Granica numeričkog niza. Kako dokazati da niz konvergira? Osnovna svojstva konvergentnih nizova Vrste nizova

Definicija granica sekvence i funkcije, svojstva granica, prva i druga izuzetna granica, primjeri.

konstantan broj a pozvao limit sekvence(x n) ako za bilo koji proizvoljno mali pozitivan broj ε > 0 postoji broj N takav da su sve vrijednosti x n, za koje je n>N, zadovoljavaju nejednakost

Napišite ga na sljedeći način: ili x n → a.

Nejednakost (6.1) je ekvivalentna dvostrukoj nejednakosti

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, počevši od nekog broja n>N, leže unutar intervala (a-ε, a+ε), tj. spadaju u bilo koje malo ε-susjedstvo tačke a.

Poziva se niz koji ima ograničenje konvergirajući, inače - divergentan.

Koncept granice funkcije je generalizacija koncepta granice niza, budući da se granica niza može smatrati granicom funkcije x n = f(n) cjelobrojnog argumenta n.

Neka je data funkcija f(x) i neka a - granična tačka domenu definicije ove funkcije D(f), tj. takva tačka, u čijem okruženju se nalaze tačke skupa D(f) različite od a. Dot a može ili ne mora pripadati skupu D(f).

Definicija 1. Konstantni broj A se zove limit funkcije f(x) at x→ a if za bilo koji niz (x n) vrijednosti argumenata koji teže ka a, odgovarajući nizovi (f(x n)) imaju istu granicu A.

Ova definicija se zove definiranje granice funkcije prema Heineu, ili " jezikom sekvenci”.

Definicija 2. Konstantni broj A se zove limit funkcije f(x) at x→a ako se, s obzirom na proizvoljan, proizvoljno mali pozitivan broj ε, može naći δ >0 (u zavisnosti od ε) tako da za sve x, koji leži u ε-susedstvu broja a, tj. za x zadovoljavanje nejednakosti
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Ova definicija se zove definiranje granice funkcije prema Cauchyju, ili “u jeziku ε - δ"

Definicije 1 i 2 su ekvivalentne. Ako funkcija f(x) kao x → a ima limit jednako A, ovo se piše kao

U slučaju da se niz (f(x n)) neograničeno povećava (ili smanjuje) za bilo koju metodu aproksimacije x do vaše granice a, tada ćemo reći da funkcija f(x) ima beskonačna granica, i napiši kao:

Poziva se varijabla (tj. sekvenca ili funkcija) čija je granica nula beskrajno mali.

Poziva se varijabla čija je granica jednaka beskonačnosti beskonačno velika.

Da biste pronašli granicu u praksi, koristite sljedeće teoreme.

Teorema 1 . Ako svaka granica postoji

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentar. Izrazi oblika 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ su neodređeni, na primjer, omjer dvije beskonačno male ili beskonačno velike veličine, a pronalaženje granice ove vrste naziva se “otkrivanje nesigurnosti”.

Teorema 2.

one. moguće je prijeći na granicu na bazi stepena pri konstantnom eksponentu, posebno,

Teorema 3.

(6.11)

gdje e» 2.7 je baza prirodnog logaritma. Formule (6.10) i (6.11) se nazivaju prva izuzetna granica i druga izuzetna granica.

Posljedice formule (6.11) se također koriste u praksi:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

posebno granica

Ako je x → a i istovremeno x > a, onda napišite x →a + 0. Ako je, konkretno, a = 0, onda upišite +0 umjesto simbola 0+0. Slično, ako je x→a i istovremeno x i prema tome su imenovani. desna granica i lijeva granica funkcije f(x) u tački a. Da bi granica funkcije f(x) postojala kao x→ a, potrebno je i dovoljno da . Poziva se funkcija f(x). kontinuirano u tački x 0 ako je ograničenje

(6.15)

Uslov (6.15) se može prepisati kao:

odnosno prelazak na granicu pod znakom funkcije je moguć ako je ona kontinuirana u datoj tački.

Ako je jednakost (6.15) prekršena, onda to kažemo at x = xo funkcija f(x) Ima jaz. Razmotrimo funkciju y = 1/x. Domen ove funkcije je skup R, osim za x = 0. Tačka x = 0 je granična tačka skupa D(f), budući da u bilo kojoj njegovoj okolini, tj. svaki otvoreni interval koji sadrži tačku 0 sadrži tačke iz D(f), ali sam ne pripada ovom skupu. Vrijednost f(x o)= f(0) nije definirana, tako da funkcija ima diskontinuitet u tački x o = 0.

Poziva se funkcija f(x). kontinuirano na desnoj strani u jednoj tački x o ako je ograničenje

i kontinuirano na lijevoj strani u jednoj tački x o ako je ograničenje

Kontinuitet funkcije u tački x o je ekvivalentan njegovom kontinuitetu u ovoj tački i na desnoj i na lijevoj strani.

Da bi funkcija bila kontinuirana u nekoj tački x o, na primjer, na desnoj strani, potrebno je, prvo, da postoji konačna granica , i drugo, da ova granica bude jednaka f(x o). Stoga, ako barem jedan od ova dva uvjeta nije ispunjen, funkcija će imati prazninu.

1. Ako granica postoji i nije jednaka f(x o), onda to kažu funkcija f(x) u tački xo has lom prve vrste, ili skok.

2. Ako je granica +∞ ili -∞ ili ne postoji, onda kažu da u tačka x o funkcija ima prekid druga vrsta.

Na primjer, funkcija y = ctg x pri x → +0 ima granicu jednaku +∞, što znači da u tački x=0 ima diskontinuitet druge vrste. Funkcija y = E(x) (cijeli dio x) u tačkama sa cjelobrojnim apscisama ima diskontinuitete prve vrste, odnosno skokove.

