Die Grenze der Zahlenfolge. Wie beweist man, dass die Folge konvergiert? Grundlegende Eigenschaften konvergenter Folgen Arten von Folgen

Definition von Sequenz- und Funktionsgrenzen, Eigenschaften von Grenzen, erste und zweite bemerkenswerte Grenze, Beispiele.

konstante Zahl a genannt Grenze Sequenzen(x n) wenn es zu jeder beliebigen kleinen positiven Zahl ε > 0 eine Zahl N gibt, so dass alle Werte x n, für die n > N, die Ungleichung erfüllen

Schreiben Sie es wie folgt: oder x n → a.

Ungleichung (6.1) ist äquivalent zur doppelten Ungleichung

a-ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, beginnend bei einer Zahl n>N, liegen innerhalb des Intervalls (a-ε , a+ε), d.h. in eine beliebige kleine ε-Nachbarschaft des Punktes fallen a.

Eine Folge, die eine Grenze hat, wird aufgerufen konvergierend, sonst - abweichend.

Der Begriff des Grenzwerts einer Funktion ist eine Verallgemeinerung des Begriffs des Grenzwerts einer Folge, da der Grenzwert einer Folge als Grenzwert der Funktion x n = f(n) eines ganzzahligen Arguments betrachtet werden kann n.

Gegeben sei eine Funktion f(x) und sei a - Grenzpunkt der Definitionsbereich dieser Funktion D(f), d.h. ein solcher Punkt, dessen Umgebung Punkte der Menge D(f) enthält, die sich von unterscheiden a. Punkt a kann zur Menge D(f) gehören oder nicht.

Bestimmung 1. Die konstante Zahl A wird aufgerufen Grenze Funktionen f(x) bei x→ a if für eine beliebige Folge (x n ) von Argumentwerten tendenziell a, haben die entsprechenden Folgen (f(x n)) denselben Grenzwert A.

Diese Definition heißt Definition des Grenzwertes einer Funktion nach Heine, oder " in der Sprache der Sequenzen”.

Bestimmung 2. Die konstante Zahl A wird aufgerufen Grenze Funktionen f(x) bei x→a wenn man für eine beliebige, beliebig kleine positive Zahl ε δ >0 (abhängig von ε) finden kann, so dass für alle gilt x, die in der ε-Nachbarschaft der Zahl liegen a, d.h. zum x Befriedigung der Ungleichheit
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Diese Definition heißt Definition des Grenzwertes einer Funktion nach Cauchy, oder „in der Sprache ε - δ"

Die Definitionen 1 und 2 sind gleichwertig. Wenn die Funktion f(x) als x → a gilt Grenze gleich A, dies wird geschrieben als

Für den Fall, dass die Folge (f(x n)) für jedes Näherungsverfahren unbegrenzt zunimmt (oder abnimmt). x an deine Grenze a, dann werden wir sagen, dass die Funktion f(x) hat unendliche Grenze, und schreibe es so:

Eine Variable (d. h. eine Folge oder Funktion), deren Grenzwert Null ist, wird aufgerufen unendlich klein.

Eine Variable, deren Grenzwert gleich unendlich ist, wird aufgerufen unendlich groß.

Um die Grenze in der Praxis zu finden, verwenden Sie die folgenden Sätze.

Satz 1 . Wenn jede Grenze existiert

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Kommentar. Ausdrücke der Form 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ sind unbestimmt, z. B. das Verhältnis zweier infinitesimaler oder unendlich großer Größen, und das Auffinden einer solchen Grenze nennt man „Unsicherheitsoffenbarung“.

Satz 2.

diese. es ist möglich, bei einem konstanten Exponenten zur Basis des Grads zu gehen, insbesondere

Satz 3.

(6.11)

wo e» 2,7 ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Die Formeln (6.10) und (6.11) heißen erster bemerkenswerter Grenzwert und zweiter bemerkenswerter Grenzwert.

In der Praxis werden auch die Folgerungen aus Formel (6.11) verwendet:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

insbesondere die Grenze

Wenn x → a und gleichzeitig x > a, dann schreibe x → a + 0. Wenn insbesondere a = 0, dann schreibe +0 anstelle des Zeichens 0+0. Ebenso, wenn x→a und gleichzeitig x und werden entsprechend benannt. rechte Grenze und linke Grenze Funktionen f(x) am Punkt a. Damit der Grenzwert der Funktion f(x) als x→ a existiert, ist dies notwendig und ausreichend . Die Funktion f(x) wird aufgerufen kontinuierlich am Punkt x 0 wenn Grenze

(6.15)

Bedingung (6.15) kann umgeschrieben werden als:

Das heißt, der Übergang zum Grenzwert unter dem Vorzeichen einer Funktion ist möglich, wenn sie an einem bestimmten Punkt stetig ist.

Wenn Gleichheit (6.15) verletzt ist, dann sagen wir das bei x = xo Funktion f(x) Es hat Lücke. Betrachten Sie die Funktion y = 1/x. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die Menge R, außer für x = 0. Der Punkt x = 0 ist ein Grenzpunkt der Menge D(f), da in jeder seiner Umgebungen, d. h. jedes offene Intervall, das den Punkt 0 enthält, enthält Punkte aus D(f), gehört aber selbst nicht zu dieser Menge. Der Wert f(x o)= f(0) ist nicht definiert, also hat die Funktion an der Stelle x o = 0 eine Unstetigkeit.

Die Funktion f(x) wird aufgerufen rechts an einem Punkt durchgehend x o wenn Grenze

und links an einem Punkt durchgehend x o wenn Grenze

Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt x o ist gleichbedeutend mit seiner Stetigkeit an dieser Stelle sowohl rechts als auch links.

Damit eine Funktion an einem Punkt stetig ist x o, zum Beispiel auf der rechten Seite, ist es erstens notwendig, dass es eine endliche Grenze gibt, und zweitens, dass diese Grenze gleich f(x 0 ) ist. Wenn also mindestens eine dieser beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, weist die Funktion eine Lücke auf.

1. Wenn die Grenze existiert und nicht gleich f(x o) ist, dann sagen sie das Funktion f(x) am Punkt xo hat Bruch erster Art, oder springen.

2. Wenn die Grenze +∞ oder -∞ ist oder nicht existiert, dann sagen sie das in Punkt x o Die Funktion hat eine Pause zweite Art.

Zum Beispiel hat die Funktion y = ctg x als x → +0 einen Grenzwert gleich +∞ , was bedeutet, dass sie an der Stelle x=0 eine Unstetigkeit zweiter Art hat. Funktion y = E(x) (ganzzahliger Teil von x) an Punkten mit ganzzahligen Abszissen Unstetigkeiten erster Art oder Sprünge aufweist.

