حد التسلسل العددي. كيف نثبت أن التسلسل يتقارب؟ الخصائص الأساسية للتسلسلات المتقاربة أنواع التسلسلات

تعريف حدود التسلسل والوظيفة ، خصائص النهايات ، الحدين الملحوظ الأول والثاني ، أمثلة.

رقم ثابت أاتصل حد تسلسل(x ن) إذا كان لأي رقم موجب صغير بشكل تعسفي ε> 0 يوجد رقم N بحيث تكون جميع القيم x ن، حيث n> N ، تحقق عدم المساواة

اكتبها على النحو التالي: أو x n → a.

اللامساواة (6.1) تعادل عدم المساواة المزدوجة

أ - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x ن، بدءًا من عدد n> N ، تقع داخل الفاصل الزمني (a-ε ، a + ε) ، أي تقع في أي حي ε صغير من النقطة أ.

يتم استدعاء التسلسل الذي له حد متقاربة، خلاف ذلك - متشعب.

مفهوم حد الوظيفة هو تعميم لمفهوم حد التسلسل ، حيث يمكن اعتبار حد التسلسل حدًا للدالة x n = f (n) لحجة عدد صحيح ن.

دع الدالة f (x) تُعطى والسماح لها أ - نقطة محدودةمجال تعريف هذه الوظيفة D (f) ، أي مثل هذه النقطة ، أي حي يحتوي على نقاط من المجموعة D (f) تختلف عنها أ. نقطة أقد تنتمي أو لا تنتمي إلى المجموعة D (f).

التعريف 1.الرقم الثابت أ يسمى حد المهامو (خ) في x → a إذا لأي تسلسل (x n) لقيم الوسيطة التي تميل إلى أ، التسلسلات المقابلة (f (x n)) لها نفس الحد A.

هذا التعريف يسمى تحديد حدود الوظيفة وفقًا لهينه ،أو " بلغة التسلسلات”.

التعريف 2. الرقم الثابت أ يسمى حد المهامو (خ) في x → a إذا ، بالنظر إلى رقم موجب تعسفي صغير تعسفيًا ε ، يمكن للمرء أن يجد δ> 0 (اعتمادًا على ε) بحيث يكون للجميع x، الكذب في حي ε من العدد أ، بمعنى آخر. إلى عن على xإرضاء عدم المساواة
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

هذا التعريف يسمى تحديد حدود الوظيفة وفقًا لـ Cauchy ،أو "في اللغة ε - δ"

التعريفان 1 و 2 متكافئان. إذا كانت الوظيفة f (x) كـ x → a لها حديساوي أ ، هذا مكتوب كـ

في حالة زيادة التسلسل (f (x n)) (أو النقصان) إلى أجل غير مسمى لأي طريقة تقريب xإلى الحد الخاص بك أ، ثم سنقول أن الوظيفة f (x) لها حد لانهائي ،واكتبها على النحو التالي:

يسمى المتغير (أي تسلسل أو وظيفة) الذي يكون حده صفر صغير بلا حدود.

يسمى المتغير الذي يساوي حده اللانهاية كبيرة بشكل لا نهائي.

للعثور على الحد في الممارسة العملية ، استخدم النظريات التالية.

نظرية 1 . إذا كان كل حد موجود

(6.4)

(6.5)

(6.6)

تعليق. التعبيرات ذات الشكل 0/0 ، ∞ / ، ∞-∞ 0 * غير محددة ، على سبيل المثال ، نسبة كميتين متناهيتين في الصغر أو بكميات كبيرة بشكل لانهائي ، وإيجاد حد من هذا النوع يسمى "الكشف عن عدم اليقين".

نظرية 2.

أولئك. من الممكن المرور إلى الحد عند قاعدة الدرجة عند أس ثابت ، على وجه الخصوص ،

نظرية 3.

(6.11)

أين ه» 2.7 هو أساس اللوغاريتم الطبيعي. تسمى الصيغتان (6.10) و (6.11) الحد الملحوظ الأول والحد الملحوظ الثاني.

تُستخدم النتائج الطبيعية للصيغة (6.11) أيضًا في الممارسة:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

على وجه الخصوص الحد

إذا كانت x → a وفي نفس الوقت x> a ، فاكتب x → a + 0. إذا كان ، على وجه الخصوص ، a = 0 ، فاكتب +0 بدلاً من الرمز 0 + 0. وبالمثل ، إذا كانت x → a وفي نفس الوقت x ويتم تسميتها وفقًا لذلك. الحد الصحيحو الحد الأيسر المهامو (خ) في هذه النقطة أ. من أجل أن يكون حد الوظيفة f (x) موجودًا كـ x → a ، من الضروري والكافي . الوظيفة f (x) تسمى مستمر في هذه النقطة× 0 إذا كان الحد

(6.15)

يمكن إعادة كتابة الشرط (6.15) على النحو التالي:

أي أن المرور إلى النهاية تحت علامة الدالة ممكن إذا كانت متصلة عند نقطة معينة.

إذا انتهكت المساواة (6.15) نقول ذلك فيس = xo وظيفةو (خ) لديها الفارق.ضع في اعتبارك الدالة y = 1 / x. مجال هذه الوظيفة هو المجموعة ص، باستثناء x = 0. النقطة x = 0 هي نقطة حد للمجموعة D (f) ، لأنه في أي من الأحياء المجاورة لها ، على سبيل المثال ، أي فاصل زمني مفتوح يحتوي على النقطة 0 يحتوي على نقاط من D (f) ، لكنه لا ينتمي إلى هذه المجموعة. لم يتم تحديد القيمة f (x o) = f (0) ، لذلك فإن الوظيفة لها انقطاع عند النقطة x o = 0.

الوظيفة f (x) تسمى مستمر على اليمين عند نقطةس س إذا حد

و مستمر على اليسار عند نقطةس س إذا حد

استمرارية دالة عند نقطة س سيكافئ استمراريتها في هذه المرحلة على كل من اليمين واليسار.

لكي تكون الوظيفة متصلة عند نقطة ما س س، على سبيل المثال ، على اليمين ، من الضروري ، أولاً ، أن يكون هناك حد منتهي ، وثانيًا ، أن تكون هذه النهاية مساوية لـ f (x o). لذلك ، إذا لم يتم استيفاء أحد هذين الشرطين على الأقل ، فستكون للدالة فجوة.

1. إذا كانت النهاية موجودة ولا تساوي f (x o) ، فيقولون ذلك وظيفةو (خ) في هذه النقطة xo لديها كسر من النوع الأول ،أو القفز.

2. إذا كان الحد + أو-أو غير موجود ، فيقولون ذلك في نقطةس س الوظيفة لها فاصل النوع الثاني.

على سبيل المثال ، الدالة y = ctg x مثل x → +0 لها حد يساوي + ، مما يعني أنه عند النقطة x = 0 يكون لها انقطاع من النوع الثاني. الوظيفة y = E (x) (جزء صحيح من x) عند النقاط التي تحتوي على عدد صحيح من الحروف الأبجدية ، بها انقطاعات من النوع الأول ، أو قفزات.

