संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा। कैसे साबित करें कि अनुक्रम अभिसरण करता है? अभिसरण अनुक्रमों के मूल गुण अनुक्रमों के प्रकार

अनुक्रम और कार्य सीमाओं की परिभाषा, सीमाओं के गुण, पहली और दूसरी उल्लेखनीय सीमाएं, उदाहरण।

स्थिर संख्या एकबुलाया सीमा दृश्यों(x n) यदि किसी मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या ε> 0 के लिए एक संख्या N मौजूद है जैसे कि सभी मान एक्स एन, जिसके लिए n>N, असमानता को संतुष्ट करें

इसे इस प्रकार लिखें: या x n → a.

असमानता (6.1) दोहरी असमानता के बराबर है

ए -< x n < a + ε которое означает, что точки एक्स एन, कुछ संख्या n>N से शुरू होकर, अंतराल (a-ε , a+ε) के अंदर स्थित है, अर्थात। बिंदु के किसी भी छोटे ε-पड़ोस में गिरना एक.

जिस क्रम की एक सीमा होती है उसे कहते हैं अभिसारी, अन्यथा - विभिन्न.

किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा एक अनुक्रम की सीमा की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है, क्योंकि अनुक्रम की सीमा को पूर्णांक तर्क के फ़ंक्शन x n = f(n) की सीमा के रूप में माना जा सकता है एन.

मान लीजिए एक फलन f(x) दिया गया है और मान लीजिए एक - सीमा बिंदुइस फ़ंक्शन डी (एफ) की परिभाषा का डोमेन, यानी। ऐसा बिंदु, जिसके किसी भी पड़ोस में समुच्चय D(f) के बिंदु . से भिन्न हों एक. दूरसंचार विभाग एकसेट डी (एफ) से संबंधित हो सकता है या नहीं।

परिभाषा 1.अचर संख्या A कहलाती है सीमा कार्योंएफ (एक्स) पर x→ a if की ओर प्रवृत्त तर्क मानों के किसी अनुक्रम (x n ) के लिए एक, संगत अनुक्रम (f(x n)) की एक ही सीमा A है।

इस परिभाषा को कहा जाता है हाइन के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा को परिभाषित करना,या " क्रम की भाषा में”.

परिभाषा 2. अचर संख्या A कहलाती है सीमा कार्योंएफ (एक्स) पर x→a यदि, मनमाना, मनमाने ढंग से छोटी धनात्मक संख्या ε दिया जाए, तो कोई δ >0 (ε के आधार पर) इस प्रकार प्राप्त कर सकता है कि सभी के लिए एक्स, संख्या के ε-पड़ोस में पड़ा हुआ एक, अर्थात। के लिये एक्सअसमानता को संतुष्ट करना
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

इस परिभाषा को कहा जाता है कॉची के अनुसार किसी फ़ंक्शन की सीमा को परिभाषित करना,या "भाषा में -"

परिभाषाएँ 1 और 2 समतुल्य हैं। यदि फलन f(x) x → a के रूप में है सीमा A के बराबर, इसे इस प्रकार लिखा जाता है

इस घटना में कि सन्निकटन की किसी भी विधि के लिए अनुक्रम (f(x n)) अनिश्चित काल तक बढ़ता (या घटता) है एक्सअपनी सीमा तक एक, तो हम कहेंगे कि फलन f(x) में है अनंत सीमा,और इसे इस प्रकार लिखें:

एक चर (अर्थात् एक अनुक्रम या फलन) जिसकी सीमा शून्य है, कहलाती है असीम रूप से छोटा।

एक चर जिसकी सीमा अनंत के बराबर होती है, कहलाती है असीम रूप से बड़ा.

व्यवहार में सीमा ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित प्रमेयों का प्रयोग करें।

प्रमेय 1 . अगर हर सीमा मौजूद है

(6.4)

(6.5)

(6.6)

टिप्पणी. 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ के रूप के व्यंजक अनिश्चित हैं, उदाहरण के लिए, दो अतिसूक्ष्म या अपरिमित रूप से बड़ी मात्राओं का अनुपात, और इस प्रकार की सीमा ज्ञात करना "अनिश्चितता प्रकटीकरण" कहलाता है।

प्रमेय 2।

वे। एक स्थिर घातांक पर डिग्री के आधार पर सीमा को पारित करना संभव है, विशेष रूप से,

प्रमेय 3.

(6.11)

कहाँ पे इ» 2.7 प्राकृतिक लघुगणक का आधार है। सूत्र (6.10) और (6.11) को पहली उल्लेखनीय सीमा और दूसरी उल्लेखनीय सीमा कहा जाता है।

सूत्र (6.11) के उपफलों का प्रयोग व्यवहार में भी किया जाता है:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

विशेष रूप से सीमा

यदि x → a और उसी समय x > a, तो x →a + 0 लिखें। यदि, विशेष रूप से, a = 0, तो प्रतीक 0+0 के बजाय +0 लिखें। इसी प्रकार, यदि x→a और उसी समय x और उसी के अनुसार नाम दिए गए हैं। सही सीमातथा बाईं सीमा कार्योंएफ (एक्स) बिंदु पर एक. फलन f(x) की x→ a के रूप में मौजूद रहने की सीमा के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि . फलन f(x) कहलाता है निरंतर बिंदु पर x 0 अगर सीमा

(6.15)

शर्त (6.15) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

अर्थात्, किसी फ़ंक्शन के संकेत के तहत सीमा तक जाना संभव है यदि यह किसी दिए गए बिंदु पर निरंतर है।

यदि समानता (6.15) का उल्लंघन होता है, तो हम कहते हैं कि परएक्स = एक्सओ समारोहएफ (एक्स) यह है अंतर।फलन y = 1/x पर विचार करें। इस फ़ंक्शन का डोमेन सेट है आर, x = 0 को छोड़कर। बिंदु x = 0 समुच्चय D(f) का एक सीमा बिंदु है, क्योंकि इसके किसी भी पड़ोस में, अर्थात, बिंदु 0 वाले किसी भी खुले अंतराल में D(f) से बिंदु होते हैं, लेकिन यह स्वयं इस सेट से संबंधित नहीं होता है। मान f(x o)= f(0) परिभाषित नहीं है, इसलिए फ़ंक्शन का बिंदु x o = 0 पर एक असंततता है।

फलन f(x) कहलाता है एक बिंदु पर दाईं ओर निरंतरएक्स ओ अगर सीमा

तथा एक बिंदु पर बाईं ओर निरंतरएक्स ओ अगर सीमा

एक बिंदु पर एक समारोह की निरंतरता एक्स ओइस बिंदु पर दाईं और बाईं ओर इसकी निरंतरता के बराबर है।

एक बिंदु पर एक समारोह के निरंतर होने के लिए एक्स ओ, उदाहरण के लिए, दाईं ओर, यह आवश्यक है, सबसे पहले, कि एक सीमित सीमा है, और दूसरी बात, कि यह सीमा f(x o) के बराबर हो। इसलिए, यदि इन दोनों में से कम से कम एक शर्त पूरी नहीं होती है, तो फ़ंक्शन में अंतराल होगा।

1. यदि सीमा मौजूद है और f(x o) के बराबर नहीं है, तो वे कहते हैं कि समारोहएफ (एक्स) बिंदु परएक्सओ है पहली तरह का ब्रेक,या कूदना.

2. यदि सीमा +∞ या -∞ है या मौजूद नहीं है, तो वे कहते हैं कि in बिंदुएक्स ओ समारोह में एक विराम है दूसरा प्रकार.

