Координатна пряма. Крапки на координатній прямій. Як побудувати координатну пряму Як на координатній прямій

Так одиничний відрізок і його десята, сота і так далі частини дозволяють нам потрапити в точки координатної прямої, яким будуть відповідати кінцеві десяткові дроби (як у попередньому прикладі). Однак на координатній прямій існують точки, в які ми не можемо потрапити, але до яких ми можемо підійти як завгодно, використовую всі менші і менші до нескінченно малої частки одиничного відрізка. Цим точкам відповідають нескінченні періодичні та неперіодичні десяткові дроби. Наведемо кілька прикладів. Однією з таких точок на координатній прямій відповідає число 3,711711711 ... = 3, (711) . Щоб підійти до цієї точки потрібно відкласти 3 одиничні відрізки, 7 його десятих часток, 1 соту частку, 1 тисячну, 7 десятитисячних часток, 1 стотисячну, 1 мільйонну частку одиничного відрізка і так далі. А ще одній точці координатної прямої відповідає пі (π = 3,141592 ...).

Оскільки елементами множини дійсних чисел є всі числа, які можна записати у вигляді кінцевих і нескінченних десяткових дробів, то вся вищевикладена в цьому пункті інформація дозволяє стверджувати, що кожній точці координатної прямої ми поставили у відповідність конкретне дійсне число, при цьому зрозуміло, що різним точкам відповідають різні дійсні числа.

Також досить очевидно, що ця відповідність є взаємно однозначною. Тобто, ми можемо зазначеній точці на координатній прямій поставити у відповідність дійсне число, але ми також можемо за цим дійсним числом вказати конкретну точку на координатній прямій, якій відповідає дане дійсне число. Для цього нам доведеться відкласти від початку відліку в потрібному напрямку певну кількість одиничних відрізків, а також десятих, сотих і так далі часток одиничного відрізка. Наприклад, числу 703,405 відповідає точка на координатній прямій, в яку з початку відліку можна потрапити, відклавши в позитивному напрямку 703 одиничних відрізка, 4 відрізки, що становлять десяту частку одиничного, і 5 відрізків, що становлять тисячну частку одиничного.

Отже, кожній точці на координатній прямій відповідає дійсне число, і кожне дійсне число має місце у вигляді точки на координатній прямій. Ось чому координатну пряму дуже часто називають числовий прямий.

Координати точок на координатній прямій

Число, що відповідає точці на координатній прямій, називається координатою цієї точки.

У попередньому пункті ми сказали, що кожному дійсному числу відповідає єдина точка на координатній прямій, тому координата точки однозначно визначає положення цієї точки на координатній прямій. Іншими словами, координата точки однозначно задає цю точку на координатній прямій. З іншого боку кожній точці на координатній прямій відповідає дійсне число – координата цієї точки.

Залишилося сказати лише про прийняті позначення. Координату точки записують у круглих дужках праворуч від літери, якою позначена точка. Наприклад, якщо точка М має координату -6, то можна записати М(-6), а запис виду означає, що точка М на координатній прямій має координату.

Список літератури.

• Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика: підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
• Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.

Стверджувати, що ви знаєте математику, неможливо, якщо не вмієте будувати графіки, зображати нерівності на координатній прямій, працювати з осями координат. Візуальна складова в науці життєво необхідна, адже без наочних прикладів у формулах та обчисленнях часом можна заплутатися. У цій статті ми подивимося, як працювати з осями координат і навчимося будувати найпростіші графіки функцій.

Застосування

Координатна пряма - це основа найпростіших видів графіків, із якими стикається школяр своєму навчальному шляху. Вона використовується практично в кожній математичній темі: при розрахунку швидкості та часу, проектуванні розмірів об'єктів та обчисленні їх площі, у тригонометрії під час роботи з синусами та косинусами.

