vijë koordinative. Pikat në vijën e koordinatave. Si të vizatoni një vijë koordinative Si të vizatoni një vijë koordinative

Pra, segmenti njësi dhe pjesët e tij të dhjeta, të qindta e kështu me radhë na lejojnë të arrijmë në pikat e vijës së koordinatave, të cilat do t'i korrespondojnë thyesave dhjetore përfundimtare (si në shembullin e mëparshëm). Sidoqoftë, ka pika në vijën e koordinatave që nuk mund t'i godasim, por të cilave mund t'u afrohemi arbitrarisht, duke përdorur ato gjithnjë e më të vogla deri në një pjesë infinite të vogël të një segmenti njësi. Këto pika korrespondojnë me thyesa dhjetore periodike dhe joperiodike të pafundme. Le të japim disa shembuj. Një nga këto pika në vijën koordinative i përgjigjet numrit 3.711711711…=3,(711) . Për t'iu afruar kësaj pike, duhet të lini mënjanë 3 segmente njësi, 7 nga të dhjetat e tij, 1 e qindta, 1 e mijë, 7 e dhjetëmijë, 1 e qindmijë, 1 e milionta e një segmenti njësi, e kështu me radhë. Dhe një pikë tjetër e vijës së koordinatave i përgjigjet pi (π=3,141592...).

Meqenëse elementet e grupit të numrave realë janë të gjithë numrat që mund të shkruhen në formën e thyesave dhjetore të fundme dhe të pafundme, atëherë të gjitha informacionet e mësipërme në këtë paragraf na lejojnë të pohojmë se kemi caktuar një numër real specifik në secilën pikë të drejtëza e koordinatave, ndërsa është e qartë se pika të ndryshme u përgjigjen numrave realë të ndryshëm.

Është gjithashtu mjaft e qartë se kjo korrespondencë është një me një. Kjo do të thotë, ne mund të lidhim një pikë të caktuar në vijën koordinative me një numër real, por mund të përdorim gjithashtu një numër real të dhënë për të treguar një pikë specifike në vijën koordinative të cilës i korrespondon ky numër real. Për ta bërë këtë, do të duhet të shtyjmë një numër të caktuar segmentesh njësi, si dhe të dhjetat, të qindtat, e kështu me radhë, të një segmenti të vetëm nga origjina në drejtimin e duhur. Për shembull, numri 703.405 korrespondon me një pikë në vijën koordinative, e cila mund të arrihet nga origjina duke lënë mënjanë 703 segmente njësi në drejtim pozitiv, 4 segmente që përbëjnë një të dhjetën e një njësie dhe 5 segmente që përbëjnë një e mijtë e një njësie.

Pra, çdo pikë në vijën koordinative i korrespondon një numri real, dhe çdo numër real e ka vendin e tij në formën e një pike në vijën koordinative. Kjo është arsyeja pse linja koordinative shpesh quhet rreshti numerik.

Koordinatat e pikave në vijën koordinative

Numri që i korrespondon një pike në vijën koordinative quhet koordinata e kësaj pike.

Në paragrafin e mëparshëm, thamë se çdo numër real korrespondon me një pikë të vetme në vijën koordinative, prandaj, koordinata e pikës përcakton në mënyrë unike pozicionin e kësaj pike në vijën koordinative. Me fjalë të tjera, koordinata e një pike përcakton në mënyrë unike këtë pikë në vijën koordinative. Nga ana tjetër, çdo pikë në vijën e koordinatave korrespondon me një numër të vetëm real - koordinata e kësaj pike.

Mbetet të thuhet vetëm për shënimin e pranuar. Koordinata e pikës shkruhet në kllapa në të djathtë të shkronjës që tregon pikën. Për shembull, nëse pika M ka një koordinatë prej -6, atëherë mund të shkruani M(-6) , dhe shënimi i formës do të thotë që pika M në vijën koordinative ka një koordinatë.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: Libër mësuesi për 5 qeliza. institucionet arsimore.
• Vilenkin N.Ya. etj Matematikë. Klasa 6: Libër shkollor për institucionet arsimore.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: Libër mësuesi për 8 qeliza. institucionet arsimore.

Është e pamundur të pretendosh se dini matematikë nëse nuk dini të vizatoni grafikë, të vizatoni pabarazi në një vijë koordinative dhe të punoni me boshtet e koordinatave. Komponenti vizual në shkencë është jetik, sepse pa shembuj vizualë në formula dhe llogaritje, ndonjëherë mund të ngatërrohesh shumë. Në këtë artikull, ne do të shohim se si të punojmë me boshtet e koordinatave dhe do të mësojmë se si të ndërtojmë grafikë të thjeshtë funksionesh.

