पासा का इतिहास। पासा ऑनलाइन हम एक स्वतंत्र परीक्षण के लिए शर्तों को जोड़ते हैं

"गामासूत्र" पर डिजाइनर टायलर सिगमैन द्वारा लिखित। मैं इसे प्यार से "एक orc के नथुने में बाल" लेख के रूप में संदर्भित करता हूं, लेकिन यह खेलों में संभावनाओं की मूल बातें बहुत अच्छी तरह से कवर करता है।

इस सप्ताह की थीम

आज तक, हमने लगभग हर चीज के बारे में बात की है जो नियतात्मक रही है, और पिछले हफ्ते हमने सकर्मक यांत्रिकी पर करीब से नज़र डाली और इसे उतना ही विस्तार से तोड़ दिया जितना मैं इसे समझा सकता हूं। लेकिन अब तक हमने कई खेलों के एक बड़े पहलू पर ध्यान नहीं दिया है, अर्थात् गैर-नियतात्मक पहलू, दूसरे शब्दों में - यादृच्छिकता। गेम डिजाइनरों के लिए यादृच्छिकता की प्रकृति को समझना बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि हम ऐसे सिस्टम बनाते हैं जो किसी दिए गए गेम में खिलाड़ी के अनुभव को प्रभावित करते हैं, इसलिए हमें यह जानने की जरूरत है कि ये सिस्टम कैसे काम करते हैं। अगर सिस्टम में यादृच्छिकता है, तो आपको समझने की जरूरत है प्रकृतियह यादृच्छिकता और हम जो परिणाम चाहते हैं उसे प्राप्त करने के लिए इसे कैसे बदलना है।

पासा

आइए कुछ सरल से शुरू करें: पासा पलटना। जब ज्यादातर लोग पासे के बारे में सोचते हैं, तो वे छह-तरफा मरने के बारे में सोचते हैं जिसे d6 कहा जाता है। लेकिन अधिकांश गेमर्स ने कई अन्य पासे देखे हैं: चार-तरफा (डी 4), आठ-तरफा (डी 8), डोडेकेहेड्रल (डी 12), बीस-तरफा (डी 20) ... और यदि आप वास्तविकगीक, आपके पास कहीं न कहीं 30-पक्षीय या 100-पक्षीय पासा हो सकता है। यदि आप इस शब्दावली से परिचित नहीं हैं, तो "d" का अर्थ है पासा, और इसके बाद की संख्या यह है कि इसके कितने फलक हैं। यदि एक इससे पहले"डी" एक संख्या के लिए खड़ा है, इसका मतलब है रकमपासा फेंके जाने पर। उदाहरण के लिए, एकाधिकार में, आप 2d6 रोल करते हैं।

तो, इस मामले में, "पासा" वाक्यांश एक पारंपरिक पदनाम है। कई अन्य जनरेटर हैं यादृच्छिक संख्या, जिसमें प्लास्टिक ब्लॉक का आकार नहीं होता है, लेकिन 1 से n तक एक यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करने का समान कार्य करता है। एक साधारण सिक्के को डायहेड्रल d2 डाई के रूप में भी माना जा सकता है। मैंने सात-पक्षीय पासे के दो डिज़ाइन देखे: उनमें से एक पासे जैसा दिखता था, और दूसरा सात-पक्षीय लकड़ी की पेंसिल जैसा दिखता था। टेट्राहेड्रल ड्रेडेल (जिसे टिटोटम भी कहा जाता है) टेट्राहेड्रल हड्डी का एक एनालॉग है। खेल "च्यूट्स एंड लैडर्स" में कताई तीर खेल का मैदान, जहां परिणाम 1 से 6 तक हो सकता है, छह-तरफा मरने से मेल खाता है। कंप्यूटर में यादृच्छिक संख्या जनरेटर 1 से 19 तक कोई भी संख्या बना सकता है यदि डिजाइनर ऐसा आदेश देता है, हालांकि कंप्यूटर में 19-पक्षीय पासा नहीं है (सामान्य तौर पर, मैं संख्याओं के गिरने की संभावना के बारे में अधिक बात करूंगा) कंप्यूटर पर अगलासप्ताह)। हालांकि ये सभी आइटम अलग-अलग दिखते हैं, वे वास्तव में समान हैं: आपके पास कई परिणामों में से एक प्राप्त करने की समान संभावना है।

पासे में कुछ रोचक गुण होते हैं जिनके बारे में हमें जानना आवश्यक है। सबसे पहले, किसी भी चेहरे के आने की संभावना समान है (मैं मान रहा हूं कि आप सही पासा घुमा रहे हैं, गलत ज्यामिति नहीं)। तो अगर आप जानना चाहते हैं अर्थरोल ("गणितीय अपेक्षा" के रूप में संभाव्यताओं के बीच भी जाना जाता है), सभी किनारों के मूल्यों को जोड़ दें और इस योग को विभाजित करें रकमचेहरे के। एक मानक छह-पक्षीय पासे के लिए एक रोल का औसत मूल्य 1+2+3+4+5+6 = 21 है, जिसे चेहरों की संख्या (6) से विभाजित किया जाता है और हमें 21/6 = 3.5 का औसत मूल्य मिलता है। यह एक विशेष मामला है क्योंकि हम मानते हैं कि सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं।

क्या होगा यदि आपके पास विशेष पासा है? उदाहरण के लिए, मैंने चेहरे पर विशेष स्टिकर के साथ छह-तरफा पासा खेल देखा: 1, 1, 1, 2, 2, 3, इसलिए यह एक अजीब तीन-तरफा पासा की तरह व्यवहार करता है, जो कि नंबर 1 को रोल करने की अधिक संभावना है। 2 से और 2 से 3। इस पासे के लिए औसत रोल वैल्यू क्या है? तो 1+1+1+2+2+3 = 10 को 6 से विभाजित करने पर 5/3 या लगभग 1.66 के बराबर होता है। इसलिए यदि आपके पास यह विशेष पासा है और खिलाड़ी तीन पासा फेंकते हैं और फिर परिणाम जोड़ते हैं, तो आप जानते हैं कि उनके रोल का अनुमानित योग लगभग 5 होगा, और आप उस धारणा के आधार पर खेल को संतुलित कर सकते हैं।

पासा और स्वतंत्रता

जैसा कि मैंने पहले ही कहा, हम इस धारणा से आगे बढ़ते हैं कि प्रत्येक चेहरे का ड्रॉपआउट समान रूप से संभावित है। यह इस बात पर निर्भर नहीं करता कि आप कितने पासे फेंकते हैं। पासे का हर रोल ध्यान दिए बिना, जिसका अर्थ है कि पिछले रोल बाद के रोल के परिणामों को प्रभावित नहीं करते हैं। पर्याप्त संख्या में परीक्षणों के साथ, आप निश्चित रूप से करेंगे सूचनासंख्याओं की "श्रृंखला", जैसे अधिकतर उच्च या निम्न मान, या अन्य विशेषताओं को रोल करना, और हम इसके बारे में बाद में बात करेंगे, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि पासा "गर्म" या "ठंडा" है। यदि आप एक मानक छह-पक्षीय पासे को रोल करते हैं और संख्या 6 लगातार दो बार आती है, तो संभावना है कि अगले रोल के परिणामस्वरूप 6 भी 1/6 है। संभावना इस तथ्य से नहीं बढ़ी है कि घन "गर्म" है। संभावना कम नहीं होती है, क्योंकि संख्या 6 पहले ही लगातार दो बार गिर चुकी है, जिसका अर्थ है कि अब एक और चेहरा गिर जाएगा। (बेशक, यदि आप एक पासे को बीस बार घुमाते हैं और हर बार संख्या 6 आती है, तो इक्कीसवीं बार संख्या 6 आने की संभावना बहुत अधिक है ... क्योंकि इसका मतलब यह हो सकता है कि आपके पास गलत पासा है !) लेकिन अगर आपके पास सही पास है, तो प्रत्येक चेहरे से गिरने की संभावना समान है, अन्य रोल के परिणामों की परवाह किए बिना। आप यह भी कल्पना कर सकते हैं कि हर बार हम पासे को बदलते हैं, इसलिए यदि संख्या 6 लगातार दो बार आती है, तो खेल से "हॉट" पासे को हटा दें और इसे एक नए छह-पक्षीय पासे से बदल दें। यदि आप में से किसी को इसके बारे में पहले से पता था तो मैं क्षमा चाहता हूं, लेकिन आगे बढ़ने से पहले मुझे इसे स्पष्ट करने की आवश्यकता थी।

पासा रोल को कम या ज्यादा यादृच्छिक कैसे बनाएं

आइए बात करते हैं कि अलग-अलग पासों पर अलग-अलग परिणाम कैसे प्राप्त करें। यदि आप पासे को केवल एक या कई बार घुमाते हैं, तो यदि पासे में अधिक किनारे हैं तो खेल अधिक यादृच्छिक लगेगा। जितनी बार आप पासे को घुमाते हैं, या जितना अधिक पासा घुमाते हैं, उतना ही अधिक परिणाम औसत के करीब पहुंच जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप 1d6+4 रोल करते हैं (अर्थात एक मानक छह-पक्षीय पास एक बार और परिणाम में 4 जोड़ते हैं), तो औसत 5 और 10 के बीच की संख्या होगी। यदि आप 5d2 रोल करते हैं, तो औसत भी बीच की एक संख्या होगी 5 और 10. लेकिन छह भुजाओं वाले पासे को फेंकने पर 5, 8 या 10 के अंक आने की प्रायिकता समान होती है। 5d2 रोल का परिणाम अधिकतर संख्या 7 और 8 होगा, कम अक्सर अन्य संख्याएं। वही श्रृंखला, समान औसत (दोनों मामलों में 7.5), लेकिन यादृच्छिकता की प्रकृति अलग है।

ज़रा ठहरिये। क्या मैंने सिर्फ यह नहीं कहा कि पासा गर्म या ठंडा नहीं होता है? और अब मैं कह रहा हूं कि यदि आप बहुत सारे पासे फेंकते हैं, तो रोल के परिणाम औसत के करीब हैं? क्यों?

मुझे समझाने दो। अगर आप फेंक रहे हैं एकपासे, प्रत्येक फलकों के गिरने की प्रायिकता समान है। इसका अर्थ यह है कि यदि आप समय के साथ बहुत सारे पासे फेंकते हैं, तो प्रत्येक फलक लगभग उतनी ही बार ऊपर आ जाएगा। आप जितना अधिक पासा घुमाएंगे, उतना ही अधिक कुल परिणाम औसत के करीब पहुंचेगा। ऐसा इसलिए नहीं है क्योंकि लुढ़का हुआ नंबर एक और नंबर को रोल करने के लिए "कारण" करता है जो अभी तक नहीं आया है। क्योंकि 6s (या 20s, या जो भी) की एक छोटी सी लकीर कोई बड़ी बात नहीं है यदि आप पासा को दस हजार बार और घुमाते हैं और यह ज्यादातर औसत है जो ऊपर आता है ... शायद अब आपके पास कुछ होगा एक उच्च मूल्य के साथ संख्या, लेकिन शायद बाद में कम मूल्य के साथ कुछ संख्याएं और समय के साथ वे औसत मूल्य तक पहुंच जाएंगे। इसलिए नहीं कि पिछले रोल पासा को प्रभावित करते हैं (गंभीरता से, पासा से बना है) प्लास्टिक, उसके पास सोचने के लिए दिमाग नहीं है "ओह, एक 2 के आने में काफी समय हो गया है"), लेकिन क्योंकि आमतौर पर बहुत सारे पासा रोल के साथ ऐसा होता है। बड़ी संख्या में परिणामों में दोहराने वाली संख्याओं की एक छोटी श्रृंखला लगभग अदृश्य होगी।

इस प्रकार, एक पासे के एक यादृच्छिक रोल के लिए गणना करना काफी आसान है, कम से कम रोल के औसत मूल्य की गणना के रूप में। कुछ "कितना यादृच्छिक" की गणना करने के तरीके भी हैं, यह कहने का एक तरीका है कि 1d6 + 4 रोल के परिणाम 5d2 की तुलना में "अधिक यादृच्छिक" होंगे, 5d2 के लिए रोल किए गए परिणामों का वितरण अधिक समान होगा, आमतौर पर आप इसके लिए मानक विचलन की गणना करते हैं, और जितना अधिक मूल्य होगा, परिणाम उतने ही अधिक यादृच्छिक होंगे, लेकिन इसके लिए मुझे आज की तुलना में अधिक गणना की आवश्यकता है (मैं इस विषय को बाद में समझाऊंगा)। केवल एक चीज जो मैं आपसे जानना चाहता हूं वह यह है कि एक सामान्य नियम के रूप में, जितना कम पासा लुढ़कता है, उतना ही अधिक यादृच्छिक होता है। और इस विषय पर एक और अतिरिक्त: मरने के जितने अधिक पक्ष होंगे, उतनी ही अधिक यादृच्छिकता होगी, क्योंकि आपके पास अधिक विकल्प हैं।

काउंटिंग का उपयोग करके प्रायिकता की गणना कैसे करें

आपके पास एक प्रश्न हो सकता है: हम किसी विशेष परिणाम के आने की सटीक संभावना की गणना कैसे कर सकते हैं? यह वास्तव में कई खेलों के लिए काफी महत्वपूर्ण है, क्योंकि यदि आप एक पासा रोल करते हैं, तो शुरुआत में कुछ इष्टतम परिणाम होने की संभावना है। उत्तर है: हमें दो मानों की गणना करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, एक पासे को फेंकते समय परिणामों की अधिकतम संख्या की गणना करें (इस पर ध्यान दिए बिना कि परिणाम क्या होगा)। फिर अनुकूल परिणामों की संख्या गिनें। दूसरे मान को पहले से विभाजित करने पर आपको वांछित प्रायिकता प्राप्त होती है। प्रतिशत प्राप्त करने के लिए, परिणाम को 100 से गुणा करें।

उदाहरण:

यहाँ एक बहुत ही सरल उदाहरण है। आप एक 4 या उच्चतर रोल करना चाहते हैं और एक बार छह-पक्षीय पासा रोल करना चाहते हैं। परिणामों की अधिकतम संख्या 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) है। इनमें से 3 परिणाम (4, 5, 6) अनुकूल हैं। इसलिए, प्रायिकता की गणना करने के लिए, हम 3 को 6 से विभाजित करते हैं और 0.5 या 50% प्राप्त करते हैं।

