Тоон дарааллын хязгаар. Дараалал нийлдэг гэдгийг хэрхэн батлах вэ? Конвергент дарааллын үндсэн шинж чанарууд Дарааллын төрлүүд

Дараалал ба функцийн хязгаарын тодорхойлолт, хязгаарын шинж чанар, эхний болон хоёр дахь гайхалтай хязгаар, жишээ.

тогтмол тоо адуудсан хязгаар дараалал(x n) хэрэв дурын жижиг эерэг тоо ε > 0 байвал бүх утгууд нь N тоо байгаа бол x n, үүний хувьд n>N, тэгш бус байдлыг хангана

Үүнийг дараах байдлаар бичнэ үү: эсвэл x n → a.

Тэгш бус байдал (6.1) нь давхар тэгш бус байдалтай тэнцүү байна

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, зарим n>N тооноос эхлэн интервал дотор хэвтэх (a-ε , a+ε), i.e. цэгийн аль ч жижиг ε хөрш рүү унах а.

Хязгаарлалттай дарааллыг дуудна нийлэх, эс бөгөөс - ялгаатай.

Дарааллын хязгаарыг бүхэл аргументийн x n = f(n) функцийн хязгаар гэж үзэж болох тул функцийн хязгаарын тухай ойлголт нь дарааллын хязгаарын тухай ойлголтын ерөнхий ойлголт юм. n.

f(x) функц өгөгдсөн байг а - хязгаар цэгэнэ функцийн тодорхойлолтын домэйн D(f), i.e. Ийм цэг, аль ч хөрш нь D(f) олонлогийн цэгүүдээс ялгаатай а. Цэг а D(f) олонлогт хамаарах эсвэл хамаарахгүй байж болно.

Тодорхойлолт 1.Тогтмол А тоо гэж нэрлэдэг хязгаар функцууд f(x) цагтАргументуудын утгуудын аль нэг дараалалд (x n ) байвал x→ a а, харгалзах дараалал (f(x n)) ижил хязгаартай байна.

Энэ тодорхойлолтыг нэрлэдэг Гейний дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлох;эсвэл " дарааллын хэлээр”.

Тодорхойлолт 2. Тогтмол А тоо гэж нэрлэдэг хязгаар функцууд f(x) цагт x→a хэрэв дурын, дурын жижиг эерэг тоо ε өгөгдсөн бол δ >0 (ε-ээс хамаарч) олдвол бүгдэд нь х, дугаарын ε хороололд хэвтэж байна а, өөрөөр хэлбэл төлөө хтэгш бус байдлыг хангаж байна
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Энэ тодорхойлолтыг нэрлэдэг Кошигийн дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлох,эсвэл “ε - δ хэлээр"

Тодорхойлолт 1 ба 2 нь тэнцүү байна. Хэрэв x → a гэсэн f(x) функц байвал хязгаарА-тай тэнцүү бол үүнийг ингэж бичнэ

Ойролцоох аливаа аргын хувьд дараалал (f(x n)) тодорхойгүй хугацаагаар нэмэгдэх (эсвэл буурах) тохиолдолд хтаны хязгаарт а, тэгвэл бид f(x) функцтэй гэж хэлэх болно хязгааргүй хязгаар,мөн дараах байдлаар бичнэ үү:

Хязгаар нь 0 хувьсагчийг (жишээ нь дараалал эсвэл функц) дуудна хязгааргүй жижиг.

Хязгаар нь хязгааргүйтэй тэнцүү хувьсагчийг дуудна хязгааргүй том.

Практикт хязгаарыг олохын тулд дараах теоремуудыг ашиглана.

Теорем 1 . Хэрэв бүх хязгаарлалт байгаа бол

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Сэтгэгдэл. 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ хэлбэрийн илэрхийлэл нь тодорхойгүй, тухайлбал, хоёр хязгааргүй бага буюу хязгааргүй их хэмжээний харьцаа, ийм төрлийн хязгаарыг олохыг “тодорхойгүй байдлын тодруулга” гэж нэрлэдэг.

Теорем 2.

тэдгээр. тогтмол экспонент дээр градусын суурь дахь хязгаарт шилжих боломжтой, ялангуяа,

Теорем 3.

(6.11)

хаана д» 2.7 нь натурал логарифмын суурь юм. Томъёо (6.10) ба (6.11) нь эхний гайхалтай хязгаар, хоёр дахь гайхалтай хязгаар гэж нэрлэгддэг.

(6.11) томъёоны үр дагаварыг практикт мөн ашигладаг.

(6.12)

(6.13)

(6.14)

ялангуяа хязгаар

Хэрэв x → a ба нэгэн зэрэг x > a байвал x →a + 0 гэж бичнэ. Хэрэв ялангуяа a = 0 бол 0+0 тэмдгийн оронд +0 гэж бичнэ. Үүний нэгэн адил хэрэв x→a ба нэгэн зэрэг x байвал мөн үүний дагуу нэрлэсэн байна. баруун хязгаарболон зүүн хязгаар функцууд f(x) цэг дээр а. f(x) функцийн хязгаар нь x→ a гэж байхын тулд энэ нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм . f(x) функцийг дуудна Үргэлжилсэн цэг дээрХэрэв хязгаар бол x 0

(6.15)

Нөхцөл (6.15)-ыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

өөрөөр хэлбэл, тухайн цэг дээр тасралтгүй байвал функцийн тэмдгийн дор хязгаарт шилжих боломжтой.

Хэрэв тэгш байдал (6.15) зөрчигдвөл бид үүнийг хэлнэ цагт x = xo функц f(x) Байгаа цоорхой. y = 1/x функцийг авч үзье. Энэ функцийн домэйн нь олонлог юм Р, x = 0-ээс бусад нь. x = 0 цэг нь D(f) олонлогийн хязгаарын цэг бөгөөд учир нь түүний аль ч хэсэгт, өөрөөр хэлбэл, 0 цэгийг агуулсан аливаа нээлттэй интервал нь D(f) цэгийг агуулна, гэхдээ энэ нь өөрөө энэ олонлогт хамаарахгүй. f(x o)= f(0) утга тодорхойлогдоогүй тул функц x o = 0 цэг дээр тасалдалтай байна.

f(x) функцийг дуудна баруун талд нь нэг цэг дээр тасралтгүй x o хэрэв хязгаар

болон нэг цэг дээр зүүн талд тасралтгүй x o хэрэв хязгаар

Нэг цэг дэх функцийн тасралтгүй байдал х оЭнэ нь баруун болон зүүн талын аль алинд нь түүний тасралтгүй байдалтай тэнцүү байна.

Функц нь цэг дээр тасралтгүй байхын тулд х о, жишээлбэл, баруун талд, нэгдүгээрт, хязгаарлагдмал хязгаар байх шаардлагатай, хоёрдугаарт, энэ хязгаар нь f(x o) -тэй тэнцүү байх ёстой. Тиймээс, хэрэв эдгээр хоёр нөхцлийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй бол функц нь цоорхойтой болно.

1. Хэрэв хязгаар байгаа бөгөөд f(x o) -тай тэнцүү биш бол тэд ингэж хэлдэг функц f(x) цэг дээр xo байна Эхний төрлийн завсарлага,эсвэл үсрэх.

2. Хэрэв хязгаар нь +∞ эсвэл -∞ эсвэл байхгүй бол тэд үүнийг хэлнэ цэгх о функц завсарлагатай байна хоёр дахь төрөл.

Жишээ нь, y = ctg x функц нь x → +0 нь +∞ -тэй тэнцүү хязгаартай бөгөөд энэ нь x=0 цэг дээр хоёр дахь төрлийн тасалдалтай байна гэсэн үг юм. y = E(x) функц (бүхэл хэсэг х) бүхэл тоон абсцисс бүхий цэгүүдэд эхний төрлийн тасалдал буюу үсрэлтүүд байна.

