Skaičių sekos riba. Kaip įrodyti, kad seka konverguoja? Pagrindinės konvergentinių sekų savybės Sekų tipai

Sekos ir funkcijų ribų apibrėžimas, ribų savybės, pirmoji ir antroji žymiosios ribos, pavyzdžiai.

pastovus skaičius a paskambino riba sekos(x n) jei bet kuriam savavališkai mažam teigiamam skaičiui ε > 0 yra toks skaičius N, kad visos reikšmės x n, kurio n>N, tenkina nelygybę

Parašykite taip: arba x n → a.

Nelygybė (6.1) lygi dvigubai nelygybei

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, pradedant nuo kažkokio skaičiaus n>N, yra intervalo viduje (a-ε , a+ε), t.y. patenka į bet kurią mažą taško ε kaimynystę a.

Seka, kuri turi ribą, vadinama susiliejantys, kitaip - skiriasi.

Funkcijos ribos sąvoka yra sekos ribos sampratos apibendrinimas, nes sekos riba gali būti laikoma sveikojo skaičiaus argumento funkcijos x n = f(n) riba. n.

Tegu duota funkcija f(x) ir tegul a - ribinis taškasšios funkcijos apibrėžimo sritis D(f), t.y. toks taškas, kurio bet kurioje kaimynystėje yra aibės D(f) taškai, kurie skiriasi nuo a. Taškas a gali priklausyti arba nepriklausyti aibei D(f).

1 apibrėžimas. Vadinamas pastovus skaičius A riba funkcijas f(x) adresu x → a if bet kuriai argumentų reikšmių sekai (x n ), kuri yra linkusi a, atitinkamos sekos (f(x n)) turi tą pačią ribą A.

Šis apibrėžimas vadinamas funkcijos ribos apibrėžimas pagal Heine, arba " sekų kalba”.

2 apibrėžimas. Vadinamas pastovus skaičius A riba funkcijas f(x) adresu x→a, jei duotas savavališkas, savavališkai mažas teigiamas skaičius ε, galima rasti δ >0 (priklausomai nuo ε), kad visiems x, esantis skaičiaus ε kaimynystėje a, t.y. dėl x tenkinantis nelygybę
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Šis apibrėžimas vadinamas funkcijos ribos apibrėžimas pagal Koši, arba „kalboje ε - δ"

1 ir 2 apibrėžimai yra lygiaverčiai. Jei funkcija f(x) kaip x → a turi riba lygus A, tai parašyta kaip

Tuo atveju, jei seka (f(x n)) didėja (arba mažėja) neribotą laiką taikant bet kurį aproksimavimo metodą x iki jūsų ribos a, tada sakysime, kad funkcija f(x) turi begalinė riba, ir parašykite taip:

Iškviečiamas kintamasis (t.y. seka arba funkcija), kurio riba lygi nuliui be galo mažas.

Vadinamas kintamasis, kurio riba lygi begalybei be galo didelis.

Norėdami praktiškai rasti ribą, naudokite šias teoremas.

1 teorema . Jei yra kiekviena riba

(6.4)

(6.5)

(6.6)

komentuoti. 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ formos išraiškos yra neapibrėžtos, pavyzdžiui, dviejų be galo mažų arba be galo didelių dydžių santykis, o tokio pobūdžio ribos radimas vadinamas „neapibrėžtumo atskleidimu“.

2 teorema.

tie. galima pereiti prie laipsnio pagrindo ribos esant pastoviam eksponentui, ypač

3 teorema.

(6.11)

kur e» 2,7 yra natūraliojo logaritmo pagrindas. Formulės (6.10) ir (6.11) vadinamos pirmąja žymia riba ir antrąja žymia riba.

(6.11) formulės išvados taip pat naudojamos praktikoje:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

ypač riba

Jei x → a ir tuo pačiu metu x > a, tai parašykite x →a + 0. Jei konkrečiai a = 0, tai vietoj simbolio 0+0 parašykite +0. Panašiai, jei x→a ir tuo pačiu x ir yra atitinkamai pavadinti. teisinga riba ir kairioji riba funkcijas f(x) taške a. Kad funkcijos f(x) riba egzistuotų kaip x→ a, būtina ir pakanka, kad . Iškviečiama funkcija f(x). tęstinis taške x 0, jei riba

(6.15)

Sąlyga (6.15) gali būti perrašyta taip:

tai yra, perėjimas į ribą po funkcijos ženklu yra įmanomas, jei ji yra ištisinė tam tikrame taške.

Jei lygybė (6.15) pažeidžiama, tai ir sakome adresu x = xo funkcija f(x) Tai turi tarpas. Apsvarstykite funkciją y = 1/x. Šios funkcijos domenas yra rinkinys R, išskyrus x = 0. Taškas x = 0 yra aibės D(f) ribinis taškas, nes bet kurioje jos apylinkėje, t.y. bet kuriame atvirame intervale, kuriame yra taškas 0, yra taškų iš D(f), tačiau jis pats nepriklauso šiai aibei. Reikšmė f(x o)= f(0) neapibrėžta, todėl funkcija taške x o = 0 turi nenutrūkstamumą.

Iškviečiama funkcija f(x). ištisinis dešinėje taške x o jei riba

ir ištisinis kairėje taške x o jei riba

Funkcijos tęstinumas taške x o yra lygiavertis jo tęstinumui šiame taške tiek dešinėje, tiek kairėje.

Kad funkcija būtų ištisinė taške x o, pavyzdžiui, dešinėje, pirma, būtina, kad būtų baigtinė riba , ir, antra, kad ši riba būtų lygi f(x o). Todėl, jei neįvykdoma bent viena iš šių dviejų sąlygų, funkcija turės spragą.

1. Jei riba egzistuoja ir nėra lygi f(x o), tai jie taip sako funkcija f(x) taške xo turi pirmos rūšies pertrauka, arba šokinėti.

2. Jei riba yra +∞ arba -∞ arba jos nėra, tada jie sako, kad in tašką x o funkcija turi pertrauką antra rūšis.

Pavyzdžiui, funkcija y = ctg x kaip x → +0 turi ribą, lygią +∞ , o tai reiškia, kad taške x=0 ji turi antrojo tipo netolydumą. Funkcija y = E(x) (sveikasis skaičius x) taškuose su sveikaisiais skaičiais abscisės turi pirmos rūšies netolydumus arba šuolius.