Poziva se funkcija koja je kontinuirana u svakoj tački intervala kontinuirano u . Kontinuirana funkcija je predstavljena punom krivom.

Mnogi problemi povezani sa kontinuiranim rastom neke količine dovode do druge izuzetne granice. Takvi zadaci, na primjer, uključuju: rast doprinosa prema zakonu složene kamate, rast stanovništva zemlje, raspadanje radioaktivne tvari, razmnožavanje bakterija itd.

Razmislite primjer Ya. I. Perelmana, što daje interpretaciju broja e u problemu složene kamate. Broj e postoji granica . U štedionicama se na osnovni kapital godišnje dodaje novac od kamata. Ako se veza ostvaruje češće, kapital raste brže, jer je veliki iznos uključen u formiranje kamata. Uzmimo čisto teoretski, vrlo pojednostavljen primjer. Neka banka stavi 100 den. jedinice po stopi od 100% godišnje. Ako se kamatonosni novac doda osnovnom kapitalu tek nakon godinu dana, onda do tada 100 den. jedinice pretvoriće se u 200 den. Sad da vidimo u šta će se 100 den pretvoriti. jedinica, ako se novac od kamata dodaje osnovnom kapitalu svakih šest mjeseci. Nakon pola godine 100 den. jedinice će porasti za 100 × 1,5 = 150, au narednih šest mjeseci - za 150 × 1,5 = 225 (novčane jedinice). Ako se pristupanje vrši svake 1/3 godine, onda nakon godine 100 den. jedinice pretvoriće se u 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (den. jedinice). Povećaćemo vremenski okvir za dodavanje kamate na 0,1 godinu, 0,01 godinu, 0,001 godinu itd. Onda od 100 den. jedinice godinu dana kasnije:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. jedinica),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. jedinice),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. jedinice).

Uz neograničeno smanjenje uslova pridruživanja kamata, akumulirani kapital ne raste beskonačno, već se približava određenoj granici koja iznosi približno 271. Kapital stavljen na 100% godišnje ne može se povećati više od 2,71 puta, čak i kada bi obračunate kamate bile dodaje kapital svake sekunde jer je granica

Primjer 3.1. Koristeći definiciju granice brojevnog niza, dokazati da niz x n =(n-1)/n ima granicu jednaku 1.

Rješenje. Moramo dokazati da god ε > 0 uzmemo, postoji prirodan broj N za njega, takav da je za sve n > N nejednakost |x n -1|< ε

Uzmite bilo koje ε > 0. Kako je x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, onda je za pronalaženje N dovoljno riješiti nejednakost 1/n<ε. Отсюда n>1/ε i, stoga, N se može uzeti kao cijeli broj od 1/ε N = E(1/ε). Time smo dokazali da je granica .

Rješenje. Primijenite teoremu granične sume i pronađite granicu svakog člana. Kako je n → ∞, brojilac i imenilac svakog člana teži beskonačnosti, i ne možemo direktno primijeniti teoremu o graničnom količniku. Stoga prvo transformiramo x n, dijeleći brojilac i imenilac prvog člana sa n 2, i drugi n. Zatim, primjenom teoreme o ograničenju količnika i teoreme o ograničenju sume, nalazimo:

Primjer 3.3. . Pronađite .

Ovdje smo koristili teoremu o ograničenju stepena: granica stepena je jednaka stepenu granice baze.

Primjer 3.4. Pronađi ( ).

Rješenje. Nemoguće je primijeniti graničnu teoremu razlike, jer imamo nesigurnost oblika ∞-∞. Transformirajmo formulu opšteg pojma:

Primjer 3.5. Zadana funkcija f(x)=2 1/x . Dokažite da granica ne postoji.

Rješenje. Koristimo definiciju 1 granice funkcije u terminima niza. Uzmite niz ( x n ) koji konvergira na 0, tj. Pokažimo da se vrijednost f(x n)= ponaša različito za različite nizove. Neka je x n = 1/n. Očigledno, onda granica Odaberimo sada kao x n niz sa zajedničkim pojmom x n = -1/n, koji takođe teži nuli. Dakle, nema ograničenja.

Primjer 3.6. Dokažite da granica ne postoji.

Rješenje. Neka je x 1 , x 2 ,..., x n ,... niz za koji
. Kako se niz (f(x n)) = (sin x n) ponaša za različite x n → ∞

Ako je x n = p n, onda sin x n = sin (p n) = 0 za sve n i limit If
xn=2 p n+ p /2, tada sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 za sve n a time i granica. Dakle, ne postoji.

Brojčani nizovi su beskonačni skupovi brojeva. Primjeri sekvenci su: niz svih članova beskonačne geometrijske progresije, niz približnih vrijednosti ( x 1 = 1, x 2 = 1,4, x 3= 1.41, ...), niz perimetara regularnog n-uglovi upisani u datu kružnicu. Razradimo pojam numeričkog niza.

Definicija 1. Ako svaki broj n iz prirodnog niza brojeva 1, 2, 3,..., P,... dodelio pravi broj x p, zatim skup realnih brojeva

x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , …(2.1)

pozvao niz brojeva, ili samo niz. .

Brojevi x 1 , x 2, x 3, ..., x p,... će zvati elementi, ili članovi sekvence (2.1), simbol x str - general element, ili član niza, i broj P - njegov broj. Ukratko, niz (2.1) će biti označen simbolom (x p ). Na primjer, znak (1/ n) označava niz brojeva

Drugim riječima, niz se može shvatiti kao beskonačan skup numeriranih elemenata ili skup parova brojeva (p, x p), u kojoj prvi broj uzima uzastopne vrijednosti 1, 2, 3, ... . Niz se smatra datim ako je specificiran metod za dobijanje bilo kojeg od njegovih elemenata. Na primjer, formula x n = -1 + (-1)n definira niz 0, 2, 0, 2,... .

