Euklidischer Algorithmus – Finden des größten gemeinsamen Teilers. Ermitteln des GCD mithilfe des euklidischen Algorithmus und Verwenden der Primfaktorzerlegung der Quadratwurzel mithilfe der euklidischen Methode

Euklids Algorithmus ist ein Algorithmus zum Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers (GCD) eines Paares ganzer Zahlen.

Größter gemeinsamer Teiler (GCD) ist eine Zahl, die zwei Zahlen ohne Rest teilt und selbst ohne Rest durch jeden anderen Teiler der gegebenen zwei Zahlen teilbar ist. Einfach ausgedrückt ist dies die größte Zahl, durch die zwei Zahlen, für die der gcd gesucht wird, ohne Rest geteilt werden können.

Algorithmus zum Finden von GCD durch Division

1. Teilen Sie die größere Zahl durch die kleinere Zahl.
2. Wenn es ohne Rest dividiert wird, ist die kleinere Zahl GCD (Sie sollten den Zyklus verlassen).
3. Wenn ein Rest vorhanden ist, ersetzen Sie die größere Zahl durch den Rest der Division.
4. Kommen wir zu Punkt 1.

Beispiel:
Finden Sie gcd für 30 und 18.
30 / 18 = 1 (Rest 12)
18 / 12 = 1 (Rest 6)
12 / 6 = 2 (Rest 0)
Ende: GCD ist ein Teiler von 6.
GCD(30, 18) = 6

a = 50 b = 130 while a != 0 and b != 0 : if a > b: a = a % b else : b = b % a print (a + b)

In der Schleife wird der Rest der Division in die Variable a oder b geschrieben. Die Schleife endet, wenn mindestens eine der Variablen Null ist. Das bedeutet, dass das andere einen gcd enthält. Allerdings wissen wir nicht genau, welches. Daher ermitteln wir für GCD die Summe dieser Variablen. Da eine der Variablen Null ist, hat dies keinen Einfluss auf das Ergebnis.

Algorithmus zum Ermitteln von GCD durch Subtraktion

1. Subtrahieren Sie die kleinere Zahl von der größeren Zahl.
2. Wenn das Ergebnis 0 ist, bedeutet dies, dass die Zahlen einander gleich sind und GCD sind (Sie sollten die Schleife verlassen).
3. Wenn das Ergebnis der Subtraktion ungleich 0 ist, ersetzen Sie die größere Zahl durch das Ergebnis der Subtraktion.
4. Kommen wir zu Punkt 1.

Beispiel:
Finden Sie gcd für 30 und 18.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Ende: GCD ist ein Minuend oder Subtrahend.
GCD(30, 18) = 6

a = 50 b = 130 while a != b: if a > b: a = a - b else : b = b - a print (a)

Dieser Artikel ist über Finden des größten gemeinsamen Teilers (GCD) zwei oder mehr Zahlen. Schauen wir uns zunächst den Euklid-Algorithmus an; er ermöglicht es Ihnen, den ggT zweier Zahlen zu ermitteln. Danach konzentrieren wir uns auf eine Methode, die es uns ermöglicht, den ggT von Zahlen als Produkt ihrer gemeinsamen Primfaktoren zu berechnen. Als nächstes werden wir uns mit der Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers von drei oder mehr Zahlen befassen und auch Beispiele für die Berechnung des ggT negativer Zahlen geben.

Seitennavigation.

Euklidischer Algorithmus zum Finden von GCD

Beachten Sie, dass wir, wenn wir uns von Anfang an mit der Tabelle der Primzahlen beschäftigt hätten, herausgefunden hätten, dass die Zahlen 661 und 113 Primzahlen sind, von denen wir sofort sagen könnten, dass ihr größter gemeinsamer Teiler 1 ist.

Antwort:

GCD(661, 113)=1 .

Ermitteln des GCD durch Faktorisieren von Zahlen in Primfaktoren

Betrachten wir eine andere Möglichkeit, GCD zu finden. Der größte gemeinsame Teiler kann durch Zerlegen von Zahlen in Primfaktoren ermittelt werden. Formulieren wir eine Regel: Der ggT zweier positiver Ganzzahlen a und b ist gleich dem Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren, die in den Primfaktorzerlegungen der Zahlen a und b vorkommen.

Lassen Sie uns ein Beispiel geben, um die Regel zum Finden von GCD zu erläutern. Lassen Sie uns die Zerlegungen der Zahlen 220 und 600 in Primfaktoren kennen, sie haben die Form 220=2·2·5·11 und 600=2·2·2·3·5·5. Die üblichen Primfaktoren bei der Faktorisierung der Zahlen 220 und 600 sind 2, 2 und 5. Daher ist GCD(220, 600)=2·2·5=20.

Wenn wir also die Zahlen a und b in Primfaktoren zerlegen und das Produkt aller ihrer gemeinsamen Faktoren ermitteln, dann finden wir den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen a und b.

Betrachten wir ein Beispiel für die Suche nach GCD gemäß der angegebenen Regel.

Beispiel.

Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 72 und 96.

Lösung.

Zerlegen wir die Zahlen 72 und 96 in Primfaktoren:

Das heißt, 72=2·2·2·3·3 und 96=2·2·2·2·2·3. Übliche Primfaktoren sind 2, 2, 2 und 3. Somit ist GCD(72, 96)=2·2·2·3=24.

Antwort:

GCD(72, 96)=24 .

Zum Abschluss dieses Absatzes stellen wir fest, dass sich die Gültigkeit der obigen Regel zur Ermittlung des GCD aus der Eigenschaft des größten gemeinsamen Teilers ergibt, die dies besagt GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), wobei m eine beliebige positive ganze Zahl ist.

Ermitteln des gcd von drei oder mehr Zahlen

Das Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers von drei oder mehr Zahlen kann auf das aufeinanderfolgende Ermitteln des ggT zweier Zahlen reduziert werden. Wir haben dies erwähnt, als wir die Eigenschaften von GCD untersuchten. Dort haben wir den Satz formuliert und bewiesen: Der größte gemeinsame Teiler mehrerer Zahlen a 1, a 2, ..., a k ist gleich der Zahl d k, die durch sequentielle Berechnung von GCD(a 1, a 2)=d 2 ermittelt wird , GCD(d 2, a 3) =d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4,..., GCD(d k-1, a k)=d k.

Sehen wir uns anhand der Lösung des Beispiels an, wie der Prozess zum Ermitteln des gcd mehrerer Zahlen aussieht.

Beispiel.

Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler der vier Zahlen 78, 294, 570 und 36.

Lösung.

In diesem Beispiel ist a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

Zunächst ermitteln wir mit dem Euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler d 2 der ersten beiden Zahlen 78 und 294. Beim Dividieren erhalten wir die Gleichungen 294 = 78 3 + 60 ; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 und 18=6·3. Somit ist d 2 =GCD(78, 294)=6.

Nun lasst uns rechnen d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). Wenden wir den euklidischen Algorithmus erneut an: 570=6·95, also d 3 = GCD(6, 570)=6.

Es bleibt zu rechnen d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). Da 36 durch 6 teilbar ist, gilt d 4 = GCD(6, 36) = 6.

Somit ist der größte gemeinsame Teiler der vier gegebenen Zahlen d 4 =6, also ggT(78, 294, 570, 36)=6.

Antwort:

GCD(78, 294, 570, 36)=6 .

Durch die Faktorisierung von Zahlen in Primfaktoren können Sie auch den ggT von drei oder mehr Zahlen berechnen. In diesem Fall ergibt sich der größte gemeinsame Teiler als Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren der gegebenen Zahlen.

Beispiel.

Berechnen Sie den ggT der Zahlen aus dem vorherigen Beispiel anhand ihrer Primfaktorzerlegungen.

Lösung.

Zerlegen wir die Zahlen 78, 294, 570 und 36 in Primfaktoren, so erhalten wir 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 ·3· 3. Die gemeinsamen Primfaktoren aller dieser vier Zahlen sind die Zahlen 2 und 3. Somit, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

Im Vorwort zu seiner Erstausgabe „Im Königreich des Einfallsreichtums“ (1908) schreibt E. I. Ignatiev: „... intellektuelle Initiative, Schlagfertigkeit und „Einfallsreichtum“ können niemandem „eingebohrt“ oder „eingepflanzt“ werden. Die Ergebnisse sind nur dann zuverlässig, wenn die Einführung in das Gebiet der mathematischen Kenntnisse auf einfache und angenehme Weise erfolgt, indem Gegenstände und Beispiele aus gewöhnlichen und alltäglichen Situationen verwendet werden, die mit angemessenem Witz und Unterhaltung ausgewählt werden.“

Im Vorwort zur Ausgabe von 1911 „Die Rolle des Gedächtnisses in der Mathematik“ E.I. Ignatiev schreibt: „... in der Mathematik sind es nicht die Formeln, die man sich merken sollte, sondern der Prozess des Denkens.“

Um die Quadratwurzel zu ziehen, gibt es Quadrattabellen für zweistellige Zahlen; Sie können die Zahl in Primfaktoren faktorisieren und die Quadratwurzel des Produkts ziehen. Eine Quadrattabelle reicht manchmal nicht aus; das Ziehen der Wurzel durch Faktorisieren ist eine zeitaufwändige Aufgabe, die auch nicht immer zum gewünschten Ergebnis führt. Versuchen Sie, die Quadratwurzel aus 209764 zu ziehen? Die Faktorisierung in Primfaktoren ergibt das Produkt 2*2*52441. Durch Ausprobieren und Auswählen – dies ist natürlich möglich, wenn Sie sicher sind, dass es sich um eine ganze Zahl handelt. Die Methode, die ich vorschlagen möchte, ermöglicht es Ihnen in jedem Fall, die Quadratwurzel zu ziehen.

Am Institut (Staatliches Pädagogisches Institut Perm) wurden wir einmal mit dieser Methode bekannt gemacht, über die ich jetzt sprechen möchte. Ich habe mich nie gefragt, ob es für diese Methode einen Beweis gibt, also musste ich jetzt einen Teil des Beweises selbst herleiten.

Grundlage dieser Methode ist die Zusammensetzung der Zahl =.

=&, d.h. & 2 =596334.

1. Teilen Sie die Zahl (5963364) von rechts nach links in Paare (5`96`33`64)

2. Extrahieren Sie die Quadratwurzel der ersten Gruppe links (- Nummer 2). So erhalten wir die erste Ziffer von &.

3. Finden Sie das Quadrat der ersten Ziffer (2 2 =4).

4. Ermitteln Sie die Differenz zwischen der ersten Gruppe und dem Quadrat der ersten Ziffer (5-4=1).

5. Wir notieren die nächsten beiden Ziffern (wir erhalten die Zahl 196).

6. Verdoppeln Sie die erste gefundene Ziffer und schreiben Sie sie links hinter die Zeile (2*2=4).

7. Jetzt müssen wir die zweite Ziffer der Zahl & finden: Das Doppelte der ersten gefundenen Ziffer wird zur Zehnerstelle der Zahl. Wenn Sie diese mit der Anzahl der Einheiten multiplizieren, müssen Sie eine Zahl kleiner als 196 erhalten (dies ist). die Zahl 4, 44*4=176). 4 ist die zweite Ziffer von &.

8. Finden Sie den Unterschied (196-176=20).

9. Wir zerstören die nächste Gruppe (wir erhalten die Nummer 2033).

10. Verdoppeln Sie die Zahl 24, wir erhalten 48.

Es gibt 11,48 Zehner in einer Zahl, wenn wir sie mit der Zahl der Einer multiplizieren, sollten wir eine Zahl kleiner als 2033 (484*4=1936) erhalten. Die Einerstelle, die wir gefunden haben (4), ist die dritte Ziffer der Zahl &.

