خط مختصات نقاط روی خط مختصات نحوه رسم خط مختصات نحوه رسم خط مختصات

بنابراین بخش واحد و سهم های دهم، صدم و غیره آن به ما امکان می دهد به نقاط خط مختصات برسیم که با کسرهای اعشاری نهایی مطابقت دارد (مانند مثال قبلی). با این حال، نقاطی در خط مختصات وجود دارد که نمی‌توانیم به آنها ضربه بزنیم، اما می‌توانیم به طور دلخواه به آن‌ها نزدیک شویم، با استفاده از نقاط کوچک‌تر و کوچک‌تر تا کسری بینهایت کوچک از یک قطعه واحد. این نقاط مربوط به کسرهای اعشاری متناوب و غیر تناوبی نامتناهی است. بیایید چند مثال بزنیم. یکی از این نقاط روی خط مختصات مربوط به عدد 3.711711711…=3,(711) است. برای نزدیک شدن به این نقطه، باید 3 قطعه واحد، 7 تا از دهمین آن، 1 صدم، 1 هزارم، 7 ده هزارم، 1 صد هزارم، 1 میلیونم قطعه واحد و غیره را کنار بگذارید. و یک نقطه دیگر از خط مختصات مربوط به پی است (π=3.141592...).

از آنجایی که عناصر مجموعه اعداد حقیقی، همه اعدادی هستند که می توان آنها را به صورت کسرهای اعشاری متناهی و نامتناهی نوشت، پس تمام اطلاعات فوق در این پاراگراف به ما اجازه می دهد تا ادعا کنیم که به هر نقطه از یک عدد واقعی خاص اختصاص داده ایم. خط مختصات، در حالی که واضح است که نقاط مختلف با اعداد واقعی متفاوت مطابقت دارند.

همچنین کاملاً بدیهی است که این مکاتبات یک به یک است. یعنی می‌توانیم یک نقطه داده‌شده در خط مختصات را با یک عدد واقعی مرتبط کنیم، اما می‌توانیم از یک عدد واقعی برای نشان دادن نقطه خاصی در خط مختصات که این عدد واقعی با آن مطابقت دارد، استفاده کنیم. برای انجام این کار، باید تعداد معینی از بخش‌های واحد و همچنین دهم، صدم و غیره یک قطعه را از مبدا در جهت درست به تعویق بیندازیم. به عنوان مثال، عدد 703.405 مربوط به نقطه ای از خط مختصات است که با کنار گذاشتن 703 قطعه واحد در جهت مثبت، 4 قطعه که یک دهم واحد را تشکیل می دهند و 5 قطعه که تشکیل می دهند، می توان از مبدأ به آن رسید. یک هزارم واحد

بنابراین، هر نقطه از خط مختصات مربوط به یک عدد واقعی است و هر عدد واقعی به شکل یک نقطه در خط مختصات جای خود را دارد. به همین دلیل است که خط مختصات اغلب نامیده می شود خط شماره.

مختصات نقاط روی خط مختصات

عدد مربوط به یک نقطه از خط مختصات نامیده می شود مختصات این نقطه.

در پاراگراف قبل گفتیم که هر عدد واقعی مربوط به یک نقطه از خط مختصات است، بنابراین مختصات نقطه به طور منحصر به فرد موقعیت این نقطه را در خط مختصات تعیین می کند. به عبارت دیگر، مختصات یک نقطه، این نقطه را در خط مختصات به طور منحصر به فردی تعریف می کند. از طرف دیگر، هر نقطه در خط مختصات مربوط به یک عدد واقعی است - مختصات این نقطه.

باقی مانده است که فقط در مورد نماد پذیرفته شده بگوییم. مختصات نقطه در داخل پرانتز سمت راست حرفی که نقطه را نشان می دهد نوشته می شود. به عنوان مثال، اگر نقطه M دارای مختصات 6- باشد، می توانید M(-6) را بنویسید، و علامت گذاری شکل به این معنی است که نقطه M در خط مختصات دارای یک مختصات است.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• Vilenkin N.Ya.، ژوخوف V.I.، Chesnokov A.S.، Shvartsburd S.I. ریاضیات: کتاب درسی 5 سلولی. موسسات آموزشی
• ویلنکین N.Ya. و غیره ریاضی. کلاس ششم: کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی.
• Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی 8 سلولی. موسسات آموزشی

اگر ندانید که چگونه نمودار بسازید، نابرابری ها را روی یک خط مختصات به تصویر بکشید و با محورهای مختصات کار نکنید، نمی توانید ادعا کنید که ریاضی می دانید. جزء بصری در علم حیاتی است، زیرا بدون مثال های بصری در فرمول ها و محاسبات، گاهی اوقات می توانید بسیار گیج شوید. در این مقاله نحوه کار با محورهای مختصات را می بینیم و نحوه ساخت نمودارهای تابع ساده را یاد می گیریم.