Iškviečiama funkcija, kuri yra ištisinė kiekviename intervalo taške tęstinis in . Ištisinė funkcija pavaizduota vientisa kreive.

Daugelis problemų, susijusių su nuolatiniu tam tikro kiekio augimu, veda prie antrosios nepaprastos ribos. Tokie uždaviniai, pavyzdžiui, apima: įmokos augimą pagal sudėtinių palūkanų dėsnį, šalies gyventojų skaičiaus augimą, radioaktyviosios medžiagos irimą, bakterijų dauginimąsi ir kt.

Apsvarstykite Ya. I. Perelman pavyzdys, kuris pateikia skaičiaus interpretaciją e sudėtinių palūkanų problema. Skaičius e yra riba . Taupomosiose kasose prie pagrindinio kapitalo kasmet pridedami palūkanų pinigai. Jei ryšys užmezgamas dažniau, kapitalas auga greičiau, nes formuojant palūkanas dalyvauja didelė suma. Paimkime grynai teorinį, labai supaprastintą pavyzdį. Tegul bankas deda 100 den. vienetų 100% metiniu tarifu. Jei palūkanas uždirbantys pinigai prie pagrindinio kapitalo pridedami tik po metų, tai iki to laiko 100 den. vienetų pavirs 200 den. Dabar pažiūrėkime, į ką pavirs 100 denų. vienetų, jeigu į pagrindinį kapitalą kas šešis mėnesius pridedami palūkanų pinigai. Po pusės metų 100 den. vienetų padidės 100 × 1,5 = 150, o dar per šešis mėnesius - 150 × 1,5 = 225 (pinigų vienetai). Jeigu prisijungiama kas 1/3 metų, tai po metų 100 den. vienetų pavirs į 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (den. vienetai). Palūkanų pinigų pridėjimo terminą padidinsime iki 0,1 metų, 0,01 metų, 0,001 metų ir pan. Tada iš 100 den. vienetų po metų:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. vienetai),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. vienetai),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. vienetai).

Neribotai sumažinus prisijungimo palūkanų terminus, kaupiamasis kapitalas neauga neribotą laiką, o artėja prie tam tikros ribos, lygios maždaug 271. Kapitalas, nustatytas 100 % per metus, negali padidėti daugiau nei 2,71 karto, net jei priskaičiuotos palūkanos pridedama prie sostinės kas sekundę, nes limitas

3.1 pavyzdys. Naudodamiesi skaičių sekos ribos apibrėžimu, įrodykite, kad sekos x n =(n-1)/n riba yra lygi 1.

Sprendimas. Turime įrodyti, kad kad ir kokį ε > 0 imtume, jam yra natūralusis skaičius N, kad visiems n > N nelygybė |x n -1|< ε

Paimkite bet kurį ε > 0. Kadangi x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, tai norint rasti N pakanka išspręsti nelygybę 1/n<ε. Отсюда n>1/ε ir todėl N gali būti laikoma sveikąja 1/ε N = E(1/ε) dalimi. Taip įrodėme, kad riba .

Sprendimas. Taikykite ribinės sumos teoremą ir raskite kiekvieno nario ribą. Kaip n → ∞, kiekvieno nario skaitiklis ir vardiklis yra linkę į begalybę, ir mes negalime tiesiogiai taikyti koeficiento ribos teoremos. Todėl pirmiausia transformuojamės x n, padalijus pirmojo nario skaitiklį ir vardiklį iš n 2, ir antrasis n. Tada, taikydami koeficiento ribos teoremą ir sumos ribos teoremą, randame:

3.3 pavyzdys. . Rasti.

Čia panaudojome laipsnio ribos teoremą: laipsnio riba lygi pagrindo ribos laipsniui.

3.4 pavyzdys. Rasti ( ).

Sprendimas. Neįmanoma taikyti skirtumo ribinės teoremos, nes turime formos ∞-∞ neapibrėžtį. Transformuokime bendrojo termino formulę:

3.5 pavyzdys. Duota funkcija f(x)=2 1/x . Įrodykite, kad riba neegzistuoja.

Sprendimas. Funkcijos ribos apibrėžimą 1 naudojame sekos atžvilgiu. Paimkite seką ( x n ), kuri konverguoja į 0, t.y. Parodykime, kad reikšmė f(x n)= skirtingoms sekoms elgiasi skirtingai. Tegu x n = 1/n. Aišku, tada riba Pasirinkime dabar kaip x n seka su bendru terminu x n = -1/n, taip pat linkusi į nulį. Todėl ribų nėra.

3.6 pavyzdys. Įrodykite, kad riba neegzistuoja.

Sprendimas. Tegul x 1 , x 2 ,..., x n ,... yra seka, kuriai
. Kaip seka (f(x n)) = (sin x n ) elgiasi esant skirtingiems x n → ∞

Jei x n \u003d p n, tai sin x n \u003d sin (p n) = 0 visiems n ir apriboti Jei
xn=2 p n+ p /2, tada sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 visiems n taigi ir riba. Taigi neegzistuoja.

Skaičių sekos yra begalinės skaičių aibės. Sekų pavyzdžiai yra: visų begalinės geometrinės progresijos narių seka, apytikslių reikšmių seka ( x 1 = 1, x 2 = 1,4, x 3= 1,41, ...), dėsningumo perimetrų seka n-gonai, įrašyti į tam tikrą apskritimą. Patikslinkime skaitinės sekos sąvoką.

1 apibrėžimas. Jei kiekvienas skaičius n iš natūralių skaičių 1, 2, 3,..., P,... priskirtas tikrasis skaičius x p, tada realiųjų skaičių aibė

x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , …(2.1)

paskambino skaičių seka, arba tiesiog seka. .

Skaičiai x 1, x 2, x 3, ..., x p,... paskambins elementai, arba nariai sekos (2.1), simbolis x p - bendras elementas arba sekos narys ir skaičius P - jo numerį. Trumpai seka (2.1) bus pažymėta simboliu (x p ). Pavyzdžiui, simbolis (1/ n) žymi skaičių seką

Kitaip tariant, seka gali būti suprantama kaip begalinė sunumeruotų elementų rinkinys arba skaičių porų rinkinys (p, x p), kuriame pirmasis skaičius įgauna nuoseklias reikšmes 1, 2, 3, ... . Seka laikoma duota, jei nurodytas kurio nors jos elemento gavimo būdas. Pavyzdžiui, formulė x n = -1 + (-1)n apibrėžia seką 0, 2, 0, 2,... .

