เส้นพิกัด. จุดบนเส้นพิกัด วิธีการวาดเส้นพิกัด วิธีการวาดเส้นพิกัด

ดังนั้นส่วนของหน่วยและส่วนที่สิบ ร้อย และอื่นๆ ทำให้เราสามารถไปยังจุดของเส้นพิกัด ซึ่งจะสอดคล้องกับเศษส่วนทศนิยมสุดท้าย (ดังในตัวอย่างก่อนหน้า) อย่างไรก็ตาม มีจุดบนเส้นพิกัดที่เราไม่สามารถตีได้ แต่เราสามารถเข้าใกล้ได้โดยพลการ โดยใช้จุดที่เล็กกว่าและเล็กกว่าจนถึงเศษส่วนน้อยของส่วนของหน่วย จุดเหล่านี้สอดคล้องกับเศษส่วนทศนิยมที่เป็นคาบและไม่ใช่คาบ ลองยกตัวอย่าง หนึ่งในจุดเหล่านี้บนเส้นพิกัดสอดคล้องกับหมายเลข 3.711711711…=3,(711) ในการเข้าใกล้จุดนี้ คุณต้องแยกส่วนหน่วย 3 ส่วน, 7 ในสิบ, 1 ในร้อย, 1 ในพัน, 7 ในหมื่น, 1 แสน, 1 ล้านของส่วนของหน่วย และอื่นๆ และอีกหนึ่งจุดของเส้นพิกัดสอดคล้องกับ pi (π=3.141592...)

เนื่องจากองค์ประกอบของเซตจำนวนจริงเป็นตัวเลขทั้งหมดที่สามารถเขียนในรูปของเศษส่วนทศนิยมที่มีจำกัดและไม่จำกัด ดังนั้นข้อมูลทั้งหมดข้างต้นในย่อหน้านี้จึงช่วยให้เรายืนยันว่าเราได้กำหนดจำนวนจริงเฉพาะให้กับแต่ละจุดของ เส้นพิกัดในขณะที่เป็นที่ชัดเจนว่าจุดต่าง ๆ สอดคล้องกับจำนวนจริงต่างกัน

ค่อนข้างชัดเจนว่าการติดต่อนี้เป็นแบบตัวต่อตัว นั่นคือ เราสามารถเชื่อมโยงจุดที่กำหนดบนเส้นพิกัดกับจำนวนจริงได้ แต่เรายังสามารถใช้จำนวนจริงที่กำหนดเพื่อระบุจุดเฉพาะบนเส้นพิกัดที่จำนวนจริงนี้สอดคล้องกัน ในการทำเช่นนี้ เราจะต้องเลื่อนจำนวนส่วนของหน่วยออกไป เช่นเดียวกับหนึ่งในสิบ ร้อย และอื่นๆ ของส่วนเดียวจากจุดเริ่มต้นไปในทิศทางที่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 703.405 ตรงกับจุดบนเส้นพิกัดซึ่งสามารถเข้าถึงได้จากจุดเริ่มต้นโดยกำหนดส่วนของหน่วย 703 ไว้ในทิศทางบวก 4 ส่วนที่รวมกันเป็นสิบของหน่วย และ 5 ส่วนที่รวมกัน หนึ่งในพันของหน่วย

ดังนั้น แต่ละจุดบนเส้นพิกัดจะสัมพันธ์กับจำนวนจริง และจำนวนจริงแต่ละจำนวนมีตำแหน่งในรูปของจุดบนเส้นพิกัด นั่นคือเหตุผลที่มักเรียกเส้นพิกัด เส้นจำนวน.

พิกัดของจุดบนเส้นพิกัด

ตัวเลขที่ตรงกับจุดบนเส้นพิกัดเรียกว่า พิกัดของจุดนี้.

ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เรากล่าวว่าจำนวนจริงแต่ละจำนวนตรงกับจุดเดียวบนเส้นพิกัด ดังนั้น พิกัดของจุดจะกำหนดตำแหน่งของจุดนี้บนเส้นพิกัดโดยไม่ซ้ำกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง พิกัดของจุดจะกำหนดจุดนี้บนเส้นพิกัดโดยไม่ซ้ำกัน ในทางกลับกัน แต่ละจุดบนเส้นพิกัดจะสัมพันธ์กับจำนวนจริงเพียงจำนวนเดียว - พิกัดของจุดนี้

ยังคงพูดเกี่ยวกับสัญกรณ์ที่ยอมรับเท่านั้น พิกัดของจุดเขียนอยู่ในวงเล็บทางด้านขวาของตัวอักษรที่แสดงถึงจุดนั้น ตัวอย่างเช่น หากจุด M มีพิกัดเป็น -6 คุณสามารถเขียน M(-6) และสัญกรณ์ของแบบฟอร์มหมายความว่าจุด M บนเส้นพิกัดมีพิกัด

บรรณานุกรม.

• Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I. , Chesnokov A.S. , Shvartburd S.I. คณิตศาสตร์: ตำราเรียนสำหรับ 5 เซลล์ สถาบันการศึกษา.
• Vilenkin N.Ya. เป็นต้น คณิตศาสตร์. ป.6 ตำราเรียนสำหรับสถานศึกษา
• Makarychev Yu.N. , Mindyuk N.G. , Neshkov K.I. , Suvorova S.B. พีชคณิต: ตำราเรียนสำหรับ 8 เซลล์ สถาบันการศึกษา.

