Границата на числовата последователност. Как да докажем, че последователността се сближава? Основни свойства на конвергентните поредици Видове поредици

Дефиниране на граници на последователност и функция, свойства на граници, първи и втори забележителни граници, примери.

постоянно число аНаречен лимит последователности(x n) ако за произволно малко положително число ε > 0 съществува число N такова, че всички стойности x n, за които n>N, удовлетворяват неравенството

Запишете го по следния начин: или x n → a.

Неравенството (6.1) е еквивалентно на двойното неравенство

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, започвайки от някакво число n>N, лежат вътре в интервала (a-ε , a+ε), т.е. попадат във всяка малка ε-околност на точката а.

Последователност, която има ограничение, се нарича сближаващи се, в противен случай - дивергентен.

Концепцията за границата на функция е обобщение на концепцията за границата на последователност, тъй като границата на последователност може да се разглежда като граница на функцията x n = f(n) на целочислен аргумент н.

Нека е дадена функция f(x) и нека а - гранична точкаобластта на дефиниране на тази функция D(f), т.е. такава точка, всяка околия на която съдържа точки от множеството D(f), различни от а. точка аможе или не може да принадлежи на множеството D(f).

Определение 1.Постоянното число А се нарича лимит функции f(x) при x→ a if за произволна последователност (x n) от стойности на аргумента, клонящи към а, съответните последователности (f(x n)) имат една и съща граница A.

Това определение се нарича дефиниране на границата на функция според Хайне,или " на езика на последователностите”.

Определение 2. Постоянното число А се нарича лимит функции f(x) при x→a, ако при произволно, произволно малко положително число ε, може да се намери δ >0 (в зависимост от ε), така че за всички х, лежаща в ε-околността на числото а, т.е. за худовлетворяване на неравенството
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Това определение се нарича дефиниране на границата на функция според Коши,или “на езика ε - δ"

Определения 1 и 2 са еквивалентни. Ако функцията f(x) като x → a има лимитравно на A, това се записва като

В случай, че последователността (f(x n)) се увеличава (или намалява) за неопределено време за който и да е метод на апроксимация хдо твоя лимит а, тогава ще кажем, че функцията f(x) има безкрайна граница,и го напишете като:

Извиква се променлива (т.е. последователност или функция), чиято граница е нула безкрайно малък.

Извиква се променлива, чиято граница е равна на безкрайност безкрайно голям.

За да намерите границата на практика, използвайте следните теореми.

Теорема 1 . Ако всяка граница съществува

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Коментирайте. Изразите от вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ са неопределени, например съотношението на две безкрайно малки или безкрайно големи количества и намирането на лимит от този вид се нарича „разкриване на несигурност“.

Теорема 2.

тези. възможно е да се премине до границата в основата на степента при постоянен експонент, по-специално,

Теорема 3.

(6.11)

където д» 2.7 е основата на естествения логаритъм. Формулите (6.10) и (6.11) се наричат ​​първа забележителна граница и втора забележителна граница.

Следствията от формула (6.11) също се използват на практика:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

по-специално границата

Ако x → a и в същото време x > a, тогава напишете x →a + 0. Ако, по-специално, a = 0, тогава напишете +0 вместо символа 0+0. По същия начин, ако x→a и в същото време x и се назовават съответно. дясна границаи лява граница функции f(x) в точката а. За да съществува границата на функцията f(x) като x→ a, това е необходимо и достатъчно . Извиква се функцията f(x). непрекъснато в точката x 0, ако е ограничение

(6.15)

Условие (6.15) може да бъде пренаписано като:

т. е. преминаването до границата под знака на функция е възможно, ако тя е непрекъсната в дадена точка.

Ако равенството (6.15) е нарушено, тогава казваме това при x = xo функция f(x) То има празнина.Да разгледаме функцията y = 1/x. Домейнът на тази функция е множеството Р, с изключение на x = 0. Точката x = 0 е гранична точка на множеството D(f), тъй като в която и да е от неговите квартали, т.е. всеки отворен интервал, съдържащ точка 0, съдържа точки от D(f), но самият той не принадлежи на това множество. Стойността f(x o)= f(0) не е дефинирана, така че функцията има прекъсване в точката x o = 0.

Извиква се функцията f(x). непрекъснато вдясно в точка x o ако е ограничение

и непрекъснато вляво в точка x o ако е ограничение

Непрекъснатост на функция в точка х ое еквивалентна на неговата непрекъснатост в тази точка както отдясно, така и отляво.

За да бъде функция непрекъсната в точка х о, например, вдясно е необходимо, първо, да има краен предел , и второ, тази граница да е равна на f(x o). Следователно, ако поне едно от тези две условия не е изпълнено, тогава функцията ще има пропуск.

1. Ако границата съществува и не е равна на f(x o), тогава те казват това функция f(x) в точката xo има прекъсване от първи вид,или скок.

2. Ако границата е +∞ или -∞ или не съществува, тогава те казват, че в точках о функцията има прекъсване втори вид.

Например, функцията y = ctg x при x → +0 има граница, равна на +∞ , което означава, че в точката x=0 тя има прекъсване от втори вид. Функция y = E(x) (цяла част от х) в точки с цели абциси има прекъсвания от първи вид или скокове.