Eine Funktion, die an jedem Punkt des Intervalls stetig ist, wird aufgerufen kontinuierlich in . Eine stetige Funktion wird durch eine durchgezogene Kurve dargestellt.

Viele Probleme, die mit dem kontinuierlichen Wachstum einer bestimmten Menge verbunden sind, führen zu der zweiten bemerkenswerten Grenze. Solche Aufgaben sind zum Beispiel: das Wachstum der Einlage nach dem Zinseszinsgesetz, das Wachstum der Landesbevölkerung, der Zerfall eines radioaktiven Stoffes, die Vermehrung von Bakterien etc.

In Betracht ziehen Beispiel von Ya. I. Perelman, was die Interpretation der Zahl angibt e beim Zinseszinsproblem. Nummer e es gibt eine Grenze . Bei Sparkassen werden dem gebundenen Kapital jährlich Zinsgelder zugeführt. Wird die Verbindung öfter hergestellt, wächst das Kapital schneller, da ein großer Betrag an der Zinsbildung beteiligt ist. Nehmen wir ein rein theoretisches, stark vereinfachtes Beispiel. Lassen Sie die Bank 100 den setzen. Einheiten zu 100 % pro Jahr. Wird dem Anlagekapital erst nach einem Jahr verzinsliches Geld zugeführt, so sind zu diesem Zeitpunkt 100 den. Einheiten wird in 200 den verwandeln. Mal sehen, was aus 100 den wird. Einheiten, wenn dem gebundenen Kapital alle sechs Monate Zinsgelder zugeführt werden. Nach einem halben Jahr 100 den. Einheiten wird um 100 × 1,5 = 150 und in weiteren sechs Monaten um 150 × 1,5 = 225 (Geldeinheiten) wachsen. Wenn der Beitritt alle 1/3 des Jahres erfolgt, dann nach einem Jahr 100 den. Einheiten wird zu 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (den. Einheiten). Wir werden den Zeitrahmen für das Hinzufügen von Zinsgeldern auf 0,1 Jahr, 0,01 Jahr, 0,001 Jahr usw. erhöhen. Dann aus 100 den. Einheiten ein Jahr später:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. Einheiten),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. Einheiten),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. Einheiten).

Bei einer unbegrenzten Reduzierung der Beitrittsbedingungen wächst das angesammelte Kapital nicht unbegrenzt, sondern nähert sich einer bestimmten Grenze von etwa 271. Das zu 100 % pro Jahr platzierte Kapital kann sich nicht mehr als um das 2,71-fache erhöhen, selbst wenn die aufgelaufenen Zinsen wären hinzugefügt, um die Hauptstadt jede Sekunde, weil die Grenze

Beispiel 3.1. Beweisen Sie anhand der Definition des Grenzwertes einer Zahlenfolge, dass die Folge x n = (n-1)/n einen Grenzwert gleich 1 hat.

Lösung. Wir müssen beweisen, dass es für ε > 0 eine natürliche Zahl N gibt, sodass für alle n > N die Ungleichung |x n -1| gilt< ε

Nehmen Sie ein beliebiges ε > 0. Da x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n ist, reicht es aus, die Ungleichung 1/n zu lösen, um N zu finden<ε. Отсюда n>1/ε und damit N als ganzzahliger Teil von 1/ε N = E(1/ε). Damit haben wir bewiesen, dass die Grenze .

Lösung. Wenden Sie den Grenzwertsummensatz an und finden Sie den Grenzwert für jeden Term. Da n → ∞, gehen Zähler und Nenner jedes Terms gegen unendlich, und wir können den Quotientengrenzsatz nicht direkt anwenden. Deshalb transformieren wir zuerst x n, indem Zähler und Nenner des ersten Terms durch dividiert werden n 2, und der zweite n. Dann finden wir unter Anwendung des Quotienten-Grenzsatzes und des Summen-Grenzsatzes:

Beispiel 3.3. . Finden .

Hier haben wir den Gradgrenzensatz verwendet: Der Grenzwert eines Grades ist gleich dem Grad des Grenzwertes der Basis.

Beispiel 3.4. Finden ( ).

Lösung. Es ist unmöglich, den Differenzengrenzsatz anzuwenden, da wir eine Unschärfe der Form ∞-∞ haben. Lassen Sie uns die Formel des allgemeinen Begriffs umwandeln:

Beispiel 3.5. Gegeben sei eine Funktion f(x)=2 1/x . Beweisen Sie, dass der Grenzwert nicht existiert.

Lösung. Wir verwenden die Definition 1 des Grenzwerts einer Funktion in Bezug auf eine Folge. Nehmen Sie eine Folge ( x n ), die gegen 0 konvergiert, d.h. Zeigen wir, dass sich der Wert f(x n)= für verschiedene Folgen unterschiedlich verhält. Sei x n = 1/n. Offensichtlich dann die Grenze Wählen wir jetzt als x n eine Folge mit einem gemeinsamen Term x n = -1/n, der ebenfalls gegen Null geht. Daher gibt es keine Begrenzung.

Beispiel 3.6. Beweisen Sie, dass der Grenzwert nicht existiert.

Lösung. Seien x 1 , x 2 ,..., x n ,... eine Folge für die
. Wie verhält sich die Folge (f(x n)) = (sin x n ) für verschiedene x n → ∞

Wenn x n \u003d p n, dann Sünde x n \u003d Sünde (S n) = 0 für alle n und begrenzen Sie If
xn=2 p n+ p /2, dann sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 für alle n und damit die Grenze. Somit existiert nicht.

Zahlenfolgen sind unendliche Mengen von Zahlen. Beispiele für Folgen sind: die Folge aller Glieder einer unendlichen geometrischen Folge, die Folge von Näherungswerten ( x 1 = 1, x 2 = 1,4, x 3= 1,41, ...), die Folge von Umfängen von Regular n-gons in einem bestimmten Kreis eingeschrieben. Lassen Sie uns den Begriff einer Zahlenfolge verfeinern.

Bestimmung 1. Wenn jede Zahl n aus der natürlichen Zahlenreihe 1, 2, 3,..., P,... eine reelle Zahl zugeordnet xp, dann die Menge der reellen Zahlen

x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , …(2.1)

genannt Zahlenfolge, oder nur eine Folge. .

Zahlen x1, x2, x 3, ..., xp,... werde anrufen Elemente, oder Mitglieder Sequenzen (2.1), Symbol x S - Allgemeines ein Element oder ein Glied einer Sequenz und die Zahl P - seine Nummer. Kurz gesagt wird die Sequenz (2.1) durch das Symbol bezeichnet (x p ). Zum Beispiel das Zeichen (1/ n) bezeichnet eine Zahlenfolge

Mit anderen Worten kann eine Folge als eine unendliche Menge von nummerierten Elementen oder eine Menge von Zahlenpaaren verstanden werden (p, xp), bei der die erste Zahl die aufeinanderfolgenden Werte 1, 2, 3, ... annimmt. Eine Sequenz gilt als gegeben, wenn ein Verfahren zum Erhalten eines ihrer Elemente angegeben ist. Zum Beispiel die Formel x n = -1 + (-1)n definiert die Folge 0, 2, 0, 2,... .

