حد دنباله عددی. چگونه ثابت کنیم که دنباله همگرا می شود؟ ویژگی های اساسی دنباله های همگرا انواع دنباله ها

تعریف حدود توالی و تابع، خواص حدود، اول و دوم حدود قابل توجه، مثال.

عدد ثابت آتماس گرفت حد دنباله ها(x n) اگر برای هر عدد مثبت دلخواه کوچک ε > 0 عدد N وجود داشته باشد به طوری که همه مقادیر x n، که برای آن n>N، نابرابری را برآورده می کند

آن را به صورت زیر بنویسید: یا x n → a.

نابرابری (6.1) معادل نابرابری مضاعف است

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n، با شروع از مقداری n>N، در داخل بازه (a-ε , a+ε) قرار می گیرد. در هر همسایگی ε کوچک نقطه قرار می گیرند آ.

دنباله ای که حدی دارد نامیده می شود همگرا، در غیر این صورت - واگرا.

مفهوم حد یک تابع تعمیم مفهوم حد یک دنباله است، زیرا حد یک دنباله را می توان حد تابع xn = f(n) یک آرگومان عدد صحیح در نظر گرفت. n.

اجازه دهید تابع f(x) داده شود و اجازه دهید آ - نقطه حددامنه تعریف این تابع D(f)، یعنی. چنین نقطه ای که هر همسایگی آن حاوی نقاطی از مجموعه D(f) متفاوت از آ. نقطه آممکن است به مجموعه D(f) تعلق داشته باشد یا نباشد.

تعریف 1.عدد ثابت A نامیده می شود حد کارکرد f(x) در x→ a if برای هر دنباله ای (x n ) از مقادیر آرگومان که تمایل به آ، دنباله های مربوطه (f(xn)) حد A یکسانی دارند.

این تعریف نامیده می شود تعریف حد تابع طبق هاینه،یا " به زبان سکانس ها”.

تعریف 2. عدد ثابت A نامیده می شود حد کارکرد f(x) در x → a اگر با یک عدد مثبت دلخواه و دلخواه کوچک ε، می توان δ > 0 (بسته به ε) را پیدا کرد به طوری که برای همه ایکس، در همسایگی ε عدد قرار دارد آ، یعنی برای ایکسارضای نابرابری
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

این تعریف نامیده می شود تعریف حد یک تابع با توجه به کوشی،یا «در زبان ε - δ"

تعاریف 1 و 2 معادل هستند. اگر تابع f(x) به صورت x → a داشته باشد حدبرابر A، این به صورت نوشته می شود

در صورتی که دنباله (f(xn)) به طور نامحدود برای هر روش تقریبی افزایش (یا کاهش) پیدا کند. ایکستا حد شما آ، سپس خواهیم گفت که تابع f(x) دارد حد بی نهایت،و آن را به صورت زیر بنویسید:

یک متغیر (یعنی یک دنباله یا تابع) که حد آن صفر است نامیده می شود بی نهایت کوچک

متغیری که حد آن برابر بی نهایت باشد نامیده می شود بی نهایت بزرگ.

برای یافتن حد در عمل از قضایای زیر استفاده کنید.

قضیه 1 . اگر هر محدودیتی وجود داشته باشد

(6.4)

(6.5)

(6.6)

اظهار نظر. عبارات شکل 0/0، ∞/∞، ∞-∞ 0*∞ نامشخص هستند، به عنوان مثال، نسبت دو کمیت بینهایت کوچک یا بی نهایت بزرگ، و یافتن حدی از این نوع «افشای عدم قطعیت» نامیده می شود.

قضیه 2.

آن ها می توان از حد در پایه درجه در یک توان ثابت عبور کرد، به ویژه،

قضیه 3.

(6.11)

جایی که ه» 2.7 پایه لگاریتم طبیعی است. فرمول های (6.10) و (6.11) حد قابل توجه اول و حد قابل توجه دوم نامیده می شوند.

پیامدهای فرمول (6.11) نیز در عمل استفاده می شود:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

به ویژه حد

اگر x → a و در همان زمان x > a، x →a + 0 را بنویسید. اگر به طور خاص، a = 0، به جای نماد 0+0 +0 بنویسید. به همین ترتیب، اگر x→a و در همان زمان x و بر این اساس نامگذاری می شوند. حد حقو حد چپ کارکرد f(x) در نقطه آ. برای اینکه حد تابع f(x) به صورت x→ a وجود داشته باشد، لازم و کافی است که . تابع f(x) فراخوانی می شود مداوم در نقطه x 0 اگر محدودیت داشته باشد

(6.15)

شرط (6.15) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

یعنی عبور از حد تحت علامت یک تابع در صورتی امکان پذیر است که در یک نقطه معین پیوسته باشد.

اگر برابری (6.15) نقض شود، آنگاه می گوییم در x = xo عملکرد f(x) این دارد شکاف.تابع y = 1/x را در نظر بگیرید. دامنه این تابع مجموعه است آر، به جز x = 0. نقطه x = 0 نقطه حدی از مجموعه D(f) است، زیرا در هر یک از همسایگان آن، به عنوان مثال، هر بازه باز حاوی نقطه 0 حاوی نقاطی از D(f) است، اما خود به این مجموعه تعلق ندارد. مقدار f(x o)= f(0) تعریف نشده است، بنابراین تابع در نقطه x o = 0 ناپیوستگی دارد.

تابع f(x) فراخوانی می شود پیوسته در سمت راست در یک نقطه x o اگر حد

و پیوسته در سمت چپ در یک نقطه x o اگر حد

تداوم یک تابع در یک نقطه x oمعادل تداوم آن در این نقطه در سمت راست و چپ است.

برای اینکه یک تابع در یک نقطه پیوسته باشد x oمثلاً در سمت راست، لازم است اولاً حد محدودی وجود داشته باشد و ثانیاً این حد برابر با f(x o) باشد. بنابراین، اگر حداقل یکی از این دو شرط برآورده نشود، تابع دارای شکاف خواهد بود.

1. اگر حد وجود داشته باشد و برابر با f(x o) نباشد، می گویند عملکرد f(x) در نقطه xo دارد شکست از نوع اول،یا پرش.

2. اگر حد +∞ یا -∞ باشد یا وجود نداشته باشد، می گویند که در نقطه x o تابع یک استراحت دارد نوع دوم.

به عنوان مثال، تابع y = ctg x به عنوان x → +0 دارای حدی برابر با +∞ است، به این معنی که در نقطه x=0 دارای ناپیوستگی از نوع دوم است. تابع y = E(x) (قسمت صحیح از ایکس) در نقاطی با ابسیساهای اعداد صحیح دارای ناپیوستگی های نوع اول یا پرش است.

تابعی که در هر نقطه از بازه پیوسته باشد نامیده می شود مداومکه در . یک تابع پیوسته با یک منحنی جامد نشان داده می شود.

