الگوریتم اقلیدسی - یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک. یافتن GCD با استفاده از الگوریتم اقلیدسی و با استفاده از فاکتورسازی اول ریشه مربع با استفاده از روش اقلیدسی

الگوریتم اقلیدسالگوریتمی برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD) یک جفت اعداد صحیح است.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD)عددی است که دو عدد را بدون باقیمانده تقسیم می کند و خود بدون باقیمانده بر هر مقسوم علیه دیگر دو عدد داده شده قابل تقسیم است. به عبارت ساده، این بیشترین است عدد بزرگ، که با آن دو عددی که gcd برای آنها جستجو می شود را می توان بدون باقیمانده تقسیم کرد.

الگوریتم برای یافتن GCD با تقسیم

1. عدد بزرگتر را بر عدد کوچکتر تقسیم کنید.
2. اگر بدون باقیمانده تقسیم شود، عدد کوچکتر GCD است (شما باید از چرخه خارج شوید).
3. اگر باقی مانده بود، عدد بزرگتر را با باقیمانده تقسیم جایگزین کنید.
4. بیایید به نقطه 1 برویم.

مثال:
gcd را برای 30 و 18 پیدا کنید.
30 / 18 = 1 (باقی مانده 12)
18/12 = 1 (بقیه 6)
12 / 6 = 2 (باقی مانده 0)
پایان: GCD مقسوم علیه 6 است.
GCD(30، 18) = 6

a = 50 b = 130 در حالی که a != 0 و b != 0 : اگر a > b: a = a % b other: b = b % a print (a + b)

در حلقه، باقیمانده تقسیم به متغیر a یا b نوشته می شود. حلقه زمانی به پایان می رسد که حداقل یکی از متغیرها صفر باشد. این بدان معنی است که دیگری حاوی یک gcd است. با این حال، ما دقیقاً نمی دانیم کدام یک. بنابراین، برای GCD مجموع این متغیرها را پیدا می کنیم. از آنجایی که یکی از متغیرها صفر است، تاثیری در نتیجه ندارد.

الگوریتم برای یافتن GCD با تفریق

1. عدد کوچکتر را از عدد بزرگتر کم کنید.
2. اگر نتیجه 0 باشد، به این معنی است که اعداد با یکدیگر برابر هستند و GCD هستند (شما باید از حلقه خارج شوید).
3. اگر نتیجه تفریق برابر با 0 نیست، عدد بزرگتر را با نتیجه تفریق جایگزین کنید.
4. بیایید به نقطه 1 برویم.

مثال:
gcd را برای 30 و 18 پیدا کنید.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
پایان: GCD یک مینیوند یا فرعی است.
GCD(30، 18) = 6

a = 50 b = 130 در حالی که a != b: اگر a > b: a = a - b دیگری: b = b - چاپ (a)

این مقاله در مورد پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک (GCD)دو یا چند عدد ابتدا بیایید به الگوریتم اقلیدس نگاهی بیندازیم. پس از این، ما بر روی روشی تمرکز خواهیم کرد که به ما امکان می دهد gcd اعداد را به عنوان حاصل ضرب ضرایب اول مشترک آنها محاسبه کنیم. در ادامه به یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک سه یا چند اعداد می پردازیم و همچنین مثال هایی از محاسبه gcd اعداد منفی ارائه می دهیم.

پیمایش صفحه.

الگوریتم اقلیدسی برای یافتن GCD

توجه داشته باشید که اگر از همان ابتدا به جدول اعداد اول رجوع می کردیم، متوجه می شدیم که اعداد 661 و 113 اعداد اول هستند که بلافاصله می توان گفت بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها 1 است.

پاسخ:

GCD(661, 113)=1.

یافتن GCD با فاکتورسازی اعداد به عوامل اول

بیایید راه دیگری را برای یافتن GCD در نظر بگیریم. بزرگترین مقسوم علیه مشترک را می توان با فاکتورگیری اعداد به ضرایب اول پیدا کرد. بیایید یک قانون تنظیم کنیم: gcd دو عدد صحیح مثبت a و b برابر است با حاصلضرب همه ضرایب اول رایج موجود در فاکتورسازی اول اعداد a و b..

بیایید برای توضیح قانون یافتن GCD مثالی بزنیم. تجزیه اعداد 220 و 600 را به ضرایب اول بدانیم، آنها به شکل 220=2·2·5·11 و 600=2·2·2·3·5·5 هستند. فاکتورهای اول متداول در فاکتورگیری اعداد 220 و 600 عبارتند از 2، 2 و 5. بنابراین، gcd(220، 600)=2·2·5=20.

بنابراین، اگر اعداد a و b را در ضرایب اول قرار دهیم و حاصلضرب همه عوامل مشترک آنها را پیدا کنیم، آنگاه بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد a و b را پیدا می کنیم.

بیایید نمونه ای از یافتن GCD را طبق قانون بیان شده در نظر بگیریم.

مثال.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 72 و 96 را پیدا کنید.

راه حل.

بیایید اعداد 72 و 96 را در فاکتورهای اول فاکتور کنیم:

یعنی 72=2·2·2·3·3 و 96=2·2·2·2·2·2·3. فاکتورهای اول رایج 2، 2، 2 و 3 هستند. بنابراین، gcd(72، 96)=2·2·2·3=24.

پاسخ:

GCD(72، 96)=24.

در پایان این پاراگراف، متذکر می شویم که اعتبار قاعده فوق برای یافتن GCD از خاصیت بزرگترین مقسوم علیه مشترک ناشی می شود که بیان می کند که GCD(m a 1 , m b 1) = m GCD (a 1 , b 1)، جایی که m هر عدد صحیح مثبت است.

یافتن gcd سه یا چند عدد

یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک سه یا چند عدد را می توان به یافتن متوالی gcd دو عدد تقلیل داد. ما در هنگام مطالعه خواص GCD به این موضوع اشاره کردیم. در آنجا قضیه را فرموله و اثبات کردیم: بزرگترین مقسوم علیه مشترک چندین عدد a 1, a 2, ..., a k برابر عدد d k که با محاسبه متوالی GCD(a 1 , a 2) = d 2 , GCD(d 2 , a 3) = d 3 , GCD(d 3 , a 4) = d 4 , …, GCD(d k - 1، a k)=d k.

بیایید ببینیم که فرآیند یافتن gcd چند عدد با نگاه کردن به حل مثال چگونه است.

مثال.

بزرگترین عامل مشترک چهار عدد 78، 294، 570 و 36 را بیابید.

راه حل.

در این مثال، 1 = 78، 2 = 294، 3 = 570، 4 = 36.

ابتدا با استفاده از الگوریتم اقلیدسی بزرگترین مقسوم علیه مشترک d 2 از دو عدد اول 78 و 294 را تعیین می کنیم. هنگام تقسیم، برابری های 294=78·3+60 را بدست می آوریم. 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 و 18=6·3. بنابراین، d 2 = GCD (78، 294) = 6.

حالا بیایید محاسبه کنیم d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). بیایید دوباره الگوریتم اقلیدسی را اعمال کنیم: 570=6·95، بنابراین، d 3 = GCD(6, 570)=6.

باقی مانده است که محاسبه شود d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). از آنجایی که 36 بر 6 بخش پذیر است، پس d 4 = GCD(6, 36) = 6.

بنابراین، بزرگترین مقسوم علیه مشترک چهار عدد داده شده d 4 = 6 است، یعنی gcd(78, 294, 570, 36)=6.

پاسخ:

GCD(78, 294, 570, 36)=6.

فاکتورگیری اعداد به فاکتورهای اول به شما امکان می دهد gcd سه یا چند عدد را محاسبه کنید. در این حالت، بزرگترین مقسوم علیه مشترک حاصلضرب همه ضرایب اول مشترک اعداد داده شده است.

مثال.

gcd اعداد مثال قبلی را با استفاده از فاکتورهای اول آنها محاسبه کنید.

راه حل.

بیایید اعداد 78، 294، 570 و 36 را به فاکتورهای اول تبدیل کنیم، 78=2·3·13، 294=2·3·7·7، 570=2·3·5·19، 36=2·2 به دست می‌آید. · 3 · 3. ضرایب اول مشترک هر چهار عدد اعداد 2 و 3 هستند. از این رو، GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

ایگناتیف در مقدمه چاپ اول خود، "در پادشاهی نبوغ" (1908) می نویسد: "... ابتکار فکری، تیز هوشی و "ذکاوت" را نمی توان "در سر" یا "در سر" کسی گذاشت. نتایج تنها زمانی قابل اعتماد هستند که با استفاده از اشیاء و مثال‌هایی از موقعیت‌های معمولی و روزمره، با شوخ طبعی و سرگرمی مناسب، مقدمه‌ای به حوزه دانش ریاضی به روشی آسان و دلپذیر انجام شود.

در مقدمه نسخه 1911 "نقش حافظه در ریاضیات" E.I. ایگناتیف می نویسد: «... در ریاضیات، فرمول ها نیستند که باید به خاطر بسپارند، بلکه فرآیند تفکر هستند.»

برای استخراج جذر، جداول مربع های اعداد دو رقمی وجود دارد که می توانید عدد را به فاکتورهای اول تبدیل کنید و جذر حاصل را استخراج کنید. جدول مربع ها گاهی اوقات کافی نیست، استخراج ریشه با فاکتورگیری کار زمان بری است که همیشه به نتیجه دلخواه منجر نمی شود. سعی کنید جذر 209764 را بگیرید؟ فاکتورگیری در فاکتورهای اول به محصول 2*2*52441 می دهد. با آزمون و خطا، انتخاب - این، البته، می تواند انجام شود اگر مطمئن باشید که این یک عدد صحیح است. روشی که می خواهم پیشنهاد کنم به شما امکان می دهد در هر صورت جذر را بگیرید.

روزی روزگاری در موسسه (موسسه آموزشی دولتی پرم) با این روش آشنا شدیم که اکنون می خواهم در مورد آن صحبت کنم. من هرگز تعجب نکردم که آیا این روش اثبات دارد یا خیر، بنابراین اکنون مجبور شدم خودم برخی از اثبات ها را استنباط کنم.

اساس این روش ترکیب عدد = است.

=&، یعنی & 2 =596334.

1. عدد (5963364) را از راست به چپ به جفت تقسیم کنید (5`96`33`64)

2. جذر گروه اول در سمت چپ (- شماره 2) را استخراج کنید. به این ترتیب اولین رقم & را بدست می آوریم.

3. مربع اولین رقم (2 2 = 4) را پیدا کنید.

4. تفاوت گروه اول و مربع رقم اول را بیابید (5-4=1).

5. دو رقم بعدی را پایین می آوریم (عدد 196 را می گیریم).

6. اولین رقمی را که پیدا کردیم دو برابر کنید و در سمت چپ پشت خط بنویسید (2*2=4).

7. حالا باید رقم دوم عدد را پیدا کنیم و: دو برابر اولین رقمی که پیدا کردیم تبدیل به رقم ده ها عدد می شود که با ضرب در تعداد واحدها باید عددی کمتر از 196 بدست آورید (این عدد 4 44*4=176). 4 رقم دوم & است.

8. تفاوت را بیابید (20=196-176).

9. گروه بعدی را تخریب می کنیم (عدد 2033 را می گیریم).

10. عدد 24 را دوبرابر کنید، عدد 48 به دست می آید.

