Koordinatenlinie. Punkte auf der Koordinatenlinie. So zeichnen Sie eine Koordinatenlinie So zeichnen Sie eine Koordinatenlinie

Das Einheitssegment und seine zehntel, hundertstel usw. Anteile ermöglichen es uns also, zu den Punkten der Koordinatenlinie zu gelangen, die den letzten Dezimalbrüchen entsprechen (wie im vorherigen Beispiel). Es gibt jedoch Punkte auf der Koordinatenlinie, die wir nicht treffen können, denen wir uns aber beliebig nahe nähern können, indem wir immer kleinere bis zu einem infinitesimalen Bruchteil eines Einheitssegments verwenden. Diese Punkte entsprechen unendlichen periodischen und nichtperiodischen Dezimalbrüchen. Lassen Sie uns einige Beispiele geben. Einer dieser Punkte auf der Koordinatenlinie entspricht der Zahl 3,711711711…=3,(711) . Um diesen Punkt zu erreichen, müssen Sie 3 Einheitssegmente, 7 Zehntel, 1 Hundertstel, 1 Tausendstel, 7 Zehntausendstel, 1 Hunderttausendstel, 1 Millionstel eines Einheitssegments und so weiter beiseite legen. Und ein weiterer Punkt der Koordinatenlinie entspricht pi (π=3.141592...).

Da die Elemente der Menge der reellen Zahlen alle Zahlen sind, die in Form von endlichen und unendlichen Dezimalbrüchen geschrieben werden können, erlauben uns alle obigen Informationen in diesem Absatz zu behaupten, dass wir jedem Punkt von eine bestimmte reelle Zahl zugeordnet haben die Koordinatenlinie, während es klar ist, dass verschiedene Punkte verschiedenen reellen Zahlen entsprechen.

Es ist auch ziemlich offensichtlich, dass diese Korrespondenz eins zu eins ist. Das heißt, wir können einem bestimmten Punkt auf der Koordinatenlinie eine reelle Zahl zuordnen, aber wir können auch eine bestimmte reelle Zahl verwenden, um einen bestimmten Punkt auf der Koordinatenlinie anzuzeigen, dem diese reelle Zahl entspricht. Dazu müssen wir eine bestimmte Anzahl von Einheitssegmenten sowie Zehntel, Hundertstel usw. eines einzelnen Segments vom Ursprung in die richtige Richtung verschieben. Beispielsweise entspricht die Zahl 703.405 einem Punkt auf der Koordinatenlinie, der vom Ursprung aus erreicht werden kann, indem 703 Einheitssegmente in positiver Richtung beiseite gelegt werden, 4 Segmente, die ein Zehntel einer Einheit ausmachen, und 5 Segmente, die ausmachen ein Tausendstel einer Einheit.

Jeder Punkt auf der Koordinatenlinie entspricht also einer reellen Zahl, und jede reelle Zahl hat ihren Platz in Form eines Punktes auf der Koordinatenlinie. Deshalb wird auch oft die Koordinatenlinie genannt Zahlenreihe.

Koordinaten von Punkten auf der Koordinatenlinie

Die Nummer, die einem Punkt auf der Koordinatenlinie entspricht, wird aufgerufen die Koordinate dieses Punktes.

Im vorherigen Absatz haben wir gesagt, dass jede reelle Zahl einem einzelnen Punkt auf der Koordinatenlinie entspricht, daher bestimmt die Koordinate des Punktes eindeutig die Position dieses Punktes auf der Koordinatenlinie. Mit anderen Worten definiert die Koordinate eines Punktes diesen Punkt auf der Koordinatenlinie eindeutig. Andererseits entspricht jeder Punkt auf der Koordinatenlinie einer einzigen reellen Zahl - der Koordinate dieses Punktes.

Es bleibt nur über die akzeptierte Notation zu sagen. Die Koordinate des Punktes steht in Klammern rechts neben dem Buchstaben, der den Punkt bezeichnet. Wenn zum Beispiel der Punkt M eine Koordinate von -6 hat, dann kannst du M(-6) schreiben, und die Notation der Form bedeutet, dass der Punkt M auf der Koordinatenlinie eine Koordinate hat.

Referenzliste.

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• Wilenkin N.Ja. usw. Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Bildungsinstitutionen.

Es ist unmöglich zu behaupten, dass Sie sich mit Mathematik auskennen, wenn Sie nicht wissen, wie man Diagramme erstellt, Ungleichungen auf einer Koordinatenlinie darstellt und mit Koordinatenachsen arbeitet. Die visuelle Komponente in der Wissenschaft ist von entscheidender Bedeutung, denn ohne visuelle Beispiele in Formeln und Berechnungen kann man manchmal sehr verwirrt werden. In diesem Artikel werden wir sehen, wie man mit Koordinatenachsen arbeitet und wie man einfache Funktionsgraphen erstellt.

