Kufiri i sekuencës numerike. Si të vërtetohet se sekuenca konvergon? Vetitë themelore të sekuencave konvergjente Llojet e sekuencave

Përkufizimi i kufijve të sekuencës dhe funksionit, vetitë e kufijve, kufijtë e parë dhe të dytë të shquar, shembuj.

numër konstant a thirrur limit sekuencat(x n) nëse për çdo numër pozitiv arbitrarisht të vogël ε > 0 ekziston një numër N i tillë që të gjitha vlerat x n, për të cilat n>N, plotësojnë pabarazinë

Shkruajeni si më poshtë: ose x n → a.

Pabarazia (6.1) është ekuivalente me pabarazinë e dyfishtë

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, duke u nisur nga ndonjë numër n>N, shtrihen brenda intervalit (a-ε , a+ε), d.m.th. bien në ndonjë lagje ε të vogël të pikës a.

Një sekuencë që ka një kufi quhet konverguese, ndryshe - divergjent.

Koncepti i kufirit të një funksioni është një përgjithësim i konceptit të kufirit të një sekuence, pasi kufiri i një sekuence mund të konsiderohet si kufiri i funksionit x n = f(n) i një argumenti të plotë. n.

Le të jepet një funksion f(x) dhe le të jetë a - pika kufitare domeni i përkufizimit të këtij funksioni D(f), d.m.th. një pikë e tillë, çdo fqinjësi e së cilës përmban pika të bashkësisë D(f) të ndryshme nga a. Pika a mund t'i përkasë ose jo grupit D(f).

Përkufizimi 1. Numri konstant A quhet limit funksione f(x) në x→ a nëse për çdo sekuencë (x n ) të vlerave të argumentit që synojnë a, sekuencat përkatëse (f(x n)) kanë të njëjtin kufi A.

Ky përkufizim quhet përcaktimi i kufirit të një funksioni sipas Heine, ose " në gjuhën e sekuencave”.

Përkufizimi 2. Numri konstant A quhet limit funksione f(x) në x→a nëse, duke pasur parasysh një numër pozitiv arbitrar, arbitrarisht të vogël ε, mund të gjejmë δ >0 (në varësi të ε) të tillë që për të gjithë x, i shtrirë në ε-lagjen e numrit a, d.m.th. për x duke kënaqur pabarazinë
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Ky përkufizim quhet përcaktimi i kufirit të një funksioni sipas Cauchy, ose “në gjuhën ε - δ"

Përkufizimet 1 dhe 2 janë ekuivalente. Nëse funksioni f(x) si x → a ka limit e barabartë me A, kjo shkruhet si

Në rast se sekuenca (f(xn)) rritet (ose zvogëlohet) për një kohë të pacaktuar për çdo metodë të përafrimit x në kufirin tuaj a, atëherë do të themi se funksioni f(x) ka kufi i pafund, dhe shkruani si:

Një ndryshore (d.m.th. një sekuencë ose funksion) kufiri i së cilës është zero quhet pafundësisht i vogël.

Një ndryshore, kufiri i së cilës është i barabartë me pafundësinë quhet pafundësisht i madh.

Për të gjetur kufirin në praktikë, përdorni teoremat e mëposhtme.

Teorema 1 . Nëse ekziston çdo kufi

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentoni. Shprehjet e formës 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ janë të pacaktuara, për shembull, raporti i dy sasive pafundësisht të vogla ose pafundësisht të mëdha, dhe gjetja e një kufiri të këtij lloji quhet "zbulim i pasigurisë".

Teorema 2.

ato. është e mundur të kalohet në kufirin në bazën e shkallës në një eksponent konstant, në veçanti,

Teorema 3.

(6.11)

ku e» 2.7 është baza e logaritmit natyror. Formulat (6.10) dhe (6.11) quhen kufiri i parë i shquar dhe kufiri i dytë i shquar.

Pasojat e formulës (6.11) përdoren gjithashtu në praktikë:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

në veçanti kufiri

Nëse x → a dhe në të njëjtën kohë x > a, atëherë shkruani x →a + 0. Nëse, veçanërisht, a = 0, atëherë shkruani +0 në vend të simbolit 0+0. Në mënyrë të ngjashme, nëse x→a dhe në të njëjtën kohë x dhe emërtohen në përputhje me rrethanat. kufiri i duhur dhe kufiri i majtë funksione f(x) në pikën a. Që kufiri i funksionit f(x) të ekzistojë si x→ a, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që . Funksioni f(x) thirret e vazhdueshme në pikën x 0 nëse kufiri

(6.15)

Kushti (6.15) mund të rishkruhet si:

pra kalimi në kufi nën shenjën e një funksioni është i mundur nëse ai është i vazhdueshëm në një pikë të caktuar.

Nëse shkelet barazia (6.15), atëherë themi se në x = xo funksionin f(x) Ajo ka boshllëk. Konsideroni funksionin y = 1/x. Domeni i këtij funksioni është grupi R, me përjashtim të x = 0. Pika x = 0 është një pikë kufitare e bashkësisë D(f), pasi në cilëndo nga lagjet e saj, d.m.th. çdo interval i hapur që përmban pikën 0 përmban pika nga D(f), por ai vetë nuk i përket këtij grupi. Vlera f(x o)= f(0) nuk është e përcaktuar, kështu që funksioni ka një ndërprerje në pikën x o = 0.

Funksioni f(x) thirret e vazhdueshme në të djathtë në një pikë x o nëse kufiri

dhe e vazhdueshme në të majtë në një pikë x o nëse kufiri

Vazhdimësia e një funksioni në një pikë x oështë e barabartë me vazhdimësinë e saj në këtë pikë si në të djathtë ashtu edhe në të majtë.

Që një funksion të jetë i vazhdueshëm në një pikë x o, për shembull, në të djathtë, është e nevojshme, së pari, që të ketë një kufi të fundëm, dhe së dyti, që ky kufi të jetë i barabartë me f(x o). Prandaj, nëse të paktën një nga këto dy kushte nuk plotësohet, atëherë funksioni do të ketë një boshllëk.

1. Nëse kufiri ekziston dhe nuk është i barabartë me f(x o), atëherë thonë se funksionin f(x) në pikën xo ka thyerje e llojit të parë, ose kërcejnë.

2. Nëse kufiri është +∞ ose -∞ ose nuk ekziston, atëherë thonë se në pikë x o funksioni ka pushim lloji i dytë.

Për shembull, funksioni y = ctg x si x → +0 ka një kufi të barabartë me +∞ , që do të thotë se në pikën x=0 ka një ndërprerje të llojit të dytë. Funksioni y = E(x) (pjesë e plotë e x) në pikat me abshisa me numër të plotë ka ndërprerje të llojit të parë, ose kërcime.

Një funksion që është i vazhdueshëm në çdo pikë të intervalit quhet e vazhdueshme në . Një funksion i vazhdueshëm përfaqësohet nga një kurbë solide.

