koordinātu līnija. Punkti uz koordinātu līnijas. Kā uzzīmēt koordinātu līniju Kā uzzīmēt koordinātu līniju

Tātad vienības segments un tā desmitā, simtā un tā tālāk daļa ļauj mums nokļūt līdz koordinātu līnijas punktiem, kas atbildīs pēdējām decimāldaļdaļām (kā iepriekšējā piemērā). Taču uz koordinātu līnijas ir punkti, kurus nevaram trāpīt, bet kuriem varam patvaļīgi pietuvoties, izmantojot arvien mazākus līdz bezgalīgi mazai vienības segmenta daļai. Šie punkti atbilst bezgalīgām periodiskām un neperiodiskām decimāldaļdaļām. Sniegsim dažus piemērus. Viens no šiem punktiem koordinātu taisnē atbilst skaitlim 3.711711711…=3,(711) . Lai tuvotos šim punktam, jums ir jāatliek 3 vienības segmenti, 7 no tās desmitdaļas, 1 simtdaļa, 1 tūkstošdaļa, 7 desmittūkstošdaļas, 1 simts tūkstošdaļas, 1 miljonā vienības segmenta utt. Un vēl viens koordinātu līnijas punkts atbilst pi (π=3,141592...).

Tā kā reālo skaitļu kopas elementi ir visi skaitļi, kurus var uzrakstīt galīgu un bezgalīgu decimāldaļskaitļu veidā, tad visa iepriekš sniegtā informācija šajā punktā ļauj mums apgalvot, ka mēs esam piešķīruši noteiktu reālo skaitli katram punktam. koordinātu līniju, kamēr ir skaidrs, ka dažādi punkti atbilst dažādiem reāliem skaitļiem.

Ir arī pilnīgi skaidrs, ka šī sarakste ir viena pret vienu. Tas ir, mēs varam saistīt noteiktu punktu koordinātu taisnē ar reālu skaitli, bet mēs varam arī izmantot doto reālo skaitli, lai norādītu konkrētu punktu koordinātu taisnē, kuram atbilst šis reālais skaitlis. Lai to izdarītu, mums būs jāatliek noteikts skaits vienību segmentu, kā arī viena segmenta desmitdaļas, simtdaļas un tā tālāk no sākuma pareizajā virzienā. Piemēram, skaitlis 703.405 atbilst punktam uz koordinātu līnijas, kuru var sasniegt no sākuma, atliekot 703 vienības segmentus pozitīvā virzienā, 4 segmentus, kas veido desmito daļu no vienības, un 5 segmentus, kas veido tūkstošdaļa vienības.

Tātad katrs koordinātu līnijas punkts atbilst reālam skaitlim, un katram reālajam skaitlim ir sava vieta koordinātu līnijas punkta veidā. Tāpēc bieži tiek saukta koordinātu līnija skaitļa līnija.

Punktu koordinātas uz koordinātu līnijas

Tiek izsaukts skaitlis, kas atbilst punktam uz koordinātu līnijas šī punkta koordinātas.

Iepriekšējā rindkopā mēs teicām, ka katrs reālais skaitlis atbilst vienam punktam uz koordinātu līnijas, tāpēc punkta koordināte unikāli nosaka šī punkta atrašanās vietu koordinātu taisnē. Citiem vārdiem sakot, punkta koordināte unikāli definē šo punktu uz koordinātu līnijas. No otras puses, katrs punkts koordinātu taisnē atbilst vienam reālam skaitlim - šī punkta koordinātei.

Atliek teikt tikai par pieņemto apzīmējumu. Punkta koordinātu raksta iekavās pa labi no burta, kas apzīmē punktu. Piemēram, ja punkta M koordināte ir -6, tad var rakstīt M(-6) , un formas apzīmējums nozīmē, ka koordinātu līnijas punktam M ir koordināte.

Bibliogrāfija.

• Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātika: mācību grāmata 5 šūnām. izglītības iestādēm.
• Viļenkins N.Ya. utt. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata izglītības iestādēm.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. izglītības iestādēm.

Nav iespējams apgalvot, ka zināt matemātiku, ja nezināt, kā veidot grafikus, attēlot nevienādības uz koordinātu taisnes un strādāt ar koordinātu asīm. Vizuālais komponents zinātnē ir vitāli svarīgs, jo bez vizuāliem piemēriem formulās un aprēķinos dažkārt var ļoti apjukt. Šajā rakstā mēs redzēsim, kā strādāt ar koordinātu asīm, un uzzināsim, kā izveidot vienkāršus funkciju grafikus.