Anwendung

Die Koordinatenlinie ist die Grundlage der einfachsten Arten von Diagrammen, denen ein Schüler auf seinem Bildungsweg begegnet. Es wird in fast allen mathematischen Themen verwendet: bei der Berechnung von Geschwindigkeit und Zeit, bei der Projektion der Größe von Objekten und der Berechnung ihrer Fläche, in der Trigonometrie bei der Arbeit mit Sinus und Cosinus.

Der Hauptwert einer solchen direkten Linie ist die Sichtbarkeit. Da Mathematik eine Wissenschaft ist, die ein hohes Maß an abstraktem Denken erfordert, helfen Graphen bei der Darstellung eines Objekts in der realen Welt. Wie verhält er sich? An welchem ​​Punkt im Weltraum wird es in wenigen Sekunden, Minuten, Stunden sein? Was lässt sich darüber im Vergleich zu anderen Objekten sagen? Wie groß ist seine Geschwindigkeit zu einem zufällig ausgewählten Zeitpunkt? Wie kann man seine Bewegung charakterisieren?

Und wir sprechen aus einem bestimmten Grund über Geschwindigkeit – oft sind es die Funktionsgraphen, die sie darstellen. Und sie können auch Änderungen der Temperatur oder des Drucks im Inneren des Objekts, seiner Größe und Ausrichtung relativ zum Horizont anzeigen. Daher wird auch in der Physik oft die Konstruktion einer Koordinatenlinie gefordert.

1D-Grafik

Es gibt ein Konzept der Mehrdimensionalität. In nur einer Zahl ist genug, um die Position des Punktes zu bestimmen. Genau das ist bei der Verwendung der Koordinatenlinie der Fall. Wenn der Raum zweidimensional ist, werden zwei Zahlen benötigt. Diagramme dieser Art werden viel häufiger verwendet, und wir werden sie in diesem Artikel definitiv etwas weiter betrachten.

Was kann man mit Hilfe von Punkten auf der Achse sehen, wenn es nur einer ist? Sie können die Größe des Objekts sehen, seine Position im Raum relativ zu einer "Null", dh dem als Ursprung gewählten Punkt.

Es ist nicht möglich, die Änderung der Parameter im Laufe der Zeit zu sehen, da alle Messwerte für einen bestimmten Moment angezeigt werden. Irgendwo muss man aber anfangen! Also lasst uns anfangen.

Wie man eine Koordinatenachse baut

Zuerst müssen Sie eine horizontale Linie zeichnen - das ist unsere Achse. Auf der rechten Seite „schärfen“ Sie es so, dass es wie ein Pfeil aussieht. Somit geben wir die Richtung an, in die die Zahlen steigen werden. In Richtung nach unten wird der Pfeil normalerweise nicht platziert. Traditionell ist die Achse nach rechts gerichtet, also folgen wir einfach dieser Regel.

Lassen Sie uns eine Nullmarke setzen, die den Ursprung der Koordinaten anzeigt. Dies ist genau der Ort, an dem der Countdown gemessen wird, sei es Größe, Gewicht, Geschwindigkeit oder irgendetwas anderes. Neben Null müssen wir unbedingt den sogenannten Teilungspreis bezeichnen, d.h. einen Einheitsstandard einführen, nach dem wir bestimmte Mengen auf der Achse auftragen werden. Dies ist notwendig, um die Länge des Segments auf der Koordinatenlinie finden zu können.

In gleichem Abstand voneinander setzen wir Punkte oder „Kerben“ auf die Linie und schreiben darunter jeweils 1,2,3 und so weiter. Und jetzt ist alles bereit. Aber mit dem daraus resultierenden Zeitplan müssen Sie noch lernen, wie man arbeitet.

Arten von Punkten auf der Koordinatenlinie

Beim ersten Blick auf die in den Lehrbüchern vorgeschlagenen Zeichnungen wird klar: Die Punkte auf der Achse können gefüllt oder nicht gefüllt sein. Glaubst du, es ist ein Zufall? Gar nicht! Ein „durchgehender“ Punkt wird für nicht strenge Ungleichheit verwendet – einer, der „größer als oder gleich“ lautet. Wenn wir das Intervall streng begrenzen müssen (z. B. kann "x" Werte von null bis eins annehmen, schließt es aber nicht ein), verwenden wir einen "hohlen" Punkt, dh tatsächlich einen kleinen Kreis auf der Achse. Anzumerken ist, dass Studenten strikte Ungleichheiten nicht wirklich mögen, weil sie schwieriger zu handhaben sind.

