समन्वय रेखा। निर्देशांक रेखा पर बिंदु। एक समन्वय रेखा कैसे खींचे एक समन्वय रेखा कैसे खींचे

तो इकाई खंड और इसके दसवें, सौवें और इसी तरह के शेयरों पर हमें समन्वय रेखा के बिंदुओं तक पहुंचने की अनुमति मिलती है, जो अंतिम दशमलव अंशों के अनुरूप होगी (जैसा कि पिछले उदाहरण में है)। हालांकि, समन्वय रेखा पर ऐसे बिंदु हैं जिन्हें हम हिट नहीं कर सकते हैं, लेकिन हम जितना चाहें उतना करीब पहुंच सकते हैं, छोटे और छोटे लोगों का उपयोग करके एक इकाई खंड के एक छोटे से अंश तक। ये बिंदु अनंत आवधिक और गैर-आवधिक दशमलव अंशों के अनुरूप हैं। आइए कुछ उदाहरण दें। निर्देशांक रेखा पर इन बिंदुओं में से एक संख्या 3.711711711…=3,(711) से मेल खाती है। इस बिंदु तक पहुंचने के लिए, आपको 3 इकाई खंडों, इसके दसवें में से 7, 1 सौवें, 1 हजारवें, 7 दस-हजारवें, 1 सौ-हजारवें, एक इकाई खंड के 1 मिलियनवें हिस्से को अलग रखना होगा। और निर्देशांक रेखा का एक और बिंदु pi (π=3.141592...) से मेल खाता है।

चूँकि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के अवयव वे सभी संख्याएँ हैं जिन्हें परिमित और अनंत दशमलव अंशों के रूप में लिखा जा सकता है, तो इस अनुच्छेद में उपरोक्त सभी जानकारी हमें यह दावा करने की अनुमति देती है कि हमने प्रत्येक बिंदु के लिए एक विशिष्ट वास्तविक संख्या निर्दिष्ट की है। समन्वय रेखा, जबकि यह स्पष्ट है कि विभिन्न बिंदु विभिन्न वास्तविक संख्याओं के अनुरूप हैं।

यह भी काफी स्पष्ट है कि यह पत्राचार एक-से-एक है। अर्थात्, हम किसी दिए गए बिंदु को निर्देशांक रेखा पर एक वास्तविक संख्या के साथ जोड़ सकते हैं, लेकिन हम किसी दिए गए वास्तविक संख्या का उपयोग समन्वय रेखा पर एक विशिष्ट बिंदु को इंगित करने के लिए भी कर सकते हैं जिससे यह वास्तविक संख्या मेल खाती है। ऐसा करने के लिए, हमें एक निश्चित संख्या में इकाई खंडों के साथ-साथ दसवें, सौवें, और इसी तरह, मूल से एक खंड के सही दिशा में स्थगित करना होगा। उदाहरण के लिए, संख्या 703.405 समन्वय रेखा पर एक बिंदु से मेल खाती है, जिसे सकारात्मक दिशा में 703 इकाई खंडों को अलग करके मूल से पहुँचा जा सकता है, 4 खंड जो एक इकाई का दसवां हिस्सा बनाते हैं, और 5 खंड जो बनाते हैं एक इकाई का हजारवां भाग।

तो, निर्देशांक रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक वास्तविक संख्या से मेल खाता है, और प्रत्येक वास्तविक संख्या का समन्वय रेखा पर एक बिंदु के रूप में अपना स्थान होता है। यही कारण है कि समन्वय रेखा को अक्सर कहा जाता है संख्या रेखा.

निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं के निर्देशांक

निर्देशांक रेखा पर किसी बिंदु के संगत संख्या कहलाती है इस बिंदु का निर्देशांक.

पिछले पैराग्राफ में, हमने कहा था कि प्रत्येक वास्तविक संख्या समन्वय रेखा पर एक बिंदु से मेल खाती है, इसलिए, बिंदु का समन्वय समन्वय रेखा पर इस बिंदु की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है। दूसरे शब्दों में, किसी बिंदु का निर्देशांक समन्वय रेखा पर इस बिंदु को विशिष्ट रूप से परिभाषित करता है। दूसरी ओर, समन्वय रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक वास्तविक संख्या से मेल खाता है - इस बिंदु का समन्वय।

यह केवल स्वीकृत संकेतन के बारे में कहना बाकी है। बिंदु के निर्देशांक को कोष्ठक में उस अक्षर के दाईं ओर लिखा जाता है जो बिंदु को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, यदि बिंदु M का निर्देशांक -6 है, तो आप M(-6) लिख सकते हैं, और प्रपत्र के अंकन का अर्थ है कि समन्वय रेखा पर बिंदु M का एक निर्देशांक है।

ग्रंथ सूची।

• विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित: 5 कोशिकाओं के लिए पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थानों।
• विलेनकिन एन.वाई.ए. आदि गणित। ग्रेड 6: शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।
• मकारिचेव यू.एन., मिंड्युक एनजी, नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. बीजगणित: 8 कोशिकाओं के लिए पाठ्यपुस्तक। शिक्षण संस्थानों।

यह दावा करना असंभव है कि आप गणित को जानते हैं यदि आप नहीं जानते कि कैसे रेखांकन करना है, एक समन्वय रेखा पर असमानताएँ कैसे खींचना है, और समन्वय अक्षों के साथ काम करना है। विज्ञान में दृश्य घटक महत्वपूर्ण है, क्योंकि सूत्रों और गणनाओं में दृश्य उदाहरणों के बिना, कभी-कभी आप बहुत भ्रमित हो सकते हैं। इस लेख में, हम देखेंगे कि समन्वय अक्षों के साथ कैसे काम करें और सरल फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाना सीखें।

