koordinačių linija. Taškai koordinačių tiesėje. Kaip nubrėžti koordinačių liniją Kaip nubrėžti koordinačių liniją

Taigi vieneto segmentas ir jo dešimtoji, šimtoji ir tt dalys leidžia mums patekti į koordinačių linijos taškus, kurie atitiks galutines dešimtaines trupmenas (kaip ir ankstesniame pavyzdyje). Tačiau koordinačių tiesėje yra taškų, kurių negalime pataikyti, bet prie kurių galime savavališkai priartėti, naudodami vis mažesnius iki be galo mažos vieneto atkarpos dalies. Šie taškai atitinka begalę periodinių ir neperiodinių dešimtainių trupmenų. Pateikime keletą pavyzdžių. Vienas iš šių taškų koordinačių tiesėje atitinka skaičių 3.711711711…=3,(711) . Norėdami priartėti prie šio taško, turite atidėti 3 vieneto segmentus, 7 jo dešimtąsias, 1 šimtąsias, 1 tūkstantąsias, 7 dešimtąsias dalis, 1 šimtą tūkstantąją, 1 milijoninę vieneto segmento dalį ir pan. Ir dar vienas koordinačių linijos taškas atitinka pi (π=3,141592...).

Kadangi realiųjų skaičių aibės elementai yra visi skaičiai, kuriuos galima parašyti baigtinių ir begalinių dešimtainių trupmenų pavidalu, visa aukščiau pateikta informacija šioje pastraipoje leidžia teigti, kad kiekvienam taškui priskyrėme konkretų realųjį skaičių. koordinačių linija, tuo tarpu aišku, kad skirtingi taškai atitinka skirtingus realiuosius skaičius.

Taip pat visiškai akivaizdu, kad šis susirašinėjimas yra vienas su vienu. Tai yra, mes galime susieti duotą koordinačių linijos tašką su realiuoju skaičiumi, bet taip pat galime naudoti duotą realųjį skaičių, kad nurodytume konkretų koordinačių linijos tašką, kurį atitinka šis tikrasis skaičius. Norėdami tai padaryti, turėsime atidėti tam tikrą skaičių vienetų segmentų, taip pat dešimtąsias, šimtąsias ir tt vieno segmento nuo pradžios teisinga kryptimi. Pavyzdžiui, skaičius 703.405 atitinka koordinačių linijos tašką, kurį galima pasiekti iš pradžios atidėjus 703 vieneto atkarpas teigiama kryptimi, 4 atkarpas, kurios sudaro dešimtadalį vieneto, ir 5 atkarpas, kurios sudaro tūkstantoji vieneto dalis.

Taigi kiekvienas koordinačių linijos taškas atitinka realųjį skaičių, o kiekvienas realusis skaičius turi savo vietą koordinačių linijos taško pavidalu. Štai kodėl dažnai vadinama koordinačių linija skaičių eilutė.

Taškų koordinatės koordinačių tiesėje

Vadinamas skaičius, atitinkantis tašką koordinačių tiesėje šio taško koordinatės.

Ankstesnėje pastraipoje sakėme, kad kiekvienas realusis skaičius atitinka vieną tašką koordinačių tiesėje, todėl taško koordinatė vienareikšmiškai nustato šio taško vietą koordinačių tiesėje. Kitaip tariant, taško koordinatė vienareikšmiškai apibrėžia šį tašką koordinačių tiesėje. Kita vertus, kiekvienas koordinačių linijos taškas atitinka vieną realųjį skaičių – šio taško koordinatę.

Belieka pasakyti tik apie priimtą užrašą. Taško koordinatė rašoma skliausteliuose tašką žyminčios raidės dešinėje. Pavyzdžiui, jei taško M koordinatė yra -6, tuomet galite parašyti M(-6) , o formos žymėjimas reiškia, kad taškas M koordinačių tiesėje turi koordinatę.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: vadovėlis 5 langeliams. švietimo įstaigos.
• Vilenkinas N.Ya. ir tt Matematika. 6 klasė: vadovėlis ugdymo įstaigoms.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 8 langeliams. švietimo įstaigos.