Aplikacion

Vija koordinative është baza e llojeve më të thjeshta të grafikëve që një student ndesh në rrugën e tij arsimore. Përdoret pothuajse në çdo temë matematikore: gjatë llogaritjes së shpejtësisë dhe kohës, projektimit të madhësisë së objekteve dhe llogaritjes së sipërfaqes së tyre, në trigonometri kur punohet me sinus dhe kosinus.

Vlera kryesore e një linje të tillë të drejtpërdrejtë është dukshmëria. Për shkak se matematika është një shkencë që kërkon një nivel të lartë të të menduarit abstrakt, grafikët ndihmojnë në përfaqësimin e një objekti në botën reale. Si sillet ai? Në cilën pikë të hapësirës do të jetë në pak sekonda, minuta, orë? Çfarë mund të thuhet për të në krahasim me objektet e tjera? Sa është shpejtësia e tij në një kohë të zgjedhur rastësisht? Si të karakterizohet lëvizja e tij?

Dhe ne po flasim për shpejtësinë për një arsye - shpesh janë grafikët e funksionit që e shfaqin atë. Dhe ato gjithashtu mund të shfaqin ndryshime në temperaturën ose presionin brenda objektit, madhësinë e tij, orientimin në lidhje me horizontin. Kështu, ndërtimi i një linje koordinative shpesh kërkohet edhe në fizikë.

Grafiku 1D

Ekziston një koncept i shumëdimensionalitetit. Mjafton vetëm një numër për të përcaktuar vendndodhjen e pikës. Ky është pikërisht rasti me përdorimin e vijës së koordinatave. Nëse hapësira është dydimensionale, atëherë kërkohen dy numra. Grafikët e këtij lloji përdoren shumë më shpesh, dhe ne patjetër do t'i konsiderojmë ato pak më tej në artikull.

Çfarë mund të shihet me ndihmën e pikave në bosht, nëse është vetëm një? Ju mund të shihni madhësinë e objektit, pozicionin e tij në hapësirë ​​në lidhje me një "zero", d.m.th., pikën e zgjedhur si origjinë.

Nuk do të jetë e mundur të shihet ndryshimi i parametrave me kalimin e kohës, pasi të gjitha leximet do të shfaqen për një moment specifik. Sidoqoftë, duhet të filloni diku! Pra, le të fillojmë.

Si të ndërtoni një bosht koordinativ

Së pari ju duhet të vizatoni një vijë horizontale - ky do të jetë boshti ynë. Në anën e djathtë, "mprehni" atë në mënyrë që të duket si një shigjetë. Kështu, ne tregojmë drejtimin në të cilin do të rriten numrat. Në drejtimin poshtë, shigjeta zakonisht nuk vendoset. Tradicionalisht, boshti drejtohet djathtas, kështu që ne thjesht do të ndjekim këtë rregull.

Le të vendosim një shenjë zero, e cila do të shfaqë origjinën e koordinatave. Ky është pikërisht vendi nga i cili merret numërimi mbrapsht, qoftë madhësia, pesha, shpejtësia apo ndonjë gjë tjetër. Përveç zeros, duhet të caktojmë domosdoshmërisht të ashtuquajturin çmim të ndarjes, d.m.th., të prezantojmë një standard njësi, në përputhje me të cilin do të vendosim sasi të caktuara në bosht. Kjo duhet bërë në mënyrë që të mund të gjejmë gjatësinë e segmentit në vijën koordinative.

Në një distancë të barabartë nga njëri-tjetri, vendosim pika ose "nocat" në vijë, dhe nën to shkruajmë përkatësisht 1,2,3, etj. Dhe tani, gjithçka është gati. Por me orarin që rezulton, ju ende duhet të mësoni se si të punoni.

Llojet e pikave në vijën koordinative

Në shikim të parë në vizatimet e propozuara në tekstet shkollore, bëhet e qartë: pikat në bosht mund të plotësohen ose të mos plotësohen. Mendoni se është një rastësi? Aspak! Një pikë "e ngurtë" përdoret për pabarazi jo të rreptë - një pikë që lexohet "më e madhe se ose e barabartë me". Nëse duhet të kufizojmë rreptësisht intervalin (për shembull, "x" mund të marrë vlera nga zero në një, por nuk e përfshin atë), ne do të përdorim një pikë "të zbrazët", që është, në fakt, një rreth i vogël. në bosht. Duhet të theksohet se studentët nuk i pëlqejnë vërtet pabarazitë strikte, sepse ato janë më të vështira për t'u punuar.