आवेदन पत्र

निर्देशांक रेखा सबसे सरल प्रकार के रेखांकन का आधार है जो एक छात्र अपने शैक्षिक पथ पर सामना करता है। इसका उपयोग लगभग हर गणितीय विषय में किया जाता है: गति और समय की गणना करते समय, वस्तुओं के आकार का अनुमान लगाना और उनके क्षेत्र की गणना करना, त्रिकोणमिति में जब साइन और कोसाइन के साथ काम करना होता है।

ऐसी सीधी रेखा का मुख्य मूल्य दृश्यता है। क्योंकि गणित एक ऐसा विज्ञान है जिसके लिए उच्च स्तर की अमूर्त सोच की आवश्यकता होती है, ग्राफ़ वास्तविक दुनिया में किसी वस्तु का प्रतिनिधित्व करने में मदद करते हैं। वह कैसा व्यवहार करता है? अंतरिक्ष में किस बिंदु पर यह कुछ सेकंड, मिनट, घंटों में होगा? अन्य वस्तुओं की तुलना में इसके बारे में क्या कहा जा सकता है? यादृच्छिक रूप से चुने गए समय पर इसकी गति क्या है? उसके आंदोलन को कैसे चिह्नित करें?

और हम एक कारण के लिए गति के बारे में बात कर रहे हैं - यह अक्सर फ़ंक्शन ग्राफ़ होता है जो इसे प्रदर्शित करता है। और वे वस्तु के अंदर तापमान या दबाव में परिवर्तन, उसके आकार, क्षितिज के सापेक्ष अभिविन्यास को भी प्रदर्शित कर सकते हैं। इस प्रकार, भौतिकी में भी अक्सर एक समन्वय रेखा का निर्माण आवश्यक होता है।

1डी ग्राफ

बहुआयामी की अवधारणा है। बिंदु का स्थान निर्धारित करने के लिए केवल एक संख्या पर्याप्त है। समन्वय रेखा के उपयोग के साथ ठीक यही स्थिति है। यदि स्थान द्वि-आयामी है, तो दो संख्याओं की आवश्यकता है। इस प्रकार के चार्ट का अधिक बार उपयोग किया जाता है, और हम निश्चित रूप से लेख में उन पर थोड़ा और विचार करेंगे।

अक्ष पर बिंदुओं की सहायता से क्या देखा जा सकता है, यदि यह केवल एक है? आप वस्तु का आकार, कुछ "शून्य" के सापेक्ष अंतरिक्ष में उसकी स्थिति देख सकते हैं, अर्थात, मूल बिंदु के रूप में चुना गया बिंदु।

समय के साथ मापदंडों में बदलाव देखना संभव नहीं होगा, क्योंकि सभी रीडिंग एक विशिष्ट क्षण के लिए प्रदर्शित की जाएंगी। हालाँकि, आपको कहीं से शुरुआत करनी होगी! तो चलो शुरू करते है।

समन्वय अक्ष का निर्माण कैसे करें

पहले आपको एक क्षैतिज रेखा खींचने की आवश्यकता है - यह हमारी धुरी होगी। दाईं ओर, इसे "तेज" करें ताकि यह एक तीर की तरह दिखे। इस प्रकार, हम उस दिशा को इंगित करते हैं जिसमें संख्याएं बढ़ेंगी। नीचे की दिशा में, तीर आमतौर पर नहीं रखा जाता है। परंपरागत रूप से, अक्ष को दाईं ओर निर्देशित किया जाता है, इसलिए हम बस इस नियम का पालन करेंगे।

आइए एक शून्य चिह्न लगाते हैं, जो निर्देशांक की उत्पत्ति को प्रदर्शित करेगा। यह वही जगह है जहां से उलटी गिनती ली जाती है, चाहे वह आकार, वजन, गति, या कुछ और हो। शून्य के अलावा, हमें आवश्यक रूप से तथाकथित विभाजन मूल्य निर्दिष्ट करना चाहिए, अर्थात, एक इकाई मानक पेश करना चाहिए, जिसके अनुसार हम कुछ मात्राओं को अक्ष पर प्लॉट करेंगे। यह समन्वय रेखा पर खंड की लंबाई खोजने में सक्षम होने के लिए किया जाना चाहिए।

एक दूसरे से समान दूरी के माध्यम से, हम रेखा पर डॉट्स या "नॉच" लगाते हैं, और उनके नीचे हम क्रमशः 1,2,3, और इसी तरह लिखते हैं। और अब, सब कुछ तैयार है। लेकिन परिणामी कार्यक्रम के साथ, आपको अभी भी सीखना होगा कि कैसे काम करना है।

निर्देशांक रेखा पर बिंदुओं के प्रकार

पाठ्यपुस्तकों में प्रस्तावित चित्रों पर पहली नज़र में, यह स्पष्ट हो जाता है: अक्ष पर अंक भरे जा सकते हैं या नहीं भरे जा सकते हैं। क्या आपको लगता है कि यह एक संयोग है? बिल्कुल भी नहीं! एक "ठोस" बिंदु का उपयोग गैर-सख्त असमानता के लिए किया जाता है - वह जो "इससे बड़ा या बराबर" पढ़ता है। यदि हमें अंतराल को सख्ती से सीमित करने की आवश्यकता है (उदाहरण के लिए, "x" शून्य से एक तक मान ले सकता है, लेकिन इसमें शामिल नहीं है), तो हम "खोखले" बिंदु का उपयोग करेंगे, अर्थात वास्तव में, एक छोटा वृत्त धुरी पर। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि छात्र वास्तव में सख्त असमानताओं को पसंद नहीं करते हैं, क्योंकि उनके साथ काम करना अधिक कठिन होता है।

