تاریخچه تاس. تاس آنلاین ما شرایط یک آزمون مستقل را به هم وصل می کنیم

نوشته شده توسط طراح تایلر سیگمن، در "Gamasutra". من با محبت از آن به عنوان مقاله "مو در سوراخ های بینی اورک" یاد می کنم، اما اصول اولیه احتمالات در بازی ها را به خوبی پوشش می دهد.

موضوع این هفته

تا به امروز، تقریباً همه چیزهایی که در مورد آن صحبت کردیم قطعی بوده است، و هفته گذشته نگاهی دقیق‌تر به مکانیک انتقالی انداختیم و آن را با جزئیاتی که می‌توانم توضیح دهم، تجزیه کردیم. اما تاکنون به جنبه عظیم بسیاری از بازی ها، یعنی جنبه های غیر قطعی، به عبارت دیگر - تصادفی بودن توجه نکرده ایم. درک ماهیت تصادفی بودن برای طراحان بازی بسیار مهم است زیرا ما سیستم هایی ایجاد می کنیم که بر تجربه بازیکن در یک بازی خاص تأثیر می گذارد، بنابراین باید بدانیم این سیستم ها چگونه کار می کنند. اگر تصادفی در سیستم وجود دارد، باید درک کنید طبیعتاین تصادفی بودن و نحوه تغییر آن برای به دست آوردن نتایجی که می خواهیم.

تاس

بیایید با چیز ساده شروع کنیم: تاس انداختن. هنگامی که بیشتر مردم به تاس فکر می کنند، به یک قالب شش وجهی معروف به d6 فکر می کنند. اما بیشتر گیمرها تاس های دیگر را دیده اند: چهار طرفه (d4)، هشت وجهی (d8)، دوازده وجهی (d12)، بیست وجهی (d20) ... و اگر شما واقعیدوست عزیز، ممکن است در جایی تاس های 30 یا 100 وجهی داشته باشید. اگر با این اصطلاح آشنا نیستید، "d" به معنای یک قالب است و عدد بعد از آن چند وجه است. اگر یک قبل از"d" مخفف یک عدد است میزانتاس هنگام پرتاب مثلا در Monopoly شما 2d6 رول می کنید.

بنابراین، در این مورد، عبارت "تاس" یک نام متعارف است. بسیاری از ژنراتورهای دیگر وجود دارد اعداد تصادفی، که شکل بلوک پلاستیکی ندارند، اما همان عملکرد تولید یک عدد تصادفی از 1 تا n را انجام می دهند. یک سکه معمولی را می توان به عنوان یک قالب دو وجهی d2 نیز در نظر گرفت. من دو طرح از یک قالب هفت وجهی دیدم: یکی از آنها شبیه تاس بود و دومی بیشتر شبیه یک مداد چوبی هفت وجهی بود. دریدل چهار وجهی (همچنین به عنوان تیتوتوم شناخته می شود) آنالوگ یک استخوان چهار وجهی است. زمین بازی فلش چرخان در بازی "Chutes & Ladders" که نتیجه آن می تواند از 1 تا 6 باشد، مربوط به یک قالب شش وجهی است. مولد اعداد تصادفی در کامپیوتر می تواند هر عددی را از 1 تا 19 ایجاد کند اگر طراح چنین دستوری بدهد، اگرچه کامپیوتر تاس 19 وجهی ندارد (به طور کلی، من بیشتر در مورد احتمال افتادن اعداد روی آن صحبت خواهم کرد. کامپیوتر در بعدهفته). اگرچه همه این موارد متفاوت به نظر می رسند، اما در واقع معادل هستند: شانس یکسانی برای گرفتن یکی از چندین نتیجه را دارید.

تاس ها خواص جالبی دارند که باید در مورد آنها بدانیم. اول، احتمال بالا آمدن هر یک از چهره‌ها یکسان است (من فرض می‌کنم که شما تاس درستی می‌اندازید، نه هندسه اشتباه). پس اگر می خواهید بدانید منظور داشتنرول کنید (که در بین احتمال‌ها به عنوان «انتظار ریاضی» نیز شناخته می‌شود)، مقادیر تمام یال‌ها را جمع کنید و این مجموع را بر تقسیم کنید. میزانچهره ها. مقدار متوسط ​​یک رول برای یک قالب استاندارد شش وجهی 1+2+3+4+5+6 = 21 است که بر تعداد وجه ها (6) تقسیم می شود و مقدار متوسط ​​21/6 = 3.5 به دست می آید. این یک مورد خاص است زیرا ما فرض می کنیم که همه نتایج به یک اندازه محتمل هستند.

اگر تاس خاصی داشته باشید چطور؟ به عنوان مثال، من یک بازی تاس شش وجهی با برچسب های خاص روی صورت ها دیدم: 1، 1، 1، 2، 2، 3، بنابراین مانند یک تاس سه وجهی عجیب رفتار می کند، که احتمال اینکه عدد 1 را بزند بیشتر است. از 2 و 2 از 3. میانگین مقدار رول برای این قالب چقدر است؟ بنابراین 1+1+1+2+2+3 = 10 تقسیم بر 6 برابر با 5/3 یا حدود 1.66 است. بنابراین اگر شما این تاس خاص را دارید و بازیکنان سه تاس می‌اندازند و سپس نتایج را جمع می‌کنند، می‌دانید که مجموع تقریبی پرتاب‌های آنها حدود 5 خواهد بود و می‌توانید بر اساس این فرض بازی را متعادل کنید.

تاس و استقلال

همانطور که قبلاً گفتم، ما از این فرض پیش می‌رویم که احتمال حذف هر چهره به یک اندازه است. این بستگی به تعداد تاس شما ندارد. هر انداختن یک تاس بدون در نظر گرفتن، به این معنی که رول های قبلی بر نتایج رول های بعدی تأثیر نمی گذارد. با تعداد کافی تست، قطعا انجام خواهید داد اطلاع"سری" اعداد، مانند پرتاب کردن مقادیر بیشتر یا پایین تر، یا ویژگی های دیگر، و بعداً در مورد آن صحبت خواهیم کرد، اما این بدان معنا نیست که تاس ها "گرم" یا "سرد" هستند. اگر یک قالب استاندارد شش وجهی بچرخانید و عدد 6 دو بار پشت سر هم بالا بیاید، احتمال اینکه رول بعدی به عدد 6 منجر شود نیز 1/6 است. با این واقعیت که مکعب "گرم شده" است، احتمال افزایش نمی یابد. احتمال کاهش نمی یابد، زیرا عدد 6 قبلاً دو بار متوالی افتاده است، به این معنی که اکنون چهره دیگری بیرون خواهد افتاد. (البته اگر یک قالب را بیست بار بچرخانید و هر بار عدد 6 بالا بیاید، احتمال اینکه عدد 6 برای بار بیست و یکم بالا بیاید بسیار زیاد است ... زیرا ممکن است به این معنی باشد که شما قالب اشتباهی دارید. !) اما در صورت داشتن دای مناسب، بدون توجه به نتایج رول های دیگر، احتمال افتادن از هر یک از صورت ها یکسان است. شما همچنین می توانید تصور کنید که هر بار که قالب را تغییر می دهیم، بنابراین اگر عدد 6 دو بار پشت سر هم آمد، قالب "گرم" را از بازی حذف کنید و یک قالب شش وجهی جدید جایگزین آن کنید. من عذرخواهی می کنم اگر هر یک از شما قبلاً در این مورد می دانستید، اما لازم بود قبل از ادامه این موضوع توضیح دهم.

چگونه می توان تاس را کم و بیش تصادفی انداخت

بیایید در مورد چگونگی به دست آوردن نتایج متفاوت در تاس های مختلف صحبت کنیم. اگر قالب را فقط یک بار یا چند بار بچرخانید، اگر قالب دارای لبه های بیشتری باشد، بازی تصادفی تر خواهد بود. هر چه تعداد دفعات بیشتری تاس بیاندازید یا تاس بیشتری بیاندازید، نتایج به میانگین نزدیک‌تر می‌شوند. به عنوان مثال، اگر 1d6+4 را رول کنید (یعنی یک قالب شش وجهی استاندارد یک بار و 4 را به نتیجه اضافه کنید)، میانگین عددی بین 5 تا 10 خواهد بود. اگر 5d2 رول کنید، میانگین نیز عددی بین خواهد بود. 5 و 10. اما هنگام پرتاب تاس شش وجهی، احتمال به دست آوردن اعداد 5، 8 یا 10 یکسان است. نتیجه یک رول 5d2 اکثراً اعداد 7 و 8 خواهد بود و کمتر مقادیر دیگر. همان سری، حتی میانگین یکسان (7.5 در هر دو مورد)، اما ماهیت تصادفی متفاوت است.

یک دقیقه صبر کن. فقط نگفتم تاس ها گرم و سرد نمی شوند؟ و حالا میگم که اگه تاس زیادی بیاندازی، نتایج پرتابها به میانگین نزدیکتره؟ چرا؟

بگذار توضیح بدهم. اگر در حال پرتاب هستید یکیتاس، احتمال افتادن از هر یک از صورت ها یکسان است. این بدان معناست که اگر تاس های زیادی بیندازید، با گذشت زمان، هر صورت تقریباً به همان تعداد دفعات ظاهر می شود. هرچه تاس بیشتری بیاندازید، نتیجه کل بیشتر به میانگین نزدیک می شود. این به این دلیل نیست که عدد رول شده باعث می‌شود که عدد دیگری که هنوز نیامده است رول شود. چون یک رگه کوچک از 6 تاس (یا 20 یا هر چیز دیگری) اگر ده هزار بار دیگر تاس بیندازید کار مهمی نیست و بیشتر میانگین است که بالا می آید... شاید حالا چند تا داشته باشید. اعداد با مقدار زیاد، اما شاید بعداً چند عدد با مقدار کم و به مرور زمان به مقدار متوسط ​​نزدیک شوند. نه به این دلیل که پرتاب های قبلی روی تاس ها تأثیر می گذارد (به طور جدی، تاس از آن ساخته شده است پلاستیک، او مغزی ندارد که فکر کند "اوه، مدت زیادی است که یک عدد 2 مطرح شده است")، اما به این دلیل که این چیزی است که معمولاً در مورد تاس انداختن زیاد اتفاق می افتد. یک سری کوچک از اعداد تکرار شونده در تعداد زیادی از نتایج تقریباً نامرئی خواهند بود.

بنابراین، محاسبه برای یک رول تصادفی یک قالب، حداقل در حد محاسبه مقدار متوسط ​​رول، نسبتاً آسان است. همچنین روش‌هایی برای محاسبه «تصادفی بودن» چیزی وجود دارد، روشی برای اینکه بگوییم نتایج یک رول 1d6+4 «تصادفی‌تر» از 5d2 خواهد بود، برای 5d2 توزیع نتایج نورد شده یکنواخت‌تر خواهد بود. معمولاً شما انحراف معیار را برای این محاسبه می کنید و هر چه مقدار بیشتر باشد، نتایج تصادفی تر خواهند بود، اما این نیاز به محاسبات بیشتری از آنچه امروز می خواهم ارائه می دهد (این مبحث را بعداً توضیح خواهم داد). تنها چیزی که از شما می خواهم بدانید این است که به عنوان یک قاعده کلی، هر چه تاس کمتر ریخته شود، تصادفی تر است. و یک مورد دیگر در مورد این موضوع: هر چه اضلاع قالب بیشتر باشد، تصادفی بودن بیشتر است، زیرا گزینه های بیشتری دارید.

نحوه محاسبه احتمال با استفاده از شمارش

ممکن است این سوال برای شما پیش بیاید: چگونه می‌توانیم احتمال دقیق یک نتیجه خاص را محاسبه کنیم؟ این در واقع برای بسیاری از بازی‌ها بسیار مهم است، زیرا اگر یک قالب بچرخانید، احتمالاً در ابتدا نتیجه مطلوبی حاصل می‌شود. پاسخ این است: ما باید دو مقدار را محاسبه کنیم. ابتدا، حداکثر تعداد پیامدها را هنگام پرتاب قالب محاسبه کنید (بدون توجه به اینکه نتیجه چه خواهد بود). سپس تعداد نتایج مطلوب را بشمارید. با تقسیم مقدار دوم بر مقدار اول، احتمال مورد نظر به دست می آید. برای بدست آوردن یک درصد، نتیجه را در 100 ضرب کنید.

مثال ها:

در اینجا یک مثال بسیار ساده است. شما می خواهید یک عدد 4 یا بالاتر بچرخانید و یک قالب شش وجهی را یک بار بچرخانید. حداکثر تعداد پیامدها 6 (1، 2، 3، 4، 5، 6) است. از این میان، 3 پیامد (4، 5، 6) مطلوب است. بنابراین، برای محاسبه احتمال، 3 را بر 6 تقسیم می کنیم و 0.5 یا 50٪ بدست می آوریم.