Je nachdem, welche Punkte Sie auf dem Diagramm verwenden, werden auch die konstruierten Intervalle benannt. Wenn die Ungleichheit auf beiden Seiten nicht streng ist, erhalten wir ein Segment. Wenn es sich einerseits als „offen“ herausstellt, wird es als Halbintervall bezeichnet. Endlich, wenn ein Teil einer Linie auf beiden Seiten durch Hohlpunkte begrenzt ist, wird es ein Intervall genannt.

Ebene

Beim Konstruieren zweier Geraden können wir bereits die Graphen von Funktionen betrachten. Nehmen wir an, die horizontale Linie ist die Zeitachse und die vertikale Linie ist die Entfernung. Und jetzt können wir bestimmen, welche Distanz das Objekt in einer Minute oder einer Stunde Reise überwinden wird. Das Arbeiten mit einer Ebene ermöglicht es also, die Zustandsänderung eines Objekts zu überwachen. Das ist viel interessanter als die Untersuchung eines statischen Zustands.

Der einfachste Graph auf einer solchen Ebene ist eine Gerade, die die Funktion Y(X) = aX + b widerspiegelt. Knickt die Linie? Das bedeutet, dass das Objekt im Verlauf der Forschung seine Eigenschaften verändert.

Stell dir vor, du stehst auf dem Dach eines Gebäudes und hältst einen Stein in deiner ausgestreckten Hand. Wenn Sie es loslassen, fliegt es nach unten und beginnt seine Bewegung bei Nullgeschwindigkeit. Aber in einer Sekunde wird er 36 Kilometer pro Stunde überwinden. Der Stein wird weiter beschleunigen, und um seine Bewegung auf dem Diagramm zu zeichnen, müssen Sie seine Geschwindigkeit zu mehreren Zeitpunkten messen, indem Sie an den entsprechenden Stellen Punkte auf der Achse setzen.

Markierungen auf der horizontalen Koordinatenlinie heißen standardmäßig X1, X2, X3 und auf der Vertikalen - Y1, Y2, Y3. Indem wir sie auf eine Ebene projizieren und Schnittpunkte finden, finden wir Fragmente des resultierenden Musters. Wenn wir sie mit einer Linie verbinden, erhalten wir einen Graphen der Funktion. Im Fall eines fallenden Steins sieht die quadratische Funktion so aus: Y(X) = aX * X + bX + c.

Skala

Natürlich ist es nicht notwendig, ganzzahlige Werte neben Divisionen durch eine gerade Linie zu setzen. Wenn Sie die Bewegung einer Schnecke betrachten, die mit einer Geschwindigkeit von 0,03 Metern pro Minute kriecht, legen Sie als Werte auf der Koordinatengeraden fest. Stellen Sie in diesem Fall den Teilungswert auf 0,01 Meter ein.

Besonders praktisch ist es, solche Zeichnungen in einem Notizbuch in einem Käfig auszuführen - hier können Sie sofort sehen, ob auf dem Blatt genügend Platz für Ihren Zeitplan ist und ob Sie über die Ränder hinausgehen. Es ist nicht schwierig, Ihre Stärke zu berechnen, da die Breite der Zelle in einem solchen Notizbuch 0,5 Zentimeter beträgt. Es dauerte - reduzierte das Bild. Durch Ändern des Maßstabs des Diagramms verliert oder ändert es seine Eigenschaften nicht.

Punkt- und Linienkoordinaten

Wenn im Unterricht eine mathematische Aufgabe gestellt wird, kann sie die Parameter verschiedener geometrischer Formen enthalten, sowohl in Form von Seitenlängen, Umfang, Fläche als auch in Form von Koordinaten. In diesem Fall müssen Sie möglicherweise sowohl eine Form erstellen als auch einige damit verknüpfte Daten abrufen. Es stellt sich die Frage: Wie finde ich die erforderlichen Informationen auf der Koordinatenlinie? Und wie baut man eine Figur?

Wir sprechen zum Beispiel von einem Punkt. Dann erscheint ein Großbuchstabe in der Bedingung des Problems und mehrere Zahlen in Klammern, meistens zwei (das heißt, wir zählen im zweidimensionalen Raum). Stehen drei Zahlen in Klammern, getrennt durch ein Semikolon oder ein Komma, dann handelt es sich um einen dreidimensionalen Raum. Jeder der Werte ist eine Koordinate auf der entsprechenden Achse: zuerst entlang der Horizontalen (X), dann entlang der Vertikalen (Y).