เป็นไปไม่ได้ที่จะอ้างว่าคุณรู้คณิตศาสตร์ หากคุณไม่รู้วิธีสร้างกราฟ พรรณนาความไม่เท่าเทียมกันบนเส้นพิกัด และทำงานกับแกนพิกัด องค์ประกอบภาพในวิทยาศาสตร์มีความสำคัญ เพราะหากไม่มีตัวอย่างภาพในสูตรและการคำนวณ บางครั้งคุณอาจสับสนได้ ในบทความนี้ เราจะมาดูวิธีการทำงานกับแกนพิกัดและเรียนรู้วิธีสร้างกราฟฟังก์ชันอย่างง่าย

แอปพลิเคชัน

เส้นพิกัดเป็นพื้นฐานของกราฟประเภทที่ง่ายที่สุดที่นักเรียนพบในเส้นทางการศึกษาของเขา มันถูกใช้ในเกือบทุกหัวข้อทางคณิตศาสตร์: เมื่อคำนวณความเร็วและเวลา ฉายขนาดของวัตถุและคำนวณพื้นที่ของพวกมัน ในตรีโกณมิติเมื่อทำงานกับไซน์และโคไซน์

ค่าหลักของสายตรงดังกล่าวคือการมองเห็น เนื่องจากคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่ต้องใช้การคิดเชิงนามธรรมในระดับสูง กราฟจึงช่วยในการแสดงวัตถุในโลกแห่งความเป็นจริง เขามีพฤติกรรมอย่างไร? อีกไม่กี่วินาที นาที ชั่วโมงจะถึงไหนในอวกาศ? สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับเรื่องนี้เมื่อเปรียบเทียบกับวัตถุอื่น ๆ ? ความเร็วของเวลาที่สุ่มเลือกคืออะไร? วิธีการอธิบายลักษณะการเคลื่อนไหวของเขา?

และเรากำลังพูดถึงความเร็วด้วยเหตุผลบางอย่าง - มักจะเป็นกราฟฟังก์ชันที่แสดงมัน และยังสามารถแสดงการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิหรือความดันภายในวัตถุ ขนาด การวางแนวที่สัมพันธ์กับเส้นขอบฟ้า ดังนั้น การสร้างเส้นพิกัดจึงเป็นสิ่งจำเป็นในวิชาฟิสิกส์เช่นกัน

กราฟ 1 มิติ

มีแนวคิดเกี่ยวกับหลายมิติ เพียงตัวเลขเดียวก็เพียงพอที่จะระบุตำแหน่งของจุด นี่เป็นกรณีเดียวกับการใช้เส้นพิกัด ถ้าช่องว่างเป็นสองมิติ ก็ต้องใช้ตัวเลขสองตัว แผนภูมิประเภทนี้ถูกใช้บ่อยกว่ามากและเราจะพิจารณาเพิ่มเติมอีกเล็กน้อยในบทความ

สิ่งที่สามารถเห็นได้ด้วยความช่วยเหลือของจุดบนแกนหากมีเพียงจุดเดียว? คุณสามารถดูขนาดของวัตถุ ตำแหน่งของวัตถุในอวกาศที่สัมพันธ์กับ "ศูนย์" บางส่วน นั่นคือจุดที่เลือกเป็นจุดกำเนิด

จะไม่สามารถเห็นการเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์เมื่อเวลาผ่านไป เนื่องจากการอ่านทั้งหมดจะแสดงในช่วงเวลาหนึ่งโดยเฉพาะ อย่างไรก็ตาม คุณต้องเริ่มต้นที่ไหนสักแห่ง! มาเริ่มกันเลยดีกว่า

วิธีสร้างแกนพิกัด

ก่อนอื่นคุณต้องวาดเส้นแนวนอน - นี่จะเป็นแกนของเรา ทางด้านขวา "ลับคม" ให้ดูเหมือนลูกศร ดังนั้นเราจึงระบุทิศทางที่ตัวเลขจะเพิ่มขึ้น ในทิศทางลง มักจะไม่วางลูกศร ตามเนื้อผ้า แกนจะหันไปทางขวา ดังนั้นเราจะทำตามกฎนี้

ลองใส่เครื่องหมายศูนย์ซึ่งจะแสดงที่มาของพิกัด นี่คือที่ที่ใช้นับเวลาถอยหลัง ไม่ว่าจะเป็นขนาด น้ำหนัก ความเร็ว หรืออย่างอื่น นอกเหนือจากศูนย์ เราจำเป็นต้องกำหนดราคาหารที่เรียกว่า กล่าวคือ แนะนำหน่วยมาตรฐาน ซึ่งเราจะกำหนดปริมาณที่แน่นอนบนแกน ต้องทำเพื่อให้สามารถหาความยาวของส่วนบนเส้นพิกัดได้

ด้วยระยะห่างที่เท่ากัน เราใส่จุดหรือ "รอยหยัก" บนเส้น และใต้จุดนั้นเราเขียน 1,2,3 ตามลำดับเป็นต้น และตอนนี้ทุกอย่างก็พร้อมแล้ว แต่ด้วยตารางงานที่ได้ผล คุณยังต้องเรียนรู้วิธีการทำงาน

ประเภทของจุดบนเส้นพิกัด

เมื่อเหลือบมองภาพวาดที่เสนอในตำราเรียนจะชัดเจน: สามารถเติมจุดบนแกนหรือไม่เติมก็ได้ คุณคิดว่ามันเป็นเรื่องบังเอิญหรือไม่? ไม่เลย! จุด "ทึบ" ใช้สำหรับความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวด ซึ่งอ่านว่า "มากกว่าหรือเท่ากับ" หากเราต้องจำกัดช่วงเวลาอย่างเคร่งครัด (เช่น "x" สามารถรับค่าจากศูนย์เป็นหนึ่งได้ แต่ไม่รวมค่านั้น) เราจะใช้จุด "กลวง" อันที่จริงแล้วเป็นวงกลมเล็กๆ บนแกน ควรสังเกตว่านักเรียนไม่ชอบความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด เพราะพวกเขาทำงานได้ยากกว่า