در اینجا یک مثال است که کمی پیچیده تر است. شما یک عدد زوج روی رول 2d6 می خواهید. حداکثر تعداد پیامدها 36 است (برای هر تاس 6 تاس و از آنجایی که یک تاس روی دیگری تأثیر نمی گذارد، 6 نتیجه را در 6 ضرب می کنیم و 36 می گیریم). مشکل این نوع سوال این است که دوبار شمارش آسان است. به عنوان مثال، در واقع دو نتیجه ممکن از یک 3 در یک رول 2d6 وجود دارد: 1+2 و 2+1. آنها یکسان به نظر می رسند، اما تفاوت این است که چه عددی روی تاس اول و چه عددی در تاس دوم نمایش داده می شود. شما همچنین می توانید تصور کنید که تاس ها رنگ های مختلفی دارند، به عنوان مثال در این مورد یک تاس قرمز و دیگری آبی است. سپس تعداد گزینه ها را برای بدست آوردن یک عدد زوج بشمارید: 2 (1+1)، 4 (1+3)، 4 (2+2)، 4 (3+1)، 6 (1+5)، 6 (2). +4)، 6 (3+3)، 6 (4+2)، 6 (5+1)، 8 (2+6)، 8 (3+5)، 8 (4+4)، 8 (5+) 3)، 8 (6+2)، 10 (4+6)، 10 (5+5)، 10 (6+4)، 12 (6+6). به نظر می رسد که 18 گزینه برای یک نتیجه مطلوب از 36 وجود دارد، همانطور که در مورد قبلی، احتمال 0.5 یا 50٪ خواهد بود. شاید غیرمنتظره، اما کاملا دقیق.

شبیه سازی مونت کارلو

اگر تعداد تاس های زیادی برای این محاسبه داشته باشید چه؟ به عنوان مثال، می خواهید بدانید که احتمال چرخاندن 15 عدد یا بیشتر روی یک رول 8d6 چقدر است. تعداد زیادی امتیاز انفرادی مختلف برای هشت تاس وجود دارد و محاسبه دستی آنها به زمان بسیار زیادی نیاز دارد. حتی اگر راه‌حل خوبی برای گروه‌بندی سری‌های مختلف تاس‌های ریخته‌شده پیدا کنیم، باز هم زمان زیادی برای شمارش طول خواهد کشید. در این مورد، ساده ترین راه برای محاسبه احتمال، محاسبه دستی نیست، بلکه استفاده از رایانه است. دو روش برای محاسبه احتمال در رایانه وجود دارد.

راه اول می تواند پاسخ دقیق را دریافت کند، اما شامل کمی برنامه نویسی یا اسکریپت است. در اصل، رایانه از طریق هر امکان، تعداد کل تکرارها و تعداد تکرارهایی که مطابق با نتیجه مورد نظر است را ارزیابی و شمارش می کند و سپس پاسخ می دهد. کد شما ممکن است چیزی شبیه به این باشد:

int wincount=0، totalcount=0;

برای (int i=1; i<=6; i++) {

برای (int j=1; j<=6; j++) {

برای (int k=1; k<=6; k++) {

... // حلقه های بیشتری را در اینجا وارد کنید

اگر (i+j+k+… >= 15) (

float probability = wincount/totalcount;

اگر در مورد برنامه نویسی اطلاعات زیادی ندارید و فقط می خواهید یک پاسخ نادرست اما تقریبی داشته باشید، می توانید این وضعیت را در اکسل شبیه سازی کنید، جایی که 8d6 را چند هزار بار رول می کنید و جواب می گیرید. برای رول کردن 1d6 در اکسل، از فرمول زیر استفاده کنید:

FLOOR(RAND()*6)+1

یک نام برای موقعیتی وجود دارد که شما پاسخ آن را نمی دانید و فقط چندین بار تلاش می کنید - شبیه سازی مونت کارلوو زمانی که سعی می کنید یک احتمال را محاسبه کنید و این بسیار پیچیده است، راه حلی عالی است. نکته مهم این است که در این مورد، ما نیازی به درک نحوه عملکرد ریاضی نداریم و می دانیم که پاسخ "بسیار خوب" خواهد بود، زیرا همانطور که قبلاً می دانیم، هر چه تعداد رول ها بیشتر باشد، نتیجه به نتیجه نزدیک تر می شود. مقدار متوسط

نحوه ترکیب آزمایشات مستقل

اگر در مورد چندین آزمایش تکراری اما مستقل بپرسید، نتیجه یک رول بر نتیجه رول های دیگر تأثیر نمی گذارد. توضیح ساده تری برای این وضعیت وجود دارد.

چگونه بین چیزی وابسته و مستقل تشخیص دهیم؟ در اصل، اگر بتوانید هر رول یک قالب (یا یک سری رول) را به عنوان یک رویداد جداگانه جدا کنید، آنگاه مستقل است. به عنوان مثال، اگر بخواهیم با انداختن 8d6 مجموعا 15 عدد بریزیم، این مورد را نمی توان به چند تاس مستقل تقسیم کرد. از آنجایی که شما مجموع مقادیر همه تاس ها را برای نتیجه محاسبه می کنید، نتیجه ای که روی یک تاس ریخته می شود بر نتایجی که باید روی تاس های دیگر ریخته شود تأثیر می گذارد، زیرا فقط با جمع کردن همه مقادیر به دست خواهید آورد. نتیجه مورد نظر

در اینجا نمونه ای از پرتاب های مستقل آورده شده است: شما در حال انجام یک بازی تاس هستید و چندین بار تاس های شش طرفه می اندازید. برای ماندن در بازی، باید در اولین رول خود یک عدد 2 یا بالاتر بزنید. برای رول دوم، 3 یا بالاتر. سومی به 4 یا بیشتر نیاز دارد، چهارمی به 5 یا بیشتر نیاز دارد، پنجمی نیاز به 6 دارد. اگر هر پنج رول موفقیت آمیز باشد، برنده می شوید. در این حالت، تمام پرتاب ها مستقل هستند. بله، اگر یک رول شکست بخورد، بر نتیجه کل بازی تأثیر می گذارد، اما یک رول روی رول دیگر تأثیری ندارد. به عنوان مثال، اگر تاس دوم شما بسیار موفق باشد، این بر احتمال موفقیت تاس بعدی تأثیری ندارد. بنابراین، می توانیم احتمال ریختن هر تاس را جداگانه در نظر بگیریم.

اگر احتمالات جداگانه و مستقلی دارید و می خواهید بدانید که احتمال آن چقدر است همهوقایع می آیند، شما احتمالات فردی را تعیین می کنید و آنها را ضرب می کنید.راه دیگر: اگر از ربط "و" برای توصیف چندین شرط استفاده کنید (مثلاً احتمال وقوع یک رویداد تصادفی چقدر است. ویک رویداد تصادفی مستقل دیگر؟)، احتمالات فردی را محاسبه کرده و آنها را ضرب کنید.

مهم نیست که شما چه فکر می کنید هرگزاحتمالات مستقل را جمع نکنید. این یک اشتباه رایج است. برای درک اینکه چرا این اشتباه است، موقعیتی را تصور کنید که در آن یک سکه را 50/50 می‌چرخانید، می‌خواهید بدانید که احتمال اینکه دو بار پشت سر هم به دست بیاورید چقدر است. هر طرف 50 درصد شانس بالا آمدن دارد، بنابراین اگر این دو احتمال را اضافه کنید، 100 درصد شانس بالا آمدن سر را خواهید داشت، اما ما می دانیم که این درست نیست زیرا دو دنباله متوالی می توانند بالا بیایند. اگر در عوض این دو احتمال را ضرب کنید، 50٪ * 50٪ = 25٪ به دست می آید که پاسخ صحیح برای محاسبه احتمال دوبار گرفتن سر در یک ردیف است.

مثال

بیایید به بازی تاس شش وجهی برگردیم، جایی که باید ابتدا عددی بالاتر از 2 و سپس بالاتر از 3 و به همین ترتیب بریزید. تا 6. شانس اینکه در یک سری 5 پرتاب معین، همه نتایج مطلوب باشد چقدر است؟

همانطور که در بالا ذکر شد، این آزمایشات مستقل هستند، بنابراین ما احتمال را برای هر رول جداگانه محاسبه می کنیم و سپس آنها را ضرب می کنیم. احتمال اینکه نتیجه اولین پرتاب مطلوب باشد 5/6 است. دوم - 4/6. سوم - 3/6. چهارم - 2/6، پنجم - 1/6. با ضرب کردن همه این نتایج، حدود 1.5% به دست می آید... بنابراین، برنده شدن در این بازی بسیار نادر است، بنابراین اگر این عنصر را به بازی خود اضافه کنید، به یک جکپات بسیار بزرگ نیاز خواهید داشت.

نفی

در اینجا یک نکته مفید دیگر وجود دارد: گاهی اوقات محاسبه احتمال وقوع یک رویداد دشوار است، اما تعیین احتمال وقوع یک رویداد آسان تر است. نخواهد آمد.

مثلا فرض کنید بازی دیگری داریم و شما 6d6 رول می کنید و اگر حد اقل یک باررول 6، شما برنده می شوید. احتمال برنده شدن چقدر است؟

در این مورد، گزینه های زیادی برای بررسی وجود دارد. شاید یک عدد 6 بیفتد، یعنی. یکی از تاس ها 6 و بقیه 1 تا 5 می اندازند، و 6 گزینه وجود دارد که کدام یک از تاس ها 6 می اندازد. سپس می توانید یک تاس 6 را روی دو تاس، یا سه تاس یا حتی بیشتر بیاندازید. و هر بار که باید یک محاسبه جداگانه انجام دهیم، بنابراین گیج شدن آسان است.

اما راه دیگری برای حل این مشکل وجود دارد، بیایید از طرف دیگر به آن نگاه کنیم. شما از دست دادناگر هیچ یکعدد 6 از تاس نمی افتد در این صورت 6 آزمایش مستقل داریم که احتمال هر کدام 5/6 است (هر عددی غیر از 6 می تواند روی تاس بیفتد). آنها را ضرب کنید و حدود 33 درصد بدست می آورید. بنابراین، احتمال باخت 1 به 3 است.

بنابراین، احتمال برنده شدن 67 درصد (یا 2 به 3) است.

از این مثال واضح است که اگر احتمال رخ ندادن یک رویداد را محاسبه می کنید، نتیجه را از 100% کم کنید.اگر احتمال برنده شدن 67 درصد باشد، پس احتمال آن از دست دادن — 100% منهای 67 درصد یا 33 درصد. و بالعکس. اگر محاسبه یک احتمال دشوار است، اما محاسبه عکس آن آسان است، عکس آن را محاسبه کنید و سپس از 100٪ کم کنید.

شرایط اتصال برای یک آزمایش مستقل

کمی پیشتر گفتم که هرگز نباید احتمالات را در آزمایشات مستقل جمع کنید. آیا مواردی وجود دارد که می توانمجموع احتمالات؟ بله، در یک موقعیت خاص.

اگر می خواهید احتمال نتایج مطلوب چندگانه، نامرتبط و مطلوب را در یک آزمایش یکسان محاسبه کنید، احتمالات هر نتیجه مطلوب را جمع کنید. به عنوان مثال، احتمال چرخش 4، 5 یا 6 در 1d6 است مجموعاحتمال غلتاندن عدد 4، احتمال غلتاندن عدد 5، و احتمال غلتاندن عدد 6. همچنین می توانید این وضعیت را به صورت زیر در نظر بگیرید: اگر از حرف ربط “یا” در سوالی در مورد احتمال استفاده کنید (مثلاً احتمال است یانتیجه متفاوت یک رویداد تصادفی؟)، احتمالات فردی را محاسبه کرده و آنها را جمع آوری کنید.

توجه داشته باشید که وقتی جمع می کنید تمام نتایج ممکنبازی، مجموع همه احتمالات باید برابر با 100٪ باشد. اگر مجموع برابر با 100٪ نباشد، محاسبه شما اشتباه انجام شده است. این یک راه خوب برای بررسی مجدد محاسبات است. به عنوان مثال، شما احتمال به دست آوردن همه ترکیب ها را در پوکر تجزیه و تحلیل کردید، اگر همه نتایج را جمع کنید، باید دقیقاً 100٪ (یا حداقل مقداری نزدیک به 100٪) به دست آورید، اگر از ماشین حساب استفاده می کنید، ممکن است خطای کوچک گرد کردن، اما اگر اعداد دقیق را با دست جمع کنید، همه چیز باید جمع شود). اگر مجموع همگرا نباشد، به احتمال زیاد برخی از ترکیب ها را در نظر نگرفته اید، یا احتمالات برخی ترکیب ها را اشتباه محاسبه کرده اید، و سپس باید محاسبات خود را دوباره بررسی کنید.