در یک عدد 11.48 ده وجود دارد که با ضرب در تعداد یکها باید عددی کمتر از 2033 بدست آوریم (484*4=1936). رقم یکانی که پیدا کردیم (4) سومین رقم عدد & است.

من برای موارد زیر دلیل آورده ام:

1. استخراج جذر یک عدد سه رقمی;

2. استخراج جذر یک عدد چهار رقمی.

روش های تقریبی برای استخراج ریشه های مربع (بدون استفاده از ماشین حساب).

1. بابلیان باستان از روش زیر برای یافتن مقدار تقریبی جذر عدد x خود استفاده می کردند. آنها عدد x را به صورت مجموع a 2 + b نشان دادند، که در آن a 2 مربع دقیق عدد طبیعی a (a 2 ? x) نزدیکترین به عدد x است و از فرمول استفاده کردند. . (1)

با استفاده از فرمول (1)، جذر را مثلاً از عدد 28 استخراج می کنیم:

نتیجه استخراج ریشه 28 با استفاده از MK 5.2915026 است.

همانطور که می بینید، روش بابلی تقریب خوبی به مقدار دقیق ریشه می دهد.

2. اسحاق نیوتن روشی را برای گرفتن ریشه های مربع ابداع کرد که به هرون اسکندریه (حدود 100 پس از میلاد) برمی گردد. این روش (معروف به روش نیوتن) به شرح زیر است.

اجازه دهید یک 1- اولین تقریب یک عدد (به عنوان 1 می توانید مقادیر جذر یک عدد طبیعی را بگیرید - مربع دقیقی که بیشتر از آن نباشد. ایکس) .

بعد، تقریب دقیق تر یک 2شماره توسط فرمول پیدا شده است .

از زمان های قدیم کار با اعداد به دو قسمت تقسیم شده است مناطق مختلف: یکی مستقیماً به ویژگی های اعداد مربوط می شود، دیگری با تکنیک های شمارش مرتبط است. در بسیاری از کشورها معمولاً منظور از "حساب" این رشته اخیر است که بدون شک قدیمی ترین شاخه ریاضیات است.

ظاهراً بزرگترین مشکل برای ماشین حساب های باستانی کار با کسری بود. این را می توان از پاپیروس اهمس (که پاپیروس راند نیز نامیده می شود)، اثر مصر باستان در زمینه ریاضیات که قدمت آن به حدود 1650 قبل از میلاد می رسد، مشاهده کرد. همه کسری های ذکر شده در پاپیروس، به استثنای 2/3، دارای اعدادی برابر با 1 هستند. دشواری کار با کسری ها نیز هنگام مطالعه الواح میخی بابلی باستان قابل توجه است. هم مصریان باستان و هم بابلیان ظاهراً محاسباتی را با استفاده از نوعی چرتکه انجام می دادند. علم اعداد در میان یونانیان باستان با شروع فیثاغورث، در حدود 530 قبل از میلاد، توسعه چشمگیری یافت. در مورد خود فن آوری محاسبه، یونانیان در این زمینه بسیار کمتر انجام دادند.

برعکس، رومیان بعدی عملاً هیچ کمکی به علم اعداد نکردند، اما بر اساس نیازهای تولید و تجارت به سرعت در حال توسعه، چرتکه را به عنوان یک وسیله شمارش بهبود بخشیدند. در مورد خاستگاه حساب هندی اطلاعات بسیار کمی وجود دارد. فقط چند کار بعدی در مورد تئوری و عمل عملیات اعداد به دست ما رسیده است که پس از بهبود سیستم موقعیت هندی با گنجاندن صفر در آن نوشته شده است. دقیقاً نمی دانیم چه زمانی این اتفاق افتاد، اما در آن زمان بود که پایه های رایج ترین الگوریتم های حسابی ما گذاشته شد.

سیستم اعداد هندی و اولین الگوریتم های حسابی توسط اعراب به عاریت گرفته شد. اولین کتاب درسی حساب عربی موجود توسط خوارزمی در حدود سال 825 نوشته شده است. این کتاب به طور گسترده از اعداد هندی استفاده و توضیح می دهد. این کتاب درسی بعدها به لاتین ترجمه شد و تأثیر بسزایی در اروپای غربی گذاشت. یک نسخه تحریف شده از نام خوارزمی در کلمه "الگوریسم" به ما رسیده است که وقتی بیشتر با کلمه یونانی مخلوط شود. آریتمیبه اصطلاح "الگوریتم" تبدیل شد.

حساب هندی و عربی در سال شناخته شد اروپای غربیعمدتاً به لطف کار L. فیبوناچی کتاب چرتکه (لیبر آباکی، 1202). روش Abacist ساده‌سازی‌هایی مشابه استفاده از سیستم موقعیتی ما، حداقل برای جمع و ضرب ارائه می‌دهد. جایگزین اباکیست ها الگوریتم هایی شد که از صفر و روش عربی تقسیم و استخراج ریشه دوم استفاده می کردند. یکی از اولین کتاب های درسی حساب که نویسنده آن برای ما ناشناخته است، در سال 1478 در ترویزو (ایتالیا) منتشر شد. این کتاب به محاسبات هنگام انجام معاملات تجاری می پرداخت. این کتاب درسی سلف بسیاری از کتاب های درسی ریاضی شد که پس از آن ظاهر شدند. تا اوایل قرن هفدهم. بیش از سیصد کتاب از این دست در اروپا منتشر شد. الگوریتم های حسابی در این مدت به طور قابل توجهی بهبود یافته اند. در قرن 16-17. نمادهایی برای عملیات حسابی ظاهر شدند، مانند =، +، -، ґ، ё و .

مکانیزاسیون محاسبات حسابی.

با توسعه جامعه، نیاز به محاسبات سریعتر و دقیق تر نیز افزایش یافت. این نیاز چهار را به وجود آورد اختراعات شگفت انگیز: اعداد هند و عربی، اعشار، لگاریتم و محاسبات مدرن.

در واقع ساده ترین وسایل محاسبه قبل از پیدایش محاسبات مدرن وجود داشته است، زیرا در زمان های قدیم عملیات حسابی ابتدایی بر روی چرتکه انجام می شد (در روسیه از چرتکه برای این منظور استفاده می شد). ساده ترین دستگاه محاسباتی مدرن را می توان یک قانون اسلاید در نظر گرفت که از دو مقیاس لگاریتمی تشکیل شده است که یکی در امتداد دیگری می لغزند که با جمع و تفریق بخش هایی از مقیاس ها امکان ضرب و تقسیم را فراهم می کند. ب. پاسکال (1642) را مخترع اولین ماشین افزودن مکانیکی می دانند. بعدها در همان قرن، G. Leibniz (1671) در آلمان و S. Moreland (1673) در انگلستان ماشین هایی را برای انجام ضرب اختراع کردند. این ماشین‌ها پیشینیان دستگاه‌های محاسباتی رومیزی (حساب‌سنج‌ها) قرن بیستم شدند که امکان انجام سریع و دقیق عملیات جمع، تفریق، ضرب و تقسیم را فراهم کردند.

در سال 1812، ریاضیدان انگلیسی سی. بابیج شروع به ایجاد طرحی برای ماشینی برای محاسبه جداول ریاضی کرد. اگرچه کار روی این پروژه سال ها ادامه داشت، اما ناتمام ماند. با این وجود، پروژه بابیج به عنوان انگیزه ای برای ایجاد رایانه های الکترونیکی مدرن عمل کرد که اولین نمونه های آن در حدود سال 1944 ظاهر شد. سرعت این ماشین ها شگفت انگیز بود: با کمک آنها در چند دقیقه یا چند ساعت می توان مشکلاتی را که قبلاً نیاز داشت حل کرد. چندین سال محاسبات مداوم، حتی با استفاده از ماشین های اضافه.

اعداد صحیح مثبت

اجازه دهید آو بدو مجموعه متناهی هستند که هیچ عنصر مشترکی ندارند و let آشامل nعناصر، و بشامل مترعناصر. سپس بسیاری اس، شامل تمام عناصر مجموعه است آو ب، با هم، مجموعه ای محدود است که شامل، مثلاً، سعناصر. به عنوان مثال، اگر آمتشکل از عناصر ( آ, ب, ج)، یک دسته از که در- از عناصر ( ایکس, y، سپس مجموعه S=A+Bو از عناصر تشکیل شده است ( آ, ب, ج, ایکس, y). عدد ستماس گرفت میزانشماره nو متر، و آن را به این صورت می نویسیم: s = n + m. در این ورودی اعداد nو مترنامیده می شوند مقررات، عملیات یافتن مجموع – علاوه بر این. نماد عملیات "+" به صورت "plus" خوانده می شود. یک دسته از پ، متشکل از تمام جفت های مرتب شده است که در آنها اولین عنصر از مجموعه انتخاب می شود آو دومی از مجموعه است ب، یک مجموعه متناهی است که شامل، مثلاً، پعناصر. به عنوان مثال، اگر مانند قبل، آ = {آ, ب, ج}, ب = {ایکس, y) آن P=Aґب = {(آ,ایکس), (آ,y), (ب,ایکس), (ب,y), (ج,ایکس), (ج,y)). عدد پتماس گرفت کار کردنشماره آو ب، و آن را به این صورت می نویسیم: p = aґبیا p = a×b. شماره آو بدر کار نامیده می شوند ضرب کننده ها، عملیات یافتن محصول – ضرب. نماد عملیات ґ به صورت "ضرب در" خوانده می شود.

می توان نشان داد که از این تعاریف قوانین بنیادی زیر برای جمع و ضرب اعداد صحیح به دست می آید:

- قانون جمع جابجایی: a + b = b + a;

- قانون جمع تداعی: آ + (ب + ج) = (آ + ب) + ج;

- قانون ضرب جابجایی: آґb = bґآ;

- قانون تداعی ضرب: آґ(بґج) = (آґب)ґج;

- قانون توزیع: آґ(ب + ج)= (آґب) + (آґج).

اگر آو ب– دو عدد صحیح مثبت و اگر عدد صحیح مثبت وجود داشته باشد ج، به طوری که a = b + c، سپس آن را می گوییم آبیشتر ب(اینطور نوشته شده: a>b)، یا چی بکمتر آ(اینطور نوشته شده: ب). برای هر دو عدد آو بیکی از سه رابطه راضی است: یا a = b، یا a>b، یا آ.

دو قانون اساسی اول می گویند که مجموع دو یا چند عبارت به نحوه گروه بندی یا ترتیب آنها بستگی ندارد. به همین ترتیب، از قانون سوم و چهارم چنین برمی‌آید که حاصل ضرب دو یا چند عامل به نحوه گروه‌بندی عوامل یا ترتیب آنها بستگی ندارد. این حقایق به عنوان "قوانین تعمیم یافته جابجایی و تداعی" جمع و ضرب شناخته می شوند. از آنها چنین برمی‌آید که هنگام نوشتن مجموع چند جمله یا حاصل ضرب چند عامل، ترتیب عبارت‌ها و عوامل بی‌اهمیت است و می‌توان از پرانتز حذف کرد.

به ویژه، مقدار مکرر a + a + ... + aاز جانب nشرایط برابر است nґآ. کار تکراری آґآґ ... ґآاز جانب nما توافق کردیم که فاکتورها را مشخص کنیم a n; عدد آتماس گرفت اساس، و شماره n – نشانگر محصول مکرر، خود کار تکراری - قدرت n ام شماره آ. این تعاریف به ما اجازه می‌دهد تا قوانین اساسی زیر را برای توان‌ها ایجاد کنیم:

پیامد مهم دیگر تعاریف: آґ1 = آبرای هر عدد صحیح آو 1 تنها عدد صحیحی است که این ویژگی را دارد. عدد 1 نامیده می شود واحد.