Головна цінність такої прямої – це наочність. Оскільки математика - це наука, у якій потрібен високий рівень абстрактності мислення, графіки допомагають уявленні об'єкта у світі. Як він поводиться? В якій точці простору перебуватиме через кілька секунд, хвилин, годин? Що можна сказати про нього у порівнянні з іншими об'єктами? Яку швидкість він має у випадково вибраний момент часу? Як охарактеризувати його рух?

А про швидкість мова йде недарма - саме її найчастіше відображають графіки функції. А ще вони можуть відображати зміну температури або тиску всередині об'єкта, його розмірів, орієнтації щодо горизонту. Таким чином, побудувати координатну пряму часто потрібно і у фізиці.

Одновимірний графік

Існує поняття багатовимірності. Достатньо всього одного числа, щоб визначити місце розташування точки. Це якраз і є випадок із застосуванням координатної прямої. Якщо простір двомірний, то знадобиться два числа. Графіки такого типу використовуються набагато частіше, і далі в статті ми їх обов'язково розглянемо.

Що можна побачити за допомогою точок на осі, якщо вона лише одна? Можна побачити розмір об'єкта, його положення у просторі щодо деякого «нуля», тобто точки, обраної як початок відліку.

Зміна параметрів з часом побачити не вдасться, оскільки всі показання відображатимуться для одного конкретного моменту. Однак із чогось треба починати! Отже, почнемо.

Як побудувати координатну вісь

Для початку потрібно провести горизонтальну лінію – це і буде наша вісь. З правого боку «загостримо» її, щоб вона була схожа на стрілку. Таким чином ми позначимо напрямок, у якому числа будуть збільшуватися. У бік зменшення стрілка звичайно ставиться. Традиційно вісь направлена ​​вправо, тому ми просто підемо даному правилу.

Поставимо нульову позначку, яка відображатиме початок координат. Це те саме місце, від якого ведеться відлік, чи то розмір, вага, швидкість або будь-що інше. Крім нуля, ми обов'язково повинні позначити так звану ціну поділу, тобто ввести стандарт одиниці, відповідно до якої відкладатимемо на осі ті чи інші величини. Це обов'язково потрібно робити, щоб уміти знаходити довжину відрізка на координатній прямій.

Через рівну відстань один від одного поставимо крапки або зарубки на лінії, а під ними напишемо відповідно 1,2,3 і так далі. І ось, все готове. Але з графіком, що вийшов, треба ще навчитися працювати.

Види точок на координатній прямій

З першого погляду на запропоновані у підручниках малюнки стає зрозумілим: точки на осі можуть бути зафарбовані або не зафарбовані. Ви думаєте, що це випадковість? Зовсім ні! «Суцільна» точка використовується при несуворій нерівності - тій, яка читається як «більше або одно». Якщо ж потрібно суворо обмежити інтервал (наприклад, «ікс» може набувати значень від нуля до одиниці, але не включає її), ми скористаємося «порожнистою» точкою, тобто, по суті, маленьким кружком на осі. Слід зазначити, що учні не дуже люблять суворі нерівності, бо з ними складніше працювати.

Залежно від того, які точки ви використовуєте на графіку, будуть називатись і побудовані інтервали. Якщо нерівність з обох боків не суворе, ми отримаємо відрізок. Якщо з одного боку він виявиться «відкритий», то називатиметься напівінтервалом. Нарешті, якщо частина прямої обмежена з двох сторін порожніми точками, вона називатиметься інтервалом.

Площина

При побудові двох прямих ми вже можемо розглядати графіки функцій. Скажімо, горизонтальна лінія буде віссю часу, а вертикальна – відстанню. І ось уже ми можемо визначити, яку відстань подолає об'єкт за хвилину або годину шляху. Таким чином, робота з площиною дозволяє стежити за зміною стану об'єкта. Це набагато цікавіше, ніж дослідження статичного стану.

Найпростіший графік на такій площині – пряма, вона відображає функцію Y(X) = aX + b. Лінія згинається? Це означає, що об'єкт змінює свої характеристики у процесі дослідження.

