ขีดจำกัดของลำดับตัวเลข จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าลำดับมาบรรจบกัน? คุณสมบัติพื้นฐานของลำดับการบรรจบกัน ประเภทของลำดับ

คำจำกัดความของลำดับและขีดจำกัดของฟังก์ชัน คุณสมบัติของลิมิต ลิมิตที่น่าทึ่งที่หนึ่งและสอง ตัวอย่าง

ค่าคงที่ เอเรียกว่า ขีดจำกัด ลำดับ(x n) ถ้าสำหรับจำนวนบวกเล็ก ๆ โดยพลการ ε > 0 มีตัวเลข N เพื่อให้ค่าทั้งหมด x นซึ่ง n>N ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน

เขียนดังนี้: หรือ x n → a.

ความไม่เท่าเทียมกัน (6.1) เท่ากับอสมการสองเท่า

เอ - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x นเริ่มจากตัวเลข n>N อยู่ภายในช่วง (a-ε , a+ε) เช่น ตกอยู่ใน ε-เพื่อนบ้านเล็ก ๆ ของจุด เอ.

ลำดับที่มีขีดจำกัดเรียกว่า บรรจบกัน, มิฉะนั้น - แตกต่าง.

แนวความคิดของลิมิตของฟังก์ชันเป็นการสรุปทั่วไปของแนวคิดเรื่องลิมิตของลำดับ เนื่องจากลิมิตของลำดับถือได้ว่าเป็นขีดจำกัดของฟังก์ชัน x n = f(n) ของอาร์กิวเมนต์จำนวนเต็ม น.

ให้ฟังก์ชัน f(x) ถูกกำหนดและให้ เอ - จุดจำกัดโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้ D(f) เช่น จุดดังกล่าว ย่านใด ๆ ที่มีจุดของชุด D(f) แตกต่างจาก เอ. Dot เออาจจะใช่หรือไม่ใช่ของเซต D(f)

คำจำกัดความ 1เรียกจำนวนคงที่ A ว่า ขีดจำกัด ฟังก์ชั่นเอฟ(x) ที่ x→ a ถ้าสำหรับลำดับใด ๆ (x n ) ของค่าอาร์กิวเมนต์ที่มีแนวโน้มถึง เอ, ลำดับที่สอดคล้องกัน (f(x n)) มีขีดจำกัด A เท่ากัน

นิยามนี้เรียกว่า การกำหนดขีด จำกัด ของฟังก์ชันตาม Heineหรือ " ในภาษาของซีเควนซ์”.

คำจำกัดความ 2. เรียกจำนวนคงที่ A ว่า ขีดจำกัด ฟังก์ชั่นเอฟ(x) ที่ x→a ถ้าให้จำนวนบวกเล็กน้อยตามอำเภอใจ ε เราสามารถหา δ >0 (ขึ้นอยู่กับ ε) ได้ทั้งหมด x, นอนอยู่ใน ε-เพื่อนบ้านของจำนวน เอ, เช่น. สำหรับ xสนองความไม่เท่าเทียมกัน
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

นิยามนี้เรียกว่า กำหนดขีด จำกัด ของฟังก์ชันตาม Cauchyหรือ “ในภาษา ε - δ"

คำจำกัดความ 1 และ 2 เทียบเท่ากัน ถ้าฟังก์ชัน f(x) เป็น x → a has ขีดจำกัดเท่ากับ A นี่เขียนว่า

ในกรณีที่ลำดับ (f(xn)) เพิ่มขึ้น (หรือลดลง) อย่างไม่มีกำหนดสำหรับวิธีการประมาณใด ๆ xถึงขีดจำกัดของคุณ เอจากนั้นเราจะบอกว่าฟังก์ชัน f(x) has ขีด จำกัด ที่ไม่มีที่สิ้นสุด,และเขียนเป็น:

ตัวแปร (เช่น ลำดับหรือฟังก์ชัน) ที่มีขีดจำกัดเป็นศูนย์เรียกว่า เล็กอนันต์

ตัวแปรที่มีขีดจำกัดเท่ากับอนันต์เรียกว่า ใหญ่มาก.

ในการหาขีดจำกัดในทางปฏิบัติ ให้ใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 1 . หากทุกขีดจำกัดมีอยู่

(6.4)

(6.5)

(6.6)

ความคิดเห็น. นิพจน์ของรูปแบบ 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ นั้นไม่มีกำหนด ตัวอย่างเช่น อัตราส่วนของปริมาณที่น้อยมากหรือไม่จำกัดจำนวนสองปริมาณ และการหาขีดจำกัดของประเภทนี้เรียกว่า "การเปิดเผยความไม่แน่นอน"

ทฤษฎีบท 2

เหล่านั้น. เป็นไปได้ที่จะผ่านไปยังขีด จำกัด ที่ฐานของดีกรีที่เลขชี้กำลังคงที่โดยเฉพาะ

ทฤษฎีบทที่ 3

(6.11)

ที่ไหน อี» 2.7 เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ สูตร (6.10) และ (6.11) เรียกว่า ลิมิตที่น่าทึ่งอันดับแรก และ ขีดจำกัดที่น่าทึ่งที่สอง

ผลที่ตามมาของสูตร (6.11) ยังใช้ในทางปฏิบัติ:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

โดยเฉพาะขีดจำกัด

ถ้า x → a และในเวลาเดียวกัน x > a ให้เขียน x →a + 0 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้า a = 0 ให้เขียน +0 แทนสัญลักษณ์ 0+0 ในทำนองเดียวกัน ถ้า x→a และในเวลาเดียวกัน x และได้รับการตั้งชื่อตาม ขีด จำกัด ที่ถูกต้องและ ขีด จำกัด ซ้าย ฟังก์ชั่นเอฟ(x) ณ จุดนั้น เอ. เพื่อให้ลิมิตของฟังก์ชัน f(x) มีอยู่เป็น x→ a จำเป็นและเพียงพอที่ . ฟังก์ชัน f(x) เรียกว่า ต่อเนื่อง ณ จุดนั้น x 0 ถ้าจำกัด

(6.15)

เงื่อนไข (6.15) สามารถเขียนใหม่เป็น:

กล่าวคือ สามารถผ่านไปยังขีด จำกัด ภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันได้หากต่อเนื่อง ณ จุดที่กำหนด

หากละเมิดความเท่าเทียมกัน (6.15) เราก็บอกว่า ที่ x = xo การทำงานเอฟ(x) มันมี ช่องว่างพิจารณาฟังก์ชัน y = 1/x โดเมนของฟังก์ชันนี้คือเซต Rยกเว้น x = 0 จุด x = 0 คือจุดจำกัดของเซต D(f) เนื่องจากในละแวกใกล้เคียงใดๆ เช่น ช่วงเวลาที่เปิดใด ๆ ที่มีจุด 0 มีจุดจาก D (f) แต่มันไม่ได้เป็นของชุดนี้ ค่า f(x o)= f(0) ไม่ได้กำหนดไว้ ดังนั้นฟังก์ชันมีความไม่ต่อเนื่องที่จุด x o = 0

ฟังก์ชัน f(x) เรียกว่า ต่อเนื่องทางด้านขวาที่จุดหนึ่ง x o ถ้าจำกัด

และ ต่อเนื่องทางซ้ายที่จุดหนึ่ง x o ถ้าจำกัด

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง x oเทียบเท่ากับความต่อเนื่อง ณ จุดนี้ทั้งทางขวาและทางซ้าย

เพื่อให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง x oตัวอย่างเช่น ทางด้านขวา จำเป็น ประการแรก ต้องมีขีดจำกัด และประการที่สอง ที่ขีดจำกัดนี้เท่ากับ f(x o) ดังนั้น หากไม่เป็นไปตามเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งในสองเงื่อนไข ฟังก์ชันจะมีช่องว่าง

1. ถ้าลิมิตมีอยู่และไม่เท่ากับ f(x o) ก็บอกว่า การทำงานเอฟ(x) ณ จุดนั้น xo has แบ่งประเภทแรก,หรือ กระโดด.

2. หากขีด จำกัด คือ +∞ หรือ -∞ หรือไม่มีอยู่ก็บอกว่าใน จุด x o ฟังก์ชั่นมีตัวแบ่ง ชนิดที่สอง.