यहां एक उदाहरण दिया गया है जो थोड़ा अधिक जटिल है। आप 2d6 रोल पर एक सम संख्या चाहते हैं। परिणामों की अधिकतम संख्या 36 है (प्रत्येक पासे के लिए 6, और चूंकि एक पासा दूसरे को प्रभावित नहीं करता है, हम 6 परिणामों को 6 से गुणा करते हैं और 36 प्राप्त करते हैं)। इस प्रकार के प्रश्न में कठिनाई यह है कि इसे दो बार गिनना आसान है। उदाहरण के लिए, वास्तव में 2d6 रोल पर 3 के दो संभावित परिणाम हैं: 1+2 और 2+1। वे एक जैसे दिखते हैं, लेकिन अंतर यह है कि पहले पासे पर कौन सी संख्या प्रदर्शित होती है और दूसरे पर क्या होती है। आप यह भी सोच सकते हैं कि पासा अलग-अलग रंगों का है, उदाहरण के लिए इस मामले में एक पासा लाल है और दूसरा नीला है। फिर सम संख्या प्राप्त करने के लिए विकल्पों की संख्या गिनें: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+) 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6)। यह पता चला है कि 36 में से अनुकूल परिणाम के लिए 18 विकल्प हैं, जैसा कि पिछले मामले में, संभावना 0.5 या 50% होगी। शायद अप्रत्याशित, लेकिन काफी सटीक।

मोंटे कार्लो सिमुलेशन

क्या होगा यदि आपके पास इस गणना के लिए बहुत अधिक पासे हैं? उदाहरण के लिए, आप जानना चाहते हैं कि 8d6 के रोल पर कुल 15 या अधिक रोल करने की क्या संभावना है। आठ पासों के लिए कई अलग-अलग व्यक्तिगत स्कोर हैं और उन्हें हाथ से गणना करने में बहुत लंबा समय लगेगा। यहां तक ​​कि अगर हम पासा रोल की विभिन्न श्रृंखलाओं को समूहित करने के लिए कुछ अच्छा समाधान ढूंढते हैं, तो भी इसे गिनने में बहुत लंबा समय लगेगा। इस मामले में, संभाव्यता की गणना करने का सबसे आसान तरीका मैन्युअल रूप से गणना नहीं करना है, बल्कि कंप्यूटर का उपयोग करना है। कंप्यूटर पर प्रायिकता की गणना करने के दो तरीके हैं।

पहला तरीका सटीक उत्तर प्राप्त कर सकता है, लेकिन इसमें थोड़ी प्रोग्रामिंग या स्क्रिप्टिंग शामिल है। संक्षेप में, कंप्यूटर प्रत्येक संभावना के माध्यम से जाएगा, पुनरावृत्तियों की कुल संख्या और वांछित परिणाम के अनुरूप पुनरावृत्तियों की संख्या का मूल्यांकन और गणना करेगा, और फिर उत्तर प्रदान करेगा। आपका कोड कुछ इस तरह दिख सकता है:

इंट विनकाउंट = 0, टोटलकाउंट = 0;

के लिए (int i=1; i<=6; i++) {

के लिए (int j=1; j<=6; j++) {

के लिए (int k=1; k<=6; k++) {

… // यहां और लूप डालें

अगर (i+j+k+… >= 15) (

फ्लोट प्रायिकता = जीत की संख्या/कुल गणना;

यदि आप एक प्रोग्रामर नहीं हैं और आप केवल एक गलत लेकिन अनुमानित उत्तर चाहते हैं, तो आप एक्सेल में इस स्थिति का अनुकरण कर सकते हैं, जहाँ आप 8d6 को कुछ हज़ार बार रोल करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं। एक्सेल में 1d6 रोल करने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग करें:

मंजिल (रैंड () * 6) +1

उस स्थिति का एक नाम है जब आप उत्तर नहीं जानते हैं और बस कई बार प्रयास करें - मोंटे कार्लो सिमुलेशन, और जब आप किसी प्रायिकता की गणना करने का प्रयास कर रहे हों और यह बहुत जटिल हो, तो उस पर वापस लौटना एक अच्छा समाधान है। बड़ी बात यह है कि इस मामले में, हमें यह समझने की आवश्यकता नहीं है कि गणित कैसे काम करता है, और हम जानते हैं कि उत्तर "बहुत अच्छा" होगा, क्योंकि जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, जितने अधिक रोल होंगे, परिणाम उतना ही अधिक होगा। औसत मूल्य।

स्वतंत्र परीक्षणों को कैसे संयोजित करें

यदि आप कई बार दोहराए गए लेकिन स्वतंत्र परीक्षणों के बारे में पूछते हैं, तो एक रोल का परिणाम अन्य रोल के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इस स्थिति के लिए एक और सरल व्याख्या है।

किसी आश्रित और स्वतंत्र के बीच अंतर कैसे करें? सिद्धांत रूप में, यदि आप एक पासे के प्रत्येक रोल (या रोल की श्रृंखला) को एक अलग घटना के रूप में अलग कर सकते हैं, तो यह स्वतंत्र है। उदाहरण के लिए, यदि हम 8d6 को रोल करके कुल 15 रोल करना चाहते हैं, तो इस केस को पासा के कई स्वतंत्र रोल में विभाजित नहीं किया जा सकता है। चूँकि आप परिणाम के लिए सभी पासों के मूल्यों के योग की गणना कर रहे हैं, एक पासे पर लुढ़कने का परिणाम उन परिणामों को प्रभावित करता है जिन्हें दूसरे पासे पर लुढ़कना चाहिए, क्योंकि केवल सभी मूल्यों को जोड़कर आप प्राप्त करेंगे वांछित परिणाम।

यहां स्वतंत्र रोल का एक उदाहरण दिया गया है: आप पासा का खेल खेल रहे हैं, और आप कई बार छह-तरफा पासा रोल करते हैं। गेम में बने रहने के लिए, आपको अपने पहले रोल पर 2 या उससे अधिक का रोल करना होगा। दूसरे रोल के लिए, 3 या उच्चतर। तीसरे को 4 या अधिक की आवश्यकता है, चौथे को 5 या अधिक की आवश्यकता है, पांचवें को 6 की आवश्यकता है। यदि सभी पांच रोल सफल होते हैं, तो आप जीत जाते हैं। इस मामले में, सभी फेंक स्वतंत्र हैं। हां, यदि एक रोल विफल हो जाता है, तो यह पूरे गेम के परिणाम को प्रभावित करेगा, लेकिन एक रोल दूसरे रोल को प्रभावित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, यदि आपका पासा का दूसरा रोल बहुत सफल है, तो यह इस संभावना को प्रभावित नहीं करता है कि अगले रोल समान रूप से सफल होंगे। इसलिए, हम अलग-अलग पासे के प्रत्येक रोल की संभावना पर विचार कर सकते हैं।

यदि आपके पास अलग, स्वतंत्र संभावनाएं हैं और जानना चाहते हैं कि क्या संभावना है कि सबघटनाएँ आएंगी, आप प्रत्येक व्यक्तिगत संभावना को निर्धारित करते हैं और उन्हें गुणा करते हैं।दूसरा तरीका: यदि आप कई स्थितियों का वर्णन करने के लिए संयोजन "और" का उपयोग करते हैं (उदाहरण के लिए, कुछ यादृच्छिक घटना होने की संभावना क्या है तथाकुछ अन्य स्वतंत्र यादृच्छिक घटना?), व्यक्तिगत संभावनाओं की गणना करें और उन्हें गुणा करें।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप क्या सोचते हैं कभी नहीँस्वतंत्र संभावनाओं का योग न करें। यह एक सामान्य गलती है। यह समझने के लिए कि यह गलत क्यों है, ऐसी स्थिति की कल्पना करें जहां आप 50/50 का सिक्का उछालते हैं और आप जानना चाहते हैं कि लगातार दो बार शीर्ष आने की क्या संभावना है। प्रत्येक पक्ष के पास आने की 50% संभावना है, इसलिए यदि आप दो संभावनाओं को जोड़ते हैं, तो आपको शीर्ष आने का 100% मौका मिलता है, लेकिन हम जानते हैं कि यह सच नहीं है क्योंकि लगातार दो पूंछ आ सकती हैं। यदि इसके बजाय आप इन दो संभावनाओं को गुणा करते हैं, तो आपको 50% * 50% = 25% मिलता है, जो लगातार दो बार शीर्ष प्राप्त करने की संभावना की गणना के लिए सही उत्तर है।

उदाहरण

आइए छह-तरफा पासा खेल पर वापस जाएं, जहां आपको पहले 2 से अधिक संख्या, फिर 3 से अधिक, और इसी तरह से रोल करना होगा। 6 तक की प्रायिकता क्या है कि 5 थ्रो की दी गई श्रंखला में सभी परिणाम अनुकूल होंगे?

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, ये स्वतंत्र परीक्षण हैं, इसलिए हम प्रत्येक व्यक्तिगत रोल के लिए संभावना की गणना करते हैं और फिर उन्हें गुणा करते हैं। पहले टॉस का परिणाम अनुकूल होने की प्रायिकता 5/6 है। दूसरा - 4/6। तीसरा - 3/6। चौथा - 2/6, पाँचवाँ - 1/6। इन सभी परिणामों को गुणा करने पर, हमें लगभग 1.5% प्राप्त होता है... इसलिए, इस गेम को जीतना काफी दुर्लभ है, इसलिए यदि आप इस तत्व को अपने गेम में जोड़ते हैं, तो आपको एक बहुत बड़े जैकपॉट की आवश्यकता होगी।

नकार

यहां एक और उपयोगी संकेत दिया गया है: कभी-कभी किसी घटना के घटित होने की संभावना की गणना करना मुश्किल होता है, लेकिन यह निर्धारित करना आसान होता है कि कोई घटना घटित होने की कितनी संभावना है। नही आउंगा.

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमारे पास एक और गेम है और आप 6d6 रोल करते हैं, और if कम से कम एक बाररोल 6, आप जीत गए। जीतने की संभावना क्या है?

इस मामले में, विचार करने के लिए कई विकल्प हैं। शायद एक नंबर 6 गिर जाएगा, यानी। एक पासा 6 रोल करेगा और दूसरा 1 से 5 रोल करेगा, और 6 विकल्प हैं जिसके लिए पासा में से 6 रोल करेगा। फिर आप दो पासा, या तीन, या इससे भी अधिक पर 6 रोल कर सकते हैं, और हर बार हमें एक अलग गणना करने की आवश्यकता होती है, इसलिए भ्रमित होना आसान है।

लेकिन इस समस्या को हल करने का एक और तरीका है, आइए इसे दूसरी तरफ से देखें। आप खोनायदि कोई भी नहींसंख्या 6 पासे से नहीं गिरेगी। इस मामले में, हमारे पास छह स्वतंत्र परीक्षण हैं, उनमें से प्रत्येक की संभावना 5/6 है (6 के अलावा कोई भी संख्या पासे पर गिर सकती है)। उन्हें गुणा करें और आपको लगभग 33% मिलता है। इस प्रकार, खोने की संभावना 1 से 3 है।

इसलिए, जीतने की संभावना 67% (या 2 से 3) है।

इस उदाहरण से स्पष्ट है कि यदि आप इस संभावना की गणना कर रहे हैं कि कोई घटना नहीं होगी, तो परिणाम को 100% से घटाएं।यदि जीतने की प्रायिकता 67% है, तो प्रायिकता खोना — 100% ऋण 67%, या 33%। और इसके विपरीत। यदि एक संभावना की गणना करना मुश्किल है, लेकिन विपरीत की गणना करना आसान है, तो विपरीत की गणना करें और फिर 100% से घटाएं।

एक स्वतंत्र परीक्षण के लिए कनेक्टिंग शर्तें

मैंने थोड़ा पहले कहा था कि आपको स्वतंत्र परीक्षणों में कभी भी संभावनाओं का योग नहीं करना चाहिए। क्या ऐसे कोई मामले हैं जहां कर सकते हैंसंभावनाओं का योग? हाँ, एक विशेष स्थिति में।

यदि आप एक ही परीक्षण पर कई, असंबंधित, अनुकूल परिणामों की संभावना की गणना करना चाहते हैं, तो प्रत्येक अनुकूल परिणाम की संभावनाओं का योग करें। उदाहरण के लिए, 1d6 पर 4, 5, या 6 को रोल करने की प्रायिकता है जोड़ 4 को रोल करने की प्रायिकता, 5 को रोल करने की प्रायिकता, और 6 को रोल करने की प्रायिकता। की संभावना है याएक यादृच्छिक घटना के विभिन्न परिणाम?), व्यक्तिगत संभावनाओं की गणना करें और उनका योग करें।

ध्यान दें कि जब आप योग करते हैं सभी संभावित परिणामखेल, सभी संभावनाओं का योग 100% के बराबर होना चाहिए। यदि योग 100% के बराबर नहीं है, तो आपकी गणना गलत तरीके से की गई थी। अपनी गणनाओं को दोबारा जांचने का यह एक अच्छा तरीका है। उदाहरण के लिए, आपने पोकर में सभी संयोजनों को प्राप्त करने की संभावना का विश्लेषण किया है, यदि आप सभी परिणामों को जोड़ते हैं, तो आपको बिल्कुल 100% (या कम से कम 100% के करीब एक मान प्राप्त करना चाहिए, यदि आप कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो आपके पास एक हो सकता है छोटी गोलाई त्रुटि , लेकिन यदि आप सटीक संख्याओं को हाथ से जोड़ते हैं, तो सब कुछ जोड़ना चाहिए)। यदि योग अभिसरण नहीं करता है, तो सबसे अधिक संभावना है कि आपने कुछ संयोजनों को ध्यान में नहीं रखा, या आपने कुछ संयोजनों की संभावनाओं की गलत गणना की, और फिर आपको अपनी गणनाओं को दोबारा जांचने की आवश्यकता है।

असमान संभावनाएं

अब तक, हमने माना है कि पासे का प्रत्येक फलक एक ही आवृत्ति पर गिरता है, क्योंकि इस तरह से पासा काम करता है। लेकिन कभी-कभी आपको ऐसी स्थिति का सामना करना पड़ता है जहां विभिन्न परिणाम संभव होते हैं और वे विभिन्नसंभावना गिराओ। उदाहरण के लिए, कार्ड गेम "परमाणु युद्ध" के विस्तार में से एक में एक तीर के साथ एक खेल का मैदान होता है जो मिसाइल प्रक्षेपण के परिणाम को निर्धारित करता है: यह मूल रूप से सामान्य क्षति, कम या ज्यादा नुकसान का सौदा करता है, लेकिन कभी-कभी नुकसान दोगुना हो जाता है या तीन गुना, या रॉकेट लॉन्च पैड पर फट जाता है और आपको नुकसान पहुंचाता है, या कोई अन्य घटना होती है। "च्यूट्स एंड लैडर्स" या "ए गेम ऑफ लाइफ" में तीर बोर्ड के विपरीत, "परमाणु युद्ध" में बोर्ड के परिणाम असमान हैं। खेल के मैदान के कुछ हिस्से बड़े होते हैं और तीर उन पर अधिक बार रुकता है, जबकि अन्य खंड बहुत छोटे होते हैं और तीर शायद ही कभी उन पर रुकता है।