بسیاری از مشکلات مرتبط با رشد مداوم مقداری منجر به دومین حد قابل توجه می شود. چنین وظایفی به عنوان مثال عبارتند از: رشد سهم طبق قانون بهره مرکب، رشد جمعیت کشور، تجزیه یک ماده رادیواکتیو، تکثیر باکتری ها و غیره.

در نظر گرفتن مثال Ya. I. Perelman، که تفسیر عدد را می دهد هدر مسئله بهره مرکب عدد هیک محدودیت وجود دارد . در بانک های پس انداز سالانه پول بهره به سرمایه ثابت اضافه می شود. اگر اتصال بیشتر انجام شود، سرمایه سریعتر رشد می کند، زیرا مقدار زیادی در شکل گیری سود نقش دارد. بیایید یک مثال کاملاً نظری و بسیار ساده را در نظر بگیریم. بگذارید بانک 100 den بگذارد. واحدها با نرخ 100% در سال. اگر پول با بهره فقط پس از یک سال به سرمایه ثابت اضافه شود، در این زمان 100 den. واحدها به 200 den تبدیل می شود. حالا ببینیم 100 den به چه چیزی تبدیل می شود. در صورتی که هر شش ماه یکبار پول بهره به سرمایه ثابت اضافه شود. بعد از نیم سال 100 den. واحدها 100 × 1.5 = 150 و در شش ماه دیگر - 150 × 1.5 = 225 (واحد پول) رشد می کند. اگر الحاق هر 1/3 سال انجام شود، پس از یک سال 100 den. واحدها به 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (دن. واحد) تبدیل می شود. بازه زمانی اضافه کردن پول بهره را به 0.1 سال، 0.01 سال، 0.001 سال و غیره افزایش خواهیم داد. سپس از 100 دن. واحدها یک سال بعد:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (دانه واحد)،

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (دنیای واحد)،

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (دنیای واحد).

با کاهش نامحدود در شرایط بهره الحاقی، سرمایه انباشته به طور نامحدود رشد نمی کند، اما به حد معینی برابر با 271 نزدیک می شود. سرمایه ای که در 100٪ در سال قرار می گیرد، نمی تواند بیش از 2.71 برابر شود، حتی اگر سود تعلق گرفته باشد. هر ثانیه به پایتخت اضافه می شود زیرا محدودیت

مثال 3.1. با استفاده از تعریف حد یک دنباله اعداد، ثابت کنید که دنباله x n =(n-1)/n دارای حدی برابر با 1 است.

راه حل.باید ثابت کنیم که هر چه ε > 0 بگیریم، یک عدد طبیعی N برای آن وجود دارد، به طوری که برای همه n > N نابرابری |x n -1|< ε

هر ε > 0 را بگیرید. چون x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n، پس برای یافتن N کافی است نابرابری 1/n را حل کنیم.<ε. Отсюда n>1/ε و بنابراین N را می توان به عنوان قسمت صحیح 1/ε N = E(1/ε) در نظر گرفت. بنابراین ما ثابت کردیم که حد .

راه حل. قضیه مجموع حد را اعمال کنید و حد هر جمله را بیابید. به عنوان n → ∞، صورت و مخرج هر جمله به بی نهایت میل می کند و ما نمی توانیم قضیه حد نصاب را مستقیماً اعمال کنیم. بنابراین، ابتدا تبدیل می کنیم x n، تقسیم صورت و مخرج جمله اول بر n 2، و دوم n. سپس با اعمال قضیه حد نصاب و قضیه حد مجموع، متوجه می‌شویم:

مثال 3.3. . پیدا کردن .

در اینجا از قضیه حد درجه استفاده کرده ایم: حد یک درجه برابر است با درجه حد پایه.

مثال 3.4. پیدا کردن ( ).

راه حل. استفاده از قضیه حد اختلاف غیرممکن است، زیرا ما عدم قطعیت شکل ∞-∞ داریم. بیایید فرمول عبارت کلی را تبدیل کنیم:

مثال 3.5. تابع f(x)=2 1/x داده می شود. ثابت کنید که حد وجود ندارد.

راه حل.ما از تعریف 1 حد یک تابع بر حسب یک دنباله استفاده می کنیم. دنباله ای ( x n ) بگیرید که به 0 همگرا می شود، یعنی. اجازه دهید نشان دهیم که مقدار f(xn)= برای دنباله های مختلف رفتار متفاوتی دارد. اجازه دهید x n = 1/n. بدیهی است، پس از آن حد بیایید اکنون به عنوان انتخاب کنیم x nدنباله ای با عبارت مشترک x n = -1/n، که به صفر نیز گرایش دارد. بنابراین محدودیتی وجود ندارد.

مثال 3.6. ثابت کنید که حد وجود ندارد.

راه حل.اجازه دهید x 1 , x 2 ,..., x n ,... دنباله ای باشد که برای آن
. دنباله (f(xn)) = (sin x n ) برای x n های مختلف چگونه رفتار می کند → ∞

اگر x n \u003d p n، سپس sin x n \u003d گناه (p n) = 0 برای همه nو اگر را محدود کنید
xn=2 p n+ p /2، سپس sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 برای همه nو از این رو محدودیت. بنابراین وجود ندارد.

دنباله های اعداد مجموعه ای بی نهایت از اعداد هستند. نمونه هایی از دنباله ها عبارتند از: دنباله همه اعضای یک پیشرفت هندسی نامحدود، دنباله مقادیر تقریبی ( x 1 = 1, x 2 = 1,4, x 3= 1.41، ...)، دنباله محیط های منظم n-گونهای حک شده در یک دایره مشخص. اجازه دهید مفهوم یک دنباله عددی را اصلاح کنیم.

تعریف 1.اگر هر عدد nاز سری طبیعی اعداد 1، 2، 3،...، پ،...یک عدد واقعی اختصاص داد x pسپس مجموعه اعداد حقیقی

x 1، x 2، x 3، …، x n، …(2.1)

تماس گرفت دنباله اعداد،یا فقط یک سکانس .

شماره x 1، x 2, x 3, ..., x p... تماس خواهد گرفت عناصر،یا اعضاتوالی (2.1)، نماد x p - عمومییک عنصر یا عضوی از یک دنباله و عدد پ -خود عدد.به طور خلاصه، دنباله (2.1) با نماد نشان داده می شود (x p).به عنوان مثال، شخصیت (1/ n) نشان دهنده دنباله ای از اعداد است

به عبارت دیگر، یک دنباله را می توان به عنوان مجموعه ای نامتناهی از عناصر شماره گذاری شده یا مجموعه ای از جفت اعداد درک کرد. (p, x p),که در آن عدد اول مقادیر متوالی 1، 2، 3، ... را می گیرد. اگر روشی برای به دست آوردن هر یک از عناصر آن مشخص شده باشد، یک دنباله داده شده در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال، فرمول x n = -1 + (-1)nدنباله 0، 2، 0، 2،... را تعریف می کند.