Në varësi të pikave që përdorni në grafik, do të emërtohen edhe intervalet e ndërtuara. Nëse pabarazia në të dyja anët nuk është e rreptë, atëherë marrim një segment. Nëse nga njëra anë rezulton të jetë "e hapur", atëherë do të quhet një gjysmë-interval. Së fundi, nëse një pjesë e vijës kufizohet nga të dyja anët me pika të zbrazëta, ajo do të quhet interval.

Aeroplan

Kur ndërtojmë dy rreshta, tashmë mund të marrim parasysh grafikët e funksioneve. Le të themi se vija horizontale është boshti kohor dhe vija vertikale është distanca. Dhe tani ne jemi në gjendje të përcaktojmë se çfarë distancë do të kapërcejë objekti në një minutë ose një orë udhëtim. Kështu, puna me një aeroplan bën të mundur monitorimin e ndryshimit të gjendjes së një objekti. Kjo është shumë më interesante sesa të eksplorosh një gjendje statike.

Grafiku më i thjeshtë në një plan të tillë është një vijë e drejtë; ai pasqyron funksionin Y(X) = aX + b. A përkulet linja? Kjo do të thotë se objekti ndryshon karakteristikat e tij në procesin e kërkimit.

Imagjinoni se jeni duke qëndruar në çatinë e një ndërtese duke mbajtur një gur në dorën tuaj të shtrirë. Kur ta lëshoni, ai do të fluturojë poshtë, duke filluar lëvizjen e tij nga shpejtësia zero. Por në një sekondë ai do të kapërcejë 36 kilometra në orë. Guri do të vazhdojë të përshpejtohet më tej, dhe për të tërhequr lëvizjen e tij në tabelë, do t'ju duhet të matni shpejtësinë e tij në disa pika në kohë duke vendosur pika në bosht në vendet e duhura.

Si parazgjedhje, shenjat në vijën e koordinatave horizontale emërtohen përkatësisht X1, X2, X3 dhe në vertikale - Y1, Y2, Y3. Duke i projektuar ato në një plan dhe duke gjetur kryqëzime, gjejmë fragmente të modelit që rezulton. Duke i lidhur ato me një rresht, marrim një grafik të funksionit. Në rastin e një guri që bie, funksioni kuadratik do të duket si: Y(X) = aX * X + bX + c.

Shkalla

Sigurisht, nuk është e nevojshme të vendosni vlera të plota pranë ndarjeve me një vijë të drejtë. Nëse keni parasysh lëvizjen e një kërmilli që zvarritet me shpejtësi 0,03 metra në minutë, vendosni si vlera në vijën e drejtë të koordinatave. Në këtë rast, vendosni vlerën e ndarjes në 0,01 metra.

Është veçanërisht i përshtatshëm për të kryer vizatime të tilla në një fletore në një kafaz - këtu mund të shihni menjëherë nëse ka hapësirë ​​të mjaftueshme në fletë për orarin tuaj, nëse do të shkoni përtej kufijve. Nuk është e vështirë të llogarisni forcën tuaj, sepse gjerësia e qelizës në një fletore të tillë është 0,5 centimetra. U desh - zvogëloi fotografinë. Duke ndryshuar shkallën e grafikut, ai nuk do të humbasë apo ndryshojë vetitë e tij.

Koordinatat e pikës dhe vijës

Kur jepet një problem matematikor në një mësim, ai mund të përmbajë parametra të formave të ndryshme gjeometrike, si në formën e gjatësisë së anëve, perimetrit, sipërfaqes dhe në formën e koordinatave. Në këtë rast, mund t'ju duhet të ndërtoni një formë dhe të merrni disa të dhëna që lidhen me të. Shtrohet pyetja: si të gjejmë informacionin e kërkuar në vijën e koordinatave? Dhe si të ndërtoni një figurë?

Për shembull, ne po flasim për një pikë. Pastaj një shkronjë e madhe do të shfaqet në gjendjen e problemit dhe disa numra do të shfaqen në kllapa, më së shpeshti dy (kjo do të thotë se do të numërojmë në hapësirën dydimensionale). Nëse ka tre numra në kllapa, të ndara me një pikëpresje ose një presje, atëherë kjo është një hapësirë ​​tredimensionale. Secila prej vlerave është një koordinatë në boshtin përkatës: së pari përgjatë horizontales (X), pastaj përgjatë vertikale (Y).

