koordinatna linija. Tačke na koordinatnoj liniji. Kako nacrtati koordinatnu liniju Kako nacrtati koordinatnu liniju

Dakle, jedinični segment i njegovi deseti, stoti i tako dalje dijelovi omogućavaju nam da dođemo do tačaka koordinatne linije, koje će odgovarati konačnim decimalnim razlomcima (kao u prethodnom primjeru). Međutim, postoje tačke na koordinatnoj liniji koje ne možemo pogoditi, ali kojima se možemo približiti proizvoljno blizu, koristeći sve manje i manje do beskonačno malog dijela jediničnog segmenta. Ove tačke odgovaraju beskonačnim periodičnim i neperiodskim decimalnim razlomcima. Navedimo neke primjere. Jedna od ovih tačaka na koordinatnoj liniji odgovara broju 3.711711711…=3,(711) . Da biste pristupili ovoj tački, morate izdvojiti 3 segmenta jedinice, 7 njegovih desetina, 1 stotinka, 1 hiljadu, 7 desethiljaditih, 1 stohiljaditi, 1 milioniti dio segmenta jedinice, itd. I još jedna tačka koordinatne linije odgovara pi (π=3,141592...).

Budući da su elementi skupa realnih brojeva svi brojevi koji se mogu zapisati u obliku konačnih i beskonačnih decimalnih razlomaka, onda nam sve gore navedene informacije u ovom paragrafu omogućavaju da tvrdimo da smo svakoj tački dodijelili određeni realni broj koordinatnu liniju, dok je jasno da različite tačke odgovaraju različitim realnim brojevima.

Takođe je sasvim očigledno da je ova korespondencija jedan na jedan. Odnosno, datu tačku na koordinatnoj liniji možemo pridružiti realnom broju, ali također možemo koristiti dati realni broj da označimo određenu tačku na koordinatnoj liniji kojoj ovaj realni broj odgovara. Da bismo to uradili, moraćemo da odložimo određeni broj jediničnih segmenata, kao i desetine, stotinke i tako dalje, jednog segmenta od početka u pravom smeru. Na primjer, broj 703.405 odgovara tački na koordinatnoj liniji, do koje se može doći od početka ako se odvoje 703 segmenta jedinice u pozitivnom smjeru, 4 segmenta koji čine desetinu jedinice i 5 segmenata koji čine hiljaditi deo jedinice.

Dakle, svaka tačka na koordinatnoj liniji odgovara realnom broju, a svaki realan broj ima svoje mjesto u obliku tačke na koordinatnoj liniji. Zato se koordinatna linija često naziva brojevnu liniju.

Koordinate tačaka na koordinatnoj liniji

Poziva se broj koji odgovara tački na koordinatnoj liniji koordinata ove tačke.

U prethodnom pasusu smo rekli da svaki realni broj odgovara jednoj tački na koordinatnoj liniji, dakle, koordinata tačke jednoznačno određuje položaj ove tačke na koordinatnoj liniji. Drugim riječima, koordinata tačke jedinstveno definira ovu tačku na koordinatnoj liniji. S druge strane, svaka tačka na koordinatnoj liniji odgovara jednom realnom broju - koordinati ove tačke.

Ostaje reći samo o prihvaćenoj notaciji. Koordinata tačke je upisana u zagradi desno od slova koje označava tačku. Na primjer, ako tačka M ima koordinatu -6, tada možete napisati M(-6) , a notacija forme znači da tačka M na koordinatnoj liniji ima koordinate.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: udžbenik za 5 ćelija. obrazovne institucije.
• Vilenkin N.Ya. itd. Matematika. 6. razred: udžbenik za obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne institucije.

Nemoguće je tvrditi da znate matematiku ako ne znate crtati grafove, crtati nejednakosti na koordinatnoj liniji i raditi sa koordinatnim osa. Vizuelna komponenta u nauci je od vitalnog značaja, jer bez vizuelnih primera u formulama i proračunima, ponekad možete biti veoma zbunjeni. U ovom članku ćemo vidjeti kako raditi s koordinatnim osama i naučiti kako napraviti najjednostavnije grafove funkcija.

Aplikacija

Koordinatna linija je osnova najjednostavnijih tipova grafova sa kojima se učenik susreće na svom obrazovnom putu. Koristi se u gotovo svim matematičkim temama: pri izračunavanju brzine i vremena, projektovanju veličine objekata i izračunavanju njihove površine, u trigonometriji kada se radi sa sinusima i kosinusima.