احتمالات نابرابر

تا به حال، ما فرض می‌کردیم که هر وجه از تاس با یک فرکانس می‌افتد، زیرا تاس اینگونه عمل می‌کند. اما گاهی اوقات شما با موقعیتی روبرو می شوید که نتایج متفاوتی ممکن است و آنها ممکن است مختلفاز دست دادن شانس به عنوان مثال، در یکی از بسط های بازی ورق "جنگ هسته ای" زمین بازی با یک فلش وجود دارد که نتیجه پرتاب موشک را تعیین می کند: اساساً آسیب معمولی، آسیب کم یا زیاد وارد می کند، اما گاهی اوقات آسیب دو برابر می شود. یا سه برابر شود یا موشک روی سکوی پرتاب منفجر شود و به شما آسیب برساند یا اتفاق دیگری رخ دهد. برخلاف تابلوی پیکان در "Chutes & Ladders" یا "A Game of Life"، نتایج تابلو در "جنگ هسته ای" نابرابر است. برخی از بخش‌های زمین بازی بزرگ‌تر هستند و فلش اغلب روی آنها متوقف می‌شود، در حالی که بخش‌های دیگر بسیار کوچک هستند و فلش به ندرت روی آنها متوقف می‌شود.

بنابراین، در نگاه اول، استخوان چیزی شبیه به این است: 1، 1، 1، 2، 2، 3. قبلاً در مورد آن صحبت کردیم، چیزی شبیه به 1d3 وزنی است، بنابراین، ما باید همه این بخش ها را به قسمت های مساوی تقسیم کنیم، کوچکترین واحد اندازه گیری را که مضربی از آن است، پیدا کنیم و سپس وضعیت را به شکل نشان دهیم. d522 (یا برخی دیگر)، که در آن مجموعه تاس‌ها وضعیت مشابهی را نشان می‌دهند، اما با تعداد بیشتری از نتایج. و این یکی از راه های حل مشکل است و از نظر فنی امکان پذیر است، اما راه آسان تری وجود دارد.

بیایید به تاس های شش وجهی استاندارد خود برگردیم. گفتیم که برای محاسبه مقدار متوسط ​​یک پرتاب برای یک تاس معمولی، باید مقادیر همه وجوه را جمع کرده و آنها را بر تعداد وجه ها تقسیم کنید، اما چگونه دقیقاآیا محاسبه ادامه دارد؟ شما می توانید آن را متفاوت بیان کنید. برای یک تاس شش وجهی، احتمال بالا آمدن هر صورت دقیقاً 1/6 است. حالا ضرب می کنیم خروجهر لبه احتمالاین نتیجه (در این مورد، 1/6 برای هر صورت)، سپس مقادیر حاصل را جمع کنید. بنابراین جمع بندی (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6) ما همان نتیجه (3.5) را در محاسبه بالا دریافت می کنیم. در واقع، ما هر بار این را محاسبه می کنیم: هر نتیجه را در احتمال آن نتیجه ضرب می کنیم.

آیا می توانیم در بازی "جنگ هسته ای" همین محاسبه را برای فلش در زمین بازی انجام دهیم؟ البته که میتونیم. و اگر تمام نتایج یافت شده را جمع کنیم، مقدار متوسط ​​را بدست می آوریم. تنها کاری که باید انجام دهیم این است که احتمال هر نتیجه را برای فلش در زمین بازی محاسبه کرده و در نتیجه ضرب کنیم.

مثالی دیگر

این روش محاسبه میانگین، با ضرب هر نتیجه در احتمال فردی آن، همچنین در صورتی مناسب است که نتایج به یک اندازه محتمل باشند اما مزایای متفاوتی داشته باشند، مثلاً اگر یک قالب را بچرخانید و در برخی از طرف‌ها بیشتر از بقیه برنده شوید. به عنوان مثال، بیایید یک بازی را در نظر بگیریم که در یک کازینو اتفاق می افتد: شما شرط بندی می کنید و 2d6 را بازی می کنید. اگر سه عدد کم ارزش (2، 3، 4) یا چهار عدد با ارزش بالا (9، 10، 11، 12) بیایند، مبلغی برابر با شرط خود برنده خواهید شد. اعداد با کمترین و بالاترین ارزش خاص هستند: اگر 2 یا 12 رول شود، برنده می شوید دو برابر بیشتراز پیشنهاد شما اگر هر عدد دیگری بیاید (5، 6، 7، 8)، شرط خود را از دست خواهید داد. این یک بازی بسیار ساده است. اما احتمال برنده شدن چقدر است؟

بیایید با شمارش چند بار برنده شدن شروع کنیم:

• حداکثر تعداد نتایج در یک رول 2d6 36 است. تعداد نتایج مطلوب چقدر است؟
• 1 گزینه وجود دارد که دو مورد از بین می رود و 1 گزینه که دوازده می افتد.
• 2 گزینه برای نورد سه و یازده وجود دارد.
• 3 گزینه برای رول چهار و 3 گزینه برای رول ده وجود دارد.
• 4 گزینه برای 9 تا وجود دارد.
• با جمع بندی همه گزینه ها، تعداد نتایج مطلوب 16 از 36 را به دست می آوریم.

بدین ترتیب در شرایط عادی 16 بار از 36 مورد ممکن برنده خواهید شد... احتمال برنده شدن کمی کمتر از 50 درصد است.

اما در دو مورد از آن 16 مورد، شما دوبرابر برنده خواهید شد، یعنی. مثل دوبار بردن است اگر این بازی را 36 بار انجام دهید، هر بار 1 دلار شرط بندی کنید، و هر یک از نتایج ممکن یک بار به دست بیاید، در مجموع 18 دلار برنده خواهید شد (در واقع 16 بار برنده می شوید، اما دو بار از این زمان ها به عنوان دو برد محاسبه می شود). اگر 36 بار بازی کنید و 18 دلار برنده شوید، به این معنی نیست که شانس یکسانی است؟

راحت باش. اگر تعداد دفعاتی را که می توانید بشمارید، 20 می گیرید نه 18. اگر 36 بار بازی کنید و هر بار 1 دلار شرط بندی کنید، در مجموع 18 دلار با همه شانس ها برنده خواهید شد... اما بازنده خواهید شد. مجموع مبلغ 20 دلار برای هر 20 پیامد بد! در نتیجه، کمی عقب خواهید بود: به ازای هر 36 بازی به طور متوسط ​​2 دلار خالص از دست می دهید (همچنین می توانید بگویید که به طور متوسط ​​1/18 دلار در روز ضرر می کنید). حالا می بینید که چقدر راحت می شود در این مورد اشتباه کرد و احتمال را اشتباه محاسبه کرد!

جایگشت

تا اینجا ما فرض کردیم ترتیب پرتاب اعداد هنگام انداختن تاس مهم نیست. رول 2+4 همان رول 4+2 است. در بیشتر موارد، تعداد نتایج مطلوب را به صورت دستی محاسبه می کنیم، اما گاهی اوقات این روش غیرعملی است و بهتر است از یک فرمول ریاضی استفاده شود.

نمونه ای از این وضعیت از بازی تاس "فارکل" است. برای هر دور جدید، 6d6 رول می کنید. اگر خوش شانس باشید و تمام نتایج احتمالی 1-2-3-4-5-6 (مستقیم) بالا بیاید، پاداش بزرگی دریافت خواهید کرد. احتمال اینکه این اتفاق بیفتد چقدر است؟ در این صورت گزینه های زیادی برای از دست دادن این ترکیب وجود دارد!

راه حل به شرح زیر است: یکی از تاس ها (و فقط یکی) باید عدد 1 را بریزد! چند راه برای به دست آوردن عدد 1 روی یک تاس؟ شش، زیرا 6 تاس وجود دارد و هر یک از آنها می تواند عدد 1 را بیاورد. بر این اساس، یک تاس بردارید و آن را کنار بگذارید. حالا عدد 2 باید روی یکی از تاس های باقی مانده بیفتد برای این کار پنج گزینه وجود دارد. یک تاس دیگر بردارید و کنار بگذارید. سپس چهار تاس باقیمانده ممکن است 3 بیاندازند، سه تاس باقیمانده ممکن است 4 بیاندازند، دو تاس باقیمانده ممکن است 5 بیاندازند، و در نهایت یک تاس خواهید داشت که باید 6 پرتاب شود (در دومی در مورد، فقط یک تاس وجود دارد و هیچ انتخابی وجود ندارد). برای شمارش تعداد نتایج مطلوب برای یک ترکیب مستقیم، همه گزینه‌های مختلف و مستقل را ضرب می‌کنیم: 6x5x4x3x2x1 = 720 - به نظر می‌رسد گزینه‌های بسیار زیادی برای این ترکیب وجود دارد.

برای محاسبه احتمال به دست آوردن یک ترکیب مستقیم، باید 720 را بر تعداد تمام نتایج ممکن برای نورد 6d6 تقسیم کنیم. تعداد تمام نتایج ممکن چقدر است؟ هر قالب می تواند 6 وجه را فرود بیاورد، بنابراین 6x6x6x6x6x6 = 46656 (تعداد بسیار بیشتر!) را ضرب می کنیم. 720/46656 را تقسیم می کنیم و احتمالی برابر با 1.5 درصد بدست می آوریم. اگر قصد طراحی این بازی را داشتید، دانستن این موضوع برای شما مفید خواهد بود تا بتوانید یک سیستم امتیازدهی مناسب ایجاد کنید. حالا متوجه شدیم که چرا در بازی "فارکل" اگر ترکیبی از "راست" دریافت کنید، چنین پاداش بزرگی دریافت می کنید، زیرا این وضعیت بسیار نادر است!

نتیجه به دلیل دیگری نیز جالب است. این مثال نشان می‌دهد که چگونه به ندرت نتیجه‌ای که مطابق با احتمال است در یک دوره کوتاه از بین می‌رود. البته اگر چندین هزار تاس می انداختیم، اضلاع مختلف تاس اغلب بالا می آمدند. اما وقتی فقط شش تاس می اندازیم، تقریباً هرگزاین اتفاق نمی افتد که هر یک از چهره ها بیفتد! با توجه به این، مشخص می شود که احمقانه است که انتظار داشته باشیم اکنون چهره دیگری از بین برود که هنوز از بین نرفته است «چون ما مدت زیادی است که عدد 6 را رها نکرده ایم، یعنی الان خواهد افتاد. ”

ببینید، مولد اعداد تصادفی شما خراب است...

این ما را به یک تصور غلط رایج در مورد احتمال می‌رساند: این فرض که همه نتایج با فرکانس یکسانی به دست می‌آیند. در یک بازه زمانی کوتاه، که در واقع اینطور نیست. اگر چند بار تاس بیندازیم، فرکانس هر یک از صورت ها یکسان نخواهد بود.

اگر قبلاً روی یک بازی آنلاین با نوعی مولد اعداد تصادفی کار کرده اید، به احتمال زیاد با موقعیتی مواجه شده اید که بازیکنی به پشتیبانی فنی نامه می نویسد و می گوید که مولد اعداد تصادفی شما خراب است و اعداد تصادفی را نشان نمی دهد. به این نتیجه رسید زیرا او فقط 4 هیولا را پشت سر هم کشت و 4 جایزه دقیقاً یکسان گرفت و این جوایز فقط باید 10٪ از مواقع کاهش یابد. تقریبا هرگزنباید اتفاق افتادن، که به معنای آن است به طور مشخصکه مولد اعداد تصادفی شما خراب است.

داری ریاضی میکنی 1/10*1/10*1/10*1/10 برابر است با 1 در 10000، یعنی بسیار نادر است. و این چیزی است که بازیکن سعی دارد به شما بگوید. آیا در این مورد مشکلی وجود دارد؟

همه چیز بستگی به شرایط دارد. الان چند بازیکن روی سرور شما هستند؟ فرض کنید یک بازی نسبتاً محبوب دارید و هر روز 100000 نفر آن را بازی می کنند. چند بازیکن چهار هیولا را پشت سر هم می کشند؟ شاید همه چیز، چندین بار در روز، اما بیایید فرض کنیم که نیمی از آنها فقط در حال معامله اقلام مختلف در حراجی ها یا چت کردن در سرورهای RP یا انجام سایر فعالیت های بازی هستند، بنابراین فقط نیمی از آنها در واقع در حال شکار هیولا هستند. احتمالش چقدره کسیآیا همان پاداش حذف می شود؟ در این شرایط، شما می توانید انتظار داشته باشید که یک پاداش می تواند چندین بار در روز، حداقل!

به هر حال، به همین دلیل است که حداقل هر چند هفته یکبار به نظر می رسد کسیبرنده لاتاری می شود، حتی اگر آن کسی هرگزشما یا دوستانتان نمی آیید اگر هر هفته تعداد زیادی نفر بازی کنند، حداقل شانس وجود دارد یکیخوش شانس ... اما اگر شماشما در قرعه کشی بازی می کنید، احتمال برنده شدن شغلی در اینفینیتی وارد کمتر است.