Erinnerst du dich, wie man ein Segment zeichnet? Sie haben es in Geometrie weitergegeben. Wenn es zwei Punkte gibt, kann eine Linie zwischen ihnen gezogen werden. Ihre Koordinaten sind in Klammern angegeben, wenn ein Segment in der Aufgabe vorkommt. Zum Beispiel: A(15, 13) - B(1, 4). Um eine solche Linie zu erstellen, müssen Sie Punkte auf der Koordinatenebene finden und markieren und sie dann verbinden. Das ist alles!

Und alle Polygone können, wie Sie wissen, mit Segmenten gezeichnet werden. Problem gelöst.

Berechnungen

Angenommen, es gibt ein Objekt, dessen Position entlang der X-Achse durch zwei Zahlen gekennzeichnet ist: Es beginnt am Punkt mit der Koordinate (-3) und endet bei (+2). Wenn wir die Länge dieses Objekts wissen wollen, müssen wir die kleinere Zahl von der größeren Zahl subtrahieren. Beachten Sie, dass eine negative Zahl das Vorzeichen der Subtraktion absorbiert, denn „ein Minus mal ein Minus ergibt ein Plus“. Also addieren wir (2+3) und erhalten 5. Dies ist das gewünschte Ergebnis.

Ein weiteres Beispiel: Wir erhalten den Endpunkt und die Länge des Objekts, aber nicht den Startpunkt (und wir müssen ihn finden). Die Position des bekannten Punktes sei (6) und die Größe des untersuchten Objekts sei (4). Indem wir die Länge von der Endkoordinate subtrahieren, erhalten wir die Antwort. Gesamt: (6 - 4) = 2.

Negative Zahlen

In der Praxis ist es oft erforderlich, mit negativen Werten zu arbeiten. In diesem Fall bewegen wir uns entlang der Koordinatenachse nach links. Zum Beispiel schwimmt ein 3 cm hoher Gegenstand im Wasser. Ein Drittel davon ist in Flüssigkeit getaucht, zwei Drittel in Luft. Wenn wir dann die Wasseroberfläche als Achse wählen, erhalten wir mit den einfachsten arithmetischen Berechnungen zwei Zahlen: Der obere Punkt des Objekts hat eine Koordinate (+2) und der untere - (-1) Zentimeter.

Es ist leicht zu sehen, dass wir im Fall einer Ebene vier Viertel der Koordinatenlinie haben. Jeder von ihnen hat eine eigene Nummer. Im ersten Teil (oben rechts) gibt es Punkte mit zwei positiven Koordinaten, im zweiten - von oben links - sind die Werte der X-Achse negativ und entlang der Y-Achse positiv. Die dritte und vierte werden weiter gegen den Uhrzeigersinn gezählt.

Wichtiges Eigentum

Sie wissen, dass eine Linie durch eine unendliche Anzahl von Punkten dargestellt werden kann. Wir können beliebig viele Werte in jeder Richtung der Achse genau betrachten, aber wir werden nicht auf sich wiederholende treffen. Es scheint naiv und verständlich, aber diese Aussage beruht auf einer wichtigen Tatsache: Jede Zahl entspricht einem und nur einem Punkt auf der Koordinatenlinie.

Fazit

Denken Sie daran, dass alle Achsen, Figuren und wenn möglich Grafiken auf einem Lineal aufgebaut werden müssen. Maßeinheiten wurden nicht zufällig von Menschen erfunden - wenn Sie beim Zeichnen einen Fehler machen, laufen Sie Gefahr, ein Bild zu sehen, das nicht dasjenige war, das hätte sein sollen.

Seien Sie beim Zeichnen von Diagrammen und Berechnungen vorsichtig und genau. Wie jede Wissenschaft, die in der Schule studiert wird, liebt Mathematik Genauigkeit. Geben Sie sich ein wenig Mühe und gute Noten werden nicht lange auf sich warten lassen.

Unterrichtsthema:

« Koordinaten auf einer geraden Linie»

Das Ziel des Unterrichts:

Machen Sie die Schüler mit der Koordinatenlinie und negativen Zahlen vertraut.

Unterrichtsziele:

Training: Machen Sie die Schüler mit der Koordinatenlinie und negativen Zahlen vertraut.

Entwicklung: Entwicklung des logischen Denkens, Horizonterweiterung.

Pädagogisch: Entwicklung des kognitiven Interesses, Bildung der Informationskultur.

Unterrichtsplan:

Organisatorischer Moment.Überprüfung der Schüler und ihrer Bereitschaft für den Unterricht.