चार्ट पर आप किन बिंदुओं का उपयोग करते हैं, इसके आधार पर निर्मित अंतरालों को भी नामित किया जाएगा। यदि दोनों तरफ असमानता सख्त नहीं है, तो हमें एक खंड मिलता है। यदि एक ओर यह "खुला" हो जाता है, तो इसे अर्ध-अंतराल कहा जाएगा। अंत में, यदि किसी रेखा के किसी भाग को दोनों ओर खोखले बिंदुओं से बांध दिया जाए, तो वह अंतराल कहलाता है।

विमान

दो पंक्तियों का निर्माण करते समय हम पहले से ही कार्यों के रेखांकन पर विचार कर सकते हैं। मान लीजिए कि क्षैतिज रेखा समय अक्ष है और ऊर्ध्वाधर रेखा दूरी है। और अब हम यह निर्धारित करने में सक्षम हैं कि एक मिनट या एक घंटे की यात्रा में वस्तु कितनी दूरी तय करेगी। इस प्रकार, एक विमान के साथ काम करना किसी वस्तु की स्थिति में परिवर्तन की निगरानी करना संभव बनाता है। यह एक स्थिर अवस्था की खोज से कहीं अधिक दिलचस्प है।

ऐसे समतल पर सबसे सरल ग्राफ एक सीधी रेखा है; यह फलन Y(X) = aX + b को दर्शाता है। क्या रेखा झुकती है? इसका मतलब यह है कि वस्तु अनुसंधान की प्रक्रिया में अपनी विशेषताओं को बदल देती है।

कल्पना कीजिए कि आप एक इमारत की छत पर खड़े हैं और अपने बढ़े हुए हाथ में एक पत्थर पकड़े हुए हैं। जब आप इसे छोड़ते हैं, तो यह शून्य गति से अपनी गति शुरू करते हुए नीचे की ओर उड़ जाएगा। लेकिन एक सेकंड में वह 36 किलोमीटर प्रति घंटे की रफ्तार से आगे निकल जाएगा। पत्थर आगे भी तेजी से बढ़ता रहेगा, और चार्ट पर इसकी गति को आकर्षित करने के लिए, आपको उपयुक्त स्थानों पर धुरी पर बिंदु सेट करके समय में कई बिंदुओं पर इसकी गति को मापने की आवश्यकता होगी।

क्षैतिज निर्देशांक रेखा पर चिह्नों को डिफ़ॉल्ट रूप से क्रमशः X1, X2,X3 और लंबवत - Y1, Y2, Y3 नाम दिया गया है। उन्हें एक समतल पर प्रक्षेपित करके और चौराहों का पता लगाकर, हम परिणामी पैटर्न के टुकड़े पाते हैं। उन्हें एक लाइन से जोड़ने पर हमें फंक्शन का ग्राफ मिलता है। पत्थर गिरने की स्थिति में, द्विघात फलन इस तरह दिखेगा: Y(X) = aX * X + bX + c।

पैमाना

बेशक, एक सीधी रेखा द्वारा विभाजनों के आगे पूर्णांक मान सेट करना आवश्यक नहीं है। यदि आप एक घोंघे की गति पर विचार कर रहे हैं जो 0.03 मीटर प्रति मिनट की गति से रेंगता है, तो निर्देशांक सीधी रेखा पर मान के रूप में सेट करें। इस मामले में, विभाजन मान को 0.01 मीटर पर सेट करें।

एक पिंजरे में एक नोटबुक में इस तरह के चित्र बनाना विशेष रूप से सुविधाजनक है - यहां आप तुरंत देख सकते हैं कि क्या आपके शेड्यूल के लिए शीट पर पर्याप्त जगह है, क्या आप हाशिये से आगे जाएंगे। अपनी ताकत की गणना करना मुश्किल नहीं है, क्योंकि ऐसी नोटबुक में सेल की चौड़ाई 0.5 सेंटीमीटर है। यह लिया - तस्वीर कम कर दी। ग्राफ के पैमाने को बदलने से, यह अपने गुणों को नहीं खोएगा या नहीं बदलेगा।

बिंदु और रेखा निर्देशांक

जब किसी पाठ में गणितीय समस्या दी जाती है, तो इसमें विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के पैरामीटर शामिल हो सकते हैं, दोनों पक्षों की लंबाई, परिधि, क्षेत्र और निर्देशांक के रूप में। इस मामले में, आपको एक आकृति बनाने और उससे जुड़े कुछ डेटा प्राप्त करने की आवश्यकता हो सकती है। प्रश्न उठता है: समन्वय रेखा पर आवश्यक जानकारी कैसे प्राप्त करें? और एक आकृति कैसे बनाएं?