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = ctg x x → +0 के रूप में +∞ के बराबर एक सीमा है, जिसका अर्थ है कि बिंदु x = 0 पर दूसरी तरह की एक निरंतरता है। फलन y = E(x) ( . का पूर्णांक भाग) एक्स) पूर्णांक एब्सिसस वाले बिंदुओं पर पहली तरह की असंततता होती है, या कूदता है।

एक फलन जो अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है, कहलाता है निरंतरमें । एक सतत फलन को एक ठोस वक्र द्वारा निरूपित किया जाता है।

कुछ मात्रा की निरंतर वृद्धि से जुड़ी कई समस्याएं दूसरी उल्लेखनीय सीमा तक ले जाती हैं। उदाहरण के लिए, इस तरह के कार्यों में शामिल हैं: चक्रवृद्धि ब्याज के कानून के अनुसार योगदान की वृद्धि, देश की जनसंख्या की वृद्धि, एक रेडियोधर्मी पदार्थ का क्षय, बैक्टीरिया का गुणन, आदि।

विचार करना हां। आई। पेरेलमैन का उदाहरण, जो संख्या की व्याख्या देता है इचक्रवृद्धि ब्याज की समस्या में। संख्या इएक सीमा है . बचत बैंकों में, ब्याज का पैसा सालाना निश्चित पूंजी में जोड़ा जाता है। यदि कनेक्शन अधिक बार किया जाता है, तो पूंजी तेजी से बढ़ती है, क्योंकि ब्याज के गठन में बड़ी राशि शामिल होती है। आइए एक विशुद्ध सैद्धांतिक, अत्यधिक सरलीकृत उदाहरण लें। बैंक को 100 डेन लगाने दें। इकाइयों 100% प्रति वर्ष की दर से। अगर एक साल बाद ही तय पूंजी में ब्याज देने वाला पैसा जोड़ा जाए तो इस समय तक 100 डेन। इकाइयों 200 मांद में बदल जाएगा। अब देखते हैं कि 100 मांद क्या बन जाते हैं। इकाइयाँ, यदि ब्याज का पैसा हर छह महीने में निश्चित पूंजी में जोड़ा जाता है। आधे साल के बाद 100 डेन। इकाइयों 100 × 1.5 = 150, और अगले छह महीनों में - 150 × 1.5 = 225 (मुद्रा इकाइयों) से बढ़ेगा। यदि वर्ष के प्रत्येक 1/3 भाग में परिग्रहण किया जाता है, तो एक वर्ष के बाद 100 मांद। इकाइयों 100 × (1 + 1/3) 3 237 (डेन। इकाइयों) में बदल जाएगा। हम ब्याज राशि को 0.1 वर्ष, 0.01 वर्ष, 0.001 वर्ष, और इसी तरह जोड़ने की समय सीमा बढ़ाएंगे। फिर 100 डेन में से। इकाइयों एक वर्ष बाद:

100×(1 +1/10) 10 259 (अंदर। इकाइयाँ),

100×(1+1/100) 100 270 (अंदर। इकाइयाँ),

100×(1+1/1000) 1000 271 (अंदर। इकाइयाँ)।

ब्याज में शामिल होने की शर्तों में असीमित कमी के साथ, संचित पूंजी अनिश्चित काल तक नहीं बढ़ती है, लेकिन लगभग 271 के बराबर एक निश्चित सीमा तक पहुंच जाती है। प्रति वर्ष 100% पर रखी गई पूंजी 2.71 गुना से अधिक नहीं बढ़ सकती है, भले ही अर्जित ब्याज हर सेकंड राजधानी में जोड़ा जाता है क्योंकि सीमा

उदाहरण 3.1. किसी संख्या अनुक्रम की सीमा की परिभाषा का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम x n =(n-1)/n की सीमा 1 के बराबर है।

समाधान।हमें यह साबित करने की आवश्यकता है कि जो कुछ भी ε > 0 हम लेते हैं, उसके लिए एक प्राकृतिक संख्या N होती है, जैसे कि सभी n > N असमानता |x n -1|< ε

कोई भी ε > 0 लें। चूँकि x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, तो N ज्ञात करने के लिए यह असमानता 1/n को हल करने के लिए पर्याप्त है।<ε. Отсюда n>1/ε और, इसलिए, N को 1/ε N = E(1/ε) के पूर्णांक भाग के रूप में लिया जा सकता है। इस प्रकार हमने सिद्ध कर दिया कि सीमा .

समाधान। सीमा योग प्रमेय लागू करें और प्रत्येक पद की सीमा ज्ञात करें। n → के रूप में, प्रत्येक पद का अंश और हर अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, और हम भागफल सीमा प्रमेय को सीधे लागू नहीं कर सकते। इसलिए, हम पहले रूपांतरित करते हैं एक्स एन, पहले पद के अंश और हर को विभाजित करके एन 2, और दूसरा एन. फिर, भागफल सीमा प्रमेय और योग सीमा प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं:

उदाहरण 3.3. . पाना ।

यहां हमने डिग्री सीमा प्रमेय का उपयोग किया है: डिग्री की सीमा आधार की सीमा की डिग्री के बराबर है।

उदाहरण 3.4. पाना ( ).

समाधान। अंतर सीमा प्रमेय को लागू करना असंभव है, क्योंकि हमारे पास फॉर्म -∞ की अनिश्चितता है। आइए सामान्य शब्द के सूत्र को रूपांतरित करें:

उदाहरण 3.5. एक फलन दिया गया है f(x)=2 1/x । साबित करें कि सीमा मौजूद नहीं है।

समाधान।हम अनुक्रम के संदर्भ में किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा 1 का उपयोग करते हैं। एक अनुक्रम लें ( x n ) जो 0 में परिवर्तित होता है, अर्थात। आइए हम दिखाते हैं कि मान f(x n)= विभिन्न अनुक्रमों के लिए अलग-अलग व्यवहार करता है। मान लीजिए x n = 1/n। जाहिर है, फिर सीमा आइए अब इस रूप में चुनें एक्स एनएक सामान्य पद x n = -1/n के साथ एक अनुक्रम, जो शून्य की ओर भी प्रवृत्त होता है। इसलिए, कोई सीमा नहीं है।

उदाहरण 3.6. साबित करें कि सीमा मौजूद नहीं है।

समाधान।मान लीजिए x 1, x 2 ,..., x n ,... एक अनुक्रम है जिसके लिए
. अनुक्रम (f(x n)) = (sin x n ) भिन्न x n → के लिए कैसे व्यवहार करता है

यदि x n \u003d p n, तो पाप x n \u003d पाप (p .) n) = 0 सभी के लिए एनऔर सीमा if
xn=2 p n+ p /2, तब sin x n = sin(2 p n+ p/2) = sin p /2 = 1 सभी के लिए एनऔर इसलिए सीमा। इस प्रकार मौजूद नहीं है।

संख्या क्रम संख्याओं के अनंत सेट हैं। अनुक्रमों के उदाहरण हैं: अनंत ज्यामितीय प्रगति के सभी सदस्यों का क्रम, अनुमानित मूल्यों का क्रम ( एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 1,4, एक्स 3= 1.41, ...), नियमित के परिमापों का क्रम एन-गॉन किसी दिए गए सर्कल में खुदे हुए हैं। आइए एक संख्यात्मक अनुक्रम की धारणा को परिष्कृत करें।

परिभाषा 1.यदि प्रत्येक संख्या एनसंख्या 1, 2, 3,... की प्राकृतिक श्रृंखला से पी,...एक वास्तविक संख्या असाइन की गई एक्स पी,तब वास्तविक संख्याओं का समुच्चय

x 1 , x 2 , x 3 ,…, x n ,…(2.1)

बुलाया संख्या क्रम,या सिर्फ एक क्रम। .