Geometrijski, niz je prikazan na numeričkoj osi kao niz tačaka čije su koordinate jednake odgovarajućim članovima niza. Na sl. 2.1 prikazuje sekvencu ( x n} = {1/n) na brojevnoj pravoj.

Koncept konvergentnog niza

Definicija 2. Broj a pozvao granica sekvence{x n} , ako za bilo koji pozitivan broj ε postoji broj N, to za sve n > N nejednakost

Poziva se niz koji ima ograničenje konvergirajući. Ako niz ima broj kao svoju granicu a, tada se piše ovako:

Poziva se niz koji nema ograničenja divergentan.

Definicija 3. Niz koji ima broj kao svoju granicu a= 0 se poziva beskonačno mali niz.

Napomena 1. Neka sekvenca ( x n) ima kao svoju granicu broj a. Zatim niz (α n} = {x n - a) je beskonačno mala, tj. bilo koji element x str konvergentni niz sa granicom a, može se predstaviti kao

gdje je α n- element beskonačno malog niza (α n} .

Napomena 2. Nejednakost (2.2) je ekvivalentna nejednačinama (vidi svojstvo 4 modula broja iz § 1.5)

To znači da na n > N svi elementi niza ( x n) se nalaze u ε-susjedstvo bodova a(Sl. 2.2) i broj N je određena vrijednošću ε.

Zanimljivo je dati geometrijsko tumačenje ove definicije. Budući da je niz beskonačan skup brojeva, onda ako konvergira, u bilo kojoj ε-susjedstvu tačke a na realnoj pravoj postoji beskonačan broj tačaka - elemenata ovog niza, dok je izvan ε-susedstva konačan broj elemenata. Stoga se granica niza često naziva tačka zadebljanja.

Napomena 3. Neograničen niz nema final limit. Međutim, možda jeste beskrajno limit, koji je napisan u sljedećem obliku:

Ako su u isto vrijeme, počevši od određenog broja, svi članovi niza pozitivni (negativni), onda napišite

ako ( x n) je beskonačno mali niz, tada (1 /x str} - beskonačan niz koji ima beskonačnu granicu u smislu (2.3), i obrnuto.

Navedimo primjere konvergentnih i divergentnih nizova.

Primjer 1 Pokažite, koristeći definiciju granice niza, da .

Rješenje. Uzmite bilo koji broj ε > 0. Pošto

tada da bi vrijedila nejednakost (2.2), dovoljno je riješiti nejednakost 1 / ( n + 1) < ε, откуда получаем n> (1 - ε) / ε. Dovoljno za uzeti N= [(1 - ε)/ε] (cijeli dio broja (1 - ε)/ ε)* tako da je nejednakost |x p - 1| < ε выполнялосьпривсех n > N.

* Simbol [ a] znači cijeli dio broja a, tj. najveći cijeli broj ne prelazi a. Na primjer, =2, =2, =0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24.

Primjer 2 Pokažite da je niz ( x n} = (-1)n, ili -1, 1, -1, 1,... nema ograničenja.

Rješenje. Zaista, koji god broj pretpostavimo kao granicu: 1 ili -1, sa ε< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x str: svi neparni elementi su -1, parni elementi su 1.

Osnovna svojstva konvergentnih nizova

Predstavimo glavna svojstva konvergentnih nizova, koji su formulisani u obliku teorema u toku više matematike.

1.Ako su svi elementi infinitezimalnog niza{x n} jednaki su istom broju c, tada je c = 0.

2. Konvergentni niz ima samo jednu granicu.

3.Konvergentni niz je ograničen.

4.Zbir (razlika) konvergentnih nizova{x n} i{y n} je konvergentni niz čija je granica jednaka zbiru (razlici) granica nizova{x str} i{y str}.

5.Proizvod konvergentnih nizova{x n} i{y n} je konvergentni niz čija je granica jednaka proizvodu granica nizova{x n} i{y n} .

6.Količnik dva konvergentna niza{x n} i{y n} pod uslovom da je granica niza{y n} je različit od nule, postoji konvergentni niz čija je granica jednaka količniku granica nizova{x n} i{y str} .

7. Ako su elementi konvergentnog niza{x n} zadovoljavaju nejednakost x p ≥ b (x p ≤ b) počevši od nekog broja, onda granica a ovog niza također zadovoljava nejednakost a ≥ b (a ≤ b).

8.Proizvod beskonačno malog niza ograničenim nizom ili brojem je infinitezimalni niz.

9.Proizvod konačnog broja infinitezimalnih nizova je infinitezimalni niz.

Razmotrimo primjenu ovih svojstava na primjerima.

Primjer 3. Pronađite granicu.

Rješenje. At n brojilac i imenilac razlomka teže beskonačnosti, tj. teorema o limitu količnika se ne može odmah primijeniti, jer pretpostavlja postojanje konačnih granica nizova. Transformišemo ovaj niz tako što podelimo brojilac i imenilac sa n 2. Primjenjujući zatim teoreme o granici količnika, granici sume i opet granici količnika, sukcesivno nalazimo

Primjer 4 x str) = at P.

Rješenje. Ovdje, kao iu prethodnom primjeru, brojnik i nazivnik nemaju konačne granice, pa se stoga moraju prvo izvršiti odgovarajuće transformacije. Deljenje brojioca i imenioca sa n, dobijamo

Pošto brojilac sadrži proizvod beskonačno malog niza i ograničenog niza, onda, prema svojstvu 8, konačno dobijamo

Primjer 5 Pronađite granicu niza ( x n) = at P .