مقسوم علیه اعداد صحیح

اگر آ, ب, ج– اعداد صحیح و آґb = c، آن آو بمقسوم علیه یک عدد هستند ج. زیرا آґ1 = آبرای هر عدد صحیح آ، نتیجه می گیریم که 1 مقسوم علیه هر عدد صحیح و هر عدد صحیح مقسوم علیه خودش است. هر مقسوم علیه عدد صحیح آ، متفاوت از 1 یا آ، نام گرفت مقسوم علیه مناسبشماره آ.

هر عدد صحیحی غیر از 1 که مقسوم علیه خودش را نداشته باشد نامیده می شود عدد اول. (نمونه ای از عدد اول عدد 7 است.) به عددی که مقسوم علیه های خاص خود را دارد گفته می شود. عدد مرکب. (به عنوان مثال، عدد 6 مرکب است، زیرا 2، 6 را تقسیم می کند.) از موارد فوق چنین نتیجه می شود که مجموعه تمام اعداد صحیح به سه کلاس تقسیم می شود: یک، اعداد اول و اعداد مرکب.

یک قضیه بسیار مهم در نظریه اعداد وجود دارد که می گوید: "هر عدد صحیحی را می توان به عنوان حاصلضرب اعداد اول نشان داد و تا ترتیب عوامل، چنین نمایشی منحصر به فرد است." این قضیه به «قضیه اساسی حساب» معروف است. این نشان می‌دهد که اعداد اول به‌عنوان «بلوک‌های سازنده» عمل می‌کنند که از آن‌ها می‌توان همه اعداد صحیح غیر از یک را با استفاده از ضرب ساخت.

اگر مجموعه معینی از اعداد صحیح داده شود، بزرگترین عدد صحیح که مقسوم علیه هر عدد موجود در این مجموعه است نامیده می شود. بزرگترین مقسوم علیه مشترکمجموعه اعداد داده شده؛ کوچکترین عدد صحیحی که مقسوم علیه هر عدد از یک مجموعه داده شده باشد فراخوانی می شود حداقل مضرب مشترکمجموعه اعداد داده شده بنابراین، بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 12، 18 و 30 6 است. کمترین مضرب مشترک اعداد مشابه 180 است. اگر بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد صحیح باشد. آو ببرابر با 1 و سپس اعداد است آو بنامیده می شوند دوطرفه نخست. به عنوان مثال، اعداد 8 و 9 نسبتا اول هستند، اگرچه هیچ کدام اول نیستند.

اعداد گویا مثبت

همانطور که دیدیم، اعداد صحیح انتزاعیاتی هستند که از فرآیند شمارش مجموعه های محدود اشیاء ناشی می شوند. با این حال، برای نیازها زندگی روزمرهاعداد کامل کافی نیستند به عنوان مثال، هنگام اندازه‌گیری طول یک میز، واحد اندازه‌گیری اتخاذ شده ممکن است خیلی بزرگ باشد و تعداد دفعات زیادی در طول اندازه‌گیری‌شده جا نگیرد. برای مقابله با چنین مشکلی، با استفاده از به اصطلاح. کسری(یعنی به معنای واقعی کلمه، "شکسته") اعداد، واحد کوچکتری از طول معرفی می شود. اگر د- مقداری عدد صحیح، سپس واحد کسری 1/ دتوسط ملک تعیین می شود دґ1/د= 1، و اگر nیک عدد صحیح است، پس nґ1/دما آن را به سادگی می نویسیم n/د. این اعداد جدید کسرهای «معمولی» یا «ساده» نامیده می شوند. عدد صحیح nتماس گرفت صورت کسرکسرها و اعداد د – مخرج. مخرج نشان می دهد که واحد به چند سهم مساوی تقسیم شده است و صورت شمار نشان می دهد که چند سهم از این قبیل گرفته شده است. اگر nد، کسر مناسب نامیده می شود. اگر n = dیا n>d، پس نادرست است. اعداد صحیح به عنوان کسری با مخرج 1 در نظر گرفته می شوند. به عنوان مثال، 2 = 2/1.

از آنجایی که کسری n/درا می توان به عنوان نتیجه تقسیم تفسیر کرد nواحد در هر دقسمت های مساوی و با گرفتن یکی از آن قسمت ها، کسری را می توان به عنوان "نسبت" یا "نسبت" دو عدد صحیح در نظر گرفت. nو د، و خط کسری را به عنوان علامت تقسیم درک کنید. بنابراین، کسرها (از جمله اعداد صحیح به عنوان یک مورد خاص از کسری) معمولا نامیده می شوند. گویااعداد (از لاتین نسبت - رابطه).

دو کسری n/دو ( کґn)/(کґد)، جایی که ک- یک عدد صحیح، می تواند برابر در نظر گرفته شود. به عنوان مثال، 4/6 = 2/3. (اینجا n = 2, د= 3 و ک= 2.) این به عنوان "ویژگی اساسی یک کسر" شناخته می شود: ارزش هیچ کسری تغییر نخواهد کرد اگر صورت و مخرج کسری در یک عدد ضرب (یا تقسیم) شود. نتیجه این است که هر کسری را می توان به عنوان نسبت دو عدد نسبتاً اول نوشت.

از تفسیر کسری که در بالا ارائه شد نیز چنین برمی‌آید که به عنوان مجموع دو کسر n/دو متر/دبا داشتن مخرج یکسان، باید کسر ( n + متر)/د. هنگام جمع کردن کسری با مخرج های مختلف، ابتدا باید آنها را با استفاده از ویژگی اصلی یک کسر، به کسرهای معادل با مخرج (مشترک) یکسان تبدیل کنید. مثلا، n 1 /د 1 = (n 1 H د 2)/(د 1 H د 2) و n 2 /د 2 = (n 2 اچ د 1)/(د 1 H د 2) از کجا

می توان آن را به گونه ای دیگر انجام داد و ابتدا حداقل مضرب مشترک را پیدا کرد متر، مخرج ها د 1 و د 2. سپس اعداد صحیح وجود دارد ک 1 و ک 2، طوری که m = k 1 H د 1 = k 2 اچ د 2 و دریافت می کنیم:

با این روش شماره مترمعمولا نامیده می شود کمترین مخرج مشترکدو کسری این دو نتیجه با تعریف تساوی کسرها معادل هستند.

حاصل ضرب دو کسر n 1 /د 1 و n 2 /د 2 برابر با کسر ( n 1 H n 2)/(د 1 H د 2).

هشت قانون اساسی ارائه شده در بالا برای اعداد صحیح نیز در صورتی معتبر هستند که، زیر آ, ب, جدرک اعداد گویا مثبت دلخواه همچنین اگر دو عدد گویا مثبت داده شود n 1 /د 1 و n 2 /د 2، سپس آن را می گوییم n 1 /د 1 > n 2 /د 2 اگر و فقط اگر n 1 H د 2 > n 2 اچ د 1 .

اعداد حقیقی مثبت

استفاده از اعداد برای اندازه گیری طول پاره خط نشان می دهد که برای هر دو پاره خط معین ABو سی دیباید بخشی وجود داشته باشد UV، شاید بسیار کوچک، که می تواند تعداد صحیح بارها در هر یک از بخش ها به تعویق بیفتد ABو سی دی. اگر چنین واحد مشترک طول UVوجود دارد، سپس بخش ها ABو سی دیقابل مقایسه نامیده می شوند. قبلاً در دوران باستان، فیثاغورثی ها از وجود بخش های مستقیم غیرقابل مقایسه می دانستند. یک مثال کلاسیک ضلع مربع و قطر آن است. اگر ضلع مربع را واحد طول در نظر بگیریم، هیچ عدد گویا وجود ندارد که بتواند اندازه قطر این مربع باشد. شما می توانید این را با استدلال با تناقض تأیید کنید. در واقع، فرض کنید که عدد گویا n/داندازه گیری قطر است. اما سپس بخش 1/ دمی تواند به تعویق بیفتد nبار به صورت مورب و دبارها در ضلع مربع، با وجود اینکه قطر و ضلع مربع غیرقابل قیاس هستند. در نتیجه، صرف‌نظر از انتخاب واحد طول، همه پاره‌های خط دارای طول‌هایی نیستند که بتوان آن را با اعداد گویا بیان کرد. برای اینکه تمام پاره های خط با مقداری واحد اندازه گیری شوند، سیستم اعداد باید به گونه ای گسترش یابد که اعدادی را نشان دهند که نتایج اندازه گیری طول پاره های خط را نشان می دهد که با واحد طول انتخاب شده نامتناسب هستند. این اعداد جدید مثبت نامیده می شوند غیر منطقیشماره. دومی، همراه با اعداد گویا مثبت، مجموعه وسیع تری از اعداد را تشکیل می دهند که عناصر آن مثبت نامیده می شوند. معتبرشماره.

اگر یا- نیم خط افقی که از یک نقطه سرچشمه می گیرد O, U- اشاره کنید یا، متفاوت از مبدا O، و OUبه عنوان یک بخش واحد، سپس هر نقطه انتخاب می شود پروی نیم خط یارا می توان با یک عدد واقعی مثبت مرتبط کرد پ، طول قطعه را بیان می کند OP. به این ترتیب ما یک تناظر یک به یک بین اعداد حقیقی مثبت و نقاط غیر از O، روی نیم خط یا. اگر پو q- دو عدد واقعی مثبت مربوط به نقاط پو سبر یا، سپس می نویسیم p>q,p = qیا p بسته به موقعیت نقطه پسمت راست نقطه سبر یا، مصادف است با سیا در سمت چپ قرار دارد س.

معرفی اعداد غیر منطقی مثبت به طور قابل توجهی دامنه کاربرد حساب را گسترش داد. به عنوان مثال، اگر آ– هر عدد حقیقی مثبت و nهر عدد صحیحی است، پس فقط یک عدد واقعی مثبت وجود دارد ب، به طوری که bn=a. این شماره بریشه نامیده می شود nدرجه ام از آو به این صورت نوشته می شود، جایی که نماد در طرح کلی آن شبیه یک حرف لاتین است r، که کلمه لاتین با آن شروع می شود ریشه(ریشه) و نامیده می شود افراطی. می توان نشان داد که

این روابط به عنوان ویژگی های اساسی رادیکال ها شناخته می شوند.

از نقطه نظر عملی، بسیار مهم است که هر عدد غیرمنطقی مثبت را بتوان با دقت مورد نظر یک عدد گویا مثبت تقریب زد. این بدان معناست که اگر rیک عدد غیر منطقی مثبت است و هیک عدد گویا مثبت دلخواه کوچک است، پس می توانیم اعداد گویا مثبت را پیدا کنیم آو ب، به طوری که یک و ب مثلا یک عدد غیر منطقی است. اگر انتخاب کنید ه= 0.01، سپس ; اگر انتخاب کنی ه= 0.001، سپس .