يتم استدعاء الوظيفة المستمرة في كل نقطة من الفاصل الزمني مستمرفي . يتم تمثيل الدالة المستمرة بمنحنى صلب.

تؤدي العديد من المشكلات المرتبطة بالنمو المستمر لبعض الكميات إلى الحد الثاني الملحوظ. مثل هذه المهام ، على سبيل المثال ، تشمل: نمو المساهمة وفقًا لقانون الفائدة المركبة ، ونمو سكان البلاد ، واضمحلال مادة مشعة ، وتكاثر البكتيريا ، وما إلى ذلك.

انصح مثال يا أنا بيرلمانالذي يعطي تفسير الرقم هفي مشكلة الفائدة المركبة. رقم ههناك حد . في بنوك الادخار ، يتم إضافة أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت سنويًا. إذا تم الاتصال في كثير من الأحيان ، فإن رأس المال ينمو بشكل أسرع ، حيث يشارك مبلغ كبير في تكوين الفائدة. لنأخذ مثالًا نظريًا بحتًا ومبسطًا للغاية. دع البنك يضع 100 دن. الوحدات بمعدل 100٪ سنويا. إذا تمت إضافة الأموال ذات الفائدة إلى رأس المال الثابت بعد عام فقط ، فعندئذٍ بحلول هذا الوقت ، 100 دن. الوحدات سوف يتحول إلى 200 دن. لنرى الآن ما سيتحول إلى 100 دن. الوحدات ، إذا تمت إضافة أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت كل ستة أشهر. بعد نصف عام 100 دن. الوحدات ستنمو بمقدار 100 × 1.5 = 150 ، وفي ستة أشهر أخرى - 150 × 1.5 = 225 (وحدات نقدية). إذا تم الانضمام كل 1/3 من السنة ، ثم بعد عام 100 دن. الوحدات سيتحول إلى 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (وحدة دن). سنزيد الإطار الزمني لإضافة أموال الفائدة إلى 0.1 سنة و 0.01 سنة و 0.001 سنة وهكذا. ثم من أصل 100 دن. الوحدات بعد سنة:

100 × (1 +1/10) 10 ≈ 259 (وحدة عرين) ،

100 × (1 + 1/100) 100 270 (دن. وحدة) ،

100 × (1 + 1/1000) 1000 271 (وحدة عرين).

مع التخفيض غير المحدود في شروط ضم الفائدة ، لا ينمو رأس المال المتراكم إلى أجل غير مسمى ، ولكنه يقترب من حد معين يساوي حوالي 271. يضاف إلى رأس المال كل ثانية لأن الحد

مثال 3.1. باستخدام تعريف حد التسلسل الرقمي ، أثبت أن المتسلسلة x n = (n-1) / n لها حد يساوي 1.

المحلول.نحتاج إلى إثبات أنه مهما كانت قيمة ε> 0 التي نأخذها ، فهناك عدد طبيعي N لها ، مثل المتباينة لجميع n> N | x n -1 |< ε

خذ أي ε> 0. بما أن x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n ، إذن لإيجاد N يكفي حل المتباينة 1 / n<ε. Отсюда n>1 / ε ، وبالتالي ، يمكن اعتبار N جزءًا صحيحًا من 1 / ε N = E (1 / ε). وهكذا أثبتنا أن الحد.

المحلول. طبق نظرية مجموع النهايات وأوجد نهاية كل حد. نظرًا لأن n → ∞ ، يميل البسط والمقام لكل حد إلى اللانهاية ، ولا يمكننا تطبيق نظرية حد خارج القسمة مباشرةً. لذلك ، نقوم بالتحويل أولاً x ن، قسمة البسط والمقام في الحد الأول على ن 2، والثانية ن. بعد ذلك ، بتطبيق نظرية حد خارج القسمة ونظرية حد المجموع ، نجد:

مثال 3.3. . تجد .

استخدمنا هنا نظرية حد الدرجة: نهاية الدرجة تساوي درجة حد القاعدة.

مثال 3.4. تجد ( ).

المحلول. من المستحيل تطبيق نظرية حد الاختلاف ، حيث لدينا شك في الشكل ∞-∞. دعنا نحول صيغة المصطلح العام:

مثال 3.5. بالنظر إلى الدالة f (x) = 2 1 / x. إثبات أن الحد غير موجود.

المحلول.نستخدم تعريف 1 لنهاية الدالة بدلالة التسلسل. خذ تسلسل (x n) متقارب إلى 0 ، أي دعنا نوضح أن القيمة f (x n) = تتصرف بشكل مختلف مع التسلسلات المختلفة. دع x n = 1 / n. من الواضح ، ثم الحد دعنا نختار الآن كـ x نتسلسل بمصطلح مشترك x n = -1 / n ، يميل أيضًا إلى الصفر. لذلك ، لا يوجد حد.

مثال 3.6. إثبات أن الحد غير موجود.

المحلول.لنفترض أن x 1 ، x 2 ، ... ، x n ، ... تسلسل من أجله
. كيف تتصرف المتتالية (f (x n)) = (sin x n) لمختلف x n → ∞

إذا كانت x n \ u003d p n ، إذن الخطيئة x n \ u003d sin (p ن) = 0 للجميع نوتحد إذا
س = 2 p n + p / 2 ، ثم sin x n = sin (2 p n + p / 2) = sin p / 2 = 1 للجميع نومن هنا الحد. وبالتالي لا وجود لها.

التسلسلات الرقمية هي مجموعات لا نهائية من الأرقام. أمثلة المتتاليات هي: تسلسل جميع أعضاء التقدم الهندسي اللانهائي ، تسلسل القيم التقريبية ( × 1 = 1, × 2 = 1,4, × 3= 1.41، ...) ، تسلسل محيط منتظم ن- رموز منقوشة في دائرة معينة. دعونا نحسن مفهوم التسلسل العددي.

التعريف 1.إذا كان كل رقم نمن السلسلة الطبيعية للأرقام 1 ، 2 ، 3 ، ... ، ص ، ...تخصيص رقم حقيقي س ص ،ثم مجموعة الأعداد الحقيقية

× 1 ، × 2 ، × 3 ، ... ، × ن ، ...(2.1)

اتصل تسلسل رقميأو مجرد تسلسل. .

أعداد × 1 ، × 2, × 3, ..., س ص ،... سوف يتصل عناصر،أو أفرادمتواليات (2.1) ، رمز س ص - جنرال لواءعنصر أو عضو في تسلسل والرقم ف -له رقم.باختصار ، سيتم الإشارة إلى التسلسل (2.1) بالرمز (x ع).على سبيل المثال ، الحرف (1 / ن) يشير إلى سلسلة من الأرقام

بمعنى آخر ، يمكن فهم التسلسل على أنه مجموعة لا حصر لها من العناصر المرقمة أو مجموعة من أزواج الأرقام (ص ، س) ،حيث يأخذ الرقم الأول القيم المتتالية 1 ، 2 ، 3 ، .... يعتبر التسلسل معطى إذا تم تحديد طريقة للحصول على أي من عناصره. على سبيل المثال ، الصيغة س ن = -1 + (-1)نيحدد التسلسل 0 ، 2 ، 0 ، 2 ، ....

