Histoire des dés. Dés en ligne Nous connectons les conditions pour un test indépendant

Écrit par le designer Tyler Sigman, sur "Gamasutra". Je l'appelle affectueusement l'article "les cheveux dans les narines d'un orc", mais il couvre assez bien les bases des probabilités dans les jeux.

Le thème de cette semaine

Jusqu'à aujourd'hui, presque tout ce dont nous avons parlé était déterministe, et la semaine dernière, nous avons examiné de plus près la mécanique transitive et l'avons décomposée avec autant de détails que je peux l'expliquer. Mais jusqu'à présent, nous n'avons pas prêté attention à un aspect énorme de nombreux jeux, à savoir les aspects non déterministes, en d'autres termes - le caractère aléatoire. Comprendre la nature du hasard est très important pour les concepteurs de jeux car nous créons des systèmes qui affectent l'expérience du joueur dans un jeu donné, nous devons donc savoir comment ces systèmes fonctionnent. S'il y a du hasard dans le système, vous devez comprendre la nature ce caractère aléatoire et comment le modifier pour obtenir les résultats souhaités.

Dé

Commençons par quelque chose de simple : lancer des dés. Lorsque la plupart des gens pensent aux dés, ils pensent à un dé à six faces connu sous le nom de d6. Mais la plupart des joueurs ont vu bien d'autres dés : à quatre faces (d4), à huit faces (d8), dodécaédriques (d12), à vingt faces (d20)... et si vous réel geek, vous pourriez avoir des dés à 30 ou 100 faces quelque part. Si vous n'êtes pas familier avec cette terminologie, le « d » signifie le dé, et le nombre qui suit indique le nombre de faces qu'il a. Si un avant de"d" représente un nombre, il représente montant dés lorsqu'ils sont lancés. Par exemple, au Monopoly, vous lancez 2d6.

Donc, dans ce cas, l'expression "dés" est une désignation conventionnelle. Il existe de nombreux autres générateurs nombres aléatoires, qui n'ont pas la forme d'un bloc de plastique, mais remplissent la même fonction de génération d'un nombre aléatoire de 1 à n. Une pièce de monnaie ordinaire peut également être considérée comme un dé dièdre d2. J'ai vu deux dessins d'un dé à sept faces : l'un ressemblait à un dé et le second ressemblait davantage à un crayon en bois à sept faces. Un dreidel tétraédrique (également connu sous le nom de titotum) est un analogue d'un os tétraédrique. Le terrain de jeu de la flèche tournante dans le jeu "Chutes & Ladders", où le résultat peut aller de 1 à 6, correspond à un dé à six faces. Le générateur de nombres aléatoires de l'ordinateur peut créer n'importe quel nombre de 1 à 19 si le concepteur donne une telle commande, bien que l'ordinateur n'ait pas de dé à 19 faces (en général, je parlerai davantage de la probabilité que des nombres tombent sur le ordinateur à Suivant la semaine). Bien que tous ces éléments semblent différents, ils sont en fait équivalents : vous avez une chance égale d'obtenir l'un des nombreux résultats.

Les dés ont des propriétés intéressantes que nous devons connaître. Tout d'abord, la probabilité que l'un des visages apparaisse est la même (je suppose que vous lancez les bons dés, pas la mauvaise géométrie). Alors si tu veux savoir moyenne rouler (également connu parmi les probabilistes sous le nom d '«espérance mathématique»), additionner les valeurs de toutes les arêtes et diviser cette somme par montant visages. La valeur moyenne d'un jet pour un dé standard à six faces est 1+2+3+4+5+6 = 21, divisé par le nombre de faces (6) et nous obtenons la valeur moyenne de 21/6 = 3,5. Il s'agit d'un cas particulier car nous supposons que tous les résultats sont également probables.

Et si vous aviez des dés spéciaux ? Par exemple, j'ai vu un jeu de dés à six faces avec des autocollants spéciaux sur les faces : 1, 1, 1, 2, 2, 3, il se comporte donc comme un étrange dé à trois faces, qui est plus susceptible de lancer le numéro 1 que 2, et 2 que 3. Quelle est la valeur moyenne du jet pour ce dé ? Donc 1+1+1+2+2+3 = 10 divisé par 6 égale 5/3 ou environ 1,66. Donc, si vous avez ce dé particulier et que les joueurs lancent trois dés, puis additionnent les résultats, vous savez que la somme approximative de leurs lancers sera d'environ 5, et vous pouvez équilibrer le jeu en fonction de cette hypothèse.

Dés et indépendance

Comme je l'ai déjà dit, nous partons de l'hypothèse que l'abandon de chaque face est également probable. Cela ne dépend pas du nombre de dés que vous lancez. Chaque lancer de dés quel que soit, ce qui signifie que les lancers précédents n'affectent pas les résultats des lancers suivants. Avec un nombre suffisant de tests, vous serez certainement remarquer"série" de nombres, comme le fait de lancer principalement des valeurs supérieures ou inférieures, ou d'autres fonctionnalités, et nous en reparlerons plus tard, mais cela ne signifie pas que les dés sont "chauds" ou "froids". Si vous lancez un dé standard à six faces et que le chiffre 6 apparaît deux fois de suite, la probabilité que le prochain lancer donne un 6 est également de 1/6. La probabilité n'est pas augmentée par le fait que le cube est "réchauffé". La probabilité ne diminue pas, car le chiffre 6 est déjà tombé deux fois de suite, ce qui signifie qu'un autre visage va maintenant tomber. (Bien sûr, si vous lancez un dé vingt fois et que le chiffre 6 sort à chaque fois, la probabilité que le chiffre 6 sorte la vingt et unième fois est assez élevée... car cela pourrait signifier que vous avez le mauvais dé !) Mais si vous avez le bon dé, la probabilité de tomber de chacune des faces est la même, quels que soient les résultats des autres lancers. Vous pouvez également imaginer qu'à chaque fois que nous changeons de dé, donc si le chiffre 6 apparaît deux fois de suite, retirez le dé "chaud" du jeu et remplacez-le par un nouveau dé à six faces. Je m'excuse si l'un d'entre vous était déjà au courant de cela, mais j'avais besoin de clarifier cela avant de continuer.

Comment faire rouler les dés plus ou moins aléatoirement

Parlons de la façon d'obtenir des résultats différents sur différents dés. Si vous ne lancez le dé qu'une ou plusieurs fois, le jeu semblera plus aléatoire si le dé a plus d'arêtes. Plus vous lancez de dés, ou plus vous lancez de dés, plus les résultats se rapprochent de la moyenne. Par exemple, si vous lancez 1d6+4 (c'est-à-dire un dé standard à six faces et ajoutez 4 au résultat), la moyenne sera un nombre entre 5 et 10. Si vous lancez 5d2, la moyenne sera également un nombre entre 5 et 10. Mais en lançant un dé à six faces, la probabilité d'obtenir les nombres 5, 8 ou 10 est la même. Le résultat d'un jet de 5d2 sera principalement les nombres 7 et 8, moins souvent d'autres nombres. Même série, voire même moyenne (7,5 dans les deux cas), mais la nature de l'aléatoire est différente.

Attendez une minute. Ne viens-je pas de dire que les dés ne chauffent ni ne refroidissent ? Et maintenant, je dis que si vous lancez beaucoup de dés, les résultats des lancers sont plus proches de la moyenne ? Pourquoi?

Laisse-moi expliquer. Si vous lancez une dés, la probabilité de tomber de chacune des faces est la même. Cela signifie que si vous lancez beaucoup de dés, au fil du temps, chaque face apparaîtra à peu près le même nombre de fois. Plus vous lancerez de dés, plus le résultat total se rapprochera de la moyenne. Ce n'est pas parce que le numéro obtenu "provoque" le lancement d'un autre numéro qui n'est pas encore sorti. Parce qu'une petite séquence de 6 (ou 20, ou autre) ne finit pas par être un gros problème si vous lancez les dés dix mille fois de plus et c'est surtout la moyenne qui ressort... peut-être que maintenant vous en aurez quelques-uns nombres avec une valeur élevée, mais peut-être plus tard quelques nombres avec une valeur faible et au fil du temps, ils se rapprocheront de la valeur moyenne. Non pas parce que les lancers précédents affectent les dés (sérieusement, les dés sont faits de Plastique, elle n'a pas la cervelle pour penser "oh, ça fait longtemps qu'un 2 n'est pas sorti"), mais parce que c'est ce qui arrive généralement avec beaucoup de lancers de dés. Une petite série de nombres répétés sera presque invisible dans un grand nombre de résultats.

Ainsi, il est assez facile de calculer pour un lancer aléatoire d'un dé, du moins en ce qui concerne le calcul de la valeur moyenne du lancer. Il y a aussi des façons de calculer "à quel point quelque chose est aléatoire", une façon de dire que les résultats d'un jet de 1d6+4 seront "plus aléatoires" qu'un 5d2, pour un 5d2 la distribution des résultats du jet sera plus uniforme, généralement, vous calculez l'écart type pour cela, et plus la valeur est élevée, plus les résultats seront aléatoires, mais cela nécessite plus de calculs que je ne voudrais en donner aujourd'hui (j'expliquerai ce sujet plus tard). La seule chose que je vous demande de savoir, c'est qu'en règle générale, moins il y a de dés lancés, plus il y a de hasard. Et encore un ajout à ce sujet : plus le dé a de côtés, plus il y a de hasard, puisque vous avez plus d'options.

Comment calculer la probabilité en comptant

Vous avez peut-être une question : comment pouvons-nous calculer la probabilité exacte d'un résultat particulier ? Ceci est en fait assez important pour de nombreux jeux, car si vous lancez un dé, il est probable qu'il y aura un résultat optimal au départ. La réponse est : nous devons calculer deux valeurs. Tout d'abord, calculez le nombre maximum de résultats lorsque vous lancez un dé (quel que soit le résultat). Comptez ensuite le nombre de résultats favorables. En divisant la deuxième valeur par la première, vous obtenez la probabilité souhaitée. Pour obtenir un pourcentage, multipliez le résultat par 100.

Exemples:

Voici un exemple très simple. Vous voulez obtenir un 4 ou plus et lancer un dé à six faces une fois. Le nombre maximum de résultats est de 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Parmi ceux-ci, 3 résultats (4, 5, 6) sont favorables. Donc, pour calculer la probabilité, on divise 3 par 6 et on obtient 0,5 ou 50 %.