Pieteikums

Koordinātu līnija ir pamatā vienkāršākajiem grafiku veidiem, ar kuriem skolēns saskaras savā izglītības ceļā. To izmanto gandrīz katrā matemātikas tēmā: aprēķinot ātrumu un laiku, projicējot objektu izmērus un aprēķinot to laukumu, trigonometrijā, strādājot ar sinusiem un kosinusiem.

Šādas tiešās līnijas galvenā vērtība ir redzamība. Tā kā matemātika ir zinātne, kas prasa augstu abstraktās domāšanas līmeni, grafiki palīdz attēlot objektu reālajā pasaulē. Kā viņš uzvedas? Kurā kosmosa punktā tas būs pēc dažām sekundēm, minūtēm, stundām? Ko par to var teikt salīdzinājumā ar citiem objektiem? Kāds ir tā ātrums nejauši izvēlētā laikā? Kā raksturot viņa kustību?

Un mēs ne velti runājam par ātrumu – to bieži parāda funkciju grafiki. Un tie var arī parādīt temperatūras vai spiediena izmaiņas objekta iekšpusē, tā izmēru, orientāciju attiecībā pret horizontu. Tādējādi koordinātu līnijas konstruēšana bieži ir nepieciešama arī fizikā.

1D diagramma

Ir daudzdimensionalitātes jēdziens. Pietiek ar vienu skaitli, lai noteiktu punkta atrašanās vietu. Tieši tā ir ar koordinātu līnijas lietošanu. Ja telpa ir divdimensiju, tad ir nepieciešami divi skaitļi. Šāda veida diagrammas tiek izmantotas daudz biežāk, un mēs tās noteikti apsvērsim nedaudz tālāk rakstā.

Ko var redzēt ar punktu palīdzību uz ass, ja tas ir tikai viens? Var redzēt objekta izmēru, tā novietojumu telpā attiecībā pret kādu "nulli", t.i., par izcelsmi izvēlēto punktu.

Parametru izmaiņas laika gaitā nebūs iespējams redzēt, jo visi rādījumi tiks parādīti vienā noteiktā brīdī. Tomēr kaut kur jāsāk! Tātad sāksim.

Kā izveidot koordinātu asi

Vispirms jums jāvelk horizontāla līnija - tā būs mūsu ass. Labajā pusē "asiniet" to, lai tas izskatās kā bultiņa. Tādējādi mēs norādām virzienu, kurā skaitļi pieaugs. Virzienā uz leju bultiņa parasti netiek novietota. Tradicionāli ass ir vērsta pa labi, tāpēc mēs vienkārši ievērosim šo noteikumu.

Ieliksim nulles atzīmi, kas parādīs koordinātu izcelsmi. Šī ir vieta, no kuras tiek veikta atpakaļskaitīšana neatkarīgi no tā, vai tas ir izmērs, svars, ātrums vai jebkas cits. Papildus nullei mums obligāti jānorāda tā sauktā dalīšanas cena, t.i., jāievieš vienības standarts, saskaņā ar kuru mēs uz ass uzzīmēsim noteiktus daudzumus. Tas ir jādara, lai varētu atrast atzara garumu koordinātu taisnē.

Vienādā attālumā viens no otra uz līnijas ievietojam punktus vai “iecirtumus” un zem tiem rakstām attiecīgi 1,2,3 utt. Un tagad viss ir gatavs. Bet ar iegūto grafiku jums joprojām ir jāiemācās strādāt.

Punktu veidi uz koordinātu līnijas

No pirmā acu uzmetiena uz mācību grāmatās piedāvātajiem zīmējumiem kļūst skaidrs: punktus uz ass var aizpildīt vai neaizpildīt. Vai jūs domājat, ka tā ir nejaušība? Nepavisam! "Ciets" punkts tiek izmantots nevienlīdzībai, kas ir "lielāks par vai vienāds ar". Ja mums ir stingri jāierobežo intervāls (piemēram, "x" var ņemt vērtības no nulles līdz vienam, bet neietver to), mēs izmantosim "dobu" punktu, kas faktiski ir mazs aplis. uz ass. Jāpiebilst, ka skolēniem īsti nepatīk strikta nevienlīdzība, jo ar tām ir grūtāk strādāt.