کاربرد

خط مختصات اساس ساده ترین انواع نمودارهایی است که دانش آموز در مسیر آموزشی خود با آن مواجه می شود. تقریباً در هر مبحث ریاضی استفاده می شود: هنگام محاسبه سرعت و زمان، پیش بینی اندازه اجسام و محاسبه مساحت آنها، در مثلثات هنگام کار با سینوس ها و کسینوس ها.

ارزش اصلی چنین خط مستقیمی، دید است. از آنجایی که ریاضیات علمی است که به سطح بالایی از تفکر انتزاعی نیاز دارد، نمودارها به نمایش یک شی در دنیای واقعی کمک می کنند. او چگونه رفتار می کند؟ در چند ثانیه، دقیقه، چند ساعت در چه نقطه ای از فضا خواهد بود؟ در مقایسه با اشیاء دیگر چه می توان در مورد آن گفت؟ سرعت آن در یک زمان به طور تصادفی انتخاب شده چقدر است؟ چگونه حرکت او را مشخص کنیم؟

و ما به دلیلی در مورد سرعت صحبت می کنیم - اغلب نمودارهای تابع هستند که آن را نشان می دهند. و همچنین می توانند تغییرات دما یا فشار داخل جسم، اندازه آن، جهت گیری نسبت به افق را نشان دهند. بنابراین، ساخت یک خط مختصات اغلب در فیزیک نیز مورد نیاز است.

نمودار 1 بعدی

مفهوم چند بعدی بودن وجود دارد. فقط یک عدد برای تعیین محل نقطه کافی است. این دقیقاً مورد استفاده از خط مختصات است. اگر فضا دو بعدی باشد، دو عدد مورد نیاز است. نمودارهای این نوع بسیار بیشتر مورد استفاده قرار می گیرند و ما قطعاً آنها را کمی بیشتر در مقاله در نظر خواهیم گرفت.

اگر فقط یک محور باشد، چه چیزی را می توان با کمک نقاط روی محور دید؟ شما می توانید اندازه جسم، موقعیت آن در فضا را نسبت به مقداری "صفر"، یعنی نقطه انتخاب شده به عنوان مبدا، ببینید.

مشاهده تغییر در پارامترها در طول زمان امکان پذیر نخواهد بود، زیرا همه قرائت ها برای یک لحظه خاص نمایش داده می شوند. با این حال، شما باید از یک جایی شروع کنید! پس بیایید شروع کنیم.

چگونه یک محور مختصات بسازیم

ابتدا باید یک خط افقی بکشید - این محور ما خواهد بود. در سمت راست، آن را "تیز" کنید تا مانند یک فلش به نظر برسد. بنابراین، جهت افزایش اعداد را نشان می دهیم. در جهت رو به پایین، فلش معمولا قرار نمی گیرد. به طور سنتی، محور به سمت راست هدایت می شود، بنابراین ما به سادگی از این قانون پیروی می کنیم.

بیایید یک علامت صفر قرار دهیم، که مبدا مختصات را نشان می دهد. این همان مکانی است که شمارش معکوس از آن گرفته می شود، چه اندازه، وزن، سرعت یا هر چیز دیگری. علاوه بر صفر، ما باید به اصطلاح قیمت تقسیم را تعیین کنیم، یعنی یک استاندارد واحد را معرفی کنیم که مطابق آن مقادیر معینی را روی محور ترسیم کنیم. این باید انجام شود تا بتوان طول پاره را در خط مختصات پیدا کرد.

با فاصله مساوی از یکدیگر، نقطه یا "بریدگی" را روی خط قرار می دهیم و زیر آنها به ترتیب 1،2،3 و غیره می نویسیم. و اکنون، همه چیز آماده است. اما با برنامه‌ریزی به‌دست‌آمده، هنوز باید نحوه کار کردن را یاد بگیرید.

انواع نقاط روی خط مختصات

در نگاه اول به نقاشی های ارائه شده در کتاب های درسی، مشخص می شود: نقاط روی محور را می توان پر کرد یا پر نکرد. به نظر شما تصادفی است؟ اصلا! یک نقطه "جامد" برای نابرابری غیر دقیق استفاده می شود - نقطه ای که "بزرگتر یا مساوی" خوانده می شود. اگر نیاز به محدود کردن دقیق فاصله داشته باشیم (مثلاً "x" می تواند مقادیر را از صفر تا یک بگیرد، اما آن را شامل نمی شود)، از یک نقطه "توخالی" استفاده می کنیم، یعنی در واقع یک دایره کوچک. در محور لازم به ذکر است که دانش آموزان واقعاً نابرابری های شدید را دوست ندارند، زیرا کار با آنها دشوارتر است.