Neįmanoma teigti, kad išmanote matematiką, jei nemokate sudaryti grafikų, pavaizduoti nelygybes koordinačių tiesėje ir dirbti su koordinačių ašimis. Vizualinis komponentas moksle yra gyvybiškai svarbus, nes be vaizdinių pavyzdžių formulėse ir skaičiavimuose kartais galite labai susipainioti. Šiame straipsnyje pamatysime, kaip dirbti su koordinačių ašimis, ir išmoksime sudaryti paprastus funkcijų grafikus.

Taikymas

Koordinačių linija yra paprasčiausių grafikų tipų, su kuriais mokinys susiduria savo mokymosi kelyje, pagrindas. Jis naudojamas beveik kiekvienoje matematinėje temoje: skaičiuojant greitį ir laiką, projektuojant objektų dydį ir skaičiuojant jų plotą, trigonometrijoje dirbant su sinusais ir kosinusais.

Pagrindinė tokios tiesioginės linijos vertė yra matomumas. Kadangi matematika yra mokslas, reikalaujantis aukšto abstraktaus mąstymo lygio, grafikai padeda vaizduoti objektą realiame pasaulyje. Kaip jis elgiasi? Kuriame erdvės taške jis bus po kelių sekundžių, minučių, valandų? Ką apie tai galima pasakyti, palyginti su kitais objektais? Koks jo greitis atsitiktinai parinktu laiku? Kaip apibūdinti jo judėjimą?

Ir mes kalbame apie greitį ne be priežasties – dažnai jį rodo funkcijų grafikai. Taip pat jie gali rodyti temperatūros ar slėgio pokyčius objekto viduje, jo dydį, orientaciją horizonto atžvilgiu. Taigi koordinačių tiesę statyti dažnai reikia ir fizikoje.

1D grafikas

Yra daugiamatiškumo samprata. Pakanka vieno skaičiaus, kad būtų galima nustatyti taško vietą. Būtent taip yra naudojant koordinačių liniją. Jei erdvė yra dvimatė, reikia dviejų skaičių. Tokio tipo diagramos naudojamos daug dažniau, ir mes tikrai jas apsvarstysime šiek tiek toliau straipsnyje.

Ką galima pamatyti ašies taškų pagalba, jei tai tik vienas? Galite matyti objekto dydį, jo padėtį erdvėje, palyginti su kokiu nors „nuliu“, t.y. tašku, pasirinktu kaip pradžią.

Nebus galima matyti parametrų pasikeitimo laikui bėgant, nes visi rodmenys bus rodomi tam tikrą momentą. Tačiau jūs turite kažkur pradėti! Taigi pradėkime.

Kaip sukurti koordinačių ašį

Pirmiausia reikia nubrėžti horizontalią liniją – tai bus mūsų ašis. Dešinėje pusėje „paaštrinti“, kad atrodytų kaip rodyklė. Taigi nurodome kryptį, kuria skaičiai didės. Žemyn rodyklė paprastai nededama. Tradiciškai ašis nukreipta į dešinę, todėl tiesiog vadovausimės šia taisykle.

Padėkime nulį, kuris parodys koordinačių kilmę. Tai yra ta vieta, iš kurios imamas atgalinis skaičiavimas, nesvarbu, ar tai dydis, svoris, greitis ar dar kas nors. Be nulio, būtinai turime nurodyti vadinamąją padalijimo kainą, t.y. įvesti vieneto standartą, pagal kurį ašyje nubraižysime tam tikrus kiekius. Tai turi būti padaryta, kad būtų galima rasti atkarpos ilgį koordinačių tiesėje.

Vienodu atstumu vienas nuo kito ant linijos dedame taškus arba „įpjovas“, o po jais rašome atitinkamai 1,2,3 ir pan. O dabar viskas paruošta. Tačiau su gautu grafiku vis tiek reikia išmokti dirbti.

Taškų tipai koordinačių tiesėje

Iš pirmo žvilgsnio į vadovėliuose siūlomus brėžinius tampa aišku: ašies taškai gali būti užpildyti arba nepildyti. Ar manote, kad tai sutapimas? Visai ne! „Tvirtas“ taškas naudojamas negriežtai nelygybei – taškui, kuris skaitomas „didesnis nei arba lygus“. Jei mums reikia griežtai apriboti intervalą (pavyzdžiui, "x" gali paimti reikšmes nuo nulio iki vieneto, bet jo neįtraukia), naudosime "tuščiavidurį" tašką, tai iš tikrųjų yra mažas apskritimas ant ašies. Reikia pastebėti, kad griežtos nelygybės studentams nelabai patinka, nes su ja dirbti sunkiau.