هندسيًا ، يتم تصوير التسلسل على المحور العددي كسلسلة من النقاط التي تكون إحداثياتها مساوية لأعضاء التسلسل المقابل. على التين. 2.1 يوضح التسلسل ( x ن} = {1/ن) على خط الأعداد.

مفهوم التسلسل المتقارب

التعريف 2.رقم أاتصل حد التسلسل{x ن} , إذا كان لأي رقم موجب ε يوجد رقم نهذا للجميع ن> نعدم المساواة

يتم استدعاء التسلسل الذي له حد متقاربة.إذا كان التسلسل يحتوي على رقم كحد له أ، ثم يكتب على النحو التالي:

يتم استدعاء التسلسل الذي ليس له حدود متشعب.

التعريف 3.تسلسل له رقم حده أ= 0 يسمى تسلسل متناهي الصغر.

ملاحظة 1.دع التسلسل ( x ن) له الحد من العدد أ. ثم التسلسل (α ن} = {x ن - ا) صغير بلا حدود ، أي أي عنصر س صتسلسل متقارب مع حد أ، يمكن تمثيلها كـ

أين α ن-عنصر تسلسل متناهي الصغر (α ن} .

ملاحظة 2.اللامساواة (2.2) تعادل عدم المساواة (انظر الخاصية 4 لمعامل رقم من الفقرة 1.5)

هذا يعني أن في ن> نجميع عناصر التسلسل ( x ن) تقع في ε الحينقاط أ(الشكل 2.2) ، والرقم نيتحدد بقيمة ε.

من المثير للاهتمام إعطاء تفسير هندسي لهذا التعريف. نظرًا لأن التسلسل عبارة عن مجموعة لا نهائية من الأرقام ، فعندئذ إذا كان يتقارب ، في أي منطقة من النقطة أيوجد على الخط الحقيقي عدد لا حصر له من النقاط - عناصر هذا التسلسل ، بينما يوجد خارج الحي عدد محدود من العناصر. لذلك ، غالبًا ما يتم استدعاء حد التسلسل نقطة سماكة.

ملاحظة 3.التسلسل غير المحدود لا يحتوي على نهائيحد. ومع ذلك ، قد يكون لديها بلا نهايةالحد ، وهو مكتوب بالشكل التالي:

إذا كانت جميع أعضاء التسلسل موجبة (سالبة) في نفس الوقت ، بدءًا من رقم معين ، فاكتب

اذا كان ( x ن) هو تسلسل متناهي الصغر ، ثم (1 / س ص} - تسلسل لانهائيالتي لها حد لانهائي بمعنى (2.3) والعكس صحيح.

دعونا نعطي أمثلة على التسلسلات المتقاربة والمتباينة.

مثال 1أظهر ، باستخدام تعريف حد التسلسل ، أن.

المحلول. خذ أي رقم ε> 0. منذ ذلك الحين

ثم لكي تصمد المتباينة (2.2) ، يكفي حل المتباينة 1 / ( ن + 1) < ε, откуда получаем ن> (1 - ε) / ε. يكفي أن تأخذ ن= [(1 - ε) / ε] (الجزء الصحيح من الرقم (1 - ε) /) * بحيث تكون المتباينة | س ص - 1| < ε выполнялосьпривсех ن> ن.

* رمز [ أ] يعني الجزء الصحيح من الرقم أ، بمعنى آخر. أكبر عدد صحيح لا يتجاوز أ. على سبيل المثال ، = 2 ، = 2 ، = 0 ، [-0 ، 5] = -1 ، [-23.7] = -24.

مثال 2أظهر أن التسلسل ( x ن} = (-1)ن، أو -1 ، 1 ، -1 ، 1 ، ... ليس لها حدود.

المحلول. في الواقع ، مهما كان الرقم الذي نفترضه كحد: 1 أو -1 ، مع ε< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов س ص: جميع العناصر ذات الأرقام الفردية هي -1 ، والعناصر ذات الأرقام الزوجية هي 1.

الخصائص الأساسية للتسلسلات المتقاربة

دعونا نقدم الخصائص الرئيسية للمتواليات المتقاربة ، والتي تمت صياغتها في شكل نظريات في سياق الرياضيات العليا.

1.إذا كانت جميع عناصر التسلسل متناهي الصغر{x ن} تساوي نفس العدد ج ، ثم ج = 0.

2. التسلسل المتقارب له حد واحد فقط.

3.التسلسل المتقارب محدود.

4.مجموع (فرق) التسلسلات المتقاربة{x ن} و{ذ ن} هو تسلسل متقارب حده يساوي مجموع (فرق) حدود المتواليات{س ص} و{ص ص}.

5.نتاج متواليات متقاربة{x ن} و{ذ ن} هو تسلسل متقارب حده يساوي حاصل ضرب حدود المتتاليات{x ن} و{ذ ن} .

6.حاصل تتابعين متقاربين{x ن} و{ذ ن} بشرط أن يكون حد التسلسل{ذ ن} غير صفري ، هناك تسلسل متقارب حده يساوي حاصل قسمة حدود المتواليات{x ن} و{ص ص} .

7. إذا كانت عناصر تسلسل متقارب{x ن} تحقق المتباينة x p ≥ b (x p b) بدءًا من عدد ما ، عندئذٍ تحقق النهاية a من هذه المتتابعة أيضًا المتباينة a ≥ b (a ≤ b).

8.حاصل ضرب تسلسل متناهي الصغر بتسلسل محدود أو برقم هو تسلسل متناهي الصغر.

9.حاصل ضرب عدد محدود من التسلسلات اللامتناهية في الصغر هو تسلسل متناهي الصغر.

دعونا ننظر في تطبيق هذه الخصائص مع الأمثلة.

مثال 3. أوجد الحد.

المحلول. في نيميل بسط الكسر ومقامه إلى اللانهاية ، أي لا يمكن تطبيق نظرية حد خارج القسمة على الفور ، لأنها تفترض وجود حدود متناهية من المتتاليات. نقوم بتحويل هذا التسلسل بقسمة البسط والمقام على ن 2. عند تطبيق النظريات المتعلقة بحد حاصل القسمة ، وحد المجموع ، ومرة ​​أخرى حد ​​حاصل القسمة ، نجد على التوالي

مثال 4 س ص) = في ص.

المحلول. هنا ، كما في المثال السابق ، ليس للبسط والمقام حدود محدودة ، وبالتالي يجب إجراء التحويلات المناسبة أولاً. قسمة البسط والمقام على ن، نحن نحصل

نظرًا لأن البسط هو نتاج متتالية متناهية الصغر ومتسلسلة محدودة ، إذن ، من خلال الخاصية 8 ، نحصل أخيرًا على

مثال 5أوجد نهاية التسلسل ( x ن) = في ص .