بسته به اینکه از چه نقاطی در نمودار استفاده می کنید، فواصل ساخته شده نیز نامگذاری می شوند. اگر نابرابری در هر دو طرف سختگیرانه نباشد، یک بخش دریافت می کنیم. اگر از یک طرف معلوم شود که "باز" ​​است، آن را یک نیمه فاصله نامیده می شود. در نهایت، اگر قسمتی از یک خط از دو طرف با نقاط توخالی محدود شود، آن را فاصله نامیده می شود.

سطح

هنگام ساخت دو خط روی ما می توانیم نمودار توابع را در نظر بگیریم. فرض کنید خط افقی محور زمان و خط عمودی فاصله است. و اکنون می توانیم تعیین کنیم که جسم در یک دقیقه یا یک ساعت سفر بر چه مسافتی غلبه خواهد کرد. بنابراین، کار با یک هواپیما امکان نظارت بر تغییر وضعیت یک جسم را فراهم می کند. این بسیار جالب تر از کاوش در وضعیت ایستا است.

ساده ترین نمودار در چنین صفحه ای یک خط مستقیم است؛ تابع Y(X) = aX + b را منعکس می کند. آیا خط خم می شود؟ این بدان معناست که شیء در فرآیند تحقیق ویژگی های خود را تغییر می دهد.

تصور کنید روی پشت بام ساختمانی ایستاده اید و سنگی را در دستتان دراز کرده اید. هنگامی که آن را رها می کنید، به پایین پرواز می کند و حرکت خود را از سرعت صفر شروع می کند. اما در یک ثانیه بر 36 کیلومتر در ساعت غلبه خواهد کرد. سنگ به شتاب بیشتر ادامه می دهد و برای ترسیم حرکت آن بر روی نمودار، باید سرعت آن را در چند نقطه از زمان با تعیین نقاط روی محور در مکان های مناسب اندازه گیری کنید.

علامت‌های روی خط مختصات افقی به‌طور پیش‌فرض به ترتیب X1، X2، X3 و روی عمودی - Y1، Y2، Y3 نام‌گذاری می‌شوند. با پرتاب کردن آنها بر روی یک صفحه و یافتن تقاطع ها، قطعاتی از الگوی حاصل را می یابیم. با اتصال آنها با یک خط، نمودار تابع را دریافت می کنیم. در مورد سقوط سنگ، تابع درجه دوم به صورت زیر خواهد بود: Y(X) = aX * X + bX + c.

مقیاس

البته لازم نیست مقادیر صحیح را در کنار تقسیمات با خط مستقیم قرار دهید. اگر حرکت حلزونی را در نظر می گیرید که با سرعت 0.03 متر در دقیقه می خزد، مقادیر را روی خط مستقیم مختصات قرار دهید. در این حالت مقدار تقسیم را روی 0.01 متر قرار دهید.

انجام چنین نقاشی هایی در یک دفترچه در قفس به خصوص راحت است - در اینجا می توانید بلافاصله ببینید که آیا فضای کافی در برگه برای برنامه شما وجود دارد یا خیر ، آیا فراتر از حاشیه ها خواهید رفت. محاسبه قدرت شما دشوار نیست، زیرا عرض سلول در چنین دفترچه ای 0.5 سانتی متر است. طول کشید - تصویر را کاهش داد. با تغییر مقیاس نمودار، ویژگی های خود را از دست نمی دهد یا تغییر نمی دهد.

مختصات نقطه و خط

هنگامی که یک مسئله ریاضی در یک درس ارائه می شود، ممکن است شامل پارامترهای اشکال هندسی مختلف، هم به صورت طول ضلع، محیط، مساحت و هم به صورت مختصات باشد. در این مورد، ممکن است نیاز داشته باشید که هم یک شکل بسازید و هم داده های مرتبط با آن را دریافت کنید. این سوال مطرح می شود: چگونه می توان اطلاعات مورد نیاز را در خط مختصات پیدا کرد؟ و چگونه می توان یک فیگور ساخت؟

به عنوان مثال، ما در مورد یک نقطه صحبت می کنیم. سپس یک حرف بزرگ در شرایط مشکل ظاهر می شود، و چندین عدد در داخل پرانتز ظاهر می شود، اغلب دو (این بدان معنی است که ما در فضای دو بعدی می شماریم). اگر سه عدد در پرانتز وجود داشته باشد که با نقطه ویرگول یا کاما از هم جدا شده اند، این یک فضای سه بعدی است. هر یک از مقادیر مختصاتی در محور مربوطه است: ابتدا در امتداد افقی (X)، سپس در امتداد عمودی (Y).