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน y = ctg x เมื่อ x → +0 มีขีด จำกัด เท่ากับ +∞ ซึ่งหมายความว่า ณ จุด x=0 มีความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่สอง ฟังก์ชัน y = E(x) (ส่วนจำนวนเต็มของ x) ที่จุดที่มีจำนวนเต็ม abscissas มีความไม่ต่อเนื่องของประเภทแรกหรือกระโดด

ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องทุกจุดของช่วงเรียกว่า ต่อเนื่องใน . ฟังก์ชันต่อเนื่องจะแสดงด้วยเส้นโค้งทึบ

ปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับการเติบโตอย่างต่อเนื่องของปริมาณบางอย่างนำไปสู่ขีดจำกัดที่น่าทึ่งที่สอง ตัวอย่างเช่น งานดังกล่าว ได้แก่ การเติบโตของการมีส่วนร่วมตามกฎหมายว่าด้วยดอกเบี้ยทบต้น การเติบโตของประชากรของประเทศ การสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสี การเพิ่มจำนวนของแบคทีเรีย เป็นต้น

พิจารณา ตัวอย่างของ Ya. I. Perelmanซึ่งให้การตีความตัวเลข อีในปัญหาดอกเบี้ยทบต้น ตัวเลข อีมีขีดจำกัด . ในธนาคารออมสิน เงินดอกเบี้ยจะถูกบวกเข้าในทุนคงที่ทุกปี หากการเชื่อมต่อเกิดขึ้นบ่อยขึ้น เงินทุนก็จะเติบโตเร็วขึ้น เนื่องจากมีการสร้างความสนใจเป็นจำนวนมาก ลองมาดูตัวอย่างที่เข้าใจง่ายในเชิงทฤษฎี ให้ธนาคารใส่ 100 ถ้ำ หน่วย ในอัตรา 100% ต่อปี หากเงินที่มีดอกเบี้ยถูกเพิ่มเข้าไปในทุนคงที่หลังจากผ่านไปหนึ่งปีจากนั้นก็ถึงเวลา 100 den หน่วย จะกลายเป็น 200 ถ้ำ ตอนนี้เรามาดูกันว่า 100 ถ้ำจะกลายเป็นอะไร หน่วย หากเพิ่มเงินดอกเบี้ยเข้าในทุนคงที่ทุก ๆ หกเดือน หลังจากครึ่งปี 100 ถ้ำ หน่วย จะเติบโต 100 × 1.5 = 150 และในอีกหกเดือน - 150 × 1.5 = 225 (หน่วยเงิน) หากการภาคยานุวัติเกิดขึ้นทุกๆ 1/3 ของปี หลังจากนั้นหนึ่งปีจะมีค่า 100 den หน่วย จะกลายเป็น 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (den. units). เราจะเพิ่มระยะเวลาการบวกเงินดอกเบี้ยเป็น 0.1 ปี 0.01 ปี 0.001 ปี เป็นต้น แล้วจาก 100 ถ้ำ หน่วย หนึ่งปีต่อมา:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ห้องชุด),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (หน่วยเดน.),

100×(1+1/1000) 1,000 ≈271 (ห้องชุด).

ด้วยการลดดอกเบี้ยร่วมอย่างไม่จำกัด ทำให้ทุนสะสมไม่เติบโตอย่างไม่มีกำหนด แต่เข้าใกล้ขีดจำกัดที่แน่นอนเท่ากับประมาณ 271 ทุนที่วางไว้ที่ 100% ต่อปีไม่สามารถเพิ่มได้มากกว่า 2.71 เท่า แม้ว่าดอกเบี้ยค้างรับจะเป็น เพิ่มทุนทุกวินาทีเพราะขีดจำกัด

ตัวอย่าง 3.1. ใช้คำจำกัดความของลิมิตของลำดับตัวเลข พิสูจน์ว่าลำดับ x n =(n-1)/n มีขีดจำกัดเท่ากับ 1

วิธีการแก้.เราต้องพิสูจน์ว่าไม่ว่า ε > 0 ที่เราใช้จะมีจำนวนธรรมชาติ N สำหรับมัน ดังนั้นสำหรับทุก n > N ความไม่เท่าเทียมกัน |x n -1|< ε

ใช้ ε > 0 ใดๆ เนื่องจาก x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n จากนั้นหา N ก็เพียงพอที่จะแก้อสมการ 1/n<ε. Отсюда n>1/ε และด้วยเหตุนี้ N สามารถนำมาเป็นส่วนจำนวนเต็มของ 1/ε N = E(1/ε) เราจึงได้พิสูจน์ว่าขีดจำกัด

วิธีการแก้. ใช้ทฤษฎีบทผลรวมลิมิตและหาขีดจำกัดของแต่ละเทอม ในฐานะที่เป็น n → ∞ ตัวเศษและตัวส่วนของแต่ละเทอมมีแนวโน้มที่จะเป็นอนันต์ และเราไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทขีดจำกัดผลหารโดยตรงได้ ดังนั้นก่อนอื่นเราจะแปลง x น, หารตัวเศษและตัวส่วนของเทอมแรกด้วย น 2และที่สอง น. จากนั้น ใช้ทฤษฎีบทขีดจำกัดผลหารและทฤษฎีบทขีดจำกัดผลรวม เราพบว่า:

ตัวอย่าง 3.3. . หา .

ในที่นี้เราได้ใช้ทฤษฎีบทขีดจำกัดดีกรี: ลิมิตของดีกรีเท่ากับดีกรีของลิมิตของฐาน

ตัวอย่าง 3.4. หา ( ).

วิธีการแก้. เป็นไปไม่ได้ที่จะใช้ความแตกต่างของทฤษฎีบทจำกัด เนื่องจากเรามีความไม่แน่นอนของรูปแบบ ∞-∞ มาแปลงสูตรของเทอมทั่วไปกัน:

ตัวอย่าง 3.5. รับฟังก์ชัน f(x)=2 1/x พิสูจน์ว่าไม่มีขีดจำกัด

วิธีการแก้.เราใช้คำจำกัดความ 1 ของลิมิตของฟังก์ชันในแง่ของลำดับ ใช้ลำดับ ( x n ) มาบรรจบกันเป็น 0 เช่น ให้เราแสดงให้เห็นว่าค่า f(xn)= ทำงานแตกต่างกันสำหรับลำดับที่ต่างกัน ให้ x n = 1/n แน่นอนแล้วขีดจำกัด มาเลือกกันเลยในฐานะ x นลำดับที่มีพจน์ร่วมกัน x n = -1/n ซึ่งมีแนวโน้มเป็นศูนย์เช่นกัน ดังนั้นจึงไม่มีขีดจำกัด

ตัวอย่าง 3.6. พิสูจน์ว่าไม่มีขีดจำกัด

วิธีการแก้.ให้ x 1 , x 2 ,..., x n ,... เป็นลำดับที่
. ลำดับ (f(xn)) = (sin x n ) ทำงานอย่างไรสำหรับค่า x n ที่แตกต่างกัน → ∞

ถ้า x n \u003d p n แล้ว sin x n \u003d sin (p n) = 0 สำหรับทุกคน นและจำกัด If
xn=2 p n+ p /2 แล้วบาป x n = บาป (2 p n+ p / 2) = บาป p /2 = 1 สำหรับทุกคน นและด้วยเหตุนี้ขีด จำกัด จึงไม่มีอยู่

ลำดับตัวเลขคือชุดของตัวเลขอนันต์ ตัวอย่างของลำดับคือ: ลำดับของสมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ ลำดับของค่าโดยประมาณ ( x 1 = 1, x2 = 1,4, x 3= 1.41, ...) ลำดับของเส้นรอบรูปปกติ น-gons ถูกจารึกไว้ในวงกลมที่กำหนด ให้เราปรับแต่งแนวคิดของลำดับตัวเลข

คำจำกัดความ 1ถ้าทุกเลข นจากอนุกรมธรรมชาติของตัวเลข 1, 2, 3,..., พี...กำหนดจำนวนจริง x พี,แล้วเซตของจำนวนจริง

x 1 , x 2 , x 3 , …, xn , …(2.1)

เรียกว่า ลำดับเลข,หรือเพียงแค่ลำดับ .

ตัวเลข x 1 , x 2, x 3, ..., x พี,... จะโทร องค์ประกอบหรือ สมาชิกลำดับ (2.1), สัญลักษณ์ x p - ทั่วไปองค์ประกอบหรือสมาชิกของลำดับและตัวเลข พี -ของเขา ตัวเลข.โดยสังเขป ลำดับ (2.1) จะแสดงด้วยสัญลักษณ์ (x หน้า ).ตัวอย่างเช่น อักขระ (1/ น) หมายถึงลำดับของตัวเลข

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นชุดอนันต์ขององค์ประกอบที่มีตัวเลขหรือชุดของจำนวนคู่ (p, x p),โดยที่หมายเลขแรกใช้ค่าต่อเนื่องกัน 1, 2, 3, ... . ลำดับจะได้รับการพิจารณาหากมีการระบุวิธีการเพื่อให้ได้องค์ประกอบใด ๆ ของมัน ตัวอย่างเช่น สูตร x n = -1 + (-1)นกำหนดลำดับ 0, 2, 0, 2,... .