Geometrisch wird die Folge auf der Zahlenachse als Folge von Punkten dargestellt, deren Koordinaten gleich den entsprechenden Gliedern der Folge sind. Auf Abb. 2.1 zeigt die Sequenz ( x n} = {1/n) auf dem Zahlenstrahl.

Das Konzept einer konvergenten Folge

Bestimmung 2. Nummer a genannt Sequenzlimit{x n} , wenn für eine positive Zahl ε Es gibt eine Nummer N, das für alle n > N die Ungleichheit

Eine Folge, die eine Grenze hat, wird aufgerufen konvergierend. Wenn die Folge eine Zahl als Grenze hat a, dann wird es so geschrieben:

Eine Sequenz ohne Limit wird aufgerufen abweichend.

Bestimmung 3. Eine Folge, die eine Zahl als Grenze hat a= 0 aufgerufen infinitesimale Folge.

Bemerkung 1. Lassen Sie die Folge ( x n) hat als Grenze die Zahl a. Dann ist die Folge (α n} = {xn-a) ist unendlich klein, d.h. irgendein Element x S konvergente Folge mit Grenzwert a, kann dargestellt werden als

wo α n- Element einer infinitesimalen Folge (α n} .

Bemerkung 2. Ungleichheit (2.2) ist äquivalent zu Ungleichungen (siehe Eigenschaft 4 des Moduls einer Zahl aus § 1.5)

Dies bedeutet, dass bei n > N alle Elemente der Folge ( x n) befinden sich in ε-Nachbarschaft Punkte a(Abb. 2.2) und die Zahl N wird durch den Wert von ε bestimmt.

Es ist interessant, diese Definition geometrisch zu interpretieren. Da die Folge eine unendliche Menge von Zahlen ist, dann, wenn sie konvergiert, in jeder ε-Umgebung des Punktes a auf der reellen Linie gibt es unendlich viele Punkte - Elemente dieser Folge, während es außerhalb der ε-Umgebung eine endliche Anzahl von Elementen gibt. Daher wird oft der Grenzwert einer Folge genannt Verdickungspunkt.

Bemerkung 3. Unbegrenzte Sequenz hat keine Finale Grenze. Allerdings kann sie haben endlos Grenze, die in der folgenden Form geschrieben wird:

Wenn gleichzeitig ab einer bestimmten Zahl alle Glieder der Folge positiv (negativ) sind, dann schreibe

Wenn ein ( x n) eine infinitesimale Folge ist, dann ist (1 /x p} - eine unendliche Folge die einen unendlichen Grenzwert im Sinne von (2.3) hat, und umgekehrt.

Lassen Sie uns Beispiele für konvergente und divergente Folgen geben.

Beispiel 1 Zeigen Sie anhand der Definition des Grenzwertes einer Folge, dass .

Lösung. Nehmen Sie eine beliebige Zahl ε > 0. Da

damit die Ungleichung (2.2) gilt, genügt es, die Ungleichung 1 / ( n + 1) < ε, откуда получаем n> (1 - ε) / ε. Genug zum Mitnehmen N= [(1 - ε)/ε] (der ganzzahlige Teil der Zahl (1 - ε)/ ε)* damit die Ungleichung |x p - 1| < ε выполнялосьпривсех n > N.

* Symbol [ a] bedeutet den ganzzahligen Teil der Zahl a, d.h. größte ganze Zahl nicht überschreiten a. Beispiel: =2, =2, =0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24.

Beispiel 2 Zeigen Sie, dass die Folge ( x n} = (-1)n, oder -1, 1, -1, 1,... hat keine Begrenzung.

Lösung. In der Tat, welche Zahl auch immer wir als Grenze annehmen: 1 oder -1, mit ε< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x S: Alle ungeradzahligen Elemente sind -1, geradzahlige Elemente sind 1.

Grundlegende Eigenschaften konvergenter Folgen

Stellen wir die Haupteigenschaften konvergenter Folgen vor, die im Laufe der höheren Mathematik in Form von Sätzen formuliert werden.

1.Wenn alle Elemente einer infinitesimalen Folge{x n} gleich der gleichen Zahl c sind, dann ist c = 0.

2. Eine konvergente Folge hat nur einen Grenzwert.

3.Die konvergente Folge ist beschränkt.

4.Summe (Differenz) konvergenter Folgen{x n} und{ja n} ist eine konvergente Folge, deren Grenzwert gleich der Summe (Differenz) der Grenzwerte der Folgen ist{x S} und{ja p}.

5.Produkt konvergenter Folgen{x n} und{ja n} ist eine konvergente Folge, deren Grenzwert gleich dem Produkt der Grenzwerte der Folgen ist{x n} und{ja n} .

6.Quotient zweier konvergenter Folgen{x n} und{ja n} vorausgesetzt, dass die Grenze der Sequenz{ja n} nicht Null ist, gibt es eine konvergente Folge, deren Grenzwert gleich dem Quotienten der Grenzwerte der Folgen ist{x n} und{ja p} .

7. Wenn die Elemente einer konvergenten Folge{x n} die Ungleichung x p ≥ b (x p ≤ b) ab einer Zahl erfüllen, dann erfüllt der Grenzwert a dieser Folge auch die Ungleichung a ≥ b (a ≤ b).

8.Das Produkt einer infinitesimalen Folge durch eine beschränkte Folge oder durch eine Zahl ist eine infinitesimale Folge.

9.Das Produkt einer endlichen Anzahl infinitesimaler Folgen ist eine infinitesimale Folge.

Betrachten wir die Anwendung dieser Eigenschaften anhand von Beispielen.

Beispiel 3. Finden Sie die Grenze.

Lösung. Bei n Zähler und Nenner des Bruchs gehen gegen unendlich, d.h. Der Quotientengrenzsatz kann nicht sofort angewendet werden, da er die Existenz endlicher Grenzen von Folgen annimmt. Wir transformieren diese Folge, indem wir Zähler und Nenner durch dividieren n 2. Wenn wir dann die Sätze über den Grenzwert des Quotienten, den Grenzwert der Summe und wieder den Grenzwert des Quotienten anwenden, finden wir nacheinander

Beispiel 4 x S) = bei P.

Lösung. Zähler und Nenner sind hier, wie im vorigen Beispiel, nicht endlich, daher müssen zunächst die entsprechenden Transformationen durchgeführt werden. Dividieren von Zähler und Nenner durch n, wir bekommen

Da der Zähler das Produkt einer infinitesimalen Folge und einer beschränkten Folge enthält, erhalten wir schließlich nach Eigenschaft 8

Beispiel 5 Finden Sie den Grenzwert der Folge ( x n) = bei P .