Priklausomai nuo to, kokius taškus naudojate diagramoje, sudaryti intervalai taip pat bus pavadinti. Jei abiejų pusių nelygybė nėra griežta, tada gauname atkarpą. Jei, viena vertus, jis pasirodys „atviras“, tada tai bus vadinama pusės intervalu. Galiausiai, jei linijos dalis iš abiejų pusių yra apribota tuščiaviduriais taškais, ji bus vadinama intervalu.

Lėktuvas

Kurdami dvi eilutes ant jau galime atsižvelgti į funkcijų grafikus. Tarkime, kad horizontali linija yra laiko ašis, o vertikali linija yra atstumas. O dabar galime nustatyti, kokį atstumą objektas įveiks per minutę ar valandą kelionės. Taigi dirbant su plokštuma galima stebėti objekto būsenos kitimą. Tai daug įdomiau nei tyrinėti statinę būseną.

Paprasčiausias grafikas tokioje plokštumoje yra tiesė, ji atspindi funkciją Y(X) = aX + b. Ar linija lenkiasi? Tai reiškia, kad tyrimo metu objektas keičia savo charakteristikas.

Įsivaizduokite, kad stovite ant pastato stogo ir laikote akmenį ištiestoje rankoje. Kai jį atleisite, jis skris žemyn, pradėdamas judėti nuo nulinio greičio. Tačiau per sekundę jis įveiks 36 kilometrus per valandą. Akmuo ir toliau įsibėgės, o norint nubrėžti jo judėjimą grafike, reikės išmatuoti jo greitį keliais laiko momentais, nustatant taškus ant ašies atitinkamose vietose.

Ženklai horizontalioje koordinačių linijoje pagal numatytuosius nustatymus yra pavadinti X1, X2, X3, o vertikalioje - atitinkamai Y1, Y2, Y3. Projektuodami juos į plokštumą ir radę sankirtas, randame gauto rašto fragmentus. Sujungę juos viena linija, gauname funkcijos grafiką. Kritančio akmens atveju kvadratinė funkcija atrodys taip: Y(X) = aX * X + bX + c.

Skalė

Žinoma, nebūtina nustatyti sveikųjų skaičių reikšmių šalia padalijimų tiesia linija. Jei svarstote apie sraigės, ropojančios 0,03 metro per minutę greičiu, judėjimą, nustatykite kaip reikšmes koordinačių tiesėje. Tokiu atveju nustatykite padalijimo reikšmę į 0,01 metro.

Ypač patogu tokius piešinius atlikti narvelyje esančiame sąsiuvinyje – čia iš karto matai, ar lape užteks vietos tavo grafikui, ar neperžengsi paraščių. Suskaičiuoti savo jėgą nesunku, nes langelio plotis tokiame sąsiuvinyje – 0,5 centimetro. Paėmė – sumažino vaizdą. Pakeitus grafiko mastelį, jis nepraras ir nepakeis savo savybių.

Taško ir tiesės koordinatės

Kai pamokoje pateikiamas matematinis uždavinys, joje gali būti įvairių geometrinių formų parametrai tiek kraštinių ilgių, perimetro, ploto, tiek koordinačių pavidalu. Tokiu atveju gali tekti sukurti formą ir gauti su ja susijusių duomenų. Kyla klausimas: kaip rasti reikiamą informaciją koordinačių tiesėje? O kaip susikurti figūrą?

Pavyzdžiui, mes kalbame apie tašką. Tada problemos sąlygoje atsiras didžioji raidė, o skliausteliuose – keli skaičiai, dažniausiai du (tai reiškia, kad skaičiuosime dvimatėje erdvėje). Jei skliausteliuose yra trys skaičiai, atskirti kabliataškiu arba kableliu, tai yra trimatė erdvė. Kiekviena reikšmė yra atitinkamos ašies koordinatė: pirmiausia išilgai horizontalės (X), tada išilgai vertikalios (Y).