तो, पहली नज़र में, हड्डी कुछ इस तरह दिखती है: 1, 1, 1, 2, 2, 3; हम पहले ही इसके बारे में बात कर चुके हैं, यह एक भारित 1d3 जैसा कुछ है, इसलिए, हमें इन सभी वर्गों को समान भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है, माप की सबसे छोटी इकाई खोजें, जो कि इसका एक गुणक है, और फिर स्थिति को इस रूप में प्रस्तुत करें d522 (या कुछ अन्य), जहां पासा चेहरे का सेट समान स्थिति प्रदर्शित करेगा, लेकिन बड़ी संख्या में परिणामों के साथ। और यह समस्या को हल करने का एक तरीका है, और यह तकनीकी रूप से व्यवहार्य है, लेकिन एक आसान तरीका है।

आइए अपने मानक छह-पक्षीय पासे पर वापस जाएं। हमने कहा कि एक सामान्य पासे के लिए एक फेंक के औसत मूल्य की गणना करने के लिए, आपको सभी चेहरों पर मूल्यों को जोड़ना होगा और उन्हें चेहरों की संख्या से विभाजित करना होगा, लेकिन कैसे बिल्कुलगणना चल रही है? आप इसे अलग तरह से व्यक्त कर सकते हैं। छह भुजाओं वाले पासों के लिए, प्रत्येक फलक के ऊपर आने की प्रायिकता ठीक 1/6 है। अब हम गुणा करते हैं एक्सोदेसप्रत्येक किनारे पर संभावनायह परिणाम (इस मामले में, प्रत्येक चेहरे के लिए 1/6), फिर परिणामी मूल्यों का योग करें। तो संक्षेप (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6 ), हमें वही परिणाम (3.5) मिलता है जैसा कि ऊपर की गणना में है। वास्तव में, हम हर बार इसकी गणना करते हैं: हम प्रत्येक परिणाम को उस परिणाम की संभावना से गुणा करते हैं।

क्या हम "परमाणु युद्ध" खेल में खेल के मैदान पर तीर के लिए समान गणना कर सकते हैं? बिलकुल हम कर सकते हैं। और अगर हम सभी पाए गए परिणामों को जोड़ते हैं, तो हमें औसत मूल्य मिलता है। हमें बस इतना करना है कि खेल मैदान पर तीर के लिए प्रत्येक परिणाम की संभावना की गणना करें और परिणाम से गुणा करें।

एक और उदाहरण

औसत की गणना करने की यह विधि, प्रत्येक परिणाम को उसकी व्यक्तिगत संभावना से गुणा करके, भी उपयुक्त है यदि परिणाम समान रूप से संभावित हैं, लेकिन अलग-अलग फायदे हैं, जैसे कि यदि आप एक पासा रोल करते हैं और दूसरों की तुलना में कुछ पक्षों पर अधिक जीतते हैं। उदाहरण के लिए, आइए एक कैसीनो में होने वाले गेम को लें: आप 2d6 पर दांव लगाते हैं और रोल करते हैं। यदि तीन कम मूल्य संख्याएं (2, 3, 4) या चार उच्च मूल्य संख्याएं (9, 10, 11, 12) आती हैं, तो आप अपनी शर्त के बराबर राशि जीतेंगे। सबसे कम और उच्चतम मूल्य वाले नंबर विशेष हैं: यदि 2 या 12 रोल करते हैं, तो आप जीतते हैं दुगने जितनाआपकी बोली से। यदि कोई अन्य संख्या (5, 6, 7, 8) आती है, तो आप अपनी शर्त हार जाएंगे। यह काफी सरल खेल है। लेकिन जीतने की संभावना क्या है?

आइए गिनती करके शुरू करें कि आप कितनी बार जीत सकते हैं:

• 2d6 रोल पर परिणामों की अधिकतम संख्या 36 है। अनुकूल परिणामों की संख्या क्या है?
• 1 विकल्प है कि दो बाहर हो जाएंगे और 1 विकल्प बारह बाहर गिर जाएगा।
• तीन और ग्यारह को रोल करने के लिए 2 विकल्प हैं।
• चार को रोल करने के लिए 3 विकल्प हैं और दस को रोल करने के लिए 3 विकल्प हैं।
• नौ आने के लिए 4 विकल्प हैं।
• सभी विकल्पों को मिलाकर, हमें 36 में से 16 अनुकूल परिणामों की संख्या प्राप्त होती है।

इस प्रकार, सामान्य परिस्थितियों में, आप संभावित 36 में से 16 बार जीतेंगे... जीतने की संभावना 50% से थोड़ी कम है।

लेकिन उन 16 में से दो मामलों में, आप दोगुना जीतेंगे, यानी। यह दो बार जीतने जैसा है! यदि आप इस गेम को 36 बार खेलते हैं, प्रत्येक बार $1 की सट्टेबाजी करते हैं, और सभी संभावित परिणामों में से प्रत्येक एक बार आता है, तो आप कुल $18 जीतेंगे (आप वास्तव में 16 बार जीतते हैं, लेकिन उनमें से दो बार दो जीत के रूप में गिना जाएगा)। यदि आप 36 बार खेलते हैं और $18 जीतते हैं, तो क्या इसका मतलब यह नहीं है कि यह एक समान मौका है?

पर्याप्त समय लो। यदि आप गिनते हैं कि आप कितनी बार हार सकते हैं, तो आपको 20 मिलता है, 18 नहीं। यदि आप 36 बार खेलते हैं, तो हर बार $1 की सट्टेबाजी करते हैं, आप सभी ऑड्स के साथ कुल $18 जीतेंगे... लेकिन आप हारेंगे सभी 20 खराब परिणामों के लिए कुल $20 की राशि! परिणामस्वरूप, आप थोड़े पीछे रह जाएंगे: आप प्रत्येक 36 खेलों के लिए औसतन $2 का शुद्ध खो देते हैं (आप यह भी कह सकते हैं कि आप एक दिन में औसतन $1/18 खो देते हैं)। अब आप देखिए कि इस मामले में गलती करना और प्रायिकता की गलत गणना करना कितना आसान है!

परिवर्तन

अब तक, हमने यह माना है कि पासा पलटते समय संख्याओं को फेंकने का क्रम मायने नहीं रखता। एक 2+4 रोल 4+2 रोल के समान है। ज्यादातर मामलों में, हम मैन्युअल रूप से अनुकूल परिणामों की संख्या की गणना करते हैं, लेकिन कभी-कभी यह विधि अव्यवहारिक होती है और गणितीय सूत्र का उपयोग करना बेहतर होता है।

इस स्थिति का एक उदाहरण पासा खेल "फार्कल" से है। प्रत्येक नए दौर के लिए, आप 6d6 रोल करते हैं। यदि आप भाग्यशाली हैं और 1-2-3-4-5-6 (सीधे) के सभी संभावित परिणाम सामने आते हैं, तो आपको एक बड़ा बोनस मिलेगा। क्या संभावना है कि ऐसा होगा? इस मामले में, इस संयोजन के नुकसान के लिए कई विकल्प हैं!

समाधान इस प्रकार है: पासे में से एक (और केवल एक) को नंबर 1 को रोल करना होगा! एक पासे पर नंबर 1 प्राप्त करने के कितने तरीके हैं? छह, क्योंकि 6 पासे हैं, और उनमें से कोई भी नंबर 1 पर उतर सकता है। तदनुसार, एक पासा लें और उसे एक तरफ रख दें। अब अंक 2 बचे हुए पाँसे में से किसी एक पर पड़ना चाहिए।इसके लिए पाँच विकल्प हैं। एक और पासा लें और उसे एक तरफ रख दें। फिर यह इस प्रकार है कि शेष पासों में से चार नंबर 3 को रोल कर सकते हैं, शेष तीन पासे नंबर 4 को रोल कर सकते हैं, शेष में से दो पासे 5 नंबर रोल कर सकते हैं, और परिणामस्वरूप, आपके पास एक पासा बचता है, जो संख्या 6 गिरनी चाहिए (बाद के मामले में केवल एक पासा है और कोई विकल्प नहीं है)। सीधे संयोजन के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या की गणना करने के लिए, हम सभी अलग, स्वतंत्र विकल्पों को गुणा करते हैं: 6x5x4x3x2x1 = 720 - ऐसा लगता है कि इस संयोजन के आने के लिए बहुत सारे विकल्प हैं।

सीधा होने की संभावना की गणना करने के लिए, हमें 6d6 रोल करने के लिए सभी संभावित परिणामों की संख्या से 720 को विभाजित करने की आवश्यकता है। सभी संभावित परिणामों की संख्या क्या है? प्रत्येक पासे में 6 फलक आ सकते हैं, इसलिए हम 6x6x6x6x6x6 = 46656 (बहुत अधिक संख्या!) को गुणा करते हैं। हम 720/46656 को विभाजित करते हैं और हमें लगभग 1.5% के बराबर प्रायिकता प्राप्त होती है। यदि आप इस गेम को डिजाइन कर रहे थे, तो आपके लिए यह जानना उपयोगी होगा ताकि आप एक उपयुक्त स्कोरिंग सिस्टम बना सकें। अब हम समझते हैं कि गेम "फ़ार्कल" में आपको इतना बड़ा बोनस क्यों मिलता है यदि आपको "स्ट्रेट" का संयोजन मिलता है, क्योंकि यह स्थिति काफी दुर्लभ है!

नतीजा एक और वजह से भी दिलचस्प है। उदाहरण से पता चलता है कि कितनी ही कम अवधि में प्रायिकता के अनुरूप परिणाम गिर जाता है। बेशक, अगर हम कई हजार पासे घुमाते हैं, तो पासे के अलग-अलग पक्ष बहुत बार सामने आएंगे। लेकिन जब हम केवल छह पासे फेंकते हैं, लगभग कभी नहीँऐसा नहीं है कि हर एक चेहरा गिर जाए! इससे आगे बढ़ते हुए, यह स्पष्ट हो जाता है कि यह उम्मीद करना मूर्खता है कि अब एक और चेहरा गिर जाएगा, जो अभी तक नहीं गिरा है "क्योंकि हमने लंबे समय से संख्या 6 नहीं गिराई है, जिसका अर्थ है कि यह अब गिर जाएगा। "

देखिए, आपका रैंडम नंबर जेनरेटर टूट गया है...

यह हमें संभाव्यता के बारे में एक आम गलत धारणा में लाता है: यह धारणा कि सभी परिणाम समान आवृत्ति के साथ आते हैं। थोड़े समय में, जो वास्तव में ऐसा नहीं है। यदि हम पासों को कई बार घुमाते हैं, तो प्रत्येक फलकों की बारंबारता समान नहीं होगी।

यदि आपने पहले कभी किसी प्रकार के यादृच्छिक संख्या जनरेटर के साथ ऑनलाइन गेम पर काम किया है, तो आपको सबसे अधिक संभावना एक ऐसी स्थिति का सामना करना पड़ा है जहां एक खिलाड़ी तकनीकी सहायता को यह कहने के लिए लिखता है कि आपका यादृच्छिक संख्या जनरेटर टूट गया है और यादृच्छिक संख्या नहीं दिखाता है, और वह इस निष्कर्ष पर आया क्योंकि उसने लगातार 4 राक्षसों को मार डाला और 4 बिल्कुल समान पुरस्कार प्राप्त किए, और इन पुरस्कारों में केवल 10% की गिरावट होनी चाहिए, इसलिए यह लगभग नहींनहीं करना चाहिए जगह लें, जिसका अर्थ है यह स्पष्टतःकि आपका यादृच्छिक संख्या जनरेटर टूट गया है।

तुम गणित कर रहे हो। 1/10*1/10*1/10*1/10 10,000 में 1 के बराबर होता है, जिसका अर्थ है कि यह बहुत दुर्लभ है। और यही खिलाड़ी आपको बताने की कोशिश कर रहा है। क्या इस मामले में कोई समस्या है?

सब कुछ परिस्थितियों पर निर्भर करता है। अब आपके सर्वर पर कितने खिलाड़ी हैं? मान लीजिए कि आपके पास एक काफी लोकप्रिय खेल है और हर दिन 100,000 लोग इसे खेलते हैं। कितने खिलाड़ी लगातार चार राक्षसों को मारेंगे? हो सकता है सब कुछ, दिन में कई बार, लेकिन मान लें कि उनमें से आधे सिर्फ नीलामी में अलग-अलग वस्तुओं का व्यापार कर रहे हैं या आरपी सर्वर पर चैट कर रहे हैं, या अन्य गेम गतिविधियां कर रहे हैं, इसलिए उनमें से केवल आधे वास्तव में राक्षसों का शिकार कर रहे हैं। क्या संभावना है कि कोई तोक्या वही इनाम छूट जाएगा? इस स्थिति में, आप उम्मीद कर सकते हैं कि एक ही इनाम दिन में कई बार गिर सकता है, कम से कम!

वैसे, इसलिए ऐसा लगता है कि हर कुछ हफ्तों में कम से कम कोईलॉटरी जीतता है, भले ही वह कोई हो कभी नहीँआप या आपके दोस्त नहीं आते हैं। अगर हर हफ्ते पर्याप्त लोग खेलते हैं, तो कम से कम होने की संभावना है एकलकी... लेकिन अगर तुमआप लॉटरी खेलते हैं, तो आपको इन्फिनिटी वार्ड में नौकरी मिलने की संभावना कम है।

मानचित्र और लत

हमने स्वतंत्र घटनाओं पर चर्चा की है, जैसे कि एक पासा फेंकना, और अब हम कई खेलों में यादृच्छिकता का विश्लेषण करने के लिए कई शक्तिशाली उपकरण जानते हैं। जब डेक से कार्ड बनाने की बात आती है तो संभाव्यता गणना थोड़ी अधिक जटिल होती है, क्योंकि प्रत्येक कार्ड जो हम खींचते हैं वह डेक में शेष कार्ड को प्रभावित करता है। यदि आपके पास 52 कार्डों का एक मानक डेक है और आप 10 दिलों को खींचते हैं, उदाहरण के लिए, और आप इस संभावना को जानना चाहते हैं कि अगला कार्ड एक ही सूट होगा, तो संभावना बदल गई है क्योंकि आपने पहले ही एक हार्ट कार्ड को हटा दिया है। जहाज़ की छत। आपके द्वारा निकाला गया प्रत्येक कार्ड डेक में अगले कार्ड की संभावना को बदल देता है। चूंकि इस मामले में पिछली घटना अगले को प्रभावित करती है, हम इस संभावना को कहते हैं आश्रित.