Lösung. Hier ist es unmöglich, den Satz über den Grenzwert der Summe (Differenz) von Folgen direkt anzuwenden, da es keine endlichen Grenzwerte der Terme in der Formel für ( x n} . Multiplizieren und dividieren Sie die Formel für ( x n) zum konjugierten Ausdruck :

Zahl z

Betrachten Sie die Reihenfolge ( x n} , deren gemeinsamer Begriff durch die Formel ausgedrückt wird

Im Laufe der mathematischen Analyse wird bewiesen, dass diese Sequenz steigt monoton an und hat eine Grenze. Diese Grenze wird Zahl genannt e. Also per Definition

Nummer e spielt in der Mathematik eine große Rolle. Als nächstes wird ein Verfahren zur Berechnung mit jeder erforderlichen Genauigkeit betrachtet. Beachten Sie hier, dass die Nummer e ist irrational; sein ungefährer Wert ist e = 2,7182818... .

3. Begrenzung der Zahlenfolge

3.1. Das Konzept einer Zahlenfolge und einer Funktion eines natürlichen Arguments

Definition 3.1. Eine Zahlenfolge (im Folgenden einfach eine Folge) ist eine geordnete zählbare Menge von Zahlen

{x1, x2, x3, ... }.

Achten Sie auf zwei Punkte.

1. Es gibt unendlich viele Zahlen in der Folge. Wenn es endlich viele Zahlen gibt, ist dies keine Folge!

2. Alle Zahlen sind geordnet, dh in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet.

Im Folgenden verwenden wir häufig die Abkürzung für die Folge ( xn}.

Bestimmte Operationen können auf Sequenzen ausgeführt werden. Betrachten wir einige von ihnen.

1. Multiplikation einer Folge mit einer Zahl.

Folge c×{ xn) ist eine Folge mit Elementen ( c× xn), also

c×{ x1, x2, x3, ... }={c× x1, s× x2, s× x3, ... }.

2. Addition und Subtraktion von Folgen.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

oder genauer gesagt

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Multiplikation von Sequenzen.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. Teilung von Sequenzen.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Natürlich wird davon ausgegangen, dass in diesem Fall alle yn¹ 0.

Definition 3.2. Folge ( xn) wird von oben begrenzt genannt, wenn https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height ist = "25 src=">. Eine Folge (xn) heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.

3.2. Sequenzlimit. Unendlich große Folge

Definition 3.3. Nummer a heißt Grenzwert der Folge ( xn) bei n gegen unendlich tendierend, wenn

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> wenn .

Sie sagen, wenn .

Definition 3.4. Folge ( xn) heißt unendlich groß wenn (d.h. wenn ).

3.3. Eine infinitesimale Folge.

Definition 3.5. Eine Folge (xn) heißt infinitesimal wenn , also wenn .

Infinitesimalfolgen haben die folgenden Eigenschaften.

1. Die Summe und Differenz von infinitesimalen Folgen ist auch eine infinitesimale Folge.

2. Eine infinitesimale Folge ist beschränkt.

3. Das Produkt einer infinitesimalen Folge und einer beschränkten Folge ist eine infinitesimale Folge.

4. Wenn ( xn) ist eine unendlich große Folge, dann ausgehend von einigen N, die Folge (1/ xn), und es ist eine infinitesimale Folge. Umgekehrt, wenn ( xn) ist eine infinitesimale Folge und alles xn von Null verschieden sind, dann (1/ xn) ist eine unendlich große Folge.

3.4. konvergente Folgen.

Definition 3.6. Wenn es ein Endlimit gibt https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. Wenn , dann .

3.5. Übergang zur Grenze der Ungleichheiten.

Satz 3.1. Wenn, ausgehend von einigen N, alle xn ³ b, dann .

Folge. Wenn, ausgehend von einigen N, alle xn ³ yn, dann .

Kommentar. Beachten Sie, dass if, beginnend mit einigen N, alle xn > b, dann kann die strenge Ungleichung beim Übergang zur Grenze nicht-streng werden.

Satz 3.2.("Theorem von zwei Polizisten") Wenn, ab einigen N, gelten die folgenden Eigenschaften

1..gif" width="163" height="33 src=">,

dann existiert.

3.6. Der Grenzwert einer monotonen Folge.

Definition 3.7. Folge ( xn) heißt monoton steigend, wenn überhaupt n xn+1 ³ xn.

Folge ( xn) heißt streng monoton steigend, wenn überhaupt n xn+1> xn.

xn­.

Definition 3.8. Folge ( xn) heißt monoton fallend, wenn überhaupt n xn+1 £ xn.

Folge ( xn) heißt streng monoton fallend, wenn überhaupt n xn+1< xn.

Beide Fälle werden mit dem Symbol kombiniert xn¯.

Satz über die Existenz eines Grenzwertes einer monotonen Folge.

1. Wenn die Sequenz ( xn) monoton steigend (fallend) und von oben (von unten) begrenzt, dann hat es eine endliche Grenze gleich sup( xn) (inf( xn}).

2 Wenn die Sequenz ( xn) monoton zunimmt (abnimmt), aber nicht von oben (von unten) begrenzt ist, dann hat es eine Grenze von +¥ (-¥).

Basierend auf diesem Satz ist bewiesen, dass es eine sogenannte bemerkenswerte Grenze gibt

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Es wird als Sequenz Untersequenz bezeichnet ( xn}.

Satz 3.3. Wenn die Folge ( xn) konvergiert und sein Grenzwert ist a, dann konvergiert auch jede ihrer Teilfolgen und hat denselben Grenzwert.

Wenn ein ( xn) eine unendlich große Folge ist, dann ist auch jede ihrer Teilfolgen unendlich groß.

Bolzano-Weierstraß Lemma.

1. Aus jeder beschränkten Folge kann man eine Teilfolge extrahieren, die gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert.

2. Eine unendlich große Teilfolge kann aus jeder unbeschränkten Folge extrahiert werden.

Auf der Grundlage dieses Lemmas ist eines der Hauptresultate der Grenzwerttheorie bewiesen - Bolzano-Cauchy Konvergenzkriterium.

Damit die Reihenfolge ( xn) gab es eine endliche Grenze, es ist notwendig und ausreichend, dass

Eine Folge, die diese Eigenschaft erfüllt, heißt Fundamentalfolge oder Folge, die in sich selbst konvergiert.