Rješenje. Ovdje je nemoguće direktno primijeniti teoremu o granici sume (razlike) nizova, jer ne postoje konačna ograničenja članova u formuli za ( x n} . Pomnožite i podijelite formulu za ( x n) na konjugirani izraz:

Broj e

Razmotrite slijed ( x n} , čiji je zajednički pojam izražen formulom

U toku matematičke analize dokazano je da ovaj niz monotono raste i ima ograničenje. Ova granica se zove broj e. Dakle, po definiciji

Broj e igra veliku ulogu u matematici. Zatim će se razmotriti metod za njegovo izračunavanje sa potrebnom preciznošću. Imajte na umu da je broj e je iracionalan; njegova približna vrijednost je e = 2,7182818... .

3. Granica niza brojeva

3.1. Pojam numeričkog niza i funkcije prirodnog argumenta

Definicija 3.1. Numerički niz (u daljem tekstu jednostavno niz) je uređeni prebrojiv skup brojeva

{x1, x2, x3, ... }.

Obratite pažnju na dvije tačke.

1. Postoji beskonačno mnogo brojeva u nizu. Ako postoji konačan broj brojeva, ovo nije niz!

2. Svi brojevi su poređani, odnosno poređani određenim redosledom.

U nastavku ćemo često koristiti skraćenicu za sekvencu ( xn}.

Određene operacije se mogu izvesti na sekvencama. Hajde da razmotrimo neke od njih.

1. Množenje niza brojem.

Subsequence c×{ xn) je niz sa elementima ( c× xn), to je

c×{ x1, x2, x3, ... }={c× x1, s× x2, s× x3, ... }.

2. Sabiranje i oduzimanje nizova.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

ili, detaljnije,

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Množenje nizova.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. Podjela sekvenci.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Naravno, pretpostavlja se da u ovom slučaju sve yn¹ 0.

Definicija 3.2. Slijed ( xn) se naziva ograničenim odozgo ako https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height = "25 src=">. Niz (xn) se naziva ograničenim ako je ograničen i iznad i odozdo.

3.2. Granica sekvence. Beskonačno veliki niz

Definicija 3.3. Broj a naziva se granica niza ( xn) at n teži beskonačnosti, ako

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> ako .

Kažu da ako .

Definicija 3.4. Slijed ( xn) se naziva beskonačno velikim ako (to jest, ako ).

3.3. Beskonačno mali niz.

Definicija 3.5. Niz (xn) se naziva infinitezimalnim ako je , odnosno ako je .

Infinitezimalni nizovi imaju sljedeća svojstva.

1. Zbir i razlika infinitezimalnih nizova je također beskonačno mali niz.

2. Infinitezimalni niz je ograničen.

3. Proizvod beskonačno malog niza i ograničenog niza je infinitezimalni niz.

4. Ako ( xn) je beskonačno veliki niz, tada počevši od nekog N, niz (1/ xn), i to je beskonačno mali niz. Obrnuto, ako ( xn) je beskonačno mali niz i sve to xn razlikuju se od nule, onda (1/ xn) je beskonačno veliki niz.

3.4. konvergentne sekvence.

Definicija 3.6. Ako postoji krajnje ograničenje https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. Ako , onda .

3.5. Prelazak do granice u nejednakostima.

Teorema 3.1. Ako, počevši od nekih N, sve xn ³ b, zatim .

Posljedica. Ako, počevši od nekih N, sve xn ³ yn, onda .

Komentar. Imajte na umu da ako, počevši od nekih N, sve xn > b, tada , odnosno, kada se prelazi na granicu, stroga nejednakost može postati nestroga.

Teorema 3.2.("Teorema dva policajca") Ako, polazeći od nekog N, vrijede sljedeća svojstva

1..gif" width="163" height="33 src=">,

onda postoji.

3.6. Granica monotonog niza.

Definicija 3.7. Slijed ( xn) se naziva monotono rastućim ako za bilo koji n xn+1 ³ xn.

Slijed ( xn) se naziva striktno monotono rastućim ako za bilo koji n xn+1> xn.

xn­.

Definicija 3.8. Slijed ( xn) se naziva monotono opadajućim ako za bilo koji n xn+1 £ xn.

Slijed ( xn) se naziva striktno monotono opadajućim ako za bilo koji n xn+1< xn.

Oba ova slučaja su kombinovana sa simbolom xn¯.

Teorema o postojanju granice monotonog niza.

1. Ako sekvenca ( xn) monotono raste (opada) i ograničeno odozgo (odozdo), tada ima konačnu granicu jednaku sup( xn) (inf( xn}).

2 Ako sekvenca ( xn) monotono raste (opada), ali nije ograničen odozgo (odozdo), tada ima granicu jednaku +¥ (-¥).

Na osnovu ove teoreme, dokazano je da postoji takozvana izuzetna granica

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Zove se podniz sekvence ( xn}.

Teorema 3.3. Ako sekvenca ( xn) konvergira i njegova granica je a, tada bilo koja od njegovih podnizova također konvergira i ima istu granicu.

ako ( xn) je beskonačno veliki niz, tada je bilo koji njegov podniz također beskonačno velik.

Bolzano-Weierstrassova lema.

1. Iz bilo kojeg ograničenog niza može se izdvojiti podniz koji konvergira do konačnog ograničenja.

2. Beskonačno veliki podniz se može izdvojiti iz bilo kojeg neograničenog niza.

Na osnovu ove leme, dokazan je jedan od glavnih rezultata teorije granica - Bolzano-Cauchyjev kriterij konvergencije.

Da bi sekvenca ( xn) postojala je konačna granica, potrebno je i dovoljno da

Niz koji zadovoljava ovo svojstvo naziva se osnovni niz, ili niz koji konvergira sam po sebi.