नंबर एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3, ..., एक्स पी,... कॉल करेंगे तत्व,या सदस्योंअनुक्रम (2.1), प्रतीक एक्स पी - सामान्यएक तत्व, या अनुक्रम का सदस्य, और संख्या पी -उसके संख्या।संक्षेप में, अनुक्रम (2.1) को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाएगा (एक्स पी)।उदाहरण के लिए, चरित्र (1/ एन) संख्याओं के अनुक्रम को दर्शाता है

दूसरे शब्दों में, अनुक्रम को क्रमांकित तत्वों के अनंत सेट या संख्याओं के जोड़े के सेट के रूप में समझा जा सकता है (पी, एक्स पी),जिसमें पहली संख्या लगातार मान 1, 2, 3, ... लेती है। एक अनुक्रम दिया गया माना जाता है यदि इसके किसी भी तत्व को प्राप्त करने के लिए एक विधि निर्दिष्ट की जाती है। उदाहरण के लिए, सूत्र एक्स एन = -1 + (-1)एनअनुक्रम 0, 2, 0, 2,... को परिभाषित करता है।

ज्यामितीय रूप से, अनुक्रम को संख्यात्मक अक्ष पर उन बिंदुओं के अनुक्रम के रूप में दर्शाया जाता है जिनके निर्देशांक अनुक्रम के संबंधित सदस्यों के बराबर होते हैं। अंजीर पर। 2.1 अनुक्रम दिखाता है ( एक्स एन} = {1/एन) संख्या रेखा पर।

एक अभिसरण अनुक्रम की अवधारणा

परिभाषा 2.संख्या एकबुलाया अनुक्रम सीमा{एक्स एन} , यदि किसी धनात्मक संख्या के लिए ε एक संख्या है एन, कि सभी के लिए एन > नहींअसमानता

जिस क्रम की एक सीमा होती है उसे कहते हैं अभिसरण।यदि अनुक्रम की सीमा के रूप में एक संख्या है एक, तो यह इस प्रकार लिखा गया है:

वह क्रम जिसकी कोई सीमा न हो, कहलाता है भिन्न।

परिभाषा 3.एक क्रम जिसकी सीमा के रूप में एक संख्या होती है एक= 0 कहा जाता है अनंतिम क्रम।

टिप्पणी 1.चलो अनुक्रम ( एक्स एन) इसकी सीमा के रूप में संख्या है एक. फिर अनुक्रम (α एन} = {एक्स एन - ए) असीम रूप से छोटा है, अर्थात। कोई तत्व एक्स पीसीमा के साथ अभिसरण अनुक्रम एक, के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

जहां α एन-एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम का तत्व (α एन} .

टिप्पणी 2.असमानता (2.2) असमानताओं के बराबर है (§ 1.5 से किसी संख्या के मापांक का गुण 4 देखें)

इसका मतलब है कि एन > नहींअनुक्रम के सभी तत्व ( एक्स एन) में स्थित हैं -पड़ोसअंक एक(चित्र 2.2), और संख्या एनके मान से निर्धारित होता है।

इस परिभाषा की ज्यामितीय व्याख्या करना दिलचस्प है। चूंकि अनुक्रम संख्याओं का एक अनंत सेट है, तो यदि यह बिंदु के किसी भी ε-पड़ोस में अभिसरण करता है एकवास्तविक रेखा पर इस क्रम के तत्वों की अनंत संख्या होती है, जबकि ε-पड़ोस के बाहर तत्वों की एक सीमित संख्या होती है। इसलिए, अनुक्रम की सीमा को अक्सर कहा जाता है मोटा होना बिंदु।

टिप्पणी 3.असीमित अनुक्रम में नहीं है अंतिमसीमा हालाँकि, उसके पास हो सकता है अनंतसीमा, जो निम्नलिखित रूप में लिखी गई है:

यदि उसी समय, एक निश्चित संख्या से शुरू होकर, अनुक्रम के सभी सदस्य धनात्मक (ऋणात्मक) हैं, तो लिखें

यदि एक ( एक्स एन) एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम है, तब (1 .) /एक्स पी} - एक अनंत क्रमजिसकी (2.3) के अर्थ में अनंत सीमा है, और इसके विपरीत।

आइए हम अभिसारी और अपसारी अनुक्रमों के उदाहरण दें।

उदाहरण 1किसी अनुक्रम की सीमा की परिभाषा का प्रयोग करते हुए दर्शाइए कि .

समाधान। कोई भी संख्या ε > 0 लीजिए। चूँकि

तब असमानता (2.2) धारण करने के लिए, यह असमानता को हल करने के लिए पर्याप्त है 1 / ( एन + 1) < ε, откуда получаем एन> (1 - ) / . लेने के लिए पर्याप्त एन= [(1 - )/ε] (संख्या का पूर्णांक भाग (1 - )/ )* ताकि असमानता |एक्स पी - 1| < ε выполнялосьпривсех एन > एन.

* चिन्ह, प्रतीक [ एक] का अर्थ है संख्या का पूर्णांक भाग एक, अर्थात। सबसे बड़ा पूर्णांक . से अधिक नहीं एक. उदाहरण के लिए, =2, =2, =0, [-0, 5] = -1, [-23.7] = -24।

उदाहरण 2दिखाएँ कि अनुक्रम ( एक्स एन} = (-1)एन, या -1, 1, -1, 1,... की कोई सीमा नहीं है।

समाधान। वास्तव में, जो भी संख्या हम एक सीमा के रूप में मानते हैं: 1 या -1, . के साथ< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов एक्स पी: सभी विषम संख्या वाले तत्व -1 हैं, सम संख्या वाले तत्व 1 हैं।

अभिसरण अनुक्रमों के मूल गुण

आइए हम अभिसरण अनुक्रमों के मुख्य गुण प्रस्तुत करते हैं, जो उच्च गणित के पाठ्यक्रम में प्रमेयों के रूप में तैयार किए जाते हैं।

1.यदि एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम के सभी अवयव{एक्स एन} समान संख्या c के बराबर हैं, तो c = 0.

2. एक अभिसरण अनुक्रम की केवल एक सीमा होती है।

3.अभिसरण अनुक्रम बाध्य है।

4.अभिसारी अनुक्रमों का योग (अंतर){एक्स एन} तथा{Y n} एक अभिसारी अनुक्रम है जिसकी सीमा अनुक्रमों की सीमाओं के योग (अंतर) के बराबर है{एक्स पी} तथा{वाई पी}.

5.अभिसरण अनुक्रमों का उत्पाद{एक्स एन} तथा{Y n} एक अभिसारी अनुक्रम है जिसकी सीमा अनुक्रमों की सीमाओं के गुणनफल के बराबर है{एक्स एन} तथा{Y n} .

6.दो अभिसरण अनुक्रमों का भागफल{एक्स एन} तथा{Y n} बशर्ते कि अनुक्रम की सीमा{Y n} गैर-शून्य है, एक अभिसारी अनुक्रम है जिसकी सीमा अनुक्रमों की सीमाओं के भागफल के बराबर है{एक्स एन} तथा{वाई पी} .

7. यदि एक अभिसरण अनुक्रम के तत्व{एक्स एन} किसी संख्या से प्रारंभ करके x p b (x p b) की असमानता को संतुष्ट करते हैं, तो इस क्रम की सीमा a भी असमानता a b (a ≤ b) को संतुष्ट करती है।

8.एक परिबद्ध अनुक्रम द्वारा या किसी संख्या द्वारा एक अपरिमित अनुक्रम का गुणनफल एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम है।

9.इनफिनिटिमल सीक्वेंस की एक सीमित संख्या का गुणनफल एक इनफिनिटिमल सीक्वेंस होता है।

आइए उदाहरणों के साथ इन गुणों के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण 3. सीमा ज्ञात कीजिए।

समाधान। पर एनभिन्न का अंश और हर अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, अर्थात। भागफल सीमा प्रमेय को तुरंत लागू नहीं किया जा सकता है, क्योंकि यह अनुक्रमों की परिमित सीमाओं के अस्तित्व को मानता है। हम अंश और हर को विभाजित करके इस क्रम को बदलते हैं एन 2. तब भागफल की सीमा, योग की सीमा और फिर से भागफल की सीमा पर प्रमेयों को लागू करने पर, हम क्रमिक रूप से पाते हैं

उदाहरण 4 एक्स पी) = अत पी.

समाधान। यहां, पिछले उदाहरण की तरह, अंश और हर की कोई सीमित सीमा नहीं है, और इसलिए पहले उपयुक्त परिवर्तन किए जाने चाहिए। अंश और हर को विभाजित करना एन, हम पाते हैं

चूँकि अंश में एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम और एक परिबद्ध अनुक्रम का गुणनफल होता है, तो, गुण 8 से, हम अंत में प्राप्त करते हैं

उदाहरण 5अनुक्रम की सीमा ज्ञात कीजिए ( एक्स एन) = अत पी .

समाधान। यहां अनुक्रमों के योग (अंतर) की सीमा पर प्रमेय को सीधे लागू करना असंभव है, क्योंकि सूत्र में शर्तों की कोई सीमित सीमा नहीं है ( एक्स एन} . के लिए सूत्र को गुणा और भाग दें ( एक्स एन) संयुग्म अभिव्यक्ति के लिए:

संख्या ई

अनुक्रम पर विचार करें ( एक्स एन} , जिसका सामान्य पद सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

गणितीय विश्लेषण के क्रम में यह सिद्ध होता है कि यह क्रम एकरसता से बढ़ता हैऔर एक सीमा है। इस सीमा को संख्या कहा जाता है इ. इसलिए, परिभाषा के अनुसार

संख्या इगणित में एक बड़ी भूमिका निभाता है। इसके बाद, किसी भी आवश्यक सटीकता के साथ इसकी गणना करने की एक विधि पर विचार किया जाएगा। यहां ध्यान दें कि संख्या इतर्कहीन है; इसका अनुमानित मान है इ = 2,7182818... .

