Euklidski algoritam - pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja. Pronalaženje GCD pomoću Euklidovog algoritma i korištenjem prostih faktora Kvadratni korijen korištenjem Euklidove metode

Euklidov algoritam je algoritam za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) para cijelih brojeva.

Najveći zajednički djelitelj (GCD) je broj koji dijeli dva broja bez ostatka i sam je djeljiv bez ostatka s bilo kojim drugim djeliteljem data dva broja. Jednostavno rečeno, ovo je najveći broj kojim se dva broja za koja se traži gcd mogu podijeliti bez ostatka.

Algoritam za pronalaženje GCD po dijeljenju

1. Podijelite veći broj manjim brojem.
2. Ako se podijeli bez ostatka, tada je manji broj GCD (trebalo bi izaći iz ciklusa).
3. Ako postoji ostatak, onda zamijenite veći broj ostatkom dijeljenja.
4. Pređimo na tačku 1.

primjer:
Pronađite gcd za 30 i 18.
30 / 18 = 1 (ostatak 12)
18 / 12 = 1 (ostatak 6)
12 / 6 = 2 (ostatak 0)
Kraj: GCD je djelitelj od 6.
GCD(30, 18) = 6

a = 50 b = 130 dok je a != 0 i b != 0 : ako je a > b: a = a % b ostalo : b = b % a print (a + b)

U petlji, ostatak dijeljenja se upisuje u varijablu a ili b. Petlja se završava kada je barem jedna od varijabli nula. To znači da drugi sadrži gcd. Međutim, ne znamo koji tačno. Stoga, za GCD nalazimo zbir ovih varijabli. Pošto je jedna od varijabli nula, to nema utjecaja na rezultat.

Algoritam za pronalaženje GCD oduzimanjem

1. Oduzmite manji broj od većeg broja.
2. Ako je rezultat 0, to znači da su brojevi jednaki jedan drugom i da su GCD (trebalo bi izaći iz petlje).
3. Ako rezultat oduzimanja nije jednak 0, tada zamijenite veći broj rezultatom oduzimanja.
4. Pređimo na tačku 1.

primjer:
Pronađite gcd za 30 i 18.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Kraj: GCD je minuend ili subtrahend.
GCD(30, 18) = 6

a = 50 b = 130 dok a != b: ako je a > b: a = a - b ostalo : b = b - otisak (a)

Ovaj članak je o pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja (GCD) dva ili više brojeva. Prvo, pogledajmo Euklid algoritam; on vam omogućava da pronađete gcd dva broja. Nakon ovoga, fokusirat ćemo se na metodu koja nam omogućava da izračunamo gcd brojeva kao proizvod njihovih zajedničkih prostih faktora. Zatim ćemo pogledati pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja tri ili više brojeva, a također ćemo dati primjere izračunavanja gcd negativnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Euklidski algoritam za pronalaženje GCD

Imajte na umu da da smo se od samog početka okrenuli tabeli prostih brojeva, saznali bismo da su brojevi 661 i 113 prosti brojevi, iz kojih bismo odmah mogli reći da je njihov najveći zajednički djelitelj 1.

odgovor:

GCD(661, 113)=1.

Pronalaženje GCD-a rastavljanjem brojeva u proste faktore

Razmotrimo još jedan način da pronađemo GCD. Najveći zajednički djelitelj može se naći rastavljanjem brojeva u proste faktore. Hajde da formulišemo pravilo: gcd dva pozitivna cijela broja a i b jednak je proizvodu svih zajedničkih prostih faktora koji se nalaze u prostim faktorizacijama brojeva a i b.

Dajemo primjer da objasnimo pravilo za pronalaženje GCD. Upoznajmo dekompozicije brojeva 220 i 600 na proste faktore, oni imaju oblik 220=2·2·5·11 i 600=2·2·2·3·5·5. Uobičajeni prosti činioci uključeni u faktoring brojeva 220 i 600 su 2, 2 i 5. Dakle, GCD(220, 600)=2·2·5=20.

Dakle, ako brojeve a i b razložimo u proste faktore i nađemo proizvod svih njihovih zajedničkih faktora, onda će se naći najveći zajednički djelitelj brojeva a i b.

Razmotrimo primjer pronalaženja GCD prema navedenom pravilu.

Primjer.

Pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva 72 i 96.

Rješenje.

Razložimo brojeve 72 i 96 u proste faktore:

To jest, 72=2·2·2·3·3 i 96=2·2·2·2·2·3. Uobičajeni prosti faktori su 2, 2, 2 i 3. Dakle, GCD(72, 96)=2·2·2·3=24.

odgovor:

GCD(72, 96)=24 .

U zaključku ovog paragrafa napominjemo da valjanost gornjeg pravila za pronalaženje GCD proizlazi iz svojstva najvećeg zajedničkog djelitelja, koje glasi da GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), gdje je m bilo koji pozitivan cijeli broj.

Pronalaženje gcd tri ili više brojeva

Pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja tri ili više brojeva može se svesti na sekvencijalno pronalaženje gcd dva broja. To smo spomenuli kada smo proučavali svojstva GCD. Tamo smo formulirali i dokazali teoremu: najveći zajednički djelitelj nekoliko brojeva a 1, a 2, ..., a k jednak je broju d k, koji se nalazi sekvencijalnim izračunavanjem GCD(a 1, a 2)=d 2 , GCD(d 2, a 3) =d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4,..., GCD(d k-1, a k)=d k.

Pogledajmo kako izgleda proces pronalaženja gcd nekoliko brojeva gledajući rješenje primjera.

Primjer.

Pronađite najveći zajednički faktor četiri broja 78, 294, 570 i 36.

Rješenje.

U ovom primjeru, a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

Prvo, koristeći Euklidov algoritam, određujemo najveći zajednički djelitelj d 2 prva dva broja 78 i 294. Prilikom dijeljenja dobijamo jednakosti 294 = 78 3 + 60 ; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 i 18=6·3. Dakle, d 2 =GCD(78, 294)=6.

Sada izračunajmo d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). Ponovo primijenimo Euklidski algoritam: 570=6·95, dakle, d 3 = GCD(6, 570)=6.

Ostaje izračunati d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). Pošto je 36 deljivo sa 6, onda je d 4 = GCD(6, 36) = 6.

Dakle, najveći zajednički djelitelj četiri data broja je d 4 =6, odnosno gcd(78, 294, 570, 36)=6.

odgovor:

GCD(78, 294, 570, 36)=6 .

Faktoring brojeva u proste faktore takođe vam omogućava da izračunate gcd tri ili više brojeva. U ovom slučaju, najveći zajednički djelitelj se nalazi kao proizvod svih zajedničkih prostih faktora datih brojeva.

Primjer.

Izračunajte gcd brojeva iz prethodnog primjera koristeći njihove osnovne faktorizacije.

Rješenje.

Razložimo brojeve 78, 294, 570 i 36 u proste činioce, dobićemo 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 ·3· 3. Zajednički prosti faktori za sva ova četiri broja su brojevi 2 i 3. dakle, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

U predgovoru svom prvom izdanju „U kraljevstvu domišljatosti“ (1908.), E. I. Ignatiev piše: „... intelektualna inicijativa, brza dosjetljivost i „genijalnost“ ne mogu se nikome „ubušiti“ ili „ubaciti“ u glavu. Rezultati su pouzdani samo kada je uvod u oblast matematičkih znanja napravljen na lak i prijatan način, koristeći predmete i primjere iz običnih i svakodnevnih situacija, odabranih uz odgovarajuću duhovitost i zabavu.”

U predgovoru izdanju iz 1911. „Uloga pamćenja u matematici“ E.I. Ignatiev piše “...u matematici ne treba pamtiti formule, već proces razmišljanja.”

Da biste izdvojili kvadratni korijen, postoje tablice kvadrata za dvocifrene brojeve; možete rastaviti broj na proste faktore i izvući kvadratni korijen proizvoda. Tablica kvadrata ponekad nije dovoljna; izdvajanje korijena faktoringom je dugotrajan zadatak, koji također ne vodi uvijek do željenog rezultata. Pokušajte uzeti kvadratni korijen od 209764? Faktorisanjem u proste faktore dobije se proizvod 2*2*52441. Pokusom i greškom, odabirom - to se, naravno, može učiniti ako ste sigurni da je to cijeli broj. Metoda koju želim da predložim vam omogućava da uzmete kvadratni koren u svakom slučaju.

Nekada davno u institutu (Permski državni pedagoški institut) upoznali smo se sa ovom metodom, o kojoj sada želim da pričam. Nikada se nisam pitao da li ova metoda ima dokaz, pa sam sada morao sam da izvedem neke od dokaza.

Osnova ove metode je sastav broja =.

=&, tj. & 2 =596334.

1. Podijelite broj (5963364) u parove s desna na lijevo (5`96`33`64)

2. Izdvojite kvadratni korijen prve grupe na lijevoj strani ( - broj 2). Ovako dobijamo prvu cifru &.

3. Pronađite kvadrat prve cifre (2 2 =4).

4. Pronađite razliku između prve grupe i kvadrata prve cifre (5-4=1).

5. Skidamo sljedeće dvije cifre (dobijemo broj 196).

6. Udvostručite prvu cifru koju smo pronašli i upišite je lijevo iza linije (2*2=4).

7. Sada moramo pronaći drugu cifru broja &: udvostručiti prvu cifru koju smo pronašli postaje cifra desetice broja, koji kada se pomnoži sa brojem jedinica, treba da dobijete broj manji od 196 (ovo je broj 4, 44*4=176). 4 je druga znamenka &.

8. Pronađite razliku (196-176=20).

9. Rušimo sljedeću grupu (dobijamo broj 2033).

10. Udvostručite broj 24, dobijamo 48.

U broju ima 11,48 desetica, kada se pomnoži sa brojem jedinica, trebalo bi da dobijemo broj manji od 2033 (484*4=1936). Broj jedinica koje smo pronašli (4) je treća znamenka broja &.