Prisiminkite, kaip nubrėžti segmentą? Perdavėte geometriją. Jei yra du taškai, tarp jų galima nubrėžti liniją. Jų koordinatės nurodomos skliausteliuose, jei užduotyje atsiranda atkarpa. Pavyzdžiui: A(15, 13) – B(1, 4). Norėdami sukurti tokią liniją, turite rasti ir pažymėti taškus koordinačių plokštumoje, o tada juos sujungti. Tai viskas!

Ir bet kokie daugiakampiai, kaip žinote, gali būti nubrėžti naudojant segmentus. Problema išspręsta.

Skaičiavimai

Tarkime, kad yra koks nors objektas, kurio padėtis išilgai X ašies apibūdinama dviem skaičiais: jis prasideda taške, kurio koordinatė (-3) ir baigiasi (+2). Jei norime sužinoti šio objekto ilgį, iš didesnio skaičiaus turime atimti mažesnį skaičių. Atkreipkite dėmesį, kad neigiamas skaičius sugeria atimties ženklą, nes „minusas ir minusas yra lygus pliusui“. Taigi pridedame (2+3) ir gauname 5. Tai yra reikalingas rezultatas.

Kitas pavyzdys: mums duotas galutinis taškas ir objekto ilgis, bet ne pradžios taškas (ir jį reikia rasti). Tegul žinomo taško padėtis yra (6), o tiriamo objekto dydis – (4). Iš galutinės koordinatės atėmę ilgį, gauname atsakymą. Iš viso: (6–4) = 2.

Neigiami skaičiai

Dažnai praktiškai reikia dirbti su neigiamomis reikšmėmis. Tokiu atveju judėsime išilgai koordinačių ašies į kairę. Pavyzdžiui, 3 centimetrų aukščio objektas plūduriuoja vandenyje. Trečdalis jo yra panardinta į skystį, du trečdaliai yra ore. Tada, kaip ašį pasirinkę vandens paviršių, paprasčiausiais aritmetiniais skaičiavimais gauname du skaičius: viršutinis objekto taškas turi koordinatę (+2), o apatinis – (-1) centimetrą.

Nesunku pastebėti, kad plokštumos atveju turime keturis ketvirčius koordinačių linijos. Kiekvienas iš jų turi savo numerį. Pirmoje (viršutinėje dešinėje) dalyje bus taškai, turintys dvi teigiamas koordinates, antroje - iš viršaus į kairę - X ašies reikšmės bus neigiamos, o išilgai Y ašies - teigiamos. Trečias ir ketvirtas skaičiuojami toliau prieš laikrodžio rodyklę.

Svarbi nuosavybė

Jūs žinote, kad linija gali būti pavaizduota kaip begalinis taškų skaičius. Galime kiek norime atidžiai peržiūrėti bet kokį reikšmių skaičių kiekviena ašies kryptimi, bet nesutiksime pasikartojančių. Atrodo naivu ir suprantama, bet tas teiginys kyla iš svarbaus fakto: kiekvienas skaičius atitinka vieną ir tik vieną koordinačių linijos tašką.

Išvada

Atminkite, kad visos ašys, figūros ir, jei įmanoma, grafika turi būti pastatyta ant liniuotės. Matavimo vienetus žmogus sugalvojo neatsitiktinai – jei padarysite klaidą piešdami, rizikuojate pamatyti vaizdą, kuris nebuvo toks, koks turėjo būti.

Būkite atsargūs ir tikslūs braižydami grafikus ir skaičiavimus. Kaip ir bet kuris mokykloje mokomas mokslas, matematika mėgsta tikslumą. Įdėkite šiek tiek pastangų ir geri pažymiai neužtruks.

Pamokos tema:

« Koordinatės tiesioje linijoje»

Pamokos tikslas:

supažindinti mokinius su koordinačių linija ir neigiamais skaičiais.

Pamokos tikslai:

Mokymas: supažindinkite mokinius su koordinačių linija ir neigiamais skaičiais.

Tobulinimas: loginio mąstymo ugdymas, akiračio plėtimas.

Ugdomasis: pažintinio intereso ugdymas, informacinės kultūros ugdymas.

Pamokos planas:

Organizacinis momentas. Mokinių ir jų pasirengimo pamokai tikrinimas.

Pagrindinių žinių atnaujinimas.Žodinė studentų apklausa nagrinėjama tema.

Naujos medžiagos paaiškinimas.