Уявіть, ви стоїте на даху будівлі та тримаєте у витягнутій руці камінь. Коли ви відпустите його, він полетить униз, розпочавши свій рух із нульової швидкості. Але вже за секунду він долатиме 36 кілометрів на годину. Камінь продовжить прискорюватися і надалі, і щоб намалювати його рух на графіці, вам потрібно буде заміряти його швидкість у кілька моментів часу, виставивши крапки на осі у відповідних місцях.

Позначки на горизонтальній координатній прямій за замовчуванням одержують назву X1, X2, X3, а на вертикальній - Y1, Y2, Y3 відповідно. Проеціруя їх на площину і знаходячи перетину, ми знаходимо фрагменти результуючого малюнка. Поєднавши їх однією лінією, ми отримаємо графік функції. У разі падіння каменю квадратична функція матиме вигляд: Y(X) = aX * X + bX + c.

Масштаб

Звісно, ​​необов'язково виставляти поруч із поділами на прямий цілі значення. Якщо ви розглядаєте рух равлика, що повзе зі швидкістю 0,03 метра за хвилину, виставте як значення на координатному прямому дробі. У цьому випадку задайте ціну поділу як 0,01 метра.

Особливо зручно виконувати такі креслення у зошиті в клітку - тут відразу видно, чи вистачить місця на аркуші для вашого графіка, чи не вийдете за поля. Свої сили розрахувати нескладно, адже ширина клітини в такому зошиті – 0,5 сантиметра. Знадобилося – зменшили малюнок. Від зміни масштабу графіка не втратить і змінить своїх властивостей.

Координати точки та відрізка

Коли на уроці дається математичне завдання, у ній можуть бути параметри різних геометричних фігур як у вигляді довжин сторін, периметра, площі, так і у вигляді координат. І тут може знадобитися як побудувати фігуру, і отримати якісь дані, пов'язані з нею. Виникає питання: як знайти на координатній прямій потрібну інформацію? І як збудувати фігуру?

Наприклад, йдеться про точку. Тоді за умови завдання фігуруватиме велика літера, а дужках стоятимуть кілька цифр, найчастіше дві (це означає, рахувати ми будемо у двомірному просторі). Якщо в дужках три числа, записані через точку з комою або через кому, це тривимірний простір. Кожне з значень – це координата на відповідній осі: спочатку горизонтальною (X), потім – вертикальною (Y).

Пам'ятаєте, як збудувати відрізок? Ви проходили це геометрії. Якщо є дві точки, між ними можна провести пряму. Їх координати і вказуються в дужках, якщо задачі фігурує відрізок. Наприклад: A(15, 13) – B(1, 4). Щоб побудувати таку пряму, потрібно на координатній площині знайти та відзначити точки, а потім їх з'єднати. От і все!

А будь-які багатокутники, як знаєте, можна намалювати за допомогою відрізків. Завдання вирішено.

Розрахунки

Допустимо, є певний об'єкт, положення якого по осі X характеризується двома числами: починається він у точці з координатою (-3) і закінчується (+2). Якщо ми хочемо дізнатися довжину цього предмета, то маємо відняти з більшого числа менше. Зверніть увагу, що негативне число поглинає знак віднімання, тому що мінус на мінус дає плюс. Отже, ми складаємо (2+3) та отримуємо 5. Це і є необхідний результат.

Інший приклад: нам дана кінцева точка та довжина об'єкта, але не дана початкова (і потрібно її знайти). Нехай положення відомої точки буде (6), а розмір предмета, що вивчається - (4). Віднімаючи довжину з кінцевої координати, ми отримаємо відповідь. Разом: (6 – 4) = 2.