Atkarībā no tā, kādus punktus izmantojat diagrammā, tiks nosaukti arī izveidotie intervāli. Ja nevienlīdzība abās pusēs nav stingra, tad iegūstam segmentu. Ja, no vienas puses, tas izrādīsies “atvērts”, tad to sauks par pusintervālu. Visbeidzot, ja līnijas daļu no abām pusēm ierobežo dobi punkti, to sauc par intervālu.

Lidmašīna

Konstruējot divas līnijas, mēs jau varam ņemt vērā funkciju grafikus. Pieņemsim, ka horizontālā līnija ir laika ass un vertikālā līnija ir attālums. Un tagad mēs varam noteikt, kādu attālumu objekts pārvarēs minūtes vai stundas laikā. Tādējādi darbs ar plakni dod iespēju uzraudzīt objekta stāvokļa izmaiņas. Tas ir daudz interesantāk nekā izpētīt statisku stāvokli.

Vienkāršākais grafiks uz šādas plaknes ir taisna līnija, kas atspoguļo funkciju Y(X) = aX + b. Vai līnija saliecas? Tas nozīmē, ka izpētes procesā objekts maina savas īpašības.

Iedomājieties, ka jūs stāvat uz ēkas jumta un turat akmeni izstieptā rokā. Atlaižot to, tas lidos uz leju, sākot kustību no nulles ātruma. Taču sekundē viņš pārvarēs 36 kilometrus stundā. Akmens turpinās paātrināties, un, lai uzzīmētu tā kustību kartē, jums būs jāmēra tā ātrums vairākos laika punktos, iestatot punktus uz ass atbilstošās vietās.

Atzīmes uz horizontālās koordinātu līnijas pēc noklusējuma tiek nosauktas X1, X2, X3, bet vertikālās - attiecīgi Y1, Y2, Y3. Projicējot tos plaknē un atrodot krustojumus, mēs atrodam iegūtā raksta fragmentus. Savienojot tos ar vienu līniju, mēs iegūstam funkcijas grafiku. Krītoša akmens gadījumā kvadrātfunkcija izskatīsies šādi: Y(X) = aX * X + bX + c.

Mērogs

Protams, nav nepieciešams iestatīt veselu skaitļu vērtības blakus dalījumiem ar taisnu līniju. Ja apsverat gliemeža kustību, kas rāpo ar ātrumu 0,03 metri minūtē, iestatiet kā vērtības koordinātu taisnē. Šajā gadījumā iestatiet dalījuma vērtību uz 0,01 metru.

Īpaši ērti ir veikt šādus zīmējumus piezīmju grāmatiņā būrī - šeit jūs varat uzreiz redzēt, vai uz lapas ir pietiekami daudz vietas jūsu grafikam, vai jūs pārsniegsit robežas. Nav grūti aprēķināt savu spēku, jo šūnas platums šādā piezīmju grāmatiņā ir 0,5 centimetri. Paņēma - samazināja attēlu. Mainot diagrammas mērogu, tas nezaudēs un nemainīs savas īpašības.

Punktu un līniju koordinātas

Ja nodarbībā tiek uzdots matemātisks uzdevums, tajā var būt dažādu ģeometrisku formu parametri gan malu garumu, perimetra, laukuma, gan koordinātu veidā. Šādā gadījumā jums var būt nepieciešams gan izveidot formu, gan iegūt dažus ar to saistītos datus. Rodas jautājums: kā koordinātu līnijā atrast nepieciešamo informāciju? Un kā veidot figūru?

Piemēram, mēs runājam par punktu. Tad problēmas stāvoklī parādīsies lielais burts, un iekavās tiks parādīti vairāki cipari, visbiežāk divi (tas nozīmē, ka mēs skaitīsim divdimensiju telpā). Ja iekavās ir trīs skaitļi, kas atdalīti ar semikolu vai komatu, tad tā ir trīsdimensiju telpa. Katra no vērtībām ir koordināte uz atbilstošās ass: vispirms pa horizontāli (X), pēc tam pa vertikāli (Y).

Atcerieties, kā uzzīmēt segmentu? Jūs to nokārtojāt ģeometrijā. Ja ir divi punkti, tad starp tiem var novilkt līniju. To koordinātas ir norādītas iekavās, ja uzdevumā parādās segments. Piemēram: A(15, 13) - B(1, 4). Lai izveidotu šādu līniju, jums jāatrod un jāatzīmē punkti koordinātu plaknē un pēc tam tie jāsavieno. Tas ir viss!