Geometriškai seka skaitinėje ašyje vaizduojama kaip seka taškų, kurių koordinatės lygios atitinkamiems sekos nariams. Ant pav. 2.1 rodo seką ( x n} = {1/n) skaičių eilutėje.

Konvergencinės sekos samprata

2 apibrėžimas. Skaičius a paskambino sekos riba{x n} , jei kuriam nors teigiamam skaičiui ε yra skaičius N, tai visiems n > N nelygybę

Seka, kuri turi ribą, vadinama susiliejantys. Jei sekos riba yra skaičius a, tada parašyta taip:

Seka, kuri neturi ribų, vadinama skiriasi.

3 apibrėžimas. Seka, kurios riba yra skaičius a= 0 vadinamas be galo maža seka.

1 pastaba. Tegul seka ( x n) riboja skaičių a. Tada seka (α n} = {x n - a) yra be galo mažas, t.y. bet koks elementas x p konvergencinė seka su riba a, gali būti pavaizduotas kaip

kur α n- be galo mažos sekos elementas (α n} .

2 pastaba. Nelygybė (2.2) yra lygiavertė nelygybėms (žr. skaičiaus modulio 4 savybę iš § 1.5)

Tai reiškia, kad val n > N visi sekos elementai ( x n) yra ε kaimynystė taškų a(2.2 pav.), ir numerį N nustatomas pagal ε reikšmę.

Įdomu pateikti geometrinį šio apibrėžimo aiškinimą. Kadangi seka yra begalinė skaičių aibė, tada, jei ji konverguoja, bet kurioje taško ε kaimynystėje a tikrojoje tiesėje yra begalinis skaičius taškų - šios sekos elementų, o už ε kaimynystės yra baigtinis skaičius elementų. Todėl dažnai vadinama sekos riba sustorėjimo taškas.

3 pastaba. Neribota seka neturi galutinis riba. Tačiau ji gali turėti begalinis riba, kuri parašyta tokia forma:

Jei tuo pačiu metu, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, visi sekos nariai yra teigiami (neigiami), tada parašykite

Jeigu ( x n) yra be galo maža seka, tada (1 /x p} - begalinė seka kuri turi begalinę ribą (2.3) prasme ir atvirkščiai.

Pateiksime konvergentinių ir divergentinių sekų pavyzdžius.

1 pavyzdys Parodykite, naudodami sekos ribos apibrėžimą, kad .

Sprendimas. Paimkite bet kurį skaičių ε > 0. Kadangi

tada, kad nelygybė (2.2) galiotų, pakanka išspręsti nelygybę 1 / ( n + 1) < ε, откуда получаем n> (1 - ε) / ε. Užteks pasiimti N= [(1 - ε)/ε] (sveikoji skaičiaus dalis (1 - ε)/ ε)*, kad nelygybė |x p - 1| < ε выполнялосьпривсех n > N.

* Simbolis [ a] reiškia sveikąją skaičiaus dalį a, t.y. didžiausias sveikasis skaičius neviršijantis a. Pavyzdžiui, =2, =2, =0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24.

2 pavyzdys Parodykite, kad seka ( x n} = (-1)n, arba -1, 1, -1, 1,... neturi ribų.

Sprendimas. Iš tiesų, kad ir kokį skaičių laikytume ribą: 1 arba -1, su ε< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x p: visi nelyginiai elementai yra -1, lyginiai elementai yra 1.

Pagrindinės konvergentinių sekų savybės

Pateiksime pagrindines konvergentinių sekų savybes, kurios aukštosios matematikos eigoje formuluojamos teoremų pavidalu.

1.Jei visi be galo mažos sekos elementai{x n} yra lygūs tam pačiam skaičiui c, tada c = 0.

2. Konvergencinė seka turi tik vieną ribą.

3.Konvergencinė seka yra ribojama.

4.Konvergencinių sekų suma (skirtumas).{x n} ir{y n} yra konvergencinė seka, kurios riba lygi sekų ribų sumai (skirtumui).{x p} ir{y p}.

5.Konvergencinių sekų sandauga{x n} ir{y n} yra konvergencinė seka, kurios riba lygi sekų ribų sandaugai{x n} ir{y n} .

6.Dviejų konvergencinių sekų koeficientas{x n} ir{y n} su sąlyga, kad sekos riba{y n} yra nelygus nuliui, yra konvergentinė seka, kurios riba lygi sekų ribų daliniui{x n} ir{y p} .

7. Jei konvergencinės sekos elementai{x n} tenkinti nelygybę x p ≥ b (x p ≤ b), pradedant nuo kokio nors skaičiaus, tai šios sekos riba a tenkina ir nelygybę a ≥ b (a ≤ b).

8.Be galo mažos sekos sandauga iš ribotos sekos arba skaičiaus yra be galo maža seka.

9.Baigtinio skaičiaus be galo mažų sekų sandauga yra be galo maža seka.

Panagrinėkime šių savybių pritaikymą su pavyzdžiais.

3 pavyzdys. Raskite ribą.

Sprendimas. At n trupmenos skaitiklis ir vardiklis linkę į begalybę, t.y. koeficiento ribos teorema negali būti taikoma iš karto, nes ji daro prielaidą, kad egzistuoja baigtinės sekų ribos. Šią seką transformuojame padalydami skaitiklį ir vardiklį iš n 2. Tada taikydami teoremas apie dalinio ribą, sumos ribą ir vėl dalinio ribą, iš eilės randame

4 pavyzdys x p) = at P.

Sprendimas. Čia, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, skaitiklis ir vardiklis neturi baigtinių ribų, todėl pirmiausia reikia atlikti atitinkamas transformacijas. Skaitiklio ir vardiklio dalijimas iš n, mes gauname

Kadangi skaitiklyje yra be galo mažos sekos ir apribotos sekos sandauga, tada pagal savybę 8 galiausiai gauname

5 pavyzdys Raskite sekos ribą ( x n) = at P .