Glavna vrijednost takve direktne linije je vidljivost. Budući da je matematika nauka koja zahtijeva visok nivo apstraktnog razmišljanja, grafovi pomažu u predstavljanju objekta u stvarnom svijetu. Kako se ponaša? U kojoj tački u prostoru će biti za nekoliko sekundi, minuta, sati? Šta se o njemu može reći u poređenju sa drugim objektima? Kolika je njegova brzina u nasumično odabranom vremenu? Kako okarakterisati njegovo kretanje?

A mi govorimo o brzini s razlogom - često je prikazuju grafovi funkcija. Takođe mogu prikazati promjene temperature ili pritiska unutar objekta, njegovu veličinu, orijentaciju u odnosu na horizont. Stoga je konstruisanje koordinatne linije često potrebno i u fizici.

1D Graph

Postoji koncept višedimenzionalnosti. Dovoljan je samo jedan broj da odredite lokaciju tačke. Upravo je to slučaj sa upotrebom koordinatnog pravca. Ako je prostor dvodimenzionalan, tada su potrebna dva broja. Grafikoni ove vrste se koriste mnogo češće, a svakako ćemo ih razmotriti malo dalje u članku.

Šta se može vidjeti uz pomoć tačaka na osi, ako je samo jedna? Možete vidjeti veličinu objekta, njegovu poziciju u prostoru u odnosu na neku "nulu", odnosno tačku odabranu kao ishodište.

Neće biti moguće vidjeti promjenu parametara tokom vremena, jer će sva očitanja biti prikazana za jedan određeni trenutak. Međutim, od nečega morate početi! Pa počnimo.

Kako izgraditi koordinatnu osu

Prvo morate nacrtati vodoravnu liniju - to će biti naša os. Na desnoj strani ga "naoštrite" tako da izgleda kao strelica. Dakle, ukazujemo na smjer u kojem će se brojevi povećati. U smjeru prema dolje, strelica se obično ne postavlja. Tradicionalno, os je usmjerena udesno, tako da ćemo jednostavno slijediti ovo pravilo.

Stavimo nultu oznaku, koja će prikazati ishodište koordinata. Ovo je upravo mjesto s kojeg se vodi odbrojavanje, bilo da se radi o veličini, težini, brzini ili bilo čemu drugom. Osim nule, obavezno moramo odrediti i tzv. cijenu podjele, odnosno uvesti jedinični standard, u skladu s kojim ćemo na osi iscrtati određene količine. Ovo se mora učiniti kako bi se mogla pronaći dužina segmenta na koordinatnoj liniji.

Kroz jednaku udaljenost jedna od druge, stavljamo tačke ili "zareze" na liniju, a ispod njih pišemo 1,2,3, i tako dalje. A sada, sve je spremno. Ali s rezultirajućim rasporedom, još uvijek morate naučiti kako raditi.

Vrste tačaka na koordinatnoj liniji

Na prvi pogled na crteže predložene u udžbenicima, postaje jasno: tačke na osi mogu biti popunjene ili ne popunjene. Mislite li da je to slučajnost? Ne sve! Za ne-strogu nejednakost koristi se "puna" tačka - ona koja glasi "veće ili jednako". Ako trebamo striktno ograničiti interval (na primjer, "x" može uzeti vrijednosti od nule do jedan, ali ga ne uključuje), koristit ćemo "šuplju" točku, odnosno, u stvari, mali krug na osi. Treba napomenuti da učenici baš i ne vole stroge nejednakosti, jer je s njima teže raditi.

U zavisnosti od toga koje tačke koristite na grafikonu, konstruisani intervali će takođe biti imenovani. Ako nejednakost na obje strane nije stroga, onda se dobija segment. Ako se s jedne strane ispostavi da je "otvoreno", onda će se to nazvati poluintervalom. Konačno, ako je dio prave omeđen s obje strane šupljim tačkama, to će se zvati intervalom.

Avion

Prilikom konstruiranja dvije linije na već možemo razmotriti grafove funkcija. Recimo da je horizontalna linija vremenska os, a vertikalna linija je udaljenost. A sada smo u mogućnosti da odredimo koju će udaljenost objekt preći za minut ili sat putovanja. Dakle, rad s ravninom omogućava praćenje promjene stanja objekta. Ovo je mnogo zanimljivije od istraživanja statičkog stanja.

