Межа числової послідовності. Як довести, що послідовність сходиться? Основні властивості послідовностей, що сходяться Види послідовностей

Визначення меж послідовності та функції, властивості меж, перший та другий чудові межі, приклади.

Постійне число аназивається межею послідовності(x n), якщо для будь-якого скільки завгодно малого позитивного числа ε > 0 існує номер N, що всі значення x n, у яких n>N, задовольняють нерівності

Записують це так: або x n → a.

Нерівність (6.1) рівносильна подвійній нерівності

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, Починаючи з деякого номера n>N, лежать всередині інтервалу (a-ε , a+ε), тобто. потрапляють у будь-яку малу ε-околиця точки а.

Послідовність, що має межу, називається схожій, в іншому випадку - розходиться.

Поняття межа функції є узагальненням поняття межа послідовності, оскільки межу послідовності можна розглядати як межу функції x n = f(n) цілого аргументу n.

Нехай дана функція f(x) та нехай a - гранична точкаобласті визначення цієї функції D(f), тобто. така точка, будь-яка околиця якої містить точки множини D(f), відмінні від a. Крапка aможе належати множині D(f), а може і не належати йому.

Визначення 1.Постійне число А називається межа функції f(x) при x→ a, якщо для будь-якої послідовності (x n ) значень аргументу, що прагне до а, відповідні їм послідовності (f(x n)) мають одну і ту ж межу А.

Це визначення називають визначенням межі функції за Гейном,або “ мовою послідовностей”.

Визначення 2. Постійне число А називається межа функції f(x) при x→a, якщо, задавши довільне, як завгодно мале позитивне число ε, можна знайти таке δ >0 (що залежить від ε), що для всіх x, що лежать в ε-околиці числа а, тобто. для x, що задовольняють нерівності
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Це визначення називають визначенням межі функції по Коші,або “на мові ε - δ"

Визначення 1 та 2 рівносильні. Якщо функція f(x) при x → a має межа, рівний А, записується у вигляді

У тому випадку, якщо послідовність (f(x n)) необмежено зростає (або зменшується) за будь-якого способу наближення xдо своєї межі а, то говоритимемо, що функція f(x) має нескінченна межа,і записувати це у вигляді:

Змінна величина (тобто послідовність або функція), межа якої дорівнює нулю, називається нескінченно малою величиною.

Змінна величина, межа якої дорівнює нескінченності, називається нескінченно великою величиною.

Щоб знайти межу практично користуються наступними теоремами.

Теорема 1 . Якщо існує кожна межа

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Зауваження. Вирази виду 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ є невизначеними, наприклад, відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих величин, і знайти межу такого виду має назву “розкриття невизначеностей”.

Теорема 2.

тобто. можна переходити до межі на підставі ступеня за постійного показника, зокрема,

Теорема 3.

(6.11)

де e» 2.7 - основа натурального логарифму. Формули (6.10) і (6.11) звуться перша чудова межа і друга чудова межа.

Використовуються на практиці та наслідки формули (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

зокрема межа,

Якщо x → a і при цьому x > a, пишуть x →a + 0. Якщо, зокрема, a = 0, то замість символу 0+0 пишуть +0. Аналогічно, якщо x→a і при цьому x і називаються відповідно межа праворучі межа зліва функції f(x) у точці а. Щоб існувала межа функції f(x) при x→ a необхідно і достатньо, щоб . Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 якщо межа

(6.15)

Умову (6.15) можна переписати у вигляді:

тобто можливий граничний перехід під знаком функції, якщо вона безперервна у цій точці.

Якщо рівність (6.15) порушена, то кажуть, що при x = x o функція f(x) має розрив.Розглянемо функцію y = 1/x. Областю визначення цієї функції є безліч R, крім x = 0. Точка x = 0 є граничною точкою множини D(f), оскільки у її околиці, тобто. у будь-якому відкритому інтервалі, що містить точку 0, є точки з D(f), але вона сама не належить цій множині. Значення f(x o)= f(0) не визначено, у точці x o = 0 функція має розрив.

Функція f(x) називається безперервної праворуч у точці x o , якщо межа

і безперервної зліва в точці x o, якщо межа

Безперервність функції у точці x oрівносильна її безперервності у цій точці одночасно праворуч і ліворуч.

Для того, щоб функція була безперервною у точці x o, наприклад, справа, необхідно, по-перше, щоб існувала кінцева межа , а по-друге, щоб ця межа дорівнювала f(x o). Отже, якщо хоча б одна з цих двох умов не виконується, то функція матиме розрив.

1. Якщо межа існує і не дорівнює f(x o), то кажуть, що функція f(x) у точці x o має розрив першого роду,або стрибок.

2. Якщо межа дорівнює +∞ або -∞ або не існує, то кажуть, що в точці x o функція має розрив другого роду.

Наприклад, функція y = ctg x при x → +0 має межу, рівну +∞ , отже, у точці x=0 вона має розрив другого роду. Функція y = E(x) (ціла частина від x) у точках з цілими абсцисами має розриви першого роду, або стрибки.

Функція, безперервна в кожній точці проміжку, називається безперервнийв. Безперервна функція зображується суцільною кривою.

До другої чудової межі приводять багато завдань, пов'язані з безперервним зростанням будь-якої величини. До таких завдань, наприклад, належать: зростання вкладу згідно із законом складних відсотків, зростання населення країни, розпад радіоактивної речовини, розмноження бактерій тощо.