3. संख्या अनुक्रम की सीमा

3.1. एक संख्यात्मक अनुक्रम की अवधारणा और एक प्राकृतिक तर्क का एक कार्य

परिभाषा 3.1.एक संख्यात्मक अनुक्रम (इसके बाद केवल एक अनुक्रम) संख्याओं का एक क्रमबद्ध गणनीय सेट है

{एक्स1, एक्स2, एक्स3, ... }.

दो बिंदुओं पर ध्यान दें।

1. अनुक्रम में अपरिमित रूप से अनेक संख्याएँ हैं। यदि संख्याओं की एक सीमित संख्या है, तो यह अनुक्रम नहीं है!

2. सभी संख्याओं को क्रमित किया जाता है, अर्थात् एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित किया जाता है।

निम्नलिखित में, हम अक्सर अनुक्रम के लिए संक्षिप्त नाम का उपयोग करेंगे ( xn}.

अनुक्रमों पर कुछ ऑपरेशन किए जा सकते हैं। आइए उनमें से कुछ पर विचार करें।

1. किसी क्रम का किसी संख्या से गुणा करना।

परिणाम को सी×{ xn) तत्वों के साथ एक अनुक्रम है ( सी× xn), वह है

सी×{ एक्स1, एक्स2, एक्स3, ... }={सी× एक्स 1, एस× x2, एस× x3, ... }.

2. अनुक्रमों का जोड़ और घटाव।

{xn}±{ Y n}={xn± Y n},

या, अधिक विस्तार से,

{एक्स1, एक्स2, एक्स3, ...}±{ वाई1, वाई2, वाई3,... }={x1± वाई1, एक्स2± वाई2, एक्स3± y3, ... }.

3. अनुक्रमों का गुणन।

{xn}×{ Y n}={xn× Y n}.

4. अनुक्रमों का विभाजन।

{xn}/{Y n}={एक्सएन/वाईएन}.

स्वाभाविक रूप से, यह माना जाता है कि इस मामले में सभी Y n¹ 0.

परिभाषा 3.2.परवर्ती ( xn) को ऊपर से बाउंडेड कहा जाता है यदि https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height = "25 src=">। एक अनुक्रम (xn) को बाउंडेड कहा जाता है यदि यह ऊपर और नीचे दोनों से घिरा हो।

3.2. अनुक्रम सीमा। असीम रूप से बड़ा अनुक्रम

परिभाषा 3.3।संख्या एकअनुक्रम की सीमा कहलाती है ( xn) पर एनअनंत की ओर प्रवृत्त, यदि

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> if .

उनका कहना है कि अगर.

परिभाषा 3.4.परवर्ती ( xn) को अपरिमित रूप से बड़ा कहा जाता है यदि (अर्थात, if ).

3.3. एक अतिसूक्ष्म क्रम।

परिभाषा 3.5.एक अनुक्रम (xn) को इनफिनिटसिमल कहा जाता है यदि , अर्थात यदि ।

अनंतिम अनुक्रमों में निम्नलिखित गुण होते हैं।

1. अतिसूक्ष्म अनुक्रमों का योग और अंतर भी एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम है।

2. एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम परिबद्ध है।

3. एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम और एक परिबद्ध अनुक्रम का गुणनफल एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम है।

4. अगर ( xn) एक असीम रूप से बड़ा अनुक्रम है, फिर कुछ . से शुरू होता है एन, अनुक्रम (1/ xn), और यह एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम है। इसके विपरीत, यदि ( xn) एक अतिसूक्ष्म अनुक्रम है और सभी xnशून्य से भिन्न हैं, तब (1/ xn) एक असीम रूप से बड़ा अनुक्रम है।

3.4. अभिसरण अनुक्रम।

परिभाषा 3.6.अगर कोई अंतिम सीमा है https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">।

5. अगर , फिर .

3.5. असमानताओं में सीमा तक मार्ग।

प्रमेय 3.1।अगर, कुछ से शुरू एन, सब xn ³ बी, फिर ।

परिणाम।अगर, कुछ से शुरू एन, सब xn ³ Y n, फिर .

टिप्पणी. ध्यान दें कि अगर, कुछ से शुरू करते हुए एन, सब xn > बी, तो, यानी, सीमा से गुजरते समय, सख्त असमानता गैर-सख्त हो सकती है।

प्रमेय 3.2.("दो पुलिसकर्मियों की प्रमेय") अगर, कुछ से शुरू एन, निम्नलिखित गुण धारण करते हैं

1..gif"चौड़ाई="163"ऊंचाई="33 src=">,

तब मौजूद है।

3.6. एक मोनोटोन अनुक्रम की सीमा।

परिभाषा 3.7.परवर्ती ( xn) को नीरस रूप से बढ़ते हुए कहा जाता है यदि किसी के लिए एन एक्सएन+1 ³ xn.

परवर्ती ( xn) को सख्ती से नीरस रूप से बढ़ाना कहा जाता है यदि किसी के लिए एन एक्सएन+1> xn.

xn­.

परिभाषा 3.8.परवर्ती ( xn) को नीरस रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि किसी के लिए एन एक्सएन+1 £ xn.

परवर्ती ( xn) को सख्ती से नीरस रूप से घटते हुए कहा जाता है यदि किसी के लिए एन एक्सएन+1< xn.

इन दोनों मामलों को प्रतीक के साथ जोड़ा जाता है xn¯.

एक मोनोटोन अनुक्रम की सीमा के अस्तित्व पर प्रमेय।

1. यदि अनुक्रम ( xn) नीरस रूप से बढ़ रहा है (घट रहा है) और ऊपर से (नीचे से) घिरा हुआ है, तो इसकी सुपर के बराबर एक सीमित सीमा है ( xn) (इन्फ ( xn}).

2 यदि अनुक्रम ( xn) नीरस रूप से बढ़ता है (घटता है), लेकिन ऊपर से (नीचे से) सीमित नहीं है, तो इसकी सीमा +¥ (-¥) के बराबर है।

इस प्रमेय के आधार पर यह सिद्ध होता है कि एक तथाकथित उल्लेखनीय सीमा है

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. इसे सीक्वेंस सिक्वेंस कहा जाता है ( xn}.

प्रमेय 3.3।यदि अनुक्रम ( xn) अभिसरण करता है और इसकी सीमा है एक, तो इसका कोई भी परवर्ती भी अभिसरण करता है और उसकी सीमा समान होती है।

यदि एक ( xn) एक अपरिमित रूप से बड़ा अनुक्रम है, तो इसका कोई भी परवर्ती भी अपरिमित रूप से बड़ा होता है।

बोलजानो-वीयरस्ट्रैस लेम्मा।

1. किसी भी बाउंडेड सीक्वेंस से, एक परवर्ती को निकाला जा सकता है जो एक परिमित सीमा में परिवर्तित होता है।

2. किसी भी असीमित अनुक्रम से एक असीम रूप से बड़ा अनुक्रम निकाला जा सकता है।

इस लेम्मा के आधार पर, सीमा के सिद्धांत के मुख्य परिणामों में से एक सिद्ध होता है - बोलजानो-कॉची अभिसरण मानदंड।

अनुक्रम के लिए ( xn) एक सीमित सीमा थी, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि

एक अनुक्रम जो इस संपत्ति को संतुष्ट करता है उसे मौलिक अनुक्रम कहा जाता है, या एक अनुक्रम जो स्वयं में अभिसरण करता है।

कई लोगों के लिए, गणितीय विश्लेषण केवल समझ से बाहर की संख्याओं, चिह्नों और परिभाषाओं का एक समूह है जो वास्तविक जीवन से बहुत दूर हैं। हालाँकि, जिस दुनिया में हम मौजूद हैं, वह संख्यात्मक पैटर्न पर बनी है, जिसकी पहचान न केवल हमारे आसपास की दुनिया के बारे में जानने और इसकी जटिल समस्याओं को हल करने में मदद करती है, बल्कि रोजमर्रा के व्यावहारिक कार्यों को सरल बनाने में भी मदद करती है। एक गणितज्ञ का क्या अर्थ है जब वह कहता है कि एक संख्या अनुक्रम अभिसरण करता है? इस पर अधिक विस्तार से चर्चा की जानी चाहिए।

छोटा?