Sprendimas. Čia neįmanoma tiesiogiai pritaikyti teoremos apie sekų sumos (skirtumo) ribą, nes formulėje nėra baigtinių terminų ribų. x n} . Padauginkite ir padalinkite formulę ( x n) į konjuguotą išraišką:

Skaičius e

Apsvarstykite seką ( x n} , kurių bendras terminas išreiškiamas formule

Matematinės analizės metu įrodoma, kad ši seka didėja monotoniškai ir turi ribą. Ši riba vadinama skaičiumi e. Todėl pagal apibrėžimą

Skaičius e vaidina svarbų vaidmenį matematikoje. Toliau bus svarstomas jo apskaičiavimo bet kokiu reikiamu tikslumu metodas. Čia atkreipkite dėmesį, kad skaičius e yra neracionalus; apytikslė jo vertė yra e = 2,7182818... .

3. Skaičių sekos riba

3.1. Skaičių sekos samprata ir natūralaus argumento funkcija

Apibrėžimas 3.1. Skaičių seka (toliau – tiesiog seka) – tai tvarkinga skaičiuojama skaičių rinkinys

{x1, x2, x3, ... }.

Atkreipkite dėmesį į du dalykus.

1. Sekoje yra be galo daug skaičių. Jei yra baigtinis skaičių skaičius, tai nėra seka!

2. Visi skaičiai yra sutvarkyti, tai yra, išdėstyti tam tikra tvarka.

Toliau dažnai naudosime sekos santrumpas ( xn}.

Tam tikros operacijos gali būti atliekamos su sekomis. Panagrinėkime kai kuriuos iš jų.

1. Sekos dauginimas iš skaičiaus.

Pasekmė c×{ xn) yra seka su elementais ( c× xn), tai yra

c×{ x1, x2, x3, ... }={c× x1, s× x2, s× x3, ... }.

2. Sekų sudėjimas ir atėmimas.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

arba, tiksliau,

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Sekų dauginimas.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. Sekų skirstymas.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Natūralu, kad šiuo atveju daroma prielaida, kad visi yn¹ 0.

Apibrėžimas 3.2. Pasekmė ( xn) vadinamas apribotu iš viršaus, jei https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height = "25 src=">. Seka (xn) vadinama ribota, jei ji apribota ir aukščiau, ir žemiau.

3.2. Sekos riba. Be galo didelė seka

Apibrėžimas 3.3. Skaičius a vadinama sekos riba ( xn) adresu n linkęs į begalybę, jei

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> jei .

Jie sako, kad jei.

Apibrėžimas 3.4. Pasekmė ( xn) vadinamas be galo dideliu if (tai yra, jei ).

3.3. Be galo maža seka.

Apibrėžimas 3.5. Seka (xn) vadinama be galo maža, jei , tai yra, jei .

Be galo mažos sekos turi šias savybes.

1. Be galo mažų sekų suma ir skirtumas taip pat yra be galo maža seka.

2. Be galo maža seka yra ribojama.

3. Be galo mažos sekos ir ribotosios sekos sandauga yra be galo maža seka.

4. Jei ( xn) yra be galo didelė seka, tada prasideda nuo kai kurių N, seka (1/ xn), ir tai yra be galo maža seka. Ir atvirkščiai, jei ( xn) yra be galo maža seka ir viskas xn skiriasi nuo nulio, tada (1/ xn) yra be galo didelė seka.

3.4. konvergencinės sekos.

Apibrėžimas 3.6. Jei yra pabaigos apribojimas https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. Jeigu , tada .

3.5. Perėjimas prie ribos nelygybėse.

3.1 teorema. Jei, pradedant nuo kai kurių N, visi xn ³ b, tada.

Pasekmė. Jei, pradedant nuo kai kurių N, visi xn ³ yn, tada .

komentuoti. Atkreipkite dėmesį, kad jei, pradedant nuo kai kurių N, visi xn > b, tada , tai yra, pereinant prie ribos, griežta nelygybė gali tapti negriežta.

3.2 teorema.(„Dviejų policininkų teorema“) Jei, pradedant nuo kai kurių N, galioja šios savybės

1..gif" width="163" height="33 src=">,

tada egzistuoja.

3.6. Monotoninės sekos riba.

Apibrėžimas 3.7. Pasekmė ( xn) vadinamas monotoniškai didėjančiu, jei toks yra n xn+1 ³ xn.

Pasekmė ( xn) vadinamas griežtai monotoniškai didėjančiu, jei toks yra n xn+1> xn.

xn­.

Apibrėžimas 3.8. Pasekmė ( xn) vadinamas monotoniškai mažėjančiu, jei toks yra n xn+1 £ xn.

Pasekmė ( xn) vadinamas griežtai monotoniškai mažėjančiu, jei toks yra n xn+1< xn.

Abu šie atvejai yra derinami su simboliu xn¯.

Teorema apie monotoninės sekos ribos egzistavimą.

1. Jei seka ( xn) yra monotoniškai didėjantis (mažėjantis) ir ribojamas iš viršaus (iš apačios), tada jis turi baigtinę ribą, lygią sup( xn) (inf( xn}).

2 Jei seka ( xn) monotoniškai didėja (mažėja), bet nėra ribojamas iš viršaus (iš apačios), tada turi ribą, lygią +¥ (-¥).

Remiantis šia teorema, įrodoma, kad yra vadinamoji nepaprastoji riba

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Ji vadinama sekos poseka ( xn}.

3.3 teorema. Jei seka ( xn) susilieja ir jo riba yra a, tada bet kuri jo poseka taip pat suartėja ir turi tą pačią ribą.

Jeigu ( xn) yra be galo didelė seka, tada bet kuri jos poseka taip pat yra be galo didelė.

Bolzano-Weierstrass lema.

1. Iš bet kurios apribotos sekos galima išskirti poseką, kuri konverguoja į baigtinę ribą.

2. Iš bet kurios neapribotos sekos galima išskirti be galo didelę poseką.

Remiantis šia lema, įrodomas vienas pagrindinių ribų teorijos rezultatų - Bolzano ir Koši konvergencijos kriterijus.

Kad seka ( xn) buvo baigtinė riba, tai būtina ir pakanka

Seka, kuri tenkina šią savybę, vadinama pagrindine seka arba seka, kuri susilieja savaime.