Розглянемо приклад Я. І. Перельмана, що дає інтерпретацію числа eу завданні про складні відсотки. Число eє межа . У ощадбанках відсоткові гроші приєднуються до основного капіталу щорічно. Якщо приєднання відбувається частіше, то капітал зростає швидше, оскільки у освіті відсотків бере участь велика сума. Візьмемо суто теоретичний, дуже спрощений приклад. Нехай у банк покладено 100 ден. од. з розрахунку 100% річних. Якщо відсоткові гроші будуть приєднані до основного капіталу лише через рік, то до цього терміну 100 ден. од. перетворяться на 200 ден.од. Подивимося тепер, на що перетворяться 100 ден. од., якщо відсоткові гроші приєднувати до основного капіталу кожні півроку. Після півріччя 100 ден. од. зростуть у 100×1,5 = 150, а ще через півроку – у 150×1,5 = 225 (ден. од.). Якщо приєднання робити кожні 1/3 року, то через рік 100 ден. од. перетворяться на 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. од.). Частішатимемо терміни приєднання відсоткових грошей до 0,1 року, до 0,01 року, до 0,001 року і т.д. Тоді зі 100 ден. од. через рік вийде:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. од.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. од.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. од.).

При безмежному скороченні термінів приєднання відсотків нарощений капітал не зростає безмежно, а наближається до певної межі, що дорівнює приблизно 271. Більш ніж у 2,71 раз капітал, покладений під 100% річних, збільшитися не може, навіть якби нарослі відсотки приєднувалися до капіталу секунду, тому що межа

Приклад 3.1. Користуючись визначенням межі числової послідовності, довести, що послідовність x n =(n-1)/n має межу, що дорівнює 1.

Рішення.Нам треба довести, що, хоч би яке ε > 0 ми взяли, йому знайдеться натуральне число N, таке, що всім n > N має місце нерівність |x n -1|< ε

Візьмемо будь-яке ε > 0. Оскільки x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для відшукання N досить вирішити нерівність 1/n<ε. Отсюда n>1/ε і, отже, за N можна прийняти цілу частину від 1/ε N = E(1/ε). Ми тим самим довели, що .

Рішення. Застосуємо теорему межу суми і знайдемо межу кожного доданка. При n → ∞ чисельник і знаменник кожного доданка прагне нескінченності, і ми можемо безпосередньо застосувати теорему межа приватного. Тому спочатку перетворимо x nрозділивши чисельник і знаменник першого доданку на n 2, а другого на n. Потім, застосовуючи теорему межу частки та межу суми, знайдемо:

Приклад 3.3. . Знайти.

Тут ми скористалися теоремою про межу ступеня: межа ступеня дорівнює ступеня від межі основи.

Приклад 3.4. Знайти ( ).

Рішення. Застосовувати теорему межу різниці не можна, оскільки маємо невизначеність виду ∞-∞. Перетворимо формулу загального члена:

Приклад 3.5. Дано функцію f(x)=2 1/x . Довести, що межі немає.

Рішення.Скористаємося визначенням 1 межі функції через послідовність. Візьмемо послідовність ( x n ), що сходить до 0, тобто. Покажемо, що величина f(x n)= для різних послідовностей поводиться по-різному. Нехай xn = 1/n. Очевидно, що тоді межа Виберемо тепер як x nпослідовність із загальним членом x n = -1/n, що також прагне до нуля. Тому межі немає.

Приклад 3.6. Довести, що межі немає.

Рішення.Нехай x 1 , x 2 ,..., x n ,... - послідовність, для якої
. Як поводиться послідовність (f(x n)) = (sin x n ) при різних x n → ∞

Якщо x n = p n то sin x n = sin (p n) = 0 при всіх nі межа Якщо ж
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 всім nі отже межа. Отже, немає.

Числові послідовності являють собою нескінченні множини чисел. Прикладами послідовностей можуть бути: послідовність всіх членів нескінченної геометричної прогресії, послідовність наближених значень ( x 1 = 1, х 2 = 1,4, х 3= 1,41, ...), послідовність периметрів правильних n-кутників, вписаних у це коло. Уточнимо поняття числової послідовності.

Визначення 1.Якщо кожному числу nз натурального ряду чисел 1, 2, 3,..., п,...поставлено у відповідність речовинне число x п,то безліч речових чисел

x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , …(2.1)

називається числової послідовністю,чи просто послідовністю. .

Числа х 1 , x 2, x 3, ..., x п,... називатимемо елементами,або членамипослідовності (2.1), символ x п - загальнимелементом, або членом послідовності, а число п -його номером.Скорочено послідовність (2.1) будемо позначати символом (х п).Наприклад, символ (1/ n) позначає послідовність чисел

Іншими словами, під послідовністю можна розуміти безліч занумерованих елементів або безліч пар чисел (п, x п),у яких перше число набуває послідовних значень 1, 2, 3, ... . Послідовність вважається заданою, якщо вказаний спосіб отримання її елемента. Наприклад, формула x п = -1 + (-1)nвизначає послідовність 0, 2, 0, 2,....

Геометрично послідовність зображується на числовій осі у вигляді послідовності точок, координати яких дорівнюють відповідним членам послідовності. На рис. 2.1 зображено послідовність ( х п} = {1/n) на числовий прямий.