मैत्रियोश्का गुड़िया की कल्पना करें जो एक के अंदर एक फिट बैठती हैं। उनके आकार, संख्याओं के रूप में लिखे जाते हैं, जो सबसे बड़े से शुरू होते हैं और उनमें से सबसे छोटे से समाप्त होते हैं, एक क्रम बनाते हैं। यदि आप ऐसी उज्ज्वल आकृतियों की अनंत संख्या की कल्पना करते हैं, तो परिणामी पंक्ति काल्पनिक रूप से लंबी होगी। यह एक अभिसारी संख्या अनुक्रम है। और यह शून्य हो जाता है, क्योंकि प्रत्येक बाद के घोंसले के शिकार गुड़िया का आकार, भयावह रूप से घट रहा है, धीरे-धीरे कुछ भी नहीं हो जाता है। इस प्रकार, यह समझाना आसान है: असीम रूप से छोटा क्या है।

एक समान उदाहरण दूरी में जाने वाली सड़क होगी। और कार के दृश्य आयाम इसके साथ पर्यवेक्षक से दूर जा रहे हैं, धीरे-धीरे सिकुड़ते हुए, एक बिंदु के समान आकारहीन धब्बे में बदल जाते हैं। इस प्रकार, कार, एक वस्तु की तरह, एक अज्ञात दिशा में दूर जाने पर, असीम रूप से छोटी हो जाती है। निर्दिष्ट निकाय के पैरामीटर शब्द के सही अर्थों में कभी भी शून्य नहीं होंगे, लेकिन हमेशा अंतिम सीमा में इस मान की ओर रुख करते हैं। इसलिए, यह क्रम फिर से शून्य में परिवर्तित हो जाता है।

आइए ड्रॉप-बाय ड्रॉप सब कुछ की गणना करें

आइए वास्तविक जीवन की स्थिति की कल्पना करें। डॉक्टर ने रोगी को दवा लेने के लिए निर्धारित किया, एक दिन में दस बूंदों से शुरू करके और हर अगले दिन दो जोड़ना। और इसलिए डॉक्टर ने दवा की शीशी की सामग्री, जिसकी मात्रा 190 बूँदें है, समाप्त होने तक जारी रखने का सुझाव दिया। पूर्वगामी से, यह इस प्रकार है कि दिन के अनुसार चित्रित की गई संख्या, निम्नलिखित संख्या श्रृंखला होगी: 10, 12, 14, और इसी तरह।

पूरे कोर्स को पास करने का समय और अनुक्रम के सदस्यों की संख्या कैसे पता करें? यहां, निश्चित रूप से, आप बूंदों को आदिम तरीके से गिन सकते हैं। लेकिन पैटर्न को देखते हुए, d = 2 के एक चरण के साथ सूत्र का उपयोग करना बहुत आसान है। और इस पद्धति का उपयोग करके, यह पता करें कि संख्या श्रृंखला के सदस्यों की संख्या 10 है। इस मामले में, एक 10 = 28। सदस्य संख्या दवा लेने के दिनों की संख्या को इंगित करती है, और 28 संख्या बूंदों से मेल खाती है जो रोगी को अंतिम दिन उपयोग करनी चाहिए। क्या यह क्रम अभिसरण करता है? नहीं, क्योंकि, इस तथ्य के बावजूद कि यह नीचे से 10 और ऊपर से 28 तक सीमित है, पिछले उदाहरणों के विपरीत, ऐसी संख्या श्रृंखला की कोई सीमा नहीं है।

क्या अंतर है?

अब आइए स्पष्ट करने का प्रयास करें: जब संख्या श्रृंखला एक अभिसरण अनुक्रम बन जाती है। इस तरह की परिभाषा, जैसा कि ऊपर से निष्कर्ष निकाला जा सकता है, सीधे एक सीमित सीमा की अवधारणा से संबंधित है, जिसकी उपस्थिति से मुद्दे का सार पता चलता है। तो पहले दिए गए उदाहरणों में मूलभूत अंतर क्या है? और उनमें से अंतिम में संख्या 28 को संख्या श्रृंखला X n = 10 + 2(n-1) की सीमा क्यों नहीं माना जा सकता है?

इस मुद्दे को स्पष्ट करने के लिए, नीचे दिए गए सूत्र द्वारा दिए गए एक अन्य अनुक्रम पर विचार करें, जहां n प्राकृतिक संख्याओं के समूह से संबंधित है।

सदस्यों का यह समुदाय साधारण भिन्नों का एक समूह है, जिसका अंश 1 है और हर लगातार बढ़ रहा है: 1, ½ ...

इसके अलावा, इस श्रृंखला के प्रत्येक बाद के प्रतिनिधि, संख्या रेखा पर स्थान के संदर्भ में, तेजी से 0 के करीब पहुंच रहे हैं। इसका मतलब है कि ऐसा पड़ोस दिखाई देता है जहां अंक शून्य के आसपास होते हैं, जो कि सीमा है। और वे इसके जितने करीब होते हैं, संख्या रेखा पर उनकी एकाग्रता उतनी ही घनी होती जाती है। और उनके बीच की दूरी भयावह रूप से कम हो जाती है, एक असीम में बदल जाती है। यह एक संकेत है कि अनुक्रम अभिसरण कर रहा है।

इसी तरह, आकृति में दिखाए गए बहुरंगी आयत, अंतरिक्ष में दूर जाने पर, नेत्रहीन अधिक भीड़भाड़ वाले होते हैं, काल्पनिक सीमा में नगण्य में बदल जाते हैं।

असीम रूप से बड़े क्रम

अभिसारी अनुक्रम की परिभाषा का विश्लेषण करने के बाद, अब हम प्रति-उदाहरणों की ओर मुड़ते हैं। उनमें से कई प्राचीन काल से मनुष्य के लिए जाने जाते हैं। अपसारी अनुक्रमों का सबसे सरल रूप प्राकृतिक और सम संख्याओं की श्रृंखला है। उन्हें दूसरे तरीके से असीम रूप से बड़ा कहा जाता है, क्योंकि उनके सदस्य, लगातार बढ़ रहे हैं, तेजी से सकारात्मक अनंत के करीब पहुंच रहे हैं।

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति में से कोई भी एक कदम और शून्य से अधिक के हर के साथ, ऐसे उदाहरण के रूप में भी काम कर सकता है। इसके अलावा अपसारी अनुक्रमों को संख्यात्मक श्रृंखला माना जाता है, जिनकी कोई सीमा नहीं होती है। उदाहरण के लिए, एक्स एन = (-2) एन -1।

फिबोनाची अनुक्रम

मानवता के लिए पहले बताई गई संख्यात्मक श्रृंखला का व्यावहारिक उपयोग निर्विवाद है। लेकिन अनगिनत अन्य महान उदाहरण हैं। उनमें से एक फाइबोनैचि अनुक्रम है। इसके प्रत्येक सदस्य, जो एक से शुरू होते हैं, पिछले वाले का योग है। इसके पहले दो प्रतिनिधि 1 और 1 हैं। तीसरा 1+1=2, चौथा 1+2=3, पांचवां 2+3=5। इसके अलावा, उसी तर्क के अनुसार, संख्याएँ 8, 13, 21 इत्यादि का अनुसरण करती हैं।

संख्याओं की यह श्रृंखला अनिश्चित काल तक बढ़ती है और इसकी कोई सीमित सीमा नहीं होती है। लेकिन इसकी एक और अद्भुत संपत्ति है। प्रत्येक पिछली संख्या का अगली संख्या के अनुपात में इसके मूल्य में 0.618 के अधिक से अधिक करीब है। यहां आप एक अभिसरण और भिन्न अनुक्रम के बीच अंतर को समझ सकते हैं, क्योंकि यदि आप प्राप्त निजी डिवीजनों की एक श्रृंखला बनाते हैं, तो निर्दिष्ट संख्यात्मक प्रणाली होगी 0.618 के बराबर अंतिम सीमा।