از نظر هندسی، دنباله بر روی محور عددی به صورت دنباله ای از نقاط که مختصات آنها برابر با اعضای متناظر دنباله است، نشان داده می شود. روی انجیر 2.1 دنباله ( x n} = {1/n) روی خط اعداد.

مفهوم دنباله همگرا

تعریف 2.عدد آتماس گرفت محدودیت توالی{x n} , اگر برای هر عدد مثبت ε یک عدد وجود دارد ن، که برای همه n > Nنابرابری

دنباله ای که حدی دارد نامیده می شود همگرااگر دنباله یک عدد را حد خود داشته باشد آ، سپس به این صورت نوشته می شود:

دنباله ای که محدودیتی ندارد نامیده می شود واگرا.

تعریف 3.دنباله ای که یک عدد را حد خود دارد آ= 0 نامیده می شود دنباله بی نهایت کوچک

تبصره 1.اجازه دهید دنباله ( x n) به عنوان محدودیت تعداد دارد آ. سپس دنباله (α n} = {x n - a) بی نهایت کوچک است، یعنی. هر عنصر x pدنباله همگرا با حد آ، می تواند به صورت نمایش داده شود

جایی که α n-عنصر یک دنباله بی نهایت کوچک (α n} .

تبصره 2.نابرابری (2.2) معادل نامساوی است (به ویژگی 4 مدول یک عدد از § 1.5 مراجعه کنید)

این بدان معنی است که در n > Nتمام عناصر دنباله ( x n) واقع شده اند ε-محلهنکته ها آ(شکل 2.2)، و تعداد نبا مقدار ε تعیین می شود.

ارائه یک تفسیر هندسی از این تعریف جالب است. از آنجایی که دنباله یک مجموعه نامتناهی از اعداد است، پس اگر همگرا شود، در هر همسایگی ε نقطه آدر خط واقعی تعداد نامتناهی نقطه وجود دارد - عناصر این دنباله، در حالی که خارج از همسایگی ε تعداد محدودی از عناصر وجود دارد. بنابراین، حد یک دنباله اغلب نامیده می شود نقطه ضخیم شدن

تبصره 3.دنباله نامحدود ندارد نهاییحد. با این حال، او ممکن است داشته باشد بی پایانحد، که به شکل زیر نوشته شده است:

اگر در همان زمان، با شروع از یک عدد معین، همه اعضای دنباله مثبت (منفی) باشند، بنویسید

اگر یک ( x n) یک دنباله بی نهایت کوچک است، سپس (1 /x p} - یک دنباله بی نهایتکه حد نامتناهی به معنای (2.3) دارد و بالعکس.

اجازه دهید مثال هایی از دنباله های همگرا و واگرا ارائه دهیم.

مثال 1با استفاده از تعریف حد یک دنباله نشان دهید که .

راه حل. هر عدد ε > 0 را بگیرید

سپس برای حفظ نابرابری (2.2) کافی است که نابرابری 1 / ( n + 1) < ε, откуда получаем n> (1 - ε) / ε. به اندازه کافی برای گرفتن ن= [(1 - ε)/ε] (قسمت صحیح عدد (1 - ε)/ ε)* به طوری که نابرابری |x p - 1| < ε выполнялосьпривсех n > N.

* نماد [ آ] به معنای قسمت صحیح عدد است آ، یعنی بزرگترین عدد صحیح که بیشتر از آن نباشد آ. به عنوان مثال، =2، =2، =0، [-0، 5] = -1، [-23.7] = -24.

مثال 2نشان دهید که دنباله ( x n} = (-1)n، یا -1، 1، -1، 1،... محدودیتی ندارد.

راه حل. در واقع، هر عددی که به عنوان حد فرض کنیم: 1 یا -1، با ε< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x p: تمام عناصر فرد -1 و عناصر زوج 1 هستند.

ویژگی های اساسی دنباله های همگرا

اجازه دهید ویژگی های اصلی دنباله های همگرا را که به صورت قضایا در درس ریاضیات عالی فرموله می شوند، ارائه کنیم.

1.اگر تمام عناصر یک دنباله بی نهایت کوچک{x n} برابر با همان عدد c و سپس c = 0 هستند.

2. یک دنباله همگرا فقط یک حد دارد.

3.دنباله همگرا محدود است.

4.مجموع (تفاوت) دنباله های همگرا{x n} و{y n} دنباله ای همگرا است که حد آن برابر است با مجموع (تفاوت) حدود دنباله ها{x p} و{y p}.

5.محصول توالی های همگرا{x n} و{y n} دنباله ای همگرا است که حد آن برابر است با حاصل ضرب حدود دنباله ها{x n} و{y n} .

6.ضریب دو دنباله همگرا{x n} و{y n} مشروط بر اینکه حد توالی{y n} غیر صفر است، یک دنباله همگرا وجود دارد که حد آن برابر است با ضریب حدود دنباله ها{x n} و{y p} .

7. اگر عناصر یک دنباله همگرا{x n} نابرابری x p ≥ b (x p ≤ b) را با شروع از یک عدد برآورده کنید، سپس حد a این دنباله نیز نابرابری a ≥ b (a ≤ b) را برآورده می کند.

8.حاصلضرب یک دنباله بینهایت کوچک توسط یک دنباله محدود یا با یک عدد یک دنباله بی نهایت کوچک است.

9.حاصل ضرب تعداد متناهی دنباله های بی نهایت کوچک، دنباله ای بی نهایت کوچک است.

بیایید کاربرد این خواص را با مثال در نظر بگیریم.

مثال 3. حد را پیدا کنید.

راه حل. در nصورت و مخرج کسری به بی نهایت تمایل دارند، یعنی. قضیه حد نصاب را نمی توان بلافاصله اعمال کرد، زیرا وجود محدودیت های محدود دنباله ها را فرض می کند. این دنباله را با تقسیم صورت و مخرج بر تبدیل می کنیم n 2. سپس با اعمال قضایای حد نصاب، حد مجموع و دوباره حد نصاب، پی در پی می یابیم

مثال 4 x p) = در پ.

راه حل. در اینجا نیز مانند مثال قبل، صورت و مخرج حد محدودی ندارند و بنابراین ابتدا باید تبدیل های مناسب انجام شود. تقسیم صورت و مخرج بر n، ما گرفتیم

از آنجایی که صورت شامل حاصل ضرب یک دنباله بی نهایت کوچک و یک دنباله محدود است، پس با خاصیت 8، در نهایت به دست می آوریم.

مثال 5حد دنباله را پیدا کنید ( x n) = در پ .