4. Studijuotos medžiagos konsolidavimas.

5. Apibendrinant. Santrauka to, kas buvo išmokta pamokoje. Klausimai iš studentų.

6. Išvados. Apibendrinant pagrindinius pamokos dalykus. Žinių vertinimas. Žymių dėjimas.

7. Namų darbai. Savarankiškas darbas mokiniai su mokymosi medžiaga.

Įranga: kreida, lenta, skaidres.

Išplėstas metmenų planas

Scenos pavadinimas ir turinys

Veikla

Veikla

studentai

Aš scenoje

Organizacinis momentas. Sveikinimai.

Žurnalo pildymas.

pasisveikina su klase, klasės vadovas pateikia neatvykusių sąrašą.

Pasisveikink su

mokytojas

II etapas

Pagrindinių žinių atnaujinimas.

Senovės graikų mokslininkas Pitagoras sakė: „Skaičiai valdo pasaulį“. Mes gyvename šiame skaičių pasaulyje, o mokyklos metais mokomės dirbti su skirtingais skaičiais.

1 Kokius šiandienos pamokos skaičius jau žinome?

2 Kokias problemas mums padeda išspręsti šie skaičiai?

Šiandien pereiname prie mūsų vadovėlio „Racionalieji skaičiai“ antrojo skyriaus studijavimo, kuriame praplėsime žinias apie skaičius, o išstudijavę visą skyrių „Racionalūs skaičiai“ išmoksime atlikti visus jums žinomus veiksmus. su jais ir pradėkite nuo temos koordinačių linijos.

1. natūraliosios, bendrosios trupmenos, dešimtainės trupmenos

2.sudėtis, atimtis, daugyba, dalyba, rasti trupmeną iš skaičiaus ir skaičių iš jo trupmenos, spręsti įvairias lygtis ir uždavinius

III etapas

Naujos medžiagos paaiškinimas.

Paimkime tiesę AB ir padalinkime ją su tašku O į du papildomus spindulius – OA ir OB. Tiesioje linijoje pasirenkame vieną atkarpą ir tašką O laikome pradine bei kryptimi.

Apibrėžimai:

Tiesi linija su pasirinktu atskaitos tašku, vienetine atkarpa ir kryptimi vadinama koordinačių linija.

Skaičius, rodantis taško padėtį tiesėje, vadinamas šio taško koordinate.

Kaip sukurti koordinačių liniją?

nupiešti tiesioginį

nustatyti vieną segmentą

nurodykite kryptį

Koordinačių linija gali būti brėžiama įvairiai: horizontaliai, vertikaliai ir bet kokiu kitu kampu horizonto atžvilgiu ir turi pradžią, bet be pabaigos.

1 pratimas. Kurios iš šių eilučių nėra koordinatės? (skaidr.)

Nubrėžkime koordinačių liniją, pažymime koordinačių pradžią, vieneto atkarpą ir atidėkime taškus 1,2,3,4 ir tt į kairę ir į dešinę.

Pažiūrėkime į gautą koordinačių liniją. Kodėl tokia tiesi linija nepatogi?

Kryptis į dešinę nuo pradžios vadinama teigiama, o kryptis tiesėje nurodoma rodykle. Skaičiai, esantys taško O dešinėje, vadinami teigiamais. Neigiami skaičiai yra taško O kairėje, o kryptis į kairę nuo taško O vadinama neigiama (neigiama kryptis nenurodyta). Jei koordinačių linija yra vertikaliai, tada aukščiau nuo pradžios - teigiami skaičiai, žemiau nuo pradžios - neigiami. Neigiami skaičiai rašomi su „-“ ženklu. Jie skaito: „Minus vienas“, „Minus du“, „Minus trys“ ir kt. Skaičius 0 – kilmė nėra nei teigiama, nei neigiama. Jis atskiria teigiamus skaičius nuo neigiamų.

Lygčių sprendimas ir „skolos“ sąvoka prekybos skaičiavimuose lėmė neigiamų skaičių atsiradimą.