Za mnoge ljude, matematička analiza je samo skup nerazumljivih brojeva, ikona i definicija koje su daleko od stvarnog života. Međutim, svijet u kojem postojimo izgrađen je na numeričkim obrascima, čija identifikacija pomaže ne samo u učenju o svijetu oko nas i rješavanju njegovih složenih problema, već i u pojednostavljivanju svakodnevnih praktičnih zadataka. Šta matematičar misli kada kaže da se brojevni niz konvergira? O tome bi trebalo detaljnije razgovarati.

mali?

Zamislite matrjoške koje se uklapaju jedna u drugu. Njihove veličine, napisane u obliku brojeva, počevši od najvećeg i završavajući s najmanjim od njih, čine niz. Ako zamislite beskonačan broj takvih svijetlih figura, onda će rezultirajući red biti fantastično dug. Ovo je konvergentni niz brojeva. I teži nuli, budući da se veličina svake sljedeće lutke za gniježđenje, koja se katastrofalno smanjuje, postupno pretvara u ništa. Dakle, lako je objasniti: ono što je beskonačno malo.

Sličan primjer bi bio put koji ide u daljinu. A vizuelne dimenzije automobila koji se udaljava od posmatrača duž njega, postepeno se smanjujući, pretvaraju se u bezobličnu tačku nalik tački. Tako automobil, poput objekta, koji se udaljava u nepoznatom pravcu, postaje beskonačno mali. Parametri navedenog tijela nikada neće biti nula u pravom smislu riječi, ali uvijek teže ovoj vrijednosti u konačnoj granici. Stoga, ovaj niz ponovo konvergira na nulu.

Izračunajmo sve kap po kap

Zamislimo stvarnu životnu situaciju. Lekar je pacijentu prepisao da uzima lek, počevši od deset kapi dnevno i dodajući po dve svakog sledećeg dana. I tako je doktor predložio da se nastavi sve dok ne ponestane sadržaj bočice lijeka, čija je zapremina 190 kapi. Iz prethodnog proizilazi da će broj takvih, slikanih po danu, biti sljedeći brojčani niz: 10, 12, 14 itd.

Kako saznati vrijeme prolaska cijelog kursa i broj članova niza? Ovdje, naravno, možete brojati kapi na primitivan način. Ali mnogo je lakše, s obzirom na obrazac, koristiti formulu sa korakom od d = 2. I pomoću ove metode saznajte da je broj članova niza brojeva 10. U ovom slučaju, a 10 = 28. Članski broj označava broj dana uzimanja lijeka, a 28 odgovara broju kapi koje pacijent treba koristiti posljednjeg dana. Konvergira li se ovaj niz? Ne, jer, uprkos činjenici da je ograničen na 10 odozdo i 28 odozgo, takav brojni niz nema ograničenja, za razliku od prethodnih primjera.

Koja je razlika?

Pokušajmo sada da razjasnimo: kada se ispostavi da je niz brojeva konvergentan niz. Definicija ove vrste, kao što se iz navedenog može zaključiti, direktno je povezana sa konceptom konačne granice, čije prisustvo otkriva suštinu problema. Dakle, koja je suštinska razlika između prethodno navedenih primjera? I zašto se u posljednjem od njih broj 28 ne može smatrati granicom niza brojeva X n = 10 + 2(n-1)?

Da bismo razjasnili ovo pitanje, razmotrimo još jedan niz dat formulom ispod, gdje n pripada skupu prirodnih brojeva.

Ova zajednica članova je skup običnih razlomaka, čiji je brojilac 1, a imenilac se stalno povećava: 1, ½ ...

Štaviše, svaki naredni predstavnik ovog niza, u smislu lokacije na brojevnoj pravoj, sve se više približava 0. To znači da se takvo susjedstvo pojavljuje gdje se tačke grupišu oko nule, što je granica. I što su mu bliže, njihova koncentracija na brojevnoj pravoj postaje gušća. A udaljenost između njih se katastrofalno smanjuje, pretvarajući se u beskonačno malu. Ovo je znak da se niz konvergira.

Slično, raznobojni pravokutnici prikazani na slici, kada se udaljavaju u prostoru, vizualno su gušći, u hipotetičkoj granici se pretvaraju u zanemarljive.

Beskonačno velike sekvence

Nakon što smo analizirali definiciju konvergentnog niza, sada se okrećemo kontraprimjerima. Mnogi od njih poznati su čovjeku od davnina. Najjednostavnije varijante divergentnih nizova su nizovi prirodnih i parnih brojeva. Na drugi način se nazivaju beskonačno velikima, jer se njihovi članovi, koji se stalno povećavaju, sve više približavaju pozitivnoj beskonačnosti.

Bilo koja od aritmetičkih i geometrijskih progresija sa korakom i nazivnikom većim od nule, respektivno, također može poslužiti kao primjer takvih. Divergentni nizovi se smatraju, osim toga, numeričkim nizovima, koji uopće nemaju ograničenja. Na primjer, X n = (-2) n -1 .

Fibonačijev niz

Praktična upotreba prethodno spomenutih numeričkih serija za čovječanstvo je neosporna. Ali postoji bezbroj drugih sjajnih primjera. Jedan od njih je Fibonačijev niz. Svaki njegov član, koji počinje jednim, zbir je prethodnih. Njegova prva dva predstavnika su 1 i 1. Treći 1+1=2, četvrti 1+2=3, peti 2+3=5. Dalje, po istoj logici, slijede brojevi 8, 13, 21 i tako dalje.

