Предел числовой последовательности. Как доказать, что последовательность сходится? Основные свойства сходящихся последовательностей Виды последовательностей

Определение пределов последовательности и функции, свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, примеры.

Постоянное число а называется пределом последовательности {x n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству

Записывают это следующим образом: или x n → a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a - ε < x n < a + ε которое означает, что точки x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε , a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае - расходящейся .

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.

Определение 2 . Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если, задав произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x , лежащих в ε-окрестности числа а , т.е. для x , удовлетворяющих неравенству
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε - δ "

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде

В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .

Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1 . Если существует каждый предел

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности,

Теорема 3.

(6.11)

где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

в частности предел,

Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а . Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел

(6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел

и непрерывной слева в точке x o, если предел

Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .

2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .

Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана , дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 ×1,5 = 150, а еще через полгода - в 150× 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. ед.),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. ед.),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел

Пример 3.1 . Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство |x n -1| < ε

Возьмем любое ε > 0. Так как x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n<ε. Отсюда n>1/ε и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ε N = E(1/ε). Мы тем самым доказали, что предел .

Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:

Пример 3.3 . . Найти .

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3.4 . Найти ().

Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем формулу общего члена:

Пример 3.5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.

Пример 3.6 . Доказать, что предел не существует.

Решение. Пусть x 1 , x 2 ,..., x n ,... - последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞

Если x n = p n, то sin x n = sin (p n) = 0 при всех n и предел Если же
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно предел . Таким образом, не существует.

Числовые последовательности представляют собой беско­нечные множества чисел. Примерами последовательностей мо­гут служить: последовательность всех членов бесконечной гео­метрической прогрессии, последовательность приближенных значений (x 1 = 1, х 2 = 1,4, х 3 = 1,41, ...), последовательность периметров правильных n -угольников, вписанных в данную окружность. Уточним понятие числовой последова­тельности.

Определение 1. Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1, 2, 3,..., п,... поставлено в соответствие вещественное число x п, то множество вещественных чисел

x 1 , x 2 , x 3 , …, x n , … (2.1)

называется числовой последовательностью, или просто после­довательностью. .

Числа х 1 , x 2 , x 3 , ..., x п, ... будем называть элемента­ми, или членами последовательности (2.1), символ x п - об­щим элементом, или членом последовательности, а число п - его номером. Сокращенно последовательность (2.1) будем обо­значать символом {х п }. Например, символ {1/n } обозначает последовательность чисел

Иными словами, под последовательностью можно понимать бесконечное множество занумерованных элементов или мно­жество пар чисел (п, x п), в которых первое число принимает последовательные значения 1, 2, 3, ... . Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента. Например, формула x п = -1 + (-1) n определяет последовательность 0, 2, 0, 2,... .

Геометрически последовательность изображается на число­вой оси в виде последовательности точек, координаты кото­рых равны соответствующим членам последовательности. На рис. 2.1 изображена последовательность {х п } = {1/n } на чи­словой прямой.

Понятие сходящейся последовательности

Определение 2. Число а называется пределом последова­тельности {x n }, если для любого положительного числа ε су­ществует такой номер N , что при всех п > N выполняется неравенство

Последовательность, имеющая предел, называется сходя­щейся. Если последовательность имеет своим пределом число а , то это записывается так:

Последовательность, не имеющая предела, называется рас­ходящейся.

Определение 3. Последовательность, имеющая своим преде­лом число а = 0, называется бесконечно малой последователь­ностью.

Замечание 1. Пусть последовательность {х п } имеет своим пределом число а . Тогда последовательность {α n }= {x n - a } есть бесконечно малая, т.е. любой элемент x п сходящейся последовательности, имеющей предел а , можно представить в виде

где α n - элемент бесконечно малой последовательности {α n }.

Замечание 2. Неравенство (2.2) эквивалентно неравен­ствам (см. свойство 4 модуля числа из п. 1.5)

Это означает, что при п > N все элементы последователь­ности {x n } находятся в ε-окрестности точки а (рис. 2.2), причем номер N определяется по величине ε.