Daugeliui žmonių matematinė analizė yra tik nesuprantamų skaičių, piktogramų ir apibrėžimų rinkinys, kuris yra toli nuo realaus gyvenimo. Tačiau pasaulis, kuriame mes egzistuojame, yra sukurtas remiantis skaitiniais modeliais, kurių identifikavimas padeda ne tik sužinoti apie mus supantį pasaulį ir išspręsti sudėtingas jo problemas, bet ir supaprastinti kasdienes praktines užduotis. Ką matematikas turi omenyje sakydamas, kad skaičių seka susilieja? Tai turėtų būti aptarta išsamiau.

mažas?

Įsivaizduokite matrioškas, kurios telpa viena į kitą. Jų dydžiai, parašyti skaičių forma, pradedant didžiausiu ir baigiant mažiausiu iš jų, sudaro seką. Jei įsivaizduosite begalinį tokių ryškių figūrų skaičių, tada gauta eilutė bus fantastiškai ilga. Tai konvergencinė skaičių seka. Ir jis linkęs į nulį, nes kiekvienos paskesnės lizdinės lėlės dydis, katastrofiškai mažėjantis, pamažu virsta niekuo. Taigi nesunku paaiškinti: kas yra be galo maža.

Panašus pavyzdys būtų kelias, einantis į tolį. O palei jį nuo stebėtojo tolstančio automobilio vizualiniai matmenys, palaipsniui mažėjantys, virsta beforme tašką primenančia dėmele. Taigi automobilis, kaip ir objektas, toldamas nežinoma kryptimi, tampa be galo mažas. Nurodyto kūno parametrai niekada nebus nulis tikrąja to žodžio prasme, bet visada linkę į šią vertę galutinėje riboje. Todėl ši seka vėl suartėja iki nulio.

Apskaičiuokime viską lašas po lašo

Įsivaizduokime realią gyvenimo situaciją. Gydytojas paskyrė pacientui gerti vaistus, pradedant nuo dešimties lašų per dieną ir įlašinant po du kiekvieną kitą dieną. Ir taip gydytoja pasiūlė tęsti tol, kol baigsis vaisto buteliuko, kurio tūris yra 190 lašų, ​​turinys. Iš to, kas pasakyta, išplaukia, kad tokių skaičių, nupieštų pagal dieną, bus šios skaičių serijos: 10, 12, 14 ir tt.

Kaip sužinoti viso kurso įveikimo laiką ir eilės narių skaičių? Čia, žinoma, galima primityviai skaičiuoti lašus. Tačiau, atsižvelgiant į šabloną, daug lengviau naudoti formulę su žingsniu d = 2. Ir naudodamiesi šiuo metodu išsiaiškinkite, kad skaičių serijos narių skaičius yra 10. Šiuo atveju a 10 = 28. Nario numeris nurodo vaisto vartojimo dienų skaičių, o 28 – lašų skaičių, kurį pacientas turi suvartoti paskutinę dieną. Ar ši seka susilieja? Ne, nes nepaisant to, kad jis apribotas iki 10 iš apačios ir 28 iš viršaus, tokia skaičių serija, skirtingai nei ankstesniuose pavyzdžiuose, neturi ribų.

Koks skirtumas?

Dabar pabandykime išsiaiškinti: kada skaičių eilutė pasirodo esanti konvergentinė seka. Tokio pobūdžio apibrėžimas, kaip galima daryti iš to, kas išdėstyta pirmiau, yra tiesiogiai susijęs su baigtinės ribos samprata, kurios buvimas atskleidžia klausimo esmę. Taigi koks esminis skirtumas tarp anksčiau pateiktų pavyzdžių? Ir kodėl paskutiniame iš jų skaičius 28 negali būti laikomas skaičių serijos X n = 10 + 2(n-1) riba?

Norėdami išsiaiškinti šią problemą, apsvarstykite kitą seką, pateiktą pagal toliau pateiktą formulę, kur n priklauso natūraliųjų skaičių aibei.

Ši narių bendruomenė yra paprastųjų trupmenų rinkinys, kurio skaitiklis yra 1, o vardiklis nuolat didėja: 1, ½ ...

Be to, kiekvienas paskesnis šios serijos atstovas pagal vietą skaičių tiesėje vis labiau artėja prie 0. Tai reiškia, kad tokia kaimynystė atsiranda ten, kur taškai telkiasi apie nulį, o tai yra riba. Ir kuo arčiau jos, tuo tankesnė jų koncentracija skaičių tiesėje. Ir atstumas tarp jų katastrofiškai sumažėja, virsdamas be galo mažu. Tai ženklas, kad seka konverguoja.

Panašiai ir paveiksle pavaizduoti įvairiaspalviai stačiakampiai, toldami erdvėje, vizualiai yra labiau perpildyti, hipotetinėje riboje virsta nereikšmingais.

Be galo didelės sekos

Išanalizavę konvergencinės sekos apibrėžimą, dabar kreipiamės į priešingus pavyzdžius. Daugelis jų žmogui žinomi nuo senų senovės. Paprasčiausi skirtingų sekų variantai yra natūraliųjų ir lyginių skaičių eilutės. Be galo dideliais jie vadinami dar kitaip, nes jų nariai, nuolat didėjantys, vis labiau artėja prie teigiamos begalybės.

Bet kuri aritmetinė ir geometrinė progresija, kurios žingsnis ir vardiklis yra atitinkamai didesni už nulį, taip pat gali būti tokių pavyzdžių. Divergentinės sekos laikomos, be to, skaitinės eilutės, kurios visiškai neturi ribų. Pavyzdžiui, X n = (-2) n -1 .

Fibonačio seka

Praktinis anksčiau minėtų skaičių serijų panaudojimas žmonijai yra neabejotinas. Tačiau yra begalė kitų puikių pavyzdžių. Vienas iš jų yra Fibonačio seka. Kiekvienas jos narys, prasidedantis vienu, yra ankstesnių narių suma. Pirmieji du jo atstovai yra 1 ir 1. Trečiasis 1+1=2, ketvirtasis 1+2=3, penktasis 2+3=5. Toliau, pagal tą pačią logiką, seka skaičiai 8, 13, 21 ir pan.