Извиква се функция, която е непрекъсната във всяка точка от интервала непрекъснатов . Непрекъсната функция се представя с плътна крива.

Много проблеми, свързани с непрекъснатия растеж на някои количества, водят до втората забележителна граница. Такива задачи например включват: нарастване на приноса според закона за сложната лихва, нарастване на населението на страната, разпадане на радиоактивно вещество, размножаване на бактерии и др.

Обмисли пример на Я. И. Перелман, което дава интерпретацията на числото дв проблема със сложната лихва. номер дима лимит . В спестовните банки лихвените пари се добавят към основния капитал ежегодно. Ако връзката се прави по-често, тогава капиталът расте по-бързо, тъй като голяма сума участва във формирането на лихва. Нека вземем чисто теоретичен, силно опростен пример. Нека банката сложи 100 ден. единици в размер на 100% годишно. Ако лихвоносните пари се добавят към основния капитал едва след една година, тогава до този момент 100 ден. единици ще се превърне в 200 ден. Сега да видим в какво ще се превърнат 100 ден. единици, ако парите за лихви се добавят към основния капитал на всеки шест месеца. След половин година 100 ден. единици ще нарасне със 100 × 1,5 = 150, а след още шест месеца - със 150 × 1,5 = 225 (парични единици). Ако присъединяването се извършва на всяка 1/3 от годината, то след година 100 ден. единици ще се превърне в 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (ден. единици). Ще увеличим срока за добавяне на пари за лихви на 0,1 година, 0,01 година, 0,001 година и т.н. След това от 100 ден. единици година по-късно:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. единици),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. единици),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. единици).

При неограничено намаляване на условията на присъединителна лихва, натрупаният капитал не нараства безкрайно, а се доближава до определен лимит, равен на приблизително 271. Капиталът, поставен на 100% годишно, не може да се увеличи повече от 2,71 пъти, дори ако натрупаните лихви са добавя към капитала всяка секунда, защото лимитът

Пример 3.1. Използвайки дефиницията на границата на числова последователност, докажете, че последователността x n =(n-1)/n има граница, равна на 1.

Решение.Трябва да докажем, че каквото и да вземем ε > 0, за него има естествено число N, така че за всички n > N неравенството |x n -1|< ε

Вземете произволно ε > 0. Тъй като x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, тогава за намиране на N е достатъчно да решите неравенството 1/n<ε. Отсюда n>1/ε и следователно N може да се приеме като цяло число от 1/ε N = E(1/ε). Така доказахме, че границата .

Решение. Приложете теоремата за пределната сума и намерете границата на всеки член. При n → ∞ числителят и знаменателят на всеки член клонят към безкрайност и не можем да приложим директно граничната теорема за коефициента. Затова първо трансформираме x n, разделяйки числителя и знаменателя на първия член на n 2, а вторият н. След това, прилагайки теоремата за лимита на коефициента и теоремата за лимита на сумата, намираме:

Пример 3.3. . Намирам .

Тук сме използвали теоремата за пределни степени: границата на степента е равна на степента на границата на основата.

Пример 3.4. Намирам ( ).

Решение. Невъзможно е да се приложи граничната теорема за разликата, тъй като имаме несигурност от вида ∞-∞. Нека трансформираме формулата на общия термин:

Пример 3.5. Дадена е функция f(x)=2 1/x . Докажете, че границата не съществува.

Решение.Използваме дефиниция 1 на границата на функция в термините на последователност. Вземете последователност ( x n ), сходяща до 0, т.е. Нека покажем, че стойността f(x n)= се държи различно за различните последователности. Нека x n = 1/n. Очевидно, тогава границата Нека изберем сега като x nпоследователност с общ член x n = -1/n, също стремяща се към нула. Следователно няма ограничение.

Пример 3.6. Докажете, че границата не съществува.

Решение.Нека x 1 , x 2 ,..., x n ,... е последователност, за която
. Как се държи последователността (f(x n)) = (sin x n ) за различни x n → ∞

Ако x n = p n, тогава sin x n = sin (p n) = 0 за всички ни ограничават If
xn=2 p n+ p /2, тогава sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 за всички на оттам и границата. Следователно не съществува.

Числовите поредици са безкрайни набори от числа. Примери за последователности са: последователността на всички членове на безкрайна геометрична прогресия, последователността от приблизителни стойности ( х 1 = 1, х 2 = 1,4, х 3= 1.41, ...), последователността от периметри на правилните н-ъгълници, вписани в даден кръг. Нека прецизираме понятието числова последователност.

Определение 1.Ако всяко число нот естествения ред от числа 1, 2, 3,..., П,...присвоен реален номер x p,след това множеството от реални числа

x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , …(2.1)

Наречен числова последователност,или просто последователност. .

Числа х 1 , х 2, х 3, ..., x p,... ще звънна елементи,или членовепоследователности (2.1), символ х стр - общелемент или член на последователност и числото P -неговата номер.Накратко последователността (2.1) ще бъде обозначена със символа (x p).Например символът (1/ н) обозначава поредица от числа

С други думи, една последователност може да се разбира като безкраен набор от номерирани елементи или набор от двойки числа (p, x p),в който първото число приема последователните стойности 1, 2, 3, ... . Последователността се счита за дадена, ако е посочен метод за получаване на някой от нейните елементи. Например формулата x n = -1 + (-1)ндефинира последователността 0, 2, 0, 2,... .