Voici un exemple un peu plus compliqué. Vous voulez un nombre pair sur un jet de 2d6. Le nombre maximum de résultats est de 36 (6 pour chaque dé, et comme un dé n'affecte pas l'autre, nous multiplions 6 résultats par 6 et obtenons 36). La difficulté avec ce type de question est qu'il est facile de compter deux fois. Par exemple, il y a en fait deux résultats possibles d'un 3 sur un jet de 2d6 : 1+2 et 2+1. Ils se ressemblent, mais la différence est le nombre affiché sur le premier dé et celui sur le second. Vous pouvez également imaginer que les dés sont de couleurs différentes, donc par exemple dans ce cas un dé est rouge et l'autre est bleu. Comptez ensuite le nombre d'options pour obtenir un nombre pair : 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Il s'avère qu'il existe 18 options pour une issue favorable sur 36, comme dans le cas précédent, la probabilité sera de 0,5 ou 50%. Peut-être inattendu, mais tout à fait exact.

Simulation de Monte-Carlo

Que faire si vous avez trop de dés pour ce calcul ? Par exemple, vous voulez savoir quelle est la probabilité d'obtenir un total de 15 ou plus sur un résultat de 8d6. Il existe BEAUCOUP de scores individuels différents pour huit dés et il faudrait beaucoup de temps pour les calculer à la main. Même si l'on trouve une bonne solution pour regrouper différentes séries de jets de dés, il faudra encore beaucoup de temps pour compter. Dans ce cas, le moyen le plus simple de calculer la probabilité n'est pas de calculer manuellement, mais d'utiliser un ordinateur. Il existe deux façons de calculer la probabilité sur un ordinateur.

La première façon peut obtenir la réponse exacte, mais elle implique un peu de programmation ou de script. Essentiellement, l'ordinateur passera en revue chaque possibilité, évaluera et comptera le nombre total d'itérations et le nombre d'itérations qui correspondent au résultat souhaité, puis fournira des réponses. Votre code pourrait ressembler à ceci :

int wincount=0, totalcount=0 ;

pour (int i=1; je<=6; i++) {

pour (int j=1; j<=6; j++) {

pour (int k=1; k<=6; k++) {

… // insère plus de boucles ici

si (i+j+k+… >= 15) (

probabilité flottante = wincount/totalcount ;

Si vous n'êtes pas programmeur et que vous voulez juste une réponse inexacte mais approximative, vous pouvez simuler cette situation dans Excel, où vous lancez 8d6 plusieurs milliers de fois et obtenez la réponse. Pour lancer 1d6 dans Excel, utilisez la formule suivante :

PLANCHER(RAND()*6)+1

Il y a un nom pour la situation où vous ne connaissez pas la réponse et essayez simplement plusieurs fois - Simulation de Monte-Carlo, et c'est une excellente solution sur laquelle se rabattre lorsque vous essayez de calculer une probabilité et que c'est trop compliqué. La grande chose est que dans ce cas, nous n'avons pas besoin de comprendre comment fonctionnent les calculs, et nous savons que la réponse sera "plutôt bonne" car, comme nous le savons déjà, plus il y a de lancers, plus le résultat se rapproche du valeur moyenne.

Comment combiner des essais indépendants

Si vous posez des questions sur plusieurs essais répétés mais indépendants, le résultat d'un jet n'affecte pas le résultat des autres jets. Il existe une autre explication plus simple à cette situation.

Comment faire la distinction entre quelque chose de dépendant et d'indépendant ? En principe, si vous pouvez isoler chaque lancer de dé (ou série de lancers) comme un événement distinct, alors il est indépendant. Par exemple, si nous voulons obtenir un total de 15 en lançant 8d6, ce cas ne peut pas être divisé en plusieurs lancers de dés indépendants. Puisque vous calculez la somme des valeurs de tous les dés pour le résultat, le résultat obtenu sur un dé affecte les résultats qui devraient être obtenus sur d'autres dés, car ce n'est qu'en additionnant toutes les valeurs que vous obtiendrez le résultat souhaité.

Voici un exemple de lancers indépendants : vous jouez à un jeu de dés et vous lancez plusieurs fois des dés à six faces. Pour rester dans le jeu, vous devez obtenir un 2 ou plus lors de votre premier lancer. Pour le deuxième lancer, 3 ou plus. Le troisième nécessite 4 ou plus, le quatrième nécessite 5 ou plus, le cinquième nécessite 6. Si les cinq lancers sont réussis, vous gagnez. Dans ce cas, tous les lancers sont indépendants. Oui, si un jet échoue, cela affectera le résultat du jeu entier, mais un jet n'affecte pas un autre jet. Par exemple, si votre deuxième lancer de dés est très réussi, cela n'affecte pas la probabilité que les prochains lancers soient tout aussi réussis. Par conséquent, nous pouvons considérer la probabilité de chaque lancer de dés séparément.

Si vous avez des probabilités distinctes et indépendantes et que vous voulez savoir quelle est la probabilité que toutévénements se produiront, vous déterminez chaque probabilité individuelle et vous les multipliez. Une autre façon : si vous utilisez la conjonction "et" pour décrire plusieurs conditions (par exemple, quelle est la probabilité qu'un événement aléatoire se produise et un autre événement aléatoire indépendant ?), calculez les probabilités individuelles et multipliez-les.

Peu importe ce que vous pensez jamais ne pas additionner les probabilités indépendantes. C'est une erreur courante. Pour comprendre pourquoi c'est faux, imaginez une situation où vous lancez une pièce 50/50 et vous voulez savoir quelle est la probabilité d'obtenir face deux fois de suite. Chaque camp a 50 % de chances de sortir, donc si vous additionnez les deux probabilités, vous obtenez 100 % de chances de tomber face, mais nous savons que ce n'est pas vrai car deux piles consécutives peuvent tomber. Si à la place vous multipliez ces deux probabilités, vous obtenez 50 % * 50 % = 25 %, ce qui est la bonne réponse pour calculer la probabilité d'obtenir face deux fois de suite.

Exemple

Revenons au jeu de dés à six faces, où vous devez d'abord lancer un nombre supérieur à 2, puis supérieur à 3, et ainsi de suite. jusqu'à 6. Quelles sont les chances que dans une série donnée de 5 lancers, tous les résultats soient favorables ?

Comme mentionné ci-dessus, ce sont des essais indépendants, nous calculons donc la probabilité pour chaque lancer individuel, puis nous les multiplions. La probabilité que le résultat du premier lancer soit favorable est de 5/6. La seconde - 4/6. Troisième - 3/6. Le quatrième - 2/6, le cinquième - 1/6. En multipliant tous ces résultats, on obtient environ 1,5%… Donc, gagner ce jeu est assez rare, donc si vous ajoutez cet élément à votre jeu, il vous faudra un jackpot assez gros.

Négation

Voici un autre indice utile : parfois, il est difficile de calculer la probabilité qu'un événement se produise, mais il est plus facile de déterminer quelles sont les chances qu'un événement se produise. ne viendra pas.

Par exemple, supposons que nous ayons une autre partie et que vous lanciez 6d6, et si au moins une fois lance 6, vous gagnez. Quelle est la probabilité de gagner ?

Dans ce cas, de nombreuses options sont envisageables. Peut-être qu'un numéro 6 tombera, c'est-à-dire l'un des dés lancera un 6 et les autres lanceront un 1 à 5, et il y a 6 options pour lequel des dés lancera un 6. Ensuite, vous pouvez lancer un 6 sur deux dés, ou trois, ou même plus, et chaque fois que nous devons faire un calcul séparé, il est donc facile de s'embrouiller.

Mais il existe une autre façon de résoudre ce problème, regardons-le de l'autre côté. Tu perdre si rien le nombre 6 ne tombera pas du dé. Dans ce cas, nous avons six essais indépendants, la probabilité de chacun d'eux est de 5/6 (tout nombre autre que 6 peut tomber sur le dé). Multipliez-les et vous obtenez environ 33 %. Ainsi, la probabilité de perdre est de 1 à 3.

Par conséquent, la probabilité de gagner est de 67% (ou 2 à 3).

De cet exemple, il est évident que si vous calculez la probabilité qu'un événement ne se produise pas, soustrayez le résultat de 100 %. Si la probabilité de gagner est de 67 %, alors la probabilité perdre — 100% moins 67 % ou 33 %. Et vice versa. S'il est difficile de calculer une probabilité, mais facile de calculer le contraire, calculez le contraire, puis soustrayez de 100 %.

Conditions de connexion pour un test indépendant

J'ai dit un peu plus tôt qu'il ne faut jamais additionner des probabilités dans des essais indépendants. Y a-t-il des cas où boîte sommer les probabilités ? Oui, dans une situation particulière.

Si vous souhaitez calculer la probabilité de résultats multiples, non liés et favorables sur le même essai, additionnez les probabilités de chaque résultat favorable. Par exemple, la probabilité d'obtenir un 4, 5 ou 6 sur 1d6 est somme la probabilité d'obtenir un 4, la probabilité d'obtenir un 5 et la probabilité d'obtenir un 6. Vous pouvez également penser à cette situation comme suit : si vous utilisez la conjonction "ou" dans une question sur la probabilité (par exemple, quelle est la probabilité de ou résultat différent d'un événement aléatoire ?), calculez les probabilités individuelles et additionnez-les.

Notez que lorsque vous additionnez tous les résultats possibles jeu, la somme de toutes les probabilités doit être égale à 100 %. Si la somme n'est pas égale à 100 %, votre calcul a été mal fait. C'est un bon moyen de vérifier vos calculs. Par exemple, vous avez analysé la probabilité d'obtenir toutes les combinaisons au poker, si vous additionnez tous les résultats, vous devriez obtenir exactement 100 % (ou au moins une valeur assez proche de 100 %, si vous utilisez une calculatrice, vous pouvez avoir un petite erreur d'arrondi, mais si vous additionnez les nombres exacts à la main, tout devrait s'additionner). Si la somme ne converge pas, il est fort probable que vous n'ayez pas pris en compte certaines combinaisons ou que vous ayez mal calculé les probabilités de certaines combinaisons, puis vous devez revérifier vos calculs.