फाइबोनैचि अनुपात अनुक्रम

ऊपर दी गई संख्या श्रृंखला का व्यापक रूप से बाजारों के तकनीकी विश्लेषण के लिए व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए उपयोग किया जाता है। लेकिन यह उसकी क्षमताओं तक सीमित नहीं है, जिसे मिस्र और यूनानी जानते थे और प्राचीन काल में व्यवहार में लाने में सक्षम थे। यह उनके द्वारा बनाए गए पिरामिडों और पार्थेनन से सिद्ध होता है। आखिरकार, संख्या 0.618 सुनहरे खंड का एक निरंतर गुणांक है, जिसे पुराने दिनों में जाना जाता था। इस नियम के अनुसार, किसी भी मनमाने खंड को इस तरह से विभाजित किया जा सकता है कि उसके भागों के बीच का अनुपात सबसे बड़े खंडों और कुल लंबाई के अनुपात के साथ मेल खाएगा।

आइए इन संबंधों की एक श्रृंखला बनाएं और इस क्रम का विश्लेषण करने का प्रयास करें। संख्या श्रृंखला इस प्रकार होगी: 1; 0.5; 0.67; 0.6; 0.625; 0.615; 0.619 और इसी तरह। इस प्रकार जारी रखते हुए, कोई यह सत्यापित कर सकता है कि अभिसारी अनुक्रम की सीमा वास्तव में 0.618 होगी। हालांकि, इस नियमितता के अन्य गुणों पर ध्यान देना आवश्यक है। यहाँ संख्याएँ बेतरतीब ढंग से जाती प्रतीत होती हैं, और आरोही या अवरोही क्रम में बिल्कुल नहीं। इसका मतलब है कि यह अभिसरण अनुक्रम एकरस नहीं है। ऐसा क्यों है इस पर आगे चर्चा की जाएगी।

एकरसता और सीमा

संख्या श्रृंखला के सदस्य बढ़ती संख्या के साथ स्पष्ट रूप से घट सकते हैं (यदि x 1>x 2>x 3>...> x n>...) या वृद्धि (यदि x 1

इस श्रृंखला की संख्याओं को चित्रित करने के बाद, यह देखा जा सकता है कि इसका कोई भी सदस्य, अनिश्चित काल के लिए 1 के पास आ रहा है, इस मूल्य से अधिक कभी नहीं होगा। इस मामले में, अभिसरण अनुक्रम को बाध्य कहा जाता है। ऐसा तब होता है जब कोई ऐसी धनात्मक संख्या M होती है, जो हमेशा श्रृंखला मॉड्यूल के किसी भी पद से बड़ी होती है। यदि एक संख्या श्रृंखला में एकरसता के संकेत हैं और इसकी एक सीमा है, और इसलिए अभिसरण होता है, तो यह आवश्यक रूप से ऐसी संपत्ति से संपन्न होता है। और इसके विपरीत सच होना जरूरी नहीं है। यह एक अभिसरण अनुक्रम के लिए बाध्यता प्रमेय द्वारा प्रमाणित है।

व्यवहार में इस तरह के अवलोकनों का अनुप्रयोग बहुत उपयोगी साबित होता है। आइए अनुक्रम X n = n/n+1 के गुणों की जांच करके एक विशिष्ट उदाहरण दें और इसके अभिसरण को सिद्ध करें। यह दिखाना आसान है कि यह मोनोटोनिक है, क्योंकि (x n +1 - x n) n के किसी भी मान के लिए एक सकारात्मक संख्या है। अनुक्रम की सीमा संख्या 1 के बराबर है, जिसका अर्थ है कि उपरोक्त प्रमेय की सभी शर्तें, जिन्हें वीयरस्ट्रैस प्रमेय भी कहा जाता है, संतुष्ट हैं। अभिसारी अनुक्रम की सीमा पर प्रमेय में कहा गया है कि यदि इसकी एक सीमा है, तो किसी भी स्थिति में यह परिबद्ध हो जाती है। हालांकि, आइए निम्नलिखित उदाहरण लेते हैं। संख्या श्रृंखला X n = (-1) n नीचे से -1 और ऊपर से 1 से घिरा है। लेकिन यह क्रम एकरस नहीं है, इसकी कोई सीमा नहीं है, और इसलिए यह अभिसरण नहीं करता है। अर्थात्, एक सीमा और अभिसरण का अस्तित्व हमेशा सीमा का पालन नहीं करता है। इसके लिए काम करने के लिए, निचली और ऊपरी सीमाओं का मिलान होना चाहिए, जैसा कि फाइबोनैचि अनुपात के मामले में होता है।

ब्रह्मांड की संख्या और नियम

अभिसारी और अपसारी अनुक्रम के सबसे सरल रूप हैं, शायद, संख्यात्मक श्रृंखला X n = n और X n = 1/n। उनमें से पहला संख्याओं की एक प्राकृतिक श्रृंखला है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यह असीम रूप से बड़ा है। दूसरा अभिसरण अनुक्रम परिबद्ध है, और इसकी शर्तें परिमाण में अपरिमित के करीब हैं। इनमें से प्रत्येक सूत्र बहुमुखी ब्रह्मांड के पक्षों में से एक को व्यक्त करता है, जिससे किसी व्यक्ति को संख्याओं और संकेतों की भाषा में सीमित धारणा के लिए दुर्गम, कुछ अनजानी कल्पना और गणना करने में मदद मिलती है।

ब्रह्मांड के नियम, नगण्य से लेकर अविश्वसनीय रूप से बड़े तक, 0.618 के सुनहरे अनुपात द्वारा भी व्यक्त किए जाते हैं। वैज्ञानिकों का मानना ​​है कि यह चीजों के सार का आधार है और प्रकृति द्वारा इसके भागों को बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। फाइबोनैचि श्रृंखला के अगले और पिछले सदस्यों के बीच संबंध, जिनका हम पहले ही उल्लेख कर चुके हैं, इस अनूठी श्रृंखला के अद्भुत गुणों के प्रदर्शन को पूरा नहीं करते हैं। यदि हम पिछले पद को अगले एक से एक से विभाजित करने के भागफल पर विचार करें, तो हमें 0.5 की एक श्रृंखला प्राप्त होती है; 0.33; 0.4; 0.375; 0.384; 0.380; 0.382 और इतने पर। यह दिलचस्प है कि यह सीमित अनुक्रम अभिसरण करता है, यह नीरस नहीं है, लेकिन एक निश्चित सदस्य से चरम पड़ोसी संख्याओं का अनुपात हमेशा लगभग 0.382 के बराबर होता है, जिसका उपयोग वास्तुकला, तकनीकी विश्लेषण और अन्य उद्योगों में भी किया जा सकता है।

फाइबोनैचि श्रृंखला के अन्य दिलचस्प गुणांक हैं, ये सभी प्रकृति में एक विशेष भूमिका निभाते हैं, और मनुष्य द्वारा व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए भी उपयोग किया जाता है। गणितज्ञों को यकीन है कि ब्रह्मांड एक निश्चित "सुनहरे सर्पिल" के अनुसार विकसित होता है जो संकेतित गुणांक से बनता है। उनकी मदद से, पृथ्वी और अंतरिक्ष में होने वाली कई घटनाओं की गणना करना संभव है, जिसमें कुछ जीवाणुओं की संख्या में वृद्धि से लेकर दूर के धूमकेतुओं की गति तक शामिल हैं। जैसा कि यह पता चला है, डीएनए कोड समान कानूनों का पालन करता है।

ज्यामितीय प्रगति में कमी

अभिसरण अनुक्रम की सीमा की विशिष्टता पर जोर देने वाला एक प्रमेय है। इसका अर्थ है कि इसकी दो या अधिक सीमाएँ नहीं हो सकती हैं, जो निस्संदेह इसकी गणितीय विशेषताओं को खोजने के लिए महत्वपूर्ण है।

आइए कुछ मामलों पर विचार करें। शून्य चरण वाले मामले को छोड़कर, अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों से बनी कोई भी संख्यात्मक श्रृंखला भिन्न होती है। यह एक ज्यामितीय प्रगति पर लागू होता है, जिसका हर 1 से अधिक है। ऐसी संख्यात्मक श्रृंखला की सीमाएं अनंत के "प्लस" या "माइनस" हैं। यदि हर -1 से कम है, तो कोई सीमा नहीं है। अन्य विकल्प भी संभव हैं।