Mos harroni se si të vizatoni një segment? E keni kaluar në gjeometri. Nëse ka dy pika, atëherë mund të tërhiqet një vijë midis tyre. Koordinatat e tyre tregohen në kllapa nëse në problem shfaqet një segment. Për shembull: A(15, 13) - B(1, 4). Për të ndërtuar një linjë të tillë, duhet të gjeni dhe shënoni pika në planin koordinativ, dhe më pas t'i lidhni ato. Kjo eshte e gjitha!

Dhe çdo shumëkëndësh, siç e dini, mund të vizatohet duke përdorur segmente. Problemi u zgjidh.

Llogaritjet

Supozoni se ekziston një objekt, pozicioni i të cilit përgjatë boshtit X karakterizohet nga dy numra: fillon në pikën me koordinatë (-3) dhe përfundon në (+2). Nëse duam të dimë gjatësinë e këtij objekti, atëherë duhet të zbresim numrin më të vogël nga numri më i madh. Vini re se një numër negativ thith shenjën e zbritjes, sepse "një minus shumëfishuar një minus është i barabartë me një plus". Pra, shtojmë (2+3) dhe marrim 5. Ky është rezultati i dëshiruar.

Një shembull tjetër: na jepet pika e fundit dhe gjatësia e objektit, por jo pika e fillimit (dhe ne duhet ta gjejmë atë). Le të jetë pozicioni i pikës së njohur (6), dhe madhësia e objektit në studim të jetë (4). Duke zbritur gjatësinë nga koordinata përfundimtare, marrim përgjigjen. Gjithsej: (6 - 4) = 2.

Numrat negativë

Shpesh kërkohet në praktikë të punohet me vlera negative. Në këtë rast, ne do të lëvizim përgjatë boshtit të koordinatave në të majtë. Për shembull, një objekt 3 centimetra i lartë noton në ujë. Një e treta e saj është e zhytur në lëng, dy të tretat janë në ajër. Pastaj, duke zgjedhur sipërfaqen e ujit si bosht, marrim dy numra duke përdorur llogaritjet më të thjeshta aritmetike: pika e sipërme e objektit ka një koordinatë (+2), dhe ajo e poshtme - (-1) centimetër.

Është e lehtë të shihet se në rastin e një avioni, ne kemi katër të katërtat e vijës së koordinatave. Secila prej tyre ka numrin e vet. Në pjesën e parë (sipër djathtas) do të ketë pika që kanë dy koordinata pozitive, në të dytën - në krye të majtë - vlerat e boshtit X do të jenë negative, dhe përgjatë boshtit Y - pozitive. E treta dhe e katërta numërohen më tej në drejtim të kundërt të akrepave të orës.

Pronë e rëndësishme

Ju e dini që një vijë mund të përfaqësohet si një numër i pafund pikësh. Mund të shikojmë me aq kujdes sa të duam çdo numër vlerash në çdo drejtim të boshtit, por nuk do të takojmë ato që përsëriten. Duket naive dhe e kuptueshme, por kjo deklaratë buron nga një fakt i rëndësishëm: çdo numër korrespondon me një dhe vetëm një pikë në vijën koordinative.

konkluzioni

Mos harroni se çdo bosht, figurë dhe, nëse është e mundur, grafika duhet të ndërtohet mbi një vizore. Njësitë matëse nuk u shpikën rastësisht nga njeriu - nëse bëni një gabim kur vizatoni, rrezikoni të shihni një imazh që nuk ishte ai që duhej të ishte.

Jini të kujdesshëm dhe të saktë në hartimin e grafikëve dhe llogaritjeve. Si çdo shkencë e studiuar në shkollë, matematika e do saktësinë. Bëni pak përpjekje dhe notat e mira nuk do të kërkojnë shumë kohë.

Tema e mësimit:

« Koordinatat në vijë të drejtë»

Qëllimi i mësimit:

njohin nxënësit me vijën koordinative dhe numrat negativë.

Objektivat e mësimit:

Stërvitje: njohini nxënësit me vijën koordinative dhe me numrat negativë.

Zhvillimi: zhvillimi i të menduarit logjik, zgjerimi i horizonteve.

Edukative: zhvillimi i interesit njohës, edukimi i kulturës së informacionit.