سیستم اعداد هند و عربی

الگوریتم‌ها یا طرح‌های محاسباتی به سیستم اعداد مورد استفاده بستگی دارد. برای مثال، کاملاً واضح است که روش‌های محاسبه اختراع شده برای سیستم اعداد رومی ممکن است با الگوریتم‌های اختراع شده برای سیستم هندوعربی فعلی متفاوت باشد. علاوه بر این، برخی از سیستم های اعداد ممکن است برای ساختن الگوریتم های حسابی کاملاً نامناسب باشند. داده‌های تاریخی نشان می‌دهد که قبل از اتخاذ سیستم نشان‌گذاری اعداد هند و عربی، هیچ الگوریتمی وجود نداشت که جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد را با استفاده از "مداد و کاغذ" به اندازه کافی آسان کند. در طول سال‌های طولانی وجود سیستم هند و عربی، روش‌های الگوریتمی متعددی که مخصوصاً با آن تطبیق داده شده بودند، توسعه یافتند، به طوری که الگوریتم‌های مدرن ما محصول یک دوره کامل از توسعه و بهبود هستند.

در سیستم اعداد هندو-عربی، هر ورودی که یک عدد را نشان می دهد، مجموعه ای از ده نماد اصلی 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9 است که اعداد نامیده می شوند. به عنوان مثال، نماد هندو-عربی برای عدد چهارصد و بیست و سه به شکل دنباله ارقام 423 است. در دنباله ارقامی که این نماد را تشکیل می دهند. در مثالی که زدیم، عدد 4 به معنای چهار صد، عدد 2 به معنای دو ده و عدد 3 به معنای سه یک است. خیلی نقش مهمعدد 0 (صفر) پخش می شود که برای پر کردن موقعیت های خالی استفاده می شود. برای مثال، مدخل 403 به معنای عدد چهارصد و سه است، یعنی. ده ها گم شده است اگر آ, ب, ج, د, هبه معنای اعداد فردی است، سپس در سیستم هند و عربی abcdeبه معنای مخفف یک عدد صحیح است

از آنجایی که هر عدد صحیح یک نمایش منحصر به فرد را در فرم می پذیرد

جایی که nیک عدد صحیح است و آ 0 , آ 1 ,..., a n- اعداد، نتیجه می گیریم که در یک سیستم عددی معین، هر عدد صحیح می تواند به روشی منحصر به فرد نمایش داده شود.

سیستم اعداد هندو-عربی به شما امکان می دهد نه تنها اعداد صحیح، بلکه هر اعداد حقیقی مثبت را به طور مختصر بنویسید. اجازه دهید نماد 10 را معرفی کنیم - nبرای 1/10 n، جایی که n- یک عدد صحیح مثبت دلخواه سپس، همانطور که نشان داده می شود، هر عدد واقعی مثبت را می توان، و به صورت منحصر به فرد، به شکل نمایش داد

این رکورد را می توان با نوشتن آن به صورت دنباله ای از اعداد فشرده کرد

علامتی که نقطه اعشار نامیده می شود، کجاست آ 0 و ب 1 نشان می دهد که قدرت منفی 10 از کجا شروع می شود (در برخی کشورها برای این منظور از نقطه استفاده می شود). این روش نوشتن یک عدد حقیقی مثبت را بسط اعشاری می نامند و کسری که به صورت بسط اعشاری آن ارائه می شود. اعشاری.

می توان نشان داد که برای یک عدد گویا مثبت، بسط اعشاری بعد از نقطه اعشار یا قطع می شود (مثلاً 7/4 = 1.75) یا تکرار می شود (مثلاً 6577/1980 = 3.32171717...). اگر عددی غیر منطقی باشد، بسط اعشاری آن قطع نمی شود و تکرار نمی شود. اگر بسط اعشاری یک عدد غیر منطقی در مقداری اعشار قطع شود، تقریب گویا آن را بدست می آوریم. هر چه علامتی که بسط اعشاری را در آن خاتمه می دهیم در سمت راست نقطه اعشار دورتر باشد، تقریب منطقی بهتر است (خطای کوچکتر).

در سیستم هندو-عربی، یک عدد با استفاده از ده رقم اصلی نوشته می‌شود که معنای آن به مکان یا موقعیت آنها در نماد عدد بستگی دارد (مقدار یک رقم برابر است با حاصلضرب رقم و مقداری توان 10). بنابراین چنین سیستمی را سیستم موقعیت اعشاری می نامند. سیستم‌های اعداد موقعیتی برای ساختن الگوریتم‌های حسابی بسیار راحت هستند و دقیقاً به همین دلیل است که سیستم اعداد هند و عربی بسیار گسترده است. دنیای مدرن، اگرچه کشورهای مختلف ممکن است از نمادهای متفاوتی برای نمایش اعداد استفاده کنند.

نام اعداد

نام اعداد در سیستم هند و عربی از قوانین خاصی پیروی می کند. رایج ترین روش نامگذاری اعداد این است که ابتدا عدد به گروه های سه رقمی از راست به چپ تقسیم می شود. به این گروه ها «دوره ها» می گویند. دوره اول را دوره "واحدها"، دوم - دوره "هزاران"، سوم - دوره "میلیون ها" و غیره نامیده می شود، همانطور که در مثال زیر نشان داده شده است:

هر نقطه به گونه ای خوانده می شود که گویی یک عدد سه رقمی است. مثلاً دوره 962 «نهصد و شصت و دو» خوانده می شود. برای خواندن یک عدد متشکل از چند نقطه، گروه ارقام در هر نقطه خوانده می‌شود، از سمت چپ‌ترین نقطه شروع می‌شود و سپس به ترتیب از چپ به راست ادامه می‌یابد. پس از هر گروه نام دوره آمده است. مثلاً عدد فوق عبارت است از «هفتاد و سه تریلیون و هشتصد و چهل و دو میلیارد و نهصد و شصت و دو میلیون و پانصد و سی و دو هزار و هفتصد و نود و هشت». توجه داشته باشید که هنگام خواندن و نوشتن اعداد صحیح معمولاً از حرف ربط "and" استفاده نمی شود. نام دسته واحد حذف شده است. پس از تریلیون ها، کوادریلیون ها، کوئنتیلیون ها، سکستیلیون ها، سپتییلیون ها، اکتیلیون ها، غیرآلیون ها و دسیلیون ها قرار می گیرند. هر دوره دارای ارزشی 1000 برابر بیشتر از دوره قبلی است.

در سیستم هندو-عربی، مرسوم است که برای خواندن اعداد سمت راست اعشار، از روش زیر پیروی کنید. در اینجا موقعیت ها (به ترتیب از چپ به راست) نامیده می شوند: "دهم"، "صدم"، "هزارم"، "ده هزارم" و غیره. یک اعشار مناسب طوری خوانده می شود که گویی ارقام بعد از نقطه اعشار یک عدد کامل را تشکیل می دهند و به دنبال آن نام موقعیت آخرین رقم در سمت راست قرار می گیرد. به عنوان مثال، 0.752 به عنوان "هفتصد و پنجاه و دو هزارم" خوانده می شود. یک اعشار مختلط با ترکیب قانون نامگذاری اعداد صحیح با قانون نامگذاری اعشار مناسب خوانده می شود. به عنوان مثال، 632.752 می گوید: "ششصد و سی و دو نقطه هفتصد و پنجاه و دو هزارم." به کلمه "اعداد صحیح" قبل از نقطه اعشار توجه کنید. که در سال های گذشته اعداد اعشاریبه طور فزاینده ای ساده تر، برای مثال، 3.782 را به عنوان "سه کاما هفتصد و هشتاد و دو" بخوانید.

اضافه

اکنون آماده تحلیل الگوریتم های حسابی معرفی شده در آن هستیم دبستان. این الگوریتم ها با عملیات روی اعداد حقیقی مثبت که به صورت بسط اعشاری نوشته شده اند سروکار دارند. ما فرض می کنیم که جداول جمع و ضرب ابتدایی به صورت زنده یاد گرفته شده است.

مسئله جمع را در نظر بگیرید: 279.8 + 5.632 + 27.54 را محاسبه کنید:

ابتدا همان توان های عدد 10 را جمع می کنیم. عدد 19Х10 –1 طبق قانون توزیع به 9Х10 –1 و 10Х10 –1 = 1 تقسیم می شود. واحد را به سمت چپ حرکت داده و به عدد 21 اضافه می کنیم. 22 می دهد. به نوبه خود عدد 22 را به 2 تقسیم می کنیم و 20 = 2H10. عدد 2H10 را به سمت چپ منتقل می کنیم و به 9H10 اضافه می کنیم که 11H10 می شود. در نهایت 11H10 را به 1H10 و 10H10 = 1H10 2 تقسیم می کنیم و 1H10 2 را به سمت چپ حرکت می دهیم و به 2H10 2 اضافه می کنیم که 3H10 2 به دست می آید. مجموع نهایی به 312.972 می رسد.

واضح است که محاسبات انجام شده را می توان به شکل مختصر تری ارائه کرد و در عین حال از آن به عنوان نمونه ای از الگوریتم جمعی که در مدرسه تدریس می شود استفاده کرد. برای انجام این کار، هر سه عدد را یکی زیر دیگری می نویسیم تا اعشار روی یک عمود باشند:

با شروع از سمت راست، متوجه می شویم که مجموع ضرایب 10 – 3 برابر با 2 است که در ستون مربوطه زیر خط می نویسیم. مجموع ضرایب 10-2 برابر با 7 است که در ستون مربوطه زیر خط نیز نوشته می شود. مجموع ضرایب 1-10 برابر با 19 است. عدد 9 را زیر خط می نویسیم و عدد 1 را به ستون قبلی منتقل می کنیم، جایی که یک عدد وجود دارد. با در نظر گرفتن این واحد، مجموع ضریب در این ستون برابر با 22 می شود. یکی دو را زیر خط می نویسیم و دیگری را به ستون قبلی که ده ها هستند منتقل می کنیم. با احتساب دو منتقل شده، مجموع ضرایب این ستون برابر با 11 است. یک واحد را زیر خط می نویسیم و دیگری را به ستون قبلی که صدها عدد است منتقل می کنیم. مجموع ضرایب این ستون برابر با 3 می شود که در زیر خط می نویسیم. مبلغ مورد نیاز 312.972 است.

منها کردن.

تفریق معکوس جمع است. اگر سه عدد حقیقی مثبت آ, ب, جبه هم پیوسته است به طوری که a+b=c، سپس می نویسیم a = c – b، جایی که نماد "-" به عنوان "منهای" خوانده می شود. پیدا کردن یک عدد آطبق اعداد شناخته شده بو ج"تفریق" نامیده می شود. عدد جبه نام minuend، شماره ب- "قابل تفریق" و عدد آ- "تفاوت". از آنجایی که ما با اعداد حقیقی مثبت سر و کار داریم، شرط باید برآورده شود ج > ب.

بیایید به مثالی از تفریق نگاه کنیم: 453.87 - 82.94 را محاسبه کنید.

اول از همه، با قرض گرفتن یک واحد از سمت چپ در صورت لزوم، انبساط minuend را طوری تبدیل می کنیم که ضریب آن برای هر توان 10 از ضریب subtrahend برای همان توان بیشتر باشد. از 4H10 2 1H10 2 = 10H10 را قرض می گیریم و آخرین عدد را به ترم بعدی در بسط اضافه می کنیم که 15H10 می دهد. به طور مشابه، 1Х10 0 یا 10Ч10 –1 را قرض می گیریم و این عدد را به ترم ماقبل آخر بسط اضافه می کنیم. پس از این، ما این فرصت را به دست می آوریم که ضرایب را برای همان توان های عدد 10 کم کنیم و به راحتی اختلاف 370.93 را پیدا کنیم.