सूत्र X n = (1/4) n -1 द्वारा दी गई संख्या श्रृंखला पर विचार करें। पहली नज़र में, यह देखना आसान है कि यह अभिसरण अनुक्रम बाध्य है क्योंकि यह सख्ती से घट रहा है और किसी भी तरह से नकारात्मक मान लेने में सक्षम नहीं है।

आइए इसके कुछ सदस्यों को एक पंक्ति में लिखें।

प्राप्त करें: 1; 0.25; 0.0625; 0.015625; 0.00390625 और इसी तरह। काफी सरल गणनाएं यह समझने के लिए पर्याप्त हैं कि हर 0 . के साथ दी गई ज्यामितीय प्रगति कितनी तेजी से होती है

मौलिक क्रम

एक फ्रांसीसी वैज्ञानिक ऑगस्टिन लुई कॉची ने गणितीय विश्लेषण से संबंधित कई कार्यों को दुनिया के सामने प्रकट किया। उन्होंने अंतर, अभिन्न, सीमा और निरंतरता जैसी अवधारणाओं की परिभाषा दी। उन्होंने अभिसरण अनुक्रमों के मूल गुणों का भी अध्ययन किया। उनके विचारों के सार को समझने के लिए, कुछ महत्वपूर्ण विवरणों को संक्षेप में प्रस्तुत करना आवश्यक है।

लेख की शुरुआत में, यह दिखाया गया था कि ऐसे अनुक्रम हैं जिनके लिए एक पड़ोस है जहां वास्तविक रेखा पर एक निश्चित श्रृंखला के सदस्यों का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु क्लस्टर होने लगते हैं, जो अधिक से अधिक घनी होती हैं। उसी समय, उनके बीच की दूरी कम हो जाती है क्योंकि अगले प्रतिनिधि की संख्या बढ़ती है, एक असीम रूप से छोटे में बदल जाती है। इस प्रकार, यह पता चला है कि किसी दिए गए पड़ोस में दी गई श्रृंखला के प्रतिनिधियों की एक अनंत संख्या को समूहीकृत किया जाता है, जबकि इसके बाहर उनकी सीमित संख्या होती है। ऐसे अनुक्रमों को मौलिक कहा जाता है।

एक फ्रांसीसी गणितज्ञ द्वारा बनाया गया प्रसिद्ध कॉची मानदंड स्पष्ट रूप से इंगित करता है कि इस तरह की संपत्ति की उपस्थिति यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि अनुक्रम अभिसरण करता है। विपरीत भी सही है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि फ्रांसीसी गणितज्ञ का यह निष्कर्ष ज्यादातर विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक रुचि का है। व्यवहार में इसका अनुप्रयोग एक जटिल मामला माना जाता है, इसलिए, श्रृंखला के अभिसरण को स्पष्ट करने के लिए, अनुक्रम के लिए एक सीमित सीमा के अस्तित्व को साबित करना अधिक महत्वपूर्ण है। अन्यथा, इसे भिन्न माना जाता है।

समस्याओं को हल करते समय, अभिसरण अनुक्रमों के मूल गुणों को भी ध्यान में रखना चाहिए। उन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है।

अनंत रकम

आर्किमिडीज, यूक्लिड, यूडोक्सस जैसे प्राचीन काल के ऐसे प्रसिद्ध वैज्ञानिकों ने वक्रों की लंबाई, पिंडों के आयतन और आकृतियों के क्षेत्रों की गणना के लिए अनंत संख्या श्रृंखला के योगों का उपयोग किया। विशेष रूप से, इस तरह से परवलयिक खंड के क्षेत्र का पता लगाना संभव था। इसके लिए, q=1/4 के साथ एक ज्यामितीय प्रगति की संख्यात्मक श्रृंखला के योग का उपयोग किया गया था। अन्य मनमाना आकृतियों के आयतन और क्षेत्रफल इसी प्रकार पाए गए। इस विकल्प को "थकावट" विधि कहा जाता था। विचार यह था कि अध्ययन किया गया शरीर, आकार में जटिल, भागों में टूट गया था, जो आसानी से मापे गए मापदंडों के साथ आंकड़े थे। इस कारण से, उनके क्षेत्रों और मात्राओं की गणना करना मुश्किल नहीं था, और फिर उन्हें एक साथ जोड़ा गया।

वैसे, इसी तरह के कार्य आधुनिक स्कूली बच्चों के लिए बहुत परिचित हैं और यूएसई कार्यों में पाए जाते हैं। दूर के पूर्वजों द्वारा खोजी गई अनूठी विधि, अब तक का सबसे सरल उपाय है। भले ही केवल दो या तीन भाग ही हों जिनमें संख्यात्मक अंकों को विभाजित किया गया हो, उनके क्षेत्रफलों का योग अभी भी संख्या श्रृंखला का योग है।

प्राचीन यूनानी वैज्ञानिकों लिबनिज और न्यूटन की तुलना में बहुत बाद में, अपने बुद्धिमान पूर्ववर्तियों के अनुभव के आधार पर, उन्होंने अभिन्न गणना के नियमों को सीखा। अनुक्रमों के गुणों के ज्ञान ने उन्हें विभेदक और बीजीय समीकरणों को हल करने में मदद की। वर्तमान में, कई पीढ़ियों के प्रतिभाशाली वैज्ञानिकों के प्रयासों से बनाई गई श्रृंखला का सिद्धांत, बड़ी संख्या में गणितीय और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने का मौका देता है। और संख्यात्मक अनुक्रमों का अध्ययन इसकी स्थापना के बाद से गणितीय विश्लेषण द्वारा हल की जाने वाली मुख्य समस्या है।

अनुक्रम गणित की मूल अवधारणाओं में से एक है। अनुक्रम संख्याओं, बिंदुओं, कार्यों, वैक्टर आदि से बना हो सकता है। एक अनुक्रम दिया माना जाता है यदि एक कानून निर्दिष्ट किया जाता है जिसके अनुसार प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n किसी सेट के तत्व x n से जुड़ी होती है। अनुक्रम x 1 , x 2 , …, x n , या संक्षेप में (x n) के रूप में लिखा जाता है। तत्व x 1, x 2, ..., x n अनुक्रम के सदस्य कहलाते हैं, x 1 - पहला, x 2 - दूसरा, x n - अनुक्रम के सामान्य (एन-वें) सदस्य।

सबसे अधिक बार, संख्यात्मक अनुक्रमों पर विचार किया जाता है, अर्थात अनुक्रम जिनके सदस्य संख्याएं हैं। संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करने के लिए विश्लेषणात्मक विधि सबसे सरल तरीका है। यह एक सूत्र का उपयोग करके किया जाता है जो अनुक्रम x 1 के nवें सदस्य को उसकी संख्या n के रूप में व्यक्त करता है। उदाहरण के लिए, यदि

दूसरा तरीका आवर्तक है (लैटिन शब्द . से) पुनरावृत्ति- "रिटर्निंग"), जब अनुक्रम और नियम के पहले कुछ सदस्य सेट होते हैं, जिससे प्रत्येक अगले सदस्य की गणना पिछले वाले के माध्यम से की जा सकती है। उदाहरण के लिए:

संख्या अनुक्रमों के उदाहरण अंकगणितीय प्रगति और ज्यामितीय प्रगति हैं।

अनुक्रम के सदस्यों के व्यवहार का पता लगाना दिलचस्प है क्योंकि संख्या n बिना सीमा के बढ़ती है (तथ्य यह है कि n अनिश्चित काल तक बढ़ता है n → के रूप में लिखा जाता है और पढ़ता है: "n अनंत की ओर जाता है")।

एक सामान्य पद x n = 1/n के साथ अनुक्रम पर विचार करें: x 1 = 1, x 2 = 1/2; x 3 \u003d 1/3, ..., x 100 \u003d 1/100, .... इस अनुक्रम के सभी सदस्य गैर-शून्य हैं, लेकिन बड़ा n, कम x n शून्य से भिन्न होता है। इस अनुक्रम की शर्तें शून्य हो जाती हैं क्योंकि n अनिश्चित काल तक बढ़ता है। संख्या शून्य को इस क्रम की सीमा कहा जाता है।

एक अन्य उदाहरण: x n = (−1) n / n - अनुक्रम को परिभाषित करता है

इस क्रम के सदस्य भी शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं, लेकिन वे या तो शून्य से अधिक या शून्य से कम होते हैं - उनकी सीमा।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: x n = (n - 1)/(n + 1)। यदि हम x n को रूप में निरूपित करते हैं

तब यह स्पष्ट हो जाता है कि यह क्रम एकता की ओर प्रवृत्त होता है।

आइए एक अनुक्रम की सीमा को परिभाषित करें। एक संख्या a को एक अनुक्रम की सीमा (x n) कहा जाता है, यदि किसी धनात्मक संख्या के लिए, कोई एक संख्या N निर्दिष्ट कर सकता है जैसे कि, सभी n > N के लिए, असमानता |x n - a|< ε.