نقشه ها و اعتیاد

ما درباره رویدادهای مستقل مانند پرتاب یک قالب بحث کرده ایم و اکنون ابزارهای قدرتمند زیادی برای تجزیه و تحلیل تصادفی بودن در بسیاری از بازی ها می شناسیم. محاسبه احتمال در مورد کشیدن کارت‌ها از عرشه کمی پیچیده‌تر است، زیرا هر کارتی که می‌کشیم روی کارت‌های باقی‌مانده در عرشه تأثیر می‌گذارد. اگر یک دسته استاندارد از 52 کارت دارید و مثلاً 10 کارت را می کشید و می خواهید بدانید که احتمال این که کارت بعدی همان کارت باشد، این احتمال تغییر کرده است زیرا قبلاً یک کارت قلب را از کارت حذف کرده اید. عرشه. هر کارتی که حذف می کنید، احتمال کارت بعدی در عرشه را تغییر می دهد. از آنجایی که در این مورد رویداد قبلی روی رویداد بعدی تأثیر می گذارد، این احتمال را می نامیم وابسته.

لطفاً توجه داشته باشید که وقتی می گویم "کارت" منظورم است هرمکانیک بازی که در آن مجموعه ای از اشیاء وجود دارد و شما یکی از اشیاء را بدون تعویض آن حذف می کنید، یک "عرشه کارت" در این مورد مشابه یک کیسه تراشه است که یک تراشه را از آن جدا می کنید و آن را جایگزین نمی کنید. یا کوزه ای که تیله های رنگی را از آن جدا می کنید (در واقع من تا به حال بازی ای ندیده ام که یک کوزه با تیله های رنگی از آن خارج شده باشد، اما به نظر می رسد که معلمان نظریه احتمال به دلایلی این مثال را ترجیح می دهند).

ویژگی های وابستگی

می‌خواهم توضیح بدهم که وقتی صحبت از کارت‌ها به میان می‌آید، فرض می‌کنم که شما کارت‌ها را می‌کشید، به آن‌ها نگاه می‌کنید و از روی عرشه حذف می‌کنید. هر یک از این اقدامات یک ویژگی مهم است.

اگر من یک دسته از مثلاً شش کارت با شماره 1 تا 6 داشتم، و آنها را به هم می زدم و یک کارت می کشیدم و سپس دوباره تمام شش کارت را به هم می زدم، این همان چرخاندن یک قالب شش وجهی بود. یک نتیجه روی نتیجه بعدی تأثیر نمی گذارد. فقط اگر کارت بکشم و آنها را جایگزین نکنم، نتیجه کشیدن کارت با شماره 1 احتمال اینکه دفعه بعدی کارتی با عدد 6 بکشم افزایش می یابد (احتمال تا زمانی که در نهایت این کارت را بکشم یا تا زمانی که کارت را بکشم افزایش می یابد. کارت ها را به هم می زنم).

این واقعیت که ما ما نگاه می کنیمروی کارت نیز مهم است. اگر کارتی را از عرشه خارج کنم و به آن نگاه نکنم، هیچ اطلاعات اضافی ندارم و احتمال آن در واقع تغییر نمی کند. این ممکن است غیر منطقی به نظر برسد. چگونه به سادگی ورق زدن یک کارت می تواند شانس را به طور جادویی تغییر دهد؟ اما ممکن است، زیرا شما می توانید احتمال موارد ناشناخته را تنها از این واقعیت محاسبه کنید که شما میدونی. به عنوان مثال، اگر یک دسته استاندارد از کارت ها را به هم بزنید، 51 کارت را نشان دهید و هیچ کدام ملکه کلاب ها نیستند، با اطمینان 100٪ خواهید فهمید که کارت باقی مانده ملکه کلوپ ها است. اگر یک دسته استاندارد از کارت ها را به هم بزنید و 51 کارت بکشید، با وجودروی آنها، پس احتمال اینکه کارت باقیمانده ملکه کلوپ ها باشد همچنان 1/52 خواهد بود. با باز کردن هر کارت، اطلاعات بیشتری دریافت می کنید.

محاسبه احتمال رویدادهای وابسته از همان اصولی پیروی می‌کند که برای رویدادهای مستقل انجام می‌شود، با این تفاوت که کمی پیچیده‌تر است، زیرا با آشکار کردن کارت‌ها، احتمالات تغییر می‌کنند. بنابراین، به جای ضرب کردن یک مقدار، باید مقادیر زیادی را ضرب کنید. در واقع، این بدان معنی است که ما باید تمام محاسباتی را که انجام دادیم در یک ترکیب ترکیب کنیم.

مثال

شما یک دسته استاندارد متشکل از 52 کارت را به هم می زنید و دو کارت می کشید. احتمال اینکه یک جفت را بیرون بیاورید چقدر است؟ روش های مختلفی برای محاسبه این احتمال وجود دارد، اما شاید ساده ترین آنها به شرح زیر باشد: احتمال اینکه اگر یک کارت بکشید، نتوانید یک جفت بکشید چقدر است؟ این احتمال صفر است، بنابراین مهم نیست که کدام کارت اول را می کشید، تا زمانی که با کارت دوم مطابقت داشته باشد. مهم نیست کدام کارت را اول بکشیم، باز هم شانس کشیدن یک جفت را داریم، بنابراین احتمال اینکه بعد از کشیدن اولین کارت بتوانیم یک جفت بکشیم 100٪ است.

احتمال اینکه کارت دوم با کارت اول مطابقت داشته باشد چقدر است؟ 51 کارت در عرشه باقی مانده است و 3 تای آنها با کارت اول مطابقت دارد (در واقع 4 کارت از 52 بود، اما شما قبلاً یکی از کارت های منطبق را با کشیدن اولین کارت حذف کرده اید!)، بنابراین احتمال آن 1 است. /17. (بنابراین دفعه بعد که مردی که روی میز بازی تگزاس هولدم را بازی می کند، گفت: "باحال، یک جفت دیگر؟ من امروز خوش شانس هستم"، می دانید که احتمال بلوف زدن او بسیار زیاد است.)

اگر دو جوکر را اضافه کنیم و حالا 54 کارت در عرشه داشته باشیم و بخواهیم بدانیم احتمال ترسیم یک جفت چقدر است؟ اولین کارت ممکن است جوکر باشد، و سپس عرشه فقط شامل یکیکارت، نه سه، که مطابقت دارد. چگونه احتمال را در این مورد پیدا کنیم؟ احتمالات را تقسیم می کنیم و هر احتمال را ضرب می کنیم.

اولین کارت ما می تواند جوکر یا کارت دیگری باشد. احتمال کشیدن جوکر 2/54 و احتمال کشیدن کارت دیگر 52/54 است.

اگر کارت اول جوکر باشد (2/54)، احتمال مطابقت کارت دوم با کارت اول 1/53 است. ضرب مقادیر (می توانیم آنها را ضرب کنیم زیرا رویدادهای جداگانه ای هستند و ما می خواهیم هر دورویدادها اتفاق افتاد) و ما 1/1431 - کمتر از یک دهم درصد را دریافت می کنیم.

اگر ابتدا کارت دیگری بکشید (52/54)، احتمال مطابقت با کارت دوم 3/53 است. مقادیر را ضرب می کنیم و 78/1431 (کمی بیشتر از 5.5 درصد) به دست می آید.

با این دو نتیجه چه کنیم؟ آنها تلاقی نمی کنند و ما می خواهیم احتمال آن را بدانیم هر کساز آنها، بنابراین ما مقادیر را جمع بندی می کنیم! ما نتیجه نهایی 79/1431 را می گیریم (هنوز حدود 5.5٪).

اگر بخواهیم از صحت جواب مطمئن شویم، می‌توانیم احتمال تمام نتایج ممکن دیگر را محاسبه کنیم: کشیدن جوکر و عدم تطابق با کارت دوم، یا کشیدن کارت دیگری و عدم تطابق با کارت دوم، و جمع کردن همه آنها. با احتمال برنده شدن، ما دقیقا 100٪ دریافت می کردیم. من ریاضی را اینجا نمی‌دهم، اما می‌توانید ریاضی را امتحان کنید تا دوبار بررسی کنید.

پارادوکس مونتی هال

این ما را به پارادوکس نسبتاً معروفی می رساند که اغلب بسیاری را گیج می کند، پارادوکس مونتی هال. این پارادوکس به نام مونتی هال، مجری برنامه تلویزیونی Let's Make a Deal نامگذاری شده است. اگر تا به حال این برنامه را ندیده اید، برعکس برنامه تلویزیونی "قیمت مناسب است" بوده است. در "قیمت مناسب است"، میزبان (باب بارکر سابق، اکنون ... درو کری است؟ به هر حال...) دوست شماست. او می خواهدبرای شما برای برنده شدن پول یا جوایز جالب. سعی می کند هر فرصتی را برای برنده شدن در اختیار شما قرار دهد، تا زمانی که بتوانید حدس بزنید که موارد حمایت شده واقعاً چقدر ارزش دارند.

مونتی هال رفتار متفاوتی داشت. او مانند همزاد شیطانی باب بارکر بود. هدف او این بود که شما را در تلویزیون ملی شبیه یک احمق جلوه دهد. اگر در برنامه حضور داشتید، او حریف شما بود، مقابل او بازی کردید و شانس به نفع او بود. شاید من خشن رفتار می کنم، اما زمانی که به نظر می رسد شانس انتخاب شدن به عنوان حریف مستقیماً با لباس مضحک پوشیده شده اید یا نه، به نتایج مشابهی می رسم.

اما یکی از معروف‌ترین میم‌های نمایش این بود: سه در جلوی شما بود و به آنها درب شماره 1، در شماره 2 و در شماره 3 می‌گفتند. شما می‌توانید هر دری را به صورت رایگان انتخاب کنید! پشت یکی از این درها، یک جایزه باشکوه، مثلاً یک ماشین جدید وجود داشت. هیچ جایزه ای پشت درهای دیگر نبود، این دو در هیچ ارزشی نداشتند. هدف آنها تحقیر شما بود و بنابراین اینطور نیست که اصلاً هیچ چیز پشت سر آنها نبود، چیزی پشت سر آنها بود که احمقانه به نظر می رسید، مانند یک بز پشت سر آنها یا یک لوله بزرگ خمیر دندان، یا چیزی ... چیزی، دقیقاً چه چیزی بود. نهماشین جدید.

تو یکی از درها را انتخاب کردی و مونتی می‌خواست آن را باز کند تا بدانی برنده شدی یا نه... اما صبر کن، قبل از اینکه بدانیمبیایید به یکی از آنها نگاه کنیم آن هادرب شما انتخاب نشده است. از آنجایی که مونتی می داند که جایزه پشت کدام در است و فقط یک جایزه وجود دارد و دودرهایی که شما انتخاب نکرده اید، هر چه باشد، او همیشه می تواند دری را باز کند که جایزه ای پشت آن نباشد. "آیا درب شماره 3 را انتخاب می کنید؟ سپس بیایید در 1 را باز کنیم تا نشان دهیم که هیچ جایزه ای پشت آن نیست." و اکنون، از روی سخاوت، او به شما این فرصت را می دهد که درب شماره 3 انتخابی خود را با آنچه در پشت درب شماره 2 است مبادله کنید. اینجاست که سوال احتمال مطرح می شود: آیا توانایی انتخاب درب متفاوت شانس شما را افزایش می دهد یا کاهش می دهد. برنده شدن، یا همینطور باقی می ماند؟ شما چی فکر میکنید؟

پاسخ صحیح: امکان انتخاب درب دیگر افزایشاحتمال برنده شدن از 1/3 تا 2/3. این غیر منطقی است. اگر قبلاً با این پارادوکس روبرو نشده اید، به احتمال زیاد به این فکر می کنید: صبر کنید، با باز کردن یک در، ما به طرز جادویی احتمال را تغییر دادیم؟ اما همانطور که در مثال نقشه بالا دیدیم، این است دقیقاوقتی اطلاعات بیشتری به دست می آوریم چه اتفاقی می افتد بدیهی است که احتمال برنده شدن در اولین باری که انتخاب می کنید 1/3 است و من حدس می زنم همه در این مورد موافق باشند. وقتی یک در باز می شود، به هیچ وجه احتمال برنده شدن برای اولین انتخاب را تغییر نمی دهد، احتمال هنوز 1/3 است، اما این به این معنی است که احتمال اینکه یکی دیگردرب صحیح اکنون 2/3 است.

بیایید از طرف دیگر به این مثال نگاه کنیم. شما یک در را انتخاب کنید. احتمال برنده شدن 1/3 است. بهت پیشنهاد میکنم عوض کنی دودرهای دیگر، چیزی است که مونتی هال در واقع پیشنهاد انجام آن را دارد. البته یکی از درها را باز می کند تا نشان دهد که هیچ جایزه ای پشت آن نیست اما او همیشهمی تواند این کار را انجام دهد، بنابراین واقعاً چیزی را تغییر نمی دهد. البته، شما می خواهید درب متفاوتی را انتخاب کنید!