Интервалын цэг бүрт тасралтгүй байх функцийг дуудна Үргэлжилсэнонд. Тасралтгүй функцийг хатуу муруйгаар илэрхийлнэ.

Тодорхой хэмжээний тасралтгүй өсөлттэй холбоотой олон асуудал нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарт хүргэдэг. Ийм ажлуудад жишээлбэл, нийлмэл хүүгийн хуулийн дагуу хувь нэмэр оруулах, тус улсын хүн амын өсөлт, цацраг идэвхт бодисын задрал, бактери үржих гэх мэт орно.

Санаж үз Я.И.Перелманы жишээ, энэ нь тооны тайлбарыг өгдөг днийлмэл хүүгийн асуудалд. Тоо дхязгаар бий . Хадгаламжийн банкинд жил бүр хүүгийн мөнгийг үндсэн хөрөнгөд нэмж оруулдаг. Хэрэв холболтыг илүү олон удаа хийвэл сонирхолыг бий болгоход их хэмжээний хөрөнгө оролцдог тул хөрөнгө илүү хурдан өсдөг. Цэвэр онолын, маш хялбаршуулсан жишээг авч үзье. Банк 100 ден тавьж байг. нэгж жилийн 100 хувийн хүүтэй. Жилийн дараа л үндсэн капиталд хүүтэй мөнгө нэмбэл энэ үед 100 дэн. нэгж 200 дэн болж хувирна. Одоо 100 ден юу болж хувирахыг харцгаая. нэгж, хэрэв зургаан сар тутамд хүүгийн мөнгийг үндсэн капиталд нэмбэл. Хагас жилийн дараа 100 ден. нэгж 100 × 1.5 = 150, өөр зургаан сарын дараа - 150 × 1.5 = 225 (мөнгөний нэгж) -ээр өсөх болно. Хэрэв элсэлтийг жилийн 1/3 тутамд хийдэг бол жилийн дараа 100 ден. нэгж 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (den. нэгж) болж хувирна. Хүүгийн мөнгийг 0.1 жил, 0.01 жил, 0.001 жил гэх мэтээр нэмэх хугацааг бид нэмэгдүүлнэ. Дараа нь 100 дентээс. нэгж жилийн дараа:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (нэгж.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. нэгж),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. нэгж).

Нэгдэх хүүгийн нөхцөлийг хязгааргүй бууруулснаар хуримтлагдсан хөрөнгө нь хязгааргүй өсдөггүй, харин ойролцоогоор 271-тэй тэнцэх тодорхой хязгаарт ойртдог. Жилийн 100% байршуулсан хөрөнгө нь хуримтлагдсан хүү байсан ч 2.71 дахин өсөх боломжгүй. хязгаар учир нийслэлд секунд тутамд нэмэгддэг

Жишээ 3.1. Тооны дарааллын хязгаарын тодорхойлолтыг ашиглан x n =(n-1)/n дараалал нь 1-тэй тэнцүү хязгаартай болохыг батал.

Шийдэл.Бид ямар ч ε > 0-ийг авсан бай түүний хувьд N натурал тоо байдгийг нотлох хэрэгтэй, тэгвэл n > N бүгдэд |x n -1|< ε

Дурын ε > 0-ийг ав. x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n тул N-ийг олохын тулд 1/n тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хангалттай.<ε. Отсюда n>1/ε ба тиймээс N-ийг 1/ε N = E(1/ε)-ийн бүхэл хэсэг болгон авч болно. Ингэснээр бид хязгаар гэдгийг нотолсон.

Шийдэл. Хязгаарын нийлбэр теоремыг хэрэглэж гишүүн бүрийн хязгаарыг ол. n → ∞ тул гишүүн бүрийн хүртэгч ба хуваагч нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай байдаг ба бид хуваалтын хязгаарын теоремыг шууд хэрэглэх боломжгүй. Тиймээс бид эхлээд хувиргадаг x n, эхний гишүүний тоо болон хуваагчийг хуваах n 2, хоёр дахь нь n. Дараа нь хуваалтын хязгаарын теорем ба нийлбэрийн хязгаарын теоремыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олно.

Жишээ 3.3. . олох.

Энд бид градусын хязгаарын теоремыг ашигласан: градусын хязгаар нь суурийн хязгаарын зэрэгтэй тэнцүү байна.

Жишээ 3.4. олох ( ).

Шийдэл. Бидэнд ∞-∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байгаа тул ялгааны хязгаарын теоремыг хэрэглэх боломжгүй. Ерөнхий нэр томъёоны томъёог өөрчилье:

Жишээ 3.5. f(x)=2 1/x функц өгөгдсөн. Хязгаарлалт байхгүй гэдгийг нотлох.

Шийдэл.Бид функцийн хязгаарын 1-р тодорхойлолтыг дарааллын хувьд ашигладаг. 0-д нийлэх дарааллыг ( x n ) авна, өөрөөр хэлбэл. f(x n)= утга нь өөр өөр дарааллын хувьд өөр өөрөөр ажилладаг болохыг харуулъя. x n = 1/n гэж үзье. Мэдээжийн хэрэг, дараа нь хязгаар Одоо сонголтоо хийцгээе x n x n = -1/n нийтлэг гишүүнтэй дараалал, мөн тэг рүү тэмүүлдэг. Тиймээс ямар ч хязгаарлалт байхгүй.

Жишээ 3.6. Хязгаарлалт байхгүй гэдгийг нотлох.

Шийдэл. x 1 , x 2 ,..., x n ,... нь дараалал байг
. (f(x n)) = (sin x n ) дараалал өөр x n → ∞-ийн хувьд хэрхэн ажиллах вэ?

Хэрэв x n \u003d p n бол нүгэл x n \u003d нүгэл (p) n) = 0 бүх nболон хязгаарлах If
xn=2 p n+ p /2, тэгвэл sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = бүх хүнд 1 nтэгээд хязгаар. Тиймээс байхгүй.

Тооны дараалал нь тоонуудын хязгааргүй багц юм. Дарааллын жишээнүүд нь: хязгааргүй геометр прогрессийн бүх гишүүдийн дараалал, ойролцоо утгуудын дараалал ( x 1 = 1, x 2 = 1,4, x 3= 1.41, ...), тогтмол периметрийн дараалал n-өгөгдсөн тойрогт гон бичнэ. Тоон дарааллын тухай ойлголтыг боловсронгуй болгоё.

Тодорхойлолт 1.Хэрэв тоо бүр бол n 1, 2, 3,... тоонуудын натурал цувралаас, П,...бодит дугаар өгсөн x p,дараа нь бодит тоонуудын багц

x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , …(2.1)

дуудсан тооны дараалал,эсвэл зүгээр л дараалал. .

Тоонууд x 1 , x 2, x 3, ..., x p,... залгана элементүүд,эсвэл гишүүддараалал (2.1), тэмдэг x х - ерөнхийэлемент, дарааллын гишүүн, тоо P -түүний тоо.Товчхондоо (2.1) дарааллыг тэмдгээр тэмдэглэнэ (x p).Жишээлбэл, тэмдэгт (1/ n) тоонуудын дарааллыг илэрхийлнэ

Өөрөөр хэлбэл дарааллыг дугаарлагдсан элементүүдийн хязгааргүй олонлог эсвэл хос тооны олонлог гэж ойлгож болно. (p, x p),эхний тоо нь 1, 2, 3, ... дараалсан утгуудыг авна. Хэрэв түүний аль нэг элементийг олж авах аргыг зааж өгсөн бол дарааллыг өгсөн гэж үзнэ. Жишээлбэл, томъёо x n = -1 + (-1)n 0, 2, 0, 2,... дарааллыг тодорхойлно.