ในเชิงเรขาคณิต ลำดับจะแสดงบนแกนตัวเลขเป็นลำดับของจุดซึ่งมีพิกัดเท่ากับสมาชิกของลำดับที่สอดคล้องกัน ในรูป 2.1 แสดงลำดับ ( x น} = {1/น) บนเส้นจำนวน

แนวคิดของลำดับการบรรจบกัน

คำจำกัดความ 2ตัวเลข เอเรียกว่า จำกัดลำดับ{x น} , หากเป็นจำนวนบวกใด ๆ ε มีเบอร์ นู๋, เพื่อทุกคน n > นความไม่เท่าเทียมกัน

ลำดับที่มีขีดจำกัดเรียกว่า บรรจบกันถ้าลำดับมีตัวเลขเป็นลิมิต เอแล้วมันเขียนแบบนี้

ลำดับที่ไม่มีขีดจำกัดเรียกว่า แตกต่าง

คำจำกัดความ 3ลำดับที่มีตัวเลขเป็นลิมิต เอ= 0 เรียกว่า ลำดับที่น้อยที่สุด

หมายเหตุ 1.ให้ลำดับ ( x น) มีจำนวน จำกัด เอ. จากนั้นลำดับ (α น} = {x n - a) มีขนาดเล็กมาก เช่น องค์ประกอบใด ๆ x pลำดับการบรรจบกันที่มีลิมิต เอ, สามารถแสดงเป็น

ที่ไหน α น-องค์ประกอบของลำดับอนันต์ (α น} .

หมายเหตุ 2ความไม่เท่าเทียมกัน (2.2) เทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน (ดูคุณสมบัติ 4 ของโมดูลัสของตัวเลขจาก § 1.5)

ซึ่งหมายความว่าที่ n > นองค์ประกอบทั้งหมดของลำดับ ( x น) ตั้งอยู่ใน ε-เพื่อนบ้านคะแนน เอ(รูปที่ 2.2) และตัวเลข นู๋ถูกกำหนดโดยค่าของε

เป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะให้การตีความทางเรขาคณิตของคำจำกัดความนี้ เนื่องจากลำดับเป็นชุดของจำนวนอนันต์ ดังนั้นถ้ามันมาบรรจบกันใน ε-เพื่อนบ้านใดๆ ของจุดนั้น เอบนเส้นจริงมีจุดจำนวนไม่สิ้นสุด - องค์ประกอบของลำดับนี้ ในขณะที่นอก ε-บริเวณใกล้เคียงมีองค์ประกอบจำนวนจำกัด ดังนั้น ลิมิตของลำดับจึงมักเรียกว่า จุดหนา

หมายเหตุ 3ลำดับไม่ จำกัด ไม่มี สุดท้ายขีด จำกัด อย่างไรก็ตามเธออาจมี ไม่มีที่สิ้นสุดขีด จำกัด ซึ่งเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:

ถ้าในเวลาเดียวกัน เริ่มจากจำนวนหนึ่ง สมาชิกทั้งหมดในลำดับเป็นบวก (ลบ) ให้เขียน

ถ้า ( x น) เป็นลำดับอนันต์ ดังนั้น (1 /x พี} - ลำดับอนันต์ซึ่งมีขอบเขตไม่จำกัดในแง่ของ (2.3) และในทางกลับกัน

ให้เรายกตัวอย่างของลำดับคอนเวอร์เจนต์และไดเวอร์เจนต์

ตัวอย่างที่ 1แสดงโดยใช้คำจำกัดความของลิมิตของลำดับว่า

วิธีการแก้. ใช้หมายเลขใดก็ได้ ε > 0 เนื่องจาก

แล้วพอแก้อสมการ (2.2) ได้ก็เพียงพอที่จะแก้ความไม่เท่าเทียมกันได้ 1 / ( น + 1) < ε, откуда получаем น> (1 - ε) / ε เพียงพอแล้ว นู๋= [(1 - ε)/ε] (ส่วนจำนวนเต็มของตัวเลข (1 - ε)/ ε)* ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกัน |x p - 1| < ε выполнялосьпривсех น > น.

* เครื่องหมาย [ เอ] หมายถึงส่วนจำนวนเต็มของตัวเลข เอ, เช่น. จำนวนเต็มสูงสุดไม่เกิน เอ. ตัวอย่างเช่น =2, =2, =0, [-0, 5] = -1, [-23.7] = -24

ตัวอย่าง 2แสดงว่าลำดับ ( x น} = (-1)น, หรือ -1, 1, -1, 1,... ไม่มีขีดจำกัด

วิธีการแก้. อันที่จริง จำนวนใดก็ตามที่เราถือว่าเป็นขีดจำกัด: 1 หรือ -1 ด้วย ε< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x p: องค์ประกอบที่เป็นเลขคี่ทั้งหมดคือ -1 องค์ประกอบที่เป็นเลขคู่คือ 1

คุณสมบัติพื้นฐานของลำดับการบรรจบกัน

ให้เรานำเสนอคุณสมบัติหลักของลำดับการบรรจบกันซึ่งกำหนดขึ้นในรูปแบบของทฤษฎีบทในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง

1.ถ้าองค์ประกอบทั้งหมดของลำดับอนันต์{x น} มีค่าเท่ากับ c แล้ว c = 0

2. ลำดับการบรรจบกันมีขีดจำกัดเดียวเท่านั้น

3.ลำดับการบรรจบกันมีขอบเขต

4.ผลรวม (ผลต่าง) ของลำดับการบรรจบกัน{x น} และ{y n} เป็นลำดับการบรรจบกันที่มีลิมิตเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของลิมิตของลำดับ{x p} และ{y p}.

5.ผลคูณของลำดับการบรรจบกัน{x น} และ{y n} เป็นลำดับการบรรจบกันที่มีลิมิตเท่ากับผลคูณของลิมิตของลำดับ{x น} และ{y n} .

6.ผลหารของสองลำดับการบรรจบกัน{x น} และ{y n} โดยมีเงื่อนไขว่าขีดจำกัดของลำดับ{y n} ไม่เป็นศูนย์ มีลำดับการบรรจบกันซึ่งมีลิมิตเท่ากับผลหารของลิมิตของลำดับ{x น} และ{y p} .

7. ถ้าองค์ประกอบของลำดับการบรรจบกัน{x น} ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน x p ≥ b (x p ≤ b) โดยเริ่มจากจำนวนหนึ่ง จากนั้นลิมิต a ของลำดับนี้ก็จะตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน a ≥ b (a ≤ b)

8.ผลคูณของลำดับอนันต์โดยลำดับที่มีขอบเขตหรือโดยตัวเลขคือลำดับที่น้อยที่สุด

9.ผลคูณของลำดับจำนวนจำกัดคือลำดับที่น้อยที่สุด

ลองพิจารณาการประยุกต์ใช้คุณสมบัติเหล่านี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาขีด จำกัด

วิธีการแก้. ที่ นตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนมีแนวโน้มที่จะอนันต์เช่น ไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทขีดจำกัดของผลหารได้ทันที เพราะมันถือว่าการมีอยู่ของขีดจำกัดจำกัดของลำดับ เราแปลงลำดับนี้โดยหารตัวเศษและส่วนด้วย น 2. จากนั้นนำทฤษฎีบทเกี่ยวกับขีดจำกัดของผลหาร ขีดจำกัดของผลรวม และขีดจำกัดของผลรวมอีกครั้ง เราจะพบตามลำดับ

ตัวอย่างที่ 4 x p) = ที่ พี.

วิธีการแก้. ในที่นี้ ดังในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ตัวเศษและตัวส่วนไม่มีขีดจำกัด ดังนั้นจึงต้องดำเนินการแปลงที่เหมาะสมก่อน การหารตัวเศษและตัวส่วนด้วย น, เราได้รับ

เนื่องจากตัวเศษประกอบด้วยผลคูณของลำดับอนันต์และลำดับที่มีขอบเขต ดังนั้นโดยคุณสมบัติ 8 ในที่สุดเราก็ได้

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาขีด จำกัด ของลำดับ ( x น) = ที่ พี .