Геометрично последователността е изобразена върху числовата ос като последователност от точки, чиито координати са равни на съответните членове на последователността. На фиг. 2.1 показва последователността ( x n} = {1/н) на числовата права.

Концепцията за конвергентна последователност

Определение 2.номер аНаречен граница на последователността{x n} , ако за всяко положително число ε има номер н, това за всички n > Nнеравенството

Последователност, която има ограничение, се нарича сближаващи се.Ако последователността има число като граница а, тогава се пише така:

Извиква се последователност, която няма ограничение дивергентен.

Определение 3.Последователност, чиято граница е число а= 0 се извиква безкрайно малка последователност.

Забележка 1.Нека последователността ( x n) има за ограничение числото а. Тогава последователността (α н} = {x n - a) е безкрайно малък, т.е. всеки елемент х стрконвергентна последователност с ограничение а, може да се представи като

където α н-елемент от безкрайно малка последователност (α н} .

Забележка 2.Неравенството (2.2) е еквивалентно на неравенствата (виж свойство 4 на модула на число от § 1.5)

Това означава, че при n > Nвсички елементи на последователността ( x n) се намират в ε-кварталточки а(фиг. 2.2) и броя нсе определя от стойността на ε.

Интересно е да се даде геометрична интерпретация на това определение. Тъй като последователността е безкраен набор от числа, тогава, ако се сближи, във всяка ε-околност на точката ана реалната права има безкраен брой точки - елементи от тази последователност, докато извън ε-околия има краен брой елементи. Следователно границата на последователност често се нарича точка на удебеляване.

Забележка 3.Неограничената последователност няма финаллимит. Въпреки това, тя може да има безкраенлимит, който се записва в следната форма:

Ако в същото време, започвайки от определено число, всички членове на последователността са положителни (отрицателни), тогава напишете

Ако ( x n) е безкрайно малка последователност, тогава (1 /x стр} - безкрайна последователносткоято има безкраен предел по смисъла на (2.3) и обратно.

Нека дадем примери за конвергентни и дивергентни последователности.

Пример 1Покажете, като използвате дефиницията на границата на последователност, че .

Решение. Вземете произволно число ε > 0. Тъй като

тогава, за да е налице неравенство (2.2), е достатъчно да се реши неравенството 1 / ( н + 1) < ε, откуда получаем н> (1 - ε) / ε. Достатъчно за вземане н= [(1 - ε)/ε] (цялата част от числото (1 - ε)/ ε)*, така че неравенството |x стр - 1| < ε выполнялосьпривсех n > N.

* Символ [ а] означава цялата част от числото а, т.е. най-голямото цяло число, което не надвишава а. Например =2, =2, =0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24.

Пример 2Покажете, че последователността ( x n} = (-1)н, или -1, 1, -1, 1,... няма ограничение.

Решение. Всъщност, каквото и число да приемем като ограничение: 1 или -1, с ε< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов х стр: всички нечетни елементи са -1, четните елементи са 1.

Основни свойства на конвергентните поредици

Нека представим основните свойства на конвергентните поредици, които се формулират под формата на теореми в курса на висшата математика.

1.Ако всички елементи от безкрайно малка последователност{x n} са равни на същото число c, тогава c = 0.

2. Конвергентната последователност има само една граница.

3.Сходящата последователност е ограничена.

4.Сума (разлика) от конвергентни последователности{x n} и{y n} е конвергентна последователност, чиято граница е равна на сумата (разликата) от границите на последователностите{х стр} и{y стр}.

5.Продукт на конвергентни последователности{x n} и{y n} е конвергентна последователност, чиято граница е равна на произведението на границите на последователностите{x n} и{y n} .

6.Коефициент на две конвергентни последователности{x n} и{y n} при условие, че границата на последователността{y n} е различна от нула, има конвергентна последователност, чиято граница е равна на частното от границите на последователностите{x n} и{y стр} .

7. Ако елементите на конвергентна последователност{x n} удовлетворява неравенството x p ≥ b (x p ≤ b), започвайки от някакво число, то границата a на тази последователност също удовлетворява неравенството a ≥ b (a ≤ b).

8.Продуктът на безкрайно малка последователност от ограничена последователност или от число е безкрайно малка последователност.

9.Продуктът на краен брой безкрайно малки последователности е безкрайно малка последователност.

Нека разгледаме приложението на тези свойства с примери.

Пример 3. Намерете границата.

Решение. В нчислителят и знаменателят на дроба клонят към безкрайност, т.е. теоремата за коефициента не може да се приложи веднага, тъй като предполага съществуването на крайни граници на последователности. Преобразуваме тази последователност, като разделим числителя и знаменателя на н 2. Прилагайки тогава теоремите за границата на частното, границата на сумата и отново границата на частното, ние последователно намираме

Пример 4 х стр) = в П.

Решение. Тук, както и в предишния пример, числителят и знаменателят нямат крайни граници и затова първо трябва да се извършат съответните трансформации. Разделяне на числителя и знаменателя на н, получаваме

Тъй като числителят съдържа произведението на безкрайно малка последователност и ограничена последователност, то чрез свойство 8 накрая получаваме

Пример 5Намерете границата на последователността ( x n) = в П .