Поняття послідовності, що збігається

Визначення 2.Число аназивається межею послідовності{x n} , якщо для будь-якого позитивного числа ε існує такий номер N, що за всіх п > Nвиконується нерівність

Послідовність, що має межу, називається схожою.Якщо послідовність має своєю межею число а, то це записується так:

Послідовність, яка не має межі, називається розбіжним.

Визначення 3.Послідовність, що має своєю межею число а= 0, називається нескінченно малою послідовністю.

Зауваження 1.Нехай послідовність ( х п) має своєю межею число а. Тоді послідовність (α n} = {x n - a) є нескінченно мала, тобто. будь-який елемент x ппослідовності, що збігається, має межу а, можна уявити у вигляді

де α n -елемент нескінченно малої послідовності (α n} .

Примітка 2.Нерівність (2.2) еквівалентна нерівностям (див. властивість 4 модуля числа п. 1.5)

Це означає, що при п > Nвсі елементи послідовності ( x n) знаходяться в ε-околицікрапки а(рис. 2.2), причому номер Nвизначається за величиною?

Цікаво дати геометричну інтерпретацію цього визначення. Оскільки послідовність є нескінченною кількістю чисел, то якщо вона сходиться, в будь-якій ε-околиці точки ана числовій прямій знаходиться нескінченна кількість точок - елементів цієї послідовності, тоді як поза ε-околиці залишається кінцева кількість елементів. Тому межу послідовності часто називають точкою згущення.

Примітка 3.Необмежена послідовність не має кінцевогомежі. Однак вона може мати нескінченниймежа, що записується в наступному вигляді:

Якщо при цьому, починаючи з деякого номера, всі члени послідовності позитивні (негативні), то пишуть

Якщо ( x n) - нескінченно мала послідовність, то (1 /x п} - нескінченно велика послідовність,що має нескінченну межу в значенні (2.3), і навпаки.

Наведемо приклади послідовностей, що сходяться і розходяться.

приклад 1.Показати, використовуючи визначення межі послідовності, що .

Рішення. Візьмемо будь-яке число ε > 0.

те щоб виконувалася нерівність (2.2), достатньо розв'язати нерівність 1 / ( n + 1) < ε, откуда получаем n> (1 – ε) / ε. Достатньо прийняти N= [(1 - ε)/ε] (ціла частина числа (1 - ε)/ ε)* , щоб нерівність |x п - 1| < ε выполнялосьпривсех п > N.

* Символ [ a] означає цілу частину числа а, тобто. найбільше ціле число, що не перевищує а. Наприклад, = 2, = 2, = 0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24.

приклад 2.Показати, що послідовність ( х п} = (-1)n, або -1, 1, -1, 1, ... немає межі.

Рішення. Дійсно, яке б число ми не припустили як межу: 1 або -1, при ε< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x п: усі елементи з непарними номерами дорівнюють -1, елементи з парними номерами дорівнюють 1.

Основні властивості послідовностей, що сходяться

Наведемо основні властивості послідовностей, що сходяться, які в курсі вищої математики сформульовані у вигляді теорем.

1.Якщо всі елементи нескінченно малої послідовності{х п} рівні одному й тому числу с, то с = 0.

2. Східна послідовність має лише одну межу.

3.Схожа послідовність обмежена.

4.Сума (різниця) послідовностей, що сходяться{х п} і{у п} є послідовність, що сходиться, межа якої дорівнює сумі (різниці) меж послідовностей{x п} і{y п}.

5.Твор послідовностей, що сходяться{х п} і{у п} є послідовність, що сходить, межа якої дорівнює добутку меж послідовностей{х п} і{у п} .

6.Приватне двох послідовностей, що сходяться{х п} і{у п} за умови, що межа послідовності{у п} відмінний від нуля, є послідовність, що сходиться, межа якої дорівнює приватному меж послідовностей{х п} і{y п} .

7. Якщо елементи послідовності, що сходяться{х n} задовольняють нерівності x п ≥ b (х п ≤ b) починаючи з деякого номера, то і межа цієї послідовності задовольняє нерівності а ≥ b (а ≤ b).

8.Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність чи число є нескінченно мала послідовність.

9.Добуток кінцевого числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Розглянемо застосування цих властивостей на прикладах.

Приклад 3. Знайти межу.

Рішення. При nчисельник і знаменник дробу прагнуть нескінченності, тобто. застосувати відразу теорему межі частки не можна, оскільки вона передбачає існування кінцевих меж послідовностей. Перетворимо цю послідовність, розділивши чисельник і знаменник на n 2 . Застосовуючи потім теореми про межі частки, межі суми і знову межі частки, послідовно знаходимо

приклад 4. x п) = при п.

Рішення. Тут, як і в попередньому прикладі, чисельник і знаменник немає кінцевих меж, і тому спочатку необхідно виконати відповідні перетворення. Поділивши чисельник і знаменник на n, отримуємо

Оскільки в чисельнику стоїть твір нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність, то в силу властивості 8 остаточно отримуємо

Приклад 5.Знайти межу послідовності ( х п) = при п .