วิธีการแก้. ที่นี่เป็นไปไม่ได้ที่จะใช้ทฤษฎีบทโดยตรงกับขีด จำกัด ของผลรวม (ผลต่าง) ของลำดับเนื่องจากไม่มีข้อ จำกัด ที่ จำกัด ของเงื่อนไขในสูตรสำหรับ ( x น} . คูณและหารสูตรของ ( x น) ไปยังนิพจน์คอนจูเกต :

หมายเลข e

พิจารณาลำดับ ( x น} , ที่มีพจน์ทั่วไปแสดงโดยสูตร

ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ได้พิสูจน์แล้วว่าลำดับนี้ เพิ่มขึ้นอย่างจำเจและมีขีดจำกัด ขีดจำกัดนี้เรียกว่าหมายเลข อี. ดังนั้นตามคำนิยาม

ตัวเลข อีมีบทบาทสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ ถัดไปจะพิจารณาวิธีการคำนวณด้วยความแม่นยำที่จำเป็น โปรดทราบว่าหมายเลข อีไม่มีเหตุผล ค่าประมาณของมันคือ อี = 2,7182818... .

3. ขีด จำกัด ของลำดับหมายเลข

3.1. แนวคิดของลำดับตัวเลขและฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ตามธรรมชาติ

คำจำกัดความ 3.1.ลำดับตัวเลข (ต่อไปนี้จะเรียกว่าลำดับ) คือชุดตัวเลขที่นับได้

{x1, x2, x3, ... }.

ให้ความสนใจกับสองจุด

1. มีจำนวนนับไม่ถ้วนในลำดับ หากมีจำนวนจำกัด นี่ไม่ใช่ลำดับ!

2. เรียงลำดับตัวเลขทั้งหมดนั่นคือจัดเรียงตามลำดับที่แน่นอน

ต่อไปนี้เรามักจะใช้ตัวย่อสำหรับลำดับ ( xn}.

การดำเนินการบางอย่างสามารถทำได้ตามลำดับ ลองพิจารณาบางส่วนของพวกเขา

1. การคูณลำดับด้วยตัวเลข

ที่ตามมา ค×{ xn) เป็นลำดับที่มีองค์ประกอบ ( ค× xn), นั่นคือ

ค×{ x1, x2, x3, ... }={ค× x1, ซ× x2, ส× x3, ... }.

2. การบวกและการลบลำดับ

{xn}±{ หยิน}={xn± หยิน},

หรือรายละเอียดเพิ่มเติมคือ

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. การคูณลำดับ

{xn}×{ หยิน}={xn× หยิน}.

4. การแบ่งลำดับ

{xn}/{หยิน}={xn/yn}.

ย่อมสันนิษฐานว่าในกรณีนี้ทั้งหมด หยิน¹ 0.

คำจำกัดความ 3.2ที่ตามมา ( xn) ถูกเรียกขอบเขตจากด้านบนหาก https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height = "25 src="> ลำดับ (xn) เรียกว่า bounded หากถูกล้อมรอบทั้งด้านบนและด้านล่าง

3.2. จำกัดลำดับ ลำดับที่ใหญ่ไม่สิ้นสุด

คำจำกัดความ 3.3ตัวเลข เอเรียกว่าลิมิตของลำดับ ( xn) ที่ นมุ่งสู่อนันต์ ถ้า

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> ถ้า

พวกเขาบอกว่าถ้า

คำจำกัดความ 3.4.ที่ตามมา ( xn) เรียกว่าใหญ่ไม่สิ้นสุด if (นั่นคือ if ).

3.3. ลำดับที่ไม่สิ้นสุด

คำจำกัดความ 3.5ลำดับ (xn) เรียกว่า infinitesimal if นั่นคือ if

ลำดับน้อยมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

1. ผลรวมและผลต่างของลำดับอนันต์ก็เป็นลำดับอนันต์เช่นกัน

2. ลำดับเล็ก ๆ น้อย ๆ ถูก จำกัด

3. ผลคูณของลำดับน้อยและลำดับที่มีขอบเขตเป็นลำดับที่น้อยที่สุด

4. ถ้า ( xn) เป็นลำดับที่ใหญ่เป็นอนันต์ จากนั้นเริ่มจากบางส่วน นู๋, ลำดับ (1/ xn) และเป็นลำดับที่น้อยที่สุด ในทางกลับกัน ถ้า ( xn) เป็นลำดับที่น้อยที่สุดและทั้งหมด xnแตกต่างจากศูนย์แล้ว (1/ xn) เป็นลำดับที่ใหญ่เป็นอนันต์

3.4. ลำดับการบรรจบกัน

คำจำกัดความ 3.6หากมีการจำกัดการสิ้นสุด https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">

5. ถ้า , แล้ว .

3.5. ผ่านไปยังขีด จำกัด ในความไม่เท่าเทียมกัน

ทฤษฎีบท 3.1ถ้าเริ่มจากบางอย่าง นู๋, ทั้งหมด xn ³ ข, แล้ว .

ผลที่ตามมาถ้าเริ่มจากบางอย่าง นู๋, ทั้งหมด xn ³ หยิน, แล้ว .

ความคิดเห็น. สังเกตว่าถ้าเริ่มจากบางตัว นู๋, ทั้งหมด xn > ขดังนั้น นั่นคือ เมื่อผ่านถึงขีดจำกัด ความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดจะกลายเป็นไม่เข้มงวด

ทฤษฎีบท 3.2("ทฤษฎีบทของตำรวจสองคน") ถ้าเริ่มจากบางส่วน นู๋, คุณสมบัติดังต่อไปนี้ถือ

1..gif" width="163" height="33 src=">,

แล้วมีอยู่

3.6. ขีดจำกัดของลำดับเสียงเดียว

คำจำกัดความ 3.7ที่ตามมา ( xn) เรียกว่าเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจถ้ามี น xn+1 ³ xn.

ที่ตามมา ( xn) เรียกว่าเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจอย่างเคร่งครัดถ้ามี น xn+1> xn.

xn­.

คำจำกัดความ 3.8.ที่ตามมา ( xn) เรียกว่าการลดลงอย่างซ้ำซากจำเจถ้ามี น xn+1 £ xn.

ที่ตามมา ( xn) เรียกว่าเคร่งครัดลดลงถ้ามี น xn+1< xn.

ทั้งสองกรณีนี้รวมกับสัญลักษณ์ xn¯.

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่ของลิมิตของลำดับเสียงเดียว

1. ถ้าลำดับ ( xn) เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ (ลดลง) และถูก จำกัด จากด้านบน (จากด้านล่าง) จากนั้นจะมีขีด จำกัด ที่ จำกัด เท่ากับ sup( xn) (อินฟ( xn}).

2 ถ้าลำดับ ( xn) เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ (ลดลง) แต่ไม่จำกัดจากด้านบน (จากด้านล่าง) จากนั้นจะมีขีดจำกัดเท่ากับ +¥ (-¥)

จากทฤษฎีบทนี้พิสูจน์แล้วว่ามีข้อ จำกัด ที่น่าทึ่ง

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src="> เรียกว่าลำดับที่ตามมา ( xn}.

ทฤษฎีบท 3.3ถ้าลำดับ ( xn) บรรจบกันและขีด จำกัด ของมันคือ เอลำดับย่อยใดๆ ของมันก็มาบรรจบกันและมีขีดจำกัดเหมือนกัน

ถ้า ( xn) เป็นลำดับที่ใหญ่เป็นอนันต์ จากนั้นลำดับย่อยใดๆ ของมันก็มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์เช่นกัน

บทแทรก Bolzano-Weierstrass

1. จากลำดับที่มีขอบเขตใด ๆ เราสามารถแยกลำดับย่อยที่บรรจบกันเป็นขีด จำกัด ที่ จำกัด

2. ลำดับย่อยขนาดใหญ่อย่างอนันต์สามารถดึงออกมาจากลำดับที่ไม่มีขอบเขตใดๆ

บนพื้นฐานของบทแทรกนี้ หนึ่งในผลลัพธ์หลักของทฤษฎีขีดจำกัดได้รับการพิสูจน์แล้ว - เกณฑ์การบรรจบกันของโบลซาโน-คอชี

ตามลำดับ ( xn) มีขอบเขตจำกัด จำเป็นและเพียงพอที่

ลำดับที่ตรงตามคุณสมบัตินี้เรียกว่าลำดับพื้นฐาน หรือลำดับที่บรรจบกันในตัวเอง

สำหรับคนจำนวนมาก การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นเพียงชุดของตัวเลข ไอคอน และคำจำกัดความที่เข้าใจยากซึ่งอยู่ห่างไกลจากชีวิตจริง อย่างไรก็ตาม โลกที่เราดำรงอยู่นั้นสร้างขึ้นจากรูปแบบตัวเลข การระบุตัวตนซึ่งไม่เพียงช่วยให้เรียนรู้เกี่ยวกับโลกรอบตัวเราและแก้ปัญหาที่ซับซ้อนเท่านั้น แต่ยังช่วยให้งานจริงในชีวิตประจำวันง่ายขึ้นด้วย นักคณิตศาสตร์หมายความว่าอย่างไรเมื่อเขากล่าวว่าลำดับตัวเลขมาบรรจบกัน นี้ควรจะกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติม

เล็ก?