راه حل. در اینجا غیرممکن است که مستقیماً قضیه را در مورد حد مجموع (تفاوت) دنباله ها اعمال کنیم، زیرا هیچ محدودیت محدودی از عبارت ها در فرمول وجود ندارد. x n} . ضرب و تقسیم فرمول ( x n) به عبارت مزدوج:

شماره e

دنباله را در نظر بگیرید ( x n} , که اصطلاح رایج آن با فرمول بیان می شود

در جریان تحلیل ریاضی ثابت می شود که این دنباله یکنواخت افزایش می یابدو محدودیت دارد. به این محدودیت عدد می گویند ه. بنابراین، طبق تعریف

عدد هنقش مهمی در ریاضیات دارد. در ادامه روشی برای محاسبه آن با هر دقت لازم در نظر گرفته می شود. در اینجا به شماره توجه کنید هغیر منطقی است؛ مقدار تقریبی آن است ه = 2,7182818... .

3. حد دنباله اعداد

3.1. مفهوم یک دنباله عددی و تابعی از یک استدلال طبیعی

تعریف 3.1.یک دنباله عددی (از این پس به سادگی یک دنباله) مجموعه ای از اعداد قابل شمارش مرتب است.

{x1، x2، x3، ... }.

به دو نکته توجه کنید.

1. بی نهایت اعداد در دنباله وجود دارد. اگر تعداد محدودی از اعداد وجود داشته باشد، این یک دنباله نیست!

2. همه اعداد مرتب شده اند، یعنی به ترتیب خاصی مرتب شده اند.

در موارد زیر، ما اغلب از مخفف دنباله ( xn}.

عملیات خاصی را می توان روی توالی ها انجام داد. بیایید برخی از آنها را در نظر بگیریم.

1. ضرب یک دنباله در یک عدد.

دنباله ج×{ xn) دنباله ای با عناصر ( ج× xn)، به این معنا که

ج×{ x1، x2، x3، ... }={ج× x1، s× x2، s× x3, ... }.

2. جمع و تفریق دنباله ها.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

یا با جزئیات بیشتر

{x1، x2، x3، ...}±{ y1، y2، y3، ... }={x1± y1، x2± y2، x3± y3، ... }.

3. ضرب دنباله ها.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. تقسیم دنباله ها.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

به طور طبیعی، فرض بر این است که در این مورد همه yn¹ 0.

تعریف 3.2.دنباله ( xn) از بالا محدود خوانده می شود اگر https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height = "25 src=">. اگر دنباله ای (xn) در بالا و پایین محدود شود، محدود خوانده می شود.

3.2. محدودیت توالی دنباله بی نهایت بزرگ

تعریف 3.3.عدد آحد دنباله نامیده می شود ( xn) در nگرایش به بی نهایت، اگر

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> اگر .

می گویند که اگر .

تعریف 3.4.دنباله ( xn) بی نهایت بزرگ اگر (یعنی اگر) نامیده می شود ).

3.3. یک دنباله بی نهایت کوچک

تعریف 3.5.دنباله ای (xn) را بی نهایت کوچک اگر می نامند، یعنی اگر .

دنباله های بی نهایت کوچک دارای ویژگی های زیر هستند.

1. مجموع و اختلاف دنباله های بینهایت کوچک نیز دنباله ای بی نهایت کوچک است.

2. یک دنباله بی نهایت کوچک محدود است.

3. حاصل ضرب یک دنباله بی نهایت کوچک و یک دنباله محدود یک دنباله بی نهایت کوچک است.

4. اگر ( xn) یک دنباله بی نهایت بزرگ است که از مقداری شروع می شود ن، دنباله (1/ xn) و یک دنباله بی نهایت کوچک است. برعکس، اگر ( xn) یک دنباله بی نهایت کوچک و همه است xnبا صفر متفاوت هستند، پس (1/ xn) یک دنباله بی نهایت بزرگ است.

3.4. دنباله های همگرا

تعریف 3.6.اگر حد نهایی وجود دارد https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. اگر ، سپس .

3.5. عبور از حد در نابرابری ها.

قضیه 3.1.اگر، با شروع از برخی ن، همه xn ³ ب، سپس .

نتیجه.اگر، با شروع از برخی ن، همه xn ³ yn، سپس .

اظهار نظر. توجه داشته باشید که اگر، با شروع از برخی ن، همه xn > ب، پس، یعنی هنگام عبور از حد، نابرابری شدید می تواند غیر دقیق شود.

قضیه 3.2.(«قضیه دو پلیس») اگر از برخی شروع شود ن، خواص زیر حفظ می شود

1..gif" width="163" height="33 src=">,

سپس وجود دارد.

3.6. حد یک دنباله یکنواخت.

تعریف 3.7.دنباله ( xn) در صورت وجود به صورت یکنواخت افزایشی نامیده می شود n xn+1 ³ xn.

دنباله ( xn) به شدت افزایشی یکنواخت در صورت وجود نامیده می شود n xn+1> xn.

xn­.

تعریف 3.8.دنباله ( xn) به صورت یکنواخت نزولی در صورت وجود نامیده می شود n xn+1 £ xn.

دنباله ( xn) در صورت وجود، کاملاً یکنواخت کاهشی نامیده می شود n xn+1< xn.

هر دوی این موارد با نماد ترکیب می شوند xn¯.

قضیه وجود حد یک دنباله یکنواخت.

1. اگر دنباله ( xn) به طور یکنواخت در حال افزایش (کاهش) و از بالا (از پایین) محدود می شود، سپس دارای یک حد محدود برابر با sup( xn) (inf( xn}).

2 اگر دنباله ( xn) یکنواخت افزایش می یابد (کاهش می یابد)، اما از بالا (از پایین) محدود نمی شود، سپس حدی برابر با +¥ (-¥) دارد.

بر اساس این قضیه ثابت می شود که به اصطلاح حد قابل توجهی وجود دارد

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. به آن زیر دنباله ای می گویند ( xn}.

قضیه 3.3.اگر دنباله ( xn) همگرا می شود و حد آن است آ، سپس هر یک از دنباله های آن نیز همگرا می شود و همان حد را دارد.

اگر یک ( xn) یک دنباله بی نهایت بزرگ است، پس هر یک از دنباله های آن نیز بی نهایت بزرگ است.

لم بولزانو وایرشتراس.

1. از هر دنباله محدود می توان دنباله ای را استخراج کرد که به یک حد محدود همگرا می شود.

2. یک زیر دنباله بی نهایت بزرگ را می توان از هر دنباله نامحدود استخراج کرد.

بر اساس این لم، یکی از نتایج اصلی نظریه حدود ثابت می شود - معیار همگرایی بولزانو کوشی.

به منظور دنباله ( xn) حد محدودی وجود داشت، لازم و کافی است که

دنباله ای که این ویژگی را برآورده کند، دنباله بنیادی یا دنباله ای که در خود همگرا باشد نامیده می شود.