ขึ้นอยู่กับจุดที่คุณใช้ในแผนภูมิ ช่วงเวลาที่สร้างขึ้นจะถูกตั้งชื่อด้วย หากความไม่เท่าเทียมกันของทั้งสองฝ่ายไม่เข้มงวด เราก็จะได้ส่วน หากในด้านหนึ่งปรากฏว่า "เปิด" จะถูกเรียกว่าครึ่งช่วง สุดท้าย หากส่วนหนึ่งของเส้นตรงทั้งสองข้างล้อมรอบด้วยจุดกลวง จะถูกเรียกว่าช่วงห่าง

เครื่องบิน

เมื่อสร้างสองบรรทัดเราสามารถพิจารณากราฟของฟังก์ชันได้แล้ว สมมติว่าเส้นแนวนอนคือแกนเวลาและเส้นแนวตั้งคือระยะทาง และตอนนี้เราสามารถระบุได้ว่าวัตถุจะเอาชนะระยะทางใดในหนึ่งนาทีหรือหนึ่งชั่วโมงของการเดินทาง ดังนั้นการทำงานกับเครื่องบินทำให้สามารถตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงสถานะของวัตถุได้ สิ่งนี้น่าสนใจมากกว่าการสำรวจสถานะคงที่

กราฟที่ง่ายที่สุดบนระนาบดังกล่าวคือเส้นตรง ซึ่งสะท้อนถึงฟังก์ชัน Y(X) = aX + b เส้นจะโค้งงอหรือไม่? ซึ่งหมายความว่าวัตถุเปลี่ยนลักษณะเฉพาะในกระบวนการวิจัย

ลองนึกภาพว่าคุณกำลังยืนอยู่บนหลังคาของอาคารที่ถือหินในมือที่ยื่นออกไป เมื่อคุณปล่อย มันจะบินลง โดยเริ่มเคลื่อนที่จากความเร็วเป็นศูนย์ แต่ในวินาทีนั้น เขาจะเอาชนะได้ 36 กิโลเมตรต่อชั่วโมง หินจะยังคงเร่งความเร็วต่อไป และเพื่อที่จะวาดการเคลื่อนไหวบนแผนภูมิ คุณจะต้องวัดความเร็วของมันหลายจุดในเวลาโดยกำหนดจุดบนแกนในตำแหน่งที่เหมาะสม

เครื่องหมายบนเส้นพิกัดแนวนอนโดยค่าเริ่มต้นจะมีชื่อว่า X1, X2,X3 และในแนวตั้ง - Y1, Y2,Y3 ตามลำดับ โดยฉายภาพลงบนระนาบและหาทางแยก เราจะพบชิ้นส่วนของรูปแบบที่ได้ เชื่อมต่อพวกมันด้วยเส้นเดียว เราจะได้กราฟของฟังก์ชัน ในกรณีที่หินตกลงมา ฟังก์ชันกำลังสองจะมีลักษณะดังนี้: Y(X) = aX * X + bX + c

มาตราส่วน

แน่นอน ไม่จำเป็นต้องตั้งค่าจำนวนเต็มถัดจากการหารด้วยเส้นตรง หากคุณกำลังพิจารณาการเคลื่อนที่ของหอยทากที่คลานด้วยความเร็ว 0.03 เมตรต่อนาที ให้กำหนดเป็นค่าบนเส้นตรงพิกัด ในกรณีนี้ ตั้งค่าการหารเป็น 0.01 เมตร

สะดวกเป็นพิเศษในการวาดภาพในสมุดบันทึกในกรง - ที่นี่คุณสามารถดูได้ทันทีว่ามีพื้นที่เพียงพอบนแผ่นงานสำหรับตารางเวลาของคุณหรือไม่ไม่ว่าคุณจะเกินระยะขอบหรือไม่ การคำนวณความแข็งแกร่งของคุณไม่ใช่เรื่องยากเพราะความกว้างของเซลล์ในสมุดบันทึกดังกล่าวคือ 0.5 เซนติเมตร มันเอา - ลดขนาดภาพ โดยการเปลี่ยนมาตราส่วนของกราฟจะไม่สูญเสียหรือเปลี่ยนแปลงคุณสมบัติของกราฟ

พิกัดจุดและเส้น

เมื่อโจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในบทเรียน อาจมีพารามิเตอร์ของรูปทรงเรขาคณิตต่างๆ ทั้งในรูปของความยาวด้าน เส้นรอบรูป พื้นที่ และในรูปของพิกัด ในกรณีนี้ คุณอาจต้องสร้างรูปร่างและรับข้อมูลบางส่วนที่เกี่ยวข้อง คำถามเกิดขึ้น: จะหาข้อมูลที่ต้องการบนเส้นพิกัดได้อย่างไร? และจะสร้างร่างได้อย่างไร?