Рішення. Тут застосувати безпосередньо теорему про межі суми (різниці) послідовностей не можна, оскільки немає кінцевих меж доданків у формулі для ( х п} . Помножимо і розділимо формулу для ( х n) на сполучене вираз :

Число е

Розглянемо послідовність ( х п} , загальний член якої виражається формулою

У курсі математичного аналізу доводиться, що ця послідовність монотонно зростаєта має межу. Цю межу називають числом е. Отже, за визначенням

Число еграє велику роль математиці. Далі буде розглянуто спосіб його обчислення з будь-якою необхідною точністю. Зазначимо тут, що число еє ірраціональним; його наближене значення дорівнює е = 2,7182818... .

3. Межа числової послідовності

3.1. Поняття числової послідовності та функції натурального аргументу

Визначення 3.1.Числовою послідовністю (надалі просто послідовністю) називається впорядкована лічильна множина чисел

{x1, x2, x3, ... }.

Зверніть увагу на два моменти.

1. У послідовності нескінченно багато чисел. Якщо чисел кінцеве число – це послідовність!

2. Усі числа впорядковані, тобто розташовані у порядку.

Надалі для послідовності часто використовуватимемо скорочене позначення ( xn}.

Над послідовностями можна виконувати певні операції. Розглянемо деякі з них.

1. Збільшення послідовності на число.

Послідовність c×{ xn) – це послідовність з елементами ( c× xn), тобто

c×{ x1, x2, x3, ... }={c× x1, c× x2, c× x3, ... }.

2. Додавання та віднімання послідовностей.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

або, докладніше,

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Примноження послідовностей.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. Розподіл послідовностей.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Звичайно, передбачається, що в цьому випадку все yn¹ 0.

Визначення 3.2.Послідовність ( xn) називається обмеженою зверху, якщо https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height= "Послідовність (xn) називається обмеженою, якщо вона одночасно обмежена і зверху, і знизу.

3.2. Межа послідовності. Нескінченно велика послідовність

Визначення 3.3.Число aназивається межею послідовності ( xn) при nтим, хто прагне нескінченності, якщо

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33">, якщо .

Говорять, що , якщо .

Визначення 3.4.Послідовність ( xn) називається нескінченно великий, якщо (тобто якщо ).

3.3. Нескінченно мала послідовність.

Визначення 3.5.Послідовність (xn) називається нескінченно малою, якщо , тобто якщо .

Нескінченно малі послідовності мають такі властивості.

1. Сума та різниця нескінченно малих послідовностей є також нескінченно мала послідовність.

2. Нескінченно мала послідовність обмежена.

3. Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену послідовність є нескінченно мала послідовність.

4. Якщо ( xn) – нескінченно велика послідовність, то, починаючи з деякого N, визначена послідовність (1/ xn), і вона є нескінченно мала послідовність. Навпаки, якщо ( xn) - нескінченно мала послідовність і все xnвідмінні від нуля, то (1/ xn) є нескінченно велика послідовність.

3.4. Сходові послідовності.

Визначення 3.6.Якщо існує кінцева межа width="149".

5. Якщо , то .

3.5. Граничний перехід у нерівності.

Теорема 3.1.Якщо, починаючи з деякого N, всі xn ³ b, то.

Слідство.Якщо, починаючи з деякого N, всі xn ³ yn, то .

Зауваження. Зауважте, що якщо, починаючи з деякого N, всі xn > b, тобто при граничному переході сувора нерівність може перейти в не суворе.

Теорема 3.2.(«Теорема про двох міліціонерів») Якщо, починаючи з деякого N, виконані такі властивості

1..gif" width="163" height="33 src=">,

то існує.

3.6. Межа монотонної послідовності.

Визначення 3.7.Послідовність ( xn) називається монотонно зростаючою, якщо для будь-якого n xn+1 ³ xn.

Послідовність ( xn) називається строго монотонно зростаючою, якщо для будь-якого n xn+1> xn.

xn­.

Визначення 3.8.Послідовність ( xn) називається монотонно спадаючою, якщо для будь-якого n xn+1 £ xn.

Послідовність ( xn) називається строго монотонно спадаючою, якщо для будь-якого n xn+1< xn.

Обидва ці випадки об'єднують символом xn¯.

Теорема існування межі монотонної послідовності.

1. Якщо послідовність ( xn) монотонно зростає (зменшується) і обмежена зверху (знизу), то у неї існує кінцева межа, рівна sup( xn) (inf( xn}).

2 Якщо послідовність ( xn) монотонно зростає (зменшується), але зверху (знизу) не обмежена, то у неї існує межа, що дорівнює + ¥ (- ¥).

На підставі цієї теореми доводиться, що існує так звана чудова межа

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Вона називається підпослідовністю послідовності ( xn}.

Теорема 3.3.Якщо послідовність ( xn) сходиться і її межа дорівнює a, то будь-яка її підпослідовність також сходиться і має ту саму межу.

Якщо ( xn) – нескінченно велика послідовність, то будь-яка її підпослідовність є також нескінченно більшою.

Лемма Больцано – Вейєрштрасса.

1. З будь-якої обмеженої послідовності можна витягти таку підпослідовність, яка сходить до кінцевої межі.

2. З будь-якої необмеженої послідовності можна отримати нескінченно більшу підпослідовність.

На підставі цієї леми доводиться один із основних результатів теорії меж – Ознака збіжності Больцано-Коші.

Для того, щоб у послідовності ( xn) існувала кінцева межа, необхідно і достатньо, щоб

Послідовність, що задовольняє цій властивості, називається фундаментальною послідовністю, або послідовністю, що сходить у собі.