Un jebkurus daudzstūrus, kā jūs zināt, var uzzīmēt, izmantojot segmentus. Problēma atrisināta.

Aprēķini

Pieņemsim, ka ir kāds objekts, kura atrašanās vietu gar X asi raksturo divi skaitļi: tas sākas punktā ar koordinātu (-3) un beidzas pie (+2). Ja vēlamies zināt šī objekta garumu, tad no lielākā skaitļa jāatņem mazākais skaitlis. Ņemiet vērā, ka negatīvs skaitlis absorbē atņemšanas zīmi, jo "mīnus reiz mīnuss ir vienāds ar plusu". Tātad saskaitām (2+3) un iegūstam 5. Tas ir nepieciešamais rezultāts.

Cits piemērs: mums ir dots objekta beigu punkts un garums, bet ne sākuma punkts (un mums tas ir jāatrod). Lai zināmā punkta atrašanās vieta ir (6), un pētāmā objekta izmērs ir (4). Atņemot garumu no gala koordinātas, mēs iegūstam atbildi. Kopā: (6–4) = 2.

Negatīvie skaitļi

Bieži vien praksē ir nepieciešams strādāt ar negatīvām vērtībām. Šajā gadījumā mēs virzīsimies pa koordinātu asi pa kreisi. Piemēram, 3 centimetrus augsts objekts peld ūdenī. Viena trešdaļa no tā ir iegremdēta šķidrumā, divas trešdaļas atrodas gaisā. Pēc tam par asi izvēloties ūdens virsmu, izmantojot vienkāršākos aritmētiskos aprēķinus, iegūstam divus skaitļus: objekta augšējam punktam ir koordināte (+2), bet apakšējam - (-1) centimetrs.

Ir viegli redzēt, ka plaknes gadījumā mums ir četras ceturtdaļas no koordinātu līnijas. Katram no tiem ir savs numurs. Pirmajā (augšējā labajā) daļā būs punkti, kuriem ir divas pozitīvas koordinātas, otrajā - no augšējās kreisās puses - X ass vērtības būs negatīvas, bet gar Y asi - pozitīvas. Trešais un ceturtais tiek skaitīts tālāk pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Svarīgs īpašums

Jūs zināt, ka līniju var attēlot kā bezgalīgu punktu skaitu. Mēs varam aplūkot tik rūpīgi, cik mums patīk jebkuru vērtību skaitu katrā ass virzienā, bet mēs nesastapsim tādas, kas atkārtojas. Tas šķiet naivi un saprotami, taču šis apgalvojums izriet no svarīga fakta: katrs skaitlis atbilst vienam un tikai vienam punktam uz koordinātu līnijas.

Secinājums

Atcerieties, ka visas asis, figūras un, ja iespējams, grafikas jāveido uz lineāla. Mērvienības nav izgudrojis cilvēks nejauši – ja zīmējot pieļaujat kļūdu, jūs riskējat ieraudzīt attēlu, kuram nebija jābūt.

Esiet piesardzīgs un precīzs, veidojot grafikus un aprēķinus. Tāpat kā jebkura skolā apgūta zinātne, arī matemātika mīl precizitāti. Pielieciet nedaudz pūles, un labas atzīmes neaizņems ilgu laiku.

Nodarbības tēma:

« Koordinātas uz taisnas līnijas»

Nodarbības mērķis:

iepazīstināt skolēnus ar koordinātu līniju un negatīviem skaitļiem.

Nodarbības mērķi:

Apmācība: iepazīstināt skolēnus ar koordinātu līniju un negatīviem skaitļiem.

Attīstīt: loģiskās domāšanas attīstība, redzesloka paplašināšana.

Izglītojošie: izziņas interešu attīstība, informācijas kultūras izglītība.

Nodarbības plāns:

Organizatoriskais brīdis. Skolēnu un viņu gatavības stundai pārbaude.

Pamatzināšanu atjaunināšana. Mutiska skolēnu aptauja par apskatīto tēmu.

Jaunā materiāla skaidrojums.