المحلول. هنا من المستحيل تطبيق النظرية مباشرة على حد مجموع (فرق) المتتاليات ، حيث لا توجد حدود محدودة للمصطلحات في صيغة ( x ن} . اضرب وقسم صيغة ( x ن) بالتعبير المترافق:

عدد ه

ضع في اعتبارك التسلسل ( x ن} , التي يتم التعبير عن مصطلحها المشترك بواسطة الصيغة

في سياق التحليل الرياضي ، ثبت أن هذا التسلسل يزيد بشكل رتيبوله حدود. هذا الحد يسمى الرقم ه. لذلك ، بحكم التعريف

رقم هيلعب دورًا كبيرًا في الرياضيات. بعد ذلك ، سيتم النظر في طريقة لحسابها بأي دقة مطلوبة. لاحظ هنا أن الرقم هغير منطقي قيمتها التقريبية ه = 2,7182818... .

3. حد التسلسل الرقمي

3.1 مفهوم التسلسل العددي ودالة الحجة الطبيعية

التعريف 3.1.التسلسل العددي (يشار إليه فيما يلي ببساطة بالتسلسل) هو مجموعة مرتبة من الأرقام القابلة للعد

{x1 ، x2 ، x3 ، ... }.

انتبه إلى نقطتين.

1. يوجد عدد لانهائي من الأرقام في التسلسل. إذا كان هناك عدد محدود من الأرقام ، فهذا ليس تسلسل!

2. يتم ترتيب جميع الأرقام ، أي مرتبة في ترتيب معين.

فيما يلي ، غالبًا ما نستخدم اختصار التسلسل ( xn}.

يمكن إجراء عمليات معينة على التسلسلات. دعونا نفكر في بعضها.

1. ضرب تسلسل بعدد.

اللاحقة ج×{ xn) عبارة عن تسلسل يحتوي على عناصر ( ج× xn)، هذا هو

ج×{ x1 ، x2 ، x3 ، ... }={ج× x1 ، ق× x2 ، ق× x3, ... }.

2. جمع وطرح المتتاليات.

{xn}±{ ي}={xn± ي},

أو ، بمزيد من التفصيل ،

{x1 ، x2 ، x3 ، ...}±{ y1، y2، y3، ... }={x1± y1 ، x2± y2 ، x3± y3 ، ... }.

3. مضاعفة المتتاليات.

{xn}×{ ي}={xn× ي}.

4. تقسيم المتتاليات.

{xn}/{ي}={س / ين}.

بطبيعة الحال ، من المفترض أنه في هذه الحالة كل شيء ي¹ 0.

التعريف 3.2.اللاحقة ( xn) يُسمى مقيدًا من أعلى إذا كان https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif "width =" 71 height = 20 "height =" 20 ">. gif" width = "53" height = "25 src =">. يسمى التسلسل (xn) مقيدًا إذا كان مقيدًا في الأعلى والأسفل.

3.2 حد التسلسل. تسلسل كبير بلا حدود

التعريف 3.3.رقم أيسمى حد التسلسل ( xn) في نتميل إلى اللانهاية ، إذا

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif "width =" 77 "height =" 33 src = ">. gif" width = "93" height = "33"> if.

يقولون ذلك إذا.

التعريف 3.4.اللاحقة ( xn) كبير بشكل لا نهائي إذا (أي ، إذا ).

3.3. تسلسل متناهي الصغر.

التعريف 3.5.التسلسل (xn) يسمى متناهي الصغر إذا ، هذا ، إذا.

التسلسلات اللامتناهية في الصغر لها الخصائص التالية.

1. مجموع وفرق التسلسلات متناهية الصغر هو أيضًا تسلسل متناهي الصغر.

2. يتم تقييد تسلسل متناهي الصغر.

3. حاصل ضرب تسلسل متناهي الصغر وتسلسل محدود هو تسلسل متناهي الصغر.

4. إذا ( xn) هو تسلسل كبير بشكل لا نهائي ، ثم يبدأ من بعض نالتسلسل (1 / xn) ، وهو تسلسل متناهي الصغر. على العكس ، إذا ( xn) هو تسلسل متناهي الصغر وكل شيء xnتختلف عن الصفر ، ثم (1 / xn) هو تسلسل كبير بشكل لا نهائي.

3.4. متواليات متقاربة.

التعريف 3.6.إذا كان هناك حد نهاية https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif "width =" 149 "height =" 33 ">.

5. إذا ، ومن بعد .

3.5. المرور إلى الحد في عدم المساواة.

نظرية 3.1.إذا ، يبدأ من بعض ن، الكل xn ³ ب، ومن بعد .

عاقبة.إذا ، يبدأ من بعض ن، الكل xn ³ ي، ومن بعد .

تعليق. لاحظ أنه إذا ، يبدأ من بعض ن، الكل xn > بإذن ، عند المرور إلى الحد الأقصى ، يمكن أن تصبح عدم المساواة الصارمة غير صارمة.

نظرية 3.2.("نظرية شرطيين") إذا ، ابتداء من بعض ن، الخصائص التالية تحمل

1..gif "width =" 163 "height =" 33 src = "> ،

ثم موجود.

3.6 حد تسلسل رتيب.

التعريف 3.7.اللاحقة ( xn) يسمى زيادة رتيبة إذا وجدت ن xn + 1 ³ xn.

اللاحقة ( xn) يسمى زيادة رتيبة بشكل صارم إن وجد ن xn + 1> xn.

xn­.

التعريف 3.8.اللاحقة ( xn) يسمى التناقص الرتيب إن وجد ن xn + 1 £ xn.

اللاحقة ( xn) يسمى التناقص الرتيب بشكل صارم إن وجد ن xn + 1< xn.

يتم دمج كلتا الحالتين مع الرمز xn¯.

نظرية حول وجود حد لتسلسل رتيب.

1. إذا كان التسلسل ( xn) يتزايد (يتناقص) بشكل رتيب ويحد من أعلى (من أسفل) ، ثم يكون له حد محدود يساوي sup ( xn) (inf ( xn}).

2 إذا كان التسلسل ( xn) يزيد (ينقص) بشكل رتيب ، ولكن لا يقتصر من فوق (من أسفل) ، ثم له حد يساوي + (- ¥).

بناءً على هذه النظرية ، ثبت أن هناك ما يسمى بحد رائع

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif "width =" 176 "height =" 28 src = ">. يطلق عليه تسلسل لاحق ( xn}.

نظرية 3.3.إذا كان التسلسل ( xn) يتقارب وحده أ، فإن أيًا من تكراراتها اللاحقة تتقارب أيضًا ولها نفس الحد.

اذا كان ( xn) هو تسلسل كبير بشكل لا نهائي ، فإن أيًا من تكراراته اللاحقة يكون أيضًا كبيرًا بشكل لا نهائي.

Bolzano-Weierstrass lemma.

1. من أي تسلسل محدود ، يمكن للمرء أن يستخرج تسلسلًا لاحقًا يتقارب إلى حد منتهي.

2. يمكن استخراج تتابعات كبيرة لا نهائية من أي تسلسل غير محدود.

على أساس هذه اللمة ، تم إثبات إحدى النتائج الرئيسية لنظرية الحدود - معيار تقارب بولزانو كوشي.

من أجل التسلسل ( xn) كان هناك حد محدود ، فمن الضروري والكافي

يُطلق على التسلسل الذي يحقق هذه الخاصية اسم التسلسل الأساسي ، أو التسلسل الذي يتقارب في حد ذاته.