Dao sam dokaze za sljedeće slučajeve:

1. Izdvajanje kvadratnog korijena trocifrenog broja;

2. Izdvajanje kvadratnog korijena četverocifrenog broja.

Približne metode za vađenje kvadratnih korijena (bez korištenja kalkulatora).

1. Stari Babilonci su koristili sljedeću metodu da pronađu približnu vrijednost kvadratnog korijena njihovog broja x. Predstavili su broj x kao zbir a 2 + b, gdje je a 2 tačan kvadrat prirodnog broja a (a 2 ? x) najbliži broju x, i koristili su formulu . (1)

Koristeći formulu (1), izvlačimo kvadratni korijen, na primjer, iz broja 28:

Rezultat vađenja korijena od 28 pomoću MK je 5,2915026.

Kao što vidite, babilonska metoda daje dobru aproksimaciju tačne vrijednosti korijena.

2. Isak Newton je razvio metodu za uzimanje kvadratnih korijena koja datira još od Herona od Aleksandrije (oko 100. godine nove ere). Ova metoda (poznata kao Newtonova metoda) je sljedeća.

Neka a 1- prva aproksimacija broja (kao 1 možete uzeti vrijednosti kvadratnog korijena prirodnog broja - tačan kvadrat koji ne prelazi X) .

Dalje, preciznija aproksimacija a 2 brojevi pronađen po formuli .

Od davnina je rad s brojevima podijeljen u dvije različite oblasti: jedno se direktno ticalo svojstava brojeva, drugo je bilo povezano s tehnikama brojanja. Pod "aritmetikom" se u mnogim zemljama obično misli na ovo drugo polje, koje je nesumnjivo najstarija grana matematike.

Očigledno, najveća poteškoća za drevne kalkulatore bio je rad sa razlomcima. To se može vidjeti iz Ahmesovog papirusa (koji se naziva i Rhind papirus), starog egipatskog rada o matematici koji datira oko 1650. godine prije Krista. Svi razlomci spomenuti u papirusu, sa izuzetkom 2/3, imaju brojioce jednake 1. Teškoća rukovanja razlomcima je također primjetna kada se proučavaju drevne babilonske klinaste ploče. I stari Egipćani i Babilonci su očito izvodili proračune koristeći neki oblik abakusa. Nauka o brojevima dobila je značajan razvoj među starim Grcima počevši od Pitagore, oko 530. godine prije Krista. Što se tiče same tehnologije računanja, Grci su na ovom području mnogo manje radili.

Kasniji Rimljani, naprotiv, nisu dali praktički nikakav doprinos nauci o brojevima, ali su na osnovu potreba brzog razvoja proizvodnje i trgovine unaprijedili abakus kao uređaj za brojanje. Vrlo malo se zna o poreklu indijske aritmetike. Do nas je došlo tek nekoliko kasnijih radova o teoriji i praksi operacija brojeva, napisanih nakon što je indijski pozicioni sistem poboljšan uključivanjem nule u njega. Kada se to tačno dogodilo, ne znamo sa sigurnošću, ali tada su postavljeni temelji za naše najčešće aritmetičke algoritme.

Indijski brojevni sistem i prve aritmetičke algoritme posudili su Arapi. Najraniji postojeći arapski udžbenik aritmetike napisao je al-Khwarizmi oko 825. godine. U njemu se široko koriste i objašnjavaju indijski brojevi. Ovaj udžbenik je kasnije preveden na latinski i imao je značajan uticaj na Zapadnu Evropu. Iskrivljena verzija imena al-Khwarizmi došla je do nas u riječi "algorizam", koja, kada se dalje pomiješa s grčkom riječi aritmos postao termin "algoritam".

Indoarapska aritmetika postala je poznata u zapadnoj Evropi uglavnom zahvaljujući radu L. Fibonaccija Knjiga abakusa (Liber abaci, 1202). Abacist metoda je ponudila pojednostavljenja slična upotrebi našeg pozicionog sistema, barem za sabiranje i množenje. Abaciste su zamijenili algoritmi koji su koristili nulu i arapsku metodu dijeljenja i vađenja kvadratnog korijena. Jedan od prvih aritmetičkih udžbenika, čiji nam je autor nepoznat, objavljen je u Trevizu (Italija) 1478. godine. Bavio se proračunima pri obavljanju trgovačkih transakcija. Ovaj udžbenik je postao prethodnik mnogih udžbenika aritmetike koji su se pojavili naknadno. Sve do početka 17. vijeka. U Evropi je objavljeno više od tri stotine ovakvih udžbenika. Aritmetički algoritmi su značajno poboljšani tokom ovog vremena. U 16.–17. veku. Pojavili su se simboli za aritmetičke operacije, kao što su =, +, -, ´, ë i .

Mehanizacija aritmetičkih proračuna.

Kako se društvo razvijalo, tako je rasla i potreba za bržim i preciznijim proračunima. Ova potreba dovela je do četiri izuzetna izuma: indoarapskih brojeva, decimala, logaritma i modernih računarskih mašina.

Zapravo, najjednostavniji računski uređaji postojali su prije pojave moderne aritmetike, jer su se u antičko doba elementarne računske operacije izvodile na abakusu (u Rusiji su se u tu svrhu koristili abakusi). Najjednostavniji savremeni računarski uređaj može se smatrati kliznim pravilom, koje se sastoji od dvije logaritamske skale koje klize jedna uz drugu, što omogućava množenje i dijeljenje sabiranjem i oduzimanjem segmenata skale. B. Pascal (1642) smatra se izumiteljem prve mehaničke mašine za sabiranje. Kasnije u istom veku, G. Leibniz (1671) u Nemačkoj i S. Moreland (1673) u Engleskoj izumeli su mašine za obavljanje množenja. Ove mašine postale su prethodnici desktop računarskih uređaja (aritmometara) 20. veka, koji su omogućili brzo i precizno izvođenje operacija sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja.

Godine 1812. engleski matematičar C. Babbage počeo je stvarati dizajn za mašinu za izračunavanje matematičkih tablica. Iako je rad na projektu nastavljen dugi niz godina, ostao je nedovršen. Ipak, Babbageov projekat poslužio je kao poticaj za stvaranje modernih elektronskih računara, čiji su se prvi primjeri pojavili oko 1944. Brzina ovih mašina bila je nevjerovatna: uz njihovu pomoć, za nekoliko minuta ili sati bilo je moguće riješiti probleme koji su prije zahtijevali dugi niz godina kontinuiranih proračuna, čak i uz korištenje mašina za sabiranje.

Pozitivni cijeli brojevi.

Neka A I B su dva konačna skupa koja nemaju zajedničkih elemenata, i neka A sadrži n elementi, i B sadrži m elementi. Onda mnogi S, koji se sastoji od svih elemenata skupova A I B, zajedno, je konačan skup koji sadrži, recimo, s elementi. Na primjer, ako A sastoji se od elemenata ( a, b, c), gomila IN– od elemenata ( x, y), zatim set S=A+B i sastoji se od elemenata ( a, b, c, x, y). Broj s pozvao iznos brojevi n I m, a mi to pišemo ovako: s = n + m. U ovom unosu brojevi n I m su pozvani uslovi, operacija nalaženja sume – dodatak. Simbol operacije "+" čita se kao "plus". Gomila P, koji se sastoji od svih uređenih parova u kojima se bira prvi element iz skupa A, a drugi je iz kompleta B, je konačan skup koji sadrži, recimo, str elementi. Na primjer, ako, kao i prije, A = {a, b, c}, B = {x, y), To P=AґB = {(a,x), (a,y), (b,x), (b,y), (c,x), (c,y)). Broj str pozvao rad brojevi a I b, a mi to pišemo ovako: p = aґb ili p = a×b. Brojevi a I b u radu se zovu množitelji, operacija pronalaženja proizvoda – množenje. Simbol operacije ´ se čita kao "pomnoženo sa."

Može se pokazati da iz ovih definicija slijede sljedeći osnovni zakoni sabiranja i množenja cijelih brojeva:

– zakon komutativnog sabiranja: a + b = b + a;

– zakon asocijativnog sabiranja: a + (b + c) = (a + b) + c;

– zakon komutativnog množenja: aґb = bґa;

– zakon asocijativnosti množenja: aґ(bґc) = (aґb)ґc;

– zakon distributivnosti: aґ(b + c)= (aґb) + (aґc).

Ako a I b– dva pozitivna cijela broja i ako postoji pozitivan cijeli broj c, takav da a = b + c, onda to kažemo a više b(ovo je napisano ovako: a>b), ili šta b manje a(ovo je napisano ovako: b). Za bilo koja dva broja a I b važi jedan od tri odnosa: bilo a = b, ili a>b, ili a.

Prva dva fundamentalna zakona kažu da zbir dva ili više pojmova ne zavisi od toga kako su grupisani ili kojim redosledom su raspoređeni. Slično, iz trećeg i četvrtog zakona proizilazi da proizvod dva ili više faktora ne zavisi od toga kako su faktori grupirani ili kakav je njihov redosled. Ove činjenice su poznate kao "generalizovani zakoni komutativnosti i asocijativnosti" sabiranja i množenja. Iz njih proizilazi da je kod pisanja zbira više članova ili umnožaka više faktora redoslijed pojmova i faktora nebitan i da se zagrade mogu izostaviti.

Konkretno, ponovljeni iznos a + a + ... + a od n uslovi je jednak nґa. Ponovljeni rad aґaґ ... ґa od n Dogovorili smo se da označimo faktore a n; broj a pozvao osnovu, i broj n – indikator ponavljanja proizvoda, sam ponovljeni rad – n-ta snaga brojevi a. Ove definicije nam omogućavaju da uspostavimo sljedeće fundamentalne zakone za eksponente:

Još jedna bitna posljedica definicija: aґ1 = a za bilo koji cijeli broj a, a 1 je jedini cijeli broj koji ima ovo svojstvo. Zove se broj 1 jedinica.