Геометрийн хувьд дарааллыг тоон тэнхлэг дээр координат нь дарааллын харгалзах гишүүдтэй тэнцүү цэгүүдийн дараалал хэлбэрээр дүрсэлсэн болно. Зураг дээр. 2.1 дарааллыг харуулав ( x n} = {1/n) тоон мөрөнд.

Конвергент дарааллын тухай ойлголт

Тодорхойлолт 2.Тоо адуудсан дарааллын хязгаар{x n} , хэрэв эерэг тоо байвал ε тоо байна Н, энэ нь бүгдэд зориулагдсан n > Нтэгш бус байдал

Хязгаарлалттай дарааллыг дуудна нийлэх.Хэрэв дараалалд хязгаар нь тоо байвал а, дараа нь дараах байдлаар бичигдэнэ.

Хязгааргүй дарааллыг дуудна ялгаатай.

Тодорхойлолт 3.Хязгаар нь тоотой дараалал а= 0 гэж нэрлэдэг хязгааргүй жижиг дараалал.

Тайлбар 1.Дараалалыг ( x n) нь тоог хязгаарладаг а. Дараа нь дараалал (α n} = {x n - a) нь хязгааргүй жижиг, i.e. аливаа элемент x ххязгаартай нийлэх дараалал а, хэлбэрээр төлөөлж болно

хаана α n-хязгааргүй жижиг дарааллын элемент (α n} .

Тайлбар 2.Тэгш бус байдал (2.2) нь тэгш бус байдалтай тэнцүү (§ 1.5-аас тооны модулийн 4-р шинж чанарыг харна уу)

Энэ нь цагт гэсэн үг n > Ндарааллын бүх элементүүд ( x n)-д байрладаг ε-хөршоноо а(Зураг 2.2), тоо Нε-ийн утгаар тодорхойлогдоно.

Энэ тодорхойлолтын геометрийн тайлбарыг өгөх нь сонирхолтой юм. Дараалал нь тоонуудын хязгааргүй олонлог тул нийлэх юм бол тухайн цэгийн аль ч ε-хөрш аБодит шугам дээр хязгааргүй тооны цэгүүд байдаг - энэ дарааллын элементүүд байдаг бол ε-хөршөөс гадна хязгаарлагдмал тооны элементүүд байдаг. Тиймээс дарааллын хязгаарыг ихэвчлэн дууддаг өтгөрүүлэх цэг.

Тайлбар 3.Хязгааргүй дараалалд байхгүй байна эцсийнхязгаар. Гэсэн хэдий ч тэр байж магадгүй юм эцэс төгсгөлгүйхязгаарыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

Хэрэв нэгэн зэрэг тодорхой тооноос эхлэн дарааллын бүх гишүүд эерэг (сөрөг) байвал бичнэ үү.

Хэрвээ ( x n) нь хязгааргүй жижиг дараалал бол (1 /x х} - хязгааргүй дараалал(2.3) гэсэн утгаараа хязгааргүй хязгаартай ба эсрэгээр.

Конвергент ба дивергент дарааллын жишээг өгье.

Жишээ 1Дарааллын хязгаарын тодорхойлолтыг ашиглан .

Шийдэл. Дурын ε > 0 тоог авна

тэгвэл (2.2) тэгш бус байдлыг хангахын тулд 1 / () тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хангалттай. n + 1) < ε, откуда получаем n> (1 - ε) / ε. Авахад хангалттай Н= [(1 - ε)/ε] (тооны бүхэл хэсэг (1 - ε)/ ε)* тул тэгш бус байдал |x х - 1| < ε выполнялосьпривсех n > Н.

* Тэмдэг [ а] нь тооны бүхэл хэсгийг хэлнэ а, өөрөөр хэлбэл -аас хэтрэхгүй хамгийн том бүхэл тоо а. Жишээлбэл, =2, =2, =0, [-0, 5] = -1, [-23.7] = -24.

Жишээ 2Дараалал ( x n} = (-1)n, эсвэл -1, 1, -1, 1,... хязгааргүй.

Шийдэл. Үнэн хэрэгтээ бид ямар ч тоог хязгаар гэж үздэг: 1 эсвэл -1, ε-тэй< 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x х: бүх сондгой тоотой элементүүд -1, тэгш тоотой элементүүд нь 1 байна.

Конвергент дарааллын үндсэн шинж чанарууд

Дээд математикийн хичээл дээр теорем хэлбэрээр томьёолсон конвергент дарааллын үндсэн шинж чанаруудыг танилцуулъя.

1.Хэрэв хязгааргүй жижиг дарааллын бүх элементүүд{x n} ижил c тоотой тэнцүү бол c = 0 байна.

2. Конвергент дараалал нь зөвхөн нэг хязгаартай.

3.Нэгдэх дараалал нь хязгаарлагдмал байна.

4.Конвергент дарааллын нийлбэр (ялгаа).{x n} болон{у н} хязгаар нь дарааллын хязгаарын нийлбэртэй (ялгаатай) тэнцүү нийлэх дараалал юм.{x х} болон{y p}.

5.Конвергенц дарааллын бүтээгдэхүүн{x n} болон{у н} хязгаар нь дарааллын хязгаарын үржвэртэй тэнцүү нийлэх дараалал юм{x n} болон{у н} .

6.Хоёр нийлсэн дарааллын коэффициент{x n} болон{у н} дарааллын хязгаарыг тогтоосон тохиолдолд{у н} тэг биш бол хязгаар нь дарааллын хязгаарын хуваарьтай тэнцүү нийлэх дараалал байна{x n} болон{y p} .

7. Хэрэв нэгдэх дарааллын элементүүд{x n} Зарим тооноос эхлэн x p ≥ b (x p ≤ b) тэгш бус байдлыг хангавал энэ дарааллын a хязгаар нь a ≥ b (a ≤ b) тэгш бус байдлыг мөн хангана.

8.Хязгаарлагдмал дараалал эсвэл тоогоор хязгааргүй жижиг дарааллын үржвэр нь хязгааргүй жижиг дараалал юм.

9.Хязгааргүй цөөн тооны дарааллын үржвэр нь хязгааргүй жижиг дараалал юм.

Эдгээр шинж чанаруудын хэрэглээг жишээн дээр авч үзье.

Жишээ 3. Хязгаарыг ол.

Шийдэл. At nбутархайн хүртэгч ба хуваагч нь хязгааргүй байх хандлагатай, i.e. Хэмжилтийн хязгаарын теоремыг дарааллын хязгаартай гэж үздэг тул шууд хэрэглэх боломжгүй. Бид тоологч ба хуваагчийг хуваах замаар энэ дарааллыг хувиргадаг n 2. Дараа нь хуваалтын хязгаар, нийлбэрийн хязгаар, дахин хуваалтын хязгаарын талаархи теоремуудыг ашигласнаар бид дараалан олно.

Жишээ 4 x х) = цагт П.

Шийдэл. Энд өмнөх жишээний адил тоологч ба хуваагч нь хязгаарлагдмал хязгааргүй тул эхлээд тохирох хувиргалтыг хийх ёстой. Тоолуур ба хуваагчийг хуваах n, бид авдаг

Тоолуур нь хязгааргүй жижиг дараалал ба хязгаарлагдмал дарааллын үржвэр тул 8-р шинж чанараар бид эцэст нь олж авна.

Жишээ 5Дарааллын хязгаарыг ол ( x n) = цагт П .

Шийдэл. Энд дарааллын нийлбэрийн (ялгаа) хязгаарын тухай теоремыг шууд хэрэглэх боломжгүй, учир нь (-ын томъёонд нэр томъёоны хязгаарлагдмал хязгаар байдаггүй. x n} . Томьёог үржүүлж хуваах ( x n) нэгтгэсэн илэрхийлэлд:

Тоо e

Дарааллыг анхаарч үзээрэй ( x n} , нийтлэг нэр томъёог томъёогоор илэрхийлдэг

Математик шинжилгээний явцад энэ дараалал нь батлагдсан монотоноор нэмэгддэгмөн хязгаартай. Энэ хязгаарыг тоо гэж нэрлэдэг д. Тиймээс, тодорхойлолтоор

Тоо дматематикт ихээхэн үүрэг гүйцэтгэдэг. Дараа нь шаардлагатай нарийвчлалтайгаар тооцоолох аргыг авч үзэх болно. Тоо гэдгийг энд анхаарна уу дүндэслэлгүй; түүний ойролцоо утга нь д = 2,7182818... .