4. Izpētītā materiāla konsolidācija.

5. Apkopojot. Kopsavilkums par nodarbībā apgūto. Studentu jautājumi.

6. Secinājumi. Nodarbības galveno punktu apkopošana. Zināšanu novērtēšana. Atzīmju likšana.

7. Mājasdarbs. Patstāvīgs darbs studenti ar mācību materiālu.

Aprīkojums: krīts, dēlis, slaidi.

Izvērsts kontūru plāns

Skatuves nosaukums un saturs

Aktivitāte

Aktivitāte

studenti

Es iestudēju

Organizatoriskais brīdis. Sveicieni.

Žurnāla aizpildīšana.

sasveicinās ar klasi, klases vadītājs iedod prombūtnē esošo sarakstu.

Sasveicinies ar

skolotājs

II posms

Pamatzināšanu atjaunināšana.

Sengrieķu zinātnieks Pitagors teica: "Cipari valda pār pasauli." Mēs dzīvojam šajā skaitļu pasaulē, un skolas gados mēs mācāmies strādāt ar dažādiem skaitļiem.

1 Kādus skaitļus mēs jau zinām šodienas nodarbībai?

2 Kādas problēmas mums palīdz atrisināt šie skaitļi?

Šodien mēs pārejam uz mūsu mācību grāmatas "Racionālie skaitļi" otrās nodaļas izpēti, kur mēs paplašināsim savas zināšanas par skaitļiem, un pēc visas nodaļas "Racionālie skaitļi" izpētīšanas mēs uzzināsim, kā veikt visas darbības, kuras jūs zināt. ar tiem un sāciet ar tēmas koordinātu līniju.

1. dabiskās, parastās daĜas, decimāldaĜas

2.saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana, daļskaitļa atrašana no skaitļa un skaitļa no tā daļskaitļa atrašana, dažādu vienādojumu un uzdevumu risināšana

III posms

Jaunā materiāla skaidrojums.

Ņemsim taisni AB un sadalīsim to ar punktu O divos papildu staros - OA un OB. Mēs izvēlamies vienu nogriezni uz taisnas līnijas un par izcelsmi un virzienu ņemam punktu O.

Definīcijas:

Taisni ar izvēlētu atskaites punktu, vienības segmentu un virzienu sauc par koordinātu līniju.

Skaitli, kas parāda punkta pozīciju uz taisnes, sauc par šī punkta koordinātu.

Kā izveidot koordinātu līniju?

uzzīmējiet tiešo

iestatīt vienu segmentu

norādīt virzienu

Koordinātu līniju var novilkt dažādos veidos: horizontāli, vertikāli un jebkurā citā leņķī pret horizontu, un tai ir sākums, bet nav beigu.

1. vingrinājums. Kura no šīm rindām nav koordinātas? (slaids)

Nozīmēsim koordinātu līniju, atzīmēsim koordinātu izcelsmi, vienības segmentu un noliksim punktus 1,2,3,4 un tā tālāk pa kreisi un pa labi.

Apskatīsim iegūto koordinātu līniju. Kāpēc šāda taisna līnija ir neērta?

Virzienu pa labi no sākuma sauc par pozitīvu, un virzienu uz taisnes norāda ar bultiņu. Skaitļus, kas atrodas pa labi no punkta O, sauc par pozitīviem. Negatīvie skaitļi atrodas pa kreisi no punkta O, un virzienu pa kreisi no punkta O sauc par negatīvu (negatīvais virziens nav norādīts). Ja koordinātu līnija atrodas vertikāli, tad augšā no sākuma - pozitīvi skaitļi, zemāk no sākuma - negatīvi. Negatīvie skaitļi tiek rakstīti ar “-” zīmi. Tajos rakstīts: “Mīnus viens”, “Mīnus divi”, “Mīnus trīs” utt. Skaitlis 0 - izcelsme nav ne pozitīva, ne negatīva. Tas atdala pozitīvos no negatīvajiem skaitļiem.

Vienādojumu risinājums un jēdziens "parāds" tirdzniecības aprēķinos noveda pie negatīvu skaitļu rašanās.

Negatīvie skaitļi parādījās daudz vēlāk nekā naturālie skaitļi un parastās daļskaitļi. Pirmā informācija par negatīvajiem skaitļiem ir atrodama ķīniešu matemātiķu vidū 2. gadsimtā pirms mūsu ēras. BC e. Pozitīvie skaitļi pēc tam tika interpretēti kā īpašums, bet negatīvie skaitļi - kā parāds, trūkums. Eiropā atpazīšana notika tūkstoš gadus vēlāk, un pat tad ilgu laiku negatīvos skaitļus sauca par “viltus”, “iedomātiem” vai “absurdiem”. 17. gadsimtā negatīvie skaitļi saņēma vizuālu ģeometrisku attēlojumu uz skaitļu līnijas.