به یاد داشته باشید که چگونه یک بخش را ترسیم کنید؟ شما آن را در هندسه پاس کردید. اگر دو نقطه وجود داشته باشد، می توان بین آنها خط کشید. مختصات آنها در پرانتز نشان داده می شود اگر قسمتی در مسئله ظاهر شود. به عنوان مثال: A(15، 13) - B(1، 4). برای ایجاد چنین خطی، باید نقاطی را در صفحه مختصات پیدا کرده و علامت گذاری کنید و سپس آنها را به هم وصل کنید. همین!

و هر چند ضلعی، همانطور که می دانید، می تواند با استفاده از بخش ترسیم شود. مشکل حل شد.

محاسبات

فرض کنید جسمی وجود دارد که موقعیت آن در امتداد محور X با دو عدد مشخص می شود: از نقطه ای با مختصات (-3) شروع می شود و به (2+) ختم می شود. اگر بخواهیم طول این جسم را بدانیم، باید عدد کوچکتر را از عدد بزرگتر کم کنیم. توجه داشته باشید که یک عدد منفی علامت تفریق را جذب می کند، زیرا "منهای ضربدر منهای برابر با یک مثبت است." بنابراین ما (2+3) را اضافه می کنیم و 5 می گیریم. این نتیجه لازم است.

مثال دیگر: نقطه پایان و طول شی به ما داده می شود، اما نقطه شروع نیست (و باید آن را پیدا کنیم). بگذارید موقعیت نقطه شناخته شده (6) و اندازه جسم مورد مطالعه (4) باشد. با کم کردن طول از مختصات نهایی به جواب می رسیم. مجموع: (6 - 4) = 2.

اعداد منفی

اغلب در عمل نیاز به کار با مقادیر منفی است. در این حالت در امتداد محور مختصات به سمت چپ حرکت خواهیم کرد. به عنوان مثال، جسمی به ارتفاع 3 سانتی متر در آب شناور است. یک سوم آن در مایع غوطه ور است و دو سوم آن در هوا است. سپس، با انتخاب سطح آب به عنوان یک محور، با استفاده از ساده ترین محاسبات حسابی، دو عدد به دست می آوریم: نقطه بالای جسم دارای مختصات (2+) و یک پایین - (-1) سانتی متر است.

به راحتی می توان فهمید که در مورد هواپیما، ما چهار چهارم خط مختصات داریم. هر کدام از آنها شماره مخصوص به خود را دارند. در قسمت اول (بالا سمت راست) نقاطی وجود خواهد داشت که دارای دو مختصات مثبت هستند، در قسمت دوم - از سمت چپ بالا - مقادیر محور X منفی و در امتداد محور Y - مثبت خواهد بود. سوم و چهارم بیشتر در خلاف جهت عقربه های ساعت شمارش می شوند.

ملک مهم

می دانید که یک خط را می توان به صورت بی نهایت نقطه نشان داد. ما می‌توانیم با دقت هر مقداری را که دوست داریم در هر جهت از محور مشاهده کنیم، اما با مقادیر تکراری روبرو نخواهیم شد. ساده و قابل درک به نظر می رسد، اما این بیانیه از یک واقعیت مهم ناشی می شود: هر عدد مربوط به یک و تنها یک نقطه در خط مختصات است.

نتیجه

به یاد داشته باشید که هر محور، شکل و در صورت امکان، گرافیک باید روی یک خط کش ساخته شود. واحدهای اندازه گیری به طور تصادفی توسط انسان اختراع نشده اند - اگر هنگام طراحی خطایی مرتکب شوید، در معرض خطر دیدن تصویری قرار می گیرید که آن چیزی نیست که باید می بود.

در ترسیم نمودارها و محاسبات دقت و دقت داشته باشید. مانند هر علمی که در مدرسه مطالعه می شود، ریاضیات عاشق دقت است. کمی تلاش کنید و نمرات خوب زیاد طول نمی کشد.

موضوع درس:

« مختصات در یک خط مستقیم»

هدف درس:

دانش آموزان را با خط مختصات و اعداد منفی آشنا کنید.

اهداف درس:

آموزش: دانش آموزان را با خط مختصات و اعداد منفی آشنا کنید.