اگر این موضوع را کاملاً درک نمی‌کنید و نیاز به توضیح قانع‌کننده‌تری دارید، روی این پیوند کلیک کنید تا به یک برنامه فلش کوچک بزرگ بروید که به شما امکان می‌دهد این پارادوکس را با جزئیات بیشتری بررسی کنید. می توانید با حدود 10 در شروع کنید و سپس به تدریج به یک بازی با سه در بروید. همچنین یک شبیه ساز وجود دارد که در آن می توانید هر تعداد در را از 3 تا 50 انتخاب کنید و چندین هزار شبیه سازی را بازی یا اجرا کنید و ببینید اگر بازی کنید چند بار برنده خواهید شد.

نکته ای از معلم ریاضیات عالی و متخصص تعادل بازی ماکسیم سولداتوف که البته شریبر آن را نداشت ، اما بدون آن درک این تحول جادویی بسیار دشوار است:

یک در را انتخاب کنید، یکی از سه، احتمال "برنده شدن" 1/3. اکنون شما 2 استراتژی دارید: پس از باز کردن درب اشتباه انتخاب را تغییر دهید یا خیر. اگر انتخاب خود را تغییر ندهید، احتمال 1/3 باقی می ماند، زیرا انتخاب فقط در مرحله اول است و باید بلافاصله حدس بزنید، اما اگر تغییر کردید، اگر ابتدا درب اشتباه را انتخاب کنید، می توانید برنده شوید ( سپس یک اشتباه دیگر را باز می کنند، درست می ماند، شما تصمیم را تغییر می دهید فقط آن را بگیرید)
احتمال انتخاب درب اشتباه در ابتدا 2/3 است، بنابراین معلوم می شود که با تغییر تصمیم خود احتمال برنده شدن را 2 برابر بیشتر می کنید.

بازبینی پارادوکس مونتی هال

در مورد خود نمایش، مونتی هال این را می دانست، زیرا حتی اگر حریفان او در ریاضیات خوب نبودند، اواو را خوب درک می کند در اینجا کاری است که او انجام داد تا کمی بازی را تغییر دهد. اگر دری را که جایزه پشت آن بود و احتمال آن 1/3 است را انتخاب کردید همیشهبه شما این امکان را داد که درب دیگری را انتخاب کنید. چون ماشینی را انتخاب کردی و بعد آن را به یک بز تغییر دادی و خیلی احمق به نظر می‌رسی، که دقیقاً همان چیزی است که او به آن نیاز دارد، زیرا او یک جور آدم شیطانی است. اما اگر دری که پشت آن است را انتخاب کنید هیچ جایزه ای وجود نخواهد داشت، فقط نیمدر چنین مواردی او شما را به انتخاب در دیگری ترغیب می کند و در موارد دیگر به سادگی بز جدید خود را به شما نشان می دهد و شما صحنه را ترک می کنید. بیایید این بازی جدید را در جایی که مونتی هال می تواند تجزیه و تحلیل کنیم انتخاب کنیدبه شما فرصتی می دهد که درب دیگری را انتخاب کنید یا نه.

فرض کنید او از این الگوریتم پیروی می کند: اگر دری را با جایزه انتخاب کنید، او همیشه به شما این فرصت را می دهد که در دیگری را انتخاب کنید، در غیر این صورت احتمال اینکه دری متفاوت به شما پیشنهاد دهد یا یک بز به شما بدهد 50/50 است. احتمال برنده شدن شما چقدر است؟

در یکی از سه گزینه، شما بلافاصله دری که جایزه پشت آن قرار دارد را انتخاب می کنید و میزبان شما را به انتخاب در دیگری دعوت می کند.

از بین دو گزینه باقی مانده از سه گزینه (شما در ابتدا درب را بدون جایزه انتخاب می کنید)، نیمی از زمان میزبان از شما می خواهد که در دیگری را انتخاب کنید و در نیمی دیگر این کار را نمی کند. نیمی از 2/3 1/3 است، یعنی. در یک مورد از سه مورد، شما یک بز می گیرید، در یک مورد از سه مورد، در را اشتباه انتخاب می کنید و میزبان از شما می خواهد که یکی دیگر را انتخاب کنید و در یک مورد از سه مورد، شما انتخاب می کنید. درب سمت راستو او از شما می خواهد در دیگری را انتخاب کنید.

اگر میزبان پیشنهاد انتخاب در دیگری را بدهد، از قبل می دانیم که یکی از سه موردی که به ما یک بز می دهد و ما می رویم، اتفاق نیفتاده است. این اطلاعات مفیدی است زیرا به این معنی است که شانس ما برای برنده شدن تغییر کرده است. از هر سه بار دو بار حق انتخاب داریم، در یک مورد به این معنی است که درست حدس زدیم و در مورد دیگر به این معنی است که ما اشتباه حدس زدیم، بنابراین اگر اصلاً به ما یک انتخاب پیشنهاد شد، به این معنی است که احتمال برنده شدن ما 50 است. /50، و وجود ندارد ریاضیمزایا، با انتخاب خود بمانید یا در دیگری را انتخاب کنید.

مانند پوکر، اکنون یک بازی روانی است، نه یک بازی ریاضی. مونتی به شما پیشنهاد انتخاب داد زیرا فکر می‌کند شما آدم ساده‌ای هستید که نمی‌دانید انتخاب یک در متفاوت تصمیم «درست» است و شما سرسختانه به انتخاب خود ادامه می‌دهید، زیرا از نظر روان‌شناختی، موقعیت زمانی که شما انتخاب می‌کنید ماشین، و سپس آن را گم کرده، سخت تر؟ یا فکر می‌کند شما باهوش هستید و در دیگری را انتخاب می‌کند، و این فرصت را به شما پیشنهاد می‌کند، زیرا می‌داند که بار اول درست حدس زدید و گرفتار و به دام خواهید افتاد؟ یا شاید او به طرز نامشخصی با خودش مهربان است و شما را مجبور می کند تا کاری را به نفع شخصی خود انجام دهید، زیرا مدت زیادی است که ماشینی اهدا نکرده است و تهیه کنندگانش به او می گویند که حوصله مخاطب سر می رود و بهتر است او یک ماشین را به او بدهد. جایزه بزرگ به زودی.تا رتبه ها سقوط نکنند؟

بنابراین، مونتی موفق به ارائه یک انتخاب (گاهی اوقات) می شود و احتمال کلی برنده شدن 1/3 باقی می ماند. به یاد داشته باشید که احتمال اینکه بلافاصله ببازید 1/3 است. 1/3 احتمال دارد که فوراً حدس بزنید و 50٪ از آن زمان ها برنده خواهید شد (1/3 x 1/2 = 1/6). احتمال اینکه ابتدا اشتباه حدس بزنید اما بعد شانس انتخاب در دیگری را داشته باشید 1/3 است و در 50 درصد این موارد برنده خواهید شد (همچنین 1/6). دو احتمال برنده مستقل را با هم جمع کنید و احتمال 1/3 را به دست می آورید، بنابراین چه روی انتخاب خود بمانید و چه در دیگری را انتخاب کنید، کل احتمال برنده شدن شما در طول بازی 1/3 است... این احتمال بیشتر نمی شود. از موقعیتی که شما در را حدس می زدید و میزبان به شما نشان می داد پشت این در چه چیزی وجود دارد، بدون اینکه توانایی انتخاب در دیگری را داشته باشید! بنابراین هدف از ارائه گزینه انتخاب درب متفاوت، تغییر احتمال نیست، بلکه این است که فرآیند تصمیم گیری برای تماشای تلویزیون سرگرم کننده تر شود.

به هر حال، این یکی از دلایلی است که پوکر می تواند بسیار جالب باشد: در اکثر فرمت ها بین راندها، زمانی که شرط بندی می شود (به عنوان مثال، فلاپ، ترن و ریور در تگزاس هولدم)، کارت ها به تدریج آشکار می شوند. و اگر در ابتدای بازی یک احتمال برنده شدن دارید، پس از هر دور شرط بندی، زمانی که کارت های بیشتری باز می شود، این احتمال تغییر می کند.

پارادوکس دختر و پسر

این ما را به پارادوکس شناخته شده دیگری می رساند که همه را متحیر می کند، پارادوکس پسر و دختر. تنها چیزی که امروز در مورد آن می نویسم که مستقیماً به بازی ها مربوط نمی شود (اگرچه حدس می زنم این فقط به این معنی است که باید شما را برای ایجاد مکانیک های بازی مرتبط تحت فشار قرار دهم). این بیشتر یک معما است، اما جالب است، و برای حل آن، باید احتمال شرطی را که در بالا در مورد آن صحبت کردیم، درک کنید.

وظیفه: من یک دوست با دو فرزند دارم، حداقل یکیبچه دختر است احتمال اینکه فرزند دوم چقدر است همدختر؟ بیایید فرض کنیم که در هر خانواده ای 50/50 شانس دختر یا پسر شدن وجود دارد و این برای هر کودک صادق است (در واقع برخی از مردان اسپرم بیشتری در اسپرم با کروموزوم X یا Y دارند، بنابراین اگر بدانید که یک فرزند دختر است، احتمال کمی تغییر می کند، احتمال دختردار شدن کمی بیشتر است، علاوه بر این، شرایط دیگری نیز وجود دارد، به عنوان مثال، هرمافرودیتیسم، اما برای حل این مشکل، ما این را در نظر نمی گیریم و فرض کنید تولد فرزند یک رویداد مستقل است و احتمال پسر یا دختر داشتن یکسان است).

از آنجایی که ما در مورد شانس 1/2 صحبت می کنیم، به طور شهودی انتظار داریم که پاسخ احتمالاً 1/2 یا 1/4 یا یک عدد گرد دیگر باشد که مضرب 2 باشد. اما پاسخ این است: 1/3 . صبر کن چرا

مشکل در این مورد این است که اطلاعاتی که ما داریم تعداد احتمالات را کاهش می دهد. فرض کنید والدین طرفدار خیابان سیسمونی هستند و صرف نظر از اینکه فرزند پسر است یا دختر، نام فرزندان خود را A و B گذاشته اند. در شرایط عادی، چهار احتمال به یک اندازه وجود دارد: A و B دو پسر هستند، A و B هستند. دو دختر، الف یک پسر، و ب یک دختر، الف یک دختر و ب یک پسر است. از آنجایی که ما می دانیم حداقل یکیبچه یک دختر است، می‌توانیم این احتمال را که الف و ب دو پسر هستند رد کنیم و سه احتمال (هنوز به همان اندازه احتمالی) برای ما باقی بگذارد. اگر همه احتمالات به یک اندازه باشد و سه مورد از آنها وجود داشته باشد، می دانیم که احتمال هر یک از آنها 1/3 است. فقط در یکی از این سه گزینه هر دو فرزند دو دختر هستند پس جواب 1/3 است.

و باز هم در مورد پارادوکس یک پسر و یک دختر

راه حل مشکل حتی غیر منطقی تر می شود. تصور کنید که من به شما بگویم که دوست من دو فرزند و یک فرزند دارد - دختر متولد سه شنبه. فرض کنید در شرایط عادی احتمال بچه دار شدن در یکی از هفت روز هفته یکسان باشد. احتمال اینکه فرزند دوم هم دختر باشد چقدر است؟ ممکن است فکر کنید که پاسخ همچنان 1/3 خواهد بود. اهمیت روز سه شنبه چیست؟ اما در این مورد، شهود ما را شکست می دهد. پاسخ: 13/27 که نه تنها شهودی نیست، بلکه بسیار عجیب است. موضوع چیه در این مورد?

در واقع سه شنبه احتمال را تغییر می دهد زیرا ما نمی دانیم کهنوزاد در روز سه شنبه یا احتمالاً متولد شد دو بچهروز سه شنبه به دنیا آمدند در این مورد، از همان منطق بالا استفاده می کنیم، همه ترکیبات ممکن را زمانی می شماریم که حداقل یک فرزند دختر باشد که در روز سه شنبه به دنیا آمده است. مانند مثال قبل، فرض کنید نام فرزندان A و B باشد، ترکیبات به شرح زیر است:

• الف دختری است که روز سه شنبه به دنیا آمده است، ب یک پسر است (در این شرایط 7 احتمال وجود دارد، یکی برای هر روز از هفته که می تواند پسری به دنیا بیاید).
• ب دختری است که سه شنبه به دنیا آمده، الف پسر است (همچنین 7 احتمال).
• الف دختری است که در روز سه شنبه به دنیا آمده است، ب دختری است که در روز متولد شده است یکی دیگرروز هفته (6 احتمال).
• ب دختری است که روز سه شنبه به دنیا آمده است، الف دختری است که سه شنبه به دنیا نیامده است (همچنین 6 احتمال).
• الف و ب دو دختری هستند که روز سه شنبه به دنیا آمده اند (1 احتمال، باید به این نکته توجه کنید تا دو بار نشمارید).