Dijelioci cijelih brojeva.

Ako a, b, c– cijeli brojevi i aґb = c, To a I b su djelitelji broja c. Jer aґ1 = a za bilo koji cijeli broj a, zaključujemo da je 1 djelilac bilo kojeg cijelog broja i da je svaki cijeli broj djelilac samog sebe. Bilo koji djelitelj cijelog broja a, različito od 1 ili a, dobio ime pravi delilac brojevi a.

Poziva se bilo koji cijeli broj osim 1 i koji nema svoje djelitelje prost broj. (Primjer prostog broja je broj 7.) Poziva se cijeli broj koji ima svoje djelitelje kompozitni broj. (Na primjer, broj 6 je složen, jer 2 dijeli 6.) Iz navedenog slijedi da je skup svih cijelih brojeva podijeljen u tri klase: jedan, prosti brojevi i složeni brojevi.

Postoji vrlo važna teorema u teoriji brojeva koja kaže da se "bilo koji cijeli broj može predstaviti kao proizvod prostih brojeva, a do reda faktora, takav prikaz je jedinstven." Ova teorema je poznata kao "osnovna teorema aritmetike". Pokazuje da prosti brojevi služe kao "građevinski blokovi" od kojih se svi cijeli brojevi osim jednog mogu konstruirati množenjem.

Ako je dat određeni skup cijelih brojeva, tada se najveći cijeli broj koji je djelitelj svakog broja uključenog u ovaj skup naziva najveći zajednički djelitelj dati skup brojeva; poziva se najmanji cijeli broj čiji je djelitelj svaki broj iz datog skupa najmanji zajednički višekratnik dati skup brojeva. Dakle, najveći zajednički djelitelj brojeva 12, 18 i 30 je 6. Najmanji zajednički višekratnik istih brojeva je 180. Ako je najveći zajednički djelitelj dva cijela broja a I b je jednako 1, zatim brojevi a I b su pozvani uzajamno prime. Na primjer, brojevi 8 i 9 su relativno prosti, iako nijedan od njih nije prost.

Pozitivni racionalni brojevi.

Kao što smo vidjeli, cijeli brojevi su apstrakcije koje proizlaze iz procesa brojanja konačnih skupova objekata. Međutim, za potrebe svakodnevnog života cijeli brojevi nisu dovoljni. Na primjer, kada se mjeri dužina ploče stola, usvojena mjerna jedinica može biti prevelika i ne stati cijeli broj puta u izmjerenu dužinu. Da biste se izborili sa takvom teškoćom, uz pomoć tzv. razlomak(tj. bukvalno „prelomljeni“) brojevi, uvodi se manja jedinica dužine. Ako d– neki cijeli broj, zatim razlomak 1/ d određena imovinom dґ1/d= 1, i ako n je onda cijeli broj nґ1/d mi to jednostavno pišemo kao n/d. Ovi novi brojevi se nazivaju „obični“ ili „prosti“ razlomci. Integer n pozvao brojilac razlomci i brojevi d – imenilac. Imenilac pokazuje na koliko je jednakih udela jedinica podeljena, a brojnik na koliko je takvih udela uzeto. Ako n d, razlomak se naziva pravi; ako n = d ili n>d, onda je netačno. Cijeli brojevi se tretiraju kao razlomci sa nazivnikom 1; na primjer, 2 = 2/1.

Od razlomka n/d može se tumačiti kao rezultat podjele n jedinica po d jednake dijelove i uzimajući jedan od tih dijelova, razlomak se može smatrati "količnikom" ili "omjerom" dva cijela broja n I d, i shvatite razlomak kao znak dijeljenja. Stoga se razlomci (uključujući cijele brojeve kao poseban slučaj razlomaka) obično nazivaju racionalno brojevi (od latinskog ratio - odnos).

Dva razlomka n/d i ( kґn)/(kґd), Gdje k– cijeli broj, može se smatrati jednakim; na primjer, 4/6 = 2/3. (Ovdje n = 2, d= 3 i k= 2.) Ovo je poznato kao “osnovno svojstvo razlomka”: vrijednost bilo kojeg razlomka se neće promijeniti ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože (ili podijele) istim brojem. Iz toga slijedi da se bilo koji razlomak može zapisati kao omjer dva relativno prosta broja.

Iz interpretacije gore predloženog razlomka također slijedi da je kao zbir dva razlomka n/d I m/d koji imaju isti imenilac, trebali biste uzeti razlomak ( n + m)/d. Kada sabirate razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate pretvoriti, koristeći osnovno svojstvo razlomka, u ekvivalentne razlomke s istim (zajedničkim) nazivnikom. Na primjer, n 1 /d 1 = (n 1 H d 2)/(d 1 H d 2) i n 2 /d 2 = (n 2 H d 1)/(d 1 H d 2), odakle

Moglo bi se to učiniti drugačije i prvo pronaći najmanji zajednički višekratnik, recimo m, imenioci d 1 i d 2. Zatim postoje cijeli brojevi k 1 i k 2 , tako da m = k 1 H d 1 = k 2 H d 2 i dobijamo:

Ovom metodom broj m obično se zove najmanji zajednički imenilac dva razlomka. Ova dva rezultata su ekvivalentna po definiciji jednakosti razlomaka.

Proizvod dvije frakcije n 1 /d 1 i n 2 /d 2 se uzima jednako razlomku ( n 1 H n 2)/(d 1 H d 2).

Osam osnovnih zakona navedenih gore za cijele brojeve također vrijedi ako, pod a, b, c razumjeti proizvoljne pozitivne racionalne brojeve. Također, ako su data dva pozitivna racionalna broja n 1 /d 1 i n 2 /d 2, onda to kažemo n 1 /d 1 > n 2 /d 2 ako i samo ako n 1 H d 2 > n 2 H d 1 .

Pozitivni realni brojevi.

Upotreba brojeva za mjerenje dužine segmenata linija sugerira da za bilo koja dva data segmenta AB I CD mora postojati neki segment UV, možda vrlo mali, koji bi se mogao odgoditi cijeli broj puta u svakom od segmenata AB I CD. Ako je takva zajednička jedinica dužine UV postoji, zatim segmenti AB I CD nazivaju se srazmjernim. Pitagorejci su već u antičko doba znali za postojanje nesamjerljivih ravnih segmenata. Klasičan primjer je stranica kvadrata i njegova dijagonala. Ako stranu kvadrata uzmemo kao jedinicu dužine, onda ne postoji racionalni broj koji bi mogao biti mjera dijagonale ovog kvadrata. To možete potvrditi argumentacijom kontradikcijom. Zaista, pretpostavimo da je racionalni broj n/d je mjera dijagonale. Ali onda segment 1/ d može biti odloženo n jednom dijagonalno i d puta na strani kvadrata, uprkos činjenici da su dijagonala i stranica kvadrata nesamerljive. Prema tome, bez obzira na izbor jedinice dužine, nemaju svi segmenti dužine koje se mogu izraziti racionalnim brojevima. Da bi svi segmenti bili izmjereni nekom jedinicom dužine, brojni sistem se mora proširiti tako da uključuje brojeve koji predstavljaju rezultate mjerenja dužina odsječaka koji su nesrazmjerni odabranoj jedinici dužine. Ovi novi brojevi se nazivaju pozitivnim iracionalno brojevi. Potonji, zajedno s pozitivnim racionalnim brojevima, čine širi skup brojeva čiji se elementi nazivaju pozitivnim validan brojevi.

Ako ILI– horizontalna poluprava koja izlazi iz tačke O, U– pokažite ILI, različit od porijekla O, And OU se bira kao jedinični segment, a zatim svaka tačka P na poluliniji ILI može biti povezan sa jednim pozitivnim realnim brojem str, izražavajući dužinu segmenta OP. Na ovaj način uspostavljamo korespondenciju jedan prema jedan između pozitivnih realnih brojeva i tačaka koje nisu O, na poluliniji ILI. Ako str I q– dva pozitivna realna broja koja odgovaraju bodovima P I Q on ILI, onda pišemo p>q,p = q ili p u zavisnosti od lokacije tačke P desno od tačke Q on ILI, poklapa se sa Q ili se nalazi lijevo od Q.

Uvođenje pozitivnih iracionalnih brojeva značajno je proširilo obim primenljivosti aritmetike. Na primjer, ako a– bilo koji pozitivan realni broj i n je bilo koji cijeli broj, tada postoji samo jedan pozitivan realan broj b, takav da bn=a. Ovaj broj b zove korijen n th stepen of a i piše se kao, pri čemu simbol u svom obrisu podseća na latinično slovo r, sa kojim počinje latinska riječ radix(root) i zove se radikalan. To se može pokazati

Ovi odnosi su poznati kao osnovna svojstva radikala.

Sa praktične tačke gledišta, veoma je važno da se svaki pozitivan iracionalni broj može aproksimirati onoliko precizno koliko se želi pozitivnim racionalnim brojem. To znači da ako r je pozitivan iracionalni broj i e je proizvoljno mali pozitivan racionalni broj, onda možemo pronaći pozitivne racionalne brojeve a I b, takav da a i b. Na primjer, broj je iracionalan. Ako odaberete e= 0,01, tada ; ako izaberete e= 0,001, tada .

Indo-arapski sistem brojeva.

Algoritmi ili računske šeme aritmetike zavise od korišćenog sistema brojeva. Sasvim je očigledno, na primjer, da se metode izračunavanja izmišljene za rimski brojevni sistem mogu razlikovati od algoritama izmišljenih za trenutni indo-arapski sistem. Štaviše, neki sistemi brojeva mogu biti potpuno neprikladni za konstruisanje aritmetičkih algoritama. Istorijski podaci pokazuju da prije usvajanja indoarapskog sistema označavanja brojeva uopće nije bilo algoritama koji su omogućavali sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje brojeva koristeći „olovku i papir“. Tokom dugih godina postojanja indoarapskog sistema razvijene su brojne algoritamske procedure koje su mu posebno prilagođene, tako da su naši savremeni algoritmi proizvod čitave ere razvoja i usavršavanja.