توسعه: توسعه تفکر منطقی، گسترش افق دید.

آموزشی: توسعه علایق شناختی، آموزش فرهنگ اطلاعات.

طرح درس:

لحظه سازمانیبررسی دانش آموزان و آمادگی آنها برای درس.

به روز رسانی دانش پایهنظرسنجی شفاهی از دانش آموزان در مورد موضوع تحت پوشش.

توضیح مطالب جدید

4. تلفیق مطالب مورد مطالعه.

5. خلاصه کردنخلاصه ای از آنچه در درس آموخته شد. سوالات دانش آموزان.

6. نتیجه گیریجمع بندی نکات اصلی درس. ارزیابی دانش. گذاشتن علامت.

7. مشق شب. کار مستقلدانش آموزان با مطالب آموزشی

تجهیزات: گچ،تخته، اسلاید.

طرح کلی توسعه یافته

نام و محتوای صحنه

فعالیت

فعالیت

دانش آموزان

صحنه می کنم

لحظه سازمانی با درود.

پر کردن ژورنال

به کلاس سلام می کند، رئیس کلاس لیستی از غایبان ارائه می دهد.

به

معلم

مرحله دوم

به روز رسانی دانش پایه

فیثاغورث دانشمند یونان باستان گفت: "اعداد بر جهان حکومت می کنند." ما در این دنیای اعداد زندگی می کنیم و در سال های مدرسه یاد می گیریم که با اعداد مختلف کار کنیم.

1 چه اعدادی را برای درس امروز می دانیم؟

2 این اعداد به ما در حل چه مشکلاتی کمک می کنند؟

امروز به سراغ مطالعه فصل دوم کتاب درسی خود "اعداد گویا" می رویم، جایی که دانش خود را در مورد اعداد گسترش می دهیم و پس از مطالعه کل فصل "اعداد گویا" یاد می گیریم که چگونه تمام اعمالی را که می دانید انجام دهیم. با آنها و با خط مختصات موضوع شروع کنید.

1. کسر طبیعی، معمولی، کسری اعشاری

2. جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، یافتن کسری از یک عدد و عددی از کسری آن، حل معادلات و مسائل مختلف.

مرحله III

توضیح مطالب جدید

بیایید خط AB را گرفته و آن را با نقطه O به دو پرتو اضافی - OA و OB تقسیم کنیم. یک پاره منفرد را روی یک خط مستقیم انتخاب می کنیم و نقطه O را مبدا و جهت می گیریم.

تعاریف:

خط مستقیم با یک نقطه مرجع، یک قطعه واحد و یک جهت، خط مختصات نامیده می شود.

عددی که موقعیت یک نقطه را روی یک خط مستقیم نشان می دهد مختصات این نقطه نامیده می شود.

چگونه یک خط مختصات بسازیم؟

مستقیم بکش

یک بخش واحد را تنظیم کنید

جهت را نشان می دهد

خط مختصات را می توان به روش های مختلف ترسیم کرد: افقی، عمودی و در هر زاویه دیگری نسبت به افق، و شروع دارد، اما پایان ندارد.

تمرین 1. کدام یک از خطوط زیر مختص نیستند؟ (اسلاید)

بیایید یک خط مختصات رسم کنیم، مبدا مختصات، یک پاره واحد را مشخص کنیم و نقاط 1،2،3،4 و غیره را در سمت چپ و راست کنار بگذاریم.

بیایید به خط مختصات حاصل نگاه کنیم. چرا چنین خط مستقیمی ناخوشایند است؟

جهت سمت راست از مبدأ مثبت نامیده می شود و جهت روی خط مستقیم با یک فلش نشان داده می شود. اعداد واقع در سمت راست نقطه O را مثبت می گویند. اعداد منفی در سمت چپ نقطه O قرار دارند و جهت سمت چپ نقطه O منفی نامیده می شود (جهت منفی نشان داده نشده است). اگر خط مختصات به صورت عمودی قرار دارد، سپس از مبدأ بالا - اعداد مثبت، پایین از مبدا - منفی است. اعداد منفی با علامت "-" نوشته می شوند. آنها می خوانند: "منهای یک"، "منهای دو"، "منهای سه"، و غیره. عدد 0 - مبدا نه مثبت است و نه منفی. اعداد مثبت را از منفی جدا می کند.

حل معادلات و مفهوم «بدهی» در محاسبات معاملاتی منجر به پیدایش اعداد منفی شد.