Varat arī sniegt piemērus koordinātu līnijai: termometrs, kalnu virsotņu un ieplaku salīdzinājums (jūras līmenis tiek ņemts par nulli), attālums kartē, lifta šahta, mājas, celtņi.

Padomājiet vai jūs zināt citus koordinātu līniju piemērus?

Uzdevumi.

2. uzdevums. Nosauciet punktu koordinātas.

3. uzdevums. Atzīmējiet punktus uz koordinātu līnijas

4. uzdevums . Novelciet horizontālu līniju un atzīmējiet uz tās punktu O. Atzīmējiet uz šīs līnijas punktus A, B, C, K, ja ir zināms, ka:

A ir 9 šūnas pa labi no O;

B ir 6,5 šūnas pa kreisi no O;

C ir 3½ atstarpes pa labi no O;

K ir 3 atstarpes pa kreisi no O .

Ierakstīts bāzes piezīmēs.

Klausieties, papildiniet.

Pabeidziet uzdevumu savā piezīmju grāmatiņā un pēc tam skaļi izskaidrojiet savas atbildes.

Uzzīmējiet, atzīmējiet viena segmenta koordinātu izcelsmi

Šāda taisne ir neērta ar to, ka vienāds skaitlis atbilst 2 taisnes punktiem.

Vēsture pirms mūsu ēras un mūsu ēras.

IV posms

Izpētītā materiāla konsolidācija.

1. Kas ir koordinātu līnija?

2. Kā izveidot koordinātu līniju?

1. Taisni ar izvēlētu atskaites punktu, vienības segmentu un virzienu sauc par koordinātu līniju

2) novelciet taisnu līniju

atzīmējiet atpakaļskaitīšanas sākumu

iestatīt vienu segmentu

norādīt virzienu

V posms

Apkopojot

Ko jaunu mēs šodien uzzinājām?

Koordinātu līnija un negatīvie skaitļi.

VI posms

Zināšanu novērtēšana. Atzīmju likšana.

Mājasdarbs.

Uzstādiet jautājumus par apskatīto tēmu (ziniet atbildes uz tiem)

koordinātu līnija.

Paņemsim taisnu līniju. Sauksim to par taisni x (1. att.). Uz šīs līnijas izvēlamies atskaites punktu O, kā arī ar bultiņu norādām šīs līnijas pozitīvo virzienu (2. att.). Tādējādi pa labi no punkta O mums būs pozitīvi skaitļi, bet pa kreisi - negatīvi. Mēs izvēlamies mērogu, tas ir, taisnās līnijas segmenta izmēru, kas vienāds ar vienu. Mēs to dabūjām koordinātu līnija(3. att.). Katrs skaitlis atbilst noteiktam atsevišķam punktam šajā rindā. Turklāt šo skaitli sauc par šī punkta koordinātu. Tāpēc līniju sauc par koordinātu līniju. Un atskaites punktu O sauc par izcelsmi.

Piemēram, attēlā. 4 punkts B atrodas 2 attālumā pa labi no sākuma. Punkts D atrodas 4 attālumā pa kreisi no sākuma. Attiecīgi punkta B koordināte ir 2, bet punkta D koordināte ir -4. Pašam punktam O, kas ir atskaites punkts, koordināte ir 0 (nulle). Parasti to raksta šādi: O(0), B(2), D(-4). Un, lai nemitīgi nesaka "punkts D ar koordinātu tādu un tādu", viņi saka vienkāršāk: "punkts 0, punkts 2, punkts -4". Un šajā gadījumā pietiek apzīmēt pašu punktu ar tā koordinātu (5. att.).

Zinot divu koordinātu līnijas punktu koordinātas, mēs vienmēr varam aprēķināt attālumu starp tiem. Pieņemsim, ka mums ir divi punkti A un B ar attiecīgi koordinātām a un b. Tad attālums starp tiem būs |a - b|. Ieraksts |a - b| lasīt kā "a mīnus b modulo" vai "modulis starpības starp skaitļiem a un b".

Kas ir modulis?