ما جمع بندی می کنیم و 27 ترکیب متفاوت به همان اندازه ممکن از تولد فرزندان و روزهای با حداقل یک احتمال تولد یک دختر در روز سه شنبه را بدست می آوریم. از این تعداد، 13 احتمال زمانی است که دو دختر به دنیا بیایند. همچنین کاملاً غیر منطقی به نظر می رسد و به نظر می رسد که این وظیفه فقط برای ایجاد سردرد ایجاد شده است. اگر هنوز در مورد این مثال گیج هستید، نظریه‌پرداز بازی، Jesper Juhl توضیح خوبی در مورد این موضوع در وب‌سایت خود دارد.

اگر در حال حاضر روی یک بازی کار می کنید ...

اگر در بازی که طراحی می کنید تصادفی وجود دارد، این یک فرصت عالی برای تجزیه و تحلیل آن است. هر عنصری را که می خواهید تحلیل کنید انتخاب کنید. ابتدا از خود بپرسید با توجه به انتظارات شما احتمال وجود این عنصر چقدر است، به نظر شما در چارچوب بازی چقدر باید باشد. به عنوان مثال، اگر در حال ساخت یک بازی RPG هستید و به این فکر می کنید که چقدر احتمال دارد که یک بازیکن بتواند یک هیولا را در نبرد شکست دهد، از خود بپرسید که چه درصدی از برد برای شما مناسب است. معمولاً هنگام بازی RPG های کنسولی، بازیکنان هنگام باخت بسیار ناامید می شوند، پس بهتر است اغلب بازنده نشوند... شاید 10 درصد یا کمتر؟ اگر شما یک طراح RPG هستید، احتمالا بهتر از من می دانید، اما باید یک ایده اولیه از میزان احتمال آن داشته باشید.

سپس از خود بپرسید که آیا این چیزی است؟ وابسته(مانند کارت) یا مستقل(مثل تاس). در مورد تمام نتایج ممکن و احتمالات آنها بحث کنید. مطمئن شوید که مجموع همه احتمالات 100٪ باشد. در نهایت، البته، نتایج خود را با انتظارات خود مقایسه کنید. خواه تاس ریخته شده باشد یا کارت ها به روشی که مد نظر شماست کشیده شده باشند یا می بینید که باید مقادیر را تنظیم کنید. و البته اگر شما پیدا کردنآنچه باید تنظیم شود، می توانید از همان محاسبات برای تعیین میزان تنظیم چیزی استفاده کنید!

مشق شب

"تکالیف" شما در این هفته به شما کمک می کند تا مهارت های احتمالی خود را تقویت کنید. در اینجا دو بازی تاس و یک بازی با ورق وجود دارد که شما با استفاده از احتمال تجزیه و تحلیل خواهید کرد، همچنین یک مکانیک بازی عجیب و غریب که من یک بار توسعه دادم و روش مونت کارلو را روی آن آزمایش خواهید کرد.

بازی شماره 1 - استخوان اژدها

این یک بازی تاس است که من و همکارانم یک بار با آن آشنا شدیم (به لطف جب هاونز و جسی کینگ!) و عمداً با احتمالاتش ذهن مردم را منفجر می کند. این یک بازی کازینوی ساده به نام "استخوان اژدها" است و یک مسابقه تاس قمار بین بازیکن و شرکت است. به شما یک قالب معمولی 1d6 داده می شود. هدف از این بازی این است که یک عدد بالاتر از خانه رول کنید. به تام یک 1d6 غیر استاندارد داده می شود - همان مال شما، اما به جای یکی در یک طرف - تصویر یک اژدها (بنابراین کازینو دارای قالب Dragon-2-3-4-5-6 است). اگر موسسه یک Dragon دریافت کند، به طور خودکار برنده می شود و شما بازنده می شوید. اگر هر دو به یک عدد رسیدید، مساوی است و دوباره تاس می اندازید. کسی که بیشترین تعداد را می زند برنده است.

البته، همه چیز کاملاً به نفع بازیکن نمی شود، زیرا کازینو در شکل چهره اژدها مزیتی دارد. اما آیا واقعا اینطور است؟ شما باید آن را محاسبه کنید. اما قبل از آن، شهود خود را بررسی کنید. فرض کنید برد 2 به 1 است. بنابراین اگر برنده شدید، شرط خود را نگه می دارید و مبلغ دو برابر را دریافت می کنید. به عنوان مثال، اگر 1 دلار شرط بندی کنید و برنده شوید، آن دلار را نگه می دارید و 2 دلار دیگر در بالای صفحه دریافت می کنید، در مجموع 3 دلار. اگر ببازید، فقط شرط خود را باخته اید. آیا شما بازی می کنید؟ بنابراین، آیا به طور شهودی احساس می کنید که احتمال آن بیشتر از 2 به 1 است یا هنوز فکر می کنید که این احتمال کمتر است؟ به عبارت دیگر، به طور میانگین بیش از 3 بازی، آیا انتظار دارید بیش از یک بار یا کمتر یا یک بار برنده شوید؟

هنگامی که با شهود خود برخورد کردید، ریاضی را به کار ببرید. تنها 36 موقعیت ممکن برای هر دو تاس وجود دارد، بنابراین می توانید به راحتی همه آنها را بشمارید. اگر در مورد این پیشنهاد 2 به 1 مطمئن نیستید، این را در نظر بگیرید: فرض کنید بازی را 36 بار انجام داده اید (هر بار 1 دلار شرط بندی کرده اید). به ازای هر برد 2 دلار دریافت می کنید، برای هر باخت 1 دلار دریافت می کنید و تساوی چیزی را تغییر نمی دهد. تمام بردها و باخت های احتمالی خود را بشمارید و تصمیم بگیرید که آیا مقداری دلار از دست خواهید داد یا سود. سپس از خود بپرسید که چقدر شهود شما درست بوده است. و سپس - متوجه شوید که من چه شرور هستم.

و، بله، اگر قبلاً به این سؤال فکر کرده اید - من عمداً شما را با تحریف مکانیک واقعی بازی های تاس گیج می کنم، اما مطمئن هستم که می توانید فقط با یک فکر خوب بر این مانع غلبه کنید. سعی کنید خودتان این مشکل را حل کنید. همه پاسخ ها را هفته آینده اینجا قرار خواهم داد.

بازی شماره 2 - رول شانس

این یک بازی تاس به نام Lucky Roll است (همچنین Birdcage زیرا گاهی اوقات تاس ها ریخته نمی شوند، بلکه در یک قفس سیمی بزرگ قرار می گیرند که یادآور قفس Bingo است). این یک بازی ساده است که چیزی شبیه به این است: مثلاً 1 دلار روی یک عدد بین 1 و 6 شرط بندی کنید. سپس 3d6 را رول می کنید. برای هر دای که به شماره شما می رسد، 1 دلار دریافت می کنید (و شرط اصلی خود را حفظ می کنید). اگر شماره شما روی هیچ یک از تاس ها قرار نگیرد، کازینو دلار شما را دریافت می کند و شما چیزی دریافت نمی کنید. بنابراین اگر روی 1 شرط بندی کنید و سه بار در صورت 1 بگیرید، 3 دلار دریافت می کنید.

به طور شهودی، به نظر می رسد که در این بازی شانس ها برابر است. هر تاس یک نفر است، 1 در 6 شانس برنده شدن، بنابراین مجموع هر سه تاس 3 در 6 است. البته، به یاد داشته باشید که شما در حال اضافه کردن سه تاس جداگانه هستید و فقط در صورتی مجاز به اضافه کردن هستید که ما باشیم. صحبت در مورد ترکیب های برنده جداگانه تاس های مشابه. چیزی که باید ضرب کنید.

هنگامی که تمام نتایج ممکن را محاسبه کردید (احتمالاً انجام این کار در اکسل ساده تر از دستی است، 216 مورد وجود دارد)، بازی همچنان در نگاه اول زوج و فرد به نظر می رسد. اما در واقعیت، احتمال برنده شدن کازینو بیشتر است - چقدر بیشتر؟ به طور خاص، انتظار دارید به طور متوسط ​​در هر دور بازی چقدر پول از دست بدهید؟ تنها کاری که باید انجام دهید این است که بردها و باخت های همه 216 نتیجه را جمع کنید و سپس بر 216 تقسیم کنید، که بسیار آسان است... اما همانطور که می بینید، چند تله وجود دارد که می توانید در آنها بیفتید، به همین دلیل است که به شما می گویم. : اگر فکر می کنید که این بازی شانس یکسانی برای برنده شدن دارد، همه چیز را اشتباه گرفته اید.

بازی شماره 3 - 5 کارت گل میخ

اگر قبلاً در بازی های قبلی خود را گرم کرده اید، بیایید آنچه را که در مورد احتمال شرطی با استفاده از این بازی کارتی به عنوان مثال می دانیم، بررسی کنیم. به طور خاص، بیایید پوکر را با یک دسته 52 کارتی تصور کنیم. بیایید 5 کارت را نیز تصور کنیم که در آن هر بازیکن فقط 5 کارت می گیرد. شما نمی توانید یک کارت را دور بیندازید، نمی توانید یک کارت جدید بکشید، هیچ عرشه مشترکی ندارید - فقط 5 کارت دریافت می کنید.

فلاش رویال 10-J-Q-K-A در یک ترکیب است، در مجموع چهار راه، بنابراین چهار راه ممکن برای گرفتن فلاش رویال وجود دارد. احتمال اینکه یکی از این ترکیب ها را بدست آورید را محاسبه کنید.

من باید در مورد یک چیز به شما هشدار دهم: به یاد داشته باشید که می توانید این پنج کارت را به هر ترتیبی بکشید. یعنی در ابتدا می توانید یک آس یا ده بکشید، مهم نیست. بنابراین هنگام محاسبه این، به خاطر داشته باشید که در واقع بیش از چهار راه برای گرفتن یک فلاش رویال وجود دارد، با این فرض که کارت ها به ترتیب پخش شده اند!

بازی شماره 4 - قرعه کشی صندوق بین المللی پول

حل کار چهارم با استفاده از روش هایی که امروز در مورد آن صحبت کردیم چندان آسان نخواهد بود، اما می توانید به راحتی با استفاده از برنامه نویسی یا اکسل شرایط را شبیه سازی کنید. در مثال این مشکل است که می توانید روش مونت کارلو را حل کنید.

قبلاً به بازی "Chron X" اشاره کردم که زمانی روی آن کار کردم و یک کارت بسیار جالب وجود داشت - قرعه کشی صندوق بین المللی پول. نحوه کار به این صورت است: شما از آن در یک بازی استفاده کردید. پس از پایان دور، کارت‌ها مجدداً توزیع شدند و 10 درصد احتمال داشت که کارت خارج از بازی باشد و یک بازیکن تصادفی 5 مورد از هر نوع منبعی را دریافت کند که یک نشانه روی آن کارت وجود دارد. یک کارت بدون یک نشانه وارد بازی می شد، اما هر بار که در ابتدای دور بعدی در بازی باقی می ماند، یک نشان دریافت می کرد. بنابراین احتمال 10 درصد وجود داشت که آن را وارد بازی کنید، راند به پایان برسد، کارت بازی را ترک کند و هیچ کس چیزی دریافت نکند. اگر این اتفاق نیفتد (با 90٪ شانس)، احتمال 10٪ (در واقع 9٪) وجود دارد، زیرا این 10٪ از 90٪ است که او بازی را در دور بعدی ترک کند و کسی 5 منبع دریافت کند. اگر کارت پس از یک دور بازی را ترک کند (10٪ از 81٪ موجود، بنابراین 8.1٪ شانس)، کسی 10 واحد، یک دور دیگر - 15، دیگری 20، و غیره دریافت می کند. سوال: مقدار مورد انتظار تعداد منابعی که از این کارت در نهایت خروج از بازی دریافت خواهید کرد چقدر است؟

معمولاً سعی می کنیم این مشکل را با یافتن امکان هر نتیجه و ضرب در تعداد همه نتایج حل کنیم. بنابراین 10% احتمال دارد که 0 (0.1*0 = 0) بدست آورید. 9٪ که شما 5 منبع (9٪ * 5 = 0.45 منبع) دریافت خواهید کرد. 8.1٪ از آنچه به دست می آورید 10 است (8.1٪ * 10 = 0.81 کل منابع، ارزش مورد انتظار). و غیره. و سپس همه را خلاصه می کنیم.

و اکنون مشکل برای شما واضح است: همیشه این شانس وجود دارد که کارت نهبازی را ترک می کند تا بتواند در بازی بماند برای همیشه، برای تعداد بی نهایت دور، به طوری که امکانات برای محاسبه هر امکانیوجود ندارد. روش هایی که امروز آموخته ایم به ما امکان محاسبه بازگشت بی نهایت را نمی دهند، بنابراین باید آن را به صورت مصنوعی ایجاد کنیم.