بالنسبة للعديد من الأشخاص ، التحليل الرياضي هو مجرد مجموعة من الأرقام والرموز والتعريفات غير المفهومة البعيدة عن الحياة الواقعية. ومع ذلك ، فإن العالم الذي نعيش فيه مبني على أنماط عددية ، والتي يساعد تحديدها ليس فقط في التعرف على العالم من حولنا وحل مشاكله المعقدة ، ولكن أيضًا في تبسيط المهام العملية اليومية. ماذا يعني عالم الرياضيات عندما يقول أن متتالية رقمية تتقارب؟ يجب مناقشة هذا بمزيد من التفصيل.

صغير؟

تخيل دمى ماتريوشكا التي تناسب إحداها داخل الأخرى. تشكل أحجامها ، المكتوبة في شكل أرقام ، بدءًا من الأكبر وتنتهي بأصغرها ، تسلسلًا. إذا تخيلت عددًا لا حصر له من هذه الأشكال الساطعة ، فسيكون الصف الناتج طويلًا بشكل مذهل. هذا هو تسلسل رقمي متقارب. وهي تميل إلى الصفر ، لأن حجم كل دمية تعشيش لاحقة ، تتناقص بشكل كارثي ، وتتحول تدريجياً إلى لا شيء. وبالتالي ، من السهل شرح ما هو صغير للغاية.

مثال مشابه سيكون طريقًا يسير في المسافة. والأبعاد المرئية للسيارة التي تبتعد عن المراقب على طولها ، تتقلص تدريجياً ، وتتحول إلى بقعة بلا شكل تشبه نقطة. وهكذا ، فإن السيارة ، مثل الجسم ، تتحرك بعيدًا في اتجاه غير معروف ، تصبح صغيرة جدًا. لن تكون معلمات الجسم المحدد صفرًا بالمعنى الحقيقي للكلمة ، ولكنها تميل دائمًا إلى هذه القيمة في النهاية النهائية. لذلك ، يتقارب هذا التسلسل مرة أخرى إلى الصفر.

دعونا نحسب كل شيء قطرة قطرة

لنتخيل وضعًا حقيقيًا في الحياة. وصف الطبيب للمريض أن يأخذ الدواء ابتداءً من عشر قطرات في اليوم ويضاف قطرتان في اليوم التالي. ولذلك اقترح الطبيب الاستمرار حتى نفاد محتويات قنينة الدواء التي يبلغ حجمها 190 قطرة. مما سبق ، يترتب على ذلك أن عدد هؤلاء ، مرسومًا باليوم ، سيكون سلسلة الأرقام التالية: 10 ، 12 ، 14 ، وهكذا.

كيف تعرف وقت اجتياز الدورة كاملة وعدد أعضاء التسلسل؟ هنا ، بالطبع ، يمكنك عد القطرات بطريقة بدائية. ولكن من الأسهل كثيرًا ، في ضوء النمط ، استخدام الصيغة مع الخطوة d = 2. وباستخدام هذه الطريقة ، اكتشف أن عدد أعضاء سلسلة الأعداد هو 10. في هذه الحالة ، 10 = 28. يشير رقم العضو إلى عدد أيام تناول الدواء ، و 28 يتوافق مع عدد القطرات التي يجب أن يستخدمها المريض في اليوم الأخير. هل هذا التسلسل تتلاقى؟ لا ، لأنه على الرغم من أنه يقتصر على 10 من أسفل و 28 من أعلى ، فإن سلسلة الأرقام هذه ليس لها حد ، على عكس الأمثلة السابقة.

ماهو الفرق؟

الآن دعنا نحاول التوضيح: عندما تتحول السلسلة الرقمية إلى تسلسل متقارب. تعريف من هذا النوع ، كما يمكن استنتاجه مما سبق ، يرتبط ارتباطًا مباشرًا بمفهوم الحد المحدود ، الذي يكشف وجوده عن جوهر القضية. إذن ما هو الاختلاف الأساسي بين الأمثلة المذكورة سابقًا؟ ولماذا في آخرهما لا يمكن اعتبار الرقم 28 حد السلسلة العددية X n = 10 + 2 (n-1)؟

لتوضيح هذه المشكلة ، ضع في اعتبارك تسلسلًا آخر تقدمه الصيغة أدناه ، حيث ينتمي n إلى مجموعة الأعداد الطبيعية.

مجتمع الأعضاء هذا عبارة عن مجموعة من الكسور العادية ، بسطها هو 1 والمقام يتزايد باستمرار: 1 ، ½ ...

علاوة على ذلك ، فإن كل ممثل لاحق لهذه السلسلة ، من حيث الموقع على خط الأعداد ، يقترب بشكل متزايد من الصفر. وهذا يعني أن مثل هذا الحي يظهر حيث تتجمع النقاط حول الصفر ، وهو الحد الأقصى. وكلما اقتربوا منه ، أصبح تركيزهم على خط الأعداد أكثر كثافة. وانخفضت المسافة بينهما بشكل كارثي ، وتحولت إلى مسافة متناهية الصغر. هذه علامة على أن التسلسل يتقارب.

وبالمثل ، فإن المستطيلات متعددة الألوان الموضحة في الشكل ، عندما تتحرك بعيدًا في الفضاء ، تكون مزدحمة بصريًا ، في الحد الافتراضي يتحول إلى ضئيل.

تسلسلات كبيرة بلا حدود

بعد تحليل تعريف التسلسل المتقارب ، ننتقل الآن إلى الأمثلة المضادة. كثير منهم معروف للإنسان منذ العصور القديمة. أبسط المتغيرات للتسلسلات المتباينة هي سلسلة الأعداد الطبيعية والزوجية. يُطلق عليهم اسم كبير بلا حدود بطريقة أخرى ، نظرًا لأن أعضائها ، الذين يتزايدون باستمرار ، يقتربون بشكل متزايد من اللانهاية الإيجابية.

يمكن أيضًا استخدام أي من التدرجات الحسابية والهندسية بخطوة ومقام أكبر من الصفر ، على التوالي ، كأمثلة على ذلك. علاوة على ذلك ، تعتبر المتتاليات المتباعدة سلاسل عددية ليس لها حد على الإطلاق. على سبيل المثال ، X n = (-2) n -1.

متتالية فيبوناتشي

لا يمكن إنكار الاستخدام العملي للسلسلة العددية المذكورة سابقًا للإنسانية. ولكن هناك عدد لا يحصى من الأمثلة الرائعة الأخرى. واحد منهم هو تسلسل فيبوناتشي. كل عضو من أعضائها ، والذي يبدأ بواحد ، هو مجموع الأعضاء السابقة. الممثلان الأولان لهما 1 و 1. الثالث 1 + 1 = 2 ، الرابع 1 + 2 = 3 ، الخامس 2 + 3 = 5. علاوة على ذلك ، وفقًا لنفس المنطق ، تتبع الأرقام 8 و 13 و 21 وما إلى ذلك.

هذه السلسلة من الأعداد تنمو إلى أجل غير مسمى وليس لها حدود محدودة. لكن لها خاصية أخرى رائعة. تكون نسبة كل رقم سابق إلى التالي أقرب وأكثر في قيمتها إلى 0.618. هنا يمكنك فهم الفرق بين التسلسل المتقارب والمتشعب ، لأنه إذا قمت بعمل سلسلة من التقسيمات الخاصة المستلمة ، فسيكون للنظام العددي المحدد حد نهائي يساوي 0.618.