Shumë probleme që lidhen me rritjen e vazhdueshme të disa sasive çojnë në kufirin e dytë të jashtëzakonshëm. Detyra të tilla, për shembull, përfshijnë: rritjen e kontributit sipas ligjit të interesit të përbërë, rritjen e popullsisë së vendit, kalbjen e një lënde radioaktive, shumëzimin e baktereve etj.

Merrni parasysh shembull i Ya. I. Perelman, e cila jep interpretimin e numrit e në problemin e interesit të përbërë. Numri e ka një kufi . Në bankat e kursimeve, paratë e interesit i shtohen kapitalit fiks çdo vit. Nëse lidhja bëhet më shpesh, atëherë kapitali rritet më shpejt, pasi një sasi e madhe përfshihet në formimin e interesit. Le të marrim një shembull thjesht teorik, shumë të thjeshtuar. Le të vendosë banka 100 den. njësi në masën 100% në vit. Nëse paratë me kamatë i shtohen kapitalit fiks vetëm pas një viti, atëherë deri në këtë kohë 100 den. njësi do të kthehet në 200 den. Tani le të shohim se në çfarë do të shndërrohen 100 den. njësitë, nëse paratë e interesit i shtohen kapitalit fiks çdo gjashtë muaj. Pas gjysmë viti 100 den. njësi do të rritet me 100 × 1,5 = 150, dhe në gjashtë muaj të tjerë - me 150 × 1,5 = 225 (njësi parash). Nëse aderimi bëhet çdo 1/3 e vitit, atëherë pas një viti 100 den. njësi do të kthehet në 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (den. njësi). Ne do të rrisim kornizën kohore për shtimin e parave të interesit në 0,1 vit, 0,01 vit, 0,001 vit, e kështu me radhë. Pastaj nga 100 den. njësi një vit më vonë:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. njësi),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. njësi),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. njësi).

Me një ulje të pakufizuar të kushteve të interesit bashkues, kapitali i akumuluar nuk rritet pafundësisht, por i afrohet një kufiri të caktuar të barabartë me afërsisht 271. Kapitali i vendosur në 100% në vit nuk mund të rritet më shumë se 2,71 herë, edhe nëse interesi i përllogaritur ishte shtohet në kryeqytet çdo sekondë për shkak të limitit

Shembulli 3.1. Duke përdorur përkufizimin e kufirit të një sekuence numrash, provoni se sekuenca x n =(n-1)/n ka një kufi të barabartë me 1.

Zgjidhje. Duhet të vërtetojmë se çfarëdo që marrim ε > 0, ka një numër natyror N për të, i tillë që për të gjithë n > N pabarazia |x n -1|< ε

Merrni çdo ε > 0. Meqenëse x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, atëherë për të gjetur N mjafton të zgjidhet pabarazia 1/n<ε. Отсюда n>1/ε dhe, si rrjedhim, N mund të merret si pjesë e plotë e 1/ε N = E(1/ε). Ne kështu vërtetuam se kufiri .

Zgjidhje. Zbatoni teoremën e shumës kufitare dhe gjeni kufirin e secilit term. Si n → ∞, numëruesi dhe emëruesi i çdo termi priret në pafundësi, dhe ne nuk mund ta zbatojmë drejtpërdrejt teoremën e kufirit të herësit. Prandaj, ne fillimisht transformohemi x n, duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin e anëtarit të parë me n 2, dhe e dyta n. Pastaj, duke zbatuar teoremën e kufirit të koeficientit dhe teoremën e kufirit të shumës, gjejmë:

Shembulli 3.3. . Gjej .

Këtu kemi përdorur teoremën e kufirit të shkallës: kufiri i një shkalle është i barabartë me shkallën e kufirit të bazës.

Shembulli 3.4. Gjej ( ).

Zgjidhje. Është e pamundur të zbatohet teorema e kufirit të diferencës, pasi kemi një pasiguri të formës ∞-∞. Le të transformojmë formulën e termit të përgjithshëm:

Shembulli 3.5. Jepet një funksion f(x)=2 1/x . Vërtetoni se kufiri nuk ekziston.

Zgjidhje. Ne përdorim përkufizimin 1 të kufirit të një funksioni në terma të një sekuence. Merrni një sekuencë ( x n ) që konvergohet në 0, d.m.th. Le të tregojmë se vlera f(x n)= sillet ndryshe për sekuenca të ndryshme. Le të jetë x n = 1/n. Natyrisht, atëherë kufiri Le të zgjedhim tani si x n një sekuencë me një term të përbashkët x n = -1/n, që gjithashtu tenton në zero. Prandaj, nuk ka kufi.

Shembulli 3.6. Vërtetoni se kufiri nuk ekziston.

Zgjidhje. Le të jetë x 1 , x 2 ,..., x n ,... një sekuencë për të cilën
. Si sillet sekuenca (f(x n)) = (sin x n ) për x n të ndryshme → ∞

Nëse x n \u003d p n, atëherë sin x n \u003d mëkat (p n) = 0 për të gjithë n dhe kufizoni Nëse
xn=2 p n+ p /2, pastaj sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 për të gjithë n dhe rrjedhimisht kufiri. Kështu nuk ekziston.

Sekuencat e numrave janë grupe të pafundme numrash. Shembuj të sekuencave janë: sekuenca e të gjithë anëtarëve të një progresioni të pafund gjeometrik, sekuenca e vlerave të përafërta ( x 1 = 1, x 2 = 1,4, x 3= 1.41, ...), sekuenca e perimetrave të rregullt n-gons të brendashkruar në një rreth të caktuar. Le të përsosim nocionin e një sekuence numerike.

Përkufizimi 1. Nëse çdo numër n nga seria natyrore e numrave 1, 2, 3,..., P,... caktuar një numër real x p, atëherë bashkësia e numrave realë

x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , …(2.1)

thirrur sekuenca e numrave, ose thjesht një sekuencë. .

Numrat x 1, x 2, x 3, ..., x p,... do të telefonojë elementet, ose anëtarët sekuencat (2.1), simboli x fq - të përgjithshme një element, ose një anëtar i një sekuence, dhe numri P - e tij numri. Shkurtimisht, sekuenca (2.1) do të shënohet me simbolin (x p). Për shembull, karakteri (1/ n) tregon një sekuencë numrash

Me fjalë të tjera, një sekuencë mund të kuptohet si një grup i pafund elementësh të numëruar ose një grup çiftesh numrash (p, x p), në të cilin numri i parë merr vlerat e njëpasnjëshme 1, 2, 3, ... . Një sekuencë konsiderohet e dhënë nëse specifikohet një metodë për marrjen e ndonjë prej elementeve të saj. Për shembull, formula x n = -1 + (-1)n përcakton sekuencën 0, 2, 0, 2,... .

