Granica brojčanog niza. Kako dokazati da se niz konvergira? Osnovna svojstva konvergentnih nizova Vrste nizova

Definicija granica slijeda i funkcije, svojstva granica, prva i druga izuzetna granica, primjeri.

konstantan broj a pozvao ograničiti sekvence(x n) ako za bilo koji proizvoljno mali pozitivni broj ε > 0 postoji broj N takav da su sve vrijednosti x n, za koje je n>N, zadovoljavaju nejednakost

Napišite ga na sljedeći način: ili x n → a.

Nejednakost (6.1) je ekvivalentna dvostrukoj nejednakosti

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, počevši od nekog broja n>N, leže unutar intervala (a-ε , a+ε), t.j. spadaju u bilo koje malo ε-susjedstvo točke a.

Niz koji ima granicu naziva se konvergentan, inače - odvojit.

Koncept granice funkcije je generalizacija pojma granice niza, budući da se granica niza može smatrati granicom funkcije x n = f(n) cjelobrojnog argumenta n.

Neka je zadana funkcija f(x) i neka a - granična točka područje definicije ove funkcije D(f), t.j. takva točka, čije susjedstvo sadrži točke skupa D(f) različite od a. Točka a može ili ne mora pripadati skupu D(f).

Definicija 1. Konstantni broj A naziva se ograničiti funkcije f(x) na x→ a if za bilo koji niz (x n) vrijednosti argumenata koji teže a, odgovarajući nizovi (f(x n)) imaju istu granicu A.

Ova definicija se zove definiranje granice funkcije prema Heineu, ili " jezikom sekvenci”.

Definicija 2. Konstantni broj A naziva se ograničiti funkcije f(x) na x→a ako se, s obzirom na proizvoljan, proizvoljno mali pozitivan broj ε, može pronaći δ >0 (ovisno o ε) tako da za sve x, koji leži u ε-okolici broja a, tj. za x zadovoljavanje nejednakosti
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Ova definicija se zove definiranje granice funkcije prema Cauchyju, ili “u jeziku ε - δ"

Definicije 1 i 2 su ekvivalentne. Ako funkcija f(x) kao x → a ima ograničiti jednako A, ovo se piše kao

U slučaju da se slijed (f(x n)) neograničeno povećava (ili smanjuje) za bilo koju metodu aproksimacije x do svoje granice a, tada ćemo reći da funkcija f(x) ima beskonačna granica, i napiši kao:

Poziva se varijabla (tj. niz ili funkcija) čija je granica nula beskrajno mali.

Poziva se varijabla čija je granica jednaka beskonačnosti beskrajno velika.

Da biste pronašli granicu u praksi, koristite sljedeće teoreme.

Teorem 1 . Ako svaka granica postoji

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentar. Izrazi oblika 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ su neodređeni, na primjer, omjer dviju beskonačno male ili beskonačno velike veličine, a pronalaženje granice ove vrste naziva se “otkrivanje nesigurnosti”.

Teorem 2.

oni. moguće je prijeći na granicu na bazi stupnja pri konstantnom eksponentu, posebno,

Teorem 3.

(6.11)

gdje e» 2.7 je baza prirodnog logaritma. Formule (6.10) i (6.11) nazivaju se prva izvanredna granica i druga izvanredna granica.

Posljedice formule (6.11) također se koriste u praksi:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

posebice granica

Ako je x → a i u isto vrijeme x > a, tada napišite x →a + 0. Ako je, konkretno, a = 0, tada upišite +0 umjesto simbola 0+0. Slično, ako je x→a i u isto vrijeme x i prema tome su imenovani. prava granica i lijeva granica funkcije f(x) u točki a. Da bi granica funkcije f(x) postojala kao x→ a, potrebno je i dovoljno da . Poziva se funkcija f(x). stalan u točki x 0 ako je ograničenje

(6.15)

Uvjet (6.15) može se prepisati kao:

odnosno prijelaz na granicu pod predznakom funkcije je moguć ako je ona kontinuirana u danoj točki.

Ako je povrijeđena jednakost (6.15), onda to kažemo na x = xo funkcija f(x) Ima jaz. Razmotrimo funkciju y = 1/x. Domena ove funkcije je skup R, osim za x = 0. Točka x = 0 je granična točka skupa D(f), budući da u bilo kojoj njegovoj četvrti, tj. svaki otvoreni interval koji sadrži točku 0 sadrži točke iz D(f), ali sam ne pripada ovom skupu. Vrijednost f(x o)= f(0) nije definirana, pa funkcija ima diskontinuitet u točki x o = 0.

Poziva se funkcija f(x). kontinuirano s desne strane u točki x o ako je granica

i kontinuirano s lijeve strane u točki x o ako je granica

Kontinuitet funkcije u točki x o je ekvivalentan njegovom kontinuitetu u ovoj točki i s desne i s lijeve strane.

Da bi funkcija bila kontinuirana u točki x o, na primjer, na desnoj strani, potrebno je, prvo, da postoji konačna granica , i drugo, da ta granica bude jednaka f(x o). Stoga, ako barem jedan od ova dva uvjeta nije ispunjen, funkcija će imati prazninu.

1. Ako granica postoji i nije jednaka f(x o), onda to kažu funkcija f(x) u točki xo ima prekid prve vrste, ili skok.

2. Ako je granica +∞ ili -∞ ili ne postoji, onda kažu da u točka x o funkcija ima prekid druga vrsta.

Na primjer, funkcija y = ctg x kao x → +0 ima granicu jednaku +∞ , što znači da u točki x=0 ima diskontinuitet druge vrste. Funkcija y = E(x) (cijeli dio x) u točkama s cjelobrojnim apscisama ima diskontinuitete prve vrste, odnosno skokove.