Ovaj niz brojeva raste beskonačno i nema konačnih granica. Ali ima još jedno predivno svojstvo. Omjer svakog prethodnog broja prema sljedećem je sve bliži po svojoj vrijednosti 0,618. Ovdje možete razumjeti razliku između konvergentnog i divergentnog niza, jer ako napravite niz primljenih privatnih podjela, navedeni numerički sistem će imati konačni limit jednak 0,618.

Fibonačijev omjer sekvence

Gore navedeni brojčani nizovi se široko koriste u praktične svrhe za tehničku analizu tržišta. Ali to nije ograničeno na njegove mogućnosti, koje su Egipćani i Grci znali i mogli primijeniti u praksi u drevnim vremenima. To dokazuju piramide koje su izgradili i Partenon. Uostalom, broj 0,618 je konstantan koeficijent zlatnog preseka, dobro poznat u stara vremena. Prema ovom pravilu, svaki proizvoljni segment može se podijeliti na način da će se omjer njegovih dijelova poklopiti s omjerom između najvećeg odsječka i ukupne dužine.

Hajde da izgradimo niz ovih relacija i pokušamo analizirati ovaj niz. Brojčani niz će biti sljedeći: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 i tako dalje. Nastavljajući na ovaj način, može se potvrditi da će granica konvergentnog niza zaista biti 0,618. Međutim, potrebno je napomenuti i druga svojstva ove pravilnosti. Ovdje se čini da brojevi idu nasumično, a ne u rastućem ili opadajućem redoslijedu. To znači da ovaj konvergentni niz nije monoton. Zašto je to tako, biće reči dalje.

monotonija i ograničenost

Članovi niza brojeva sa rastućim brojevima mogu se jasno smanjiti (ako je x 1>x 2>x 3>...> x n>...) ili povećati (ako je x 1

Oslikavanjem brojeva ove serije, može se primijetiti da bilo koji njen član, koji se približava 1 na neodređeno vrijeme, nikada neće premašiti ovu vrijednost. U ovom slučaju se kaže da je konvergentni niz ograničen. Ovo se događa kad god postoji takav pozitivan broj M, koji je uvijek veći od bilo kojeg člana reda po modulu. Ako niz brojeva ima znakove monotonosti i ima granicu, pa stoga konvergira, onda je nužno obdaren takvim svojstvom. A suprotno ne mora biti istina. Ovo je dokazano teoremom o ograničenosti za konvergentni niz.

Primena ovakvih zapažanja u praksi pokazuje se kao veoma korisna. Dajemo konkretan primjer ispitivanjem svojstava niza X n = n/n+1 i dokažemo njegovu konvergenciju. Lako je pokazati da je monotona, jer je (x n +1 - x n) pozitivan broj za bilo koju vrijednost n. Granica niza je jednaka broju 1, što znači da su svi uslovi gornje teoreme, koja se naziva i Weierstrassova teorema, zadovoljeni. Teorema o ograničenosti konvergentnog niza kaže da ako ima ograničenje, onda se u svakom slučaju ispostavlja da je ograničen. Međutim, uzmimo sljedeći primjer. Brojevni niz X n = (-1) n je odozdo ograničen sa -1, a odozgo sa 1. Ali ovaj niz nije monoton, nema ograničenja i stoga ne konvergira. To jest, postojanje ograničenja i konvergencije ne proizilaze uvijek iz ograničenja. Da bi ovo funkcioniralo, donja i gornja granica moraju se podudarati, kao u slučaju Fibonacci omjera.

Brojevi i zakoni univerzuma

Najjednostavnije varijante konvergentnog i divergentnog niza su, možda, numerički nizovi X n = n i X n = 1/n. Prvi od njih je prirodan niz brojeva. Ona je, kao što je već pomenuto, beskonačno velika. Drugi konvergentni niz je ograničen, a njegovi članovi su po veličini blizu beskonačno male. Svaka od ovih formula personificira jednu od strana višeznačnog Univerzuma, pomažući osobi da zamisli i izračuna nešto nepoznato, nedostupno ograničenoj percepciji na jeziku brojeva i znakova.

Zakoni univerzuma, koji se kreću od zanemarljivih do neverovatno velikih, takođe su izraženi zlatnim presekom od 0,618. Naučnici vjeruju da je on osnova suštine stvari i da ga priroda koristi za formiranje njegovih dijelova. Relacije između sledećeg i prethodnog člana Fibonačijevog niza, koje smo već spomenuli, ne upotpunjuju demonstraciju neverovatnih svojstava ovog jedinstvenog niza. Ako uzmemo u obzir količnik dijeljenja prethodnog člana sljedećim kroz jedan, onda ćemo dobiti niz od 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 i tako dalje. Zanimljivo je da ovaj ograničeni niz konvergira, nije monoton, ali je omjer susjednih brojeva ekstrema od određenog člana uvijek približno jednak 0,382, što se može koristiti i u arhitekturi, tehničkoj analizi i drugim industrijama.

Postoje i drugi zanimljivi koeficijenti Fibonačijevog niza, svi oni igraju posebnu ulogu u prirodi, a koristi ih i čovjek u praktične svrhe. Matematičari su sigurni da se Univerzum razvija prema određenoj „zlatnoj spirali“ formiranoj od navedenih koeficijenata. Uz njihovu pomoć moguće je izračunati mnoge pojave koje se dešavaju na Zemlji iu svemiru, od porasta broja određenih bakterija do kretanja udaljenih kometa. Kako se ispostavilo, DNK kod poštuje slične zakone.

Smanjenje geometrijske progresije

Postoji teorema koja potvrđuje jedinstvenost granice konvergentnog niza. To znači da ne može imati dvije ili više granica, što je nesumnjivo važno za pronalaženje njegovih matematičkih karakteristika.