برای بسیاری از مردم، تجزیه و تحلیل ریاضی فقط مجموعه ای از اعداد، نمادها و تعاریف غیرقابل درک است که از زندگی واقعی دور هستند. با این حال، دنیایی که ما در آن زندگی می کنیم بر اساس الگوهای عددی ساخته شده است که شناسایی آنها نه تنها به یادگیری دنیای اطراف و حل مشکلات پیچیده آن کمک می کند، بلکه به ساده سازی کارهای عملی روزمره نیز کمک می کند. وقتی یک ریاضیدان می گوید یک دنباله اعداد همگرا می شود، منظورش چیست؟ این باید با جزئیات بیشتری مورد بحث قرار گیرد.

کم اهمیت؟

عروسک های ماتریوشکا را تصور کنید که یکی در داخل دیگری قرار می گیرد. اندازه های آنها که به صورت اعداد نوشته می شوند، از بزرگترین شروع می شوند و به کوچکترین آنها ختم می شوند، یک دنباله را تشکیل می دهند. اگر تعداد نامتناهی از چنین چهره های روشنی را تصور کنید، ردیف حاصل فوق العاده طولانی خواهد بود. این یک دنباله اعداد همگرا است. و به صفر گرایش دارد، زیرا اندازه هر عروسک لانه سازی بعدی، که به طرز فاجعه باری کاهش می یابد، به تدریج به هیچ تبدیل می شود. بنابراین، توضیح آن آسان است: چیزی که بی نهایت کوچک است.

یک مثال مشابه جاده ای است که به دوردست می رود. و ابعاد بصری ماشینی که در امتداد آن از ناظر دور می شود، به تدریج کوچک می شود، به یک نقطه بی شکل شبیه یک نقطه تبدیل می شود. بنابراین، ماشین، مانند یک جسم، در حال دور شدن در جهت نامعلوم، بی نهایت کوچک می شود. پارامترهای بدنه مشخص شده هرگز به معنای واقعی کلمه صفر نخواهند بود، اما همیشه در حد نهایی به این مقدار تمایل دارند. بنابراین، این دنباله دوباره به صفر همگرا می شود.

بیایید همه چیز را قطره قطره محاسبه کنیم

بیایید یک موقعیت واقعی زندگی را تصور کنیم. پزشک مصرف دارو را برای بیمار تجویز کرد و از ده قطره در روز شروع کرد و هر روز بعد دو قطره به آن اضافه کرد. و بنابراین دکتر پیشنهاد کرد تا زمانی که محتویات ویال دارو که حجم آن 190 قطره است، ادامه دهید. از مطالب فوق چنین نتیجه می شود که تعداد اینها که بر حسب روز نقاشی می شوند، سری اعداد زیر خواهد بود: 10، 12، 14 و غیره.

چگونه می توان از زمان گذراندن کل دوره و تعداد اعضای سکانس مطلع شد؟ در اینجا، البته، می توانید قطرات را به روشی ابتدایی بشمارید. اما با توجه به الگو، استفاده از فرمول با گام d = 2 بسیار ساده تر است. و با استفاده از این روش، متوجه شوید که تعداد اعضای سری اعداد 10 است. در این حالت، 10 = 28 است. شماره عضو تعداد روزهای مصرف دارو را نشان می دهد و 28 عدد مربوط به قطره هایی است که بیمار باید در روز آخر مصرف کند. آیا این دنباله همگرا می شود؟ خیر، زیرا با وجود اینکه از پایین به 10 و از بالا به 28 محدود می شود، چنین سری اعدادی بر خلاف نمونه های قبلی محدودیتی ندارد.

تفاوت در چیست؟

حالا بیایید سعی کنیم توضیح دهیم: وقتی سری اعداد یک دنباله همگرا است. تعریفی از این دست، همانطور که از مطالب فوق می توان نتیجه گرفت، ارتباط مستقیمی با مفهوم حد محدود دارد که وجود آن گویای اصل موضوع است. بنابراین تفاوت اساسی بین مثال های قبلی چیست؟ و چرا در آخرین آنها عدد 28 را نمی توان حد سری اعداد X n = 10 + 2(n-1) در نظر گرفت؟

برای روشن شدن این موضوع، دنباله دیگری را در نظر بگیرید که با فرمول زیر، که در آن n به مجموعه اعداد طبیعی تعلق دارد.

این اجتماع اعضا مجموعه ای از کسرهای معمولی است که صورت آن 1 است و مخرج دائماً در حال افزایش است: 1، ½ ...

علاوه بر این، هر نماینده بعدی از این سری، از نظر موقعیت مکانی روی خط اعداد، به طور فزاینده ای به 0 نزدیک می شود. این بدان معنی است که چنین همسایگی در جایی ظاهر می شود که نقاط در اطراف صفر، که حد است، خوشه می شوند. و هرچه به آن نزدیکتر باشند، غلظت آنها روی خط اعداد بیشتر می شود. و فاصله بین آنها به طرز فاجعه آمیزی کاهش می یابد و به یک بینهایت کوچک تبدیل می شود. این نشانه همگرا شدن دنباله است.

به طور مشابه، مستطیل های چند رنگ نشان داده شده در شکل، هنگام دور شدن در فضا، از نظر بصری شلوغ تر هستند، در حد فرضی به ناچیز تبدیل می شوند.

سکانس های بی نهایت بزرگ

پس از تجزیه و تحلیل تعریف یک دنباله همگرا، اکنون به نمونه های متقابل می پردازیم. بسیاری از آنها از زمان های قدیم برای بشر شناخته شده است. ساده ترین انواع دنباله های واگرا مجموعه ای از اعداد طبیعی و زوج هستند. آنها را به گونه ای دیگر بی نهایت بزرگ می نامند، زیرا اعضای آنها که دائماً در حال افزایش هستند، به طور فزاینده ای به بی نهایت مثبت نزدیک می شوند.

هر یک از پیشروی های حسابی و هندسی با گام و مخرج بزرگتر از صفر به ترتیب می تواند به عنوان نمونه ای از این موارد باشد. دنباله های واگرا به علاوه سری های عددی در نظر گرفته می شوند که اصلاً محدودیتی ندارند. به عنوان مثال، X n = (-2) n -1.

دنباله فیبوناچی

استفاده عملی از سری عددی که قبلا ذکر شد برای بشریت غیرقابل انکار است. اما نمونه های بی شمار دیگری نیز وجود دارد. یکی از آنها دنباله فیبوناچی است. هر یک از اعضای آن که با یک شروع می شود، مجموع اعضای قبلی است. دو نماینده اول آن 1 و 1 هستند. سومی 1+1=2، چهارمی 1+2=3، پنجمی 2+3=5. در ادامه، طبق همین منطق، اعداد 8، 13، 21 و غیره دنبال می‌شوند.

این سری از اعداد به طور نامحدود رشد می کنند و محدودیت محدودی ندارند. اما خاصیت فوق العاده دیگری نیز دارد. نسبت هر عدد قبلی به عدد بعدی بیشتر و بیشتر از نظر مقدارش به 0.618 نزدیک می شود.در اینجا می توانید تفاوت بین یک دنباله همگرا و واگرا را درک کنید، زیرا اگر یک سری تقسیم خصوصی دریافتی انجام دهید، سیستم عددی مشخص شده دارای خواهد بود. حد نهایی برابر با 0.618 است.