Algebriski x modulis ir nenegatīvs skaitlis. Apzīmēts kā |x|. Turklāt, ja x > 0, tad |x| = x. Ja x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

Ģeometriski skaitļa x modulis ir attālums starp punktu un sākumpunktu. Un, ja ir divi punkti ar koordinātām x1 un x2, tad |x1 - x2| ir attālums starp šiem punktiem.

Moduli sauc arī absolūtā vērtība.

Ko vēl mēs varam teikt, kad runa ir par koordinātu līniju? Noteikti par skaitliskiem intervāliem.

Skaitlisko intervālu veidi.

Pieņemsim, ka mums ir divi skaitļi a un b. Turklāt b > a (b ir lielāks par a). Uz koordinātu līnijas tas nozīmē, ka punkts b atrodas pa labi no punkta a. Aizstāsim b savā nevienādībā ar mainīgo x. Tas ir x > a. Tad x ir visi skaitļi, kas lielāki par a. Uz koordinātu līnijas tie ir attiecīgi visi punkti pa labi no punkta a. Šī līnijas daļa ir noēnota (6. att.). Tādu punktu kopu sauc atvērta sija, un šis skaitliskais intervāls tiek apzīmēts ar (a; +∞), kur +∞ zīme tiek lasīta kā “plus bezgalība”. Ņemiet vērā, ka pats punkts a nav iekļauts šajā intervālā un ir norādīts ar gaismas apli.

Apsveriet arī gadījumu, kad x ≥ a. Tad x ir visi skaitļi, kas ir lielāki vai vienādi ar a. Uz koordinātu līnijas tie visi ir punkti pa labi no a, kā arī pats punkts a (7. att. punktu a jau norāda tumšs aplis). Tādu punktu kopu sauc slēgtā sija(vai tikai stars), un šis skaitliskais intervāls tiek apzīmēts ar .

Tiek saukta arī koordinātu līnija koordinātu ass. Vai tikai x-ass.

1. nodaļas beigās mēs teicām, ka algebras laikā jums un man jāiemācās aprakstīt reālas situācijas vārdos (verbālais modelis), algebriski (algebriskais vai, kā matemātiķi mēdz teikt, analītiskais modelis), grafiski (grafiski). vai ģeometriskais modelis). Visa pirmā sadaļa mācību grāmata(1.-5. nodaļa) bija veltīta matemātiskās valodas, ar kuru tiek aprakstīti analītiskie modeļi, izpētei.

Sākot ar 6. nodaļu, mēs pētīsim ne tikai jaunus analītiskos, bet arī grafiskos (ģeometriskos) modeļus. Tie ir veidoti, izmantojot koordinātu līniju, koordinātu plakne. Šie jēdzieni jums ir nedaudz pazīstami no matemātikas kursa 5.-6. klasē.

Taisna līnija /, uz kuras sākuma punkts O (atskaites punkts), skala (viena līnijas segments, t.i., segmentu, kura garums tiek uzskatīts par vienādu ar 1) un pozitīvo virzienu, sauc par koordinātu līniju jeb koordinātu asi (7. att.); Tiek lietots arī termins "x ass".

Katrs skaitlis atbilst vienam punktam uz līnijas. Piemēram, skaitlis 3,5 atbilst punktam M (8. att.), kas tiek noņemts no sākuma, t.i., no punkta O, attālumā, kas vienāds ar 3,5 (noteiktā mērogā), un atlikts no punkta O. noteiktā (pozitīvā) virzienā. Skaitlis -4 atbilst punktam P (skat. 8. att.), kas tiek noņemts no punkta O attālumā, kas vienāds ar 4, un atlikts no punkta O negatīvā virzienā, t.i., virzienā, kas ir pretējs dotajam. viens.

Ir arī otrādi: katrs koordinātu līnijas punkts atbilst vienam skaitlim.

Piemēram, punkts K, kas atrodas 5,4 no punkta O pozitīvā (dotajā) virzienā, atbilst skaitlim 5,4, un punkts N, kas atrodas 2,1 no punkta O negatīvajā virzienā, atbilst skaitlim - 2,1 (sk. att. . 8).

Šos skaitļus sauc par atbilstošo punktu koordinātām. Tātad, attēlā. 8 punkta K koordināte ir 5,4; punkts P - koordināte -4; punkts M - koordināte 3,5; punkts N - koordināte -2,1; punkts O - koordināte 0 (nulle). Līdz ar to nosaukums - "koordinātu līnija". Tēlaini izsakoties, koordinātu līnija ir blīvi apdzīvota māja, šīs mājas iedzīvotāji ir punkti, bet punktu koordinātes ir dzīvokļu skaits, kuros dzīvo punkti-iedzīvotāji.

Kāpēc mums ir vajadzīga koordinātu līnija? Kāpēc punktu raksturot ar skaitli, bet skaitli ar punktu? Vai no tā ir kāds labums? Jā tur ir.
Ļaujiet, piemēram, uz koordinātu līnijas norādīt divus punktus: A - ar koordinātu o un B - ar koordinātu b (parasti šādos gadījumos viņi raksta īsāk:
A(a), B(b)). Pieņemsim, ka mums jāatrod attālums d starp punktiem A un B. Izrādās, ka tā vietā, lai darītu ģeometriskie mērījumi, vienkārši izmantojiet gatavo formulu d \u003d (a - b) (jūs to mācījāties 6. klasē).
Tātad 8. attēlā mums ir:

Cenšoties pēc spriešanas kodolīguma, matemātiķi piekrita garās frāzes “koordinātu līnijas punkts A, kam ir koordināte a” vietā lietot īsu frāzi: “punkts a” un attiecīgi zīmējumā punktu zem. apsvērums tiek apzīmēts ar tā koordinātu. Tātad 9. attēlā redzama koordinātu līnija, uz kuras atzīmēti punkti - 4; - 2,1; 0; viens; 3,5; 5.4.

Koordinātu līnija dod mums iespēju brīvi pārslēgties no algebriskās valodas uz ģeometrisko valodu un otrādi. Ļaujiet, piemēram, skaitlim a būt mazākam par skaitli b. Algebriskajā valodā to raksta šādi: a< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Tomēr gan algebriskās, gan ģeometriskās valodas ir vienas un tās pašas matemātiskās valodas šķirnes, ko mēs pētām.

Iepazīsimies ar vēl vairākiem matemātiskās valodas elementiem, kas saistīti ar koordinātu līniju.

1. Atzīmēsim punktu a uz koordinātu taisnes. Apsveriet visus punktus, kas atrodas uz taisnes pa labi no punkta a, un atzīmējiet atbilstošo daļu ar koordinātu līnijas izšķilšanos (10. att.). Šo punktu (skaitļu) kopu sauc par atvērtu staru un apzīmē ar (a, + oo), kur + oo zīme skan: “plus bezgalība”; to raksturo nevienādība x > a (ar dz saprotam jebkuru stara punktu).

Lūdzu, ņemiet vērā: punkts a nepieder pie atvērtas sijas, bet, ja šis punkts ir jāpiestiprina pie atvērtas sijas, tad rakstiet x\u003e a vai un attiecīgi krāsojiet virs punkta b zīmējumā (13. att.);

priekš (-oo, b) mēs arī izmantosim terminu stars.

3. Atzīmēsim punktus a un b uz koordinātu taisnes un< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

Šo (skaitļu) kopu sauc par intervālu un apzīmē ar (a, b).

To raksturo stingra dubultnevienlīdzība a< х < b (под х понимается любая точка интервала).

Lūdzu, ņemiet vērā: intervāls (a, b) ir divu atvērtu staru (-oo, b) un (a, + oo) krustpunkts (kopējā daļa) - tas ir skaidri redzams 15. attēlā.

Ja intervālam (a, b) pievienojam tā galus, t.i., punktus a un b, tad iegūstam nogriezni [a, b] (16. att.),

kuru raksturo nestingra dubultnevienlīdzība a< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

Nogrieznis [a, b] ir divu staru (-oo, b] un un krustpunkts (kopējā daļa), ko raksturo dubultā nevienādība: a< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

Tātad, mēs esam ieviesuši piecus jaunus matemātiskās valodas terminus: stars, atvērtais stars, intervāls, segments, pusintervāls. Ir arī vispārīgs termins: skaitliskās nepilnības.

Arī pati koordinātu līnija tiek uzskatīta par skaitlisko intervālu; tam tiek izmantots apzīmējums (-oo, +oo).

Matemātika 7. klasei bez maksas lejupielādēt, stundu plāni, gatavošanās skolai tiešsaistē

A. V. Pogorelovs, Ģeometrija 7.-11.klasei, Mācību grāmata izglītības iestādēm