Hajde da razmotrimo neke slučajeve. Bilo koji numerički niz sastavljen od članova aritmetičke progresije je divergentan, osim u slučaju sa nultim korakom. Isto važi i za geometrijsku progresiju čiji je nazivnik veći od 1. Granice takvih numeričkih nizova su „plus” ili „minus” beskonačnosti. Ako je nazivnik manji od -1, onda uopće nema ograničenja. Moguće su i druge opcije.

Razmotrimo niz brojeva dat formulom X n = (1/4) n -1 . Na prvi pogled je lako uočiti da je ovaj konvergentni niz ograničen jer je striktno opadajući i ni na koji način ne može uzeti negativne vrijednosti.

Napišimo neki broj njegovih članova u nizu.

Dobiti: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0,00390625 i tako dalje. Dovoljna su prilično jednostavna izračunavanja da se shvati koliko je brza data geometrijska progresija sa nazivnicima 0

Fundamentalni nizovi

Augustin Louis Cauchy, francuski naučnik, otkrio je svijetu mnoga djela vezana za matematičku analizu. On je dao definicije pojmovima kao što su diferencijal, integral, granica i kontinuitet. Proučavao je i osnovna svojstva konvergentnih nizova. Da bi se razumjela suština njegovih ideja, potrebno je sumirati neke važne detalje.

Na samom početku članka pokazano je da postoje takvi nizovi za koje postoji susjedstvo u kojem se tačke koje predstavljaju članove određenog niza na realnoj pravoj počinju skupljati, poređajući se sve gušće. U isto vrijeme, udaljenost između njih se smanjuje kako se broj sljedećeg predstavnika povećava, pretvarajući se u beskonačno mali. Tako se ispostavlja da je u datoj okolini grupiran beskonačan broj predstavnika datog niza, dok ih van nje postoji konačan broj. Takvi nizovi se nazivaju fundamentalnim.

Čuveni Cauchyjev kriterij, koji je kreirao francuski matematičar, jasno ukazuje da je prisustvo takvog svojstva dovoljno da dokaže da niz konvergira. I obrnuto je istina.

Treba napomenuti da je ovaj zaključak francuskog matematičara uglavnom od čisto teorijskog interesa. Smatra se da je njegova primjena u praksi prilično komplikovana stvar, stoga je, da bi se razjasnila konvergencija redova, mnogo važnije dokazati postojanje konačne granice za niz. U suprotnom, smatra se divergentnim.

Prilikom rješavanja problema treba uzeti u obzir i osnovna svojstva konvergentnih nizova. Oni su predstavljeni u nastavku.

Beskonačne sume

Takvi poznati antički naučnici kao što su Arhimed, Euklid, Eudoks koristili su zbir beskonačnih nizova brojeva da izračunaju dužine krivih, zapremine tela i površine figura. Konkretno, na ovaj način je bilo moguće saznati površinu paraboličnog segmenta. Za to je korišten zbir numeričke serije geometrijske progresije sa q=1/4. Na sličan način su pronađene zapremine i površine drugih proizvoljnih figura. Ova opcija je nazvana metodom "iscrpljenja". Ideja je bila da se proučavano tijelo, složenog oblika, razbije na dijelove, koji su figure s lako mjerljivim parametrima. Iz tog razloga nije bilo teško izračunati njihove površine i zapremine, a zatim su se sabirali.

Inače, slični zadaci su vrlo poznati modernim školarcima i nalaze se u USE zadacima. Jedinstvena metoda, koju su pronašli daleki preci, daleko je najjednostavnije rješenje. Čak i ako postoje samo dva ili tri dijela na koje je brojčana figura podijeljena, zbrajanje njihovih površina je i dalje zbir brojevnog niza.

Mnogo kasnije od starogrčkih naučnika Leibniza i Newtona, na osnovu iskustva svojih mudrih prethodnika, naučili su zakone integralnog proračuna. Poznavanje svojstava nizova pomoglo im je u rješavanju diferencijalnih i algebarskih jednadžbi. Trenutno, teorija serija, stvorena naporima mnogih generacija talentovanih naučnika, daje priliku da se riješi ogroman broj matematičkih i praktičnih problema. A proučavanje numeričkih nizova glavni je problem riješen matematičkom analizom od njenog nastanka.

Niz je jedan od osnovnih pojmova matematike. Niz može biti sastavljen od brojeva, tačaka, funkcija, vektora i tako dalje. Niz se smatra datim ako je specificiran zakon prema kojem je svaki prirodni broj n pridružen elementu x n nekog skupa. Niz se piše kao x 1 , x 2 , …, x n , ili kratko (x n). Elementi x 1 , x 2 , ..., x n se nazivaju članovima niza, x 1 - prvi, x 2 - drugi, x n - zajednički (n-ti) član niza.

Najčešće se razmatraju numerički nizovi, odnosno nizovi čiji su članovi brojevi. Analitička metoda je najjednostavniji način za specificiranje numeričkog niza. Ovo se radi pomoću formule koja izražava n-ti član niza x 1 u smislu njegovog broja n. Na primjer, ako

Drugi način je rekurentan (od latinske riječi recidivi- “povratak”), kada je postavljeno prvih nekoliko članova niza i pravila, što omogućava da se svaki sljedeći član izračuna kroz prethodne. Na primjer:

Primjeri brojčanih nizova su aritmetička progresija i geometrijska progresija.

Zanimljivo je pratiti ponašanje članova niza kako broj n raste bez ograničenja (činjenica da n raste beskonačno se zapisuje kao n → ∞ i glasi: „n teži beskonačnosti“).

Razmotrimo niz sa zajedničkim pojmom x n = 1/n: x 1 = 1, x 2 = 1/2; x 3 = 1/3, ..., x 100 \u003d 1/100, .... Svi članovi ovog niza nisu nula, ali što je n veće, to se manje x n razlikuje od nule. Članovi ovog niza teže nuli kako se n neograničeno povećava. Za broj nula se kaže da je granica ovog niza.