3. Тооны дарааллын хязгаар

3.1. Тоон дарааллын тухай ойлголт ба байгалийн аргументийн функц

Тодорхойлолт 3.1.Тоон дараалал (цаашид энгийн дараалал) нь эрэмблэгдсэн тоолж болох тооны багц юм.

{x1, x2, x3, ... }.

Хоёр цэг дээр анхаарлаа хандуулаарай.

1. Дараалалд хязгааргүй олон тоо байна. Хэрэв хязгаарлагдмал тооны тоо байгаа бол энэ нь дараалал биш юм!

2. Бүх тоонуудыг дарааллаар нь, өөрөөр хэлбэл тодорхой дарааллаар байрлуулна.

Дараах зүйлд бид дарааллын товчлолыг ихэвчлэн ашиглах болно ( xn}.

Тодорхой үйлдлүүдийг дараалал дээр хийж болно. Тэдгээрийн заримыг нь авч үзье.

1. Дарааллыг тоогоор үржүүлэх.

Дараалал в×{ xn) нь элементүүдтэй дараалал ( в× xn), тэр бол

в×{ x1, x2, x3, ... }={в× x1, s× x2, с× x3, ... }.

2. Дарааллыг нэмэх, хасах.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

эсвэл илүү дэлгэрэнгүй,

{x1, x2, x3, ...}±{ y1, y2, y3, ... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Дарааллыг үржүүлэх.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. Дарааллын хуваалт.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд бүх зүйл гэж таамаглаж байна yn¹ 0.

Тодорхойлолт 3.2.Дараалал ( xn) хэрэв https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" өндөр байвал дээрээс хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг. = "25 src=">. Дараалал (xn) нь дээрээс болон доороос хоёуланд нь хязгаарлагдсан бол түүнийг хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг.

3.2. Дарааллын хязгаарлалт. Хязгааргүй том дараалал

Тодорхойлолт 3.3.Тоо адарааллын хязгаар гэж нэрлэдэг ( xn) цагт nхязгааргүйд тэмүүлэх, хэрэв

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> бол .

Тэд хэлэхдээ хэрэв бол .

Тодорхойлолт 3.4.Дараалал ( xn) бол хязгааргүй том гэж нэрлэдэг (өөрөөр хэлбэл, хэрэв ).

3.3. Хязгааргүй жижиг дараалал.

Тодорхойлолт 3.5.Дарааллыг (xn) хязгааргүй жижиг if , өөрөөр хэлбэл .

Хязгааргүй жижиг дараалал нь дараах шинж чанартай байдаг.

1. Төгсгөлгүй жижиг дарааллын нийлбэр ба ялгавар нь мөн л хязгааргүй жижиг дараалал юм.

2. Төгсгөлгүй жижиг дараалал нь хязгаарлагдмал.

3. Төгсгөлгүй жижиг дараалал ба хязгаарлагдмал дарааллын үржвэр нь хязгааргүй жижиг дараалал юм.

4. Хэрэв ( xn) нь хязгааргүй том дараалал бөгөөд дараа нь заримаас эхэлдэг Н, дараалал (1/ xn), мөн энэ нь хязгааргүй жижиг дараалал юм. Харин эсрэгээр, хэрэв ( xn) нь хязгааргүй жижиг дараалал ба бүх xnтэгээс ялгаатай бол (1/ xn) нь хязгааргүй том дараалал юм.

3.4. нийлсэн дараалал.

Тодорхойлолт 3.6.Хэрэв төгсгөлийн хязгаар байгаа бол https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. Хэрэв , дараа нь .

3.5. Тэгш бус байдлын хязгаарт хүрэх.

Теорем 3.1.Хэрэв заримаас нь эхлээд Н, бүгд xn ³ б, дараа нь.

Үр дагавар.Хэрэв заримаас нь эхлээд Н, бүгд xn ³ yn, дараа нь .

Сэтгэгдэл. Заримаас эхлэн хэрэв бол гэдгийг анхаарна уу Н, бүгд xn > б, тэгвэл , өөрөөр хэлбэл, хязгаарт шилжих үед хатуу тэгш бус байдал нь хатуу бус болж болно.

Теорем 3.2.("Хоёр цагдаагийн теорем") Заримаас нь эхлээд байвал Н, дараах шинж чанарууд хамаарна

1..gif" өргөн="163" өндөр="33 src=">,

дараа нь байдаг.

3.6. Монотон дарааллын хязгаар.

Тодорхойлолт 3.7.Дараалал ( xn) байгаа бол монотон нэмэгдэх гэж нэрлэдэг n xn+1 ³ xn.

Дараалал ( xn) хэрэв байгаа бол хатуу монотон өсөлт гэж нэрлэдэг n xn+1> xn.

xn­.

Тодорхойлолт 3.8.Дараалал ( xn) байгаа бол монотон буурах гэж нэрлэдэг n xn+1 £ xn.

Дараалал ( xn) хэрэв байгаа бол хатуу монотон бууралт гэж нэрлэдэг n xn+1< xn.

Эдгээр тохиолдлуудыг хоёуланг нь тэмдэгтэй хослуулсан xn¯.

Монотон дарааллын хязгаар орших тухай теорем.

1. Хэрэв дараалал ( xn) нь монотон өсөх (багарах) бөгөөд дээрээс (доороос) хязгаарлагдмал, дараа нь sup(-тай тэнцүү хязгаарлагдмал хязгаартай байна. xn) (inf( xn}).

2 Хэрэв дараалал ( xn) монотоноор нэмэгддэг (буурдаг), гэхдээ дээрээс (доороос) хязгаарлагдахгүй, дараа нь +¥ (-¥) -тэй тэнцүү хязгаартай байна.

Энэ теорем дээр үндэслэн гайхалтай хязгаар гэж нэрлэгддэг зүйл байдаг нь батлагдсан

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Үүнийг дарааллын дэд дараалал гэж нэрлэдэг ( xn}.

Теорем 3.3.Хэрэв дараалал ( xn) нийлэх ба түүний хязгаар байна а, дараа нь түүний аль нэг дэд дараалал нь нийлж, ижил хязгаартай байна.

Хэрвээ ( xn) нь хязгааргүй том дараалал бол түүний аль нэг дэд дараалал нь бас хязгааргүй том байна.

Болзано-Вейерштрасс лемма.

1. Аливаа хязгаарлагдмал дарааллаас төгсгөлтэй хязгаарт нийлэх дэд дарааллыг гаргаж авч болно.

2. Ямар ч хязгааргүй дарааллаас хязгааргүй том дэд дарааллыг гаргаж авч болно.

Энэхүү лемма дээр үндэслэн хязгаарын онолын гол үр дүнгийн нэг нь батлагдсан. Болзано-Коши нийлэх шалгуур.

Дарааллын хувьд ( xn) хязгаарлагдмал хязгаар байсан, энэ нь шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм

Энэ шинж чанарыг хангасан дарааллыг үндсэн дараалал буюу өөртөө нийлдэг дараалал гэнэ.