Najjednostavniji graf na takvoj ravni je prava linija; on odražava funkciju Y(X) = aX + b. Da li se linija savija? To znači da predmet mijenja svoje karakteristike u procesu istraživanja.

Zamislite da stojite na krovu zgrade držeći kamen u ispruženoj ruci. Kada ga pustite, poletjet će dolje, počevši od nulte brzine. Ali u sekundi će savladati 36 kilometara na sat. Kamen će nastaviti da ubrzava dalje, a da biste nacrtali njegovo kretanje na grafikonu, moraćete da izmerite njegovu brzinu u nekoliko tačaka vremena postavljanjem tačaka na osi na odgovarajuća mesta.

Oznake na horizontalnoj koordinatnoj liniji podrazumevano se nazivaju X1, X2,X3, a na vertikalnoj - Y1, Y2,Y3, respektivno. Projicirajući ih na ravan i pronalazeći sjecišta, nalazimo fragmente rezultirajućeg uzorka. Povezujući ih jednom linijom, dobijamo graf funkcije. U slučaju padajućeg kamena, kvadratna funkcija će izgledati ovako: Y(X) = aX * X + bX + c.

Scale

Naravno, nije potrebno postavljati cjelobrojne vrijednosti pored podjela ravnom linijom. Ako razmišljate o kretanju puža koji puže brzinom od 0,03 metara u minuti, postavite kao vrijednosti na koordinatnoj pravoj liniji. U ovom slučaju, postavite vrijednost podjele na 0,01 metar.

Posebno je zgodno izvoditi takve crteže u bilježnici u kavezu - ovdje možete odmah vidjeti da li na listu ima dovoljno mjesta za vaš raspored, da li ćete ići dalje od margina. Nije teško izračunati svoju snagu, jer je širina ćelije u takvoj bilježnici 0,5 centimetara. Trebalo je - smanjila sliku. Promjenom skale grafikona neće izgubiti niti promijeniti svoja svojstva.

Koordinate tačke i linije

Kada se matematički zadatak daje u lekciji, on može sadržavati parametre različitih geometrijskih oblika, kako u obliku dužina stranica, perimetra, površine, tako i u obliku koordinata. U ovom slučaju, možda ćete morati i izgraditi oblik i dobiti neke podatke povezane s njim. Postavlja se pitanje: kako pronaći tražene informacije na koordinatnoj liniji? A kako izgraditi figuru?

Na primjer, govorimo o jednoj tački. Tada će se u uslovu zadatka pojaviti veliko slovo, a u zagradama će se pojaviti nekoliko brojeva, najčešće dva (to znači da ćemo računati u dvodimenzionalnom prostoru). Ako postoje tri broja u zagradama, odvojena tačkom zarezom ili zarezom, onda je ovo trodimenzionalni prostor. Svaka od vrijednosti je koordinata na odgovarajućoj osi: prvo duž horizontale (X), zatim duž vertikale (Y).

Sjećate li se kako nacrtati segment? Položio si ga iz geometrije. Ako postoje dvije tačke, onda se između njih može povući linija. Njihove koordinate su naznačene u zagradama ako se segment pojavljuje u problemu. Na primjer: A(15, 13) - B(1, 4). Da biste izgradili takvu liniju, morate pronaći i označiti tačke na koordinatnoj ravni, a zatim ih povezati. To je sve!

A bilo koji poligon, kao što znate, može se nacrtati pomoću segmenata. Problem riješen.

Izračuni

Pretpostavimo da postoji neki objekat čiji položaj duž ose X karakterišu dva broja: počinje u tački sa koordinatom (-3) i završava na (+2). Ako želimo znati dužinu ovog objekta, onda moramo oduzeti manji broj od većeg broja. Imajte na umu da negativan broj apsorbira predznak oduzimanja, jer je "minus puta minus jednak plusu". Dakle, saberemo (2+3) i dobijemo 5. Ovo je željeni rezultat.

Drugi primjer: data nam je krajnja tačka i dužina objekta, ali ne i početna tačka (i trebamo je pronaći). Neka je pozicija poznate tačke (6), a veličina objekta koji se proučava (4). Oduzimanjem dužine od konačne koordinate, dobijamo odgovor. Ukupno: (6 - 4) = 2.