Plani i mësimit:

Momenti organizativ. Kontrollimi i nxënësve dhe gatishmëria e tyre për mësimin.

Përditësimi i njohurive bazë. Anketa gojore e studentëve për temën e trajtuar.

Shpjegimi i materialit të ri.

4. Konsolidimi i materialit të studiuar.

5. Duke përmbledhur. Një përmbledhje e asaj që u mësua në mësim. Pyetje nga studentët.

6. konkluzione. Duke përmbledhur pikat kryesore të mësimit. Vlerësimi i njohurive. Vendosja e shenjave.

7. Detyre shtepie. Punë e pavarur nxënësit me material mësimor.

Pajisje: shkumës, dërrasë, rrëshqitje.

Plani i zgjeruar i konturit

Emri dhe përmbajtja e skenës

Aktiviteti

Aktiviteti

nxënësit

Unë skenoj

Momenti organizativ. pershendetje.

Plotësimi i ditarit.

përshëndet klasën, drejtuesi i klasës jep listën e të munguarve.

thuaj përshëndetje

mësuesi

Faza II

Përditësimi i njohurive bazë.

Shkencëtari i lashtë grek Pitagora tha: "Numrat sundojnë botën". Ne jetojmë në këtë botë të numrave dhe në vitet e shkollës mësojmë të punojmë me numra të ndryshëm.

1 Çfarë numrash dimë për mësimin e sotëm?

2 Çfarë problemesh na ndihmojnë të zgjidhim këta numra?

Sot po kalojmë në studimin e kapitullit të dytë të tekstit tonë "Numrat racional", ku do të zgjerojmë njohuritë tona për numrat dhe pasi të studiojmë të gjithë kapitullin "Numrat racional" do të mësojmë se si të kryejmë të gjitha veprimet që dini. me to dhe filloni me linjën koordinative të temës.

1. thyesat natyrore, të zakonshme, thyesat dhjetore

2.mbledhja, zbritja, shumëzimi, pjesëtimi, gjetja e një thyese nga një numër dhe një numri nga thyesa e tij, zgjidhja e ekuacioneve dhe problemeve të ndryshme.

Faza III

Shpjegimi i materialit të ri.

Le të marrim drejtëzën AB dhe ta ndajmë me pikën O në dy rreze shtesë - OA dhe OB. Ne zgjedhim një segment të vetëm në një vijë të drejtë dhe marrim pikën O si origjinë dhe drejtim.

Përkufizimet:

Një vijë e drejtë me një pikë referimi të zgjedhur në të, një segment njësi dhe një drejtim quhet një vijë koordinative.

Numri që tregon pozicionin e një pike në një vijë të drejtë quhet koordinata e kësaj pike.

Si të ndërtoni një vijë koordinative?

vizatoni një të drejtpërdrejtë

vendosni një segment të vetëm

tregoni drejtimin

Vija e koordinatave mund të vizatohet në mënyra të ndryshme: horizontalisht, vertikalisht dhe në çdo kënd tjetër me horizontin, dhe ka një fillim, por jo fund.

Ushtrimi 1. Cilat nga rreshtat e mëposhtëm nuk janë të koordinuara? (rrëshqitje)

Le të vizatojmë një vijë koordinative, të shënojmë origjinën e koordinatave, një segment njësi dhe të lëmë mënjanë pikat 1,2,3,4 e kështu me radhë majtas dhe djathtas.

Le të shohim vijën e koordinatave që rezulton. Pse është e papërshtatshme një vijë kaq e drejtë?

Drejtimi në të djathtë nga origjina quhet pozitiv, dhe drejtimi në vijën e drejtë tregohet me një shigjetë. Numrat që ndodhen në të djathtë të pikës O quhen pozitiv. Numrat negativë janë të vendosur në të majtë të pikës O, dhe drejtimi në të majtë të pikës O quhet negativ (drejtimi negativ nuk tregohet). Nëse vija e koordinatave është e vendosur vertikalisht, atëherë sipër nga origjina - numra pozitivë, poshtë nga origjina - negative. Numrat negativ shkruhen me një shenjë "-". Ata lexojnë: “Minus një”, “Minus dy”, “Minus tre” etj. Numri 0 - origjina nuk është as pozitive dhe as negative. Ndan numrat pozitivë nga negativë.

Zgjidhja e ekuacioneve dhe koncepti i "borxhit" në llogaritjet e tregtimit çuan në shfaqjen e numrave negativë.