Für folgende Fälle habe ich den Beweis erbracht:

1. Extrahieren der Quadratwurzel einer dreistelligen Zahl;

2. Extrahieren der Quadratwurzel einer vierstelligen Zahl.

Ungefähre Methoden zum Ziehen von Quadratwurzeln (ohne Verwendung eines Taschenrechners).

1. Die alten Babylonier verwendeten die folgende Methode, um den ungefähren Wert der Quadratwurzel ihrer Zahl x zu ermitteln. Sie stellten die Zahl x als die Summe a 2 + b dar, wobei a 2 das genaue Quadrat der natürlichen Zahl a (a 2 ? x) ist, die der Zahl x am nächsten liegt, und verwendeten die Formel . (1)

Mit Formel (1) ziehen wir beispielsweise die Quadratwurzel aus der Zahl 28:

Das Ergebnis der Wurzelextraktion aus 28 mit MK ist 5,2915026.

Wie Sie sehen, liefert die babylonische Methode eine gute Annäherung an den genauen Wert der Wurzel.

2. Isaac Newton entwickelte eine Methode zum Ziehen von Quadratwurzeln, die auf Heron von Alexandria (ca. 100 n. Chr.) zurückgeht. Diese Methode (bekannt als Newton-Methode) ist wie folgt.

Lassen eine 1- die erste Näherung einer Zahl (als 1 können Sie die Werte der Quadratwurzel einer natürlichen Zahl annehmen – ein exaktes Quadrat nicht größer als X) .

Als nächstes eine genauere Annäherung eine 2 Zahlen durch die Formel gefunden .

Seit der Antike wurde die Arbeit mit Zahlen in zwei unterschiedliche Bereiche unterteilt: Der eine betraf direkt die Eigenschaften von Zahlen, der andere war mit Zähltechniken verbunden. Mit „Arithmetik“ ist in vielen Ländern meist das letztgenannte Fachgebiet gemeint, das zweifellos der älteste Zweig der Mathematik ist.

Offensichtlich bestand die größte Schwierigkeit für antike Rechner darin, mit Brüchen zu arbeiten. Dies geht aus dem Ahmes-Papyrus (auch Rhind-Papyrus genannt) hervor, einem altägyptischen Werk über Mathematik aus der Zeit um 1650 v. Chr. Alle im Papyrus erwähnten Brüche, mit Ausnahme von 2/3, haben den Zähler 1. Die Schwierigkeit, mit Brüchen umzugehen, macht sich auch beim Studium alter babylonischer Keilschrifttafeln bemerkbar. Sowohl die alten Ägypter als auch die Babylonier führten ihre Berechnungen offenbar mit einer Art Abakus durch. Die Wissenschaft der Zahlen erlebte bei den alten Griechen eine bedeutende Entwicklung, beginnend mit Pythagoras um 530 v. Chr. Was die Berechnungstechnologie selbst betrifft, so haben die Griechen auf diesem Gebiet viel weniger getan.

Die späteren Römer hingegen leisteten praktisch keinen Beitrag zur Zahlenwissenschaft, verbesserten jedoch aufgrund der Bedürfnisse der sich schnell entwickelnden Produktion und des Handels den Abakus als Zählgerät. Über die Ursprünge der indischen Arithmetik ist sehr wenig bekannt. Nur wenige spätere Arbeiten zur Theorie und Praxis von Zahlenoperationen sind uns überliefert, die verfasst wurden, nachdem das indische Positionssystem durch die Einbeziehung der Null verbessert wurde. Wann genau dies geschah, wissen wir nicht genau, aber damals wurden die Grundlagen für unsere gebräuchlichsten Rechenalgorithmen gelegt.

Das indische Zahlensystem und die ersten Rechenalgorithmen wurden von den Arabern übernommen. Das früheste erhaltene arabische Arithmetiklehrbuch wurde um 825 von al-Khwarizmi verfasst. Es verwendet und erklärt ausführlich indische Ziffern. Dieses Lehrbuch wurde später ins Lateinische übersetzt und hatte einen erheblichen Einfluss auf Westeuropa. Eine verzerrte Version des Namens al-Khwarizmi ist in dem Wort „Algorismus“ überliefert, das bei weiterer Vermischung mit dem griechischen Wort „Algorismus“ verwendet wird Arrhythmien wurde der Begriff „Algorithmus“.

Die indoarabische Arithmetik wurde in Westeuropa vor allem durch die Arbeit von L. Fibonacci bekannt Buch des Abakus (Liber abaci, 1202). Die Abacist-Methode bot ähnliche Vereinfachungen wie die Verwendung unseres Positionssystems, zumindest für Addition und Multiplikation. Die Abacisten wurden durch Algorithmen ersetzt, die Null und die arabische Methode der Division und Quadratwurzelextraktion verwendeten. Eines der ersten Rechenlehrbücher, dessen Autor uns unbekannt ist, wurde 1478 in Treviso (Italien) veröffentlicht. Es befasste sich mit Berechnungen bei der Abwicklung von Handelsgeschäften. Dieses Lehrbuch wurde zum Vorgänger vieler später erschienener Rechenlehrbücher. Bis zum Beginn des 17. Jahrhunderts. In Europa wurden mehr als dreihundert solcher Lehrbücher veröffentlicht. Arithmetische Algorithmen wurden in dieser Zeit erheblich verbessert. Im 16.–17. Jahrhundert. Es erschienen Symbole für arithmetische Operationen wie =, +, -, ґ, ё und .

Mechanisierung arithmetischer Berechnungen.

Mit der Weiterentwicklung der Gesellschaft stieg auch der Bedarf an schnelleren und genaueren Berechnungen. Aus diesem Bedürfnis heraus entstanden vier bemerkenswerte Erfindungen: indoarabische Ziffern, Dezimalzahlen, Logarithmen und moderne Rechenmaschinen.

Tatsächlich gab es die einfachsten Rechengeräte bereits vor dem Aufkommen der modernen Arithmetik, denn in der Antike wurden elementare Rechenoperationen auf dem Abakus durchgeführt (in Russland wurden hierfür Abakusse verwendet). Das einfachste moderne Computergerät kann als Rechenschieber betrachtet werden, der aus zwei aneinander gleitenden logarithmischen Skalen besteht, die Multiplikation und Division durch Summieren und Subtrahieren von Skalensegmenten ermöglichen. B. Pascal (1642) gilt als Erfinder der ersten mechanischen Addiermaschine. Später im selben Jahrhundert erfanden G. Leibniz (1671) in Deutschland und S. Moreland (1673) in England Maschinen zur Durchführung der Multiplikation. Diese Maschinen wurden zu den Vorgängern der Desktop-Computergeräte (Arithmometer) des 20. Jahrhunderts, die es ermöglichten, Additions-, Subtraktions-, Multiplikations- und Divisionsoperationen schnell und genau durchzuführen.

Im Jahr 1812 begann der englische Mathematiker C. Babbage mit der Entwicklung eines Entwurfs für eine Maschine zur Berechnung mathematischer Tabellen. Obwohl die Arbeit an dem Projekt viele Jahre dauerte, blieb es unvollendet. Dennoch diente Babbages Projekt als Anstoß für die Entwicklung moderner elektronischer Computer, deren erste Exemplare um 1944 auftauchten. Die Geschwindigkeit dieser Maschinen war erstaunlich: Mit ihrer Hilfe war es in Minuten oder Stunden möglich, Probleme zu lösen, die zuvor erforderlich waren viele Jahre kontinuierliche Berechnungen, auch unter Verwendung von Addiermaschinen.

Positive ganze Zahlen.

Lassen A Und B sind zwei endliche Mengen, die keine gemeinsamen Elemente haben, und sei A enthält N Elemente und B enthält M Elemente. Dann viele S, bestehend aus allen Elementen der Mengen A Und B, zusammengenommen, ist eine endliche Menge, die beispielsweise enthält: S Elemente. Zum Beispiel, wenn A besteht aus Elementen ( A, B, C), ein Haufen IN– aus Elementen ( X, j), dann die Menge S=A+B und besteht aus Elementen ( A, B, C, X, j). Nummer S angerufen Menge Zahlen N Und M, und wir schreiben es so: s = n + m. In diesem Eintrag die Zahlen N Und M werden genannt Bedingungen, die Operation, die Summe zu finden – Zusatz. Das Operationssymbol „+“ wird als „Plus“ gelesen. Ein Haufen P, bestehend aus allen geordneten Paaren, in denen das erste Element aus der Menge ausgewählt wird A, und der zweite ist aus dem Set B, ist eine endliche Menge, die beispielsweise enthält: P Elemente. Wenn z.B., wie bisher, A = {A, B, C}, B = {X, j), Das P=AґB = {(A,X), (A,j), (B,X), (B,j), (C,X), (C,j)). Nummer P angerufen arbeiten Zahlen A Und B, und wir schreiben es so: p = aґB oder p = a×b. Zahlen A Und B im Werk werden sie genannt Multiplikatoren, der Vorgang des Findens des Produkts – Multiplikation. Das Operationssymbol ґ wird als „multipliziert mit“ gelesen.

Es kann gezeigt werden, dass sich aus diesen Definitionen die folgenden Grundgesetze der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen ergeben:

– das Gesetz der kommutativen Addition: a + b = b + a;

– Gesetz der assoziativen Addition: A + (B + C) = (A + B) + C;

– das Gesetz der kommutativen Multiplikation: Aґb = bґA;

– Gesetz der Assoziativität der Multiplikation: Aґ(BґC) = (AґB)ґC;

– Verteilungsgesetz: Aґ(B + C)= (AґB) + (AґC).

Wenn A Und B– zwei positive ganze Zahlen und ob es eine positive ganze Zahl gibt C, so dass a = b + c, dann sagen wir das A mehr B(das ist so geschrieben: a>b), oder was B weniger A(das ist so geschrieben: B). Für zwei beliebige Zahlen A Und B Eine von drei Beziehungen gilt: entweder a = b, oder a>b, oder A.

Die ersten beiden Grundgesetze besagen, dass die Summe zweier oder mehrerer Terme nicht davon abhängt, wie sie gruppiert oder in welcher Reihenfolge sie angeordnet sind. Ebenso folgt aus dem dritten und vierten Hauptsatz, dass das Produkt von zwei oder mehr Faktoren nicht davon abhängt, wie die Faktoren gruppiert sind oder in welcher Reihenfolge sie sind. Diese Tatsachen sind als „verallgemeinerte Gesetze der Kommutativität und Assoziativität“ der Addition und Multiplikation bekannt. Daraus folgt, dass beim Schreiben der Summe mehrerer Terme oder des Produkts mehrerer Faktoren die Reihenfolge der Terme und Faktoren keine Rolle spielt und die Klammern weggelassen werden können.

Insbesondere die wiederholte Summe a + a + ... + a aus N Begriffe ist gleich NґA. Wiederholte Arbeit AґAґ ... ґA aus N Wir haben vereinbart, die Faktoren zu bezeichnen ein; Nummer A angerufen Basis, und die Zahl N – Produktanzeige wiederholen, das wiederholte Werk selbst – n-te Potenz Zahlen A. Diese Definitionen ermöglichen es uns, die folgenden Grundgesetze für Exponenten aufzustellen:

Eine weitere wichtige Konsequenz der Definitionen: Aґ1 = A für jede ganze Zahl A und 1 ist die einzige ganze Zahl, die diese Eigenschaft hat. Die Nummer 1 wird aufgerufen Einheit.

