koordinatna linija. Točke na koordinatnoj liniji. Kako nacrtati koordinatni pravac Kako nacrtati koordinatni pravac

Dakle, jedinični segment i njegov deseti, stoti i tako dalje udjeli omogućuju nam da dođemo do točaka koordinatnog pravca, koje će odgovarati konačnim decimalnim razlomcima (kao u prethodnom primjeru). Međutim, postoje točke na koordinatnoj liniji koje ne možemo pogoditi, ali im se možemo približiti proizvoljno blizu, koristeći sve manje i manje do beskonačno malog udjela jediničnog segmenta. Ove točke odgovaraju beskonačnim periodičnim i neperiodskim decimalnim razlomcima. Navedimo neke primjere. Jedna od ovih točaka na koordinatnoj liniji odgovara broju 3.711711711…=3,(711) . Da biste pristupili ovoj točki, trebate izdvojiti 3 segmenta jedinice, 7 njegovih desetina, 1 stotinka, 1 tisućinka, 7 desettisućinki, 1 stotisućnjak, 1 milijunti dio segmenta jedinice, itd. I još jedna točka koordinatnog pravca odgovara pi (π=3,141592...).

Budući da su elementi skupa realnih brojeva svi brojevi koji se mogu zapisati u obliku konačnih i beskonačnih decimalnih razlomaka, tada nam sve navedene informacije u ovom odlomku omogućuju da tvrdimo da smo svakoj točki dodijelili određeni realni broj koordinatnu liniju, dok je jasno da različite točke odgovaraju različitim realnim brojevima.

Također je sasvim očito da je ova korespondencija jedan na jedan. Odnosno, danu točku na koordinatnoj liniji možemo pridružiti realnom broju, ali također možemo koristiti zadani realni broj da označimo određenu točku na koordinatnoj liniji kojoj taj realni broj odgovara. Da bismo to učinili, morat ćemo odgoditi određeni broj jediničnih segmenata, kao i desetinke, stotinke i tako dalje, jednog segmenta od ishodišta u pravom smjeru. Na primjer, broj 703.405 odgovara točki na koordinatnoj liniji, do koje se može doći iz ishodišta ako se odvoje 703 segmenta jedinice u pozitivnom smjeru, 4 segmenta koji čine desetinu jedinice i 5 segmenata koji čine tisućiti dio jedinice.

Dakle, svaka točka na koordinatnoj liniji odgovara realnom broju, a svaki realan broj ima svoje mjesto u obliku točke na koordinatnoj liniji. Zato se koordinatni pravac često naziva brojevnu liniju.

Koordinate točaka na koordinatnoj liniji

Poziva se broj koji odgovara točki na koordinatnoj liniji koordinata ove točke.

U prethodnom odlomku rekli smo da svaki realni broj odgovara jednoj točki na koordinatnoj liniji, dakle, koordinata točke jednoznačno određuje položaj ove točke na koordinatnoj liniji. Drugim riječima, koordinata točke jedinstveno definira ovu točku na koordinatnoj liniji. S druge strane, svakoj točki na koordinatnoj liniji odgovara jedan realan broj – koordinata ove točke.

Ostaje reći samo o prihvaćenoj notaciji. Koordinata točke ispisuje se u zagradi desno od slova koje označava točku. Na primjer, ako točka M ima koordinatu -6, tada možete napisati M(-6) , a zapis oblika znači da točka M na koordinatnoj liniji ima koordinatu.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: udžbenik za 5 ćelija. obrazovne ustanove.
• Vilenkin N.Ya. itd. Matematika. 6. razred: udžbenik za obrazovne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne ustanove.

Nemoguće je tvrditi da znate matematiku ako ne znate graditi grafove, prikazati nejednakosti na koordinatnoj liniji i raditi s koordinatnim osi. Vizualna komponenta u znanosti je od vitalnog značaja, jer bez vizualnih primjera u formulama i izračunima ponekad se možete jako zbuniti. U ovom članku ćemo vidjeti kako raditi s koordinatnim osi i naučiti kako graditi jednostavne grafove funkcija.

Primjena

Koordinatna linija je osnova najjednostavnijih vrsta grafova s ​​kojima se učenik susreće na svom obrazovnom putu. Koristi se u gotovo svim matematičkim temama: pri izračunavanju brzine i vremena, projiciranju veličine objekata i izračunavanju njihove površine, u trigonometriji pri radu sa sinusima i kosinusima.