Интересно дать геометрическую интерпретацию этого определения. Поскольку последовательность представляет со­бой бесконечное множество чисел, то если она сходится, в лю­бой ε-окрестности точки а на числовой прямой находится бес­конечное число точек - элементов этой последовательности, тогда как вне ε-окрестности остается конечное число элемен­тов. Поэтому предел последовательности часто называют точ­кой сгущения.

Замечание 3. Неограниченная последовательность не имеет конечного предела. Однако она может иметь бесконеч­ный предел, что записывается в следующем виде:

Если при этом начиная с некоторого номера все члены по­следовательности положительны (отрицательны), то пишут

Если {x n } - бесконечно малая последовательность, то {1/x п } - бесконечно большая последовательность, имеющая бесконечный предел в смысле (2.3), и наоборот.

Приведем примеры сходящихся и расходящихся последова­тельностей.

Пример 1. Показать, используя определение предела последовательности, что .

Решение. Возьмем любое число ε > 0. Так как

то чтобы выполнялось неравенство (2.2), достаточно решить неравенство 1 / (n + 1) < ε, откуда получаем n > (1 - ε) / ε. Доста­точно принять N = [(1 - ε)/ε] (целая часть числа (1 - ε)/ ε)* , чтобы неравенство |x п - 1| < ε выполнялосьпривсех п > N.

* Символ [a ] означает целую часть числа а , т.е. наибольшее целое число, не превосходящееа . Например, = 2, = 2, = 0, [-0, 5] = -1, [-23,7] = -24.

Пример 2. Показать, что последовательность {х п } = (-1) n , или -1, 1, -1, 1,... не имеет предела.

Решение. Действительно, какое бы число мы ни предпо­ложили в качестве предела: 1 или -1, при ε < 0,5 неравенство (2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетво­ряется - вне ε -окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов x п : все элементы с нечетными номерами рав­ны -1, элементы с четными номерами равны 1.

Основные свойства сходящихся последовательностей

Приведем основные свойства сходящихся последовательнос­тей, которые в курсе высшей математики сформулированы в виде теорем.

1. Если все элементы бесконечно малой последователь­ности {х п } равны одному и тому же числу с, то с = 0.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Сумма (разность) сходящихся последовательностей {х п } и {у п } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последо­вательностей {x п } и {y п }.

5. Произведение сходящихся последовательностей {х п } и {у п } есть сходящаяся последовательность, предел ко­торой равен произведению пределов последовательностей {х п } и {у п }.

6. Частное двух сходящихся последовательностей {х п } и {у п } при условии, что предел последовательности {у п } отличен от нуля, есть сходящаяся последователь­ность, предел которой равен частному пределов после­довательностей {х п } и {y п }.

7. Если элементы сходящейся последовательности {х n } удовлетворяют неравенству x п ≥ b (х п ≤ b) начиная с некоторого номера, то и предел а этой последова­тельности удовлетворяет неравенству а ≥ b (а ≤ b).

8. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность или на число есть бесконечно малая последовательность.

9. Произведение конечного числа бесконечно малых после­довательностей есть бесконечно малая последователь­ность.

Рассмотрим применение этих свойств на примерах.

Пример 3. Найти предел .

Решение. При n числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, т.е. применить сразу теорему о пределе частного нельзя, так как она предполагает сущест­вование конечных пределов последовательностей. Преобразу­ем данную последовательность, разделив числитель и знаме­натель на n 2 . Применяя затем теоремы о пределе частного, пределе суммы и снова пределе частного, последовательно на­ходим

Пример 4. x п } = при п .

Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, числитель и знаменатель не имеют конечных пределов, и потому снача­ла необходимо выполнить соответствующие преобразования. Поделив числитель и знаменатель на n , получаем

Поскольку в числителе стоит произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность,то в силу свойства 8 окончательно получаем

Пример 5. Найти предел последовательности {х п } = при п .

Решение. Здесь применить непосредственно теорему о пределе суммы (разности) последовательностей нельзя, так как не существует конечных пределов слагаемых в формуле для {х п }. Умножим и разделим формулу для {х n } на сопряженное выражение :

Число е

Рассмотрим последовательность {х п }, общий член которой выражается формулой

В курсе математического анализа доказывается, что эта последовательность монотонно возрастает и имеет предел. Этот предел называют числом е . Следовательно, по определе­нию

Число е играет большую роль в математике. Далее будет рассмотрен способ его вычисления с любой требуемой точнос­тью. Отметим здесь, что число е является иррациональным; его приближенное значение равно е = 2,7182818... .