اگر به اندازه کافی در برنامه نویسی مهارت دارید، برنامه ای بنویسید که این کارت را شبیه سازی کند. شما باید یک حلقه زمانی داشته باشید که متغیر را به موقعیت اولیه صفر برساند، یک عدد تصادفی را نشان دهد و با احتمال 10٪ متغیر از حلقه خارج شود. در غیر این صورت 5 به متغیر اضافه می شود و حلقه تکرار می شود. هنگامی که در نهایت از حلقه خارج شد، تعداد کل اجرای آزمایشی را 1 و تعداد کل منابع را افزایش دهید (تا چه میزان بستگی به محل توقف متغیر دارد). سپس متغیر را ریست کرده و دوباره شروع کنید. برنامه را چندین هزار بار اجرا کنید. در نهایت، کل منابع را بر تعداد کل اجراها تقسیم کنید، و این مقدار مونت کارلو مورد انتظار شما است. برنامه را چند بار اجرا کنید تا مطمئن شوید اعدادی که به دست می آورید تقریباً یکسان هستند. اگر گسترش هنوز زیاد است، تعداد تکرارها را در حلقه بیرونی افزایش دهید تا زمانی که شروع به گرفتن مسابقات کنید. می توانید مطمئن باشید که هر عددی که در نهایت به آن برسید تقریباً صحیح خواهد بود.

اگر در برنامه نویسی تازه کار هستید (یا حتی اگر هستید)، در اینجا تمرین کوچکی برای تقویت مهارت های اکسل شما وجود دارد. اگر شما یک طراح بازی هستید، مهارت های اکسل هرگز اضافی نیستند.

حالا توابع IF و RAND برای شما بسیار مفید خواهند بود. RAND به مقادیر نیاز ندارد، فقط یک عدد اعشاری تصادفی بین 0 و 1 تولید می کند. با این حال، در این مورد، ما فقط 10 درصد احتمال می دهیم که کارت از بازی خارج شود، بنابراین می توانیم فقط بررسی کنیم که آیا مقدار RAND کمتر از 0.1 است و دیگر نگران آن نباشیم.

IF سه معنی دارد. به ترتیب، شرطی که یا درست است یا خیر، سپس مقداری که اگر شرط درست باشد، و مقداری که اگر شرط نادرست باشد، برگردانده می شود. بنابراین تابع زیر 5% مواقع و 0 90% دیگر را برمی گرداند:
=IF(RAND()<0.1,5,0)

راه های زیادی برای تنظیم این دستور وجود دارد، اما من از این فرمول برای سلولی که اولین دور را نشان می دهد استفاده می کنم، فرض کنید سلول A1 است:

IF(RAND()<0.1,0,-1)

در اینجا من از یک متغیر منفی استفاده می کنم به این معنی که "این کارت بازی را ترک نکرده و هنوز هیچ منبعی ارائه نکرده است". بنابراین اگر دور اول تمام شود و کارت خارج از بازی باشد، A1 0 است. در غیر این صورت -1 است.

برای سلول بعدی که نشان دهنده دور دوم است:

IF(A1>-1، A1، IF(RAND()<0.1,5,-1))

بنابراین اگر دور اول به پایان رسید و کارت بلافاصله از بازی خارج شد، A1 0 (تعداد منابع) است و این سلول به سادگی آن مقدار را کپی می کند. در غیر این صورت، A1 -1 است (کارت هنوز بازی را ترک نکرده است) و این سلول به حرکت تصادفی ادامه می دهد: 10٪ مواقع 5 واحد از منابع را برمی گرداند، بقیه زمان ها مقدار آن همچنان -1 خواهد بود. . اگر این فرمول را روی سلول‌های اضافی اعمال کنیم، راندهای اضافی دریافت می‌کنیم و هر سلولی که در نهایت به آن رسید، نتیجه نهایی را می‌گیرید (یا -1 اگر کارت بعد از تمام دورهایی که بازی کرده‌اید از بازی خارج نشده باشد).

این ردیف سلول را که تنها دور این کارت است، بردارید و چند صد (یا هزاران) ردیف را کپی و جایگذاری کنید. ممکن است نتوانیم انجام دهیم بی پایانتست برای اکسل (تعداد محدودی سلول در جدول وجود دارد)، اما حداقل می توانیم بیشتر موارد را پوشش دهیم. سپس یک سلول را انتخاب کنید که میانگین نتایج همه راندها را در آن قرار دهید (اکسل لطفاً تابع AVERAGE() را برای این کار ارائه می دهد).

در ویندوز، حداقل می توانید F9 را فشار دهید تا همه اعداد تصادفی دوباره محاسبه شوند. مانند قبل، این کار را چند بار انجام دهید و ببینید آیا مقادیری که دریافت می کنید یکسان هستند یا خیر. اگر گسترش بیش از حد بزرگ است، تعداد اجراها را دو برابر کنید و دوباره امتحان کنید.

مشکلات حل نشده

اگر به طور اتفاقی مدرک احتمالی دارید و مسائل فوق برای شما بسیار آسان به نظر می رسد، در اینجا دو مشکل وجود دارد که من سال ها است که سرم را روی آنها می خارم، اما افسوس که در ریاضی برای حل آنها خوب نیستم. اگر به طور ناگهانی راه حل را فهمیدید، لطفاً آن را اینجا در نظرات ارسال کنید، من آن را با کمال میل خواهم خواند.

مشکل حل نشده شماره 1: قرعه کشیصندوق بین المللی پول

اولین مشکل حل نشده تکلیف قبلی است. من به راحتی می توانم از روش مونت کارلو (با استفاده از C++ یا Excel) استفاده کنم و از پاسخ به سؤال "بازیکن چند منبع دریافت خواهد کرد" مطمئن باشم، اما دقیقاً نمی دانم چگونه می توانم به صورت ریاضی پاسخ دقیق قابل اثبات ارائه کنم (این یک سری بی نهایت است). اگر پاسخ را می دانید، آن را اینجا ارسال کنید ... البته بعد از اینکه مونت کارلو آن را بررسی کردید.

مشکل حل نشده شماره 2: دنباله های شکل

این وظیفه (و باز هم بسیار فراتر از وظایف حل شده در این وبلاگ است) بیش از 10 سال پیش توسط یک گیمر آشنا به من داده شد. او در حین بازی بلک جک در وگاس متوجه یک ویژگی جالب شد: وقتی از یک کفش 8 عرشه کارت بیرون آورد، دید دهارقام پشت سر هم (یک فیگور یا کارت شکل - 10، جوکر، پادشاه یا ملکه، بنابراین 16 مورد از آنها در یک عرشه استاندارد 52 کارتی وجود دارد، بنابراین 128 مورد از آنها در یک کفش 416 کارتی وجود دارد). احتمال اینکه در این کفش چقدر است حداقلیک سکانس ده تایی یا بیشترارقام؟ بیایید فرض کنیم که آنها صادقانه و به ترتیب تصادفی مخلوط شده اند. (یا اگر ترجیح می دهید، احتمال آن چقدر است هیچ جا پیدا نشددنباله ای از ده شکل یا بیشتر؟)

ما می توانیم کار را ساده کنیم. در اینجا یک دنباله از 416 قسمت است. هر قسمت 0 یا 1 است. 128 یک و 288 صفر به طور تصادفی در سراسر دنباله پراکنده هستند. چند راه وجود دارد که به طور تصادفی 128 1 را با 288 0 بهم بپیوندیم، و چند بار حداقل یک گروه ده یا چند 1 در این روش ها وجود خواهد داشت؟

هر بار که این وظیفه را بر عهده می گرفتم، برایم آسان و بدیهی به نظر می رسید، اما به محض اینکه به جزئیات پرداختم، ناگهان از هم پاشید و برایم غیرممکن به نظر می رسید. بنابراین برای واضح کردن پاسخ عجله نکنید: بنشینید، با دقت فکر کنید، شرایط مشکل را مطالعه کنید، سعی کنید اعداد واقعی را وصل کنید، زیرا همه افرادی که در مورد این مشکل با آنها صحبت کردم (از جمله چندین دانشجوی فارغ التحصیل که در این زمینه کار می کنند) تقریباً به همان شیوه واکنش نشان داد: "کاملاً واضح است... اوه نه، صبر کنید، اصلاً واضح نیست." این همان موردی است که من روشی برای محاسبه همه گزینه ها ندارم. من مطمئناً می‌توانم مشکل را از طریق یک الگوریتم کامپیوتری به زور بیان کنم، اما دانستن روش ریاضی برای حل این مشکل بسیار جالب‌تر خواهد بود.

ترجمه - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

رایج ترین شکل آن به شکل مکعب است که در هر طرف آن اعداد یک تا شش به تصویر کشیده شده است. بازیکن با پرتاب آن بر روی یک سطح صاف، نتیجه را در بالای صفحه می بیند. استخوان ها دهان واقعی شانس، خوش شانسی یا بدشانسی هستند.

تصادف.
مکعب ها (استخوان ها) برای مدت طولانی وجود داشته اند، اما شکل شش وجهی که سنتی شده است در حدود 2600 سال قبل از میلاد به دست آمد. ه. یونانیان باستان عاشق تاس بازی بودند و در افسانه های آنها از قهرمان پالامدس که به ناحق توسط اودیسه به خیانت متهم شده بود به عنوان مخترع آنها یاد شده است. طبق افسانه، او این بازی را اختراع کرد تا سربازانی را که به لطف یک اسب چوبی عظیم اسیر شده بودند، محاصره کند. رومی ها در زمان ژولیوس سزار نیز خود را با انواع بازی های تاس سرگرم می کردند. در لاتین مکعب را datum می نامیدند که به معنای «داده شده» است.

ممنوعیت ها
در قرون وسطی، در حدود قرن دوازدهم، تاس در اروپا بسیار محبوب شد: تاس که می توانید همه جا با خود ببرید، هم توسط جنگجویان و هم توسط دهقانان مورد علاقه است. می گویند بیش از ششصد بازی مختلف وجود داشت! تولید تاس به یک حرفه جداگانه تبدیل می شود. پادشاه لویی نهم (1214-1270) که از جنگ صلیبی بازگشت، قمار را تایید نکرد و دستور داد تولید تاس در سراسر پادشاهی ممنوع شود. بیش از خود بازی، مقامات از ناآرامی های مرتبط با آن ناراضی بودند - سپس آنها عمدتاً در میخانه ها بازی می کردند و مهمانی ها اغلب به دعوا و چاقو ختم می شد. اما هیچ ممنوعیتی مانع از ماندگاری تاس در زمان و ماندگاری تا به امروز نشد.

استخوان با "شارژ"!
نتیجه یک دای رول همیشه به طور تصادفی مشخص می شود، اما برخی از متقلب ها سعی می کنند آن را تغییر دهند. با سوراخ کردن قالب و ریختن سرب یا جیوه در آن می توان اطمینان حاصل کرد که رول هر بار یک نتیجه را می دهد. چنین مکعبی "شارژ" نامیده می شود. ساخته شده از مواد مختلف، چه طلا، سنگ، کریستال، استخوان، تاس می تواند اشکال مختلفی داشته باشد. تاس های کوچکی به شکل هرم (چهار وجهی) در مقبره فراعنه مصری که اهرام بزرگ را ساخته بودند پیدا شد! در زمان‌های مختلف، استخوان‌ها با ضلع 8، 10، 12، 20 و حتی 100 ساخته می‌شدند. معمولاً اعداد روی آنها اعمال می شود، اما حروف یا تصاویر نیز می توانند در جای خود ظاهر شوند و فضایی برای تخیل ایجاد کنند.

نحوه انداختن تاس
تاس ها نه تنها به اشکال مختلف، بلکه به شیوه های مختلف بازی نیز می آیند. قوانین برخی از بازی ها مستلزم این است که رول به روش خاصی رول شود، معمولاً برای جلوگیری از چرخش حساب شده یا برای جلوگیری از قرار گرفتن قالب در حالت کج. گاهی اوقات برای جلوگیری از تقلب یا افتادن از روی میز بازی، یک شیشه مخصوص به آنها وصل می شود. در بازی کرپ انگلیسی، هر سه تاس لزوماً باید به میز یا دیوار بازی برخورد کنند تا با حرکت دادن تاس، اما چرخاندن آن توسط متقلبان، از تقلید یک رول جلوگیری شود.

تصادفی و احتمال.
تاس همیشه یک نتیجه تصادفی می دهد که قابل پیش بینی نیست. با یک مرگ، بازیکن به همان اندازه شانس 1 را دارد که یک 6 دارد - همه چیز به طور تصادفی مشخص می شود. از طرف دیگر، با دو تاس، سطح تصادفی بودن کاهش می یابد، زیرا بازیکن اطلاعات بیشتری در مورد نتیجه دارد: به عنوان مثال، با دو تاس، عدد 7 را می توان به روش های مختلفی به دست آورد - با انداختن 1 و 6، 5 و 2 یا 4 و 3 ... اما امکان به دست آوردن عدد 2 فقط یک است: دوبار پرتاب یک 1. بنابراین احتمال به دست آوردن 7 از گرفتن 2 بیشتر است! به آن نظریه احتمال می گویند. بسیاری از بازی ها به ویژه بازی های نقدی با این اصل مرتبط هستند.