Для багатьох людей математичний аналіз є лише набір незрозумілих цифр, значків та визначень, далеких від реального життя. Однак, світ, в якому ми існуємо, побудований на числових закономірностях, виявлення яких допомагає не просто пізнавати навколишній світ і вирішувати його складні проблеми, а й спрощувати побутові практичні завдання. Що має на увазі математик, коли каже, що числова послідовність сходиться? Про це слід поговорити докладніше.

мале?

Уявімо матрьошок, які поміщаються одна в іншій. Розміри їх, записані у вигляді цифр, починаючи з більшою і закінчуючи меншою з них, формують послідовність. Якщо уявити нескінченну кількість подібних яскравих фігурок, то ряд, що вийшов, виявиться фантастично довгим. Це числова послідовність, що збігається. І прагне вона до нуля, тому що розміри кожної наступної матрьошки, катастрофічно зменшуючись, поступово перетворюються на ніщо. Таким чином легко можна пояснити: що таке нескінченно мале.

Схожим прикладом може стати дорога, що йде в далечінь. А візуальні розміри автомобіля, що їде по ній від спостерігача, поступово скорочуючись, перетворюються на безформну плямку, що нагадує крапку. Таким чином, машина, як об'єкт, віддаляючись у невідомому напрямку, стає нескінченно маленькою. Параметри вказаного тіла ніколи не будуть нульовими в прямому значенні цього слова, але незмінно прагнуть цієї величини в кінцевій межі. Тому ця послідовність сходиться знову до нуля.

Розрахуємо все по краплях

Уявимо тепер життєву ситуацію. Хворому лікар прописав приймати мікстуру, починаючи з десяти крапель на день і додаючи по дві в кожну наступну добу. І так лікар запропонував продовжувати доти, доки не скінчиться вміст бульбашки з ліками, обсяг якого становить 190 крапель. З викладеного слід, що кількість таких, розписане днями становитиме наступний числовий ряд: 10, 12, 14 тощо.

Як з'ясувати час проходження всього курсу та кількість членів послідовності? Тут, звісно, ​​можна підраховувати краплі примітивним чином. Але набагато легше, враховуючи закономірність, скористатися формулою з кроком d = 2. І із застосуванням такого методу з'ясувати, що кількість членів числового ряду дорівнює 10. При цьому а 10 = 28. Номер члена вказує на кількість днів прийому ліків, а 28 відповідає числу крапель, які хворий має вжити в останній день. Ця послідовність сходиться? Ні, тому що, незважаючи на те, що знизу вона обмежена числом 10, а зверху - 28, такий числовий ряд не має межі, на відміну від попередніх прикладів.

У чому різниця?

Спробуємо тепер уточнити: коли числовий ряд виявляється послідовністю, що збігається. Визначення такого роду, як можна зробити висновок з вищеописаного, безпосередньо пов'язане з поняттям кінцевої межі, наявність якого і виявляє суть питання. Тож у чому важлива відмінність раніше наведених прикладів? І чому в останньому їх число 28 не може вважатися межею числового ряду X n = 10 + 2(n-1)?

Для з'ясування цього питання розглянемо іншу послідовність, задану нижчезазначеною формулою, де n належить множині натуральних чисел.

Дане співтовариство членів є набір звичайних дробів, чисельник яких 1, а знаменник постійно збільшується: 1, ½ ...

Причому кожен наступний представник цього ряду за розташуванням на числовій прямій все більше наближається до 0. А це означає, що з'являється така околиця, де крапки скучаються навколо нуля, який і є межею. І чим ближче вони до нього, тим щільнішим стає їх концентрація на числовій прямій. А відстань між ними катастрофічно скорочується, перетворюючись на нескінченно малу. Це ознака те, що послідовність сходиться.

Подібним чином різнокольорові прямокутники, зображені малюнку, при видаленні у просторі візуально розташовуються купочніше, в гіпотетичному межі перетворюючись на мізерно малі.

Нескінченно великі послідовності

Розібравши визначення послідовності, що збігається, перейдемо тепер до протилежних прикладів. Багато хто з них був відомий людині з найдавніших часів. Найпростішими варіантами послідовностей, що розходяться, є ряди натуральних і парних чисел. Вони інакше називаються нескінченно великими, оскільки члени їх, постійно збільшуючись, дедалі більше наближаються до позитивної нескінченності.

Прикладами таких можуть бути кожна з арифметичних і геометричних прогресій з кроком і знаменником відповідно більше нуля. Розбіжними послідовностями вважаються, до того ж, числові ряди, які взагалі не мають межі. Наприклад, X n = (-2) n -1.

Послідовність Фібоначчі

Практична користь зазначених раніше числових рядів для людства безсумнівна. Але існує безліч і інших чудових прикладів. Одним із них є послідовність Фібоначчі. Кожен із її членів, які починаються з одиниці, є сумою попередніх. Першими двома її представниками є 1 та 1. Третій 1+1=2, четвертий 1+2=3, п'ятий 2+3=5. Далі, згідно з цією ж логікою, йдуть числа 8, 13, 21 і так далі.