3. Предел числовой последовательности

3.1. Понятие числовой последовательности и функции натурального аргумента

Определение 3.1. Числовой последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел

{x1, x2, x3, ... }.

Обратите внимание на два момента.

1. В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!

2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.

В дальнейшем для последовательности часто будем использовать сокращенное обозначение {xn }.

Над последовательностями можно производить определенные операции. Рассмотрим некоторые из них.

1. Умножение последовательности на число.

Последовательность c ×{xn } – это последовательность с элементами {c × xn }, то есть

c ×{x1, x2, x3, ... }={c × x1, c × x2, c × x3 , ... }.

2. Сложение и вычитание последовательностей.

{xn }±{yn }={xn ± yn },

или, более подробно,

{x1, x2, x3, ... }±{y1, y2, y3, ... }={x1 ± y1, x2 ± y2, x3 ± y3, ... }.

3. Умножение последовательностей.

{xn }×{yn }={xn × yn }.

4. Деление последовательностей.

{xn }/{yn }={xn/yn }.

Естественно, предполагается, что в этом случае все yn ¹ 0.

Определение 3.2. Последовательность {xn } называется ограниченной сверху, если https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height="25 src=">.Последовательность {xn} называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.

3.2. Предел последовательности. Бесконечно большая последовательность

Определение 3.3. Число a называется пределом последовательности {xn } при n стремящимся к бесконечности, если

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33">, если .

Говорят, что , если .

Определение 3.4. Последовательность {xn } называется бесконечно большой, если (то есть, если ).

3.3. Бесконечно малая последовательность.

Определение 3.5. Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если , то есть если .

Бесконечно малые последовательности имеют следующие свойства.

1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность.

2. Бесконечно малая последовательность ограничена.

3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

4. Если {xn } – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого N , определена последовательность {1/xn }, и она есть бесконечно малая последовательность. Наоборот, если {xn } – бесконечно малая последовательность и все xn отличны от нуля, то {1/xn } есть бесконечно большая последовательность.

3.4. Сходящиеся последовательности.

Определение 3.6. Если существует конечный предел https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. Если , то .

3.5. Предельный переход в неравенствах.

Теорема 3.1. Если, начиная с некоторого N , все xn ³ b , то .

Следствие. Если, начиная с некоторого N , все xn ³ yn , то .

Замечание . Заметьте, что если, начиная с некоторого N , все xn > b , то , то есть при предельном переходе строгое неравенство может перейти в нестрогое.

Теорема 3.2. («Теорема о двух милиционерах») Если, начиная с некоторого N , выполнены следующие свойства

1..gif" width="163" height="33 src=">,

то существует .

3.6. Предел монотонной последовательности.

Определение 3.7. Последовательность {xn } называется монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 ³ xn .

Последовательность {xn } называется строго монотонно возрастающей, если для любого n xn+1 > xn .

xn ­.

Определение 3.8. Последовательность {xn } называется монотонно убывающей, если для любого n xn+1 £ xn .

Последовательность {xn } называется строго монотонно убывающей, если для любого n xn+1 < xn .

Оба этих случая объединяют символом xn ¯.

Теорема о существовании предела монотонной последовательности.

1. Если последовательность {xn } монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup{xn } (inf{xn }).

2 Если последовательность {xn } монотонно возрастает (убывает), но сверху (снизу) не ограничена, то у нее существует предел, равный +¥ (-¥).

На основании этой теоремы доказывается, что существует так называемый замечательный предел

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Она называется подпоследовательностью последовательности {xn }.

Теорема 3.3. Если последовательность {xn } сходится и ее предел равен a , то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел.

Если {xn } – бесконечно большая последовательность, то любая ее подпоследовательность есть также бесконечно большая.

Лемма Больцано - Вейерштрасса.

1. Из любой ограниченной последовательности можно извлечь такую подпоследовательность, которая сходится к конечному пределу.

2. Из любой неограниченной последовательности можно извлечь бесконечно большую подпоследовательность.