Probabilités inégales

Jusqu'à présent, nous avons supposé que chaque face du dé tombe à la même fréquence, car c'est ainsi que fonctionne le dé. Mais parfois, vous êtes confronté à une situation où différents résultats sont possibles et ils divers laisser tomber les chances. Par exemple, dans l'une des extensions du jeu de cartes "Nuclear War", il y a un terrain de jeu avec une flèche qui détermine le résultat d'un lancement de missile : il inflige essentiellement des dégâts normaux, plus ou moins de dégâts, mais parfois les dégâts sont doublés ou triplé, ou la fusée explose sur la rampe de lancement et vous blesse, ou un autre événement se produit. Contrairement au tableau fléché dans "Chutes & Ladders" ou "A Game of Life", les résultats du tableau dans "Nuclear War" sont inégaux. Certaines sections du terrain de jeu sont plus grandes et la flèche s'y arrête beaucoup plus souvent, tandis que d'autres sections sont très petites et la flèche s'y arrête rarement.

Ainsi, à première vue, l'os ressemble à ceci : 1, 1, 1, 2, 2, 3 ; nous en avons déjà parlé, c'est quelque chose comme un 1d3 pondéré, par conséquent, nous devons diviser toutes ces sections en parties égales, trouver la plus petite unité de mesure, qui en est un multiple, puis représenter la situation sous la forme de d522 (ou un autre ), où l'ensemble de faces de dés affichera la même situation, mais avec un plus grand nombre de résultats. Et c'est une façon de résoudre le problème, et c'est techniquement faisable, mais il existe un moyen plus simple.

Revenons à nos dés standard à six faces. Nous avons dit que pour calculer la valeur moyenne d'un lancer pour un dé normal, vous devez additionner les valeurs sur toutes les faces et les diviser par le nombre de faces, mais comment exactement le calcul continue ? Vous pouvez l'exprimer différemment. Pour un dé à six faces, la probabilité que chaque face sorte est exactement 1/6. Maintenant on multiplie Exode chaque bord sur probabilité ce résultat (dans ce cas, 1/6 pour chaque face), puis additionnez les valeurs résultantes. Donc en additionnant (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6 ), on obtient le même résultat (3.5) que dans le calcul ci-dessus. En fait, nous calculons cela à chaque fois : nous multiplions chaque résultat par la probabilité de ce résultat.

Pouvons-nous faire le même calcul pour la flèche sur le terrain de jeu dans le jeu "Nuclear War" ? Bien sûr on peut. Et si nous additionnons tous les résultats trouvés, nous obtenons la valeur moyenne. Tout ce que nous avons à faire est de calculer la probabilité de chaque résultat pour la flèche sur le terrain de jeu et de multiplier par le résultat.

Un autre exemple

Cette méthode de calcul de la moyenne, en multipliant chaque résultat par sa probabilité individuelle, est également appropriée si les résultats sont également probables mais présentent des avantages différents, par exemple si vous lancez un dé et gagnez plus sur certains côtés que sur d'autres. Par exemple, prenons un jeu qui se passe dans un casino : vous misez et lancez 2d6. Si trois numéros de faible valeur (2, 3, 4) ou quatre numéros de valeur élevée (9, 10, 11, 12) sortent, vous gagnerez un montant égal à votre mise. Les nombres avec la valeur la plus basse et la plus haute sont spéciaux : si 2 ou 12 lancent, vous gagnez deux fois plus que votre enchère. Si un autre numéro sort (5, 6, 7, 8), vous perdrez votre pari. C'est un jeu assez simple. Mais quelle est la probabilité de gagner ?

Commençons par compter combien de fois vous pouvez gagner :

• Le nombre maximum de résultats sur un jet de 2d6 est de 36. Quel est le nombre de résultats favorables ?
• Il y a 1 option que deux tomberont et 1 option que douze tomberont.
• Il y a 2 options pour rouler trois et onze.
• Il y a 3 options pour rouler quatre et 3 options pour rouler dix.
• Il y a 4 options pour neuf à venir.
• En résumant toutes les options, nous obtenons le nombre de résultats favorables 16 sur 36.

Ainsi, dans des conditions normales, vous gagnerez 16 fois sur 36 possibles… la probabilité de gagner est légèrement inférieure à 50 %.

Mais dans deux cas sur ces 16, vous gagnerez le double, c'est-à-dire c'est comme gagner deux fois ! Si vous jouez à ce jeu 36 fois, en pariant 1 $ à chaque fois, et que chacun de tous les résultats possibles se présente une fois, vous gagnerez un total de 18 $ (vous gagnez en fait 16 fois, mais deux de ces fois compteront pour deux victoires). Si vous jouez 36 fois et gagnez 18 $, cela ne signifie-t-il pas que c'est une chance égale ?

Prends ton temps. Si vous comptez le nombre de fois que vous pouvez perdre, vous obtenez 20, pas 18. Si vous jouez 36 fois, en pariant 1 $ à chaque fois, vous gagnerez un total de 18 $ avec toutes les cotes roulées... mais vous perdrez le total du montant de 20 $ pour les 20 mauvais résultats ! Du coup, vous serez légèrement en retrait : vous perdez en moyenne 2$ net pour 36 parties (on peut aussi dire que vous perdez en moyenne 1$/18 par jour). Vous voyez maintenant à quel point il est facile de se tromper dans ce cas et de calculer la probabilité de manière incorrecte !

permutation

Jusqu'à présent, nous avons supposé que l'ordre dans lequel les numéros sont lancés n'a pas d'importance lors du lancement des dés. Un jet de 2+4 est identique à un jet de 4+2. Dans la plupart des cas, nous calculons manuellement le nombre de résultats favorables, mais parfois cette méthode est peu pratique et il est préférable d'utiliser une formule mathématique.

Un exemple de cette situation est tiré du jeu de dés "Farkle". Pour chaque nouveau tour, vous lancez 6d6. Si vous êtes chanceux et que tous les résultats possibles de 1-2-3-4-5-6 (Straight) se présentent, vous obtiendrez un gros bonus. Quelle est la probabilité que cela se produise ? Dans ce cas, il existe de nombreuses options pour la perte de cette combinaison !

La solution est la suivante : un des dés (et un seul) doit lancer le chiffre 1 ! Combien de façons d'obtenir le numéro 1 sur un dé ? Six, car il y a 6 dés, et chacun d'eux peut obtenir le chiffre 1. En conséquence, prenez un dé et mettez-le de côté. Maintenant, le numéro 2 devrait tomber sur l'un des dés restants.Il y a cinq options pour cela. Prenez un autre dé et mettez-le de côté. Ensuite, il s'ensuit que quatre des dés restants peuvent lancer le chiffre 3, trois des dés restants peuvent lancer le chiffre 4, deux des dés restants peuvent lancer le chiffre 5, et par conséquent, il vous reste un dé, sur où le chiffre 6 devrait tomber (dans ce dernier cas, il n'y a qu'un seul dé et il n'y a pas de choix). Pour compter le nombre de résultats favorables pour qu'une combinaison droite se présente, nous multiplions toutes les différentes options indépendantes : 6x5x4x3x2x1 = 720 - il semble qu'il y ait beaucoup d'options pour que cette combinaison se présente.

Pour calculer la probabilité d'obtenir une suite, nous devons diviser 720 par le nombre de tous les résultats possibles pour lancer 6d6. Quel est le nombre de tous les résultats possibles ? Chaque dé peut atterrir sur 6 faces, nous multiplions donc 6x6x6x6x6x6 = 46656 (nombre beaucoup plus élevé !). On divise 720/46656 et on obtient une probabilité égale à environ 1,5 %. Si vous conceviez ce jeu, il serait utile que vous le sachiez afin de pouvoir créer un système de notation approprié. Maintenant, nous comprenons pourquoi dans le jeu "Farkle", vous obtenez un si gros bonus si vous obtenez une combinaison de "straight", car cette situation est assez rare !

Le résultat est également intéressant pour une autre raison. L'exemple montre à quel point il est rare, sur une courte période, que le résultat correspondant à la probabilité tombe. Bien sûr, si nous lançions plusieurs milliers de dés, différentes faces des dés se présenteraient assez souvent. Mais quand on ne lance que six dés, presque jamais il n'arrive pas que chacun des visages tombe ! Partant de là, il devient clair qu'il est insensé de s'attendre à ce qu'un autre visage tombe maintenant, qui n'est pas encore tombé "parce que nous n'avons pas laissé tomber le chiffre 6 depuis longtemps, ce qui signifie qu'il va tomber maintenant. ”

Écoutez, votre générateur de nombres aléatoires est cassé...

Cela nous amène à une idée fausse commune sur la probabilité : l'hypothèse que tous les résultats arrivent avec la même fréquence. sur une courte période de temps, ce qui n'est en fait pas le cas. Si on lance les dés plusieurs fois, la fréquence de chacune des faces ne sera pas la même.

Si vous avez déjà travaillé sur un jeu en ligne avec une sorte de générateur de nombres aléatoires auparavant, vous avez très probablement rencontré une situation où un joueur écrit au support technique pour dire que votre générateur de nombres aléatoires est cassé et n'affiche pas de nombres aléatoires, et il est arrivé à cette conclusion parce qu'il vient de tuer 4 monstres d'affilée et a reçu 4 exactement les mêmes récompenses, et ces récompenses ne devraient baisser que 10% du temps, donc ça Presque jamais ne devrait pas prend place, ce qui signifie qu'il évidemment que votre générateur de nombres aléatoires est cassé.

Vous faites des maths. 1/10*1/10*1/10*1/10 équivaut à 1 sur 10 000, ce qui signifie que c'est assez rare. Et c'est ce que le joueur essaie de vous dire. Y a-t-il un problème dans ce cas ?

Tout dépend des circonstances. Combien y a-t-il de joueurs sur votre serveur actuellement ? Supposons que vous ayez un jeu assez populaire et que 100 000 personnes y jouent chaque jour. Combien de joueurs tueront quatre monstres d'affilée ? Peut-être tout, plusieurs fois par jour, mais supposons que la moitié d'entre eux échangent simplement différents objets aux enchères ou discutent sur des serveurs RP, ou font d'autres activités de jeu, donc seulement la moitié d'entre eux chassent réellement des monstres. Quelle est la probabilité que quelqu'un la même récompense sera-t-elle supprimée ? Dans cette situation, vous pouvez vous attendre à ce que la même récompense tombe plusieurs fois par jour, au moins !

Au fait, c'est pourquoi il semble que toutes les quelques semaines au moins quelqu'un gagne à la loterie, même si ce quelqu'un jamais vous ou vos amis ne venez pas. Si suffisamment de personnes jouent chaque semaine, il y a de fortes chances qu'il y ait au moins une de la chance... mais si tu vous jouez à la loterie, vous avez moins de chances de décrocher un emploi chez Infinity Ward.