اعداد منفی بسیار دیرتر از اعداد طبیعی و کسرهای معمولی ظاهر شدند. اولین اطلاعات در مورد اعداد منفی در بین ریاضیدانان چینی در قرن دوم قبل از میلاد یافت می شود. قبل از میلاد مسیح ه. سپس اعداد مثبت به عنوان دارایی و اعداد منفی به عنوان بدهی، کمبود تفسیر شدند. در اروپا، شناسایی هزار سال بعد اتفاق افتاد، و حتی پس از آن برای مدت طولانی اعداد منفی "کاذب"، "خیالی" یا "پوچ" نامیده می شدند. در قرن هفدهم، اعداد منفی یک نمایش هندسی بصری روی خط اعداد دریافت کردند.

همچنین می توانید نمونه هایی از یک خط مختصات را ارائه دهید: دماسنج، مقایسه قله ها و فرورفتگی های کوه (سطح دریا به عنوان صفر در نظر گرفته می شود)، فاصله روی نقشه، چاه آسانسور، خانه ها، جرثقیل ها.

فکرآیا نمونه دیگری از خط مختصات را می شناسید؟

وظایف

وظیفه 2. مختصات نقاط را نام ببرید.

وظیفه 3. نقاط را روی یک خط مختصات رسم کنید

وظیفه 4 . یک خط افقی بکشید و نقطه O را روی آن علامت بزنید و اگر معلوم است که:

A 9 خانه در سمت راست O است.

B 6.5 سلول در سمت چپ O است.

C 3 ½ فاصله در سمت راست O است.

K 3 فاصله در سمت چپ O است .

در یادداشت های پایه ثبت شده است.

گوش کن، تکمیل کن

تکلیف را در دفترچه خود کامل کنید و سپس پاسخ های خود را با صدای بلند توضیح دهید.

رسم کنید، مبدا مختصات را در یک بخش مشخص کنید

چنین خط مستقیمی ناخوشایند است زیرا همان عدد مربوط به 2 نقطه در خط مستقیم است.

تاریخ قبل از دوران ما و دوران ما.

مرحله IV

تلفیق مطالب مورد مطالعه.

1. خط مختصات چیست؟

2. چگونه یک خط مختصات بسازیم؟

1. خط مستقیمی که یک نقطه مرجع روی آن، یک پاره واحد و یک جهت انتخاب شده باشد، خط مختصات نامیده می شود

2) یک خط مستقیم بکشید

شروع شمارش معکوس را علامت بزنید

یک بخش واحد را تنظیم کنید

جهت را نشان می دهد

مرحله V

خلاصه کردن

امروز چه چیز جدیدی یاد گرفتیم؟

خط مختصات و اعداد منفی.

مرحله ششم

ارزیابی دانش. گذاشتن علامت.

مشق شب.

سوالاتی را در مورد موضوع مطرح شده بسازید (پاسخ آنها را بدانید)

خط مختصات

بیایید یک خط مستقیم در پیش بگیریم. بیایید آن را یک خط مستقیم x بنامیم (شکل 1). ما یک نقطه مرجع O را در این خط انتخاب می کنیم و همچنین جهت مثبت این خط را با یک فلش نشان می دهیم (شکل 2). بنابراین، در سمت راست نقطه O اعداد مثبت خواهیم داشت و در سمت چپ - منفی. ما مقیاس، یعنی اندازه قطعه خط مستقیم را برابر با یک انتخاب می کنیم. گرفتیم خط مختصات(شکل 3). هر عدد مربوط به یک نقطه خاص در این خط است. همچنین به این عدد مختصات این نقطه می گویند. بنابراین خط را خط مختصات می گویند. و نقطه مرجع O را مبدا می گویند.

به عنوان مثال، در شکل. 4 نقطه B در فاصله 2 سمت راست مبدا قرار دارد. نقطه D در فاصله 4 سمت چپ مبدا قرار دارد. بر این اساس نقطه B دارای مختصات 2 و نقطه D دارای مختصات 4- است. خود نقطه O که یک نقطه مرجع است دارای مختصات 0 (صفر) است. معمولاً به این صورت نوشته می شود: O(0)، B(2)، D(-4). و برای اینکه مدام نگویند "نقطه D با مختصات فلان و فلان" ساده تر می گویند: "نقطه 0، نقطه 2، نقطه -4". و در این صورت کافی است خود نقطه را با مختصات آن مشخص کنیم (شکل 5).

با دانستن مختصات دو نقطه از خط مختصات، همیشه می توانیم فاصله بین آنها را محاسبه کنیم. فرض کنید دو نقطه A و B به ترتیب با مختصات a و b داریم. سپس فاصله بین آنها |a - b| خواهد بود. رکورد |a - b| به صورت «مدول a منهای b» یا «مدول تفاوت بین اعداد a و b» خوانده شود.