На основании этой леммы доказывается один из основных результатов теории пределов – Признак сходимости Больцано-Коши.

Для того, чтобы у последовательности {xn } существовал конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы

Последовательность, удовлетворяющая этому свойству, называется фундаментальной последовательностью, или последовательностью, сходящейся в себе.

Для многих людей математический анализ представляет собой лишь набор непонятных цифр, значков и определений, далёких от реальной жизни. Однако, мир, в котором существуем мы, построен на числовых закономерностях, выявление которых помогает не просто познавать окружающий мир и решать его сложные проблемы, но и упрощать бытовые практические задачи. Что имеет в виду математик, когда говорит, что числовая последовательность сходится? Об этом следует поговорить подробнее.

малое?

Представим себе матрёшек, которые помещаются одна в другой. Размеры их, записанные в виде цифр, начиная с большей и кончая меньшей из них, формируют последовательность. Если вообразить бесконечное количество подобных ярких фигурок, то получившийся ряд окажется фантастически длинным. Это сходящаяся числовая последовательность. И стремится она к нулю, так как размеры каждой последующей матрёшки, катастрофически уменьшаясь, постепенно превращаются в ничто. Таким образом, легко можно объяснить: что такое бесконечно малое.

Похожим примером может стать дорога, уходящая вдаль. А визуальные размеры автомобиля, уезжающего по ней от наблюдателя, постепенно сокращаясь, превращаются в бесформенное пятнышко, напоминающее точку. Таким образом, машина, как некий объект, удаляясь в неизвестном направлении, становится бесконечно маленькой. Параметры указанного тела никогда не будут нулевыми в прямом смысле этого слова, но неизменно стремятся к этой величине в конечном пределе. Поэтому данная последовательность сходится снова к нулю.

Рассчитаем всё по каплям

Вообразим теперь житейскую ситуацию. Больному врач прописал принимать микстуру, начиная с десяти капель в день и прибавляя по две в каждые последующие сутки. И так доктор предложил продолжать до тех пор, пока не кончится содержимое пузырька с лекарством, объём которого составляет 190 капель. Из изложенного следует, что количество таковых, расписанное по дням составит следующий числовой ряд: 10, 12, 14 и так далее.

Как выяснить время прохождения всего курса и количество членов последовательности? Здесь, конечно, можно подсчитывать капли примитивным образом. Но гораздо легче, учитывая закономерность, воспользоваться формулой с шагом d = 2. И с применением такого метода выяснить, что количество членов числового ряда равно 10. При этом а 10 = 28. Номер члена указывает на количество дней приёма лекарства, а 28 соответствует числу капель, которые больной должен употребить в последний день. Данная последовательность сходится? Нет, потому что, несмотря на то, что снизу она ограничена числом 10, а сверху - 28, такой числовой ряд не имеет предела, в отличие от предыдущих примеров.

В чём разница?

Попробуем теперь уточнить: когда числовой ряд оказывается сходящейся последовательностью. Определение такого рода, как можно заключить из вышеописанного, напрямую связано с понятием конечного предела, наличие которого и выявляет суть вопроса. Так в чём принципиальное отличие ранее приведённых примеров? И почему в последнем из них число 28 не может считаться пределом числового ряда X n = 10 + 2(n-1)?

Для выяснения этого вопроса рассмотрим другую последовательность, заданную нижеуказанной формулой, где n принадлежит множеству натуральных чисел.

Данное сообщество членов представляет собой набор обыкновенных дробей, числитель которых 1, а знаменатель постоянно увеличивается: 1, ½ …

Причём каждый последующий представитель этого ряда по расположению на числовой прямой всё больше приближается к 0. А это значит, что появляется такая окрестность, где точки скучиваются вокруг нуля, который и является пределом. И чем ближе они к нему, тем плотнее становится их концентрация на числовой прямой. А расстояние между ними катастрофически сокращается, превращаясь в бесконечно малое. Это признак того, что последовательность сходится.

Подобным же образом разноцветные прямоугольники, изображённые на рисунке, при удалении в пространстве визуально располагаются кучнее, в гипотетическом пределе превращаясь в ничтожно малые.