Ši skaičių serija auga neribotą laiką ir neturi baigtinės ribos. Tačiau jis turi dar vieną nuostabų turtą. Kiekvieno ankstesnio skaičiaus santykis su kitu savo reikšme vis labiau artimas 0,618. Čia galite suprasti skirtumą tarp konvergencinės ir divergentinės sekos, nes jei padarysite gautų privačių dalybų eilę, nurodyta skaitinė sistema turės galutinė riba lygi 0,618.

Fibonačio santykio seka

Aukščiau nurodytos skaičių serijos yra plačiai naudojamos praktiniais tikslais atliekant techninę rinkų analizę. Tačiau tai neapsiriboja jo galimybėmis, kurias egiptiečiai ir graikai žinojo ir sugebėjo pritaikyti senovėje. Tai įrodo jų pastatytos piramidės ir Partenonas. Juk skaičius 0,618 yra pastovus aukso pjūvio koeficientas, gerai žinomas senais laikais. Pagal šią taisyklę bet kuris savavališkas segmentas gali būti padalintas taip, kad jo dalių santykis sutaptų su didžiausio segmento ir viso ilgio santykiu.

Sukurkime šių ryšių seriją ir pabandykime išanalizuoti šią seką. Skaičių serija bus tokia: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 ir pan. Taip tęsiant galima patikrinti, ar konvergencinės sekos riba tikrai bus 0,618. Tačiau būtina atkreipti dėmesį į kitas šio dėsningumo savybes. Čia skaičiai atrodo atsitiktinai, o ne didėjimo ar mažėjimo tvarka. Tai reiškia, kad ši konverguojanti seka nėra monotoniška. Kodėl taip yra, bus aptarta toliau.

monotonija ir apribojimai

Skaičių eilutės nariai su didėjančiais skaičiais gali aiškiai mažėti (jei x 1>x 2>x 3>...> x n>...) arba didėti (jei x 1

Nupiešę šios serijos numerius, galima pastebėti, kad bet kuris jos narys, neribotai artėjantis prie 1, niekada neviršys šios reikšmės. Šiuo atveju sakoma, kad konvergencinė seka yra ribojama. Taip atsitinka, kai yra toks teigiamas skaičius M, kuris visada yra didesnis nei bet kuris iš modulio serijos sąlygų. Jei skaičių eilutė turi monotoniškumo požymius ir turi ribą, todėl suartėja, tada ji būtinai turi tokią savybę. Ir priešingai nebūtinai turi būti tiesa. Tai liudija konvergentinės sekos ribos teorema.

Tokių stebėjimų taikymas praktikoje pasirodo esąs labai naudingas. Pateikime konkretų pavyzdį, išnagrinėję sekos X n = n/n+1 savybes ir įrodykime jos konvergenciją. Nesunku parodyti, kad jis yra monotoniškas, nes (x n +1 - x n) yra teigiamas skaičius bet kurioms n reikšmėms. Sekos riba lygi skaičiui 1, o tai reiškia, kad tenkinamos visos aukščiau pateiktos teoremos, dar vadinamos Weierstrass teorema, sąlygos. Konvergencinės sekos ribos teorema teigia, kad jei ji turi ribą, tai bet kuriuo atveju ji pasirodo esanti ribojama. Tačiau paimkime toliau pateiktą pavyzdį. Skaičių serija X n = (-1) n iš apačios ribojama su -1, o iš viršaus - su 1. Tačiau ši seka nėra monotoniška, neturi ribos, todėl nesiartina. Tai yra, ribos egzistavimas ir konvergencija ne visada išplaukia iš apribojimo. Kad tai veiktų, apatinė ir viršutinė ribos turi sutapti, kaip ir Fibonačio koeficientų atveju.

Skaičiai ir visatos dėsniai

Paprasčiausi konvergentinės ir divergentinės sekos variantai, ko gero, yra skaitinės eilutės X n = n ir X n = 1/n. Pirmasis iš jų yra natūrali skaičių serija. Jis, kaip jau minėta, be galo didelis. Antroji konvergentinė seka yra ribojama, o jos terminai yra artimi be galo mažiems dydžiams. Kiekviena iš šių formulių įasmenina vieną iš daugialypės Visatos pusių, padeda žmogui įsivaizduoti ir apskaičiuoti kažką nežinomo, neprieinamo ribotam suvokimui skaičių ir ženklų kalba.

Visatos dėsniai, nuo nereikšmingų iki neįtikėtinai didelių, taip pat išreiškiami auksiniu santykiu 0,618. Mokslininkai mano, kad tai yra daiktų esmės pagrindas ir gamtos panaudota jo dalims formuoti. Jau minėti kitų ir ankstesnių Fibonacci serijos narių santykiai nepabaigia šios unikalios serijos nuostabių savybių demonstravimo. Jei laikysime koeficientą, padalijantį ankstesnį narį iš kito iš vieneto, gausime eilutę 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 ir pan. Įdomu tai, kad ši ribota seka konverguoja, ji nėra monotoniška, tačiau gretimų skaičių ekstremalių nuo tam tikro nario santykis visada apytiksliai lygus 0,382, kuris taip pat gali būti naudojamas architektūroje, techninėje analizėje ir kitose pramonės šakose.

Yra ir kitų įdomių Fibonacci serijos koeficientų, jie visi vaidina ypatingą vaidmenį gamtoje, be to, žmonės juos naudoja praktiniais tikslais. Matematikai įsitikinę, kad Visata vystosi pagal tam tikrą „auksinę spiralę“, susidariusią iš nurodytų koeficientų. Jų pagalba galima apskaičiuoti daugybę Žemėje ir erdvėje vykstančių reiškinių – nuo ​​tam tikrų bakterijų skaičiaus augimo iki tolimų kometų judėjimo. Kaip paaiškėjo, DNR kodas paklūsta panašiems dėsniams.

Mažėjanti geometrinė progresija

Yra teorema, teigianti konvergencinės sekos ribos unikalumą. Tai reiškia, kad jis negali turėti dviejų ar daugiau ribų, o tai neabejotinai svarbu ieškant jo matematinių charakteristikų.

Panagrinėkime kai kuriuos atvejus. Bet kuri skaitinė eilutė, sudaryta iš aritmetinės progresijos narių, yra skirtinga, išskyrus atvejį, kai žingsnis yra nulis. Tas pats pasakytina ir apie geometrinę progresiją, kurios vardiklis yra didesnis nei 1. Tokių skaitinių eilučių ribos yra begalybės „pliusas“ arba „minusas“. Jei vardiklis yra mažesnis nei -1, tada nėra jokios ribos. Galimi ir kiti variantai.