Cartes et dépendance

Nous avons discuté d'événements indépendants, tels que lancer un dé, et nous connaissons maintenant de nombreux outils puissants pour analyser le caractère aléatoire dans de nombreux jeux. Le calcul de probabilité est un peu plus compliqué lorsqu'il s'agit de tirer des cartes du jeu, car chaque carte que nous tirons affecte les cartes restantes du jeu. Si vous avez un jeu standard de 52 cartes et que vous piochez 10 cœurs, par exemple, et que vous voulez connaître la probabilité que la prochaine carte soit de la même couleur, la probabilité a changé car vous avez déjà retiré une carte cœur du plate-forme. Chaque carte que vous retirez modifie la probabilité de la prochaine carte dans le jeu. Puisque dans ce cas l'événement précédent affecte le suivant, nous appelons cette probabilité dépendant.

Veuillez noter que lorsque je dis "cartes", je veux dire n'importe quel mécanique de jeu dans laquelle il y a un ensemble d'objets et vous enlevez l'un des objets sans le remplacer, un "jeu de cartes" dans ce cas est analogue à un sac de jetons, dont vous retirez un jeton et ne le remplacez pas, ou une urne dont vous retirez des billes colorées (en fait, je n'ai jamais vu de jeu où il y avait une urne avec des billes colorées retirées, mais il semble que les professeurs de théorie des probabilités préfèrent cet exemple pour une raison quelconque).

Propriétés de dépendance

Je voudrais préciser qu'en ce qui concerne les cartes, je suppose que vous piochez des cartes, les regardez et les retirez du jeu. Chacune de ces actions est une propriété importante.

Si j'avais un jeu de, disons, six cartes numérotées de 1 à 6, et que je les mélangeais et piochais une carte, puis mélangeais à nouveau les six cartes, cela reviendrait à lancer un dé à six faces ; un résultat n'affecte pas le suivant. Ce n'est que si je pioche des cartes et que je ne les remplace pas que le résultat du tirage d'une carte avec le numéro 1 augmentera la probabilité que la prochaine fois que je pioche une carte avec le numéro 6 (la probabilité augmentera jusqu'à ce que je pioche finalement cette carte ou jusqu'à ce que Je mélange les cartes).

Le fait que nous nous regardons sur les cartes est également important. Si je sors une carte du jeu et que je ne la regarde pas, je n'ai aucune information supplémentaire et la probabilité ne change pas réellement. Cela peut sembler illogique. Comment le simple fait de retourner une carte peut-il changer les chances comme par magie ? Mais c'est possible, car vous ne pouvez calculer la probabilité d'éléments inconnus qu'à partir du fait que vous vous connaissez. Par exemple, si vous mélangez un jeu de cartes standard, révélez 51 cartes et qu'aucune d'entre elles n'est reine de trèfle, vous saurez avec une certitude à 100 % que la carte restante est une reine de trèfle. Si vous mélangez un jeu de cartes standard et piochez 51 cartes, en dépit sur eux, alors la probabilité que la carte restante soit la reine des trèfles sera toujours de 1/52. Au fur et à mesure que vous ouvrez chaque carte, vous obtenez plus d'informations.

Le calcul de la probabilité pour les événements dépendants suit les mêmes principes que pour les événements indépendants, sauf que c'est un peu plus compliqué, car les probabilités changent lorsque vous révélez les cartes. Ainsi, vous devez multiplier de nombreuses valeurs différentes, au lieu de multiplier la même valeur. En fait, cela signifie que nous devons combiner tous les calculs que nous avons effectués en une seule combinaison.

Exemple

Vous mélangez un jeu standard de 52 cartes et piochez deux cartes. Quelle est la probabilité que vous en sortiez une paire ? Il existe plusieurs façons de calculer cette probabilité, mais la plus simple est peut-être la suivante : quelle est la probabilité que si vous piochez une carte, vous ne puissiez pas tirer une paire ? Cette probabilité est nulle, donc peu importe la première carte que vous piochez, tant qu'elle correspond à la seconde. Quelle que soit la carte que nous tirons en premier, nous avons toujours une chance de tirer une paire, donc la probabilité que nous puissions tirer une paire après avoir tiré la première carte est de 100 %.

Quelle est la probabilité que la seconde carte corresponde à la première ? Il reste 51 cartes dans le jeu et 3 d'entre elles correspondent à la première carte (en fait, cela aurait été 4 sur 52, mais vous avez déjà retiré l'une des cartes correspondantes lorsque vous avez tiré la première carte !), donc la probabilité est de 1 /17. (Alors la prochaine fois que le gars de l'autre côté de la table qui joue au Texas Hold'em dit : « Cool, une autre paire ? J'ai de la chance aujourd'hui », vous saurez qu'il y a de fortes chances qu'il bluffe.)

Et si nous ajoutons deux jokers et que nous avons maintenant 54 cartes dans le jeu et que nous voulons savoir quelle est la probabilité de tirer une paire ? La première carte peut être le Joker, puis le paquet ne contiendra que une carte, pas trois, qui correspondra. Comment trouver la probabilité dans ce cas ? Nous divisons les probabilités et multiplions chaque possibilité.

Notre première carte pourrait être un joker ou une autre carte. La probabilité de tirer un joker est de 2/54, la probabilité de tirer une autre carte est de 52/54.

Si la première carte est un joker (2/54), alors la probabilité que la deuxième carte corresponde à la première est de 1/53. Multiplier les valeurs (on peut les multiplier car ce sont des événements distincts et on veut tous les deuxévénements se sont produits) et nous obtenons 1/1431 - moins d'un dixième de pour cent.

Si vous piochez d'abord une autre carte (52/54), la probabilité de faire correspondre la deuxième carte est de 3/53. Nous multiplions les valeurs et obtenons 78/1431 (un peu plus de 5,5%).

Que fait-on de ces deux résultats ? Ils ne se croisent pas et nous voulons connaître la probabilité tout le monde d'entre eux, donc nous résumons les valeurs ! Nous obtenons le résultat final 79/1431 (toujours environ 5,5%).

Si nous voulions être sûrs de l'exactitude de la réponse, nous pourrions calculer la probabilité de tous les autres résultats possibles : tirer un joker et ne pas correspondre à la deuxième carte, ou tirer une autre carte et ne pas correspondre à la deuxième carte, et les additionner tous avec la probabilité de gagner, nous aurions reçu exactement 100 %. Je ne donnerai pas le calcul ici, mais vous pouvez essayer le calcul pour vérifier.

Le paradoxe de Monty Hall

Cela nous amène à un paradoxe assez célèbre qui confond souvent beaucoup, le paradoxe de Monty Hall. Le paradoxe porte le nom de Monty Hall, l'animateur de l'émission télévisée Let's Make a Deal. Si vous n'avez jamais vu cette émission, c'était l'opposé de l'émission télévisée "The Price Is Right". Sur "The Price Is Right", l'hôte (anciennement Bob Barker, maintenant c'est… Drew Carey ? Quoi qu'il en soit…) est votre ami. Il veut pour vous de gagner de l'argent ou des prix sympas. Il essaie de vous donner toutes les chances de gagner, tant que vous pouvez deviner combien valent réellement les articles sponsorisés.

Monty Hall s'est comporté différemment. Il était comme le jumeau diabolique de Bob Barker. Son but était de vous faire passer pour un idiot à la télévision nationale. Si vous étiez dans l'émission, il était votre adversaire, vous jouiez contre lui et les chances étaient en sa faveur. Je suis peut-être dur, mais lorsque la chance d'être choisi comme adversaire semble être directement proportionnelle au fait que vous portiez ou non un costume ridicule, j'arrive à des conclusions similaires.

Mais l'un des mèmes les plus célèbres de la série était celui-ci : il y avait trois portes devant vous, et elles s'appelaient la porte numéro 1, la porte numéro 2 et la porte numéro 3. Vous pouviez choisir n'importe quelle porte... gratuitement ! Derrière l'une de ces portes, il y avait un magnifique prix, par exemple une nouvelle voiture. Il n'y avait pas de prix derrière les autres portes, ces deux portes n'avaient aucune valeur. Leur but était de vous humilier et donc ce n'est pas comme s'il n'y avait rien du tout derrière eux, il y avait quelque chose derrière eux qui avait l'air stupide, comme une chèvre derrière eux ou un énorme tube de dentifrice, ou quelque chose... quelque chose, c'était quoi exactement ne pas nouvelle voiture.

Vous avez choisi l'une des portes et Monty était sur le point de l'ouvrir pour vous faire savoir si vous avez gagné ou non... mais attendez, avant de savoir regardons l'un des ceux la porte vous pas choisi. Comme Monty sait par quelle porte se trouve le prix, et qu'il n'y a qu'un seul prix et deux des portes que vous n'avez pas choisies, quoi qu'il arrive, il peut toujours ouvrir une porte qui n'a pas de prix derrière elle. "Choisissez-vous la porte numéro 3 ? Alors ouvrons la Porte 1 pour montrer qu'il n'y avait aucun prix derrière." Et maintenant, par générosité, il vous offre la possibilité d'échanger la porte n° 3 que vous avez choisie contre ce qui se trouve derrière la porte n° 2. C'est là que la question de la probabilité entre en jeu : le fait de pouvoir choisir une porte différente augmente-t-il ou diminue-t-il vos chances ? de gagner, ou reste-t-il le même? Qu'est-ce que tu penses?

Bonne réponse : la possibilité de choisir une autre porte augmente probabilité de gagner de 1/3 à 2/3. C'est illogique. Si vous n'avez jamais rencontré ce paradoxe auparavant, il y a de fortes chances que vous pensiez : attendez, en ouvrant une porte, nous avons magiquement changé la probabilité ? Mais comme nous l'avons vu dans l'exemple de carte ci-dessus, c'est exactement que se passe-t-il lorsque nous obtenons plus d'informations. Il est évident que la probabilité de gagner la première fois que vous choisissez est de 1/3, et je suppose que tout le monde sera d'accord là-dessus. Lorsqu'une porte s'ouvre, cela ne change pas du tout la probabilité de gagner pour le premier choix, la probabilité est toujours de 1/3, mais cela signifie que la probabilité que une autre porte correcte est maintenant 2/3.

Regardons cet exemple de l'autre côté. Vous choisissez une porte. La probabilité de gagner est de 1/3. je te conseille de changer deux d'autres portes, ce que Monty Hall propose en fait de faire. Bien sûr, il ouvre une des portes pour montrer qu'il n'y a pas de prix derrière, mais il toujours peut le faire, donc ça ne change vraiment rien. Bien sûr, vous voudrez choisir une autre porte !