Glavna vrijednost takve izravne linije je vidljivost. Budući da je matematika znanost koja zahtijeva visoku razinu apstraktnog razmišljanja, grafovi pomažu u predstavljanju objekta u stvarnom svijetu. Kako se ponaša? U kojoj će točki svemira biti za nekoliko sekundi, minuta, sati? Što se o njemu može reći u usporedbi s drugim objektima? Kolika je njegova brzina u slučajno odabranom vremenu? Kako okarakterizirati njegovo kretanje?

A o brzini govorimo s razlogom - često je prikazuju grafovi funkcija. Također mogu prikazati promjene temperature ili tlaka unutar objekta, njegovu veličinu, orijentaciju u odnosu na horizont. Stoga je konstruiranje koordinatnog pravca često potrebno i u fizici.

1D graf

Postoji koncept višedimenzionalnosti. Za određivanje mjesta točke dovoljan je samo jedan broj. Upravo je to slučaj s korištenjem koordinatnog pravca. Ako je prostor dvodimenzionalan, tada su potrebna dva broja. Karte ove vrste koriste se mnogo češće, a svakako ćemo ih razmotriti malo dalje u članku.

Što se može vidjeti uz pomoć točaka na osi, ako je samo jedna? Možete vidjeti veličinu objekta, njegovu poziciju u prostoru u odnosu na neku "nulu", tj. točku odabranu kao ishodište.

Neće biti moguće vidjeti promjenu parametara tijekom vremena, jer će sva očitanja biti prikazana za jedan određeni trenutak. Međutim, odnekud morate početi! Pa počnimo.

Kako izgraditi koordinatnu os

Prvo morate nacrtati vodoravnu crtu - to će biti naša os. S desne strane ga "naoštrite" tako da izgleda kao strelica. Dakle, ukazujemo na smjer u kojem će se brojevi povećavati. U smjeru prema dolje, strelica se obično ne postavlja. Tradicionalno, os je usmjerena udesno, pa ćemo jednostavno slijediti ovo pravilo.

Stavimo nulu, koja će prikazati ishodište koordinata. To je upravo mjesto s kojeg se vodi odbrojavanje, bilo da se radi o veličini, težini, brzini ili bilo čemu drugom. Uz nulu, nužno moramo odrediti i tzv. cijenu podjele, tj. uvesti jedinični standard, u skladu s kojim ćemo na osi iscrtati određene količine. To se mora učiniti kako bi se mogla pronaći duljina segmenta na koordinatnoj liniji.

Kroz jednaku udaljenost jedna od druge, stavljamo točke ili "zareze" na liniju, a ispod njih pišemo 1,2,3, i tako dalje. A sada, sve je spremno. Ali s rezultirajućim rasporedom, još uvijek morate naučiti kako raditi.

Vrste točaka na koordinatnoj liniji

Na prvi pogled na crteže predložene u udžbenicima, postaje jasno: točke na osi mogu se popuniti ili ne ispuniti. Mislite li da je to slučajnost? Nikako! Za ne-strogu nejednakost koristi se "puna" točka - ona koja glasi "veće ili jednako". Ako trebamo strogo ograničiti interval (na primjer, "x" može uzeti vrijednosti od nule do jedan, ali ga ne uključuje), koristit ćemo "šuplju" točku, odnosno, zapravo, mali krug na osi. Treba napomenuti da studenti baš i ne vole stroge nejednakosti, jer je s njima teže raditi.

Ovisno o tome koje točke koristite na grafikonu, konstruirani intervali će također biti imenovani. Ako nejednakost na obje strane nije stroga, tada dobivamo segment. Ako se s jedne strane pokaže da je "otvoreno", onda će se to nazvati poluintervalom. Konačno, ako je dio pravca s obje strane omeđen šupljim točkama, nazvat ćemo ga intervalom.

Avion

Prilikom konstruiranja dvaju linija na možemo već razmotriti grafove funkcija. Recimo da je vodoravna crta vremenska os, a okomita je udaljenost. A sada smo u mogućnosti odrediti koju će udaljenost objekt prevladati za minutu ili sat putovanja. Dakle, rad s ravninom omogućuje praćenje promjene stanja objekta. Ovo je mnogo zanimljivije od istraživanja statičkog stanja.