ضبط عملیات تفریق را می توان به شکل فشرده تری ارائه کرد و می توانید نمونه ای از الگوریتم تفریق مطالعه شده در مدرسه را دریافت کنید. زیر خط ریز را طوری می نویسیم که اعشار آنها روی یک عمود باشد. با شروع از سمت راست متوجه می شویم که اختلاف ضرایب در 10-2 برابر با 3 است و این عدد را در همان ستون زیر خط می نویسیم. از آنجایی که در ستون بعدی سمت چپ نمی توانیم 9 را از 8 کم کنیم، سه در موقعیت واحدهای مینیوند را به دو تبدیل می کنیم و عدد 8 را در موقعیت دهم به عنوان 18 در نظر می گیریم. پس از تفریق 9 از 18، 9 به دست می آید و غیره. .، یعنی .

ضرب.

بیایید ابتدا به اصطلاح را در نظر بگیریم. ضرب «کوتاه» ضرب یک عدد حقیقی مثبت در یکی از اعداد تک رقمی 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9 است، به عنوان مثال، 32.67ґ4. با استفاده از قانون توزیع و همچنین قوانین تداعی و جابجایی ضرب، این فرصت را به دست می آوریم که عوامل را به قطعات تقسیم کنیم و آنها را به روشی راحت تر مرتب کنیم. مثلا،

این محاسبات را می توان به صورت فشرده تر به صورت زیر نوشت:

فرآیند فشرده سازی را می توان ادامه داد. ضریب 4 را زیر ضرب 32.67 می نویسیم، همانطور که نشان داده شده است:

از آنجایی که 4ґ7 = 28، عدد 8 را زیر خط می نویسیم و 2 را بالای عدد 6 ضرب قرار می دهیم. بعد 4ґ6 = 24 که با احتساب چیزی که از ستون سمت راست منتقل می شود عدد 26 می شود. عدد 6 را زیر خط می نویسیم و بالای عدد 2 ضرب 2 را می نویسیم. سپس 4ґ2 = 8 بدست می آوریم که در ترکیب با دو انتقال داده شده 10 می شود. عدد 0 را زیر خط و عدد بالای عدد 3 ضریب را امضا می کنیم. در نهایت، 4ґ3 = 12، که با در نظر گرفتن واحد منتقل شده، 13 می دهد. زیر خط عدد 13 نوشته شده است. با قرار دادن یک نقطه اعشار، به جواب می رسیم: حاصل ضرب برابر با 130.68 است.

ضرب "طولانی" به سادگی یک ضرب "کوتاه" است که بارها و بارها تکرار می شود. برای مثال، ضرب عدد 32.67 را در عدد 72.4 در نظر بگیرید. بیایید ضریب را در زیر ضرب قرار دهیم، همانطور که نشان داده شده است:

با انجام ضرب کوتاه از راست به چپ، ضریب اول 13.068، دومی 65.34 و سومی 2286.9 به دست می آید. طبق قانون توزیع، محصولی که باید پیدا شود، مجموع این محصولات جزئی یا 2365.308 است. در نماد کتبی، نقطه اعشار در محصولات جزئی حذف شده است، اما آنها باید به درستی در "مرحله" مرتب شوند تا سپس برای بدست آوردن محصول کامل جمع شوند. تعداد ارقام اعشار در حاصل ضرب برابر است با مجموع تعداد ارقام اعشار در ضرب و ضریب.

بخش.

تقسیم عمل معکوس ضرب است. همانطور که ضرب جایگزین جمع مکرر می شود، تقسیم جایگزین تفریق مکرر می شود. به عنوان مثال، این سوال را در نظر بگیرید: 3 در 14 چند بار است؟ با تکرار عمل تفریق 3 از 14، متوجه می‌شویم که 3 چهار بار 14 وارد می‌شود و عدد 2 باقی می‌ماند، یعنی.

عدد 14 نامیده می شود قابل تقسیم، شماره 3 - تقسیم کننده، شماره 4 - خصوصیو شماره 2 - بقیه. رابطه حاصل را می توان با کلمات به صورت زیر بیان کرد:

سود = (بخش ґ مقسوم علیه) + باقیمانده،

0 Ј باقی مانده است

یافتن ضریب و باقیمانده 1400 تقسیم بر 3 با تفریق مکرر 3 مستلزم زمان و تلاش زیادی است. اگر ابتدا 300 را از 1400 کم کنیم، سپس 30 را از باقیمانده و در نهایت 3 را کم کنیم. پس از تفریق 300 چهار بار، باقیمانده 200 بدست می آید. پس از تفریق 30 از 200 شش بار، باقیمانده 20 می شود. در نهایت، پس از تفریق 3 از 20 شش بار، باقی مانده 2 را به دست می آوریم.

ضریب و باقیمانده به ترتیب 466 و 2 هستند.

استدلال فوق در صورتی اعمال می شود که سود تقسیمی و مقسوم علیه هر عدد حقیقی مثبت بیان شده در سیستم اعشاری باشد. بیایید این را با مثال 817.65е23.7 نشان دهیم.

ابتدا، مقسوم‌کننده باید با استفاده از شیفت نقطه اعشاری به یک عدد صحیح تبدیل شود. در این حالت، نقطه اعشار سود با همان تعداد اعشار جابه‌جا می‌شود. تقسیم کننده و سود سهام مطابق شکل زیر مرتب می شوند:

بیایید تعیین کنیم که چند بار تقسیم کننده در عدد سه رقمی 817 وجود دارد، اولین قسمت از تقسیم که بر تقسیم کننده تقسیم می کنیم. از آنجایی که تخمین زده می شود که شامل سه بار باشد، 237 را در 3 ضرب می کنیم و حاصلضرب 711 را از 817 کم می کنیم. اختلاف 106 کمتر از مقسوم علیه است. این بدان معنی است که شماره 237 بیش از سه بار در سود آزمایشی ظاهر می شود. عدد 3 که در زیر مقسوم علیه شماره 2 زیر خط افقی نوشته می شود، اولین رقم از ضریب است که باید پیدا شود. بعد از اینکه رقم بعدی سود سهام را پایین آوردیم، سود آزمایشی بعدی 1066 را دریافت می کنیم و باید تعیین کنیم که تقسیم کننده 237 چند بار در عدد 1066 قرار می گیرد. فرض کنید 4 بار. مقسوم علیه را در 4 ضرب می کنیم و حاصل ضرب 948 را بدست می آوریم که از 1066 کم می کنیم. این تفاوت 118 می شود، به این معنی که رقم بعدی ضریب 4 است. سپس رقم بعدی سود سهام را کم می کنیم و کل روشی که در بالا توضیح داده شد را تکرار می کنیم. این بار معلوم شد که سود آزمایشی 1185 دقیقاً (بدون باقیمانده) بر 237 بخش پذیر است (باقی مانده تقسیم در نهایت 0 می شود). با جدا کردن با یک نقطه اعشار در ضریب همان تعداد ارقامی که در سود تقسیم می شوند (به یاد داشته باشید که قبلاً نقطه اعشار را جابجا کرده بودیم) به پاسخ می رسیم: ضریب برابر با 34.5 است.

کسری.

محاسبات با کسرها شامل جمع، تفریق، ضرب و تقسیم و همچنین ساده کردن کسرهای مختلط است.

جمع کسری با مخرج یکسان با جمع کردن اعداد انجام می شود، به عنوان مثال،

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

اگر کسرها مخرج های متفاوتی داشته باشند، ابتدا باید آنها را به یک مخرج مشترک تقلیل داد. تبدیل به کسری با مخرج یکسان. برای انجام این کار، کمترین مخرج مشترک (کوچکترین مضرب هر یک از مخرج های داده شده) را پیدا می کنیم. به عنوان مثال، هنگام جمع کردن 2/3، 1/6 و 3/5، کمترین مخرج مشترک 30 است:

جمع بندی می کنیم

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

تفریق کسرها مانند جمع کردن آنها انجام می شود. اگر مخرج ها یکسان باشند، تفریق به تفریق اعداد می رسد: 10/13 – 2/13 = 8/13; اگر کسرها مخرج های مختلفی دارند، ابتدا باید آنها را به یک مخرج مشترک بیاورید:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

هنگام ضرب کسرها، صورت و مخرج آنها به طور جداگانه ضرب می شود. مثلا،

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

برای تقسیم یک کسر بر کسری دیگر، باید کسر اول (سهام) را در کسر متقابل دوم (مقسوم کننده) ضرب کنید (برای بدست آوردن کسر متقابل، باید صورت و مخرج کسر اصلی را عوض کنید)، یعنی. ( n 1 /د 1)е( n 2 /د 2) = (n 1 H د 2)/(د 1 H n 2). مثلا،

3/4е7/8 = 3/4ґ8/7 = 24/28 = 6/7.

عدد مختلط مجموع (یا تفاوت) یک عدد کامل و یک کسری است، مانند 4 + 2/3 یا 10 - 1/8. از آنجایی که یک عدد کامل را می توان به عنوان کسری با مخرج 1 در نظر گرفت، یک عدد مختلط چیزی بیش از مجموع (یا تفاوت) دو کسر نیست. مثلا،

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

کسری مختلط کسری است که کسری در صورت یا مخرج یا در صورت و مخرج داشته باشد. این کسر را می توان به یک کسر ساده تبدیل کرد:

ریشه دوم.

اگر n r، به طوری که r 2 = n. عدد rتماس گرفت ریشه دوماز جانب nو تعیین شده است. در مدرسه به شما یاد می دهند که ریشه های مربع را از دو طریق استخراج کنید.

روش اول محبوب تر است زیرا ساده تر و آسان تر است. محاسبات با استفاده از این روش به راحتی بر روی یک ماشین حساب رومیزی پیاده سازی می شوند و به ریشه های مکعبی و ریشه های بالاتر تعمیم می دهند. روش مبتنی بر این واقعیت است که اگر r 1 - پس از آن به ریشه نزدیک می شود r 2 = (1/2)(r 1 + n/r 1) - تقریب دقیق تر ریشه.

بیایید این روش را با محاسبه جذر اعدادی بین 1 و 100 نشان دهیم، مثلاً عدد 40. از آنجایی که 6 2 = 36 و 7 2 = 49، نتیجه می گیریم که 6 بهترین تقریب برای اعداد کامل است. تقریب دقیق تری از 6 به صورت زیر بدست می آید. از تقسیم 40 بر 6 6.6 بدست می آید (به اولین رقم اعشار گرد شده است) زوجاعداد دهم). برای تقریب دوم، دو عدد 6 و 6.6 را میانگین می گیریم و 6.3 می گیریم. با تکرار این روش، یک تقریب حتی بهتر به دست می آوریم. با تقسیم 40 بر 6.3، عدد 6.350 را پیدا می کنیم و تقریب سوم به نظر می رسد (1/2) (6.3 + 6.350) = 6.325. تکرار دیگر 40е6.325 = 6.3241106 را به دست می دهد، و تقریب چهارم به نظر می رسد (1/2) (6.325 + 6.3241106) = 6.3245553. این روند می تواند تا زمانی که بخواهید ادامه یابد. به طور کلی، هر تقریب بعدی می تواند دو برابر ارقام قبلی داشته باشد. بنابراین، در مثال ما، از آنجایی که اولین تقریب، عدد صحیح 6، فقط شامل یک رقم است، می‌توانیم دو رقم را در تقریب دوم، چهار رقم در سوم و هشت رقم را در چهارم نگه داریم.