Für viele Menschen ist die mathematische Analyse nur eine Ansammlung unverständlicher Zahlen, Symbole und Definitionen, die weit vom wirklichen Leben entfernt sind. Die Welt, in der wir existieren, ist jedoch auf numerischen Mustern aufgebaut, deren Identifizierung nicht nur hilft, etwas über die Welt um uns herum zu lernen und ihre komplexen Probleme zu lösen, sondern auch alltägliche praktische Aufgaben zu vereinfachen. Was meint ein Mathematiker, wenn er sagt, dass eine Zahlenfolge konvergiert? Dies sollte genauer besprochen werden.

klein?

Stellen Sie sich Matroschka-Puppen vor, die ineinander passen. Ihre Größen, in Form von Zahlen geschrieben, beginnend mit dem größten und endend mit dem kleinsten von ihnen, bilden eine Sequenz. Wenn Sie sich unendlich viele solcher leuchtenden Figuren vorstellen, wird die resultierende Reihe fantastisch lang. Dies ist eine konvergente Zahlenfolge. Und es tendiert gegen Null, da die Größe jeder nachfolgenden Nistpuppe, die katastrophal abnimmt, allmählich zu nichts wird. So ist es leicht zu erklären: was unendlich klein ist.

Ein ähnliches Beispiel wäre eine Straße, die in die Ferne führt. Und die visuellen Dimensionen des vom Betrachter davonfahrenden Autos werden allmählich schrumpfend zu einem formlosen Fleck, der einem Punkt ähnelt. So wird das Auto wie ein Objekt, das sich in eine unbekannte Richtung fortbewegt, unendlich klein. Die Parameter des spezifizierten Körpers werden niemals im wahrsten Sinne des Wortes Null sein, sondern in der Endgrenze immer zu diesem Wert tendieren. Daher konvergiert diese Folge wieder gegen Null.

Rechnen wir alles Tropfen für Tropfen durch

Stellen wir uns eine reale Lebenssituation vor. Der Arzt verordnete dem Patienten die Einnahme des Medikaments, beginnend mit zehn Tropfen pro Tag und jeden nächsten Tag mit zwei weiteren. Und so schlug der Arzt vor, fortzufahren, bis der Inhalt des Arzneimittelfläschchens, dessen Volumen 190 Tropfen beträgt, aufgebraucht ist. Aus dem Vorhergehenden folgt, dass die Anzahl solcher, bei Tag gemalt, die folgende Zahlenreihe sein wird: 10, 12, 14 und so weiter.

Wie kann man den Zeitpunkt des Bestehens des gesamten Kurses und die Anzahl der Mitglieder der Sequenz herausfinden? Hier kann man natürlich die Tropfen primitiv zählen. Aber angesichts des Musters ist es viel einfacher, die Formel mit einem Schritt von d = 2 zu verwenden. Und mit dieser Methode finden Sie heraus, dass die Anzahl der Mitglieder der Zahlenreihe 10 ist. In diesem Fall ist a 10 = 28. Die Mitgliedsnummer gibt die Anzahl der Tage an, an denen das Medikament eingenommen wurde, und 28 entspricht der Anzahl Tropfen, die der Patient am letzten Tag verwenden sollte. Konvergiert diese Folge? Nein, denn trotz der Begrenzung auf 10 von unten und 28 von oben hat eine solche Zahlenreihe im Gegensatz zu den vorherigen Beispielen keine Begrenzung.

Was ist der Unterschied?

Versuchen wir nun zu klären: wann sich die Zahlenreihe als konvergente Folge herausstellt. Eine solche Definition steht, wie sich aus dem Obigen schließen lässt, in direktem Zusammenhang mit dem Begriff einer endlichen Grenze, deren Vorhandensein den Kern der Problematik offenbart. Was ist also der grundlegende Unterschied zwischen den zuvor genannten Beispielen? Und warum kann im letzten von ihnen die Zahl 28 nicht als Grenze der Zahlenreihe X n = 10 + 2(n-1) angesehen werden?

Um dieses Problem zu klären, betrachten Sie eine andere Folge, die durch die folgende Formel gegeben ist, wobei n zur Menge der natürlichen Zahlen gehört.

Diese Mitgliedergemeinschaft ist eine Menge gewöhnlicher Brüche, deren Zähler 1 ist und deren Nenner ständig zunimmt: 1, ½ ...

Außerdem nähert sich jeder nachfolgende Vertreter dieser Reihe, bezogen auf die Position auf dem Zahlenstrahl, zunehmend 0. Das bedeutet, dass eine solche Nachbarschaft entsteht, in der sich die Punkte um Null häufen, was die Grenze ist. Und je näher sie daran sind, desto dichter wird ihre Konzentration auf den Zahlenstrahl. Und der Abstand zwischen ihnen verringert sich katastrophal und wird unendlich klein. Dies ist ein Zeichen dafür, dass die Sequenz konvergiert.

In ähnlicher Weise sind die in der Abbildung gezeigten mehrfarbigen Rechtecke beim Wegbewegen im Raum visuell überfüllter, wobei die hypothetische Grenze vernachlässigbar wird.

Unendlich große Sequenzen

Nachdem wir die Definition einer konvergenten Folge analysiert haben, wenden wir uns nun Gegenbeispielen zu. Viele von ihnen sind den Menschen seit der Antike bekannt. Die einfachsten Varianten divergierender Folgen sind die Reihen natürlicher und gerader Zahlen. Sie werden auf andere Weise als unendlich groß bezeichnet, da ihre Mitglieder, die ständig wachsen, sich immer mehr der positiven Unendlichkeit nähern.

Als Beispiele hierfür können auch alle arithmetischen und geometrischen Progressionen mit einer Schrittweite bzw. einem Nenner größer Null dienen. Abweichende Folgen werden außerdem als Zahlenreihen betrachtet, die überhaupt keine Grenze haben. Zum Beispiel X n = (–2) n –1 .

Fibonacci-Folge

Der praktische Nutzen der zuvor erwähnten Zahlenreihe für die Menschheit ist unbestreitbar. Aber es gibt unzählige andere großartige Beispiele. Eine davon ist die Fibonacci-Folge. Jedes seiner Mitglieder, die mit eins beginnen, ist die Summe der vorherigen. Seine ersten beiden Vertreter sind 1 und 1. Der dritte 1+1=2, der vierte 1+2=3, der fünfte 2+3=5. Außerdem folgen nach der gleichen Logik die Zahlen 8, 13, 21 und so weiter.

Diese Zahlenreihe wächst ins Unendliche und hat keine endliche Grenze. Aber es hat eine andere wunderbare Eigenschaft. Das Verhältnis jeder vorherigen Zahl zur nächsten nähert sich in seinem Wert zunehmend 0,618.Hier können Sie den Unterschied zwischen einer konvergenten und einer divergenten Folge verstehen, denn wenn Sie eine Reihe erhaltener privater Divisionen vornehmen, hat das angegebene Zahlensystem eine endgültige Grenze gleich 0,618.