Numrat negativë u shfaqën shumë më vonë se numrat natyrorë dhe thyesat e zakonshme. Informacioni i parë për numrat negativë gjendet tek matematikanët kinezë në shekullin II para Krishtit. para Krishtit e. Numrat pozitivë u interpretuan më pas si pronë, dhe numrat negativë si borxh, mungesë. Në Evropë, njohja erdhi një mijë vjet më vonë, dhe madje edhe atëherë për një kohë të gjatë numrat negativë quheshin "të rremë", "imagjinarë" ose "absurd". Në shekullin e 17-të, numrat negativë morën një paraqitje vizuale gjeometrike në vijën numerike.

Ju gjithashtu mund të jepni shembuj të një linje koordinative: një termometër, një krahasim i majave malore dhe depresioneve (niveli i detit merret si zero), distanca në një hartë, një bosht ashensori, shtëpi, vinça.

Mendoni a dini ndonjë shembull tjetër të vijës së koordinatave?

Detyrat.

Detyra 2. Emërtoni koordinatat e pikave.

Detyra 3. Vizatoni pikat në një vijë koordinative

Detyra 4 . Vizatoni një vijë horizontale dhe mbi të shënoni pikën O. Shënoni në këtë vijë pikat A, B, C, K nëse dihet se:

A është 9 qeliza në të djathtë të O;

B është 6,5 qeliza në të majtë të O;

C është 3½ hapësira në të djathtë të O;

K është 3 hapësira në të majtë të O .

Regjistruar në shënimet bazë.

Dëgjoni, plotësoni.

Plotësoni detyrën në fletoren tuaj dhe më pas shpjegoni përgjigjet tuaja me zë të lartë.

Vizatoni, shënoni origjinën e koordinatave një segment të vetëm

Një vijë e tillë e drejtë është e papërshtatshme në atë që i njëjti numër korrespondon me 2 pika në vijën e drejtë.

Historia para erës sonë dhe epokës sonë.

Faza IV

Konsolidimi i materialit të studiuar.

1. Çfarë është një vijë koordinative?

2. Si të ndërtohet një linjë koordinative?

1. Një drejtëz me një pikë referimi të zgjedhur, një segment njësi dhe një drejtim quhet vijë koordinative

2) vizatoni një vijë të drejtë

shënoni fillimin e numërimit mbrapsht

vendosni një segment të vetëm

tregoni drejtimin

Faza V

Duke përmbledhur

Çfarë të re mësuam sot?

Vija e koordinatave dhe numrat negativë.

Faza e VI

Vlerësimi i njohurive. Vendosja e shenjave.

Detyre shtepie.

Bëni pyetje mbi temën e trajtuar (di përgjigjet e tyre)

vijë koordinative.

Le të marrim një vijë të drejtë. Le ta quajmë drejtëz x (Fig. 1). Ne zgjedhim një pikë referimi O në këtë linjë, dhe gjithashtu tregojmë drejtimin pozitiv të kësaj linje me një shigjetë (Fig. 2). Kështu, në të djathtë të pikës O do të kemi numra pozitivë, dhe në të majtë - negativë. Ne zgjedhim shkallën, domethënë madhësinë e segmentit të vijës së drejtë, të barabartë me një. Ne e morëm atë vijë koordinative(Fig. 3). Çdo numër korrespondon me një pikë specifike të vetme në këtë linjë. Për më tepër, ky numër quhet koordinata e kësaj pike. Prandaj, linja quhet vijë koordinative. Dhe pika e referencës O quhet origjinë.

Për shembull, në fig. 4 pika B është në një distancë prej 2 në të djathtë të origjinës. Pika D është në një distancë 4 në të majtë të origjinës. Prandaj, pika B ka një koordinatë prej 2, dhe pika D ka një koordinatë prej -4. Vetë pika O, duke qenë pikë referimi, ka një koordinatë prej 0 (zero). Zakonisht shkruhet kështu: O(0), B(2), D(-4). Dhe për të mos thënë vazhdimisht “pika D me koordinatë filan e tillë”, thonë më thjesht: “pika 0, pika 2, pika -4”. Dhe në këtë rast, mjafton të caktoni vetë pikën me koordinatat e saj (Fig. 5).

Duke ditur koordinatat e dy pikave të vijës së koordinatave, ne gjithmonë mund të llogarisim distancën midis tyre. Le të themi se kemi dy pika A dhe B me koordinatat a dhe b përkatësisht. Atëherë distanca ndërmjet tyre do të jetë |a - b|. Regjistro |a - b| lexohet si "a minus b modul" ose "moduli i ndryshimit midis numrave a dhe b".