ตัวอย่างเช่น เรากำลังพูดถึงประเด็น จากนั้นตัวพิมพ์ใหญ่จะปรากฏขึ้นในเงื่อนไขของปัญหา และตัวเลขหลายตัวจะปรากฏในวงเล็บ ซึ่งส่วนใหญ่มักจะเป็นสองตัว (ซึ่งหมายความว่าเราจะนับในช่องว่างสองมิติ) หากมีตัวเลขสามตัวในวงเล็บ คั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาคหรือจุลภาค จะเป็นช่องว่างสามมิติ แต่ละค่าเป็นพิกัดบนแกนที่เกี่ยวข้อง: อันดับแรกตามแนวนอน (X) จากนั้นตามแนวตั้ง (Y)

จำวิธีการวาดส่วนได้หรือไม่ คุณส่งต่อในเรขาคณิต หากมีสองจุดก็สามารถลากเส้นระหว่างจุดทั้งสองได้ พิกัดของพวกเขาจะถูกระบุไว้ในวงเล็บหากมีส่วนปรากฏในปัญหา ตัวอย่างเช่น: A(15, 13) - B(1, 4). ในการสร้างเส้นดังกล่าว คุณต้องค้นหาและทำเครื่องหมายจุดบนระนาบพิกัด แล้วเชื่อมต่อเข้าด้วยกัน นั่นคือทั้งหมด!

และรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ก็ตามที่คุณทราบ สามารถวาดโดยใช้ส่วนต่างๆ ได้ แก้ไขปัญหา.

การคำนวณ

สมมติว่ามีวัตถุบางอย่างที่มีตำแหน่งตามแนวแกน X ที่มีตัวเลขสองตัว: มันเริ่มต้นที่จุดด้วยพิกัด (-3) และสิ้นสุดที่ (+2) หากเราต้องการทราบความยาวของวัตถุนี้ เราต้องลบจำนวนที่น้อยกว่าออกจากจำนวนที่มากกว่า โปรดทราบว่าจำนวนลบจะดูดซับเครื่องหมายของการลบ เนื่องจาก "ลบคูณลบเท่ากับบวก" ดังนั้นเราจึงบวก (2+3) และรับ 5 นี่คือผลลัพธ์ที่ต้องการ

อีกตัวอย่างหนึ่ง: เราได้รับจุดสิ้นสุดและความยาวของวัตถุ แต่ไม่ใช่จุดเริ่มต้น (และเราต้องหามันให้พบ) ให้ตำแหน่งของจุดที่ทราบเป็น (6) และขนาดของวัตถุที่ศึกษาเป็น (4) โดยการลบความยาวออกจากพิกัดสุดท้าย เราจะได้คำตอบ รวม: (6 - 4) = 2

ตัวเลขติดลบ

บ่อยครั้งจำเป็นต้องทำงานกับค่าลบ ในกรณีนี้ เราจะเคลื่อนไปตามแกนพิกัดไปทางซ้าย ตัวอย่างเช่น วัตถุสูง 3 ซม. ลอยอยู่ในน้ำ หนึ่งในสามของมันถูกแช่ในของเหลว สองในสามอยู่ในอากาศ จากนั้น เมื่อเลือกผิวน้ำเป็นแกน เราก็ได้ตัวเลขสองตัวโดยใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุด: จุดบนสุดของวัตถุมีพิกัด (+2) และจุดล่าง - (-1) เซนติเมตร

มันง่ายที่จะเห็นว่าในกรณีของเครื่องบิน เรามีเส้นพิกัดสี่ในสี่ แต่ละคนมีหมายเลขของตัวเอง ในส่วนแรก (ขวาบน) จะมีจุดที่มีพิกัดบวกสองจุดในส่วนที่สอง - ที่ด้านซ้ายบน - ค่าของแกน X จะเป็นค่าลบ และตามแกน Y - ค่าบวก ที่สามและสี่จะถูกนับทวนเข็มนาฬิกาต่อไป

ทรัพย์สินที่สำคัญ

คุณรู้ว่าเส้นสามารถแสดงเป็นจุดจำนวนอนันต์ได้ เราสามารถดูได้อย่างละเอียดถี่ถ้วนเหมือนที่เราชอบค่าจำนวนเท่าใดก็ได้ในแต่ละทิศทางของแกน แต่เราจะไม่พบกับค่าที่ซ้ำกัน ดูเหมือนไร้เดียงสาและเข้าใจได้ แต่ข้อความนั้นเกิดจากข้อเท็จจริงที่สำคัญ: แต่ละหมายเลขสอดคล้องกับจุดเดียวและจุดเดียวบนเส้นพิกัด

บทสรุป

จำไว้ว่าต้องสร้างแกน ตัวเลข และถ้าเป็นไปได้ กราฟิกจะต้องสร้างขึ้นบนไม้บรรทัด มนุษย์ไม่ได้คิดค้นหน่วยวัดโดยบังเอิญ - หากคุณทำผิดพลาดในการวาดภาพ คุณเสี่ยงที่จะเห็นภาพที่ไม่ใช่ภาพที่ควรจะเป็น

ระมัดระวังและแม่นยำในการพล็อตกราฟและการคำนวณ เช่นเดียวกับวิทยาศาสตร์อื่นๆ ที่เรียนในโรงเรียน คณิตศาสตร์ชอบความแม่นยำ ทุ่มเทสักนิดแล้วเกรดดีจะใช้เวลาไม่นาน

หัวข้อบทเรียน:

« พิกัดเป็นเส้นตรง»

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

แนะนำนักเรียนให้รู้จักเส้นพิกัดและตัวเลขติดลบ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

การฝึกอบรม: แนะนำนักเรียนให้รู้จักเส้นพิกัดและตัวเลขติดลบ

การพัฒนา: การพัฒนาการคิดเชิงตรรกะ การขยายขอบเขตอันไกลโพ้น

ทางการศึกษา: การพัฒนาความสนใจทางปัญญา, การศึกษาวัฒนธรรมสารสนเทศ

แผนการเรียน:

ช่วงเวลาขององค์กรตรวจสอบนักเรียนและความพร้อมในบทเรียน

อัพเดทองค์ความรู้เบื้องต้นการสำรวจช่องปากของนักเรียนในหัวข้อที่ครอบคลุม

คำอธิบายของวัสดุใหม่

4. การรวมวัสดุที่ศึกษา.