Negativni brojevi

Često je u praksi potrebno raditi sa negativnim vrijednostima. U ovom slučaju ćemo se kretati duž koordinatne ose ulijevo. Na primjer, predmet visok 3 centimetra pluta u vodi. Jedna trećina je uronjena u tečnost, dve trećine u vazduh. Zatim, birajući površinu vode kao os, dobijamo dva broja koristeći najjednostavnije aritmetičke proračune: gornja tačka objekta ima koordinate (+2), a donja - (-1) centimetar.

Lako je vidjeti da u slučaju ravnine imamo četiri četvrtine koordinatne linije. Svaki od njih ima svoj broj. U prvom (gornjem desnom) dijelu nalazit će se točke koje imaju dvije pozitivne koordinate, u drugom - u gornjem lijevom kutu - vrijednosti osi X bit će negativne, a duž ose Y - pozitivne. Treći i četvrti se broje dalje u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Važna nekretnina

Znate da se prava može predstaviti kao beskonačan broj tačaka. Možemo pažljivo promatrati koliko god želimo bilo koji broj vrijednosti u svakom smjeru ose, ali nećemo sresti one koje se ponavljaju. Čini se naivno i razumljivo, ali ta izjava proizlazi iz važne činjenice: svaki broj odgovara jednoj i samo jednoj tački na koordinatnoj liniji.

Zaključak

Zapamtite da sve osi, figure i, ako je moguće, grafike moraju biti izgrađene na ravnalu. Jedinice mjere nije čovjek izmislio slučajno - ako pogriješite prilikom crtanja, rizikujete da vidite drugačiju sliku koja je trebala biti dobijena.

Budite pažljivi i tačni u crtanju grafikona i proračuna. Kao i svaka nauka koja se izučava u školi, matematika voli tačnost. Uložite malo truda i dobre ocjene neće dugo trajati.

Tema lekcije:

« Koordinate na pravoj liniji»

Svrha lekcije:

upoznati učenike sa koordinatnom pravom i negativnim brojevima.

Ciljevi lekcije:

Obuka: upoznati učenike sa koordinatnom pravom i negativnim brojevima.

Razvijanje: razvoj logičkog mišljenja, širenje vidika.

Obrazovni: razvoj kognitivnog interesovanja, obrazovanje informatičke kulture.

Plan lekcije:

Organizacioni momenat. Provjera učenika i njihove spremnosti za nastavu.

Ažuriranje osnovnih znanja. Usmena anketa učenika o obrađenoj temi.

Objašnjenje novog materijala.

4. Konsolidacija proučenog materijala.

5. Rezimirajući. Sažetak onoga što je naučeno na lekciji. Pitanja studenata.

6. Zaključci. Sumiranje glavnih tačaka lekcije. Procjena znanja. Postavljanje oznaka.

7. Zadaća. Samostalan rad učenicima sa nastavnim materijalom.

Oprema: kreda, tabla, tobogani.

Prošireni okvirni plan

Scensko ime i sadržaj

Aktivnost

Aktivnost

studenti

I stage

Organizacioni momenat. Pozdrav.

Popunjavanje dnevnika.

pozdravlja razred, starešina razreda daje spisak odsutnih.

pozdravi se

nastavnik

II faza

Ažuriranje osnovnih znanja.

Drevni grčki naučnik Pitagora je rekao: "Brojevi vladaju svijetom." Živimo u ovom svijetu brojeva, a u školskim godinama učimo da radimo s različitim brojevima.

1 Koje brojeve već znamo za današnju lekciju?

2 Koje probleme nam ovi brojevi pomažu da riješimo?

Danas prelazimo na proučavanje drugog poglavlja našeg udžbenika "Racionalni brojevi", gdje ćemo proširiti svoja znanja o brojevima, a nakon proučavanja cijelog poglavlja "Racionalni brojevi" naučit ćemo kako izvoditi sve radnje koje znate s njima i počnite s koordinatnom linijom teme.

1. prirodni, obični razlomci, decimalni razlomci

2.sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, pronalaženje razlomka iz broja i broja iz njegovog razlomka, rješavanje raznih jednadžbi i zadataka

Faza III

Objašnjenje novog materijala.

Uzmimo pravu AB i podijelimo je sa tačkom O na dva dodatna zraka - OA i OB. Odabiremo jedan segment na pravoj liniji i uzimamo tačku O kao ishodište i smjer.

definicije:

Prava linija sa odabranom referentnom točkom, jediničnim segmentom i smjerom naziva se koordinatna linija.

Broj koji pokazuje položaj tačke na pravoj liniji naziva se koordinata ove tačke.