تسلسل نسبة فيبوناتشي

تستخدم سلسلة الأرقام الموضحة أعلاه على نطاق واسع لأغراض عملية للتحليل الفني للأسواق. لكن هذا لا يقتصر على قدراتها التي عرفها المصريون واليونانيون وتمكنوا من تطبيقها في العصور القديمة. ثبت ذلك من خلال الأهرامات التي بنوها والبارثينون. بعد كل شيء ، الرقم 0.618 هو معامل ثابت للقسم الذهبي ، معروف جيدًا في الأيام الخوالي. وفقًا لهذه القاعدة ، يمكن تقسيم أي مقطع تعسفي بطريقة تتطابق النسبة بين أجزائه مع النسبة بين أكبر المقاطع والطول الإجمالي.

دعونا نبني سلسلة من هذه العلاقات ونحاول تحليل هذا التسلسل. ستكون سلسلة الأرقام على النحو التالي: 1 ؛ 0.5 ؛ 0.67 ؛ 0.6 ؛ 0.625 ؛ 0.615 ؛ 0.619 وهلم جرا. بالاستمرار بهذه الطريقة ، يمكن للمرء أن يتحقق من أن حد التسلسل المتقارب سيكون بالفعل 0.618. ومع ذلك ، من الضروري ملاحظة الخصائص الأخرى لهذا الانتظام. هنا يبدو أن الأرقام تسير بشكل عشوائي ، وليس بترتيب تصاعدي أو تنازلي على الإطلاق. هذا يعني أن هذا التسلسل المتقارب ليس رتيبًا. لماذا سيتم مناقشة هذا الأمر كذلك.

الرتابة والقيود

يمكن لأعضاء السلسلة الرقمية ذات الأرقام المتزايدة أن تنقص بوضوح (إذا كانت x 1> x 2> x 3> ...> x n> ...) أو تزيد (إذا كانت x 1

بعد رسم أرقام هذه السلسلة ، يمكن للمرء أن يلاحظ أن أيًا من أعضائها ، يقترب من 1 إلى أجل غير مسمى ، لن يتجاوز هذه القيمة أبدًا. في هذه الحالة ، يُقال أن التسلسل المتقارب محدود. يحدث هذا عندما يكون هناك رقم موجب M ، والذي يكون دائمًا أكبر من أي من شروط مقياس السلسلة. إذا كانت سلسلة الأرقام تحتوي على علامات رتابة ولها حدود ، وبالتالي تتقارب ، فمن الضروري أن تتمتع بمثل هذه الخاصية. والعكس لا يجب أن يكون صحيحًا. يتضح هذا من خلال نظرية الحدود للتسلسل المتقارب.

تبين أن تطبيق مثل هذه الملاحظات في الممارسة العملية مفيد للغاية. دعنا نعطي مثالًا محددًا من خلال فحص خصائص المتسلسلة X n = n / n + 1 وإثبات تقاربها. من السهل إظهار أنه رتيب ، حيث أن (x n +1 - x n) رقم موجب لأي قيم لـ n. حد التسلسل يساوي الرقم 1 ، مما يعني استيفاء جميع شروط النظرية أعلاه ، والتي تسمى أيضًا نظرية Weierstrass. تنص النظرية المتعلقة بحدود التسلسل المتقارب على أنه إذا كان له حد ، فسيكون على أي حال مقيدًا. ومع ذلك ، لنأخذ المثال التالي. سلسلة الأرقام X n = (-1) n تحدها من أسفل بمقدار -1 ومن أعلى بمقدار 1. لكن هذا التسلسل ليس رتيبًا ، وليس له حدود ، وبالتالي لا يتقارب. أي أن وجود الحدود والتقارب لا ينبع دائمًا من التقييد. لكي يعمل هذا ، يجب أن تتطابق الحدود الدنيا والعليا ، كما في حالة نسب فيبوناتشي.

أعداد وقوانين الكون

أبسط المتغيرات للتسلسل المتقارب والمتشعب هي ، ربما ، السلسلة العددية X n = n و X n = 1 / n. أولها سلسلة طبيعية من الأرقام. إنه ، كما ذكرنا سابقًا ، كبير بشكل لا نهائي. التسلسل المتقارب الثاني محدود ، وشروطه قريبة من متناهية الصغر في الحجم. تجسد كل من هذه الصيغ أحد جوانب الكون متعدد الأوجه ، مما يساعد الشخص على تخيل وحساب شيء غير معروف ، لا يمكن الوصول إليه من قبل الإدراك المحدود في لغة الأرقام والعلامات.

يتم التعبير عن قوانين الكون ، التي تتراوح من ضئيل إلى كبير بشكل لا يصدق ، أيضًا من خلال النسبة الذهبية 0.618. يعتقد العلماء أنه أساس جوهر الأشياء وتستخدمه الطبيعة لتشكيل أجزائه. إن العلاقات بين العضوين التاليين والسابقين من سلسلة فيبوناتشي ، والتي ذكرناها بالفعل ، لا تكمل عرض الخصائص المذهلة لهذه السلسلة الفريدة. إذا أخذنا في الاعتبار حاصل قسمة الحد السابق على المصطلح التالي على واحد ، فسنحصل على سلسلة من 0.5 ؛ 0.33 ؛ 0.4 ؛ 0.375 ؛ 0.384 ؛ 0.380 ؛ 0.382 وما إلى ذلك. من المثير للاهتمام أن هذا التسلسل المحدود يتقارب ، فهو ليس رتيبًا ، لكن نسبة الأرقام المجاورة المتطرفة من عضو معين تساوي دائمًا تقريبًا 0.382 ، والتي يمكن استخدامها أيضًا في الهندسة المعمارية والتحليل الفني والصناعات الأخرى.

هناك معاملات أخرى مثيرة للاهتمام لسلسلة فيبوناتشي ، وكلها تلعب دورًا خاصًا في الطبيعة ، ويستخدمها الإنسان أيضًا لأغراض عملية. علماء الرياضيات على يقين من أن الكون يتطور وفقًا لـ "لولب ذهبي" معين يتكون من المعاملات المشار إليها. بمساعدتهم ، من الممكن حساب العديد من الظواهر التي تحدث على الأرض وفي الفضاء ، بدءًا من النمو في عدد بعض البكتيريا إلى حركة المذنبات البعيدة. كما اتضح ، تخضع شفرة الحمض النووي لقوانين مماثلة.

تناقص التقدم الهندسي

هناك نظرية تؤكد تفرد حد التسلسل المتقارب. هذا يعني أنه لا يمكن أن يكون لها حدين أو أكثر ، وهو أمر مهم بلا شك لإيجاد خصائصه الرياضية.

لننظر في بعض الحالات. أي سلسلة عددية تتكون من أعضاء للتقدم الحسابي تكون متشعبة ، باستثناء الحالة ذات الخطوة الصفرية. الأمر نفسه ينطبق على التقدم الهندسي ، الذي يكون قاسمه أكبر من 1. حدود هذه السلسلة العددية هي "زائد" أو "ناقص" اللانهاية. إذا كان المقام أقل من -1 ، فلا يوجد حد على الإطلاق. الخيارات الأخرى ممكنة أيضًا.