5. สรุป.สรุปสิ่งที่ได้เรียนรู้ในบทเรียน คำถามจากนักศึกษา.

6. บทสรุปสรุปประเด็นหลักของบทเรียน การประเมินความรู้ การใส่เครื่องหมาย

7. การบ้าน. งานอิสระนักเรียนที่มีสื่อการเรียนรู้

อุปกรณ์ : ชอล์ค,กระดานสไลด์

แผนเค้าร่างขยาย

ชื่อเวทีและเนื้อหา

กิจกรรม

กิจกรรม

นักเรียน

ฉันเวที

ช่วงเวลาขององค์กร ทักทาย.

กรอกวารสาร.

กล่าวสวัสดี หัวหน้าชั้นเรียนให้รายชื่อผู้ไม่อยู่

พูดสวัสดีกับ

ครู

ครั้งที่สอง เวที

อัพเดทองค์ความรู้เบื้องต้น

Pythagoras นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณกล่าวว่า "ตัวเลขครองโลก" เราอาศัยอยู่ในโลกแห่งตัวเลข และในวัยเรียนของเรา เราเรียนรู้ที่จะทำงานกับตัวเลขต่างๆ

1 ตัวเลขอะไรที่เรารู้อยู่แล้วสำหรับบทเรียนวันนี้?

2 ตัวเลขเหล่านี้ช่วยเราแก้ปัญหาอะไรได้บ้าง?

วันนี้เราจะไปที่การศึกษาบทที่สองของหนังสือเรียน "จำนวนตรรกยะ" ซึ่งเราจะขยายความรู้ของเราเกี่ยวกับตัวเลขและหลังจากศึกษาทั้งบท "จำนวนตรรกยะ" เราจะเรียนรู้วิธีการดำเนินการทั้งหมดที่คุณรู้ กับพวกเขาและเริ่มต้นด้วยเส้นพิกัดหัวข้อ

1. เศษส่วนธรรมดา เศษส่วนทศนิยม

2.การบวก ลบ คูณ หาร หาเศษส่วนจากตัวเลขและตัวเลขจากเศษส่วนนั้น แก้สมการและปัญหาต่างๆ

ด่าน III

คำอธิบายของวัสดุใหม่

ลองหาเส้น AB แล้วหารด้วยจุด O ออกเป็นสองรังสีเพิ่มเติม - OA และ OB เราเลือกส่วนเดียวบนเส้นตรงและใช้จุด O เป็นจุดกำเนิดและทิศทาง

คำจำกัดความ:

เส้นตรงที่เลือกจุดอ้างอิง ส่วนหน่วย และทิศทางเรียกว่าเส้นพิกัด

ตัวเลขที่แสดงตำแหน่งของจุดบนเส้นตรงเรียกว่าพิกัดของจุดนี้

จะสร้างเส้นพิกัดได้อย่างไร?

วาดตรง

ตั้งส่วนเดียว

ระบุทิศทาง

เส้นพิกัดสามารถวาดได้หลายวิธี ทั้งแนวนอน แนวตั้ง และมุมอื่นๆ ของเส้นขอบฟ้า และมีจุดเริ่มต้นแต่ไม่มีจุดสิ้นสุด

แบบฝึกหัดที่ 1 ข้อใดต่อไปนี้ไม่ประสานกัน (สไลด์)

ลองวาดเส้นพิกัด ทำเครื่องหมายที่มาของพิกัด ส่วนของหน่วย และแยกจุด 1,2,3,4 และอื่นๆ ไปทางซ้ายและขวา

ลองดูเส้นพิกัดที่ได้ ทำไมเส้นตรงถึงไม่สะดวก?

ทิศทางไปทางขวาจากจุดเริ่มต้นเรียกว่าบวกและทิศทางบนเส้นตรงจะแสดงด้วยลูกศร ตัวเลขที่อยู่ทางด้านขวาของจุด O เรียกว่าค่าบวก ตัวเลขติดลบจะอยู่ที่ด้านซ้ายของจุด O และทิศทางทางด้านซ้ายของจุด O เรียกว่าค่าลบ (ไม่ได้ระบุทิศทางเชิงลบ) หากเส้นพิกัดอยู่ในแนวตั้ง ให้อยู่เหนือจุดเริ่มต้น - ตัวเลขบวก ด้านล่างจากจุดกำเนิด - ค่าลบ ตัวเลขติดลบเขียนด้วยเครื่องหมาย "-" พวกเขาอ่านว่า: "ลบหนึ่ง", "ลบสอง", "ลบสาม" ฯลฯ หมายเลข 0 - จุดกำเนิดไม่เป็นบวกหรือลบ มันแยกจำนวนบวกออกจากจำนวนลบ

การแก้สมการและแนวคิดของ "หนี้" ในการคำนวณการซื้อขายทำให้เกิดตัวเลขติดลบ

ตัวเลขติดลบปรากฏช้ากว่าจำนวนธรรมชาติและเศษส่วนธรรมดามาก ข้อมูลแรกเกี่ยวกับตัวเลขติดลบพบได้ในหมู่นักคณิตศาสตร์ชาวจีนในศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสตกาล BC อี ตัวเลขบวกถูกตีความว่าเป็นทรัพย์สิน และตัวเลขติดลบเป็นหนี้ การขาดแคลน ในยุโรป การรับรู้เกิดขึ้นหนึ่งพันปีต่อมา และถึงกระนั้น ก็ยังเรียกตัวเลขติดลบว่า "เท็จ", "จินตภาพ" หรือ "ไร้สาระ" มาเป็นเวลานาน ในศตวรรษที่ 17 ตัวเลขติดลบได้รับการแสดงทางเรขาคณิตบนเส้นจำนวน

คุณยังสามารถยกตัวอย่างของเส้นพิกัด: เทอร์โมมิเตอร์ การเปรียบเทียบยอดเขาและความหดหู่ใจ (ระดับน้ำทะเลเท่ากับศูนย์) ระยะทางบนแผนที่ เพลาลิฟต์ บ้าน เครน

คิดคุณรู้ตัวอย่างอื่น ๆ ของเส้นพิกัดหรือไม่?

งาน

งาน2. ตั้งชื่อพิกัดของจุด

งาน3. วาดจุดบนเส้นพิกัด

งาน 4 . ลากเส้นแนวนอนและทำเครื่องหมายจุด O บนเส้นนั้น ทำเครื่องหมายจุด A, B, C, K บนเส้นนี้หากทราบว่า:

A คือ 9 เซลล์ทางด้านขวาของ O;

B คือ 6.5 เซลล์ทางด้านซ้ายของ O;

C คือ 3½ ช่องว่างทางด้านขวาของ O;

K คือ 3 ช่องว่างทางด้านซ้ายของ O .

บันทึกไว้ในโน๊ตฐาน

ฟังเสริม

ทำงานให้เสร็จในสมุดบันทึกของคุณแล้วอธิบายคำตอบของคุณออกมาดัง ๆ

วาดทำเครื่องหมายที่มาของพิกัดเป็นส่วนเดียว

เส้นตรงดังกล่าวไม่สะดวกเนื่องจากจำนวนเดียวกันตรงกับ 2 จุดบนเส้นตรง

ประวัติศาสตร์ก่อนยุคของเราและยุคของเรา

ระยะที่สี่

การรวมวัสดุที่ศึกษา

1. เส้นพิกัดคืออะไร?

2. จะสร้างเส้นพิกัดได้อย่างไร?

1. เส้นตรงที่เลือกจุดอ้างอิง ส่วนหน่วย และทิศทางเรียกว่า เส้นพิกัด

2) ลากเส้นตรง

ทำเครื่องหมายจุดเริ่มต้นของการนับถอยหลัง

ตั้งส่วนเดียว

ระบุทิศทาง

สเตจวี

สรุป

วันนี้เราเรียนรู้อะไรใหม่บ้าง?

เส้นพิกัดและจำนวนลบ

เวที VI

การประเมินความรู้ การใส่เครื่องหมาย

การบ้าน.

สร้างคำถามในหัวข้อที่ครอบคลุม (รู้คำตอบสำหรับพวกเขา)

เส้นพิกัด.

ลองหาเส้นตรง เรียกมันว่าเส้นตรง x (รูปที่ 1) เราเลือกจุดอ้างอิง O บนเส้นนี้ และยังระบุทิศทางบวกของเส้นนี้ด้วยลูกศร (รูปที่ 2) ดังนั้นทางด้านขวาของจุด O จะมีจำนวนบวกและทางซ้าย - ลบ เราเลือกมาตราส่วน นั่นคือ ขนาดของส่วนของเส้นตรง เท่ากับหนึ่ง เราได้รับมัน เส้นพิกัด(รูปที่ 3). ตัวเลขแต่ละตัวสอดคล้องกับจุดเดียวในบรรทัดนี้ ยิ่งกว่านั้นตัวเลขนี้เรียกว่าพิกัดของจุดนี้ ดังนั้นเส้นจึงเรียกว่าเส้นพิกัด และจุดอ้างอิง O เรียกว่าจุดกำเนิด

ตัวอย่างเช่นในรูป 4 จุด B อยู่ที่ระยะ 2 ทางด้านขวาของจุดกำเนิด จุด D อยู่ที่ระยะ 4 ทางด้านซ้ายของจุดกำเนิด ดังนั้น จุด B มีพิกัด 2 และจุด D มีพิกัด -4 จุด O เองซึ่งเป็นจุดอ้างอิงมีพิกัดเป็น 0 (ศูนย์) มันมักจะเขียนแบบนี้: O(0), B(2), D(-4) และเพื่อไม่ให้พูดว่า "จุด D ที่มีการประสานงานดังกล่าว" อย่างต่อเนื่อง พวกเขาพูดง่ายกว่า: "จุด 0, จุด 2, จุด -4" และในกรณีนี้ การกำหนดจุดด้วยพิกัดนั้นก็เพียงพอแล้ว (รูปที่ 5)

เมื่อทราบพิกัดของจุดสองจุดของเส้นพิกัดแล้ว เราสามารถคำนวณระยะห่างระหว่างจุดเหล่านี้ได้เสมอ สมมติว่าเรามีจุด A และ B สองจุดที่มีพิกัด a และ b ตามลำดับ จากนั้นระยะห่างระหว่างพวกเขาจะเป็น |a - b|. บันทึก |a - b| อ่านว่า "a ลบ b โมดูโล" หรือ "โมดูลัสของความแตกต่างระหว่างตัวเลข a และ b"

โมดูลคืออะไร?