ماژول چیست؟

از نظر جبری، مدول x یک عدد غیر منفی است. با |x| مشخص می شود. علاوه بر این، اگر x > 0، آنگاه |x| = x. اگر x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

از نظر هندسی مدول عدد x فاصله بین نقطه و مبدا است. و اگر دو نقطه با مختصات x1 و x2 وجود دارد، آنگاه |x1 - x2| فاصله بین این نقاط است.

ماژول نیز نامیده می شود قدر مطلق.

در مورد خط مختصات چه چیز دیگری می توانیم بگوییم؟ البته در مورد فواصل عددی.

انواع فواصل عددی

فرض کنید دو عدد a و b داریم. علاوه بر این، b > a (b بزرگتر از a است). در خط مختصات به این معنی است که نقطه b در سمت راست نقطه a قرار دارد. اجازه دهید b را در نابرابری خود با متغیر x جایگزین کنیم. یعنی x > a. سپس x همه اعداد بزرگتر از a است. در خط مختصات، اینها به ترتیب، همه نقاط سمت راست نقطه a هستند. این قسمت از خط سایه دار است (شکل 6). چنین مجموعه ای از نقاط نامیده می شود پرتو باز، و این فاصله عددی با (a; +∞) نشان داده می شود، که در آن علامت +∞ به عنوان "به علاوه بی نهایت" خوانده می شود. توجه داشته باشید که خود نقطه a در این فاصله گنجانده نشده است و با دایره نور نشان داده می شود.

همچنین موردی را در نظر بگیرید که x ≥ a. سپس x همه اعداد بزرگتر یا مساوی a است. در خط مختصات، اینها همه نقاط سمت راست a و همچنین خود نقطه a هستند (در شکل 7، نقطه a قبلاً با یک دایره تاریک نشان داده شده است). چنین مجموعه ای از نقاط نامیده می شود پرتو بسته(یا فقط یک پرتو)، و این فاصله عددی با نشان داده می شود.

خط مختصات نیز نامیده می شود محور مختصات. یا فقط محور x.

در پایان فصل اول گفتیم که در درس جبر، من و شما باید یاد بگیریم که موقعیت های واقعی را با کلمات (مدل کلامی)، جبری (جبری یا به قول ریاضیدانان مدل تحلیلی)، گرافیکی (گرافیک) توصیف کنیم. یا مدل هندسی). کل بخش اول کتاب درسی(فصل های 1-5) به مطالعه زبان ریاضی که مدل های تحلیلی با آن توصیف می شوند اختصاص داشت.

با شروع از فصل 6، ما نه تنها مدل های تحلیلی جدید، بلکه مدل های گرافیکی (هندسی) را نیز مطالعه خواهیم کرد. آنها با استفاده از یک خط مختصات ساخته شده اند، هواپیمای مختصات. این مفاهیم از درس ریاضی پایه پنجم تا ششم برای شما کمی آشناست.

خط مستقیم /، که روی آن حرف اولی نقطه O (نقطه مرجع)، مقیاس (تک بخش خط، یعنی قطعه ای که طول آن برابر با 1 در نظر گرفته می شود و جهت مثبت آن را خط مختصات یا محور مختصات می گویند (شکل 7). از اصطلاح "محور x" نیز استفاده می شود.

هر عدد مربوط به یک نقطه از خط است. به عنوان مثال، عدد 3.5 مربوط به نقطه M (شکل 8) است که از مبدأ، یعنی از نقطه O، در فاصله ای برابر با 3.5 (در یک مقیاس معین) حذف شده و از نقطه O به تعویق افتاده است. در جهت معین (مثبت). عدد -4 مربوط به نقطه P است (شکل 8 را ببینید)، که از نقطه O در فاصله ای برابر با 4 برداشته می شود، و از نقطه O در جهت منفی، یعنی در جهت مخالف با داده شده، به تعویق می افتد. یکی

عکس آن نیز صادق است: هر نقطه از خط مختصات مربوط به یک عدد واحد است.

به عنوان مثال، نقطه K که از نقطه O در جهت مثبت (داده شده) 5.4 است، با عدد 5.4 مطابقت دارد و نقطه N که از نقطه O در جهت منفی 2.1 است، با عدد - 2.1 مطابقت دارد (شکل را ببینید). 8).

