulles punkta ε apkārtne pie ε = 1/10 ietver visus secības dalībniekus, izņemot pirmos desmit, un ε = 1/100, visi secības dalībnieki, izņemot pirmo simtu.

Secību, kurai ir ierobežojums, sauc par konverģentu, un secību, kurai nav ierobežojumu, sauc par atšķirīgu. Šeit ir atšķirīgas secības piemērs: x n = (−1) n . Tās termini pārmaiņus ir +1 un –1, un tiem nav tendence uz kādu ierobežojumu.

Ja secība saplūst, tad tā ir ierobežota, t.i., ir tādi skaitļi c un d, ka visi secības locekļi atbilst nosacījumam c ≤ x n ≤ d. No tā izriet, ka visas neierobežotās secības ir atšķirīgas. Šīs ir secības:

Tiek uzskatīts, ka secība, kurai ir tendence uz nulli, ir bezgalīgi maza. Bezgalīgi maza izmēra jēdzienu var izmantot kā pamatu secības robežas vispārīgajai definīcijai, jo secības robeža (x n) ir vienāda ar a tad un tikai tad, ja x n var attēlot kā summu x n = a + α n , kur α n ir bezgalīgi mazs.

Aplūkotās secības (1/n), ((−1) n /n) ir bezgalīgi mazas. Secība (n − 1)/(n + 1), kā izriet no (2), atšķiras no 1 par bezgalīgi mazu 2/(n + 1), un tāpēc šīs secības robeža ir 1.

Liela nozīme matemātiskajā analīzē ir arī bezgalīgi lielas secības jēdzienam. Secību (x n) sauc par bezgalīgi lielu, ja secība (1/x n) ir bezgalīgi maza. Bezgalīgi liela secība (x n) tiek uzrakstīta kā x n → ∞ vai lim n →∞ x n = ∞, un tiek teikts, ka tā "iet uz bezgalību". Šeit ir bezgalīgi lielu secību piemēri:

(n 2), (2 n), (√(n + 1)), (n - n 2).

Mēs uzsveram, ka bezgalīgi lielai secībai nav ierobežojumu.

Apsveriet secības (x n) un (y n). Varat definēt secības ar vispārpieņemtiem terminiem x n + y n , x n − y n , x n y n un (ja y n ≠ 0) x n / y n . Patiesa ir šāda teorēma, ko bieži sauc par teorēmu aritmētiskām darbībām ar ierobežojumiem: ja secības (x n) un (y n) saplūst, tad secības (x n + y n), (x n − y n), (x n y n), ( x n / y n) arī saplūst, un ir spēkā šādas vienādības:

Pēdējā gadījumā papildus nepieciešams prasīt, lai visi secības (y n) locekļi būtu nulle nevienlīdzīgi, kā arī lai tiktu izpildīts nosacījums lim n →∞ y n ≠ 0.

Piemērojot šo teorēmu, var atrast daudz ierobežojumu. Atrodiet, piemēram, secības robežu ar kopīgu terminu

Formā attēlo x n

nosaka, ka pastāv skaitītāja un saucēja ierobežojums:

tātad mēs iegūstam:

lim n→∞ x n = 2/1 =2.

Svarīga secību klase ir monotonās sekvences. Tā sauktās secības, kas aug (x n+1 > x n jebkuram n), samazinās (x n+1< x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

Iedomājieties, ka secība (x n) nesamazinās, t.i., nevienādības

x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ … ≤ x n ≤ x n+1 ≤ …,

un turklāt lai šī secība ir ierobežota no augšas, t.i., visi x n nepārsniedz kādu skaitli d. Katrs šādas secības dalībnieks ir lielāks vai vienāds ar iepriekšējo, bet neviens no tiem nepārsniedz d. Ir pilnīgi skaidrs, ka šai secībai ir tendence uz kādu skaitli, kas ir vai nu mazāks par d, vai vienāds ar d. Matemātiskās analīzes gaitā tiek pierādīta teorēma, ka nesamazināmai un no augšas ierobežotai secībai ir robeža (līdzīgs apgalvojums ir arī nepalielinošai un no apakšas ierobežotai secībai). Šī ievērojamā teorēma sniedz pietiekamus nosacījumus robežas pastāvēšanai. No tā, piemēram, izriet, ka regulāru n-stūru laukumu secībai, kas ierakstīta vienības rādiusa aplī, ir ierobežojums, jo tā monotoni palielinās un ir ierobežota no augšas. Šīs secības robežu apzīmē ar π.

Izmantojot monotoni ierobežotas secības robežu, tiek noteikts skaitlis e, kam ir liela nozīme matemātiskajā analīzē - naturālo logaritmu bāze:

e = lim n→∞ (1 + 1/n) n .

Secība (1), kā jau minēts, ir monotona un turklāt ierobežota no augšas. Viņai ir robeža. Mēs varam viegli atrast šo ierobežojumu. Ja tas ir vienāds ar a, tad skaitlim a jāizpilda vienādība a = √(2 + a). Atrisinot šo vienādojumu, iegūstam a = 2.