Негативні числа

Нерідко потрібно практично працювати з негативними значеннями. У цьому випадку ми йтимемо по осі координат вліво. Наприклад, об'єкт заввишки 3 сантиметри плаває у воді. На третину він занурений у рідину, на дві третини перебуває у повітрі. Тоді, обравши як осі поверхню води, ми з допомогою найпростіших арифметичних обчислень отримуємо два числа: верхня точка об'єкта має координату (+2), а нижня - (-1) сантиметр.

Неважко помітити, що у випадку з площиною у нас утворюється чотири чверті координатної прямої. Кожна з них має власний номер. У першій (верхній правій) частині розташовуватимуться точки, що мають дві позитивні координати, у другій - зліва зверху - значення по осі «ікс» будуть негативні, а по «гравець» - позитивні. Третя та четверта відраховуються далі проти годинникової стрілки.

Важлива властивість

Ви знаєте, що пряму можна представити як безліч точок. Ми можемо переглянути скільки завгодно уважно будь-яку кількість значень у кожний бік осі, але не зустрінемо повторюваних. Це здається наївним і зрозумілим, але виникає те твердження з важливого факту: кожному числу відповідає одна і лише одна точка на координатній прямій.

Висновок

Пам'ятайте, що будь-які осі, фігури та по можливості графіки необхідно будувати за лінійкою. Одиниці вимірів були придумані людиною не випадково - припустившись похибки при кресленні, ви ризикуєте побачити вже не те зображення, яке мало вийти.

Будьте уважні та акуратні у побудові графіків та обчисленнях. Як і будь-яка наука, що вивчається у школі, математика любить точність. Прикладіть трохи старання, і хороші оцінки не забаряться.

Тема урока:

« Координати на прямій»

Мета уроку:

познайомити учнів з координатною прямою та негативними числами.

Завдання уроку:

Навчальна: познайомити учнів з координатною прямою та негативними числами.

Розвиваюча: розвиток логічного мислення, розширення світогляду.

Виховна: розвиток пізнавального інтересу, виховання інформаційної культури.

План уроку:

Оргмомент.Перевірка учнів та його готовності до уроку.

Актуалізація опорних знань.Усне опитування учнів з пройденої теми.

Пояснення нового матеріалу.

4. Закріплення вивченого матеріалу.

5. Підведення підсумків.Короткий зміст того, що було вивчено на уроці. Запитання учнів.

6. Висновки.Узагальнення основних моментів уроку. Оцінювання знань. Виставлення позначок.

7. Домашнє завдання. Самостійна роботаучнів із вивченим матеріалом.

Обладнання: крейда,дошки, слайди.

Розгорнутий план-конспект

Назва етапу та його вміст

Діяльність

Діяльність

учнів

І етап

Оргмомент. Вітання.

Заповнення журналу.

вітається із класом, староста класу дає список відсутніх.

вітаються з

вчителем

ІІ етап

Актуалізація опорних знань.

Давньогрецький учений Піфагор казав: «Числа правлять світом». Ми з вами живемо у цьому світі чисел, а у шкільні роки вчимося працювати з різними числами.

1 Які числа ми вже відомі до сьогоднішнього уроку?

2 Які завдання допомагають нам розв'язувати ці числа?

Сьогодні ми переходимо до вивчення другого розділу нашого підручника «Раціональні числа», де розширимо наші знання про числа, а вивчивши весь розділ «Раціональні числа» навчимося виконувати з ними всі відомі вам дії та почнемо з теми координатна пряма.

1.натуральні, звичайні дроби, десяткові дроби

2. складання, віднімання, множення розподіл, знаходження дробу від числа та числа за його дробом, вирішувати різні рівняння та завдання

III етап

Пояснення нового матеріалу.

Візьмемо пряму АВ та розіб'ємо її точкою О на два додаткові промені – ОА та ОВ. Виберемо на прямий одиничний відрізок і приймемо точку За початок відліку і напрямок.

Визначення:

Пряму з обраним на ній початком відліку, одиничним відрізком та напрямком називають координатною прямою.

Число, що показує положення точки прямої, називають координатою цієї точки.