Poziva se funkcija koja je neprekidna u svakoj točki intervala stalan u . Kontinuirana funkcija je predstavljena punom krivuljom.

Mnogi problemi povezani s kontinuiranim rastom neke količine dovode do druge izvanredne granice. Takvi zadaci, na primjer, uključuju: rast doprinosa prema zakonu složenih kamata, rast stanovništva zemlje, raspadanje radioaktivne tvari, razmnožavanje bakterija itd.

Smatrati primjer Ya. I. Perelmana, što daje tumačenje broja e u problemu složenih kamata. Broj e postoji granica . U štedionicama se na stalni kapital godišnje dodaje novac od kamata. Ako se veza ostvaruje češće, kapital raste brže, budući da je veliki iznos uključen u formiranje kamata. Uzmimo čisto teoretski, vrlo pojednostavljeni primjer. Neka banka stavi 100 den. jedinice po stopi od 100% godišnje. Ako se kamatonosni novac doda osnovnom kapitalu tek nakon godinu dana, tada do tada 100 den. jedinice pretvorit će se u 200 den. Sad da vidimo u što će se 100 den pretvoriti. jedinica, ako se novac od kamata dodaje osnovnom kapitalu svakih šest mjeseci. Nakon pola godine 100 den. jedinice će porasti za 100 × 1,5 = 150, a za sljedećih šest mjeseci - za 150 × 1,5 = 225 (novčane jedinice). Ako se pristupanje vrši svake 1/3 godine, onda nakon godine 100 den. jedinice pretvorit će se u 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (den. jedinice). Povećat ćemo vremenski okvir za dodavanje kamate na 0,1 godinu, 0,01 godinu, 0,001 godinu itd. Zatim od 100 den. jedinice godinu kasnije:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. jedinice),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. jedinice),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. jedinice).

Uz neograničeno smanjenje uvjeta pridruživanja kamata, akumulirani kapital ne raste beskonačno, već se približava određenoj granici koja iznosi otprilike 271. Kapital stavljen na 100% godišnje ne može se povećati više od 2,71 puta, čak i ako su obračunate kamate svake sekunde dodaje kapital jer granica

Primjer 3.1. Koristeći definiciju granice brojevnog niza, dokazati da niz x n =(n-1)/n ima granicu jednaku 1.

Riješenje. Moramo dokazati da što god ε > 0 uzmemo, za njega postoji prirodan broj N, takav da je za sve n > N nejednakost |x n -1|< ε

Uzmite bilo koje ε > 0. Budući da je x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, tada je za pronalaženje N dovoljno riješiti nejednakost 1/n<ε. Отсюда n>1/ε i stoga se N može uzeti kao cijeli broj 1/ε N = E(1/ε). Time smo dokazali da je granica .

Riješenje. Primijenite teorem o graničnom zbroju i pronađite granicu svakog člana. Kako je n → ∞, brojnik i nazivnik svakog člana teže beskonačnosti i ne možemo izravno primijeniti teorem o graničnom kvocijentu. Stoga prvo transformiramo x n, dijeleći brojnik i nazivnik prvog člana sa n 2, a drugi n. Zatim, primjenom teorema o graničnom kvocijentu i teoremu o ograničenju sume, nalazimo:

Primjer 3.3. . Pronaći .

Ovdje smo koristili teorem granice stupnja: granica stupnja jednaka je stupnju granice baze.

Primjer 3.4. Pronaći ( ).

Riješenje. Nemoguće je primijeniti granični teorem razlike, budući da imamo nesigurnost oblika ∞-∞. Transformirajmo formulu općeg pojma:

Primjer 3.5. Zadana je funkcija f(x)=2 1/x . Dokažite da granica ne postoji.

Riješenje. Koristimo definiciju 1 granice funkcije u terminima niza. Uzmite niz ( x n ) koji konvergira na 0, tj. Pokažimo da se vrijednost f(x n)= ponaša različito za različite nizove. Neka je x n = 1/n. Očito, onda granica Odaberimo sada kao x n niz sa zajedničkim pojmom x n = -1/n, koji također teži nuli. Stoga nema ograničenja.

Primjer 3.6. Dokažite da granica ne postoji.

Riješenje. Neka je x 1 , x 2 ,..., x n ,... niz za koji
. Kako se slijed (f(x n)) = (sin x n) ponaša za različite x n → ∞

Ako je x n \u003d p n, tada sin x n = sin (p n) = 0 za sve n i ograničiti Ako
xn=2 p n+ p /2, tada sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 za sve n a time i granica. Dakle, ne postoji.

Brojčani nizovi su beskonačni skupovi brojeva. Primjeri sekvenci su: slijed svih članova beskonačne geometrijske progresije, slijed približnih vrijednosti ( x 1 = 1, x 2 = 1,4, x 3= 1.41, ...), slijed perimetara pravilnog n-kutovi upisani u zadanu kružnicu. Pročistimo pojam numeričkog niza.

Definicija 1. Ako svaki broj n iz prirodnog niza brojeva 1, 2, 3,..., P,... dodijelio pravi broj x p, zatim skup realnih brojeva

x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , …(2.1)

pozvao niz brojeva, ili samo niz. .

Brojevi x 1 , x 2, x 3, ..., x p,... nazvat ću elementi, ili članova sekvence (2.1), simbol x str - Općenito element ili član niza i broj P - njegov broj. Ukratko, niz (2.1) će biti označen simbolom (x p ). Na primjer, znak (1/ n) označava niz brojeva

Drugim riječima, niz se može shvatiti kao beskonačan skup numeriranih elemenata ili skup parova brojeva (p, x p), u kojem prvi broj uzima uzastopne vrijednosti 1, 2, 3, ... . Niz se smatra zadanim ako je specificirana metoda za dobivanje bilo kojeg od njegovih elemenata. Na primjer, formula x n = -1 + (-1)n definira niz 0, 2, 0, 2,... .