Najjednostavniji graf na takvoj ravnini je ravna crta; on odražava funkciju Y(X) = aX + b. Savija li se linija? To znači da objekt mijenja svoje karakteristike u procesu istraživanja.

Zamislite da stojite na krovu zgrade držeći kamen u ispruženoj ruci. Kada ga pustite, poletjet će dolje, počevši se kretati od nulte brzine. Ali u sekundi će svladati 36 kilometara na sat. Kamen će nastaviti dalje ubrzavati, a da biste nacrtali njegovo kretanje na karti, morat ćete izmjeriti njegovu brzinu u nekoliko vremenskih točaka postavljanjem točaka na osi na odgovarajuća mjesta.

Oznake na vodoravnoj koordinatnoj liniji prema zadanim postavkama imaju nazive X1, X2,X3, a na okomitoj - Y1, Y2,Y3, redom. Projicirajući ih na ravninu i pronalazeći sjecišta, nalazimo fragmente rezultirajućeg uzorka. Povezujući ih jednom linijom, dobivamo graf funkcije. U slučaju pada kamena, kvadratna funkcija će izgledati ovako: Y(X) = aX * X + bX + c.

Mjerilo

Naravno, nije potrebno postavljati cjelobrojne vrijednosti pored podjela ravnom crtom. Ako razmišljate o kretanju puža koji puže brzinom od 0,03 metra u minuti, postavite kao vrijednosti na koordinatnoj ravnoj liniji. U tom slučaju postavite vrijednost podjele na 0,01 metar.

Posebno je prikladno izvoditi takve crteže u bilježnici u kavezu - ovdje možete odmah vidjeti ima li dovoljno mjesta na listu za vaš raspored, hoćete li ići dalje od margina. Nije teško izračunati svoju snagu, jer je širina ćelije u takvoj bilježnici 0,5 centimetara. Trebalo je - smanjio sliku. Promjenom skale grafikona neće izgubiti niti promijeniti svoja svojstva.

Koordinate točke i linije

Kada se matematički problem daje u lekciji, on može sadržavati parametre različitih geometrijskih oblika, kako u obliku duljina stranica, opsega, površine, tako i u obliku koordinata. U ovom slučaju, možda ćete morati i izgraditi oblik i dobiti neke podatke povezane s njim. Postavlja se pitanje: kako pronaći tražene podatke na koordinatnoj liniji? A kako izgraditi figuru?

Na primjer, govorimo o točki. Tada će se u uvjetu zadatka pojaviti veliko slovo, a u zagradama će se pojaviti nekoliko brojeva, najčešće dva (to znači da ćemo računati u dvodimenzionalnom prostoru). Ako postoje tri broja u zagradama, odvojena točkom-zarezom ili zarezom, onda je ovo trodimenzionalni prostor. Svaka od vrijednosti je koordinata na odgovarajućoj osi: prvo duž horizontale (X), zatim duž vertikale (Y).

Sjećate se kako nacrtati segment? Položio si ga na geometriji. Ako postoje dvije točke, onda se između njih može povući crta. Njihove koordinate su naznačene u zagradama ako se segment pojavljuje u problemu. Na primjer: A(15, 13) - B(1, 4). Da biste izgradili takvu liniju, morate pronaći i označiti točke na koordinatnoj ravnini, a zatim ih spojiti. To je sve!

A bilo koji poligon, kao što znate, može se nacrtati pomoću segmenata. Problem riješen.

Izračuni

Pretpostavimo da postoji neki objekt čiji položaj duž osi X karakteriziraju dva broja: počinje u točki s koordinatom (-3) i završava na (+2). Ako želimo znati duljinu ovog objekta, onda moramo od većeg broja oduzeti manji broj. Imajte na umu da negativan broj apsorbira predznak oduzimanja, jer je "minus puta minus jednak plusu". Dakle, zbrajamo (2+3) i dobivamo 5. Ovo je traženi rezultat.

Drugi primjer: dana nam je krajnja točka i duljina objekta, ali ne i početna točka (i trebamo je pronaći). Neka je pozicija poznate točke (6), a veličina promatranog objekta (4). Oduzimanjem duljine od konačne koordinate, dobivamo odgovor. Ukupno: (6 - 4) = 2.