Бесконечно большие последовательности

Разобрав определение сходящейся последовательности, перейдём теперь к противоположным примерам. Многие из них были известны человеку с самых древних времён. Простейшими вариантами расходящихся последовательностей являются ряды натуральных и чётных чисел. Они по-другому именуются бесконечно большими, так как члены их, постоянно увеличиваясь, всё больше приближаются к положительной бесконечности.

Примерами таковых также могут служить любая из арифметических и геометрических прогрессий с шагом и знаменателем соответственно больше нуля. Расходящимися последовательностями считаются, к тому же, числовые ряды, которые и вовсе не имеют предела. К примеру, X n = (-2) n -1 .

Последовательность Фибоначчи

Практическая польза указанных ранее числовых рядов для человечества несомненна. Но существует огромное множество и других замечательных примеров. Одним из них является последовательность Фибоначчи. Каждый из её членов, которые начинаются с единицы, представляет собой сумму предыдущих. Первыми двумя её представителями являются 1 и 1. Третий 1+1=2, четвёртый 1+2=3, пятый 2+3=5. Далее, согласно этой же логике, следуют числа 8, 13, 21 и так далее.

Данный ряд чисел неограниченно возрастает и не имеет конечного предела. Зато он обладает ещё одним замечательным свойством. Отношение каждого предыдущего числа к последующему всё более приближается по своему значению к 0, 618. Здесь можно уяснить разницу между сходящейся и расходящейся последовательностью, ведь если составить ряд из полученных частных от делений, указанный числовой строй будет иметь конечный предел равный 0,618.

Последовательность коэффициентов Фибоначчи

Указанный выше числовой ряд широко используется в практических целях для технического анализа рынков. Но этим не ограничиваются его возможности, которые знали и умели применять на практике ещё в глубокой древности египтяне и греки. Это доказывают построенные ими пирамиды и Парфенон. Ведь число 0, 618 является постоянным коэффициентом хорошо известного в старину золотого сечения. Согласно этому правилу, любой произвольный отрезок возможно поделить так, что отношение между его частями будет совпадать с отношением между большим из отрезков и общей длиной.

Построим ряд из указанных отношений и попытаемся проанализировать данную последовательность. Числовой ряд получится следующим: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 и так далее. Продолжая, таким образом можно убедиться, что предел сходящейся последовательности действительно будет 0,618. Однако, необходимо заметить и прочие свойства этой закономерности. Здесь цифры как бы идут вразнобой, а вовсе не в порядке возрастания или убывания. Это означает, что данная сходящаяся последовательность монотонной не является. О том, почему это так и пойдёт разговор далее.

Монотонность и ограниченность

Члены числового ряда с увеличением номера могут чётко убывать (если x 1 >x 2 >x 3 >…>x n >…) или возрастать (если x 1

Расписав числа данного ряда можно заметить, что любой из его членов, неограниченно приближаясь к 1, никогда не превысит этого значения. В этом случае говорят об ограниченности сходящейся последовательности. Подобное бывает всякий раз, когда находится такое положительное число М, которое оказывается всегда больше любого из членов ряда по модулю. Если числовой ряд обладает признаками монотонности и имеет предел, а следовательно - сходится, то он обязательно наделён таким свойством. Причём обратное не обязательно должно быть верным. Об этом говорит теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

Применение подобных наблюдений на практике оказывается очень полезным. Приведём конкретный пример, исследовав свойства последовательности X n = n/n+1, и докажем её сходимость. То, что она монотонна легко показать, так как (x n +1 - x n) есть число положительное при любых значениях n. Предел последовательности равен числу 1, а значит, соблюдаются все условия вышеуказанной теоремы, называемой также теоремой Вейерштрасса. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности утверждает, что если она имеет предел, то в любом случае оказывается ограниченной. Однако, приведём следующий пример. Числовой ряд X n = (-1) n является ограниченным снизу числом -1 и сверху 1. Но данная последовательность не является монотонной, не имеет предела и поэтому не сходится. То есть из ограниченности не всегда следует наличие предела и сходимости. Чтобы это выполнялось необходимо совпадение нижнего и верхнего предела, как в случае коэффициентов Фибоначчи.