Geometrijski, slijed je prikazan na numeričkoj osi kao niz točaka čije su koordinate jednake odgovarajućim članovima niza. Na sl. 2.1 prikazuje slijed ( x n} = {1/n) na brojevnoj liniji.

Koncept konvergentnog niza

Definicija 2. Broj a pozvao granica slijeda{x n} , ako za bilo koji pozitivan broj ε postoji broj N, to za sve n > N nejednakost

Niz koji ima granicu naziva se konvergentan. Ako niz ima za granicu broj a, tada se piše ovako:

Niz koji nema ograničenja naziva se odvojit.

Definicija 3. Niz koji ima broj kao granicu a= 0 se zove beskonačno mali niz.

Napomena 1. Neka niz ( x n) ima za granicu broj a. Zatim niz (α n} = {x n - a) je beskonačno mala, t.j. bilo koji element x str konvergentni niz s granicom a, može se predstaviti kao

gdje je α n- element beskonačno malog niza (α n} .

Napomena 2. Nejednakost (2.2) je ekvivalentna nejednakosti (vidi svojstvo 4 modula broja iz § 1.5)

To znači da na n > N svi elementi niza ( x n) nalaze se u ε-susjedstvo bodova a(slika 2.2), i broj N određena je vrijednošću ε.

Zanimljivo je dati geometrijsko tumačenje ove definicije. Budući da je niz beskonačan skup brojeva, onda ako konvergira, u bilo kojoj ε-okolici točke a na realnoj liniji nalazi se beskonačan broj točaka - elemenata ovog niza, dok je izvan ε-okoline konačan broj elemenata. Stoga se granica niza često naziva točka zadebljanja.

Napomena 3. Neograničen niz nema konačni ograničiti. Međutim, možda ima beskrajna limit, koji je napisan u sljedećem obliku:

Ako su u isto vrijeme, počevši od određenog broja, svi članovi niza pozitivni (negativni), napišite

Ako je ( x n) je beskonačno mali niz, tada je (1 /x str} - beskonačan niz koji ima beskonačnu granicu u smislu (2.3), i obrnuto.

Navedimo primjere konvergentnih i divergentnih nizova.

Primjer 1 Pokažite, koristeći definiciju granice niza, da .

Riješenje. Uzmite bilo koji broj ε > 0. Budući da je

tada je da bi vrijedila nejednadžba (2.2) dovoljno je riješiti nejednakost 1 / ( n + 1) < ε, откуда получаем n> (1 - ε) / ε. Dovoljno za uzeti N= [(1 - ε)/ε] (cijeli dio broja (1 - ε)/ ε)* tako da je nejednakost |x str - 1| < ε выполнялосьпривсех n > N.

* Simbol [ a] znači cijeli broj a, tj. najveći cijeli broj koji ne prelazi a. Na primjer, =2, =2, =0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24.

Primjer 2 Pokažite da je niz ( x n} = (-1)n, ili -1, 1, -1, 1,... nema ograničenja.

Riješenje. Doista, koji god broj pretpostavimo kao granicu: 1 ili -1, s ε< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x str: svi neparni elementi su -1, parni elementi su 1.

Osnovna svojstva konvergentnih nizova

Izložimo glavna svojstva konvergentnih nizova, koji su formulirani u obliku teorema u tečaju više matematike.

1.Ako su svi elementi infinitezimalnog niza{x n} jednaki su istom broju c, tada je c = 0.

2. Konvergentni niz ima samo jednu granicu.

3.Konvergentni niz je ograničen.

4.Zbroj (razlika) konvergentnih nizova{x n} i{y n} je konvergentni niz čija je granica jednaka zbroju (razlici) granica nizova{x str} i{y str}.

5.Umnožak konvergentnih nizova{x n} i{y n} je konvergentni niz čija je granica jednaka umnošku granica nizova{x n} i{y n} .

6.Kvocijent dvaju konvergentnih nizova{x n} i{y n} pod uvjetom da granica niza{y n} nije nula, postoji konvergentni niz čija je granica jednaka kvocijentu granica nizova{x n} i{y str} .

7. Ako elementi konvergentnog niza{x n} zadovoljavaju nejednakost x p ≥ b (x p ≤ b) počevši od nekog broja, tada granica a ovog niza također zadovoljava nejednakost a ≥ b (a ≤ b).

8.Umnožak beskonačno malog niza ograničenim nizom ili brojem je beskonačno mali niz.

9.Umnožak konačnog broja infinitezimalnih nizova je beskonačno mali niz.

Razmotrimo primjenu ovih svojstava na primjerima.

Primjer 3. Pronađite granicu.

Riješenje. Na n brojnik i nazivnik razlomka teže beskonačnosti, t.j. teorem o graničnom kvocijentu ne može se odmah primijeniti, budući da pretpostavlja postojanje konačnih granica nizova. Transformiramo ovaj niz dijeljenjem brojnika i nazivnika sa n 2. Primjenjujući zatim teoreme o granici količnika, granici zbroja i opet granici kvocijenta, sukcesivno nalazimo

Primjer 4 x str) = at P.

Riješenje. Ovdje, kao iu prethodnom primjeru, brojnik i nazivnik nemaju konačnih granica, te se stoga moraju prvo izvršiti odgovarajuće transformacije. Dijeljenje brojnika i nazivnika sa n, dobivamo

Budući da brojnik sadrži umnožak beskonačno malog niza i ograničenog niza, tada, prema svojstvu 8, konačno dobivamo

Primjer 5 Pronađite granicu niza ( x n) = at P .