Teiler von ganzen Zahlen.

Wenn A, B, C– ganze Zahlen und Aґb = c, Das A Und B sind Teiler einer Zahl C. Als Aґ1 = A für jede ganze Zahl A Wir schließen daraus, dass 1 ein Teiler jeder ganzen Zahl ist und dass jede ganze Zahl ein Teiler von sich selbst ist. Jeder ganzzahlige Teiler A, verschieden von 1 oder A, habe den Namen richtiger Teiler Zahlen A.

Jede ganze Zahl außer 1, die keinen eigenen Teiler hat, wird aufgerufen Primzahl. (Ein Beispiel für eine Primzahl ist die Zahl 7.) Eine ganze Zahl, die ihre eigenen Teiler hat, heißt zusammengesetzte Zahl. (Zum Beispiel ist die Zahl 6 zusammengesetzt, da 2 6 teilt.) Aus dem oben Gesagten folgt, dass die Menge aller ganzen Zahlen in drei Klassen unterteilt ist: Eins, Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen.

In der Zahlentheorie gibt es einen sehr wichtigen Satz, der besagt: „Jede ganze Zahl kann als Produkt von Primzahlen dargestellt werden, und bis auf die Reihenfolge der Faktoren ist eine solche Darstellung eindeutig.“ Dieser Satz ist als „Grundsatz der Arithmetik“ bekannt. Es zeigt, dass Primzahlen als „Bausteine“ dienen, aus denen alle ganzen Zahlen außer eins durch Multiplikation konstruiert werden können.

Wenn eine bestimmte Menge von ganzen Zahlen angegeben ist, wird die größte ganze Zahl aufgerufen, die ein Teiler jeder in dieser Menge enthaltenen Zahl ist größter gemeinsamer Teiler gegebene Zahlenmenge; Die kleinste ganze Zahl, deren Teiler jede Zahl aus einer gegebenen Menge ist, wird aufgerufen kleinstes gemeinsames Vielfaches gegebene Zahlenmenge. Somit ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 12, 18 und 30 6. Das kleinste gemeinsame Vielfache derselben Zahlen ist 180. Ist der größte gemeinsame Teiler zweier ganzen Zahlen A Und B gleich 1 ist, dann sind die Zahlen A Und B werden genannt gegenseitig prim. Beispielsweise sind die Zahlen 8 und 9 relativ prim, obwohl keine von ihnen eine Primzahl ist.

Positive rationale Zahlen.

Wie wir gesehen haben, sind ganze Zahlen Abstraktionen, die beim Zählen endlicher Mengen von Objekten entstehen. Für die Bedürfnisse des Alltags reichen ganze Zahlen jedoch nicht aus. Wenn Sie beispielsweise die Länge einer Tischplatte messen, ist die verwendete Maßeinheit möglicherweise zu groß und passt nicht mehrmals in die gemessene Länge. Um eine solche Schwierigkeit mit Hilfe der sogenannten zu bewältigen. gebrochen(d. h. wörtlich „gebrochene“) Zahlen, wird eine kleinere Längeneinheit eingeführt. Wenn D– eine ganze Zahl, dann die Brucheinheit 1/ D durch die Immobilie bestimmt Dґ1/D= 1, und wenn N ist dann eine ganze Zahl Nґ1/D wir schreiben es einfach als N/D. Diese neuen Zahlen werden „gewöhnliche“ oder „einfache“ Brüche genannt. Ganze Zahl N angerufen Zähler Brüche und Zahlen D – Nenner. Der Nenner gibt an, in wie viele gleiche Anteile die Einheit aufgeteilt wurde, und der Zähler gibt an, wie viele solcher Anteile genommen wurden. Wenn N d, der Bruch heißt eigentlich; Wenn n = d oder n>d, dann ist es falsch. Ganze Zahlen werden als Brüche mit dem Nenner 1 behandelt; zum Beispiel 2 = 2/1.

Da der Bruch N/D kann als Ergebnis einer Teilung interpretiert werden N Einheiten pro D Besteht man aus gleichen Teilen und nimmt man einen dieser Teile, so kann man sich einen Bruch als „Quotient“ oder „Verhältnis“ zweier ganzer Zahlen vorstellen N Und D, und verstehen Sie den Bruchstrich als Divisionszeichen. Daher werden üblicherweise Brüche (einschließlich ganzer Zahlen als Sonderfall von Brüchen) genannt rational Zahlen (vom lateinischen Verhältnis - Verhältnis).

Zwei Brüche N/D Und ( kґN)/(kґD), Wo k– eine ganze Zahl, kann als gleich betrachtet werden; zum Beispiel 4/6 = 2/3. (Hier N = 2, D= 3 und k= 2.) Dies ist als „grundlegende Eigenschaft eines Bruchs“ bekannt: Der Wert eines Bruchs ändert sich nicht, wenn Zähler und Nenner des Bruchs mit derselben Zahl multipliziert (oder dividiert) werden. Daraus folgt, dass jeder Bruch als Verhältnis zweier relativ erster Zahlen geschrieben werden kann.

Aus der oben vorgeschlagenen Interpretation des Bruchs ergibt sich auch, dass er die Summe zweier Brüche ist N/D Und M/D Da der Nenner gleich ist, nehmen Sie den Bruch ( N + M)/D. Wenn Sie Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren, müssen Sie diese zunächst mithilfe der Grundeigenschaft eines Bruchs in äquivalente Brüche mit demselben (gemeinsamen) Nenner umwandeln. Zum Beispiel, N 1 /D 1 = (N 1 H D 2)/(D 1 H D 2 und N 2 /D 2 = (N 2 H D 1)/(D 1 H D 2), von wo

Man könnte es auch anders machen und beispielsweise zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache ermitteln M, Nenner D 1 und D 2. Dann gibt es ganze Zahlen k 1 und k 2 , so dass m = k 1 H D 1 = k 2 H D 2 und wir erhalten:

Mit dieser Methode die Nummer M normalerweise aufgerufen kleinster gemeinsamer Nenner zwei Brüche. Diese beiden Ergebnisse sind nach der Definition der Bruchgleichheit äquivalent.

Produkt aus zwei Brüchen N 1 /D 1 und N 2 /D 2 wird gleich dem Bruch genommen ( N 1 H N 2)/(D 1 H D 2).

Die oben angegebenen acht Grundgesetze für ganze Zahlen gelten auch, wenn unter A, B, C beliebige positive rationale Zahlen verstehen. Auch wenn zwei positive rationale Zahlen gegeben sind N 1 /D 1 und N 2 /D 2, dann sagen wir das N 1 /D 1 > N 2 /D 2 genau dann, wenn N 1 H D 2 > N 2 H D 1 .

Positive reelle Zahlen.

Die Verwendung von Zahlen zur Messung der Länge von Liniensegmenten legt nahe, dass dies für zwei beliebige gegebene Liniensegmente gilt AB Und CD Es muss ein Segment geben UV, vielleicht sehr klein, was in jedem der Segmente um eine ganze Zahl verschoben werden könnte AB Und CD. Wenn so eine gemeinsame Längeneinheit UV existiert, dann die Segmente AB Und CD werden als angemessen bezeichnet. Bereits in der Antike wussten die Pythagoräer um die Existenz inkommensurabler Geradensegmente. Ein klassisches Beispiel ist die Seite eines Quadrats und seine Diagonale. Wenn wir die Seite eines Quadrats als Längeneinheit nehmen, dann gibt es keine rationale Zahl, die ein Maß für die Diagonale dieses Quadrats sein könnte. Sie können dies überprüfen, indem Sie durch Widerspruch argumentieren. Nehmen wir tatsächlich an, dass die rationale Zahl N/D ist das Maß der Diagonale. Aber dann Segment 1/ D könnte verschoben werden N einmal diagonal und D mal auf der Seite des Quadrats, obwohl die Diagonale und die Seite des Quadrats inkommensurabel sind. Folglich haben unabhängig von der Wahl der Längeneinheit nicht alle Liniensegmente Längen, die in rationalen Zahlen ausgedrückt werden können. Damit alle Liniensegmente in einer Längeneinheit gemessen werden können, muss das Zahlensystem um Zahlen erweitert werden, die die Ergebnisse der Messung der Längen von Liniensegmenten darstellen, die nicht mit der gewählten Längeneinheit übereinstimmen. Diese neuen Zahlen werden positiv genannt irrational Zahlen. Letztere bilden zusammen mit positiven rationalen Zahlen eine größere Menge von Zahlen, deren Elemente positiv genannt werden gültig Zahlen.

Wenn ODER– horizontale Halblinie, die von einem Punkt ausgeht Ö, U– Punkt drauf ODER, anders als der Ursprung Ö, Und OU wird als Einheitssegment gewählt, dann jeder Punkt P auf einer Halbzeile ODER kann einer einzelnen positiven reellen Zahl zugeordnet werden P, was die Länge des Segments ausdrückt OP. Auf diese Weise stellen wir eine Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen positiven reellen Zahlen und anderen Punkten als her Ö, auf einer Halbzeile ODER. Wenn P Und Q– zwei positive reelle Zahlen, die Punkten entsprechen P Und Q An ODER, dann schreiben wir p>q,p = q oder p abhängig von der Lage des Punktes P rechts vom Punkt Q An ODER, fällt zusammen mit Q oder befindet sich links davon Q.

Die Einführung positiver irrationaler Zahlen erweiterte den Anwendungsbereich der Arithmetik erheblich. Zum Beispiel, wenn A– jede positive reelle Zahl und N eine beliebige ganze Zahl ist, dann gibt es nur eine positive reelle Zahl B, so dass bn=a. Diese Nummer B Wurzel genannt N Grad der A und wird geschrieben als, wobei das Symbol in seinem Umriss einem lateinischen Buchstaben ähnelt R, womit das lateinische Wort beginnt Radix(root) und heißt Radikale. Das lässt sich zeigen

Diese Beziehungen werden als Grundeigenschaften von Radikalen bezeichnet.

Aus praktischer Sicht ist es sehr wichtig, dass jede positive irrationale Zahl durch eine positive rationale Zahl so genau wie gewünscht angenähert werden kann. Das bedeutet, wenn R ist eine positive irrationale Zahl und e eine beliebig kleine positive rationale Zahl ist, dann können wir positive rationale Zahlen finden A Und B, so dass ein und B. Beispielsweise ist eine Zahl irrational. Wenn Sie auswählen e= 0,01, dann ; wenn du wählst e= 0,001, dann .

Indo-arabisches Zahlensystem.

Algorithmen bzw. Rechenschemata der Arithmetik hängen vom verwendeten Zahlensystem ab. Es liegt beispielsweise auf der Hand, dass die für das römische Zahlensystem erfundenen Berechnungsmethoden von den für das aktuelle indoarabische System erfundenen Algorithmen abweichen können. Darüber hinaus sind einige Zahlensysteme möglicherweise für die Konstruktion arithmetischer Algorithmen völlig ungeeignet. Historische Daten zeigen, dass es vor der Einführung des indisch-arabischen Zahlenschreibsystems überhaupt keine Algorithmen gab, die es einfach genug machten, Zahlen mit „Bleistift und Papier“ zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren und zu dividieren. Im Laufe der langen Jahre der Existenz des indisch-arabischen Systems wurden zahlreiche speziell darauf angepasste algorithmische Verfahren entwickelt, sodass unsere modernen Algorithmen das Produkt einer ganzen Ära der Entwicklung und Verbesserung sind.