Gjeometrikisht, sekuenca përshkruhet në boshtin numerik si një sekuencë pikash, koordinatat e të cilave janë të barabarta me anëtarët përkatës të sekuencës. Në fig. 2.1 tregon sekuencën ( x n} = {1/n) në vijën numerike.

Koncepti i një sekuence konvergjente

Përkufizimi 2. Numri a thirrur kufiri i sekuencës{x n} , nëse për ndonjë numër pozitiv ε ka një numër N, kjo për të gjithë n > N pabarazia

Një sekuencë që ka një kufi quhet konverguese. Nëse sekuenca ka një numër si kufi a, atëherë shkruhet kështu:

Një sekuencë që nuk ka kufi quhet divergjent.

Përkufizimi 3. Një sekuencë që ka një numër si kufi a= 0 quhet sekuencë infinite vogël.

Vërejtje 1. Lëreni sekuencën ( x n) ka si limit numrin a. Pastaj sekuenca (α n} = {x n - a) është pafundësisht i vogël, d.m.th. çdo element x fq sekuencë konvergjente me kufi a, mund të përfaqësohet si

ku α n- element i një sekuence infinite vogël (α n} .

Vërejtje 2. Pabarazia (2.2) është e barabartë me pabarazitë (shih vetinë 4 të modulit të një numri nga § 1.5)

Kjo do të thotë se në n > N të gjithë elementët e sekuencës ( x n) ndodhen në ε-lagje pikë a(Fig. 2.2), dhe numri N përcaktohet nga vlera e ε.

Është interesante të jepet një interpretim gjeometrik i këtij përkufizimi. Meqenëse sekuenca është një grup i pafund numrash, atëherë nëse konvergjon, në çdo ε-lagje të pikës a në drejtëzën reale ka një numër të pafund pikash - elemente të këtij vargu, ndërsa jashtë lagjes ε është një numër i kufizuar i elementeve. Prandaj, kufiri i një sekuence shpesh quhet pika e trashjes.

Vërejtje 3. Sekuenca e pakufizuar ka nr final limit. Megjithatë, ajo mund të ketë pafund limit, i cili shkruhet në formën e mëposhtme:

Nëse në të njëjtën kohë, duke filluar nga një numër i caktuar, të gjithë anëtarët e sekuencës janë pozitivë (negativë), atëherë shkruani

Nese nje ( x n) është një sekuencë pafundësisht e vogël, atëherë (1 /x fq} - një sekuencë e pafundme e cila ka një kufi të pafund në kuptimin e (2.3), dhe anasjelltas.

Le të japim shembuj të sekuencave konvergjente dhe divergjente.

Shembulli 1 Tregoni, duke përdorur përkufizimin e kufirit të një sekuence, se .

Zgjidhje. Merrni çdo numër ε > 0. Meqenëse

atëherë që pabarazia (2.2) të mbahet, mjafton të zgjidhet pabarazia 1 / ( n + 1) < ε, откуда получаем n> (1 - ε) / ε. Mjaft për të marrë N= [(1 - ε)/ε] (pjesa e plotë e numrit (1 - ε)/ ε)* në mënyrë që pabarazia |x fq - 1| < ε выполнялосьпривсех n > N.

* Simboli [ a] nënkupton pjesën e plotë të numrit a, d.m.th. numri më i madh i plotë që nuk tejkalon a. Për shembull, =2, =2, =0, [-0, 5] = -1, [-23.7] = -24.

Shembulli 2 Tregoni se sekuenca ( x n} = (-1)n, ose -1, 1, -1, 1,... nuk ka kufi.

Zgjidhje. Në të vërtetë, çfarëdo numri të supozojmë si kufi: 1 ose -1, me ε< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x fq: të gjithë elementët me numër tek janë -1, elementët me numër çift janë 1.

Vetitë themelore të sekuencave konvergjente

Le të paraqesim vetitë kryesore të sekuencave konvergjente, të cilat janë formuluar në formën e teoremave në kursin e matematikës së lartë.

1.Nëse të gjithë elementët e një sekuence infiniteminale{x n} janë të barabartë me të njëjtin numër c, pastaj c = 0.

2. Një sekuencë konvergjente ka vetëm një kufi.

3.Sekuenca konvergjente është e kufizuar.

4.Shuma (diferenca) e sekuencave konvergjente{x n} dhe{y n} është një sekuencë konvergjente kufiri i së cilës është i barabartë me shumën (diferencën) e kufijve të sekuencave{x fq} dhe{y fq}.

5.Produkti i sekuencave konvergjente{x n} dhe{y n} është një sekuencë konvergjente kufiri i së cilës është i barabartë me prodhimin e kufijve të sekuencave{x n} dhe{y n} .

6.Koeficienti i dy sekuencave konvergjente{x n} dhe{y n} me kusht që kufiri i sekuencës{y n} është jozero, ekziston një sekuencë konvergjente kufiri i së cilës është i barabartë me herësin e kufijve të sekuencave{x n} dhe{y fq} .

7. Nëse elementet e një sekuence konvergjente{x n} plotësoni pabarazinë x p ≥ b (x p ≤ b) duke u nisur nga një numër, atëherë kufiri a i kësaj sekuence plotëson edhe pabarazinë a ≥ b (a ≤ b).

8.Prodhimi i një sekuence infinite vogël nga një sekuencë e kufizuar ose nga një numër është një sekuencë infinite vogël.

9.Prodhimi i një numri të fundëm sekuencash infinitimale është një sekuencë infinite vogël.

Le të shqyrtojmë zbatimin e këtyre vetive me shembuj.

Shembulli 3. Gjeni kufirin.

Zgjidhje. Në n numëruesi dhe emëruesi i thyesës priren në pafundësi, d.m.th. Teorema e kufirit të koeficientit nuk mund të zbatohet menjëherë, pasi supozon ekzistencën e kufijve të fundëm të sekuencave. Ne e transformojmë këtë sekuencë duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin me n 2. Duke zbatuar më pas teoremat mbi kufirin e herësit, kufirin e shumës dhe përsëri kufirin e herësit, gjejmë në mënyrë të njëpasnjëshme

Shembulli 4 x fq) = në P.

Zgjidhje. Këtu, si në shembullin e mëparshëm, numëruesi dhe emëruesi nuk kanë kufij të fundëm, dhe për këtë arsye fillimisht duhet të kryhen transformimet e duhura. Pjesëtimi i numëruesit dhe emëruesit me n, marrim

Meqenëse numëruesi përmban produktin e një sekuence infiniteminale dhe një sekuence të kufizuar, atëherë, nga vetia 8, më në fund marrim

Shembulli 5 Gjeni kufirin e sekuencës ( x n) = në P .