ลองนึกภาพตุ๊กตาแม่ลูกดกที่ใส่เข้าไปข้างในกัน ขนาดของพวกเขาเขียนเป็นตัวเลขโดยเริ่มจากขนาดใหญ่ที่สุดและลงท้ายด้วยตัวเลขที่เล็กที่สุดในรูปแบบลำดับ หากคุณจินตนาการถึงตัวเลขที่สดใสจำนวนอนันต์แถวที่ได้จะยาวอย่างน่าอัศจรรย์ นี่คือลำดับเลขคอนเวอร์เจนซ์ และมีแนวโน้มเป็นศูนย์ เนื่องจากขนาดของตุ๊กตาทำรังแต่ละตัวที่ลดลงอย่างหายนะค่อยๆ กลายเป็นไม่มีอะไรเลย ดังนั้นจึงเป็นการง่ายที่จะอธิบาย: สิ่งใดที่เล็กอย่างอนันต์

ตัวอย่างที่คล้ายกันคือถนนที่ทอดยาวออกไป และขนาดการมองเห็นของรถที่ขับออกจากผู้สังเกตไปตามนั้น ค่อยๆ หดเล็กลง กลายเป็นจุดที่ไม่มีรูปร่างคล้ายจุด ดังนั้นรถก็เหมือนกับวัตถุที่เคลื่อนที่ไปในทิศทางที่ไม่รู้จักจึงมีขนาดเล็กอย่างไม่สิ้นสุด พารามิเตอร์ของเนื้อหาที่ระบุจะไม่มีวันเป็นศูนย์ในความหมายที่แท้จริงของคำ แต่จะมีแนวโน้มที่ค่านี้ในขีดจำกัดสุดท้ายเสมอ ดังนั้น ลำดับนี้มาบรรจบกันเป็นศูนย์อีกครั้ง

มาคำนวณกันทีละหยด

ลองนึกภาพสถานการณ์ในชีวิตจริง แพทย์สั่งให้ผู้ป่วยกินยา เริ่มด้วยวันละสิบหยด และเพิ่มวันละสองเม็ด ดังนั้นแพทย์จึงแนะนำให้ดำเนินการต่อจนกว่าเนื้อหาของขวดยาซึ่งมีปริมาตร 190 หยดหมด จากที่กล่าวข้างต้น จ านวนดังกล่าวที่วาดตามวันจะเป็นชุดตัวเลขต่อไปนี้ 10, 12, 14 และอื่นๆ

จะทราบเวลาที่ผ่านหลักสูตรทั้งหมดและจำนวนสมาชิกของลำดับได้อย่างไร แน่นอนว่าที่นี่คุณสามารถนับการดรอปด้วยวิธีดั้งเดิมได้ แต่มันง่ายกว่ามาก เมื่อพิจารณาจากรูปแบบแล้ว ในการใช้สูตรที่มีขั้นตอน d = 2 และใช้วิธีนี้ ค้นหาว่าจำนวนสมาชิกของชุดตัวเลขคือ 10 ในกรณีนี้ a 10 = 28 หมายเลขสมาชิกระบุจำนวนวันที่รับประทานยา และ 28 หมายถึงจำนวนที่ลดลงที่ผู้ป่วยควรใช้ในวันสุดท้าย ลำดับนี้มาบรรจบกันหรือไม่? ไม่ เพราะถึงแม้จะจำกัดไว้ที่ 10 จากด้านล่างและ 28 จากด้านบน ชุดตัวเลขดังกล่าวไม่มีขีดจำกัด ไม่เหมือนกับตัวอย่างก่อนหน้านี้

อะไรคือความแตกต่าง?

ทีนี้ลองมาอธิบายให้กระจ่าง: เมื่ออนุกรมจำนวนกลายเป็นลำดับการบรรจบกัน คำจำกัดความของประเภทนี้ ดังที่สามารถสรุปได้จากข้างต้น เกี่ยวข้องโดยตรงกับแนวคิดของขีดจำกัดจำกัด การมีอยู่ซึ่งเผยให้เห็นสาระสำคัญของปัญหา แล้วอะไรคือความแตกต่างพื้นฐานระหว่างตัวอย่างที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้? และทำไมในจำนวนสุดท้ายจำนวน 28 ไม่สามารถถือเป็นขีด จำกัด ของจำนวนชุด X n = 10 + 2(n-1)?

เพื่อชี้แจงปัญหานี้ ให้พิจารณาลำดับอื่นที่กำหนดโดยสูตรด้านล่าง โดยที่ n อยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ

ชุมชนสมาชิกนี้เป็นชุดของเศษส่วนธรรมดา ตัวเศษคือ 1 และตัวส่วนเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง: 1, ½ ...

ยิ่งกว่านั้น ตัวแทนแต่ละรายของซีรีส์นี้ในแง่ของตำแหน่งบนเส้นจำนวน กำลังเข้าใกล้ 0 มากขึ้นเรื่อยๆ ซึ่งหมายความว่าย่านดังกล่าวจะปรากฏขึ้นโดยที่จุดต่างๆ จะรวมกันเป็นศูนย์ ซึ่งเป็นขีดจำกัด และยิ่งพวกมันอยู่ใกล้มันมากเท่าไหร่ ความเข้มข้นของพวกมันบนเส้นจำนวนก็จะยิ่งหนาแน่นมากขึ้นเท่านั้น และระยะห่างระหว่างกันก็ลดลงอย่างหายนะ กลายเป็นระยะห่างเพียงเล็กน้อย นี่เป็นสัญญาณว่าลำดับมาบรรจบกัน

ในทำนองเดียวกัน สี่เหลี่ยมหลากสีที่แสดงในรูปภาพ เมื่อเคลื่อนออกไปในอวกาศ จะมองเห็นได้หนาแน่นกว่า ในขอบเขตที่สมมุติฐานจะกลายเป็นเล็กน้อย

ลำดับที่ใหญ่ไม่สิ้นสุด

เมื่อวิเคราะห์คำจำกัดความของลำดับการบรรจบกัน ตอนนี้เราจึงหันไปใช้ตัวอย่างที่ขัดแย้งกัน หลายคนรู้จักมนุษย์มาตั้งแต่สมัยโบราณ ตัวแปรที่ง่ายที่สุดของลำดับไดเวอร์เจนต์คือชุดของจำนวนธรรมชาติและจำนวนคู่ ในอีกทางหนึ่งเรียกว่ามีขนาดใหญ่มากเนื่องจากสมาชิกของพวกเขาเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ กำลังเข้าใกล้อินฟินิตี้เชิงบวกมากขึ้นเรื่อย ๆ

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิตใดๆ ที่มีขั้นตอนและตัวส่วนมากกว่าศูนย์ ตามลำดับ สามารถใช้เป็นตัวอย่างได้เช่นกัน ลำดับที่แตกต่างกันได้รับการพิจารณา นอกจากนี้ อนุกรมตัวเลขซึ่งไม่มีขีดจำกัดเลย ตัวอย่างเช่น X n = (-2) n -1 .

ลำดับฟีโบนักชี

การใช้งานจริงของอนุกรมตัวเลขที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้สำหรับมนุษยชาตินั้นไม่อาจปฏิเสธได้ แต่มีตัวอย่างที่ดีอื่น ๆ อีกนับไม่ถ้วน หนึ่งในนั้นคือลำดับฟีโบนักชี สมาชิกแต่ละคนซึ่งขึ้นต้นด้วยหนึ่งคือผลรวมของสมาชิกก่อนหน้า ตัวแทนสองคนแรกคือ 1 และ 1 ตัวที่สาม 1+1=2 ตัวที่สี่ 1+2=3 ตัวที่ห้า 2+3=5 นอกจากนี้ ตามตรรกะเดียวกัน ตัวเลข 8, 13, 21 และอื่นๆ ก็ตามมา

ตัวเลขชุดนี้เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนดและไม่มีขีดจำกัด แต่มีคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมอีกอย่างหนึ่ง อัตราส่วนของตัวเลขก่อนหน้าแต่ละหมายเลขต่อตัวเลขถัดไปนั้นใกล้เคียงกันมากขึ้นเรื่อยๆ โดยมีค่าเท่ากับ 0.618 ที่นี่ คุณสามารถเข้าใจความแตกต่างระหว่างลำดับการบรรจบกันและลำดับไดเวอร์เจนต์ เพราะหากคุณสร้างชุดของการแบ่งส่วนตัวที่ได้รับ ระบบตัวเลขที่ระบุจะมี ขีดจำกัดสุดท้ายเท่ากับ 0.618