उदाहरण के लिए, हम एक बिंदु के बारे में बात कर रहे हैं। फिर समस्या की स्थिति में एक बड़ा अक्षर दिखाई देगा, और कोष्ठक में कई संख्याएँ दिखाई देंगी, सबसे अधिक बार दो (इसका अर्थ है कि हम द्वि-आयामी स्थान में गिनेंगे)। यदि कोष्ठक में तीन संख्याएँ हैं, जिन्हें अर्धविराम या अल्पविराम से अलग किया गया है, तो यह एक त्रि-आयामी स्थान है। प्रत्येक मान संबंधित अक्ष पर एक निर्देशांक है: पहले क्षैतिज (X) के साथ, फिर ऊर्ध्वाधर (Y) के साथ।

याद रखें कि एक खंड कैसे खींचना है? आपने इसे ज्यामिति पर पारित किया। यदि दो बिंदु हैं, तो उनके बीच एक रेखा खींची जा सकती है। यदि समस्या में कोई खंड दिखाई देता है तो उनके निर्देशांक कोष्ठक में दर्शाए जाते हैं। उदाहरण के लिए: ए(15, 13) - बी(1, 4)। ऐसी रेखा बनाने के लिए, आपको समन्वय विमान पर बिंदुओं को खोजने और चिह्नित करने की आवश्यकता है, और फिर उन्हें कनेक्ट करें। बस इतना ही!

और कोई भी बहुभुज, जैसा कि आप जानते हैं, खंडों का उपयोग करके खींचा जा सकता है। समस्या हल हो गई।

गणना

मान लीजिए कि कोई वस्तु है जिसकी एक्स अक्ष के साथ स्थिति दो संख्याओं की विशेषता है: यह बिंदु पर निर्देशांक (-3) से शुरू होती है और (+2) पर समाप्त होती है। यदि हम इस वस्तु की लंबाई जानना चाहते हैं, तो हमें बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाना होगा। ध्यान दें कि एक ऋणात्मक संख्या घटाव के चिह्न को अवशोषित कर लेती है, क्योंकि "माइनस गुणा माइनस एक प्लस के बराबर होता है।" तो हम (2+3) जोड़ते हैं और 5 प्राप्त करते हैं। यह आवश्यक परिणाम है।

एक अन्य उदाहरण: हमें वस्तु का अंतिम बिंदु और लंबाई दी गई है, लेकिन प्रारंभ बिंदु नहीं (और हमें इसे खोजने की आवश्यकता है)। ज्ञात बिंदु की स्थिति (6) हो, और अध्ययन के तहत वस्तु का आकार (4) हो। अंतिम निर्देशांक से लंबाई घटाकर, हमें उत्तर मिलता है। कुल: (6 - 4) = 2.

नकारात्मक संख्या

अक्सर व्यवहार में नकारात्मक मूल्यों के साथ काम करने की आवश्यकता होती है। इस मामले में, हम समन्वय अक्ष के साथ बाईं ओर बढ़ेंगे। उदाहरण के लिए, 3 सेंटीमीटर ऊँची कोई वस्तु पानी में तैरती है। इसका एक तिहाई भाग द्रव में डूबा रहता है, दो तिहाई वायु में। फिर, पानी की सतह को अक्ष के रूप में चुनते हुए, हमें सबसे सरल अंकगणितीय गणनाओं का उपयोग करके दो नंबर मिलते हैं: वस्तु के शीर्ष बिंदु में निर्देशांक (+2) होता है, और नीचे वाला - (-1) सेंटीमीटर होता है।

यह देखना आसान है कि एक समतल के मामले में, हमारे पास निर्देशांक रेखा के चार चौथाई भाग होते हैं। उनमें से प्रत्येक की अपनी संख्या है। पहले (ऊपरी दाएं) भाग में ऐसे बिंदु होंगे जिनमें दो सकारात्मक निर्देशांक होंगे, दूसरे में - ऊपर बाएं से - एक्स अक्ष के मान नकारात्मक होंगे, और वाई अक्ष के साथ - सकारात्मक। तीसरे और चौथे को आगे वामावर्त गिना जाता है।

महत्वपूर्ण संपत्ति

आप जानते हैं कि एक रेखा को अनंत बिंदुओं के रूप में दर्शाया जा सकता है। हम अक्ष की प्रत्येक दिशा में कितनी भी संख्या में मूल्यों को ध्यान से देख सकते हैं, लेकिन हम दोहराए जाने वाले लोगों से नहीं मिलेंगे। यह भोला और समझने योग्य लगता है, लेकिन यह कथन एक महत्वपूर्ण तथ्य से उपजा है: प्रत्येक संख्या समन्वय रेखा पर एक और केवल एक बिंदु से मेल खाती है।

निष्कर्ष

याद रखें कि किसी भी कुल्हाड़ी, आंकड़े और, यदि संभव हो तो, एक शासक पर ग्राफिक्स बनाया जाना चाहिए। माप की इकाइयों का आविष्कार मनुष्य द्वारा संयोग से नहीं किया गया था - यदि आप ड्राइंग करते समय कोई त्रुटि करते हैं, तो आप एक अलग छवि देखने का जोखिम उठाते हैं जिसे प्राप्त किया जाना चाहिए था।

रेखांकन और गणनाओं की साजिश रचने में सावधान और सटीक रहें। स्कूल में पढ़े गए किसी भी विज्ञान की तरह, गणित को सटीकता पसंद है। थोड़ा प्रयास करें और अच्छे ग्रेड में ज्यादा समय नहीं लगेगा।

पाठ विषय:

« एक सीधी रेखा पर निर्देशांक»

पाठ का उद्देश्य:

छात्रों को निर्देशांक रेखा और ऋणात्मक संख्याओं से परिचित कराएं।

पाठ मकसद:

प्रशिक्षण: छात्रों को समन्वय रेखा और ऋणात्मक संख्याओं से परिचित कराएं।

विकासशील: तार्किक सोच का विकास, किसी के क्षितिज का विस्तार करना।

शैक्षिक: संज्ञानात्मक रुचि का विकास, सूचना संस्कृति की शिक्षा।

शिक्षण योजना:

संगठनात्मक क्षण।पाठ के लिए छात्रों और उनकी तैयारी की जाँच करना।

बुनियादी ज्ञान का अद्यतनीकरण।कवर किए गए विषय पर छात्रों का मौखिक सर्वेक्षण।

नई सामग्री की व्याख्या।

4. अध्ययन सामग्री का समेकन.