دنباله نسبت فیبوناچی

سری اعداد ذکر شده در بالا به طور گسترده برای اهداف عملی برای تجزیه و تحلیل فنی بازارها استفاده می شود. اما این به توانایی های آن محدود نمی شود، که مصری ها و یونانی ها می دانستند و می توانستند در زمان های قدیم آن را عملی کنند. این را اهرامی که ساخته اند و پارتنون ثابت می کند. از این گذشته ، عدد 0.618 یک ضریب ثابت از بخش طلایی است که در قدیم به خوبی شناخته شده است. بر اساس این قاعده، هر قطعه دلخواه را می توان به گونه ای تقسیم کرد که نسبت بین قطعات آن با نسبت بین بزرگترین قطعه به طول کل منطبق شود.

بیایید یک سری از این روابط بسازیم و سعی کنیم این توالی را تحلیل کنیم. سری اعداد به شرح زیر خواهد بود: 1; 0.5; 0.67; 0.6; 0.625; 0.615; 0.619 و غیره. با ادامه این روش، می توان تأیید کرد که حد دنباله همگرا واقعاً 0.618 خواهد بود. با این حال، ذکر خواص دیگر این قاعده ضروری است. در اینجا به نظر می رسد که اعداد به طور تصادفی پیش می روند و اصلاً به ترتیب صعودی یا نزولی نیستند. این بدان معنی است که این دنباله همگرا یکنواخت نیست. این که چرا چنین است بیشتر مورد بحث قرار خواهد گرفت.

یکنواختی و محدودیت

اعضای سری اعداد با افزایش اعداد می توانند به وضوح کاهش یابند (اگر x 1>x2>x3>...> x n>...) یا افزایش دهند (اگر x 1 باشد.

با رنگ آمیزی اعداد این سری، می توان متوجه شد که هر یک از اعضای آن که به طور نامحدود به عدد 1 نزدیک شود، هرگز از این مقدار تجاوز نخواهد کرد. در این مورد، دنباله همگرا را محدود می گویند. این اتفاق زمانی می افتد که چنین عدد مثبت M وجود داشته باشد، که همیشه از هر یک از شرایط مدول سری بزرگتر است. اگر یک سری اعداد نشانه های یکنواختی داشته باشد و حدی داشته باشد و بنابراین همگرا شود، لزوماً دارای چنین خاصیتی است. و لزومی ندارد که برعکس آن درست باشد. این با قضیه کرانه برای یک دنباله همگرا اثبات می شود.

استفاده از چنین مشاهداتی در عمل بسیار مفید است. بیایید با بررسی ویژگی های دنباله X n = n/n+1 مثال خاصی بزنیم و همگرایی آن را ثابت کنیم. به راحتی می توان نشان داد که یکنواخت است، زیرا (x n +1 - x n) یک عدد مثبت برای هر مقدار n است. حد دنباله برابر با عدد 1 است، یعنی تمام شرایط قضیه فوق که قضیه وایرشتراس نیز نامیده می شود، برقرار است. قضیه کرانه بودن یک دنباله همگرا بیان می کند که اگر حدی داشته باشد، در هر صورت معلوم می شود که محدود است. با این حال، بیایید مثال زیر را در نظر بگیریم. سری اعداد X n = (-1) n از پایین با -1 و از بالا با 1 محدود می شود. اما این دنباله یکنواخت نیست، محدودیتی ندارد و بنابراین همگرا نمی شود. یعنی همیشه وجود حد و همگرایی ناشی از محدودیت نیست. برای این کار، حد پایین و بالایی باید مطابقت داشته باشند، مانند نسبت فیبوناچی.

اعداد و قوانین جهان هستی

ساده ترین انواع یک دنباله همگرا و واگرا، شاید سری عددی Xn = n و Xn = 1/n باشد. اولین آنها یک سری طبیعی از اعداد است. همانطور که قبلا ذکر شد، بی نهایت بزرگ است. دومین دنباله همگرا محدود است و عبارات آن از نظر قدر نزدیک به بی نهایت کوچک هستند. هر یک از این فرمول ها یکی از اضلاع جهان چند وجهی را نشان می دهد و به فرد کمک می کند تا چیزی ناشناخته را تصور و محاسبه کند که در زبان اعداد و نشانه ها به درک محدود غیرقابل دسترس است.

قوانین جهان، از ناچیز تا فوق العاده بزرگ، نیز با نسبت طلایی 0.618 بیان می شوند. دانشمندان بر این باورند که اساس جوهر چیزها است و توسط طبیعت برای تشکیل اجزای آن استفاده می شود. روابط بین اعضای بعدی و قبلی سری فیبوناچی که قبلاً به آنها اشاره کردیم، نشان دادن خواص شگفت انگیز این سری منحصر به فرد را کامل نمی کند. اگر ضریب تقسیم جمله قبلی بر جمله بعدی را به یک در نظر بگیریم، یک سری 0.5 بدست می آوریم. 0.33; 0.4; 0.375; 0.384; 0.380; 0.382 و غیره. جالب است که این دنباله محدود همگرا می شود، یکنواخت نیست، اما نسبت اعداد همسایه افراطی از یک عضو خاص همیشه تقریباً برابر با 0.382 است که می تواند در معماری، تحلیل فنی و سایر صنایع نیز استفاده شود.

ضرایب جالب دیگری از سری فیبوناچی وجود دارد که همه آنها در طبیعت نقش ویژه ای دارند و انسان نیز برای اهداف عملی از آنها استفاده می کند. ریاضیدانان مطمئن هستند که جهان بر اساس یک "مارپیچ طلایی" خاص که از ضرایب مشخص شده تشکیل شده است، توسعه می یابد. با کمک آنها می توان بسیاری از پدیده های روی زمین و فضا را محاسبه کرد، از رشد تعداد باکتری های خاص گرفته تا حرکت دنباله دارهای دور. همانطور که مشخص است، کد DNA از قوانین مشابهی پیروی می کند.

کاهش پیشرفت هندسی

یک قضیه وجود دارد که منحصر به فرد بودن حد یک دنباله همگرا را تایید می کند. این بدان معنی است که نمی تواند دو یا چند حد داشته باشد که بدون شک برای یافتن ویژگی های ریاضی آن مهم است.

بیایید مواردی را در نظر بگیریم. هر سری عددی که از اعضای یک پیشروی حسابی تشکیل شده باشد، واگرا است، به جز موردی که دارای گام صفر است. همین امر در مورد یک تصاعد هندسی، که مخرج آن بزرگتر از 1 است، صدق می کند. حدود چنین سری های عددی "به علاوه" یا "منهای" بی نهایت است. اگر مخرج کمتر از -1 باشد، اصلاً محدودیتی وجود ندارد. گزینه های دیگر نیز امکان پذیر است.