U hindu-arapskom brojevnom sistemu, svaki unos koji predstavlja broj je skup od deset osnovnih simbola 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, koji se nazivaju brojevi. Na primjer, hindu-arapska notacija za broj četiri stotine dvadeset tri ima oblik niza cifara 423. Značenje cifre u hindu-arapskom zapisu broja određeno je njenim mjestom ili položajem, u nizu cifara koji formiraju ovu notaciju. U primjeru koji smo naveli, broj 4 znači četiri stotine, broj 2 znači dvije desetice, a broj 3 znači tri jedinice. Broj 0 (nula), koji se koristi za popunjavanje praznih pozicija, igra veoma važnu ulogu; na primjer, unos 403 znači broj četiri stotine tri, tj. desetke nedostaju. Ako a, b, c, d, e označavaju pojedinačne brojeve, zatim u indoarapskom sistemu abcde znači skraćenica za cijeli broj

Pošto svaki cijeli broj dopušta jedinstvenu reprezentaciju u obliku

Gdje n je cijeli broj, i a 0 , a 1 ,..., a n- brojeva, zaključujemo da se u datom brojevnom sistemu svaki cijeli broj može predstaviti na jedinstven način.

Hindu-arapski brojevni sistem omogućava vam da koncizno pišete ne samo cijele brojeve, već i sve pozitivne realne brojeve. Hajde da uvedemo oznaku 10 - n za 1/10 n, Gdje n– proizvoljan pozitivan cijeli broj. Tada, kao što se može pokazati, svaki pozitivni realni broj može biti predstavljen, i to jedinstveno, u obliku

Ovaj zapis se može komprimirati pisanjem kao niz brojeva

gdje je znak, koji se naziva decimalna točka, između a 0 i b 1 označava gdje počinju negativne potencije od 10 (u nekim zemljama se u tu svrhu koristi tačka). Ova metoda pisanja pozitivnog realnog broja naziva se decimalna ekspanzija, a razlomak predstavljen u obliku njegovog decimalnog proširenja je decimalni.

Može se pokazati da se za pozitivan racionalni broj decimalno proširenje nakon decimalnog zareza ili prekida (na primjer, 7/4 = 1,75) ili se ponavlja (na primjer, 6577/1980 = 3,32171717...). Ako je broj iracionalan, tada se njegovo decimalno proširenje ne prekida i ne ponavlja. Ako se decimalno proširenje iracionalnog broja prekine na nekom decimalnom mjestu, dobijamo njegovu racionalnu aproksimaciju. Što je dalje desno od decimalnog zareza nalazi znak na kojem završavamo decimalno proširenje, to je bolja racionalna aproksimacija (što je manja greška).

U hindu-arapskom sistemu, broj se piše pomoću deset osnovnih cifara, čije značenje zavisi od njihovog mesta ili položaja u zapisu broja (vrednost cifre je jednaka proizvodu cifre i neke snaga 10). Stoga se takav sistem naziva decimalni pozicioni sistem. Pozicioni brojevni sistemi su veoma pogodni za konstruisanje aritmetičkih algoritama, i zato je indoarapski brojevni sistem toliko rasprostranjen u savremenom svetu, iako se za označavanje pojedinačnih brojeva u različitim zemljama mogu koristiti različiti simboli.

Nazivi brojeva.

Nazivi brojeva u indoarapskom sistemu slijede određena pravila. Najčešći način imenovanja brojeva je da se broj prvo podijeli na grupe od tri cifre s desna na lijevo. Ove grupe se nazivaju "periodi". Prvi period se naziva periodom "jedinica", drugi - periodom "hiljada", treći - periodom "miliona" itd., kao što je prikazano u sljedećem primjeru:

Svaka tačka se čita kao da je trocifreni broj. Na primjer, period 962 se čita kao "devetsto šezdeset dva". Za čitanje broja koji se sastoji od nekoliko tačaka, čita se grupa cifara u svakoj tački, počevši od krajnje lijeve, a zatim nastavlja redom s lijeva na desno; Nakon svake grupe navodi se naziv perioda. Na primjer, broj iznad glasi "sedamdeset tri triliona osam stotina četrdeset dvije milijarde devet stotina šezdeset dva miliona pet stotina trideset dvije hiljade sedam stotina devedeset osam." Imajte na umu da se prilikom čitanja i pisanja cijelih brojeva, veznik “i” obično ne koristi. Naziv kategorije jedinice je izostavljen. Nakon triliona slijede kvadrilioni, kvintilioni, sekstiljoni, septilioni, oktiljoni, nonalioni i decilioni. Svaki period ima vrijednost 1000 puta veću od prethodnog.

U hindu-arapskom sistemu uobičajeno je slijediti sljedeću proceduru za čitanje brojeva desno od decimalnog zareza. Ovdje se pozicije nazivaju (redom s lijeva na desno): "desetine", "stotine", "hiljadinke", "desethiljadinke" itd. Pravilna decimala se čita kao da cifre iza decimalnog zareza čine cijeli broj, nakon čega slijedi naziv pozicije posljednje cifre s desne strane. Na primjer, 0,752 se čita kao "sedam stotina pedeset i dvije hiljaditinke". Mješovita decimala se čita kombiniranjem pravila za imenovanje cijelih brojeva s pravilom za imenovanje pravih decimala. Na primjer, 632.752 glasi "šest stotina trideset i dvije zareze sedamsto pedeset i dvije hiljaditinke." Obratite pažnju na reč "celi brojevi" ispred decimalne tačke. Poslednjih godina decimalni brojevi se sve više čitaju jednostavnije, na primer 3.782 kao "tri zarez sedamsto osamdeset dva".

Dodatak.

Sada smo spremni da analiziramo aritmetičke algoritme koji se uče u osnovnoj školi. Ovi algoritmi se bave operacijama na pozitivnim realnim brojevima zapisanim kao decimalna proširenja. Pretpostavljamo da su osnovne tablice sabiranja i množenja naučene napamet.

Razmotrimo problem sabiranja: izračunaj 279,8 + 5,632 + 27,54:

Prvo, zbrajamo iste stepene broja 10. Broj 19H10 –1 se deli prema distributivnom zakonu na 9H10 –1 i 10H10 –1 = 1. Jedinicu pomeramo ulevo i dodajemo je 21, što daje 22. Zauzvrat, dijelimo broj 22 na 2 i 20 = 2H10. Pomeramo broj 2H10 ulevo i dodajemo ga 9H10, što daje 11H10. Konačno, 11H10 podijelimo na 1H10 i 10H10 = 1H10 2, pomjerimo 1H10 2 ulijevo i dodamo ga 2H10 2, što daje 3H10 2. Ispostavilo se da je konačni zbir 312.972.

Jasno je da se izvedeni proračuni mogu predstaviti u sažetijem obliku, istovremeno koristeći ga kao primjer algoritma za sabiranje koji se uči u školi. Da bismo to učinili, sva tri broja pišemo jedan ispod drugog tako da decimalne točke budu na istoj vertikali:

Počevši s desne strane, nalazimo da je zbir koeficijenata na 10 –3 jednak 2, što upisujemo u odgovarajuću kolonu ispod crte. Zbir koeficijenata na 10 –2 je jednak 7, što je takođe upisano u odgovarajuću kolonu ispod reda. Zbir koeficijenata za 10 –1 je 19. Ispod reda upisujemo broj 9, a 1 prelazimo u prethodnu kolonu, gdje ih ima. Uzimajući u obzir ovu jedinicu, ispada da je zbir koeficijenta u ovoj koloni jednak 22. Upisujemo jednu dva ispod reda, a drugu prebacujemo u prethodnu kolonu, gdje su desetice. Uzimajući u obzir prenesena dva, zbir koeficijenata u ovoj koloni je jednak 11. Jednu jedinicu upisujemo ispod reda, a drugu prenosimo u prethodnu kolonu, gdje su stotine. Ispada da je zbir koeficijenata u ovoj koloni jednak 3, što pišemo ispod crte. Potreban iznos je 312.972.

Oduzimanje.

Oduzimanje je inverzno sabiranju. Ako su tri pozitivna realna broja a, b, c međusobno povezani tako da a+b=c, onda pišemo a = c – b, pri čemu se simbol “-” čita kao “minus”. Pronalaženje broja a prema poznatim brojevima b I c nazvano "oduzimanje". Broj c zove se minuend, broj b– „oduzeti“ i broj a- "razlika". Pošto se radi o pozitivnim realnim brojevima, uslov mora biti zadovoljen c > b.

Pogledajmo primjer oduzimanja: izračunajte 453,87 – 82,94.

Prije svega, posuđujući jedinicu s lijeve strane ako je potrebno, transformiramo proširenje minuenda tako da je njegov koeficijent za bilo koji stepen 10 veći od koeficijenta oduzimanja za isti stepen. Od 4H10 2 posuđujemo 1H10 2 = 10H10, dodajući posljednji broj sljedećem članu u proširenju, što daje 15H10; slično tome, posuđujemo 1H10 0, ili 10Č10 –1, i dodajemo ovaj broj pretposljednjem terminu proširenja. Nakon toga dobijamo priliku da oduzmemo koeficijente za iste potencije broja 10 i lako pronađemo razliku od 370,93.

Snimanje operacija oduzimanja može se prikazati u komprimiranom obliku i možete dobiti primjer algoritma oduzimanja koji se uči u školi. Zapisujemo oduzimanje ispod minusa tako da im decimalne točke budu na istoj vertikali. Počevši s desna nalazimo da je razlika u koeficijentima na 10 –2 jednaka 3 i taj broj upisujemo u istu kolonu ispod reda. Pošto u sljedećoj koloni lijevo ne možemo oduzeti 9 od 8, mijenjamo tri u jediničnoj poziciji minuenda u dva i tretiramo broj 8 na poziciji desetica kao 18. Nakon što oduzmemo 9 od 18 dobijamo 9, itd. ., tj.