Negativni brojevi

Često je u praksi potrebno raditi s negativnim vrijednostima. U tom slučaju ćemo se kretati duž koordinatne osi ulijevo. Na primjer, predmet visok 3 centimetra pluta u vodi. Jedna trećina je uronjena u tekućinu, dvije trećine u zrak. Zatim, odabirom površine vode kao osi, dobivamo dva broja pomoću najjednostavnijih aritmetičkih izračuna: gornja točka objekta ima koordinatu (+2), a donja - (-1) centimetar.

Lako je vidjeti da u slučaju ravnine imamo četiri četvrtine koordinatnog pravca. Svaki od njih ima svoj broj. U prvom (gornjem desnom) dijelu bit će točke koje imaju dvije pozitivne koordinate, u drugom - u gornjem lijevom kutu - vrijednosti osi X bit će negativne, a duž osi Y - pozitivne. Treći i četvrti broje se dalje u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Važna nekretnina

Znate da se pravac može predstaviti kao beskonačan broj točaka. Možemo pažljivo promatrati koliko god želimo bilo koji broj vrijednosti u svakom smjeru osi, ali nećemo susresti one koje se ponavljaju. Čini se naivno i razumljivo, ali ta izjava proizlazi iz važne činjenice: svaki broj odgovara jednoj i samo jednoj točki na koordinatnoj liniji.

Zaključak

Zapamtite da sve osi, figure i, ako je moguće, grafike moraju biti izgrađene na ravnalu. Mjerne jedinice nije čovjek izmislio slučajno – ako pogriješite prilikom crtanja, riskirate da vidite drugačiju sliku koja je trebala biti dobivena.

Budite pažljivi i točni u crtanju grafikona i izračunima. Kao i svaka znanost koja se proučava u školi, matematika voli točnost. Uložite malo truda i dobre ocjene neće dugo trajati.

Tema lekcije:

« Koordinate na ravnoj liniji»

Svrha lekcije:

upoznati učenike s koordinatnim pravcem i negativnim brojevima.

Ciljevi lekcije:

Osposobljavanje: upoznati učenike s koordinatnom linijom i negativnim brojevima.

Razvijanje: razvoj logičkog mišljenja, širenje vidika.

Odgojno: razvijanje kognitivnog interesa, odgoj informacijske kulture.

Plan učenja:

Organizacijski trenutak. Provjera učenika i njihove spremnosti za nastavu.

Ažuriranje osnovnih znanja. Usmena anketa učenika o obrađenoj temi.

Objašnjenje novog gradiva.

4. Učvršćivanje proučenog gradiva.

5. Rezimirajući. Sažetak naučenog na lekciji. Pitanja učenika.

6. Zaključci. Sažimanje glavnih točaka lekcije. Procjena znanja. Postavljanje oznaka.

7. Domaća zadaća. Samostalan rad učenicima s nastavnim materijalom.

Oprema: kreda, ploča, tobogani.

Prošireni okvirni plan

Scensko ime i sadržaj

Aktivnost

Aktivnost

studentima

I pozornica

Organizacijski trenutak. pozdrav.

Ispunjavanje dnevnika.

pozdravlja razred, voditelj razreda daje popis odsutnih.

reci bok

učitelj, nastavnik, profesor

II faza

Ažuriranje osnovnih znanja.

Drevni grčki znanstvenik Pitagora je rekao: "Brojevi vladaju svijetom." Živimo u ovom svijetu brojeva, a u školskim godinama učimo raditi s različitim brojevima.

1 Koje brojeve već znamo za današnju lekciju?

2 Koje probleme nam ovi brojevi pomažu riješiti?

Danas prelazimo na proučavanje drugog poglavlja našeg udžbenika "Racionalni brojevi", gdje ćemo proširiti svoje znanje o brojevima, a nakon proučavanja cijelog poglavlja "Racionalni brojevi" naučit ćemo kako izvoditi sve radnje koje poznajete. s njima i počnite s koordinatnom linijom teme.

1. prirodni, obični razlomci, decimalni razlomci

2. zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, pronalaženje razlomka iz broja i broja iz njegovog razlomka, rješavanje raznih jednadžbi i zadataka

III faza

Objašnjenje novog gradiva.

Uzmimo pravac AB i podijelimo ga točkom O na dvije dodatne zrake - OA i OB. Odaberemo jedan odsječak na pravoj liniji i uzmemo točku O kao ishodište i smjer.

definicije:

Ravna crta na kojoj je odabrana referentna točka, jedinični segment i smjer naziva se koordinatna linija.

Broj koji pokazuje položaj točke na ravnoj crti naziva se koordinata te točke.