Zgjidhje. Këtu është e pamundur të zbatohet drejtpërdrejt teorema mbi kufirin e shumës (ndryshimit) të sekuencave, pasi nuk ka kufij të fundëm të termave në formulën për ( x n} . Shumëzoni dhe pjesëtoni formulën për ( x n) në shprehjen e konjuguar:

Numri e

Merrni parasysh sekuencën ( x n} , termi i përbashkët i të cilit shprehet me formulën

Gjatë analizës matematikore, vërtetohet se kjo sekuencë rritet në mënyrë monotone dhe ka një kufi. Ky kufi quhet numër e. Prandaj, sipas përkufizimit

Numri e luan një rol të madh në matematikë. Më pas, do të konsiderohet një metodë për llogaritjen e saj me çdo saktësi të kërkuar. Vini re këtu se numri eështë irracional; vlera e përafërt e tij është e = 2,7182818... .

3. Kufiri i sekuencës së numrave

3.1. Koncepti i një sekuence numerike dhe një funksion i një argumenti natyror

Përkufizimi 3.1. Një sekuencë numerike (në tekstin e mëtejmë thjesht një sekuencë) është një grup numrash të renditur të numërueshëm

{x1, x2, x3, ... }.

Kushtojini vëmendje dy pikave.

1. Ka pafundësisht shumë numra në sekuencë. Nëse ka një numër të kufizuar numrash, kjo nuk është një sekuencë!

2. Të gjithë numrat janë të renditur, domethënë të renditur në një renditje të caktuar.

Në atë që vijon, ne shpesh do të përdorim shkurtesën për sekuencën ( xn}.

Disa operacione mund të kryhen në sekuenca. Le të shqyrtojmë disa prej tyre.

1. Shumëzimi i një vargu me një numër.

Pasoja c×{ xn) është një sekuencë me elementë ( c× xn), kjo eshte

c×{ x1, x2, x3, ... }={c× x1, s× x2, s× x3, ... }.

2. Mbledhja dhe zbritja e sekuencave.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

ose më në detaje,

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Shumëzimi i sekuencave.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. Ndarja e sekuencave.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Natyrisht, supozohet se në këtë rast të gjitha yn¹ 0.

Përkufizimi 3.2. pasues ( xn) quhet i kufizuar nga lart nëse https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" lartësi = "25 src="> Një sekuencë (xn) quhet e kufizuar nëse është e kufizuar si sipër ashtu edhe poshtë.

3.2. Kufiri i sekuencës. Sekuencë pafundësisht e madhe

Përkufizimi 3.3. Numri a quhet kufiri i sekuencës ( xn) në n prirja drejt pafundësisë, nëse

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> nëse .

Ata thonë se nëse.

Përkufizimi 3.4. pasues ( xn) quhet pafundësisht i madh nëse (domethënë nëse ).

3.3. Një sekuencë pafundësisht e vogël.

Përkufizimi 3.5. Një sekuencë (xn) quhet infinitimale nëse , domethënë nëse .

Sekuencat pafundësisht të vogla kanë vetitë e mëposhtme.

1. Shuma dhe ndryshimi i sekuencave infinite vogël është gjithashtu një sekuencë infinite vogël.

2. Një sekuencë pafundësisht e vogël është e kufizuar.

3. Prodhimi i një sekuence infinite vogël dhe e një sekuence të kufizuar është një sekuencë infinite vogël.

4. Nëse ( xn) është një sekuencë pafundësisht e madhe, duke filluar më pas nga disa N, sekuenca (1/ xn), dhe është një sekuencë pafundësisht e vogël. Në të kundërt, nëse ( xn) është një sekuencë pafundësisht e vogël dhe të gjitha xn janë të ndryshme nga zero, atëherë (1/ xn) është një sekuencë pafundësisht e madhe.

3.4. sekuencat konvergjente.

Përkufizimi 3.6. Nëse ka një kufi përfundimtar https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. Nëse , pastaj .

3.5. Kalimi në kufi në pabarazi.

Teorema 3.1. Nëse, duke u nisur nga disa N, të gjitha xn ³ b, pastaj.

Pasoja. Nëse, duke u nisur nga disa N, të gjitha xn ³ yn, pastaj .

Komentoni. Vini re se nëse, duke u nisur nga disa N, të gjitha xn > b, atëherë , pra, kur kalon në kufi, pabarazia strikte mund të bëhet jo e rreptë.

Teorema 3.2.("Teorema e dy policëve") Nëse, duke u nisur nga disa N, qëndrojnë vetitë e mëposhtme

1..gif" width="163" height="33 src=">,

atëherë ekziston.

3.6. Kufiri i një sekuence monotone.

Përkufizimi 3.7. pasues ( xn) quhet në rritje monotonike nëse për ndonjë n xn+1 ³ xn.

pasues ( xn) quhet rreptësisht në rritje monotonike nëse për ndonjë n xn+1> xn.

xn­.

Përkufizimi 3.8. pasues ( xn) quhet monotonikisht zbritës nëse për ndonjë n xn+1 £ xn.

pasues ( xn) quhet rreptësisht monotonikisht zbritës nëse për ndonjë n xn+1< xn.

Të dyja këto raste kombinohen me simbolin xn¯.

Teorema mbi ekzistencën e një kufiri të një sekuence monotone.

1. Nëse sekuenca ( xn) është monotonikisht në rritje (zvogëlim) dhe i kufizuar nga lart (nga poshtë), atëherë ka një kufi të fundëm të barabartë me sup( xn) (inf( xn}).

2 Nëse sekuenca ( xn) në mënyrë monotone rritet (zvogëlohet), por nuk kufizohet nga lart (nga poshtë), atëherë ka një kufi të barabartë me +¥ (-¥).

Bazuar në këtë teoremë, vërtetohet se ekziston një i ashtuquajtur kufi i shquar

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Quhet një nënsekuencë sekuence ( xn}.

Teorema 3.3. Nëse sekuenca ( xn) konvergon dhe kufiri i tij është a, atëherë ndonjë nga pasardhësit e tij gjithashtu konvergon dhe ka të njëjtin kufi.

Nese nje ( xn) është një sekuencë pafundësisht e madhe, atëherë çdo nënsekuencë e saj është gjithashtu pafundësisht e madhe.

Lema Bolzano-Weierstrass.

1. Nga çdo sekuencë e kufizuar, mund të nxirret një nënsekuencë që konvergon në një kufi të fundëm.

2. Një nënrend pafundësisht i madh mund të nxirret nga çdo sekuencë e pakufishme.

Në bazë të kësaj leme, vërtetohet një nga rezultatet kryesore të teorisë së kufijve - Kriteri i konvergjencës Bolzano-Cauchy.

Në mënyrë për sekuencën ( xn) kishte një kufi të fundëm, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që

Një sekuencë që plotëson këtë veti quhet sekuencë themelore, ose një sekuencë që konvergon në vetvete.

Për shumë njerëz, analiza matematikore është vetëm një grup numrash, ikonash dhe përkufizimesh të pakuptueshme që janë larg jetës reale. Sidoqoftë, bota në të cilën ne ekzistojmë është e ndërtuar mbi modele numerike, identifikimi i të cilave ndihmon jo vetëm për të mësuar rreth botës përreth nesh dhe për të zgjidhur problemet e saj komplekse, por edhe për të thjeshtuar detyrat praktike të përditshme. Çfarë do të thotë një matematikan kur thotë se një sekuencë numrash konvergjon? Kjo duhet të diskutohet më në detaje.

i vogel?