Množenje.

Razmotrimo prvo tzv “kratko” množenje je množenje pozitivnog realnog broja jednim od jednocifrenih brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, na primjer, 32,67´4. Koristeći zakon distributivnosti, kao i zakone asocijativnosti i komutativnosti množenja, dobijamo priliku da faktore razbijemo na dijelove i rasporedimo na pogodniji način. Na primjer,

Ovi proračuni se mogu kompaktnije napisati na sljedeći način:

Proces kompresije se može nastaviti. Zapisujemo faktor 4 ispod množitelja 32,67, kako je naznačeno:

Pošto je 4´7 = 28, upisujemo broj 8 ispod linije, a 2 stavljamo iznad broja 6 množenika. Dalje, 4´6 = 24, što, uzimajući u obzir ono što je preneseno iz kolone sa desne strane, daje 26. Broj 6 upisujemo ispod crte, a 2 iznad broja 2 množenika. Tada dobijamo 4´2 = 8, što u kombinaciji sa prenetim dva daje 10. Potpisujemo broj 0 ispod linije, a onaj iznad broja 3 množenika. Konačno, 4´3 = 12, što, uzimajući u obzir prenesenu jedinicu, daje 13; Ispod crte je napisan broj 13. Stavljajući decimalni zarez, dobijamo odgovor: proizvod je jednak 130,68.

"Dugo" množenje je jednostavno "kratko" množenje koje se ponavlja iznova i iznova. Razmislite, na primjer, da pomnožite broj 32,67 sa brojem 72,4. Postavimo množilac ispod množitelja, kao što je naznačeno:

Radeći kratko množenje s desna na lijevo, dobivamo prvi količnik od 13,068, drugi od 65,34, a treći od 2286,9. Prema zakonu distributivnosti, proizvod koji treba pronaći je zbir ovih parcijalnih proizvoda, odnosno 2365,308. U pisanoj notaciji, decimalna točka u parcijalnim proizvodima je izostavljena, ali oni moraju biti pravilno raspoređeni u „koracima“ kako bi se zatim zbrali kako bi se dobio potpuni proizvod. Broj decimalnih mjesta u proizvodu jednak je zbroju broja decimalnih mjesta u množeniku i množitelju.

Division.

Deljenje je inverzna operacija množenja; baš kao što množenje zamjenjuje ponovljeno sabiranje, dijeljenje zamjenjuje ponovljeno oduzimanje. Razmotrite, na primjer, pitanje: koliko puta je 3 sadržano u 14? Ponavljajući operaciju oduzimanja 3 od 14, nalazimo da 3 četiri puta „ulazi“ u 14, a broj 2 „ostaje“, tj.

Zove se broj 14 djeljiv, broj 3 – razdjelnik, broj 4 – privatni i broj 2 – podsjetnik. Rezultirajući odnos se može izraziti riječima na sljedeći način:

dividenda = (djelitelj ´ količnik) + ostatak,

0 J ostatak

Pronalaženje količnika i ostatka od 1400 podijeljenog sa 3 uzastopnim oduzimanjem 3 zahtijevalo bi puno vremena i truda. Procedura bi se mogla značajno ubrzati ako od 1400 prvo oduzmemo 300, zatim 30 od ostatka i na kraju 3. Nakon što četiri puta oduzmemo 300, dobili bismo ostatak od 200; nakon oduzimanja 30 od 200 šest puta, ostatak bi bio 20; konačno, nakon što šest puta oduzmemo 3 od 20, dobijamo ostatak 2. Dakle,

Kvocijent i ostatak koji treba pronaći su 466 i 2. Izračuni se mogu organizirati i zatim uzastopno komprimirati na sljedeći način:

Gornje razmišljanje se primjenjuje ako su dividenda i djelitelj bilo koji pozitivni realni brojevi izraženi u decimalnom sistemu. Ilustrujmo ovo na primjeru 817.65e23.7.

Prvo, djelitelj se mora pretvoriti u cijeli broj pomoću pomaka decimalnog zareza. U ovom slučaju, decimalna točka dividende se pomjera za isti broj decimalnih mjesta. Delitelj i dividenda su raspoređeni kako je prikazano u nastavku:

Odredimo koliko puta je djelitelj sadržan u trocifrenom broju 817, prvom dijelu dijeljenja koji dijelimo s djeliteljem. Budući da se procjenjuje da je sadržano tri puta, množimo 237 sa 3 i oduzimamo proizvod 711 od 817. Razlika od 106 je manja od djelitelja. To znači da se broj 237 pojavljuje u probnoj dividendi najviše tri puta. Broj 3, napisan ispod djelitelja broja 2 ispod vodoravne linije, prva je znamenka količnika koji treba pronaći. Nakon što pomaknemo sljedeću cifru dividende naniže, dobivamo sljedeću probnu dividendu 1066, i trebamo odrediti koliko puta se djelitelj 237 uklapa u broj 1066; Recimo 4 puta. Pomnožimo djelitelj sa 4 i dobijemo proizvod 948, koji oduzimamo od 1066; razlika ispada 118, što znači da je sljedeća znamenka količnika 4. Zatim oduzimamo sljedeću cifru dividende i ponavljamo cijeli postupak opisan gore. Ovaj put se ispostavilo da je probna dividenda 1185 tačno (bez ostatka) deljiva sa 237 (ostatak podele na kraju se ispostavi da je 0). Odvajajući decimalnim zarezom u količniku isti broj cifara kao što su razdvojeni u dividendi (zapamtite da smo prethodno pomerili decimalni zarez), dobijamo odgovor: količnik je jednak 34,5.

Razlomci.

Proračuni s razlomcima uključuju sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje, kao i pojednostavljivanje složenih razlomaka.

Zbrajanje razlomaka sa istim nazivnikom vrši se sabiranjem brojilaca, npr.

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

Ako razlomci imaju različite nazivnike, onda se prvo moraju svesti na zajednički imenilac, tj. pretvoriti u razlomke sa istim nazivnicima. Da bismo to uradili, nalazimo najmanji zajednički imenilac (najmanji višekratnik svakog od datih imenilaca). Na primjer, kada se zbrajaju 2/3, 1/6 i 3/5, najmanji zajednički nazivnik je 30:

Sumirajući, dobijamo

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

Oduzimanje razlomaka vrši se na isti način kao i njihovo sabiranje. Ako su imenioci isti, onda se oduzimanje svodi na oduzimanje brojilaca: 10/13 – 2/13 = 8/13; Ako razlomci imaju različite nazivnike, prvo ih morate dovesti do zajedničkog nazivnika:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

Kada se množe razlomci, njihovi brojnici i imenioci se množe posebno. Na primjer,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

Da biste podijelili jedan razlomak drugim, trebate prvi razlomak (dividendu) pomnožiti recipročnim razlomkom drugog (djelitelja) (da biste dobili recipročni razlomak, potrebno je zamijeniti brojnik i nazivnik originalnog razlomka), tj. ( n 1 /d 1)e( n 2 /d 2) = (n 1 H d 2)/(d 1 H n 2). Na primjer,

3/4e7/8 = 3/4´8/7 = 24/28 = 6/7.

Mješoviti broj je zbir (ili razlika) cijelog broja i razlomka, kao što je 4 + 2/3 ili 10 – 1/8. Budući da se cijeli broj može zamisliti kao razlomak sa nazivnikom 1, mješoviti broj nije ništa drugo do zbir (ili razlika) dva razlomka. Na primjer,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

Kompleksni razlomak je onaj koji ima razlomak ili u brojniku, nazivniku ili u brojniku i nazivniku. Ovaj razlomak se može pretvoriti u jednostavan:

Kvadratni korijen.

Ako n r, takav da r 2 = n. Broj r pozvao kvadratni korijen od n i određen je. U školi vas uče da izvlačite kvadratni korijen na dva načina.

Prva metoda je popularnija jer je jednostavnija i lakša za primjenu; proračuni pomoću ove metode se lako implementiraju na desktop kalkulatoru i generaliziraju na slučaj kubnih korijena i viših korijena. Metoda se zasniva na činjenici da ako r 1 – približavanje korijenu, dakle r 2 = (1/2)(r 1 + n/r 1) – preciznija aproksimacija korijena.

Ilustrujmo postupak izračunavanjem kvadratnog korijena nekog broja između 1 i 100, recimo broja 40. Pošto je 6 2 = 36 i 7 2 = 49, zaključujemo da je 6 najbolja aproksimacija u cijelim brojevima. Preciznija aproksimacija se dobija iz 6 kako slijedi. Dijeljenjem 40 sa 6 dobije se 6,6 (zaokruženo na prvu decimalu) čak brojevi desetina). Da bismo dobili drugu aproksimaciju , Mi u prosjeku dva broja 6 i 6,6 i dobiti 6,3. Ponavljajući postupak, dobijamo još bolju aproksimaciju. Dijelimo 40 sa 6,3, nalazimo broj 6,350, a treća aproksimacija ispada da je (1/2)(6,3 + 6,350) = 6,325. Drugo ponavljanje daje 40e6.325 = 6.3241106, a četvrta aproksimacija se ispostavlja kao (1/2)(6.325 + 6.3241106) = 6.3245553. Proces se može nastaviti koliko god se želi. Općenito, svaka sljedeća aproksimacija može sadržavati dvostruko više znamenki od prethodne. Dakle, u našem primjeru, pošto prva aproksimacija, cijeli broj 6, sadrži samo jednu cifru, možemo zadržati dvije znamenke u drugoj aproksimaciji, četiri u trećoj i osam u četvrtoj.

Ako je broj n ne leži između 1 i 100, tada morate prvo podijeliti (ili pomnožiti) n na neku potenciju od 100, recimo, na k-th tako da proizvod bude u rasponu od 1 do 100. Tada će kvadratni korijen proizvoda biti u rasponu od 1 do 10, a nakon što se izvuče, dobijeni broj pomnožimo (ili podijelimo) sa 10 k, pronađite traženi kvadratni korijen. Na primjer, ako n= 400000, onda prvo mi podijeliti 400000 sa 100 2 i dobijamo broj 40, koji se nalazi u rasponu od 1 do 100. Kao što je gore prikazano, približno je jednako 6,3245553. Množenje ovaj broj za 10 2, dobijamo 632,45553 kao približnu vrijednost za, a broj 0,63245553 služi kao približna vrijednost za.

Drugi od gore navedenih postupaka zasniva se na algebarskom identitetu ( a + b) 2 = a 2 + (2a + b)b. U svakom koraku se već dobijeni dio kvadratnog korijena uzima kao a, a dio koji još treba odrediti je za b.

Kockasti korijen.

Za izdvajanje kubnog korijena pozitivnog realnog broja postoje algoritmi slični onima za vađenje kvadratnog korijena. Na primjer, pronaći kubni korijen broja n, prvo aproksimiramo korijen nekim brojem r 1 . Zatim gradimo precizniju aproksimaciju r 2 = (1/3)(2r 1 + n/r 1 2), što zauzvrat ustupa mjesto još preciznijoj aproksimaciji r 3 = (1/3)(2r 2 + n/r 2 2) itd. Procedura za konstruisanje sve preciznijih aproksimacija korena može se nastaviti beskonačno.

Razmotrimo, na primjer, izračunavanje kubnog korijena broja između 1 i 1000, recimo broj 200. Pošto je 5 3 = 125 i 6 3 = 216, zaključujemo da je 6 najbliži cijeli broj kubnom korijenu od 200. Stoga biramo r 1 = 6 i uzastopno izračunati r 2 = 5,9, r 3 = 5,85, r 4 = 5,8480. U svakoj aproksimaciji, počevši od treće, dozvoljeno je zadržati broj znakova koji je za jedan manji od dvostrukog broja znakova u prethodnoj aproksimaciji. Ako broj iz kojeg želite izvući kubni korijen nije između 1 i 1000, onda ga prvo morate podijeliti (ili pomnožiti) s nekim, recimo, k th, stepen broja 1000 i time ga dovesti u željeni raspon brojeva. Kubni korijen novodobijenog broja nalazi se u rasponu od 1 do 10. Nakon što se izračuna, mora se pomnožiti (ili podijeliti) sa 10 k da dobijete kubni korijen originalnog broja.

Drugi, složeniji, algoritam za pronalaženje kubnog korijena pozitivnog realnog broja zasniva se na korištenju algebarskog identiteta ( a + b) 3 = a 3 + (3a 2 + 3ab + b 2)b. Trenutno se algoritmi za vađenje kubnih korijena, kao i korijeni viših potencija, ne uče u srednjoj školi, jer ih je lakše pronaći pomoću logaritama ili algebarskih metoda.

Euklidov algoritam.

Ovaj algoritam je predstavljen u Počeci Euklid (oko 300. pne). Koristi se za izračunavanje najvećeg zajedničkog djelitelja dva cijela broja. Za slučaj pozitivnih brojeva formulisano je kao proceduralno pravilo: „Podijelite veći od dva data broja manjim. Zatim podijelite djelitelj s ostatkom i nastavite na ovaj način sve dok posljednji djelitelj ne bude ravnomjerno podijeljen sa zadnjim ostatkom. Posljednji djelitelj će biti najveći zajednički djelitelj dva data broja.”

Kao numerički primjer, razmotrite dva cijela broja 3132 i 7200. Algoritam se u ovom slučaju svodi na sljedeće korake:

Najveći zajednički djelitelj je isti kao i zadnji djelitelj - broj 36. Objašnjenje je jednostavno. U našem primjeru iz posljednjeg reda vidimo da broj 36 dijeli broj 288. Iz pretposljednjeg reda slijedi da broj 36 dijeli 324. Dakle, krećući se od reda do reda, uvjereni smo da broj 36 dijeli 936 , 3132 i 7200 Sada tvrdimo da je broj 36 zajednički djelitelj brojeva 3132 i 7200. Neka g je najveći zajednički djelitelj brojeva 3132 i 7200. Pošto je g dijeli 3132 i 7200, iz prvog reda slijedi da g dijeli 936. Iz drugog reda zaključujemo da g dijeli 324. Dakle, idući od reda do reda, uvjereni smo da g dijeli 288 i 36. A budući da je 36 zajednički djelitelj brojeva 3132 i 7200 i podijeljeno njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem, zaključujemo da je 36 taj najveći zajednički djelitelj.

Ispitivanje.

Aritmetički proračuni zahtijevaju stalnu pažnju i stoga su skloni greškama. Stoga je vrlo važno provjeriti rezultate proračuna.

1. Dodavanje kolone brojeva može se provjeriti dodavanjem brojeva u koloni prvo od vrha do dna, a zatim odozdo prema gore. Opravdanje za ovu metodu verifikacije je generalizovani zakon komutativnosti i asocijativnosti sabiranja.

2. Oduzimanje se provjerava dodavanjem razlike sa oduzetim - treba dobiti minus. Obrazloženje za ovu metodu verifikacije je definicija operacije oduzimanja.

3. Množenje se može provjeriti preuređivanjem množitelja i množitelja. Opravdanje za ovu metodu verifikacije je zakon komutativnog množenja. Množenje možete provjeriti razbijanjem faktora (ili množenika) na dva člana, izvođenjem dvije odvojene operacije množenja i dodavanjem rezultirajućih proizvoda - trebali biste dobiti originalni proizvod.

4. Da biste provjerili dijeljenje, trebate pomnožiti količnik sa djeliteljem i dodati ostatak proizvodu. Trebao bi dobiti dividendu. Obrazloženje za ovu metodu verifikacije je definicija operacije dijeljenja.

5. Provjera ispravnosti vađenja kvadratnog (ili kubnog) korijena sastoji se od podizanja rezultirajućeg broja kvadriranjem (ili kockom) – treba dobiti originalni broj.

Posebno jednostavan i vrlo pouzdan način provjere sabiranja ili množenja cijelih brojeva je tehnika koja predstavlja prijelaz na tzv. "poređenja po modulu 9". Nazovimo “višak” ostatak zbira cifara korištenih za pisanje broja kada se podijeli sa 9. Zatim, u vezi sa “viškovima”, mogu se formulisati dvije teoreme: “višak zbira cijelih brojeva jednak je višku zbira viška članova” i “višak proizvoda dva cijela broja jednak je višak proizvoda njihovih ekscesa.” Ispod su primjeri provjera zasnovanih na ovoj teoremi:

Metoda prelaska na poređenja po modulu 9 može se koristiti i pri testiranju drugih aritmetičkih algoritama. Naravno, takva provjera nije nepogrešiva, jer rad s "viškovima" također podliježe greškama, ali takva situacija je malo vjerojatna.

Interes.

Procenat je razlomak čiji je imenilac 100; Procenti se mogu zapisati na tri načina: kao razlomak, kao decimalni ili pomoću posebne procentualne oznake %. Na primjer, 7 posto se može napisati kao 7/100, kao 0,07 ili kao 7%.

Primjer najčešćeg tipa problema u procentima je sljedeći: “Pronađi 17% od 82.” Da biste riješili ovaj problem, morate izračunati proizvod 0,17´82 = 13,94. Kod proizvoda ove vrste 0,17 se naziva stopa, 82 je osnovica, a 13,94 je udio, izražen u procentima. Tri navedene veličine su međusobno povezane relacijom

Stopa ´ baza = procentualno učešće.

Ako su poznate bilo koje dvije veličine, treća se može odrediti iz ovog odnosa. Shodno tome, dobijamo tri vrste problema „koristeći procente“.

Primjer 1. Broj upisanih učenika u ovu školu porastao je sa 351 na 396. Za koji procenat se ovaj broj povećao?

Povećanje je bilo 396 – 351 = 45 ljudi. Pišući razlomak 45/351 kao procenat, dobijamo 45/351 = 0,128 = 12,8%.

Primjer 2. Oglas u prodavnici tokom rasprodaje kaže “25% popusta na sve artikle”. Koja je prodajna cijena za artikal koji se inače prodaje za 3,60 USD?

Smanjenje cijene od 25% od 3,60 USD znači smanjenje od 0,25-3,60 = 0,90 USD; stoga će cijena artikla tokom rasprodaje biti $3,60 – $0,90 = $2,70.

Primjer 3. Novac deponovan u banci uz 5% godišnje donosio je profit od 40 dolara godišnje. Koji iznos je deponovan u banku?

Pošto je 5% iznosa 40$, tj. 5/100 ´ iznos = 40 dolara, ili 1/100 ´ iznos = 8 dolara, ukupan iznos je 800 dolara.

Aritmetika približnih brojeva.

Mnogi brojevi koji se koriste u proračunima proizlaze ili iz mjerenja ili procjena i stoga se mogu smatrati samo aproksimacijama. Očigledno je da rezultat proračuna izvedenih sa približnim brojevima može biti samo približan broj. Na primjer, pretpostavimo da su mjerenja površine brojača dala sljedeće rezultate (zaokružene na najbližu desetinu metra): širina 1,2 m, dužina 3,1 m; moglo bi se reći da je površina pulta 1,2´3,1 = 3,72 m2. Međutim, u stvarnosti informacije su daleko od toga da su tako sigurne. Pošto vrednost 1,2 m samo ukazuje da je merenje širine između 1,15 i 1,25 m, a 3,1 da je merenje dužine između 3,05 i 3,15 m, o površini brojača možemo samo reći da bi trebalo da bude veća od 1,15´3,05 = 3,5075, ali manje od 1,25´3,15 = 3,9375. Stoga je jedini razuman odgovor na pitanje o površini pulta reći da je otprilike 3,7 m 2 .