Kako konstruirati koordinatni pravac?

nacrtati izravnu

postaviti jedan segment

naznačiti smjer

Koordinatna crta može se nacrtati na različite načine: vodoravno, okomito i pod bilo kojim drugim kutom prema horizontu, i ima početak, ali nema kraj.

Vježba 1. Koji od sljedećih redaka nisu koordinatni? (slajd)

Nacrtajmo koordinatnu liniju, označimo ishodište koordinata, jedinični segment i ostavimo točke 1,2,3,4 i tako lijevo i desno.

Pogledajmo rezultirajuću koordinatnu liniju. Zašto je tako ravna crta nezgodna?

Smjer udesno od ishodišta naziva se pozitivnim, a smjer na pravoj liniji označen je strelicom. Brojevi koji se nalaze desno od točke O nazivaju se pozitivni. Negativni brojevi nalaze se lijevo od točke O, a smjer lijevo od točke O naziva se negativnim (negativan smjer nije naznačen). Ako se koordinatna linija nalazi okomito, onda iznad od ishodišta - pozitivni brojevi, ispod od ishodišta - negativni. Negativni brojevi se pišu sa znakom "-". Čitaju: "minus jedan", "minus dva", "minus tri" itd. Broj 0 - ishodište nije ni pozitivno ni negativno. Odvaja pozitivne od negativnih brojeva.

Rješenje jednadžbi i koncepta "duga" u trgovačkim izračunima doveli su do pojave negativnih brojeva.

Negativni brojevi pojavili su se mnogo kasnije od prirodnih brojeva i običnih razlomaka. Prve informacije o negativnim brojevima nalazimo među kineskim matematičarima u 2. stoljeću pr. PRIJE KRISTA e. Pozitivni brojevi su tada tumačeni kao imovina, a negativni brojevi kao dug, nestašica. U Europi je priznanje došlo tisuću godina kasnije, a čak i tada su se dugo negativni brojevi nazivali “lažnim”, “imaginarnim” ili “apsurdnim”. U 17. stoljeću negativni brojevi dobili su vizualni geometrijski prikaz na brojevnoj liniji.

Također možete navesti primjere koordinatne linije: termometar, usporedbu planinskih vrhova i depresija (razina mora se uzima kao nula), udaljenost na karti, okno dizala, kuće, dizalice.

Razmišljati znate li još neke primjere koordinatnog pravca?

Zadaci.

Zadatak 2. Imenujte koordinate točaka.

Zadatak3. Iscrtajte točke na koordinatnoj liniji

Zadatak 4 . Nacrtajte vodoravnu liniju i na njoj označite točku O. Označite točke A, B, C, K na ovoj liniji ako je poznato da:

A je 9 ćelija desno od O;

B je 6,5 stanica lijevo od O;

C je 3½ razmaka desno od O;

K je 3 razmaka lijevo od O .

Snimljeno u baznim notama.

Slušajte, nadopunjujte.

Dovršite zadatak u svojoj bilježnici, a zatim naglas objasnite svoje odgovore.

Nacrtajte, označite ishodište koordinata jednog segmenta

Takva ravna crta je nezgodna jer isti broj odgovara 2 točke na ravnoj crti.

Povijest prije naše ere i naše ere.

IV stadij

Učvršćivanje proučenog gradiva.

1. Što je koordinatni pravac?

2. Kako izgraditi koordinatni pravac?

1. Ravna crta na kojoj je odabrana referentna točka, jedinični segment i smjer naziva se koordinatna linija

2) nacrtati ravnu liniju

označi početak odbrojavanja

postaviti jedan segment

naznačiti smjer

Stadij V

Rezimirajući

Što smo danas novo naučili?

Koordinatni pravac i negativni brojevi.

VI faza

Procjena znanja. Postavljanje oznaka.

Domaća zadaća.

Izmislite pitanja na obrađenu temu (znajte odgovore na njih)

koordinatnu liniju.

Uzmimo ravnu liniju. Nazovimo je pravim x (slika 1). Odaberemo referentnu točku O na ovoj liniji, a također strelicom označimo pozitivan smjer ove linije (slika 2). Dakle, desno od točke O imat ćemo pozitivne brojeve, a lijevo - negativne. Odabiremo ljestvicu, odnosno veličinu pravocrtnog segmenta, jednaku jedan. Shvatili smo koordinatnu liniju(slika 3). Svaki broj odgovara određenoj jednoj točki na ovoj liniji. Štoviše, taj se broj naziva koordinata ove točke. Stoga se pravac naziva koordinatna linija. A referentna točka O naziva se ishodište.