Kako konstruisati koordinatnu liniju?

nacrtati direktnu

postaviti jedan segment

naznačiti pravac

Koordinatna linija se može nacrtati na različite načine: horizontalno, vertikalno i pod bilo kojim drugim uglom u odnosu na horizont, i ima početak, ali nema kraj.

Vježba 1. Koji od sljedećih linija nisu koordinatni? (slajd)

Nacrtajmo koordinatnu liniju, označimo ishodište koordinata, jedinični segment i ostavimo tačke 1,2,3,4 i tako dalje lijevo i desno.

Pogledajmo rezultirajuću koordinatnu liniju. Zašto je tako ravna linija nezgodna?

Smjer udesno od početka naziva se pozitivnim, a smjer na pravoj liniji označen je strelicom. Brojevi koji se nalaze desno od tačke O nazivaju se pozitivni. Negativni brojevi se nalaze lijevo od tačke O, a smjer lijevo od tačke O naziva se negativnim (negativan smjer nije naznačen). Ako se koordinatna linija nalazi okomito, onda iznad iz ishodišta - pozitivni brojevi, ispod od početka - negativni. Negativni brojevi se pišu sa znakom "-". Čitaju: „minus jedan“, „minus dva“, „minus tri“ itd. Broj 0 - ishodište nije ni pozitivno ni negativno. Odvaja pozitivne od negativnih brojeva.

Rješenje jednačina i koncepta "duga" u trgovačkim kalkulacijama doveli su do pojave negativnih brojeva.

Negativni brojevi pojavili su se mnogo kasnije od prirodnih brojeva i običnih razlomaka. Prve informacije o negativnim brojevima nalaze se među kineskim matematičarima u 2. veku pre nove ere. BC e. Pozitivni brojevi su tada tumačeni kao imovina, a negativni kao dug, nestašica. U Evropi je priznanje došlo hiljadu godina kasnije, a čak i tada su se dugo negativni brojevi nazivali „lažnim“, „imaginarnim“ ili „apsurdnim“. U 17. veku negativni brojevi su dobili vizuelni geometrijski prikaz na brojevnoj pravoj.

Možete dati i primjere koordinatne linije: termometar, poređenje planinskih vrhova i depresija (nivo mora se uzima kao nula), udaljenost na karti, šaht lifta, kuće, dizalice.

Razmisli znate li još neke primjere koordinatne linije?

Zadaci.

Zadatak2. Imenujte koordinate tačaka.

Zadatak3. Iscrtajte tačke na koordinatnoj liniji

Zadatak 4 . Nacrtajte horizontalnu liniju i na njoj označite tačku O. Označite tačke A, B, C, K na ovoj pravoj ako je poznato da:

A je 9 ćelija desno od O;

B je 6,5 ćelija lijevo od O;

C je 3½ razmaka desno od O;

K je 3 razmaka lijevo od O .

Snimljeno u baznim notama.

Slušaj, dopuni.

Dovršite zadatak u svojoj bilježnici, a zatim naglas objasnite svoje odgovore.

Nacrtajte, označite početak koordinata jednog segmenta

Takva prava linija je nezgodna jer isti broj odgovara 2 tačke na pravoj liniji.

Istorija prije naše ere i naše ere.

IV stadijum

Konsolidacija proučenog materijala.

1. Šta je koordinatna linija?

2. Kako izgraditi koordinatnu liniju?

1. Prava linija sa odabranom referentnom tačkom, jediničnim segmentom i smjerom naziva se koordinatna linija

2) nacrtati pravu liniju

označi početak odbrojavanja

postaviti jedan segment

naznačiti pravac

faza V

Rezimirajući

Šta smo danas novo naučili?

Koordinatna linija i negativni brojevi.

VI faza

Procjena znanja. Postavljanje oznaka.

Zadaća.

Smislite pitanja na obrađenu temu (znajte odgovore na njih)

koordinatna linija.

Uzmimo pravu liniju. Nazovimo to prava linija x (slika 1). Na ovoj liniji biramo referentnu tačku O, a strelicom označavamo i pozitivan smjer ove linije (slika 2). Tako ćemo desno od tačke O imati pozitivne brojeve, a lijevo negativne. Biramo skalu, odnosno veličinu segmenta prave linije, jednaku jedan. Imamo ga koordinatna linija(Sl. 3). Svaki broj odgovara određenoj jednoj tački na ovoj liniji. Štaviše, ovaj broj se naziva koordinata ove tačke. Stoga se prava naziva koordinatna linija. A referentna tačka O se zove ishodište.