Цей ряд чисел необмежено зростає і немає кінцевої межі. Зате він має ще одну чудову властивість. Відношення кожного попереднього числа до наступного все більше наближається за своїм значенням до 0, 618. Тут можна усвідомити різницю між послідовністю, що сходить і розходиться, адже якщо скласти ряд з отриманих приватних від поділів, зазначений числовий лад буде мати кінцеву межу рівний 0,618.

Послідовність коефіцієнтів Фібоначчі

Зазначений числовий ряд широко використовується в практичних цілях для технічного аналізу ринків. Але цим не обмежуються його можливості, які знали і вміли застосовувати на практиці ще в давнину єгиптяни і греки. Це доводять побудовані ними піраміди та парфенони. Адже число 0, 618 є постійним коефіцієнтом добре відомого за старих часів золотого перерізу. Згідно з цим правилом, будь-який довільний відрізок можна поділити так, що відношення між його частинами співпадатиме зі ставленням між великим із відрізків і загальною довжиною.

Побудуємо ряд із зазначених відносин і спробуємо проаналізувати цю послідовність. Числовий ряд вийде наступним: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 і таке інше. Продовжуючи, таким чином можна переконатися, що межа послідовності, що сходить, дійсно буде 0,618. Проте, слід зазначити та інші властивості цієї закономірності. Тут цифри ніби йдуть вроздріб, а зовсім не в порядку зростання чи спадання. Це означає, що дана послідовність монотонної не є. Про те, чому це так і йтиметься далі.

Монотонність та обмеженість

Члени числового ряду зі збільшенням номера можуть чітко зменшуватися (якщо x 1 >x 2 >x 3 >…>x n >…) або зростати (якщо x 1

Розписавши числа даного ряду можна побачити, що з його членів, необмежено наближаючись до 1, будь-коли перевищить цього значення. У цьому випадку говорять про обмеженість послідовності, що збігається. Подібне буває щоразу, коли знаходиться таке позитивне число М, яке виявляється завжди більше за будь-якого з членів ряду по модулю. Якщо числовий ряд має ознаки монотонності і має межу, а отже - сходиться, то він обов'язково наділений такою властивістю. Причому зворотне необов'язково має бути вірним. Про це говорить теорема про обмеженість послідовності, що збігається.

Застосування подібних спостережень практично виявляється дуже корисним. Наведемо конкретний приклад, дослідивши властивості послідовності X n = n/n+1, і доведемо її збіжність. Те, що вона монотонна легко показати, тому що (x n +1 - x n) є число позитивне за будь-яких значень n. Межа послідовності дорівнює числу 1, а значить, дотримуються всі умови вищезгаданої теореми, званої також теорема Вейєрштрасса. Теорема про обмеженість послідовності, що сходить, стверджує, що якщо вона має межу, то в будь-якому випадку виявляється обмеженою. Однак наведемо наступний приклад. Числовий ряд X n = (-1) n є обмеженим знизу числом -1 та зверху 1. Але дана послідовність не є монотонною, не має межі і тому не сходиться. Тобто з обмеженості не завжди випливає наявність межі та збіжності. Щоб це виконувалося, необхідно збіг нижньої і верхньої межі, як у випадку коефіцієнтів Фібоначчі.

Числа та закони Всесвіту

Найпростішими варіантами послідовності, що сходить і розходиться, є, мабуть, числові ряди X n = n і X n = 1/n. Перша їх є натуральний ряд чисел. Вона ж є, як говорилося, нескінченно великий. Друга послідовність, що сходить, обмежена, а члени її за величиною наближаються до нескінченно малому. Кожна з цих формул уособлює одну зі сторін багатогранного Всесвіту, допомагаючи людині мовою цифр і знаків уявити і прорахувати щось непізнаване, недоступне для обмеженого сприйняття.

Закони світобудови, починаючи від мізерно малого і закінчуючи неймовірно великим, висловлює також золотий коефіцієнт 0,618. Вчені вважають, що він закладений основою суті речей і використовується природою на формування її елементів. Згадані вже нами раніше відносини між наступним та попереднім членами низки Фібоначчі, не завершують на цьому демонстрацію дивовижних властивостей цього унікального ряду. Якщо розглянути приватне від поділу попереднього члена наступною через один, то отримаємо ряд 0,5; 0, 33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 і так далі. Цікаво те, що ця обмежена послідовність сходиться, монотонною вона не є, але відношення крайніх від певного члена сусідніх чисел завжди приблизно виявляється рівним 0,382, що також може бути використане в архітектурі, технічному аналізі та інших галузях.

Існують і інші цікаві коефіцієнти ряду Фібоначчі, всі вони відіграють у природі особливу роль, а також застосовуються людиною в практичних цілях. Математики впевнені, що Всесвіт розвивається за якоюсь «золотою спіралі», що формується із зазначених коефіцієнтів. З їхньою допомогою можна розрахувати багато явищ, що відбуваються на Землі і в космосі, починаючи від зростання чисельності певних бактерій і закінчуючи рухом далеких комет. Подібним законам підпорядковується, як з'ясовується, код ДНК.

Зменшуюча геометрична прогресія

Існує теорема, яка стверджує єдиність межі послідовності, що збігається. Це означає, що двох і більше меж у неї існувати не може, що, безсумнівно, важливо для знаходження її математичних характеристик.