Neigiami skaičiai atsirado daug vėliau nei natūralieji skaičiai ir paprastosios trupmenos. Pirmoji informacija apie neigiamus skaičius randama tarp kinų matematikų II amžiuje prieš Kristų. pr. Kr e. Tada teigiami skaičiai buvo interpretuojami kaip nuosavybė, o neigiami – kaip skola, trūkumas. Europoje pripažinimas atėjo po tūkstančio metų, ir net tada ilgą laiką neigiami skaičiai buvo vadinami „klaidingais“, „įsivaizduojamais“ ar „absurdiškais“. XVII amžiuje neigiami skaičiai gavo vaizdinį geometrinį atvaizdą skaičių eilutėje.

Taip pat galite pateikti koordinačių linijos pavyzdžius: termometrą, kalnų viršūnių ir įdubų palyginimą (jūros lygis laikomas nuliu), atstumą žemėlapyje, lifto šachtą, namus, kranus.

Pagalvok ar žinote kitų koordinačių linijų pavyzdžių?

Užduotys.

2 užduotis. Įvardykite taškų koordinates.

3 užduotis. Nubraižykite taškus koordinačių tiesėje

4 užduotis . Nubrėžkite horizontalią liniją ir pažymėkite joje tašką O. Pažymėkite šioje linijoje taškus A, B, C, K, jei žinoma, kad:

A yra 9 langeliai į dešinę nuo O;

B yra 6,5 ​​ląstelės į kairę nuo O;

C yra 3½ tarpo į dešinę nuo O;

K yra 3 tarpai į kairę nuo O .

Įrašyta bazinėse natose.

Klausyk, papildyk.

Užpildykite užduotį sąsiuvinyje ir garsiai paaiškinkite atsakymus.

Nubraižykite, pažymėkite vieno segmento koordinačių pradžią

Tokia tiesė nepatogi tuo, kad tas pats skaičius atitinka 2 tiesės taškus.

Istorija prieš mūsų erą ir mūsų erą.

IV etapas

Studijuotos medžiagos konsolidavimas.

1. Kas yra koordinačių tiesė?

2. Kaip nutiesti koordinačių liniją?

1. Tiesi linija su pasirinktu atskaitos tašku, vienetine atkarpa ir kryptimi vadinama koordinačių linija

2) nubrėžkite tiesią liniją

pažymėkite atgalinio skaičiavimo pradžią

nustatyti vieną segmentą

nurodykite kryptį

V etapas

Apibendrinant

Ką naujo sužinojome šiandien?

Koordinačių tiesė ir neigiami skaičiai.

VI etapas

Žinių vertinimas. Žymių dėjimas.

Namų darbai.

Sugalvokite klausimus aptariama tema (žinokite atsakymus į juos)

koordinačių linija.

Paimkime tiesią liniją. Pavadinkime tai tiese x (1 pav.). Šioje tiesėje pasirenkame atskaitos tašką O, taip pat rodykle nurodome šios linijos teigiamą kryptį (2 pav.). Taigi taško O dešinėje turėsime teigiamus skaičius, o kairėje - neigiamus. Mes pasirenkame mastelį, tai yra tiesios linijos atkarpos dydį, lygų vienetui. Supratome koordinačių linija(3 pav.). Kiekvienas skaičius atitinka tam tikrą tašką šioje eilutėje. Be to, šis skaičius vadinamas šio taško koordinate. Todėl linija vadinama koordinačių linija. O atskaitos taškas O vadinamas pradžia.

Pavyzdžiui, pav. 4 taškas B yra 2 atstumu į dešinę nuo pradžios. Taškas D yra 4 atstumu į kairę nuo pradžios. Atitinkamai, taško B koordinatė yra 2, o taško D koordinatė yra -4. Paties taško O, būdamas atskaitos tašku, koordinatė yra 0 (nulis). Paprastai rašoma taip: O(0), B(2), D(-4). O kad nereikėtų nuolat sakyti „taškas D su koordinate tokia ir tokia“, sakoma paprasčiau: „taškas 0, taškas 2, taškas -4“. Ir šiuo atveju pakanka nurodyti patį tašką jo koordinate (5 pav.).

Žinodami dviejų koordinačių linijos taškų koordinates, visada galime apskaičiuoti atstumą tarp jų. Tarkime, kad turime du taškus A ir B su atitinkamai a ir b koordinatėmis. Tada atstumas tarp jų bus |a - b|. Įrašas |a - b| skaityti kaip "a minus b modulo" arba "skirtumo tarp skaičių a ir b modulis".

Kas yra modulis?