5. संक्षेप।पाठ में जो सीखा गया उसका सारांश। छात्रों से प्रश्न।

6. निष्कर्ष।पाठ के मुख्य बिंदुओं का सारांश। ज्ञान का आकलन। निशान लगाना।

7. गृहकार्य. स्वतंत्र कामशिक्षण सामग्री के साथ छात्र।

उपकरण: चाक,बोर्ड, स्लाइड।

विस्तारित रूपरेखा योजना

मंच का नाम और सामग्री

गतिविधि

गतिविधि

छात्रों

मैं मंच

संगठनात्मक क्षण। अभिवादन।

जर्नल भरना।

कक्षा का स्वागत करता है, कक्षा का मुखिया अनुपस्थित लोगों की सूची देता है।

उन्हें हैलो कहो

शिक्षक

द्वितीय चरण

बुनियादी ज्ञान का अद्यतनीकरण।

प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक पाइथागोरस ने कहा: "संख्याएं दुनिया पर राज करती हैं।" हम संख्याओं की इस दुनिया में रहते हैं, और अपने स्कूल के वर्षों में हम विभिन्न संख्याओं के साथ काम करना सीखते हैं।

1 आज के पाठ के लिए हम पहले से कौन-सी संख्याएँ जानते हैं?

2 ये संख्याएँ किन समस्याओं को हल करने में हमारी मदद करती हैं?

आज हम अपनी पाठ्यपुस्तक "परिमेय संख्याएँ" के दूसरे अध्याय के अध्ययन की ओर बढ़ रहे हैं, जहाँ हम संख्याओं के बारे में अपने ज्ञान का विस्तार करेंगे, और पूरे अध्याय "परिमेय संख्याएँ" का अध्ययन करने के बाद हम सीखेंगे कि उन सभी क्रियाओं को कैसे करें जिन्हें आप जानते हैं उनके साथ और विषय समन्वय रेखा से शुरू करें।

1. प्राकृतिक, सामान्य भिन्न, दशमलव भिन्न

2. जोड़, घटाना, गुणा, भाग, किसी संख्या से भिन्न और उसके भिन्न से एक संख्या ज्ञात करना, विभिन्न समीकरणों और समस्याओं को हल करना

चरण III

नई सामग्री की व्याख्या।

आइए रेखा AB लें और इसे बिंदु O से दो अतिरिक्त किरणों - OA और OB में विभाजित करें। हम एक सीधी रेखा पर एक खंड का चयन करते हैं और बिंदु O को मूल बिंदु और दिशा के रूप में लेते हैं।

परिभाषाएँ:

एक सीधी रेखा जिस पर एक संदर्भ बिंदु चुना जाता है, एक इकाई खंड और एक दिशा को समन्वय रेखा कहा जाता है।

एक सीधी रेखा पर किसी बिंदु की स्थिति को दर्शाने वाली संख्या इस बिंदु का निर्देशांक कहलाती है।

एक समन्वय रेखा का निर्माण कैसे करें?

एक सीधा ड्रा

एकल खंड सेट करें

दिशा इंगित करें

समन्वय रेखा को अलग-अलग तरीकों से खींचा जा सकता है: क्षैतिज, लंबवत और क्षितिज के किसी भी अन्य कोण पर, और इसकी शुरुआत होती है लेकिन कोई अंत नहीं होता है।

अभ्यास 1। निम्नलिखित में से कौन सी रेखा समन्वयित नहीं है? (स्लाइड)

आइए एक समन्वय रेखा खींचते हैं, निर्देशांक की उत्पत्ति को चिह्नित करते हैं, एक इकाई खंड और बाईं और दाईं ओर 1,2,3,4 अंक अलग करते हैं।

आइए परिणामी समन्वय रेखा को देखें। इतनी सीधी रेखा असुविधाजनक क्यों है?

मूल से दाईं ओर की दिशा को धनात्मक कहा जाता है, और सीधी रेखा पर दिशा को एक तीर द्वारा दर्शाया जाता है। बिंदु O के दाईं ओर स्थित संख्याएँ धनात्मक कहलाती हैं। ऋणात्मक संख्याएँ बिंदु O के बाईं ओर स्थित हैं, और बिंदु O के बाईं ओर की दिशा को ऋणात्मक कहा जाता है (ऋणात्मक दिशा इंगित नहीं की गई है)। यदि समन्वय रेखा लंबवत स्थित है, तो मूल से ऊपर - सकारात्मक संख्याएं, मूल से नीचे - नकारात्मक। ऋणात्मक संख्याएँ "-" चिह्न के साथ लिखी जाती हैं। वे पढ़ते हैं: "माइनस वन", "माइनस टू", "माइनस थ्री", आदि। अंक 0 - मूल न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक। यह सकारात्मक को ऋणात्मक संख्याओं से अलग करता है।

व्यापारिक गणनाओं में समीकरणों के समाधान और "ऋण" की अवधारणा के कारण ऋणात्मक संख्याओं का उदय हुआ।