در مورد استفاده از تاس
تاس می تواند یک بازی مستقل و بدون عناصر دیگر باشد. تنها چیزی که عملا وجود ندارد، بازی های تک مکعبی است. قوانین حداقل به دو مورد نیاز دارند (مثلاً کرپ). برای بازی پوکر تاس به پنج تاس، یک خودکار و کاغذ نیاز دارید. هدف این است که ترکیباتی شبیه به ترکیبات بازی ورق به همین نام را پر کنید و امتیاز آنها را در جدول مخصوص ثبت کنید. علاوه بر این، مکعب یک بخش بسیار محبوب برای بازی های رومیزی است که به شما امکان می دهد تراشه ها را جابجا کنید یا نتیجه نبردهای بازی را تعیین کنید.

قالب ریخته گری می شود.
در 49 ق.م. ه. ژولیوس سزار جوان گول را فتح کرد و به پمپئی بازگشت. اما سناتورها از قدرت او هراس داشتند و تصمیم گرفتند قبل از بازگشت ارتش او را منحل کنند. امپراتور آینده با رسیدن به مرزهای جمهوری تصمیم می گیرد با عبور از آن با ارتش دستور را نقض کند. قبل از عبور از روبیکون (رودی که مرز بود)، به لژیونرهایش گفت: «آلئا jacta est» («مرگ ریخته می‌شود»). این ضرب المثل تبدیل به یک اصطلاح شده است که معنایش این است که مثل بازی بعد از تصمیم گیری ها دیگر نمی توان عقب نشینی کرد.

روش آهنگسازی با متن صوتی شل. به عنوان یک روش مستقل از آهنگسازی در قرن بیستم شکل گرفت. الف به معنای چشم پوشی کامل یا جزئی آهنگساز از کنترل شدید بر متن موسیقایی و یا حتی حذف همان مقوله آهنگساز-نویسنده به معنای سنتی آن است. نوآوری A. در همبستگی اجزای پایدار یک متن موسیقی با تصادفی بودن آگاهانه، تحرک دلخواه ماده موسیقی نهفته است. مفهوم A. می تواند هم به طرح کلی اجزای ترکیب (به فرم) و هم به ساختار پارچه آن اشاره داشته باشد. خدا حافظ. دنیسوف،برهمکنش بین ثبات و تحرک پارچه و فرم، 4 نوع ترکیب اصلی را به دست می‌دهد که سه نوع از آنها - دوم، سوم و چهارم - متمایز هستند: 1. پارچه پایدار - فرم پایدار (ترکیب سنتی معمول، opus perfectum et absolutum; به عنوان مثال، 6 سمفونی چایکوفسکی؛ 2. پارچه پایدار - فرم موبایل. به گفته V. Lutoslavs، "A. فرم ها» (پ. ​​بولز، سومین سونات برای پیانو، 1957); 3. پارچه موبایل - شکل پایدار. یا به گفته لوتوسلاوسکی، «آ. بافت ها» (لوتوسلاوسکی، کوارتت زهی، 1964، جنبش اصلی). 4. پارچه موبایل - فرم موبایل; یا "A. قفس"(با بداهه نوازی جمعی چند مجری). اینها نقاط گرهی روش A. هستند که در اطراف آنها انواع مختلف و موارد خاص ساختارها، درجات مختلف غوطه وری در A. قرار دارند. علاوه بر این، متابولیسم ها ("مدولاسیون ها") نیز طبیعی هستند - انتقال از یک نوع یا نوع به دیگری، همچنین به یک متن پایدار یا از آن.

A. از دهه 1950 گسترده شده است و ظاهر می شود (همراه با سونوریکس)به طور خاص، به عنوان واکنشی به بردگی شدید ساختار موسیقی در سریالیسم چند پارامتری (نگاه کنید به: دوازده آوازی).در این میان، اصل آزادی ساختار به هر شکلی ریشه‌ای کهن دارد. در اصل، جریان صدا، و نه اثری با ساختار منحصر به فرد، موسیقی محلی است. از این رو بی ثباتی، «غیر اپوس» موسیقی فولکلور، تنوع، تنوع و بداهه نوازی در آن است. غیرقابل پیش بینی بودن، بداهه سازی فرم از ویژگی های موسیقی سنتی هند، مردم خاور دور و آفریقا است. بنابراین نمایندگان الف فعالانه و آگاهانه بر اصول اساسی موسیقی شرقی و محلی تکیه می کنند. عناصر پیکان در موسیقی کلاسیک اروپایی نیز وجود داشت. به عنوان مثال، در میان کلاسیک‌های وینی، که اصل باس عمومی را حذف کردند و متن موسیقی را کاملاً ثابت کردند (سمفونی‌ها و کوارتت‌های I. Haydn)، تضاد شدید «کادنزا» در قالب یک کنسرتو دستگاهی بود. تکنوازی هنرپیشه، بخشی که آهنگساز آن را نساخته است، اما به صلاحدید اجراکننده ارائه شده است (عنصر A. فرم). روش‌های کمیک «الئاتوریک» برای ساخت نمایشنامه‌های ساده (مینوت) با ترکیب قطعات موسیقی روی تاس (Würfelspiel) در زمان هایدن و موتسارت شناخته شده است (رساله ای. برلین، 1757).

در قرن XX. اصل "پروژه انفرادی" در شکل شروع به پیشنهاد پذیرفتن نسخه های متنی کار (یعنی الف) کرد. در سال 1907 آهنگساز آمریکایی سی. آیوز، پنج آهنگ پیانو "Hallwe" en (= "شب همه مقدسین") را ساخت که متن آن هنگام اجرا در کنسرت، باید چهار بار متوالی متفاوت نواخته شود. قفسدر سال 1951 ساخته شده است "موسیقی تغییرات" برای پیانو، متنی که او با "دستکاری تصادفات" (کلمات آهنگساز)، با استفاده از "کتاب تغییرات" چینی برای این کار گردآوری کرد. کلاسی-

مثال cal A. - "Piano piece XI" توسط K. استوکهاوزن، 1957. روی یک ورق کاغذ حدودا. 0.5 متر مربع به ترتیب تصادفی 19 قطعه موسیقی است. نوازنده پیانو با هر یک از آنها شروع می کند و آنها را به ترتیب تصادفی می نوازد. در پایان قسمت قبلی نوشته شده است که قطعه بعدی با چه سرعتی و با چه صدایی پخش شود. وقتی برای پیانیست به نظر می رسد که او قبلاً تمام قطعات را به این روش نواخته است، آنها باید برای بار دوم دوباره به همان ترتیب تصادفی، اما با صدایی روشن تر نواخته شوند. پس از دور دوم، نمایش به پایان می رسد. برای تأثیر بیشتر، توصیه می شود که کار aleatoric را در یک کنسرت تکرار کنید - ترکیب دیگری از همان مواد برای شنونده ظاهر می شود. روش A. به طور گسترده توسط آهنگسازان مدرن استفاده می شود (بولز، استوکهاوزن،لوتوسلاوسکی، آ.ولکونسکی، دنیسوف، اشنیتکهو غیره.).

پیش نیاز A. در قرن 20th. قوانین جدید آمد هماهنگیو تمایلات ناشی از آنها برای جستجوی فرم های جدید که با وضعیت جدید مواد موسیقی مطابقت دارد و مشخصه پیشتازبافت آلئاتوریک قبل از رهایی کاملاً غیرقابل تصور بود ناهماهنگیتوسعه موسیقی آتونال (نگاه کنید به: دوازده آوازی).یکی از حامیان "محدود و کنترل شده" A. Lutoslavsky در آن ارزشی بدون شک می بیند: "A. مناظر جدید و غیرمنتظره ای را برای من باز کرد. اول از همه - غنای عظیمی از ریتم که با کمک تکنیک های دیگر دست نیافتنی است. دنیسوف، با توجیه "معرفی عناصر تصادفی به موسیقی"، ادعا می کند که "آزادی زیادی در کار با ماده موسیقی به ما می دهد و به ما امکان می دهد جلوه های صوتی جدیدی به دست آوریم.<...>، اما ایده های تحرک تنها در صورتی می توانند نتایج خوبی داشته باشند<... >اگر تمایلات مخرب نهفته در تحرک، سازنده بودن لازم برای وجود هر نوع هنری را از بین نبرد.

برخی دیگر از روش ها و فرم های موسیقی با A تلاقی می کنند. اول از همه اینها عبارتند از: 1. ابتکار -اجرای یک اثر ساخته شده در طول بازی؛ 2. موسیقی گرافیکی،که اجراکننده با توجه به تصاویر بصری نقاشی که در مقابل او قرار داده شده است (مثلاً I. Brown, Folio, 1952) بداهه نوازی می کند و آنها را به تصاویر صوتی تبدیل می کند یا مطابق با گرافیک های الهام بخش موسیقایی که آهنگساز از قطعات ساخته شده است. متن موسیقایی روی یک ورق کاغذ (S. Bussotti, "Pasion for the Garden", 1966); 3. اتفاق می افتد- کنش بداهه (از این نظر، الاتوریک). (موجودی)با مشارکت موسیقی با طرح دلخواه (شبه) (به عنوان مثال، اتفاق آ. ولکونسکی "ماکت" توسط گروه مادریگال در فصل 1970/71). 4. اشکال باز موسیقی - یعنی آنهایی که متن آنها ثابت نیست، اما هر بار در فرآیند اجرا به دست می آید. اینها انواعی از ترکیب بندی هستند که اساساً بسته نیستند و امکان ادامه بی نهایت (مثلاً با هر اجرای جدید)، انگلیسی را فراهم می کنند. کار در حال انجام. برای پی.بولز، یکی از محرک هایی که او را به فرم باز تبدیل کرد، کار جی. جویس("Ulysses") و S. Mallarmé ("Le Livre"). نمونه ای از یک آهنگ باز، "فرم های موجود II" ارل براون برای 98 ساز و دو رهبر ارکستر (1962) است. خود براون به ارتباط فرم باز خود با "موبایل" در هنرهای تجسمی اشاره می کند (نگاه کنید به: هنر جنبشی)به ویژه، A. Calder ("قطعه Calder" برای 4 درامر و تلفن همراه Calder، 1965). در نهایت، کنش «گسمتکونست» با اصول الاتاتوریک آغشته شده است (نگاه کنید به: Gezamtkunstwerk). 5. چند رسانه ای که ویژگی آن همگام سازی است تاسیساتچندین هنر (مثلا: یک کنسرت + نمایشگاه نقاشی و مجسمه سازی + یک شب شعر در هر ترکیبی از اشکال هنری و غیره). بنابراین، جوهر A. آشتی دادن نظم هنری به طور سنتی استقرار یافته و جوشش تازه غیرقابل پیش بینی بودن، تصادفی بودن است - یک گرایش مشخصه فرهنگ هنری قرن بیستم.به طور کلی و زیبایی شناسی غیر کلاسیک

متن: دنیسوف E.V.عناصر ثابت و متحرک فرم موسیقی و تعامل آنها// مسائل نظری فرم ها و ژانرهای موسیقی. م.، 1971; کوهوتک سی.تکنیک آهنگسازی در موسیقی قرن بیستم. م.، 1976; لوتوسلاوسکی وی.مقالات، be-

موهای خاکستری، خاطرات م.، 1995; بولز P. Alea// Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Mainz, 1958; بولز آر. Zu meiner III Sonate// Ibid, III. 1960; شفر بی.نوا موزیکا (1958). کراکوف، 1969; شفر بی. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). کراکوف، 1975; استوکهاوزن ک. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd.l, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. دارمشتات، 1967.

هزاران سال است که انسان از تاس استفاده می کند.

در قرن بیست و یکم، فناوری‌های جدید به شما این امکان را می‌دهند که قالب را در هر زمان مناسب و با دسترسی به اینترنت در مکانی مناسب بچرخانید. تاس همیشه با شما در خانه یا در جاده است.

مولد تاس به شما امکان می دهد از 1 تا 4 تاس آنلاین بیاندازید.

صداقت آنلاین بفرستید

هنگام استفاده از تاس های واقعی، می توان از تاس های هوشمندانه یا ساخته شده مخصوص با مزیت یکی از طرفین استفاده کرد. به عنوان مثال، می توانید یک مکعب را در امتداد یکی از محورها بچرخانید و سپس توزیع احتمال تغییر می کند. یکی از ویژگی های مکعب های مجازی ما استفاده از نرم افزار مولد اعداد شبه تصادفی است. این به شما امکان می دهد یک نوع واقعاً تصادفی از افت این یا آن نتیجه را ارائه دهید.

و اگر این صفحه را نشانه گذاری کنید، تاس آنلاین شما در هیچ کجا گم نمی شود و همیشه در زمان مناسب در دسترس خواهد بود!

برخی از افراد با استفاده از تاس آنلاین برای فال یا پیش بینی و طالع بینی سازگار شده اند.

خلق و خوی شاد، روز خوب و موفق باشید!