कृपया ध्यान दें कि जब मैं "कार्ड" कहता हूं तो मेरा मतलब होता है कोईखेल यांत्रिकी जिसमें वस्तुओं का एक सेट होता है और आप इसे बदले बिना किसी एक वस्तु को हटा देते हैं, इस मामले में "कार्ड का डेक" चिप्स के एक बैग के समान होता है, जिसमें से आप एक चिप निकालते हैं और इसे प्रतिस्थापित नहीं करते हैं, या एक कलश जिसमें से आप रंगीन कंचों को हटाते हैं (वास्तव में मैंने ऐसा खेल कभी नहीं देखा जहाँ रंगीन कंचों के साथ कलश निकाला गया हो, लेकिन ऐसा लगता है कि संभाव्यता सिद्धांत शिक्षक किसी कारण से इस उदाहरण को पसंद करते हैं)।

निर्भरता गुण

मैं स्पष्ट करना चाहता हूं कि जब कार्ड की बात आती है, तो मैं मानता हूं कि आप कार्ड बनाते हैं, उन्हें देखते हैं और उन्हें डेक से हटा देते हैं। इनमें से प्रत्येक क्रिया एक महत्वपूर्ण संपत्ति है।

अगर मेरे पास 1 से 6 तक के छह कार्डों का एक डेक था, और मैंने उन्हें फेरबदल किया और एक कार्ड खींचा और फिर सभी छह कार्डों को फिर से फेरबदल किया, तो यह छह-तरफा मरने के समान होगा; एक परिणाम दूसरे को प्रभावित नहीं करता है। केवल अगर मैं कार्ड खींचता हूं और उन्हें प्रतिस्थापित नहीं करता हूं, तो क्या नंबर 1 के साथ कार्ड खींचने का परिणाम इस संभावना को बढ़ाएगा कि अगली बार जब मैं नंबर 6 वाला कार्ड बनाऊंगा (संभावना तब तक बढ़ेगी जब तक कि मैं अंततः इस कार्ड को नहीं खींचता या जब तक मैं कार्ड फेरबदल करता हूं)।

तथ्य यह है कि हम हम देखोकार्ड पर भी महत्वपूर्ण है। अगर मैं डेक से एक कार्ड निकालता हूं और उसे नहीं देखता, तो मेरे पास कोई अतिरिक्त जानकारी नहीं है और संभावना वास्तव में नहीं बदलती है। यह अतार्किक लग सकता है। कार्ड को आसानी से फ़्लिप करने से बाधाओं को जादुई रूप से कैसे बदला जा सकता है? लेकिन यह संभव है, क्योंकि आप अज्ञात वस्तुओं की संभावना की गणना केवल इस तथ्य से कर सकते हैं कि आप आपको पता है. उदाहरण के लिए, यदि आप कार्ड के एक मानक डेक को फेरबदल करते हैं, तो 51 कार्ड प्रकट करते हैं और उनमें से कोई भी क्लबों की रानी नहीं है, आप 100% निश्चितता के साथ जानेंगे कि शेष कार्ड क्लबों की रानी है। यदि आप ताश के पत्तों के मानक डेक में फेरबदल करते हैं और 51 कार्ड बनाते हैं, इसके बावजूदउन पर, तो शेष कार्ड क्लबों की रानी होने की संभावना अभी भी 1/52 होगी। जैसे ही आप प्रत्येक कार्ड खोलते हैं, आपको अधिक जानकारी प्राप्त होती है।

आश्रित घटनाओं के लिए संभाव्यता की गणना स्वतंत्र घटनाओं के समान सिद्धांतों का पालन करती है, सिवाय इसके कि यह थोड़ा अधिक जटिल है, क्योंकि जब आप कार्ड प्रकट करते हैं तो संभावनाएं बदल जाती हैं। इस प्रकार, आपको एक ही मान को गुणा करने के बजाय, कई अलग-अलग मानों को गुणा करने की आवश्यकता है। वास्तव में, इसका मतलब है कि हमें उन सभी गणनाओं को संयोजित करने की आवश्यकता है जो हमने एक संयोजन में की थीं।

उदाहरण

आप 52 कार्डों के एक मानक डेक को फेरबदल करते हैं और दो कार्ड बनाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि आप एक जोड़ा निकालेंगे? इस प्रायिकता की गणना करने के कई तरीके हैं, लेकिन शायद सबसे सरल इस प्रकार है: क्या संभावना है कि यदि आप एक कार्ड बनाते हैं, तो आप एक जोड़ी नहीं बना पाएंगे? यह संभावना शून्य है, इसलिए इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन सा पहला कार्ड बनाते हैं, जब तक कि यह दूसरे से मेल खाता है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम पहले कौन सा कार्ड बनाते हैं, हमारे पास अभी भी एक जोड़ी बनाने का मौका है, इसलिए संभावना है कि हम पहला कार्ड खींचने के बाद एक जोड़ी बना सकते हैं 100% है।

क्या संभावना है कि दूसरा कार्ड पहले से मेल खाएगा? डेक में 51 पत्ते बचे हैं और उनमें से 3 पहले कार्ड से मेल खाते हैं (वास्तव में यह 52 में से 4 होता, लेकिन जब आपने पहला कार्ड निकाला तो आपने पहले ही मेल खाने वाले कार्डों में से एक को हटा दिया था!), इसलिए संभावना है 1 /17. (तो अगली बार जब टेबल पर टेक्सस होल्डम खेलते हुए लड़का कहता है, "कूल, एक और जोड़ी? मैं आज भाग्यशाली हूं," आपको पता चल जाएगा कि उसके झांसा देने की बहुत अधिक संभावना है।)

क्या होगा यदि हम दो जोकर जोड़ते हैं और अब हमारे पास डेक में 54 कार्ड हैं और हम जानना चाहते हैं कि एक जोड़ी खींचने की संभावना क्या है? पहला कार्ड जोकर हो सकता है, और उसके बाद डेक में केवल शामिल होगा एककार्ड, तीन नहीं, जो मेल खाएगा। इस मामले में संभावना कैसे खोजें? हम संभावनाओं को विभाजित करते हैं और प्रत्येक संभावना को गुणा करते हैं।

हमारा पहला कार्ड जोकर या कोई अन्य कार्ड हो सकता है। एक जोकर निकालने की प्रायिकता 2/54 है, किसी अन्य कार्ड को निकालने की प्रायिकता 52/54 है।

यदि पहला कार्ड जोकर (2/54) है, तो दूसरा कार्ड पहले से मेल खाने की संभावना 1/53 है। मानों को गुणा करना (हम उन्हें गुणा कर सकते हैं क्योंकि वे अलग-अलग घटनाएँ हैं और हम चाहते हैं दोनोंघटनाएं हुईं) और हमें 1/1431 - प्रतिशत के दसवें हिस्से से भी कम मिलता है।

यदि आप पहले कोई अन्य कार्ड (52/54) बनाते हैं, तो दूसरे कार्ड के मिलान की प्रायिकता 3/53 है। हम मानों को गुणा करते हैं और 78/1431 (5.5% से थोड़ा अधिक) प्राप्त करते हैं।

हम इन दो परिणामों के साथ क्या करते हैं? वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं और हम प्रायिकता जानना चाहते हैं हर कोईउनमें से, इसलिए हम मूल्यों को जोड़ते हैं! हमें अंतिम परिणाम 79/1431 (अभी भी लगभग 5.5%) मिलता है।

यदि हम उत्तर की सटीकता के बारे में सुनिश्चित होना चाहते हैं, तो हम अन्य सभी संभावित परिणामों की संभावना की गणना कर सकते हैं: एक जोकर खींचना और दूसरे कार्ड से मेल नहीं खाना, या कोई अन्य कार्ड खींचना और दूसरे कार्ड से मेल नहीं खाना, और उन सभी को जोड़ना जीतने की संभावना के साथ, हमें ठीक 100% प्राप्त होगा। मैं यहां गणित नहीं दूंगा, लेकिन आप गणित को दोबारा जांचने की कोशिश कर सकते हैं।

मोंटी हॉल विरोधाभास

यह हमें एक प्रसिद्ध विरोधाभास में लाता है जो अक्सर कई लोगों को भ्रमित करता है, मोंटी हॉल विरोधाभास। विरोधाभास का नाम टीवी शो लेट्स मेक ए डील के होस्ट मोंटी हॉल के नाम पर रखा गया है। अगर आपने इस शो को कभी नहीं देखा है, तो यह टीवी शो "द प्राइस इज़ राइट" के विपरीत था। "द प्राइस इज़ राइट" पर, होस्ट (पूर्व में बॉब बार्कर, अब इट्स… ड्रयू केरी? वैसे भी…) आपका मित्र है। वह चाहता हेआपके लिए पैसा या अच्छा पुरस्कार जीतने के लिए। यह आपको जीतने का हर मौका देने की कोशिश करता है, जब तक आप अनुमान लगा सकते हैं कि प्रायोजित आइटम वास्तव में कितने लायक हैं।

मोंटी हॉल ने अलग तरह से व्यवहार किया। वह बॉब बार्कर के दुष्ट जुड़वां की तरह था। उनका लक्ष्य आपको राष्ट्रीय टेलीविजन पर एक बेवकूफ की तरह दिखाना था। यदि आप शो में थे, तो वह आपका विरोधी था, आप उसके खिलाफ खेले और ऑड्स उसके पक्ष में था। हो सकता है कि मैं कठोर हो रहा हूं, लेकिन जब एक प्रतिद्वंद्वी के रूप में चुने जाने का मौका सीधे आनुपातिक लगता है कि आपने हास्यास्पद पोशाक पहनी है या नहीं, तो मैं इसी तरह के निष्कर्ष पर आता हूं।

लेकिन शो के सबसे प्रसिद्ध मीम्स में से एक यह था: आपके सामने तीन दरवाजे थे, और उन्हें दरवाजा नंबर 1, दरवाजा नंबर 2 और दरवाजा नंबर 3 कहा जाता था। आप कोई भी एक दरवाजा चुन सकते थे ... मुफ्त में! इनमें से एक दरवाजे के पीछे एक शानदार पुरस्कार था, उदाहरण के लिए, एक नई कार। अन्य दरवाजों के पीछे कोई पुरस्कार नहीं थे, इन दोनों दरवाजों का कोई मूल्य नहीं था। उनका लक्ष्य आपको अपमानित करना था और इसलिए ऐसा नहीं है कि उनके पीछे कुछ भी नहीं था, उनके पीछे कुछ ऐसा था जो बेवकूफ लग रहा था, जैसे उनके पीछे एक बकरी या टूथपेस्ट की एक बड़ी ट्यूब, या कुछ ... कुछ, वास्तव में क्या था नहींनई कार।

आपने एक दरवाजे को चुना और मोंटी उसे खोलने ही वाला था कि आपको पता चल जाए कि आप जीते हैं या नहीं... लेकिन रुकिए, इससे पहले कि हम जानते हैंआइए इनमें से एक को देखें वेदरवाजा तुम चुना नहीं गया. चूंकि मोंटी जानता है कि पुरस्कार किस दरवाजे के पीछे है, और केवल एक ही पुरस्कार है और दोदरवाजे जो आपने नहीं चुने हैं, चाहे कुछ भी हो, वह हमेशा एक ऐसा दरवाजा खोल सकता है जिसके पीछे कोई पुरस्कार न हो। "क्या आप दरवाजा नंबर 3 चुनते हैं? तो चलिए दरवाजा 1 खोलते हैं यह दिखाने के लिए कि इसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं था।" और अब, उदारता से, वह आपको आपके चुने हुए द्वार #3 को द्वार #2 के पीछे व्यापार करने का अवसर प्रदान कर रहा है। यही वह जगह है जहां संभाव्यता का प्रश्न चलन में आता है: क्या आपके अवसर को बढ़ाने या घटाने के लिए एक अलग दरवाजे का चयन करने में सक्षम है जीतने का, या यह वही रहता है? तुम क्या सोचते हो?

सही उत्तर: दूसरा दरवाजा चुनने की क्षमता बढ़ती है 1/3 से 2/3 तक जीतने की संभावना। यह अतार्किक है। यदि आप पहले इस विरोधाभास में नहीं आए हैं, तो संभावना है कि आप सोच रहे हैं: रुको, एक दरवाजा खोलकर, हमने संभावना को जादुई रूप से बदल दिया है? लेकिन जैसा कि हमने ऊपर मानचित्र उदाहरण में देखा, यह है बिल्कुलक्या होता है जब हमें अधिक जानकारी मिलती है। यह स्पष्ट है कि आपके द्वारा पहली बार चुने जाने पर जीतने की संभावना 1/3 है, और मुझे लगता है कि हर कोई उस पर सहमत होगा। जब एक दरवाजा खुलता है, तो यह पहली पसंद के लिए जीतने की संभावना को बिल्कुल भी नहीं बदलता है, संभावना अभी भी 1/3 है, लेकिन इसका मतलब है कि संभावना है कि दूसरादरवाजा सही अब 2/3 है।

आइए इस उदाहरण को दूसरी तरफ से देखें। आप एक दरवाजा चुनें। जीतने की संभावना 1/3 है। मेरा सुझाव है कि आप बदलें दोअन्य दरवाजे, जो मोंटी हॉल वास्तव में करने का प्रस्ताव करता है। बेशक, वह यह दिखाने के लिए एक दरवाजा खोलता है कि इसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं है, लेकिन वह हमेशाऐसा कर सकता है, इसलिए यह वास्तव में कुछ भी नहीं बदलता है। बेशक, आप एक अलग दरवाजा चुनना चाहेंगे!