به این اعداد مختصات نقاط مربوطه می گویند. بنابراین، در شکل. 8 نقطه K دارای مختصات 5.4 است. نقطه P - مختصات -4؛ نقطه M - مختصات 3.5؛ نقطه N - مختصات -2.1; نقطه O - مختصات 0 (صفر). از این رو نام - "خط مختصات". به بیان تصویری، خط مختصات یک خانه پرجمعیت است، ساکنان این خانه نقاط هستند و مختصات نقاط تعداد آپارتمان هایی است که نقاط ساکن در آنها زندگی می کنند.

چرا به خط مختصات نیاز داریم؟ چرا یک نقطه را با یک عدد و یک عدد را با یک نقطه مشخص کنیم؟ آیا این کار فایده ای دارد؟ بله وجود دارد.
مثلاً روی خط مختصات دو نقطه داده می شود: A - با مختصات o و B - با مختصات b (معمولاً در چنین مواردی کوتاهتر می نویسند:
الف (الف)، ب (ب)). فرض کنید باید فاصله d بین نقاط A و B را پیدا کنیم. معلوم می شود که به جای انجام این کار اندازه گیری های هندسی، فقط از فرمول آماده d \u003d (a - b) استفاده کنید (شما آن را در کلاس 6 مطالعه کردید).
بنابراین، در شکل 8 داریم:

در تلاش برای اختصار استدلال، ریاضیدانان موافقت کردند به جای عبارت طولانی «نقطه A خط مختصات، دارای مختصات a»، از عبارت کوتاهی استفاده کنند: «نقطه a»، و بر این اساس، در نقاشی، نقطه زیر در نظر گرفتن با مختصات آن نشان داده می شود. بنابراین، شکل 9 یک خط مختصات را نشان می دهد که روی آن نقاط علامت گذاری شده اند - 4. - 2.1; 0; یک 3.5; 5.4.

خط مختصات این فرصت را به ما می دهد که آزادانه از زبان جبری به زبان هندسی و بالعکس جابجا شویم. به عنوان مثال عدد a از عدد b کمتر باشد. در زبان جبری این چنین نوشته می شود: الف< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
با این حال، هر دو زبان جبری و هندسی انواعی از همان زبان ریاضی هستند که ما در حال مطالعه آن هستیم.

بیایید با چندین عنصر دیگر از زبان ریاضی که با خط مختصات مرتبط هستند آشنا شویم.

1. بگذارید نقطه a روی خط مختصات مشخص شود. تمام نقاطی که روی خط سمت راست نقطه a قرار دارند را در نظر بگیرید و قسمت مربوطه را با یک خط مختصات علامت گذاری کنید (شکل 10). این مجموعه از نقاط (اعداد) یک پرتو باز نامیده می شود و با (a, + oo) نشان داده می شود، جایی که علامت + oo می گوید: "به علاوه بی نهایت". با نابرابری x > a مشخص می شود (منظور از dz هر نقطه ای از تیر است).

لطفاً توجه داشته باشید: نقطه a متعلق به یک تیر باز نیست، اما اگر این نقطه باید به یک تیر باز متصل شود، x\u003e a یا و بر این اساس، روی نقطه b روی نقاشی بنویسید (شکل 13).

برای (-oo, b) از اصطلاح ray نیز استفاده خواهیم کرد.

3. بگذارید نقاط a و b روی خط مختصات مشخص شوند و< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

این مجموعه (اعداد) بازه نامیده می شود و با (a, b) نشان داده می شود.

با یک نابرابری دوگانه شدید a مشخص می شود< х < b (под х понимается любая точка интервала).

لطفاً توجه داشته باشید: فاصله (a, b) تقاطع (قسمت مشترک) دو پرتو باز (-oo, b) و (a, + oo) است - این به وضوح در شکل 15 دیده می شود.

اگر انتهای آن را به فاصله (a, b) یعنی نقاط a و b اضافه کنیم، بخش [a, b] را به دست می آوریم (شکل 16).

که با یک نابرابری مضاعف غیر دقیق مشخص می شود< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

پاره [a, b] تقاطع (قسمت مشترک) دو پرتو (-oo, b) است و با نابرابری های مضاعف مشخص می شود: a.< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

بنابراین، ما پنج اصطلاح جدید زبان ریاضی را معرفی کرده‌ایم: پرتو، پرتو باز، فاصله، قطعه، نیم فاصله. یک اصطلاح کلی نیز وجود دارد: شکاف های عددی.

خود خط مختصات نیز یک بازه عددی در نظر گرفته می شود. نماد (-oo، +oo) برای آن استفاده می شود.

دانلود رایگان ریاضی پایه هفتم، طرح درس، آماده شدن برای مدرسه آنلاین

A. V. Pogorelov، هندسه برای کلاس های 7-11، کتاب درسی برای موسسات آموزشی