Решение. Тук е невъзможно директно да се приложи теоремата за границата на сумата (разликата) от последователности, тъй като няма крайни граници на членовете във формулата за ( x n} . Умножете и разделете формулата за ( x n) към спрегнатия израз:

Номер д

Помислете за последователността ( x n} , чийто общ член се изразява с формулата

В хода на математическия анализ е доказано, че тази последователност нараства монотоннои има ограничение. Тази граница се нарича число д. Следователно, по дефиниция

номер диграе голяма роля в математиката. След това ще бъде разгледан метод за изчисляването му с необходимата точност. Тук имайте предвид, че номерът де ирационален; приблизителната му стойност е д = 2,7182818... .

3. Лимит на числовата последователност

3.1. Понятието за числова последователност и функция на естествен аргумент

Определение 3.1.Числова последователност (наричана по-долу просто последователност) е подреден изброим набор от числа

{x1, x2, x3, ... }.

Обърнете внимание на две точки.

1. В поредицата има безкрайно много числа. Ако има краен брой числа, това не е последователност!

2. Всички числа са подредени, тоест подредени в определен ред.

В това, което следва, често ще използваме съкращението за последователността ( xn}.

Определени операции могат да се извършват върху последователности. Нека разгледаме някои от тях.

1. Умножение на поредица по число.

Подпоследователност ° С×{ xn) е последователност с елементи ( ° С× xn), това е

° С×{ x1, x2, x3, ... }={° С× x1, s× x2, s× x3, ... }.

2. Събиране и изваждане на поредици.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

или по-подробно,

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Умножение на последователности.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. Разделяне на последователности.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Естествено се предполага, че в този случай всички yn¹ 0.

Определение 3.2.Подпоследователност ( xn) се нарича ограничен отгоре, ако https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" височина = "25 src=">. Последователност (xn) се нарича ограничена, ако е ограничена както отгоре, така и отдолу.

3.2. Ограничение на последователността. Безкрайно голяма последователност

Определение 3.3.номер асе нарича граница на последователността ( xn) при нстремящи се към безкрайност, ако

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> ако .

Казват, че ако.

Определение 3.4.Подпоследователност ( xn) се нарича безкрайно голям, ако (тоест, ако ).

3.3. Безкрайно малка последователност.

Определение 3.5.Последователност (xn) се нарича безкрайно малка, ако , тоест ако .

Безкрайно малките поредици имат следните свойства.

1. Сборът и разликата от безкрайно малки последователности също е безкрайно малка последователност.

2. Една безкрайно малка последователност е ограничена.

3. Произведението на безкрайно малка последователност и ограничена последователност е безкрайно малка последователност.

4. Ако ( xn) е безкрайно голяма последователност, започваща от някои н, последователността (1/ xn), и това е безкрайно малка последователност. Обратно, ако ( xn) е безкрайно малка последователност и всичко това xnса различни от нула, то (1/ xn) е безкрайно голяма последователност.

3.4. конвергентни последователности.

Определение 3.6.Ако има крайно ограничение https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. Ако , тогава .

3.5. Преминаване до предела в неравенствата.

Теорема 3.1.Ако, като се започне от някои н, всичко xn ³ б, тогава .

Последствие.Ако, като се започне от някои н, всичко xn ³ yn, тогава .

Коментирайте. Имайте предвид, че ако, започвайки от някои н, всичко xn > б, тогава , тоест при преминаване към предела, строгото неравенство може да стане нестрого.

Теорема 3.2.(„Теорема за двама полицаи“) Ако, като се започне от някои н, следните свойства са валидни

1..gif" width="163" height="33 src=">,

тогава съществува.

3.6. Границата на монотонна последователност.

Определение 3.7.Подпоследователност ( xn) се нарича монотонно нарастващо, ако има такова н xn+1 ³ xn.

Подпоследователност ( xn) се нарича строго монотонно нарастващо, ако има такова н xn+1> xn.

xn­.

Определение 3.8.Подпоследователност ( xn) се нарича монотонно намаляващо, ако има такова н xn+1 £ xn.

Подпоследователност ( xn) се нарича строго монотонно намаляващо, ако за някой н xn+1< xn.

И двата случая са комбинирани със символа xn¯.

Теорема за съществуването на предел на монотонна последователност.

1. Ако последователността ( xn) е монотонно нарастващо (намаляващо) и ограничено отгоре (отдолу), то има краен предел, равен на sup( xn) (inf( xn}).

2 Ако последователността ( xn) монотонно се увеличава (намалява), но не се ограничава отгоре (отдолу), тогава има граница, равна на +¥ (-¥).

Въз основа на тази теорема се доказва, че съществува така наречената забележителна граница

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Нарича се подпоследователност на последователност ( xn}.

Теорема 3.3.Ако последователността ( xn) се сближава и границата му е а, то всяка от неговите подпоследователности също се сближава и има същия лимит.

Ако ( xn) е безкрайно голяма последователност, то всяка от нейните подпоследователности също е безкрайно голяма.

Лема на Болцано-Вайерщрас.

1. От всяка ограничена последователност може да се извлече подпоследователност, която се сближава до краен предел.

2. Безкрайно голяма подпоследователност може да бъде извлечена от всяка неограничена последователност.

Въз основа на тази лема се доказва един от основните резултати от теорията на границите - Критерий за сближаване на Болцано-Коши.

За да може последователността ( xn) е имало краен предел, това е необходимо и достатъчно

Последователност, която удовлетворява това свойство, се нарича фундаментална последователност или последователност, която се сближава сама по себе си.

За много хора математическият анализ е просто набор от неразбираеми числа, икони и определения, които са далеч от реалния живот. Въпреки това, светът, в който съществуваме, е изграден върху числови модели, чието идентифициране помага не само да научим за света около нас и да решим неговите сложни проблеми, но и да опростим ежедневните практически задачи. Какво има предвид математикът, когато казва, че числова последователност се сближава? Това трябва да се обсъди по-подробно.

малък?

Представете си матрьошки, които се вписват една в друга. Техните размери, записани под формата на числа, като се започне от най-големия и завършва с най-малкия от тях, образуват последователност. Ако си представите безкраен брой такива ярки фигури, тогава полученият ред ще бъде фантастично дълъг. Това е конвергентна числова последователност. И клони към нула, тъй като размерът на всяка следваща кукла за гнездене, катастрофално намаляващ, постепенно се превръща в нищо. Така е лесно да се обясни: какво е безкрайно малко.

Подобен пример би бил път, който отива в далечината. А визуалните размери на колата, отдалечаваща се от наблюдателя по нея, постепенно се свиват, се превръщат в безформено петънце, наподобяващо точка. Така колата, като обект, отдалечаващ се в неизвестна посока, става безкрайно малка. Параметрите на посоченото тяло никога няма да са нула в буквалния смисъл на думата, но неизменно клонят към тази стойност в крайната граница. Следователно тази последователност отново се сближава до нула.

Нека изчислим всичко капка по капка

Нека си представим реална житейска ситуация. Лекарят предписва на пациента да приема лекарството, започвайки с десет капки на ден и добавяйки по две всеки следващ ден. И така лекарят предложи да продължи, докато изтече съдържанието на флакона с лекарството, чийто обем е 190 капки. От гореизложеното следва, че броят на такива, нарисувани по ден, ще бъде следната числова серия: 10, 12, 14 и т.н.

Как да разберете времето за преминаване на целия курс и броя на членовете на поредицата? Тук, разбира се, можете да преброите капките по примитивен начин. Но е много по-лесно, като се има предвид модела, да се използва формулата със стъпка от d = 2. И използвайки този метод, разберете, че броят на членовете на числовата серия е 10. В този случай a 10 = 28. Номерът на члена показва броя на дните на прием на лекарството, а 28 съответства на броя капки, които пациентът трябва да използва в последния ден. Сближава ли се тази последователност? Не, защото въпреки факта, че е ограничен до 10 отдолу и 28 отгоре, такава серия от числа няма ограничение, за разлика от предишните примери.

Каква е разликата?

Сега нека се опитаме да изясним: кога числовият ред се оказва сходяща последователност. Определение от този вид, както може да се заключи от горното, е пряко свързано с концепцията за краен предел, чието присъствие разкрива същността на въпроса. И така, каква е основната разлика между дадените по-рано примери? И защо в последния от тях числото 28 не може да се счита за граница на числовия ред X n = 10 + 2(n-1)?

За да изясните този въпрос, разгледайте друга последователност, дадена от формулата по-долу, където n принадлежи на множеството естествени числа.

Тази общност от членове е набор от обикновени дроби, чийто числител е 1, а знаменателят непрекъснато се увеличава: 1, ½ ...

Нещо повече, всеки следващ представител на тази серия, по отношение на местоположението на числовата права, все повече се доближава до 0. Това означава, че се появява такава околия, където точките се струпват около нулата, което е границата. И колкото по-близо са те до него, толкова по-плътна става концентрацията им върху числовата права. А разстоянието между тях се намалява катастрофално, превръщайки се в безкрайно малко. Това е знак, че последователността се сближава.

По същия начин многоцветните правоъгълници, показани на фигурата, когато се отдалечават в пространството, са визуално по-претъпкани, като в хипотетичния предел се превръщат в незначителни.

Безкрайно големи поредици

След като анализирахме определението на конвергентна последователност, сега се обръщаме към контрапримери. Много от тях са известни на човека от древни времена. Най-простите варианти на дивергентни поредици са редовете от естествени и четни числа. Те се наричат ​​безкрайно големи по друг начин, тъй като членовете им, непрекъснато нарастващи, все повече се доближават до положителната безкрайност.

Всяка от аритметичните и геометричните прогресии със стъпка и знаменател съответно по-големи от нула, също може да служи като пример за такива. Различни поредици се считат освен това за числови редове, които изобщо нямат граница. Например, X n = (-2) n -1 .

Последователност на Фибоначи

Практическата употреба на споменатите по-рано числови серии за човечеството е неоспорима. Но има безброй други страхотни примери. Една от тях е последователността на Фибоначи. Всеки от неговите членове, които започват с един, е сбор от предишните. Първите му двама представители са 1 и 1. Третият 1+1=2, четвъртият 1+2=3, петият 2+3=5. По-нататък, според същата логика, следват числата 8, 13, 21 и т.н.

Тази серия от числа нараства безкрайно и няма краен лимит. Но има още едно прекрасно свойство. Съотношението на всяко предишно число към следващото е все по-близко по стойността си до 0,618. Тук можете да разберете разликата между конвергентна и дивергентна последователност, защото ако направите серия от получени частни деления, посочената числова система ще има крайна граница, равна на 0,618.

Последователност на съотношението на Фибоначи

Посочените по-горе числа се използват широко за практически цели за техническия анализ на пазарите. Но това не се ограничава до неговите възможности, които египтяните и гърците са знаели и са умеели да прилагат на практика в древни времена. Това се доказва от построените от тях пирамиди и Партенона. В крайна сметка числото 0,618 е постоянен коефициент на златното сечение, добре познат в старите времена. Съгласно това правило всеки произволен сегмент може да бъде разделен по такъв начин, че съотношението между неговите части да съвпада със съотношението между най-големия от сегментите и общата дължина.

Нека изградим серия от тези отношения и да се опитаме да анализираме тази последователност. Числовите серии ще бъдат както следва: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 и така нататък. Продължавайки по този начин, може да се провери, че границата на конвергентната последователност наистина ще бъде 0,618. Необходимо е обаче да се отбележат други свойства на тази закономерност. Тук числата изглежда вървят на случаен принцип и изобщо не във възходящ или низходящ ред. Това означава, че тази конвергентна последователност не е монотонна. Защо това е така, ще бъде обсъдено допълнително.

монотонност и ограниченост

Членовете на числовия ред с нарастващи числа могат ясно да намаляват (ако x 1>x 2>x 3>...> x n>...) или да се увеличават (ако x 1

След като нарисува номерата на тази серия, може да забележите, че всеки от нейните членове, приближавайки се до 1 за неопределено време, никога няма да надхвърли тази стойност. В този случай се казва, че конвергентната последователност е ограничена. Това се случва винаги, когато има такова положително число M, което винаги е по-голямо от което и да е от членовете на реда по модул. Ако редица от числа има признаци на монотонност и има граница и следователно се сближава, тогава тя непременно е надарена с такова свойство. И обратното не трябва да е вярно. Това се доказва от теоремата за ограниченост за конвергентна последователност.

Прилагането на подобни наблюдения на практика се оказва много полезно. Нека дадем конкретен пример, като изследваме свойствата на последователността X n = n/n+1 и докажем нейната сходимост. Лесно е да се покаже, че е монотонно, тъй като (x n +1 - x n) е положително число за всякакви стойности на n. Границата на последователността е равна на числото 1, което означава, че всички условия на горната теорема, наричана още теорема на Вайерщрас, са изпълнени. Теоремата за ограничеността на конвергентна последователност гласи, че ако тя има граница, то във всеки случай тя се оказва ограничена. Нека обаче вземем следния пример. Числовият ред X n = (-1) n е ограничен отдолу с -1 и отгоре с 1. Но тази последователност не е монотонна, няма ограничение и следователно не се сближава. Тоест съществуването на граница и конвергенция не винаги следва от ограничението. За да работи това, долната и горната граница трябва да съвпадат, както в случая на съотношенията на Фибоначи.

Числа и закони на Вселената

Най-простите варианти на конвергентна и дивергентна последователност са може би числовият ред X n = n и X n = 1/n. Първият от тях е естествен ред от числа. Той е, както вече споменахме, безкрайно голям. Втората конвергентна последователност е ограничена и нейните членове са близки до безкрайно малки по величина. Всяка от тези формули олицетворява една от страните на многостранната Вселена, помагайки на човек да си представи и изчисли нещо непознаваемо, недостъпно за ограничено възприятие на езика на числата и знаците.

Законите на Вселената, вариращи от незначителни до невероятно големи, също се изразяват със златното сечение от 0,618. Учените смятат, че той е в основата на същността на нещата и се използва от природата за формиране на неговите части. Отношенията между следващите и предишните членове на редицата на Фибоначи, които вече споменахме, не завършват демонстрацията на удивителните свойства на тази уникална серия. Ако вземем предвид частното от разделянето на предишния член на следващия през едно, тогава получаваме серия от 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 и така нататък. Интересно е, че тази ограничена последователност се сближава, не е монотонна, но съотношението на съседните екстремни числа от определен член винаги е приблизително равно на 0,382, което може да се използва и в архитектурата, техническия анализ и други индустрии.

Има и други интересни коефициенти от редицата на Фибоначи, всички те играят специална роля в природата и също се използват от човека за практически цели. Математиците са сигурни, че Вселената се развива според определена „златна спирала“, образувана от посочените коефициенти. С тяхна помощ е възможно да се изчислят много явления, случващи се на Земята и в космоса, от нарастването на броя на определени бактерии до движението на далечни комети. Както се оказва, ДНК кодът се подчинява на подобни закони.

Намаляване на геометричната прогресия

Има теорема, утвърждаваща уникалността на границата на конвергентна последователност. Това означава, че той не може да има две или повече граници, което несъмнено е важно за намирането на неговите математически характеристики.

Нека разгледаме някои случаи. Всеки числов ред, съставен от членове на аритметична прогресия, е дивергентен, с изключение на случая с нулева стъпка. Същото важи и за геометрична прогресия, чийто знаменател е по-голям от 1. Границите на такива числови редове са „плюс“ или „минус“ на безкрайността. Ако знаменателят е по-малък от -1, тогава изобщо няма ограничение. Възможни са и други опции.

Да разгледаме числовия ред, даден от формулата X n = (1/4) n -1 . На пръв поглед е лесно да се види, че тази конвергентна последователност е ограничена, тъй като тя е строго намаляваща и по никакъв начин не може да приема отрицателни стойности.

Нека напишем един брой членове подред.

Вземете: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0,00390625 и така нататък. Достатъчни са съвсем прости изчисления, за да се разбере колко бърза е дадена геометрична прогресия със знаменатели 0

Фундаментални последователности

Огюстен Луи Коши, френски учен, разкри на света много трудове, свързани с математическия анализ. Той даде определения на такива понятия като диференциал, интеграл, граница и непрекъснатост. Той също така изучава основните свойства на конвергентните последователности. За да се разбере същността на неговите идеи, е необходимо да се обобщят някои важни подробности.

В самото начало на статията беше показано, че има такива поредици, за които има квартал, в който точките, представляващи членовете на определена серия на реалната права, започват да се групират, подреждайки се все по-плътно. В същото време разстоянието между тях намалява с увеличаване на броя на следващия представител, превръщайки се в безкрайно малък. Така се оказва, че в даден квартал са групирани безкраен брой представители на дадена серия, докато извън нея има краен брой от тях. Такива последователности се наричат ​​фундаментални.

Известният критерий на Коши, създаден от френски математик, ясно показва, че наличието на такова свойство е достатъчно, за да докаже, че последователността се сближава. Обратното също е вярно.

Трябва да се отбележи, че това заключение на френския математик представлява най-вече чисто теоретичен интерес. Прилагането му на практика се счита за доста сложен въпрос, следователно, за да се изясни сходимостта на редовете, е много по-важно да се докаже съществуването на краен предел за последователност. В противен случай се счита за дивергентен.

При решаването на задачи трябва да се вземат предвид и основните свойства на конвергентните поредици. Те са представени по-долу.

Безкрайни суми

Такива известни учени от древността като Архимед, Евклид, Евдокс са използвали сумите от безкрайни числа за изчисляване на дължините на кривите, обемите на телата и площите на фигурите. По-специално, по този начин беше възможно да се разбере площта на параболичния сегмент. За това е използвана сумата от числовия ред на геометрична прогресия с q=1/4. По подобен начин бяха намерени обемите и площите на други произволни фигури. Тази опция беше наречена метод на "изчерпване". Идеята е изследваното тяло със сложна форма да бъде разделено на части, които представляват фигури с лесно измерими параметри. Поради тази причина не беше трудно да се изчислят техните площи и обеми, а след това те бяха събрани.

Между другото, подобни задачи са много познати на съвременните ученици и се намират в задачите на USE. Уникалният метод, открит от далечни предци, е най-простото решение. Дори ако има само две или три части, на които числовата фигура е разделена, добавянето на техните площи все още е сумата от числовия ред.

Много по-късно от древногръцките учени Лайбниц и Нютон, въз основа на опита на своите мъдри предшественици, те научили законите на интегралното изчисление. Познаването на свойствата на последователностите им помогна да решават диференциални и алгебрични уравнения. В момента теорията на сериите, създадена с усилията на много поколения талантливи учени, дава шанс за решаване на огромен брой математически и практически проблеми. А изучаването на числови поредици е основният проблем, решаван от математическия анализ от самото му създаване.

Последователността е едно от основните понятия на математиката. Последователността може да бъде съставена от числа, точки, функции, вектори и т.н. Последователност се счита за дадена, ако е посочен закон, според който всяко естествено число n е свързано с елемент x n от някакво множество. Последователността се записва като x 1 , x 2 , …, x n , или накратко (x n). Елементите x 1 , x 2 , ..., x n се наричат ​​членове на последователността, x 1 - първият, x 2 - вторият, x n - общ (n-ти) член на последователността.

Най-често се разглеждат числови поредици, тоест поредици, чиито членове са числа. Аналитичният метод е най-простият начин за определяне на числова последователност. Това се прави с помощта на формула, която изразява n-тия член на последователността x 1 по отношение на нейния номер n. Например, ако

Друг начин е повтарящ се (от латинската дума рецидиви- „връщане“), когато са посочени първите няколко члена на последователността и правило, които позволяват всеки следващ член да бъде изчислен чрез предишните. Например:

Примери за числови поредици са аритметична прогресия и геометрична прогресия.

Интересно е да се проследи поведението на членовете на поредицата, когато числото n нараства без ограничение (фактът, че n нараства безкрайно, се записва като n → ∞ и гласи: „n клони към безкрайност“).

Да разгледаме последователност с общ член x n = 1/n: x 1 = 1, x 2 = 1/2; x 3 = 1/3, ..., x 100 \u003d 1/100, .... Всички членове на тази последователност са различни от нула, но колкото по-голямо е n, толкова по-малко x n се различава от нула. Членовете на тази последователност клонят към нула, когато n нараства неограничено. Числото нула се казва, че е границата на тази последователност.

Друг пример: x n = (−1) n / n - дефинира последователността

Членовете на тази последователност също клонят към нула, но те са или по-големи от нула, или по-малки от нула - тяхната граница.

Да разгледаме друг пример: x n = (n − 1)/(n + 1). Ако представим x n във формата

тогава става ясно, че тази последователност клони към единство.

Нека дефинираме границата на една последователност. Число a се нарича граница на последователност (x n), ако за всяко положително число ε може да се посочи число N, така че за всички n > N неравенството |x n − a|< ε.

Ако a е границата на последователността (x n), тогава напишете x n → a, или a = lim n→∞ x n (lim са първите три букви на латинската дума лайм- „лимит“).

Това определение ще стане по-ясно, ако му придадем геометричен смисъл. Ограждаме числото a в интервала (a − ε, a + ε) (виж фигурата). Числото a е границата на последователността (x n), ако, независимо от малкото на интервала (a − ε, a + ε), всички членове на последователността с числа по-големи от някое N лежат в този интервал. С други думи, извън всеки интервал (a − ε, a + ε) може да има само краен брой членове на последователността.

За разглежданата последователност x n = (−1) n /n, ε-околността на нулевата точка при ε = 1/10 включва всички членове на последователността, с изключение на първите десет, а за ε = 1/100, всички членове на поредицата, с изключение на първите сто.

Последователност, която има ограничение, се нарича конвергентна, а последователност, която няма граница, се нарича дивергентна. Ето пример за дивергентна последователност: x n = (−1) n . Неговите условия са алтернативно +1 и -1 и не клонят към никакво ограничение.

Ако последователността се сближава, тогава тя е ограничена, тоест има числа c и d такива, че всички членове на последователността отговарят на условието c ≤ x n ≤ d. От това следва, че всички неограничени последователности са дивергентни. Това са последователностите:

За последователност, стремяща се към нула, се казва, че е безкрайно малка. Концепцията за безкрайно малко може да се използва като основа за общото определение на границата на последователност, тъй като границата на последователност (x n) е равна на a само ако x n може да бъде представена като сума x n = a + α n , където α n е безкрайно малко.

Разгледаните поредици (1/n), ((−1) n /n) са безкрайно малки. Последователността (n − 1)/(n + 1), както следва от (2), се различава от 1 с безкрайно малко 2/(n + 1) и следователно границата на тази последователност е 1.

От голямо значение в математическия анализ е и концепцията за безкрайно голяма последователност. Последователност (x n) се нарича безкрайно голяма, ако последователността (1/x n) е безкрайно малка. Безкрайно голяма последователност (x n) се записва като x n → ∞ или lim n→∞ x n = ∞ и се казва, че „отива до безкрайност“. Ето примери за безкрайно големи поредици:

(n 2), (2 n), (√(n + 1)), (n - n 2).

Подчертаваме, че една безкрайно голяма последователност няма ограничение.

Разгледайте последователностите (x n) и (y n). Можете да дефинирате поредици с общи термини x n + y n , x n − y n , x n y n и (ако y n ≠ 0) x n /y n . Вярна е следната теорема, която често се нарича теорема за аритметичните операции с ограничения: ако последователностите (x n) и (y n) се сближават, тогава последователностите (x n + y n), (x n − y n), (x n y n), ( x n /y n) също се сближават и следните равенства са в сила:

В последния случай е необходимо освен това да се изисква всички членове на последователността (y n) да са различни от нула, както и да е изпълнено условието lim n→∞ y n ≠ 0.

Чрез прилагането на тази теорема могат да се намерят много ограничения. Намерете, например, границата на последователност с общ термин

Представяне на x n във формата

установете, че границата на числителя и знаменателя съществува:

така че получаваме:

lim n→∞ x n = 2/1 =2.

Важен клас последователности са монотонните последователности. Така наречените последователности нарастващи (x n+1 > x n за всяко n), намаляващи (x n+1< x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

Представете си, че последователността (x n) не намалява, т.е. неравенствата

x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ … ≤ x n ≤ x n+1 ≤ …,

и нека в допълнение тази последователност е ограничена отгоре, т.е. всички x n не превишават някакво число d. Всеки член на такава последователност е по-голям или равен на предишния, но нито един от тях не надвишава d. Съвсем очевидно е, че тази последователност клони към някакво число, което е или по-малко от d, или равно на d. В хода на математическия анализ се доказва теорема, че ненамаляваща и ограничена отгоре последователност има граница (подобно твърдение е вярно за ненарастваща и ограничена отдолу последователност). Тази забележителна теорема дава достатъчни условия за съществуването на граница. От него, например, следва, че последователността от области от правилни n-ъгълници, вписани в кръг с единичен радиус, има ограничение, тъй като е монотонно нарастваща и ограничена отгоре. Границата на тази последователност се обозначава с π.

Използвайки границата на монотонна ограничена последователност, се определя числото e, което играе голяма роля в математическия анализ - основата на естествените логаритми:

e = lim n→∞ (1 + 1/n) n .

Последователността (1), както вече беше отбелязано, е монотонна и освен това ограничена отгоре. Тя има граница. Лесно можем да намерим тази граница. Ако е равно на a, то числото a трябва да отговаря на равенството a = √(2 + a). Решавайки това уравнение, получаваме a = 2.