Na primjer, na sl. 4 tačka B je na udaljenosti od 2 desno od početka. Tačka D je na udaljenosti 4 lijevo od početka. Prema tome, tačka B ima koordinate 2, a tačka D ima koordinatu -4. Sama tačka O, kao referentna tačka, ima koordinate 0 (nula). Obično se piše ovako: O(0), B(2), D(-4). A da ne bi stalno govorili "tačka D sa koordinatom takva i takva", kažu jednostavnije: "tačka 0, tačka 2, tačka -4". I u ovom slučaju dovoljno je označiti samu tačku njenom koordinatom (slika 5).

Poznavajući koordinate dvije tačke koordinatne linije, uvijek možemo izračunati udaljenost između njih. Recimo da imamo dvije tačke A i B sa koordinatama a odnosno b. Tada će razmak između njih biti |a - b|. Zapis |a - b| čitati kao "a minus b modulo" ili "modul razlike između brojeva a i b".

Šta je modul?

Algebarski, modul x je nenegativan broj. Označeno kao |x|. Štaviše, ako je x > 0, onda |x| = x. Ako je x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

Geometrijski, modul broja x je rastojanje između tačke i ishodišta. A ako postoje dvije tačke sa koordinatama x1 i x2, onda |x1 - x2| je rastojanje između ovih tačaka.

Modul se također zove apsolutna vrijednost.

Šta još možemo reći kada je u pitanju koordinatna linija? Svakako o brojčanim intervalima.

Vrste numeričkih intervala.

Recimo da imamo dva broja a i b. Štaviše, b > a (b je veći od a). Na koordinatnoj liniji to znači da je tačka b desno od tačke a. Zamijenimo b u našoj nejednakosti promjenljivom x. To je x > a. Tada su x svi brojevi veći od a. Na koordinatnoj liniji, to su, redom, sve tačke desno od tačke a. Ovaj dio linije je zasjenjen (slika 6). Takav skup tačaka se zove otvorena greda, a ovaj numerički interval je označen sa (a; +∞), pri čemu se znak +∞ čita kao „plus beskonačnost“. Imajte na umu da sama tačka a nije uključena u ovaj interval i označena je svjetlosnim krugom.

Razmotrimo i slučaj kada je x ≥ a. Tada su x svi brojevi veći ili jednaki a. Na koordinatnoj liniji to su sve tačke desno od a, kao i sama tačka a (na slici 7 tačka a je već označena tamnim krugom). Takav skup tačaka se zove zatvorena greda(ili samo zraka), a ovaj numerički interval je označen sa .

Koordinatna linija se također naziva koordinatna osa. Ili samo x-osa.

Na kraju prvog poglavlja rekli smo da u toku algebre ti i ja treba da naučimo da opišemo stvarne situacije rečima (verbalni model), algebarski (algebarski ili, kako matematičari često kažu, analitički model), grafički (grafički model). ili geometrijski model). Cijeli prvi dio udžbenik(poglavlja 1-5) bila je posvećena proučavanju matematičkog jezika kojim se opisuju analitički modeli.

Počevši od 6. poglavlja, proučavaćemo ne samo nove analitičke, već i grafičke (geometrijske) modele. Izgrađeni su pomoću koordinatne linije, koordinatnu ravan. Ovi pojmovi su vam pomalo poznati iz kursa matematike u 5-6 razredima.

Prava linija /, na kojoj je inicijal dot O (referentna tačka), skala (pojedinačna linijski segment, tj. segment čija se dužina smatra jednakom 1) i pozitivnim smjerom naziva se koordinatna linija ili koordinatna osa (slika 7); Termin "x-osa" se također koristi.

Svaki broj odgovara jednoj tački na pravoj. Na primjer, broj 3,5 odgovara tački M (slika 8), koja je udaljena od početka, odnosno od tačke O, na udaljenosti jednakoj 3,5 (na datoj skali), i odložena od tačke O u datom (pozitivnom) pravcu. Broj -4 odgovara tački P (vidi sliku 8), koja je udaljena od tačke O na rastojanju jednakom 4, i odložena od tačke O u negativnom smeru, tj. u suprotnom smeru od datog jedan.

Obrnuto je također istinito: svaka tačka koordinatne linije odgovara jednom broju.