Як побудувати координатну пряму?

провести пряму

задати одиничний відрізок

вказати напрям

Координатна пряма може зображуватися по-різному: горизонтально, вертикально та під будь-яким іншим кутом до горизонту, і має початок, але не має кінця.

Завдання 1. Які з перерахованих прямих є координатними?(слайд)

Давайте накреслимо координатну пряму, відзначимо початок координат, одиничний відрізок і відкладемо ліворуч і праворуч точки 1,2,3,4 і так далі.

Подивимося на координатну пряму, що вийшла. Чим така пряма незручна?

Напрямок праворуч від початку відліку називається позитивним, і напрямок на прямий позначають стрілкою. Числа, розташовані праворуч від точки, називаються позитивними. Вліво від точки розташовують негативні числа, і напрямок вліво від точки називається негативним (негативне напрям не вказується). Якщо координатна пряма розташована вертикально, то зверху від початку координат – позитивні числа, знизу від початку координат – негативні. Негативні числа пишуться зі знаком "-". Читають: "Мінус один", "Мінус два", "Мінус три" і т.д. Число 0 – початок відліку перестав бути ні позитивним, ні негативним числом. Воно відокремлює позитивні від негативних чисел.

Рішення рівнянь і поняття «боргу» при розрахунках торгівлі призвело до появи негативних чисел.

Негативні числа виникли значно пізніше натуральних чисел і звичайних дробів. Перші відомості про негативні числа зустрічаються у китайських математиків у II ст. до зв. е. Позитивні числа тоді тлумачилися як майно, а негативні як борг, недостача. У Європі визнання настало на тисячу років пізніше, та й довгий час негативні числа називали «хибними», «уявними» або «абсурдними». У XVII столітті негативні числа отримали наочне геометричне уявлення на числовій осі

Також можна навести приклади координатної прямої: термометр, порівняння гірських вершин і западин (за нуль береться рівень моря), відстань на карті, шахта ліфта, будинки, підйомні крани.

Подумайте,Чи знаєте ви якісь приклади координатної прямої?

Завдання.

Завдання2. Назвіть координати точок.

Завдання3. Побудуйте точки на координатній прямій

Завдання4 . Проведіть горизонтальну пряму і позначте на ній точку O. Позначте на цій прямій точці A, B, C, K якщо відомо, що:

A правіше O на 9 клітин;

B ліворуч O на 6,5 клітин;

C правіше O на 3½ клітини;

K ліворуч O на 3 клітини .

Записують у опорних конспектах.

Слухають, доповнюють.

Виконують завдання у зошиті, а потім пояснюють вголос свої відповіді.

Чортять, відзначають початок координат одиничний відрізок

Така пряма незручна тим, що 2ум точкам на прямій відповідає одне й те саме число.

Історія до нашої ери та наша ера.

IV етап

Закріплення вивченого матеріалу.

1.Що таке координатна пряма?

2.Як побудувати координатну пряму?

1.Пряму з обраним на ній початком відліку, одиничним відрізком та напрямком називають координатною прямою

2) провести пряму

відзначити на ній початок відліку

задати одиничний відрізок

вказати напрям

V етап

Підведення підсумків

Що нового ми сьогодні дізналися?

Координатна пряма та негативні числа.

VI етап

Оцінювання знань. Виставлення позначок.

Домашнє завдання.

Скласти питання з пройденої теми (знати на них відповіді)

Координатна пряма.

Візьмемо звичайну пряму. Назвемо її пряма х (рис.1). Виберемо на цій прямій точку відліку O, а також стрілкою вкажемо позитивний напрямок цієї прямої (рис. 2). Таким чином, праворуч від точки O у нас будуть позитивні числа, а зліва – негативні. Виберемо масштаб, тобто розмір відрізка прямої, що дорівнює одиниці. У нас вийшло координатна пряма(Рис. 3). Кожному числу відповідає певна єдина точка на цій прямій. Причому це число називають координатою цієї точки. Тому пряма і називається координатною. А точка відліку O називається початком координат.