Im hindu-arabischen Zahlensystem besteht jeder Eintrag, der eine Zahl darstellt, aus einem Satz von zehn Grundsymbolen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, die als Ziffern bezeichnet werden. Beispielsweise hat die hindu-arabische Notation für die Zahl vierhundertdreiundzwanzig die Form der Ziffernfolge 423. Die Bedeutung einer Ziffer in der hindu-arabischen Notation einer Zahl wird durch ihren Ort oder ihre Position bestimmt. in der Ziffernfolge, die diese Notation bildet. In unserem Beispiel bedeutet die Zahl 4 vier Hunderter, die Zahl 2 zwei Zehner und die Zahl 3 drei Einsen. Eine sehr wichtige Rolle spielt die Zahl 0 (Null), die zum Auffüllen leerer Stellen verwendet wird; Beispielsweise bedeutet der Eintrag 403 die Zahl vierhundertdrei, d. h. Zehner fehlen. Wenn A, B, C, D, e bedeuten einzelne Zahlen, dann im indoarabischen System abcde bedeutet eine Abkürzung für eine ganze Zahl

Da jede ganze Zahl eine eindeutige Darstellung in der Form zulässt

Wo N ist eine ganze Zahl und A 0 , A 1 ,..., ein- Zahlen, daraus schließen wir, dass in einem gegebenen Zahlensystem jede ganze Zahl auf einzigartige Weise dargestellt werden kann.

Mit dem hindu-arabischen Zahlensystem können Sie nicht nur ganze Zahlen, sondern auch beliebige positive reelle Zahlen prägnant schreiben. Lassen Sie uns die Notation 10 einführen - N für 1/10 N, Wo N– eine beliebige positive ganze Zahl. Dann lässt sich zeigen, dass jede positive reelle Zahl in der Form eindeutig dargestellt werden kann

Dieser Datensatz kann komprimiert werden, indem man ihn als Zahlenfolge schreibt

Wo ist das Vorzeichen, das Dezimalkomma genannt wird, dazwischen? A 0 und B Die 1 gibt an, wo die negativen Zehnerpotenzen beginnen (in manchen Ländern wird zu diesem Zweck ein Punkt verwendet). Diese Methode zum Schreiben einer positiven reellen Zahl wird Dezimalentwicklung genannt, und ein Bruch wird in Form seiner Dezimalentwicklung dargestellt Dezimal.

Es kann gezeigt werden, dass für eine positive rationale Zahl die Dezimalentwicklung nach dem Komma entweder abbricht (z. B. 7/4 = 1,75) oder wiederholt wird (z. B. 6577/1980 = 3,32171717...). Wenn eine Zahl irrational ist, bricht ihre Dezimalentwicklung nicht ab und wiederholt sich nicht. Wenn die Dezimalentwicklung einer irrationalen Zahl an einer Dezimalstelle unterbrochen wird, erhalten wir deren rationale Näherung. Je weiter rechts vom Dezimalpunkt das Vorzeichen liegt, bei dem wir die Dezimalentwicklung beenden, desto besser ist die rationale Näherung (desto kleiner der Fehler).

Im hindu-arabischen System wird eine Zahl mit zehn Grundziffern geschrieben, deren Bedeutung von ihrer Stelle oder Position in der Notation der Zahl abhängt (der Wert einer Ziffer ist gleich dem Produkt aus der Ziffer und einigen). Potenz von 10). Daher wird ein solches System als dezimales Stellensystem bezeichnet. Positionszahlensysteme eignen sich sehr gut für die Konstruktion arithmetischer Algorithmen. Aus diesem Grund ist das indoarabische Zahlensystem in der modernen Welt so weit verbreitet, obwohl in verschiedenen Ländern unterschiedliche Symbole zur Bezeichnung einzelner Zahlen verwendet werden können.

Namen von Zahlen.

Die Namen von Zahlen im indoarabischen System folgen bestimmten Regeln. Die gebräuchlichste Art, Zahlen zu benennen, besteht darin, dass die Zahl zunächst von rechts nach links in Gruppen von drei Ziffern unterteilt wird. Diese Gruppen werden „Perioden“ genannt. Die erste Periode wird die Periode der „Einheiten“ genannt, die zweite die Periode der „Tausender“, die dritte die Periode der „Millionen“ usw., wie im folgenden Beispiel gezeigt:

Jeder Punkt wird so gelesen, als wäre er eine dreistellige Zahl. Beispielsweise wird die Periode 962 als „neunhundertzweiundsechzig“ gelesen. Um eine Zahl zu lesen, die aus mehreren Perioden besteht, wird die Zifferngruppe in jeder Periode gelesen, beginnend mit der Ziffer ganz links und dann der Reihe nach von links nach rechts. Auf jede Gruppe folgt der Name des Zeitraums. Die obige Zahl lautet beispielsweise „dreiundsiebzig Billionen achthundertzweiundvierzig Milliarden neunhundertzweiundsechzig Millionen fünfhundertzweiunddreißigtausendsiebenhundertachtundneunzig“. Beachten Sie, dass beim Lesen und Schreiben von ganzen Zahlen die Konjunktion „und“ normalerweise nicht verwendet wird. Der Name der Einheitenkategorie wird weggelassen. Auf Billionen folgen Billiarden, Trillionen, Sextillionen, Septillionen, Oktillionen, Nonallionen und Dezillionen. Jede Periode hat einen Wert, der 1000-mal größer ist als die vorherige.

Im hindu-arabischen System ist es üblich, zum Ablesen der Zahlen rechts vom Dezimalpunkt das folgende Verfahren zu befolgen. Hier werden die Positionen (in der Reihenfolge von links nach rechts) genannt: „Zehntel“, „Hundertstel“, „Tausendstel“, „Zehntausendstel“ usw. Eine echte Dezimalzahl wird so gelesen, als ob die Ziffern nach dem Dezimalpunkt eine ganze Zahl bilden würden, gefolgt vom Namen der Position der letzten Ziffer rechts davon. Beispielsweise wird 0,752 als „siebenhundertzweiundfünfzig Tausendstel“ gelesen. Eine gemischte Dezimalzahl wird gelesen, indem die Regel zur Benennung ganzer Zahlen mit der Regel zur Benennung echter Dezimalzahlen kombiniert wird. Beispielsweise lautet 632.752 „sechshundertzweiunddreißig Komma siebenhundertzweiundfünfzig Tausendstel“. Beachten Sie das Wort „Ganzzahlen“ vor dem Dezimalpunkt. In den letzten Jahren werden Dezimalzahlen zunehmend einfacher gelesen, beispielsweise 3,782 als „drei Komma siebenhundertzweiundachtzig“.

Zusatz.

Jetzt sind wir bereit, die arithmetischen Algorithmen zu analysieren, die in der Grundschule gelehrt werden. Diese Algorithmen befassen sich mit Operationen an positiven reellen Zahlen, die als Dezimalentwicklungen geschrieben sind. Wir gehen davon aus, dass elementare Additions- und Multiplikationstabellen auswendig gelernt wurden.

Betrachten Sie das Additionsproblem: Berechnen Sie 279,8 + 5,632 + 27,54:

Zuerst summieren wir die gleichen Potenzen der Zahl 10. Die Zahl 19Х10 –1 wird nach dem Distributivgesetz in 9Х10 –1 und 10Х10 –1 = 1 geteilt. Wir verschieben die Einheit nach links und addieren sie zu 21, was ergibt 22. Im Gegenzug teilen wir die Zahl 22 in 2 und 20 = 2H10 auf. Wir verschieben die Zahl 2H10 nach links und addieren sie zu 9H10, was 11H10 ergibt. Schließlich teilen wir 11H10 in 1H10 und 10H10 = 1H10 2, verschieben 1H10 2 nach links und addieren es zu 2H10 2, was 3H10 2 ergibt. Die Endsumme beträgt 312.972.

Es ist klar, dass die durchgeführten Berechnungen in prägnanterer Form dargestellt werden können und gleichzeitig als Beispiel für den Additionsalgorithmus dienen, der in der Schule gelehrt wird. Dazu schreiben wir alle drei Zahlen so untereinander, dass die Dezimalpunkte auf derselben Senkrechten liegen:

Von rechts beginnend stellen wir fest, dass die Summe der Koeffizienten bei 10 –3 gleich 2 ist, was wir in die entsprechende Spalte unter der Zeile schreiben. Die Summe der Koeffizienten bei 10 –2 beträgt 7, was auch in der entsprechenden Spalte unter der Zeile steht. Die Summe der Koeffizienten für 10 –1 ist 19. Wir schreiben die Zahl 9 unter die Zeile und verschieben 1 in die vorherige Spalte, wo die Einsen stehen. Unter Berücksichtigung dieser Einheit beträgt die Summe der Koeffizienten in dieser Spalte 22. Wir schreiben eine Zwei unter die Zeile und verschieben die andere in die vorherige Spalte, in der sich die Zehner befinden. Unter Berücksichtigung der übertragenen beiden beträgt die Summe der Koeffizienten in dieser Spalte 11. Wir schreiben eine Einheit unter die Zeile und übertragen die andere in die vorherige Spalte, wo Hunderte stehen. Die Summe der Koeffizienten in dieser Spalte beträgt 3, was wir unter die Zeile schreiben. Der erforderliche Betrag beträgt 312.972.

Subtraktion.

Subtraktion ist die Umkehrung der Addition. Wenn drei positive reelle Zahlen A, B, C so miteinander verbunden, dass a+b=c, dann schreiben wir a = c – b, wobei das Symbol „-“ als „Minus“ gelesen wird. Eine Nummer finden A nach bekannten Zahlen B Und C„Subtraktion“ genannt. Nummer C namens Minuend, Zahl B– „subtrahierbar“ und die Zahl A- "Unterschied". Da es sich um positive reelle Zahlen handelt, muss die Bedingung erfüllt sein c > b.

Schauen wir uns ein Beispiel für eine Subtraktion an: Berechnen Sie 453,87 – 82,94.

Zunächst leihen wir bei Bedarf eine Einheit von der linken Seite aus und transformieren die Entwicklung des Minuenden so, dass sein Koeffizient für jede Potenz von 10 größer ist als der Koeffizient des Subtrahenden für dieselbe Potenz. Aus 4H10 2 entlehnen wir 1H10 2 = 10H10, indem wir die letzte Zahl zum nächsten Term in der Erweiterung hinzufügen, was 15H10 ergibt; In ähnlicher Weise leihen wir 1Х10 0 oder 10Ч10 –1 aus und addieren diese Zahl zum vorletzten Term der Entwicklung. Danach haben wir die Möglichkeit, die Koeffizienten für die gleichen Potenzen der Zahl 10 zu subtrahieren und leicht die Differenz von 370,93 zu ermitteln.

Die Aufzeichnung von Subtraktionsoperationen kann in komprimierterer Form dargestellt werden und Sie erhalten ein Beispiel für einen in der Schule erlernten Subtraktionsalgorithmus. Wir schreiben den Subtrahend so unter den Minuenden, dass ihre Dezimalpunkte auf derselben Vertikalen liegen. Von rechts beginnend stellen wir fest, dass die Differenz der Koeffizienten bei 10 –2 gleich 3 ist, und schreiben diese Zahl in dieselbe Spalte unter der Zeile. Da wir in der nächsten Spalte links nicht 9 von 8 subtrahieren können, ändern wir die Drei an der Einerstelle des Minuenden in zwei und behandeln die Zahl 8 an der Zehntelstelle als 18. Nachdem wir 9 von 18 subtrahiert haben, erhalten wir 9 usw ., also .