Aktualisierung des Grundwissens. Mündliche Befragung der Studierenden zum behandelten Thema.

Erklärung des neuen Materials.

4. Konsolidierung des studierten Materials.

5. Zusammenfassend. Eine Zusammenfassung dessen, was in der Lektion gelernt wurde. Fragen von Studenten.

6. Schlussfolgerungen. Zusammenfassung der wichtigsten Punkte der Lektion. Wissensbewertung. Marken setzen.

7. Hausaufgaben. Selbstständige Arbeit Schüler mit Lernmaterial.

Ausrüstung: Kreide, Tafel, Rutschen.

Erweiterter Rahmenplan

Bühnenname und Inhalt

Aktivität

Aktivität

Studenten

Ich inszeniere

Organisatorischer Moment. Grüße.

Tagebuch ausfüllen.

begrüßt die Klasse, der Klassenleiter gibt eine Liste der Fehlenden.

sag Hallo zu

Lehrer

Stufe II

Aktualisierung des Grundwissens.

Der antike griechische Wissenschaftler Pythagoras sagte: „Zahlen regieren die Welt.“ Wir leben in dieser Welt der Zahlen, und in unserer Schulzeit lernen wir, mit verschiedenen Zahlen zu arbeiten.

1 Welche Zahlen kennen wir bereits für die heutige Lektion?

2 Welche Probleme helfen uns diese Zahlen zu lösen?

Heute fahren wir mit dem Studium des zweiten Kapitels unseres Lehrbuchs "Rationale Zahlen" fort, in dem wir unser Wissen über Zahlen erweitern, und nachdem wir das gesamte Kapitel "Rationale Zahlen" studiert haben, lernen wir, wie Sie alle Ihnen bekannten Aktionen ausführen mit ihnen und beginnen Sie mit der Themenkoordinatenlinie.

1. natürliche, gewöhnliche Brüche, Dezimalbrüche

2. Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Finden eines Bruchs aus einer Zahl und einer Zahl aus ihrem Bruch, Lösen verschiedener Gleichungen und Probleme

Stufe III

Erklärung des neuen Materials.

Nehmen wir die Linie AB und teilen sie mit dem Punkt O in zwei zusätzliche Strahlen - OA und OB. Wir wählen ein einzelnes Segment auf einer Geraden aus und nehmen den Punkt O als Ursprung und Richtung.

Definitionen:

Eine gerade Linie mit einem darauf gewählten Referenzpunkt, einem Einheitssegment und einer Richtung wird als Koordinatenlinie bezeichnet.

Die Zahl, die die Lage eines Punktes auf einer Geraden angibt, heißt Koordinate dieses Punktes.

Wie konstruiert man eine Koordinatenlinie?

ziehen Sie eine direkte

Legen Sie ein einzelnes Segment fest

Richtung angeben

Die Koordinatenlinie kann auf verschiedene Arten gezeichnet werden: horizontal, vertikal und in jedem anderen Winkel zum Horizont, und hat einen Anfang, aber kein Ende.

Übung 1. Welche der folgenden Linien sind nicht koordinativ? (Folie)

Lassen Sie uns eine Koordinatenlinie zeichnen, den Koordinatenursprung markieren, ein Einheitssegment und die Punkte 1,2,3,4 usw. links und rechts festlegen.

Schauen wir uns die resultierende Koordinatenlinie an. Warum ist eine so gerade Linie unbequem?

Die Richtung vom Ursprung nach rechts wird als positiv bezeichnet, und die Richtung auf der geraden Linie wird durch einen Pfeil angezeigt. Zahlen, die sich rechts vom Punkt O befinden, werden als positiv bezeichnet. Negative Zahlen befinden sich links vom Punkt O, und die Richtung links vom Punkt O wird als negativ bezeichnet (negative Richtung ist nicht angegeben). Wenn sich die Koordinatenlinie vertikal befindet, dann oben vom Ursprung - positive Zahlen, unten vom Ursprung - negativ. Negative Zahlen werden mit einem „-“ Zeichen geschrieben. Sie lauten: „Minus eins“, „Minus zwei“, „Minus drei“ usw. Die Zahl 0 - der Ursprung ist weder positiv noch negativ. Sie trennt positive von negativen Zahlen.

Die Lösung von Gleichungen und das Konzept der "Schulden" in Handelsberechnungen führten zur Entstehung negativer Zahlen.