Imagjinoni kukulla matryoshka që përshtaten njëra brenda tjetrës. Madhësitë e tyre, të shkruara në formën e numrave, duke filluar nga më i madhi dhe duke përfunduar me më të voglin prej tyre, formojnë një sekuencë. Nëse imagjinoni një numër të pafund figurash të tilla të ndritshme, atëherë rreshti që rezulton do të jetë fantastikisht i gjatë. Kjo është një sekuencë numrash konvergjente. Dhe priret në zero, pasi madhësia e secilës kukull foleje të mëvonshme, duke u zvogëluar në mënyrë katastrofike, gradualisht kthehet në asgjë. Kështu, është e lehtë të shpjegohet: çfarë është pafundësisht e vogël.

Një shembull i ngjashëm do të ishte një rrugë që shkon në distancë. Dhe dimensionet vizuale të makinës që largohet nga vëzhguesi përgjatë saj, duke u zvogëluar gradualisht, shndërrohen në një njollë pa formë që i ngjan një pikë. Kështu, makina, si një objekt, duke u larguar në një drejtim të panjohur, bëhet pafundësisht e vogël. Parametrat e trupit të specifikuar nuk do të jenë kurrë zero në kuptimin e vërtetë të fjalës, por priren pa ndryshim në këtë vlerë në kufirin përfundimtar. Prandaj, kjo sekuencë konvergon përsëri në zero.

Le të llogarisim gjithçka pikë-pikë

Le të imagjinojmë një situatë reale. Mjeku i ka përshkruar pacientit që të marrë ilaçin, duke filluar me dhjetë pika në ditë dhe duke shtuar dy çdo ditë tjetër. Dhe kështu mjeku sugjeroi të vazhdoni derisa të mbarojë përmbajtja e shishkës së ilaçit, vëllimi i së cilës është 190 pika. Nga sa më sipër, rrjedh se numri i të tillëve, të pikturuar në ditë, do të jetë seritë e mëposhtme të numrave: 10, 12, 14, e kështu me radhë.

Si të zbuloni kohën e kalimit të të gjithë kursit dhe numrin e anëtarëve të sekuencës? Këtu, natyrisht, ju mund të numëroni pikat në një mënyrë primitive. Por është shumë më e lehtë, duke pasur parasysh modelin, të përdorni formulën me një hap d = 2. Dhe duke përdorur këtë metodë, zbuloni se numri i anëtarëve të serisë së numrave është 10. Në këtë rast, një 10 = 28. Numri i anëtarit tregon numrin e ditëve të marrjes së ilaçit dhe 28 korrespondon me numrin e pikave që pacienti duhet të përdorë ditën e fundit. A konvergon kjo sekuencë? Jo, sepse, pavarësisht se është i kufizuar në 10 nga poshtë dhe 28 nga lart, një seri e tillë numrash nuk ka kufi, ndryshe nga shembujt e mëparshëm.

Qfare eshte dallimi?

Tani le të përpiqemi të sqarojmë: kur seria e numrave rezulton të jetë një sekuencë konvergjente. Një përkufizim i këtij lloji, siç mund të konkludohet nga sa më sipër, lidhet drejtpërdrejt me konceptin e një kufiri të fundëm, prania e të cilit zbulon thelbin e çështjes. Pra, cili është ndryshimi themelor midis shembujve të dhënë më parë? Dhe pse në të fundit prej tyre numri 28 nuk mund të konsiderohet si kufi i serisë së numrave X n = 10 + 2(n-1)?

Për të sqaruar këtë çështje, merrni parasysh një sekuencë tjetër të dhënë nga formula e mëposhtme, ku n i përket grupit të numrave natyrorë.

Kjo bashkësi anëtarësh është një grup thyesash të zakonshme, numëruesi i të cilave është 1, dhe emëruesi është vazhdimisht në rritje: 1, ½ ...

Për më tepër, çdo përfaqësues i mëpasshëm i kësaj serie, për sa i përket vendndodhjes në vijën numerike, po i afrohet gjithnjë e më shumë 0. Kjo do të thotë se një lagje e tillë shfaqet ku pikat grumbullohen rreth zeros, që është kufiri. Dhe sa më afër të jenë, aq më i dendur bëhet përqendrimi i tyre në vijën numerike. Dhe distanca mes tyre zvogëlohet në mënyrë katastrofike, duke u kthyer në një të pafundme. Kjo është një shenjë se sekuenca është konvergjente.

Në mënyrë të ngjashme, drejtkëndëshat shumëngjyrësh të paraqitur në figurë, kur largohen në hapësirë, vizualisht janë më të mbushur me njerëz, në kufirin hipotetik duke u kthyer në të papërfillshëm.

Sekuenca pafundësisht të mëdha

Pasi kemi analizuar përkufizimin e një sekuence konvergjente, tani i drejtohemi kundërshembujve. Shumë prej tyre janë njohur për njeriun që nga kohërat e lashta. Variantet më të thjeshta të sekuencave divergjente janë seritë e numrave natyrorë dhe çift. Ata quhen pafundësisht të mëdhenj në një mënyrë tjetër, pasi anëtarët e tyre, duke u rritur vazhdimisht, po i afrohen gjithnjë e më shumë pafundësisë pozitive.

Çdo nga progresionet aritmetike dhe gjeometrike me një hap dhe një emërues më të madh se zero, përkatësisht, mund të shërbejë gjithashtu si shembuj të tillë. Sekuenca divergjente konsiderohen, për më tepër, seri numerike, të cilat nuk kanë fare kufi. Për shembull, X n = (-2) n -1 .

Sekuenca e Fibonaçit

Përdorimi praktik i serive numerike të përmendura më parë për njerëzimin është i pamohueshëm. Por ka shumë shembuj të tjerë të mëdhenj. Një prej tyre është sekuenca Fibonacci. Secili prej anëtarëve të tij, të cilët fillojnë me një, është shuma e anëtarëve të mëparshëm. Dy përfaqësuesit e tij të parë janë 1 dhe 1. I treti 1+1=2, i katërti 1+2=3, i pesti 2+3=5. Më tej, sipas të njëjtës logjikë, vijojnë numrat 8, 13, 21 e kështu me radhë.

Kjo seri numrash rritet pafundësisht dhe nuk ka kufi të fundëm. Por ajo ka një tjetër pronë të mrekullueshme. Raporti i çdo numri të mëparshëm me tjetrin është gjithnjë e më i afërt në vlerën e tij me 0,618. Këtu mund të kuptoni ndryshimin midis një sekuence konvergjente dhe divergjente, sepse nëse bëni një seri ndarjesh private të marra, sistemi numerik i specifikuar do të ketë një kufi përfundimtar i barabartë me 0.618.