Multiplikation.

Betrachten wir zunächst das sogenannte „kurze“ Multiplikation ist die Multiplikation einer positiven reellen Zahl mit einer der einstelligen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, zum Beispiel 32,67ґ4. Mithilfe des Distributivitätsgesetzes sowie der Assoziativitäts- und Kommutativitätsgesetze der Multiplikation erhalten wir die Möglichkeit, Faktoren in Teile zu zerlegen und sie bequemer anzuordnen. Zum Beispiel,

Diese Berechnungen können kompakter wie folgt geschrieben werden:

Der Komprimierungsvorgang kann fortgesetzt werden. Wir schreiben den Faktor 4 unter den Multiplikanden 32,67, wie angegeben:

Da 4ґ7 = 28, schreiben wir die Zahl 8 unter den Strich und setzen 2 über die Zahl 6 des Multiplikanden. Als nächstes ist 4ґ6 = 24, was unter Berücksichtigung dessen, was aus der rechten Spalte übertragen wird, 26 ergibt. Wir schreiben die Zahl 6 unter die Zeile und schreiben 2 über die Zahl 2 des Multiplikanden. Dann erhalten wir 4ґ2 = 8, was in Kombination mit den übertragenen beiden 10 ergibt. Wir unterschreiben die Zahl 0 unter dem Strich und die Zahl darüber die Zahl 3 des Multiplikanden. Schließlich ist 4ґ3 = 12, was unter Berücksichtigung der übertragenen Einheit 13 ergibt; Unterhalb der Zeile steht die Zahl 13. Wenn wir einen Dezimalpunkt setzen, erhalten wir die Antwort: Das Produkt ist gleich 130,68.

Eine „lange“ Multiplikation ist einfach eine „kurze“ Multiplikation, die immer wieder wiederholt wird. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, die Zahl 32,67 mit der Zahl 72,4 zu multiplizieren. Platzieren wir den Multiplikator wie angegeben unter dem Multiplikanden:

Wenn wir eine kurze Multiplikation von rechts nach links durchführen, erhalten wir den ersten Quotienten von 13,068, den zweiten von 65,34 und den dritten von 2286,9. Nach dem Distributivitätsgesetz ist das zu findende Produkt die Summe dieser Teilprodukte, also 2365,308. In der schriftlichen Schreibweise entfällt bei Teilprodukten der Dezimalpunkt, sie müssen aber korrekt in „Schritten“ angeordnet werden, um dann aufsummiert das vollständige Produkt zu erhalten. Die Anzahl der Dezimalstellen im Produkt ist gleich der Summe der Anzahl der Dezimalstellen im Multiplikanden und im Multiplikator.

Aufteilung.

Division ist die Umkehroperation der Multiplikation; So wie die Multiplikation die wiederholte Addition ersetzt, ersetzt die Division die wiederholte Subtraktion. Betrachten Sie zum Beispiel die folgende Frage: Wie oft ist 3 in 14 enthalten? Wenn wir den Vorgang des Subtrahierens von 3 von 14 wiederholen, stellen wir fest, dass 3 viermal in 14 „eintritt“ und die Zahl 2 „bleibt“, d. h.

Die Nummer 14 wird aufgerufen teilbar, Nummer 3 - Teiler, Nummer 4 - Privat und Nummer 2 – der Rest. Der resultierende Zusammenhang lässt sich in Worten wie folgt ausdrücken:

Dividende = (Divisor ґ Quotient) + Rest,

0 Ј Rest

Den Quotienten und Rest von 1400 dividiert durch 3 durch wiederholtes Subtrahieren von 3 zu ermitteln, würde viel Zeit und Mühe erfordern. Der Vorgang könnte erheblich beschleunigt werden, wenn wir zuerst 300 von 1400, dann 30 vom Rest und schließlich 3 subtrahieren. Nach viermaliger Subtraktion von 300 würden wir einen Rest von 200 erhalten; nach sechsmaligem Subtrahieren von 30 von 200 wäre der Rest 20; Nachdem wir schließlich sechs Mal 3 von 20 subtrahiert haben, erhalten wir den Rest 2. Daher gilt:

Der zu ermittelnde Quotient und Rest beträgt 466 bzw. 2. Die Berechnungen können wie folgt organisiert und dann sequentiell komprimiert werden:

Die obige Argumentation gilt, wenn Dividend und Divisor positive reelle Zahlen im Dezimalsystem sind. Lassen Sie uns dies am Beispiel von 817.65е23.7 veranschaulichen.

Zunächst muss der Divisor mithilfe einer Dezimalpunktverschiebung in eine ganze Zahl umgewandelt werden. In diesem Fall wird der Dezimalpunkt des Dividenden um die gleiche Anzahl Dezimalstellen verschoben. Der Divisor und der Dividend sind wie folgt angeordnet:

Bestimmen wir, wie oft der Divisor in der dreistelligen Zahl 817 enthalten ist, dem ersten Teil des Dividenden, den wir durch den Divisor dividieren. Da es schätzungsweise dreimal enthalten ist, multiplizieren wir 237 mit 3 und subtrahieren das Produkt von 711 von 817. Die Differenz von 106 ist kleiner als der Teiler. Dies bedeutet, dass die Zahl 237 in der Probedividende höchstens dreimal vorkommt. Die Zahl 3, geschrieben unter dem Teiler der Zahl 2 unterhalb der horizontalen Linie, ist die erste Ziffer des Quotienten, die gefunden werden muss. Nachdem wir die nächste Ziffer des Dividenden nach unten verschoben haben, erhalten wir den nächsten Testdividenden 1066 und müssen bestimmen, wie oft der Divisor 237 in die Zahl 1066 passt; Sagen wir viermal. Wir multiplizieren den Divisor mit 4 und erhalten das Produkt 948, das wir von 1066 subtrahieren; Die Differenz beträgt 118, was bedeutet, dass die nächste Ziffer des Quotienten 4 ist. Anschließend subtrahieren wir die nächste Ziffer des Dividenden und wiederholen den gesamten oben beschriebenen Vorgang. Diesmal stellt sich heraus, dass die Probedividende 1185 genau (ohne Rest) durch 237 teilbar ist (der Rest der Division ergibt schließlich 0). Indem wir im Quotienten die gleiche Anzahl an Stellen wie im Dividenden durch einen Dezimalpunkt trennen (denken Sie daran, dass wir zuvor den Dezimalpunkt verschoben haben), erhalten wir die Antwort: Der Quotient ist gleich 34,5.

Brüche.

Zu den Berechnungen mit Brüchen gehören Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sowie die Vereinfachung komplexer Brüche.

Das Addieren von Brüchen mit demselben Nenner erfolgt durch Addition der Zähler, zum Beispiel:

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

Wenn Brüche unterschiedliche Nenner haben, müssen sie zunächst auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden, d. h. in Brüche mit gleichem Nenner umwandeln. Dazu ermitteln wir den kleinsten gemeinsamen Nenner (das kleinste Vielfache jedes der angegebenen Nenner). Wenn man beispielsweise 2/3, 1/6 und 3/5 addiert, ist der kleinste gemeinsame Nenner 30:

Zusammenfassend erhalten wir

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

Das Subtrahieren von Brüchen erfolgt auf die gleiche Weise wie das Addieren. Wenn die Nenner gleich sind, läuft die Subtraktion auf die Subtraktion der Zähler hinaus: 10/13 – 2/13 = 8/13; Wenn Brüche unterschiedliche Nenner haben, müssen Sie sie zunächst auf einen gemeinsamen Nenner bringen:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

Bei der Multiplikation von Brüchen werden deren Zähler und Nenner getrennt multipliziert. Zum Beispiel,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, müssen Sie den ersten Bruch (Dividende) mit dem reziproken Bruch des zweiten (Divisor) multiplizieren (um den reziproken Bruch zu erhalten, müssen Sie Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs vertauschen), d. h. ( N 1 /D 1)е( N 2 /D 2) = (N 1 H D 2)/(D 1 H N 2). Zum Beispiel,

3/4е7/8 = 3/4ґ8/7 = 24/28 = 6/7.

Eine gemischte Zahl ist die Summe (oder Differenz) einer ganzen Zahl und eines Bruchs, beispielsweise 4 + 2/3 oder 10 – 1/8. Da man sich eine ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 vorstellen kann, ist eine gemischte Zahl nichts anderes als die Summe (oder Differenz) zweier Brüche. Zum Beispiel,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

Ein komplexer Bruch ist ein Bruch, der entweder im Zähler, im Nenner oder im Zähler und Nenner einen Bruch hat. Dieser Bruch kann in einen einfachen umgewandelt werden:

Quadratwurzel.

Wenn N R, so dass R 2 = N. Nummer R angerufen Quadratwurzel aus N und wird bezeichnet. In der Schule lernt man, Quadratwurzeln auf zwei Arten zu ziehen.

Die erste Methode ist beliebter, weil sie einfacher und einfacher anzuwenden ist. Berechnungen mit dieser Methode lassen sich leicht auf einem Tischrechner umsetzen und auf den Fall von Kubikwurzeln und höheren Wurzeln verallgemeinern. Die Methode basiert auf der Tatsache, dass if R 1 – wir nähern uns also der Wurzel R 2 = (1/2)(R 1 + N/R 1) – genauere Näherung der Wurzel.

Lassen Sie uns das Verfahren veranschaulichen, indem wir die Quadratwurzel einer Zahl zwischen 1 und 100 berechnen, beispielsweise der Zahl 40. Da 6 2 = 36 und 7 2 = 49, schließen wir, dass 6 die beste Näherung für ganze Zahlen ist. Eine genauere Annäherung an erhält man aus 6 wie folgt. Die Division von 40 durch 6 ergibt 6,6 (auf die erste Dezimalstelle gerundet) sogar Zehntelzahlen). Um eine zweite Näherung zu erhalten, mitteln wir die beiden Zahlen 6 und 6,6 und erhalten 6,3. Durch Wiederholen des Vorgangs erhalten wir eine noch bessere Näherung. Wenn wir 40 durch 6,3 teilen, erhalten wir die Zahl 6,350, und die dritte Näherung ergibt (1/2)(6,3 + 6,350) = 6,325. Eine weitere Wiederholung ergibt 40е6,325 = 6,3241106, und die vierte Näherung ergibt (1/2)(6,325 + 6,3241106) = 6,3245553. Der Vorgang kann beliebig lange fortgesetzt werden. Im Allgemeinen kann jede nachfolgende Näherung doppelt so viele Ziffern enthalten wie die vorherige. Da also in unserem Beispiel die erste Näherung, die ganze Zahl 6, nur eine Ziffer enthält, können wir in der zweiten Näherung zwei Ziffern beibehalten, in der dritten vier und in der vierten acht.

Wenn die Nummer N liegt nicht zwischen 1 und 100, dann müssen Sie zunächst dividieren (oder multiplizieren) N zu einer Potenz von 100, sagen wir, zu k-th, sodass das Produkt im Bereich von 1 bis 100 liegt. Dann liegt die Quadratwurzel des Produkts im Bereich von 1 bis 10, und nachdem sie extrahiert wurde, multiplizieren (oder dividieren) wir die resultierende Zahl mit 10 k, finden Sie die erforderliche Quadratwurzel. Zum Beispiel, wenn N= 400000, dann wir zuerst teilen 400000 mal 100 2 und wir erhalten die Zahl 40, die im Bereich von 1 bis 100 liegt. Wie oben gezeigt, entspricht sie ungefähr 6,3245553. Multiplizieren Wenn wir diese Zahl mit 10 2 multiplizieren, erhalten wir 632,45553 als Näherungswert für, und die Zahl 0,63245553 dient als Näherungswert für.