Числа и законы Вселенной

Простейшими вариантами сходящейся и расходящейся последовательности являются, пожалуй, числовые ряды X n = n и X n = 1/n. Первая из них представляет собой натуральный ряд чисел. Она же является, как уже говорилось, бесконечно большой. Вторая сходящаяся последовательность ограничена, а члены её по величине приближаются к бесконечно малому. Каждая из этих формул олицетворяет одну из сторон многогранной Вселенной, помогая человеку на языке цифр и знаков представить себе и просчитать нечто непознаваемое, недоступное для ограниченного восприятия.

Законы мироздания, начиная от ничтожно малого и кончая невероятно большим, выражает также золотой коэффициент 0,618. Учёные считают, что он заложен в основу сути вещей и используется природой для формирования её частей. Упомянутые уже нами ранее отношения между последующим и предыдущим членами ряда Фибоначчи, не завершают на этом демонстрацию удивительных свойств этого уникального ряда. Если рассмотреть частное от деления предыдущего члена на последующей через один, то получим ряд 0,5; 0, 33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 и так далее. Интересно то, что эта ограниченная последовательность сходится, монотонной она не является, но отношение крайних от определённого члена соседних чисел всегда приблизительно оказывается равным 0,382, что тоже может быть использовано в архитектуре, техническом анализе и других отраслях.

Существуют и другие интересные коэффициента ряда Фибоначчи, все они играют в природе особую роль, а также применяются человеком в практических целях. Математики уверены, что Вселенная развивается по некоей «золотой спирали», формируемой из указанных коэффициентов. С их помощью возможно рассчитать многие явления, происходящие на Земле и в космосе, начиная от роста численности определённых бактерий и кончая движением далёких комет. Подобным же законам подчиняется, как выясняется, код ДНК.

Убывающая геометрическая прогрессия

Существует теорема, утверждающая единственность предела сходящейся последовательности. Это значит, что двух и более пределов у неё существовать не может, что несомненно важно для нахождения её математических характеристик.

Рассмотрим некоторые случаи. Любой числовой ряд, составленный из членов арифметической прогрессии, является расходящимся, за исключением случая с нулевым шагом. Это же касается геометрической прогрессии, знаменатель которой больше 1. Пределами таких числовых рядов являются «плюс» или «минус» бесконечности. Если же знаменатель меньше -1, то никакого предела вообще не существует. Возможны и другие варианты.

Рассмотрим числовой ряд, задаваемой формулой X n = (1/4) n -1 . С первого взгляда легко понять, что эта сходящаяся последовательность ограничена, потому что является строго убывающей и никаким образом не способна принимать отрицательные значения.

Распишем некоторое число её членов в ряд.

Получится: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0,00390625 и так далее. Достаточно совсем несложных расчётов, чтобы понять, как быстро данная геометрическая прогрессия со знаменателей 0

Фундаментальные последовательности

Огюстен Луи Коши, французский учёный, явил миру много работ связанных с математическим анализом. Он дал определения таким его понятиям, как дифференциал, интеграл, предел и непрерывность. Исследовал он также основные свойства сходящихся последовательностей. Для того, чтобы понять суть его идей, необходимо обобщить некоторые важные детали.

В самом начале статьи было показано, что есть такие последовательности, для которых существует окрестность, где точки, изображающие члены определённого ряда на числовой прямой, начинают скучиваться, выстраиваясь всё плотнее. При этом расстояние между ними при увеличении номера очередного представителя всё уменьшается, превращаясь в бесконечно малое. Таким образом, оказывается, что в данной окрестности группируется бесконечное число представителей данного ряда, в то время, как за её пределами их насчитывается конечное количество. Такие последовательности именуются фундаментальными.

Знаменитый критерий Коши, созданный французским математиком, однозначно указывает, что наличия подобного свойства достаточно, чтобы доказать, что последовательность сходится. Верно также обратное.

Следует заметить, что данное заключение французского математика представляет по большей части чисто теоретический интерес. Его применение на практике считается достаточно сложным делом, поэтому для выяснения сходимости рядов гораздо важнее доказать существование у последовательности конечного предела. В противном же случае она считается расходящейся.

При решении задач следует также учитывать основные свойства сходящихся последовательностей. Они представлены ниже.

Бесконечные суммы

Такие знаменитые учёные древности, как Архимед, Евклид, Евдокс использовали суммы бесконечных числовых рядов для вычисления длин кривых, объёмов тел и площадей фигур. В частности, именно таким образом удалось узнать площадь параболического сегмента. Для этого была использована сумма числового ряда геометрической прогрессии с q=1/4. Подобным способом находились объёмы и площади других произвольных фигур. Данный вариант назывался методом «исчерпывания». Идея заключалось в том, что исследуемое сложное по формам тело разбивалось на части, которые представляли собой фигуры с легко измеряемыми параметрами. По этой причине нетрудно было вычислить их площади и объёмы, потом же они складывались.

Кстати, похожие задачи очень знакомы современным школьникам и встречаются в заданиях ЕГЭ. Уникальный способ, найденный ещё далёкими предками, является и на сегодняшний день самым простейшим вариантом решения. Даже если частей, на которые разбивается числовая фигура, всего две или три, сложение их площадей всё равно представляет собой сумму числового ряда.

Гораздо позднее древнегреческих учёных Лейбниц и Ньютон, основываясь на опыте мудрых предшественников, познавали закономерности интегрального вычисления. Знания свойств последовательностей помогали им решать дифференциальные и алгебраические уравнения. В настоящее время созданная усилиями многих поколений талантливых учёных теория рядов даёт шанс решить огромное количество математических и практических проблем. А изучение числовых последовательностей составляет основную задачу, решаемую математическим анализом с момента его создания.

Последовательность - одно из основных понятий математики. Последовательность может быть составлена из чисел, точек, функций, векторов и т.д. Последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу n ставится в соответствие элемент x n некоторого множества. Последовательность записывается в виде x 1 , x 2 , …, x n , или кратко (x n). Элементы x 1 , x 2 , …, x n называются членами последовательности, x 1 - первым, x 2 - вторым, x n - общим (n-м) членом последовательности.

Наиболее часто рассматривают числовые последовательности, т. е. последовательности, члены которых - числа. Аналитический способ - самый простой способ задания числовой последовательности. Это делают с помощью формулы, выражающей n-й член последовательности х 1 через его номер n. Например, если

Другой способ - рекуррентный (от латинского слова recurrens - «возвращающийся»), когда задают несколько первых членов последовательности и правило, позволяющее вычислять каждый следующий член через предыдущие. Например:

Примеры числовых последовательностей - арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия .

Интересно проследить поведение членов последовательности при неограниченном возрастании номера n (то, что n неограниченно возрастает, записывается в виде n → ∞ и читается: «n стремится к бесконечности»).

Рассмотрим последовательность с общим членом x n = 1/n: x 1 = 1, x 2 = 1/2; x 3 = 1/3, …, x 100 = 1/100, …. Все члены этой последовательности отличны от нуля, но чем больше n, тем меньше x n отличается от нуля. Члены этой последовательности при неограниченном возрастании n стремятся к нулю. Говорят, что число нуль есть предел этой последовательности.

Другой пример: x n = (−1) n /n - определяет последовательность

Члены этой последовательности также стремятся к нулю, но они то больше нуля, то меньше нуля - своего предела.

Рассмотрим еще пример: x n = (n − 1)/(n + 1). Если представить x n в виде

то станет понятно, что эта последовательность стремится к единице.

Дадим определение предела последовательности. Число a называется пределом последовательности (x n), если для любого положительного числа ε можно указать такой номер N, что при всех n > N выполняется неравенство |x n − a| < ε.

Если a есть предел последовательности (x n), то пишут x n → a, или a = lim n→∞ x n (lim - три первые буквы латинского слова limes - «предел»).

Это определение станет понятнее, если ему придать геометрический смысл. Заключим число a в интервал (a − ε, a + ε) (см. рис.). Число а есть предел последовательности (x n), если независимо от малости интервала (a − ε, a + ε) все члены последовательности с номерами, бо́льшими некоторого N, будут лежать в этом интервале. Иными словами, вне любого интервала (a − ε, a + ε) может находиться лишь конечное число членов последовательности.

Для рассмотренной последовательности x n = (−1) n /n в ε-окрестность точки нуль при ε = 1/10 попадают все члены последовательности, кроме первых десяти, а при ε = 1/100 - все члены последовательности, кроме первых ста.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела - расходящейся. Вот пример расходящейся последовательности: x n = (−1) n . Ее члены попеременно равны +1 и −1 и не стремятся ни к какому пределу.

Если последовательность сходится, то она ограничена, т. е. существуют такие числа c и d, что все члены последовательности удовлетворяют условию c ≤ x n ≤ d. Отсюда следует, что все неограниченные последовательности расходящиеся. Таковы последовательности:

Стремящаяся к нулю последовательность называется бесконечно малой. Понятие бесконечно малой может быть положено в основу общего определения предела последовательности, так как предел последовательности (x n) равен a тогда, и только тогда, когда x n представимо в виде суммы x n = a + α n , где α n бесконечно малая.

Рассмотренные последовательности (1/n), ((−1) n /n) являются бесконечно малыми. Последовательность (n − 1)/(n + 1), как следует из (2), отличается от 1 на бесконечно малую 2/(n + 1), и потому предел этой последовательности равен 1.

Большое значение в математическом анализе имеет также понятие бесконечно большой последовательности. Последовательность (x n) называется бесконечно большой, если последовательность (1/x n) бесконечно малая. Бесконечно большую последовательность (x n) записывают в виде x n → ∞, или lim n→∞ x n = ∞, и говорят, что она «стремится к бесконечности». Вот примеры бесконечно больших последовательностей:

(n 2), (2 n), (√(n + 1)), (n - n 2).

Подчеркнем, что бесконечно большая последовательность не имеет предела.

Рассмотрим последовательности (x n) и (y n). Можно определить последовательности с общими членами x n + y n , x n − y n , x n y n и (если y n ≠ 0) x n /y n . Справедлива следующая теорема, которую часто называют теоремой об арифметических действиях с пределами: если последовательности (x n) и (y n) сходящиеся, то сходятся также последовательности (x n + y n), (x n − y n), (x n y n), (x n /y n) и имеют место равенства:

В последнем случае необходимо потребовать, кроме того, чтобы все члены последовательности (y n) были отличны от нуля, еще и чтобы выполнялось условие lim n→∞ y n ≠ 0.

Применяя эту теорему, можно находить многие пределы. Найдем, например, предел последовательности с общим членом

Представив x n в виде

установим, что предел числителя и знаменателя существует:

поэтому получим:

lim n→∞ x n = 2/1 =2.

Важный класс последовательностей - монотонные последовательности. Так называют последовательности возрастающие (x n+1 > x n при любом n), убывающие (x n+1 < x n), неубывающие (x n+1 ≥ x n) и невозрастающие (x n+1 ≤ x n). Последовательность (n − 1)/(n + 1) возрастающая, последовательность (1/n) убывающая. Можно доказать, что рекуррентно заданная последовательность (1) монотонно возрастает.

Представим себе, что последовательность (x n) не убывает, т. е. выполняются неравенства

x 1 ≤ x 2 ≤ x 3 ≤ … ≤ x n ≤ x n+1 ≤ …,

и пусть, кроме того, эта последовательность ограничена сверху, т. е. все x n не превосходят некоторого числа d. Каждый член такой последовательности больше предыдущего или равен ему, но все они не превосходят d. Вполне очевидно, что эта последовательность стремится к некоторому числу, которое либо меньше d, либо равно d. В курсе математического анализа доказывается теорема, что неубывающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел (аналогичное утверждение справедливо для невозрастающей и ограниченной снизу последовательности). Эта замечательная теорема дает достаточные условия существования предела. Из нее, например, следует, что последовательность площадей правильных n-угольников, вписанных в окружность единичного радиуса, имеет предел, так как является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Предел этой последовательности обозначается π.

С помощью предела монотонной ограниченной последовательности определяется играющее большую роль в математическом анализе число е - основание натуральных логарифмов:

е = lim n→∞ (1 + 1/n) n .

Последовательность (1), как уже отмечалось, монотонная и, кроме того, ограничена сверху. Она имеет предел. Мы легко найдем этот предел. Если он равен a, то число а должно удовлетворять равенству a = √(2 + a). Решая это уравнение, получаем a = 2.