Algebriškai x modulis yra neneigiamas skaičius. Žymima kaip |x|. Be to, jei x > 0, tada |x| = x. Jei x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

Geometriškai skaičiaus x modulis yra atstumas tarp taško ir pradžios. O jei yra du taškai su koordinatėmis x1 ir x2, tai |x1 - x2| yra atstumas tarp šių taškų.

Modulis taip pat vadinamas absoliučioji vertė.

Ką dar galime pasakyti apie koordinačių liniją? Žinoma, apie skaitinius intervalus.

Skaitinių intervalų tipai.

Tarkime, kad turime du skaičius a ir b. Be to, b > a (b yra didesnis už a). Koordinačių tiesėje tai reiškia, kad taškas b yra į dešinę nuo taško a. Pakeiskime b mūsų nelygybėje kintamuoju x. Tai yra x > a. Tada x yra visi skaičiai, didesni už a. Koordinačių tiesėje tai yra atitinkamai visi taškai į dešinę nuo taško a. Ši linijos dalis yra užtamsinta (6 pav.). Toks taškų rinkinys vadinamas atvira sija, o šis skaitinis intervalas žymimas (a; +∞), kur +∞ ženklas skaitomas kaip „pliuso begalybė“. Atkreipkite dėmesį, kad pats taškas a nėra įtrauktas į šį intervalą ir yra pažymėtas šviesiu apskritimu.

Taip pat apsvarstykite atvejį, kai x ≥ a. Tada x yra visi skaičiai, didesni arba lygūs a. Koordinačių tiesėje tai visi taškai į dešinę nuo a, taip pat ir pats taškas a (7 pav. taškas a jau pažymėtas tamsiu apskritimu). Toks taškų rinkinys vadinamas uždara sija(arba tiesiog spindulys), o šis skaitinis intervalas žymimas .

Taip pat vadinama koordinačių linija koordinačių ašis. Arba tiesiog x ašis.

1 skyriaus pabaigoje pasakėme, kad algebros eigoje jums ir man reikia išmokti apibūdinti realias situacijas žodžiais (žodinis modelis), algebriškai (algebrinis arba, kaip dažnai matematikai sako, analitinis modelis), grafiškai (grafinis). arba geometrinis modelis). Visa pirma dalis vadovėlis(1-5 skyriai) buvo skirtas matematinei kalbai, kuria aprašomi analitiniai modeliai, studijuoti.

Nuo 6 skyriaus tyrinėsime ne tik naujus analitinius, bet ir grafinius (geometrinius) modelius. Jie statomi naudojant koordinačių liniją, koordinačių plokštuma. Šios sąvokos jums šiek tiek pažįstamos iš 5–6 klasių matematikos kurso.

Tiesi linija /, ant kurios inicialas taškas O (atskaitos taškas), skalė (viena linijos segmentas, t.y., atkarpa, kurios ilgis laikomas lygus 1) ir teigiama kryptis, vadinamas koordinačių linija, arba koordinačių ašimi (7 pav.); Taip pat vartojamas terminas „x ašis“.

Kiekvienas skaičius atitinka vieną tašką tiesėje. Pavyzdžiui, skaičius 3,5 atitinka tašką M (8 pav.), kuris pašalinamas iš pradžios, t.y., iš taško O, atstumu, lygus 3,5 (duotoje skalėje), ir atidėtas nuo taško O. tam tikra (teigiama) kryptimi. Skaičius -4 atitinka tašką P (žr. 8 pav.), kuris nukeliamas iš taško O per atstumą, lygų 4, o iš taško O atidėtas neigiama kryptimi, t.y., priešinga nurodyta kryptimi. vienas.

Taip pat yra atvirkščiai: kiekvienas koordinačių linijos taškas atitinka vieną skaičių.

Pavyzdžiui, taškas K, kuris yra 5,4 atstumu nuo taško O teigiama (duota) kryptimi, atitinka skaičių 5,4, o taškas N, kuris yra 2,1 nuo taško O neigiama kryptimi, atitinka skaičių - 2,1 (žr. pav. . 8).