Negative Zahlen tauchten viel später auf als natürliche Zahlen und gewöhnliche Brüche. Die ersten Informationen über negative Zahlen finden sich bei chinesischen Mathematikern im 2. Jahrhundert vor Christus. BC e. Positive Zahlen wurden dann als Eigentum interpretiert und negative Zahlen als Schulden, Mangel. In Europa kam die Anerkennung tausend Jahre später, und schon damals wurden negative Zahlen lange Zeit als „falsch“, „eingebildet“ oder „absurd“ bezeichnet. Im 17. Jahrhundert erhielten negative Zahlen eine visuelle geometrische Darstellung auf dem Zahlenstrahl.

Sie können auch Beispiele für eine Koordinatenlinie geben: ein Thermometer, ein Vergleich von Berggipfeln und -senken (der Meeresspiegel wird als Null angenommen), Entfernungen auf einer Karte, ein Aufzugsschacht, Häuser, Kräne.

Denken Kennen Sie weitere Beispiele für Koordinatenlinien?

Aufgaben.

Aufgabe2. Nennen Sie die Koordinaten der Punkte.

Aufgabe3. Zeichnen Sie Punkte auf einer Koordinatenlinie

Aufgabe 4 . Zeichnen Sie eine horizontale Linie und markieren Sie darauf Punkt O. Markieren Sie auf dieser Linie die Punkte A, B, C, K, wenn bekannt ist, dass:

A ist 9 Zellen rechts von O;

B ist 6,5 Zellen links von O;

C ist 3½ Leerzeichen rechts von O;

K ist 3 Felder links von O .

Aufgenommen in Basisnoten.

Hör zu, ergänze.

Erledige die Aufgabe in deinem Heft und erkläre dann deine Antworten laut.

Zeichnen Sie, markieren Sie den Koordinatenursprung ein einzelnes Segment

Eine solche gerade Linie ist unbequem, da die gleiche Zahl 2 Punkten auf der geraden Linie entspricht.

Geschichte vor unserer Zeit und unserer Zeit.

IV. Stadium

Konsolidierung des studierten Materials.

1. Was ist eine Koordinatenlinie?

2. Wie baut man eine Koordinatenlinie?

1. Eine gerade Linie mit einem darauf gewählten Referenzpunkt, einem Einheitssegment und einer Richtung wird als Koordinatenlinie bezeichnet

2) Zeichnen Sie eine gerade Linie

markiert den Beginn des Countdowns

Legen Sie ein einzelnes Segment fest

Richtung angeben

Stufe V

Zusammenfassend

Was haben wir heute Neues gelernt?

Koordinatenlinie und negative Zahlen.

VI-Stadium

Wissensbewertung. Marken setzen.

Hausaufgaben.

Fragen zum behandelten Thema formulieren (Antworten kennen)

Koordinatenlinie.

Nehmen wir eine gerade Linie. Nennen wir es eine gerade Linie x (Abb. 1). Wir wählen einen Bezugspunkt O auf dieser Geraden und zeigen auch die positive Richtung dieser Geraden mit einem Pfeil an (Abb. 2). Rechts vom Punkt O haben wir also positive Zahlen und links - negative. Wir wählen den Maßstab, dh die Größe des geraden Liniensegments, gleich eins. Wir haben es Koordinatenlinie(Abb. 3). Jede Zahl entspricht einem bestimmten einzelnen Punkt auf dieser Linie. Außerdem wird diese Zahl die Koordinate dieses Punktes genannt. Daher wird die Linie als Koordinatenlinie bezeichnet. Und der Referenzpunkt O wird Ursprung genannt.

Zum Beispiel in Abb. 4 Punkt B liegt im Abstand 2 rechts vom Ursprung. Punkt D liegt im Abstand 4 links vom Ursprung. Dementsprechend hat Punkt B eine Koordinate von 2 und Punkt D hat eine Koordinate von –4. Der Punkt O selbst, der ein Referenzpunkt ist, hat eine Koordinate von 0 (Null). Es wird normalerweise so geschrieben: O(0), B(2), D(-4). Und um nicht ständig „Punkt D mit Koordinate so und so“ zu sagen, sagen sie einfacher: „Punkt 0, Punkt 2, Punkt -4“. Und in diesem Fall reicht es aus, den Punkt selbst mit seiner Koordinate zu bezeichnen (Abb. 5).

Wenn wir die Koordinaten von zwei Punkten der Koordinatenlinie kennen, können wir immer den Abstand zwischen ihnen berechnen. Nehmen wir an, wir haben zwei Punkte A und B mit den Koordinaten a bzw. b. Dann ist der Abstand zwischen ihnen |a - b|. Zeichnen Sie |a - b| auf gelesen als "a minus b modulo" oder "der Modul der Differenz zwischen den Zahlen a und b".

Was ist ein Modul?