اگر شماره nبین 1 و 100 قرار نمی گیرد، ابتدا باید تقسیم کنید (یا ضرب کنید) nبه توان 100، مثلاً به ک-th به طوری که حاصلضرب در بازه 1 تا 100 باشد سپس جذر حاصلضرب در بازه 1 تا 10 خواهد بود و پس از استخراج عدد حاصل را در 10 ضرب (یا تقسیم) می کنیم. ک، جذر مورد نیاز را پیدا کنید. به عنوان مثال، اگر n= 400000، سپس اول ما تقسیم کنید 400000 در 100 2 و عدد 40 را بدست می آوریم که در محدوده 1 تا 100 قرار دارد. همانطور که در بالا نشان داده شد تقریباً برابر با 6.3245553 است. ضرب کردناین عدد با 10 2، 632.45553 را به عنوان یک مقدار تقریبی دریافت می کنیم، و عدد 0.63245553 به عنوان یک مقدار تقریبی برای آن عمل می کند.

دومین روش ذکر شده در بالا بر اساس هویت جبری ( آ + ب) 2 = آ 2 + (2آ + ب)ب. در هر مرحله، قسمتی از جذر که قبلاً به دست آمده است به عنوان در نظر گرفته می شود آ، و بخشی که هنوز باید مشخص شود برای ب.

ریشه مکعب.

برای استخراج ریشه مکعب یک عدد حقیقی مثبت، الگوریتم هایی مشابه الگوریتم های جذر وجود دارد. به عنوان مثال، برای پیدا کردن ریشه مکعب یک عدد n، ابتدا ریشه را با عددی تقریب می کنیم r 1 . سپس یک تقریب دقیق تر می سازیم r 2 = (1/3)(2r 1 + n/r 1 2)، که به نوبه خود جای خود را به یک تقریب دقیق تر می دهد r 3 = (1/3)(2r 2 + n/r 2 2) و غیره روند ساخت تقریب های دقیق تر ریشه می تواند به طور نامحدود ادامه یابد.

به عنوان مثال، محاسبه ریشه مکعبی یک عدد بین 1 تا 1000، عدد 200 را در نظر بگیرید. از آنجایی که 5 3 = 125 و 6 3 = 216، نتیجه می گیریم که 6 نزدیک ترین عدد صحیح به ریشه مکعبی 200 است. بنابراین، ما انتخاب می کنیم r 1 = 6 و به ترتیب محاسبه کنید r 2 = 5,9, r 3 = 5,85, r 4 = 5.8480. در هر تقریب، با شروع از سوم، مجاز به حفظ تعدادی کاراکتر است که یک عدد کمتر از دو برابر تعداد کاراکترهای تقریب قبلی است. اگر عددی که می‌خواهید ریشه مکعب را از آن استخراج کنید بین 1 تا 1000 نیست، ابتدا باید آن را بر مقداری تقسیم (یا ضرب کنید) مثلاً ک th، توان عدد 1000 و در نتیجه آن را به محدوده اعداد مورد نظر برسانید. ریشه مکعب عدد تازه به دست آمده در محدوده 1 تا 10 قرار دارد. پس از محاسبه آن باید در 10 ضرب (یا تقسیم) شود. کبرای بدست آوردن ریشه مکعب عدد اصلی

دومین الگوریتم پیچیده‌تر برای یافتن ریشه مکعب یک عدد حقیقی مثبت مبتنی بر استفاده از هویت جبری است. آ + ب) 3 = آ 3 + (3آ 2 + 3ab + ب 2)ب. در حال حاضر الگوریتم هایی برای استخراج ریشه های مکعبی و همچنین ریشه های درجات بالاتر در دبیرستانمطالعه نمی شوند زیرا با استفاده از روش های لگاریتمی یا جبری یافتن آنها آسان تر است.

الگوریتم اقلیدس

این الگوریتم در ارائه شده است آغازهااقلیدس (حدود 300 قبل از میلاد). برای محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد صحیح استفاده می شود. در مورد اعداد مثبت، به عنوان یک قانون رویه ای فرموله می شود: «بزرگتر از دو عدد داده شده را بر کوچکتر تقسیم کنید. سپس تقسیم کننده را بر باقی مانده تقسیم کنید و به همین ترتیب ادامه دهید تا آخرین مقسوم علیه بر باقی مانده به طور مساوی تقسیم شود. آخرین مقسوم علیه، بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد داده شده خواهد بود.

به عنوان یک مثال عددی، دو عدد صحیح 3132 و 7200 را در نظر بگیرید. الگوریتم در این مورد به مراحل زیر می رسد:

بزرگترین مقسوم علیه مشترک همان آخرین مقسوم علیه است - عدد 36. توضیح ساده است. در مثال ما از خط آخر می بینیم که عدد 36 عدد 288 را تقسیم می کند. از خط ماقبل آخر این نتیجه حاصل می شود که عدد 36 عدد 324 را تقسیم می کند. ، 3132 و 7200 اکنون ادعا می کنیم که عدد 36 مقسوم علیه مشترک اعداد 3132 و 7200 است. gبزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 3132 و 7200 است g 3132 و 7200 را تقسیم می کند، از خط اول این نتیجه می گیرد g 936 را تقسیم می کند. از خط دوم نتیجه می گیریم که g 324 را تقسیم می کند. بنابراین، از خطی به خط دیگر پایین می آییم، متقاعد می شویم که g 288 و 36 را تقسیم می کند. و چون 36 مقسوم علیه مشترک اعداد 3132 و 7200 است و بر بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها تقسیم می شود، نتیجه می گیریم که 36 این بزرگترین مقسوم علیه مشترک است.

معاینه.

محاسبات حسابی مستلزم توجه مداوم هستند و بنابراین مستعد خطا هستند. بنابراین، بررسی نتایج محاسبات بسیار مهم است.

1. اضافه کردن یک ستون از اعداد را می توان با جمع کردن اعداد در ستون ابتدا از بالا به پایین و سپس از پایین به بالا بررسی کرد. توجیه این روش تأیید، قانون تعمیم یافته جابجایی و تداعی جمع است.

2. تفریق با اضافه کردن تفاوت با زیرآب بررسی می شود - مینیوند باید به دست آید. منطق این روش تأیید، تعریف عملیات تفریق است.

3. ضرب را می توان با مرتب کردن مجدد ضرب و ضریب بررسی کرد. توجیه این روش تأیید، قانون ضرب جایگزینی است. شما می توانید ضرب را با شکستن ضریب (یا ضرب) به دو جمله، انجام دو عملیات ضرب جداگانه و اضافه کردن محصولات به دست آمده بررسی کنید - باید حاصل ضرب اصلی را بدست آورید.

4. برای بررسی تقسیم، باید ضریب را در مقسوم علیه ضرب کنید و باقیمانده را به حاصل ضرب کنید. باید سود سهام باشد. منطق این روش تأیید، تعریف عملیات تقسیم است.

5. بررسی صحت استخراج یک ریشه مربع (یا مکعبی) شامل بالا بردن عدد حاصل با مربع (یا مکعب) است - عدد اصلی باید بدست آید.

یک روش بسیار ساده و بسیار قابل اعتماد برای بررسی جمع یا ضرب اعداد صحیح، تکنیکی است که انتقال به اصطلاح را نشان می دهد. "مقایسه مدول 9". اجازه دهید باقیمانده مجموع ارقام مورد استفاده برای نوشتن عدد را هنگام تقسیم بر 9، "زیاد" بنامیم. سپس در مورد «مازاد» دو قضیه می‌توان صورت‌بندی کرد: «مازاد بر مجموع اعداد صحیح برابر است با مازاد بر مجموع مازاد بر عبارت‌ها» و «زیاد حاصلضرب دو عدد صحیح برابر است با مازاد بر محصول افراط آنها.» در زیر نمونه هایی از چک های مبتنی بر این قضیه آورده شده است:

روش انتقال به مدول مقایسه 9 نیز می تواند در آزمایش سایر الگوریتم های حسابی مورد استفاده قرار گیرد. البته، چنین چکی خطا نیست، زیرا کار با "افراط" نیز در معرض خطا است، اما چنین وضعیتی بعید است.

علاقه.

درصد کسری است که مخرج آن 100 باشد. بهره را می توان به سه صورت نوشت: به عنوان کسر مشترک، به عنوان کسری اعشاری یا با استفاده از نماد درصد خاص %. برای مثال، 7 درصد را می توان به صورت 7/100، 0.07 یا 7 درصد نوشت.

نمونه‌ای از رایج‌ترین نوع مشکل درصد موارد زیر است: «۱۷٪ از ۸۲ را پیدا کنید». برای حل این مشکل باید حاصل ضرب 0.17ґ82 = 13.94 را محاسبه کنید. در این نوع محصولات، 0.17 نرخ، 82 پایه و 13.94 سهم به صورت درصد بیان می شود. سه کمیت ذکر شده توسط رابطه با یکدیگر مرتبط هستند

نرخ ґ پایه = درصد سهم.

اگر هر دو کمیت شناخته شده باشد، سومی را می توان از این رابطه تعیین کرد. بر این اساس، ما سه نوع مشکل "با استفاده از درصد" دریافت می کنیم.

مثال 1. تعداد دانش آموزان ثبت نام شده در این مدرسه از 351 به 396 افزایش یافت. این عدد چند درصد افزایش داشته است؟

افزایش 396 - 351 = 45 نفر بود. با نوشتن کسر 45/351 به صورت درصد، 45/351 = 0.128 = 12.8٪ به دست می آید.

مثال 2. یک آگهی در فروشگاه در حین فروش می گوید "25٪ تخفیف برای همه اجناس". قیمت فروش کالایی که معمولاً 3.60 دلار به فروش می رسد چقدر است؟

کاهش 25 درصدی قیمت 3.60 دلار به معنای کاهش 0.25-3.60 = 0.90 دلار است. بنابراین، قیمت کالا در حین فروش 3.60 - 0.90 دلار = 2.70 دلار خواهد بود.

مثال 3. پول سپرده شده در بانک با 5% در سال سود 40 دلار در سال به همراه داشت. چه مبلغی به بانک واریز شد؟

از آنجایی که 5٪ از مبلغ 40 دلار است، یعنی. 5/100 ґ مبلغ = 40 دلار، یا 1/100 ґ مبلغ = 8 دلار، مبلغ کل 800 دلار است.

حسابی اعداد تقریبی.

بسیاری از اعداد مورد استفاده در محاسبات یا از اندازه گیری ها یا برآوردها ناشی می شوند و بنابراین فقط می توانند تقریبی در نظر گرفته شوند. بدیهی است که نتیجه محاسبات انجام شده با اعداد تقریبی فقط می تواند یک عدد تقریبی باشد. برای مثال، فرض کنید که اندازه گیری سطح شمارنده نتایج زیر را به همراه دارد (به نزدیکترین دهم متر گرد شده): عرض 1.2 متر، طول 3.1 متر. می توان گفت مساحت پیشخوان 1.2ґ3.1 = 3.72 متر مربع است. با این حال، در واقعیت، اطلاعات به دور از قطعیت است. از آنجایی که مقدار 1.2 متر فقط نشان می دهد که اندازه گیری عرض بین 1.15 و 1.25 متر است و 3.1 نشان می دهد که اندازه گیری طول بین 3.05 تا 3.15 متر است، در مورد مساحت شمارنده فقط می توانیم بگوییم که باید بزرگتر از 1.15ґ3.05 باشد. = 3.5075، اما کمتر از 1.25ґ3.15 = 3.9375. بنابراین، تنها پاسخ منطقی به سؤال در مورد مساحت پیشخوان این است که بگوییم تقریباً 3.7 متر مربع است.