Олон хүмүүсийн хувьд математик анализ нь бодит амьдралаас хол, үл ойлгогдох тоо, дүрс, тодорхойлолтуудын нэгдэл юм. Гэсэн хэдий ч бидний оршин буй ертөнц нь тоон хэв маяг дээр бүтээгдсэн бөгөөд үүнийг таних нь бидний эргэн тойрон дахь ертөнцийн талаар мэдэх, түүний нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг төдийгүй өдөр тутмын практик даалгавруудыг хялбарчлахад тусалдаг. Тооны дараалал нийлдэг гэж математикч юу гэсэн үг вэ? Үүнийг илүү нарийвчлан хэлэлцэх ёстой.

жижиг?

Матрешка хүүхэлдэйг нэг нэгнийгээ дотор нь тааруулж төсөөлөөд үз дээ. Тэдний хэмжээ, тоо хэлбэрээр бичигдсэн, хамгийн томоос нь эхэлж, хамгийн бага нь хүртэл дараалал үүсгэдэг. Хэрэв та хязгааргүй олон тооны ийм тод дүрсийг төсөөлж байгаа бол үүссэн эгнээ нь гайхалтай урт байх болно. Энэ бол нэгтгэсэн тооны дараалал юм. Дараа нь үүрлэх хүүхэлдэй бүрийн хэмжээ нь сүйрлийн хэмжээгээр буурч, аажмаар юу ч биш болж хувирдаг тул энэ нь тэг болох хандлагатай байдаг. Тиймээс үүнийг тайлбарлахад хялбар байдаг: юу нь хязгааргүй жижиг юм.

Үүнтэй төстэй жишээ бол алслагдсан зам байж болно. Ажиглагчаас холдож буй машины харааны хэмжээсүүд аажмаар багасч, цэгтэй төстэй хэлбэргүй толбо болж хувирдаг. Тиймээс машин нь объект шиг үл мэдэгдэх чиглэлд холдож, хязгааргүй жижиг болно. Заасан биеийн параметрүүд нь үгийн жинхэнэ утгаараа хэзээ ч тэг байх болно, гэхдээ эцсийн хязгаарт энэ утгыг байнга чиглүүлдэг. Тиймээс энэ дараалал дахин тэг болж нийлдэг.

Бүгдийг дусал дуслаар тооцож үзье

Бодит амьдралын нөхцөл байдлыг төсөөлөөд үз дээ. Эмч өвчтөнд эм уухыг зааж өгсөн бөгөөд өдөрт арван дуслаар эхэлж, дараагийн өдөр бүр хоёр дуслаар нэмнэ. Тиймээс эмч 190 дусал хэмжээтэй эмийн савны агууламж дуусах хүртэл үргэлжлүүлэхийг санал болгов. Дээр дурдсан зүйлсээс харахад өдөр бүр зурсан ийм тоо нь дараахь тооны цуврал байх болно: 10, 12, 14 гэх мэт.

Хичээлийг бүхэлд нь дамжих хугацаа, дарааллын гишүүдийн тоог хэрхэн олж мэдэх вэ? Энд мэдээжийн хэрэг та дуслыг энгийн байдлаар тоолж болно. Гэхдээ хэв маягийг харгалзан үзэхэд d = 2 алхамтай томьёог ашиглах нь илүү хялбар байдаг. Мөн энэ аргыг ашиглан тооны цувралын гишүүдийн тоо 10 гэдгийг олж мэдээрэй. Энэ тохиолдолд 10 = 28 байна. Гишүүний дугаар нь эм уусан өдрийн тоог заадаг бөгөөд 28 нь өвчтөн сүүлийн өдөр хэрэглэх ёстой дуслын тоотой тохирч байна. Энэ дараалал нийлдэг үү? Үгүй ээ, учир нь энэ нь доороос 10, дээрээс 28-аар хязгаарлагддаг ч өмнөх жишээнүүдээс ялгаатай нь ийм тооны цувралд хязгаарлалт байхгүй.

Ялгаа нь юу вэ?

Одоо тодруулахыг хичээцгээе: тооны цуваа нь нийлсэн дараалал болж хувирах үед. Дээрхээс дүгнэж хэлэхэд энэ төрлийн тодорхойлолт нь эцсийн хязгаарын тухай ойлголттой шууд холбоотой бөгөөд түүний оршихуй нь асуудлын мөн чанарыг илтгэдэг. Тэгэхээр өмнө нь өгсөн жишээнүүдийн үндсэн ялгаа нь юу вэ? Тэдний сүүлчийнх нь 28 тоог яагаад X n = 10 + 2 (n-1) тооны цувралын хязгаар гэж үзэж болохгүй гэж?

Энэ асуудлыг тодруулахын тулд n нь натурал тооны олонлогт хамаарах доорх томьёогоор өгөгдсөн өөр дарааллыг авч үзье.

Энэхүү гишүүдийн нийгэмлэг нь энгийн бутархайн багц бөгөөд тэдгээрийн хуваагч нь 1, хуваагч нь байнга нэмэгдэж байдаг: 1, ½ ...

Түүгээр ч зогсохгүй энэ цувралын дараагийн төлөөлөгч бүр тоон шугам дээрх байршлын хувьд улам бүр 0-д ойртож байна. Энэ нь цэгүүд тэг орчим бөөгнөрөх үед ийм хөрш гарч ирдэг гэсэн үг бөгөөд энэ нь хязгаар юм. Тэд ойртох тусам тооны шулуун дээрх төвлөрөл нь нягт болно. Тэдний хоорондох зай гамшгийн хэмжээгээр багасч, хязгааргүй жижиг зай болж хувирдаг. Энэ нь дараалал нэгдэж байгаагийн шинж юм.

Үүний нэгэн адил, зурагт үзүүлсэн олон өнгийн тэгш өнцөгтүүд нь сансар огторгуйд шилжих үед илүү нягтаршилтай, таамаглалын хязгаарт үл тоомсорлодог.

Хязгааргүй том дараалал

Конвергент дарааллын тодорхойлолтод дүн шинжилгээ хийсний дараа бид одоо эсрэг жишээнүүд рүү шилжиж байна. Тэдний олонх нь эрт дээр үеэс хүмүүст мэдэгдэж байсан. Дивергент дарааллын хамгийн энгийн хувилбарууд нь натурал ба тэгш тоонуудын цуваа юм. Тэдний гишүүд байнга нэмэгдэж, эерэг хязгааргүйд ойртож байгаа тул тэдгээрийг өөр байдлаар хязгааргүй том гэж нэрлэдэг.

Алхам болон хуваагч нь тэгээс их байх арифметик ба геометрийн прогрессийн аль нэг нь ийм жишээ болж болно. Дивергент дарааллыг үүнээс гадна тоон цуваа гэж үздэг бөгөөд тэдгээр нь огт хязгаарлалтгүй байдаг. Жишээлбэл, X n = (-2) n -1 .

Фибоначчийн дараалал

Өмнө дурьдсан тоон цувралыг хүн төрөлхтөнд практикт ашиглах нь маргаангүй юм. Гэхдээ өөр олон сайхан жишээ бий. Тэдний нэг нь Фибоначчийн дараалал юм. Нэгээс эхэлдэг гишүүн бүр нь өмнөх гишүүдийн нийлбэр юм. Түүний эхний хоёр төлөөлөгч нь 1 ба 1. Гурав дахь нь 1+1=2, дөрөв дэх нь 1+2=3, тав дахь нь 2+3=5. Цаашилбал, ижил логикийн дагуу 8, 13, 21 гэх мэт тоонууд дагаж мөрддөг.

Энэ цуврал тоо нь хязгааргүй өсдөг бөгөөд хязгааргүй. Гэхдээ энэ нь бас нэг гайхалтай өмчтэй. Өмнөх тоо тус бүрийн дараагийнхтай харьцуулсан харьцаа нь утгаараа 0.618-д илүү ойртож байна. Эндээс та нийлсэн ба дивергент дарааллын ялгааг ойлгож болно, учир нь хэрэв та хэд хэдэн хүлээн авсан хувийн хуваалт хийвэл заасан тоон систем нь 0.618-тай тэнцүү эцсийн хязгаар.

Фибоначчийн харьцааны дараалал

Дээр дурдсан тооны цувралыг зах зээлийн техникийн шинжилгээнд практик зорилгоор өргөн ашигладаг. Гэхдээ энэ нь Египетчүүд болон Грекчүүдийн эрт дээр үед мэддэг байсан бөгөөд хэрэгжүүлж чаддаг байсан чадвараараа хязгаарлагдахгүй. Үүнийг тэдний барьсан пирамидууд болон Парфенон нотолж байна. Эцсийн эцэст, 0.618 тоо нь хуучин өдрүүдэд сайн мэддэг алтан хэсгийн тогтмол коэффициент юм. Энэ дүрмийн дагуу дурын сегментийг түүний хэсгүүдийн хоорондын харьцаа нь сегментүүдийн хамгийн том хэсэг ба нийт уртын хоорондох харьцаатай давхцах байдлаар хувааж болно.

Эдгээр харилцааны цувралыг байгуулж, энэ дарааллыг шинжлэхийг хичээцгээе. Тооны цуваа дараах байдалтай байна: 1; 0.5; 0.67; 0.6; 0.625; 0.615; 0.619 гэх мэт. Энэ маягаар үргэлжлүүлбэл нэгдэх дарааллын хязгаар нь үнэхээр 0.618 байх болно гэдгийг шалгаж болно. Гэсэн хэдий ч энэ тогтмол байдлын бусад шинж чанарыг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энд тоонууд өсөх, буурах дарааллаар огтхон ч биш санамсаргүй байдлаар явдаг бололтой. Энэ нь энэ нэгдэх дараалал нь нэг хэвийн биш гэсэн үг юм. Яагаад ийм болсон бэ гэдгийг цаашид хэлэлцэх болно.

монотон байдал ба хязгаарлалт

Өсөн нэмэгдэж буй тоотой тооны цувралын гишүүд тодорхой буурч (хэрэв x 1>x 2>x 3>...> x n>...) эсвэл нэмэгдэж (х 1 бол) болно.

Энэ цувралын дугаарыг зурсны дараа тодорхойгүй хугацаагаар 1-д ойртож буй гишүүдийн аль нь ч энэ утгыг хэзээ ч давахгүй гэдгийг анзаарч болно. Энэ тохиолдолд нийлэх дарааллыг хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг. Энэ нь цуврал модулийн нөхцлөөс үргэлж их байх эерэг тоо M байх бүрт тохиолддог. Хэрэв тоон цуваа нь нэгэн хэвийн байдлын шинж тэмдэгтэй бөгөөд хязгаартай тул нийлдэг бол энэ нь заавал ийм шинж чанартай байх ёстой. Мөн эсрэгээр нь үнэн байх албагүй. Үүнийг нийлсэн дарааллын хязгаарлагдмал байдлын теорем нотолж байна.

Ийм ажиглалтыг практикт ашиглах нь маш ашигтай байдаг. X n = n/n+1 дарааллын шинж чанарыг судалж, нийлэлтийг нотлон тодорхой жишээ татъя. (x n +1 - x n) нь n-ийн аль ч утгын хувьд эерэг тоо тул энэ нь монотон гэдгийг харуулахад хялбар байдаг. Дарааллын хязгаар нь 1-ийн тоотой тэнцүү бөгөөд энэ нь Вейерштрассын теорем гэж нэрлэгддэг дээрх теоремын бүх нөхцөл хангагдсан гэсэн үг юм. Нэгдэх дарааллын хязгаарлагдмал байдлын тухай теоремд хэрэв энэ нь хязгаартай бол ямар ч тохиолдолд энэ нь хязгаарлагдмал болж хувирна гэж заасан байдаг. Гэсэн хэдий ч дараах жишээг авч үзье. X n = (-1) n тооны цуваа нь доороос -1-ээр, дээрээс 1-ээр хязгаарлагддаг. Гэхдээ энэ дараалал нь нэг хэвийн биш, хязгааргүй, тиймээс нийлдэггүй. Өөрөөр хэлбэл, хязгаар байх ба нэгдэх нь хязгаарлалтаас үргэлж гардаггүй. Үүнийг ажиллуулахын тулд Фибоначчийн харьцааны нэгэн адил доод ба дээд хязгаарууд таарч байх ёстой.

Орчлон ертөнцийн тоо ба хууль

Конвергент ба дивергент дарааллын хамгийн энгийн хувилбарууд нь X n = n ба X n = 1/n тоон цуваа байж магадгүй юм. Тэдний эхнийх нь байгалийн цуврал тоо юм. Энэ нь аль хэдийн дурьдсанчлан хязгааргүй том юм. Хоёрдахь нэгдэх дараалал нь хязгаарлагдмал бөгөөд түүний гишүүдийн хэмжээ хязгааргүй багатай ойролцоо байна. Эдгээр томьёо бүр нь олон талт ертөнцийн аль нэг талыг илэрхийлж, тоо, тэмдгийн хэлээр хязгаарлагдмал ойлголтод хүрэх боломжгүй, үл мэдэгдэх зүйлийг төсөөлж, тооцоолоход тусалдаг.

Орчлон ертөнцийн хуулиудыг үл тоомсорлохоос эхлээд гайхалтай том хүртэл 0.618 алтан харьцаагаар илэрхийлдэг. Энэ нь аливаа зүйлийн мөн чанарын үндэс суурь бөгөөд байгалиасаа эд ангиудыг нь бүрдүүлэхэд ашигладаг гэж эрдэмтэд үздэг. Бидний өмнө дурьдсан Фибоначчийн цувралын дараагийн болон өмнөх гишүүдийн хоорондын харилцаа нь энэхүү өвөрмөц цувралын гайхалтай шинж чанарыг харуулж чадахгүй байна. Хэрэв бид өмнөх гишүүнийг дараагийн гишүүнд хуваах коэффициентийг авч үзвэл 0.5 цувралыг авна; 0.33; 0.4; 0.375; 0.384; 0.380; 0.382 гэх мэт. Энэ хязгаарлагдмал дараалал нь нэгдэж байгаа нь сонирхолтой бөгөөд энэ нь нэг хэвийн биш, харин тодорхой гишүүнээс хэт их хөрш зэргэлдээх тоонуудын харьцаа үргэлж ойролцоогоор 0.382-тай тэнцдэг бөгөөд үүнийг архитектур, техникийн шинжилгээ болон бусад салбарт ашиглаж болно.

Фибоначчийн цувралын бусад сонирхолтой коэффициентүүд байдаг бөгөөд тэдгээр нь бүгд байгальд онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд хүн үүнийг практик зорилгоор ашигладаг. Математикчид Орчлон ертөнц нь заасан коэффициентээс үүссэн тодорхой "алтан спираль" дагуу хөгждөг гэдэгт итгэлтэй байна. Тэдгээрийн тусламжтайгаар дэлхий болон сансар огторгуйд тохиолдож буй зарим нянгийн тооны өсөлтөөс эхлээд алс холын сүүлт оддын хөдөлгөөн хүртэлх олон үзэгдлийг тооцоолох боломжтой. ДНХ код нь ижил төстэй хуулиудад захирагддаг нь тодорхой болсон.

Геометрийн прогрессийг багасгах

Конвергенц дарааллын хязгаарын өвөрмөц байдлыг баталдаг теорем байдаг. Энэ нь хоёр ба түүнээс дээш хязгаартай байж болохгүй гэсэн үг бөгөөд энэ нь түүний математик шинж чанарыг олоход чухал ач холбогдолтой юм.

Зарим тохиолдлыг авч үзье. Тэг алхамтай тохиолдлоос бусад тохиолдолд арифметик прогрессийн гишүүдээс бүрдэх аливаа тоон цуваа нь ялгаатай байна. Энэ нь хуваарь нь 1-ээс их геометр прогрессод хамаарна. Ийм тоон цувааны хязгаар нь хязгааргүй байдлын "нэмэх" эсвэл "хасах" юм. Хэрэв хуваагч нь -1-ээс бага бол хязгаарлалт огт байхгүй. Бусад сонголтууд бас боломжтой.

X n = (1/4) n -1 томъёогоор өгөгдсөн тооны цувааг авч үзье. Өнгөц харахад энэ нэгдэх дараалал нь хатуу буурч байгаа бөгөөд ямар ч байдлаар сөрөг утгыг авах чадваргүй учраас хязгаарлагдмал байгааг харахад хялбар байдаг.

Түүний гишүүдийн хэдэн тоог дараалан бичье.

Авах: 1; 0.25; 0.0625; 0.015625; 0.00390625 гэх мэт. 0 хуваагчтай геометрийн прогресс хэр хурдан болохыг ойлгоход маш энгийн тооцоолол хангалттай

Үндсэн дараалал

Францын эрдэмтэн Августин Луи Коши математикийн анализтай холбоотой олон бүтээлийг дэлхий нийтэд дэлгэсэн. Тэрээр дифференциал, интеграл, хязгаар, тасралтгүй байдал гэх мэт ойлголтуудын тодорхойлолтыг өгсөн. Тэрээр мөн нэгдэх дарааллын үндсэн шинж чанарыг судалжээ. Түүний санаа бодлын мөн чанарыг ойлгохын тулд зарим чухал нарийн ширийн зүйлийг нэгтгэн дүгнэх шаардлагатай байна.

Өгүүллийн хамгийн эхэнд бодит шугам дээрх тодорхой цувралын гишүүдийг төлөөлсөн цэгүүд бөөгнөрөн, улам нягт эгнэж эхэлдэг ийм дараалал байдгийг харуулсан. Үүний зэрэгцээ дараагийн төлөөлөгчийн тоо нэмэгдэх тусам тэдгээрийн хоорондох зай багасч, хязгааргүй жижиг болж хувирдаг. Тиймээс тухайн хороололд өгөгдсөн цувралын хязгааргүй тооны төлөөлөгч бүлэглэгддэг бол гадна талд нь хязгаарлагдмал тооны төлөөлөгчид байдаг. Ийм дарааллыг үндсэн гэж нэрлэдэг.

Францын математикчийн бүтээсэн алдарт Кошигийн шалгуур нь ийм шинж чанар байгаа нь дараалал нийлж байгааг батлахад хангалттай гэдгийг тодорхой харуулж байна. Урвуу нь бас үнэн юм.

Францын математикчийн энэхүү дүгнэлт нь ихэвчлэн цэвэр онолын сонирхлыг татдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Практикт үүнийг ашиглах нь нэлээд төвөгтэй асуудал гэж тооцогддог тул цувралуудын нийлэлтийг тодруулахын тулд дарааллын хязгаарлагдмал хязгаар байгаа эсэхийг нотлох нь илүү чухал юм. Үгүй бол энэ нь ялгаатай гэж тооцогддог.

Асуудлыг шийдвэрлэхдээ нэгдэх дарааллын үндсэн шинж чанарыг харгалзан үзэх шаардлагатай. Тэдгээрийг доор үзүүлэв.

Хязгааргүй нийлбэр

Архимед, Евклид, Евдокс зэрэг эртний алдартай эрдэмтэд муруйн урт, биеийн эзэлхүүн, дүрсүүдийн талбайг тооцоолохын тулд хязгааргүй тооны цувралын нийлбэрийг ашигласан. Ялангуяа ийм аргаар параболик сегментийн талбайг олж мэдэх боломжтой болсон. Үүний тулд q=1/4-тэй геометр прогрессийн тоон цувааны нийлбэрийг ашигласан. Бусад дурын тоонуудын хэмжээ, талбайг ижил төстэй байдлаар олсон. Энэ сонголтыг "ядрах" арга гэж нэрлэдэг байв. Энэхүү санаа нь нарийн төвөгтэй хэлбэртэй судлагдсан биеийг хялбархан хэмждэг параметр бүхий дүрс болгон хэсэг болгон хуваасан гэсэн санаа байв. Ийм учраас тэдгээрийн талбай, эзлэхүүнийг тооцоолоход хэцүү биш байсан бөгөөд дараа нь тэдгээрийг нэгтгэсэн.

Дашрамд хэлэхэд ижил төстэй ажлууд нь орчин үеийн сургуулийн хүүхдүүдэд маш сайн танил бөгөөд USE даалгавруудаас олддог. Алс холын өвөг дээдсийн олж мэдсэн өвөрмөц арга бол хамгийн энгийн шийдэл юм. Тоон дүрс хуваагдсан хоёр, гурван хэсэг байсан ч тэдгээрийн талбайн нэмэгдэл нь тооны цувралын нийлбэр хэвээр байна.

Эртний Грекийн эрдэмтэн Лейбниц, Ньютон нараас хамаагүй хожуу мэргэн өмнөх үеийнхнийхээ туршлага дээр үндэслэн интеграл тооцооны хуулийг сурчээ. Дарааллын шинж чанаруудын талаархи мэдлэг нь дифференциал болон алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тусалсан. Одоогийн байдлаар олон үеийн авьяаслаг эрдэмтдийн хүчин чармайлтаар бий болсон цувралын онол нь асар олон тооны математик болон практик асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгож байна. Мөн тоон дарааллыг судлах нь анх үүссэн цагаасаа математик анализаар шийдсэн гол асуудал юм.

Дараалал бол математикийн үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Дараалал нь тоо, цэг, функц, вектор гэх мэт зүйлсээс бүрдэж болно. Натурал n тоо бүрийг зарим олонлогийн x n элементтэй холбох хуулийг зааж өгсөн бол дарааллыг өгсөн гэж үзнэ. Дарааллыг x 1 , x 2 , …, x n , эсвэл товчоор (x n) гэж бичнэ. x 1 , x 2 , ..., x n элементүүдийг дарааллын гишүүд, x 1 - эхний, x 2 - хоёр дахь, x n - нийтлэг (n-р) гишүүн гэж нэрлэдэг.

Ихэнх тохиолдолд тоон дарааллыг, өөрөөр хэлбэл гишүүд нь тоонуудын дарааллыг авч үздэг. Аналитик арга нь тоон дарааллыг тодорхойлох хамгийн энгийн арга юм. Үүнийг x 1 дарааллын n-р гишүүнийг n тоогоор нь илэрхийлэх томьёог ашиглан гүйцэтгэнэ. Жишээлбэл, хэрэв

Өөр нэг арга бол давтагдах (Латин үгнээс дахилт- "буцах") дарааллын эхний цөөн хэдэн гишүүд болон дүрмийг тогтоох үед дараагийн гишүүн бүрийг өмнөх гишүүдээр дамжуулан тооцоолох боломжийг олгоно. Жишээлбэл:

Тоон дарааллын жишээ бол арифметик прогресс, геометр прогресс юм.

n тоо хязгааргүй өсөхөд дарааллын гишүүдийн зан төлөвийг судлах нь сонирхолтой юм (n нь хязгааргүй өсөхийг n → ∞ гэж бичээд: “n нь хязгааргүйд тэмүүлдэг” гэж уншина).

x n = 1/n нийтлэг гишүүнтэй дарааллыг авч үзье: x 1 = 1, x 2 = 1/2; x 3 \u003d 1/3, ..., x 100 \u003d 1/100, .... Энэ дарааллын бүх гишүүд тэгээс ялгаатай боловч n их байх тусам x n нь тэгээс ялгаатай байна. Энэ дарааллын нөхцлүүд нь n нь тодорхой бус хугацаагаар өсөхөд тэг болох хандлагатай байдаг. Тэг тоог энэ дарааллын хязгаар гэж хэлдэг.

Өөр нэг жишээ: x n = (−1) n / n - дарааллыг тодорхойлно

Энэ дарааллын гишүүд мөн тэглэх хандлагатай байдаг, гэхдээ тэдгээр нь тэгээс их эсвэл тэгээс бага байдаг - тэдний хязгаар.

Өөр нэг жишээг авч үзье: x n = (n − 1)/(n + 1). Хэрэв бид x n-ийг хэлбэрээр төлөөлвөл

дараа нь энэ дараалал нь нэгдмэл байх хандлагатай болох нь тодорхой болно.

Дарааллын хязгаарыг тодорхойлъё. Аливаа эерэг ε тооны хувьд бүх n > N хувьд |x n − a| тэгш бус байдал байхаар N тоог зааж өгч чадвал a тоог дарааллын хязгаар (x n) гэнэ.< ε.

Хэрэв a нь дарааллын хязгаар (x n) бол x n → a, эсвэл a = lim n→∞ x n (lim нь латин үгийн эхний гурван үсэг) гэж бичнэ. шохой- "хязгаарлалт").

Энэ тодорхойлолтыг геометрийн утгыг өгвөл илүү тодорхой болно. Бид a тоог (a − ε, a + ε) интервалд оруулдаг (зураг харна уу). Хэрэв интервалын жижиг байдлаас (a − ε, a + ε) үл хамааран N-ээс их тоо бүхий дарааллын бүх гишүүд энэ интервалд оршдог бол a тоо нь дарааллын (x n) хязгаар юм. Өөрөөр хэлбэл аливаа интервалын гадна (a − ε, a + ε) дарааллын зөвхөн хязгаарлагдмал тооны гишүүд байж болно.

Харгалзан үзсэн x n = (−1) n /n дарааллын хувьд ε = 1/10 дахь тэг цэгийн ε-хөрш нь эхний араваас бусад дарааллын бүх гишүүдийг, ε = 1/100-ийн хувьд бүх эхний зуугаас бусад дарааллын гишүүд.

Хязгаарлалттай дарааллыг конвергент, хязгааргүй дарааллыг дивергент гэнэ. Дивергент дарааллын жишээ энд байна: x n = (−1) n . Түүний нөхцөлүүд нь ээлжлэн +1 ба -1 бөгөөд ямар ч хязгаарлалттай байдаггүй.

Хэрэв дараалал нийлбэл энэ нь хязгаарлагдмал байна, өөрөөр хэлбэл дарааллын бүх гишүүд c ≤ x n ≤ d нөхцөлийг хангахуйц c ба d тоонууд байна. Үүнээс үзэхэд бүх хязгааргүй дараалал нь ялгаатай байна. Эдгээр нь дараалал юм:

Тэг рүү чиглэсэн дарааллыг хязгааргүй жижиг гэж нэрлэдэг. Дарааллын хязгаар (x n) нь зөвхөн x n-ийг x n = a + α нийлбэрээр илэрхийлж болох тохиолдолд л a-тай тэнцүү байх тул хязгааргүй жижиг гэсэн ойлголтыг дарааллын хязгаарын ерөнхий тодорхойлолтын үндэс болгон ашиглаж болно. n , энд α n нь хязгааргүй жижиг.

(1/n), ((−1) n /n) авч үзсэн дараалал нь хязгааргүй бага байна. Дараалал (n − 1)/(n + 1) нь (2)-ын дагуу 1-ээс хязгааргүй бага 2/(n + 1)-ээр ялгаатай тул энэ дарааллын хязгаар нь 1 байна.

Математикийн шинжилгээнд асар их ач холбогдолтой зүйл бол хязгааргүй том дарааллын тухай ойлголт юм. (1/x n) дараалал нь хязгааргүй жижиг бол (x n) дарааллыг хязгааргүй том гэж нэрлэдэг. Хязгааргүй том дарааллыг (x n) x n → ∞, эсвэл lim n→∞ x n = ∞ гэж бичээд "хязгааргүйд очно" гэж хэлдэг. Хязгааргүй том дарааллын жишээ энд байна:

(n 2), (2 n), (√(n + 1)), (n - n 2).

Хязгааргүй том дараалалд хязгаар байхгүй гэдгийг бид онцолж байна.

(x n) ба (y n) дарааллыг авч үзье. Та x n + y n , x n − y n , x n y n ба (хэрэв y n ≠ 0 бол) x n / y n гэсэн нийтлэг нэр томъёогоор дарааллыг тодорхойлж болно. Дараах теорем нь үнэн бөгөөд үүнийг ихэвчлэн хязгаартай арифметик үйлдлүүдийн теорем гэж нэрлэдэг: хэрвээ (x n) ба (y n) дараалал нь нийлдэг бол дараалал (x n + y n), (x n − y n), (x n y n), ( x n /y n) мөн нийлэх ба дараах тэгшитгэлүүд биелнэ.

Сүүлчийн тохиолдолд, үүнээс гадна дарааллын бүх гишүүд (y n) тэгээс ялгаатай байхаас гадна lim n→∞ y n ≠ 0 нөхцөл хангагдсан байхыг шаардах шаардлагатай.

Энэ теоремыг хэрэглэснээр олон хязгаарыг олж болно. Жишээлбэл, нийтлэг гишүүнтэй дарааллын хязгаарыг ол

X n-ийг хэлбэрээр илэрхийлнэ

тоологч ба хуваагчийн хязгаар байгаа эсэхийг тогтооно:

Тиймээс бид:

lim n→∞ x n = 2/1 =2.

Дарааллын чухал анги бол монотон дараалал юм. Өсөх (х n+1 > x n дурын n хувьд), буурах (x n+1) дарааллыг гэж нэрлэдэг.< x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

Дараалал (x n) буурахгүй, өөрөөр хэлбэл тэгш бус байдал гэж төсөөлөөд үз дээ.

x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ … ≤ x n ≤ x n+1 ≤ …,

Үүнээс гадна энэ дарааллыг дээрээс нь хязгаарлаж, өөрөөр хэлбэл бүх x n нь ямар нэг d тооноос хэтрэхгүй байх ёстой. Ийм дарааллын гишүүн бүр өмнөхөөсөө их буюу тэнцүү боловч аль нь ч d-ээс хэтрэхгүй. Энэ дараалал нь d-ээс бага эсвэл d-тэй тэнцүү зарим тоо руу чиглэдэг нь тодорхой юм. Математикийн анализын явцад дээрхээс багасдаггүй, хязгаарлагдмал дараалал нь хязгаартай байдаг нь теоремоор нотлогддог (үүнтэй төстэй мэдэгдэл нь өсөхгүй, доороос нь хязгаарлагдсан дарааллын хувьд үнэн юм). Энэхүү гайхалтай теорем нь хязгаар оршин байх хангалттай нөхцөлийг өгдөг. Эндээс жишээ нь нэгж радиустай тойрогт бичээстэй ердийн n-гонуудын талбайн дараалал нь хязгаартай байдаг, учир нь энэ нь монотон нэмэгдэж, дээрээс хязгаарлагддаг. Энэ дарааллын хязгаарыг π-ээр тэмдэглэнэ.

Монотон хязгаарлагдмал дарааллын хязгаарыг ашиглан математик шинжилгээнд ихээхэн үүрэг гүйцэтгэдэг e тоог тодорхойлно - натурал логарифмын суурь:

e = lim n→∞ (1 + 1/n) n .

Өмнө дурьдсанчлан (1) дараалал нь монотон бөгөөд дээрээс нь хязгаарлагдмал байдаг. Түүнд хязгаар бий. Бид энэ хязгаарыг хялбархан олох боломжтой. Хэрэв энэ нь a-тай тэнцүү бол a тоо нь a = √(2 + a) тэгшитгэлийг хангах ёстой. Энэ тэгшитгэлийг шийдснээр бид a = 2 болно.