ऋणात्मक संख्याएँ प्राकृत संख्याओं और साधारण भिन्नों की तुलना में बहुत बाद में दिखाई दीं। ऋणात्मक संख्याओं के बारे में पहली जानकारी चीनी गणितज्ञों को ईसा पूर्व दूसरी शताब्दी में मिलती है। ईसा पूर्व इ। सकारात्मक संख्याओं को तब संपत्ति के रूप में और ऋणात्मक संख्याओं को ऋण, कमी के रूप में व्याख्यायित किया गया था। यूरोप में, मान्यता एक हजार साल बाद आई, और फिर भी लंबे समय तक नकारात्मक संख्याओं को "झूठी", "काल्पनिक" या "बेतुका" कहा जाता था। 17वीं शताब्दी में, ऋणात्मक संख्याओं को संख्या रेखा पर एक दृश्य ज्यामितीय निरूपण प्राप्त हुआ।

आप एक समन्वय रेखा के उदाहरण भी दे सकते हैं: एक थर्मामीटर, पर्वत चोटियों और अवसादों की तुलना (समुद्र का स्तर शून्य के रूप में लिया जाता है), मानचित्र पर दूरी, एक लिफ्ट शाफ्ट, घर, क्रेन।

सोचनाक्या आप निर्देशांक रेखा के कोई अन्य उदाहरण जानते हैं?

कार्य।

कार्य 2. बिंदुओं के निर्देशांकों के नाम लिखिए।

टास्क 3. एक समन्वय रेखा पर प्लॉट बिंदु

टास्क 4 . एक क्षैतिज रेखा खींचिए और उस पर O अंकित कीजिए। इस रेखा पर A, B, C, K अंकित कीजिए, यदि यह ज्ञात हो कि:

A, O के दायीं ओर 9 सेल है;

B, O के बाईं ओर 6.5 कक्ष है;

C, O के दायीं ओर साढ़े तीन स्थान पर है;

K, O . के बाईं ओर 3 स्थान है .

आधार नोट्स में दर्ज।

सुनो, पूरक।

अपनी नोटबुक में कार्य को पूरा करें और फिर अपने उत्तरों को जोर से समझाएं।

ड्रा, निर्देशांक की उत्पत्ति को एक एकल खंड के रूप में चिह्नित करें

ऐसी सीधी रेखा असुविधाजनक है कि समान संख्या सीधी रेखा पर 2 बिंदुओं से मेल खाती है।

हमारे युग और हमारे युग से पहले का इतिहास।

चतुर्थ चरण

अध्ययन सामग्री का समेकन।

1. निर्देशांक रेखा क्या है?

2. एक समन्वय रेखा कैसे बनाएं?

1. एक सीधी रेखा जिस पर एक संदर्भ बिंदु चुना जाता है, एक इकाई खंड और एक दिशा को समन्वय रेखा कहा जाता है

2) एक सीधी रेखा खींचना

उलटी गिनती की शुरुआत को चिह्नित करें

एकल खंड सेट करें

दिशा इंगित करें

स्टेज वी

सारांश

आज हमने क्या नया सीखा?

निर्देशांक रेखा और ऋणात्मक संख्याएँ।

छठा चरण

ज्ञान का आकलन। निशान लगाना।

गृहकार्य।

कवर किए गए विषय पर प्रश्न बनाएं (उनके उत्तर जानें)

समन्वय रेखा।

आइए एक सीधी रेखा लेते हैं। आइए इसे एक सीधी रेखा x कहते हैं (चित्र 1)। हम इस रेखा पर एक संदर्भ बिंदु O चुनते हैं, और एक तीर (चित्र 2) के साथ इस रेखा की सकारात्मक दिशा भी दर्शाते हैं। इस प्रकार, बिंदु O के दाईं ओर हमारे पास सकारात्मक संख्याएँ होंगी, और बाईं ओर - ऋणात्मक। हम स्केल चुनते हैं, यानी सीधी रेखा खंड का आकार, एक के बराबर। समझ गए समन्वय रेखा(चित्र 3)। प्रत्येक संख्या इस रेखा पर एक विशिष्ट एकल बिंदु से मेल खाती है। इसके अलावा, इस संख्या को इस बिंदु का निर्देशांक कहा जाता है। अतः रेखा को निर्देशांक रेखा कहते हैं। और संदर्भ बिंदु O को मूल बिंदु कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, अंजीर में। 4 बिंदु B, मूल बिंदु के दाईं ओर 2 की दूरी पर है। बिंदु D, मूल बिंदु के बाईं ओर 4 की दूरी पर है। तदनुसार, बिंदु B का निर्देशांक 2 है, और बिंदु D का निर्देशांक -4 है। बिंदु O स्वयं, एक संदर्भ बिंदु होने के कारण, 0 (शून्य) का निर्देशांक है। इसे आमतौर पर इस तरह लिखा जाता है: O(0), B(2), D(-4)। और लगातार "बिंदु डी समन्वय के साथ और इस तरह" नहीं कहने के लिए, वे और अधिक सरलता से कहते हैं: "बिंदु 0, बिंदु 2, बिंदु -4"। और इस मामले में, यह अपने समन्वय (छवि 5) के साथ ही बिंदु को निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है।

निर्देशांक रेखा के दो बिंदुओं के निर्देशांक जानने के बाद, हम हमेशा उनके बीच की दूरी की गणना कर सकते हैं। मान लीजिए कि हमारे पास क्रमशः ए और बी निर्देशांक के साथ दो बिंदु ए और बी हैं। तब उनके बीच की दूरी होगी |a - b|। रिकॉर्ड |ए - बी| "एक माइनस बी मोडुलो" या "संख्याओं ए और बी के बीच अंतर का मापांक" के रूप में पढ़ें।

एक मॉड्यूल क्या है?