यदि आप इस मुद्दे को पूरी तरह से नहीं समझते हैं और अधिक ठोस स्पष्टीकरण की आवश्यकता है, तो इस लिंक पर क्लिक करके एक महान छोटे फ्लैश एप्लिकेशन पर जाएं जो आपको इस विरोधाभास का अधिक विस्तार से पता लगाने की अनुमति देगा। आप लगभग 10 दरवाजों से शुरू कर सकते हैं और फिर धीरे-धीरे तीन दरवाजों वाले खेल की ओर बढ़ सकते हैं; एक सिम्युलेटर भी है जहां आप 3 से 50 में से किसी भी संख्या में दरवाजे चुन सकते हैं और कई हजार सिमुलेशन खेल सकते हैं या चला सकते हैं और देख सकते हैं कि यदि आप खेलते हैं तो आप कितनी बार जीतेंगे।

उच्च गणित के शिक्षक और खेल संतुलन के विशेषज्ञ मैक्सिम सोलातोव की एक टिप्पणी, जो निश्चित रूप से, श्रेइबर के पास नहीं थी, लेकिन जिसके बिना इस जादुई परिवर्तन को समझना मुश्किल है:

एक दरवाजा चुनें, तीन में से एक, "जीतने" की संभावना 1/3। अब आपके पास 2 रणनीतियां हैं: गलत दरवाजा खोलने के बाद चुनाव बदलें या नहीं। यदि आप अपनी पसंद नहीं बदलते हैं, तो संभावना 1/3 बनी रहेगी, क्योंकि चुनाव केवल पहले चरण में है, और आपको तुरंत अनुमान लगाना चाहिए, लेकिन यदि आप बदलते हैं, तो आप जीत सकते हैं यदि आप पहले गलत दरवाजा चुनते हैं ( फिर वे एक और गलत खोलते हैं, सच रहेगा, आप निर्णय बदल लें बस इसे ले लो)
शुरुआत में गलत दरवाजे को चुनने की संभावना 2/3 है, इसलिए यह पता चलता है कि आप अपना निर्णय बदलकर 2 गुना अधिक जीतने की संभावना बनाते हैं।

मोंटी हॉल विरोधाभास का पुनरीक्षण

शो के लिए ही, मोंटी हॉल को यह पता था, क्योंकि भले ही उनके विरोधी गणित में अच्छे नहीं थे, वहउसे अच्छी तरह समझता है। यहाँ उसने खेल को थोड़ा बदलने के लिए क्या किया। यदि आपने उस दरवाजे को चुना जिसके पीछे पुरस्कार था, जिसकी प्रायिकता 1/3 है, तो यह हमेशाआपको दूसरा दरवाजा चुनने का विकल्प प्रदान किया। क्योंकि आपने एक कार चुनी और फिर आप उसे एक बकरी में बदल देते हैं और आप बहुत बेवकूफ दिखते हैं, जिसकी उसे बिल्कुल जरूरत है, क्योंकि वह एक तरह का दुष्ट आदमी है। लेकिन अगर आप उस दरवाजे को चुनते हैं जिसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं होगा, केवल आधाऐसे मामलों में वह आपको दूसरा दरवाजा चुनने के लिए प्रेरित करेगा, और अन्य मामलों में वह आपको बस आपकी नई बकरी दिखाएगा और आप मंच छोड़ देंगे। आइए इस नए गेम का विश्लेषण करें जहां मोंटी हॉल कर सकते हैं चुनेंआपको दूसरा दरवाजा चुनने का मौका देता है या नहीं।

मान लीजिए कि वह इस एल्गोरिथम का अनुसरण करता है: यदि आप एक पुरस्कार के साथ एक दरवाजा चुनते हैं, तो वह हमेशा आपको दूसरा दरवाजा चुनने का अवसर प्रदान करता है, अन्यथा संभावना है कि वह आपको एक अलग दरवाजा प्रदान करेगा या आपको एक बकरी देगा 50/50 है। आपके जीतने की संभावना क्या है?

तीन विकल्पों में से एक में, आप तुरंत उस दरवाजे को चुनते हैं जिसके पीछे पुरस्कार स्थित है, और मेजबान आपको दूसरा दरवाजा चुनने के लिए आमंत्रित करता है।

तीन में से शेष दो विकल्पों में से (आप शुरू में बिना किसी पुरस्कार के एक दरवाजा चुनते हैं), आधा समय मेजबान आपसे एक अलग दरवाजा चुनने के लिए कहेगा, और दूसरे आधे समय में ऐसा नहीं होगा। 2/3 का आधा 1/3 है, अर्थात। तीन में से एक मामले में आपको एक बकरी मिलेगी, तीन में से एक मामले में आप गलत दरवाजा चुनेंगे और मेजबान आपसे दूसरा चुनने के लिए कहेगा और तीन में से एक मामले में आप चुनेंगे सही दरवाजाऔर वह तुम्हें दूसरा द्वार चुनने को कहेगा।

यदि मेजबान का सुझाव है कि हम एक और दरवाजा चुनते हैं, तो हम पहले से ही जानते हैं कि तीन मामलों में से एक जब वह हमें एक बकरी देता है और हम छोड़ देते हैं तो ऐसा नहीं हुआ। यह उपयोगी जानकारी है क्योंकि इसका मतलब है कि हमारे जीतने की संभावना बदल गई है। तीन में से दो बार हमारे पास एक विकल्प होता है, एक मामले में इसका मतलब है कि हमने सही अनुमान लगाया है, और दूसरे मामले में इसका मतलब है कि हमने गलत अनुमान लगाया है, इसलिए अगर हमें एक विकल्प की पेशकश की गई, तो इसका मतलब है कि हमारे जीतने की संभावना 50 है / 50, और कोई नहीं है गणितीयलाभ, अपनी पसंद के साथ रहें या दूसरा दरवाजा चुनें।

पोकर की तरह, यह अब एक मनोवैज्ञानिक खेल है, गणितीय नहीं। मोंटी ने आपको एक विकल्प की पेशकश की क्योंकि वह सोचता है कि आप एक साधारण व्यक्ति हैं जो यह नहीं जानता कि एक अलग दरवाजा चुनना "सही" निर्णय है, और यह कि आप हठपूर्वक अपनी पसंद पर कायम रहेंगे, क्योंकि मनोवैज्ञानिक रूप से, स्थिति जब आप एक चुनते हैं कार, ​​और फिर इसे खो दिया, कठिन? या क्या वह सोचता है कि आप स्मार्ट हैं और दूसरा दरवाजा चुनते हैं, और वह आपको वह मौका देता है क्योंकि वह जानता है कि आपने पहली बार सही अनुमान लगाया है और आप फंस जाएंगे और फंस जाएंगे? या हो सकता है कि वह खुद के प्रति अनैच्छिक रूप से दयालु हो और आपको अपने निजी हित में कुछ करने के लिए प्रेरित करता हो क्योंकि उसने लंबे समय से कार दान नहीं की है और उसके निर्माता उसे बताते हैं कि दर्शक ऊब रहे हैं और बेहतर होगा कि वह एक दे बड़ा पुरस्कार जल्द ही। ताकि रेटिंग न गिरे?

इस प्रकार, मोंटी एक विकल्प (कभी-कभी) की पेशकश करने का प्रबंधन करता है और जीतने की समग्र संभावना 1/3 रहती है। याद रखें कि आपके तुरंत हारने की संभावना 1/3 है। एक 1/3 मौका है कि आप तुरंत अनुमान लगा लेंगे, और उस समय का 50% आप जीतेंगे (1/3 x 1/2 = 1/6)। संभावना है कि आप पहले गलत अनुमान लगाते हैं, लेकिन फिर एक और दरवाजा चुनने का मौका 1/3 है, और इनमें से 50% मामलों में आप जीतेंगे (1/6 भी)। दो स्वतंत्र जीतने की संभावनाओं को जोड़ें और आपको 1/3 की संभावना मिलती है, इसलिए चाहे आप अपनी पसंद पर बने रहें या दूसरा दरवाजा चुनें, पूरे खेल में आपके जीतने की कुल संभावना 1/3 है ... संभावना अधिक नहीं होती है ऐसी स्थिति में जहां आप दरवाजे का अनुमान लगाएंगे और मेजबान आपको दिखाएगा कि इस दरवाजे के पीछे क्या है, दूसरे दरवाजे को चुनने की क्षमता के बिना! तो एक अलग दरवाजा चुनने का विकल्प देने की बात संभावना को बदलने के लिए नहीं है, बल्कि निर्णय प्रक्रिया को टीवी पर देखने के लिए और अधिक मजेदार बनाने के लिए है।

वैसे, पोकर इतना दिलचस्प क्यों हो सकता है, इसका एक कारण यह है: राउंड के बीच अधिकांश प्रारूपों में, जब दांव लगाए जाते हैं (उदाहरण के लिए, टेक्सास होल्डम में फ्लॉप, टर्न और रिवर), कार्ड धीरे-धीरे प्रकट होते हैं , और यदि खेल की शुरुआत में आपके पास जीतने की एक संभावना है, तो सट्टेबाजी के प्रत्येक दौर के बाद, जब अधिक कार्ड खुले होते हैं, तो यह संभावना बदल जाती है।

लड़का और लड़की विरोधाभास

यह हमें एक और प्रसिद्ध विरोधाभास की ओर ले जाता है जो हर किसी को पहेली बनाता है, लड़का-लड़की विरोधाभास। केवल एक चीज जो मैं आज लिख रहा हूं वह सीधे तौर पर खेलों से संबंधित नहीं है (हालांकि मैं अनुमान लगा रहा हूं कि इसका मतलब है कि मुझे आपको प्रासंगिक गेम मैकेनिक्स बनाने के लिए प्रेरित करना चाहिए)। यह एक पहेली से अधिक है, लेकिन एक दिलचस्प है, और इसे हल करने के लिए, आपको उस सशर्त संभावना को समझने की आवश्यकता है जिसके बारे में हमने ऊपर बात की थी।

टास्क: मेरे दो बच्चों के साथ एक दोस्त है, कम से कम एकबच्चा एक लड़की है। क्या संभावना है कि दूसरा बच्चा बहुतलड़की? आइए मान लें कि किसी भी परिवार में लड़की या लड़का होने की संभावना 50/50 है और यह हर बच्चे के लिए सच है (वास्तव में, कुछ पुरुषों के शुक्राणु में एक्स गुणसूत्र या वाई गुणसूत्र के साथ अधिक शुक्राणु होते हैं, इसलिए संभावना है थोड़ा बदल जाता है यदि आप जानते हैं कि एक बच्चा एक लड़की है, लड़की होने की संभावना थोड़ी अधिक है, इसके अलावा अन्य स्थितियां भी हैं, उदाहरण के लिए, उभयलिंगी, लेकिन इस समस्या को हल करने के लिए, हम इसे ध्यान में नहीं रखेंगे और मान लेंगे कि बच्चे का जन्म एक स्वतंत्र घटना है और लड़का या लड़की होने की संभावना समान है)।

चूंकि हम 1/2 मौके के बारे में बात कर रहे हैं, हम सहज रूप से उत्तर की अपेक्षा शायद 1/2 या 1/4, या कोई अन्य गोल संख्या जो 2 का गुणज है। लेकिन जवाब है: 1/3 . रुको क्यों?

इस मामले में कठिनाई यह है कि हमारे पास जो जानकारी है वह संभावनाओं की संख्या को कम कर देती है। मान लीजिए कि माता-पिता तिल स्ट्रीट के प्रशंसक हैं और इस बात की परवाह किए बिना कि बच्चे का जन्म लड़का हुआ या लड़की, अपने बच्चों का नाम ए और बी रखा। सामान्य परिस्थितियों में, समान रूप से चार संभावनाएं हैं: ए और बी दो लड़के हैं, ए और बी हैं दो लड़कियां, ए एक लड़का है, और बी एक लड़की है, ए एक लड़की है, और बी एक लड़का है। चूंकि हम जानते हैं कि कम से कम एकबच्चा एक लड़की है, हम इस संभावना से इंकार कर सकते हैं कि ए और बी दो लड़के हैं, जिससे हमें तीन (अभी भी समान रूप से) संभावनाएं मिलती हैं। यदि सभी संभावनाएं समान रूप से संभावित हैं और उनमें से तीन हैं, तो हम जानते हैं कि उनमें से प्रत्येक की संभावना 1/3 है। इन तीन विकल्पों में से केवल एक में दोनों बच्चे दो लड़कियां हैं, इसलिए उत्तर 1/3 है।

और फिर एक लड़के और एक लड़की के विरोधाभास के बारे में

समस्या का समाधान और भी अतार्किक हो जाता है। कल्पना कीजिए कि मैं आपको बताता हूं कि मेरे दोस्त के दो बच्चे और एक बच्चा है - मंगलवार को पैदा हुई लड़की. मान लीजिए कि सामान्य परिस्थितियों में सप्ताह के सात दिनों में से किसी एक दिन बच्चा होने की संभावना समान होती है। क्या संभावना है कि दूसरा बच्चा भी एक लड़की है? आप सोच सकते हैं कि उत्तर अभी भी 1/3 होगा; मंगलवार का क्या महत्व है? लेकिन इस मामले में, अंतर्ज्ञान हमें विफल कर देता है। उत्तर: 13/27 जो न केवल सहज ज्ञान युक्त है, बल्कि बहुत अजीब है। क्या बात है इस मामले में?

वास्तव में, मंगलवार संभावना बदल देता है क्योंकि हम नहीं जानते कौन साबच्चे का जन्म मंगलवार को या संभवत: हुआ था दो बच्चोंमंगलवार को पैदा हुए थे। इस मामले में, हम ऊपर के समान तर्क का उपयोग करते हैं, हम सभी संभावित संयोजनों की गणना करते हैं जब कम से कम एक बच्चा एक लड़की है जो मंगलवार को पैदा हुई थी। जैसा कि पिछले उदाहरण में, मान लीजिए कि बच्चों का नाम A और B है, संयोजन इस प्रकार हैं:

• ए एक लड़की है जो मंगलवार को पैदा हुई थी, बी एक लड़का है (इस स्थिति में 7 संभावनाएं हैं, सप्ताह के प्रत्येक दिन के लिए एक जब लड़का पैदा हो सकता है)।
• B एक लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को हुआ था, A एक लड़का है (7 संभावनाएँ भी)।
• A एक लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को हुआ था, B एक लड़की है जिसका जन्म . को हुआ था दूसरासप्ताह का दिन (6 संभावनाएं)।
• B एक लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को हुआ था, A एक लड़की है जिसका जन्म मंगलवार को नहीं हुआ था (6 संभावनाएं भी)।
• ए और बी दो लड़कियां हैं जिनका जन्म मंगलवार को हुआ था (1 संभावना है, आपको इस पर ध्यान देने की आवश्यकता है ताकि दो बार गिनती न हो)।

हम योग करते हैं और बच्चों के जन्म और दिनों के 27 अलग-अलग समान रूप से संभव संयोजन प्राप्त करते हैं, जिसमें कम से कम एक लड़की के मंगलवार को पैदा होने की संभावना होती है। इनमें से 13 संभावनाएं तब होती हैं जब दो लड़कियों का जन्म होता है। यह भी पूरी तरह से अतार्किक लगता है, और ऐसा लगता है कि यह कार्य केवल सिरदर्द पैदा करने के लिए बनाया गया था। यदि आप अभी भी इस उदाहरण से हैरान हैं, तो गेम थिओरिस्ट जेस्पर जुहल ने अपनी वेबसाइट पर इस मामले की अच्छी व्याख्या की है।

अगर आप अभी किसी गेम पर काम कर रहे हैं...

यदि आप जिस गेम को डिजाइन कर रहे हैं उसमें यादृच्छिकता है, तो इसका विश्लेषण करने का यह एक शानदार अवसर है। किसी भी तत्व का चयन करें जिसका आप विश्लेषण करना चाहते हैं। पहले अपने आप से पूछें कि आपकी अपेक्षाओं के अनुसार इस तत्व के लिए क्या संभावना है, आपकी राय में, खेल के संदर्भ में यह क्या होना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि आप एक आरपीजी बना रहे हैं और आप इस बारे में सोच रहे हैं कि किसी खिलाड़ी के लिए युद्ध में एक राक्षस को हराने में सक्षम होने की कितनी संभावना है, तो अपने आप से पूछें कि आपको कौन सा जीत प्रतिशत सही लगता है। आम तौर पर कंसोल आरपीजी खेलते समय, खिलाड़ी हारने पर बहुत निराश हो जाते हैं, इसलिए यह बेहतर है कि वे अक्सर हारें नहीं ... शायद 10% या उससे कम? यदि आप एक आरपीजी डिजाइनर हैं, तो आप शायद मुझसे बेहतर जानते हैं, लेकिन आपको एक बुनियादी विचार होना चाहिए कि संभावना क्या होनी चाहिए।

फिर अपने आप से पूछें कि क्या यह कुछ है आश्रित(कार्ड की तरह) या स्वतंत्र(पासा की तरह)। सभी संभावित परिणामों और उनकी संभावनाओं पर चर्चा करें। सुनिश्चित करें कि सभी संभावनाओं का योग 100% है। अंत में, निश्चित रूप से, अपने परिणामों की तुलना अपनी अपेक्षाओं से करें। क्या पासा लुढ़का हुआ है या कार्ड आपके इच्छित तरीके से खींचे गए हैं या आप देखते हैं कि आपको मूल्यों को समायोजित करने की आवश्यकता है। और निश्चित रूप से यदि आप पानाक्या समायोजित करने की आवश्यकता है, आप उसी गणना का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए कर सकते हैं कि किसी चीज़ को कितना समायोजित करना है!

गृहकार्य

इस सप्ताह आपका "होमवर्क" आपके संभाव्यता कौशल को सुधारने में आपकी मदद करेगा। यहां दो पासा खेल और एक कार्ड गेम है जिसे आप संभाव्यता का उपयोग करके विश्लेषण करेंगे, साथ ही एक अजीब गेम मैकेनिक जिसे मैंने एक बार विकसित किया था कि आप मोंटे कार्लो पद्धति का परीक्षण करेंगे।

गेम #1 - ड्रैगन बोन्स

यह एक पासा खेल है जिसे मैं और मेरे सहयोगी एक बार लेकर आए थे (जेब हेवन्स और जेसी किंग के लिए धन्यवाद!), और जो जानबूझकर लोगों के दिमाग को अपनी संभावनाओं से उड़ा देता है। यह एक साधारण कैसीनो गेम है जिसे "ड्रैगन बोन्स" कहा जाता है और यह खिलाड़ी और प्रतिष्ठान के बीच एक जुआ पासा प्रतियोगिता है। आपको नियमित 1d6 डाई दी जाती है। खेल का लक्ष्य घर की तुलना में अधिक संख्या में रोल करना है। टॉम को एक गैर-मानक 1d6 दिया जाता है - आपके जैसा ही, लेकिन एक तरफ एक के बजाय - एक ड्रैगन की छवि (इस प्रकार कैसीनो में ड्रैगन-2-3-4-5-6 मर जाता है)। यदि संस्था को ड्रैगन मिलता है, तो यह स्वतः ही जीत जाता है, और आप हार जाते हैं। यदि आप दोनों को एक ही नंबर मिलता है, तो यह एक टाई है और आप फिर से पासे को घुमाते हैं। जो सबसे अधिक संख्या में रोल करता है वह जीतता है।

बेशक, सब कुछ खिलाड़ी के पक्ष में नहीं निकलता है, क्योंकि कैसीनो को ड्रैगन चेहरे के रूप में एक फायदा है। लेकिन क्या सच में ऐसा है? आपको इसकी गणना करनी होगी। लेकिन इससे पहले अपने अंतर्ज्ञान की जांच करें। मान लीजिए कि जीत 2 से 1 है। इसलिए यदि आप जीतते हैं, तो आप अपनी शर्त रखते हैं और दोगुनी राशि प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप $1 की शर्त लगाते हैं और जीतते हैं, तो आप उस डॉलर को रखते हैं और कुल $3 के लिए शीर्ष पर $2 और प्राप्त करते हैं। यदि आप हारते हैं, तो आप केवल अपनी शर्त हारते हैं। क्या आप खेलेंगे? तो, क्या आप सहज रूप से महसूस करते हैं कि संभावना 2 से 1 से अधिक है, या क्या आप अभी भी सोचते हैं कि यह कम है? दूसरे शब्दों में, औसतन 3 से अधिक गेम, क्या आप एक से अधिक, या कम, या एक बार जीतने की उम्मीद करते हैं?

एक बार जब आप अपने अंतर्ज्ञान से निपट लेते हैं, तो गणित लागू करें। दोनों पासों के लिए केवल 36 संभावित स्थान हैं, इसलिए आप उन सभी को आसानी से गिन सकते हैं। यदि आप इस 2-टू-1 ऑफ़र के बारे में अनिश्चित हैं, तो इस पर विचार करें: मान लें कि आपने 36 बार गेम खेला है (हर बार $1 का दांव लगाना)। हर जीत के लिए आपको $2 मिलता है, हर हार के लिए आप $1 खोते हैं, और एक ड्रा कुछ भी नहीं बदलता है। अपने सभी संभावित जीत और नुकसान की गणना करें और तय करें कि क्या आप कुछ डॉलर खो देंगे या लाभ प्राप्त करेंगे। फिर अपने आप से पूछें कि आपका अंतर्ज्ञान कितना सही निकला। और फिर - महसूस करें कि मैं क्या खलनायक हूं।

और, हाँ, यदि आप पहले से ही इस प्रश्न के बारे में सोच चुके हैं - मैं जानबूझकर आपको पासा खेल के वास्तविक यांत्रिकी को विकृत करके भ्रमित करता हूं, लेकिन मुझे यकीन है कि आप इस बाधा को केवल एक अच्छे विचार से दूर कर सकते हैं। इस समस्या को स्वयं हल करने का प्रयास करें। मैं अगले सप्ताह यहां सभी उत्तर पोस्ट करूंगा।

गेम #2 - भाग्य का रोल

यह एक पासा खेल है जिसे लकी रोल कहा जाता है (बर्डकेज भी क्योंकि कभी-कभी पासा लुढ़का नहीं जाता है, लेकिन एक बड़े तार के पिंजरे में रखा जाता है, जो बिंगो पिंजरे की याद दिलाता है)। यह एक साधारण खेल है जो कुछ इस तरह से जाता है: 1 और 6 के बीच की संख्या पर $1 की शर्त लगाएं। फिर आप 3d6 रोल करते हैं। आपके नंबर को हिट करने वाले प्रत्येक पास के लिए, आपको $1 मिलता है (और अपनी मूल शर्त रखें)। यदि आपका नंबर किसी भी पासे पर नहीं आता है, तो कैसीनो को आपका डॉलर मिल जाता है और आपको कुछ भी नहीं मिलता है। इसलिए यदि आप 1 पर दांव लगाते हैं और आपको तीन बार चेहरे पर 1 मिलता है, तो आपको $3 मिलता है।

सहज रूप से, ऐसा लगता है कि इस खेल में संभावनाएँ भी हैं। प्रत्येक पासा एक व्यक्ति है, जीतने की 6 में से 1 संभावना है, इसलिए तीनों का योग 6 में 3 है। हालांकि, निश्चित रूप से, याद रखें कि आप तीन अलग-अलग पासा जोड़ रहे हैं, और आपको केवल तभी जोड़ने की अनुमति है जब हम हैं एक ही पासे के अलग-अलग विजेता संयोजनों के बारे में बात करना। कुछ ऐसा जो आपको गुणा करना होगा।

एक बार जब आप सभी संभावित परिणामों की गणना कर लेते हैं (हाथ से एक्सेल में ऐसा करना शायद आसान है, तो उनमें से 216 हैं), पहली नज़र में गेम अभी भी अजीब लगता है। लेकिन हकीकत में, कैसीनो अभी भी जीतने की अधिक संभावना है - कितना अधिक? विशेष रूप से, आप प्रति गेम राउंड में औसतन कितने पैसे खोने की उम्मीद करते हैं? आपको बस सभी 216 परिणामों की जीत और हार को जोड़ना है और फिर 216 से विभाजित करना है, जो कि बहुत आसान होना चाहिए ... : अगर आपको लगता है कि इस गेम में जीतने का एक भी मौका है, तो आपको यह सब गलत लगता है।

गेम #3 - 5 कार्ड स्टड

यदि आप पहले से ही पिछले खेलों पर वार्म अप कर चुके हैं, तो आइए देखें कि हम इस कार्ड गेम का एक उदाहरण के रूप में सशर्त संभाव्यता के बारे में क्या जानते हैं। विशेष रूप से, आइए 52 कार्डों के डेक के साथ पोकर की कल्पना करें। आइए 5 कार्ड स्टड की भी कल्पना करें जहां प्रत्येक खिलाड़ी को केवल 5 कार्ड मिलते हैं। आप एक कार्ड नहीं छोड़ सकते, आप एक नया नहीं बना सकते, कोई सामान्य डेक नहीं - आपको केवल 5 कार्ड मिलते हैं।

रॉयल फ्लश एक संयोजन में कुल चार के लिए 10-J-Q-K-A है, इसलिए रॉयल फ्लश प्राप्त करने के चार संभावित तरीके हैं। संभावना की गणना करें कि आपको इनमें से एक संयोजन मिलेगा।

मेरे पास आपको चेतावनी देने के लिए एक बात है: याद रखें कि आप इन पांच कार्डों को किसी भी क्रम में बना सकते हैं। यही है, सबसे पहले आप एक इक्का या दस खींच सकते हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। इसलिए इसकी गणना करते समय, ध्यान रखें कि रॉयल फ्लश प्राप्त करने के वास्तव में चार से अधिक तरीके हैं, यह मानते हुए कि कार्ड क्रम में निपटाए गए थे!

गेम #4 - आईएमएफ लॉटरी

चौथा कार्य उन विधियों का उपयोग करके हल करना इतना आसान नहीं होगा जिनके बारे में हमने आज बात की, लेकिन आप प्रोग्रामिंग या एक्सेल का उपयोग करके आसानी से स्थिति का अनुकरण कर सकते हैं। इस समस्या के उदाहरण पर आप मोंटे कार्लो पद्धति पर काम कर सकते हैं।

मैंने पहले खेल "क्रोन एक्स" का उल्लेख किया था, जिस पर मैंने एक बार काम किया था, और एक बहुत ही दिलचस्प कार्ड था - आईएमएफ लॉटरी। यहां बताया गया है कि यह कैसे काम करता है: आपने इसे एक गेम में इस्तेमाल किया। राउंड समाप्त होने के बाद, कार्डों का पुनर्वितरण किया गया और 10% संभावना थी कि कार्ड चलन से बाहर हो जाएगा और एक यादृच्छिक खिलाड़ी को प्रत्येक प्रकार के संसाधन में से 5 प्राप्त होंगे जिनके पास उस कार्ड पर टोकन था। एक कार्ड को एक टोकन के बिना खेल में रखा गया था, लेकिन हर बार जब यह अगले दौर की शुरुआत में खेल में रहा, तो उसे एक टोकन प्राप्त हुआ। तो 10% संभावना थी कि आप इसे खेलेंगे, राउंड समाप्त होगा, कार्ड खेलना छोड़ देगा, और किसी को कुछ नहीं मिलेगा। यदि ऐसा नहीं होता है (90% संभावना के साथ), तो 10% संभावना है (वास्तव में 9%, क्योंकि यह 90% का 10% है) कि वह अगले दौर में खेल छोड़ देगी और किसी को 5 संसाधन मिलेंगे। यदि कार्ड एक राउंड के बाद खेल छोड़ देता है (उपलब्ध 81% में से 10%, तो 8.1% मौका), किसी को 10 इकाइयाँ मिलेंगी, दूसरे राउंड - 15, अन्य 20, और इसी तरह। प्रश्न: इस कार्ड के अंत में खेल छोड़ने पर आपको प्राप्त होने वाले संसाधनों की संख्या का अपेक्षित मूल्य क्या है?

सामान्यत: हम प्रत्येक परिणाम की संभावना का पता लगाकर और सभी परिणामों की संख्या से गुणा करके इस समस्या को हल करने का प्रयास करेंगे। तो 10% संभावना है कि आपको 0 (0.1*0 = 0) मिलेगा। 9% कि आपको 5 संसाधन मिलेंगे (9%*5 = 0.45 संसाधन)। आपको जो मिलता है उसका 8.1% 10 (8.1%*10 = 0.81 कुल संसाधन, अपेक्षित मूल्य) है। और इसी तरह। और फिर हम इसे पूरा करेंगे।

और अब समस्या आपके लिए स्पष्ट है: हमेशा एक मौका होता है कि कार्ड नहींखेल छोड़ देता है ताकि वह खेल में बनी रह सके हमेशा हमेशा के लिए, अनंत राउंड के लिए, ताकि गणना करने की संभावनाएं कोई संभावनामौजूद नहीं। आज हमने जो तरीके सीखे हैं, वे हमें अनंत रिकर्सन की गणना करने की अनुमति नहीं देते हैं, इसलिए हमें इसे कृत्रिम रूप से बनाना होगा।

यदि आप प्रोग्रामिंग में काफी अच्छे हैं, तो एक प्रोग्राम लिखें जो इस कार्ड का अनुकरण करेगा। आपके पास एक समय लूप होना चाहिए जो चर को शून्य की प्रारंभिक स्थिति में लाता है, एक यादृच्छिक संख्या दिखाता है, और 10% संभावना के साथ चर लूप से बाहर निकलता है। अन्यथा, यह चर में 5 जोड़ता है और लूप दोहराता है। जब यह अंत में लूप से बाहर आता है, तो टेस्ट रन की कुल संख्या को 1 और संसाधनों की कुल संख्या में वृद्धि करें (कितना इस पर निर्भर करता है कि वेरिएबल कहाँ रुका है)। फिर वेरिएबल को रीसेट करें और फिर से शुरू करें। प्रोग्राम को कई हजार बार चलाएं। अंत में, कुल संसाधनों को रनों की कुल संख्या से विभाजित करें, और यह आपका अपेक्षित मोंटे कार्लो मान है। यह सुनिश्चित करने के लिए प्रोग्राम को कई बार चलाएँ कि आपको मिलने वाली संख्याएँ लगभग समान हैं; यदि स्प्रेड अभी भी बड़ा है, तो बाहरी लूप में दोहराव की संख्या तब तक बढ़ाएं जब तक आपको मैच मिलना शुरू न हो जाए। आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि आपके पास जो भी संख्याएँ होंगी, वे लगभग सही होंगी।

यदि आप प्रोग्रामिंग में नए हैं (या यदि आप भी हैं), तो अपने एक्सेल कौशल को गर्म करने के लिए यहां एक छोटा सा अभ्यास है। यदि आप एक गेम डिज़ाइनर हैं, तो एक्सेल कौशल कभी भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होते हैं।

अब IF और RAND फ़ंक्शन आपके लिए बहुत उपयोगी होंगे। रैंड को मानों की आवश्यकता नहीं है, यह केवल 0 और 1 के बीच एक यादृच्छिक दशमलव संख्या उत्पन्न करता है। हम आमतौर पर इसे फ़्लोर और प्लसस और माइनस के साथ जोड़कर पासे के एक रोल का अनुकरण करते हैं, जिसका मैंने पहले उल्लेख किया था। हालांकि, इस मामले में, हम केवल 10% मौका छोड़ रहे हैं कि कार्ड खेल छोड़ देगा, इसलिए हम केवल जांच सकते हैं कि क्या रैंड मान 0.1 से कम है और अब इसके बारे में चिंता न करें।

IF के तीन अर्थ हैं। क्रम में, वह स्थिति जो या तो सत्य है या नहीं, फिर वह मान जो स्थिति के सत्य होने पर लौटाया जाता है, और यदि स्थिति गलत है तो वह मान जो लौटाया जाता है। तो निम्नलिखित फ़ंक्शन 5% समय और 0 अन्य 90% समय लौटाएगा:
= अगर (रैंड ()<0.1,5,0)

इस कमांड को सेट करने के कई तरीके हैं, लेकिन मैं इस फॉर्मूले का उपयोग उस सेल के लिए करूंगा जो पहले राउंड का प्रतिनिधित्व करता है, मान लीजिए कि यह सेल A1 है:

अगर (रैंड ()<0.1,0,-1)

यहां मैं एक नकारात्मक चर का उपयोग कर रहा हूं जिसका अर्थ है "इस कार्ड ने खेल नहीं छोड़ा है और अभी तक कोई संसाधन नहीं दिया है"। इसलिए यदि पहला राउंड समाप्त हो गया है और कार्ड चलन से बाहर है, तो A1 0 है; अन्यथा यह -1 है।

दूसरे दौर का प्रतिनिधित्व करने वाली अगली सेल के लिए:

आईएफ (ए 1> -1, ए 1, आईएफ (रैंड ())<0.1,5,-1))

इसलिए यदि पहला राउंड समाप्त हो गया और कार्ड ने तुरंत खेल छोड़ दिया, तो A1 0 (संसाधनों की संख्या) है और यह सेल बस उस मान को कॉपी कर लेगा। अन्यथा, ए 1 -1 है (कार्ड ने अभी तक गेम नहीं छोड़ा है), और यह सेल यादृच्छिक गति जारी रखता है: 10% समय यह संसाधनों की 5 इकाइयों को वापस कर देगा, शेष समय इसका मूल्य अभी भी -1 होगा . यदि हम इस फॉर्मूले को अतिरिक्त सेल पर लागू करते हैं, तो हमें अतिरिक्त राउंड मिलेंगे, और आप जिस भी सेल के साथ समाप्त करेंगे, आपको अंतिम परिणाम मिलेगा (या -1 यदि कार्ड ने आपके द्वारा खेले गए सभी राउंड के बाद गेम नहीं छोड़ा है)।

सेल की इस पंक्ति को लें, जो इस कार्ड के साथ एकमात्र राउंड है, और कुछ सौ (या हजारों) पंक्तियों को कॉपी और पेस्ट करें। हम शायद नहीं कर पाएंगे अनंतएक्सेल के लिए परीक्षण (तालिका में सीमित संख्या में सेल हैं), लेकिन कम से कम हम ज्यादातर मामलों को कवर कर सकते हैं। फिर एक सेल चुनें जहां आप सभी राउंड के परिणामों का औसत डालेंगे (एक्सेल कृपया इसके लिए AVERAGE() फ़ंक्शन प्रदान करता है)।

विंडोज़ पर, कम से कम आप सभी यादृच्छिक संख्याओं की पुनर्गणना करने के लिए F9 दबा सकते हैं। पहले की तरह, इसे कुछ बार करें और देखें कि क्या आपको मिलने वाले मान समान हैं। यदि स्प्रेड बहुत बड़ा है, तो रनों की संख्या को दोगुना करें और पुनः प्रयास करें।

अनसुलझी समस्याएं

यदि आपके पास प्रायिकता में डिग्री है और उपरोक्त समस्याएं आपके लिए बहुत आसान लगती हैं, तो यहां दो समस्याएं हैं जो मैं वर्षों से अपना सिर खुजला रहा हूं, लेकिन, अफसोस, मैं उन्हें हल करने के लिए गणित में अच्छा नहीं हूं। यदि आप अचानक समाधान जानते हैं, तो कृपया इसे यहां टिप्पणियों में पोस्ट करें, मैं इसे मजे से पढ़ूंगा।

अनसुलझी समस्या # 1: लॉटरीअंतर्राष्ट्रीय मुद्रा कोष

पहली अनसुलझी समस्या पिछला होमवर्क असाइनमेंट है। मैं आसानी से मोंटे कार्लो विधि (सी ++ या एक्सेल का उपयोग करके) का उपयोग कर सकता हूं और इस सवाल का जवाब सुनिश्चित कर सकता हूं कि "खिलाड़ी को कितने संसाधन प्राप्त होंगे", लेकिन मुझे नहीं पता कि गणितीय रूप से सटीक सिद्ध उत्तर कैसे प्रदान किया जाए (यह एक अनंत श्रृंखला है)। यदि आप उत्तर जानते हैं, तो इसे यहां पोस्ट करें ... मोंटे कार्लो के बाद इसे जांचें, बिल्कुल।

अनसुलझी समस्या # 2: आकार अनुक्रम

यह कार्य (और फिर से यह इस ब्लॉग में हल किए गए कार्यों से बहुत आगे निकल जाता है) मुझे एक परिचित गेमर द्वारा 10 साल से अधिक समय पहले फेंक दिया गया था। वेगास में लाठी खेलते समय उन्होंने एक दिलचस्प विशेषता देखी: जब उन्होंने 8-डेक जूते से कार्ड निकाले, तो उन्होंने देखा दसएक पंक्ति में आंकड़े (एक आंकड़ा, या आंकड़ा कार्ड - 10, जोकर, राजा या रानी, ​​इसलिए 52 कार्ड के मानक डेक में उनमें से 16 हैं, इसलिए 416 कार्ड के जूते में उनमें से 128 हैं)। क्या प्रायिकता है कि इस जूते में कम से कमदस का एक क्रम या अधिकआंकड़े? आइए मान लें कि उन्हें यादृच्छिक क्रम में ईमानदारी से फेरबदल किया गया था। (या, यदि आप चाहें, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि कहीं नहीं मिलादस या अधिक अंकों का एक क्रम?)

हम कार्य को सरल बना सकते हैं। यहाँ 416 भागों का एक क्रम है। प्रत्येक भाग 0 या 1 है। पूरे क्रम में 128 वाले और 288 शून्य बेतरतीब ढंग से बिखरे हुए हैं। 128 1s को 288 0s के साथ यादृच्छिक रूप से इंटरलीव करने के कितने तरीके हैं, और इन तरीकों से दस या अधिक 1s का कम से कम एक समूह कितनी बार होगा?

हर बार जब मैंने यह कार्य किया, तो यह मुझे आसान और स्पष्ट लग रहा था, लेकिन जैसे ही मैंने विवरण में प्रवेश किया, यह अचानक अलग हो गया और मुझे बस असंभव लग रहा था। तो उत्तर को अस्पष्ट करने के लिए जल्दी मत करो: बैठो, ध्यान से सोचो, समस्या की स्थितियों का अध्ययन करें, वास्तविक संख्या में प्लगिंग करने का प्रयास करें, क्योंकि मैंने इस समस्या के बारे में सभी लोगों से बात की (इस क्षेत्र में काम करने वाले कई स्नातक छात्रों सहित) लगभग उसी तरह से प्रतिक्रिया व्यक्त की: "यह बिल्कुल स्पष्ट है ... अरे नहीं, रुको, बिल्कुल स्पष्ट नहीं है।" यह वही मामला है जिसके लिए मेरे पास सभी विकल्पों की गणना करने की कोई विधि नहीं है। मैं निश्चित रूप से कंप्यूटर एल्गोरिदम के माध्यम से समस्या को बलपूर्वक बल दे सकता था, लेकिन इस समस्या को हल करने के गणितीय तरीके को जानना अधिक दिलचस्प होगा।

अनुवाद - वाई। तकाचेंको, आई। मिखेवा

सबसे आम रूप एक घन के रूप में है, जिसके प्रत्येक तरफ एक से छह तक की संख्याएं दर्शाई गई हैं। खिलाड़ी, इसे एक सपाट सतह पर फेंकता है, परिणाम शीर्ष चेहरे पर देखता है। हड्डियाँ संयोग, सौभाग्य या दुर्भाग्य का वास्तविक मुखपत्र हैं।

दुर्घटना।
क्यूब्स (हड्डियां) लंबे समय से मौजूद हैं, लेकिन छह-पक्षीय रूप जो पारंपरिक हो गया है, लगभग 2600 ईसा पूर्व हासिल किया गया था। इ। प्राचीन यूनानियों को पासा खेलना पसंद था, और उनकी किंवदंतियों में नायक पालामेड्स, ओडीसियस द्वारा विश्वासघात का अन्यायपूर्ण आरोप लगाया गया था, उनके आविष्कारक के रूप में उल्लेख किया गया है। किंवदंती के अनुसार, उन्होंने ट्रॉय को घेरने वाले सैनिकों के मनोरंजन के लिए इस खेल का आविष्कार किया, एक विशाल लकड़ी के घोड़े की बदौलत कब्जा कर लिया। जूलियस सीजर के समय में रोमनों ने भी विभिन्न प्रकार के पासा खेलों के साथ अपना मनोरंजन किया। लैटिन में, क्यूब को डेटम कहा जाता था, जिसका अर्थ है "दिया गया"।

निषेध।
मध्य युग में, 12 वीं शताब्दी के आसपास, यूरोप में पासा बहुत लोकप्रिय हो गया: पासा, जिसे आप हर जगह अपने साथ ले जा सकते हैं, योद्धा और किसान दोनों को पसंद हैं। ऐसा कहा जाता है कि छह सौ से अधिक विभिन्न खेल थे! पासे का उत्पादन एक अलग पेशा बन जाता है। राजा लुई IX (1214-1270), जो धर्मयुद्ध से लौटे, ने जुए को स्वीकार नहीं किया और पूरे राज्य में पासा के उत्पादन पर प्रतिबंध लगाने का आदेश दिया। खेल से अधिक, अधिकारी इससे जुड़ी अशांति से असंतुष्ट थे - फिर वे मुख्य रूप से सराय में खेलते थे और पार्टियां अक्सर झगड़े और छुरा घोंपकर समाप्त होती थीं। लेकिन किसी भी प्रतिबंध ने पासा को जीवित रहने और आज तक जीवित रहने से नहीं रोका।

एक "चार्ज" के साथ हड्डियाँ!
डाई रोल का परिणाम हमेशा संयोग से निर्धारित होता है, लेकिन कुछ धोखेबाज इसे बदलने की कोशिश करते हैं। डाई में छेद करके और उसमें सीसा या पारा डालकर, यह सुनिश्चित करना संभव है कि रोल हर बार एक ही परिणाम देता है। ऐसे घन को "आवेशित" कहा जाता है। विभिन्न सामग्रियों से निर्मित, चाहे वह सोना, पत्थर, क्रिस्टल, हड्डी, पासा हो, विभिन्न आकार हो सकते हैं। पिरामिड (टेट्राहेड्रॉन) के आकार में छोटे पासे मिस्र के फिरौन की कब्रों में पाए गए थे जिन्होंने बड़े पिरामिड बनाए थे! अलग-अलग समय में हड्डियों को 8, 10, 12, 20 और यहां तक ​​कि 100 भुजाओं से भी बनाया जाता था। आमतौर पर उन पर संख्याएं लागू की जाती हैं, लेकिन उनके स्थान पर अक्षर या चित्र भी दिखाई दे सकते हैं, जो कल्पना के लिए जगह देते हैं।

पासा कैसे रोल करें।
पासा न केवल विभिन्न आकृतियों में आता है, बल्कि खेलने के विभिन्न तरीकों से भी आता है। कुछ खेलों के नियमों में रोल को एक निश्चित तरीके से रोल करने की आवश्यकता होती है, आमतौर पर गणना किए गए रोल से बचने के लिए या डाई को झुकी हुई स्थिति में आराम करने से रोकने के लिए। कभी-कभी उन्हें धोखा देने या गेमिंग टेबल से गिरने से बचाने के लिए एक विशेष ग्लास लगाया जाता है। क्रेप के अंग्रेजी खेल में, तीनों पासों को खेल की मेज या दीवार से टकराना चाहिए ताकि धोखेबाजों को केवल पासा घुमाकर रोल की नकल करने से रोका जा सके, लेकिन इसे मोड़ना नहीं।

यादृच्छिकता और संभावना।
पासा हमेशा एक यादृच्छिक परिणाम देता है जिसकी भविष्यवाणी नहीं की जा सकती। एक पासे के साथ, खिलाड़ी के पास 1 को रोल करने के उतने ही मौके होते हैं जितने उसके पास 6 होते हैं - सब कुछ संयोग से निर्धारित होता है। दूसरी ओर, दो पासों के साथ, यादृच्छिकता का स्तर कम हो जाता है, क्योंकि खिलाड़ी के पास परिणाम के बारे में अधिक जानकारी होती है: उदाहरण के लिए, दो पासों के साथ, संख्या 7 को कई तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है - 1 और 6, 5 को रोल करके और 2, या 4 और 3 ... लेकिन संख्या 2 प्राप्त करने की संभावना केवल एक है: 1 को दो बार फेंकना। इस प्रकार, 7 प्राप्त करने की संभावना 2 प्राप्त करने से अधिक है! इसे प्रायिकता सिद्धांत कहते हैं। कई खेल इस सिद्धांत से जुड़े हैं, खासकर नकद खेल।