Na primjer, na sl. 4 točka B nalazi se na udaljenosti od 2 desno od ishodišta. Točka D nalazi se na udaljenosti 4 lijevo od ishodišta. Prema tome, točka B ima koordinate 2, a točka D ima koordinatu -4. Sama točka O, kao referentna točka, ima koordinate 0 (nula). Obično se piše ovako: O(0), B(2), D(-4). A da ne bi stalno govorili "točka D s koordinatom takva i takva", kažu jednostavnije: "točka 0, točka 2, točka -4". I u ovom slučaju, dovoljno je označiti samu točku svojom koordinatom (slika 5).

Poznavajući koordinate dviju točaka koordinatnog pravca, uvijek možemo izračunati udaljenost između njih. Recimo da imamo dvije točke A i B s koordinatama a odnosno b. Tada će razmak između njih biti |a - b|. Zabilježite |a - b| čitati kao "a minus b modulo" ili "modul razlike između brojeva a i b".

Što je modul?

Algebarski, modul x je nenegativan broj. Označeno kao |x|. Štoviše, ako je x > 0, tada je |x| = x. Ako je x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

Geometrijski, modul broja x je udaljenost između točke i ishodišta. A ako postoje dvije točke s koordinatama x1 i x2, onda |x1 - x2| je udaljenost između ovih točaka.

Modul se također naziva apsolutna vrijednost.

Što još možemo reći kada je riječ o koordinatnoj liniji? Svakako o brojčanim intervalima.

Vrste brojčanih intervala.

Recimo da imamo dva broja a i b. Štoviše, b > a (b je veći od a). Na koordinatnoj liniji to znači da je točka b desno od točke a. Zamijenimo b u našoj nejednakosti varijablom x. To je x > a. Tada su x svi brojevi veći od a. Na koordinatnoj liniji to su, odnosno, sve točke desno od točke a. Ovaj dio linije je zasjenjen (slika 6). Takav skup točaka naziva se otvorena greda, a ovaj brojčani interval je označen s (a; +∞), pri čemu se znak +∞ čita kao "plus beskonačnost". Imajte na umu da sama točka a nije uključena u ovaj interval i označena je svjetlosnim krugom.

Razmotrimo i slučaj kada je x ≥ a. Tada su x svi brojevi veći ili jednaki a. Na koordinatnoj liniji to su sve točke desno od a, kao i sama točka a (na slici 7. točka a je već označena tamnim krugom). Takav skup točaka naziva se zatvorena greda(ili samo zraka), a ovaj brojčani interval je označen sa .

Koordinatni pravac se također naziva koordinatna os. Ili samo x-os.

Na kraju 1. poglavlja rekli smo da tijekom algebre ti i ja trebamo naučiti opisati stvarne situacije riječima (verbalni model), algebarski (algebarski ili, kako matematičari često kažu, analitički model), grafički (grafički ili geometrijski model). Cijeli prvi dio udžbenik(poglavlja 1-5) bila je posvećena proučavanju matematičkog jezika kojim se opisuju analitički modeli.

Počevši od 6. poglavlja proučavat ćemo ne samo nove analitičke, već i grafičke (geometrijske) modele. Izgrađeni su pomoću koordinatnog pravca, koordinatna ravnina. Ovi pojmovi su vam malo poznati iz tečaja matematike u 5.-6. razredu.

Ravna crta /, na kojoj je inicijal točka O (referentna točka), mjerilo (jednostruko linijski segment, tj. segment, čija se duljina smatra jednakom 1) i pozitivnim smjerom, naziva se koordinatna linija ili koordinatna os (slika 7); Također se koristi izraz "x-os".

Svaki broj odgovara jednoj točki na liniji. Na primjer, broj 3,5 odgovara točki M (slika 8), koja je udaljena od ishodišta, tj. od točke O, na udaljenosti jednakoj 3,5 (na datoj skali), i odgođena od točke O u danom (pozitivnom) smjeru. Broj -4 odgovara točki P (vidi sliku 8), koja je udaljena od točke O na udaljenosti jednakoj 4 i odgođena od točke O u negativnom smjeru, tj. u smjeru suprotnom zadanom jedan.