Šie skaičiai vadinami atitinkamų taškų koordinatėmis. Taigi, pav. 8 taško K koordinatė yra 5,4; taškas P - koordinatė -4; taškas M - koordinatė 3,5; taškas N - koordinatė -2,1; taškas O – koordinatė 0 (nulis). Iš čia ir kilo pavadinimas – „koordinačių linija“. Vaizdžiai tariant, koordinačių linija yra tankiai apgyvendintas namas, šio namo gyventojai yra taškai, o taškų koordinatės yra butų, kuriuose gyvena taškai-gyventojai, skaičiai.

Kodėl mums reikia koordinačių linijos? Kodėl tašką apibūdinti skaičiumi, o skaičių tašku? Ar iš to yra naudos? Taip, ten yra.
Pavyzdžiui, koordinačių tiesėje duoti du taškai: A - su koordinate o ir B - su koordinate b (dažniausiai tokiais atvejais jie rašo trumpiau:
A(a), B(b)). Tarkime, kad turime rasti atstumą d tarp taškų A ir B. Pasirodo, kad vietoj to geometriniai matavimai, tiesiog naudokite paruoštą formulę d \u003d (a - b) (išmokote ją 6 klasėje).
Taigi, 8 paveiksle turime:

Siekdami glausti samprotavimus, matematikai sutiko vietoj ilgos frazės „koordinačių linijos taškas A, turintis koordinatę a“ naudoti trumpą frazę: „taškas a“ ir atitinkamai brėžinyje tašką po. svarstymas žymimas jo koordinate. Taigi 9 paveiksle pavaizduota koordinačių linija, ant kurios pažymėti taškai – 4; - 2,1; 0; vienas; 3,5; 5.4.

Koordinačių linija suteikia mums galimybę laisvai pereiti nuo algebrinės kalbos į geometrinę kalbą ir atvirkščiai. Pavyzdžiui, tegul skaičius a yra mažesnis už skaičių b. Algebrine kalba tai rašoma taip: a< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Tačiau ir algebrinės, ir geometrinės kalbos yra tos pačios matematinės kalbos, kurią mes studijuojame, atmainos.

Susipažinkime su dar keliais matematinės kalbos elementais, kurie yra susieti su koordinačių linija.

1. Koordinačių tiesėje pažymėkite tašką a. Apsvarstykite visus taškus, esančius tiesėje, esančioje į dešinę nuo taško a, ir pažymėkite atitinkamą dalį koordinačių linijos perbrėžimu (10 pav.). Ši taškų (skaičių) aibė vadinama atviruoju spinduliu ir žymima (a, + oo), kur + oo ženklas skamba: „plius begalybė“; jam būdinga nelygybė x > a (žodžiu dz turime omenyje bet kurį pluošto tašką).

Atkreipkite dėmesį: taškas a nepriklauso atvirai sijai, bet jei šį tašką reikia pritvirtinti prie atviros sijos, parašykite x\u003e a arba ir atitinkamai pieškite ant brėžinio taško b (13 pav.);

(-oo, b) taip pat naudosime terminą spindulys.

3. Koordinačių tiesėje pažymėti taškai a ir b, ir< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

Ši (skaičių) aibė vadinama intervalu ir žymima (a, b).

Jai būdinga griežta dviguba nelygybė a< х < b (под х понимается любая точка интервала).

Atkreipkite dėmesį: intervalas (a, b) yra dviejų atvirų spindulių (-oo, b) ir (a, + oo) sankirta (bendra dalis) – tai aiškiai matyti 15 paveiksle.

Jei prie intervalo (a, b) pridėsime jo galus, ty taškus a ir b, gausime atkarpą [a, b] (16 pav.),

kuriai būdinga negriežta dviguba nelygybė a< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

Atkarpa [a, b] yra dviejų spindulių (-oo, b) ir ir sankirta (bendra dalis), kuriai būdingos dvigubos nelygybės: a< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

Taigi, mes įvedėme penkis naujus matematikos kalbos terminus: spindulys, atviras spindulys, intervalas, segmentas, pusės intervalas. Taip pat yra bendras terminas: skaitinės spragos.

Pati koordinačių linija taip pat laikoma skaitiniu intervalu; jam naudojamas užrašas (-oo, +oo).

Matematika 7 klasei atsisiųsti nemokamai, pamokų planai, pasiruošimas mokyklai internetu

A. V. Pogorelovas, Geometrija 7-11 klasei, Vadovėlis ugdymo įstaigoms