Razmotrimo dalje problem sabiranja rezultata približnih mjerenja od 3,73 m, 52,1 m i 0,282 m. Prosti zbir je 56,112 m. Ali, kao iu prethodnom zadatku, sve što se sa sigurnošću može reći je da je pravi zbir mora biti veći od 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 m i manji od 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 m. Dakle, jedini razuman odgovor na pitanje je reći da je zbir približno jednak 56.

Dva gornja primjera ilustriraju neka pravila koja su korisna kada radite s približnim brojevima. Postoje različiti načini zaokruživanja brojeva. Jedan od njih je odbacivanje nižih cifara broja. Štaviše, ako je prva znamenka koju treba odbaciti veća od pet, onda se posljednja preostala znamenka mora povećati za jedan; ako je manja, posljednja znamenka preostalog dijela ostaje nepromijenjena.

Ako je prva znamenka koju treba odbaciti je tačno pet, tada se zadnja znamenka koja se zadržava povećava za jedan ako je neparna i ostaje nepromijenjena ako je parna. Na primjer, kada se zaokružuje na najbližu stotinu broj 3.14159;17.7682; 28.999; 0,00234; 7.235 i 7.325 postaju 3.14; 17.77; 29.00; 0,00; 7.24 i 7.32.

Druga metoda zaokruživanja povezana je s konceptom značajnih cifara i koristi se kada se broj piše strojno. Značajne cifre približnog broja su cifre u njegovom decimalnom zapisu redom s lijeva na desno, počevši s prvom cifrom koja nije nula i završavajući cifrom koja stoji umjesto decimalnog mjesta koje odgovara grešci. Na primjer, značajne cifre približnog broja 12.1 su brojevi 1, 2, 1; približni broj 0,072 – brojevi 7, 2; približni broj 82000, napisan na najbližu stotinu, je 8, 2, 0.

Sada ćemo formulirati dva pravila za rad s približnim brojevima navedenim gore.

Prilikom sabiranja i oduzimanja približnih brojeva, svaki broj treba zaokružiti na cifru koja sledi poslednju cifru najmanje tačnog broja, a rezultujući zbir i razliku treba zaokružiti na isti broj cifara kao i najmanje tačan broj. Prilikom množenja i dijeljenja približnih brojeva, svaki broj treba zaokružiti na znak koji slijedi nakon posljednje značajne cifre najmanje značajnog broja, a proizvod i količnik treba zaokružiti s istom točnošću kao što je poznat najmanje tačan broj.

Vraćajući se na prethodno razmatrane probleme, dobijamo:

1,2´3,1 = 3,72 m 2 » 3,7 m 2

3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 m 2 "56,1 m,

gdje znak " znači "približno jednako".

Neki udžbenici aritmetike pružaju algoritme za rad s približnim brojevima, što vam omogućava da izbjegnete nepotrebne znakove prilikom izračunavanja. Osim toga, koriste tzv. snimanje približnih brojeva, tj. bilo koji broj je predstavljen kao (broj u rasponu od 1 do 10) ´ (potencijal 10), pri čemu prvi faktor sadrži samo značajne cifre broja. Na primjer, 82000 km, zaokruženo na najbližih stotinu km, bi se pisalo kao 8,20´10 4 km, a 0,00702 cm bi bilo zapisano kao 7,02´10 –3 cm.

Brojevi u matematičkim tablicama, trigonometrijskim ili logaritamskim tablicama su približni, ispisani određenim brojem znakova. Kada radite s takvim tablicama, trebali biste slijediti pravila za proračune s približnim brojevima.

Logaritmi.

Do početka 17. vijeka. Složenost primijenjenih računarskih problema toliko je porasla da se s njima nije moglo „ručno“ nositi zbog previše truda i vremena. Srećom, na vrijeme izmislio J. Napier početkom 17. vijeka. logaritmi su omogućili da se nosi sa problemom koji je nastao. Budući da su teorija i primjena logaritama detaljno opisani u posebnom članku LOGARITAM, ograničit ćemo se samo na najpotrebnije informacije.

Može se pokazati da ako n je pozitivan realan broj, onda postoji jedinstveni pozitivni realni broj x, tako da 10 x = n. Broj x zove se (regularno ili decimalno) logaritam brojevi n; konvencionalno se piše ovako: x=log n. Dakle, logaritam je eksponent, a iz zakona operacija s eksponentima slijedi da je

Upravo ova svojstva logaritama objašnjavaju njihovu široku upotrebu u aritmetici. Prvo i drugo svojstvo nam omogućavaju da svedemo bilo koji problem množenja i dijeljenja na jednostavniji problem sabiranja i oduzimanja. Treće i četvrto svojstvo omogućavaju da se stepenovanje i ekstrakcija korijena svedu na mnogo jednostavnije operacije: množenje i dijeljenje.

Radi lakšeg korišćenja logaritama, sastavljene su njihove tabele. Za sastavljanje tabele decimalnih logaritama dovoljno je uključiti samo logaritme brojeva od 1 do 10. Na primjer, pošto je 247,6 = 10 2 ´2,476, imamo: log247,6 = log10 2 + log2,476 = 2 + log2,476, a pošto je 0,02476 = 10 –2 ´2,476, onda je log0,02476 = log10 –2 + log2,476 = –2 + log2,476. Imajte na umu da decimalni logaritam broja između 1 i 10 leži između 0 i 1 i može se napisati kao decimalni. Iz toga slijedi da je decimalni logaritam bilo kojeg broja zbir cijelog broja, koji se naziva karakteristika logaritma, i decimalnog razlomka koji se naziva mantisa logaritma. Karakteristika logaritma bilo kojeg broja može se naći „u umu”; Mantisu treba pronaći pomoću tablica logaritama. Na primjer, iz tabela nalazimo da je log2.476 = 0.39375, dakle log247.63 = 2.39375. Ako je karakteristika logaritma negativna (kada je broj manji od jedan), onda je zgodno predstaviti ga kao razliku dva pozitivna cijela broja, na primjer, log0,02476 = –2 + 0,39375 = 8,39375 – 10. sljedeći primjeri objašnjavaju ovu tehniku.

književnost:

Istorija matematike od antičkih vremena do početka 19. veka., vol. 1–3. M., 1970–1972.
Serre J.-P. Aritmetički kurs. M., 1972
Nechaev V.I. Numerički sistemi. M., 1975
Daan-Dalmedico A., Peiffer J . Staze i lavirinti. Eseji o istoriji matematike. M., 1986
Engler E. Elementary Mathematics. M., 1987

Krug je pokazao kako možete izdvojiti kvadratne korijene u stupcu. Možete izračunati korijen proizvoljnom preciznošću, pronaći bilo koji broj cifara u njegovom decimalnom zapisu, čak i ako se ispostavi da je iracionalan. Algoritam je ostao zapamćen, ali pitanja su ostala. Nije bilo jasno odakle dolazi metoda i zašto je dala ispravan rezultat. Nije bilo u knjigama, ili sam možda samo tražio pogrešne knjige. Na kraju, kao i mnogo toga što danas znam i mogu da radim, sam sam smislio. Ovdje dijelim svoje znanje. Usput, još uvijek ne znam gdje se daje obrazloženje za algoritam)))

Dakle, prvo ću vam reći “kako sistem funkcionira” na primjeru, a zatim objasniti zašto zapravo funkcionira.

Uzmimo broj (broj je uzet "iz zraka", samo mi je pao na pamet).

1. Njegove brojeve dijelimo u parove: oni lijevo od decimalnog zareza grupišu se dva s desna na lijevo, a oni desno su grupisani dva s lijeva na desno. Dobijamo.

2. Izvlačimo kvadratni korijen iz prve grupe brojeva s lijeve strane - u našem slučaju je to (jasno je da se tačan korijen možda ne može izvući, uzimamo broj čiji je kvadrat što je moguće bliži našem broju formiranom od prva grupa brojeva, ali je ne prelazi). U našem slučaju to će biti broj. Zapisujemo odgovor - ovo je najznačajnija znamenka korijena.

3. Kvadriramo broj koji se već nalazi u odgovoru - ovo - i oduzimamo ga od prve grupe brojeva na lijevoj strani - od broja. U našem slučaju ostaje.

4. Desno dodjeljujemo sljedeću grupu od dva broja: . Pomnožimo broj koji je već u odgovoru sa , i dobijemo .

5. Sada pažljivo gledajte. Potrebno je da broju sa desne strane dodelimo jednu cifru i pomnožimo broj sa, odnosno istom zadatom cifrom. Rezultat bi trebao biti što je moguće bliži, ali opet ne veći od ovog broja. U našem slučaju, to će biti broj, pišemo ga u odgovoru pored, desno. Ovo je sljedeća znamenka u decimalnom zapisu našeg kvadratnog korijena.

6. Od oduzimanja proizvoda dobijamo .

7. Zatim ponavljamo poznate operacije: dodijelimo sljedeću grupu znamenki desno, pomnožimo sa , rezultirajućem broju > dodijelimo jednu cifru desno, tako da kada se pomnožimo s njom dobijemo broj manji od , ali najbliži do njega - ovo je sljedeća znamenka u decimalnim korijenskim zapisima.

Izračuni će biti napisani na sljedeći način:

A sada obećano objašnjenje. Algoritam se zasniva na formuli

Komentari: 51

1. 2 Anton:

   Previše haotično i zbunjujuće. Rasporedite sve tačku po tačku i numerišite ih. Plus: objasnite gdje zamjenjujemo tražene vrijednosti u svakoj radnji. Nikada prije nisam izračunao korijenski korijen; bilo mi je teško da ga shvatim.