Apsvarstykite skaičių eilutę, pateiktą pagal formulę X n = (1/4) n -1 . Iš pirmo žvilgsnio nesunku pastebėti, kad ši konverguojanti seka yra ribota, nes ji griežtai mažėja ir niekaip negali įgauti neigiamų reikšmių.

Iš eilės parašykime tam tikrą jos narių skaičių.

Gaukite: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0.00390625 ir pan. Pakanka gana paprastų skaičiavimų, kad suprastume, kaip greitai duota geometrinė progresija su vardikliais 0

Pagrindinės sekos

Prancūzų mokslininkas Augustinas Luisas Koši pasauliui atskleidė daugybę darbų, susijusių su matematine analize. Jis apibrėžė tokias sąvokas kaip diferencialas, integralas, riba ir tęstinumas. Jis taip pat ištyrė pagrindines konvergencinių sekų savybes. Norint suprasti jo idėjų esmę, būtina apibendrinti kai kurias svarbias detales.

Pačioje straipsnio pradžioje buvo parodyta, kad yra tokių sekų, kurioms yra apylinkė, kurioje taškai, reprezentuojantys tam tikros serijos narius realioje linijoje, pradeda telktis, išsidėstę vis tankiau. Tuo pačiu metu, didėjant kito atstovo skaičiui, atstumas tarp jų mažėja, virsdamas be galo mažu. Taigi paaiškėja, kad tam tikroje kaimynystėje yra sugrupuotas begalinis skaičius tam tikros serijos atstovų, o už jos ribų jų yra baigtinis skaičius. Tokios sekos vadinamos fundamentaliomis.

Garsusis Koši kriterijus, sukurtas prancūzų matematiko, aiškiai rodo, kad tokios savybės pakanka įrodyti sekos konvergavimą. Ir atvirkščiai.

Pažymėtina, kad ši prancūzų matematiko išvada dažniausiai yra grynai teorinė. Jo taikymas praktikoje laikomas gana sudėtingu dalyku, todėl, norint išsiaiškinti eilučių konvergenciją, daug svarbiau įrodyti sekos baigtinės ribos egzistavimą. Priešingu atveju jis laikomas skirtingu.

Sprendžiant uždavinius, reikėtų atsižvelgti ir į pagrindines konvergentinių sekų savybes. Jie pateikiami žemiau.

Begalinės sumos

Tokie žymūs antikos mokslininkai kaip Archimedas, Euklidas, Eudoksas kreivių ilgiams, kūnų tūriams ir figūrų plotams apskaičiuoti naudojo begalinių skaičių eilučių sumas. Visų pirma, tokiu būdu buvo galima sužinoti parabolinio segmento plotą. Tam buvo panaudota geometrinės progresijos, kurios q=1/4, skaitinių eilučių suma. Panašiai buvo rasti ir kitų savavališkų figūrų tūriai ir plotai. Ši parinktis buvo vadinama „išnaudojimo“ metodu. Idėja buvo ta, kad tiriamas sudėtingos formos kūnas buvo suskaidytas į dalis, kurios buvo figūros su lengvai išmatuojamais parametrais. Dėl šios priežasties nebuvo sunku suskaičiuoti jų plotus ir tūrius, o tada jie buvo sumuojami.

Beje, panašios užduotys yra labai žinomos šiuolaikiniams moksleiviams ir randamos USE užduotyse. Unikalus metodas, kurį rado tolimi protėviai, yra pats paprasčiausias sprendimas. Net jei yra tik dvi ar trys dalys, į kurias padalyta skaitinė figūra, jų plotų pridėjimas vis tiek yra skaičių serijos suma.

Daug vėliau nei senovės graikų mokslininkai Leibnicas ir Niutonas, remdamiesi savo išmintingų pirmtakų patirtimi, jie išmoko integralinio skaičiavimo dėsnius. Žinios apie sekų savybes padėjo jiems išspręsti diferencialines ir algebrines lygtis. Šiuo metu serijų teorija, sukurta daugelio kartų talentingų mokslininkų pastangomis, suteikia galimybę išspręsti daugybę matematinių ir praktinių problemų. O skaitinių sekų tyrimas yra pagrindinė matematinės analizės išspręsta problema nuo pat jos atsiradimo.

Seka yra viena iš pagrindinių matematikos sąvokų. Seka gali būti sudaryta iš skaičių, taškų, funkcijų, vektorių ir pan. Seka laikoma duota, jei nurodytas dėsnis, pagal kurį kiekvienas natūralusis skaičius n yra susietas su kokios nors aibės elementu x n. Seka rašoma x 1 , x 2 , …, x n arba trumpai (x n). Elementai x 1 , x 2 , ..., x n vadinami sekos nariais, x 1 – pirmasis, x 2 – antrasis, x n – bendrasis (n-asis) sekos narys.

Dažniausiai laikomos skaitinės sekos, tai yra sekos, kurių nariai yra skaičiai. Analitinis metodas yra paprasčiausias būdas nurodyti skaitinę seką. Tai atliekama naudojant formulę, kuri išreiškia n-ąjį sekos x 1 narį jos skaičiumi n. Pavyzdžiui, jei

Kitas būdas yra pasikartojantis (iš lotyniško žodžio pasikartojimų- „grįžimas“), kai nustatomi keli pirmieji sekos nariai ir taisyklė, leidžianti kiekvieną kitą narį skaičiuoti per ankstesnius. Pavyzdžiui:

Skaičių sekų pavyzdžiai yra aritmetinė progresija ir geometrinė progresija.

Įdomu atsekti sekos narių elgesį, kai skaičius n didėja neribotai (faktas, kad n didėja neribotai, rašomas kaip n → ∞ ir skaitomas: „n linkęs į begalybę“).

Panagrinėkime seką su bendru terminu x n = 1/n: x 1 = 1, x 2 = 1/2; x 3 \u003d 1/3, ..., x 100 \u003d 1/100, .... Visi šios sekos nariai yra ne nulis, bet kuo didesnis n, tuo x n mažiau skiriasi nuo nulio. Šios sekos sąlygos linkusios į nulį, nes n didėja neribotai. Teigiama, kad skaičius nulis yra šios sekos riba.