Si vous ne comprenez pas bien ce problème et avez besoin d'une explication plus convaincante, cliquez sur ce lien pour accéder à une petite application Flash géniale qui vous permettra d'explorer plus en détail ce paradoxe. Vous pouvez commencer avec environ 10 portes puis passer progressivement à un jeu à trois portes ; il y a aussi un simulateur où vous pouvez choisir n'importe quel nombre de portes de 3 à 50 et jouer ou exécuter plusieurs milliers de simulations et voir combien de fois vous gagneriez si vous jouiez.

Une remarque d'un professeur de mathématiques supérieures et spécialiste de l'équilibre des jeux Maxim Soldatov, que Schreiber n'avait bien sûr pas, mais sans laquelle il est assez difficile de comprendre cette transformation magique :

Choisissez une porte, l'une des trois, la probabilité de "gagner" 1/3. Maintenant vous avez 2 stratégies : changer de choix après avoir ouvert ou non la mauvaise porte. Si vous ne changez pas votre choix, la probabilité restera de 1/3, car le choix n'est qu'à la première étape, et vous devez immédiatement deviner, mais si vous changez, vous pouvez gagner si vous choisissez d'abord la mauvaise porte ( puis ils en ouvrent un autre faux, restera vrai, vous changez la décision, prenez-la)
La probabilité de choisir la mauvaise porte au départ est de 2/3, il s'avère donc qu'en changeant de décision vous augmentez la probabilité de gagner 2 fois plus

Revisiter le paradoxe de Monty Hall

Quant à l'émission elle-même, Monty Hall le savait, car même si ses adversaires n'étaient pas bons en maths, il la comprend bien. Voici ce qu'il a fait pour changer un peu le jeu. Si vous avez choisi la porte derrière laquelle se trouvait le prix, dont la probabilité est de 1/3, il toujours vous offrait la possibilité de choisir une autre porte. Parce que vous avez choisi une voiture, puis vous l'avez changée en chèvre et vous avez l'air assez stupide, ce qui est exactement ce dont il a besoin, parce qu'il est un peu méchant. Mais si tu choisis la porte derrière laquelle il n'y aura pas de prix, seulement demi dans de tels cas, il vous demandera de choisir une autre porte, et dans d'autres cas, il vous montrera simplement votre nouvelle chèvre et vous quitterez la scène. Analysons ce nouveau jeu où Monty Hall peut choisir vous offrir une chance de choisir une autre porte ou non.

Supposons qu'il suive cet algorithme : si vous choisissez une porte avec un prix, il vous offre toujours la possibilité de choisir une autre porte, sinon la probabilité qu'il vous propose une autre porte ou vous donne une chèvre est de 50/50. Quelle est la probabilité que vous gagniez ?

Dans l'une des trois options, vous choisissez immédiatement la porte derrière laquelle se trouve le prix, et l'hôte vous invite à choisir une autre porte.

Parmi les deux options restantes sur trois (vous choisissez initialement une porte sans prix), la moitié du temps, l'hôte vous demandera de choisir une porte différente, et l'autre moitié du temps, ce ne sera pas le cas. La moitié de 2/3 est 1/3, c'est-à-dire dans un cas sur trois vous aurez une chèvre, dans un cas sur trois vous choisirez la mauvaise porte et l'hôte vous demandera d'en choisir une autre et dans un cas sur trois vous choisirez la bonne porte et il vous demandera de choisir une autre porte.

Si l'hôte nous propose de choisir une autre porte, nous savons déjà que l'un des trois cas où il nous donne une chèvre et que nous partons ne s'est pas produit. C'est une information utile car cela signifie que nos chances de gagner ont changé. Deux fois sur trois, nous avons le choix, dans un cas, cela signifie que nous avons bien deviné, et dans l'autre cas, cela signifie que nous avons mal deviné, donc si on nous a proposé un choix, cela signifie que la probabilité de notre gain est de 50 /50, et il n'y a pas mathématique avantages, restez avec votre choix ou choisissez une autre porte.

Comme le poker, c'est maintenant un jeu psychologique et non mathématique. Monty t'a proposé un choix parce qu'il pense que tu es un niais qui ne sait pas que choisir une autre porte est la "bonne" décision, et que tu t'en tiendras obstinément à ton choix parce que, psychologiquement, la situation quand tu choisis une voiture, puis l'a perdue, plus difficile ? Ou pense-t-il que vous êtes intelligent et que vous choisissez une autre porte, et il vous offre cette chance parce qu'il sait que vous avez deviné juste la première fois et que vous serez accroché et piégé ? Ou peut-être qu'il est inhabituellement gentil avec lui-même et vous pousse à faire quelque chose dans votre intérêt personnel parce qu'il n'a pas fait don de voiture depuis longtemps et que ses producteurs lui disent que le public s'ennuie et qu'il serait préférable qu'il donne un gros lot bientôt.pour que les cotes ne chutent pas?

Ainsi, Monty parvient à proposer un choix (parfois) et la probabilité globale de gagner reste de 1/3. Rappelez-vous que la probabilité que vous perdiez immédiatement est de 1/3. Il y a 1/3 de chances que vous deviniez tout de suite, et 50% de ces fois vous gagnerez (1/3 x 1/2 = 1/6). La probabilité que vous vous trompiez au début, mais que vous ayez ensuite une chance de choisir une autre porte est de 1/3, et dans 50% de ces cas, vous gagnerez (également 1/6). Additionnez deux possibilités de gain indépendantes et vous obtenez une probabilité de 1/3, donc que vous restiez sur votre choix ou que vous choisissiez une autre porte, la probabilité totale de gagner tout au long du jeu est de 1/3... la probabilité n'augmente pas que dans une situation où vous devineriez la porte et l'hôte vous montrerait ce qu'il y a derrière cette porte, sans possibilité de choisir une autre porte ! Ainsi, l'intérêt d'offrir la possibilité de choisir une porte différente n'est pas de modifier la probabilité, mais de rendre le processus de décision plus amusant à regarder à la télévision.

D'ailleurs, c'est l'une des raisons mêmes pour lesquelles le poker peut être si intéressant : dans la plupart des formats entre les tours, lorsque les mises sont faites (par exemple, le flop, le tournant et la rivière au Texas Hold'em), les cartes sont progressivement révélées , et si au début du jeu vous en avez un la probabilité de gagner, puis après chaque tour d'enchères, lorsque plus de cartes sont ouvertes, cette probabilité change.

Paradoxe garçon et fille

Cela nous amène à un autre paradoxe bien connu qui a tendance à déconcerter tout le monde, le paradoxe garçon-fille. La seule chose sur laquelle j'écris aujourd'hui n'est pas directement liée aux jeux (même si je suppose que cela signifie simplement que je devrais vous pousser à créer des mécanismes de jeu pertinents). Il s'agit plus d'un casse-tête, mais intéressant, et pour le résoudre, vous devez comprendre la probabilité conditionnelle dont nous avons parlé ci-dessus.

Tâche : J'ai un ami avec deux enfants, au moins un l'enfant est une fille. Quelle est la probabilité que le deuxième enfant aussi fille? Supposons que dans n'importe quelle famille la chance d'avoir une fille ou un garçon est de 50/50 et cela est vrai pour chaque enfant (en fait, certains hommes ont plus de spermatozoïdes dans le sperme avec un chromosome X ou un chromosome Y, donc la probabilité change légèrement si vous savez qu'un enfant est une fille, la probabilité d'avoir une fille est légèrement plus élevée, en plus il y a d'autres conditions, par exemple, l'hermaphrodisme, mais pour résoudre ce problème, nous n'en tiendrons pas compte et supposerons que la naissance d'un enfant est un événement indépendant et les probabilités d'avoir un garçon ou des filles sont les mêmes).

Puisque nous parlons d'une 1/2 chance, nous nous attendons intuitivement à ce que la réponse soit probablement 1/2 ou 1/4, ou un autre nombre rond qui soit un multiple de 2. Mais la réponse est : 1/3 . Attends pourquoi ?

La difficulté dans ce cas est que les informations dont nous disposons réduisent le nombre de possibilités. Supposons que les parents soient des fans de Sesame Street et, que l'enfant soit né garçon ou fille, nomment leurs enfants A et B. Dans des circonstances normales, il existe quatre possibilités également probables : A et B sont deux garçons, A et B sont deux filles, A est un garçon et B est une fille, A est une fille et B est un garçon. Puisque nous savons que au moins un l'enfant est une fille, nous pouvons exclure la possibilité que A et B soient deux garçons, nous laissant avec trois possibilités (toujours également probables). Si toutes les possibilités sont également probables et qu'il y en a trois, nous savons que la probabilité de chacune d'elles est de 1/3. Dans l'une de ces trois options seulement, les deux enfants sont deux filles, donc la réponse est 1/3.

Et encore sur le paradoxe d'un garçon et d'une fille

La solution au problème devient encore plus illogique. Imaginez que je vous dise que mon ami a deux enfants et un enfant - fille née mardi. Supposons que dans des conditions normales la probabilité d'avoir un enfant un des sept jours de la semaine soit la même. Quelle est la probabilité que le deuxième enfant soit aussi une fille ? Vous pourriez penser que la réponse serait toujours 1/3 ; Quelle est la signification du mardi ? Mais dans ce cas, l'intuition nous fait défaut. Réponse: 13/27 ce qui n'est pas simplement intuitif, c'est très étrange. Quel est le problème dans ce cas?

En fait, mardi change la probabilité parce qu'on ne sait pas qui bébé est né mardi ou peut-être deux enfants sont nés un mardi. Dans ce cas, on utilise la même logique que ci-dessus, on compte toutes les combinaisons possibles lorsqu'au moins un enfant est une fille née le mardi. Comme dans l'exemple précédent, supposons que les enfants s'appellent A et B, les combinaisons sont les suivantes :

• A est une fille née un mardi, B est un garçon (dans cette situation il y a 7 possibilités, une pour chaque jour de la semaine où un garçon pourrait naître).
• B est une fille née mardi, A est un garçon (également 7 possibilités).
• A est une fille née le mardi, B est une fille née le une autre jour de la semaine (6 possibilités).
• B est une fille née le mardi, A est une fille qui n'est pas née le mardi (également 6 probabilités).
• A et B sont deux filles nées un mardi (1 possibilité, il faut y faire attention pour ne pas compter deux fois).