बीजगणितीय रूप से, x का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है। |x| के रूप में निरूपित। इसके अलावा, यदि x > 0, तो |x| = एक्स. यदि x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

ज्यामितीय रूप से, संख्या x का मापांक बिंदु और मूल बिंदु के बीच की दूरी है। और यदि निर्देशांक x1 और x2 के साथ दो बिंदु हैं, तो |x1 - x2| इन बिंदुओं के बीच की दूरी है।

मॉड्यूल भी कहा जाता है निरपेक्ष मूल्य.

जब समन्वय रेखा की बात आती है तो हम और क्या कह सकते हैं? निश्चित रूप से संख्यात्मक अंतराल के बारे में।

संख्यात्मक अंतराल के प्रकार।

मान लीजिए कि हमारे पास दो नंबर ए और बी हैं। इसके अलावा, b > a (b, a से बड़ा है)। निर्देशांक रेखा पर, इसका अर्थ है कि बिंदु b, बिंदु a के दाईं ओर है। आइए हम अपनी असमानता में b को वेरिएबल x से बदलें। वह एक्स> ए है। तब x, a से बड़ी सभी संख्याएँ हैं। निर्देशांक रेखा पर, ये क्रमशः बिंदु a के दाईं ओर सभी बिंदु हैं। रेखा का यह भाग छायांकित है (चित्र 6)। बिंदुओं के ऐसे समुच्चय को कहा जाता है खुली किरण, और यह संख्यात्मक अंतराल (a; +∞) द्वारा निरूपित किया जाता है, जहां +∞ चिह्न को "प्लस इनफिनिटी" के रूप में पढ़ा जाता है। ध्यान दें कि बिंदु a स्वयं इस अंतराल में शामिल नहीं है और एक प्रकाश वृत्त द्वारा इंगित किया गया है।

उस स्थिति पर भी विचार करें जब x a. तब x, a से बड़ी या उसके बराबर सभी संख्याएँ हैं। निर्देशांक रेखा पर, ये सभी बिंदु a के दाईं ओर हैं, साथ ही स्वयं बिंदु a (चित्र 7 में, बिंदु a पहले से ही एक काले घेरे द्वारा इंगित किया गया है)। बिंदुओं के ऐसे समुच्चय को कहा जाता है बंद बीम(या सिर्फ एक किरण), और यह संख्यात्मक अंतराल द्वारा निरूपित किया जाता है।

निर्देशांक रेखा को भी कहते हैं समन्वय अक्ष. या सिर्फ एक्स-अक्ष।

अध्याय 1 के अंत में हमने कहा था कि बीजगणित के दौरान, आपको और मुझे वास्तविक स्थितियों को शब्दों (मौखिक मॉडल), बीजगणितीय (बीजगणितीय या, जैसा कि गणितज्ञ अक्सर कहते हैं, विश्लेषणात्मक मॉडल), ग्राफिक रूप से (ग्राफ़िक) में वर्णन करना सीखना होगा। या ज्यामितीय मॉडल)। संपूर्ण पहला खंड पाठयपुस्तक(अध्याय 1-5) गणितीय भाषा के अध्ययन के लिए समर्पित था जिसके साथ विश्लेषणात्मक मॉडल का वर्णन किया गया है।

अध्याय 6 से शुरू करते हुए, हम न केवल नए विश्लेषणात्मक, बल्कि ग्राफिकल (ज्यामितीय) मॉडल का भी अध्ययन करेंगे। वे एक समन्वय रेखा का उपयोग करके बनाए गए हैं, कार्तिकये निर्देशांक. ग्रेड 5-6 में गणित के पाठ्यक्रम से ये अवधारणाएं आपको थोड़ी परिचित हैं।

सीधी रेखा /, जिस पर आद्याक्षर दूरसंचार विभागहे (संदर्भ बिंदु), स्केल (एकल .) रेखा खंड, यानी, एक खंड, जिसकी लंबाई 1 के बराबर मानी जाती है) और सकारात्मक दिशा को निर्देशांक रेखा या निर्देशांक अक्ष (चित्र 7) कहा जाता है; "एक्स-अक्ष" शब्द का भी प्रयोग किया जाता है।

प्रत्येक संख्या रेखा पर एक बिंदु से मेल खाती है। उदाहरण के लिए, संख्या 3.5 बिंदु M (चित्र 8) से मेल खाती है, जिसे मूल बिंदु से हटा दिया जाता है, अर्थात, बिंदु O से, 3.5 (किसी दिए गए पैमाने पर) के बराबर दूरी पर, और बिंदु O से स्थगित कर दिया जाता है। किसी दिए गए (सकारात्मक) दिशा में। संख्या -4 बिंदु P (चित्र 8 देखें) से मेल खाती है, जिसे बिंदु O से 4 के बराबर दूरी पर हटा दिया जाता है, और बिंदु O से नकारात्मक दिशा में स्थगित कर दिया जाता है, अर्थात, दिए गए के विपरीत दिशा में एक।

विलोम भी सत्य है: निर्देशांक रेखा का प्रत्येक बिंदु एक ही संख्या से मेल खाता है।

उदाहरण के लिए, बिंदु K, जो कि सकारात्मक (दिए गए) दिशा में बिंदु O से 5.4 है, संख्या 5.4 से मेल खाती है, और बिंदु N, जो कि नकारात्मक दिशा में बिंदु O से 2.1 है, संख्या - 2.1 से मेल खाती है (अंजीर देखें) 8)।