เชิงพีชคณิต โมดูลัสของ x เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ แสดงเป็น |x|. นอกจากนี้ ถ้า x > 0 แล้ว |x| = x ถ้า x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

ในเชิงเรขาคณิต โมดูลัสของจำนวน x คือระยะห่างระหว่างจุดกับจุดกำเนิด และหากมีจุดสองจุดที่มีพิกัด x1 และ x2 แล้ว |x1 - x2| คือระยะห่างระหว่างจุดเหล่านี้

โมดูลนี้เรียกอีกอย่างว่า ค่าสัมบูรณ์.

เราสามารถพูดอะไรได้อีกเมื่อพูดถึงเส้นพิกัด? แน่นอนเกี่ยวกับช่วงตัวเลข

ประเภทของช่วงตัวเลข

สมมุติว่าเรามีเลขสองตัว a และ b นอกจากนี้ b > a (b มากกว่า a) บนเส้นพิกัด นี่หมายความว่าจุด b อยู่ทางด้านขวาของจุด a ให้เราแทนที่ b ในอสมการด้วยตัวแปร x นั่นคือ x > a แล้ว x เป็นจำนวนทั้งหมดที่มากกว่า a บนเส้นพิกัด สิ่งเหล่านี้คือจุดทั้งหมดทางด้านขวาของจุด a ตามลำดับ ส่วนนี้ของเส้นถูกแรเงา (รูปที่ 6) เซตของแต้มดังกล่าวเรียกว่า เปิดคานและช่วงตัวเลขนี้แสดงด้วย (a; +∞) โดยที่เครื่องหมาย +∞ จะถูกอ่านว่า “บวกอนันต์” โปรดทราบว่าจุด a เองไม่รวมอยู่ในช่วงเวลานี้ และแสดงด้วยวงกลมไฟ

พิจารณากรณีที่ x ≥ a ด้วย จากนั้น x คือจำนวนทั้งหมดที่มากกว่าหรือเท่ากับ a บนเส้นพิกัด จุดเหล่านี้ทั้งหมดอยู่ทางขวาของ a เช่นเดียวกับจุด a เอง (ในรูปที่ 7 จุด a ถูกระบุด้วยวงกลมสีดำแล้ว) เซตของแต้มดังกล่าวเรียกว่า คานปิด(หรือเพียงแค่รังสี) และช่วงตัวเลขนี้แสดงด้วย .

เส้นพิกัดเรียกอีกอย่างว่า แกนพิกัด. หรือแค่แกน x

ในตอนท้ายของบทที่ 1 เรากล่าวว่าในวิชาพีชคณิต คุณและฉันต้องเรียนรู้ที่จะอธิบายสถานการณ์จริงด้วยคำพูด (แบบจำลองทางวาจา) เชิงพีชคณิต (พีชคณิตหรืออย่างที่นักคณิตศาสตร์มักพูด แบบจำลองเชิงวิเคราะห์) แบบกราฟิก (กราฟิก) หรือแบบจำลองทางเรขาคณิต) ภาคแรกทั้งหมด หนังสือเรียน(บทที่ 1-5) ทุ่มเทให้กับการศึกษาภาษาคณิตศาสตร์ซึ่งมีการอธิบายแบบจำลองการวิเคราะห์

เริ่มตั้งแต่บทที่ 6 เราจะศึกษาไม่เพียงแต่รูปแบบการวิเคราะห์ใหม่ๆ แต่ยังรวมถึงแบบจำลองกราฟิก (เรขาคณิต) ด้วย พวกมันถูกสร้างขึ้นโดยใช้เส้นพิกัด พิกัดเครื่องบิน. แนวคิดเหล่านี้ค่อนข้างคุ้นเคยสำหรับคุณจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ในเกรด 5-6

เส้นตรง / ซึ่งขึ้นต้น จุด O (จุดอ้างอิง), มาตราส่วน (เดี่ยว ส่วนของเส้นนั่นคือส่วนที่มีความยาวเท่ากับ 1) และทิศทางบวกเรียกว่าเส้นพิกัดหรือแกนพิกัด (รูปที่ 7); คำว่า "แกน x" ก็ใช้เช่นกัน

แต่ละหมายเลขสอดคล้องกับจุดเดียวบนเส้น ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 3.5 ตรงกับจุด M (รูปที่ 8) ซึ่งถูกลบออกจากจุดกำเนิด กล่าวคือ จากจุด O ที่ระยะทางเท่ากับ 3.5 (ในระดับที่กำหนด) และเลื่อนจากจุด O ในทิศทางที่กำหนด ( บวก) ตัวเลข -4 ตรงกับจุด P (ดูรูปที่ 8) ซึ่งถูกลบออกจากจุด O ที่ระยะทางเท่ากับ 4 และเลื่อนจากจุด O ไปในทิศทางลบ กล่าวคือ ไปในทิศทางตรงกันข้ามกับที่กำหนด หนึ่ง.

การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: แต่ละจุดของเส้นพิกัดสอดคล้องกับตัวเลขเดียว

ตัวอย่างเช่น จุด K ซึ่งคือ 5.4 จากจุด O ในทิศทางบวก (ที่กำหนด) สอดคล้องกับหมายเลข 5.4 และจุด N ซึ่งเท่ากับ 2.1 จากจุด O ในทิศทางลบ สอดคล้องกับตัวเลข - 2.1 (ดูรูปที่ . 8)

ตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าพิกัดของจุดที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นในรูป 8 จุด K มีพิกัด 5.4; จุด P - พิกัด -4; จุด M - พิกัด 3.5; จุด N - พิกัด -2.1; จุด O - พิกัด 0 (ศูนย์) ดังนั้นชื่อ - "เส้นพิกัด" เส้นพิกัดคือบ้านที่มีประชากรหนาแน่น ผู้อยู่อาศัยในบ้านหลังนี้เป็นจุด และพิกัดของจุดคือจำนวนอพาร์ทเมนท์ที่ผู้อยู่อาศัยตามคะแนนอาศัยอยู่

ทำไมเราต้องมีเส้นพิกัด? เหตุใดจึงต้องกำหนดลักษณะจุดด้วยตัวเลขและจำนวนจุดต่อจุด? มีประโยชน์ใด ๆ กับสิ่งนี้หรือไม่? มีครับ.
ตัวอย่างเช่น ให้จุดสองจุดบนเส้นพิกัด: A - พร้อมพิกัด o และ B - พร้อมพิกัด b (โดยปกติในกรณีเช่นนี้ พวกเขาจะเขียนให้สั้นลง:
ก(ก), ข(ข)). สมมุติว่าเราต้องหาระยะทาง d ระหว่างจุด A กับ B ปรากฎว่าแทนที่จะทำ การวัดทางเรขาคณิตเพียงใช้สูตรสำเร็จรูป d \u003d (a - b) (คุณศึกษาตอนป. 6)
ดังนั้น ในรูปที่ 8 เรามี:

ในความพยายามที่จะกระชับการให้เหตุผล นักคณิตศาสตร์จึงเห็นด้วยแทนที่จะใช้วลียาวๆ “จุด A ของเส้นพิกัดที่มีพิกัด a” เพื่อใช้วลีสั้นๆ: “ชี้ a” และดังนั้น บนภาพวาด จุดใต้ การพิจารณาแสดงโดยพิกัดของมัน ดังนั้น รูปที่ 9 แสดงเส้นพิกัดซึ่งมีการทำเครื่องหมายจุด - 4; - 2.1; 0; หนึ่ง; 3.5; 5.4.

เส้นพิกัดทำให้เรามีโอกาสเปลี่ยนจากภาษาพีชคณิตเป็นภาษาเรขาคณิตได้อย่างอิสระ และในทางกลับกัน ตัวอย่างเช่น จำนวน a น้อยกว่าจำนวน b ในภาษาพีชคณิตจะเขียนว่า: a< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
อย่างไรก็ตาม ทั้งภาษาเกี่ยวกับพีชคณิตและเรขาคณิตเป็นภาษาทางคณิตศาสตร์แบบเดียวกับที่เรากำลังศึกษาอยู่

มาทำความคุ้นเคยกับองค์ประกอบอื่นๆ ของภาษาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับเส้นพิกัดกัน

1. ให้จุด a ถูกทำเครื่องหมายบนเส้นพิกัด พิจารณาทุกจุดที่อยู่บนเส้นตรงด้านขวาของจุด a และทำเครื่องหมายส่วนที่เกี่ยวข้องด้วยการฟักของเส้นพิกัด (รูปที่ 10) ชุดของคะแนน (ตัวเลข) นี้เรียกว่า open ray และแสดงโดย (a, + oo) โดยที่เครื่องหมาย + oo อ่านว่า: "plus infinity"; มันโดดเด่นด้วยความไม่เท่าเทียมกัน x > a (โดย dz เราหมายถึงจุดใด ๆ ของลำแสง)

โปรดทราบ: จุด a ไม่ได้เป็นของลำแสงเปิด แต่ถ้าจำเป็นต้องแนบจุดนี้กับลำแสงเปิด ให้เขียน x\u003e a หรือ และด้วยเหตุนี้ ให้ทาสีทับจุด b บนภาพวาด (รูปที่ 13);

สำหรับ (-oo, b) เราจะใช้คำว่า ray ด้วย

3. ให้จุด a และ b ถูกทำเครื่องหมายบนเส้นพิกัดและ< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

เซตนี้ (ของตัวเลข) เรียกว่าช่วงเวลาและแสดงโดย (a, b)

มีลักษณะเป็นอสมการคู่ที่เข้มงวด a< х < b (под х понимается любая точка интервала).

โปรดทราบ: ช่วงเวลา (a, b) คือจุดตัด (ส่วนร่วม) ของรังสีเปิดสองเส้น (-oo, b) และ (a, + oo) - เห็นได้ชัดเจนในรูปที่ 15

หากเราบวกปลายของมันเข้ากับช่วง (a, b) เช่น จุด a และ b เราก็จะได้ส่วน [a, b] (รูปที่ 16)

ซึ่งมีลักษณะเป็นอสมการคู่ที่ไม่เคร่งครัด a< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

เซกเมนต์ [a, b] คือจุดตัด (ส่วนร่วม) ของรังสีสองเส้น (-oo, b] และที่มีลักษณะไม่เท่าเทียมกันสองเท่า: a< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

ดังนั้นเราจึงได้แนะนำคำศัพท์ใหม่ห้าคำของภาษาคณิตศาสตร์: เรย์ โอเพ่นเรย์ ช่วงเวลา เซ็กเมนต์ ครึ่งช่วง นอกจากนี้ยังมีคำทั่วไป: ช่องว่างที่เป็นตัวเลข

เส้นพิกัดเองก็ถือเป็นช่วงตัวเลขเช่นกัน สัญกรณ์ (-oo, +oo) ใช้สำหรับมัน

คณิตศาสตร์ ป.7 ดาวน์โหลดฟรี แผนการสอน เตรียมตัวไปโรงเรียนออนไลน์

A.V. Pogorelov, เรขาคณิตสำหรับเกรด 7-11, ตำราเรียนสำหรับสถาบันการศึกษา