पासे के प्रयोग पर।
पासा अन्य तत्वों के बिना एक स्टैंडअलोन गेम हो सकता है। केवल एक चीज जो व्यावहारिक रूप से मौजूद नहीं है वह है एक घन के लिए खेल। नियमों के लिए कम से कम दो (जैसे क्रेप) की आवश्यकता होती है। पासा पोकर खेलने के लिए आपको पांच पासे, एक कलम और कागज चाहिए। लक्ष्य एक ही नाम के कार्ड गेम के संयोजन के समान संयोजनों को भरना है, उनके लिए एक विशेष तालिका में रिकॉर्डिंग अंक। इसके अलावा, क्यूब बोर्ड गेम के लिए एक बहुत लोकप्रिय हिस्सा है, जो आपको चिप्स को स्थानांतरित करने या गेम लड़ाइयों के नतीजे तय करने की अनुमति देता है।

डाई डाली जाती है।
49 ईसा पूर्व में। इ। युवा जूलियस सीजर ने गॉल को जीत लिया और पोम्पेई लौट आया। लेकिन सीनेटरों को उनकी शक्ति का डर था, जिन्होंने लौटने से पहले अपनी सेना को भंग करने का फैसला किया। भविष्य के सम्राट, गणतंत्र की सीमाओं पर पहुंचकर, सेना के साथ इसे पार करके आदेश का उल्लंघन करने का फैसला करते हैं। रूबिकॉन (नदी जो सीमा थी) को पार करने से पहले, उन्होंने अपने दिग्गजों से कहा "एलिया जैक्टा एस्ट" ("डाई कास्ट")। यह कहावत एक मुहावरा बन गया है, जिसका अर्थ यह है कि खेल की तरह, कुछ निर्णय लेने के बाद, पीछे हटना संभव नहीं है।

ढीले ध्वनि पाठ के साथ संगीत रचना की विधि; संगीत रचना के एक स्वतंत्र तरीके के रूप में 20 वीं शताब्दी में आकार लिया। ए का अर्थ है संगीतकार का संगीत पाठ पर सख्त नियंत्रण का पूर्ण या आंशिक त्याग, या यहां तक ​​कि पारंपरिक अर्थों में संगीतकार-लेखक की श्रेणी का उन्मूलन। ए का नवाचार एक संगीत पाठ के स्थिर रूप से स्थापित घटकों के सहसंबंध में निहित है, जिसमें सचेत रूप से पेश की गई यादृच्छिकता, संगीत सामग्री की मनमानी गतिशीलता है। ए की अवधारणा रचना के कुछ हिस्सों के सामान्य लेआउट (फॉर्म के लिए), और इसके कपड़े की संरचना दोनों को संदर्भित कर सकती है। अलविदा। डेनिसोव,कपड़े और रूप की स्थिरता और गतिशीलता के बीच की बातचीत 4 मुख्य प्रकार के संयोजन देती है, जिनमें से तीन - दूसरा, तीसरा और चौथा - एलेओरिक हैं: 1. स्थिर कपड़े - स्थिर रूप (सामान्य पारंपरिक संरचना, ओपस परफेक्टम एट एब्सोल्यूटम; जैसे, उदाहरण के लिए, त्चिकोवस्की द्वारा 6 सिम्फनी); 2. स्थिर कपड़े - मोबाइल रूप; वी। लुटोस्लाव के अनुसार, "ए। फॉर्म" (पी। बोलेज़, पियानो के लिए तीसरा सोनाटा, 1957); 3. मोबाइल कपड़े - स्थिर आकार; या, लुटोस्लाव्स्की के अनुसार, "ए। बनावट" (लुटोस्लाव्स्की, स्ट्रिंग चौकड़ी, 1964, मुख्य आंदोलन); 4. मोबाइल फैब्रिक - मोबाइल फॉर्म; या "ए. पिंजरा"(कई कलाकारों के सामूहिक सुधार के साथ)। ये ए की विधि के नोडल बिंदु हैं, जिसके चारों ओर कई अलग-अलग विशिष्ट प्रकार और संरचनाओं के मामले हैं, ए में विसर्जन की विभिन्न डिग्री; इसके अलावा, मेटाबोलस ("मॉड्यूलेशन") भी प्राकृतिक हैं - एक प्रकार या प्रकार से दूसरे में संक्रमण, एक स्थिर पाठ या उससे भी।

A. 1950 के दशक के बाद से व्यापक हो गया है, दिखाई दे रहा है (साथ में .) सोनोरिक्स),विशेष रूप से, बहु-पैरामीटर धारावाहिकवाद में संगीत संरचना की अत्यधिक दासता की प्रतिक्रिया के रूप में (देखें: डोडेकैफोनी)।इस बीच, किसी न किसी रूप में संरचना की स्वतंत्रता के सिद्धांत की जड़ें प्राचीन हैं। संक्षेप में, ध्वनि धारा, न कि एक विशिष्ट संरचित रचना, लोक संगीत है। इसलिए अस्थिरता, लोक संगीत की "नॉन-ऑपस", उसमें भिन्नता, भिन्नता और आशुरचना। अप्रत्याशितता, रूप में सुधार भारत के पारंपरिक संगीत, सुदूर पूर्व और अफ्रीका के लोगों की विशेषता है। इसलिए, ए के प्रतिनिधि सक्रिय रूप से और सचेत रूप से प्राच्य और लोक संगीत के आवश्यक सिद्धांतों पर भरोसा करते हैं। यूरोपीय शास्त्रीय संगीत में तीर तत्व भी मौजूद थे। उदाहरण के लिए, विनीज़ क्लासिक्स के बीच, जिन्होंने सामान्य बास के सिद्धांत को समाप्त कर दिया और संगीत पाठ को पूरी तरह से स्थिर बना दिया (आई। हेडन द्वारा सिम्फनी और चौकड़ी), एक तेज विपरीत एक वाद्य संगीत कार्यक्रम के रूप में "कैडेंज़ा" था - ए कलाप्रवीण व्यक्ति एकल, वह भाग जिसके संगीतकार ने रचना नहीं की, लेकिन कलाकार के विवेक पर प्रदान किया गया (तत्व ए। रूप)। पासा (वुरफेलस्पील) पर संगीत के टुकड़ों को मिलाकर साधारण टुकड़ों (मिनुएट्स) की रचना के कॉमिक "एलिएटोरिक" तरीके हेडन और मोजार्ट के दिनों में जाने जाते हैं (आई.एफ. बर्लिन, 1757)।

XX सदी में। प्रपत्र में "व्यक्तिगत परियोजना" के सिद्धांत ने काम के पाठ संस्करणों (यानी ए) की स्वीकार्यता का सुझाव देना शुरू कर दिया। 1907 में अमेरिकी संगीतकार सी। इवेस ने पियानो पंचक "हॉलवे" एन (= "ऑल सेंट्स ईव") की रचना की, जिसका पाठ, जब एक संगीत कार्यक्रम में किया जाता है, तो उसे लगातार चार बार अलग तरीके से बजाया जाना चाहिए। डी। पिंजरा 1951 में रचित पियानो के लिए "परिवर्तन का संगीत", जिसके पाठ को उन्होंने "दुर्घटनाओं में हेरफेर" (संगीतकार के शब्दों) द्वारा संकलित किया, इसके लिए चीनी "परिवर्तन की पुस्तक" का उपयोग किया। क्लासी-

कैल उदाहरण ए. - के द्वारा "पियानो पीस इलेवन"। स्टॉकहाउज़ेन, 1957. कागज की एक शीट पर सीए। एक यादृच्छिक क्रम में 0.5 वर्गमीटर 19 संगीत अंश हैं। पियानोवादक उनमें से किसी के साथ शुरू होता है और एक आकस्मिक नज़र के बाद उन्हें यादृच्छिक क्रम में बजाता है; पिछले मार्ग के अंत में लिखा है कि किस गति पर और किस मात्रा में अगले एक को खेलना है। जब पियानोवादक को लगता है कि वह पहले से ही इस तरह से सभी टुकड़ों को बजा चुका है, तो उन्हें दूसरी बार फिर से उसी यादृच्छिक क्रम में बजाया जाना चाहिए, लेकिन एक तेज स्वर में। दूसरे दौर के बाद, खेल समाप्त होता है। अधिक प्रभाव के लिए, एक संगीत कार्यक्रम में अलंकृत कार्य को दोहराने की सिफारिश की जाती है - उसी सामग्री से एक और रचना श्रोता को दिखाई देगी। आधुनिक संगीतकारों द्वारा विधि ए का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है (बौलेज़, स्टॉकहौसेन,लुटोस्लाव्स्की, ए। वोल्कॉन्स्की, डेनिसोव, श्नाइट्केऔर आदि।)।

20वीं सदी में ए. के लिए एक पूर्वापेक्षा। नए कानून आए समन्वयऔर उनसे उत्पन्न होने वाली प्रवृत्तियाँ नए रूपों की खोज करने के लिए जो संगीत सामग्री की नई अवस्था के अनुरूप हों और जिनकी विशेषता हो मोहरामुक्ति से पहले ऐलेटेरिक बनावट पूरी तरह से अकल्पनीय थी मतभेदआटोनल संगीत का विकास (देखें: डोडेकैफोनी)।"सीमित और नियंत्रित" ए। लुटोस्लाव्स्की के समर्थक इसमें निस्संदेह मूल्य देखते हैं: "ए। मेरे लिए नए और अप्रत्याशित दृश्य खोले। सबसे पहले - लय की एक विशाल समृद्धि, अन्य तकनीकों की मदद से अप्राप्य। डेनिसोव, "संगीत में यादृच्छिक तत्वों की शुरूआत" को सही ठहराते हुए दावा करते हैं कि यह "हमें संगीत सामग्री के साथ काम करने में बहुत स्वतंत्रता देता है और हमें नए ध्वनि प्रभाव प्राप्त करने की अनुमति देता है।<...>, लेकिन गतिशीलता के विचार तभी अच्छे परिणाम दे सकते हैं जब<... >यदि गतिशीलता में छिपी विनाशकारी प्रवृत्तियाँ कला के किसी भी रूप के अस्तित्व के लिए आवश्यक रचनात्मकता को नष्ट नहीं करती हैं।

संगीत के कुछ अन्य तरीके और रूप ए के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। सबसे पहले, ये हैं: 1. कामचलाऊ व्यवस्था -खेल के दौरान रचित कार्य का प्रदर्शन; 2. ग्राफिक संगीत,जिसे कलाकार अपने सामने रखे गए चित्र की दृश्य छवियों के अनुसार सुधार करता है (उदाहरण के लिए, आई। ब्राउन, फोलियो, 1952), उन्हें ध्वनि छवियों में अनुवादित करता है, या संगीतकार द्वारा बनाए गए संगीतमय अलंकृत ग्राफिक्स के अनुसार टुकड़ों से कागज की एक शीट पर संगीत पाठ (एस। बुसोटी, "पैशन फॉर द गार्डन", 1966); 3. हो रहा- कामचलाऊ (इस अर्थ में, alatoric) क्रिया (भंडार)एक मनमाना (अर्ध-) कथानक के साथ संगीत की भागीदारी के साथ (उदाहरण के लिए, 1970/71 सीज़न में मैड्रिगल पहनावा द्वारा ए। वोल्कॉन्स्की की "प्रतिकृति" हो रही है); 4. संगीत के खुले रूप - यानी, जिनका पाठ स्थिर रूप से स्थिर नहीं है, लेकिन प्रदर्शन की प्रक्रिया में हर बार प्राप्त होता है। ये ऐसी रचनाएँ हैं जो मौलिक रूप से बंद नहीं हैं और एक अनंत निरंतरता (उदाहरण के लिए, प्रत्येक नए प्रदर्शन के साथ), अंग्रेजी की अनुमति देती हैं। कार्य प्रगति पर है। पी. बौलेज़ के लिए, एक उत्तेजना जिसने उसे एक खुले रूप में बदल दिया, वह था जे। जॉइस("यूलिसिस") और एस. मल्लार्मे ("ले लिवरे")। 98 उपकरणों और दो कंडक्टरों (1962) के लिए एक खुली रचना का एक उदाहरण अर्ल ब्राउन का "उपलब्ध प्रपत्र II" है। ब्राउन स्वयं दृश्य कला में "मोबाइल" के साथ अपने खुले रूप के संबंध की ओर इशारा करते हैं (देखें: गतिज कला)विशेष रूप से, ए काल्डर (4 ड्रमर के लिए "काल्डर पीस" और काल्डर का मोबाइल, 1965)। अंत में, "गेसमटकुंस्ट" क्रिया को अलंकृत सिद्धांतों के साथ अनुमति दी गई है (देखें: गेज़मटकुंस्टवर्क)। 5. मल्टीमीडिया जिसकी विशिष्टता तुल्यकालन है अधिष्ठापनकई कलाएँ (उदाहरण के लिए: एक संगीत कार्यक्रम + पेंटिंग और मूर्तिकला की एक प्रदर्शनी + कला रूपों के किसी भी संयोजन में कविता की एक शाम, आदि)। इस प्रकार, ए का सार पारंपरिक रूप से स्थापित कलात्मक क्रम और अप्रत्याशितता, यादृच्छिकता के ताज़ा किण्वन को समेटना है - एक प्रवृत्ति विशेषता XX सदी की कलात्मक संस्कृति।सामान्य तौर पर और गैर-शास्त्रीय सौंदर्यशास्त्र।

लिट।: डेनिसोव ई.वी.संगीत रूप के स्थिर और मोबाइल तत्व और उनकी बातचीत // संगीत रूपों और शैलियों की सैद्धांतिक समस्याएं। एम।, 1971; कोहौटेक सी. XX सदी के संगीत में रचना तकनीक। एम।, 1976; लुटोस्लाव्स्की वी.लेख, हो-

भूरे बाल, यादें। एम।, 1995; बोल्ज़ोपी. एलेया//डार्मस्टैडर बेइट्रेज ज़ूर न्युएन म्यूसिक। एल, मेंज, 1958; बोलेज़ आर.ज़ू मीनर III सोनाटे // इबिड, III। 1960; शेफ़र बी.नोवा मुज़्यका (1958)। क्राको, 1969; शेफ़र बी.माली मुखबिर मुज़की XX विएकू (1958)। क्राको, 1975; स्टॉकहौसेन के.म्यूसिक अंड ग्राफिक (1960) // टेक्स्ट, बीडी.एल, कोलन, 1963; बोहमर के. थ्योरी डेर ऑफेनन फॉर्म इन डेर म्यूसिक। डार्मस्टेड, 1967।

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