Fibonacci-Verhältnis-Folge

Die oben angegebenen Zahlenreihen werden häufig für praktische Zwecke zur technischen Analyse von Märkten verwendet. Dies beschränkt sich jedoch nicht auf seine Fähigkeiten, die die Ägypter und Griechen in der Antike kannten und in die Praxis umsetzen konnten. Dies beweisen die von ihnen gebauten Pyramiden und der Parthenon. Schließlich ist die Zahl 0,618 ein konstanter Koeffizient des goldenen Schnitts, der in alten Zeiten wohlbekannt war. Nach dieser Regel kann jedes beliebige Segment so geteilt werden, dass das Verhältnis seiner Teile mit dem Verhältnis zwischen dem größten der Segmente und der Gesamtlänge übereinstimmt.

Lassen Sie uns eine Reihe dieser Beziehungen aufbauen und versuchen, diese Sequenz zu analysieren. Die Zahlenreihe wird wie folgt sein: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 und so weiter. Wenn man auf diese Weise fortfährt, kann man verifizieren, dass die Grenze der konvergenten Folge tatsächlich 0,618 sein wird. Es ist jedoch notwendig, andere Eigenschaften dieser Regelmäßigkeit zu beachten. Hier scheinen die Zahlen zufällig zu gehen und überhaupt nicht in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge. Das bedeutet, dass diese konvergente Folge nicht monoton ist. Warum das so ist, wird weiter diskutiert.

Eintönigkeit und Begrenzung

Glieder der Zahlenreihe mit steigenden Zahlen können deutlich abnehmen (wenn x 1>x 2>x 3>...> x n>...) oder zunehmen (wenn x 1

Nachdem man die Zahlen dieser Reihe gemalt hat, kann man feststellen, dass eines seiner Mitglieder, die sich auf unbestimmte Zeit 1 nähern, diesen Wert niemals überschreiten wird. In diesem Fall heißt die konvergente Folge beschränkt. Dies geschieht immer dann, wenn es eine solche positive Zahl M gibt, die immer größer ist als jeder der Terme der Reihe modulo. Wenn eine Zahlenreihe Zeichen der Monotonie hat und einen Grenzwert hat und daher konvergiert, dann ist sie notwendigerweise mit einer solchen Eigenschaft ausgestattet. Und das Gegenteil muss nicht der Fall sein. Dies wird durch den Beschränktheitssatz für eine konvergente Folge belegt.

Die Anwendung solcher Beobachtungen in der Praxis erweist sich als sehr nützlich. Lassen Sie uns ein konkretes Beispiel geben, indem wir die Eigenschaften der Folge X n = n/n+1 untersuchen und ihre Konvergenz beweisen. Es ist leicht zu zeigen, dass es monoton ist, da (x n +1 - x n) eine positive Zahl für alle Werte von n ist. Der Grenzwert der Folge ist gleich der Zahl 1, was bedeutet, dass alle Bedingungen des obigen Satzes, auch Satz von Weierstraß genannt, erfüllt sind. Der Satz über die Beschränktheit einer konvergenten Folge besagt, dass sie sich, wenn sie einen Grenzwert hat, in jedem Fall als beschränkt erweist. Nehmen wir jedoch das folgende Beispiel. Die Zahlenreihe X n = (-1) n ist nach unten durch -1 und nach oben durch 1 begrenzt. Aber diese Folge ist nicht monoton, hat keinen Grenzwert und konvergiert daher nicht. Das heißt, die Existenz einer Grenze und Konvergenz folgt nicht immer aus der Beschränkung. Damit dies funktioniert, müssen die unteren und oberen Grenzen übereinstimmen, wie im Fall von Fibonacci-Verhältnissen.

Zahlen und Gesetze des Universums

Die einfachsten Varianten einer konvergenten und divergenten Folge sind vielleicht die Zahlenreihen X n = n und X n = 1/n. Die erste davon ist eine natürliche Zahlenreihe. Sie ist, wie bereits erwähnt, unendlich groß. Die zweite konvergente Folge ist begrenzt, und ihre Terme sind nahezu unendlich klein. Jede dieser Formeln verkörpert eine der Seiten des facettenreichen Universums und hilft einer Person, sich etwas Unerkennbares vorzustellen und zu berechnen, das für eine begrenzte Wahrnehmung in der Sprache der Zahlen und Zeichen unzugänglich ist.

Die Gesetze des Universums, die von vernachlässigbar bis unglaublich groß reichen, werden auch durch den Goldenen Schnitt von 0,618 ausgedrückt. Wissenschaftler glauben, dass es die Grundlage der Essenz der Dinge ist und von der Natur verwendet wird, um seine Teile zu bilden. Die Beziehungen zwischen den nächsten und den vorherigen Mitgliedern der Fibonacci-Reihe, die wir bereits erwähnt haben, vervollständigen nicht die Demonstration der erstaunlichen Eigenschaften dieser einzigartigen Reihe. Wenn wir den Quotienten der Division des vorherigen Terms durch den nächsten durch eins betrachten, erhalten wir eine Reihe von 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 und so weiter. Es ist interessant, dass diese begrenzte Folge konvergiert, sie ist nicht monoton, aber das Verhältnis der benachbarten extremen Zahlen von einem bestimmten Mitglied ist immer ungefähr gleich 0,382, was auch in der Architektur, der technischen Analyse und anderen Branchen verwendet werden kann.

Es gibt noch weitere interessante Koeffizienten der Fibonacci-Reihe, die alle in der Natur eine besondere Rolle spielen und auch vom Menschen für praktische Zwecke genutzt werden. Mathematiker sind sich sicher, dass sich das Universum nach einer bestimmten „goldenen Spirale“ entwickelt, die aus den angegebenen Koeffizienten gebildet wird. Mit ihrer Hilfe lassen sich viele Phänomene berechnen, die auf der Erde und im Weltraum auftreten, von der Vermehrung bestimmter Bakterien bis hin zur Bewegung ferner Kometen. Wie sich herausstellt, gehorcht der DNA-Code ähnlichen Gesetzen.

Abnehmende geometrische Progression

Es gibt einen Satz, der die Eindeutigkeit des Grenzwertes einer konvergenten Folge behauptet. Das bedeutet, dass es nicht zwei oder mehr Grenzen haben kann, was zweifellos wichtig ist, um seine mathematischen Eigenschaften zu finden.

Betrachten wir einige Fälle. Jede numerische Reihe, die aus Mitgliedern einer arithmetischen Folge besteht, ist divergent, mit Ausnahme des Falls mit einem Nullschritt. Gleiches gilt für eine geometrische Folge, deren Nenner größer als 1 ist. Die Grenzen solcher Zahlenreihen sind das „Plus“ oder „Minus“ von Unendlich. Wenn der Nenner kleiner als -1 ist, gibt es überhaupt keine Begrenzung. Andere Optionen sind ebenfalls möglich.