Çfarë është një modul?

Nga ana algjebrike, moduli i x është një numër jo negativ. Shënuar si |x|. Për më tepër, nëse x > 0, atëherë |x| = x. Nëse x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

Gjeometrikisht, moduli i numrit x është distanca midis pikës dhe origjinës. Dhe nëse ka dy pika me koordinata x1 dhe x2, atëherë |x1 - x2| është distanca ndërmjet këtyre pikave.

Moduli quhet gjithashtu vlere absolute.

Çfarë mund të themi tjetër kur bëhet fjalë për vijën koordinative? Sigurisht për intervalet numerike.

Llojet e intervaleve numerike.

Le të themi se kemi dy numra a dhe b. Për më tepër, b > a (b është më i madh se a). Në vijën koordinative, kjo do të thotë se pika b është në të djathtë të pikës a. Le të zëvendësojmë b në pabarazinë tonë me ndryshoren x. Kjo është x > a. Atëherë x është të gjithë numrat më të mëdhenj se a. Në vijën koordinative, këto janë, përkatësisht, të gjitha pikat në të djathtë të pikës a. Kjo pjesë e vijës është e hijezuar (Fig. 6). Një grup i tillë pikash quhet tra i hapur, dhe ky interval numerik shënohet me (a; +∞), ku shenja +∞ lexohet si "plus pafundësi". Vini re se vetë pika a nuk përfshihet në këtë interval dhe tregohet nga një rreth i lehtë.

Merrni parasysh edhe rastin kur x ≥ a. Atëherë x është të gjithë numrat më të mëdhenj ose të barabartë me a. Në vijën e koordinatave, të gjitha këto janë pika në të djathtë të a-së, si dhe vetë pika a (në figurën 7, pika a është treguar tashmë me një rreth të errët). Një grup i tillë pikash quhet tra i mbyllur(ose thjesht një rreze), dhe ky interval numerik shënohet me .

Vija koordinative quhet gjithashtu boshti koordinativ. Ose vetëm boshti x.

Në fund të kapitullit 1, thamë se gjatë kursit të algjebrës, ju dhe unë duhet të mësojmë të përshkruajmë situata reale me fjalë (modeli verbal), algjebrikisht (algjebrik ose, siç thonë matematikanët shpesh, modeli analitik), grafikisht (grafik ose modeli gjeometrik). I gjithë seksioni i parë teksti shkollor(kapitujt 1-5) iu kushtua studimit të gjuhës matematikore me të cilën përshkruhen modelet analitike.

Duke u nisur nga kapitulli 6, do të studiojmë jo vetëm modelet e reja analitike, por edhe grafike (gjeometrike). Ato janë ndërtuar duke përdorur një linjë koordinative, rrafshi koordinativ. Këto koncepte janë pak të njohura për ju nga kursi i matematikës në klasat 5-6.

Vijë e drejtë /, mbi të cilën fillestari pika O (pika e referencës), shkalla (një segmenti i linjës, d.m.th., një segment, gjatësia e të cilit konsiderohet e barabartë me 1) dhe drejtimi pozitiv, quhet vijë koordinative, ose bosht koordinativ (Fig. 7); Përdoret gjithashtu termi "aks x".

Çdo numër korrespondon me një pikë të vetme në vijë. Për shembull, numri 3.5 korrespondon me pikën M (Fig. 8), e cila hiqet nga origjina, d.m.th., nga pika O, në një distancë të barabartë me 3.5 (në një shkallë të caktuar) dhe shtyhet nga pika O në një drejtim të caktuar (pozitiv). Numri -4 korrespondon me pikën P (shih Fig. 8), e cila hiqet nga pika O në një distancë të barabartë me 4, dhe shtyhet nga pika O në drejtim negativ, d.m.th., në drejtim të kundërt me atë të dhënë. një.

E kundërta është gjithashtu e vërtetë: çdo pikë e vijës koordinative i korrespondon një numri të vetëm.

Për shembull, pika K, e cila është 5.4 nga pika O në drejtimin pozitiv (të dhënë), korrespondon me numrin 5.4, dhe pika N, e cila është 2.1 nga pika O në drejtim negativ, korrespondon me numrin - 2.1 (shih fig. 8).