ลำดับอัตราส่วนฟีโบนักชี

ชุดตัวเลขที่ระบุข้างต้นมีการใช้กันอย่างแพร่หลายเพื่อวัตถุประสงค์เชิงปฏิบัติสำหรับการวิเคราะห์ทางเทคนิคของตลาด แต่สิ่งนี้ไม่ได้จำกัดอยู่แค่ความสามารถของมัน ซึ่งชาวอียิปต์และชาวกรีกรู้จักและสามารถนำไปปฏิบัติได้ในสมัยโบราณ สิ่งนี้พิสูจน์ได้จากปิรามิดที่พวกเขาสร้างและวิหารพาร์เธนอน ท้ายที่สุดแล้ว ตัวเลข 0.618 เป็นค่าสัมประสิทธิ์คงที่ของส่วนสีทอง ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีในสมัยก่อน ตามกฎนี้ ส่วนใดส่วนหนึ่งสามารถแบ่งออกได้ในลักษณะที่อัตราส่วนระหว่างส่วนต่างๆ ของมันจะตรงกับอัตราส่วนระหว่างส่วนที่ใหญ่ที่สุดกับความยาวทั้งหมด

มาสร้างชุดความสัมพันธ์เหล่านี้และลองวิเคราะห์ลำดับนี้กัน ชุดตัวเลขจะเป็นดังนี้: 1; 0.5; 0.67; 0.6; 0.625; 0.615; 0.619 เป็นต้น เมื่อดำเนินต่อไปในลักษณะนี้ เราสามารถยืนยันได้ว่าขีดจำกัดของลำดับการบรรจบกันจะเป็น 0.618 จริงหรือไม่ อย่างไรก็ตาม จำเป็นต้องสังเกตคุณสมบัติอื่นๆ ของความสม่ำเสมอนี้ ที่นี่ตัวเลขดูเหมือนจะสุ่มและไม่เรียงลำดับจากน้อยไปมากหรือมากไปหาน้อย ซึ่งหมายความว่าลำดับการบรรจบกันนี้ไม่ใช่เสียงเดียว เหตุใดจึงเป็นเช่นนี้จะมีการหารือเพิ่มเติม

ความซ้ำซากจำเจและข้อจำกัด

สมาชิกของชุดตัวเลขที่มีจำนวนเพิ่มขึ้นสามารถลดลงได้อย่างชัดเจน (ถ้า x 1>x 2>x 3>...> x n>...) หรือเพิ่มขึ้น (ถ้า x 1

เมื่อวาดตัวเลขของซีรีส์นี้แล้ว เราจะสังเกตได้ว่าสมาชิกคนใดก็ตามที่เข้าใกล้ 1 อย่างไม่มีกำหนด จะไม่มีวันเกินค่านี้ ในกรณีนี้ ลำดับการบรรจบกันเรียกว่ามีขอบเขต สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่มีจำนวนบวก M ซึ่งมากกว่าเงื่อนไขใดๆ ของโมดูโลซีรีส์เสมอ หากอนุกรมจำนวนมีสัญญาณของความซ้ำซากจำเจและมีข้อ จำกัด และดังนั้นจึงมาบรรจบกันก็จำเป็นต้องมีคุณสมบัติดังกล่าว และสิ่งที่ตรงกันข้ามไม่จำเป็นต้องเป็นจริง นี่คือหลักฐานโดยทฤษฎีบทขอบเขตสำหรับลำดับการบรรจบกัน

การนำข้อสังเกตดังกล่าวไปประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติกลับกลายเป็นว่ามีประโยชน์มาก มายกตัวอย่างเฉพาะโดยพิจารณาคุณสมบัติของลำดับ X n = n/n+1 และพิสูจน์การบรรจบกันของลำดับ ง่ายต่อการแสดงว่าเป็นแบบโมโนโทนิก เนื่องจาก (x n +1 - x n) เป็นจำนวนบวกสำหรับค่าใดๆ ของ n ขีด จำกัด ของลำดับเท่ากับหมายเลข 1 ซึ่งหมายความว่าเงื่อนไขทั้งหมดของทฤษฎีบทข้างต้นหรือที่เรียกว่าทฤษฎีบท Weierstrass เป็นที่พอใจ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับขอบเขตของลำดับการบรรจบกันระบุว่าถ้ามันมีขีดจำกัด แล้วในกรณีใด ๆ มันก็กลายเป็นขอบเขต อย่างไรก็ตาม ลองมาดูตัวอย่างต่อไปนี้ ชุดตัวเลข X n = (-1) n ถูกจำกัดจากด้านล่างด้วย -1 และจากด้านบนด้วย 1 แต่ลำดับนี้ไม่ใช่เสียงเดียว ไม่มีขีดจำกัด ดังนั้นจึงไม่มาบรรจบกัน นั่นคือ การมีอยู่ของลิมิตและการบรรจบกันไม่ได้เกิดขึ้นจากข้อจำกัดเสมอไป เพื่อให้ใช้งานได้ ขีดจำกัดล่างและบนต้องตรงกัน ในกรณีของอัตราส่วน Fibonacci

ตัวเลขและกฎแห่งจักรวาล

ตัวแปรที่ง่ายที่สุดของลำดับคอนเวอร์เจนต์และลำดับไดเวอร์เจนต์ บางที อนุกรมตัวเลข X n = n และ X n = 1/n อันแรกเป็นอนุกรมของตัวเลข มันใหญ่มากอย่างที่กล่าวไปแล้ว ลำดับการบรรจบกันที่สองมีขอบเขต และเทอมของมันถูกจำกัดด้วยขนาดที่เล็กที่สุด แต่ละสูตรเหล่านี้แสดงถึงด้านใดด้านหนึ่งของจักรวาลที่มีหลายแง่มุม ช่วยให้บุคคลสามารถจินตนาการและคำนวณสิ่งที่ไม่สามารถเข้าใจได้ ไม่สามารถเข้าถึงการรับรู้ที่จำกัดในภาษาของตัวเลขและสัญลักษณ์

กฎของจักรวาลซึ่งมีตั้งแต่เล็กน้อยไปจนถึงใหญ่อย่างเหลือเชื่อ ยังแสดงด้วยอัตราส่วนทองคำที่ 0.618 ด้วย นักวิทยาศาสตร์เชื่อว่ามันเป็นพื้นฐานของแก่นแท้ของสิ่งต่าง ๆ และถูกใช้โดยธรรมชาติเพื่อสร้างชิ้นส่วนของมัน ความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกถัดไปและสมาชิกก่อนหน้าของซีรี่ส์ Fibonacci ที่เราได้กล่าวไปแล้วนั้น ไม่ได้ทำให้การสาธิตคุณสมบัติที่น่าทึ่งของซีรีย์พิเศษนี้เสร็จสมบูรณ์ หากเราพิจารณาผลหารของการหารเทอมก่อนหน้าด้วยเทอมถัดไปผ่านหนึ่ง เราก็จะได้ชุดค่าเท่ากับ 0.5 0.33; 0.4; 0.375; 0.384; 0.380; 0.382 และอื่นๆ เป็นที่น่าสนใจว่าลำดับที่จำกัดนี้มาบรรจบกัน มันไม่ซ้ำซากจำเจ แต่อัตราส่วนของตัวเลขที่อยู่ใกล้เคียงสุดขั้วจากสมาชิกบางคนมักจะประมาณ 0.382 ซึ่งสามารถใช้ในสถาปัตยกรรม การวิเคราะห์ทางเทคนิค และอุตสาหกรรมอื่นๆ ได้

มีสัมประสิทธิ์ที่น่าสนใจอื่นๆ ของอนุกรมฟีโบนักชี ซึ่งทั้งหมดมีบทบาทพิเศษในธรรมชาติ และยังใช้โดยมนุษย์เพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติ นักคณิตศาสตร์มั่นใจว่าจักรวาลพัฒนาตาม "เกลียวทอง" ที่เกิดขึ้นจากสัมประสิทธิ์ที่ระบุ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา จึงสามารถคำนวณปรากฏการณ์มากมายที่เกิดขึ้นบนโลกและในอวกาศได้ ตั้งแต่การเติบโตของแบคทีเรียบางชนิดไปจนถึงการเคลื่อนที่ของดาวหางที่อยู่ห่างไกล ผลปรากฎว่ารหัส DNA เป็นไปตามกฎหมายที่คล้ายคลึงกัน

ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

มีทฤษฎีบทที่ยืนยันความเป็นเอกลักษณ์ของลิมิตของลำดับการบรรจบกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถมีขีดจำกัดสองอย่างหรือมากกว่านั้นได้ ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการค้นหาลักษณะทางคณิตศาสตร์อย่างไม่ต้องสงสัย