اجازه دهید در ادامه مسئله جمع کردن نتایج اندازه گیری های تقریبی 3.73 متر، 52.1 متر و 0.282 متر را در نظر بگیریم باید بزرگتر از 3.725 + 52.05 + 0.2815 = 56.0565 m و کمتر از 3.735 + 52.15 = 56.1765 m باشد.

دو مثال بالا برخی از قوانین را نشان می دهد که هنگام کار با اعداد تقریبی مفید هستند. راه های مختلفی برای گرد کردن اعداد وجود دارد. یکی از آنها دور انداختن ارقام پایین عدد است. علاوه بر این، اگر اولین رقمی که باید کنار گذاشته شود بیش از پنج باشد، آخرین رقم باقیمانده باید یک عدد افزایش یابد، آنگاه رقم آخر قسمت باقی مانده بدون تغییر باقی می ماند.

اگر اولین رقمی که باید کنار گذاشته شود دقیقاً پنج باشد، آخرین رقمی که باید حفظ شود اگر فرد باشد یک عدد افزایش می یابد و اگر زوج باشد بدون تغییر باقی می ماند. به عنوان مثال، هنگام گرد کردن به نزدیکترین صدم، عدد 3.14159;17.7682; 28,999; 0.00234; 7.235 و 7.325 تبدیل به 3.14; 17.77; 29.00; 0.00; 7.24 و 7.32.

روش دیگر گرد کردن با مفهوم ارقام قابل توجه همراه است و هنگام نوشتن یک عدد توسط ماشین استفاده می شود. ارقام مهم یک عدد تقریبی، ارقامی هستند که در نماد اعشاری آن به ترتیب از چپ به راست، با اولین رقم غیرصفر شروع می‌شوند و با رقمی که در جای اعشار مربوط به خطا قرار دارد، خاتمه می‌یابند. به عنوان مثال، ارقام قابل توجه عدد تقریبی 12.1 اعداد 1، 2، 1 هستند. عدد تقریبی 0.072 – اعداد 7، 2؛ عدد تقریبی 82000 که به نزدیکترین صد نوشته شده است 8، 2، 0 است.

اکنون دو قانون کار با اعداد تقریبی ذکر شده در بالا را فرموله می کنیم.

هنگام جمع و تفریق اعداد تقریبی، هر عدد باید به رقمی که بعد از آخرین رقم کم‌دقت‌ترین عدد است، گرد شود و مجموع و اختلاف حاصل باید به همان تعداد ارقامی که کم‌دقت‌ترین عدد است گرد شود. هنگام ضرب و تقسیم اعداد تقریبی، هر عدد باید به علامتی که در ادامه آخرین رقم معنی‌دار کم‌ترین عدد قرار دارد گرد شود، و حاصل ضرب و ضریب باید با همان دقتی که کمترین عدد مشخص است گرد شود.

با بازگشت به مشکلات قبلاً در نظر گرفته شده، دریافت می کنیم:

1.2ґ3.1 = 3.72 m 2 » 3.7 m 2

3.73 + 52.1 + 0.28 = 56.11 متر مربع 56.1 متر،

جایی که علامت "به معنای "تقریبا برابر" است.

برخی از کتاب‌های درسی حساب الگوریتم‌هایی را برای کار با اعداد تقریبی ارائه می‌کنند که به شما امکان می‌دهند هنگام محاسبه از علائم غیرضروری اجتناب کنید. علاوه بر این، آنها از به اصطلاح استفاده می کنند. ثبت اعداد تقریبی، یعنی هر عددی به شکل (عددی در محدوده 1 تا 10) ґ (قدرت 10) نشان داده می شود، که در آن عامل اول فقط شامل ارقام مهم عدد است. به عنوان مثال، 82000 کیلومتر، به نزدیکترین صد کیلومتر گرد شده، به عنوان 8.20×10 4 کیلومتر، و 0.00702 سانتی متر به عنوان 7.02ґ10-3 سانتی متر نوشته می شود.

اعداد در جداول ریاضی، جداول مثلثاتی یا لگاریتمی تقریبی هستند که با تعداد مشخصی علامت نوشته می شوند. هنگام کار با چنین جداول، باید قوانین مربوط به محاسبات را با اعداد تقریبی دنبال کنید.

لگاریتم ها

در آغاز قرن هفدهم. پیچیدگی مسائل محاسباتی کاربردی به قدری افزایش یافته است که به دلیل کار و زمان زیاد، امکان مقابله با آنها "به صورت دستی" وجود ندارد. خوشبختانه، به موقع توسط J. Napier در آغاز قرن هفدهم اختراع شد. لگاریتم ها این امکان را فراهم کردند که با مشکلی که به وجود آمد کنار بیایید. از آنجایی که تئوری و کاربردهای لگاریتم در یک مقاله ویژه LOGARITHM به تفصیل شرح داده شده است، ما فقط به ضروری ترین اطلاعات محدود می شویم.

می توان نشان داد که اگر nیک عدد واقعی مثبت است، سپس یک عدد واقعی مثبت منحصر به فرد وجود دارد ایکس، به طوری که 10 ایکس = n. عدد ایکسنامیده می شود (منظم یا اعشاری) لگاریتمشماره n; به طور معمول اینگونه نوشته می شود: ایکس= ورود n. بنابراین، لگاریتم یک توان است و از قوانین عملیات با نماها چنین می شود که

این ویژگی های لگاریتم است که کاربرد گسترده آنها را در حساب توضیح می دهد. ویژگی های اول و دوم به ما این امکان را می دهد که هر مسئله ضرب و تقسیم را به یک مسئله جمع و تفریق ساده تر کاهش دهیم. ویژگی های سوم و چهارم امکان کاهش قدرت و استخراج ریشه را به عملیات بسیار ساده تر می دهد: ضرب و تقسیم.

برای سهولت استفاده از لگاریتم ها جداول آن ها گردآوری شده است. برای تهیه جدول لگاریتم های اعشاری کافی است که فقط لگاریتم های اعداد از 1 تا 10 را شامل شود. به عنوان مثال، از 247.6 = 10 2 ґ2.476، داریم: log247.6 = log10 2 + log2.476 = 2 + log2.476، و از آنجایی که 0.02476 = 10 –2 ґ2.476، سپس log0.02476 = log10 –2 + log2.476 = –2 + log2.476. توجه داشته باشید که لگاریتم اعشاری یک عدد بین 1 تا 10 بین 0 و 1 قرار دارد و می توان آن را به صورت اعشاری نوشت. نتیجه این است که لگاریتم اعشاری هر عددی مجموع یک عدد صحیح است که مشخصه لگاریتم نامیده می شود و یک کسر اعشاری به نام مانتیس لگاریتم. ویژگی لگاریتم هر عددی را می توان "در ذهن" یافت. مانتیس را باید با استفاده از جداول لگاریتم پیدا کرد. برای مثال، از جداول دریافتیم که log2.476 = 0.39375، از این رو log247.63 = 2.39375. اگر مشخصه لگاریتم منفی باشد (زمانی که عدد کمتر از یک باشد)، بهتر است آن را به عنوان تفاوت دو عدد صحیح مثبت نشان دهیم، برای مثال log0.02476 = -2 + 0.39375 = 8.39375 - 10. مثال های زیر این تکنیک را توضیح می دهند.

ادبیات:

تاریخ ریاضیات از دوران باستان تا اوایل XIX V.، ج. 1-3. M.، 1970-1972.
Serre J.-P. درس حساب. م.، 1972
نچایف V.I. سیستم های عددی. م.، 1975
Dahan-Dalmedico A.، Peiffer J . راه ها و هزارتوها. انشا در مورد تاریخ ریاضیات. م.، 1986
انگلر ای. ریاضیات ابتدایی. م.، 1987

دایره نشان داد که چگونه می توانید ریشه های مربع را در یک ستون استخراج کنید. می توانید ریشه را با دقت دلخواه محاسبه کنید، هر تعداد رقم را در نماد اعشاری آن بیابید، حتی اگر غیرمنطقی باشد. الگوریتم به خاطر سپرده شد، اما سؤالات باقی ماند. معلوم نبود این روش از کجا آمده و چرا نتیجه درستی داده است. در کتاب ها نبود، یا شاید من فقط در کتاب های اشتباهی نگاه می کردم. در پایان، مانند بسیاری از چیزهایی که امروز می دانم و می توانم انجام دهم، خودم به آن رسیدم. من دانش خود را در اینجا به اشتراک می گذارم. به هر حال، من هنوز نمی دانم که منطق الگوریتم کجا آمده است)))

بنابراین، ابتدا با یک مثال به شما می گویم "چگونه سیستم کار می کند" و سپس توضیح می دهم که چرا واقعاً کار می کند.

بیایید یک عدد را در نظر بگیریم (عدد "خارج از آبی" گرفته شد، فقط به ذهنم آمد).

1. اعداد آن را به جفت تقسیم می کنیم: آنهایی که در سمت چپ نقطه اعشار قرار دارند از راست به چپ دو گروه و آنهایی که در سمت راست هستند از چپ به راست دو گروه می شوند. دریافت می کنیم.

2. ما جذر را از اولین گروه از اعداد سمت چپ استخراج می کنیم - در مورد ما اینطور است (معلوم است که ممکن است ریشه دقیق استخراج نشود، عددی را می گیریم که مربع آن تا حد ممکن به عدد ما نزدیک باشد. گروه اول اعداد، اما از آن تجاوز نمی کند). در مورد ما این یک عدد خواهد بود. ما پاسخ را یادداشت می کنیم - این مهم ترین رقم ریشه است.

3. عددی را که قبلاً در پاسخ وجود دارد - این - مربع می کنیم و آن را از اولین گروه اعداد سمت چپ - از عدد کم می کنیم. در مورد ما باقی می ماند.

4. گروه دو عدد زیر را به سمت راست اختصاص می دهیم: . عددی را که از قبل در پاسخ آمده ضرب می کنیم و به دست می آوریم.

5. حالا با دقت تماشا کن باید یک رقم را به عدد سمت راست اختصاص دهیم و عدد را در همان رقم اختصاص داده شده ضرب کنیم. نتیجه باید تا حد امکان نزدیک باشد، اما باز هم بیشتر از این عدد نباشد. در مورد ما، این عدد خواهد بود، آن را در پاسخ کنار، سمت راست می نویسیم. این رقم بعدی در نماد اعشاری ریشه مربع ما است.

6. از تفریق حاصلضرب به دست می آید.

7. سپس عملیات آشنا را تکرار می کنیم: گروه ارقام زیر را به سمت راست اختصاص می دهیم، در عدد حاصل ضرب می کنیم > یک رقم را به سمت راست اختصاص می دهیم، به طوری که وقتی در آن ضرب می شود، عددی کوچکتر از، اما نزدیکترین به دست می آوریم. به آن - این رقم بعدی در نماد ریشه اعشاری است.

محاسبات به صورت زیر نوشته خواهد شد:

و حالا توضیح وعده داده شده. الگوریتم بر اساس فرمول است

نظرات: 51

1. 2 آنتون:

   بیش از حد آشفته و گیج کننده. همه چیز را نقطه به نقطه مرتب کنید و آنها را شماره گذاری کنید. به علاوه: توضیح دهید که در هر عمل کجا را جایگزین می کنیم مقادیر مورد نیاز. من قبلاً هرگز ریشه ریشه را محاسبه نکرده بودم - فهمیدن آن برایم سخت بود.