Këta numra quhen koordinatat e pikave përkatëse. Pra, në fig. 8 pika K ka një koordinatë 5.4; pika P - koordinata -4; pika M - koordinata 3.5; pika N - koordinata -2.1; pika O - koordinata 0 (zero). Prandaj emri - "vija e koordinatave". Në mënyrë figurative, vija e koordinatave është një shtëpi me popullsi të dendur, banorët e kësaj shtëpie janë pika, dhe koordinatat e pikave janë numrat e apartamenteve në të cilat banojnë pikat-banorë.

Pse na duhet një linjë koordinative? Pse të karakterizojmë një pikë me një numër dhe një numër me një pikë? A ka ndonjë përfitim nga kjo? Po eshte.
Le të jepen, për shembull, dy pika në vijën koordinative: A - me koordinatën o dhe B - me koordinatën b (zakonisht në raste të tilla shkruajnë më shkurt:
A(a), B(b)). Supozoni se duhet të gjejmë distancën d midis pikave A dhe B. Rezulton se në vend që të bëjmë matjet gjeometrike, thjesht përdorni formulën e gatshme d \u003d (a - b) (e keni studiuar në klasën 6).
Pra, në figurën 8 kemi:

Në përpjekje për koncizitetin e arsyetimit, matematikanët ranë dakord në vend të frazës së gjatë "pika A e vijës koordinative, që ka koordinatën a", të përdorin një frazë të shkurtër: "pika a" dhe, në përputhje me rrethanat, në vizatim, pika nën konsiderata shënohet me koordinatën e saj. Pra, figura 9 tregon një vijë koordinative, në të cilën pikat janë shënuar - 4; - 2.1; 0; një; 3.5; 5.4.

Vija e koordinatave na jep mundësinë të kalojmë lirisht nga gjuha algjebrike në gjeometrike dhe anasjelltas. Le të jetë, për shembull, numri a më i vogël se numri b. Në gjuhën algjebrike kjo shkruhet si: a< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Sidoqoftë, të dyja gjuhët algjebrike dhe gjeometrike janë varietete të së njëjtës gjuhë matematikore që ne po studiojmë.

Le të njihemi me disa elementë të tjerë të gjuhës matematikore që lidhen me vijën koordinative.

1. Le të shënohet një pikë a në vijën koordinative. Konsideroni të gjitha pikat që shtrihen në vijën e drejtë në të djathtë të pikës a dhe shënoni pjesën përkatëse me një vijë koordinative të çelës (Fig. 10). Ky grup pikash (numra) quhet rreze e hapur dhe shënohet me (a, +oo), ku shenja +oo thotë: “plus pafundësi”; karakterizohet nga pabarazia x > a (me dz kuptojmë çdo pikë të traut).

Ju lutemi vini re: pika a nuk i përket një trau të hapur, por nëse kjo pikë duhet të lidhet me një rreze të hapur, atëherë shkruani x\u003e a ose dhe, në përputhje me rrethanat, lyejeni pikën b në vizatim (Fig. 13);

për (-oo, b) do të përdorim edhe termin rreze.

3. Le të shënohen pikat a dhe b në vijën koordinative dhe< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

Ky grup (numrash) quhet interval dhe shënohet me (a, b).

Karakterizohet nga një pabarazi e rreptë e dyfishtë a< х < b (под х понимается любая точка интервала).

Ju lutemi vini re: intervali (a, b) është kryqëzimi (pjesa e përbashkët) e dy rrezeve të hapura (-oo, b) dhe (a, + oo) - kjo shihet qartë në Figurën 15.

Nëse i shtojmë skajet e tij në intervalin (a, b), d.m.th. pikat a dhe b, atëherë marrim segmentin [a, b] (Fig. 16),

e cila karakterizohet nga një pabarazi e dyfishtë jo e rreptë a< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

Segmenti [a, b] është kryqëzimi (pjesa e përbashkët) e dy rrezeve (-oo, b] dhe që karakterizohet nga pabarazi të dyfishta: a< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

Pra, ne kemi prezantuar pesë terma të rinj të gjuhës matematikore: rreze, rreze e hapur, interval, segment, gjysmë interval. Ekziston edhe një term i përgjithshëm: boshllëqe numerike.

Vetë vija e koordinatave konsiderohet gjithashtu një interval numerik; për të përdoret shënimi (-oo, +oo).

Matematika për klasën e 7 shkarko falas, plane mësimi, përgatitja për shkollë online

A. V. Pogorelov, Gjeometria për klasat 7-11, Libër mësuesi për institucionet arsimore