Sekuenca e raportit Fibonacci

Seritë e numrave të treguar më sipër përdoren gjerësisht për qëllime praktike për analizën teknike të tregjeve. Por kjo nuk kufizohet vetëm në aftësitë e saj, të cilat egjiptianët dhe grekët e dinin dhe mundën t'i zbatonin në kohët e lashta. Këtë e vërtetojnë piramidat që ndërtuan dhe Partenoni. Në fund të fundit, numri 0.618 është një koeficient konstant i seksionit të artë, i njohur mirë në kohët e vjetra. Sipas këtij rregulli, çdo segment arbitrar mund të ndahet në atë mënyrë që raporti ndërmjet pjesëve të tij të përputhet me raportin ndërmjet segmentit më të madh dhe gjatësisë totale.

Le të ndërtojmë një seri të këtyre marrëdhënieve dhe të përpiqemi të analizojmë këtë sekuencë. Seria e numrave do të jetë si më poshtë: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0.619 e kështu me radhë. Duke vazhduar në këtë mënyrë, mund të verifikohet se kufiri i sekuencës konvergjente do të jetë vërtet 0.618. Megjithatë, është e nevojshme të theksohen vetitë e tjera të kësaj rregullsie. Këtu numrat duket se shkojnë rastësisht, dhe aspak në rend rritës apo zbritës. Kjo do të thotë se kjo sekuencë konvergjente nuk është monotone. Pse është kështu do të diskutohet më tej.

monotonia dhe kufizimi

Anëtarët e serisë së numrave me numra në rritje mund të zvogëlohen qartë (nëse x 1>x 2>x 3>...> x n>...) ose të rriten (nëse x 1

Pasi të keni pikturuar numrat e kësaj serie, mund të vërehet se ndonjë prej anëtarëve të saj, duke i afruar 1 pafundësisht, nuk do ta kalojë kurrë këtë vlerë. Në këtë rast, sekuenca konvergjente thuhet se është e kufizuar. Kjo ndodh sa herë që ka një numër kaq pozitiv M, i cili është gjithmonë më i madh se cilido nga termat e modulit të serisë. Nëse një seri numrash ka shenja të monotonitetit dhe ka një kufi, dhe për këtë arsye konvergon, atëherë ajo është domosdoshmërisht e pajisur me një pronë të tillë. Dhe e kundërta nuk duhet të jetë e vërtetë. Kjo dëshmohet nga teorema e kufijve për një sekuencë konvergjente.

Zbatimi i vëzhgimeve të tilla në praktikë rezulton të jetë shumë i dobishëm. Le të japim një shembull specifik duke shqyrtuar vetitë e sekuencës X n = n/n+1 dhe të vërtetojmë konvergjencën e tij. Është e lehtë të tregohet se është monoton, pasi (x n +1 - x n) është një numër pozitiv për çdo vlerë të n. Kufiri i sekuencës është i barabartë me numrin 1, që do të thotë se plotësohen të gjitha kushtet e teoremës së mësipërme, e quajtur edhe teorema e Weierstrass. Teorema mbi kufirin e një sekuence konvergjente thotë se nëse ajo ka një kufi, atëherë në çdo rast rezulton të jetë e kufizuar. Megjithatë, le të marrim shembullin e mëposhtëm. Seria e numrave X n = (-1) n kufizohet nga poshtë me -1 dhe nga lart me 1. Por kjo sekuencë nuk është monotone, nuk ka kufi dhe për këtë arsye nuk konvergon. Kjo do të thotë, ekzistenca e një kufiri dhe konvergjenca nuk rrjedh gjithmonë nga kufizimi. Që kjo të funksionojë, kufiri i poshtëm dhe i sipërm duhet të përputhen, si në rastin e raporteve Fibonacci.

Numrat dhe ligjet e universit

Variantet më të thjeshta të një sekuence konvergjente dhe divergjente janë, ndoshta, seritë numerike X n = n dhe X n = 1/n. E para prej tyre është një seri natyrore numrash. Është, siç u përmend tashmë, pafundësisht i madh. Sekuenca e dytë konvergjente është e kufizuar dhe termat e saj janë afër pafundësi në madhësi. Secila prej këtyre formulave personifikon një nga anët e Universit të shumëanshëm, duke ndihmuar një person të imagjinojë dhe llogarisë diçka të panjohur, të paarritshme për perceptimin e kufizuar në gjuhën e numrave dhe shenjave.

Ligjet e universit, që variojnë nga të papërfillshme në tepër të mëdha, shprehen gjithashtu me raportin e artë prej 0,618. Shkencëtarët besojnë se ajo është baza e thelbit të gjërave dhe përdoret nga natyra për të formuar pjesët e saj. Marrëdhëniet midis anëtarëve të ardhshëm dhe të mëparshëm të serisë Fibonacci, të cilat i kemi përmendur tashmë, nuk e plotësojnë demonstrimin e vetive mahnitëse të kësaj serie unike. Nëse marrim parasysh herësin e pjesëtimit të termit të mëparshëm me atë të radhës me një, atëherë marrim një seri prej 0,5; 0,33; 0.4; 0,375; 0,384; 0,380; 0.382 e kështu me radhë. Është interesante se kjo sekuencë e kufizuar konvergjon, nuk është monotone, por raporti i numrave fqinjë ekstrem nga një anëtar i caktuar është gjithmonë afërsisht i barabartë me 0,382, i cili mund të përdoret gjithashtu në arkitekturë, analiza teknike dhe industri të tjera.

Ka koeficientë të tjerë interesantë të serisë Fibonacci, të gjithë ata luajnë një rol të veçantë në natyrë dhe përdoren gjithashtu nga njeriu për qëllime praktike. Matematikanët janë të sigurt se Universi zhvillohet sipas një "spiraleje të artë" të caktuar të formuar nga koeficientët e treguar. Me ndihmën e tyre, është e mundur të llogariten shumë fenomene që ndodhin në Tokë dhe në hapësirë, duke filluar nga rritja e numrit të baktereve të caktuara deri te lëvizja e kometave të largëta. Siç rezulton, kodi i ADN-së u bindet ligjeve të ngjashme.

Zvogëlimi i progresionit gjeometrik

Ekziston një teoremë që pohon veçantinë e kufirit të një sekuence konvergjente. Kjo do të thotë se ai nuk mund të ketë dy ose më shumë kufij, gjë që është padyshim e rëndësishme për gjetjen e karakteristikave të tij matematikore.

Le të shqyrtojmë disa raste. Çdo seri numerike e përbërë nga anëtarë të një progresion aritmetik është divergjente, me përjashtim të rastit me një hap zero. E njëjta gjë vlen edhe për një progresion gjeometrik, emëruesi i të cilit është më i madh se 1. Kufijtë e serive të tilla numerike janë "plus" ose "minus" i pafundësisë. Nëse emëruesi është më i vogël se -1, atëherë nuk ka fare kufi. Opsione të tjera janë gjithashtu të mundshme.