ลองพิจารณาบางกรณี อนุกรมตัวเลขใดๆ ที่ประกอบด้วยสมาชิกของการก้าวหน้าเลขคณิตจะมีความแตกต่างกัน ยกเว้นกรณีที่มีขั้นตอนศูนย์ เช่นเดียวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ซึ่งตัวส่วนมีค่ามากกว่า 1 ลิมิตของอนุกรมตัวเลขดังกล่าวคือ "บวก" หรือ "ลบ" ของอนันต์ หากตัวส่วนน้อยกว่า -1 ก็ไม่มีขีดจำกัดเลย ทางเลือกอื่นก็สามารถทำได้เช่นกัน

พิจารณาชุดตัวเลขที่กำหนดโดยสูตร X n = (1/4) n -1 . เมื่อมองแวบแรก จะเห็นได้ง่ายว่าลำดับการบรรจบกันนี้มีขอบเขตเพราะมีการลดลงอย่างเคร่งครัดและไม่มีทางรับค่าลบได้เลย

ลองเขียนจำนวนสมาชิกในแถวกัน

รับ: 1; 0.25; 0.0625; 0.015625; 0.00390625 และอื่นๆ การคำนวณที่ค่อนข้างง่ายก็เพียงพอที่จะทำความเข้าใจว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่กำหนดด้วยตัวส่วน 0 . นั้นเร็วเพียงใด

ลำดับพื้นฐาน

ออกุสติน หลุยส์ คอชี นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เปิดเผยผลงานมากมายที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ให้โลกรู้ เขาให้คำจำกัดความของแนวคิดต่างๆ เช่น ดิฟเฟอเรนเชียล อินทิกรัล ลิมิต และความต่อเนื่อง เขายังศึกษาคุณสมบัติพื้นฐานของลำดับการบรรจบกันด้วย เพื่อให้เข้าใจแก่นแท้ของความคิดของเขา จำเป็นต้องสรุปรายละเอียดที่สำคัญบางประการ

ในตอนต้นของบทความ แสดงให้เห็นว่ามีลำดับดังกล่าวซึ่งมีพื้นที่ใกล้เคียงซึ่งจุดที่เป็นตัวแทนของสมาชิกของซีรีส์บางเรื่องบนเส้นจริงเริ่มจัดกลุ่ม เรียงแถวกันหนาแน่นมากขึ้น ในเวลาเดียวกัน ระยะห่างระหว่างพวกเขาลดลงเมื่อจำนวนตัวแทนคนต่อไปเพิ่มขึ้น กลายเป็นสิ่งเล็กๆ อย่างไม่สิ้นสุด ดังนั้น ปรากฎว่าในละแวกที่กำหนด ตัวแทนจำนวนอนันต์ของซีรีส์ที่กำหนดจะถูกจัดกลุ่ม ในขณะที่นอกเขตนั้นมีจำนวนจำกัด ลำดับดังกล่าวเรียกว่าพื้นฐาน

เกณฑ์ Cauchy ที่มีชื่อเสียงซึ่งสร้างขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส แสดงให้เห็นชัดเจนว่าการมีอยู่ของคุณสมบัติดังกล่าวเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่าลำดับมาบรรจบกัน สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน

ควรสังเกตว่าบทสรุปของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสนี้ส่วนใหญ่มีความสนใจในทางทฤษฎีล้วนๆ การประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติถือว่าเป็นเรื่องที่ค่อนข้างซับซ้อน ดังนั้น เพื่อที่จะชี้แจงการบรรจบกันของอนุกรมวิธาน สิ่งที่สำคัญกว่ามากคือการพิสูจน์การมีอยู่ของขีดจำกัดจำกัดของลำดับ มิฉะนั้นจะถือว่าแตกต่างกัน

ในการแก้ปัญหา ควรคำนึงถึงคุณสมบัติพื้นฐานของลำดับการบรรจบกันด้วย พวกเขาจะนำเสนอด้านล่าง

ผลรวมอนันต์

นักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงในสมัยโบราณเช่น Archimedes, Euclid, Eudoxus ใช้ผลรวมของอนุกรมจำนวนอนันต์ในการคำนวณความยาวของส่วนโค้ง ปริมาตรของร่างกาย และพื้นที่ของตัวเลข โดยเฉพาะอย่างยิ่งด้วยวิธีนี้จึงสามารถหาพื้นที่ของส่วนพาราโบลาได้ สำหรับสิ่งนี้ จะใช้ผลรวมของอนุกรมตัวเลขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วย q=1/4 ปริมาณและพื้นที่ของตัวเลขตามอำเภอใจอื่น ๆ พบในลักษณะเดียวกัน ตัวเลือกนี้เรียกว่าวิธี "หมดแรง" แนวคิดก็คือว่าร่างกายที่ศึกษาซึ่งมีรูปร่างซับซ้อน ถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ ซึ่งเป็นตัวเลขที่วัดค่าพารามิเตอร์ได้ง่าย ด้วยเหตุนี้จึงไม่ใช่เรื่องยากในการคำนวณพื้นที่และปริมาตร จากนั้นจึงนำมารวมกัน

อีกอย่างงานที่คล้ายคลึงกันนั้นคุ้นเคยกับเด็กนักเรียนสมัยใหม่มากและพบได้ในงาน USE วิธีการที่ไม่เหมือนใครซึ่งพบโดยบรรพบุรุษที่อยู่ห่างไกลกันนั้นเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุด แม้ว่าจะมีเพียงสองหรือสามส่วนที่แบ่งตัวเลขเป็นตัวเลข การเพิ่มพื้นที่ของพวกมันก็ยังเป็นผลรวมของชุดตัวเลข

ช้ากว่านักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Leibniz และ Newton จากประสบการณ์ของบรรพบุรุษที่ชาญฉลาดของพวกเขา พวกเขาได้เรียนรู้กฎของการคำนวณเชิงปริพันธ์ ความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของลำดับช่วยให้พวกเขาแก้สมการเชิงอนุพันธ์และพีชคณิตได้ ในปัจจุบัน ทฤษฎีอนุกรมวิธานซึ่งสร้างขึ้นโดยความพยายามของนักวิทยาศาสตร์ที่มีความสามารถหลายชั่วอายุคน ทำให้มีโอกาสแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์และทางปฏิบัติจำนวนมาก และการศึกษาลำดับตัวเลขเป็นปัญหาหลักที่การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เริ่มแก้ไขได้ตั้งแต่เริ่มสร้าง

ลำดับเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ ลำดับสามารถประกอบด้วยตัวเลข จุด ฟังก์ชัน เวกเตอร์ และอื่นๆ ลำดับจะได้รับการพิจารณาหากมีการระบุกฎหมายโดยที่แต่ละหมายเลขธรรมชาติ n เชื่อมโยงกับองค์ประกอบ x n ของบางชุด ลำดับเขียนเป็น x 1 , x 2 , …, x n หรือสั้น ๆ (x n) องค์ประกอบ x 1 , x 2 , ... , x n ถูกเรียกว่าสมาชิกของลำดับ x 1 - ที่หนึ่ง x 2 - ที่สอง x n - สมาชิกทั่วไป (n-th) ของลำดับ

ส่วนใหญ่มักจะพิจารณาลำดับตัวเลขนั่นคือลำดับที่มีสมาชิกเป็นตัวเลข วิธีวิเคราะห์เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการระบุลำดับตัวเลข ทำได้โดยใช้สูตรที่แสดงสมาชิกที่ n ของลำดับ x 1 ในรูปของจำนวน n ตัวอย่างเช่น if

อีกวิธีหนึ่งคือกำเริบ (จากคำภาษาละติน การเกิดซ้ำ- "การกลับมา") เมื่อมีการตั้งค่าสมาชิกสองสามคนแรกของลำดับและกฎ อนุญาตให้คำนวณสมาชิกถัดไปแต่ละคนผ่านสมาชิกก่อนหน้า ตัวอย่างเช่น:

ตัวอย่างของลำดับตัวเลข ได้แก่ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

เป็นที่น่าสนใจที่จะติดตามพฤติกรรมของสมาชิกของลำดับเมื่อจำนวน n เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด (ข้อเท็จจริงที่ว่า n เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนดจะถูกเขียนเป็น n → ∞ และอ่านว่า: “n มีแนวโน้มเป็นอนันต์”)

พิจารณาลำดับที่มีพจน์ร่วมกัน x n = 1/n: x 1 = 1, x 2 = 1/2; x 3 \u003d 1/3, ..., x 100 \u003d 1/100, .... สมาชิกทั้งหมดในลำดับนี้ไม่เป็นศูนย์ แต่ยิ่ง n มาก x n น้อยกว่าจะแตกต่างจากศูนย์ เงื่อนไขของลำดับนี้มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เมื่อ n เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด กล่าวได้ว่าเลขศูนย์คือขีดจำกัดของลำดับนี้

อีกตัวอย่างหนึ่ง: x n = (-1) n / n - กำหนดลำดับ

สมาชิกของลำดับนี้มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เช่นกัน แต่พวกมันมากกว่าศูนย์หรือน้อยกว่าศูนย์ - ขีด จำกัด ของพวกมัน

ลองพิจารณาตัวอย่างอื่น: x n = (n − 1)/(n + 1) ถ้าเราเป็นตัวแทนของ x n ในรูปแบบ

จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่าลำดับนี้มีแนวโน้มที่จะเป็นเอกภาพ

ให้เรากำหนดขีด จำกัด ของลำดับ จำนวน a เรียกว่าลิมิตของลำดับ (x n) ถ้าสำหรับจำนวนบวกใดๆ ε เราสามารถระบุจำนวน N ได้ ดังนั้นสำหรับ n > N ทั้งหมด ความไม่เท่าเทียมกัน |x n − a|< ε.