Riješenje. Ovdje je nemoguće izravno primijeniti teorem o granici zbroja (razlike) nizova, budući da ne postoje konačna ograničenja članova u formuli za ( x n} . Pomnožite i podijelite formulu za ( x n) na konjugirani izraz:

Broj e

Razmotrite slijed ( x n} , čiji je zajednički pojam izražen formulom

Tijekom matematičke analize dokazano je da ovaj niz monotono raste i ima granicu. Ova granica se zove broj e. Stoga, po definiciji

Broj e igra veliku ulogu u matematici. Zatim će se razmotriti metoda za njegovo izračunavanje s potrebnom točnošću. Ovdje imajte na umu da je broj e je iracionalan; njegova približna vrijednost je e = 2,7182818... .

3. Granica niza brojeva

3.1. Pojam numeričkog niza i funkcije prirodnog argumenta

Definicija 3.1. Brojčani niz (u daljnjem tekstu jednostavno niz) je uređeni prebrojiv skup brojeva

{x1, x2, x3, ... }.

Obratite pažnju na dvije točke.

1. U nizu je beskonačno mnogo brojeva. Ako postoji konačan broj brojeva, to nije niz!

2. Svi brojevi su poredani, odnosno raspoređeni određenim redoslijedom.

U nastavku ćemo često koristiti kraticu za slijed ( xn}.

Određene operacije se mogu izvesti na sekvencama. Razmotrimo neke od njih.

1. Množenje niza brojem.

Slijed c×{ xn) je niz s elementima ( c× xn), to je

c×{ x1, x2, x3, ... }={c× x1, s× x2, s× x3, ... }.

2. Zbrajanje i oduzimanje nizova.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

ili, detaljnije,

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Množenje nizova.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. Podjela sekvenci.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Naravno, pretpostavlja se da u ovom slučaju sve yn¹ 0.

Definicija 3.2. Slijed ( xn) naziva se ograničenim odozgo ako https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height = "25 src=">. Niz (xn) naziva se omeđen ako je omeđen i iznad i odozdo.

3.2. Ograničenje redoslijeda. Beskonačno veliki niz

Definicija 3.3. Broj a naziva se granica niza ( xn) na n teži beskonačnosti, ako

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> ako .

Kažu da ako .

Definicija 3.4. Slijed ( xn) naziva se beskonačno velikim ako (tj ).

3.3. Beskonačno mali niz.

Definicija 3.5. Niz (xn) naziva se beskonačno mali ako , odnosno ako .

Infinitezimalni nizovi imaju sljedeća svojstva.

1. Zbroj i razlika infinitezimalnih nizova također je beskonačno mali niz.

2. Infinitezimalni niz je omeđen.

3. Umnožak beskonačno malog niza i ograničenog niza je beskonačno mali niz.

4. Ako ( xn) je beskonačno velik niz, počevši od nekog N, slijed (1/ xn), i to je beskonačno mali niz. Obrnuto, ako ( xn) je beskonačno mali niz i sve xn razlikuju se od nule, tada (1/ xn) je beskonačno velik niz.

3.4. konvergentni nizovi.

Definicija 3.6. Ako postoji krajnje ograničenje https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. Ako , onda .

3.5. Prijelaz do granice u nejednakostima.

Teorem 3.1. Ako, počevši od nekih N, svi xn ³ b, zatim .

Posljedica. Ako, počevši od nekih N, svi xn ³ yn, onda .

Komentar. Imajte na umu da ako, počevši od nekih N, svi xn > b, tada , odnosno, kada se prijeđe na granicu, stroga nejednakost može postati nestroga.

Teorem 3.2.("Teorem o dva policajca") Ako, polazeći od neke N, vrijede sljedeća svojstva

1..gif" width="163" height="33 src=">,

onda postoji.

3.6. Granica monotonog niza.

Definicija 3.7. Slijed ( xn) naziva se monotono rastućim ako za bilo koji n xn+1 ³ xn.

Slijed ( xn) naziva se strogo monotono rastućim ako za bilo koji n xn+1> xn.

xn­.

Definicija 3.8. Slijed ( xn) naziva se monotono opadajućim ako za bilo koji n xn+1 £ xn.

Slijed ( xn) naziva se strogo monotono opadajućim ako za bilo koji n xn+1< xn.

Oba ova slučaja kombiniraju se sa simbolom xn¯.

Teorem o postojanju granice monotonog niza.

1. Ako je slijed ( xn) monotono raste (opada) i ograničeno odozgo (odozdo), tada ima konačnu granicu jednaku sup( xn) (inf( xn}).

2 Ako je slijed ( xn) monotono raste (smanjuje), ali nije ograničen odozgo (odozdo), tada ima granicu jednaku +¥ (-¥).

Na temelju ovog teorema dokazano je da postoji takozvana izuzetna granica

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Zove se podniz slijeda ( xn}.

Teorem 3.3. Ako je slijed ( xn) konvergira i njegova granica je a, tada bilo koji njegov podniz također konvergira i ima istu granicu.

Ako je ( xn) je beskonačno velik niz, tada je bilo koji njegov podniz također beskonačno velik.

Bolzano-Weierstrassova lema.

1. Iz bilo kojeg ograničenog niza može se izdvojiti podniz koji konvergira do konačnog ograničenja.

2. Beskonačno veliki podniz može se izdvojiti iz bilo kojeg neograničenog niza.

Na temelju ove leme dokazan je jedan od glavnih rezultata teorije granica - Bolzano-Cauchyjev kriterij konvergencije.

Da bi slijed ( xn) postojala je konačna granica, potrebno je i dovoljno da

Niz koji zadovoljava ovo svojstvo naziva se temeljni niz, ili niz koji konvergira sam po sebi.