Konsideroni serinë e numrave të dhënë nga formula X n = (1/4) n -1 . Në pamje të parë, është e lehtë të shihet se kjo sekuencë konvergjente është e kufizuar, sepse është rreptësisht në rënie dhe në asnjë mënyrë nuk mund të marrë vlera negative.

Le të shkruajmë një numër të anëtarëve të tij me radhë.

Merrni: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0.00390625 e kështu me radhë. Llogaritjet mjaft të thjeshta janë të mjaftueshme për të kuptuar se sa shpejt është një progresion i caktuar gjeometrik me emërues 0

Sekuencat themelore

Augustin Louis Cauchy, një shkencëtar francez, i zbuloi botës shumë vepra që lidhen me analizën matematikore. Ai u dha përkufizime koncepteve të tilla si diferenciali, integrali, kufiri dhe vazhdimësia. Ai gjithashtu studioi vetitë themelore të sekuencave konvergjente. Për të kuptuar thelbin e ideve të tij, është e nevojshme të përmblidhen disa detaje të rëndësishme.

Që në fillim të artikullit, u tregua se ka sekuenca të tilla për të cilat ekziston një lagje ku pikat që përfaqësojnë anëtarët e një serie të caktuar në vijën reale fillojnë të grumbullohen, duke u rreshtuar gjithnjë e më dendur. Në të njëjtën kohë, distanca midis tyre zvogëlohet me rritjen e numrit të përfaqësuesit të ardhshëm, duke u kthyer në një pafundësisht të vogël. Kështu, rezulton se në një lagje të caktuar grupohen një numër i pafundmë përfaqësuesish të një serie të caktuar, ndërsa jashtë saj ka një numër të kufizuar të tyre. Sekuenca të tilla quhen themelore.

Kriteri i famshëm Cauchy, i krijuar nga një matematikan francez, tregon qartë se prania e një vetie të tillë është e mjaftueshme për të vërtetuar se sekuenca konvergon. E kundërta është gjithashtu e vërtetë.

Duhet të theksohet se ky përfundim i matematikanit francez është kryesisht me interes thjesht teorik. Zbatimi i tij në praktikë konsiderohet të jetë një çështje mjaft e ndërlikuar, prandaj, për të sqaruar konvergjencën e serive, është shumë më e rëndësishme të vërtetohet ekzistenca e një kufiri të fundëm për një sekuencë. Përndryshe, ajo konsiderohet divergjente.

Gjatë zgjidhjes së problemeve, duhet të merren parasysh edhe vetitë themelore të sekuencave konvergjente. Ato janë paraqitur më poshtë.

Shuma të pafundme

Shkencëtarë të tillë të famshëm të antikitetit si Arkimedi, Euklidi, Eudoksi përdorën shumat e serive të numrave të pafund për të llogaritur gjatësinë e kthesave, vëllimet e trupave dhe sipërfaqet e figurave. Në veçanti, në këtë mënyrë u bë e mundur të zbulohej zona e segmentit parabolik. Për këtë është përdorur shuma e serisë numerike të një progresion gjeometrik me q=1/4. Vëllimet dhe sipërfaqet e figurave të tjera arbitrare u gjetën në mënyrë të ngjashme. Ky opsion u quajt metoda "shterimi". Ideja ishte që trupi i studiuar, në formë komplekse, të ndahej në pjesë, të cilat ishin figura me parametra lehtësisht të matur. Për këtë arsye, nuk ishte e vështirë të llogariteshin sipërfaqet dhe vëllimet e tyre dhe më pas ato u bashkuan.

Nga rruga, detyra të ngjashme janë shumë të njohura për nxënësit e shkollave moderne dhe gjenden në detyrat USE. Metoda unike, e gjetur nga paraardhësit e largët, është zgjidhja më e thjeshtë. Edhe nëse ka vetëm dy ose tre pjesë në të cilat ndahet figura numerike, mbledhja e sipërfaqeve të tyre është përsëri shuma e serisë së numrave.

Shumë më vonë se shkencëtarët e lashtë grekë Leibniz dhe Njutoni, bazuar në përvojën e paraardhësve të tyre të mençur, ata mësuan ligjet e llogaritjes integrale. Njohja e vetive të sekuencave i ndihmoi ata të zgjidhnin ekuacionet diferenciale dhe algjebrike. Aktualisht, teoria e serive, e krijuar nga përpjekjet e shumë brezave të shkencëtarëve të talentuar, jep një shans për të zgjidhur një numër të madh problemesh matematikore dhe praktike. Dhe studimi i sekuencave numerike është problemi kryesor i zgjidhur nga analiza matematikore që nga fillimi i saj.

Sekuenca është një nga konceptet bazë të matematikës. Sekuenca mund të përbëhet nga numra, pika, funksione, vektorë etj. Një sekuencë konsiderohet e dhënë nëse specifikohet një ligj sipas të cilit çdo numër natyror n shoqërohet me një element x n të një grupi. Sekuenca shkruhet si x 1 , x 2 , …, x n , ose shkurtimisht (x n). Elementet x 1, x 2, ..., x n quhen anëtarë të sekuencës, x 1 - i pari, x 2 - i dyti, x n - anëtar i zakonshëm (n-të) i sekuencës.

Më shpesh, konsiderohen sekuenca numerike, domethënë sekuenca, anëtarët e të cilave janë numra. Metoda analitike është mënyra më e thjeshtë për të specifikuar një sekuencë numerike. Kjo bëhet duke përdorur një formulë që shpreh anëtarin e n-të të sekuencës x 1 në termat e numrit të tij n. Për shembull, nëse

Një mënyrë tjetër është e përsëritur (nga fjala latine përsëritjet- "kthimi"), kur vendosen anëtarët e parë të sekuencës dhe rregullit, duke lejuar që çdo anëtar tjetër të llogaritet përmes atyre të mëparshëm. Për shembull:

Shembuj të sekuencave të numrave janë progresion aritmetik dhe progresion gjeometrik.

Është interesante të gjurmohet sjellja e anëtarëve të sekuencës ndërsa numri n rritet pa kufi (fakti që n rritet pafundësisht shkruhet n → ∞ dhe lexohet: “n tenton në pafundësi”).

Konsideroni një sekuencë me një term të përbashkët x n = 1/n: x 1 = 1, x 2 = 1/2; x 3 \u003d 1/3, ..., x 100 \u003d 1/100, .... Të gjithë anëtarët e kësaj sekuence janë jo zero, por sa më i madh n, aq më pak x n ndryshon nga zero. Termat e kësaj sekuence priren në zero ndërsa n rritet pafundësisht. Numri zero thuhet se është kufiri i kësaj sekuence.