2. 5 Julia:

3. 6 :

   Yulia, 23 je trenutno napisano na desnoj strani; ovo su prve dvije (lijevo) cifre korijena koje ste već dobili u odgovoru. Pomnožite sa 2 prema algoritmu. Ponavljamo korake opisane u tački 4.

4. 7 zzz:

   greška u “6. Od 167 oduzimamo proizvod 43 * 3 = 123 (129 nada), dobijamo 38.”
   Ne razumijem kako je ispalo 08 nakon decimalnog zareza...

5. 9 Fedotov Aleksandar:

   Čak iu eri pre kalkulatora, u školi su nas učili ne samo kvadratnom korijenu, već i kubnom korijenu u stupcu, ali to je bio dosadniji i mukotrpniji posao. Bilo je lakše koristiti Bradisove tablice ili klizač, što smo već učili u srednjoj školi.

6. 10 :

   Aleksandre, u pravu si, možeš izvući korijene velikih sila u kolonu. Napisat ću samo o tome kako pronaći kubni korijen.

7. 12 Sergej Valentinovič:

   Draga Elizaveta Aleksandrovna! Krajem 70-ih razvio sam shemu za automatsko (tj. ne odabirom) izračunavanje kvadra. root na Felix mašini za dodavanje. Ako ste zainteresovani, mogu vam poslati opis.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((Izvlačenje kvadratnog korijena kolone)))
   Algoritam je pojednostavljen ako koristite 2. brojevni sistem, koji se proučava u računarstvu, ali je koristan i u matematici. A.N. Kolmogorov je ovaj algoritam predstavio u popularnim predavanjima za školarce. Njegov članak se može naći u „Zbirci Čebiševa“ (Matematički časopis, potražite vezu na Internetu)
   Usput reci:
   G. Leibniz se svojevremeno poigravao idejom ​​prelaska sa 10. brojevnog sistema na binarni zbog njegove jednostavnosti i pristupačnosti početnicima (osnovcima). Ali kršenje ustaljene tradicije je kao razbijanje kapije tvrđave čelom: moguće je, ali je beskorisno. Tako ispada, kao što kaže najcitiraniji bradati filozof u stara vremena: tradicije svih mrtvih generacija potiskuju svijest živih.

   Do sljedećeg puta.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   ))Sergey Valentinovich, da, zanima me...((

   Kladim se da je ovo varijacija na “Felix” babilonske metode izdvajanja kvadratnog viteza koristeći metodu uzastopnih aproksimacija. Ovaj algoritam je pokriven Newtonovom metodom (tangentna metoda)

   Pitam se da li sam pogrešio u svojoj prognozi?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Da, binarni algoritam bi trebao biti jednostavniji, to je prilično očigledno.

    O Njutnovoj metodi. Možda je to tačno, ali je ipak zanimljivo

11. 20 Kiril:

    Hvala puno. Ali još uvijek nema algoritma, niko ne zna odakle je došao, ali rezultat je tačan. HVALA PUNO! ovo sam trazio duze vreme)

12. 21 Aleksandar:

    Kako ćete izvući korijen iz broja gdje je druga grupa s lijeva na desno vrlo mala? na primjer, svima omiljeni broj je 4,398,046,511,104. Nakon prvog oduzimanja nije moguće sve nastaviti po algoritmu. Možete li objasniti molim vas.

13. 22 Alexey:

    Da, poznajem ovu metodu. Sjećam se da sam ga čitao u knjizi “Algebra” nekog starog izdanja. Zatim je, po analogiji, sam zaključio kako izdvojiti kockasti korijen u stupcu. Ali tu je već složenije: svaka znamenka se ne određuje jednom (kao za kvadrat), već s dva oduzimanja, a čak i tamo morate svaki put množiti dugačke brojeve.

14. 23 Artem:

    U primjeru vađenja kvadratnog korijena od 56789.321 postoje greške u kucanju. Grupa brojeva 32 se dva puta dodeljuje brojevima 145 i 243, u broju 2388025 drugi 8 treba zameniti sa 3. Zatim poslednje oduzimanje treba napisati na sledeći način: 2431000 – 2383025 = 47975.
    Dodatno, kada se ostatak podijeli sa udvostručenom vrijednošću odgovora (bez uzimanja u obzir zareza), dobijamo dodatni broj značajnih znamenki (47975/(2*238305) = 0,100658819...), koje treba dodati na odgovor (√56789,321 = 238,305... = 238,305100659).

15. 24 Sergej:

    Očigledno je algoritam došao iz knjige Isaaca Newtona “Opća aritmetika ili knjiga o aritmetičkoj sintezi i analizi”. Evo odlomka iz njega:

    O VAĐENJU KORENJA

    Da biste izdvojili kvadratni korijen broja, prvo morate staviti tačku iznad njegovih cifara, počevši od jedinica. Zatim treba da upišete u količnik ili radikal broj čiji je kvadrat jednak ili najbliži brojevima koji prethode prvoj tački. Nakon oduzimanja ovog kvadrata, preostale znamenke korijena će se uzastopno pronaći dijeljenjem ostatka s dvostrukom vrijednošću već izvađenog dijela korijena i svaki put od ostatka kvadrata oduzimanjem posljednje pronađene znamenke i njenog deseterostrukog proizvoda za imenovani djelitelj.

16. 25 Sergej:

    Ispravite i naslov knjige “Opća aritmetika ili knjiga o aritmetičkoj sintezi i analizi”

17. 26 Aleksandar:

    Hvala na zanimljivom materijalu. Ali ova metoda mi se čini nešto složenijom od onoga što je potrebno, na primjer, za školskog djeteta. Koristim jednostavniju metodu zasnovanu na proširenju kvadratne funkcije pomoću prva dva izvoda. Njegova formula je:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, gdje je
    A1 je cijeli broj čiji je kvadrat najbliži x;
    A2 je razlomak, brojilac je x-A1, imenilac je 2*A1.
    Za većinu brojeva koji se susreću u školskom kursu, ovo je dovoljno da dobijete rezultat točan do stotinke.
    Ako trebate precizniji rezultat, uzmite
    A3 je razlomak, brojilac je A2 na kvadrat, imenilac je 2*A1+1.
    Naravno, da biste ga koristili potrebna vam je tabela kvadrata cijelih brojeva, ali to nije problem u školi. Zapamtiti ovu formulu je prilično jednostavno.
    Međutim, zbunjuje me to što sam dobio A3 empirijski kao rezultat eksperimenata sa tabelom i ne razumijem baš zašto ovaj član ima ovakav izgled. Možda mi možete dati neki savjet?

18. 27 Aleksandar:

    Da, i ja sam razmatrao ove stvari, ali đavo je u detaljima. Pišete:
    “jer se a2 i b prilično malo razlikuju.” Pitanje je koliko je tačno.
    Ova formula dobro radi na brojevima u drugoj desetici i mnogo lošije (ne do stotinke, samo do desetih) na brojevima u prvoj desetici. Zašto se to događa teško je razumjeti bez upotrebe derivata.

19. 28 Aleksandar:

    Pojasniću šta vidim kao prednost formule koju predlažem. Ne zahtijeva ne sasvim prirodnu podjelu brojeva na parove cifara, što se, kako iskustvo pokazuje, često izvodi s greškama. Njegovo značenje je očigledno, ali za osobu koja je upoznata sa analizom, to je trivijalno. Dobro radi na brojevima od 100 do 1000, koji su najčešći brojevi koji se susreću u školi.

20. 29 Aleksandar:

    Usput, malo sam kopao i našao tačan izraz za A3 u svojoj formuli:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    U naše vrijeme, uz raširenu upotrebu kompjuterske tehnologije, pitanje izdvajanja kvadratnog viteza iz broja nije vrijedno toga s praktične točke gledišta. Ali za ljubitelje matematike, različite opcije za rješavanje ovog problema će nesumnjivo biti od interesa. U školskom planu i programu, metod ovog obračuna bez upotrebe dodatnih sredstava treba da se odvija uporedo sa množenjem i dugim dijeljenjem. Algoritam proračuna mora biti ne samo zapamćen, već i razumljiv. Klasična metoda, predstavljena u ovom materijalu za diskusiju sa otkrivanjem suštine, u potpunosti zadovoljava gore navedene kriterije.
    Značajan nedostatak metode koju je predložio Alexander je korištenje tablice kvadrata cijelih brojeva. O većini brojeva koje se susreću u školskom kursu autor ćuti. Što se formule tiče, generalno mi se sviđa zbog relativno visoke tačnosti proračuna.

22. 31 Aleksandar:

    za 30 vasil stryzhak
    Nisam ništa ćutao. Tabela kvadrata bi trebala biti do 1000. U moje vrijeme u školi jednostavno su je učili napamet i bilo je u svim udžbenicima matematike. Eksplicitno sam nazvao ovaj interval.
    Što se tiče računarske tehnologije, ona se ne koristi uglavnom na časovima matematike, osim ako se posebno ne govori o temi upotrebe kalkulatora. Kalkulatori su sada ugrađeni u uređaje koji su zabranjeni za korištenje na Jedinstvenom državnom ispitu.

23. 32 vasil stryzhak:

    Aleksandre,hvala na pojašnjenju!Mislio sam da je za predloženi metod teoretski potrebno zapamtiti ili koristiti tabelu kvadrata svih dvocifrenih brojeva.Onda za radikalne brojeve koji nisu uključeni u interval od 100 do 10000 možete koristiti tehniku ​​njihovog povećanja ili smanjenja za potreban broj redova veličine pomicanjem decimalne točke.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 ALEKSANDAR:

    MOJ PRVI PROGRAM NA IAMB JEZIKU NA SOVJETSKOJ MAŠINI “ISKRA 555″ JE NAPISANO DA IZVAĐUJE KVADRATNI KREN IZ BROJA KORIŠĆENJEM ALGORITMA ZA IZVAĐIVANJE KOLONA! a sad sam zaboravio kako da ga izvučem ručno!