Za mnoge ljude, matematička analiza je samo skup nerazumljivih brojeva, ikona i definicija koje su daleko od stvarnog života. Međutim, svijet u kojem postojimo izgrađen je na brojčanim obrascima, čija identifikacija pomaže ne samo u učenju o svijetu oko nas i rješavanju njegovih složenih problema, već i u pojednostavljivanju svakodnevnih praktičnih zadataka. Što matematičar misli kada kaže da se brojevni niz konvergira? O tome bi trebalo detaljnije razgovarati.

mali?

Zamislite matrjoške koje se uklapaju jedna u drugu. Njihove veličine, napisane u obliku brojeva, počevši s najvećim i završavajući s najmanjim od njih, čine niz. Ako zamislite beskonačan broj takvih svijetlih figura, onda će rezultirajući red biti fantastično dug. Ovo je konvergentni niz brojeva. I teži nuli, budući da se veličina svake sljedeće lutke za gniježđenje, koja se katastrofalno smanjuje, postupno pretvara u ništa. Dakle, lako je objasniti: ono što je beskonačno malo.

Sličan primjer bi bila cesta koja ide u daljinu. A vizualne dimenzije automobila koji se uz njega udaljava od promatrača, postupno se smanjujući, pretvaraju se u bezobličnu mrlju nalik točki. Tako automobil, poput predmeta, koji se udaljava u nepoznatom smjeru, postaje beskonačno mali. Parametri navedenog tijela nikada neće biti nula u pravom smislu riječi, ali uvijek teže ovoj vrijednosti u konačnoj granici. Stoga ovaj slijed opet konvergira na nulu.

Izračunajmo sve kap po kap

Zamislimo stvarnu životnu situaciju. Liječnik je pacijentu prepisao da pije lijek, počevši od deset kapi dnevno, a svaki sljedeći dan dodavati dvije. I tako je liječnik predložio da se nastavi sve dok ne ponestane sadržaja bočice s lijekom, čiji je volumen 190 kapi. Iz navedenog proizlazi da će broj takvih, slikanih po danu, biti sljedeći brojčani niz: 10, 12, 14 i tako dalje.

Kako saznati vrijeme prolaska cijelog tečaja i broj članova niza? Ovdje, naravno, možete brojati kapi na primitivan način. Ali puno je lakše, s obzirom na uzorak, koristiti formulu s korakom od d = 2. I pomoću ove metode saznajte da je broj članova niza brojeva 10. U ovom slučaju, a 10 = 28. Članski broj označava broj dana uzimanja lijeka, a 28 odgovara broju kapi koje bi pacijent trebao koristiti zadnji dan. Konvergira li se ovaj niz? Ne, jer, unatoč činjenici da je ograničen na 10 odozdo i 28 odozgo, takav brojčani niz nema ograničenja, za razliku od prethodnih primjera.

Koja je razlika?

Pokušajmo sada razjasniti: kada se pokaže da je niz brojeva konvergentan niz. Definicija ove vrste, kao što se može zaključiti iz navedenog, izravno je povezana s konceptom konačne granice, čija prisutnost otkriva bit problema. Koja je dakle temeljna razlika između prethodno navedenih primjera? I zašto se u posljednjem od njih broj 28 ne može smatrati granicom niza brojeva X n = 10 + 2(n-1)?

Da bismo razjasnili ovo pitanje, razmotrimo još jedan niz koji je dat formulom u nastavku, gdje n pripada skupu prirodnih brojeva.

Ova zajednica članova je skup običnih razlomaka, čiji je brojnik 1, a nazivnik se stalno povećava: 1, ½ ...

Štoviše, svaki sljedeći predstavnik ovog niza, u smislu položaja na brojevnoj liniji, sve se više približava 0. To znači da se takvo susjedstvo pojavljuje gdje se točke skupljaju oko nule, što je granica. I što su mu bliže, njihova koncentracija na brojevnoj liniji postaje gušća. A udaljenost između njih se katastrofalno smanjuje, pretvarajući se u beskonačno malu. Ovo je znak da se niz konvergira.

Slično, raznobojni pravokutnici prikazani na slici, kada se udaljavaju u prostoru, vizualno su natrpaniji, u hipotetskoj granici postaju zanemarivi.

Beskonačno velike sekvence

Nakon što smo analizirali definiciju konvergentnog niza, sada se okrećemo protuprimjerima. Mnogi od njih poznati su čovjeku od davnina. Najjednostavnije varijante divergentnih nizova su nizovi prirodnih i parnih brojeva. Na drugi način se nazivaju beskonačno velikima, budući da se njihovi članovi, koji se stalno povećavaju, sve više približavaju pozitivnoj beskonačnosti.

Bilo koja od aritmetičkih i geometrijskih progresija s korakom i nazivnikom većim od nule, također može poslužiti kao primjer takvih. Divergentni nizovi smatraju se, osim toga, numeričkim nizovima, koji uopće nemaju ograničenja. Na primjer, X n = (-2) n -1 .

Fibonaccijev niz

Praktična upotreba prethodno spomenutog brojčanog niza za čovječanstvo je neporeciva. Ali postoji bezbroj drugih sjajnih primjera. Jedan od njih je Fibonaccijev niz. Svaki njegov član, koji počinje s jednim, zbroj je prethodnih. Njegova prva dva predstavnika su 1 i 1. Treći 1+1=2, četvrti 1+2=3, peti 2+3=5. Nadalje, prema istoj logici, slijede brojevi 8, 13, 21 i tako dalje.