سری اعداد را با فرمول X n = (1/4) n -1 در نظر بگیرید. در نگاه اول، به راحتی می توان فهمید که این دنباله همگرا محدود است، زیرا به شدت در حال کاهش است و به هیچ وجه قادر به گرفتن مقادیر منفی نیست.

بیایید تعدادی از اعضای آن را پشت سر هم بنویسیم.

دریافت: 1; 0.25; 0.0625; 0.015625; 0.00390625 و غیره. محاسبات بسیار ساده برای درک سرعت یک پیشروی هندسی با مخرج صفر کافی است.

توالی های اساسی

آگوستین لوئی کوشی، دانشمند فرانسوی، بسیاری از آثار مرتبط با تجزیه و تحلیل ریاضی را به جهانیان نشان داد. او برای مفاهیمی چون دیفرانسیل، انتگرال، حد و تداوم تعاریفی ارائه کرد. او همچنین خواص اساسی دنباله های همگرا را مطالعه کرد. برای درک اصل ایده های او، لازم است چند جزئیات مهم را خلاصه کنیم.

در همان ابتدای مقاله، نشان داده شد که چنین دنباله هایی وجود دارد که برای آنها یک همسایگی وجود دارد که در آن نقاط نشان دهنده اعضای یک سری خاص در خط واقعی شروع به خوشه بندی می کنند و بیشتر و بیشتر متراکم می شوند. در همان زمان، فاصله بین آنها با افزایش تعداد نماینده بعدی کاهش می یابد و به یک بی نهایت کوچک تبدیل می شود. بنابراین، معلوم می شود که در یک محله معین تعداد نامحدودی از نمایندگان یک سری معین گروه بندی می شوند، در حالی که خارج از آن تعداد محدودی از آنها وجود دارد. چنین دنباله هایی بنیادی نامیده می شوند.

معیار معروف کوشی که توسط یک ریاضیدان فرانسوی ایجاد شده است، به وضوح نشان می دهد که وجود چنین خاصیتی برای اثبات همگرایی دنباله کافی است. برعکس آن هم درست است.

لازم به ذکر است که این نتیجه گیری ریاضیدان فرانسوی بیشتر جنبه نظری دارد. کاربرد آن در عمل به عنوان یک موضوع نسبتاً پیچیده در نظر گرفته می شود، بنابراین، برای روشن شدن همگرایی سری ها، اثبات وجود حد محدود برای یک دنباله بسیار مهم تر است. در غیر این صورت واگرا تلقی می شود.

هنگام حل مسائل، باید ویژگی های اساسی دنباله های همگرا را نیز در نظر گرفت. در زیر ارائه شده اند.

مجموع بی نهایت

دانشمندان مشهور دوران باستان مانند ارشمیدس، اقلیدس، ادوکسوس از مجموع سری های اعداد نامتناهی برای محاسبه طول منحنی ها، حجم اجسام و مساحت شکل ها استفاده می کردند. به ویژه، از این طریق می توان مساحت بخش سهموی را پیدا کرد. برای این کار از مجموع سری های عددی یک پیشروی هندسی با q=1/4 استفاده شد. حجم و مساحت سایر ارقام دلبخواه به روشی مشابه یافت شد. این گزینه را روش "فرسودگی" نامیدند. ایده این بود که بدن مورد مطالعه، به شکل پیچیده، به قطعاتی تقسیم می‌شود، که ارقامی با پارامترهای به راحتی قابل اندازه‌گیری هستند. به همین دلیل محاسبه مساحت و حجم آنها کار سختی نبود و سپس با هم جمع شدند.

به هر حال، وظایف مشابه برای دانش آموزان مدرن بسیار آشنا هستند و در وظایف USE یافت می شوند. روش منحصر به فرد، که توسط اجداد دور یافته شده است، تا حد زیادی ساده ترین راه حل است. حتی اگر فقط دو یا سه قسمت وجود داشته باشد که رقم عددی به آنها تقسیم شود، جمع مساحت آنها باز هم مجموع سری اعداد است.

آنها بسیار دیرتر از دانشمندان یونان باستان لایبنیتس و نیوتن، بر اساس تجربه پیشینیان خردمند خود، قوانین محاسبه انتگرال را آموختند. آگاهی از خواص دنباله ها به حل معادلات دیفرانسیل و جبری کمک کرد. در حال حاضر، تئوری سری ها که با تلاش نسل های زیادی از دانشمندان با استعداد ایجاد شده است، فرصتی برای حل تعداد زیادی از مسائل ریاضی و عملی می دهد. و مطالعه دنباله های عددی مشکل اصلی حل شده توسط تجزیه و تحلیل ریاضی از زمان پیدایش آن است.

توالی یکی از مفاهیم اساسی ریاضیات است. دنباله می تواند از اعداد، نقاط، توابع، بردارها و غیره تشکیل شده باشد. اگر قانونی مشخص شده باشد که طبق آن هر عدد طبیعی n با عنصر x n از مجموعه ای مرتبط باشد، یک دنباله داده شده در نظر گرفته می شود. دنباله به صورت x 1، x 2، ...، x n یا به طور خلاصه (xn) نوشته می شود. عناصر x 1، x 2، ...، x n اعضای دنباله نامیده می شوند، x 1 - اولین، x 2 - دوم، x n - عضو مشترک (n-امین) دنباله.

بیشتر اوقات، دنباله های عددی در نظر گرفته می شوند، یعنی دنباله هایی که اعضای آن اعداد هستند. روش تحلیلی ساده ترین راه برای تعیین یک دنباله عددی است. این کار با استفاده از فرمولی انجام می شود که nامین عضو دنباله x 1 را برحسب عدد n بیان می کند. به عنوان مثال، اگر

راه دیگر تکراری است (از کلمه لاتین عودها- "بازگشت")، هنگامی که چند عضو اول دنباله و قانون تنظیم می شوند، به هر عضو بعدی اجازه می دهد تا از طریق اعضای قبلی محاسبه شود. مثلا:

نمونه هایی از دنباله های اعداد عبارتند از: پیشروی حسابی و پیشرفت هندسی.

ردیابی رفتار اعضای دنباله با افزایش عدد n بدون محدودیت جالب است (این واقعیت که n به طور نامحدود افزایش می یابد به صورت n ∞ ∞ نوشته می شود و می خواند: "n به بی نهایت تمایل دارد").

دنباله ای با عبارت مشترک x n = 1/n را در نظر بگیرید: x 1 = 1، x 2 = 1/2; x 3 \u003d 1/3، ...، x 100 \u003d 1/100، .... همه اعضای این دنباله غیر صفر هستند، اما هر چه n بزرگتر باشد، x n کمتر با صفر تفاوت دارد. عبارات این دنباله با افزایش n به طور نامحدود به صفر تمایل دارند. عدد صفر حد این دنباله است.