Das zweite der oben genannten Verfahren basiert auf der algebraischen Identität ( A + B) 2 = A 2 + (2A + B)B. Bei jedem Schritt wird der bereits erhaltene Teil der Quadratwurzel als genommen A, und der Teil, der noch bestimmt werden muss, ist für B.

Kubikwurzel.

Um die Kubikwurzel einer positiven reellen Zahl zu extrahieren, gibt es Algorithmen, die denen zum Extrahieren der Quadratwurzel ähneln. Zum Beispiel, um die Kubikwurzel einer Zahl zu finden N, nähern wir uns zunächst der Wurzel durch eine Zahl an R 1 . Dann erstellen wir eine genauere Näherung R 2 = (1/3)(2R 1 + N/R 1 2), was wiederum einer noch genaueren Näherung Platz macht R 3 = (1/3)(2R 2 + N/R 2 2) usw. Das Verfahren zur Konstruktion immer genauerer Näherungen der Wurzel kann auf unbestimmte Zeit fortgesetzt werden.

Betrachten Sie zum Beispiel die Berechnung der Kubikwurzel einer Zahl zwischen 1 und 1000, beispielsweise der Zahl 200. Da 5 3 = 125 und 6 3 = 216, schließen wir, dass 6 die ganze Zahl ist, die der Kubikwurzel von 200 am nächsten kommt. Deshalb wählen wir R 1 = 6 und nacheinander berechnen R 2 = 5,9, R 3 = 5,85, R 4 = 5,8480. In jeder Näherung, beginnend mit der dritten, ist es zulässig, eine Anzahl von Zeichen beizubehalten, die eins weniger als das Doppelte der Anzahl von Zeichen in der vorherigen Näherung beträgt. Wenn die Zahl, aus der Sie die Kubikwurzel ziehen möchten, nicht zwischen 1 und 1000 liegt, müssen Sie sie zunächst durch etwas dividieren (oder multiplizieren), beispielsweise durch k Potenz der Zahl 1000 und bringen Sie diese dadurch in den gewünschten Zahlenbereich. Die Kubikwurzel der neu erhaltenen Zahl liegt im Bereich von 1 bis 10. Nach der Berechnung muss sie mit 10 multipliziert (oder dividiert) werden k um die Kubikwurzel der ursprünglichen Zahl zu erhalten.

Der zweite, komplexere Algorithmus zum Finden der Kubikwurzel einer positiven reellen Zahl basiert auf der Verwendung der algebraischen Identität ( A + B) 3 = A 3 + (3A 2 + 3ab + B 2)B. Derzeit werden Algorithmen zum Extrahieren von Kubikwurzeln sowie Wurzeln höherer Potenzen im Gymnasium nicht gelehrt, da sie mit Logarithmen oder algebraischen Methoden leichter zu finden sind.

Euklids Algorithmus.

Dieser Algorithmus wurde in vorgestellt Anfänge Euklid (ca. 300 v. Chr.). Es wird verwendet, um den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzen Zahlen zu berechnen. Für den Fall positiver Zahlen wird als Verfahrensregel formuliert: „Dividiere die größere der beiden gegebenen Zahlen durch die kleinere.“ Teilen Sie dann den Divisor durch den Rest und fahren Sie auf diese Weise fort, bis der letzte Divisor gleichmäßig durch den letzten Rest geteilt ist. Der letzte Teiler ist der größte gemeinsame Teiler der beiden gegebenen Zahlen.“

Betrachten Sie als numerisches Beispiel die beiden Ganzzahlen 3132 und 7200. Der Algorithmus besteht in diesem Fall aus den folgenden Schritten:

Der größte gemeinsame Teiler ist derselbe wie der letzte Teiler – die Zahl 36. Die Erklärung ist einfach. In unserem Beispiel sehen wir aus der letzten Zeile, dass die Zahl 36 die Zahl 288 teilt. Aus der vorletzten Zeile folgt, dass die Zahl 36 324 teilt. Wenn wir also von Zeile zu Zeile nach oben gehen, sind wir überzeugt, dass die Zahl 36 936 teilt , 3132 und 7200 Wir behaupten nun, dass die Zahl 36 ein gemeinsamer Teiler der Zahlen 3132 und 7200 ist. Let G ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 3132 und 7200. Seit G dividiert 3132 und 7200, aus der ersten Zeile ergibt sich daraus G teilt 936. Aus der zweiten Zeile schließen wir das G teilt 324. Wenn wir also von Zeile zu Zeile nach unten gehen, sind wir davon überzeugt G dividiert 288 und 36. Und da 36 ein gemeinsamer Teiler der Zahlen 3132 und 7200 ist und durch ihren größten gemeinsamen Teiler geteilt wird, schließen wir, dass 36 dieser größte gemeinsame Teiler ist.

Untersuchung.

Arithmetische Berechnungen erfordern ständige Aufmerksamkeit und sind daher fehleranfällig. Daher ist es sehr wichtig, die Berechnungsergebnisse zu überprüfen.

1. Das Hinzufügen einer Zahlenspalte kann überprüft werden, indem die Zahlen in der Spalte zunächst von oben nach unten und dann von unten nach oben addiert werden. Die Begründung für diese Verifizierungsmethode ist das verallgemeinerte Gesetz der Kommutativität und Assoziativität der Addition.

2. Die Subtraktion wird überprüft, indem die Differenz mit dem Subtrahend addiert wird – der Minuend sollte erhalten werden. Der Grund für diese Überprüfungsmethode ist die Definition der Subtraktionsoperation.

3. Die Multiplikation kann überprüft werden, indem der Multiplikand und der Multiplikator neu angeordnet werden. Die Begründung für diese Verifizierungsmethode ist das Gesetz der kommutativen Multiplikation. Sie können die Multiplikation überprüfen, indem Sie den Faktor (oder Multiplikanden) in zwei Terme zerlegen, zwei separate Multiplikationsoperationen durchführen und die resultierenden Produkte addieren – Sie sollten das Originalprodukt erhalten.

4. Um die Division zu überprüfen, müssen Sie den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren und den Rest zum Produkt addieren. Sie sollten die Dividende erhalten. Der Grund für diese Überprüfungsmethode ist die Definition der Divisionsoperation.

5. Die Überprüfung der Korrektheit des Ziehens einer Quadratwurzel (oder Kubikwurzel) besteht darin, die resultierende Zahl durch Quadrieren (oder Kubieren) zu erhöhen – die ursprüngliche Zahl sollte erhalten werden.

Eine besonders einfache und sehr zuverlässige Möglichkeit, die Addition oder Multiplikation ganzer Zahlen zu überprüfen, ist eine Technik, die einen Übergang zu den sogenannten darstellt. „Vergleiche Modulo 9“. Als „Überschuss“ bezeichnen wir den Rest der Summe der Ziffern, die zum Schreiben der Zahl bei Division durch 9 verwendet werden. Dann können bezüglich „Überschüsse“ zwei Sätze formuliert werden: „Der Überschuss der Summe der ganzen Zahlen ist gleich dem Überschuss der Summe der Überschüsse der Terme“ und „der Überschuss des Produkts zweier ganzen Zahlen ist gleich dem.“ Überschuss des Produkts ihrer Überschüsse.“ Nachfolgend finden Sie Beispiele für Prüfungen, die auf diesem Theorem basieren:

Die Methode des Übergangs zu Vergleichen Modulo 9 kann auch beim Testen anderer arithmetischer Algorithmen verwendet werden. Natürlich ist eine solche Prüfung nicht unfehlbar, da auch die Arbeit mit „Überschüssen“ fehlerbehaftet ist, aber eine solche Situation ist unwahrscheinlich.

Interesse.

Ein Prozentsatz ist ein Bruch, dessen Nenner 100 ist; Prozente können auf drei Arten geschrieben werden: als Bruch, als Dezimalzahl oder in der speziellen Prozentschreibweise %. Beispielsweise können 7 Prozent als 7/100, als 0,07 oder als 7 % geschrieben werden.

Ein Beispiel für die häufigste Art von Prozentproblem ist das Folgende: „Finden Sie 17 % von 82.“ Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie das Produkt 0,17ґ82 = 13,94 berechnen. Bei Produkten dieser Art wird 0,17 als Rate, 82 als Basis und 13,94 als Anteil, ausgedrückt in Prozent, bezeichnet. Die drei genannten Größen stehen durch die Relation zueinander in Beziehung

Rate ґ Basis = prozentualer Anteil.

Sind zwei beliebige Größen bekannt, kann aus dieser Beziehung die dritte ermittelt werden. Dementsprechend erhalten wir drei Arten von Problemen „mit Prozentsätzen“.

Beispiel 1. Die Zahl der an dieser Schule eingeschriebenen Schüler stieg von 351 auf 396. Um wie viel Prozent ist diese Zahl gestiegen?

Der Zuwachs betrug 396 – 351 = 45 Personen. Wenn wir den Bruch 45/351 als Prozentsatz schreiben, erhalten wir 45/351 = 0,128 = 12,8 %.

Beispiel 2. Während eines Ausverkaufs steht in einer Anzeige im Laden: „25 % Rabatt auf alle Artikel.“ Wie hoch ist der Verkaufspreis für einen Artikel, der normalerweise für 3,60 $ verkauft wird?

Ein Preisrückgang um 25 % um 3,60 $ bedeutet einen Rückgang um 0,25-3,60 = 0,90 $; Daher beträgt der Preis des Artikels während des Verkaufs 3,60 $ – 0,90 $ = 2,70 $.

Beispiel 3. Geld, das zu 5 % pro Jahr bei der Bank eingezahlt wurde, brachte einen Gewinn von 40 $ pro Jahr. Welcher Betrag wurde bei der Bank eingezahlt?

Da 5 % des Betrags 40 $ sind, d. h. 5/100 Betrag = 40 $ oder 1/100 Betrag = 8 Dollar, der Gesamtbetrag beträgt 800 Dollar.

Arithmetik von Näherungszahlen.

Viele in Berechnungen verwendete Zahlen stammen entweder aus Messungen oder Schätzungen und können daher nur als Näherungswerte betrachtet werden. Es ist offensichtlich, dass das Ergebnis von Berechnungen, die mit Näherungszahlen durchgeführt werden, nur eine Näherungszahl sein kann. Nehmen wir beispielsweise an, dass Messungen der Arbeitsfläche die folgenden Ergebnisse ergeben (gerundet auf das nächste Zehntel eines Meters): Breite 1,2 m, Länge 3,1 m; Man könnte sagen, dass die Fläche der Theke 1,2 x 3,1 = 3,72 m2 beträgt. In Wirklichkeit sind die Informationen jedoch bei weitem nicht so sicher. Da der Wert 1,2 m nur angibt, dass das Breitenmaß zwischen 1,15 und 1,25 m liegt, und 3,1 angibt, dass das Längenmaß zwischen 3,05 und 3,15 m liegt, können wir über die Thekenfläche nur sagen, dass sie größer als 1,15–3,05 sein sollte = 3,5075, aber weniger als 1,25 - 3,15 = 3,9375. Daher ist die einzig vernünftige Antwort auf die Frage nach der Fläche der Theke, dass sie etwa 3,7 m 2 beträgt.

Betrachten wir als nächstes das Problem der Addition der Ergebnisse der Näherungsmessungen von 3,73 m, 52,1 m und 0,282 m. Die einfache Summe beträgt 56,112 m. Aber wie bei der vorherigen Aufgabe kann nur mit Sicherheit gesagt werden, dass es sich um die wahre Summe handelt muss größer als 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 m und kleiner als 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 m sein. Daher ist die einzig vernünftige Antwort auf die Frage, dass die Summe ungefähr 56,1 m entspricht.