ถ้า a เป็นขีดจำกัดของลำดับ (x n) ให้เขียน x n → a หรือ a = lim n→∞ x n (lim เป็นตัวอักษรสามตัวแรกของคำละติน มะนาวเขียว- "จำกัด")

คำจำกัดความนี้จะชัดเจนขึ้นถ้าเราให้ความหมายทางเรขาคณิต เราใส่ตัวเลข a ในช่วง (a − ε, a + ε) (ดูรูป) จำนวน a คือขีดจำกัดของลำดับ (x n) หากโดยไม่คำนึงถึงความเล็กของช่วงเวลา (a − ε, a + ε) สมาชิกทั้งหมดของลำดับที่มีตัวเลขมากกว่า N บางตัวอยู่ในช่วงนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง นอกช่วงใด ๆ (a − ε, a + ε) สามารถมีสมาชิกในลำดับได้จำนวนจำกัดเท่านั้น

สำหรับลำดับที่พิจารณา x n = (-1) n /n ε-บริเวณใกล้เคียงของจุดศูนย์ที่ ε = 1/10 จะรวมสมาชิกทั้งหมดของลำดับ ยกเว้นสิบอันดับแรก และสำหรับ ε = 1/100 สมาชิกทั้งหมดในลำดับ ยกเว้นร้อยแรก

ลำดับที่มีลิมิตเรียกว่าคอนเวอร์เจนต์ และลำดับที่ไม่มีขีดจำกัดเรียกว่าไดเวอร์เจนต์ ต่อไปนี้คือตัวอย่างลำดับไดเวอร์เจนต์: x n = (-1) n เงื่อนไขคือ +1 และ -1 สลับกัน และไม่มีข้อจำกัดใดๆ

ถ้าลำดับมาบรรจบกัน มันก็มีขอบเขต กล่าวคือ มีตัวเลข c และ d ซึ่งสมาชิกทั้งหมดของลำดับเป็นไปตามเงื่อนไข c ≤ x n ≤ d มันตามมาว่าลำดับที่ไม่ จำกัด ทั้งหมดนั้นแตกต่างกัน นี่คือลำดับ:

ลำดับที่พุ่งไปที่ศูนย์นั้นถือว่าน้อยมาก แนวคิดของ infinitesimal สามารถใช้เป็นพื้นฐานสำหรับคำจำกัดความทั่วไปของขีด จำกัด ของลำดับเนื่องจากขีด จำกัด ของลำดับ (x n) เท่ากับ a if และ only if x n สามารถแสดงเป็นผลรวม x n = a + α n โดยที่ α n มีค่าน้อยมาก

ลำดับที่พิจารณา (1/n), ((-1) n /n) มีน้อยมาก ลำดับ (n -1)/(n + 1) ต่อจาก (2) แตกต่างจาก 1 โดยมีค่าน้อยที่สุด 2/(n + 1) ดังนั้นขีดจำกัดของลำดับนี้คือ 1

สิ่งที่สำคัญอย่างยิ่งในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ก็คือแนวคิดของลำดับที่ใหญ่ไม่สิ้นสุด ลำดับ (x n) เรียกว่าใหญ่ไม่สิ้นสุด ถ้าลำดับ (1/x n) มีขนาดเล็กไม่สิ้นสุด ลำดับที่ใหญ่เป็นอนันต์ (x n) เขียนเป็น x n → ∞ หรือ lim n→∞ x n = ∞ และกล่าวว่า "ไปที่อนันต์" ต่อไปนี้คือตัวอย่างลำดับที่ใหญ่โตอนันต์:

(n 2), (2 n), (√(n + 1)), (n - n 2)

เราเน้นว่าลำดับที่ใหญ่ไม่สิ้นสุดนั้นไม่มีขีดจำกัด

พิจารณาลำดับ (x n) และ (y n) คุณสามารถกำหนดลำดับด้วยเงื่อนไขทั่วไป x n + y n , x n − y n , x n y n และ (ถ้า y n ≠ 0) x n /y n ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง ซึ่งมักเรียกว่าทฤษฎีบทเกี่ยวกับการดำเนินการเลขคณิตที่มีขีดจำกัด: ถ้าลำดับ (x n) และ (y n) มาบรรจบกัน ลำดับ (x n + y n), (x n − y n), (x n y n), ( x n /y n) มาบรรจบกันและมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

ในกรณีหลัง จำเป็นต้องกำหนด นอกจากนี้ สมาชิกทั้งหมดของลำดับ (y n) จะต้องไม่เป็นศูนย์ และยังต้องเป็นไปตามเงื่อนไข lim n→∞ y n ≠ 0

เมื่อใช้ทฤษฎีบทนี้ คุณจะพบข้อจำกัดมากมาย ค้นหาตัวอย่างเช่น ขีด จำกัด ของลำดับที่มีพจน์ทั่วไป

แทน x n ในรูปแบบ

กำหนดว่าขีด จำกัด ของตัวเศษและตัวส่วนมีอยู่:

ดังนั้นเราจึงได้รับ:

ลิม n→∞ x n = 2/1 =2

ลำดับชั้นที่สำคัญคือลำดับเสียงเดียว เรียกว่าลำดับที่เพิ่มขึ้น (x n+1 > x n สำหรับ n ใด ๆ ) การลดลง (x n+1< x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

ลองนึกภาพว่าลำดับ (x n) ไม่ลดลง นั่นคือความไม่เท่าเทียมกัน

x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ … ≤ x n ≤ x n+1 ≤ …,

และให้นอกจากนี้ ลำดับนี้ถูก จำกัด จากด้านบนนั่นคือ x n ทั้งหมดไม่เกินจำนวน d บางตัว สมาชิกของลำดับดังกล่าวแต่ละตัวมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับลำดับก่อนหน้า แต่ไม่มีสิ่งใดเกิน d ค่อนข้างชัดเจนว่าลำดับนี้มีแนวโน้มเป็นจำนวนหนึ่งที่น้อยกว่า d หรือเท่ากับ d ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้วว่าลำดับที่ไม่ลดลงและถูกจำกัดจากลำดับด้านบนมีขีดจำกัด (ข้อความที่คล้ายกันเป็นจริงสำหรับลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้นและถูกจำกัดจากลำดับด้านล่าง) ทฤษฎีบทที่น่าทึ่งนี้ให้เงื่อนไขเพียงพอสำหรับการมีอยู่ของลิมิต จากนั้นเป็นต้นมา ลำดับของพื้นที่ของ n-gon ปกติที่จารึกไว้ในวงกลมรัศมีหน่วยมีขีดจำกัด เนื่องจากมีการเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจและล้อมรอบจากด้านบน ขีดจำกัดของลำดับนี้แสดงด้วย π

โดยใช้ขีดจำกัดของลำดับขอบเขตเสียงเดียว ตัวเลข e ซึ่งมีบทบาทสำคัญในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ถูกกำหนด - ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ:

e = ลิม n→∞ (1 + 1/n) n .

ลำดับที่ (1) ดังที่ได้กล่าวไปแล้วเป็นเสียงเดียวและยิ่งไปกว่านั้น ถูกล้อมรอบจากด้านบน เธอมีขีดจำกัด เราสามารถหาขีดจำกัดนี้ได้อย่างง่ายดาย หากเท่ากับ a แล้วจำนวน a ต้องเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน a = √(2 + a) การแก้สมการนี้ เราจะได้ a = 2