ضع في اعتبارك سلسلة الأرقام الواردة في الصيغة X n = (1/4) n -1. للوهلة الأولى ، من السهل أن ترى أن هذا التسلسل المتقارب محدود لأنه يتناقص بشكل صارم ولا يمكنه بأي حال من الأحوال أخذ قيم سلبية.

دعنا نكتب عددًا من أعضائها على التوالي.

احصل على: 1 ؛ 0.25 ؛ 0.0625 ؛ 0.015625 ؛ 0.00390625 وما إلى ذلك. تكفي العمليات الحسابية البسيطة لفهم مدى سرعة التقدم الهندسي مع القواسم 0

المتواليات الأساسية

كشف العالم الفرنسي أوغستين لويس كوشي للعالم عن العديد من الأعمال المتعلقة بالتحليل الرياضي. قدم تعريفات لمفاهيم مثل التفاضلية والتكامل والحد والاستمرارية. كما درس الخصائص الأساسية للتتابعات المتقاربة. من أجل فهم جوهر أفكاره ، من الضروري تلخيص بعض التفاصيل المهمة.

في بداية المقال ، تم توضيح أن هناك مثل هذه التسلسلات التي يوجد بها حي حيث تبدأ النقاط التي تمثل أعضاء سلسلة معينة على الخط الحقيقي في التجمع ، وتصطف بشكل أكثر كثافة. في الوقت نفسه ، تقل المسافة بينهما مع زيادة عدد الممثل التالي ، فتتحول إلى رقم صغير للغاية. وهكذا ، اتضح أنه في حي معين يتم تجميع عدد لا حصر له من ممثلي سلسلة معينة ، بينما يوجد خارجها عدد محدود منهم. تسمى هذه التسلسلات أساسية.

يشير معيار كوشي الشهير ، الذي وضعه عالم رياضيات فرنسي ، بوضوح إلى أن وجود مثل هذه الخاصية كافٍ لإثبات أن التسلسل يتقارب. والعكس صحيح أيضا.

وتجدر الإشارة إلى أن هذا الاستنتاج الذي توصل إليه عالم الرياضيات الفرنسي هو في الغالب ذا أهمية نظرية بحتة. يعتبر تطبيقه في الممارسة العملية مسألة معقدة إلى حد ما ، لذلك ، من أجل توضيح تقارب السلاسل ، من المهم للغاية إثبات وجود حد محدود للتسلسل. خلاف ذلك ، يعتبر متشعب.

عند حل المشكلات ، يجب على المرء أيضًا أن يأخذ في الاعتبار الخصائص الأساسية للمتواليات المتقاربة. يتم عرضها أدناه.

مبالغ لانهائية

استخدم علماء العصور القديمة المشهورون مثل أرخميدس وإقليدس وإيودوكسوس مجاميع سلاسل الأرقام اللانهائية لحساب أطوال المنحنيات وأحجام الأجسام ومناطق الأشكال. على وجه الخصوص ، بهذه الطريقة كان من الممكن معرفة منطقة الجزء المكافئ. لهذا ، تم استخدام مجموع السلسلة العددية للتقدم الهندسي مع q = 1/4. تم العثور على أحجام ومساحات الأرقام التعسفية الأخرى بطريقة مماثلة. كان هذا الخيار يسمى طريقة "الاستنفاد". كانت الفكرة أن الجسم المدروس ، معقد الشكل ، تم تقسيمه إلى أجزاء ، والتي كانت عبارة عن أشكال ذات معلمات سهلة القياس. لهذا السبب ، لم يكن من الصعب حساب مساحاتها وأحجامها ، ثم تم جمعها معًا.

بالمناسبة ، المهام المماثلة مألوفة جدًا لأطفال المدارس الحديثة وتوجد في مهام الاستخدام. الطريقة الفريدة ، التي وجدها أسلاف بعيدون ، هي إلى حد بعيد الحل الأبسط. حتى إذا كان هناك جزءان أو ثلاثة أجزاء فقط يتم تقسيم الشكل العددي إليهما ، فإن إضافة مناطقهم تظل مجموع سلسلة الأرقام.

بعد فترة طويلة من العلماء اليونانيين القدماء ليبنيز ونيوتن ، بناءً على تجربة أسلافهم الحكماء ، تعلموا قوانين الحساب المتكامل. ساعدتهم معرفة خصائص المتتاليات في حل المعادلات التفاضلية والجبرية. في الوقت الحاضر ، تتيح نظرية السلسلة ، التي تم إنشاؤها بجهود أجيال عديدة من العلماء الموهوبين ، فرصة لحل عدد كبير من المشكلات الرياضية والعملية. ودراسة المتتاليات العددية هي المشكلة الرئيسية التي حلها التحليل الرياضي منذ نشأته.

التسلسل هو أحد المفاهيم الأساسية للرياضيات. يمكن أن يتكون التسلسل من أرقام ونقاط ووظائف ومتجهات وما إلى ذلك. يتم اعتبار التسلسل إذا تم تحديد قانون وفقًا له يرتبط كل رقم طبيعي n بعنصر x n من مجموعة ما. التسلسل مكتوب على شكل x 1 ، x 2 ، ... ، x n ، أو باختصار (x n). العناصر x 1 ، x 2 ، ... ، x n تسمى أعضاء المتسلسلة ، x 1 - الأول ، x 2 - الثاني ، x n - العضو المشترك (n-th) من المتسلسلة.

في أغلب الأحيان ، يتم النظر في التسلسلات العددية ، أي التسلسلات التي يكون أعضاؤها أرقامًا. الطريقة التحليلية هي أبسط طريقة لتحديد تسلسل رقمي. يتم ذلك باستخدام صيغة تعبر عن العضو التاسع في التسلسل x 1 بدلالة الرقم n. على سبيل المثال ، إذا

طريقة أخرى متكررة (من الكلمة اللاتينية تكرارات- "العائد") ، عندما يتم تعيين أول عدد قليل من أعضاء التسلسل والقاعدة ، مما يسمح بحساب كل عضو تالٍ من خلال العناصر السابقة. فمثلا:

من أمثلة التسلسلات الرقمية التقدم الحسابي والتقدم الهندسي.

من المثير للاهتمام تتبع سلوك أعضاء التسلسل حيث أن الرقم n يزيد بلا حدود (حقيقة أن n تزيد إلى أجل غير مسمى تُكتب كـ n → ∞ وتقرأ: "n تميل إلى اللانهاية").

ضع في اعتبارك تسلسلًا بمصطلح مشترك x n = 1 / n: x 1 = 1، x 2 = 1/2؛ × 3 \ u003d 1/3 ، ... ، × 100 \ u003d 1/100 ، .... جميع أعضاء هذا المتسلسلة ليست صفرية ، لكن كلما قلت n ، كلما قلت قيمة x n عن الصفر. تميل شروط هذا التسلسل إلى الصفر حيث أن n تزداد إلى أجل غير مسمى. يُقال أن الرقم صفر هو نهاية هذا التسلسل.