Die beiden obigen Beispiele veranschaulichen einige Regeln, die beim Arbeiten mit Näherungszahlen nützlich sind. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Zahlen zu runden. Eine davon besteht darin, die unteren Ziffern der Zahl zu verwerfen. Wenn außerdem die erste zu verwerfende Ziffer mehr als fünf beträgt, muss die letzte verbleibende Ziffer um eins erhöht werden. Wenn weniger, bleibt die letzte Ziffer des verbleibenden Teils unverändert.

Wenn die erste zu verwerfende Ziffer genau fünf ist, wird die letzte zu behaltende Ziffer um eins erhöht, wenn sie ungerade ist, und bleibt unverändert, wenn sie gerade ist. Wenn Sie beispielsweise auf das nächste Hundertstel runden, ergibt sich die Zahl 3,14159;17,7682; 28.999; 0,00234; 7,235 und 7,325 werden zu 3,14; 17,77; 29.00; 0,00; 7.24 und 7.32.

Eine weitere Rundungsmethode ist mit dem Konzept der signifikanten Zahlen verbunden und wird beim maschinellen Schreiben einer Zahl verwendet. Die signifikanten Ziffern einer Näherungszahl sind die Ziffern in ihrer Dezimalschreibweise in der Reihenfolge von links nach rechts, beginnend mit der ersten Ziffer ungleich Null und endend mit der Ziffer, die an der Stelle der Dezimalstelle steht, die dem Fehler entspricht. Beispielsweise sind die signifikanten Ziffern der ungefähren Zahl 12,1 die Zahlen 1, 2, 1; ungefähre Zahl 0,072 – Zahlen 7, 2; Die ungefähre Zahl 82000, auf die nächsten Hundert geschrieben, ist 8, 2, 0.

Nun formulieren wir die beiden oben genannten Regeln für das Arbeiten mit Näherungszahlen.

Beim Addieren und Subtrahieren von Näherungszahlen sollte jede Zahl auf die Ziffer gerundet werden, die auf die letzte Ziffer der ungenauesten Zahl folgt, und die resultierende Summe und Differenz sollte auf die gleiche Anzahl von Ziffern wie die ungenaueste Zahl gerundet werden. Beim Multiplizieren und Dividieren von Näherungszahlen sollte jede Zahl auf das Vorzeichen gerundet werden, das auf die letzte signifikante Ziffer der niedrigstwertigen Zahl folgt, und das Produkt und der Quotient sollten mit der gleichen Genauigkeit gerundet werden, wie die ungenaueste Zahl bekannt ist.

Kehren wir zu den zuvor betrachteten Problemen zurück, erhalten wir:

1,2ґ3,1 = 3,72 m 2 » 3,7 m 2

3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 m 2 "56,1 m,

wobei das Zeichen „ungefähr gleich“ bedeutet.

Einige Arithmetiklehrbücher bieten Algorithmen zum Arbeiten mit Näherungszahlen, sodass Sie beim Rechnen unnötige Vorzeichen vermeiden können. Darüber hinaus nutzen sie das sogenannte. Aufzeichnen von ungefähren Zahlen, d. h. Jede Zahl wird in der Form (eine Zahl im Bereich von 1 bis 10) ґ (Zehnerpotenz) dargestellt, wobei der erste Faktor nur die signifikanten Ziffern der Zahl enthält. Beispielsweise würde 82.000 km, auf die nächsten Hundert km gerundet, als 8,20 x 10 4 km und 0,00702 cm als 7,02 x 10 –3 cm geschrieben.

Zahlen in mathematischen Tabellen, trigonometrischen oder logarithmischen Tabellen sind Näherungswerte und werden mit einer bestimmten Anzahl von Vorzeichen geschrieben. Bei der Arbeit mit solchen Tabellen sollten Sie die Regeln für das Rechnen mit Näherungszahlen beachten.

Logarithmen.

Zu Beginn des 17. Jahrhunderts. Die Komplexität angewandter Rechenprobleme hat so stark zugenommen, dass es aufgrund zu großen Arbeits- und Zeitaufwands nicht mehr möglich war, sie „manuell“ zu bewältigen. Glücklicherweise wurde es rechtzeitig von J. Napier zu Beginn des 17. Jahrhunderts erfunden. Logarithmen ermöglichten die Bewältigung des aufgetretenen Problems. Da die Theorie und Anwendungen von Logarithmen in einem speziellen Artikel LOGARITHMUS ausführlich beschrieben werden, beschränken wir uns auf die notwendigsten Informationen.

Es kann gezeigt werden, dass wenn N eine positive reelle Zahl ist, dann gibt es eine eindeutige positive reelle Zahl X, so dass 10 X = N. Nummer X genannt (regulär oder dezimal) Logarithmus Zahlen N; Herkömmlicherweise wird es so geschrieben: X= Protokoll N. Somit ist der Logarithmus ein Exponent, und aus den Gesetzen der Operationen mit Exponenten folgt dies

Es sind diese Eigenschaften von Logarithmen, die ihre weit verbreitete Verwendung in der Arithmetik erklären. Die erste und zweite Eigenschaft ermöglichen es uns, jedes Multiplikations- und Divisionsproblem auf ein einfacheres Additions- und Subtraktionsproblem zu reduzieren. Die dritte und vierte Eigenschaft ermöglichen es, Potenzierung und Wurzelziehen auf viel einfachere Operationen zu reduzieren: Multiplikation und Division.

Um die Verwendung von Logarithmen zu erleichtern, wurden ihre Tabellen zusammengestellt. Um eine Tabelle mit dezimalen Logarithmen zu erstellen, reicht es aus, nur Logarithmen von Zahlen von 1 bis 10 aufzunehmen. Da beispielsweise 247,6 = 10 2 ґ2,476 ist, gilt: log247,6 = log10 2 + log2,476 = 2 + log2,476, und da 0,02476 = 10 –2 ґ2,476, dann log0,02476 = log10 –2 + log2,476 = –2 + log2,476. Beachten Sie, dass der dezimale Logarithmus einer Zahl zwischen 1 und 10 zwischen 0 und 1 liegt und als Dezimalzahl geschrieben werden kann. Daraus folgt, dass der dezimale Logarithmus einer beliebigen Zahl die Summe einer ganzen Zahl, die als Charakteristik des Logarithmus bezeichnet wird, und eines Dezimalbruchs, der als Mantisse des Logarithmus bezeichnet wird, ist. Die Charakteristik des Logarithmus einer beliebigen Zahl kann „im Kopf“ gefunden werden; Die Mantisse sollte mithilfe von Logarithmentabellen ermittelt werden. Aus den Tabellen geht beispielsweise hervor, dass log2,476 = 0,39375, also log247,63 = 2,39375. Wenn die Charakteristik des Logarithmus negativ ist (wenn die Zahl kleiner als eins ist), ist es praktisch, sie als Differenz zweier positiver Ganzzahlen darzustellen, zum Beispiel log0,02476 = –2 + 0,39375 = 8,39375 – 10. Die Die folgenden Beispiele erläutern diese Technik.

Literatur:

Geschichte der Mathematik von der Antike bis zum Beginn des 19. Jahrhunderts., Bd. 1–3. M., 1970–1972.
Serre J.-P. Rechenkurs. M., 1972
Netschajew V.I. Numerische Systeme. M., 1975
Daan-Dalmedico A., Peiffer J . Wege und Labyrinthe. Aufsätze zur Geschichte der Mathematik. M., 1986
Engler E. Elementare Mathematik. M., 1987

Der Kreis zeigte, wie man Quadratwurzeln in einer Spalte ziehen kann. Sie können die Wurzel mit beliebiger Genauigkeit berechnen und eine beliebige Anzahl von Ziffern in ihrer Dezimalschreibweise finden, auch wenn sie sich als irrational herausstellt. Man erinnerte sich an den Algorithmus, es blieben jedoch Fragen offen. Es war nicht klar, woher die Methode kam und warum sie das richtige Ergebnis lieferte. Es stand nicht in den Büchern, oder vielleicht habe ich einfach in den falschen Büchern gesucht. Am Ende habe ich es mir, wie vieles von dem, was ich heute weiß und tun kann, selbst ausgedacht. Hier teile ich mein Wissen. Übrigens weiß ich immer noch nicht, wo die Begründung für den Algorithmus angegeben ist)))

Deshalb erkläre ich Ihnen zunächst anhand eines Beispiels, „wie das System funktioniert“, und erkläre dann, warum es tatsächlich funktioniert.

Nehmen wir eine Zahl (die Zahl wurde „aus dem Nichts“ genommen, sie kam mir einfach in den Sinn).

1. Wir teilen seine Zahlen in Paare auf: Die Zahlen links vom Dezimalpunkt werden von rechts nach links zu zwei gruppiert, und die Zahlen rechts davon werden von links nach rechts zu zwei gruppiert. Wir bekommen.

2. Wir ziehen die Quadratwurzel aus der ersten Zahlengruppe links – in unserem Fall ist dies (es ist klar, dass die exakte Wurzel nicht gezogen werden kann) wir eine Zahl nehmen, deren Quadrat unserer durch gebildeten Zahl möglichst nahe kommt erste Zahlengruppe, überschreitet diese aber nicht). In unserem Fall wird es eine Zahl sein. Wir schreiben die Antwort auf – das ist die höchstwertige Ziffer der Wurzel.

3. Wir quadrieren die Zahl, die bereits in der Antwort steht – diese – und subtrahieren sie von der ersten Zahlengruppe links – von der Zahl. In unserem Fall bleibt es dabei.

4. Wir weisen der rechten Seite die folgende Gruppe von zwei Zahlen zu: . Wir multiplizieren die Zahl, die bereits in der Antwort enthalten ist, mit und erhalten.

5. Jetzt genau hinschauen. Wir müssen der Zahl rechts eine Ziffer zuweisen und die Zahl mit, also mit derselben zugewiesenen Ziffer, multiplizieren. Das Ergebnis sollte so nah wie möglich an dieser Zahl liegen, aber auch hier nicht mehr. In unserem Fall ist dies die Nummer, die wir in der Antwort rechts daneben schreiben. Dies ist die nächste Ziffer in der Dezimalschreibweise unserer Quadratwurzel.

6. Wenn wir das Produkt subtrahieren, erhalten wir .

7. Als nächstes wiederholen wir die bekannten Operationen: Wir weisen der resultierenden Zahl die folgende Zifferngruppe rechts zu, multiplizieren mit dazu - das ist die nächste Ziffer in der Dezimalwurzelschreibweise.

Die Berechnungen werden wie folgt geschrieben:

Und nun die versprochene Erklärung. Der Algorithmus basiert auf der Formel

Kommentare: 51

1. 2 Anton:

   Zu chaotisch und verwirrend. Ordnen Sie alles Punkt für Punkt an und nummerieren Sie es. Plus: Erklären Sie, wo wir in jeder Aktion die erforderlichen Werte ersetzen. Ich habe noch nie eine Wurzel berechnet; es fiel mir schwer, sie herauszufinden.

2. 5 Julia:

3. 6 :

   Rechts steht derzeit Yulia, 23; das sind die ersten beiden (linken) Ziffern der bereits in der Antwort erhaltenen Wurzel. Gemäß dem Algorithmus mit 2 multiplizieren. Wir wiederholen die in Punkt 4 beschriebenen Schritte.