Na primer, tačka K, koja je 5,4 od tačke O u pozitivnom (datom) smeru, odgovara broju 5,4, a tačka N, koja je 2,1 od tačke O u negativnom smeru, odgovara broju - 2,1 (vidi sl. 8).

Ovi brojevi se nazivaju koordinate odgovarajućih tačaka. Dakle, na sl. 8 tačka K ima koordinate 5,4; tačka P - koordinata -4; tačka M - koordinata 3.5; tačka N - koordinata -2,1; tačka O - koordinata 0 (nula). Otuda i naziv - "koordinatna linija". Slikovito rečeno, koordinatna linija je gusto naseljena kuća, stanovnici ove kuće su tačke, a koordinate tačaka su brojevi stanova u kojima žive tačke-stanovnici.

Zašto nam je potrebna koordinatna linija? Zašto karakterizirati tačku brojem, a broj tačkom? Ima li koristi od ovoga? Da tu je.
Neka su, na primjer, dvije tačke date na koordinatnoj liniji: A - sa koordinatom o i B - sa koordinatom b (obično u takvim slučajevima pišu kraće:
A(a), B(b)). Pretpostavimo da treba da pronađemo rastojanje d između tačaka A i B. Ispostavilo se da umesto da radimo geometrijska mjerenja, samo koristite gotovu formulu d \u003d (a - b) (učili ste je u 6. razredu).
Dakle, na slici 8 imamo:

U nastojanju da rezonuju sažeto, matematičari su se složili da umjesto dugačke fraze „tačka A koordinatne prave, koja ima koordinatu a“, koriste kratku frazu: „tačka a“, i, shodno tome, na crtežu tačka ispod razmatranje je označeno njegovom koordinatom. Dakle, slika 9 prikazuje koordinatnu liniju, na kojoj su označene tačke - 4; - 2,1; 0; jedan; 3.5; 5.4.

Koordinatna linija nam daje mogućnost da slobodno prelazimo sa algebarskog na geometrijski jezik i obrnuto. Neka je, na primjer, broj a manji od broja b. U algebarskom jeziku, ovo se piše kao: a< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Međutim, i algebarski i geometrijski jezici su varijante istog matematičkog jezika koji proučavamo.

Hajde da se upoznamo sa još nekoliko elemenata matematičkog jezika koji su povezani sa koordinatnom linijom.

1. Neka je tačka a označena na koordinatnoj liniji. Uzmite u obzir sve tačke koje leže na pravoj liniji desno od tačke a i označite odgovarajući deo šrafiranom koordinatnom linijom (slika 10). Ovaj skup tačaka (brojeva) naziva se otvorena zraka i označava se sa (a, +oo), pri čemu znak +oo glasi: „plus beskonačnost“; karakterizira ga nejednakost x > a (pod dz podrazumijevamo bilo koju tačku grede).

Imajte na umu: tačka a ne pripada otvorenoj gredi, ali ako ovu tačku treba pričvrstiti na otvorenu gredu, tada napišite x\u003e a ili i, prema tome, prebojite tačku b na crtežu (slika 13);

za (-oo, b) koristićemo i termin zraka.

3. Neka su tačke a i b označene na koordinatnoj liniji, i< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

Ovaj skup (brojeva) naziva se interval i označava sa (a, b).

Karakterizira ga stroga dvostruka nejednakost a< х < b (под х понимается любая точка интервала).

Imajte na umu: interval (a, b) je sjecište (zajednički dio) dvije otvorene zrake (-oo, b) i (a, + oo) - to se jasno vidi na slici 15.

Ako dodamo njegove krajeve intervalu (a, b), odnosno tačke a i b, dobićemo segment [a, b] (slika 16),

koju karakterizira nestroga dvostruka nejednakost a< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

Segment [a, b] je presjek (zajednički dio) dviju zraka (-oo, b] i i koji karakteriziraju dvostruke nejednakosti: a< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

Dakle, uveli smo pet novih pojmova matematičkog jezika: zrak, otvoreni zrak, interval, segment, poluinterval. Postoji i opšti pojam: numeričke praznine.

Sama koordinatna linija se također smatra numeričkim intervalom; za to se koristi notacija (-oo, +oo).

Matematika za 7. razred besplatno preuzimanje, planovi časova, priprema za školu online

A. V. Pogorelov, Geometrija za 7-11 razred, Udžbenik za obrazovne ustanove