इन संख्याओं को संगत बिंदुओं के निर्देशांक कहा जाता है। तो, अंजीर में। 8 बिंदु K का निर्देशांक 5.4 है; बिंदु पी - समन्वय -4; बिंदु एम - 3.5 समन्वय; बिंदु एन - समन्वय -2.1; बिंदु ओ - समन्वय 0 (शून्य)। इसलिए नाम - "समन्वय रेखा"। लाक्षणिक रूप से, समन्वय रेखा एक घनी आबादी वाला घर है, इस घर के निवासी बिंदु हैं, और बिंदुओं के निर्देशांक अपार्टमेंट की संख्या हैं जिनमें बिंदु-निवासी रहते हैं।

हमें एक समन्वय रेखा की आवश्यकता क्यों है? एक बिंदु को एक संख्या से और एक संख्या को एक बिंदु से क्यों चिह्नित करें? क्या इसका कोई फायदा है? हाँ वहाँ है।
उदाहरण के लिए, समन्वय रेखा पर दो बिंदु दिए गए हैं: ए - समन्वय ओ और बी के साथ - समन्वय बी के साथ (आमतौर पर ऐसे मामलों में वे कम लिखते हैं:
ए (ए), बी (बी))। मान लीजिए हमें बिंदु A और B के बीच की दूरी d ज्ञात करने की आवश्यकता है। यह पता चलता है कि करने के बजाय ज्यामितीय माप, बस तैयार सूत्र d \u003d (a - b) का उपयोग करें (आपने इसे ग्रेड 6 में पढ़ा है)।
तो, चित्र 8 में हमारे पास है:

तर्क की संक्षिप्तता के प्रयास में, गणितज्ञ लंबे वाक्यांश "समन्वय रेखा के बिंदु ए, समन्वय ए" के बजाय एक छोटे वाक्यांश का उपयोग करने के लिए सहमत हुए: "बिंदु ए", और, तदनुसार, ड्राइंग पर, बिंदु के तहत विचार इसके समन्वय द्वारा निरूपित किया जाता है। तो, चित्र 9 एक समन्वय रेखा दिखाता है, जिस पर अंक - 4 अंकित हैं; - 2.1; 0; एक; 3.5; 5.4.

निर्देशांक रेखा हमें बीजीय से ज्यामितीय भाषा में और इसके विपरीत स्वतंत्र रूप से स्विच करने का अवसर देती है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, संख्या a, संख्या b से कम है। बीजगणितीय भाषा में इसे इस प्रकार लिखा जाता है: a< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
हालाँकि, बीजीय और ज्यामितीय दोनों भाषाएँ एक ही गणितीय भाषा की किस्में हैं जिनका हम अध्ययन कर रहे हैं।

आइए गणितीय भाषा के कई और तत्वों से परिचित हों जो समन्वय रेखा से जुड़े हैं।

1. मान लीजिए कि निर्देशांक रेखा पर एक बिंदु a अंकित है। उन सभी बिंदुओं पर विचार करें जो बिंदु a के दाईं ओर सीधी रेखा पर स्थित हैं, और संगत भाग को एक समन्वय रेखा हैचिंग के साथ चिह्नित करें (चित्र 10)। बिंदुओं (संख्याओं) के इस सेट को एक खुली किरण कहा जाता है और (a, +oo) द्वारा निरूपित किया जाता है, जहां +oo चिह्न पढ़ता है: "प्लस इनफिनिटी"; यह असमानता x > a (dz से हमारा मतलब बीम के किसी भी बिंदु से है) की विशेषता है।

कृपया ध्यान दें: बिंदु ए एक खुले बीम से संबंधित नहीं है, लेकिन अगर इस बिंदु को एक खुली बीम से जोड़ने की आवश्यकता है, तो x\u003e a लिखें या, तदनुसार, ड्राइंग पर बिंदु b पर पेंट करें (चित्र 13);

(-oo, b) के लिए हम ray शब्द का भी प्रयोग करेंगे।

3. मान लीजिए कि निर्देशांक रेखा पर बिंदु a और b अंकित हैं, और< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

इस सेट (संख्याओं का) को अंतराल कहा जाता है और इसे (ए, बी) द्वारा दर्शाया जाता है।

यह एक सख्त दोहरी असमानता की विशेषता है a< х < b (под х понимается любая точка интервала).

कृपया ध्यान दें: अंतराल (a, b) दो खुली किरणों (-oo, b) और (a, + oo) का प्रतिच्छेदन (सामान्य भाग) है - यह चित्र 15 में स्पष्ट रूप से देखा गया है।

यदि हम इसके सिरों को अंतराल (ए, बी), यानी अंक ए और बी में जोड़ते हैं, तो हमें खंड [ए, बी] (आकृति 16) मिलता है,

जो एक गैर-सख्त दोहरी असमानता की विशेषता है a< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

खंड [ए, बी] दो किरणों (-ओओ, बी) का प्रतिच्छेदन (सामान्य भाग) है और जो दोहरी असमानताओं की विशेषता है: ए< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

इसलिए, हमने गणितीय भाषा के पांच नए शब्द पेश किए हैं: किरण, खुली किरण, अंतराल, खंड, आधा-अंतराल। एक सामान्य शब्द भी है: संख्यात्मक अंतराल।

निर्देशांक रेखा को ही एक संख्यात्मक अंतराल भी माना जाता है; इसके लिए अंकन (-oo, +oo) का प्रयोग किया जाता है।

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ए वी पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक