координатын шугам. Координатын шугам дээрх цэгүүд. Координатын шугамыг хэрхэн зурах вэ Координатын шугамыг хэрхэн зурах вэ

Тиймээс нэгж сегмент ба түүний арав, зуу гэх мэт хэсгүүд нь координатын шугамын цэгүүдэд хүрэх боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь эцсийн аравтын бутархайтай тохирч байх болно (өмнөх жишээн дээрх шиг). Гэсэн хэдий ч координатын шугам дээр бид онож чадахгүй, гэхдээ бид дур мэдэн ойртож болох цэгүүд байдаг, бага ба жижиг хэсгүүдийг ашиглан нэгж сегментийн хязгааргүй жижиг хэсэг хүртэл. Эдгээр цэгүүд нь төгсгөлгүй үечилсэн ба үегүй аравтын бутархайтай тохирч байна. Зарим жишээ хэлье. Координатын шулуун дээрх эдгээр цэгүүдийн нэг нь 3.711711711…=3,(711) тоотой тохирч байна. Энэ цэгт ойртохын тулд та 3 нэгж сегмент, түүний аравны 7, 1 зуу, 1 мянга, 7 арав мянга, 1 зуун мянга, 1 сая дахь хэсэг гэх мэтийг тусад нь тавих хэрэгтэй. Мөн координатын шугамын өөр нэг цэг нь pi-тэй тохирч байна (π=3.141592...).

Бодит тооны олонлогийн элементүүд нь төгсгөлтэй ба төгсгөлгүй аравтын бутархай хэлбэрээр бичигдэж болох бүх тоонууд тул энэ догол мөр дэх дээрх бүх мэдээлэл нь бид цэг бүрт тодорхой бодит тоог өгсөн гэдгийг батлах боломжийг олгодог. координатын шугам, гэхдээ өөр өөр цэгүүд өөр өөр бодит тоотой тохирч байгаа нь тодорхой байна.

Энэ захидал харилцаа нь ганцаарчилсан байдаг нь бас тодорхой юм. Өөрөөр хэлбэл, бид координатын шулуун дээрх өгөгдсөн цэгийг бодит тоотой холбож болох ч өгөгдсөн бодит тоог ашиглан координатын шулуун дээрх энэ бодит тоо тохирох цэгийг зааж өгч болно. Үүнийг хийхийн тулд бид тодорхой тооны нэгж сегментийг, мөн нэг сегментийн аравны нэг, зуутын хэсэг гэх мэтийг зөв чиглэлд хойшлуулах шаардлагатай болно. Жишээлбэл, 703.405 тоо нь координатын шулуун дээрх цэгтэй тохирч байгаа бөгөөд эерэг чиглэлд 703 нэгж сегмент, нэгжийн аравны нэгийг бүрдүүлдэг 4 хэрчмүүд, 5 хэрчмүүдийг тус тус тусгаарлах замаар гарал үүслийн цэгээс хүрч болно. нэгжийн мянганы нэг.

Тиймээс координатын шулуун дээрх цэг бүр бодит тоотой тохирч, бодит тоо тус бүр нь координатын шугам дээрх цэг хэлбэрээр байр сууриа эзэлдэг. Ийм учраас координатын шугамыг ихэвчлэн нэрлэдэг тооны шугам.

Координатын шугам дээрх цэгүүдийн координатууд

Координатын шулуун дээрх цэгт тохирох тоог дуудна Энэ цэгийн координат.

Өмнөх догол мөрөнд бид бодит тоо бүр нь координатын шугам дээрх нэг цэгтэй тохирч байгаа тул цэгийн координат нь координатын шугам дээрх энэ цэгийн байрлалыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог гэж бид хэлсэн. Өөрөөр хэлбэл, цэгийн координат нь координатын шулуун дээрх энэ цэгийг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог. Нөгөө талаас, координатын шугам дээрх цэг бүр нь нэг бодит тоотой тохирч байна - энэ цэгийн координат.

Зөвхөн хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээний талаар л хэлэх хэвээр байна. Цэгийн координатыг тухайн цэгийг заасан үсгийн баруун талд хаалтанд бичнэ. Жишээлбэл, хэрэв М цэг нь -6 координаттай бол та M(-6) гэж бичиж болох ба хэлбэрийн тэмдэглэгээ нь координатын шугам дээрх М цэг координаттай байна гэсэн үг юм.

Ном зүй.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математик: 5 эсийн сурах бичиг. боловсролын байгууллагууд.
• Виленкин Н.Я. гэх мэт Математик. 6-р анги: Боловсролын байгууллагын сурах бичиг.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебр: 8 эсийн сурах бичиг. боловсролын байгууллагууд.

График зурах, координатын шулуун дээр тэгш бус байдлыг зурах, координатын тэнхлэгтэй ажиллах чадваргүй бол математикийн мэдлэгтэй гэж хэлэх боломжгүй. Шинжлэх ухаанд харааны бүрэлдэхүүн хэсэг нь амин чухал, учир нь томьёо, тооцоололд харааны жишээ байхгүй бол заримдаа та маш их эргэлзэж болно. Энэ нийтлэлд бид координатын тэнхлэгүүдтэй хэрхэн ажиллахыг харж, энгийн функцийн графикийг хэрхэн бүтээх талаар сурах болно.

Өргөдөл

Координатын шугам нь оюутны боловсролын замд тааралддаг хамгийн энгийн графикуудын үндэс болдог. Үүнийг математикийн бараг бүх сэдвээр ашигладаг: хурд, цагийг тооцоолох, объектын хэмжээг төлөвлөх, талбайг тооцоолох, синус ба косинустай ажиллахдаа тригонометрт.

Ийм шууд шугамын гол үнэ цэнэ нь харагдах байдал юм. Математик бол хийсвэр сэтгэлгээний өндөр түвшин шаарддаг шинжлэх ухаан учраас график нь бодит ертөнцөд объектыг дүрслэн харуулахад тусалдаг. Тэр яаж биеэ авч явдаг вэ? Хэдэн секунд, минут, цагийн дараа сансар огторгуйн аль цэгт хүрэх вэ? Бусад объектуудтай харьцуулахад энэ талаар юу хэлэх вэ? Санамсаргүй сонгосон цагт түүний хурд ямар байх вэ? Түүний хөдөлгөөнийг хэрхэн тодорхойлох вэ?

Мөн бид хурдны талаар ямар нэг шалтгаанаар ярьж байна - үүнийг ихэвчлэн функцийн графикууд харуулдаг. Мөн тэд объектын доторх температур, даралтын өөрчлөлт, түүний хэмжээ, тэнгэрийн хаяатай харьцуулахад чиг баримжаа зэргийг харуулах боломжтой. Тиймээс физикт координатын шугам барих нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

1D график

Олон хэмжээст гэдэг ойлголт байдаг. Цэгийн байршлыг тодорхойлоход зөвхөн нэг тоо хангалттай. Координатын шугамыг ашиглахад яг ийм байна. Хэрэв орон зай хоёр хэмжээст бол хоёр тоо шаардлагатай. Энэ төрлийн диаграммыг илүү олон удаа ашигладаг бөгөөд бид тэдгээрийг нийтлэлд бага зэрэг авч үзэх нь гарцаагүй.

Хэрэв энэ нь зөвхөн нэг бол тэнхлэг дээрх цэгүүдийн тусламжтайгаар юу харагдах вэ? Та объектын хэмжээ, орон зай дахь байрлалыг зарим "тэг", өөрөөр хэлбэл гарал үүслээр сонгосон цэгийг харж болно.

Цаг хугацаа өнгөрөхөд параметрийн өөрчлөлтийг харах боломжгүй болно, учир нь бүх уншилтыг тодорхой нэг мөчид харуулах болно. Гэсэн хэдий ч та хаа нэг газар эхлэх хэрэгтэй! Ингээд эхэлцгээе.

Координатын тэнхлэгийг хэрхэн яаж барих вэ

Эхлээд та хэвтээ шугам зурах хэрэгтэй - энэ нь бидний тэнхлэг байх болно. Баруун талд нь сум шиг харагдуулахаар "хурцлах" хэрэгтэй. Тиймээс бид тоо нь ямар чиглэлд нэмэгдэхийг зааж өгдөг. Доош чиглэлд сумыг ихэвчлэн байрлуулдаггүй. Уламжлал ёсоор бол тэнхлэг нь баруун тийш чиглэсэн тул бид энэ дүрмийг дагаж мөрдөх болно.

Координатын гарал үүслийг харуулах тэг тэмдэг тавья. Энэ бол хэмжээ, жин, хурд, бусад зүйлээс үл хамааран цаг тооллыг авдаг газар юм. Тэгээс гадна бид хуваах гэж нэрлэгддэг үнийг заавал зааж өгөх ёстой, өөрөөр хэлбэл нэгжийн стандартыг нэвтрүүлэх ёстой бөгөөд үүний дагуу бид тэнхлэг дээр тодорхой тоо хэмжээг зурах болно. Координатын шугам дээрх сегментийн уртыг олохын тулд үүнийг хийх ёстой.

Бие биенээсээ ижил зайд бид шугаман дээр цэг эсвэл "ховил" тавьж, тэдгээрийн доор 1,2,3 гэх мэтийг бичнэ. Тэгээд одоо бүх зүйл бэлэн боллоо. Гэхдээ үр дүнд хүрсэн хуваарийн дагуу та хэрхэн ажиллахаа сурах хэрэгтэй хэвээр байна.

Координатын шугам дээрх цэгүүдийн төрлүүд

Сурах бичигт санал болгож буй зургуудыг эхлээд харахад тэнхлэг дээрх цэгүүдийг дүүргэх эсвэл бөглөхгүй байх нь тодорхой болно. Үүнийг санамсаргүй тохиолдол гэж бодож байна уу? Огт үгүй! Хатуу бус тэгш бус байдлын хувьд "хатуу" цэгийг ашигладаг - "илүү их эсвэл тэнцүү" гэсэн утгатай. Хэрэв бид интервалыг хатуу хязгаарлах шаардлагатай бол (жишээлбэл, "x" нь тэгээс нэг хүртэлх утгыг авч болно, гэхдээ үүнийг оруулаагүй болно) бид "хоосон" цэг, өөрөөр хэлбэл жижиг тойрог ашиглана. тэнхлэг дээр. Оюутнууд хатуу тэгш бус байдалд үнэхээр дургүй байдаг, учир нь тэдэнтэй ажиллахад илүү хэцүү байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Диаграммд ямар цэгүүдийг ашиглаж байгаагаас хамааран баригдсан интервалуудыг мөн нэрлэх болно. Хэрэв хоёр талын тэгш бус байдал нь хатуу биш бол бид сегментийг авна. Хэрэв энэ нь нэг талаараа "нээлттэй" болж хувирвал хагас интервал гэж нэрлэгдэх болно. Эцэст нь хэрэв шугамын нэг хэсэг нь хоёр талдаа хөндий цэгүүдээр хүрээлэгдсэн бол түүнийг интервал гэж нэрлэнэ.

Онгоц

Хоёр мөрийг бүтээхдээ функцүүдийн графикийг аль хэдийн авч үзэх боломжтой. Хэвтээ шугамыг цагийн тэнхлэг, босоо шугамыг зай гэж үзье. Одоо бид тухайн объект нэг минут эсвэл нэг цаг явахад ямар зайг даван туулахыг тодорхойлох боломжтой болсон. Тиймээс онгоцтой ажиллах нь объектын төлөв байдлын өөрчлөлтийг хянах боломжтой болгодог. Энэ нь статик төлөвийг судлахаас хамаагүй илүү сонирхолтой юм.

Ийм хавтгай дээрх хамгийн энгийн график нь шулуун шугам бөгөөд Y(X) = aX + b функцийг илэрхийлдэг. Шугам нугалж байна уу? Энэ нь судалгааны явцад тухайн объект шинж чанараа өөрчилдөг гэсэн үг юм.

Та барилгын дээвэр дээр сунгасан гартаа чулуу бариад зогсож байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Түүнийг суллахад тэр доошоо нисч, хөдөлгөөнөө тэг хурднаас эхлүүлнэ. Гэвч секундэд тэр цагт 36 км хурдлах болно. Чулуу цаашид ч хурдассаар байх бөгөөд график дээр хөдөлгөөнөө зурахын тулд зохих газруудад тэнхлэг дээр цэг тавьж хурдыг хэд хэдэн цэгт хэмжих шаардлагатай болно.

Хэвтээ координатын шугам дээрх тэмдэглэгээг анхдагчаар X1, X2,X3, босоо чиглэлд Y1, Y2,Y3 гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг хавтгай дээр буулгаж, уулзваруудыг олсноор бид үүссэн хэв маягийн хэсгүүдийг олдог. Тэдгээрийг нэг шугамаар холбосноор бид функцийн графикийг олж авна. Чулуу унасан тохиолдолд квадрат функц нь дараах байдалтай байна: Y(X) = aX * X + bX + c.

Масштаб

Мэдээжийн хэрэг, шулуун шугамаар хуваагдсан хэсгүүдийн хажууд бүхэл тоон утгыг тавих шаардлагагүй. Хэрэв та минутанд 0.03 метр хурдтай мөлхөж буй эмгэн хумсны хөдөлгөөнийг бодож байгаа бол координатын шулуун шугам дээр утгыг тохируулна уу. Энэ тохиолдолд хуваах утгыг 0.01 метр болгож тохируулна.

Ийм зургийг торонд тэмдэглэлийн дэвтэрт хийх нь ялангуяа тохиромжтой байдаг - эндээс та хуваарийнхаа хуудсан дээр хангалттай зай байгаа эсэх, захаас хэтрэх эсэхээ шууд харах боломжтой. Ийм дэвтэр дэх эсийн өргөн нь 0.5 сантиметр тул хүч чадлаа тооцоолоход хэцүү биш юм. Энэ нь авсан - зургийг багасгасан. Графикийн масштабыг өөрчилснөөр шинж чанараа алдахгүй, өөрчлөхгүй.

Цэг ба шугамын координат

Хичээл дээр математикийн бодлого өгөхдөө хажуугийн урт, периметр, талбай, координат хэлбэрээр янз бүрийн геометрийн дүрсийн параметрүүдийг агуулж болно. Энэ тохиолдолд та дүрс үүсгэж, түүнтэй холбоотой зарим өгөгдлийг авах шаардлагатай байж магадгүй юм. Асуулт гарч ирнэ: координатын шугам дээр шаардлагатай мэдээллийг хэрхэн олох вэ? Мөн хэрхэн дүрс бүтээх вэ?

Жишээлбэл, бид нэг цэгийн тухай ярьж байна. Дараа нь асуудлын нөхцөлд том үсэг гарч ирэх бөгөөд хаалтанд хэд хэдэн тоо гарч ирэх бөгөөд ихэнхдээ хоёр (энэ нь бид хоёр хэмжээст орон зайд тоолно гэсэн үг юм). Хэрэв хаалтанд цэг таслал эсвэл таслалаар тусгаарлагдсан гурван тоо байгаа бол энэ нь гурван хэмжээст орон зай юм. Утга бүр нь харгалзах тэнхлэг дээрх координат юм: эхлээд хэвтээ (X), дараа нь босоо (Y) дагуу.

Хэрхэн сегмент зурахаа санаж байна уу? Та үүнийг геометрийн чиглэлээр дамжуулсан. Хэрэв хоёр цэг байгаа бол тэдгээрийн хооронд шугам зурж болно. Хэрэв асуудалд сегмент гарч ирвэл тэдгээрийн координатыг хаалтанд бичнэ. Жишээ нь: A(15, 13) - B(1, 4). Ийм шугам барихын тулд координатын хавтгай дээрх цэгүүдийг олж тэмдэглээд дараа нь тэдгээрийг холбох хэрэгтэй. Тэгээд л болоо!

Та бүхний мэдэж байгаагаар аливаа олон өнцөгтийг сегмент ашиглан зурж болно. Асуудал шийдэгдэж.

Тооцоолол

X тэнхлэгийн дагуух байрлал нь координат (-3) цэгээс эхэлж (+2) гэсэн хоёр тоогоор тодорхойлогддог зарим объект байна гэж бодъё. Хэрэв бид энэ объектын уртыг мэдэхийг хүсвэл том тооноос бага тоог хасах хэрэгтэй. Сөрөг тоо нь хасахын тэмдгийг шингээдэг гэдгийг анхаарна уу, учир нь "хасах нь хасах нь нэмэх" юм. Тиймээс бид (2+3) нэмээд 5-ыг авна. Энэ нь шаардлагатай үр дүн юм.

Өөр нэг жишээ: бидэнд объектын төгсгөлийн цэг ба уртыг өгсөн боловч эхлэх цэг биш (мөн бид үүнийг олох хэрэгтэй). Мэдэгдэж буй цэгийн байрлалыг (6), судалж буй объектын хэмжээг (4) болго. Эцсийн координатаас уртыг хасснаар бид хариултыг авна. Нийт: (6 - 4) = 2.

Сөрөг тоонууд

Ихэнхдээ практикт сөрөг утгатай ажиллах шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд бид координатын тэнхлэгийн дагуу зүүн тийш шилжих болно. Жишээлбэл, 3 см өндөртэй объект усанд хөвдөг. Үүний гуравны нэг нь шингэнд, гуравны хоёр нь агаарт байдаг. Дараа нь усны гадаргууг тэнхлэг болгон сонгохдоо бид хамгийн энгийн арифметик тооцооллыг ашиглан хоёр тоог авна: объектын дээд цэг нь координат (+2), доод хэсэг нь (-1) сантиметр байна.

Онгоцны хувьд координатын шугамын дөрөвний дөрөв нь байгааг харахад хялбар байдаг. Тэд тус бүр өөрийн гэсэн дугаартай. Эхний (баруун дээд) хэсэгт хоёр эерэг координаттай цэгүүд байх болно, хоёр дахь хэсэгт - зүүн дээд талд - X тэнхлэгийн утгууд сөрөг, Y тэнхлэгийн дагуу эерэг байна. Гурав, дөрөв дэхийг цагийн зүүний эсрэг дахин тоолно.

Чухал өмч

Шугамыг хязгааргүй тооны цэгээр дүрсэлж болно гэдгийг та мэднэ. Бид тэнхлэгийн чиглэл бүрт хүссэн тооны утгыг анхааралтай авч үзэх боломжтой боловч давтагдах утгуудтай уулзахгүй. Энэ нь гэнэн бөгөөд ойлгомжтой мэт санагдах боловч энэ мэдэгдэл нь чухал баримтаас үүдэлтэй: тоо бүр нь координатын шугамын нэг бөгөөд зөвхөн нэг цэгтэй тохирч байна.

Дүгнэлт

Аливаа тэнхлэг, дүрс, боломжтой бол графикийг захирагч дээр барьсан байх ёстой гэдгийг санаарай. Хэмжилтийн нэгжийг хүн санамсаргүй байдлаар зохион бүтээгээгүй - хэрэв та зурахдаа алдаа гаргавал тийм байх ёсгүй зургийг харах эрсдэлтэй.

График, тооцоолол хийхдээ болгоомжтой, үнэн зөв байх. Сургуульд сурдаг аливаа шинжлэх ухааны нэгэн адил математик нь нарийвчлалд дуртай. Бага зэрэг хүчин чармайлт гаргавал сайн дүн удаан хүлээхгүй.

Хичээлийн сэдэв:

« Шулуун шугам дээрх координатууд»

Хичээлийн зорилго:

оюутнуудад координатын шугам ба сөрөг тоонуудыг танилцуулах.

Хичээлийн зорилго:

Сургалт: оюутнуудыг координатын шугам ба сөрөг тоотой танилцуулах.

Хөгжиж байна: логик сэтгэлгээг хөгжүүлэх, алсын хараагаа өргөжүүлэх.

Боловсрол: танин мэдэхүйн сонирхлыг хөгжүүлэх, мэдээллийн соёлын боловсрол.

Хичээлийн төлөвлөгөө:

Зохион байгуулалтын мөч.Оюутнууд, тэдний хичээлд бэлэн байдлыг шалгах.

Үндсэн мэдлэгийг шинэчлэх.Оролцсон сэдвийн хүрээнд оюутнуудаас аман судалгаа.

Шинэ материалын тайлбар.

4. Судалсан материалыг нэгтгэх.

5. Дүгнэж байна.Хичээлээс сурсан зүйлсийн хураангуй. Оюутнуудын асуулт.

6. Дүгнэлт.Хичээлийн гол санааг нэгтгэн дүгнэх. Мэдлэгийн үнэлгээ. Тэмдэглэгээ тавих.

7. Гэрийн даалгавар. Бие даасан ажилсургалтын материалтай оюутнууд.

Тоног төхөөрөмж: шохой,самбар, слайд.

Өргөтгөсөн тойм төлөвлөгөө

Тайзны нэр, агуулга

Үйл ажиллагаа

Үйл ажиллагаа

оюутнууд

Би шат

Зохион байгуулалтын мөч. Мэндчилгээ.

Тэмдэглэл бөглөх.

Ангитайгаа мэндчилж, ангийн дарга тасалсан хүмүүсийн жагсаалтыг гаргадаг.

сайн уу гэж хэлээрэй

багш

II шат

Үндсэн мэдлэгийг шинэчлэх.

Эртний Грекийн эрдэмтэн Пифагор: "Тоонууд дэлхийг захирдаг" гэж хэлсэн байдаг. Бид энэ тооны ертөнцөд амьдарч, сургуулийнхаа жилүүдэд янз бүрийн тоогоор ажиллаж сурдаг.

1 Өнөөдрийн хичээлээр бид ямар тоонуудыг аль хэдийн мэддэг болсон бэ?

2 Эдгээр тоонууд бидэнд ямар асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг вэ?

Өнөөдөр бид "Рационал тоо" сурах бичгийн хоёрдугаар бүлгийг судалж, тоонуудын талаархи мэдлэгээ өргөжүүлж, "Рационал тоо" бүлгийг бүхэлд нь судалсны дараа таны мэддэг бүх үйлдлийг хэрхэн хийхийг сурах болно. тэдэнтэй хамт сэдвийн координатын шугамаас эхэлнэ.

1. натурал, энгийн бутархай, аравтын бутархай

2.нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, тооноос бутархай, бутархайгаас нь тоог олох, төрөл бүрийн тэгшитгэл, бодлого бодох

III шат

Шинэ материалын тайлбар.

АВ шулууныг аваад О цэгтэй хамт хоёр нэмэлт туяанд хуваая - OA ба OB. Бид шулуун шугам дээр нэг сегментийг сонгож, O цэгийг эхлэл ба чиглэл болгон авна.

Тодорхойлолт:

Үүн дээр сонгосон жишиг цэг, нэгж сегмент, чиглэл бүхий шулуун шугамыг координатын шугам гэнэ.

Шулуун дээрх цэгийн байрлалыг харуулсан тоог энэ цэгийн координат гэнэ.

Координатын шугамыг хэрхэн яаж барих вэ?

шууд зурах

нэг сегментийг тохируулах

чиглэлийг зааж өгнө

Координатын шугамыг янз бүрийн аргаар зурж болно: хэвтээ, босоо болон бусад өнцгөөр, эхлэлтэй боловч төгсгөлгүй.

Дасгал 1. Дараах шугамуудын аль нь координат биш вэ? (слайд)

Координатын шугамыг зурж, координатын гарал үүсэл, нэгж сегментийг тэмдэглэж, 1,2,3,4 гэх мэт цэгүүдийг баруун, зүүн тийш нь тавь.

Үүссэн координатын шугамыг харцгаая. Ийм шулуун шугам яагаад тохиромжгүй байдаг вэ?

Гарал үүслээс баруун тийш чиглэсэн чиглэлийг эерэг гэж нэрлэдэг бөгөөд шулуун шугам дээрх чиглэлийг сумаар зааж өгдөг. О цэгийн баруун талд байрлах тоонуудыг эерэг тоо гэж нэрлэдэг. Сөрөг тоонууд нь О цэгийн зүүн талд байрлах ба О цэгийн зүүн талд байгаа чиглэлийг сөрөг гэж нэрлэдэг (сөрөг чиглэлийг заагаагүй). Хэрэв координатын шугам нь босоо байрлалтай байвал гарал үүслээс дээш - эерэг тоо, гарал үүслээс доош - сөрөг байна. Сөрөг тоог "-" тэмдгээр бичнэ. Тэд "Хасах нэг", "Хасах хоёр", "Хасах гурав" гэх мэтийг уншдаг. 0 тоо - гарал үүсэл нь эерэг эсвэл сөрөг аль нь ч биш. Энэ нь эерэг тоонуудыг сөрөг тооноос ялгадаг.

Арилжааны тооцоонд тэгшитгэлийн шийдэл, "өр" гэсэн ойлголт нь сөрөг тоо гарч ирэхэд хүргэсэн.

Сөрөг тоо нь натурал болон энгийн бутархай тооноос хамаагүй хожуу гарч ирсэн. Сөрөг тооны тухай анхны мэдээлэл нь МЭӨ 2-р зуунд Хятадын математикчдын дунд байдаг. МЭӨ д. Дараа нь эерэг тоог өмч, сөрөг тоог өр, хомсдол гэж тайлбарлав. Европт хүлээн зөвшөөрөх нь мянган жилийн дараа гарч ирсэн бөгөөд тэр ч байтугай удаан хугацааны туршид сөрөг тоог "худал", "төсөөлөл" эсвэл "уг утгагүй" гэж нэрлэдэг байв. 17-р зуунд сөрөг тоонууд тоон шугам дээр харааны геометрийн дүрслэлийг хүлээн авсан.

Та мөн координатын шугамын жишээг өгч болно: термометр, уулын оргил ба хотгоруудын харьцуулалт (далайн түвшинг тэгээр авсан), газрын зураг дээрх зай, цахилгаан шатны хонгил, байшин, кран.

Бодоод үз дээкоординатын шугамын өөр жишээг та мэдэх үү?

Даалгаврууд.

Даалгавар 2. Цэгүүдийн координатыг нэрлэнэ үү.

Даалгавар 3. Координатын шугам дээр цэгүүдийг зур

Даалгавар 4 . Хэвтээ шугам зурж түүн дээр О цэгийг тэмдэглэнэ.Хэрэв энэ нь мэдэгдэж байгаа бол энэ шулуун дээр A, B, C, K цэгүүдийг тэмдэглэнэ.

A нь O-ийн баруун талд байгаа 9 нүд;

B нь O-ийн зүүн талд 6.5 нүд;

C нь O-ийн баруун талд 3½ зай;

K нь O-ийн зүүн талд 3 зай байна .

Үндсэн тэмдэглэлд тэмдэглэсэн.

Сонсох, нөхөх.

Даалгавраа дэвтэртээ хийж дуусгаад хариултаа чангаар тайлбарла.

Нэг сегментийн координатын гарал үүслийг зурж, тэмдэглэ

Ижил тоо нь шулуун дээрх 2 цэгтэй тохирч байгаа тул ийм шулуун шугам нь тохиромжгүй юм.

Манай эриний өмнөх түүх, бидний эрин үе.

IV үе шат

Судалсан материалыг нэгтгэх.

1. Координатын шугам гэж юу вэ?

2. Координатын шугамыг хэрхэн барих вэ?

1. Сонгосон жишиг цэг, нэгж сегмент, чиглэл бүхий шулуун шугамыг координатын шугам гэнэ.

2) шулуун шугам зурах

тооллогын эхлэлийг тэмдэглэ

нэг сегментийг тохируулах

чиглэлийг зааж өгнө

V шат

Дүгнэж байна

Өнөөдөр бид ямар шинэ зүйл сурсан бэ?

Координатын шугам ба сөрөг тоо.

VI шат

Мэдлэгийн үнэлгээ. Тэмдэглэгээ тавих.

Гэрийн даалгавар.

Хамтарсан сэдвийн талаар асуулт зохиох (тэдгээрийн хариултыг мэдэх)

координатын шугам.

Шулуун шугам авъя. Үүнийг x шулуун гэж нэрлэе (Зураг 1). Энэ мөрөнд бид лавлах цэг O-г сонгож, мөн энэ шугамын эерэг чиглэлийг сумаар зааж өгнө (Зураг 2). Тиймээс O цэгийн баруун талд эерэг тоонууд, зүүн талд нь сөрөг байна. Бид масштабыг, өөрөөр хэлбэл шулуун шугамын сегментийн хэмжээг нэгтэй тэнцүү хэмжээгээр сонгоно. Бид авсан координатын шугам(Зураг 3). Тоо бүр нь энэ шугамын тодорхой нэг цэгтэй тохирч байна. Түүнээс гадна энэ тоог энэ цэгийн координат гэж нэрлэдэг. Тиймээс шугамыг координатын шугам гэж нэрлэдэг. Мөн O лавлах цэгийг гарал үүсэл гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, зурагт. 4 В цэг нь эхийн баруун талд 2-ын зайд байна. D цэг нь эхийн зүүн талд 4 зайд байна. Үүний дагуу В цэгийн координат 2, D цэгийн координат -4 байна. О цэг нь өөрөө лавлагаа цэг учраас 0 (тэг) координаттай байна. Үүнийг ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг: O(0), B(2), D(-4). "Тийм, тийм координаттай D цэг" гэж байнга хэлэхгүйн тулд тэд "0 цэг, 2 цэг, -4 цэг" гэж илүү энгийнээр хэлдэг. Мөн энэ тохиолдолд цэгийг координатаар нь тодорхойлоход хангалттай (Зураг 5).

Координатын шугамын хоёр цэгийн координатыг мэдсэнээр бид тэдгээрийн хоорондын зайг үргэлж тооцоолж болно. Бидэнд a ба b координаттай хоёр А ба В цэг байна гэж бодъё. Дараа нь тэдгээрийн хоорондох зай нь |a - b| байх болно. Бичлэг |a - b| "a хасах b модуль" эсвэл "a ба b тоонуудын ялгааны модуль" гэж уншина.

Модуль гэж юу вэ?

Алгебрийн хувьд х-ийн модуль нь сөрөг бус тоо юм. |x| гэж тэмдэглэсэн. Түүнчлэн хэрэв x > 0 бол |x| = x. Хэрэв x< 0, то |x| = -x. Если x = 0, то |x| = 0.

Геометрийн хувьд x тооны модуль нь цэг ба эхийн хоорондох зай юм. Хэрэв x1 ба x2 координаттай хоёр цэг байвал |x1 - x2| нь эдгээр цэгүүдийн хоорондох зай юм.

Модулийг мөн нэрлэдэг үнэмлэхүй үнэ цэнэ.

Координатын шугамын тухайд бид өөр юу хэлэх вэ? Мэдээж тоон интервалын тухай.

Тоон интервалын төрлүүд.

Бидэнд a, b гэсэн хоёр тоо байна гэж бодъё. Түүнчлэн b > a (b нь a-аас их). Координатын шулуун дээр b цэг нь а цэгийн баруун талд байна гэсэн үг. Тэгш бус байдлынхаа b-г х хувьсагчаар орлуулъя. Энэ нь x > a. Тэгвэл x нь бүх тоонууд нь а-аас их байна. Координатын шулуун дээр эдгээр нь а цэгийн баруун талд байгаа бүх цэгүүд юм. Шугамын энэ хэсэг нь сүүдэртэй (Зураг 6). Ийм цэгүүдийн багцыг нэрлэдэг нээлттэй цацраг, мөн энэ тоон интервалыг (a; +∞) гэж тэмдэглэсэн бөгөөд энд +∞ тэмдгийг "нэмэх хязгааргүй" гэж уншина. А цэг нь өөрөө энэ интервалд ороогүй бөгөөд гэрлийн тойрогоор тэмдэглэгдсэн болохыг анхаарна уу.

Мөн x ≥ a байх тохиолдлыг авч үзье. Тэгвэл x нь а-аас их буюу тэнцүү бүх тоонууд болно. Координатын шугам дээр эдгээр нь бүгд а-ын баруун талд байгаа цэгүүд, мөн өөрөө а цэг юм (Зураг 7-д а цэгийг аль хэдийн хар дугуйгаар зааж өгсөн). Ийм цэгүүдийн багцыг нэрлэдэг хаалттай цацраг(эсвэл зүгээр л туяа), энэ тоон интервалыг -аар тэмдэглэнэ.

Координатын шугамыг мөн нэрлэдэг координатын тэнхлэг. Эсвэл зүгээр л x тэнхлэг.

1-р бүлгийн төгсгөлд бид алгебрийн хичээл дээр бодит нөхцөл байдлыг үгээр (аман загвар), алгебрийн аргаар (алгебрийн эсвэл математикчдийн хэлдэгээр аналитик загвар), графикаар (график) дүрсэлж сурах хэрэгтэй гэж бид хэлсэн. эсвэл геометрийн загвар). Эхний хэсгийг бүхэлд нь сурах бичиг(1-5-р бүлэг) нь аналитик загваруудыг дүрсэлсэн математик хэлийг судлахад зориулагдсан болно.

6-р бүлгээс эхлэн бид зөвхөн шинэ аналитик төдийгүй график (геометрийн) загваруудыг судлах болно. Тэдгээрийг координатын шугам ашиглан барьсан. координатын хавтгай. Эдгээр ойлголтууд танд 5-6-р ангийн математикийн хичээлээс бага зэрэг танил болсон.

Шулуун шугам /, эхний үсэг цэг O (лавлагаа цэг), масштаб (ганц шугамын сегмент, өөрөөр хэлбэл, урт нь 1-тэй тэнцүү гэж тооцогддог сегмент ба эерэг чиглэлийг координатын шугам эсвэл координатын тэнхлэг гэж нэрлэдэг (Зураг 7); Мөн "х тэнхлэг" гэсэн нэр томъёог ашигладаг.

Тоо бүр нь шугамын нэг цэгтэй тохирч байна. Жишээлбэл, 3.5 тоо нь эх үүсвэрээс, өөрөөр хэлбэл, О цэгээс 3.5-тай тэнцүү зайд (өгөгдсөн масштабаар) хасагдсан M цэгтэй (Зураг 8) тохирч, O цэгээс хойшлогдож байна. өгөгдсөн (эерэг) чиглэлд. -4 тоо нь P цэгтэй тохирч байна (8-р зургийг үз), энэ нь О цэгээс 4-тэй тэнцүү зайд, О цэгээс сөрөг чиглэлд, өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөнөөс эсрэг чиглэлд хойшлогддог. нэг.

Мөн эсрэгээр нь үнэн: координатын шугамын цэг бүр нэг тоотой тохирч байна.

Жишээлбэл, эерэг (өгөгдсөн) чиглэлд О цэгээс 5.4 зайд орших K цэг нь 5.4 тоотой, харин сөрөг чиглэлд O цэгээс 2.1 зайд байгаа N цэг нь 2.1 тоотой тохирч байна (зураг 1-ийг үз). 8).

Эдгээр тоонуудыг харгалзах цэгүүдийн координат гэж нэрлэдэг. Тиймээс, зурагт. 8 цэг K нь координат 5.4; цэг P - координат -4; цэг M - координат 3.5; цэг N - координат -2.1; O цэг - координат 0 (тэг). Тиймээс нэр нь "координатын шугам" юм. Дүрсээр хэлбэл, солбицлын шугам нь хүн ам шигүү суурьшсан байшин, энэ байшингийн оршин суугчид нь цэгүүд, цэгүүдийн координатууд нь тухайн цэгийн оршин суугчдын амьдардаг орон сууцны тоо юм.

Бидэнд яагаад координатын шугам хэрэгтэй байна вэ? Яагаад цэгийг тоогоор, тоог цэгээр тодорхойлдог вэ? Үүнээс ямар нэгэн ашиг тус бий юу? Тиймээ байгаа.
Жишээлбэл, координатын шулуун дээр хоёр цэг өгье: A - координат o ба B - координат b (ихэвчлэн ийм тохиолдолд тэд богино бичдэг:
A(a), B(b)). Бид A ба B цэгүүдийн хоорондох d зайг олох хэрэгтэй гэж бодъё. Үүнийг хийхийн оронд энэ нь харагдаж байна геометрийн хэмжилтүүд, зүгээр л бэлэн том томъёог ашиглана уу d \u003d (a - b) (та үүнийг 6-р ангид судалж байсан).
Тиймээс, 8-р зурагт бид:

Математикчид учир шалтгаанаа товч тайлбарлахын тулд "А координаттай координатын шугамын А цэг" гэсэн урт хэллэгийн оронд "а цэг" гэсэн богино хэллэг хэрэглэхийг зөвшөөрч, зурган дээрх цэгийн доорх цэгийг ашиглахыг зөвшөөрөв. харгалзан үзэхийг түүний координатаар тэмдэглэнэ. Тиймээс, 9-р зурагт цэгүүдийг тэмдэглэсэн координатын шугамыг харуулав - 4; - 2.1; 0; нэг; 3.5; 5.4.

Координатын шугам нь алгебрийн хэлнээс геометрийн хэл рүү чөлөөтэй шилжих боломжийг бидэнд олгодог. Жишээлбэл, a тоо b тооноос бага байна. Алгебрийн хэлэнд үүнийг дараах байдлаар бичдэг: a< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Гэсэн хэдий ч алгебр болон геометрийн хэлүүд нь бидний судалж буй математикийн нэг төрлийн хэл юм.

Координатын шугамтай холбоотой математик хэлний өөр хэд хэдэн элементтэй танилцацгаая.

1. Координатын шулуун дээр а цэгийг тэмдэглэе. А цэгийн баруун талд байгаа шулуун дээр байрлах бүх цэгүүдийг авч үзээд, харгалзах хэсгийг координатын шугамаар тэмдэглэнэ (Зураг 10). Энэ багц цэгүүдийг (тоо) нээлттэй туяа гэж нэрлэдэг бөгөөд (a, + oo) гэж тэмдэглэсэн бөгөөд энд + oo тэмдэг нь: "нэмэх хязгааргүй"; энэ нь x > a тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог (dz-ээр бид цацрагийн дурын цэгийг хэлнэ).

Анхаарна уу: а цэг нь задгай цацрагт хамаарахгүй, гэхдээ хэрэв энэ цэгийг задгай цацрагт бэхлэх шаардлагатай бол x\u003e a гэж бичээд, үүний дагуу зураг дээрх b цэгийг будна уу (Зураг 13);

(-oo, b) хувьд бид мөн туяа гэсэн нэр томъёог ашиглах болно.

3. Координатын шулуун дээр a, b цэгүүдийг тэмдэглэе, ба< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

Энэ олонлогийг (тоонуудыг) интервал гэж нэрлээд (a, b) гэж тэмдэглэнэ.

Энэ нь хатуу давхар тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог a< х < b (под х понимается любая точка интервала).

Анхаарна уу: интервал (a, b) нь хоёр задгай туяа (-oo, b) ба (a, + oo) -ийн огтлолцол (нийтлэг хэсэг) - энэ нь 15-р зурагт тодорхой харагдаж байна.

Хэрэв бид түүний төгсгөлүүдийг (a, b) интервалд, өөрөөр хэлбэл a ба b цэгүүдийг нэмбэл [a, b] сегментийг авна (Зураг 16),

хатуу бус давхар тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог a< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

[a, b] сегмент нь хоёр цацрагийн огтлолцол (нийтлэг хэсэг) (-oo, b) бөгөөд давхар тэгш бус байдлаар тодорхойлогддог: a.< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

Тиймээс бид математикийн хэлэнд туяа, задгай туяа, интервал, сегмент, хагас интервал гэсэн таван шинэ нэр томъёог нэвтрүүлсэн. Мөн тоон цоорхой гэсэн ерөнхий нэр томъёо байдаг.

Координатын шугам нь өөрөө тоон интервал гэж тооцогддог; тэмдэглэгээг (-oo, +oo) ашигладаг.

7-р ангийн математик үнэгүй татаж авах, хичээлийн төлөвлөгөө, сургуульдаа бэлдэх онлайн

А.В.Погорелов, 7-11-р ангийн геометр, боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг