Geschichte der Würfel. Würfel online Wir verbinden die Bedingungen zu einem unabhängigen Test

Geschrieben von Designer Tyler Sigman, auf "Gamasutra". Ich bezeichne ihn liebevoll als den Artikel „Haare in den Nasenlöchern eines Orks“, aber er deckt die Grundlagen von Wahrscheinlichkeiten in Spielen ziemlich gut ab.

Das Thema dieser Woche

Bis heute war fast alles, worüber wir gesprochen haben, deterministisch, und letzte Woche haben wir uns die transitive Mechanik genauer angesehen und sie so detailliert aufgeschlüsselt, wie ich es erklären kann. Aber bis jetzt haben wir einem großen Aspekt vieler Spiele keine Aufmerksamkeit geschenkt, nämlich den nicht-deterministischen Aspekten, mit anderen Worten - der Zufälligkeit. Das Verständnis der Natur des Zufalls ist für Spieledesigner sehr wichtig, da wir Systeme erstellen, die die Erfahrung des Spielers in einem bestimmten Spiel beeinflussen, also müssen wir wissen, wie diese Systeme funktionieren. Wenn es Zufälligkeiten im System gibt, müssen Sie verstehen Natur diese Zufälligkeit und wie man sie ändert, um die gewünschten Ergebnisse zu erzielen.

Würfel

Beginnen wir mit etwas Einfachem: Würfeln. Wenn die meisten Leute an Würfel denken, denken sie an einen sechsseitigen Würfel, der als d6 bekannt ist. Aber die meisten Spieler haben viele andere Würfel gesehen: vierseitige (d4), achtseitige (d8), zwölfseitige (d12), zwanzigseitige (d20) ... und wenn Sie real Geek, vielleicht haben Sie irgendwo 30-seitige oder 100-seitige Würfel. Wenn Sie mit dieser Terminologie nicht vertraut sind, das "d" bedeutet einen Würfel, und die Zahl dahinter gibt an, wie viele Gesichter er hat. Wenn ein Vor„d“ steht für eine Zahl, es steht für Menge Würfel beim Werfen. Bei Monopoly zum Beispiel würfelst du 2W6.

In diesem Fall ist der Ausdruck „Würfel“ also eine herkömmliche Bezeichnung. Es gibt viele andere Generatoren zufällige Zahlen, die nicht die Form eines Plastikblocks haben, aber die gleiche Funktion erfüllen, indem sie eine Zufallszahl von 1 bis n erzeugen. Eine gewöhnliche Münze kann man sich auch als zweiflächigen d2-Würfel vorstellen. Ich sah zwei Entwürfe eines siebenseitigen Würfels: Einer sah aus wie ein Würfel und der andere eher wie ein siebenseitiger Holzstift. Ein tetraedrischer Dreidel (auch als Titotum bekannt) ist ein Analogon eines tetraedrischen Knochens. Das sich drehende Pfeilspielfeld im Spiel „Chutes & Ladders“, bei dem das Ergebnis 1 bis 6 betragen kann, entspricht einem sechsseitigen Würfel. Der Zufallszahlengenerator im Computer kann jede Zahl von 1 bis 19 erzeugen, wenn der Designer einen solchen Befehl gibt, obwohl der Computer keinen 19-seitigen Würfel hat (im Allgemeinen werde ich mehr über die Wahrscheinlichkeit sprechen, dass Zahlen auf den fallen Rechner bei nächste Woche). Obwohl alle diese Elemente unterschiedlich aussehen, sind sie tatsächlich gleichwertig: Sie haben die gleiche Chance, eines von mehreren Ergebnissen zu erhalten.

Würfel haben einige interessante Eigenschaften, die wir kennen müssen. Erstens ist die Wahrscheinlichkeit, dass eines der Gesichter auftaucht, gleich (ich gehe davon aus, dass Sie die richtigen Würfel würfeln, nicht die falsche Geometrie). Also wenn du es wissen willst mittlere Bedeutung würfeln (bei den Wahrscheinlichkeiten auch als „mathematischer Erwartungswert“ bekannt), summieren die Werte aller Kanten und dividieren diese Summe durch Menge Gesichter. Der Durchschnittswert eines Wurfs für einen standardmäßigen sechsseitigen Würfel ist 1+2+3+4+5+6 = 21, dividiert durch die Anzahl der Seiten (6), und wir erhalten den Durchschnittswert von 21/6 = 3,5. Dies ist ein Sonderfall, da wir davon ausgehen, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

Was ist, wenn Sie spezielle Würfel haben? Ich habe zum Beispiel ein sechsseitiges Würfelspiel mit speziellen Aufklebern auf den Gesichtern gesehen: 1, 1, 1, 2, 2, 3, also verhält es sich wie ein seltsamer dreiseitiger Würfel, der eher die Zahl 1 würfelt als 2 und 2 als 3. Was ist der durchschnittliche Wurfwert für diesen Würfel? Also 1+1+1+2+2+3 = 10 geteilt durch 6 ergibt 5/3 oder ungefähr 1,66. Wenn Sie also diesen speziellen Würfel haben und die Spieler drei Würfel würfeln und dann die Ergebnisse addieren, wissen Sie, dass die ungefähre Summe ihrer Würfe ungefähr 5 sein wird, und Sie können das Spiel basierend auf dieser Annahme ausgleichen.

Würfel und Unabhängigkeit

Wie bereits gesagt, gehen wir davon aus, dass der Ausfall jeder Fläche gleich wahrscheinlich ist. Es kommt nicht darauf an, wie viele Würfel du wirfst. Jeder Wurf eines Würfels trotzdem, was bedeutet, dass vorherige Würfe die Ergebnisse nachfolgender Würfe nicht beeinflussen. Mit einer ausreichenden Anzahl von Tests werden Sie dies auf jeden Fall tun Notiz„Reihen“ von Zahlen, wie das Rollen von meist höheren oder niedrigeren Werten, oder andere Merkmale, und wir werden später darüber sprechen, aber das bedeutet nicht, dass die Würfel „heiß“ oder „kalt“ sind. Wenn Sie einen standardmäßigen sechsseitigen Würfel würfeln und die Zahl 6 zweimal hintereinander erscheint, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Wurf eine 6 ergibt, ebenfalls 1/6. Die Wahrscheinlichkeit wird nicht dadurch erhöht, dass der Würfel „aufgewärmt“ wird. Die Wahrscheinlichkeit sinkt nicht, da die Zahl 6 bereits zweimal hintereinander herausgefallen ist, was bedeutet, dass nun ein weiteres Gesicht herausfallen wird. (Natürlich, wenn Sie zwanzig Mal würfeln und jedes Mal die Zahl 6 erscheint, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl 6 beim einundzwanzigsten Mal erscheint, ziemlich hoch … weil es bedeuten könnte, dass Sie den falschen Würfel haben !) Aber wenn Sie den richtigen Würfel haben, ist die Wahrscheinlichkeit, aus jeder der Seiten herauszufallen, gleich, unabhängig von den Ergebnissen anderer Würfe. Sie können sich auch vorstellen, dass wir jedes Mal, wenn wir den Würfel wechseln, also wenn die Zahl 6 zweimal hintereinander kam, den "heißen" Würfel aus dem Spiel nehmen und durch einen neuen sechsseitigen Würfel ersetzen. Ich entschuldige mich, wenn jemand von Ihnen bereits davon wusste, aber ich musste dies klären, bevor ich fortfahre.

Wie man Würfel mehr oder weniger zufällig rollen lässt

Lassen Sie uns darüber sprechen, wie Sie mit verschiedenen Würfeln unterschiedliche Ergebnisse erzielen. Wenn Sie den Würfel nur einmal oder mehrmals würfeln, fühlt sich das Spiel zufälliger an, wenn der Würfel mehr Kanten hat. Je öfter Sie würfeln oder je mehr Würfel Sie würfeln, desto mehr nähern sich die Ergebnisse dem Durchschnitt. Wenn Sie zum Beispiel 1W6+4 würfeln (d. h. einmal einen standardmäßigen sechsseitigen Würfel würfeln und 4 zum Ergebnis addieren), ist der Durchschnitt eine Zahl zwischen 5 und 10. Wenn Sie 5W2 würfeln, ist der Durchschnitt ebenfalls eine Zahl dazwischen 5 und 10. Aber beim Werfen eines sechsseitigen Würfels ist die Wahrscheinlichkeit, die Zahlen 5, 8 oder 10 zu bekommen, gleich. Das Ergebnis eines 5W2-Wurfs sind meistens die Zahlen 7 und 8, seltener andere Zahlen. Dieselbe Serie, sogar derselbe Durchschnitt (7,5 in beiden Fällen), aber die Art der Zufälligkeit ist unterschiedlich.

Warten Sie eine Minute. Habe ich nicht gerade gesagt, dass sich Würfel nicht erwärmen oder abkühlen? Und jetzt sage ich, dass, wenn Sie viele Würfel werfen, die Ergebnisse der Würfe näher am Durchschnitt liegen? Wieso den?

Lassen Sie mich erklären. Wenn Sie werfen eines Würfel, die Wahrscheinlichkeit, aus jeder der Seiten herauszufallen, ist gleich. Das bedeutet, dass, wenn Sie viele Würfel werfen, im Laufe der Zeit jedes Gesicht ungefähr gleich oft erscheint. Je mehr Würfel Sie würfeln, desto mehr nähert sich das Gesamtergebnis dem Durchschnitt an. Es liegt nicht daran, dass die gewürfelte Zahl eine andere Zahl „veranlasst“, zu würfeln, die noch nicht gekommen ist. Weil eine kleine Serie von 6s (oder 20s oder was auch immer) keine große Sache ist, wenn Sie die Würfel noch zehntausend Mal würfeln und es ist meistens der Durchschnitt, der herauskommt ... vielleicht haben Sie jetzt ein paar Zahlen mit einem hohen Wert, aber vielleicht später ein paar Zahlen mit einem niedrigen Wert und mit der Zeit werden sie sich dem Durchschnittswert annähern. Nicht, weil frühere Würfe die Würfel beeinflussen (im Ernst, die Würfel bestehen aus Plastik, sie hat nicht den Verstand zu denken "Oh, es ist lange her, dass eine 2 kam"), sondern weil das normalerweise bei vielen Würfelwürfen passiert. Eine kleine Reihe sich wiederholender Zahlen wird in einer großen Anzahl von Ergebnissen fast unsichtbar sein.

Daher ist es ziemlich einfach, für einen zufälligen Wurf eines Würfels zu rechnen, zumindest was die Berechnung des Durchschnittswerts des Wurfs angeht. Es gibt auch Möglichkeiten zu berechnen, „wie zufällig“ etwas ist, eine Möglichkeit zu sagen, dass die Ergebnisse eines 1W6+4-Wurfs „zufälliger“ sind als ein 5W2, für einen 5W2 wird die Verteilung der gewürfelten Ergebnisse gleichmäßiger sein, Normalerweise berechnet man dafür die Standardabweichung, und je mehr Wert, desto zufälliger werden die Ergebnisse, aber das erfordert mehr Berechnungen, als ich heute geben möchte (ich werde dieses Thema später erklären). Das Einzige, worum ich Sie bitte zu wissen bitte, ist die allgemeine Regel, je weniger Würfel gewürfelt werden, desto zufälliger. Und noch eine Ergänzung zu diesem Thema: Je mehr Seiten der Würfel hat, desto mehr Zufälligkeit, da man mehr Möglichkeiten hat.

Wie man die Wahrscheinlichkeit durch Zählen berechnet

Sie haben vielleicht eine Frage: Wie können wir die genaue Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein bestimmtes Ergebnis eintritt? Dies ist für viele Spiele tatsächlich sehr wichtig, denn wenn Sie würfeln, gibt es wahrscheinlich zunächst ein optimales Ergebnis. Die Antwort lautet: Wir müssen zwei Werte berechnen. Berechnen Sie zunächst die maximale Anzahl von Ergebnissen beim Werfen eines Würfels (unabhängig vom Ergebnis). Zählen Sie dann die Anzahl der günstigen Ergebnisse. Indem Sie den zweiten Wert durch den ersten teilen, erhalten Sie die gewünschte Wahrscheinlichkeit. Um einen Prozentsatz zu erhalten, multiplizieren Sie das Ergebnis mit 100.

Beispiele:

Hier ist ein sehr einfaches Beispiel. Sie wollen eine 4 oder höher würfeln und einmal einen sechsseitigen Würfel werfen. Die maximale Anzahl an Ergebnissen ist 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Davon sind 3 Ergebnisse (4, 5, 6) günstig. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, teilen wir also 3 durch 6 und erhalten 0,5 oder 50 %.

Hier ist ein etwas komplizierteres Beispiel. Du willst eine gerade Zahl bei einem 2W6-Wurf. Die maximale Anzahl an Ergebnissen beträgt 36 (6 für jeden Würfel, und da ein Würfel den anderen nicht beeinflusst, multiplizieren wir 6 Ergebnisse mit 6 und erhalten 36). Die Schwierigkeit bei dieser Art von Fragen besteht darin, dass man leicht zweimal zählen kann. Zum Beispiel gibt es tatsächlich zwei mögliche Ergebnisse einer 3 bei einem 2W6-Wurf: 1+2 und 2+1. Sie sehen gleich aus, aber der Unterschied besteht darin, welche Zahl auf dem ersten Würfel angezeigt wird und was auf dem zweiten. Du kannst dir auch vorstellen, dass die Würfel unterschiedliche Farben haben, also ist in diesem Fall zum Beispiel ein Würfel rot und der andere blau. Zählen Sie dann die Anzahl der Möglichkeiten, um eine gerade Zahl zu erhalten: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Es stellt sich heraus, dass es 18 von 36 Optionen für ein günstiges Ergebnis gibt, da im vorherigen Fall die Wahrscheinlichkeit 0,5 oder 50% beträgt. Vielleicht unerwartet, aber ziemlich genau.

Monte-Carlo-Simulation

Was ist, wenn Sie zu viele Würfel für diese Berechnung haben? Sie möchten zum Beispiel wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, bei einem Wurf von 8W6 eine Gesamtzahl von 15 oder mehr zu würfeln. Es gibt VIELE verschiedene Einzelwerte für acht Würfel und es würde sehr lange dauern, sie von Hand zu berechnen. Selbst wenn wir eine gute Lösung finden, um verschiedene Serien von Würfelwürfen zu gruppieren, wird das Zählen immer noch sehr lange dauern. In diesem Fall ist es am einfachsten, die Wahrscheinlichkeit nicht manuell zu berechnen, sondern einen Computer zu verwenden. Es gibt zwei Möglichkeiten, die Wahrscheinlichkeit auf einem Computer zu berechnen.

Der erste Weg kann die genaue Antwort erhalten, erfordert jedoch ein wenig Programmierung oder Skripterstellung. Im Wesentlichen geht der Computer jede Möglichkeit durch, bewertet und zählt die Gesamtzahl der Iterationen und die Anzahl der Iterationen, die dem gewünschten Ergebnis entsprechen, und liefert dann Antworten. Ihr Code könnte in etwa so aussehen:

int wincount=0, totalcount=0;

für (int i=1; i<=6; i++) {

für (int j=1; j<=6; j++) {

für (int k=1; k<=6; k++) {

… // hier weitere Schleifen einfügen

wenn (i+j+k+… >= 15) (

float-Wahrscheinlichkeit = wincount/totalcount;

Wenn Sie nicht viel über Programmierung wissen und nur eine ungenaue, aber ungefähre Antwort wünschen, können Sie diese Situation in Excel simulieren, wo Sie ein paar tausend Mal 8W6 würfeln und die Antwort erhalten. Um 1W6 in Excel zu würfeln, verwenden Sie die folgende Formel:

BODEN(RAND()*6)+1

Es gibt einen Namen für die Situation, in der Sie die Antwort nicht wissen und es einfach viele Male versuchen - Monte-Carlo-Simulation, und es ist eine großartige Lösung, auf die Sie zurückgreifen können, wenn Sie versuchen, eine Wahrscheinlichkeit zu berechnen, und es zu kompliziert ist. Das Tolle ist, dass wir in diesem Fall nicht verstehen müssen, wie die Mathematik funktioniert, und wir wissen, dass die Antwort "ziemlich gut" sein wird, denn wie wir bereits wissen, nähert sich das Ergebnis umso mehr dem Durchschnittswert.

Wie man unabhängige Studien kombiniert

Wenn Sie nach mehreren wiederholten, aber unabhängigen Versuchen fragen, dann hat das Ergebnis eines Wurfs keinen Einfluss auf das Ergebnis anderer Würfe. Es gibt eine andere einfachere Erklärung für diese Situation.

Wie unterscheidet man etwas Abhängiges von etwas Unabhängigem? Wenn Sie jeden Wurf eines Würfels (oder eine Reihe von Würfen) als separates Ereignis isolieren können, dann ist es im Prinzip unabhängig. Wollen wir zum Beispiel mit 8W6 insgesamt 15 würfeln, lässt sich dieser Fall nicht in mehrere unabhängige Würfelwürfe aufteilen. Da Sie für das Ergebnis die Summe der Werte aller Würfel berechnen, wirkt sich das Ergebnis, das auf einem Würfel gewürfelt wird, auf die Ergebnisse aus, die auf anderen Würfeln gewürfelt werden sollten, denn nur durch die Summierung aller Werte erhalten Sie das gewünschte Ergebnis.

Hier ist ein Beispiel für unabhängige Würfe: Sie spielen ein Würfelspiel und würfeln mehrmals mit sechsseitigen Würfeln. Um im Spiel zu bleiben, müssen Sie bei Ihrem ersten Wurf eine 2 oder höher würfeln. Für den zweiten Wurf 3 oder höher. Der dritte erfordert 4 oder mehr, der vierte erfordert 5 oder mehr, der fünfte erfordert 6. Wenn alle fünf Würfe erfolgreich sind, gewinnen Sie. In diesem Fall sind alle Würfe unabhängig. Ja, wenn ein Wurf fehlschlägt, wirkt sich dies auf das Ergebnis des gesamten Spiels aus, aber ein Wurf hat keinen Einfluss auf einen anderen Wurf. Wenn Ihr zweiter Würfelwurf beispielsweise sehr erfolgreich ist, hat dies keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit, dass die nächsten Würfe ebenso erfolgreich sind. Daher können wir die Wahrscheinlichkeit jedes Würfelwurfs separat betrachten.

Wenn Sie separate, unabhängige Wahrscheinlichkeiten haben und wissen möchten, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist alle Ereignisse kommen werden, bestimmen Sie jede einzelne Wahrscheinlichkeit und multiplizieren sie. Eine andere Möglichkeit: Wenn Sie die Konjunktion „und“ verwenden, um mehrere Bedingungen zu beschreiben (z. B. wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges Ereignis eintritt und irgendein anderes unabhängiges Zufallsereignis?), berechne die einzelnen Wahrscheinlichkeiten und multipliziere sie.

Es spielt keine Rolle, was Sie denken noch nie die unabhängigen Wahrscheinlichkeiten nicht summieren. Dies ist ein häufiger Fehler. Um zu verstehen, warum dies falsch ist, stellen Sie sich eine Situation vor, in der Sie eine Münze 50/50 werfen und wissen möchten, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, zweimal hintereinander Kopf zu bekommen. Jede Seite hat eine Wahrscheinlichkeit von 50 %, zu kommen. Wenn Sie also die beiden Wahrscheinlichkeiten addieren, erhalten Sie eine Chance von 100 %, Kopf zu erzielen, aber wir wissen, dass das nicht stimmt, weil zwei aufeinanderfolgende Zahlen kommen könnten. Wenn Sie stattdessen diese beiden Wahrscheinlichkeiten multiplizieren, erhalten Sie 50 % * 50 % = 25 %, was die richtige Antwort für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit ist, zweimal hintereinander Kopf zu bekommen.

Beispiel

Kehren wir zum sechsseitigen Würfelspiel zurück, bei dem Sie zuerst eine Zahl größer als 2, dann größer als 3 und so weiter würfeln müssen. bis zu 6. Wie hoch sind die Chancen, dass in einer gegebenen Serie von 5 Würfen alle Ergebnisse günstig sind?

Wie oben erwähnt, handelt es sich um unabhängige Versuche, daher berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Wurf und multiplizieren sie dann. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis des ersten Wurfs günstig ist, beträgt 5/6. Der zweite - 4/6. Dritter - 3/6. Der vierte - 2/6, der fünfte - 1/6. Wenn wir all diese Ergebnisse multiplizieren, erhalten wir etwa 1,5 % … Es ist also ziemlich selten, dieses Spiel zu gewinnen. Wenn Sie also dieses Element zu Ihrem Spiel hinzufügen, benötigen Sie einen ziemlich großen Jackpot.

Negation

Hier ist noch ein nützlicher Hinweis: Manchmal ist es schwierig, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein Ereignis eintritt, aber es ist einfacher, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass ein Ereignis eintritt. wird nicht kommen.

Angenommen, wir haben ein anderes Spiel und Sie würfeln 6W6, und wenn zumindest einmal würfelt 6, gewinnen Sie. Wie hoch ist die Gewinnwahrscheinlichkeit?

In diesem Fall gibt es viele Optionen zu prüfen. Vielleicht fällt eine Nummer 6 heraus, d.h. Einer der Würfel würfelt eine 6 und die anderen würfeln eine 1 bis 5, und es gibt 6 Möglichkeiten, welcher der Würfel eine 6 würfelt. Dann können Sie eine 6 mit zwei Würfeln würfeln oder mit drei oder sogar mehr. und jedes Mal müssen wir eine separate Berechnung durchführen, sodass wir leicht verwirrt werden.

Aber es gibt einen anderen Weg, dieses Problem zu lösen, schauen wir es uns von der anderen Seite an. Du verlieren wenn keiner die Zahl 6 fällt nicht aus den Würfeln In diesem Fall haben wir sechs unabhängige Versuche, die Wahrscheinlichkeit für jeden von ihnen ist 5/6 (jede andere Zahl als 6 kann auf die Würfel fallen). Multiplizieren Sie sie und Sie erhalten etwa 33 %. Die Wahrscheinlichkeit zu verlieren liegt also bei 1 zu 3.

Daher beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit 67% (oder 2 zu 3).

An diesem Beispiel ist das offensichtlich Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Ereignis nicht eintritt, ziehen Sie das Ergebnis von 100 % ab. Wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit 67 % beträgt, dann die Wahrscheinlichkeit verlieren — 100% Minus- 67 % oder 33 %. Umgekehrt. Wenn es schwierig ist, eine Wahrscheinlichkeit zu berechnen, aber leicht, das Gegenteil zu berechnen, berechnen Sie das Gegenteil und ziehen Sie dann von 100 % ab.

Anschlussbedingungen für einen unabhängigen Test

Ich habe vorhin gesagt, dass man in unabhängigen Versuchen niemals Wahrscheinlichkeiten summieren sollte. Gibt es Fälle wo kann die Wahrscheinlichkeiten summieren? Ja, in einer bestimmten Situation.

Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit mehrerer, unabhängiger, günstiger Ergebnisse in derselben Studie berechnen möchten, addieren Sie die Wahrscheinlichkeiten jedes günstigen Ergebnisses. Zum Beispiel beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine 4, 5 oder 6 auf 1W6 zu würfeln Summe die Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu würfeln, die Wahrscheinlichkeit, eine 5 zu würfeln, und die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln. Sie können sich diese Situation auch so vorstellen: Wenn Sie die Konjunktion „oder“ in einer Frage zur Wahrscheinlichkeit verwenden (z ist die Wahrscheinlichkeit von oder unterschiedlicher Ausgang eines zufälligen Ereignisses?), die einzelnen Wahrscheinlichkeiten berechnen und aufsummieren.

Beachte das beim Summieren alle möglichen Ergebnisse Spiel muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich 100 % sein. Wenn die Summe nicht 100 % entspricht, wurde Ihre Berechnung falsch durchgeführt. Dies ist eine gute Möglichkeit, Ihre Berechnungen zu überprüfen. Sie haben zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit analysiert, beim Pokern alle Kombinationen zu erhalten, wenn Sie alle Ergebnisse addieren, sollten Sie genau 100 % erhalten (oder zumindest einen Wert ziemlich nahe an 100 %, wenn Sie einen Taschenrechner verwenden, haben Sie möglicherweise einen kleiner Rundungsfehler, aber wenn Sie die genauen Zahlen von Hand addieren, sollte alles stimmen). Wenn die Summe nicht konvergiert, haben Sie höchstwahrscheinlich einige Kombinationen nicht berücksichtigt oder die Wahrscheinlichkeiten einiger Kombinationen falsch berechnet, und dann müssen Sie Ihre Berechnungen noch einmal überprüfen.

Ungleiche Wahrscheinlichkeiten

Bisher sind wir davon ausgegangen, dass jede Seite des Würfels mit der gleichen Frequenz herausfällt, denn so funktioniert der Würfel. Aber manchmal sind Sie mit einer Situation konfrontiert, in der unterschiedliche Ergebnisse möglich sind, und sie verschiedene Chancen fallen lassen. Zum Beispiel gibt es in einer der Erweiterungen des Kartenspiels „Nuclear War“ ein Spielfeld mit einem Pfeil, der den Ausgang eines Raketenstarts bestimmt: Es verursacht im Grunde normalen Schaden, mehr oder weniger Schaden, aber manchmal wird der Schaden verdoppelt oder verdreifacht, oder die Rakete explodiert auf der Startrampe und verletzt Sie, oder ein anderes Ereignis tritt ein. Im Gegensatz zum Pfeilbrett in "Chutes & Ladders" oder "A Game of Life" sind die Ergebnisse des Bretts in "Nuclear War" ungleich. Einige Abschnitte des Spielfelds sind größer und der Pfeil stoppt viel häufiger, während andere Abschnitte sehr klein sind und der Pfeil selten stoppt.

Auf den ersten Blick sieht der Knochen also ungefähr so ​​aus: 1, 1, 1, 2, 2, 3; Wir haben bereits darüber gesprochen, es ist so etwas wie ein gewichtetes 1W3, daher müssen wir alle diese Abschnitte in gleiche Teile teilen, die kleinste Maßeinheit finden, die ein Vielfaches davon ist, und dann die Situation in Form von darstellen d522 (oder etwas anderes), wo die Würfelseiten die gleiche Situation zeigen, aber mit einer größeren Anzahl von Ergebnissen. Und dies ist eine Möglichkeit, das Problem zu lösen, und es ist technisch machbar, aber es gibt einen einfacheren Weg.

Kommen wir zurück zu unseren standardmäßigen sechsseitigen Würfeln. Wir haben gesagt, dass Sie, um den Durchschnittswert eines Wurfs für einen normalen Würfel zu berechnen, die Werte aller Seiten summieren und durch die Anzahl der Seiten dividieren müssen, aber wie exakt läuft die Berechnung? Du kannst es anders ausdrücken. Bei einem sechsseitigen Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass jede Seite auftaucht, genau 1/6. Jetzt multiplizieren wir Exodus jede Kante an Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnis (in diesem Fall 1/6 für jede Seite), dann summieren Sie die resultierenden Werte. Also Summieren von (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6 ), wir erhalten das gleiche Ergebnis (3.5) wie in der obigen Rechnung. Tatsächlich berechnen wir dies jedes Mal: ​​Wir multiplizieren jedes Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses.

Können wir die gleiche Berechnung für den Pfeil auf dem Spielfeld im Spiel „Nuclear War“ durchführen? Klar können wir. Und wenn wir alle gefundenen Ergebnisse zusammenfassen, erhalten wir den Durchschnittswert. Alles, was wir tun müssen, ist die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses für den Pfeil auf dem Spielfeld zu berechnen und mit dem Ergebnis zu multiplizieren.

Ein anderes Beispiel

Diese Methode zur Berechnung des Durchschnitts, bei der jedes Ergebnis mit seiner individuellen Wahrscheinlichkeit multipliziert wird, ist auch geeignet, wenn die Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, aber unterschiedliche Vorteile haben, z. B. wenn Sie würfeln und auf einigen Seiten mehr gewinnen als auf anderen. Nehmen wir zum Beispiel ein Spiel, das in einem Casino stattfindet: Sie setzen und würfeln 2W6. Wenn drei Zahlen mit niedrigem Wert (2, 3, 4) oder vier Zahlen mit hohem Wert (9, 10, 11, 12) auftauchen, gewinnen Sie einen Betrag in Höhe Ihres Einsatzes. Die Zahlen mit dem niedrigsten und höchsten Wert sind besonders: Wenn 2 oder 12 gewürfelt werden, gewinnen Sie doppelt so viel als Ihr Angebot. Wenn eine andere Zahl erscheint (5, 6, 7, 8), verlieren Sie Ihren Einsatz. Dies ist ein ziemlich einfaches Spiel. Aber wie hoch ist die Gewinnwahrscheinlichkeit?

Beginnen wir damit, zu zählen, wie oft Sie gewinnen können:

• Die maximale Anzahl an Ergebnissen bei einem 2W6-Wurf beträgt 36. Wie viele positive Ergebnisse gibt es?
• Es gibt 1 Option, bei der zwei herausfallen, und 1 Option, bei der zwölf herausfallen.
• Es gibt 2 Möglichkeiten, drei und elf zu würfeln.
• Es gibt 3 Optionen für das Würfeln von vier und 3 Optionen für das Würfeln von zehn.
• Es gibt 4 Optionen für neun zu kommen.
• Wenn wir alle Optionen zusammenfassen, erhalten wir die Anzahl der günstigen Ergebnisse 16 von 36.

Unter normalen Bedingungen gewinnen Sie also 16 von 36 möglichen … die Gewinnwahrscheinlichkeit liegt bei etwas weniger als 50 %.

Aber in zwei von diesen 16 Fällen gewinnen Sie doppelt so viel, d.h. Es ist, als würde man zweimal gewinnen! Wenn Sie dieses Spiel 36 Mal spielen, jedes Mal 1 $ setzen und jedes mögliche Ergebnis einmal vorkommt, gewinnen Sie insgesamt 18 $ (Sie gewinnen tatsächlich 16 Mal, aber zwei davon zählen als zwei Gewinne). Wenn Sie 36 Mal spielen und $18 gewinnen, bedeutet das nicht, dass es eine ausgeglichene Chance ist?

Nimm dir Zeit. Wenn Sie zählen, wie oft Sie verlieren können, erhalten Sie 20, nicht 18. Wenn Sie 36 Mal spielen und jedes Mal 1 $ setzen, gewinnen Sie mit allen gewürfelten Chancen insgesamt 18 $ ... aber Sie verlieren der Gesamtbetrag von 20 $ für alle 20 schlechten Ergebnisse! Infolgedessen liegen Sie leicht zurück: Sie verlieren durchschnittlich 2 $ netto für alle 36 Spiele (Sie können auch sagen, dass Sie durchschnittlich 1/18 $ pro Tag verlieren). Jetzt sehen Sie, wie einfach es ist, sich in diesem Fall zu irren und die Wahrscheinlichkeit falsch zu berechnen!

Permutation

Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Reihenfolge, in der die Zahlen gewürfelt werden, beim Würfeln keine Rolle spielt. Ein 2+4-Wurf ist dasselbe wie ein 4+2-Wurf. In den meisten Fällen berechnen wir die Anzahl der günstigen Ergebnisse manuell, aber manchmal ist diese Methode unpraktisch und es ist besser, eine mathematische Formel zu verwenden.

Ein Beispiel für diese Situation ist das Würfelspiel „Farkle“. Für jede neue Runde würfelst du 6W6. Wenn Sie Glück haben und alle möglichen Ergebnisse von 1-2-3-4-5-6 (Straight) kommen, erhalten Sie einen großen Bonus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies geschieht? In diesem Fall gibt es viele Möglichkeiten für den Verlust dieser Kombination!

Die Lösung lautet wie folgt: Einer der Würfel (und nur einer) muss die Zahl 1 würfeln! Wie viele Möglichkeiten, die Zahl 1 auf einen Würfel zu bekommen? Sechs, weil es 6 Würfel gibt und jeder von ihnen die Zahl 1 landen kann. Nimm dementsprechend einen Würfel und lege ihn beiseite. Auf einen der restlichen Würfel soll nun die Zahl 2 fallen, dafür gibt es fünf Möglichkeiten. Nimm einen weiteren Würfel und lege ihn beiseite. Dann folgt, dass vier der verbleibenden Würfel die Zahl 3 würfeln können, drei der verbleibenden Würfel können die Zahl 4 würfeln, zwei der verbleibenden Würfel können die Zahl 5 würfeln, und als Ergebnis bleibt Ihnen ein Würfel übrig auf die die Zahl 6 fallen soll (im letzteren Fall gibt es nur einen Würfel und keine Wahl). Um die Anzahl der günstigen Ergebnisse für eine direkte Kombination zu zählen, multiplizieren wir alle verschiedenen, unabhängigen Optionen: 6x5x4x3x2x1 = 720 - es sieht so aus, als gäbe es ziemlich viele Optionen für diese Kombination.

Um die Wahrscheinlichkeit für eine Straße zu berechnen, müssen wir 720 durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse teilen, um 6W6 zu würfeln. Wie groß ist die Anzahl aller möglichen Ergebnisse? Jeder Würfel kann 6 Seiten landen, also multiplizieren wir 6x6x6x6x6x6 = 46656 (viel höhere Zahl!). Wir teilen 720/46656 und erhalten eine Wahrscheinlichkeit von ungefähr 1,5 %. Wenn Sie dieses Spiel entwerfen, wäre es für Sie hilfreich, dies zu wissen, damit Sie ein geeignetes Bewertungssystem erstellen können. Jetzt verstehen wir, warum Sie im Spiel „Farkle“ einen so großen Bonus erhalten, wenn Sie eine Kombination aus „Straight“ erhalten, denn diese Situation ist ziemlich selten!

Das Ergebnis ist auch aus einem anderen Grund interessant. Das Beispiel zeigt, wie selten in kurzer Zeit das der Wahrscheinlichkeit entsprechende Ergebnis ausfällt. Wenn wir mehrere tausend Würfel würfeln würden, würden natürlich ziemlich oft verschiedene Seiten der Würfel auftauchen. Aber wenn wir nur sechs Würfel würfeln, fast noch nie es kommt nicht vor, dass jedes der Gesichter herausfällt! Davon ausgehend wird klar, dass es töricht ist zu erwarten, dass jetzt ein weiteres Gesicht herausfällt, das noch nicht herausgefallen ist, „weil wir die Zahl 6 schon lange nicht mehr fallen gelassen haben, was bedeutet, dass sie jetzt herausfallen wird. ”

Schau, dein Zufallszahlengenerator ist kaputt...

Dies bringt uns zu einem weit verbreiteten Missverständnis über Wahrscheinlichkeiten: die Annahme, dass alle Ergebnisse mit der gleichen Häufigkeit auftreten. über einen kurzen Zeitraum, was eigentlich nicht der Fall ist. Wenn wir die Würfel mehrmals würfeln, wird die Frequenz der Gesichter nicht gleich sein.

Wenn Sie schon einmal an einem Online-Spiel mit einer Art Zufallszahlengenerator gearbeitet haben, sind Sie höchstwahrscheinlich auf eine Situation gestoßen, in der ein Spieler dem technischen Support schreibt, dass Ihr Zufallszahlengenerator defekt ist und keine Zufallszahlen anzeigt, und er kam zu diesem Schluss, weil er gerade 4 Monster hintereinander getötet und 4 genau die gleichen Belohnungen bekommen hat, und diese Belohnungen sollten nur 10% der Zeit fallen, also das Fast nie sollte nicht stattfinden, was es bedeutet offensichtlich dass Ihr Zufallsgenerator defekt ist.

Du machst Mathe. 1/10*1/10*1/10*1/10 entspricht 1 zu 10.000, was bedeutet, dass es ziemlich selten ist. Und das versucht der Spieler dir zu sagen. Gibt es in diesem Fall ein Problem?

Alles hängt von den Umständen ab. Wie viele Spieler sind jetzt auf deinem Server? Angenommen, Sie haben ein ziemlich beliebtes Spiel und 100.000 Leute spielen es jeden Tag. Wie viele Spieler töten vier Monster hintereinander? Vielleicht alles, mehrmals am Tag, aber nehmen wir an, dass die Hälfte von ihnen nur verschiedene Gegenstände bei Auktionen handelt oder auf RP-Servern chattet oder andere Spielaktivitäten durchführt, also jagt nur die Hälfte von ihnen tatsächlich Monster. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Wird die gleiche Belohnung wegfallen? In dieser Situation können Sie damit rechnen, dass die gleiche Belohnung mindestens mehrmals am Tag fallen kann!

Übrigens, deshalb scheint es zumindest alle paar Wochen so zu sein jemand im Lotto gewinnt, auch wenn das jemand ist noch nie Sie oder Ihre Freunde kommen nicht. Wenn genug Leute jede Woche spielen, stehen die Chancen gut, dass es mindestens so weit sein wird eines Glück ... aber wenn Sie Wenn Sie im Lotto spielen, ist es weniger wahrscheinlich, dass Sie einen Job bei Infinity Ward gewinnen.

Karten und Sucht

Wir haben unabhängige Ereignisse besprochen, wie etwa das Werfen eines Würfels, und jetzt kennen wir viele mächtige Werkzeuge zur Analyse der Zufälligkeit in vielen Spielen. Die Wahrscheinlichkeitsberechnung ist etwas komplizierter, wenn es darum geht, Karten aus dem Stapel zu ziehen, da jede Karte, die wir ziehen, die verbleibenden Karten im Stapel beeinflusst. Wenn Sie ein Standarddeck mit 52 Karten haben und zum Beispiel 10 Herzen ziehen und die Wahrscheinlichkeit wissen möchten, dass die nächste Karte dieselbe Farbe hat, hat sich die Wahrscheinlichkeit geändert, weil Sie bereits eine Herzkarte aus dem Kartenspiel entfernt haben Deck. Jede Karte, die Sie entfernen, ändert die Wahrscheinlichkeit der nächsten Karte im Deck. Da sich in diesem Fall das vorherige Ereignis auf das nächste auswirkt, nennen wir dies Wahrscheinlichkeit abhängig.

Bitte beachten Sie, dass ich mit "Karten" meine irgendein Spielmechanik, bei der es eine Reihe von Objekten gibt und Sie eines der Objekte entfernen, ohne es zu ersetzen, ein „Kartenspiel“ ist in diesem Fall analog zu einer Tüte Chips, aus der Sie einen Chip entfernen und nicht ersetzen, oder eine Urne, aus der Sie farbige Murmeln entfernen (eigentlich habe ich noch nie ein Spiel gesehen, in dem es eine Urne mit entfernten farbigen Murmeln gab, aber es scheint, dass Lehrer der Wahrscheinlichkeitstheorie dieses Beispiel aus irgendeinem Grund bevorzugen).

Abhängigkeitseigenschaften

Ich möchte klarstellen, dass ich bei Karten davon ausgehe, dass Sie Karten ziehen, sie sich ansehen und aus dem Stapel entfernen. Jede dieser Aktionen ist eine wichtige Eigenschaft.

Wenn ich ein Deck mit, sagen wir, sechs Karten mit den Nummern 1 bis 6 hätte und sie mischen und eine Karte ziehen und dann alle sechs Karten wieder mischen würde, wäre das dasselbe, als würde ich einen sechsseitigen Würfel werfen; ein Ergebnis wirkt sich nicht auf das nächste aus. Nur wenn ich Karten ziehe und nicht ersetze, erhöht das Ergebnis des Ziehens einer Karte mit der Zahl 1 die Wahrscheinlichkeit, dass ich das nächste Mal eine Karte mit der Zahl 6 ziehe (die Wahrscheinlichkeit steigt, bis ich diese Karte irgendwann ziehe oder bis Ich mische die Karten).

Die Tatsache, dass wir wir schauen auf Karten ist ebenfalls wichtig. Wenn ich eine Karte aus dem Stapel nehme und sie mir nicht anschaue, habe ich keine zusätzlichen Informationen und die Wahrscheinlichkeit ändert sich eigentlich nicht. Das mag unlogisch klingen. Wie kann das einfache Umdrehen einer Karte die Gewinnchancen auf magische Weise verändern? Aber es ist möglich, weil Sie die Wahrscheinlichkeit für unbekannte Gegenstände nur aus der Tatsache berechnen können, dass Sie du weißt. Wenn Sie beispielsweise ein Standard-Kartenspiel mischen, 51 Karten aufdecken und keine davon eine Kreuz-Dame ist, wissen Sie mit 100%iger Sicherheit, dass die verbleibende Karte eine Kreuz-Dame ist. Wenn Sie ein Standardkartenspiel mischen und 51 Karten ziehen, Trotz auf sie, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die verbleibende Karte die Kreuz-Dame ist, immer noch 1/52. Wenn Sie jede Karte öffnen, erhalten Sie weitere Informationen.

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für abhängige Ereignisse folgt den gleichen Prinzipien wie für unabhängige Ereignisse, außer dass es etwas komplizierter ist, da sich die Wahrscheinlichkeiten ändern, wenn Sie die Karten aufdecken. Daher müssen Sie viele verschiedene Werte multiplizieren, anstatt denselben Wert zu multiplizieren. Tatsächlich bedeutet dies, dass wir alle Berechnungen, die wir durchgeführt haben, zu einer Kombination kombinieren müssen.

Beispiel

Sie mischen ein Standarddeck mit 52 Karten und ziehen zwei Karten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie ein Paar herausnehmen? Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, aber vielleicht ist die einfachste die folgende: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie kein Paar ziehen können, wenn Sie eine Karte ziehen? Diese Wahrscheinlichkeit ist null, es spielt also keine Rolle, welche erste Karte Sie ziehen, solange sie mit der zweiten übereinstimmt. Egal, welche Karte wir zuerst ziehen, wir haben immer noch die Chance, ein Paar zu ziehen, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass wir nach dem Ziehen der ersten Karte ein Paar ziehen können, 100 % beträgt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Karte mit der ersten übereinstimmt? Es sind noch 51 Karten im Stapel und 3 davon passen zur ersten Karte (eigentlich wären es 4 von 52 gewesen, aber Sie haben bereits eine der passenden Karten entfernt, als Sie die erste Karte gezogen haben!), also ist die Wahrscheinlichkeit 1 /17. (Wenn also der Typ gegenüber vom Tisch, der Texas Hold'em spielt, das nächste Mal sagt: „Cool, noch ein Paar? Ich habe heute Glück“, wissen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit ziemlich hoch ist, dass er blufft.)

Was ist, wenn wir zwei Joker hinzufügen und jetzt 54 Karten im Deck haben und wir wissen möchten, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, ein Paar zu ziehen? Die erste Karte kann der Joker sein, und dann enthält das Deck nur noch eines Karte, nicht drei, die übereinstimmen wird. Wie findet man in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit? Wir dividieren die Wahrscheinlichkeiten und multiplizieren jede Möglichkeit.

Unsere erste Karte könnte ein Joker oder eine andere Karte sein. Die Wahrscheinlichkeit, einen Joker zu ziehen, beträgt 2/54, die Wahrscheinlichkeit, eine andere Karte zu ziehen, beträgt 52/54.

Wenn die erste Karte ein Joker ist (2/54), beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Karte zur ersten passt, 1/53. Multiplizieren der Werte (wir können sie multiplizieren, da es sich um separate Ereignisse handelt und wir dies möchten beide Ereignisse passiert sind) und wir erhalten 1/1431 - weniger als ein Zehntel Prozent.

Wenn Sie zuerst eine andere Karte ziehen (52/54), beträgt die Wahrscheinlichkeit, die zweite Karte zu treffen, 3/53. Wir multiplizieren die Werte und erhalten 78/1431 (etwas mehr als 5,5 %).

Was machen wir mit diesen beiden Ergebnissen? Sie schneiden sich nicht und wir wollen die Wahrscheinlichkeit wissen alle von ihnen, also fassen wir die Werte zusammen! Als Endergebnis erhalten wir 79/1431 (noch ca. 5,5 %).

Wenn wir uns der Genauigkeit der Antwort sicher sein wollten, könnten wir die Wahrscheinlichkeit aller anderen möglichen Ergebnisse berechnen: Ziehen eines Jokers und Nichtpassen der zweiten Karte oder Ziehen einer anderen Karte und Nichtpassen der zweiten Karte, und alles zusammenzählen bei der Gewinnwahrscheinlichkeit würden wir genau 100% erhalten. Ich werde hier nicht die Mathematik geben, aber Sie können die Mathematik versuchen, um es zu überprüfen.

Das Monty-Hall-Paradoxon

Dies bringt uns zu einem ziemlich berühmten Paradoxon, das viele oft verwirrt, dem Monty-Hall-Paradoxon. Das Paradoxon ist nach Monty Hall benannt, dem Moderator der TV-Show Let's Make a Deal. Falls Sie diese Show noch nie gesehen haben, es war das Gegenteil der TV-Show „The Price Is Right“. Bei „The Price Is Right“ ist der Moderator (ehemals Bob Barker, jetzt ist es … Drew Carey? Wie auch immer …) Ihr Freund. Er will damit du Geld oder coole Preise gewinnen kannst. Es versucht, Ihnen jede Gelegenheit zum Gewinnen zu geben, solange Sie erraten können, wie viel die gesponserten Artikel tatsächlich wert sind.

Monty Hall verhielt sich anders. Er war wie der böse Zwilling von Bob Barker. Sein Ziel war es, Sie im nationalen Fernsehen wie einen Idioten aussehen zu lassen. Wenn Sie in der Show waren, war er Ihr Gegner, Sie haben gegen ihn gespielt und die Chancen standen zu seinen Gunsten. Vielleicht bin ich hart, aber wenn die Wahrscheinlichkeit, als Gegner ausgewählt zu werden, direkt proportional dazu zu sein scheint, ob Sie ein lächerliches Kostüm tragen oder nicht, komme ich zu ähnlichen Schlussfolgerungen.

Aber eines der berühmtesten Meme der Show war dieses: Vor dir waren drei Türen, und sie hießen Tür Nummer 1, Tür Nummer 2 und Tür Nummer 3. Du konntest eine beliebige Tür wählen ... kostenlos! Hinter einer dieser Türen verbarg sich ein prächtiger Preis, zum Beispiel ein neues Auto. Hinter den anderen Türen gab es keine Preise, diese beiden Türen waren wertlos. Ihr Ziel war es, dich zu demütigen, und es ist nicht so, dass hinter ihnen überhaupt nichts gewesen wäre, da war etwas hinter ihnen, das dumm aussah, wie eine Ziege hinter ihnen oder eine riesige Tube Zahnpasta oder so ... irgendetwas, was genau war nicht neues Auto.

Du hast eine der Türen gewählt und Monty wollte sie gerade öffnen, um dir mitzuteilen, ob du gewonnen hast oder nicht ... aber warte, bevor wir es wissen schauen wir uns einen an diese die Tür du nicht gewählt. Da Monty weiß, hinter welcher Tür sich der Preis befindet, und es nur einen Preis gibt und zwei Türen, die Sie nicht gewählt haben, egal was passiert, er kann immer eine Tür öffnen, hinter der sich kein Preis befindet. „Wählen Sie Tür Nummer 3? Dann lasst uns Tür 1 öffnen, um zu zeigen, dass kein Preis dahinter steckt." Und jetzt bietet er Ihnen aus Großzügigkeit die Möglichkeit, Ihre gewählte Tür Nr. 3 gegen das einzutauschen, was sich hinter Tür Nr. 2 befindet.Hier kommt die Frage der Wahrscheinlichkeit ins Spiel: Erhöht oder verringert die Möglichkeit, eine andere Tür zu wählen, Ihre Chance des Gewinnens, oder bleibt es gleich? Was meinen Sie?

Richtige Antwort: Die Möglichkeit, eine andere Tür zu wählen steigt Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3 bis 2/3. Das ist unlogisch. Wenn Sie diesem Paradoxon noch nie begegnet sind, denken Sie wahrscheinlich: Moment, durch das Öffnen einer Tür haben wir die Wahrscheinlichkeit auf magische Weise verändert? Aber wie wir im obigen Kartenbeispiel gesehen haben, ist dies der Fall exakt was passiert, wenn wir mehr Informationen erhalten. Es ist offensichtlich, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit beim ersten Mal 1/3 beträgt, und ich denke, alle werden dem zustimmen. Wenn sich eine Tür öffnet, ändert sich die Gewinnwahrscheinlichkeit für die erste Wahl überhaupt nicht, die Wahrscheinlichkeit beträgt immer noch 1/3, aber das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit das ist Ein weiterer Tür richtig ist jetzt 2/3.

Betrachten wir dieses Beispiel von der anderen Seite. Sie wählen eine Tür. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 1/3. Ich schlage vor, Sie wechseln zwei andere Türen, was Monty Hall eigentlich vorschlägt. Natürlich öffnet er eine der Türen, um zu zeigen, dass kein Preis dahinter steckt, sondern er stets kann, also ändert es eigentlich nichts. Natürlich möchten Sie eine andere Tür wählen!

Wenn Sie dieses Problem nicht ganz verstehen und eine überzeugendere Erklärung benötigen, klicken Sie auf diesen Link, um zu einer großartigen kleinen Flash-Anwendung zu gelangen, mit der Sie dieses Paradox genauer untersuchen können. Sie können mit etwa 10 Türen beginnen und dann allmählich zu einem Spiel mit drei Türen aufsteigen; Es gibt auch einen Simulator, in dem Sie eine beliebige Anzahl von Türen von 3 bis 50 auswählen und mehrere tausend Simulationen spielen oder ausführen können, um zu sehen, wie oft Sie gewinnen würden, wenn Sie spielen würden.

Eine Bemerkung eines Lehrers für höhere Mathematik und eines Spezialisten für Spielbalance Maxim Soldatov, die Schreiber natürlich nicht hatte, aber ohne die es ziemlich schwierig ist, diese magische Transformation zu verstehen:

Wählen Sie eine Tür, eine von drei, die Wahrscheinlichkeit zu "gewinnen" 1/3. Jetzt haben Sie 2 Strategien: Ändern Sie die Wahl, nachdem Sie die falsche Tür geöffnet haben oder nicht. Wenn Sie Ihre Wahl nicht ändern, bleibt die Wahrscheinlichkeit 1/3, da die Wahl nur in der ersten Phase besteht und Sie sofort raten müssen, aber wenn Sie sich ändern, können Sie gewinnen, wenn Sie zuerst die falsche Tür wählen ( dann öffnen sie ein weiteres falsches, werden wahr bleiben, du änderst die Entscheidung, nimm es einfach)
Die Wahrscheinlichkeit, am Anfang die falsche Tür zu wählen, beträgt 2/3, es stellt sich also heraus, dass Sie durch eine Änderung Ihrer Entscheidung die Gewinnwahrscheinlichkeit 2-mal erhöhen

Wiedersehen mit dem Monty-Hall-Paradoxon

Was die Show selbst betrifft, wusste Monty Hall das, denn selbst wenn seine Gegner nicht gut in Mathe waren, er versteht sie gut. Hier ist, was er getan hat, um das Spiel ein wenig zu verändern. Wenn Sie die Tür gewählt haben, hinter der sich der Preis befand, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür 1/3 stets bot Ihnen die Möglichkeit, eine andere Tür zu wählen. Weil du ein Auto ausgewählt hast und es dann in eine Ziege umwandelst und ziemlich dumm aussiehst, was genau das ist, was er braucht, denn er ist irgendwie ein böser Typ. Aber wenn Sie die Tür wählen, hinter der es wird keinen Preis geben, nur halb in solchen Fällen fordert er Sie auf, eine andere Tür zu wählen, und in anderen Fällen zeigt er Ihnen einfach Ihre neue Ziege und Sie verlassen die Bühne. Lassen Sie uns dieses neue Spiel analysieren, wo Monty Hall kann wählen bieten Ihnen die Möglichkeit, eine andere Tür zu wählen oder nicht.

Angenommen, er folgt diesem Algorithmus: Wenn Sie eine Tür mit einem Preis wählen, bietet er Ihnen immer die Möglichkeit, eine andere Tür zu wählen, andernfalls ist die Wahrscheinlichkeit, dass er Ihnen eine andere Tür anbietet oder Ihnen eine Ziege gibt, 50/50. Wie hoch ist Ihre Gewinnwahrscheinlichkeit?

Bei einer der drei Optionen wählen Sie sofort die Tür, hinter der sich der Preis befindet, und der Gastgeber fordert Sie auf, eine andere Tür zu wählen.

Von den verbleibenden zwei von drei Optionen (Sie wählen zunächst eine Tür ohne Preis) wird der Host Sie in der Hälfte der Fälle bitten, eine andere Tür zu wählen, und in der anderen Hälfte der Zeit nicht. Die Hälfte von 2/3 ist 1/3, also In einem von drei Fällen erhalten Sie eine Ziege, in einem von drei Fällen wählen Sie die falsche Tür und der Gastgeber fordert Sie auf, eine andere zu wählen, und in einem von drei Fällen wählen Sie die richtige Tür und er wird Sie auffordern, eine andere Tür zu wählen.

Wenn der Gastgeber vorschlägt, dass wir eine andere Tür wählen, wissen wir bereits, dass einer der drei Fälle, in denen er uns eine Ziege gibt und wir gehen, nicht passiert ist. Dies sind nützliche Informationen, da sich unsere Gewinnchancen geändert haben. In zwei von drei Fällen haben wir die Wahl, in einem Fall bedeutet dies, dass wir richtig geraten haben, und im anderen Fall bedeutet dies, dass wir falsch geraten haben. Wenn uns also überhaupt eine Wahl angeboten wird, bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit unseres Gewinns 50 beträgt /50, und es gibt keine mathematisch Vorteile, bleiben Sie bei Ihrer Wahl oder wählen Sie eine andere Tür.

Wie Poker ist es jetzt ein psychologisches Spiel, kein mathematisches. Monty hat Ihnen die Wahl angeboten, weil er Sie für einen Einfaltspinsel hält, der nicht weiß, dass es die „richtige“ Entscheidung ist, eine andere Tür zu wählen, und dass Sie hartnäckig an Ihrer Wahl festhalten werden, weil die Situation, wenn Sie sich für eine entscheiden, aus psychologischer Sicht stur ist Auto, und es dann verloren, härter? Oder hält er Sie für klug und wählt eine andere Tür, und er bietet Ihnen diese Chance, weil er weiß, dass Sie beim ersten Mal richtig geraten haben und dass Sie süchtig und gefangen sein werden? Oder vielleicht ist er untypisch nett zu sich selbst und drängt dich dazu, etwas in deinem persönlichen Interesse zu tun, weil er schon lange kein Auto mehr gespendet hat und seine Produzenten ihm sagen, dass das Publikum sich langweilt und es besser wäre, wenn er eins spenden würde bald großer Preis, damit die Quoten nicht sinken?

So schafft es Monty, (manchmal) eine Wahl anzubieten und die Gesamtgewinnwahrscheinlichkeit bleibt 1/3. Denken Sie daran, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Sie sofort verlieren, 1/3 beträgt. Es besteht eine Chance von 1/3, dass Sie sofort raten, und in 50 % dieser Fälle gewinnen Sie (1/3 x 1/2 = 1/6). Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie zuerst falsch raten, dann aber die Chance haben, eine andere Tür zu wählen, beträgt 1/3, und in 50% dieser Fälle gewinnen Sie (ebenfalls 1/6). Addieren Sie zwei unabhängige Gewinnmöglichkeiten und Sie erhalten eine Wahrscheinlichkeit von 1/3, also ob Sie bei Ihrer Wahl bleiben oder eine andere Tür wählen, die Gesamtwahrscheinlichkeit Ihres Gewinns während des Spiels beträgt 1/3 ... die Wahrscheinlichkeit wird nicht größer als in einer Situation, in der Sie die Tür erraten hätten und der Gastgeber Ihnen gezeigt hätte, was sich hinter dieser Tür befindet, ohne die Möglichkeit, eine andere Tür zu wählen! Der Sinn der Option, eine andere Tür zu wählen, liegt also nicht darin, die Wahrscheinlichkeit zu ändern, sondern den Entscheidungsprozess im Fernsehen unterhaltsamer zu gestalten.

Das ist übrigens einer der Gründe, warum Poker so interessant sein kann: In den meisten Formaten werden zwischen den Runden, wenn Wetten getätigt werden (z. B. Flop, Turn und River bei Texas Hold'em), die Karten nach und nach aufgedeckt , und wenn Sie zu Beginn des Spiels eine Gewinnwahrscheinlichkeit haben, ändert sich diese Wahrscheinlichkeit nach jeder Setzrunde, wenn mehr Karten offen sind.

Jungen- und Mädchen-Paradoxon

Das bringt uns zu einem weiteren bekannten Paradoxon, das alle vor ein Rätsel stellt, das Junge-Mädchen-Paradoxon. Das einzige, worüber ich heute schreibe, hat nichts mit Spielen zu tun (obwohl ich vermute, dass das nur bedeutet, dass ich Sie dazu drängen sollte, die entsprechende Spielmechanik zu entwickeln). Dies ist eher ein Rätsel, aber ein interessantes, und um es zu lösen, müssen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit verstehen, über die wir oben gesprochen haben.

Aufgabe: Ich habe einen Freund mit zwei Kindern, mindestens ein das Kind ist ein Mädchen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind zu Mädchen? Nehmen wir an, dass in jeder Familie die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen oder einen Jungen zu bekommen, 50/50 ist und dies für jedes Kind gilt (tatsächlich haben einige Männer mehr Spermien in den Spermien mit einem X-Chromosom oder einem Y-Chromosom, also die Wahrscheinlichkeit ändert sich leicht, wenn Sie wissen, dass ein Kind ein Mädchen ist, ist die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen zu bekommen, etwas höher, außerdem gibt es andere Bedingungen, zum Beispiel Hermaphroditismus, aber um dieses Problem zu lösen, werden wir dies nicht berücksichtigen und davon ausgehen die Geburt eines Kindes ein unabhängiges Ereignis ist und die Wahrscheinlichkeit, einen Jungen oder ein Mädchen zu bekommen, gleich ist).

Da wir von einer 1/2-Chance sprechen, erwarten wir intuitiv, dass die Antwort wahrscheinlich 1/2 oder 1/4 oder eine andere runde Zahl ist, die ein Vielfaches von 2 ist. Aber die Antwort lautet: 1/3 . Warten Sie, warum?

Die Schwierigkeit in diesem Fall besteht darin, dass die Informationen, die wir haben, die Anzahl der Möglichkeiten verringern. Angenommen, Eltern sind Sesamstraßen-Fans und nennen ihre Kinder unabhängig davon, ob das Kind als Junge oder Mädchen geboren wurde, A und B. Unter normalen Umständen gibt es vier gleichwahrscheinliche Möglichkeiten: A und B sind zwei Jungen, A und B sind es zwei Mädchen, A ist ein Junge und B ist ein Mädchen, A ist ein Mädchen und B ist ein Junge. Da wir das wissen mindestens ein das Kind ein Mädchen ist, können wir die Möglichkeit ausschließen, dass A und B zwei Jungen sind, was uns drei (noch gleich wahrscheinliche) Möglichkeiten lässt. Wenn alle Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind und es drei davon gibt, wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit für jede von ihnen 1/3 beträgt. Nur bei einer dieser drei Optionen sind beide Kinder zwei Mädchen, also lautet die Antwort 1/3.

Und wieder über das Paradoxon eines Jungen und eines Mädchens

Die Lösung des Problems wird noch unlogischer. Stellen Sie sich vor, ich sage Ihnen, dass mein Freund zwei Kinder und ein Kind hat - Mädchen am Dienstag geboren. Angenommen, unter normalen Bedingungen ist die Wahrscheinlichkeit, an einem der sieben Wochentage ein Kind zu bekommen, gleich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind ebenfalls ein Mädchen ist? Sie könnten denken, dass die Antwort immer noch 1/3 wäre; Welche Bedeutung hat der Dienstag? Aber in diesem Fall versagt uns die Intuition. Antworten: 13/27 das ist nicht nur nicht intuitiv, es ist sehr seltsam. Was ist los in diesem Fall?

Tatsächlich ändert Dienstag die Wahrscheinlichkeit, weil wir es nicht wissen die Baby wurde am Dienstag oder möglicherweise geboren zwei Kinder wurden an einem Dienstag geboren. In diesem Fall verwenden wir die gleiche Logik wie oben, wir zählen alle möglichen Kombinationen, wenn mindestens ein Kind ein Mädchen ist, das am Dienstag geboren wurde. Angenommen, die Kinder heißen wie im vorherigen Beispiel A und B, die Kombinationen sind wie folgt:

• A ist ein Mädchen, das am Dienstag geboren wurde, B ist ein Junge (in dieser Situation gibt es 7 Möglichkeiten, eine für jeden Wochentag, an dem ein Junge geboren werden könnte).
• B ist ein am Dienstag geborenes Mädchen, A ein Junge (ebenfalls 7 Möglichkeiten).
• A ist ein Mädchen, das am Dienstag geboren wurde, B ist ein Mädchen, das am geboren wurde Ein weiterer Wochentag (6 Möglichkeiten).
• B ist ein Mädchen, das am Dienstag geboren wurde, A ist ein Mädchen, das nicht am Dienstag geboren wurde (ebenfalls 6 Wahrscheinlichkeiten).
• A und B sind zwei Mädchen, die am Dienstag geboren wurden (1 Möglichkeit, darauf musst du achten, um nicht doppelt zu zählen).

Wir summieren und erhalten 27 verschiedene gleichermaßen mögliche Kombinationen von Geburten von Kindern und Tagen mit mindestens einer Möglichkeit, dass am Dienstag ein Mädchen geboren wird. Davon sind 13 Möglichkeiten, wenn zwei Mädchen geboren werden. Es sieht auch völlig unlogisch aus, und es scheint, dass diese Aufgabe nur erstellt wurde, um Kopfschmerzen zu verursachen. Wenn Sie dieses Beispiel immer noch verwirrt, hat der Spieltheoretiker Jesper Juhl auf seiner Website eine gute Erklärung der Angelegenheit.

Wenn Sie gerade an einem Spiel arbeiten...

Wenn das Spiel, das Sie entwerfen, zufällig ist, ist dies eine großartige Gelegenheit, es zu analysieren. Wählen Sie ein beliebiges Element aus, das Sie analysieren möchten. Fragen Sie sich zunächst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für dieses Element nach Ihren Vorstellungen ist, was es Ihrer Meinung nach im Kontext des Spiels sein sollte. Wenn Sie beispielsweise ein Rollenspiel erstellen und darüber nachdenken, wie wahrscheinlich es für einen Spieler sein sollte, ein Monster im Kampf zu besiegen, fragen Sie sich, welcher Gewinnprozentsatz sich für Sie richtig anfühlt. Normalerweise sind die Spieler beim Spielen von Konsolen-Rollenspielen sehr frustriert, wenn sie verlieren, also ist es besser, dass sie nicht oft verlieren ... vielleicht 10 % der Zeit oder weniger? Wenn Sie ein RPG-Designer sind, wissen Sie es wahrscheinlich besser als ich, aber Sie müssen eine grundlegende Vorstellung davon haben, wie hoch die Wahrscheinlichkeit sein sollte.

Dann fragen Sie sich, ob das etwas ist abhängig(wie Karten) oder unabhängig(wie Würfel). Diskutieren Sie alle möglichen Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten. Achten Sie darauf, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 100 % ergibt. Abschließend vergleichen Sie natürlich Ihre Ergebnisse mit Ihren Erwartungen. Ob die Würfel gewürfelt oder die Karten so gezogen werden, wie Sie es beabsichtigt haben oder Sie sehen, dass Sie die Werte anpassen müssen. Und natürlich, wenn Sie finden was angepasst werden muss, können Sie die gleichen Berechnungen verwenden, um zu bestimmen, wie viel angepasst werden muss!

Hausaufgaben

Ihre „Hausaufgaben“ in dieser Woche werden Ihnen helfen, Ihre Wahrscheinlichkeitsfähigkeiten zu verbessern. Hier sind zwei Würfelspiele und ein Kartenspiel, die Sie anhand der Wahrscheinlichkeit analysieren, sowie eine seltsame Spielmechanik, die ich einmal entwickelt habe, an der Sie die Monte-Carlo-Methode testen werden.

Spiel Nr. 1 – Drachenknochen

Dies ist ein Würfelspiel, das meine Kollegen und ich uns einst ausgedacht haben (Dank an Jeb Havens und Jesse King!) und das die Leute mit seinen Wahrscheinlichkeiten bewusst umhaut. Dies ist ein einfaches Casino-Spiel namens "Dragon Bones", und es ist ein Glücksspiel-Würfelwettbewerb zwischen dem Spieler und dem Establishment. Du erhältst einen normalen 1W6-Würfel. Das Ziel des Spiels ist es, eine höhere Zahl als die des Hauses zu würfeln. Tom erhält einen nicht standardmäßigen 1W6 – derselbe wie deiner, aber anstelle einer Eins auf einer Seite – das Bild eines Drachen (daher hat das Casino einen Drachen-2-3-4-5-6-Würfel). Wenn die Institution einen Drachen bekommt, gewinnt sie automatisch und Sie verlieren. Wenn Sie beide die gleiche Zahl bekommen, ist es ein Unentschieden und Sie würfeln erneut. Derjenige, der die höchste Zahl würfelt, gewinnt.

Natürlich geht nicht alles zu Gunsten des Spielers aus, denn das Casino hat einen Vorteil in Form des Drachengesichtes. Aber ist es wirklich so? Sie müssen es berechnen. Aber vorher prüfen Sie Ihre Intuition. Nehmen wir an, der Gewinn ist 2 zu 1. Wenn Sie also gewinnen, behalten Sie Ihren Einsatz und erhalten den doppelten Betrag. Wenn Sie beispielsweise 1 $ setzen und gewinnen, behalten Sie diesen Dollar und erhalten 2 weitere $ oben drauf, also insgesamt 3 $. Wenn Sie verlieren, verlieren Sie nur Ihren Einsatz. Würdest du spielen? Haben Sie also intuitiv das Gefühl, dass die Wahrscheinlichkeit größer als 2 zu 1 ist, oder denken Sie immer noch, dass sie geringer ist? Mit anderen Worten: Erwarten Sie im Durchschnitt über 3 Spiele, mehr als einmal oder weniger oder einmal zu gewinnen?

Sobald Sie sich mit Ihrer Intuition auseinandergesetzt haben, wenden Sie die Mathematik an. Es gibt nur 36 mögliche Positionen für beide Würfel, sodass Sie sie alle leicht zählen können. Wenn Sie sich bei diesem 2-zu-1-Angebot nicht sicher sind, bedenken Sie Folgendes: Nehmen wir an, Sie haben das Spiel 36 Mal gespielt (wobei Sie jedes Mal 1 $ gesetzt haben). Für jeden Gewinn erhalten Sie $2, für jeden Verlust verlieren Sie $1, und ein Unentschieden ändert nichts. Zählen Sie alle Ihre wahrscheinlichen Gewinne und Verluste und entscheiden Sie, ob Sie ein paar Dollar verlieren oder gewinnen werden. Dann fragen Sie sich, wie richtig Ihre Intuition sich herausgestellt hat. Und dann – erkenne, was für ein Bösewicht ich bin.

Und ja, falls Sie bereits über diese Frage nachgedacht haben – ich verwirre Sie absichtlich, indem ich die wirkliche Mechanik von Würfelspielen verzerre, aber ich bin sicher, dass Sie dieses Hindernis mit nur einem guten Gedanken überwinden können. Versuchen Sie, dieses Problem selbst zu lösen. Alle Antworten werde ich nächste Woche hier posten.

Spiel Nr. 2 – Glücksbringer

Dies ist ein Würfelspiel namens Lucky Roll (auch Birdcage genannt, weil die Würfel manchmal nicht gerollt, sondern in einem großen Drahtkäfig platziert werden, ähnlich dem Bingo-Käfig). Es ist ein einfaches Spiel, das etwa so abläuft: Setzen Sie, sagen wir, $1 auf eine Zahl zwischen 1 und 6. Dann würfeln Sie 3W6. Für jeden Würfel, der Ihre Zahl trifft, erhalten Sie $1 (und behalten Ihren ursprünglichen Einsatz). Wenn Ihre Zahl auf keinem der Würfel landet, bekommt das Casino Ihren Dollar und Sie bekommen nichts. Wenn Sie also auf 1 setzen und dreimal eine 1 auf dem Gesicht sehen, erhalten Sie 3 $.

Intuitiv scheinen die Chancen in diesem Spiel ausgeglichen zu sein. Jeder Würfel ist eine individuelle 1 zu 6-Gewinnchance, also ist die Summe aller drei 3 zu 6. Denken Sie jedoch natürlich daran, dass Sie drei separate Würfel hinzufügen, und Sie dürfen nur hinzufügen, wenn wir es sind sprechen über separate Gewinnkombinationen der gleichen Würfel. Etwas, das Sie multiplizieren müssen.

Wenn Sie alle möglichen Ergebnisse berechnet haben (in Excel ist dies wahrscheinlich einfacher als von Hand, es gibt 216 davon), sieht das Spiel auf den ersten Blick immer noch gerade-ungerade aus. Aber in Wirklichkeit ist es immer noch wahrscheinlicher, dass das Casino gewinnt – wie viel mehr? Insbesondere, wie viel Geld erwarten Sie durchschnittlich pro Spielrunde zu verlieren? Alles, was Sie tun müssen, ist, die Gewinne und Verluste aller 216 Ergebnisse zu addieren und dann durch 216 zu dividieren, was ziemlich einfach sein sollte … Aber wie Sie sehen, gibt es ein paar Fallen, in die Sie tappen können, weshalb ich es Ihnen sage : Wenn Sie glauben, dass dieses Spiel eine ausgeglichene Gewinnchance hat, liegen Sie falsch.

Spiel Nr. 3 – 5 Card Stud

Wenn Sie sich bereits mit früheren Spielen aufgewärmt haben, überprüfen wir am Beispiel dieses Kartenspiels, was wir über bedingte Wahrscheinlichkeiten wissen. Stellen wir uns insbesondere Poker mit einem Deck aus 52 Karten vor. Stellen wir uns auch 5 Card Stud vor, wo jeder Spieler nur 5 Karten bekommt. Sie können keine Karte abwerfen, Sie können keine neue ziehen, kein gemeinsames Deck - Sie erhalten nur 5 Karten.

Ein Royal Flush ist 10-J-Q-K-A in einer Kombination, also insgesamt vier, also gibt es vier Möglichkeiten, einen Royal Flush zu bekommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine dieser Kombinationen erhalten.

Ich möchte Sie vor einem warnen: Denken Sie daran, dass Sie diese fünf Karten in beliebiger Reihenfolge ziehen können. Das heißt, zuerst können Sie ein Ass oder eine Zehn ziehen, es spielt keine Rolle. Denken Sie bei der Berechnung also daran, dass es tatsächlich mehr als vier Möglichkeiten gibt, einen Royal Flush zu erhalten, vorausgesetzt, die Karten wurden der Reihe nach ausgeteilt!

Spiel Nr. 4 – IWF-Lotterie

Die vierte Aufgabe wird mit den Methoden, über die wir heute gesprochen haben, nicht so einfach zu lösen sein, aber Sie können die Situation leicht mit Programmierung oder Excel simulieren. Am Beispiel dieses Problems können Sie die Monte-Carlo-Methode ausarbeiten.

Ich habe vorhin das Spiel „Chron X“ erwähnt, an dem ich einmal gearbeitet habe, und es gab eine sehr interessante Karte – die IMF-Lotterie. So funktionierte es: Sie haben es in einem Spiel verwendet. Nach Ende der Runde wurden die Karten neu verteilt und es bestand eine Chance von 10 %, dass die Karte aus dem Spiel war und ein zufälliger Spieler 5 von jeder Art von Ressource erhielt, auf der sich ein Token befand. Eine Karte wurde ohne einen einzigen Spielstein ins Spiel gebracht, aber jedes Mal, wenn sie zu Beginn der nächsten Runde im Spiel blieb, erhielt sie einen Spielstein. Es bestand also eine Chance von 10 %, dass Sie sie ins Spiel bringen würden, die Runde würde enden, die Karte würde das Spiel verlassen und niemand würde etwas bekommen. Wenn dies nicht der Fall ist (mit einer Chance von 90 %), besteht eine Chance von 10 % (eigentlich 9 %, da das 10 % von 90 % sind), dass sie das Spiel in der nächsten Runde verlässt und jemand 5 Ressourcen erhält. Wenn die Karte das Spiel nach einer Runde verlässt (10 % der verfügbaren 81 %, also 8,1 % Chance), erhält jemand 10 Einheiten, eine weitere Runde – 15, weitere 20 und so weiter. Frage: Wie hoch ist der erwartete Wert der Anzahl an Ressourcen, die Sie von dieser Karte erhalten, wenn sie das Spiel endgültig verlässt?

Normalerweise würden wir versuchen, dieses Problem zu lösen, indem wir die Möglichkeit jedes Ergebnisses finden und mit der Anzahl aller Ergebnisse multiplizieren. Es besteht also eine Wahrscheinlichkeit von 10 %, dass Sie 0 erhalten (0,1*0 = 0). 9%, dass Sie 5 Ressourcen erhalten (9%*5 = 0,45 Ressourcen). 8,1 % von dem, was Sie erhalten, sind 10 (8,1 % * 10 = 0,81 Gesamtressourcen, erwarteter Wert). Usw. Und dann würden wir alles zusammenfassen.

Und jetzt ist das Problem für Sie offensichtlich: Es besteht immer die Möglichkeit, dass die Karte nicht verlässt das Spiel, damit sie im Spiel bleiben kann für immer und ewig, für unendlich viele Runden, damit die Rechenmöglichkeiten jede Möglichkeit existiert nicht. Die Methoden, die wir heute gelernt haben, erlauben es uns nicht, die unendliche Rekursion zu berechnen, also müssen wir sie künstlich erzeugen.

Wenn Sie gut genug im Programmieren sind, schreiben Sie ein Programm, das diese Karte simuliert. Sie sollten eine Zeitschleife haben, die die Variable auf die Anfangsposition Null bringt, eine Zufallszahl anzeigt und mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % die Variable die Schleife verlässt. Andernfalls wird der Variablen 5 hinzugefügt und die Schleife wird wiederholt. Wenn es die Schleife schließlich verlässt, erhöhen Sie die Gesamtzahl der Testläufe um 1 und die Gesamtzahl der Ressourcen (um wie viel hängt davon ab, wo die Variable aufgehört hat). Setzen Sie dann die Variable zurück und beginnen Sie von vorne. Führen Sie das Programm mehrere tausend Mal aus. Teilen Sie schließlich die Gesamtressourcen durch die Gesamtzahl der Läufe, und dies ist Ihr erwarteter Monte-Carlo-Wert. Führen Sie das Programm einige Male aus, um sicherzustellen, dass die Zahlen, die Sie erhalten, ungefähr gleich sind; Wenn die Streuung immer noch groß ist, erhöhen Sie die Anzahl der Wiederholungen in der äußeren Schleife, bis Sie beginnen, Übereinstimmungen zu erhalten. Sie können sicher sein, dass die Zahlen, die Sie am Ende erhalten, ungefähr korrekt sind.

Wenn Sie neu in der Programmierung sind (oder auch wenn Sie es sind), ist hier eine kleine Übung, um Ihre Excel-Kenntnisse aufzuwärmen. Wenn Sie Spieledesigner sind, sind Excel-Kenntnisse nie überflüssig.

Jetzt werden Ihnen die IF- und RAND-Funktionen sehr nützlich sein. RAND benötigt keine Werte, es erzeugt nur eine zufällige Dezimalzahl zwischen 0 und 1. Wir kombinieren es normalerweise mit FLOOR und Plus und Minus, um einen Würfelwurf zu simulieren, den ich bereits erwähnt habe. In diesem Fall lassen wir jedoch nur eine Wahrscheinlichkeit von 10 %, dass die Karte das Spiel verlässt, sodass wir einfach prüfen können, ob der RAND-Wert kleiner als 0,1 ist, und uns darüber keine Gedanken mehr machen müssen.

IF hat drei Bedeutungen. Der Reihe nach die Bedingung, die entweder wahr ist oder nicht, dann der Wert, der zurückgegeben wird, wenn die Bedingung wahr ist, und der Wert, der zurückgegeben wird, wenn die Bedingung falsch ist. Die folgende Funktion gibt also 5 % der Zeit zurück und 0 die anderen 90 % der Zeit:
=IF(RAND()<0.1,5,0)

Es gibt viele Möglichkeiten, diesen Befehl festzulegen, aber ich würde diese Formel für die Zelle verwenden, die die erste Runde darstellt, sagen wir, es ist Zelle A1:

WENN (RAND()<0.1,0,-1)

Hier verwende ich eine negative Variable, die bedeutet „diese Karte hat das Spiel nicht verlassen und noch keine Ressourcen gegeben“. Wenn also die erste Runde vorbei ist und die Karte aus dem Spiel ist, ist A1 0; andernfalls ist es -1.

Für die nächste Zelle, die die zweite Runde darstellt:

WENN(A1>-1, A1, WENN(RAND())<0.1,5,-1))

Wenn also die erste Runde endete und die Karte das Spiel sofort verlassen hat, ist A1 0 (Anzahl der Ressourcen) und diese Zelle kopiert einfach diesen Wert. Andernfalls ist A1 -1 (die Karte hat das Spiel noch nicht verlassen) und diese Zelle setzt ihre zufällige Bewegung fort: 10 % der Zeit gibt sie 5 Ressourceneinheiten zurück, die restliche Zeit ist ihr Wert immer noch -1 . Wenn wir diese Formel auf zusätzliche Zellen anwenden, erhalten wir zusätzliche Runden, und egal welche Zelle Sie am Ende haben, Sie erhalten das Endergebnis (oder -1, wenn die Karte das Spiel nach all den von Ihnen gespielten Runden nicht verlassen hat).

Nehmen Sie diese Reihe von Zellen, die die einzige Runde mit dieser Karte ist, und kopieren Sie ein paar hundert (oder tausende) Reihen und fügen Sie sie ein. Das können wir vielleicht nicht endlos Test für Excel (es gibt eine begrenzte Anzahl von Zellen in der Tabelle), aber zumindest können wir die meisten Fälle abdecken. Wählen Sie dann eine Zelle aus, in die Sie den Durchschnitt der Ergebnisse aller Runden eingeben (Excel stellt freundlicherweise die Funktion AVERAGE() dafür zur Verfügung).

Unter Windows können Sie zumindest F9 drücken, um alle Zufallszahlen neu zu berechnen. Führen Sie dies wie zuvor einige Male durch und prüfen Sie, ob die Werte, die Sie erhalten, gleich sind. Wenn die Streuung zu groß ist, verdoppeln Sie die Anzahl der Läufe und versuchen Sie es erneut.

Ungelöste Probleme

Wenn Sie zufällig einen Abschluss in Wahrscheinlichkeit haben und die obigen Probleme zu einfach für Sie erscheinen, sind hier zwei Probleme, über die ich mir seit Jahren den Kopf zerbreche, aber leider bin ich nicht gut in Mathe, um sie zu lösen. Wenn ihr plötzlich die Lösung wisst, dann postet sie doch bitte hier in die Kommentare, ich werde sie gerne lesen.

Ungelöstes Problem Nr. 1: LotterieIWF

Das erste ungelöste Problem ist die vorherige Hausaufgabe. Ich kann die Monte-Carlo-Methode (mit C++ oder Excel) problemlos anwenden und mir der Antwort auf die Frage „wie viele Ressourcen erhält der Spieler“ sicher sein, aber ich weiß nicht genau, wie ich mathematisch eine exakt beweisbare Antwort liefern soll (dies ist eine unendliche Reihe). Wenn Sie die Antwort wissen, posten Sie sie hier ... natürlich nachdem Sie Monte Carlo überprüft haben.

Ungelöstes Problem Nr. 2: Formsequenzen

Diese Aufgabe (und wieder geht sie weit über die in diesem Blog gelösten Aufgaben hinaus) wurde mir vor mehr als 10 Jahren von einem vertrauten Spieler zugeworfen. Er bemerkte eine interessante Eigenschaft, als er in Vegas Blackjack spielte: Als er Karten aus einem 8-Deck-Schuh herausnahm, sah er zehn Zahlen in einer Reihe (eine Figur oder Figurenkarte - 10, Joker, König oder Königin, also gibt es 16 davon in einem Standarddeck mit 52 Karten, also gibt es 128 davon in einem Schuh mit 416 Karten). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in diesem Schuh wenigstens eine Folge von zehn oder mehr Zahlen? Nehmen wir an, sie wurden ehrlich und in zufälliger Reihenfolge gemischt. (Oder, wenn Sie es vorziehen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nirgendwo gefunden eine Folge von zehn oder mehr Ziffern?)

Wir können die Aufgabe vereinfachen. Hier ist eine Sequenz von 416 Teilen. Jeder Teil ist 0 oder 1. Es gibt 128 Einsen und 288 Nullen, die zufällig über die Sequenz verteilt sind. Wie viele Möglichkeiten gibt es, zufällig 128 Einsen mit 288 Nullen zu verschachteln, und wie oft wird es auf diese Weise mindestens eine Gruppe von zehn oder mehr Einsen geben?

Jedes Mal, wenn ich diese Aufgabe übernahm, erschien es mir einfach und selbstverständlich, aber sobald ich mich mit den Details befasste, fiel es plötzlich auseinander und erschien mir einfach unmöglich. Beeilen Sie sich also nicht, mit der Antwort herauszuplatzen: Setzen Sie sich hin, denken Sie sorgfältig nach, untersuchen Sie die Bedingungen des Problems, versuchen Sie, reelle Zahlen einzusetzen, denn alle Leute, mit denen ich über dieses Problem gesprochen habe (einschließlich mehrerer Doktoranden, die auf diesem Gebiet arbeiten) reagierte auf die gleiche Weise: "Es ist ziemlich offensichtlich ... oh nein, warte, überhaupt nicht offensichtlich." Dies ist genau der Fall, für den ich keine Methode habe, um alle Optionen zu berechnen. Ich könnte das Problem sicherlich durch einen Computeralgorithmus brutal erzwingen, aber es wäre viel interessanter, den mathematischen Weg zu kennen, um dieses Problem zu lösen.

Übersetzung - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

Die gebräuchlichste Form ist die Form eines Würfels, auf dessen Seiten die Zahlen von eins bis sechs abgebildet sind. Der Spieler, der es auf eine ebene Fläche wirft, sieht das Ergebnis auf der Oberseite. Knochen sind ein echtes Sprachrohr für Zufall, Glück oder Pech.

Unfall.
Würfel (Knochen) gibt es schon seit langer Zeit, aber die traditionell gewordene sechseckige Form wurde um 2600 v. e. Die alten Griechen liebten das Würfelspiel, und in ihren Legenden wird der von Odysseus zu Unrecht des Verrats angeklagte Held Palamedes als ihr Erfinder erwähnt. Der Legende nach erfand er dieses Spiel, um die Soldaten zu unterhalten, die Troja belagerten und dank eines riesigen Holzpferdes gefangen genommen wurden. Auch die Römer zur Zeit Julius Cäsars unterhielten sich mit diversen Würfelspielen. Im Lateinischen hieß der Würfel datum, was „gegeben“ bedeutet.

Verbote.
Im Mittelalter, um das 12. Jahrhundert herum, erfreuten sich Würfel in Europa großer Beliebtheit: Würfel, die man überall hin mitnehmen kann, sind sowohl bei Kriegern als auch bei Bauern beliebt. Es wird gesagt, dass es über sechshundert verschiedene Spiele gab! Die Herstellung von Würfeln wird zu einem eigenen Beruf. König Ludwig IX. (1214-1270), der vom Kreuzzug zurückkehrte, billigte das Glücksspiel nicht und ordnete ein Verbot der Würfelproduktion im ganzen Königreich an. Mehr als das Spiel selbst waren die Behörden mit den damit verbundenen Unruhen unzufrieden – damals wurde hauptsächlich in Kneipen gespielt und Partys endeten oft in Schlägereien und Messerstechereien. Aber keine Verbote hinderten die Würfel daran, die Zeit zu überdauern und bis heute zu überleben.

Knochen mit einer "Ladung"!
Das Ergebnis eines Würfelwurfs wird immer vom Zufall bestimmt, aber einige Betrüger versuchen, dies zu ändern. Indem ein Loch in die Matrize gebohrt und Blei oder Quecksilber hineingegossen wird, kann sichergestellt werden, dass die Walze jedes Mal das gleiche Ergebnis liefert. Ein solcher Würfel wird als "geladen" bezeichnet. Hergestellt aus verschiedenen Materialien, ob Gold, Stein, Kristall, Knochen, Würfel können verschiedene Formen haben. Kleine Würfel in Form einer Pyramide (Tetraeder) wurden in den Gräbern der ägyptischen Pharaonen gefunden, die die großen Pyramiden bauten! Zu verschiedenen Zeiten wurden Knochen mit 8, 10, 12, 20 und sogar 100 Seiten hergestellt. In der Regel werden sie mit Zahlen versehen, aber an ihrer Stelle können auch Buchstaben oder Bilder erscheinen, die der Fantasie Raum geben.

Wie man die Würfel wirft.
Würfel gibt es nicht nur in verschiedenen Formen, sondern auch in verschiedenen Spielweisen. Die Regeln einiger Spiele verlangen, dass der Wurf auf eine bestimmte Weise geworfen wird, normalerweise um einen berechneten Wurf zu vermeiden oder um zu verhindern, dass der Würfel in einer geneigten Position zur Ruhe kommt. Manchmal ist ein spezielles Glas an ihnen befestigt, um zu verhindern, dass sie schummeln oder vom Spieltisch fallen. Beim englischen Crêpe-Spiel müssen unbedingt alle drei Würfel den Spieltisch oder die Wand treffen, um zu verhindern, dass Betrüger einen Wurf imitieren, indem sie die Würfel nur verschieben, aber nicht drehen.

Zufall und Wahrscheinlichkeit.
Der Würfel gibt immer ein zufälliges Ergebnis, das nicht vorhergesagt werden kann. Mit einem Würfel hat der Spieler genauso viele Möglichkeiten, eine 1 zu würfeln wie eine 6 – alles wird durch den Zufall bestimmt. Andererseits sinkt bei zwei Würfeln der Grad der Zufälligkeit, da der Spieler mehr Informationen über das Ergebnis hat: Beispielsweise kann bei zwei Würfeln die Zahl 7 auf mehrere Arten erhalten werden - durch Würfeln von 1 und 6, 5 und 2, oder 4 und 3 ... Aber die Möglichkeit, die Zahl 2 zu bekommen, ist nur eine: zweimal eine 1 zu werfen, also ist die Wahrscheinlichkeit, eine 7 zu bekommen, höher als eine 2! Nennt sich Wahrscheinlichkeitstheorie. Viele Spiele sind mit diesem Prinzip verbunden, insbesondere Cash Games.

Über die Verwendung von Würfeln.
Dice kann ein eigenständiges Spiel ohne andere Elemente sein. Das einzige, was es praktisch nicht gibt, sind Spiele für einen einzelnen Würfel. Die Regeln verlangen mindestens zwei (z. B. Krepp). Zum Würfelpoker braucht man fünf Würfel, einen Stift und Papier. Das Ziel ist es, Kombinationen einzugeben, die den Kombinationen des gleichnamigen Kartenspiels ähneln, und Punkte für sie in einer speziellen Tabelle zu vermerken. Darüber hinaus ist der Würfel ein sehr beliebtes Teil für Brettspiele, mit dem Sie Chips verschieben oder über den Ausgang von Spielkämpfen entscheiden können.

Der Würfel ist gegossen.
Im Jahr 49 v. e. Der junge Julius Cäsar eroberte Gallien und kehrte nach Pompeji zurück. Aber seine Macht wurde von den Senatoren gefürchtet, die beschlossen, seine Armee aufzulösen, bevor er zurückkehrte. Der zukünftige Kaiser, der an den Grenzen der Republik angekommen ist, beschließt, gegen die Ordnung zu verstoßen, indem er sie mit der Armee überquert. Bevor er den Rubikon (den Grenzfluss) überquerte, sagte er zu seinen Legionären „Alea jacta est“ („Die Würfel sind gefallen“). Dieses Sprichwort ist zu einem Schlagwort geworden, dessen Bedeutung darin besteht, dass es wie im Spiel nach einigen Entscheidungen nicht mehr möglich ist, einen Rückzieher zu machen.

Methode der musikalischen Komposition mit losem Tontext; als eigenständige Art des Komponierens im 20. Jahrhundert Gestalt annahm. A. bedeutet den vollständigen oder teilweisen Verzicht des Komponisten auf die strenge Kontrolle über den Notentext oder sogar die Eliminierung der eigentlichen Kategorie des Komponisten-Autors im traditionellen Sinne. Die Innovation von A. liegt in der Korrelation feststehender Bestandteile eines musikalischen Textes mit bewusst eingebrachter Zufälligkeit, willkürlicher Beweglichkeit musikalischer Materie. Der Begriff A. kann sich sowohl auf die allgemeine Anordnung der Teile der Komposition (auf die Form) als auch auf die Struktur ihres Gewebes beziehen. Wiedersehen. Denisov, Die Wechselwirkung zwischen der Stabilität und Beweglichkeit von Stoff und Form ergibt 4 Haupttypen der Kombination, von denen drei - 2., 3. und 4. - aleatorisch sind: 1. Stabiler Stoff - stabile Form (übliche traditionelle Komposition, opus perfectum et absolutum; als, zum Beispiel 6 Symphonien von Tschaikowsky); 2. Stabiler Stoff - mobile Form; nach V. Lutoslavs, „A. Formen“ (P. Boulez, 3. Sonate für Klavier, 1957); 3. Mobilgewebe - formstabil; oder, laut Lutoslavsky, „A. Texturen“ (Lutoslavsky, Streichquartett, 1964, Hauptsatz); 4. Mobilgewebe – mobile Form; oder ein. Käfig"(mit kollektiver Improvisation mehrerer Performer). Dies sind die Knotenpunkte der A.-Methode, um die sich viele verschiedene spezifische Arten und Fälle von Strukturen befinden, verschiedene Grade des Eintauchens in A.; daneben sind auch metabolas („modulationen“) natürlich – der übergang von einem typ oder typ zu einem anderen, auch zu einem stabilen text oder von ihm.

A. ist seit den 1950er Jahren weit verbreitet und erscheint (zusammen mit Sonorik), insbesondere als Reaktion auf die extreme Versklavung der musikalischen Struktur im Multiparameter-Serialismus (siehe: Dodekaphonie). Inzwischen hat das Prinzip der Freiheit der Struktur auf die eine oder andere Weise uralte Wurzeln. Im Wesentlichen ist der Klangstrom und kein einzigartig strukturiertes Werk Volksmusik. Daher die Instabilität, das "Non-Opus" der Volksmusik, die Variation, die Varianz und die Improvisation darin. Unvorhersehbarkeit, Improvisation der Form sind charakteristisch für die traditionelle Musik Indiens, der Völker des Fernen Ostens und Afrikas. Daher setzen Vertreter von A. aktiv und bewusst auf die wesentlichen Prinzipien der orientalischen und volkstümlichen Musik. Pfeilelemente gab es auch in der europäischen klassischen Musik. Bei den Wiener Klassikern beispielsweise, die das Prinzip des Generalbasses beseitigten und den Notentext völlig stabil machten (Symphonien und Quartette von I. Haydn), war ein scharfer Kontrast die "Kadenz" in Form eines Instrumentalkonzerts - a virtuoses Solo, dessen Teil nicht vom Komponisten komponiert, sondern nach Ermessen des Interpreten bereitgestellt wurde (Element A. Form). Komische „aleatorische“ Methoden zum Komponieren einfacher Stücke (Menuette) durch Kombinieren von Musikstücken auf Würfeln (Würfelspiel) sind in der Zeit von Haydn und Mozart bekannt (Abhandlung von I.F. Kirnberger „Jederzeit ein fertiger Komponist von Polonaisen und Menuetten“ Berlin 1757).

Im XX Jahrhundert. das Prinzip des "individuellen Projekts" in der Form begann die Zulässigkeit von Textfassungen der Arbeit (d.h. A.) nahe zu legen. 1907 der amerikanische Komponist C. Ives komponierte das Klavierquintett „Hallwe“ en (= „Allerheiligen“), dessen Text bei der Aufführung in einem Konzert viermal hintereinander unterschiedlich gespielt werden sollte. D. Käfig 1951 komponiert „Music of Changes“ für Klavier, dessen Text er durch „manipulierende Zufälle“ (die Worte des Komponisten) kompilierte, wobei er dafür das chinesische „Book of Changes“ verwendete. Klasse-

Beispiel A. - "Klavierstück XI" von K. Stockhausen, 1957. Auf einem Blatt Papier ca. 0,5 qm in zufälliger Reihenfolge sind 19 Musikfragmente. Der Pianist beginnt mit einem von ihnen und spielt sie in zufälliger Reihenfolge, einem flüchtigen Blick folgend; Am Ende der vorherigen Passage steht geschrieben, in welchem ​​Tempo und in welcher Lautstärke die nächste gespielt werden soll. Wenn es dem Pianisten so vorkommt, als hätte er bereits alle Fragmente auf diese Weise gespielt, sollten sie noch einmal in derselben zufälligen Reihenfolge, aber in hellerer Klangfarbe gespielt werden. Nach der zweiten Runde endet das Spiel. Für eine größere Wirkung wird empfohlen, die aleatorische Arbeit in einem Konzert zu wiederholen - dem Hörer erscheint eine andere Komposition aus demselben Material. Methode A. wird von modernen Komponisten häufig verwendet (Boulez, Stockhausen, Lutoslavsky, A. Volkonsky, Denisov, Schnittke usw.).

Eine Voraussetzung für A. im 20. Jahrhundert. neue Gesetze kamen Harmonie und die daraus entstehenden Tendenzen, nach neuen Formen zu suchen, die dem neuen Stand des musikalischen Materials entsprechen und charakteristisch sind Vorhut. Aleatorische Textur war vor der Emanzipation völlig undenkbar Dissonanz Entwicklung der atonalen Musik (siehe: Dodekaphonie). Ein Befürworter von „begrenzt und kontrolliert“ A. Lutoslavsky sieht darin einen unbestrittenen Wert: „A. eröffnete mir neue und unerwartete Perspektiven. Zuallererst - ein riesiger Rhythmusreichtum, der mit Hilfe anderer Techniken unerreichbar ist. Denisov, der die „Einführung zufälliger Elemente in die Musik“ rechtfertigt, behauptet, dass dies „uns eine große Freiheit im Umgang mit musikalischer Materie gibt und es uns ermöglicht, neue Klangeffekte zu erzielen<...>, aber Mobilitätsideen können nur dann gute Ergebnisse liefern, wenn<... >wenn die in der Mobilität verborgenen destruktiven Tendenzen nicht die für die Existenz jeder Kunstform notwendige Konstruktivität zerstören.

Einige andere Methoden und Formen der Musik überschneiden sich mit A. Das sind zunächst einmal: 1. Improvisation - Aufführung eines während des Spiels komponierten Werks; 2. Grafische Musik, die der Performer nach den visuellen Bildern der ihm vorgelegten Zeichnung (z. B. I. Brown, Folio, 1952) improvisiert, sie in Klangbilder übersetzt, oder nach den musikalischen aleatorischen Grafiken, die der Komponist aus Stücken von erstellt hat Notentext auf einem Blatt Papier (S. Bussotti, "Passion for the Garden", 1966); 3. Ereignis- improvisierte (in diesem Sinne aleatorische) Aktion (Aktie) unter Beteiligung von Musik mit willkürlicher (quasi-) Handlung (zB A. Volkonskys Happening „Replica“ des Madrigal-Ensembles in der Spielzeit 1970/71); 4. Offene Musikformen - also solche, deren Text nicht fest fixiert ist, sondern immer wieder im Aufführungsprozess gewonnen wird. Das sind Kompositionsarten, die grundsätzlich nicht geschlossen sind und eine unendliche Fortsetzung (z. B. bei jeder neuen Aufführung) zulassen, Englisch. In Arbeit. Für P. Boulez war einer der Anreize, die ihn zu einer offenen Form führten, die Arbeit von J. Joyce(„Ulysses“) und S. Mallarmé („Le Livre“). Ein Beispiel für eine offene Komposition ist Earl Browns „Available Forms II“ für 98 Instrumente und zwei Dirigenten (1962). Brown selbst weist auf die Verbindung seiner offenen Form mit „Mobiles“ in der bildenden Kunst hin (siehe: kinetische Kunst) insbesondere A. Calder ("Calder Piece" für 4 Schlagzeuger und Calder's Mobile, 1965). Schließlich ist die Aktion „Gesamtkunst“ von aleatorischen Prinzipien durchdrungen (siehe: Gesamtkunstwerk). 5. Multimedia, dessen Besonderheit die Synchronisation ist Installationen mehrere Künste (zum Beispiel: ein Konzert + eine Ausstellung von Gemälden und Skulpturen + ein Abend mit Poesie in einer beliebigen Kombination von Kunstformen usw.). Die Essenz von A. besteht also darin, die traditionell etablierte künstlerische Ordnung und das erfrischende Ferment der Unvorhersehbarkeit, des Zufalls - eine Tendenz, die für sie charakteristisch ist - in Einklang zu bringen künstlerische Kultur des 20. Jahrhunderts. allgemein u Nichtklassische Ästhetik.

Lit.: Denisov E.V. Stabile und mobile Elemente der musikalischen Form und ihr Zusammenspiel // Theoretische Probleme musikalischer Formen und Gattungen. M, 1971; Kohoutek C. Kompositionstechnik in der Musik des 20. Jahrhunderts. M, 1976; Lutoslawski V. Artikel, sei-

graue Haare, Erinnerungen. M., 1995; Boulez P. Alea// Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Mainz, 1958; Boulez R. Zu meiner III. Sonate// Ebenda, III. 1960; Schaffer B. Nowa Muzyka (1958). Krakau, 1969; Schaffer B. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). Krakau, 1975; StockhausenK. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd.l, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. Darmstadt, 1967.

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