Betrachten Sie die Zahlenreihe, die durch die Formel X n = (1/4) n -1 gegeben ist. Auf den ersten Blick ist leicht zu erkennen, dass diese konvergente Folge beschränkt ist, da sie streng fallend ist und keinesfalls negative Werte annehmen kann.

Lassen Sie uns eine Reihe seiner Mitglieder hintereinander schreiben.

Erhalten: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0,00390625 und so weiter. Ganz einfache Berechnungen genügen, um zu verstehen, wie schnell eine gegebene geometrische Progression mit Nennern 0 ist

Grundlegende Sequenzen

Augustin Louis Cauchy, ein französischer Wissenschaftler, enthüllte der Welt viele Arbeiten zur mathematischen Analyse. Er definierte Konzepte wie Differential, Integral, Grenze und Kontinuität. Er untersuchte auch die grundlegenden Eigenschaften konvergenter Folgen. Um die Essenz seiner Ideen zu verstehen, ist es notwendig, einige wichtige Details zusammenzufassen.

Ganz am Anfang des Artikels wurde gezeigt, dass es solche Sequenzen gibt, für die es eine Nachbarschaft gibt, in der die Punkte, die die Mitglieder einer bestimmten Serie auf der realen Linie darstellen, beginnen, sich zu häufen und immer dichter aneinander zu reihen. Gleichzeitig nimmt der Abstand zwischen ihnen mit zunehmender Zahl des nächsten Repräsentanten ab und wird unendlich klein. Es stellt sich also heraus, dass in einer gegebenen Umgebung unendlich viele Vertreter einer gegebenen Reihe gruppiert sind, während es außerhalb davon eine endliche Anzahl von ihnen gibt. Solche Folgen nennt man fundamental.

Das berühmte Cauchy-Kriterium, das von einem französischen Mathematiker entwickelt wurde, zeigt deutlich, dass das Vorhandensein einer solchen Eigenschaft ausreicht, um zu beweisen, dass die Folge konvergiert. Das Gegenteil ist auch wahr.

Es sei darauf hingewiesen, dass diese Schlussfolgerung des französischen Mathematikers hauptsächlich von rein theoretischem Interesse ist. Ihre Anwendung in der Praxis wird als ziemlich kompliziert angesehen, daher ist es zur Klärung der Konvergenz von Reihen viel wichtiger, die Existenz eines endlichen Grenzwerts für eine Folge zu beweisen. Andernfalls gilt es als abweichend.

Bei der Lösung von Problemen sollte man auch die grundlegenden Eigenschaften konvergenter Folgen berücksichtigen. Sie werden unten vorgestellt.

Unendliche Summen

So berühmte Wissenschaftler der Antike wie Archimedes, Euklid, Eudoxus verwendeten die Summen unendlicher Zahlenreihen, um die Längen von Kurven, Volumen von Körpern und Flächen von Figuren zu berechnen. Insbesondere konnte auf diese Weise die Fläche des Parabelsegments ermittelt werden. Dazu wurde die Summe der Zahlenreihen einer geometrischen Folge mit q = 1/4 verwendet. Die Volumen und Flächen anderer willkürlicher Figuren wurden auf ähnliche Weise gefunden. Diese Option wurde als „Erschöpfungsmethode“ bezeichnet. Die Idee war, dass der untersuchte Körper mit komplexer Form in Teile zerlegt wurde, die Figuren mit leicht messbaren Parametern waren. Aus diesem Grund war es nicht schwierig, ihre Flächen und Volumen zu berechnen, und dann wurden sie zusammengezählt.

Übrigens sind ähnliche Aufgaben modernen Schulkindern sehr vertraut und finden sich in USE-Aufgaben. Die einzigartige Methode, die von entfernten Vorfahren gefunden wurde, ist bei weitem die einfachste Lösung. Auch wenn es nur zwei oder drei Teile gibt, in die die Zahl geteilt wird, ist die Addition ihrer Flächen immer noch die Summe der Zahlenreihe.

Viel später als die antiken griechischen Wissenschaftler Leibniz und Newton erlernten sie aufgrund der Erfahrung ihrer weisen Vorgänger die Gesetze der Integralrechnung. Die Kenntnis der Eigenschaften von Folgen half ihnen beim Lösen von Differentialgleichungen und algebraischen Gleichungen. Gegenwärtig bietet die Reihentheorie, die durch die Bemühungen vieler Generationen talentierter Wissenschaftler geschaffen wurde, die Möglichkeit, eine Vielzahl mathematischer und praktischer Probleme zu lösen. Und das Studium numerischer Folgen ist das Hauptproblem, das von der mathematischen Analyse seit ihren Anfängen gelöst wird.

Die Folge ist eines der Grundkonzepte der Mathematik. Die Folge kann aus Zahlen, Punkten, Funktionen, Vektoren usw. bestehen. Eine Folge gilt als gegeben, wenn ein Gesetz angegeben ist, nach dem jeder natürlichen Zahl n ein Element x n einer Menge zugeordnet ist. Die Folge wird als x 1 , x 2 , …, x n oder kurz (x n) geschrieben. Die Elemente x 1 , x 2 , ..., x n heißen Glieder der Folge, x 1 - das erste, x 2 - das zweite, x n - gemeinsames (n-tes) Glied der Folge.

Am häufigsten werden numerische Folgen betrachtet, dh Folgen, deren Mitglieder Zahlen sind. Die analytische Methode ist die einfachste Art, eine Zahlenfolge anzugeben. Dies geschieht mit einer Formel, die das n-te Glied der Folge x 1 durch seine Nummer n ausdrückt. Zum Beispiel, wenn

Ein anderer Weg ist rekurrent (vom lateinischen Wort Wiederholungen- „returning“), wenn die ersten paar Mitglieder der Sequenz und die Regel festgelegt sind, wodurch jedes nächste Mitglied durch die vorherigen berechnet werden kann. Zum Beispiel:

Beispiele für Zahlenfolgen sind die arithmetische Progression und die geometrische Progression.

Es ist interessant, das Verhalten der Folgenglieder zu verfolgen, wenn die Zahl n unbegrenzt zunimmt (die Tatsache, dass n unbegrenzt zunimmt, wird als n → ∞ geschrieben und lautet: „n strebt gegen unendlich“).

Betrachten Sie eine Folge mit einem gemeinsamen Term x n = 1/n: x 1 = 1, x 2 = 1/2; x 3 \u003d 1/3, ..., x 100 \u003d 1/100, .... Alle Mitglieder dieser Folge sind ungleich Null, aber je größer n, desto weniger unterscheidet sich x n von Null. Die Terme dieser Folge gehen gegen Null, wenn n unendlich anwächst. Die Zahl Null soll der Grenzwert dieser Folge sein.