Algebraisch ist der Modul von x eine nicht negative Zahl. Bezeichnet als |x|. Außerdem, wenn x > 0, dann |x| = x. Wenn x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

Geometrisch ist der Modul der Zahl x der Abstand zwischen dem Punkt und dem Ursprung. Und wenn es zwei Punkte mit den Koordinaten x1 und x2 gibt, dann ist |x1 - x2| ist der Abstand zwischen diesen Punkten.

Das Modul wird auch aufgerufen absoluter Wert.

Was können wir noch sagen, wenn es um die Koordinatenlinie geht? Sicherlich über numerische Intervalle.

Arten von numerischen Intervallen.

Nehmen wir an, wir haben zwei Zahlen a und b. Außerdem ist b > a (b ist größer als a). Auf der Koordinatenlinie bedeutet dies, dass Punkt b rechts von Punkt a liegt. Ersetzen wir b in unserer Ungleichung durch die Variable x. Das ist x > a. Dann ist x alles Zahlen größer als a. Auf der Koordinatenlinie sind dies jeweils alle Punkte rechts vom Punkt a. Dieser Teil der Linie ist schattiert (Abb. 6). Eine solche Menge von Punkten wird aufgerufen offener Strahl, und dieses Zahlenintervall wird mit (a; +∞) bezeichnet, wobei das Zeichen +∞ als „plus unendlich“ gelesen wird. Beachten Sie, dass der Punkt a selbst nicht in diesem Intervall enthalten ist und durch einen hellen Kreis angezeigt wird.

Betrachten Sie auch den Fall x ≥ a. Dann sind x alle Zahlen größer oder gleich a. Auf der Koordinatenlinie sind dies alle Punkte rechts von a, sowie der Punkt a selbst (in Abb. 7 ist Punkt a bereits durch einen dunklen Kreis angedeutet). Eine solche Menge von Punkten wird aufgerufen geschlossener Strahl(oder nur ein Strahl), und dieses numerische Intervall wird mit bezeichnet.

Die Koordinatenlinie wird auch genannt Koordinatenachse. Oder nur die x-Achse.

Am Ende von Kapitel 1 haben wir gesagt, dass Sie und ich im Verlauf der Algebra lernen müssen, reale Situationen in Worten (verbales Modell), algebraisch (algebraisches oder, wie Mathematiker oft sagen, analytisches Modell), grafisch (Graphik oder geometrisches Modell). Der gesamte erste Abschnitt Lehrbuch(Kapitel 1-5) war dem Studium der mathematischen Sprache gewidmet, mit der analytische Modelle beschrieben werden.

Ab Kapitel 6 werden wir nicht nur neue analytische, sondern auch grafische (geometrische) Modelle untersuchen. Sie werden unter Verwendung einer Koordinatenlinie aufgebaut, Koordinatenebene. Diese Konzepte sind Ihnen aus dem Mathematikunterricht der Klassen 5-6 ein wenig bekannt.

Gerade /, auf der die Initiale Punkt O (Referenzpunkt), Skala (einzeln Liniensegment, d. h. ein Segment, dessen Länge gleich 1) und der positiven Richtung angenommen wird, wird als Koordinatenlinie oder Koordinatenachse bezeichnet (Abb. 7); Es wird auch der Begriff "x-Achse" verwendet.

Jede Zahl entspricht einem einzelnen Punkt auf der Linie. Beispielsweise entspricht die Zahl 3,5 dem Punkt M (Abb. 8), der vom Ursprung entfernt ist, d. h. vom Punkt O, in einem Abstand von 3,5 (auf einer gegebenen Skala) und vom Punkt O verschoben ist in eine bestimmte (positive) Richtung. Die Zahl -4 entspricht dem Punkt P (siehe Fig. 8), der vom Punkt O in einem Abstand von 4 entfernt und vom Punkt O in die negative Richtung verschoben ist, d.h. in die entgegengesetzte Richtung zur gegebenen eines.

Auch das Umgekehrte gilt: Jeder Punkt der Koordinatenlinie entspricht einer einzelnen Zahl.

Zum Beispiel entspricht Punkt K, der 5,4 von Punkt O in positiver (vorgegebener) Richtung entfernt ist, der Zahl 5,4, und Punkt N, der 2,1 von Punkt O in negativer Richtung entfernt ist, entspricht der Zahl - 2,1 (siehe Abb 8).

Diese Zahlen werden die Koordinaten der entsprechenden Punkte genannt. Also, in Abb. 8 Punkt K hat eine Koordinate von 5,4; Punkt P - Koordinate -4; Punkt M - Koordinate 3,5; Punkt N - Koordinate -2,1; Punkt O - Koordinate 0 (Null). Daher der Name - "Koordinatenlinie". Bildlich gesprochen ist die Koordinatenlinie ein dicht besiedeltes Haus, die Bewohner dieses Hauses sind Punkte, und die Koordinaten der Punkte sind die Anzahl der Wohnungen, in denen die Punkte-Bewohner wohnen.