مثال دیگری: x n = (−1) n / n - دنباله را تعریف می کند

اعضای این دنباله نیز به سمت صفر تمایل دارند، اما آنها یا بزرگتر از صفر هستند یا کمتر از صفر - حد آنها.

مثال دیگری را در نظر بگیرید: x n = (n − 1)/(n + 1). اگر x n را به شکل نمایش دهیم

سپس مشخص می شود که این توالی به وحدت گرایش دارد.

اجازه دهید حد یک دنباله را تعریف کنیم. عدد a حد دنباله ای (xn) نامیده می شود اگر برای هر عدد مثبت ε، بتوان عدد N را مشخص کرد به طوری که برای همه n > N، نابرابری |xn − a|< ε.

اگر a حد دنباله (xn) است، x n → a یا a = lim n∞ x n بنویسید (lim سه حرف اول کلمه لاتین هستند. لیموترش سبز- "حد").

اگر به آن معنای هندسی بدهیم این تعریف واضح تر می شود. عدد a را در بازه (a - ε, a + ε) قرار می دهیم (شکل را ببینید). عدد a حد دنباله (xn) است اگر صرف نظر از کوچکی بازه (a - ε, a + ε)، همه اعضای دنباله با اعداد بزرگتر از مقدار N در این بازه قرار گیرند. به عبارت دیگر، خارج از هر بازه ای (a - ε، a + ε) فقط می تواند تعداد محدودی از اعضای دنباله وجود داشته باشد.

برای دنباله در نظر گرفته شده x n = (-1) n /n، همسایگی ε نقطه صفر در ε = 1/10 شامل همه اعضای دنباله، به جز ده اول، و برای ε = 1/100، همه اعضای دنباله به جز صد نفر اول.

دنباله ای که حدی دارد همگرا و دنباله ای که حد ندارد واگرا می گویند. در اینجا مثالی از یک دنباله واگرا آورده شده است: x n = (-1) n. عبارات آن به طور متناوب +1 و -1 هستند و به هیچ حدی تمایل ندارند.

اگر دنباله همگرا شود، آنگاه محدود است، یعنی اعداد c و d وجود دارند به طوری که همه اعضای دنباله شرط c ≤ x n ≤ d را برآورده می کنند. نتیجه این است که تمام دنباله های نامحدود واگرا هستند. این سکانس ها هستند:

به دنباله ای که به سمت صفر گرایش دارد، می گویند بی نهایت کوچک است. مفهوم بینهایت کوچک را می توان به عنوان مبنایی برای تعریف کلی حد یک دنباله استفاده کرد، زیرا حد یک دنباله (xn) برابر است اگر و فقط اگر x n را بتوان به صورت مجموع x n = a + α نشان داد. n که α n بی نهایت کوچک است.

دنباله های در نظر گرفته شده (1/n)، ((-1) n/n) بی نهایت کوچک هستند. دنباله (n-1)/(n + 1)، به شرح زیر از (2)، با 1 بینهایت کوچک 2/(n + 1) متفاوت است و بنابراین حد این دنباله 1 است.

در تحلیل ریاضی نیز مفهوم یک دنباله بی نهایت بزرگ از اهمیت زیادی برخوردار است. دنباله ای (x n) بی نهایت بزرگ نامیده می شود اگر دنباله (1/x n) بی نهایت کوچک باشد. یک دنباله بی نهایت بزرگ (x n) به صورت x n → ∞ یا lim n→∞ x n = ∞ نوشته می شود و گفته می شود "به بی نهایت بروید". در اینجا نمونه هایی از دنباله های بی نهایت بزرگ آورده شده است:

(n 2)، (2 n)، (√(n + 1))، (n - n 2).

ما تأکید می کنیم که یک دنباله بی نهایت بزرگ محدودیتی ندارد.

دنباله های (x n) و (y n) را در نظر بگیرید. می توانید دنباله هایی را با عبارت های رایج x n + y n , x n − y n , x n y n و (اگر y n ≠ 0) x n /y n تعریف کنید. قضیه زیر درست است که اغلب آن را قضیه اعمال حسابی با حد می نامند: اگر دنباله های (xn) و (y n) همگرا شوند، آنگاه دنباله های (xn + y n)، (xn-y n)، (xn y n)، ( x n /y n) نیز همگرا می شوند و برابری های زیر برقرار است:

در مورد دوم، علاوه بر این، لازم است که تمام اعضای دنباله (y n) غیر صفر باشند و همچنین شرط lim n→∞ y n ≠ 0 برآورده شود.

با اعمال این قضیه می توان حدود زیادی را یافت. برای مثال حد یک دنباله با یک جمله مشترک را پیدا کنید

نشان دادن x n به شکل

تعیین کنید که حد صورت و مخرج وجود دارد:

بنابراین دریافت می کنیم:

lim n→∞ x n = 2/1 =2.

یک دسته مهم از دنباله ها، توالی های یکنواخت هستند. به این ترتیب دنباله هایی در حال افزایش (x n+1 > x n برای هر n)، کاهش (xn+1) نامیده می شوند.< x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

تصور کنید که دنباله (xn) کاهش نمی یابد، یعنی نابرابری ها

x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ … ≤ x n ≤ x n+1 ≤ …,

و اجازه دهید، علاوه بر این، این دنباله از بالا محدود شود، یعنی همه x n از مقداری d تجاوز نکنند. هر یک از اعضای چنین دنباله ای بزرگتر یا برابر با قبلی است، اما هیچ یک از آنها از d تجاوز نمی کند. کاملاً واضح است که این دنباله به عددی تمایل دارد که یا کمتر از d یا مساوی d است. در دوره تحلیل ریاضی، قضیه ای ثابت می شود که یک دنباله غیرکاهنده و محدود از بالا دارای حدی است (گزاره مشابهی برای یک دنباله غیر افزایشی و محدود شده از زیر صادق است). این قضیه قابل توجه شرایط کافی برای وجود حد را فراهم می کند. برای مثال، از آن نتیجه می‌شود که دنباله‌ای از نواحی n-گون‌های منظم که در دایره‌ای با شعاع واحد محاط شده‌اند، دارای محدودیت هستند، زیرا از بالا به‌طور یکنواخت در حال افزایش و محدود است. حد این دنباله با π نشان داده می شود.

با استفاده از حد یک دنباله محدود یکنواخت، عدد e، که نقش زیادی در تجزیه و تحلیل ریاضی بازی می کند، تعیین می شود - پایه لگاریتم های طبیعی:

e = lim n→∞ (1 + 1/n) n .

دنباله (1)، همانطور که قبلا ذکر شد، یکنواخت است و علاوه بر این، از بالا محدود شده است. او حدی دارد ما به راحتی می توانیم این حد را پیدا کنیم. اگر برابر با a باشد، عدد a باید برابری a = √(2 + a) را برآورده کند. با حل این معادله، a = 2 به دست می آید.