यदि अनुक्रम की सीमा (x n) है, तो x n → a, या a = lim n→∞ x n लिखें (लिम लैटिन शब्द के पहले तीन अक्षर हैं नीबू- "सीमा")।

यदि हम इसे ज्यामितीय अर्थ दें तो यह परिभाषा स्पष्ट हो जाएगी। हम अंतराल में संख्या a संलग्न करते हैं (a - , a + ) (आकृति देखें)। संख्या a अनुक्रम (x n) की सीमा है, यदि अंतराल की छोटीता (a - , a + ε) की परवाह किए बिना, अनुक्रम के सभी सदस्य कुछ N से अधिक संख्या वाले इस अंतराल में स्थित हैं। दूसरे शब्दों में, किसी भी अंतराल (a - , a + ε) के बाहर अनुक्रम के सदस्यों की केवल एक सीमित संख्या हो सकती है।

माना अनुक्रम x n = (−1) n /n के लिए, = 1/10 पर शून्य बिंदु के -पड़ोस में अनुक्रम के सभी सदस्य शामिल हैं, पहले दस को छोड़कर, और ε = 1/100 के लिए, सभी अनुक्रम के सदस्य, पहले सौ को छोड़कर।

जिस अनुक्रम की एक सीमा होती है उसे अभिसारी कहते हैं, और जिस अनुक्रम की कोई सीमा नहीं होती है उसे अपसारी कहते हैं। यहाँ एक अपसारी अनुक्रम का एक उदाहरण दिया गया है: x n = (−1) n । इसकी शर्तें बारी-बारी से +1 और -1 हैं और किसी सीमा तक नहीं हैं।

यदि अनुक्रम अभिसरण करता है, तो यह परिबद्ध होता है, अर्थात संख्याएँ c और d ऐसी होती हैं कि अनुक्रम के सभी सदस्य शर्त c ≤ x n ≤ d को संतुष्ट करते हैं। यह इस प्रकार है कि सभी अनबाउंड अनुक्रम अलग-अलग हैं। ये क्रम हैं:

शून्य की ओर प्रवृत्त अनुक्रम को अपरिमित कहा जाता है। एक अनुक्रम की सीमा की सामान्य परिभाषा के आधार के रूप में इनफिनिटसिमल की अवधारणा का उपयोग किया जा सकता है, क्योंकि एक अनुक्रम की सीमा (x n) एक के बराबर है और केवल अगर x n को योग के रूप में दर्शाया जा सकता है x n = a + α n , जहाँ α n अपरिमित है।

माना अनुक्रम (1/n), ((−1) n /n) इनफिनिटसिमल हैं। अनुक्रम (n - 1)/(n + 1), जैसा कि (2) से होता है, 1 से एक अतिसूक्ष्म 2/(n + 1) से भिन्न होता है, और इसलिए इस अनुक्रम की सीमा 1 है।

गणितीय विश्लेषण में असीम रूप से बड़े अनुक्रम की अवधारणा का भी बहुत महत्व है। एक अनुक्रम (x n) को अपरिमित रूप से बड़ा कहा जाता है यदि अनुक्रम (1/x n) अपरिमित रूप से छोटा हो। एक असीम रूप से बड़े अनुक्रम (x n) को x n → ∞, या lim n→∞ x n = के रूप में लिखा जाता है, और इसे "अनंत तक जाना" कहा जाता है। यहां असीम रूप से बड़े अनुक्रमों के उदाहरण दिए गए हैं:

(एन 2), (2 एन), (√(एन + 1)), (एन - एन 2)।

हम इस बात पर जोर देते हैं कि असीम रूप से बड़े अनुक्रम की कोई सीमा नहीं होती है।

अनुक्रमों (x n) और (y n) पर विचार करें। आप अनुक्रमों को सामान्य पदों x n + y n , x n - y n , x n y n और (यदि y n ≠ 0) x n /y n के साथ परिभाषित कर सकते हैं। निम्नलिखित प्रमेय सत्य है, जिसे अक्सर सीमा के साथ अंकगणितीय संक्रियाओं पर प्रमेय कहा जाता है: यदि अनुक्रम (x n) और (y n) अभिसरण करते हैं, तो अनुक्रम (x n + y n), (x n - y n), (x n y n), ( x n /y n) भी अभिसरण करते हैं और निम्नलिखित समानताएँ धारण करती हैं:

बाद के मामले में, इसके अलावा, यह आवश्यक है कि अनुक्रम के सभी सदस्य (y n) गैर-शून्य हों, और यह भी कि शर्त lim n→∞ y n ≠ 0 संतुष्ट हो।

इस प्रमेय को लागू करने से कई सीमाएँ ज्ञात की जा सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक सामान्य पद वाले अनुक्रम की सीमा ज्ञात करें

x n को रूप में निरूपित करना

स्थापित करें कि अंश और हर की सीमा मौजूद है:

तो हमें मिलता है:

लिम n→∞ x n = 2/1 =2।

अनुक्रमों का एक महत्वपूर्ण वर्ग मोनोटोन अनुक्रम है। तथाकथित अनुक्रम बढ़ते हुए (x n+1 > x n किसी भी n के लिए), घटते हुए (x n+1< x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

कल्पना कीजिए कि अनुक्रम (x n) घटता नहीं है, अर्थात असमानताएं

x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 … x n ≤ x n+1 …,

और, इसके अलावा, इस क्रम को ऊपर से परिबद्ध किया जाए, अर्थात सभी x n किसी संख्या d से अधिक न हों। ऐसे अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य पिछले वाले से बड़ा या उसके बराबर है, लेकिन उनमें से कोई भी d से अधिक नहीं है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि यह क्रम किसी ऐसी संख्या की ओर प्रवृत्त होता है जो या तो d से कम या d के बराबर होती है। गणितीय विश्लेषण के दौरान, एक प्रमेय सिद्ध होता है कि उपरोक्त अनुक्रम से एक गैर-घटते और बंधे हुए अनुक्रम की एक सीमा होती है (एक समान कथन एक गैर-वृद्धि के लिए सत्य है और नीचे अनुक्रम से घिरा हुआ है)। यह उल्लेखनीय प्रमेय एक सीमा के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्तें देता है। इससे, उदाहरण के लिए, यह इस प्रकार है कि इकाई त्रिज्या के एक सर्कल में अंकित नियमित एन-गॉन के क्षेत्रों के अनुक्रम की एक सीमा होती है, क्योंकि यह ऊपर से नीरस रूप से बढ़ रहा है और घिरा हुआ है। इस क्रम की सीमा को से निरूपित किया जाता है।

एक मोनोटोन बाउंडेड सीक्वेंस की सीमा का उपयोग करते हुए, संख्या ई, जो गणितीय विश्लेषण में एक बड़ी भूमिका निभाती है, निर्धारित की जाती है - प्राकृतिक लघुगणक का आधार:

ई = लिम एन→∞ (1 + 1/एन) एन।

अनुक्रम (1), जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, एकरस है और, इसके अलावा, ऊपर से घिरा हुआ है। उसकी एक सीमा है। हम इस सीमा को आसानी से पा सकते हैं। यदि यह एक के बराबर है, तो संख्या a को समानता a = √(2 + a) को संतुष्ट करना चाहिए। इस समीकरण को हल करने पर हमें a = 2 प्राप्त होता है।