4. 7 zzz:

   Fehler in „6. Von 167 subtrahieren wir das Produkt 43 * 3 = 123 (129 nada), wir erhalten 38.“
   Ich verstehe nicht, wie sich herausstellte, dass es 08 nach dem Komma war ...

5. 9 Fedotov Alexander:

   Und selbst in der Zeit vor dem Taschenrechner wurde uns in der Schule nicht nur die Quadratwurzel, sondern auch die Kubikwurzel in einer Spalte beigebracht, aber das war eine mühsamere und mühsamere Arbeit. Es war einfacher, Bradis-Tabellen oder einen Rechenschieber zu verwenden, den wir bereits in der High School gelernt hatten.

6. 10 :

   Alexander, du hast recht, du kannst Wurzeln großer Kräfte in eine Säule extrahieren. Ich werde nur darüber schreiben, wie man die Kubikwurzel findet.

7. 12 Sergej Valentinowitsch:

   Liebe Elisabeth Alexandrowna! In den späten 70er Jahren habe ich ein Schema zur automatischen (d. h. nicht durch Auswahl) Berechnung von Quadra entwickelt. rooten Sie auf der Felix-Addiermaschine. Bei Interesse kann ich Ihnen gerne eine Beschreibung zukommen lassen.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((Extrahieren der Quadratwurzel der Spalte)))
   Der Algorithmus wird vereinfacht, wenn man das 2. Zahlensystem verwendet, das in der Informatik studiert wird, aber auch in der Mathematik nützlich ist. EIN. Kolmogorov stellte diesen Algorithmus in beliebten Vorlesungen für Schüler vor. Sein Artikel ist in der „Chebyshev Collection“ (Mathematical Journal, suchen Sie im Internet nach einem Link dazu) zu finden.
   Sagen Sie übrigens:
   G. Leibniz spielte einst mit dem Gedanken, vom 10. Zahlensystem zum Binärsystem überzugehen, weil es einfach und für Anfänger (Grundschulkinder) zugänglich ist. Aber etablierte Traditionen zu brechen ist, als würde man ein Festungstor mit der Stirn einschlagen: Es ist möglich, aber es ist nutzlos. Es stellt sich also heraus, wie der meistzitierte bärtige Philosoph der alten Zeit sagt: Die Traditionen aller toten Generationen unterdrücken das Bewusstsein der Lebenden.

   Bis zum nächsten Mal.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   ))Sergey Valentinovich, ja, ich bin interessiert...((

   Ich wette, dass dies eine Variation des „Felix“ der babylonischen Methode ist, den Quadratritter mithilfe der Methode der sukzessiven Approximationen zu extrahieren. Dieser Algorithmus wurde durch die Newton-Methode (Tangentenmethode) abgedeckt.

   Ich frage mich, ob ich mit meiner Prognose falsch lag?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Ja, der binäre Algorithmus sollte einfacher sein, das ist ziemlich offensichtlich.

    Über Newtons Methode. Vielleicht stimmt das, aber es ist trotzdem interessant

11. 20 Kirill:

    Vielen Dank. Aber es gibt noch keinen Algorithmus, niemand weiß, woher er kommt, aber das Ergebnis ist korrekt. VIELEN DANK! Ich habe schon lange danach gesucht)

12. 21 Alexander:

    Wie zieht man die Wurzel aus einer Zahl, bei der die zweite Gruppe von links nach rechts sehr klein ist? Die Lieblingszahl aller ist beispielsweise 4.398.046.511.104. Nach der ersten Subtraktion ist es nicht mehr möglich, alles gemäß dem Algorithmus fortzusetzen. Kannst du bitte erklären.

13. 22 Alexey:

    Ja, ich kenne diese Methode. Ich erinnere mich, es in einer alten Ausgabe des Buches „Algebra“ gelesen zu haben. Dann leitete er selbst analog ab, wie man die Kubikwurzel in einer Spalte zieht. Aber dort ist es schon komplizierter: Jede Ziffer wird nicht durch eins (wie bei einem Quadrat), sondern durch zwei Subtraktionen bestimmt, und selbst dort muss man jedes Mal lange Zahlen multiplizieren.

14. 23 Artem:

    Im Beispiel zum Ziehen der Quadratwurzel von 56789,321 sind Tippfehler aufgetreten. Die Zahlengruppe 32 ist den Zahlen 145 und 243 doppelt zugeordnet, in der Zahl 2388025 muss die zweite 8 durch 3 ersetzt werden. Dann ist die letzte Subtraktion wie folgt zu schreiben: 2431000 – 2383025 = 47975.
    Wenn wir außerdem den Rest durch den doppelten Wert der Antwort dividieren (ohne Berücksichtigung des Kommas), erhalten wir eine zusätzliche Anzahl signifikanter Ziffern (47975/(2*238305) = 0,100658819...), die addiert werden sollten die Antwort (√56789,321 = 238,305... = 238,305100659).

15. 24 Sergej:

    Anscheinend stammt der Algorithmus aus Isaac Newtons Buch „General Arithmetic or a book on arithmetic synthesize and Analysis“. Hier ein Auszug daraus:

    ÜBER DAS EXTRAHIEREN VON WURZELN

    Um die Quadratwurzel einer Zahl zu ziehen, müssen Sie zunächst einen Punkt über ihre Ziffern setzen, beginnend mit den Einsen. Dann sollten Sie in den Quotienten oder die Wurzel die Zahl schreiben, deren Quadrat den Zahlen oder der Zahl vor dem ersten Punkt entspricht oder diesen im Nachteil am nächsten kommt. Nach dem Subtrahieren dieses Quadrats werden die verbleibenden Ziffern der Wurzel nacheinander ermittelt, indem der Rest durch den doppelten Wert des bereits extrahierten Teils der Wurzel dividiert wird und jedes Mal vom Rest des Quadrats die zuletzt gefundene Ziffer und ihr zehnfaches Produkt subtrahiert werden der benannte Teiler.

16. 25 Sergej:

    Bitte korrigieren Sie auch den Titel des Buches „Allgemeine Arithmetik oder ein Buch über arithmetische Synthese und Analyse“

17. 26 Alexander:

    Danke für das interessante Material. Aber diese Methode scheint mir etwas komplizierter zu sein, als sie beispielsweise für ein Schulkind benötigt wird. Ich verwende eine einfachere Methode, die auf der Entwicklung einer quadratischen Funktion mithilfe der ersten beiden Ableitungen basiert. Seine Formel lautet:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, wobei
    A1 ist die ganze Zahl, deren Quadrat x am nächsten liegt;
    A2 ist ein Bruch, der Zähler ist x-A1, der Nenner ist 2*A1.
    Für die meisten im Schulunterricht vorkommenden Zahlen reicht dies aus, um das Ergebnis auf das Hundertstel genau zu erhalten.
    Wenn Sie ein genaueres Ergebnis benötigen, nehmen Sie
    A3 ist ein Bruch, der Zähler ist A2 zum Quadrat, der Nenner ist 2*A1+1.
    Um es zu verwenden, benötigen Sie natürlich eine Tabelle mit Quadraten ganzer Zahlen, aber in der Schule ist das kein Problem. Es ist ganz einfach, sich diese Formel zu merken.
    Es verwirrt mich jedoch, dass ich A3 empirisch durch Experimente mit einer Tabellenkalkulation erhalten habe, und ich verstehe nicht ganz, warum dieses Mitglied so aussieht. Vielleicht könnt ihr mir einen Rat geben?

18. 27 Alexander:

    Ja, über diese Überlegungen habe ich auch nachgedacht, aber der Teufel steckt im Detail. Du schreibst:
    „da a2 und b sich recht wenig unterscheiden.“ Die Frage ist genau, wie wenig.
    Diese Formel funktioniert gut bei Zahlen in der zweiten Zehn und viel schlechter (nicht bis zu Hundertstel, nur bis zu Zehntel) bei Zahlen in der ersten Zehn. Warum dies geschieht, ist ohne den Einsatz von Derivaten schwer zu verstehen.

19. 28 Alexander:

    Ich werde klarstellen, was meiner Meinung nach der Vorteil der von mir vorgeschlagenen Formel ist. Es bedarf nicht der nicht ganz natürlichen Aufteilung von Zahlen in Ziffernpaare, die erfahrungsgemäß oft mit Fehlern durchgeführt wird. Die Bedeutung liegt auf der Hand, für jemanden, der sich mit der Analyse auskennt, ist sie jedoch trivial. Funktioniert gut bei Zahlen von 100 bis 1000, den am häufigsten in der Schule vorkommenden Zahlen.

20. 29 Alexander:

    Übrigens habe ich etwas recherchiert und den genauen Ausdruck für A3 in meiner Formel gefunden:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 Vasil Stryzhak:

    In unserer Zeit, in der die Computertechnologie weit verbreitet ist, lohnt sich die Frage, den quadratischen Springer aus einer Zahl zu extrahieren, aus praktischer Sicht nicht. Aber für Mathematikliebhaber werden sicherlich verschiedene Möglichkeiten zur Lösung dieses Problems von Interesse sein. Im schulischen Lehrplan sollte die Methode dieser Berechnung ohne den Einsatz zusätzlicher Mittel der Multiplikation und der langen Division gleichgestellt sein. Der Berechnungsalgorithmus muss nicht nur einprägsam, sondern auch verständlich sein. Die in diesem Material zur Diskussion mit Offenlegung des Wesens vorgestellte klassische Methode erfüllt die oben genannten Kriterien vollständig.
    Ein wesentlicher Nachteil der von Alexander vorgeschlagenen Methode ist die Verwendung einer Quadrattabelle ganzer Zahlen. Über den Großteil der im Schulunterricht anzutreffenden Zahlen schweigt sich der Autor aus. Was die Formel betrifft, gefällt sie mir im Allgemeinen aufgrund der relativ hohen Genauigkeit der Berechnung.

22. 31 Alexander:

    für 30 Vasil Stryzhak
    Ich habe nichts verschwiegen. Die Quadrattafel soll bis 1000 reichen. Zu meiner Schulzeit hat man sie einfach auswendig gelernt und sie stand in allen Mathematik-Lehrbüchern. Ich habe dieses Intervall explizit benannt.
    Was die Computertechnik anbelangt, so wird sie hauptsächlich im Mathematikunterricht nicht eingesetzt, es sei denn, das Thema der Verwendung eines Taschenrechners wird speziell behandelt. Taschenrechner sind mittlerweile in Geräte eingebaut, deren Verwendung beim Unified State Exam verboten ist.

23. 32 Vasil Stryzhak:

    Alexander, vielen Dank für die Klarstellung! Ich dachte, dass es für die vorgeschlagene Methode theoretisch notwendig ist, sich eine Quadrattabelle aller zweistelligen Zahlen zu merken oder zu verwenden. Für Wurzelzahlen, die nicht im Intervall von 100 bis 10000 liegen, können Sie dies tun Verwenden Sie die Technik, sie durch Verschieben des Dezimalpunkts um die erforderliche Anzahl von Größenordnungen zu erhöhen oder zu verringern.

24. 33 Vasil Stryzhak:

25. 39 ALEXANDER:

    MEIN ERSTES PROGRAMM IN DER SPRACHE „IAMB“ AUF DER SOWJETISCHEN MASCHINE „ISKRA 555“ WURDE GESCHRIEBEN, UM DIE QUADRATWURZEL EINER ZAHL MIT DEM SÄULEN-EXTRAKTIONSALGORITHMUS ZU EXTRAHIEREN! und jetzt habe ich vergessen, wie man es manuell extrahiert!