Розглянемо деякі випадки. Будь-який числовий ряд, складений із членів арифметичної прогресії, є розбіжним, крім випадку з нульовим кроком. Це стосується геометричної прогресії, знаменник якої більше 1. Межами таких числових рядів є «плюс» або «мінус» нескінченності. Якщо ж знаменник менший за -1, то жодної межі взагалі не існує. Можливі інші варіанти.

Розглянемо числовий ряд, що задається формулою X n = (1/4) n-1. З першого погляду легко зрозуміти, що ця послідовність обмежена, тому що є строго спадною і ніяким чином не здатна приймати негативні значення.

Розпишемо кілька її членів у ряд.

Вийде: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0,00390625 і таке інше. Достатньо зовсім нескладних розрахунків, щоб зрозуміти, як швидко дана геометрична прогресія зі знаменників.

Фундаментальні послідовності

Огюстен Луї Коші, французький вчений, явив світу багато робіт пов'язаних з математичним аналізом. Він дав визначення таким його поняттям, як диференціал, інтеграл, межа та безперервність. Досліджував він також основні властивості послідовностей, що сходяться. Щоб зрозуміти суть його ідей, необхідно узагальнити деякі важливі деталі.

На самому початку статті було показано, що є такі послідовності, для яких існує околиця, де точки, що зображають члени певного ряду на числовій прямій, починають нудьгувати, вишиковуватися все щільніше. При цьому відстань між ними зі збільшенням номера чергового представника все зменшується, перетворюючись на нескінченно малу. Таким чином, виявляється, що в цій околиці групується нескінченна кількість представників даного ряду, тоді як за її межами їх налічується кінцева кількість. Такі послідовності називаються фундаментальними.

Знаменитий критерій Коші, створений французьким математиком, однозначно вказує, що такої властивості достатньо, щоб довести, що послідовність сходиться. Правильне також протилежне.

Слід зазначити, що цей висновок французького математика представляє здебільшого суто теоретичний інтерес. Його застосування практично вважається досить складним справою, для з'ясування збіжності рядів набагато важливіше довести існування в послідовності кінцевого краю. В іншому випадку вона вважається розбіжною.

При вирішенні завдань слід також враховувати основні властивості послідовностей, що сходяться. Вони представлені нижче.

Нескінченні суми

Такі знамениті вчені давнини, як Архімед, Евклід, Евдокс використовували суми нескінченних числових рядів обчислення довжин кривих, обсягів тіл і площ постатей. Зокрема, саме таким чином вдалося дізнатися про площу параболічного сегменту. Для цього було використано суму числового ряду геометричної прогресії з q=1/4. Подібним способом знаходилися обсяги та площі інших довільних фігур. Цей варіант називався методом «вичерпування». Ідея полягала в тому, що досліджуване складне за формами тіло розбивалося на частини, які являли собою фігури з параметрами, що легко вимірюються. З цієї причини неважко було обчислити їхні площі та обсяги, потім вони складалися.

До речі, схожі завдання дуже знайомі сучасним школярам та зустрічаються у завданнях ЄДІ. Унікальний спосіб, знайдений ще далекими предками, є і на сьогоднішній день найпростішим варіантом рішення. Навіть якщо частин, на які розбивається числова фігура, всього дві чи три, додавання їх площ все одно є сумою числового ряду.

Набагато пізніше давньогрецьких вчених Лейбніц і Ньютон, виходячи з досвіді мудрих попередників, пізнавали закономірності інтегрального обчислення. Знання властивостей послідовностей допомагали їм вирішувати диференціальні та алгебраїчні рівняння. В даний час створена зусиллями багатьох поколінь талановитих вчених теорія рядів дає шанс вирішити величезну кількість математичних та практичних проблем. А вивчення числових послідовностей складає основне завдання, яке вирішується математичним аналізом з моменту його створення.

Послідовність – одне з основних понять математики. Послідовність може бути складена з чисел, точок, функцій, векторів тощо. Послідовність вважається заданою, якщо зазначений закон, за яким кожному натуральному числу n ставиться у відповідність елемент x n деякої множини. Послідовність записується у вигляді x 1 x 2 ... x n або коротко (x n). Елементи x 1 x 2 … x n називаються членами послідовності, x 1 - першим, x 2 - другим, x n - загальним (n-м) членом послідовності.

Найчастіше розглядають числові послідовності, т. е. послідовності, члени яких числа. Аналітичний спосіб - найпростіший спосіб завдання числової послідовності. Це роблять за допомогою формули, що виражає n член послідовності х 1 через його номер n. Наприклад, якщо

Інший спосіб – рекурентний (від латинського слова recurrens- "повертається"), коли задають кілька перших членів послідовності і правило, що дозволяє обчислювати кожен наступний член через попередні. Наприклад:

Приклади числових послідовностей - арифметична прогресія та геометрична прогресія.

Цікаво простежити поведінку членів послідовності при необмеженому зростанні номера n (те, що n необмежено зростає, записується як n → ∞ і читається: «n прагне нескінченності»).

Розглянемо послідовність із загальним членом x n = 1/n: x 1 = 1, x 2 = 1/2; x 3 = 1/3, …, x 100 = 1/100, …. Усі члени цієї послідовності відмінні від нуля, але що більше n, то менше x n відрізняється від нуля. Члени цієї послідовності при необмеженому зростанні n прагнуть нуля. Говорять, що число нуль є межа цієї послідовності.