Një shembull tjetër: x n = (−1) n / n - përcakton sekuencën

Anëtarët e kësaj sekuence gjithashtu priren në zero, por ata janë ose më të mëdhenj se zero ose më pak se zero - kufiri i tyre.

Shqyrtoni një shembull tjetër: x n = (n − 1)/(n + 1). Nëse e paraqesim x n në formë

atëherë bëhet e qartë se kjo sekuencë priret drejt unitetit.

Le të përcaktojmë kufirin e një sekuence. Një numër a quhet kufiri i një sekuence (x n) nëse, për çdo numër pozitiv ε, mund të specifikohet një numër N i tillë që, për të gjithë n > N, pabarazia |x n − a|< ε.

Nëse a është kufiri i sekuencës (x n), atëherë shkruani x n → a, ose a = lim n→∞ x n (lim janë tre shkronjat e para të fjalës latine gëlqere- "kufi").

Ky përkufizim do të bëhet më i qartë nëse i japim një kuptim gjeometrik. Ne e mbyllim numrin a në intervalin (a − ε, a + ε) (shih figurën). Numri a është kufiri i sekuencës (x n) nëse, pavarësisht nga vogëlsia e intervalit (a - ε, a + ε), të gjithë anëtarët e vargut me numra më të mëdhenj se disa N qëndrojnë në këtë interval. Me fjalë të tjera, jashtë çdo intervali (a - ε, a + ε) mund të ketë vetëm një numër të kufizuar anëtarësh të sekuencës.

Për sekuencën e konsideruar x n = (−1) n /n, ε-lagja e pikës zero në ε = 1/10 përfshin të gjithë anëtarët e sekuencës, me përjashtim të dhjetës së parë, dhe për ε = 1/100, të gjithë anëtarët e sekuencës, përveç qindëshit të parë.

Një sekuencë që ka një kufi quhet konvergjent, dhe një sekuencë që nuk ka një kufi quhet divergjente. Këtu është një shembull i një sekuence divergjente: x n = (−1) n . Termat e tij janë në mënyrë alternative +1 dhe −1 dhe nuk priren në asnjë kufi.

Nëse sekuenca konvergon, atëherë ajo është e kufizuar, pra ka numra c dhe d të tillë që të gjithë anëtarët e sekuencës plotësojnë kushtin c ≤ x n ≤ d. Nga kjo rrjedh se të gjitha sekuencat e pakufizuara janë divergjente. Këto janë sekuencat:

Një sekuencë që tenton në zero thuhet se është infinite e vogël. Koncepti i pafundësishëm mund të përdoret si bazë për përcaktimin e përgjithshëm të kufirit të një sekuence, pasi kufiri i një sekuence (x n) është i barabartë me një nëse dhe vetëm nëse x n mund të përfaqësohet si një shumë x n = a + α n , ku α n është pafundësisht i vogël.

Sekuencat e marra në konsideratë (1/n), ((−1) n /n) janë pafundësisht të vogla. Sekuenca (n − 1)/(n + 1), siç vijon nga (2), ndryshon nga 1 me një infinite vogël 2/(n + 1), dhe për këtë arsye kufiri i kësaj sekuence është 1.

Rëndësi të madhe në analizën matematikore ka edhe koncepti i një sekuence pafundësisht të madhe. Një sekuencë (x n) quhet pafundësisht e madhe nëse sekuenca (1/x n) është pafundësisht e vogël. Një sekuencë pafundësisht e madhe (x n) shkruhet si x n → ∞, ose lim n→∞ x n = ∞, dhe thuhet se "shkon në pafundësi". Këtu janë shembuj të sekuencave pafundësisht të mëdha:

(n 2), (2 n), (√(n + 1)), (n - n 2).

Theksojmë se një sekuencë pafundësisht e madhe nuk ka kufi.

Konsideroni sekuencat (x n) dhe (y n). Ju mund të përcaktoni sekuenca me terma të përbashkët x n + y n , x n − y n , x n y n dhe (nëse y n ≠ 0) x n /y n . Teorema e mëposhtme është e vërtetë, e cila shpesh quhet teorema mbi veprimet aritmetike me kufij: nëse sekuencat (x n) dhe (y n) konvergojnë, atëherë sekuencat (x n + y n), (x n − y n), (x n y n), ( x n /y n) gjithashtu konvergojnë dhe barazitë e mëposhtme mbahen:

Në rastin e fundit, është e nevojshme të kërkohet, përveç kësaj, që të gjithë anëtarët e sekuencës (y n) të jenë jozero, dhe gjithashtu që kushti lim n→∞ y n ≠ 0 të plotësohet.

Duke zbatuar këtë teoremë, mund të gjenden shumë kufij. Gjeni, për shembull, kufirin e një sekuence me një term të përbashkët

Duke paraqitur x n në formë

Përcaktoni që kufiri i numëruesit dhe emëruesit ekziston:

kështu që marrim:

lim n→∞ x n = 2/1 =2.

Një klasë e rëndësishme e sekuencave janë sekuencat monotone. Të ashtuquajturat sekuenca në rritje (x n+1 > x n për çdo n), në rënie (x n+1< x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

Imagjinoni që sekuenca (x n) nuk zvogëlohet, d.m.th., pabarazitë

x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ … ≤ x n ≤ x n+1 ≤ …,

dhe le të jetë, përveç kësaj, kjo sekuencë e kufizuar nga lart, d.m.th., të gjitha x n nuk e kalojnë një numër d. Çdo anëtar i një sekuence të tillë është më i madh ose i barabartë me atë të mëparshëm, por asnjëri prej tyre nuk e kalon d. Është mjaft e qartë se kjo sekuencë tenton te një numër që është ose më i vogël se d ose i barabartë me d. Në rrjedhën e analizës matematikore, vërtetohet një teoremë që një sekuencë jo-zvogëluese dhe e kufizuar nga lart ka një kufi (një pohim i ngjashëm është i vërtetë për një sekuencë jo në rritje dhe të kufizuar nga poshtë). Kjo teoremë e jashtëzakonshme jep kushte të mjaftueshme për ekzistencën e një kufiri. Prej tij, për shembull, rrjedh se sekuenca e zonave të n-goneve të rregullta të gdhendura në një rreth të rrezes së njësisë ka një kufi, pasi është në rritje monotonike dhe kufizohet nga lart. Kufiri i kësaj sekuence shënohet me π.

Duke përdorur kufirin e një sekuence të kufizuar monotone, përcaktohet numri e, i cili luan një rol të madh në analizën matematikore - baza e logaritmeve natyrore:

e = lim n→∞ (1 + 1/n) n .

Sekuenca (1), siç u përmend tashmë, është monotone dhe, për më tepër, e kufizuar nga lart. Ajo ka një kufi. Ne mund ta gjejmë lehtësisht këtë kufi. Nëse është i barabartë me a, atëherë numri a duhet të plotësojë barazinë a = √(2 + a). Duke zgjidhur këtë ekuacion, marrim një = 2.