Također vrijedi i obrnuto: svaka točka koordinatnog pravca odgovara jednom broju.

Na primjer, točka K, koja je 5,4 od točke O u pozitivnom (zadanom) smjeru, odgovara broju 5,4, a točka N, koja je 2,1 od točke O u negativnom smjeru, odgovara broju - 2,1 (vidi sl. . 8).

Ti se brojevi nazivaju koordinatama odgovarajućih točaka. Dakle, na sl. 8 točka K ima koordinatu 5,4; točka P - koordinata -4; točka M - koordinata 3,5; točka N - koordinata -2,1; točka O - koordinata 0 (nula). Otuda i naziv - "koordinatna linija". Slikovito rečeno, koordinata je gusto naseljena kuća, stanovnici ove kuće su točke, a koordinate točaka su brojevi stanova u kojima točke-stanovnici žive.

Zašto nam je potrebna koordinatna linija? Zašto točku karakterizirati brojem, a broj točkom? Ima li od ovoga neke koristi? Da tamo je.
Neka su, na primjer, dvije točke dane na koordinatnoj liniji: A - s koordinatom o i B - s koordinatom b (obično u takvim slučajevima pišu kraće:
A(a), B(b)). Pretpostavimo da trebamo pronaći udaljenost d između točaka A i B. Ispada da umjesto da radimo geometrijska mjerenja, samo upotrijebite gotovu formulu d \u003d (a - b) (učili ste je u 6. razredu).
Dakle, na slici 8 imamo:

Nastojeći jezgrovitosti rasuđivanja, matematičari su se složili umjesto dugačke fraze "točka A koordinatne prave, koja ima koordinatu a", upotrijebiti kratku frazu: "točka a", te, sukladno tome, na crtežu točku ispod razmatranje je označeno njegovom koordinatom. Dakle, slika 9 prikazuje koordinatnu liniju na kojoj su točke označene - 4; - 2,1; 0; jedan; 3,5; 5.4.

Koordinatna linija daje nam mogućnost slobodnog prijelaza s algebarskog na geometrijski jezik i obrnuto. Neka je, na primjer, broj a manji od broja b. U algebarskom jeziku to se piše kao: a< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Međutim, i algebarski i geometrijski jezici su varijante istog matematičkog jezika koji proučavamo.

Upoznajmo se s još nekoliko elemenata matematičkog jezika koji su povezani s koordinatnom linijom.

1. Neka je na koordinatnoj liniji označena točka a. Razmotrimo sve točke koje leže na pravoj desno od točke a i označimo odgovarajući dio šrafiranjem koordinatnog pravca (slika 10). Ovaj skup točaka (brojeva) naziva se otvorena zraka i označava se s (a, + oo), pri čemu znak + oo glasi: “plus beskonačnost”; karakterizira ga nejednakost x > a (pod dz podrazumijevamo bilo koju točku grede).

Imajte na umu: točka a ne pripada otvorenoj gredi, ali ako ovu točku treba pričvrstiti na otvorenu gredu, tada napišite x\u003e a ili i, sukladno tome, prebojite točku b na crtežu (slika 13);

za (-oo, b) koristit ćemo i pojam zraka.

3. Neka su točke a i b označene na koordinatnoj liniji, i< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

Ovaj skup (brojeva) naziva se interval i označava s (a, b).

Karakterizira ga stroga dvostruka nejednakost a< х < b (под х понимается любая точка интервала).

Imajte na umu: interval (a, b) je sjecište (zajednički dio) dviju otvorenih zraka (-oo, b) i (a, + oo) - to se jasno vidi na slici 15.

Ako dodamo njegove krajeve intervalu (a, b), tj. točke a i b, dobivamo segment [a, b] (slika 16),

koju karakterizira nestroga dvostruka nejednakost a< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

Segment [a, b] je presjek (zajednički dio) dviju zraka (-oo, b] i i koji karakteriziraju dvostruke nejednakosti: a< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

Dakle, uveli smo pet novih pojmova matematičkog jezika: zraka, otvorena zraka, interval, segment, poluinterval. Postoji i opći pojam: numeričke praznine.

Sama koordinatna linija također se smatra numeričkim intervalom; za to se koristi oznaka (-oo, +oo).

Matematika za 7. razred besplatno preuzimanje, planovi lekcija, priprema za školu online

A. V. Pogorelov, Geometrija za 7.-11. razred, Udžbenik za obrazovne ustanove