Наприклад, на рис. 4 точка B знаходиться на відстані 2 правіше початку координат. Точка D знаходиться на відстані 4 ліворуч від початку координат. Відповідно, точка B має координату 2, а точка D координату -4. Сама точка O, будучи точкою відліку, має координату 0 (нуль). Записується це зазвичай так: O(0), B(2), D(-4). А щоб постійно не говорити "точка D з координатою такою-то", кажуть простіше: "точка 0, точка 2, точка -4". А саму точку у своїй досить позначити її координатою (рис. 5).

Знаючи координати двох точок координатної прямої, ми можемо обчислити відстань між ними. Припустимо, у нас дві точки A та B з координатами a та b відповідно. Тоді відстань з-поміж них буде |a - b|. Запис | a - b | читається як "a мінус b за модулем" або "модуль різниці чисел a і b".

Що таке модуль?

Алгебраїчний модуль числа x – це невід'ємне число. Позначається як | x |. Причому, якщо x > 0, то |x| = х. Якщо x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

Геометрично модуль числа x – це відстань між точкою та початком координат. Якщо є дві точки з координатами x1 і x2, то |x1 - x2| - це відстань між цими точками.

Модуль також називають абсолютною величиною.

Про що ще ми можемо сказати, коли йдеться про координатну пряму? Звичайно про числові проміжки.

Види числових інтервалів.

Допустимо у нас два числа a та b. Причому b > a (b більше за a). На координатній прямій це означає, що точка b знаходиться правіше від точки a. Замінимо в нашій нерівності b змінну x. Тобто x > a. Тоді x – це всі числа, які більші за число a. На координатній прямій це відповідно всі точки правіше точки a. Ця частина лінії заштрихована (рис. 6). Така безліч точок називають відкритим променем, а даний числовий проміжок позначають (a; +∞), де знак +∞ читається як плюс нескінченність. Зверніть увагу, що сама точка a не входить у цей проміжок та позначається світлим кружком.

Розглянемо також випадок коли x ≥ a. Тоді x – це всі числа, які більші або рівні a. На координатній прямій це всі точки правіше а, а також сама точка a (на рис. 7 точка a вже позначається темним кружком). Така безліч точок називають замкненим променем(або просто променем), а цей числовий проміжок позначають .

Координатну пряму також називають координатною віссю. Або просто віссю х.

Наприкінці глави 1 ми говорили про те, що в курсі алгебри нам з вами треба вчитися описувати реальні ситуації словами (словесна модель), алгебраїчно (алгебраїчна або, як частіше кажуть математики, аналітична модель), графічно (графічна або геометрична модель). Весь перший розділ підручника(Глави 1-5) був присвячений вивченню математичної мови, за допомогою якої описуються аналітичні моделі.

Починаючи з глави 6 ми вивчатимемо як нові аналітичні, а й графічні (геометричні) моделі. Вони будуються за допомогою координатної прямої, координатної площини. Ці поняття вам трішки знайомі з курсу математики 5-6 класів.

Пряму /, на якій обрано початкову крапкаО (початок відліку), масштаб (поодинокий відрізок, Т. е. відрізок, довжина якого вважається рівною 1) і позитивний напрямок, називають координатною прямою, або координатною віссю (рис. 7); вживають також термін "вісь х".

Кожному числу відповідає єдина точка прямої. Наприклад, числу 3,5 відповідає точка М (рис. 8), яка віддалена від початку відліку, тобто від точки Про на відстань, що дорівнює 3,5 (в заданому масштабі), і відкладена від точки Про в заданому ( позитивному) напрямку. Число -4 відповідає точка Р (див. рис. 8), яка віддалена від точки Про на відстань, рівну 4, і відкладена від точки Про в негативному напрямку, тобто в напрямку, протилежному заданому.