Ovaj niz brojeva raste beskonačno i nema konačnih granica. Ali ima još jedno prekrasno svojstvo. Omjer svakog prethodnog broja prema sljedećem sve je bliže vrijednosti 0,618. Ovdje možete razumjeti razliku između konvergentnog i divergentnog niza, jer ako napravite niz primljenih privatnih dijeljenja, navedeni numerički sustav će imati konačna granica jednaka 0,618.

Slijed Fibonaccijevog omjera

Gore navedeni brojčani niz naširoko se koristi u praktične svrhe za tehničku analizu tržišta. Ali to nije ograničeno na njegove mogućnosti, koje su Egipćani i Grci znali i mogli primijeniti u praksi u antičko doba. To dokazuju piramide koje su izgradili i Partenon. Uostalom, broj 0,618 je stalni koeficijent zlatnog presjeka, dobro poznat u stara vremena. Prema ovom pravilu, svaki proizvoljni segment može se podijeliti na način da će se omjer njegovih dijelova podudarati s omjerom između najvećeg odsječka i ukupne duljine.

Izgradimo niz tih relacija i pokušajmo analizirati ovaj niz. Brojevi će biti sljedeći: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 i tako dalje. Nastavljajući na ovaj način, može se provjeriti da će granica konvergentnog niza doista biti 0,618. Međutim, potrebno je napomenuti i druga svojstva ove pravilnosti. Ovdje se čini da brojevi idu nasumično, a ne u rastućem ili silaznom redoslijedu. To znači da ovaj konvergentni niz nije monoton. Zašto je to tako, raspravljat će se dalje.

monotonija i ograničenost

Članovi niza brojeva s rastućim brojevima mogu se jasno smanjiti (ako je x 1>x 2>x 3>...> x n>...) ili povećati (ako je x 1

Nakon oslikavanja brojeva ove serije, može se primijetiti da bilo koji njen član, koji se približava 1 na neodređeno vrijeme, nikada neće premašiti ovu vrijednost. U ovom slučaju se kaže da je konvergentni niz ograničen. To se događa kad god postoji takav pozitivan broj M, koji je uvijek veći od bilo kojeg člana niza po modulu. Ako niz brojeva ima znakove monotonosti i ima granicu, pa stoga konvergira, tada je nužno obdaren takvim svojstvom. A suprotno ne mora biti istina. O tome svjedoči teorem o ograničenosti za konvergentni niz.

Primjena takvih zapažanja u praksi pokazuje se vrlo korisnom. Navedimo konkretan primjer ispitivanjem svojstava niza X n = n/n+1 i dokazati njegovu konvergenciju. Lako je pokazati da je monotona, budući da je (x n +1 - x n) pozitivan broj za bilo koju vrijednost n. Granica niza jednaka je broju 1, što znači da su svi uvjeti gornjeg teorema, koji se naziva i Weierstrassov teorem, zadovoljeni. Teorem o ograničenosti konvergentnog niza kaže da ako ima granicu, onda se u svakom slučaju ispostavlja da je ograničen. Međutim, uzmimo sljedeći primjer. Brojevni niz X n = (-1) n omeđen je odozdo za -1, a odozgo za 1. Ali ovaj niz nije monoton, nema ograničenja i stoga ne konvergira. To jest, postojanje granice i konvergencije ne proizlazi uvijek iz ograničenja. Da bi to funkcioniralo, donja i gornja granica moraju se podudarati, kao u slučaju Fibonaccijevih omjera.

Brojevi i zakoni svemira

Najjednostavnije varijante konvergentnog i divergentnog niza su, možda, numerički nizovi X n = n i X n = 1/n. Prvi od njih je prirodan niz brojeva. Ona je, kao što je već spomenuto, beskonačno velika. Drugi konvergentni niz je ograničen, a njegovi članovi su po veličini blizu beskonačno male. Svaka od ovih formula personificira jednu od strana višeznačnog svemira, pomažući osobi da zamisli i izračuna nešto nepoznato, nedostupno ograničenoj percepciji na jeziku brojeva i znakova.

Zakoni svemira, u rasponu od zanemarivih do nevjerojatno velikih, također su izraženi zlatnim omjerom od 0,618. Znanstvenici vjeruju da je on temelj suštine stvari i da ga priroda koristi za formiranje njegovih dijelova. Relacije između sljedećeg i prethodnog člana Fibonaccijevog niza, koje smo već spomenuli, ne dovršavaju demonstraciju nevjerojatnih svojstava ovog jedinstvenog niza. Ako uzmemo u obzir kvocijent dijeljenja prethodnog člana sa sljedećim kroz jedan, onda ćemo dobiti niz od 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 i tako dalje. Zanimljivo je da se ovaj ograničeni niz konvergira, nije monoton, ali omjer susjednih brojeva ekstrema od određenog člana uvijek je približno jednak 0,382, što se također može koristiti u arhitekturi, tehničkoj analizi i drugim industrijama.

Postoje i drugi zanimljivi koeficijenti Fibonaccijevog niza, svi oni igraju posebnu ulogu u prirodi, a čovjek ih također koristi u praktične svrhe. Matematičari su sigurni da se Svemir razvija prema određenoj "zlatnoj spirali" formiranoj od navedenih koeficijenata. Uz njihovu pomoć moguće je izračunati mnoge pojave koje se događaju na Zemlji iu svemiru, od porasta broja određenih bakterija do kretanja udaljenih kometa. Kako se ispostavilo, DNK kod poštuje slične zakone.

Smanjenje geometrijske progresije

Postoji teorem koji potvrđuje jedinstvenost granice konvergentnog niza. To znači da ne može imati dvije ili više granica, što je nedvojbeno važno za pronalaženje njegovih matematičkih karakteristika.