Інший приклад: x n = (−1) n /n - визначає послідовність

Члени цієї послідовності також прагнуть нуля, але вони то більше нуля, то менше нуля - своєї межі.

Розглянемо ще приклад: x n = (n − 1)/(n + 1). Якщо уявити x n як

то стане зрозуміло, що ця послідовність прагне одиниці.

Дамо визначення межі послідовності. Число a називається межею послідовності (x n), якщо для будь-якого позитивного числа можна вказати такий номер N, що при всіх n > N виконується нерівність | x n − a|< ε.

Якщо a є межа послідовності (x n), то пишуть x n → a, або a = lim n → ∞ x n (lim – три перші літери латинського слова limes- "Межа").

Це визначення стане зрозумілішим, якщо йому надати геометричний зміст. Укладемо число a в інтервал (a − ε, a + ε) (див. рис.). Число а є межа послідовності (x n), якщо незалежно від небагатьох інтервалів (a - ε, a + ε) всі члени послідовності з номерами, більшими за деякий N, будуть лежати в цьому інтервалі. Іншими словами, поза будь-яким інтервалом (a − ε, a + ε) може бути лише кінцева кількість членів послідовності.

Для розглянутої послідовності x n = (−1) n /n в ε-околиця точки нуль при ε = 1/10 потрапляють усі члени послідовності, крім перших десяти, а при ε = 1/100 - усі члени послідовності, крім перших ста.

Послідовність, що має межу, називається схожою, а не має межі - розбіжною. Ось приклад послідовності, що розходиться: x n = (−1) n . Її члени поперемінно рівні +1 і -1 і не прагнуть до жодної межі.

Якщо послідовність сходиться, вона обмежена, т. е. існують такі числа c і ​​d, що це члени послідовності задовольняють умові c ≤ x n ≤ d. Звідси випливає, що всі необмежені послідовності, що розходяться. Такі послідовності:

Послідовність, що прагне до нуля, називається нескінченно малою. Поняття нескінченно малої може бути покладено в основу загального визначення межі послідовності, так як межа послідовності (x n) дорівнює a тоді, і тільки тоді, коли x n представимо у вигляді суми x n = a + n , де n нескінченно мала.

Розглянуті послідовності (1/n), ((−1) n /n) нескінченно малими. Послідовність (n − 1)/(n + 1), як випливає з (2), відрізняється від 1 на нескінченно малу 2/(n + 1), і тому межа цієї послідовності дорівнює 1.

Велике значення у математичному аналізі має також поняття нескінченно великої послідовності. Послідовність (x n) називається нескінченно великою, якщо послідовність (1/x n) нескінченно мала. Безкінечно велику послідовність (x n) записують у вигляді x n → ∞, або lim n → ∞ x n = ∞, і кажуть, що вона «прагне нескінченності». Ось приклади нескінченно великих послідовностей:

(n 2), (2 n), (√(n + 1)), (n - n 2).

Підкреслимо, що нескінченно велика послідовність не має меж.

Розглянемо послідовності (x n) та (y n). Можна визначити послідовності із загальними членами x n + y n , x n − y n , x n y n (якщо y n ≠ 0) x n /y n . Справедлива наступна теорема, яку часто називають теоремою про арифметичні дії з межами: якщо послідовності (x n) і (y n) сходяться, то сходяться також послідовності (x n + y n), (x n − y n), (x n y n), (x n /y n) і мають місце рівності:

В останньому випадку необхідно вимагати, крім того, щоб усі члени послідовності (y n) були відмінними від нуля, ще й щоб виконувалася умова lim n→∞ y n ≠ 0.

Застосовуючи цю теорему, можна знаходити багато меж. Знайдемо, наприклад, межу послідовності із загальним членом

Представивши x n як

встановимо, що межа чисельника та знаменника існує:

тому отримаємо:

lim n→∞ x n = 2/1 =2.

Важливий клас послідовностей – монотонні послідовності. Так називають послідовності зростаючі (x n+1 > x n за будь-якого n), спадні (x n+1< x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

Уявімо, що послідовність (x n) не зменшується, тобто виконуються нерівності

x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ … ≤ x n ≤ x n+1 ≤ …,

і нехай, крім того, ця послідовність обмежена зверху, тобто всі x n не перевищують деякого числа d. Кожен член такої послідовності більший за попередній або дорівнює йому, але всі вони не перевищують d. Цілком очевидно, що ця послідовність прагне деякого числа, яке або менше d, або дорівнює d. В курсі математичного аналізу доводиться теорема, що незнижена і обмежена зверху послідовність має межу (аналогічне твердження справедливе для послідовності, що не зростає і обмежена знизу). Ця чудова теорема дає достатні умови існування межі. З неї, наприклад, випливає, що послідовність площ правильних n-кутників, вписаних в коло одиничного радіусу, має межу, оскільки є монотонно зростаючою та обмеженою зверху. Межа цієї послідовності позначається π.

За допомогою межі монотонної обмеженої послідовності визначається відіграє велику роль у математичному аналізі число е - основа натуральних логарифмів:

е = lim n→∞ (1 + 1/n) n .

Послідовність (1), як зазначалося, монотонна і, крім того, обмежена зверху. Вона має межу. Ми легко знайдемо цю межу. Якщо він дорівнює a, то число а повинне задовольняти рівності a = √(2 + a). Вирішуючи це рівняння, отримуємо a = 2.