2. 5 جولیا:

3. 6 :

   یولیا، 23 ساله این لحظهدر سمت راست نوشته شده است، این دو رقم اول (در سمت چپ) هستند که قبلاً از ریشه در پاسخ به دست آمده اند. طبق الگوریتم در 2 ضرب کنید. مراحل توضیح داده شده در بند 4 را تکرار می کنیم.

4. 7 zzz:

   خطا در "6. از 167 حاصل ضرب 43 * 3 = 123 (129 نادا) را کم می کنیم، 38 می گیریم.
   نفهمیدم چطوری بعد از اعشار 08 شد...

5. 9 فدوتوف الکساندر:

   و حتی در دوره قبل از ماشین حساب، در مدرسه نه تنها ریشه مربع، بلکه ریشه مکعب در یک ستون را نیز یاد می‌گرفتیم، اما این کار خسته‌کننده‌تر و پر زحمت‌تر بود. استفاده از جداول برادیس یا قانون اسلاید، که قبلاً در دبیرستان مطالعه کرده بودیم، ساده تر بود.

6. 10 :

   الکساندر، حق با شماست، می توانید ریشه های قدرت های بزرگ را در یک ستون استخراج کنید. من قصد دارم فقط در مورد چگونگی پیدا کردن ریشه مکعب بنویسم.

7. 12 سرگئی والنتینوویچ:

   الیزاوتا الکساندرونای عزیز! در اواخر دهه 70، من طرحی را برای محاسبه خودکار (یعنی نه با انتخاب) کوادرا ایجاد کردم. روت در دستگاه افزودن فلیکس. اگر علاقه مند هستید، می توانم توضیحات را برای شما ارسال کنم.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   ((( استخراج جذر ستون )))
   اگر از سیستم شماره 2 استفاده کنید که در علوم کامپیوتر مطالعه می شود، اما در ریاضیات نیز مفید است، الگوریتم ساده می شود. A.N. کولموگروف این الگوریتم را در سخنرانی های محبوب برای دانش آموزان ارائه کرد. مقاله او را می توان در "مجموعه چبیشف" یافت (مجله ریاضی، به دنبال پیوند آن در اینترنت باشید)
   اتفاقاً بگو:
   G. Leibniz در یک زمان با ایده انتقال از سیستم اعداد دهم به سیستم باینری به دلیل سادگی و دسترسی آن برای مبتدیان (دانش آموزان ابتدایی) بازی می کرد. اما شکستن سنت های ثابت مانند شکستن دروازه قلعه با پیشانی است: ممکن است، اما بی فایده است. بنابراین، همانطور که به قول معروف ترین فیلسوف ریشو در قدیم، معلوم می شود: سنت های همه نسل های مرده، آگاهی زندگان را سرکوب می کند.

   تا دفعه بعد.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   )) سرگئی والنتینوویچ، بله، من علاقه مندم...((

   شرط می بندم که این یک تغییر در "فلیکس" روش بابلی برای استخراج شوالیه مربع با استفاده از روش تقریب های متوالی است. این الگوریتم با روش نیوتن (روش مماس) پوشش داده شد.

   نمی دانم آیا در پیش بینی خود اشتباه کرده ام؟

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    بله، الگوریتم در باینری باید ساده‌تر باشد، این کاملا واضح است.

    درباره روش نیوتن شاید این درست باشد، اما هنوز هم جالب است

11. 20 کریل:

    خیلی ممنون. اما هنوز هیچ الگوریتمی وجود ندارد، هیچ کس نمی داند از کجا آمده است، اما نتیجه درست است. خیلی ممنون! من خیلی وقته دنبال این بودم)

12. 21 اسکندر:

    چگونه ریشه را از عددی که گروه دوم از چپ به راست بسیار کوچک است استخراج می کنید؟ به عنوان مثال، شماره مورد علاقه همه 4,398,046,511,104 است. پس از اولین تفریق، نمی توان همه چیز را طبق الگوریتم ادامه داد. میشه توضیح بدید لطفا

13. 22 الکسی:

    بله من این روش را می شناسم. یادم می آید که آن را در کتاب «جبر» چند نسخه قدیمی خواندم. سپس به قیاس، خود او چگونگی استخراج ریشه مکعب را در یک ستون استنباط کرد. اما اینجا از قبل پیچیده‌تر است: هر رقم نه با یک (مثل یک مربع)، بلکه با دو تفریق تعیین می‌شود، و حتی در آنجا باید هر بار اعداد طولانی را ضرب کنید.

14. 23 آرتم:

    در مثال استخراج جذر 56789.321 اشتباه تایپی وجود دارد. گروه اعداد 32 دو بار به اعداد 145 و 243 اختصاص داده می شود، در عدد 2388025 باید 8 دوم با 3 جایگزین شود سپس آخرین تفریق به صورت زیر نوشته شود: 2431000 – 2383025 = 47975.
    علاوه بر این، هنگام تقسیم باقی مانده بر مقدار دو برابر شده پاسخ (بدون در نظر گرفتن کاما)، تعداد دیگری از ارقام قابل توجه (47975/(2*238305) = 0.100658819...) به دست می آید که باید به آن اضافه شود. پاسخ (√56789.321 = 238.305... = 238.305100659).

15. 24 سرگئی:

    ظاهراً الگوریتم از کتاب آیزاک نیوتن "حساب عمومی یا کتابی در سنتز و تحلیل حسابی" آمده است. در اینجا گزیده ای از آن آمده است:

    در مورد استخراج ریشه

    برای استخراج جذر یک عدد، اول از همه باید یک نقطه را بالای ارقام آن قرار دهید و از یکها شروع کنید. سپس باید عددی را که مربع آن با اعداد یا عدد قبل از نقطه اول مساوی یا نزدیکترین آن باشد را در ضریب یا رادیکال بنویسید. پس از تفریق این مربع، ارقام باقیمانده ریشه به ترتیب با تقسیم باقیمانده بر دو برابر مقدار ریشه استخراج شده و هر بار از باقیمانده مربع آخرین رقم یافت شده و حاصلضرب ده برابری آن با تفریق یافت می شود. مقسوم علیه نام برده شده

16. 25 سرگئی:

    لطفا عنوان کتاب "حساب عمومی یا کتابی در مورد ترکیب و تحلیل حسابی" را نیز اصلاح کنید.

17. 26 اسکندر:

    با تشکر از مطالب جالب اما این روش به نظر من تا حدودی پیچیده تر از آنچه برای مثال برای یک دانش آموز لازم است، به نظر می رسد. من از روش ساده تری استفاده می کنم که مبتنی بر بسط یک تابع درجه دوم با استفاده از دو مشتق اول است. فرمول آن این است:
    sqrt(x)= A1+A2-A3، که در آن
    A1 عدد صحیحی است که مربع آن به x نزدیک است.
    A2 کسری است، صورت آن x-A1 است، مخرج آن 2*A1 است.
    برای اکثر اعدادی که در یک دوره آموزشی با آن مواجه می شوند، این برای رسیدن به نتیجه دقیق به صدم کافی است.
    اگر به نتیجه دقیق تری نیاز دارید، مصرف کنید
    A3 کسری است، صورت آن مربع A2، مخرج 2*A1+1 است.
    البته برای استفاده از آن به جدول مربع های اعداد صحیح نیاز دارید، اما در مدرسه این مشکلی نیست. به خاطر سپردن این فرمول بسیار ساده است.
    با این حال، من را گیج می کند که من A3 را به طور تجربی در نتیجه آزمایشات با یک صفحه گسترده به دست آوردم و کاملاً نمی دانم که چرا این عضو چنین ظاهری دارد. شاید شما راهنماییم کنید؟

18. 27 اسکندر:

    بله، من هم این ملاحظات را در نظر گرفته ام، اما شیطان در جزئیات است. شما می نویسید:
    "از آنجایی که a2 و b تفاوت کمی دارند." سوال این است که دقیقا چقدر کم است.
    این فرمول روی اعداد ده دوم به خوبی کار می کند و خیلی بدتر (نه تا صدم، فقط تا دهم) روی اعداد ده اول. درک اینکه چرا این اتفاق می افتد بدون استفاده از مشتقات دشوار است.

19. 28 اسکندر:

    من آنچه را که به عنوان مزیت فرمولی که پیشنهاد می کنم را روشن خواهم کرد. این نیازی به تقسیم نه کاملا طبیعی اعداد به جفت ارقام ندارد، که، همانطور که تجربه نشان می دهد، اغلب با خطا انجام می شود. معنای آن واضح است، اما برای یک فرد آشنا به تحلیل، پیش پا افتاده است. روی اعداد از 100 تا 1000 که رایج ترین اعدادی هستند که در مدرسه با آن مواجه می شوند، به خوبی کار می کند.

20. 29 اسکندر:

    به هر حال، من کمی حفاری انجام دادم و عبارت دقیق A3 را در فرمول خود پیدا کردم:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 واسیل استریژاک:

    در زمان ما، با استفاده گسترده از فناوری رایانه، مسئله استخراج شوالیه مربع از یک عدد از نظر عملی ارزش آن را ندارد. اما برای دوستداران ریاضیات بدون شک گزینه های مختلفی برای حل این مشکل جالب خواهد بود. که در برنامه آموزشی مدرسهروش این محاسبه بدون دخالت وجوه اضافی باید برابر با ضرب و تقسیم به یک ستون باشد. الگوریتم محاسبه نه تنها باید حفظ شود، بلکه باید قابل درک باشد. روش کلاسیک که در این مطالب برای بحث با افشای ماهیت ارائه شده است، کاملاً با معیارهای فوق مطابقت دارد.
    یک اشکال قابل توجه روش پیشنهاد شده توسط الکساندر استفاده از جدول مربع های اعداد صحیح است. نویسنده در مورد اکثر اعدادی که در دوره مدرسه با آنها مواجه می شود سکوت می کند. در مورد فرمول، به طور کلی به دلیل دقت نسبتاً بالای محاسبات، آن را دوست دارم.

22. 31 اسکندر:

    برای 30 واسیل stryzhak
    من چیزی را ساکت نکردم. جدول مربع ها قرار است تا 1000 باشد. در زمان من در مدرسه آنها آن را به سادگی از روی قلب یاد می گرفتند و در تمام کتاب های درسی ریاضی وجود داشت. من به صراحت این فاصله را نام بردم.
    در مورد فناوری رایانه، عمدتاً در درس ریاضیات استفاده نمی شود، مگر اینکه موضوع استفاده از ماشین حساب به طور خاص مورد بحث قرار گیرد. اکنون ماشین‌حساب‌ها در دستگاه‌هایی تعبیه شده‌اند که استفاده از آنها در آزمون یکپارچه دولتی ممنوع است.

23. 32 واسیل استریژاک:

    الکساندر، متشکرم برای توضیح، من فکر کردم که برای روش پیشنهادی، از نظر تئوری لازم است جدولی از مربع های همه اعداد دو رقمی را به خاطر بسپارید یا از آن استفاده کنید، سپس برای اعداد رادیکالی که در بازه 100 تا 10000 گنجانده نشده اند از تکنیک افزایش یا کاهش آنها به تعداد مرتبه های قدر مورد نیاز با حرکت نقطه اعشار استفاده کنید.

24. 33 وسیل استریژاک:

25. 39 الکساندر:

    اولین برنامه من به زبان IAMB بر روی ماشین شوروی "ISKRA 555" برای استخراج ریشه مربع یک عدد با استفاده از الگوریتم استخراج ستون نوشته شد! و الان یادم رفته چطوری به صورت دستی اکسترکت کنم!