Razmotrimo neke slučajeve. Svaki brojčani niz sastavljen od članova aritmetičke progresije je divergentan, osim u slučaju s nultim korakom. Isto vrijedi i za geometrijsku progresiju čiji je nazivnik veći od 1. Granice takvih brojčanih nizova su “plus” ili “minus” beskonačnosti. Ako je nazivnik manji od -1, onda uopće nema ograničenja. Moguće su i druge opcije.

Razmotrimo niz brojeva zadan formulom X n = (1/4) n -1 . Na prvi pogled je lako vidjeti da je ovaj konvergentni niz omeđen jer je strogo opadajući i ni na koji način ne može uzeti negativne vrijednosti.

Napišimo redom neki broj njegovih članova.

Dobiti: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0,00390625 i tako dalje. Dovoljni su prilično jednostavni izračuni da se shvati koliko je brza data geometrijska progresija s nazivnicima 0

Temeljne sekvence

Augustin Louis Cauchy, francuski znanstvenik, otkrio je svijetu mnoga djela vezana za matematičku analizu. On je dao definicije pojmovima kao što su diferencijal, integral, granica i kontinuitet. Također je proučavao osnovna svojstva konvergentnih nizova. Da bismo razumjeli bit njegovih ideja, potrebno je sažeti neke važne detalje.

Na samom početku članka pokazano je da postoje takvi nizovi za koje postoji susjedstvo u kojem se točke koje predstavljaju članove određenog niza na realnoj liniji počinju skupljati, sve gušće nižući. Istodobno, udaljenost između njih se smanjuje kako se broj sljedećeg predstavnika povećava, pretvarajući se u beskonačno mali. Dakle, ispada da je u danom susjedstvu grupiran beskonačan broj predstavnika danog niza, dok ih je izvan njega konačan broj. Takvi se nizovi nazivaju temeljnim.

Poznati Cauchyjev kriterij, koji je stvorio francuski matematičar, jasno ukazuje da je prisutnost takvog svojstva dovoljna da dokaže da se niz konvergira. Vrijedi i obrnuto.

Treba napomenuti da je ovaj zaključak francuskog matematičara uglavnom od čisto teorijskog interesa. Smatra se da je njegova primjena u praksi prilično komplicirana stvar, stoga je, kako bi se razjasnila konvergencija nizova, mnogo važnije dokazati postojanje konačne granice za niz. Inače se smatra divergentnim.

Pri rješavanju zadataka treba voditi računa i o osnovnim svojstvima konvergentnih nizova. Oni su predstavljeni u nastavku.

Beskonačne sume

Takvi poznati antički znanstvenici kao što su Arhimed, Euklid, Eudoks koristili su zbrojeve beskonačnih nizova brojeva za izračunavanje duljina krivulja, volumena tijela i površina likova. Konkretno, na ovaj način je bilo moguće saznati površinu paraboličkog segmenta. Za to je korišten zbroj brojčanog niza geometrijske progresije s q=1/4. Na sličan način pronađeni su volumeni i površine drugih proizvoljnih likova. Ova se opcija zvala metoda "iscrpljenja". Ideja je bila da se proučavano tijelo, složenog oblika, razbije na dijelove, koji su figure s lako mjerljivim parametrima. Iz tog razloga nije bilo teško izračunati njihove površine i volumene, a zatim su se zbrajali.

Usput, slični su zadaci vrlo poznati suvremenim školarcima i nalaze se u zadacima USE. Jedinstvena metoda, koju su pronašli daleki preci, daleko je najjednostavnije rješenje. Čak i ako postoje samo dva ili tri dijela na koje je brojčana figura podijeljena, zbrajanje njihovih površina i dalje je zbroj brojevnog niza.

Mnogo kasnije od starogrčkih znanstvenika Leibniza i Newtona, na temelju iskustva svojih mudrih prethodnika, naučili su zakone integralnog izračuna. Poznavanje svojstava nizova pomoglo im je u rješavanju diferencijalnih i algebarskih jednadžbi. Trenutno teorija serija, stvorena naporima mnogih generacija talentiranih znanstvenika, daje priliku za rješavanje ogromnog broja matematičkih i praktičnih problema. A proučavanje numeričkih nizova glavni je problem riješen matematičkom analizom od njezina početka.

Niz je jedan od osnovnih pojmova matematike. Niz se može sastojati od brojeva, točaka, funkcija, vektora i tako dalje. Niz se smatra zadanim ako je specificiran zakon prema kojem je svaki prirodni broj n pridružen elementu x n nekog skupa. Niz se piše kao x 1 , x 2 , …, x n , ili ukratko (x n). Elementi x 1 , x 2 , ..., x n nazivaju se članovi niza, x 1 - prvi, x 2 - drugi, x n - zajednički (n-ti) član niza.

Najčešće se razmatraju numerički nizovi, odnosno nizovi čiji su članovi brojevi. Analitička metoda je najjednostavniji način za određivanje numeričkog niza. To se radi pomoću formule koja izražava n-ti član niza x 1 u smislu njegovog broja n. Na primjer, ako

Drugi način je rekurentan (od latinske riječi recidivi- “povratak”), kada je postavljeno prvih nekoliko članova niza i pravila, što omogućuje da se svaki sljedeći član izračuna preko prethodnih. Na primjer:

Primjeri brojčanih nizova su aritmetička progresija i geometrijska progresija.

Zanimljivo je pratiti ponašanje članova niza kako se broj n neograničeno povećava (činjenica da n raste beskonačno zapisuje se kao n → ∞ i glasi: “n teži beskonačnosti”).

Razmotrimo niz sa zajedničkim pojmom x n = 1/n: x 1 = 1, x 2 = 1/2; x 3 \u003d 1/3, ..., x 100 \u003d 1/100, .... Svi članovi ovog niza su različiti od nule, ali što je n veći, to se manje x n razlikuje od nule. Članovi ovog niza teže nuli kako se n neograničeno povećava. Za broj nula se kaže da je granica ovog niza.

Drugi primjer: x n = (−1) n / n - definira slijed

Članovi ovog niza također teže nuli, ali su ili veći od nule ili manji od nule - njihova granica.

Razmotrimo još jedan primjer: x n = (n − 1)/(n + 1). Ako x n predstavimo u obliku

tada postaje jasno da ovaj niz teži jedinstvu.

Definirajmo granicu niza. Broj a naziva se granica niza (x n) ako se za bilo koji pozitivan broj ε može odrediti broj N takav da je, za sve n > N, nejednakost |x n − a|< ε.

Ako je a granica niza (x n), tada napišite x n → a, ili a = lim n→∞ x n (lim su prva tri slova latinske riječi limete- "ograničenje").

Ova će definicija postati jasnija ako joj damo geometrijsko značenje. U interval (a − ε, a + ε) stavljamo broj a (vidi sliku). Broj a je granica niza (x n) ako, bez obzira na malenost intervala (a − ε, a + ε), svi članovi niza s brojevima većim od nekog N leže u tom intervalu. Drugim riječima, izvan bilo kojeg intervala (a − ε, a + ε) može postojati samo konačan broj članova niza.

Za razmatrani niz x n = (−1) n /n, ε-susjedstvo nulte točke na ε = 1/10 uključuje sve članove niza, osim prvih deset, a za ε = 1/100, svi članovi niza, osim prve stotine.

Niz koji ima granicu naziva se konvergentan, a niz koji nema granicu naziva se divergentan. Evo primjera divergentnog niza: x n = (−1) n . Njegovi su uvjeti naizmjenično +1 i −1 i ne teže nikakvim granicama.

Ako niz konvergira, onda je on omeđen, tj. postoje brojevi c i d takvi da svi članovi niza zadovoljavaju uvjet c ≤ x n ≤ d. Iz toga slijedi da su svi neograničeni nizovi divergentni. Ovo su sekvence:

Za niz koji teži nuli kaže se da je beskonačno mali. Koncept infinitezimalnog može se koristiti kao osnova za opću definiciju granice niza, budući da je granica niza (x n) jednaka a ako i samo ako se x n može predstaviti kao zbroj x n = a + α n , gdje je α n beskonačno malo.

Razmatrani nizovi (1/n), ((−1) n /n) su beskonačno mali. Niz (n − 1)/(n + 1), kao što slijedi iz (2), razlikuje se od 1 za beskonačno malo 2/(n + 1), pa je stoga granica ovog niza 1.

Od velike važnosti u matematičkoj analizi također je koncept beskonačno velikog niza. Niz (x n) naziva se beskonačno velikim ako je niz (1/x n) beskonačno mali. Beskonačno veliki niz (x n) zapisuje se kao x n → ∞, ili lim n→∞ x n = ∞, i kaže se da "ide u beskonačnost". Evo primjera beskonačno velikih sekvenci:

(n 2), (2 n), (√(n + 1)), (n - n 2).

Naglašavamo da beskonačno veliki niz nema ograničenja.

Razmotrimo nizove (x n) i (y n). Nizove možete definirati uobičajenim pojmovima x n + y n , x n − y n , x n y n i (ako je y n ≠ 0) x n /y n . Točan je sljedeći teorem, koji se često naziva teoremom o aritmetičkim operacijama s ograničenjima: ako se nizovi (x n) i (y n) konvergiraju, tada nizovi (x n + y n), (x n − y n), (x n y n), ( x n /y n) također konvergiraju i vrijede sljedeće jednakosti:

U potonjem slučaju potrebno je dodatno zahtijevati da svi članovi niza (y n) budu različiti od nule, kao i da je zadovoljen uvjet lim n→∞ y n ≠ 0.

Primjenom ovog teorema mogu se pronaći mnoga ograničenja. Pronađite, na primjer, granicu niza sa zajedničkim pojmom

Predstavljanje x n u obliku

utvrditi da granica brojnika i nazivnika postoji:

pa dobivamo:

lim n→∞ x n = 2/1 =2.

Važna klasa sekvenci su monotoni nizovi. Takozvani nizovi rastući (x n+1 > x n za bilo koji n), opadajući (x n+1< x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

Zamislimo da se niz (x n) ne smanjuje, tj. nejednadžbe

x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ … ≤ x n ≤ x n+1 ≤ …,

i neka je, osim toga, ovaj niz omeđen odozgo, tj. svi x n ne prelaze neki broj d. Svaki član takvog niza veći je ili jednak prethodnom, ali nijedan od njih ne prelazi d. Sasvim je očito da ovaj niz teži nekom broju koji je ili manji od d ili jednak d. U tijeku matematičke analize dokazuje se teorem da neopadajući i odozgo omeđen niz ima granicu (slična tvrdnja vrijedi i za nerastući i odozdo omeđen niz). Ovaj izvanredan teorem daje dovoljne uvjete za postojanje granice. Iz toga, na primjer, proizlazi da niz površina pravilnih n-kutova upisanih u krug jediničnog polumjera ima ograničenje, budući da je monotono rastući i omeđen odozgo. Granica ovog niza je označena s π.

Pomoću granice monotonog ograničenog niza određuje se broj e, koji ima veliku ulogu u matematičkoj analizi – baza prirodnih logaritama:

e = lim n→∞ (1 + 1/n) n .

Niz (1), kao što je već navedeno, monoton je i, štoviše, omeđen odozgo. Ona ima granicu. Ovu granicu možemo lako pronaći. Ako je jednak a, tada broj a mora zadovoljiti jednakost a = √(2 + a). Rješavajući ovu jednadžbu, dobivamo a = 2.