Ein weiteres Beispiel: x n = (−1) n / n - definiert die Folge

Die Mitglieder dieser Folge tendieren ebenfalls gegen Null, sind aber entweder größer als Null oder kleiner als Null – ihre Grenze.

Betrachten Sie ein weiteres Beispiel: x n = (n − 1)/(n + 1). Wenn wir x n in der Form darstellen

dann wird deutlich, dass diese Folge zur Einheit strebt.

Lassen Sie uns den Grenzwert einer Folge definieren. Eine Zahl a heißt Grenzwert einer Folge (x n), wenn man für jede positive Zahl ε eine Zahl N angeben kann, so dass für alle n > N die Ungleichung |x n − a|< ε.

Wenn a der Grenzwert der Folge ist (x n), dann schreibe x n → a, oder a = lim n→∞ x n (lim sind die ersten drei Buchstaben des lateinischen Wortes Zitronen- "Grenze").

Diese Definition wird klarer, wenn wir ihr eine geometrische Bedeutung geben. Wir schließen die Zahl a in das Intervall (a − ε, a + ε) ein (siehe Abbildung). Die Zahl a ist der Grenzwert der Folge (x n), wenn trotz der Kleinheit des Intervalls (a − ε, a + ε) alle Folgenglieder mit Zahlen größer als einige N in diesem Intervall liegen. Mit anderen Worten, außerhalb eines Intervalls (a − ε, a + ε) kann es nur eine endliche Anzahl von Gliedern der Folge geben.

Für die betrachtete Folge x n = (−1) n /n umfasst die ε-Umgebung des Nullpunkts für ε = 1/10 alle Folgenglieder bis auf die ersten zehn und für ε = 1/100, alle Mitglieder der Sequenz, mit Ausnahme der ersten hundert.

Eine Folge, die einen Grenzwert hat, heißt konvergent, und eine Folge, die keinen Grenzwert hat, heißt divergent. Hier ist ein Beispiel einer divergenten Folge: x n = (−1) n . Seine Terme sind abwechselnd +1 und –1 und tendieren zu keiner Grenze.

Konvergiert die Folge, so ist sie beschränkt, d. h. es gibt Zahlen c und d, so dass alle Folgenglieder die Bedingung c ≤ x n ≤ d erfüllen. Daraus folgt, dass alle unbeschränkten Folgen divergent sind. Das sind die Sequenzen:

Eine Folge, die gegen Null geht, heißt infinitesimal. Der Begriff der Infinitesimalzahl kann als Grundlage für die allgemeine Definition des Grenzwerts einer Folge verwendet werden, da der Grenzwert einer Folge (x n) genau dann gleich a ist, wenn x n als Summe x n = a + α dargestellt werden kann n , wobei α n unendlich klein ist.

Die betrachteten Folgen (1/n), ((−1) n /n) sind infinitesimal. Die Folge (n − 1)/(n + 1), wie aus (2) folgt, unterscheidet sich von 1 um infinitesimal 2/(n + 1), und daher ist der Grenzwert dieser Folge 1.

Von großer Bedeutung in der mathematischen Analyse ist auch das Konzept einer unendlich großen Folge. Eine Folge (x n) heißt unendlich groß, wenn die Folge (1/x n) unendlich klein ist. Eine unendlich große Folge (x n) wird als x n → ∞ oder lim n→∞ x n = ∞ geschrieben und soll „bis ins Unendliche gehen“. Hier sind Beispiele für unendlich große Folgen:

(n 2), (2 n), (√(n + 1)), (n - n 2).

Wir betonen, dass eine unendlich große Folge keine Grenze hat.

Betrachten Sie die Folgen (x n) und (y n). Sie können Sequenzen mit gemeinsamen Termen x n + y n , x n − y n , x n y n und (falls y n ≠ 0) x n /y n definieren. Es gilt folgender Satz, der oft als Satz über arithmetische Operationen mit Grenzwerten bezeichnet wird: Wenn die Folgen (x n) und (y n) konvergieren, dann sind die Folgen (x n + y n), (x n − y n), (x n y n), ( x n /y n) konvergieren ebenfalls und es gelten folgende Gleichungen:

Im letzteren Fall muss zusätzlich gefordert werden, dass alle Glieder der Folge (y n ) ungleich Null sind, und dass auch die Bedingung lim n→∞ y n ≠ 0 erfüllt ist.

Durch Anwendung dieses Theorems können viele Grenzen gefunden werden. Finden Sie zum Beispiel den Grenzwert einer Folge mit einem gemeinsamen Term

Darstellen von x n in der Form

Stellen Sie fest, dass der Grenzwert von Zähler und Nenner existiert:

also bekommen wir:

lim n→∞ x n = 2/1 =2.

Eine wichtige Klasse von Folgen sind monotone Folgen. Sogenannte Folgen aufsteigend (x n+1 > x n für beliebige n), fallend (x n+1< x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

Stellen Sie sich vor, dass die Folge (x n) nicht kleiner wird, also die Ungleichungen

x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ … ≤ x n ≤ x n+1 ≤ …,

und zusätzlich sei diese Folge nach oben beschränkt, d. h. alle x n überschreiten nicht eine Zahl d. Jedes Mitglied einer solchen Sequenz ist größer oder gleich dem vorherigen, aber keines von ihnen überschreitet d. Es ist ziemlich offensichtlich, dass diese Folge zu einer Zahl tendiert, die entweder kleiner als d oder gleich d ist. Im Verlauf der mathematischen Analyse wird ein Satz bewiesen, dass eine nicht abnehmende und von oben begrenzte Folge einen Grenzwert hat (eine ähnliche Aussage gilt für eine nicht ansteigende und von unten begrenzte Folge). Dieser bemerkenswerte Satz liefert hinreichende Bedingungen für die Existenz eines Grenzwertes. Daraus folgt zum Beispiel, dass die Folge von Flächen regelmäßiger n-Ecke, die einem Kreis mit Einheitsradius einbeschrieben sind, eine Grenze hat, da sie monoton wachsend und von oben begrenzt ist. Der Grenzwert dieser Folge wird mit π bezeichnet.

Über den Grenzwert einer monoton beschränkten Folge wird die Zahl e bestimmt, die in der mathematischen Analyse eine große Rolle spielt - die Basis natürlicher Logarithmen:

e = lim n→∞ (1 + 1/n) n .

Die Folge (1) ist, wie bereits erwähnt, monoton und außerdem nach oben beschränkt. Sie hat eine Grenze. Wir können diese Grenze leicht finden. Wenn sie gleich a ist, muss die Zahl a die Gleichheit a = √(2 + a) erfüllen. Wenn wir diese Gleichung lösen, erhalten wir a = 2.