Kitas pavyzdys: x n = (−1) n / n – apibrėžia seką

Šios sekos nariai taip pat linkę į nulį, tačiau jie yra arba didesni už nulį, arba mažesni už nulį – jų riba.

Apsvarstykite kitą pavyzdį: x n = (n − 1)/(n + 1). Jei formoje vaizduosime x n

tada tampa aišku, kad ši seka linkusi į vienybę.

Apibrėžkime sekos ribą. Skaičius a vadinamas sekos (x n) riba, jei bet kuriam teigiamam skaičiui ε galima nurodyti tokį skaičių N, kad visiems n > N nelygybė |x n − a|< ε.

Jei a yra sekos riba (x n), tada parašykite x n → a arba a = lim n→∞ x n (lim yra pirmosios trys lotyniško žodžio raidės liepų- „riba“).

Šis apibrėžimas taps aiškesnis, jei suteiksime jam geometrinę reikšmę. Į intervalą (a − ε, a + ε) įterpiame skaičių a (žr. pav.). Skaičius a yra sekos (x n) riba, jei, nepaisant intervalo mažumo (a − ε, a + ε), šiame intervale yra visi sekos nariai, kurių skaičiai yra didesni už kai kuriuos N. Kitaip tariant, už bet kurio intervalo (a − ε, a + ε) gali būti tik baigtinis sekos narių skaičius.

Nagrinėjamos sekos x n = (−1) n /n, nulinio taško ε kaimynystė, kai ε = 1/10, apima visus sekos narius, išskyrus pirmąjį dešimtuką, o ε = 1/100, visi sekos nariai, išskyrus pirmąjį šimtą.

Seka, kuri turi ribą, vadinama konvergentine, o seka, kuri neturi ribos, vadinama divergentine. Čia pateikiamas divergentinės sekos pavyzdys: x n = (−1) n . Jo sąlygos pakaitomis yra +1 ir –1 ir neturi jokių apribojimų.

Jei seka konverguoja, tai ji yra apribota, ty yra skaičiai c ir d, kad visi sekos nariai tenkintų sąlygą c ≤ x n ≤ d. Iš to išplaukia, kad visos neapribotos sekos yra skirtingos. Tai yra sekos:

Sakoma, kad seka, linkusi į nulį, yra be galo maža. Begalinio mažumo sąvoka gali būti naudojama kaip pagrindas bendram sekos ribos apibrėžimui, nes sekos riba (x n) yra lygi a tada ir tik tada, kai x n gali būti pavaizduota kaip suma x n = a + α n , kur α n yra be galo mažas.

Nagrinėjamos sekos (1/n), ((−1) n /n) yra be galo mažos. Seka (n − 1)/(n + 1), kaip matyti iš (2), skiriasi nuo 1 be galo maža 2/(n + 1), todėl šios sekos riba yra 1.

Didelę reikšmę matematinėje analizėje turi ir be galo didelės sekos samprata. Seka (x n) vadinama be galo didele, jei seka (1/x n) yra be galo maža. Be galo didelė seka (x n) rašoma kaip x n → ∞ arba lim n →∞ x n = ∞ ir sakoma, kad ji „eina į begalybę“. Štai be galo didelių sekų pavyzdžiai:

(n 2), (2 n), (√(n + 1)), (n - n 2).

Pabrėžiame, kad be galo didelė seka neturi ribų.

Apsvarstykite sekas (x n) ir (y n). Galite apibrėžti sekas naudodami bendruosius terminus x n + y n , x n − y n , x n y n ir (jei y n ≠ 0) x n / y n . Teisinga yra tokia teorema, kuri dažnai vadinama aritmetinių operacijų su ribomis teorema: jei sekos (x n) ir (y n) susilieja, tai sekos (x n + y n), (x n − y n), (x n y n), ( x n / y n) taip pat susilieja ir galioja šios lygybės:

Pastaruoju atveju reikia papildomai reikalauti, kad visi sekos (y n) nariai būtų nelygūs nuliui, taip pat kad būtų įvykdyta sąlyga lim n→∞ y n ≠ 0.

Taikant šią teoremą galima rasti daug ribų. Raskite, pavyzdžiui, sekos su bendru terminu ribą

Formoje atstovaujantis x n

nustatyti, kad skaitiklio ir vardiklio riba egzistuoja:

taigi mes gauname:

lim n→∞ x n = 2/1 =2.

Svarbi sekų klasė yra monotoninės sekos. Vadinamosios sekos didėjančios (x n+1 > x n bet kuriam n), mažėjančios (x n+1< x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

Įsivaizduokite, kad seka (x n) nemažėja, t.y., nelygybės

x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ … ≤ x n ≤ x n+1 ≤ …,

ir tebūnie, be to, ši seka apribota iš viršaus, t.y., visi x n neviršija kažkokio skaičiaus d. Kiekvienas tokios sekos narys yra didesnis arba lygus ankstesniajam, bet nė vienas iš jų neviršija d. Visiškai akivaizdu, kad ši seka linkusi į tam tikrą skaičių, kuris yra mažesnis nei d arba lygus d. Matematinės analizės metu įrodoma teorema, kad nemažėjanti ir ribojama iš viršaus seka turi ribą (panašus teiginys galioja ir nedidėjančiai ir ribojamai iš apačios sekai). Ši nuostabi teorema suteikia pakankamai sąlygų ribos egzistavimui. Pavyzdžiui, iš to išplaukia, kad į vienetinio spindulio apskritimą įrašytų taisyklingųjų n kampų plotų seka turi ribą, nes ji monotoniškai didėja ir ribojama iš viršaus. Šios sekos riba žymima π.

Naudojant monotoninės sekos ribą, nustatomas skaičius e, kuris vaidina svarbų vaidmenį matematinėje analizėje - natūraliųjų logaritmų bazė:

e = lim n→∞ (1 + 1/n) n .

Seka (1), kaip jau minėta, yra monotoniška ir, be to, apribota iš viršaus. Ji turi ribą. Mes galime lengvai rasti šią ribą. Jei jis lygus a, tai skaičius a turi tenkinti lygybę a = √(2 + a). Išspręsdami šią lygtį, gauname a = 2.