Вірно і зворотне: кожна точка координатної прямої відповідає однині.

Наприклад, точка К, віддалена від точки Про на відстань 5,4 у позитивному (заданому) напрямку, відповідає числу 5,4, а точка N, віддалена від точки Про на відстань 2,1 у негативному напрямку, відповідає числу - 2,1 (Див. мал. 8).

Вказані числа називають координатами відповідних точок. Так, на рис. 8 точка має координату 5,4; точка Р – координату -4; точка М – координату 3,5; точка N – координату -2,1; точка О - координату 0 (нуль). Звідси і походить назва – «координатна пряма». Образно висловлюючись, координатна пряма – це густо заселений будинок, мешканці цього будинку – точки, а координати точок – це номери квартир, у яких живуть точки-жителі.

Навіщо потрібна координатна пряма? Навіщо характеризувати точку числом, а число – точкою? Чи є в цьому якась користь? Так є.
Нехай, наприклад, на координатній прямій дані дві точки: А - з координатою про і В - з координатою Ь (зазвичай у таких випадках пишуть коротше:
А(а), В(Ь)). Нехай нам треба знайти відстань d між точками А та В. Виявляється, замість того щоб робити геометричні виміридостатньо скористатися готовою формулою d = (а - b) (ви вивчали її в 6 класі).
Так, на малюнку 8 маємо:

Прагнучи до лаконічності міркувань, математики домовилися замість довгої фрази «точка А координатної прямої, що має координату а», використовувати коротку фразу: «точка а», і, відповідно, на кресленні точку, що розглядається, позначати її координатою. Так, на рисунку 9 зображено координатну пряму, на якій відзначені точки - 4; - 2,1; 0; 1; 3,5; 5.4.

Координатна пряма дає нам можливість вільно переходити з мови алгебри на геометричний і назад. Нехай, наприклад, число а менше від числа Ь. Алгебраїчною мовою це записується так: а< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Втім, і алгебраїчна, і геометрична мови - це різновиди однієї й тієї ж математичної мови, яку ми з вами вивчаємо.

Познайомимося ще з кількома елементами математичної мови, які пов'язані з координатною прямою.

1. Нехай на координатній прямій зазначено точку а. Розглянемо всі точки, які лежать на прямій правіше точки а, і відзначимо відповідну частину координатної прямої штрихування (рис. 10). Це безліч точок (чисел) називають відкритим променем і позначають (a, +oo), де знак +оо читається: плюс нескінченність; воно характеризується нерівністю х > а (під дг розуміється будь-яка точка променя).

Зверніть увагу: точка а відкритого променя не належить, а якщо ж цю точку треба приєднати до відкритого променя, то пишуть х > a або, відповідно, на кресленні точку b зафарбовувати (рис. 13);

для (- оо, b) також вживатимемо термін промінь.

3. Нехай на координатній прямій відзначені точки а та b, причому а< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

Це безліч (чисел) називають інтервалом та позначають (а, b).

Воно характеризується суворою подвійною нерівністю a< х < b (под х понимается любая точка интервала).

Зверніть увагу: інтервал (а, b) є перетин (загальна частина) двох відкритих променів (-оо, b) та (а, +оо) – це добре видно на малюнку 15.

Якщо до інтервалу (а, b) додати його кінці, тобто точки a та b, то вийде відрізок [а, b] (рис. 16),

який характеризується несуворою подвійною нерівністю а< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

Відрізок [а, b] є перетин (загальна частина) двох променів (-оо, b] і який характеризується за допомогою подвійних нерівностей: a< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

Отже, ми запровадили п'ять нових термінів математичної мови: промінь, відкритий промінь, інтервал, відрізок, напівінтервал. Є й загальний термін: числові проміжки.

Сама координатна пряма вважається числовим проміжком; для неї використовують позначення (-оо, +оо).

Математика за 7 клас безкоштовно скачати , плани конспектів уроків, готуємося до школи онлайн

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