Warum brauchen wir eine Koordinatenlinie? Warum einen Punkt durch eine Zahl und eine Zahl durch einen Punkt charakterisieren? Hat das einen Vorteil? Ja, gibt es.
Angenommen, auf der Koordinatenlinie sind beispielsweise zwei Punkte angegeben: A - mit der Koordinate o und B - mit der Koordinate b (normalerweise schreiben sie in solchen Fällen kürzer:
A(a), B(b)). Angenommen, wir müssen den Abstand d zwischen den Punkten A und B finden. Es stellt sich heraus, dass dies nicht der Fall ist geometrische Maße, verwenden Sie einfach die vorgefertigte Formel d \u003d (a - b) (Sie haben sie in Klasse 6 gelernt).
Also, in Abbildung 8 haben wir:

In dem Bemühen um Prägnanz der Argumentation einigten sich die Mathematiker darauf, anstelle des langen Ausdrucks „Punkt A der Koordinatenlinie mit Koordinate a“ einen kurzen Ausdruck zu verwenden: „Punkt a“ und dementsprechend auf der Zeichnung den Punkt darunter Berücksichtigung wird durch seine Koordinate bezeichnet. So zeigt Abbildung 9 eine Koordinatenlinie, auf der Punkte markiert sind – 4; - 2,1; 0; eines; 3,5; 5.4.

Die Koordinatenlinie gibt uns die Möglichkeit, frei von der algebraischen zur geometrischen Sprache und umgekehrt zu wechseln. Sei zum Beispiel die Zahl a kleiner als die Zahl b. In algebraischer Sprache wird dies geschrieben als: a< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Sowohl algebraische als auch geometrische Sprachen sind jedoch Varianten derselben mathematischen Sprache, die wir studieren.

Machen wir uns mit einigen weiteren Elementen der mathematischen Sprache vertraut, die mit der Koordinatenlinie verbunden sind.

1. Lassen Sie einen Punkt a auf der Koordinatenlinie markieren. Betrachten Sie alle Punkte, die auf der Linie rechts vom Punkt a liegen, und markieren Sie den entsprechenden Teil mit einer Koordinatenlinienschraffur (Abb. 10). Diese Menge von Punkten (Zahlen) wird als offener Strahl bezeichnet und mit (a, + oo) bezeichnet, wobei das Zeichen + oo lautet: „plus unendlich“; sie ist durch die Ungleichung x > a gekennzeichnet (mit dz meinen wir jeden Punkt des Balkens).

Bitte beachten Sie: Punkt a gehört nicht zu einem offenen Balken, aber wenn dieser Punkt an einem offenen Balken befestigt werden muss, schreiben Sie x\u003e a oder und übermalen Sie entsprechend Punkt b in der Zeichnung (Abb. 13);

für (-oo, b) verwenden wir auch den Begriff Strahl.

3. Auf der Koordinatenlinie seien die Punkte a und b markiert, und< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

Diese Menge (von Zahlen) wird Intervall genannt und mit (a, b) bezeichnet.

Sie ist durch eine strikte doppelte Ungleichung a gekennzeichnet< х < b (под х понимается любая точка интервала).

Bitte beachten Sie: Das Intervall (a, b) ist der Schnittpunkt (gemeinsamer Teil) zweier offener Strahlen (-oo, b) und (a, + oo) - dies ist deutlich in Abbildung 15 zu sehen.

Wenn wir seine Enden zum Intervall (a, b) hinzufügen, also die Punkte a und b, dann erhalten wir das Segment [a, b] (Abb. 16),

die durch eine nicht strenge doppelte Ungleichung a gekennzeichnet ist< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

Das Segment [a, b] ist der Schnittpunkt (gemeinsamer Teil) zweier Strahlen (-oo, b] und und , der durch doppelte Ungleichungen gekennzeichnet ist: a< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

Wir haben also fünf neue Begriffe der mathematischen Sprache eingeführt: Strahl, offener Strahl, Intervall, Segment, Halbintervall. Es gibt auch einen allgemeinen Begriff: Zahlenlücken.

Die Koordinatenlinie selbst wird auch als numerisches Intervall betrachtet; dafür wird die Schreibweise (-oo, +oo) verwendet.

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A. V. Pogorelov, Geometrie für die Klassen 7-11, Lehrbuch für Bildungseinrichtungen