Drugi primjer: x n = (−1) n / n - definira niz

Članovi ovog niza također teže nuli, ali su ili veći od nule ili manji od nule - njihova granica.

Razmotrimo još jedan primjer: x n = (n − 1)/(n + 1). Ako predstavimo x n u obliku

tada postaje jasno da ovaj niz teži jedinstvu.

Definirajmo granicu niza. Broj a se naziva granicom niza (x n) ako se za bilo koji pozitivan broj ε može odrediti broj N takav da je, za sve n > N, nejednakost |x n − a|< ε.

Ako je a granica niza (x n), onda napišite x n → a, ili a = lim n→∞ x n (lim su prva tri slova latinske riječi limes- "ograničenje").

Ova definicija će postati jasnija ako joj damo geometrijsko značenje. Broj a stavljamo u interval (a − ε, a + ε) (vidi sliku). Broj a je granica niza (x n) ako, bez obzira na malenost intervala (a − ε, a + ε), svi članovi niza s brojevima većim od nekog N leže u tom intervalu. Drugim riječima, izvan bilo kojeg intervala (a − ε, a + ε) može postojati samo konačan broj članova niza.

Za razmatrani niz x n = (−1) n /n, ε-susedstvo nulte tačke na ε = 1/10 uključuje sve članove niza, osim prvih deset, a za ε = 1/100, svi članovi niza, osim prve stotine.

Niz koji ima granicu naziva se konvergentan, a niz koji nema granicu naziva se divergentan. Evo primjera divergentnog niza: x n = (−1) n . Njegovi uslovi su naizmjenično +1 i −1 i ne teže nikakvim granicama.

Ako niz konvergira, onda je on ograničen, tj. postoje brojevi c i d takvi da svi članovi niza zadovoljavaju uvjet c ≤ x n ≤ d. Iz toga slijedi da su svi neograničeni nizovi divergentni. Ovo su sekvence:

Za niz koji teži nuli kaže se da je beskonačno mali. Koncept infinitezimalnog može se koristiti kao osnova za opću definiciju granice niza, budući da je granica niza (x n) jednaka a ako i samo ako se x n može predstaviti kao zbir x n = a + α n , gdje je α n infinitezimalno.

Razmatrani nizovi (1/n), ((−1) n /n) su beskonačno mali. Niz (n − 1)/(n + 1), kao što slijedi iz (2), razlikuje se od 1 za infinitezimalno 2/(n + 1), i stoga je granica ovog niza 1.

Od velikog značaja u matematičkoj analizi je i koncept beskonačno velikog niza. Niz (x n) se naziva beskonačno velikim ako je niz (1/x n) beskonačno mali. Beskonačno veliki niz (x n) piše se kao x n → ∞, ili lim n→∞ x n = ∞, i kaže se da "ide u beskonačnost". Evo primjera beskonačno velikih sekvenci:

(n 2), (2 n), (√(n + 1)), (n - n 2).

Naglašavamo da beskonačno veliki niz nema ograničenja.

Razmotrimo nizove (x n) i (y n). Možete definirati nizove sa uobičajenim pojmovima x n + y n , x n − y n , x n y n i (ako je y n ≠ 0) x n /y n . Tačna je sljedeća teorema, koja se često naziva teoremom o aritmetičkim operacijama s ograničenjima: ako se nizovi (x n) i (y n) konvergiraju, tada nizovi (x n + y n), (x n − y n), (x n y n), ( x n /y n) također konvergiraju i vrijede sljedeće jednakosti:

U potonjem slučaju potrebno je dodatno zahtijevati da svi članovi niza (y n) budu različiti od nule, kao i da je zadovoljen uslov lim n→∞ y n ≠ 0.

Primjenom ove teoreme mogu se pronaći mnoga ograničenja. Pronađite, na primjer, granicu niza sa zajedničkim pojmom

Predstavljanje x n u obliku

utvrditi da granica brojnika i nazivnika postoji:

pa dobijamo:

lim n→∞ x n = 2/1 =2.

Važna klasa sekvenci su monotone sekvence. Takozvani nizovi rastući (x n+1 > x n za bilo koje n), opadajući (x n+1< x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

Zamislite da se niz (x n) ne smanjuje, tj. nejednačine

x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ … ≤ x n ≤ x n+1 ≤ …,

i neka je, pored toga, ovaj niz ograničen odozgo, tj. svi x n ne prelaze neki broj d. Svaki član takvog niza je veći ili jednak prethodnom, ali nijedan od njih ne prelazi d. Sasvim je očigledno da ovaj niz teži nekom broju koji je ili manji od d ili jednak d. U toku matematičke analize dokazana je teorema da niz koji nije opadajući i omeđen odozgo ima granicu (slična tvrdnja je tačna i za nerastuću i odozdo ograničenu sekvencu). Ova izuzetna teorema daje dovoljne uslove za postojanje granice. Iz toga, na primjer, slijedi da niz površina pravilnih n-uglova upisanih u krug jediničnog polumjera ima ograničenje, budući da je monotono rastući i ograničen odozgo. Granica ovog niza je označena sa π.

Koristeći granicu monotonog ograničenog niza, određen je broj e, koji igra veliku ulogu u matematičkoj analizi - baza prirodnih logaritama:

e = lim n→∞ (1 + 1/n) n .

Niz (1), kao što je već napomenuto, je monoton i, štaviše, ograničen odozgo. Ona ima granicu. Lako možemo pronaći ovu granicu. Ako je jednako a, tada broj a mora zadovoljiti jednakost a = √(2 + a). Rješavajući ovu jednačinu, dobijamo a = 2.