مثال آخر: x n = (−1) n / n - يحدد التسلسل

تميل أعضاء هذا التسلسل أيضًا إلى الصفر ، لكنها إما أكبر من الصفر أو أقل من الصفر - وهي حدودها.

فكر في مثال آخر: x n = (n - 1) / (n + 1). إذا كنا نمثل x n في الصورة

ثم يتضح أن هذا التسلسل يميل إلى الوحدة.

دعونا نحدد حد التسلسل. يُطلق على الرقم أ حد المتتالية (x n) إذا كان بإمكان المرء ، لأي عدد موجب ε ، تحديد رقم N بحيث ، لكل n> N ، المتباينة | x n - a |< ε.

إذا كانت a هي حد التسلسل (x n) ، فاكتب x n → a ، أو a = lim n → ∞ x n (lim هي الأحرف الثلاثة الأولى من الكلمة اللاتينية الجير- "حد").

سيصبح هذا التعريف أكثر وضوحًا إذا أعطيناه معنى هندسيًا. نرفق الرقم أ في الفترة الزمنية (أ - ε ، أ +) (انظر الشكل). الرقم أ هو حد التسلسل (س ن) إذا ، بغض النظر عن صغر الفاصل الزمني (أ - ، أ +) ، تقع جميع أعضاء التسلسل ذات الأرقام الأكبر من بعض N في هذه الفترة. بمعنى آخر ، خارج أي فاصل زمني (أ - ε ، أ +) يمكن أن يكون هناك عدد محدود فقط من أعضاء التسلسل.

بالنسبة للتسلسل المدروس x n = (−1) n / n ، فإن المنطقة المجاورة لنقطة الصفر عند ε = 1/10 تشمل جميع أعضاء التسلسل ، باستثناء العشرة الأولى ، وبالنسبة لـ ε = 1/100 ، الكل أعضاء التسلسل ، باستثناء المائة الأولى.

التسلسل الذي له حد يسمى متقارب ، والتسلسل الذي ليس له حد يسمى متشعب. فيما يلي مثال على تسلسل متشعب: x n = (−1) n. شروطه بالتناوب +1 و 1 ولا تميل إلى أي حد.

إذا تقارب التسلسل ، فسيتم تقييده ، أي هناك رقمان c و d بحيث يفي جميع أعضاء التسلسل بالشرط c ≤ x n ≤ d. ويترتب على ذلك أن جميع التسلسلات غير المحدودة متباينة. هذه هي التسلسلات:

يقال أن التسلسل الذي يميل إلى الصفر متناهي الصغر. يمكن استخدام مفهوم اللامتناهية في الصغر كأساس للتعريف العام لحد التسلسل ، لأن حد التسلسل (x n) يساوي إذا وفقط إذا كان يمكن تمثيل x n كمجموع x n = a + α n ، حيث α n متناهية الصغر.

التسلسلات المدروسة (1 / ن) ، ((−1) ن / ن) متناهية الصغر. التسلسل (ن - 1) / (ن + 1) ، على النحو التالي من (2) ، يختلف عن 1 في متناهية الصغر 2 / (ن + 1) ، وبالتالي فإن حد هذا التسلسل هو 1.

من الأهمية بمكان في التحليل الرياضي أيضًا مفهوم التسلسل الكبير اللانهائي. يسمى التسلسل (x n) كبير بشكل لا نهائي إذا كان التسلسل (1 / x n) صغيرًا بشكل لا نهائي. يتم كتابة تسلسل كبير بشكل لا نهائي (x n) كـ x n → ∞ ، أو lim n → ∞ x n = ∞ ، ويقال أنه "اذهب إلى ما لا نهاية". فيما يلي أمثلة للتسلسلات الكبيرة اللانهائية:

(ن 2) ، (2 ن) ، (√ (ن + 1)) ، (ن - ن 2).

نؤكد أن التسلسل الكبير اللامتناهي ليس له حدود.

ضع في اعتبارك التسلسل (x n) و (y n). يمكنك تعريف المتواليات ذات المصطلحات الشائعة x n + y n و x n - y n و x n y n و (إذا y n ≠ 0) x n / y n. النظرية التالية صحيحة ، والتي تسمى غالبًا النظرية في العمليات الحسابية ذات الحدود: إذا كانت المتواليات (x n) و (y n) تتقارب ، فإن المتواليات (x n + y n) ، (x n - y n) ، (x n y n) ، ( x n / y n) تتقارب أيضًا وتثبت المساواة التالية:

في الحالة الأخيرة ، من الضروري أن تطلب ، بالإضافة إلى ذلك ، أن يكون جميع أعضاء التسلسل (y n) غير صفري ، وكذلك أن يكون الشرط lim n → ∞ y n ≠ 0 مستوفى.

من خلال تطبيق هذه النظرية ، يمكن إيجاد العديد من الحدود. أوجد ، على سبيل المثال ، نهاية متتالية بمصطلح مشترك

تمثل x n في الشكل

إثبات وجود حد البسط والمقام:

لذلك نحصل على:

ليم ن → ∞ س ن = 2/1 = 2.

فئة مهمة من التسلسلات هي التسلسلات الرتيبة. ما يسمى بالتسلسلات المتزايدة (x n + 1> x n لأي n) ، متناقصة (x n + 1< x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

تخيل أن المتتالية (x n) لا تنقص ، أي المتباينات

x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤… ≤ x n ≤ x n + 1 ≤…،

ودعنا ، بالإضافة إلى ذلك ، يتم تقييد هذا التسلسل من أعلى ، أي أن كل x n لا تتجاوز بعض الأرقام d. كل عضو في مثل هذا التسلسل أكبر من أو يساوي السابق ، لكن لا أحد منهم يتجاوز د. من الواضح تمامًا أن هذا التسلسل يميل إلى عدد ما أقل من d أو يساوي d. في سياق التحليل الرياضي ، تم إثبات نظرية أن التسلسل غير المتناقص والمحدود من التسلسل أعلاه له حد (عبارة مماثلة صحيحة لعدم زيادة ومحدودة من التسلسل أدناه). تعطي هذه النظرية الرائعة شروطا كافية لوجود حد. منه ، على سبيل المثال ، يترتب على ذلك أن تسلسل مناطق n-gons النظامية المدرجة في دائرة نصف قطرها له حد ، لأنه يتزايد بشكل رتيب ويحد من أعلى. يتم الإشارة إلى حد هذا التسلسل بواسطة π.

باستخدام حد التسلسل المحدود الرتيب ، يتم تحديد الرقم e ، الذي يلعب دورًا كبيرًا في التحليل الرياضي - قاعدة اللوغاريتمات الطبيعية:

ه = ليم ن → ∞ (1 + 1 / ن) ن.

التسلسل (1) ، كما ذكرنا سابقًا ، هو رتيب ، علاوة على ذلك ، محدد من الأعلى. لديها حد. يمكننا بسهولة إيجاد هذا الحد. إذا كان يساوي a ، فيجب أن يفي الرقم a بالمساواة أ = √ (2 + أ). بحل هذه المعادلة ، نحصل على أ = 2.