Nous résumons et obtenons 27 combinaisons différentes également possibles de la naissance d'enfants et de jours avec au moins une possibilité qu'une fille naisse le mardi. Parmi celles-ci, 13 possibilités sont lorsque deux filles sont nées. Cela semble également complètement illogique, et il semble que cette tâche n'ait été créée que pour causer des maux de tête. Si vous êtes toujours intrigué par cet exemple, le théoricien des jeux Jesper Juhl a une bonne explication de la question sur son site Web.

Si vous travaillez actuellement sur un jeu...

S'il y a du hasard dans le jeu que vous concevez, c'est une excellente occasion de l'analyser. Sélectionnez n'importe quel élément que vous souhaitez analyser. Demandez-vous d'abord quelle est la probabilité de cet élément selon vos attentes, ce qu'il devrait être, à votre avis, dans le contexte du jeu. Par exemple, si vous créez un RPG et que vous réfléchissez à la probabilité qu'un joueur soit capable de vaincre un monstre au combat, demandez-vous quel pourcentage de victoire vous convient le mieux. Habituellement, lorsque vous jouez à des RPG sur console, les joueurs sont très frustrés lorsqu'ils perdent, il est donc préférable qu'ils ne perdent pas souvent... peut-être 10 % du temps ou moins ? Si vous êtes un concepteur de RPG, vous savez probablement mieux que moi, mais vous devez avoir une idée de base de ce que devrait être la probabilité.

Alors demandez-vous si c'est quelque chose dépendant(comme les cartes) ou indépendant(comme les dés). Discutez de tous les résultats possibles et de leurs probabilités. Assurez-vous que la somme de toutes les probabilités est de 100 %. Enfin, bien sûr, comparez vos résultats avec vos attentes. Que les dés soient lancés ou que les cartes soient tirées comme vous l'aviez prévu ou que vous voyiez que vous deviez ajuster les valeurs. Et bien sûr si vous trouver ce qui doit être ajusté, vous pouvez utiliser les mêmes calculs pour déterminer de combien ajuster quelque chose !

Devoirs

Vos « devoirs » cette semaine vous aideront à perfectionner vos compétences en matière de probabilités. Voici deux jeux de dés et un jeu de cartes que vous analyserez à l'aide de probabilités, ainsi qu'un mécanisme de jeu étrange que j'ai développé une fois et sur lequel vous testerez la méthode de Monte Carlo.

Jeu #1 - Os de dragon

C'est un jeu de dés que mes collègues et moi avons inventé (merci à Jeb Havens et Jesse King !), et qui épate délibérément les gens avec ses probabilités. Il s'agit d'un jeu de casino simple appelé "Dragon Bones" et c'est une compétition de dés de jeu entre le joueur et l'établissement. Vous recevez un dé normal de 1d6. Le but du jeu est d'obtenir un nombre supérieur à celui de la maison. Tom reçoit un 1d6 non standard - le même que le vôtre, mais au lieu d'un sur un côté - l'image d'un Dragon (le casino a donc un dé Dragon-2-3-4-5-6). Si l'institution obtient un Dragon, elle gagne automatiquement et vous perdez. Si vous obtenez tous les deux le même nombre, c'est une égalité et vous relancez les dés. Celui qui obtient le plus grand nombre gagne.

Bien sûr, tout ne tourne pas tout à fait en faveur du joueur, car le casino a un avantage sous la forme du visage du dragon. Mais en est-il vraiment ainsi ? Vous devez le calculer. Mais avant cela, vérifiez votre intuition. Disons que le gain est de 2 contre 1. Donc, si vous gagnez, vous conservez votre mise et obtenez le double du montant. Par exemple, si vous pariez 1 $ et gagnez, vous gardez ce dollar et obtenez 2 $ de plus, pour un total de 3 $. Si vous perdez, vous ne perdez que votre pari. Souhaitez-vous jouer? Alors, sentez-vous intuitivement que la probabilité est supérieure à 2 contre 1, ou pensez-vous toujours qu'elle est inférieure ? En d'autres termes, en moyenne sur 3 matchs, vous attendez-vous à gagner plus d'une fois, ou moins, ou une fois ?

Une fois que vous avez traité votre intuition, appliquez les mathématiques. Il n'y a que 36 positions possibles pour les deux dés, vous pouvez donc toutes les compter facilement. Si vous n'êtes pas sûr de cette offre 2 contre 1, considérez ceci : Disons que vous avez joué au jeu 36 fois (en pariant 1 $ à chaque fois). Pour chaque gain, vous obtenez 2 $, pour chaque perte, vous perdez 1 $, et un match nul ne change rien. Comptez tous vos gains et pertes probables et décidez si vous perdrez ou gagnerez quelques dollars. Ensuite, demandez-vous dans quelle mesure votre intuition s'est avérée juste. Et puis - réalisez quel méchant je suis.

Et, oui, si vous avez déjà réfléchi à cette question - je vous embrouille délibérément en déformant la vraie mécanique des jeux de dés, mais je suis sûr que vous pouvez surmonter cet obstacle avec juste une bonne pensée. Essayez de résoudre ce problème vous-même. Je posterai toutes les réponses ici la semaine prochaine.

Jeu #2 - Rouleau de chance

Il s'agit d'un jeu de dés appelé Lucky Roll (également Birdcage car parfois les dés ne sont pas lancés, mais placés dans une grande cage grillagée, rappelant la cage de Bingo). C'est un jeu simple qui ressemble à ceci : pariez, disons, 1 $ sur un nombre entre 1 et 6. Ensuite, vous lancez 3d6. Pour chaque dé qui atteint votre numéro, vous obtenez 1 $ (et conservez votre mise initiale). Si votre numéro n'atterrit sur aucun des dés, le casino obtient votre dollar et vous n'obtenez rien. Donc, si vous pariez sur 1 et que vous obtenez 1 sur le visage trois fois, vous obtenez 3 $.

Intuitivement, il semble que dans ce jeu les chances soient égales. Chaque dé est un individu, 1 chance sur 6 de gagner, donc la somme des trois est de 3 sur 6. Cependant, rappelez-vous, bien sûr, que vous ajoutez trois dés séparés, et vous n'êtes autorisé à ajouter que si nous sommes parler de combinaisons gagnantes séparées des mêmes dés. Quelque chose que vous devrez multiplier.

Une fois que vous avez calculé tous les résultats possibles (il est probablement plus facile de le faire dans Excel qu'à la main, il y en a 216), le jeu semble toujours pair-impair à première vue. Mais en réalité, le casino a encore plus de chances de gagner - combien plus ? En particulier, combien d'argent pensez-vous perdre en moyenne par tour de jeu ? Tout ce que vous avez à faire est d'additionner les gains et les pertes de tous les 216 résultats, puis de diviser par 216, ce qui devrait être assez facile... Mais comme vous pouvez le voir, il y a quelques pièges dans lesquels vous pouvez tomber, c'est pourquoi je vous le dis : Si vous pensez que ce jeu a une chance égale de gagner, vous avez tout faux.

Jeu #3 - Stud à 5 cartes

Si vous vous êtes déjà familiarisé avec les jeux précédents, vérifions ce que nous savons sur la probabilité conditionnelle en utilisant ce jeu de cartes comme exemple. En particulier, imaginons le poker avec un jeu de 52 cartes. Imaginons également le Stud à 5 cartes où chaque joueur ne reçoit que 5 cartes. Vous ne pouvez pas défausser une carte, vous ne pouvez pas en piocher une nouvelle, pas de deck commun - vous n'obtenez que 5 cartes.

Une quinte flush royale est 10-J-Q-K-A dans une main, pour un total de quatre, il y a donc quatre façons possibles d'obtenir une quinte flush royale. Calculez la probabilité que vous obteniez l'une de ces combinaisons.

J'ai une chose à vous mettre en garde : rappelez-vous que vous pouvez piocher ces cinq cartes dans n'importe quel ordre. C'est-à-dire qu'au début, vous pouvez tirer un as ou un dix, cela n'a pas d'importance. Donc, lorsque vous calculez cela, gardez à l'esprit qu'il existe en fait plus de quatre façons d'obtenir une quinte flush royale, en supposant que les cartes ont été distribuées dans l'ordre !

Jeu #4 - Loterie du FMI

La quatrième tâche ne sera pas si facile à résoudre en utilisant les méthodes dont nous avons parlé aujourd'hui, mais vous pouvez facilement simuler la situation en utilisant la programmation ou Excel. C'est sur l'exemple de ce problème que l'on peut élaborer la méthode de Monte Carlo.

J'ai mentionné plus tôt le jeu "Chron X", sur lequel j'ai travaillé une fois, et il y avait une carte très intéressante - la loterie du FMI. Voici comment cela a fonctionné : vous l'avez utilisé dans un jeu. Une fois le tour terminé, les cartes ont été redistribuées et il y avait 10% de chances que la carte soit hors jeu et qu'un joueur au hasard reçoive 5 de chaque type de ressource qui avait un jeton sur cette carte. Une carte était mise en jeu sans un seul jeton, mais chaque fois qu'elle restait en jeu au début du tour suivant, elle recevait un jeton. Il y avait donc 10 % de chances que vous la mettiez en jeu, que la manche se termine, que la carte quitte le jeu et que personne n'obtienne quoi que ce soit. Si ce n'est pas le cas (avec 90 % de chances), il y a 10 % de chances (en fait 9 %, puisque c'est 10 % de 90 %) qu'elle quitte le jeu au prochain tour et que quelqu'un obtienne 5 ressources. Si la carte quitte le jeu après un tour (10% des 81% disponibles, donc 8,1% de chance), quelqu'un obtiendra 10 unités, un autre tour - 15, un autre 20, et ainsi de suite. Question : quelle est la valeur attendue du nombre de ressources que vous recevrez de cette carte lorsqu'elle quittera enfin le jeu ?

Normalement, nous essaierions de résoudre ce problème en trouvant la possibilité de chaque résultat et en multipliant par le nombre de tous les résultats. Il y a donc 10 % de chances que vous obteniez 0 (0,1*0 = 0). 9% que vous obtiendrez 5 ressources (9%*5 = 0,45 ressources). 8,1 % de ce que vous obtenez est 10 (8,1 %*10 = 0,81 ressources totales, valeur attendue). Etc. Et puis on résumait tout.

Et maintenant, le problème est évident pour vous : il y a toujours une chance que la carte ne pas quitte le jeu pour qu'elle puisse rester dans le jeu toujours et à jamais, pour un nombre infini de tours, de sorte que les possibilités de calcul toute possibilité n'existe pas. Les méthodes que nous avons apprises aujourd'hui ne nous permettent pas de calculer la récursivité infinie, nous devrons donc la créer artificiellement.

Si vous êtes assez bon en programmation, écrivez un programme qui simulera cette carte. Vous devriez avoir une boucle temporelle qui ramène la variable à la position initiale de zéro, affiche un nombre aléatoire et avec 10 % de chances que la variable sorte de la boucle. Sinon, il ajoute 5 à la variable et la boucle se répète. Lorsqu'il sort enfin de la boucle, augmentez le nombre total d'exécutions de test de 1 et le nombre total de ressources (de combien dépend de l'endroit où la variable s'est arrêtée). Ensuite, réinitialisez la variable et recommencez. Exécutez le programme plusieurs milliers de fois. Enfin, divisez le total des ressources par le nombre total d'exécutions, et c'est votre valeur Monte Carlo attendue. Exécutez le programme plusieurs fois pour vous assurer que les chiffres que vous obtenez sont à peu près les mêmes ; si l'écart est encore important, augmentez le nombre de répétitions dans la boucle externe jusqu'à ce que vous commenciez à obtenir des correspondances. Vous pouvez être sûr que les chiffres que vous obtiendrez seront à peu près corrects.

Si vous débutez en programmation (ou même si vous l'êtes), voici un petit exercice pour échauffer vos compétences Excel. Si vous êtes game designer, les compétences en Excel ne sont jamais superflues.

Maintenant, les fonctions IF et RAND vous seront très utiles. RAND ne nécessite pas de valeurs, il produit simplement un nombre décimal aléatoire entre 0 et 1. Nous le combinons généralement avec FLOOR et des plus et des moins pour simuler un lancer de dé, que j'ai mentionné plus tôt. Cependant, dans ce cas, nous ne laissons que 10% de chances que la carte quitte le jeu, nous pouvons donc simplement vérifier si la valeur RAND est inférieure à 0,1 et ne plus nous en soucier.

SI a trois significations. Dans l'ordre, la condition qui est vraie ou non, puis la valeur renvoyée si la condition est vraie et la valeur renvoyée si la condition est fausse. Ainsi, la fonction suivante renverra 5 % du temps et 0 l'autre 90 % du temps :
=SI(RAND()<0.1,5,0)

Il existe de nombreuses façons de définir cette commande, mais j'utiliserais cette formule pour la cellule qui représente le premier tour, disons que c'est la cellule A1 :

SI(RAND()<0.1,0,-1)

Ici, j'utilise une variable négative signifiant "cette carte n'a pas quitté le jeu et n'a pas encore donné de ressources". Donc, si le premier tour est terminé et que la carte est hors jeu, A1 vaut 0 ; sinon c'est -1.

Pour la cellule suivante représentant le deuxième tour :

SI(A1>-1, A1, SI(RAND()<0.1,5,-1))

Donc, si le premier tour s'est terminé et que la carte a immédiatement quitté le jeu, A1 est 0 (nombre de ressources) et cette cellule copiera simplement cette valeur. Sinon, A1 vaut -1 (la carte n'a pas encore quitté le jeu), et cette cellule continue son déplacement aléatoire : 10% du temps elle rendra 5 unités de ressources, le reste du temps sa valeur sera toujours -1 . Si nous appliquons cette formule à des cellules supplémentaires, nous obtiendrons des tours supplémentaires, et quelle que soit la cellule avec laquelle vous vous retrouverez, vous obtiendrez le résultat final (ou -1 si la carte n'a pas quitté le jeu après tous les tours que vous avez joués).

Prenez cette rangée de cellules, qui est la seule ronde avec cette carte, et copiez et collez quelques centaines (ou milliers) de rangées. Nous ne pourrons peut-être pas faire sans fin test pour Excel (il y a un nombre limité de cellules dans le tableau), mais au moins nous pouvons couvrir la plupart des cas. Sélectionnez ensuite une cellule où vous mettrez la moyenne des résultats de tous les tours (Excel fournit gentiment la fonction AVERAGE() pour cela).

Sous Windows, vous pouvez au moins appuyer sur F9 pour recalculer tous les nombres aléatoires. Comme précédemment, faites cela plusieurs fois et voyez si les valeurs que vous obtenez sont les mêmes. Si l'écart est trop grand, doublez le nombre d'exécutions et réessayez.

Problèmes non résolus

Si vous avez un diplôme en probabilités et que les problèmes ci-dessus vous semblent trop faciles, voici deux problèmes qui me préoccupent depuis des années, mais, hélas, je ne suis pas bon en maths pour les résoudre. Si du coup vous connaissez la solution, merci de la poster ici en commentaire, je la lirai avec plaisir.

Problème non résolu #1 : LoterieFMI

Le premier problème non résolu est le devoir précédent. Je peux facilement utiliser la méthode de Monte Carlo (en utilisant C++ ou Excel) et être sûr de la réponse à la question "combien de ressources le joueur recevra-t-il", mais je ne sais pas exactement comment fournir mathématiquement une réponse prouvable exacte (cette est une série infinie ). Si vous connaissez la réponse, postez-la ici... après l'avoir vérifiée à Monte Carlo, bien sûr.

Problème non résolu n° 2 : Séquences de formes

Cette tâche (et encore une fois elle va bien au-delà des tâches résolues dans ce blog) m'a été confiée par un joueur familier il y a plus de 10 ans. Il a remarqué une caractéristique intéressante en jouant au blackjack à Las Vegas : lorsqu'il a sorti des cartes d'un sabot à 8 ponts, il a vu Dix chiffres d'affilée (un chiffre ou une carte de chiffre - 10, Joker, King ou Queen, donc il y en a 16 dans un jeu standard de 52 cartes, donc il y en a 128 dans un sabot de 416 cartes). Quelle est la probabilité que dans cette chaussure au moins une séquence de dix ou plus Les figures? Supposons qu'ils ont été mélangés honnêtement, dans un ordre aléatoire. (Ou, si vous préférez, quelle est la probabilité que introuvable nulle part une séquence de dix chiffres ou plus ?)

Nous pouvons simplifier la tâche. Voici une séquence de 416 parties. Chaque partie est 0 ou 1. Il y a 128 uns et 288 zéros dispersés au hasard dans la séquence. Combien y a-t-il de manières d'entrelacer au hasard 128 1 avec 288 0, et combien de fois y aura-t-il au moins un groupe de dix 1 ou plus de ces manières ?

Chaque fois que j'ai entrepris cette tâche, cela m'a semblé facile et évident, mais dès que j'ai fouillé dans les détails, cela s'est soudainement effondré et m'a semblé tout simplement impossible. Alors ne vous précipitez pas pour donner la réponse: asseyez-vous, réfléchissez bien, étudiez les conditions du problème, essayez de brancher des nombres réels, car toutes les personnes à qui j'ai parlé de ce problème (y compris plusieurs étudiants diplômés travaillant dans ce domaine) a réagi à peu près de la même manière : "C'est assez évident... oh non, attendez, pas évident du tout." C'est précisément le cas pour lequel je n'ai pas de méthode pour calculer toutes les options. Je pourrais certainement forcer brutalement le problème à travers un algorithme informatique, mais il serait beaucoup plus intéressant de connaître la manière mathématique de résoudre ce problème.

Traduction - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

La forme la plus courante est sous la forme d'un cube, de chaque côté duquel les nombres de un à six sont représentés. Le joueur, le lançant sur une surface plane, voit le résultat sur la face supérieure. Les os sont un véritable porte-parole du hasard, de la chance ou de la malchance.

Accident.
Les cubes (os) existent depuis longtemps, mais la forme à six faces devenue traditionnelle a été acquise vers 2600 av. e. Les anciens Grecs aimaient jouer aux dés, et dans leurs légendes le héros Palamède, injustement accusé de trahison par Ulysse, est mentionné comme leur inventeur. Selon la légende, il aurait inventé ce jeu pour divertir les soldats qui assiégeaient Troie, capturés grâce à un énorme cheval de bois. Les Romains à l'époque de Jules César s'amusaient également avec une variété de jeux de dés. En latin, le cube s'appelait datum, ce qui signifie « donné ».

Interdictions.
Au Moyen Âge, vers le XIIe siècle, les dés deviennent très populaires en Europe : les dés, que l'on peut emporter partout avec soi, sont appréciés aussi bien des guerriers que des paysans. On dit qu'il y avait plus de six cents jeux différents ! La production de dés devient une profession à part entière. Le roi Louis IX (1214-1270), de retour de croisade, n'approuve pas le jeu et ordonne l'interdiction de la production de dés dans tout le royaume. Plus que le jeu lui-même, les autorités étaient mécontentes des troubles qui y étaient associés - ils jouaient alors principalement dans des tavernes et les fêtes se terminaient souvent par des bagarres et des coups de couteau. Mais aucune interdiction n'a empêché les dés de survivre au temps et de survivre jusqu'à ce jour.

Des os avec une "charge" !
Le résultat d'un jet de dé est toujours déterminé par le hasard, mais certains tricheurs essaient de changer cela. En perçant un trou dans la matrice et en y versant du plomb ou du mercure, il est possible de s'assurer que le rouleau donne le même résultat à chaque fois. Un tel cube est dit "chargé". Fabriqués à partir de divers matériaux, que ce soit de l'or, de la pierre, du cristal, de l'os, les dés peuvent avoir différentes formes. Des petits dés en forme de pyramide (tétraèdre) ont été trouvés dans les tombes des pharaons égyptiens qui ont construit les grandes pyramides ! À diverses époques, des os ont été fabriqués avec 8, 10, 12, 20 et même 100 côtés. Habituellement, des chiffres leur sont appliqués, mais des lettres ou des images peuvent également apparaître à leur place, laissant place à l'imagination.

Comment lancer les dés.
Les dés se présentent non seulement sous différentes formes, mais aussi sous différentes manières de jouer. Les règles de certains jeux exigent que le jet soit lancé d'une certaine manière, généralement pour éviter un jet calculé ou pour empêcher le dé de s'immobiliser dans une position inclinée. Parfois, un verre spécial leur est attaché pour éviter de tricher ou de tomber de la table de jeu. Dans le jeu de crêpe anglais, les trois dés doivent nécessairement toucher la table de jeu ou le mur afin d'empêcher les tricheurs d'imiter un lancer en déplaçant simplement le dé, mais sans le tourner.

Aléatoire et probabilité.
Le dé donne toujours un résultat aléatoire qui ne peut pas être prédit. Avec un seul dé, le joueur a autant de chances d'obtenir un 1 qu'un 6 - tout est déterminé par le hasard. En revanche, avec deux dés, le niveau d'aléatoire diminue, puisque le joueur dispose de plus d'informations sur le résultat : par exemple, avec deux dés, le chiffre 7 peut être obtenu de plusieurs manières - en lançant 1 et 6, 5 et 2, ou 4 et 3... Mais la possibilité d'obtenir le chiffre 2 n'est qu'une : lancer deux fois un 1. Ainsi, la probabilité d'obtenir un 7 est plus élevée que d'obtenir un 2 ! C'est ce qu'on appelle la théorie des probabilités. De nombreux jeux sont associés à ce principe, notamment les jeux d'argent.

Sur l'utilisation des dés.
Dice peut être un jeu autonome sans autres éléments. La seule chose qui n'existe pratiquement pas, ce sont les jeux pour un seul cube. Les règles en exigent au moins deux (par exemple crêpe). Pour jouer au poker aux dés, vous avez besoin de cinq dés, d'un stylo et de papier. Le but est de remplir des combinaisons similaires aux combinaisons du jeu de cartes du même nom, en enregistrant des points pour elles dans un tableau spécial. De plus, le cube est une pièce très populaire pour les jeux de société, qui vous permet de déplacer des jetons ou de décider de l'issue des batailles de jeu.

Les dés sont jetés.
En 49 av. e. le jeune Jules César conquit la Gaule et retourna à Pompéi. Mais son pouvoir était redouté par les sénateurs, qui décidèrent de dissoudre son armée avant son retour. Le futur empereur, arrivé aux frontières de la république, décide de violer l'ordre en le traversant avec l'armée. Avant de franchir le Rubicon (la rivière qui était la frontière), il dit à ses légionnaires « Alea jacta est » (« les dés sont jetés »). Ce dicton est devenu un slogan dont le sens est que, comme dans le jeu, après que certaines décisions soient prises, il n'est plus possible de reculer.

Méthode de composition musicale avec texte sonore libre ; en tant que manière indépendante de composer de la musique a pris forme au XXe siècle. A. signifie le renoncement total ou partiel du compositeur à un contrôle strict sur le texte musical, voire l'élimination de la catégorie même de compositeur-auteur au sens traditionnel. L'innovation de A. réside dans la corrélation d'éléments stables d'un texte musical avec l'aléatoire consciemment introduit, la mobilité arbitraire de la matière musicale. Le concept de A. peut se référer à la fois à la disposition générale des parties de la composition (à la forme) et à la structure de son tissu. Au revoir. Denisov, l'interaction entre la stabilité et la mobilité du tissu et de la forme donne 4 principaux types de combinaison, dont trois - 2ème, 3ème et 4ème - sont aléatoires : 1. Tissu stable - forme stable (composition traditionnelle habituelle, opus perfectum et absolutum ; comme, par exemple, 6 symphonies de Tchaïkovski); 2. Tissu stable - forme mobile ; selon V. Lutoslavs, « A. formes » (P. Boulez, 3e sonate pour piano, 1957) ; 3. Tissu mobile - forme stable ; ou, selon Lutoslavsky, « A. textures » (Lutoslavski, Quatuor à cordes, 1964, Mouvement principal) ; 4. Tissu mobile - forme mobile ; ou "A. cage"(avec improvisation collective de plusieurs interprètes). Ce sont les points nodaux de la méthode de A., autour desquels il existe de nombreux types et cas spécifiques différents de structures, divers degrés d'immersion dans A. ; de plus, les métaboles («modulations») sont également naturelles - la transition d'un type ou d'un type à un autre, également à un texte stable ou à partir de celui-ci.

A. s'est répandu depuis les années 1950, apparaissant (avec sonore), en particulier, en réaction à l'extrême asservissement de la structure musicale dans le sérialisme multi-paramètres (voir : dodécaphonie). Pendant ce temps, le principe de la liberté de structure d'une manière ou d'une autre a des racines anciennes. En substance, le flux sonore, et non un opus structuré de manière unique, est de la musique folk. D'où l'instabilité, "non-opus" de la musique folk, variation, variance et improvisation en elle. L'imprévisibilité, l'improvisation de la forme sont caractéristiques de la musique traditionnelle de l'Inde, des peuples de l'Extrême-Orient et de l'Afrique. Par conséquent, les représentants de A. s'appuient activement et consciemment sur les principes essentiels de la musique orientale et folklorique. Les éléments fléchés existaient également dans la musique classique européenne. Par exemple, parmi les classiques viennois, qui ont éliminé le principe de la basse générale et rendu le texte musical complètement stable (symphonies et quatuors de I. Haydn), un contraste saisissant était la "cadenza" sous la forme d'un concerto instrumental - un solo virtuose, dont la partie n'a pas été composée par le compositeur, mais fournie au gré de l'interprète (élément A. forme). Les méthodes comiques «aléatoires» de composition de pièces simples (menuets) en combinant des morceaux de musique sur des dés (Würfelspiel) sont connues à l'époque de Haydn et de Mozart (traité de I.F. Kirnberger «À tout moment un compositeur prêt à l'emploi de polonaises et de menuets» .Berlin, 1757).

Au XXe siècle. le principe du "projet individuel" dans la forme a commencé à suggérer l'admissibilité des versions textuelles de l'œuvre (c'est-à-dire A.). En 1907 le compositeur américain C. Ives a composé le quintette pour piano "Hallwe" en (= "All Saints' Eve"), dont le texte, lorsqu'il est joué en concert, doit être joué différemment quatre fois de suite. cage composé en 1951 « Music of Changes » pour piano, dont il a composé le texte en « manipulant des accidents » (les mots du compositeur), en utilisant pour cela le « Book of Changes » chinois. Classe-

cal exemple A. - "Pièce pour piano XI" de K. Stockhausen, 1957. Sur une feuille de papier ca. 0,5 m² dans un ordre aléatoire sont 19 fragments musicaux. Le pianiste commence par n'importe lequel d'entre eux et les joue dans un ordre aléatoire, après un coup d'œil désinvolte ; à la fin du passage précédent il est écrit à quel tempo et à quel volume jouer le suivant. Lorsqu'il semble au pianiste qu'il a déjà joué tous les fragments de cette façon, il faut les rejouer une seconde fois dans le même ordre aléatoire, mais dans une sonorité plus brillante. Après le deuxième tour, le jeu se termine. Pour plus d'effet, il est recommandé de répéter l'œuvre aléatoire dans un concert - une autre composition du même matériau apparaîtra à l'auditeur. La méthode A. est largement utilisée par les compositeurs modernes (Boulez, Stockhausen, Lutoslavsky, A. Volkonsky, Denisov, Schnittke et etc.).

Un pré-requis pour A. au 20e siècle. de nouvelles lois sont venues harmonie et les tendances qui en découlent à rechercher de nouvelles formes qui correspondent au nouvel état du matériau musical et sont caractéristiques de avant-garde. La texture aléatoire était complètement impensable avant l'émancipation dissonance développement de la musique atonale (voir : dodécaphonie). Un partisan du « limité et contrôlé » A. Lutoslavsky y voit une valeur incontestable : « A. m'a ouvert des perspectives nouvelles et inattendues. Tout d'abord - une énorme richesse de rythme, inaccessible avec l'aide d'autres techniques. Denisov, justifiant "l'introduction d'éléments aléatoires dans la musique", affirme qu'elle "nous donne une grande liberté dans le fonctionnement de la matière musicale et nous permet d'obtenir de nouveaux effets sonores<...>, mais les idées de mobilité ne peuvent donner de bons résultats que si<... >si les tendances destructrices cachées dans la mobilité ne détruisent pas la constructivité nécessaire à l'existence de toute forme d'art.

Certaines autres méthodes et formes de musique se croisent avec A. Ce sont tout d'abord : 1. improvisation - exécution d'une œuvre composée pendant le jeu ; 2. musique graphique, que l'interprète improvise selon les images visuelles du dessin mis devant lui (par exemple, I. Brown, Folio, 1952), en les traduisant en images sonores, ou selon les graphismes aléatoires musicaux créés par le compositeur à partir de morceaux de texte musical sur feuille de papier (S. Bussotti, "La passion du jardin", 1966) ; 3. événement- action improvisée (en ce sens, aléatoire) (Stocker) avec la participation de musique avec une intrigue (quasi) arbitraire (par exemple, le happening "Replica" d'A. Volkonsky par l'ensemble Madrigal dans la saison 1970/71); 4. formes de musique ouvertes - c'est-à-dire celles dont le texte n'est pas fixé de manière stable, mais est obtenu à chaque fois au cours du processus d'exécution. Ce sont des types de composition qui ne sont pas fondamentalement fermés et permettent une continuation infinie (par exemple, à chaque nouvelle représentation), l'anglais. Travail en cours. Pour P. Boulez, l'un des stimuli qui l'a tourné vers une forme ouverte a été le travail de J. Joyce(« Ulysse ») et S. Mallarmé (« Le Livre »). Un exemple de composition ouverte est "Available Forms II" d'Earl Brown pour 98 instruments et deux chefs d'orchestre (1962). Brown lui-même souligne le lien entre sa forme ouverte et les "mobiles" dans les arts visuels (voir : art cinétique) en particulier, A. Calder ("Calder Piece" pour 4 batteurs et le mobile de Calder, 1965). Enfin, l'action « Gesamtkunst » est imprégnée de principes aléatoires (voir : Gezamtkunstwerk). 5. Multimédia dont la spécificité est la synchronisation installations plusieurs arts (par exemple : un concert + une exposition de peinture et de sculpture + une soirée de poésie dans n'importe quelle combinaison de formes d'art, etc.). Ainsi, l'essence de A. est de concilier l'ordre artistique traditionnellement établi et le ferment rafraîchissant de l'imprévisibilité, de l'aléatoire, tendance caractéristique de culture artistique du XXe siècle. en général et esthétique non classique.

Lit.: Denisov E.V.Éléments stables et mobiles de la forme musicale et leur interaction// Problèmes théoriques des formes et des genres musicaux. M., 1971; Kohoutek C. Technique de composition dans la musique du XXe siècle. M., 1976; Lutoslavski V. Articles, être-

cheveux gris, souvenirs. M., 1995 ; Boulez P. Alea// Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Mayence, 1958 ; Boulez R. Zu meiner III Sonate// Ibid, III. 1960; Schaffer B. Nowa muzyka (1958). Cracovie, 1969 ; Schaffer B. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). Cracovie, 1975 ; Stockhausen K. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd.l, Cologne, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. Darmstadt, 1967.

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